csim.kaust.edu.sa · 0 50 100 150 200 250student version of matlab 0 5 10 15 20 25 30 count low...

Post on 23-Mar-2020

0 Views

Category:

Documents

0 Downloads

Preview:

Click to see full reader

TRANSCRIPT

������ ��� ��� �� ������ �� �� ����� ������

������ �� ��� ��������� ��� �������� ����� ���

�������� � �� � �

�������� ��� ���

��������

�������� ���

� ���� �� �� �������� �

� ������ �� ����� � ��

� �� � ������� ��

� �������� �� �� ������ ������� !�

" �������� � �� ������ #�

! $���� ������ $���������� %"

# ������� ������� &"

% $������� ������� ������� ���

& �$ $������� ������� ������� ��&

�' (���� ������� ��&

�� )��������� $���������� �!�

�� �*$ )��������� $���������� �%�

�� +��,��� ������� �&"

�� �� -����� .������� ��� ��� �'�

�" -(� /������� ������ ���

�! )�������� (������� ���

��

������

��������� ����� ��� ��������� ����� ���� �� ��� ����� ����� ����� ���� �� ��� ���� ������� ������� ������ ������ ��� �� ��� �������� ����� !���������� ������� �� ������ ��� ������ "������ ������� �� ���� �� �� ��������� ��� ��� �� ������ #�� �� ��� $�� ��� %� �� �������� %��� ����� �������� ����� ���� �� ������ �� ��� ��� �� ��&������� ����� �� ��� ������ ������"�� �������������� '�"��� ���� �� ���� � �(�) (��� *���� �)+ %���� �(�) ������� ��� ������ ������� �� ��� ����� ,������� � �������� �� �� �+ ��� �� %� ��"�� ����� ������� �(�) ��� ����� ������� ������ �,���� �� ��� ��+ ����+

�(�- �) . �(�) � �(�)� (�)

%���� � ������� ��� �������� /��%� � ���,������� �� � �� ��� ���������� �� ������ ��� 0���� ��� %��/ �� ��� ��� ���� 1���/�� ��� �� ��� ��������������������� ������ �� ���������� �����,�������+ "������ ����� ��� �� ��������������� ���� ��� � ��� �� �2�������� ��� ��� ��������� �� �(�) �� ��� ���� /��%� � �� "������+ �� ��� �,���� �� �� ���� �� ��������� �� �� "�� "������� ������� ��� ���� �� ���������� ��� ������

3� �� ������ ��� � ������ �� ��� ��%����� �� ��� ��4���+ ��������� ������� �� ������� ����� ��� � ������� �� 5������� *�� �2 ���+ � ���� 6��� �� ���� �� ����� �(��� �) �������� � ��5����� ������� �������� �� ����� ��"������ ���� ��� �%�6�� ������� "���� �(��� �)� �� ��� ���� ��� �� ��� �%����6"����������+ ���� �� �� �� ��������� ��������� %��� �����6�� ������� "����� �(��� �) �������� ��� ������ 7����� ����� ���� �� �� �� �%� �� ��� �� ������� ����� � �� ���� �� �� ���� �� ���������� �� �� �� ����� �� ���� ��������� �� � ���������� �� ���+ ���� ���������� ���0� ���� ��� �� ����6�� ��������� ���� � ������� ���� �� ������� �������� ��+ � ��������� �,�� ����������+ �� ������ ������ �,��� �� ����� ���

��� �� �� ���� ���/ �� �� ������� ,����� �� ���� ��������� ��������+ %���� � ����� �� �����,�������� ��� �� ��� �2������� �� �3�837 ���� �� ���� ��%������ ���

��������������� ��������������������������������

���

�, ��������

Refraction Head Wave

Diving Wave

Tim

e

V

V

1

2

ReflectionTransmission

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

Tim

e (s

)

X (m)

Megatrench CSG

Student Version of MATLAB

*���� �9 (���) *��� ����� �� ��9 ���������+ ��&������+ ���� ������ �� ��,��%,��� !�������� %,�� %��� �2��� �� �� ��+ �� ��� ������ �� ������ �� ���������������� �� � ����1�/�� (7���� ) :� �� ���� ���� �� ����� ��������� ��� �������� �������+ ;��� ���/�� ��,���� �� ������� �� ����� ��/ �����

�������� ,

(��� ����� � �� ��� � �� ��� ���%��� �� �������)� ��� ���� %� �� ������������ �������� �� �� ���� ��� ��� �3�837 �2������� %��� ��� ������ �� ����� ���������� �� ����� �� �$����� �� ���� �� �� ������ �� 3� �� ��� 3���� "��������� �3�837 �2�������+ ��� ������� ���� %��� �,� ��� ���� ��� �� ������������� �� ����� ���� ���������+ ���+ ��% �� ������ �� ����� ���� � "���������+ � ��� ������� �� ���������� ������� ��� �����,��������

� %���� ��/� �� ���/ �� �� ��� �������� %�� �� ���� ���/ ��������� ���<��� %���� ��� 3����,� *����� ������+ �� ��� �������� �3�837 ������ ������ ������ %��� �� � �� ��� �� ����� �3�837 ������ !��1�� =� %���� ��� ���� "���� �3�837 �����+ �� ��,������ �2������� %��� ��������� �� "��� ��� ��� ���� %���� ��� 8�,����� ������ �� ��� �������� �3�837 ����� ��� ���8�,����� ��������� ������ � *�����+ � ���/ ����� �������� �� >��� 3� �� ���������� ��� ������ �� ���� ���/� ������� �� ���� �� ��������� %��� ���� ������� ���� ��� "�� ��� �� ���� ���/+ �� %��� �� ���� �� � ���,� ���

�� ��� �

�� �� ��� ������� �� ������

��� �� ��� �� ���� ���/ ���� %��� ���� ��������� ������ � ������ �� ���� �������� =�%�,��+ %� %��� ���� ��� %��� � � ������ ��� ������ ������ �� ?'������� ���@ 7����� ��� �������� �� "������ �� ���,������� �� ��� ���������� ���� �������,� ,���� �� ��2��� %��� ���������� ����� ��� � �� �,�����%�� �� %��� ���� ���� ������,�� �/��� �� %� %��� ��� �� �� ������ ��� ������������� ���� ����������

3 ����� �(�� �) �� �� �����0�� ���� ��� �� ��2��� ������� �� ��� ���2 �(� �)+%���� ��� �1��� ��2�� �� %���� A �� �������� � ��� ��������� (A� �A)� *�� ���/�� %���� �����+ �(� �) ������� ��� ��������� �� ���� �������� � ��� (� �) ��2��� �����������+ ���������� ������ ������ ������� �� ���� �(�� �� �� �� ��) ���� � ���� ����������+ ������ ������ �,��� "����+ �� ������������� �������� � ��+ ��� �������0�� � ������ ������� ������ �(� �� �� �� ���)� '������� ���� �� � �%�6 �������6�� ������� ������ ��� ��� � �� �� ��� �� � ���+ �� ����� 1����� �� ��� ���,�� �� ��������� � � ��������� �������

!% ����� � �� �� ����� ����� �� ���� ������� �� ������ �� ������ ���������� ��,��+ ����� �������� �� ������ �� ��� �% � � ���� ���

�(�� �)� . �(�(�� �))� (���)

%���� �( ) �� �������� ��� �� ��� �� ��,�� ,���� (����+ ���� ���������) �� ��%�� ��,�� ,����� ���� �� ����� �������� ������ ��� ���� �� ����������� ����2�� ������� �� ���� ������� �� ��� �� ��,�� ,��� �� ��� ��2��� ��� "��� ����� ���� ������ �������� ������ ����� ��������� ��� ������ � � �+ ��������������� ���������+ ������ �1���0���� �� ����,� �1���0�����

�� ��� ��� �� �����,� ����� �(�� �)+ %� ���/ ����� "���� �� ���� ���

��(�� �) . �(�� �) � B�(�� �) - �(�� �)C�

. �(�� �) � �(�� �) � �(�� �)� (��?)

%���� � ������� ��� ����� �������� �� ���,�������+ �� �(�� �) ������� ��� �������� ���,������� "���� ������� ��� � � �� ���������� ��� ����� �� ���� ����6����� �� ��� ����� ��� ������ ��� �� ���� ������ �,��,��%� ,����� ����� �����,������� "����� ��� �������� �����,� �����+ �������� ��% ���+ ��� ��� "�����+�� ����,� "������

? ���� �� ���������� �� ����� ���

��� ������� ����

3 �� ��� �2 ��� �� ����� � � �� ���%� �� *���� ���+ %���� ��� ���2 ,������

� .

������������

� ��� ?��

?�� � ���

� ��� ���

������������� (��D)

�� �� ��� ����/� �� *���� ��� �� /��%� � ��2��+ �� �� ��� ��� �� ���������� �(� �) ���������� ��� ,���� ��������� �� ���� ��� ���� �� ��� ����������2�� �� ��� ::' ���� �� ��� � ��� 3� 46��� (?�) . ?�E �� ��,�� � ��������?�E �� ��,��� �� ��� ������� ���%��� �6?��� *�� �2 ���+ �� *���� ��� ��� �� ���� ����������� �� ���/+ �� ������ �� ��,��� ���������� �� ���� ������� ����� ?��+��� �� ��,�� �� %����� �� ��� �� ���� �� ��� ��2�� �� ����������� �� ������ � ��?�� ���� %� �� ����� � � �� ����� �� ���� ���/ �� %���� ��2����

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

*���� ���9 � � ����������� �� D2D ���2 �� �� ��,�� ,���� ��� ��� ���%����6?��+ %���� ���/ �� 0���+ %���� ���� �� ?��+ �� ���� ����� �� �������� %���� ���� �� �����

���� ���� �� ����� D

=�% �� ����� ����������� �� ����� � �@ ���� �������+ ��� ���� ���������� ���+ ����+ �� ���� �� �� ���� ������� �� �,� �� ����� �� ��� ������� +� ���%� � ��� ��� �� *���� ��?� ���� �� �������� �� �� ����� �����+ %���� ������ ����� �� �� ������ ���� ��� ��������,� ���� � ���%� � ��� ����� ��������� *���� ��?�

!����� ���/��+ �� ����� ������ �� F������F �� �2����� ��������� �� ��� ������ �� ��2���� �� ��2�� �� �� ������ �� ����� ���������9 ���+ ������ ���� ��������� ��� �������� �� ������ �2����� ��� �������� %��� ��5�������������� �� ����� ������ ��� ������� �2������� �� � �� �2��� ��� ���� �� ��� ����� ��� ������ ��� ����� ���6����6���� (!G7) ������ � ��2�� ���� � �����,� �������� ��� !G7 ��������� �� �2����� %��� !G7 ����������� (���� �� �) %� �� ��� �������� ��� !G7 ,���� �� (���� ���� ���) %� �� ��+ �� ��� !G7 ,���� �� (�� ���� �D)������ ��� ������ ���� ������

����� �� �� ��� �� ��� �������� ����� ��������� *�� �2 ���+ ��**� � �������� �� ����� ������+ � ��� ��� �� ��� ! ���2 ������������ �� ������������ ,��� �� ��� ! ����� �� ��� ������������ ��2��H �� �� ����� ��� ��� G ��7 ������� ��� ��2��� �� ��?2��? �3�837 � � ��� ������� �� ����2 ,�������%���+ ��+ � �� EI+ %���� ��� ����2 ,��� �� ���� ��� �����"� ����� �� ���/������� 3� � �2 ���+ *���� ��D ������� ������� 0�� ,��% �� ��� FG��� ���G���F �������H ��� �� ��� �� ��� ��2�� ���������� �� ��% �� !G7 ,���� �� ������/�� ���� �� ��� ����� �� ��% �� ��� ���/�� ���� �������� �� ����� ��� ���� ��!G7 ��������� ,���� �� ��� ���� ������ �� ���� ���� �������6���� ����� �� ���+�� ��� ������ ��� !G7 ,���� �� ��% �D? �� (�+�+�)�

�� ��� ���������� �� ����� ����������

� �� �� ��5�� ��� �� ������ �� �,� ���� �������� =���+ ������� �� ��� ����,�� � � �(� �) �� ��"��� �

����� �� .� �(�(� �)�� �(�(� �)

� �(�(� �)�� �(�(� �)� (��I)

*�� �2 ���+ ��� ������ �� ��� ����� ������� �� ��� ���� ��� �� � � �� *���� ��I�,� ���� ������� �� ��� �� �� ������ �� ������� ����� ������� ��� �� ��� ��2����,� �� ��,�� ,��� ������� �,�� � �� ��� �� �� �� ������ �� ������� �������%����� ��� ������ ��� ������� �� ��2��� �,�� � �� �� ��,�� ��� �� �,������� ���� ��� ������ ����� ���%� �� *���� ��I� ��� ������ �������� �(�) ������������� �� ��� �� ��2��� �� ��� �� � � %���� �,� ��� �� ��,�� ,��� ��

�� ������ ���� � � %� ������ ��� �� �� F�������F ��� ������� �� ��� ��������� �� ��� ����� ������� �� ��� ��� �,� ����� ���� �������� ���� �� ������ �� �� ���� (�� ���������) � �� ���� �� �� ���� ,���� %��� �� ��2����� %���� ��� �� �� ���� ,����� :��,������+ �� ����� �� %��� ��� �� �� ����

I ���� �� ���������� �� ����� ���

*���� ��?9 :���� %����� �������� %��� ���� (���) ���� �� (����� ) �� ���������� ���� ��� �� ���� ������� ������ �� ������ ����� �� �����,�� (������� ���/�� ��� G��0��0 �� �����)�

���� ���� �� ����� �

137 138 135

129 133 135 13

140 142 141 1

133

132

R G B

0.0 1.0 0.2

COLORMAP MATRIX

139 132 135 134

*���� ��D9 (���) <�� ,��% �� FG��� ��� G���F ��2��� �������� ��% �� ��� �����/ �� ���� �� ����� �� ��% ������� ��� !G7 ��������� ,���� �� ��� ��������� �� ��� ��������

E ���� �� ���������� �� ����� ���

0 100 200 3000

2

4

6

8x 10

4 Histogram

Gray Values

Num

ber

of P

ixel

s

50

100

150

200

250

Histogram Equalized Io

100 200 300 400 500

100

200

300

400

5000

50

100

150

200

250Original Io

100 200 300 400 500

100

200

300

400

500

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

0 100 200 3000

1

2

3

4

5x 10

4 New Histogram

Gray Values

Num

ber

of P

ixel

s

Student Version of MATLAB

*���� ��I9 (���) �� � �� ������ �� ���� ������ �1���0����� (7���� ) 3���6����� ������ � �� ��,� � ���

���� ���� �� ����� J

,���� ��� $��� ��% ��2��� ���� ���� ��� ������ �� �� ������� �� ��� � ��������

���� ������+ ���� ���� �� ����������� ��

�� . �(�)� (���)

%���� �� �� ��� ��% �� ��,�� �� �() ���������� ��� ���� ��������� ���� �� ����� ����� ������� ������ "2�� �� ��,�� ,���+ �� ��+ �� ������� �� ���� ��� � ���% �� ��,�� ,��� ��� ����������� �� ��2�� �������� ��� �� �� �� "�� ������� ���,���� ��� ��� ������ ������� �� �� ���� ,���� �� ��� ������ ���� (������� ��� ������ ���� �� *���� ��I)� >�,��� ������ ����,� ���� ��+ ����������� ����� �� ������ �1���0���� ������ ��������� ����%�

����� ����� ��� �������

��� �� ����� ���� �������� �� �����%��� ����� �������� �(�) ���� ��� �,�� �������� ��� �� �� ��,�� ,���� %� �,� ��� ����

�� . �� - �� ��� �� � � � �� -A�� (��E)

%���� � �� ��� ����� �� ��� ��� �� � �� ���%��� �� �� �� - A�� �� ���� ��%��2��� �� ��� � � �,� �� ��,��� ���%��� �� �� �� -A� ���� ��� ����� � �������� �������� � � �� ,���H ���� ��� ��� ��� ������ ��� A� %��� �� �� ��������� � ���� ��� A�� � A�� :��,������+ ��� �� ��� �� ��2��� %����� � ����� A� ������ �� ��������� ���� ���� ��� A�� ���� ��� A�� A�� �� ������� ��� ,��� �� ��� ����� � ������ �� ���+ � ���������� �� *���� ����

����� �������� ��� �������

8���� �1���0���� �����,�������� �� ��� ���� �����,������ �� ������ ��� ��� ������� �� ����� �� ��� ���� ��������� 3 ��� ���,������ �� ��� ��� ����6���,� �� ������ �1���0����� �� ���� ���+ ��� ���� �������� �� �,�� �� ����� ����,� �� �� �� ��,�� ,����9

� .��

����

�(��)� (��J)

%���� � �� ��� ��% �� ��,�� �� �(��) �� ��� ������ �������� �� ��� ������� �� ��� F'�/ =����� F ���� �� *���� ��E ���%� ��� � �� ��� �� �� ����,���� (������� �� �%�6����� ����0���� ���%� �� ������ ����) �� �� ���� �� ����� ����,� �� �������� �� %��� ��� �� �� ��,�� ,���� (������� �� ��� ,�������%�6����� ���%� �� :� ����,� >� ����)� >���� �� ����,� �� ������ ������������ ���� ��� ��������� ��� �� ��,�� ��� %���� � �� ������ ���������� ��

4 ���� �� ���������� �� ����� ���

0 255g

g’

0 255

n(g)

g

0 255

n(g)

g

Piecewise Linear Mapping (g’=mg+b)

Low Contrast Dark Histogram

Stretched mapping

Compressed mapping

Linear Equalized Histogram

*���� ���9 (���) ���� ������� ������ + %���� �(�) �� ��� �� ��� �� ��2��� %��� �� ,��� �� �� ( �����) ����� �� �� ���� ��,��� �� �����%��� ����� �1���06���� �� . �� - �� G�� ��,�� ���� %��� ��% ������� �� ��2��� (����+ ��� �� ��� ����2���K��� �� �� ,����) ������ �� �� ������� (� � �) �� � ���� ���+ %��������� %��� ��� ������� ������ �� ��������� (� �) �� %���� ���� (����� )8���� �1���0�� ������ �

���� ������ �� �� ����� �

�� ��������� ���� ������ ��� ���,������ ����� ���� ������ ��� ����,�� ��������� ������������ �� �� ��,�� ,�����

3� � �2 ��� �� ������ �1���0����+ ��� ����� ���� ���� �� *���� ��I ���%���� ������ �1���0�� �� � �+ ����% %���� �� ��� �������� ������ � ���� ������ �� ,��� ������������ �� ��� ������ �� ���� �� ��� �� ��� ������ �� � �+�� ��� ����� �� ����� ������� �� ��� � �� =�%�,��+ ��� ������ �� ��������������� �� �������� �� ��������� �� ��� � � ��� �� ��� ������� �� ��������

����� �������� �������� ��� �������

��� ������ ������ �1���0���� �� �������� �� ���� (����) �� ������ F���� ��� �� %��� ������ ������ �� ��/ ������� G��� 1����� ������� �� ����� �������� ������ �1���0����F� �� �� ��� ���� ������ + ��"�� � �� %����% ������������ ��� ����� ����� �� ��� � �+ �� ��� ������ �1���0���� �� "�� �����2���� ������ �� ,���� ���� F����F %����% �� �,�� �� ��� ����� �� ��� � �+�� ��� ������ ,���� ������ �� ��� ������� ���������� �� ��� ���� %����%� 3 "������� ���� ������ �� ���� ���������� �� ��� � � �� /��%� � � ����,� "����� =�%�� ������ ��� �,�� %����% ��@ ���� �� ������

��� ��� ���������� �� ������ ������� ����

����

�� ��� �����,� ����� ���� �� �1����� ��?+ ���� (�� ����� ��� �� ������) �� ��6������ �� �����,� ����� (�� ����� ��� �� ������� �� �������� ��� ����)� 3��2 ��� �� ���%� �� *���� ��J+ %���� ��� ���� ����� � � �� ��J� �� ���� ����� *���� ��J �� � � �� �,� ��� ����� � � �� *���� ��J��

�� �������� ���� �����,� �����+ %� ������0� ��� ��� ����� &������� ������ �,�� � �� ���� (��,��� ��2���) �� ���� �� ��� ���%�� ,���� ����� (��� ��� 0�� ,��% �� *���� ��4)� ����+ ,���� ��������� ,���� �,�� � �� %����% ��������� ��� ��2�� ��� �������� ��� ������ ,���� ����� %���� ������,�� ��� ���%��,���� ������ ���� ���� �� ,���� �� /��%� � �,�� ,��� (�3) "������+%���� "������ �� ��"��� � �� ��� ���� �������� ��� ����� ��� ��������� ��� � ��

��� �3 "������ ������� �� ���������� �� *���� ��� %���� ����������� �� ,�����,�� D2D %����% �� ��� ���� ��� ��� �� ������� ��� ��% ����������� ���%� �� ������� ���� 3���� "������+ ��� �2������� �� ���� �� ��2��+ ���� � ��� ������� ��� �4+ �� ������� %��� � ���� �� ���� ��� ,�� ��� � ������� ��� D2D,���� %����% �� F �,��F �,�� ��� ��2�� ����� ��� ���� ��� ��� �� �� �������"���� %��� �� ����� 3������ D2D �3 "���� �� ��� ����� �� � � �,�� ��� �������������� ���%� �� *���� ��J��

�� ���� �� ���������� �� ����� ���

0 50 100 150 200 2500

5

10

15

20

25

30

Cou

ntDark Histogram

0 50 100 150 200 2500

50

100

150

200

250

300

Cum

. Sum

.

Dark CSF

0 50 100 150 200 2500

5

10

15

20

25

30

Cou

nt

Bright Histogram

Gray Level Value 0 50 100 150 200 250

0

50

100

150

200

250

300

Cum

. Sum

.

Bright CSF

Gray Level Value

Many Pixels Bunched over Small Range

Stretched Range

Student Version of MATLAB0 50 100 150 200 2500

5

10

15

20

25

30

Cou

nt

Low Contrast Histogram

0 50 100 150 200 2500

50

100

150

200

250

300

Cum

. Sum

.

Low Contrast CSF

0 50 100 150 200 2500

5

10

15

20

25

30

Gray Level Value

Cou

nt

High Contrast Histogram

0 50 100 150 200 2500

50

100

150

200

250

300

Gray Level Value

Cum

. Sum

.

High Contrast CSF

Student Version of MATLAB

*���� ��E9 =����� � �� �� ����,� �� ��������� ��� ��5����� ����� �� � ���

���� ������ �� �� ����� ��

Ioa).

100 200 300 400 500

100

200

300

400

500

Noiseb).

100 200 300 400 500

100

200

300

400

500

Io + Noisec).

100 200 300 400 500

100

200

300

400

500

d). (Io + Noise) * f

100 200 300 400 500

100

200

300

400

500

Student Version of MATLAB

*���� ��J9 ()� #�����+ (�)� ����� �� (�)� "������ ,������� �� ��� ��� �3 "������0� %� D2D+ ����� ����� �� � ���� ��� ���� &��������� �� ����� �� ����� ����������� �� ��� � ������ ,���� ����� �� ���

50 100 150 200

Io

10 20 30 40 50

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

100 150 200 250 300 350 400

Io + Noise

10 20 30 40 50

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Student Version of MATLAB

*���� ��49 <�� ,��% �� (����) ������ �� (����) ����� �� � ���

�? ���� �� ���������� �� ����� ���

MA Filter

1 2 2

2 1 1

2 7 1 2

1 1 1

9

3 6

3 5 3

1 18 1

2 1 1 1 2 2

2 1 13 3

3

2 1 1 2 1 1 1

7 2 2 4 5 4 3 4 2 22 1

2 1

1 31 3 5 13 5 12 2 3

2 1 1 2 3 2 16 4

2 2 3 2 17

5 8

3 3 3 3 2

2 1 1 2 1 1 7 7

IO FILTERED IO

*���� ���9 ��,�� ,��� "���� ������ �� ��� �� ��2��� ��� ��� �� � ��

���� ������+ ��� ������ �� ��� �3 "���� � ��� (� �) ��2�� �� ����������� �

��(� �) . B�(� �� � - �) - �(� � - �) - �(- �� � - �)C�D

- B�(� �� �) - �(� �) - �(- �� �)C�D

- B�(� �� � � �) - �(� � � �) - �(- �� � � �)C�D� (��4)

%���� ��(� �) �� ��� F"������F �� � � �� ��� ,���� F �,��F �,�� �� ����2,���� (� �) �� ��� ������ � �� ��� ������ ��2�� � ��������� (� �) �� ������� ���� ��,�� ��2���

�� ��� "���� ��������� �� ����������� � ���2

B� C .

������������

��D ��D ��D

��D ��D ��D

��D ��D ��D

������������� (���)

%���� ��� �(�� �) ��� �� ��� ����� ,��� �� ��� ��,� ���2+ ���� �1����� ��4 ���� �2������� �

��(� �) . �(����)�(� �� � - �) - �(����)�(� � - �) - �(�����)�(- �� � - �)- �(�� �)�(� �� �) - �(�� �)�(� �) - �(��� �)�(- �� �)- �(�� �)�(� �� � � �) - �(�� �)�(� � � �) - �(��� �)�(- �� � � �)�

(����)

���� ������ �� �� ����� �D

3 ��� �� ��� ��� �� �,�� ��

��(� �) .���

����(�� � �)�(� �� � � � �)� (����)

%���� ��� �� ���� �� �,�� ��� ������� �� ���60��� "���� ��������� �(� �)� 1����� ���� ��"��� ��� ��� ���� �������� �� ���,�������+ �� ����0�� ��

�� . � � �� ��� ���� ��� ������������� �� ���,������� �� �,�� �

������

� �

� ������ � ����� �� � ���

� �

������

%���� ��� � �� /��%� � ��� ����� �� ��� "���� � �� �� �� /��%� � ��� ���������� "���� ��������� �� ��������+ �� ���,������� �� ����� ������� ���

��$��� ��� �����%�� �������� ����������9

� � (�- ��) . � � �- � � �� (��� � !"��"�����)� (���?)

� � B���� � �C . ���� � � � � ( � ���)� (���D)

:��,������� �� ��� �� ����,�+ ����+

��(� �) .���

����(�� � �)�(� �� � � � �) (���� � � �)�

(���I)

.���

����(� �� � � � �)�(�� � �) (���� � � �)� (����)

%���� �� ����� �� ���,�� �� ������������ �� ,������ (�F.�6�� �� $F.$6$�) �����1����� ���I�

��������� 0 (����1*������ (�������� ����� �� �%� ������ �������������� �����,�������9 ������� ��� ������� �� ���26,����� �������� ��� ���,������� ���%� �6' ����� �� �,�� �

��(�) .���

�(��)�(�� ��)� (���E)

!���"��� L�(�� ��) . �(� � ��)+ �1����� ��?� ���� �� ��(�) .�

�� �(��) L�(�� ��)�7� ��"������+ ���� �� ���26,����� ������������+ %���� ��� ��� �����6����� �����

�I ���� �� ���������� �� ����� ���

� . (�(�)� �(�)� �(?))� �� ��� �����6����� "���� � . (�(�)� �(�)� �(?))� ����� �

������������

�(�)�

�(�)�

�(?)�

������������.

���������������������

�(�) � �

�(�) �(�) �

�(?) �(�) �(�)

� �(?) �(�)

� � �(?)

���������������������

������������

�(�)

�(�)

�(?)

������������� (���J)

�� %��� ��% ��������� ��� ��,� ���26,����� ������������ � �� ������� �����������+ �#���� �� ��� "���!��� 7� ��"������+

B�(1)C .

���������������������

�(�?)

�(��)

�(�)

�(�)

�(?)

���������������������

� (���4)

�� ��� ��� ��&����� ,������ ��

B�(�1)C .

���������������������

�(?)

�(�)

�(�)

�(��)

�(�?)

���������������������

� (����)

�� ��% ��� �+ ��� ��&����� ,����� ����� � B�(�1)C . (�(?)� �(�)� �(�)� �(��)� �(�?))� +��� ��� ��� �%� ������� �� �2������� ������ �� ��� ���� �2 ��� �� ��� ��� ,������ 0��� �2���� ��� �(?)� �(�) �� �(�))� ����+ ��� ��% �� ��� ���2 �� �1����� ���?������� ��������� �� �#���� ,������ �� �(1) . (�(�)� �(�)� �(?))� � 3�� "����+��� �# ������ �()� �� ��� "���!�� �� ��� ��� ��% (�������� ��� ��&����� �(�1),����� ������� �� �����) %��� ��� D�� "���� � � ���������+ ���,������� �� ��� ��������� �������6��&����� ,������� �� � %��� � � ��� �(�)� ������ �� 0���6� ��� ������� ��

���� ������ �� �� ����� ��

�(�1) %��� �(1)H ��� �(�)� ������ �� ���6� ��� ������� �� �(�1) %��� �(1)+ ���� ���

3�������,���+ ��� �� ����,� �������� �� �1������ ���I6���� ��� ��� ���,�6������ �� ��� �� ����������� � ��� ������� �� �������6��&����� ,������� �� � %����+ ����+

������������

�(�)�

�(�)�

�(?)�

������������.

���������������������

�(�) � �

�(�) �(�) �

�(?) �(�) �(�)

� �(?) �(�)

� � �(?)

���������������������

������������

�(�)

�(�)

�(?)

������������� (��?�)

��%+ ��� �()� ������ �� ��� ���6� ��� ������� �� �(��) %��� �(�)���� ���,�������� "���� �( � �) �� ����� ��,����+ ����+ ��� ,��� �� ��� "����

�������� �� ��� ���,�������� �1����� �()� .�

�� �(� �)�(�) ������� �� ��� �������5������ � �+ ��� �� ��� ������� ,���� �� �� �� 1��,������+ ��� ��%� ����� ���2 �� �1����� ��?� �� ������� ������� �� ��� ������� >� ��� ���/��+���� ��� ��� ��� ��� ��������� �� ��� �3 "���� �� ��� ���� � %� �������� "���� %����% ����� ��� � �� �� ��� ����2 �� ��� ������� ���� ���� �+ ���� %� �� ��� �� �� ��� ��� "���� �� �� � ��,����� �� ���� ������+ %�%��� ��� ��� ����� ��,����� %��� ��� �� ��� ������ �� �������� ��������� �����,����� ���� ������ ���� *�� *������ ������� � ������ �� ��1����� $(%�)������ ��������� �� ��,��� ��� ��,� ����� �� �1������ (%���� % �� ��� �� ����� ��/��%��+ �� %��� ���� ��1���� $(%����%) ������ ���������� ���� ��� %��� �,���� ������ ����"����

����� ��� ���� �� ��

��� D2D �3 "���� ���� �� ������� *���� ��J� ��� ����� ��� ������ ,���� ���������� �� � �2 ��� �� ��% ��� "���� ��� ����� ��� ��% ���1����� �� ������� ����� � � %���� ���������� ��� ��� ���1����� ���� 3 ��� ������� ����������� ����% �� ����� �5����,� ��% ��� "����� %��� �� ��������� �� ��� ������ ��� �� �������/�

����� ���� ���� �� ��

>� ��� �� ��� ������ ,���� ��� �� ��� � � �� ���������� ���� %���� ��� ���%��,���� ��� �� ������ ���� %� ����� ��� ��� "���� ��� ��������� ���� ��� ������1������� �� ���������� ��% ���1��������

�E ���� �� ���������� �� ����� ���

������ ��� ��� "����� ��������� ����2� ����� �� ����,��,��� *�� �2 ���+ ���"���6����� ����,��,� �� ��� ��������� �� �� ����2� ��� �� ������ ��/%���"����6��5������ ��������

&�(� �)�& � B�(� �)� �(-A� �)C�A� (��?�)

�� ���%�� "����6��5������ ��������

&�(� �)�& � B�(-A� �)� �(� �)C�A� (��??)

%���� A �� ��� ��� ������

����� ����,��,� ����2� ����� �� �� ������ �� ��� ��� ����� �� � � ��� ������� �������� � �+ ���� �� ��� ���1�������� ���� ������+ ���� �� ��� ��� ����� %��� ��� ���,�������� �1����� ���� %���� ��� ��/%�� ��5�������"���� �� ��� �# ��������� �� �,�� �

�(�� �) . ��AH �(�� �) . ���A���#����� �(� �) . �� (��?D)

�� ��� ���%�� ��5������� "���� �� �,�� �

�(�� �) . ���AH �(��� �) . ��A�

��#����� �(� �) . �� (��?I)

3 ��/%��� ��5������� �2 ��� ��� �6' ����� ���� �� �,�� �� ���26,������������ �

������������

�(�)�

�(�)�

�(?)�

������������.

����������������

� � �

�� � �

� �� �

� � ��

����������������

������������

�(�)

�(�)

�(?)

������������� (��?�)

%���� A . �� :��������� ��� ��/%�� �� ���%�� ��5������� �������� ��6����� (����+ B&�&C��B&�&C��� �(� �)) �,�� "����6��5������ ����2� ���� �� ���?��6����� ����,��,�9

B�(1)C� . B�(��) �(�) �(�)C . B�� ? � �C� (��?E)

�� ��� �6' ����� �� �� ������� B�(1)C� � B�(�) �(�) �(?) ���C . B� � ����C+ ����� �� . �+ �2���� � ��� ������� �� ��� ������ �� ��� ������� ����� �%� ����"������ /��%� � ��� �5���� �� ��� "���� �� �� ����� �� �������

���� ������ �� �� ����� �J

����� ���� ����� �� �����

3 �� ��� ���� �� ������ "������ �� ��� ����� "������ %���� ��� ������ � � ����������� ��� %�/�� ,������ �� ��� ��%��� � �9

'�#" �� . ( �$��� �� ���" ��� (��?J)

%���� ( �� � ���"����� ������ *�� ( . �+%� �� ��� ������ ������ �������*�� ( �+ %� �� ������ ������+ ��� ��� ��/����� ��%��� ����� ���� ������� �� ��� ������� ��� ������ �� ��� ��� ��� ���1����� � � ���/� ��� ��/� ��������� � �� ��� ��0���� ������ �� ������ �� ��� "���� �� ��� ��� �� �� ������ ���� �� ��� "���� ��� �� ��� (���� ��� ��� �� ��� "���� �� ������ �� � ��������� �� ��� � � ��� ������ ,��� � ��� ������ ��2�� %��� �� ��� � � � ��� ������� ���� ,��� � ��� ��2��)� ���� ���� �� "������ �� ��� �������� �� � ������ �/�� (����+ ����)+ �� � �� �2 ��� �� ���%� �� *���� �����

High Boost: (Noisy Io)*f − .15(Noisy Io)

10 20 30 40 50

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

(Io + Noise) * f

10 20 30 40 50

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Student Version of MATLAB

*���� ����9 <�� ,��%� �� ����� �� ����� (����) ���� ��%��� "������ �� (����)���� ��� ����� "������� ��� �2�� ��� ���1����� ����� �� ��� ��� ����� � ������ �� �� ��������� ��������

���� "���� �� �� � ��� ����� %��� ��� ����� �������� "���� ����9

� �

������������

�� �� ��

�� � ��

�� �� ��

������������� (��?4)

%���� � . �(� ��

�4 ���� �� ���������� �� ����� ���

3� �2 ��� �� ��� ����� "���� ��� ������� ���� ��� ��� � ��������� ���,�� �� ��� �����%�� >���� "����9

������� �

������������

�� �? ��

� � �

� ? �

������������(��?�)

.

������������

�� �? ��

� � �

� ? �

������������-

������������

� � �

� � �

� � �

������������� (��D�)

=��� %� ��� ��� ��� >���� "���� ����2� ��� �� �� ���6����� ����,��,�� ���������

��%� ��������� ������ -A �� �A+ �� �������� ���� ��� ��� ������ ��� ��������� � �� �� ����� �� � ��� �� ���� ������� ������ �� ��� � ������������� ��� >���� "���� %��� ������ ��� ,���+ ��� �� � . ��

�� ������ ���� ������ �� ��� �>6��������� ���� ��� �������� �� ��� ��,� ���2�������� . (������� ) %��� ��,�� ����� ����� ��� >���� "���� �������,� �� ���� ��������� ��� � �� 2 ���������� �� �,�� ��

��������� . �������� - ������� � (��D�)

3� �2 ��� ������ �� 0�� ,��% �� ��� �� ����� �� �,�� �� *���� ����+ %������% ��� ������ ���� ��� ����� ����� �� ��,���� �� >���� "���� %��� ��� �����"�������

��� !���

3� � � �� �� ����������� � ������ ������� �������� �(�� �� �� �� ���) %��� ����� ��� ,������� ��� �����0�� ,������ �� ���� � � �� ������ ������� ���2�(� �� �� �� ���) %��� ������ �������� ��� ,���� �� ���� �������� �� �� �� � �������� ���� ���� � �� ��,�� ��������� ,���� �� �����+ ����� "��� ,����+ ����3 ����� � � ����� ��5��� ��� ���� �������+ %���� �� �� �� ����� �� ���������������� ����� ���� � ������ �� ����� �1���0����� ���� �� /��%� � ������������ ������ �� ��,�� ,���� �� �� ���� �� ��% ,���� ����������� �� %������� ��2�� �� �������

=����� �1���0���� �� �������� �� ���� (����) �� ������ F���� �� � ��%��� ������ ������ �� ��/ ������� G��� 1����� ������� �� ����� ������ �������� �1���0����F� �� �� ��� ���� ������ %� ��� ����,� ������ �1��6�0���� %���� ��� ������ %����% ��0� �� ���� ��� � � � � �� ���� �� ���������

���� ���� � ��

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Io

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50 −300

−250

−200

−150

−100

−50

0 Io Sobel High Boost; w = 0

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

−100

−50

0

50

100

150

Io Sobel High Boost; w = 0.81

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50 −50

0

50

100

150

200

Io Sobel High Boost; w = 1.62

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

Student Version of MATLAB

*���� ����9 <�� ,��%� �� �� ����� ���� >���� "������ �����%�� �� ��� �����"������� ���� ��� ��% ��� ������ ������ ��� ����� ��,���� �� >���� ��� �����"�������

?� ���� �� ���������� �� ����� ���

�� �������� �����,� �����+ %� � ���� ����� ���,�������� "����+ ������ ����� ��� �,�� ,��� "����� 3 "���� �� �� ��� ���� �������� ��� ����� �� �� �� ��� "���� %����� �� ����� ��� � � ������� ���� �(� �) �� ��% ���"����H �� ��� "���� %����� ,�� �� ��� ���� ���� �� ������ ��� ��� "����� �������� �������������+ ��� ����� "���� ������ ���� ��% �� ��� ��� ������� ����� � � ��������

�� ��� �

��� �� �� �������

3 ����� ���������� ���� �� �� ����������� �� ��� ����6,���� �������� �( � �� �� �� ���)+%���� � �� �� �� ���� �� ���������� ,������� �� %��� ��% �� ����&� ��������� %����6' �� � ����� ����������� �� �(�)+ ������ ��� �� � �� ������ �� �� ������� �������� ���� �� �� ������ ���� � ����+ ���1�����+ �� �������+ ����� >� � �2 ������ �6' �� � ����� ������� ���� �� ��������� ��� � ����1�/�+ �������6����� (��) ���������+ �� ����� ��������� ��� (G�!) ��� �� ��� �� � ,������� ���������� ,����� ���� �(�) �� ���������� ����� �� ��� �� � ,����� �� �������� ,����� ���� �(�) �� �������� ����� ��������� ��� ����� �� � ���������� �� �� �� � %��� � ���� �����,� �� �� + �� ��� �1��� ���/�� ��������B�C . �(���) �� ���� �� ��������� ������ � ���� �� ��� ���������� ���� �(�)�=��� � ������ �� ��� ��� �� ��������

3 �������� ���� �� �� ��� ������ ����������� %��� ��� �� �� ��� M�����/������ �������� ÆB� �C ��"��� �

ÆB� �C .

�����

� � . �

� ��#�����

��� � (?��)

��������� ��� �������� ���� �B�C �� �,�� ��

�B�C .��

����

�BCÆB � �C� (?�?)

�� �� ,����� �������

1 . B�B�C �B?C��� �B% CC� � (?�D)

%���� % �� ��� �� ��� �� �� ������ �� ��� ���� �� ��� ����������� ) �������������������

���� ��� ��� ������� �� � ���� ���������� ���� �� ������� ��� ��������� ��� ���� � ���%� �� *���� ?��� ��� ������ �� ��� ������������ � ���� ������ E �+ �� ���� ������ �� ������ ������,�� %��� � ���� �����,�� �� �� . �� � ��

?�

?? ���� �� ������ �� �������

0 5 10 15−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Continuous Sampling

Time (s)

a).a).

0 5 10 15−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Sampling Interval dt =.5 s

Time (s)

b).

Student Version of MATLAB

0 5 10 15−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Sampling Interval dt = 4 s

Time (s)

c).c).c).c).c).c).

0 5 10 15−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Sampling Interval dt = 4 s

d).

Time (s)

Student Version of MATLAB

*���� ?��9 )� :����� ���� %��� ������ �� E � �� ��� �������� ��������������� � ���� �����,�� �� �)� �� �+ �)� ? � �� �)� I� �� �� ��� � ���� �����,� ����� ����� (�� � D�)+ ��� �������� ���� �� � ��� �� ��� ��� ���1����� ���� �1������ � ��% ���1����� �����

���� ������ ���� �� ?D

�� . ?�� �� =�%�,��+ ��� �������� ���� %��� �� . I � �� *���� ?��� �� ���� ��������� ������� �� ��� ������ ����+ �� �������� �� ����� � ��%�� ���1��������� %��� ������ �� ���� �?+ ����� ��� E �� �� ����� %���� ��� � ���� ��� ��� � ���KI �� � ����� %� ��� ���% �� ������ ��� ������ ,���� ���� �� ��� ���������� �������� ���� �1������ � ��%�� ���1����� ����+ ��� �� ��� ���� %����� ���1����� + �� 3 �� ������� ��������

��� �2�������� �B�C . ����������� �� �� ������� � ��1����� �� ,������ �� ����� ���2 ���� ��� � . �� �� ?� D� ���?� �� ��� �� ���2 ���� ��� �� � � ��� ���� ���2 �� �� �� �,�� � ��� ,����� �� ������� �B�C . (�� �(�B�C)� � �(�B�C)) .(���(*�)� ��(*�)) %���� ��� "��� �� ������ �� ������� �� ������� ��� ��� ����� � ���� 2��+ ��������,���� ���� ��� �� %� %��� �� ��� �,�� �� ��� ,������B�C ���� %� %���� ��� ������� ���% ������ ���� ��� ����� %��� ����������� ����� �� ������ �� ��� ��� ���� ����� �� �� ����� ���� �� �/�� ��� ������ �� ��� ����,��,� �� ,����� �(�) %��� ������� �� � �� �� F(*F� '�,���������� �� 3 �,�� ��� ���� ��� �� ������� � *+ �� ��� ���� ���1����� ������� �� �����K���� 8��� ,���� �� * ���������� �� ����� ������� ���%��

�� ������ "�����

3� %�� � ���� ���1����� ���� ��� ���� ���� � �����@ ��� �����%�� ������ ��%��� ���� 1��������

�� ���� ����� 2 8�� �(�) �� ����� ���� ���� ���� ��� ���� �� ��� 2�6 � ���1����� ����� �� ��� ��� �� �� ��� �(�) �� �������� � ���� (� ��� � 6���� �����,� ��) �� ����� �� ��� ��� �%� � ���� ��� ��� � ������9 ?�� � )���+�� ���� . ?�)��� � ���� . ���������� ���� ��� ��� ��������� �� ��� ��� � �������� ��� 2� � ���1����� ��)��� . ����� G�,�� ����� � ���� �B�C %� �� �������������������� ��� ������ ���������� ����� �� ����� %���� ��� � ���� ������ �������� �� ��� ��� � ���� ��� ���� (����+ ��� � ���� ���1�����) ������ �� �������� �K? ��� 2� � ���1����� �� ��� ����� �� ��"�� �������� . ��(?��) � �����1���� ���1����� H �� ����� �� ����� %� �,� *������� . +���� 3������ %� ������� ��� > ���� ������ �� ��� ��� ������ ���1����� �� ��� �� ������ �� ������� ��� ��1���� ���1������

�� �� ��� ��,���� ��� %� �� ��������� ����������� ��� ���������� ���� ��� ���� ����+ ��� �� �� �������� ��� ��� %���6� ���� ���� %� �� ���� � ��� �������� ��� ������ ���� ��� �B�C� �� *���� ?��� ��� ������ �� ������,�� ������ ���� ��� ��� ���� %� ���� ��� �K? ��� ������ �� ��� ������� �� ��� � ��� ��� %��2���� � �K? ��� ������ �� ��� ������ (����+ �� . +) ���� ��� � ���� ���� %�����,� �� ,������ � ��� ��� ��+ �� %���� ���� �� �,� ��%�� ���1����� ��� ��������� �����

?I ���� �� ������ �� �������

� �����

3 ����� �� ��"��� �� �� �� ������� ��� ����� � ����� ���� �(�) �� ������� ������� ������ ���� �(�)� *�� �2 ���+ ��� ����� � � �� ���� �� ��� ���� ����� N���� �� �������� ��� ���� ����� ������ ��� ���������� �� O������+ %������������ ��� ���� �(�) �� ����� �(�) . �(�)-�(�)� ��������� ��� ���������� �� O�������� �� ���������� � ����� ��� ����� ��� ������ ���� �� ���� ����� ����� ����� � �� 3������ �2 ��� �� ��� ����� �� ���� � �������� � ������ �� ��������� ������+ �� ��� ������ ���� �� ��� �������� ���� �������� �(�)�

���� ������ ��� ����� �� ����������� � � ������� 'BC ��� �� ������ ����� ����� �� ����� ��� ������+ ����+ �(�) . 'B�(�)C� ���� ������ %� �� ��� ���������� 'BC �� ��� ���� �� �����6,���� ���������� ��������� �� ��� ���� �������6,���� ���������� ���������� 3������ %� �� ����������� ���� ����� �� ����� �����K������ �������9

�B�C��'�� �B�C (?�I)

*�� �������� ���� ��� ������� 'B C �� � �6�� ������� ,����� ���� (%������� %�� ,����� �B�C �2����) �� � �6�� ������� ,����� ���� (%���� ��� ,�� ,������B�C �2����)�

�� ���������� �# �����

�� %��� �� ��������� %��� J ���������� �� ����� � 9 8�������+ �� � ��,�����+>�������+ :������+ ��,�����+ >������� �� ��,�����������

�3 ������2 '(��) . �'(�)+ %���� � �� � ������� ���� �� � �� � ����� �����>���� ��� ��� �� ��� ����� ��� ����� ���� �� ��� ����������,� ����� � ������� ������ ���� %��� �� � �� �� ������� �� ��� ������ ���� �2�����,� ���� ������� %��� ������ ��� ������� �� ��� �������� ���� �� �� >���� ��,������ ������� %��/ %��� ���6����� �5���� �� � ���� ���� *�� �2 ���+ �� ��� ������� �����2�����,� ������ �� ����� �� ��� ������ ���� ��� %��� ��� ��� ��� � � ��������� ���� �� ������� ������ ���� ��� ���� %��� ����� ��� �� ��� ��������,���0�� ��� ���/ ������ �� $��� ��/�� ��� ���/�

�1� ��� �2 ������ �������� ����������� ,� �1������� ���� �� ���� ���� ������3

������� ������

� � � �

� ������ � ��� � ������� ������ � ������������

��� � � � � ���� �� �����

�������� ����

���� �� ���� �� ������� ?�

������

� �

������ � �

� � � �

�� ������ � ��� � ������� ������ � ������������

���� � � � � ���� �� ����

������� � � �� ������ � ������

� �

�����

�3 /���������2 '(��-��) . '(��)-'(��)+ %���� �� �� �� �� �%� ����� �������� ��� �� �%� ������ ���� �� �2���� ����+ ��� %��� � ����� ���� �� ���� ����� �� �� ��� ��� �� ��� ����� %��� ? ��� �� ��� ���+ ���� �� ��� �%� ������������� '(��) -'(��) . �� - �� �,�� ��� � � �������� � ��� �2���� ��� %��� D��� �� ��� ��� '(�� - ��) . ����1� ��� �2 /��������� �������� ����������� ,� �1������� ���� �� ���� �*��� ������3

������� ������

� � � �

� ������ � ��� � ������� ������ � ������������

��� � � � � ���� �� �����

�������� ����

�����

������

� �

������ � �

� � � �

�� ������ � ��� � �������� � ������������

���� � � � � ���� �� ����� ��

������� � � ������� � ������

� �

�����

�3 ������������2 '(�

� ���) .�

� �'(��)+ %���� �� �����1����� �� ��� ������� �����,��� �����������

?E ���� �� ������ �� �������

��� ��� ����� ��� �� �������� ����� ����� �� ����������� �� ���26,����� ������������+ ����+

�BC .�����

#���B�C� (?��)

�� �� ��� �� ��� ������� � . +1 ��

���� �� ����������������������

��

��

��

���������������������

.

������� ������� �������� �� ����������������������

#�� #�� ��� #��

#�� #�� ��� #��

� � ��� �

� � ��� �

#�� #�� ��� #��

���������������������

���� �� ����������������������

��

��

��

���������������������

� (?�E)

�� ��� ����� ���� �� � � ����� ��� ������ �� ���� � �� � / ���� �� . ÆB� � �C ��� �2������ ,����� ������� ��� � ����� ���/� ��/�9

��������������������������

��

��

��

��������������������������

.

��������������������������

��������������������������

� (?�J)

���� �� ���� �� ������� ?J

����� �1����� ?�J ���� ?�E ������9

������������������������������

��� ��� ���

��� ����� ��� ������ ��� ���

��� ��� ��� ��� ��� ���

� � ��� ��� ��� �

� � ��� � ��� �

� � ��� � ��� �

� � ��� � ��� �

��� ��� ��� ��� ��� ���

������������������������������

� ��� ����� �� ��� �� �����������������������������

����������������������������

��� ����� ���� �� �����������������������������

���

���

���

����������������������������

� �����

��������� ��� ��# ���� � ,����� �� ��� �2� ���2 + �� ��� � ����� �������� ����� ����� ��� � � �����,� ����� �� . ÆB�� �C�

�3 �� � �� ���� 4�������3 3 ����� �� �� � ��,���� �� /6������� ����� ������ ��� ������ ������+ �2���� ������� �� / ������ 3� � �2 ���+ ��� �� � ��,������������� �� ���������� �� � �2�����,� � �����,� ����� �� ���� �� ������+ %������� ������ ���� �� �� ��������� �� ��� "��� ���� � �� ��� ����� ���2+ ����%�

+ .

����������������

� � � �

- � � �

� - � �

� � - �

����������������(?��)

�� ��� ����� %��� ������ �� ��� ���� ���� ��� ������ %���� �� ��� ?�� ���� � ��+ ��,�+ %���� �� �6� ��� ������� ,������ �� ��� "��� ���� �� ���� ��� �������������������� �� ��� ������� �� #��+ �� �� ��� �����,�� �������� � �� � �� ��� ��������� � ��� ���� �� � ��

�� � ��,����� � ����� ��� ��� ��� ���� ��� �� �������� �� �1�� �� ���������+ � ���������� �� ��� ��,� ���2� ��������� ��� ��� ��� ,���� ���� �������� ��� �������� �������H ���� ��� ��� ��� ,���� #�� �� �� ������� � ���� + ����+��� ���2 ��� ���� �� � 8�� ����� �� �� ����������� �

#(� �) � #(� �)� (?���)

�� ��� � �� ���� �� �2���� ��� �� � ��,����� ��� ��� ��� ����� � ���� �� ����� �2���� ��� �� ��� ����� ���� �� ��� �� �� ���� �� ������+ ��� ����� � �������

?4 ���� �� ������ �� �������

�� ��� �� ���� ��5������ ���%��� ��� ���� �� � �� �����,���� �� � (����+ ��������� � ����� �������� �� �� � ��,����)� *�� �2 ���+ ��� ���� �� ������������,�� D ������� ���� � ��� ��� ����� �� ��� � � %������ � ��� ��� ����� �� ����� �� ������ �� �����

�� ��% �����%� ��� 8���� �� � ��,���� (8��) ����� �� �� ��� ��������������� �

�() .��

#(� �)�(�) (� ���� ������ �!��"��)�

� ��

#(� �)�(�) (���� "���!�� �� ���������� �#���� ������)�

� . � 1� (?���)

%���� � ������� ���,�������� ���� ������� ��� ����� �� ��%�� �� ��� �� ��� �1�6���� ?�� �� ���� �2���� �� ���� �� ���� ��"�����

���� ��� �� ����� �� 8�� ���� ��� ������ � �� ���,������� �� 1 . (����(�D) �(�?) �(��) �(�) �(�)%��� ��� ,����� . (���#(�D) #(�?) #(��) #(�) #(�) #(?) #(D)���)H ���� ��� �� ����������� � ��� ������� �� ��� ������� ,����� %��� ��� ,����� 1� �� ��� ����� ������� �� ����� ����� ��� �� � ���� ��� 8�� ����� �� ������ �������� �� � 8����>���� ��,���� (8>�) ����� �

"3 ���������3 ��� ���,���� ������� ����� �� ��� �� 8�� ����� �� �� �����6������ �� ���,������� ��������� :��,������� �� ��������� �� �1����� ?���+ ���� �� ,��%�� �� �� ��� �� ��5����� %��9

:��,������� �� ������ F,���F �� ��� ��� ���� �� ��� ����� ,�����+ %������� %������ ��� ���� �� �,�� �� (��#(��)#(�)#(�)���) �� ��� ����� �� ��� �6' ,���� �/ �� ��� � � � ��� ����� �� ��� ,����� � *�� �%�6�� ����������,�������+ ��� ����� �� ���2 %��� ��� ���� �,�� �� �(� �)+ �� ��� ���,������������� �� ?6' �/ %��� ��� ���� ������� �� #(� �)� ��� ?6' ������� ����� ���,�� ��

�(� �) .���

��

#(� �� � � � �)�(�� � �) (� ��� �� ��� �!��"��)�

�� ������� ���

� . # � � (��!��� ������!��� �� � ����� # �� �)�

(?��?)

�� �� ���,������� �� �������6��&����� ��� ������� �� ��� ,������ �� 1 ������#(�?) �� ��&����� ,������ �� #(?) ����� ��� �����+ �� #(��?) �� �������� ,�������� #(?)+ �2���� �� �� ������� �� �%� �� � � �����

�1� ��� �2 :��,��,� ��� ���� 1 . B� � � �C %��� 1 . B� � � �C� �� . B? E �C� �

������� �� ���

���� �� ���� �� ������� ?�

��!"�# $�% $#% $&% � $�#% $��% $�'%� ��$�#%�

��!"& $�% $#% � $&% $�#% $��%���$&%� ��$&% �

��!"# $�% � $#% $&% $�#%���$#%� ��$#% �

��!"� � $�% $#% $&% ���$�%� " ��$�% �

��!"' � $'% $�% $#% � ��$'% �

��!"( � $)% $#% $�% � ��$)% �

������� �� ���

��!"�# * + � � & & & � ��$�#%� � & �

��!"& * + � � & & �� # � ��$&% � � � �

��!"# * � + � & ���# � ��$#% � � ) �

��!"� � * + � ���# � " ��$�% � " � # �

��!"' � & * + � ��$'% � �#( �

��!"( � & & * � ��$)% � ��* �

�� �� ��� �! ���,� �����,���� �-���� �� � �����

�� �� �,� � ��� �� ��� !�� �! � ���,�.

��!"& * + � � & & �� # � ��$&% � � � �

��!"# * � + � & ���# � ��$#% � � ) �

��!"� � * + � ���# � " ��$�% � " � # �

��!"' � & * + � ��$'% � �#( �

��!"( � & & * � ��$)% � ��* �

!3 ���������3 �� ��� ����� ������ ����� ����� �� ��� ����� ���� ��� ����� ������� �� ��� ����� ���� ����� ����� �� ���� � ����� ���� ��� ����� �� ��������� ������ ��� ����� �� ���� ��

#(�� �) . � ��� �� � ��� ��� �# � �� (?��D)

���� ��������� /�� ����� ������ � �� ��� �����,���� �� � �� ��� ������ �� � ����� �� � � %���� ��� ����� ����� ��� ��� ������ ������ ��� ���� �� ����� �� ����2������� �� ��� ������ 2 ���� �� ���� ����� �� ���6��� �� � ����� ����,� ���� ���,������ ��������+ ���� � ���� � ������ "���� ��� ��� '�% O���� ����2B�(��) �(�) �(�)C� =��� ��� ������ ,���� �� ��� 'O� �� ���� �� �,� ������� ,���'O� ,����

#3 ���,�����3 3 ����� �� ����� �� ��� � ����� �������� �� ��������� �� ���9

������

�#(�)� ��� (?��I)

D� ���� �� ������ �� �������

>� � ����� � %��� ��"������ ��� ,������+ � ��! �� ����� � ���� ������ ����� +�� ����� �� ������ �� ���� 3 ����� � ���� ������ �� *�! ����� �� �%������� �� ��� �������� �� "�����

%3 4�����,�����3 �� � . # � � ���� ��� ����� �� ��,������� �� � . ��(#) � �� �� %������� ��� ���� ���� �������� %��� %� ��,�� ��� ���� �1���� �����,��������

�� ����� $�%������ ���� �� &" ����' ���� �

���� � �����

��� ,������� ��������� �� �6' ������ ���� %��� ������� ������� �� �� ����������� �(�)+ �������� ,������� � �������� �� ������ 3��� �� ������ � ���� ������� %��� � ���� �����,� �� �� %� �,� ��� ,����� � . B�(�) �(�)�����(%)C� + ����� �������� ��&������ �������� ,����� � �������� �� ����� � . B�(�) �(�)����(%)C�

%����9

�() . ��()� �(� �)���() - �(� �)� (?���)

�� ��� �� � �� �/�� ���� %,� �� � ��� ��� ��� �� ����� �� ��� (- �) ������� �� ����()� ���� ��� ?6%� �� � �(�) ��� ���� �� ����� �/�� �� � ��� ��������� �� ��� .�# (����+ � . �� .) ����� ��,�� �� ��/ �� �� ��� ������ ��9

/ ���� 0���� �

���� ��������������������

� � 1 ,$#%

$/��2% " � ���23,$4% 5 �

� �������������������

���� � 1

4 " # 5 � ,$�%

��������������������

6

6

6

��������������������

� 1 ,$/%

5 �

��������������������

;��� �(�) %� �� �� �(�)H ���� %� �� ���,��� ��� ��&������ ������� � ���������� ����� �(�) �� ��� ��&������ ������� � �������� �� �� � �(�) . �(�(�))� ���������� ���� �� ��� �(�) �� ��� �� �� ��� � ����� �������� �� ��� �6' ������ ����

���� � � �� � �������� D�

��� � � �����,� ������ �� �����,�� � ��� ������� �� ��� �� �� ��������+ ����������� �� �� ���� ������ ������ �� ��� �����

*�� �2 ���+ �� ��� ���� ���� �� �� ������ ,������� , . � / K� �2���� ��� ����%��� ��&����,��� 6�� � � . � / ���� � � �����,� ������ %,���� %��� ������� 3ÆB�C ������� ��� ��� ������ %��� ������ ��� �����%�� ��&������ ��������9

�(�) . B�(�) �(�) �(?) ���C . B( � � �� � ( � � ����C� (?��E)

%���� �� . � �� ��� "��� ��� �(�) . ( �� ��� ������ %,� �� ��� �(?) . ��� ( ����� ��� �� ��&������ ��� ��� "��� ���� ���������

�� %� �������� ��� ������ � ����� �������� � 8��+ ��� �� � ������� �� ��� ���� �������� %,���� � �(�) + �� ��� ��������� ���� �� ���� �� �(�) � ��� ������+���� �(�) . �(�) � �(�)+ %���� �(�) �� ��� ������ � ����� ��������� ���� �� /��%� ���� �6' ���,������� ���� �� ���� �� � �� ��� ���� ����� � 8�� ����� @ '������ ���� ����� ����� ������ �������� �� ����� ����������@ ��� �2���� ������ ��� ��,��� �� ���� ���� ����������@

3� �2 ��� �� �� ����� ��� ���� �� ��� ��������� ����� ,������� �� �� ���,�� �� *���� ?�?�

�( �$) �$�� ��* �� ������

��� �3 �� ����� ����� ����� �� �� ��� ����������� �� ���,������� �� ��� ������(�) %��� ��� ����� ,����� #(�) �� ����� ��� ������ � . # � � � >� ��� �� ��� #(�)�� ��! (����+ �� �� � ��"���� �� ��� �� ���60��� ���������) �� �� �� ��� �2�����,��� �� ����� �� ,��� ���� ������ %� �� �� ��� �� ����� ��� �3 ���26,������1����� �

� . +1 . B��(�� �)C1 (?��J)

%���� ��(4� �) �� ��� �� ����� ��,���� �� ��� ���2 + (���� +(4� �) . 4)+ �� ����������� � *�! ( "���� �� ��� �� ���������) ����� � ��� ������ ��� �� ���+ . ��B���C . �-�-��-�������+ �� � ��! ����� (�� � ��� �� ��� ���,��,� D6����� "���� %��� D6����� ���� ��� �� �6����� ����+ ���,��,�� �� ����� ��,�� ����� ���� �� �� �� �� ��"����H ����+ ����� ���������� ����� �������� "����)� �� �� ��� ���� ������ ������� ���� ����� �� �1����� ?��J �� B��/ C�� ��9

� � �� . 1 (?��4)

%���� �� ��% *�! ����� ��� ����� ��/ �� ������+ ����+ � ����������� �� 3!����� � ���� ��� ��� �����6�� �� �� ��� �� ���� �� � � � �� ��� �� ����� ��/��� ������� ��� ��� �� � ��+ � ���+ ��� �� � ���� ������ ��� ������� �� � �� ������ ����� ��� ������ �� � 3! ����� �� ��� ������� ����� ,��� ���� �� �����,���� %������ ��������

�������

D? ���� �� ������ �� �������

0 200 400 600 8005000

5200

5400

5600

5800

6000

6200

6400

6600

6800

7000

Depth (feet)

Veloc

ity (ft/s

) vs De

pth

Sonic Log

0 0.1 0.2 0.35000

5200

5400

5600

5800

6000

6200

6400

6600

6800

7000

2−Way Travel Time (s)

Veloc

ity (ft/s

)

Sonic Log: Velocity vs Travel Time

Student Version of MATLAB

0 0.1 0.2 0.3

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

2−Way Travel Time (s)

Reflec

tivity

Impulse Response: r(t)

0 0.1 0.2 0.3−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2−Way Travel Time (s)

Amplit

ude

100 Hz Wavelet: w(t)

Student Version of MATLAB

0 0.1 0.2 0.3−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2−Way Travel Time (s)

Amplit

ude

Normalized Seismogram r(t)*w(t)

0 50 100 150 2000

5

10

15

20

25

30

35

Frequency (Hz)

Magni

tude

Magnitude Specrum of r(t)*w(t)

Student Version of MATLAB

*���� ?�?9 >�������� ()� ����� �� �� �����+ (�)� ����� �� �� ?6%� ��,�� �� � + �)�� ����� �������� �(�)+ �)� ��� =0 %,���� �(�)+ �)� ���� �� �(�) . �(�)��(�) ���)� �������� ������ ������� �

���� � � �� � �������� DD

� �

� ������ � 7 � ������������ � " �� $��,� 8 9,���8�%

� �

�������

��������������������������������� � " � �:�� $9����8�����,�%

� �

1 �

� ������� �

� � � 5

������ � : � ;�����

� �

�������

3 ��� ����� ����� �� ��� 3����������,� ��,�� 3,��� (3!�3) �,�� ��9

� � :� " 0� $9<�9%

��

�# ��

���� ����

� �

�$ % � � !$ �=% �$=% " � 8$ �=% �$=%

� �

���� ����

= " �!� �� > = " ���

�������

� � �

� ����� 0 ���������������������������������� � " 8�� �!��

� � � �

������� 1 �

� ������� �

� � � 5

������ � : � ;�����

� �

�������

�1� ���2 ��(�)��� . �(�) �� �� ����2� ��� �� ��� ��/%��6��5������ "����6��5������ (������ ��.�) �1����� �(�) � �(� � �) . �(�)+ %���� �� � 3! �1������

DI ���� �� ������ �� �������

�� ���� ��� � �� � ������ �� �+ �� � . �+ �� ��� ��� �������� ���%�� �� �� �%��� ���� ? ��������� ��� �� � ����� ��� ��� %� �� �� ���� �� ���� ��� �1��������� � ��! �3 ���� �1�����+ ����+

0� ���� 9<�9 �-���� . �$% " :?� � 0?�

����� ��� ,���� ���� �! : � � 0 ������

�$�#% " �$% � �$�#% 9< ����

@!$&% !$#% 666A " @& # & & &666A

@8$&% 8$#% 666A " @# & & & &666A

" �$�#% � �$% � �$�#% 9<�9 ����

@!$&% !$#% 666A " @& & # & &666A

@8$&% 8$#% 666A " @# # & & &666A

" �$��% � �$�#% � �$% � �$�#% 9<�9 ����

@!$&% !$#% 666A " @& & & # &666A

@8$&% 8$#% 666A " @# # # & &666A

" �$�'% � �$��% � �$�#% � �$% � �$�#% 9<�9 ����

@!$&% !$#% 666A " @& & & & #666A

@8$&% 8$#% 666A " @# # # # &666A

6

6

6

6

" �$���% � �$����#% � �$�����% � 666 �$�#% �9 ����

@!$&% !$#% 666A " @& & & & &666A

@8$&% 8$#% 666A " @# # # # #666A

%���� �� � ��! �3 ����� %��� ���� �� �� ����� �� ��� �� ��% ��������� ���� � ����� �0������ ���������� ���� ��� �(�) . �(�) - �(���) - �(��?) -���� ������ ��� �� �� � �� �� �� ��+ �� ��� ������ �� �%�� %������ �� �� ������� =�������� �� � �2 ��� �� � 8�� �3 ����� %���� B�(�) �(�) �(?) ���C . B� � � � ���CI��� �� �� �� �3 "���� �� �� ����������� � � 3!�3 "���� �� ,��� ,��� �� �����,���� ���2 �2����� �� ��� �3 �� � ��! "���� ���� �� ��� �� �� ��������������� �� ���,��� �� ���� � 3!�3 %��� "���� �� ��� �� ����������

�� � ���� � D�

�+ !���

�� ���������� ��� ������� �� �������� ����� �� �6��,���� ����� + %���� �� �26������� ��� ������ � ��� ���,������� �� ��� ����� �� � ����� �������� #B�C %������ ����� ,����� �B�C9 �B�C . �B�C � #B�C� ��� �3 ����� �������� � ������ ,��6��� ��� �� %������ �� ���� �� ��� ����� ,����9 � . � 1� ��� 3! ����� �������� � ������ ��� �� %������ �� �������� �� ����� ,���� �� ���,���������� ,����9 � . � � �� ��� 3!�3 �� �� ������� �� �3 �� 3! ����� �9� . � ��-�1+ �� ��� 3!�3 �� �� ��� � ���� �3 ���� 9 � . (���)����1. (� - � - � � � - ���) � � 1� ��� 3!�3 "���� ���� ������/ (����+ ���� %��������� ������� ��� ��� ������� ������) �� ��� ������� %��� ��� �� ��� �� "������������� �� ������ ��� ��� ����� ���������

>��� �� �� �(�) �� �� ������ �� ��� �� ��� �6' ���,�������� ���� �� �������9 �(�) . �(�) � �(�)+ %���� �(�) �� ��� %,���� �� �(�) �� ��� ��&����,��� ����������� �6' ���� ��� �� �� ��������+ �� �� ����� ������� �� ������� ���������� ���� �� ���� ��� �� � ���� ������� �� ��� ��1���� � ���� ������ 9�� � ?)��������

�, $�#�������

'�5�+ '�+ ������� ������ ��� ���,�� ����� ��5������� �1������9 :!: �����+7�� !���+ *��

:�������+ O� *�+ ��4�+ � �� ��� ����� ��������+ 7��/%��� >������"� ������6������

G0�+ O�+ ��J4+ �,� �1����� ������ %��� ����6����� ������ G���������+ID+�DI?6�D���

G0�+ O�+ �� >�00���+ ��+ ��4I+ ������� �� ���� �� �� �� ���� ����� ����������������9 G���������+ I�+ �?I6�D��

M��+ O�+ 3� ������������ �� ����� ���� ���������9 3��� �� �����+ �P+ �P�

M�����+ ����+ ��4E+ *������ ������9 : ����� ;��,������ �����+ : �����+ �6����

8��+ ��+ ����+ 8� ��+ �� O�/���+ G� ��+ ����+ >����6���� *������ ����6������ ������ %��� �����,������� � ��� G���������+ �E(��)+ �J4E6�J�D�

#������� + 3�+ �� ����/�+ 3�+ ��4D+ >���� �� >���� �+ ��������6=�� :��

!�������+ �+ �� #� �+ #�+ ���E+ '����,������� ?9 >������ �� 2�������� G��6�������+ ����+ #/�

DE ���� �� ������ �� �������

P�� 0+ #�+ ��4J+ >��� �� �� ���������9 >������ �� 2�������� G���������+ ����+#/�

�- �.�������

�� P��� "��� ���,���������

� ���� �B�C . B�(�) �(�) �(?)C . B� �� �?�C� ��% ���� �B��-DC� �B��DC� �B���DC�� �B� - DCH %���� �� ��� ������ �� %���� �� ��� �,���� ,������ �� �B�C( /� ���� ��� ���� ���� ��� ������� �� � ,����+ �������� ����,� �� � ����������)@ ���� �B��C �� �2���� %�� %� �� �B��C �� ��&����� ,������ ���B�C� 2���� %�� %� �� ��� �B�� DC �� ��&�����6������� ,������ �� �B�C�

� :��,��,� B#(��) #(�)C . B�� �C %��� 1 (����+ � . # � � )�

� ��% ���,��,� 1 %��� B#(��) #(�)C (����+ �� . � � # )+ %���� ��� ��� ���� �� 1�� ����� ��� ���2 �� �� ��� ,����� �� ��� ���26,����� �������� ������� �� . �+ %���� �� ���� ��� �� 8�� ����� H ��� �������� �� 1� . �1 �� ����� ����,� �������� �� �� 8�� ����� �� ���� ���+ �� �����+ ���26 ���2 ������������ �� ��� �� ����,��

� =�% ��� �� ��� ������ ,����� ��@ ��� �� ��� ����� �� ��� ������ �� ���,��,��� �2� ,����� 1 %��� ��� �2� ,����� @ 2�����

B���C�9�D5� E<�E�<�F �: B�G5�HC�D�G

������ ������

D D D D

� ������ D 7 D ������� � �� ������ D I D ������� �

D D D D

������ ������

� �� �����+ ��������� � �2� ,����� �� � �2� ���2 ����� $(,%) ���������������� 2���� %�� ���,��,�� ��� ,�� � ,����� %��� ��� %�� 1 ,�������� ����� $(,%) ������ ����������

� :��,��,� B#(���) #(��)C . B�� �C %��� 1 (����+ � . # � � )�

D� :���� � ��������� �� � ������ ������ ���� �� ��� ����H /� ��� ��������/ ����� �� �� ������� �� ���� ��������� (����@)�

��!� �"� ����� DJ

� :���� ��������� ���� �� � �� �� ������� �������� %��� ���� ����� :��6�� ��� � "���� �������� %��� *���� ?��+ �2���� ��� ���� ���� (��� ����� ������ ��������� )� 3�$��� ���� ������ %,���� �� ��� ��� �� ����%,������ �� ���� ��� ��� ����/���� �� ���� �������� ����� P�� ��� %���� ��� !��/�� %,���� ��� ���� ������ �������� �� �2 ��� � ���/� "��� 3���6���+ ������ ������ %,���� ��� �� ��� ����,��,� �� ��� !��/�� %,����+ %������ �� ������� �� ���� ��� ���� �� �� F��5(���/)F+ %���� ��5������������ F���/F ,������ ��� ����� ���� �� �� ������ �� � ������� ���� ��%,���� �(�) ���� ��� ���� ���� ����������� �� �(�) �� �,� �(�) . � � ��

� ��� ������� �� ���6� �����,� �������� ����������� �� �(�) �� ����������� ���� �� �������� ������� �� �(�)� . �(�) � �(�)� 3��� � ��� ��� � ������������� �� ��� ������� �� �� =0 !��/�� %,���� �� ������ �(�)��

� ��� "��� ���� �� ���� ���� ���� ������� �������� ��� ������ ��,��6������� �� � ����

�(�) . (� � � � � �� � � �� � �����)� (?���)

=��� �(�) �� �� ���������� � ��� ��%���� � ����� �������� �� ��� ��,��6������� ����� ���� ��� �� ��� �� �/�� ? �� � ����� �� � ��� ��� �������� ��� ��&����� ���� �� ��/ �� �� ��� ���� ������+ ��� ��&������ ��������� ��� �������� �� �+ �� ��� ��� ����6������ ��&������ �������� �� 6�� ��%������ ��� ���� �� %��� �������� �� ��+ ����+ �� . � � � � � � ��

$&% $�% $)% $+% 6666666666

���������������������������������������� :�������!��� <�!�6

� 1 � 1 � 1 � B��!!���� " �#

� � � � � � �

#� � � ��� ��1�� ��1� � ���1'

5 � 5 � 5 � 5

������������������������������������ ���� ����� D 6 <�!�6

B��!!���� " �

������������ � ����� ����� ������ ������ ������� ��

������������ ��� ������ �� ����� �������

���� ���

��������

����������

������� !�"��"��� !�

�������� ��� � ��#! ���#! � ��$��� ��#! � ��#! � ��#! � �

������%�����

�$� �&'����� '�$��� '������� '�$�����(�

�����&��'! ������%� )* ����� +���� �� ���

,�'����- .������ � �%��'! ������%� ��(�

$��/���0�' � ���

���� ����'������� ���1�'���

�/�����2!�����������1%�����$��/���3��1 �������

D4 ���� �� ������ �� �������

��/���4����� ��� ����

������,���� 5�-����$� �&� 6�� 7��� 8���(��

�/�����2!!��

��'��������� ��!"9!2���'����!��* �������� : ��'���������

�������'��"9!2�%�����"9!2��� �$� �&� �28 7��� 8���(�

$��/���!�+� 0���� 0�' � ����

��/���4����� ��� ����������,���� 5�-" 4����� � 0���� 0�'��

�/�����2!2�����������������������'�����������"9!!�:����!"9!2��

�����"9!!�� �����"9!!�� �'���'��"9!!�%����"9!!���

�$� �&� �28 ��2 �2(�

$��/���!�+� 0���� 0�' � ����

��/������������ ���������.'��� � ��� " ������

$�&�"�"9!!(���'�9!!� 9!!�

�/�����2!7���������!�����

������� $���9!���������$��#! � ! ����� '�$����

�����$��"9!!�%���"9!!����$� �&� �28 �� �(�

$��/���!�+� 0���� 0�' � ����

��/���;'������ ������������ )* +����" ���� ��

�����'�2������'�!88��

�/�����2!<�� �������%���� � '�$� ���������'��"9!!�% ��"9!!���

$��/���!�+� 0���� 0�' � ������/���;'������ ���

������=��'���*� ,� '�-��' ��������� ��

�$� �&� �28 �� �(�

�� 3!�3 *�������

� ;�� ��� ��,����� �� ���% ��� �(�) . ��(�� �) �� �� ����������� �� �(�) .� - �- � �- � � �- ���

� �� * �� �1��� ���2 ���% ��� B0-/-/ /-/ / /-���CB0�/ C . 0 %���� 0�� ��� �1��� �������� ���2� ���� ��� �� ����� �2������ �� ���������������� ��� ��,���� �� ��� ���2 B0 � / C� !���� ��� ��� �� ����� �2���������,���� ��� ����� ,���� �� ��� � �� ����2 ���,������ �� ������� ����/ �� � �+ %���� ��� ��� ��� ��� �� ��� ���2 ��� �� ���� ��� ����

I� '�%���� ��� ���� ���2 �� ��� ���� ���� �

���������������������������������������� ���!

3��� ��%���� ��� �������-"������ ���� �

���������������������������������������� ���������!�

���������������������������������������� ���������!�

�� �3�837 ��� ��� ��� �� ����� F��� ��� 6����F+ �� ���� F��������F� '����6 ��� ��� ��0� �� ��� ���2 F���FH ��� �� ������ �� I� ��� �������� ��� �� ��� ������� (� �� �����) �� ��� ����� �� ������ �� ��0� ����+ ��� �� ��� �� �� �� ���� (��� � � ���� �����,�)� ��� ��%6��� "������ �� F�������F �� ?�6�����,���� "���� ������ �� ��� ����� ��� ��%6��� ,���� "���� �� ��� ��

��!� �"� ����� D�

"���#$ % &���" ��"�� �� �'����" ������

��� ��!��(#$ % )��� �'�� ������ !��(#

���"��*"�+!,��$�����"'*��!�*�+�,+�,$ % ������-�����

��!��*!�!###+�,�

��*���"�*"���,�!###.���"�*"���,�!,$ % /��"���� �� ������" ����

�"�

� ����� �������� ���%���� �� ���6���1����� ����� �� ����� �� ���� ��� ����� =0 (�����K�)� 3��� ���� �� ����� ��� �� ����� �� ������ (�K�����)�

� ��� ��5����� "���� ������ �� /��� ������ ����� �� ���� "���� ��� /���� ����� ���/���� ����@ ����� ������ ?�6����� ��%6��� "���� (���+ ��� ������ � �����"���� �� � . (���� ���� ���� ���� ��)) �� ������@

� �/� *������ ������� �� ��� �� �� ����� ��� ��� ���1����� ��� ����� ������ *�� �2 ���+ ��� ������ ������� �� ��� ���� �� ������� �������%�� �3�837 �� ����

����!*�+!,$&�*���*���*�,,,$���####�$

����*0#�( 1�*!###���,+&*!��##,,$2�����*�3��4��"� *56,�,

G� ������ ����� �� �����+ ����� ��� ��� ������ ������+ ����� ��� �������� ���%���� �� ����� "���� ����� �� /��� ������ *����� �����+ ���% ������� ���� ����� ��� ������ ����� %��� ��%�� �����+ %��� �� ���� �� ������ ���� "��� �����

� *��� ������ �� ?�6����� ,���� "���� %��� ��� �����%�� �3�837 �� 6 ���

����!*�+!,�#$�*!��#,�!$&�*���*���*�,,,$���####�$

����*0#�( 1�*!###���,+&*!��##,,$2�����*�3��4��"� *56,�,

�� ���� ��� "���� ��� %��� /��� ����� ��,� ��� =0@ ��� �� ��� "���� %����� �������� ������ ���� ��� ����� ����� (� ��� ��� ��)� �� ��� �������� �������

� �/� ��� *������ ������� �� ��� �� ���� �,����� "����6��5������ ����,��,�"����� �� ��� %�� ��� ������ �� ��� ���� �� �� ��� ��� �� ��% ��� "����@*������ ����� ���� ���� ���� �� �� �

�������������������7�����������������

I� ���� �� ������ �� �������

�� ��� �

��� � � �����

3 ������� �������� �� ��� �� ��$���� �� ������ ��� �� ��$����� * ���� �26 ���� ������� ����� ������� ���� ����������� �� ���26,����� ������������/1 . � ��� �� ,�� 1 ,������ ���� ��� ���� �� %�� � ,������� 3������ � ��6�� ������� �� ��� '������� �� � *������ ������� ��� �� �������� ��������� ���� � �B�C (%���� �1B��� � ?� � �� �� � � ? ���C) ���� ��������� �� ���1����� 2(*) �� ���������� ����

2(*) .��

����

�B�C��!�� (D��)

%���� * �� ���� ���1������ �� ���� ���+ ��� /����� �� ��� *������ ������� �� ��!�

%���� ��� ������ �� ���!�� . � �� * �� ��� �� ���� *���� D�� ������� ��� ���������� %���� ��� /����� ��!� ��,�� �� ��� �� ���2 ���� �� ��� ������ %��� ����� �+ ���%� �������� ���� ��� ��� ������ ������� � �2(*)� ,� * � ���%� �� *���� D����

��� < ������� �� ������0���� �� ��� *������ ������� %���� ��� /����� ���� �� �� ���2 �� ��� ��! � � �� ��� �� ���2 ����+ ��� $��� ��� ��� ���� �������� *���� D��� ���� ������+ �1����� D�� ���� ��

2(3) .��

����

�B�C3�� (D�?)

%���� ��� � �� 3 �/�� �� �� ,��� �� ��� �� ���2 ������� ���� ������ %� %��� �2 ��� �������� �� � ����� �� ����� <6������� �� ���

<6������� �� ���� �� ���,������ ���� ��� ���0�� ��� ���������� �� ������� ����� ��,������ *�� �2 ���+ ��� �������� �� �6' ��,���� "����� �� ����� ���� ����� ��� � 6 2� � ���� ���������� �� ��� "������ �� �������+ ���6��� "�����%��� �����"�� ���������� �� �� ������� �� <6������� �������

��� ��� ����� ��� ����� ���� ��� � ��� ���� ���� �� ������ ���� �� ��� �������� �� � ��������� �!����������� ��� �������� ��� � ���� ��"�� �������� � � ���#� ��$� � �� ��� ������� ������� ������� �� ���#� ��� ���� �%��� �� � ���#��� � �����

I�

I? ���� �� ��� # � ���� �

0

PhaseSpectrum

Magnitude Spectrum (i.e., z and z are closest)

ω

ω

π

−2π −π π 2π

2π2π− −π

Angle at which z and z parallel00

φ(ω)−

ω*

ω*

Real

Imag.

ιωz=e

φ

ωω*

z0

0z−z = |H(z)| e

ιφ(ω)|H( )|ω

: H(z) = z−zMinimum Phase Zero Couplet:

*���� D��9 �2(*)� ������� )� �� ��� �� ���2 ���� � �������� �� 3 . ��!� �� �)�,� * ��� ��� ��� �� ��� �����

��� /�"����#�� "�����

1����� D�? ��"��� ��� <6������� �� �B�C �

�B�C .��

��ÆB�� C"�� 2(�) .

��

����� (D�D)

��� ���� �� ������� ���� �� �� ���9 ������ ��� ���� �������� ÆB�� �C �� ��� �� ������� �B�C �� ��� /�� ��%�� �� �� 7� ���������� �� �1������ D�� �� D�?+ ��� ��,����������� ���� ���� �� $��� � �� ���9 ������ ��� /�� ��%�� �� � �� 2(�) �� ���ÆB�� �C �� ������� �B�C� *�� �2 ���9

(�B��C� �B�C� �B�C� �B?C) . (��� ?� D� �) "�� 2(3) . ���� - ? - D�- ����

5�� /����� �� $���� ���������3 ��� ���� �,��� ������� ÆB� - �C�,���� ���� �� ��� ���� �� �� �+ �� ��� ���� ���� ������� ÆB� � �C ����� ���� �� ��� �� � ������

8"�� &�'�"��

��������������

� �

20"1 ������ � �����0".!1 � ������� 0"1 � 20".!1

����� �� Æ&�� �' &�' � &�� �' �� Æ&�( �' &�' � &�( �'

���� #$� ���� � ���� � ID

� �

��������������

8"�� 9���

��������������

� �

20"1 ������ � �����0"�!1 � ������� 0"1 � 20"�!1

� �

��������������

���������+ ��� <6������� �� ��� ���� �,��� �� ���� �������� �� ��� �� �+��������,����

����� ����� �����

:��,������� �B�C %��� #B�C �� ��"��� �

�(�) . �B�C � #B�C .��

���

#(�� �)�B�)� (D�I)

�� �� �� ���%� ��� ����� < ������� ���

�(�) . �B�C � #B�C"�� 4 (�) . 2(�)'(�)� (D��)

���� �� �� ���%� �� ����������� ��� ��"������ �� ��� <6������� �� �1����� D�?���� �1����� D�� �� ��������� ��� ���Æ����� ��� ��� ��# ��%��� �� �� ����� ���Æ6������ �� �� ���%� �� �� �1�� �� ��� �1��,���� ���Æ����� �� ÆB�� �C �� �(�)� ������� 4 (�)�2(�) . '(�) �� /��%� � ��� ������� �������� �� ��� � ����� ���������� ��� ����� �

�1� ���2 �*������� �� �B�C . Æ(�� �) - Æ(�) �� �B�C � �B�C�

�� /��% ��� �B�C � �B�C . Æ(�) - ?Æ(� � �) - Æ(� � ?) �� ��� 2(�) . � - ��

��������� 2(�)2(�) . � - �� - ?�"� Æ(�) - ?Æ(�� �) - Æ(�� ?)�

�� ����� %����+ ���,������� �� ��� �� � �� �� ���� �� ������ �� �������������� ��� < �� ��� ���� �������� ���%� ��� �� ���,� ,��� �� ������� ���,�������������� � �� ��� �� � �� �� �� �� ��� ������ ��,����� �� ������������ �� ���<6������� �� ��� *�� �2 ���+ ��� �����,������� ������ (��������� ����%) ������� �� ���,� �� ��� <6������� �� �� ��� �� ��� ������ �� � �� ��� �����,������� �� ��%�� ������ ��������� �� ������ ���,������� ���������� �� ��� ����<6������� �� �� ��� �� ������ ���,������� �� �� � �� ���

II ���� �� ��� # � ���� �

����� �!���� �����

����� �� ����� ������ � �� ��������9

�� ��� ���%�� ������ �� �� ����� ��� �B�C �,�� �B�C �� #B�C %���� �B�C�#B�C .�B�C� 3� �2 ��� �� ��� ��� %��� �� ����� �,�� ��� � ������ #B�C � ���������� �%�6%� ��,�� �� �+ ��� %,���� �� �,�� � �B�C �� �B�C ������ ��� ������������� �� ����,�� ��� ��� %��� ��� ��� ��������� ���� �� �� �� ������ ��� ���� ���� �� �� � ��� %��� ������� �� �������� ����� (��� ���%��� ��) �� ��� ���� �� %���� �� ��� �������� ������

:�'�" 20"1 �"� �0"1+ ��"� 0"1

�����������

� �

20"1 ������ � �0"1 � ������� 0"1

� �

�����������

?� ��� �����,������� ������ �� �� ����� ��� #B�C+ �,�� �B�C �� �B�C %�����B�C � #B�C . �B�C� 3� �2 ��� �� �� "�� ��� ����� "���� � ����� ��� %,������ � ��� ���� �� �� ��� �� ��� �� ��% �� ���� �� ���� %�+ ��� ���������� �� ������� ���� ��� �������

:�"���� 9���"'������" ;�������

:�'�" 20"1+ 0"1 ��"� �0"1

�����������

� �

20"1 ������ � �0"1 � ������� 0"1

� �

�����������

D� ��� ���/�� �����,������� ������ �� �� ����� ��� #B�C �� ��� �B�C�#B�C . ÆB�C93� �2 ��� �� �� "�� ��� ��,���� (����+ ���/��) "���� �� ��� ���� ���� �� %,�����

<����" 9���"'������" ;�������

:�'�" 20"1+ ��"� �0"1 �� �0"1�20"1 � �����0"1

�����������

� �

20"1 ������ � �0"1 � ������� �����0"1

� �

���� #$� ���� � ���� � I�

�����������

�� %��� �� ����� ��������� %��� �����,������� "����� �,�� ���� ������� ���2���� ����������+ �������� ��� �����%�� �2 �����

�� ��� � ����� �������� #B�C �� ��������� �� ��������� ��� �� ����+ ���������������� �������� ������ �B�C ���� ����� ���,������� �B�C . #B�C � �B�C����������+ ��� %���� ��/� �� ����� �����,������� "���� � B�C ���� ��� #B�C �� B�C . ÆB�C� 3������ � B�C �� ��� ������ ���,������� �B�C . �B�C � #B�C ��� ��������� %��� ����� ��� ���� ������+ ����+ �B�C � � B�C . �B�C � #B�C � � B�C .�B�C � ÆB�C . �B�C�

?� !�� ��&������� �B�C ��� � ���� �� ������ �� �� � ���� �� ���� �� ���� ����� �������� #B�C+ ������� ��������� ��� ���� ������� �B�C . �B�C � #B�C�� ��� ������ �� ��� ��� ������� ��������� "�� "���� ��� ���/�� #B�C ������ �� �� ��� �����

D� �� �� ��2�+ � ���� ��4��� ���� �� ���,�� ��� ������� ���� �� %,�����B�C ��5����� ��� ��� %,���� ��B�C ���� �� ������ ���� �� ���,��� �� ����6���� ��� ���� �� �� ��� ����� �%� ���,��� ��� %���� ��/� �� "�� "����� B�C ���� �B�C�� B�C . ��B�C� 3������ � B�C �� ��� ��� ���,�� �� %��� ������� ��� �� ��� ����� ��� %,���� ���� �� ��� ������ ���,���

2 ���� %��� ��% �� ���� �� ��������� ��% ��� <6������� �� �� ���� �� ���0���� �������� �� �����,������� "������

�1� ���2 $��������� � �*����6�� #B�C . ÆB�C� ��ÆB�� �C�� �/� <6������� �� #B�C� '(�) . �� ����

?� *��� !�������� �� '(�)� ���� ��'(�) . ��(�� ���)

D� 2��� ��'(�) �� G�� ����� >�����9

��'(�) . � - ��� - �?��� - ��?��� - ����� (D�E)

I� ��,���� <6������� ��,� ������9

#B�C�� . ÆB�C - ��ÆB�� �C - �?�ÆB�� ?C - ���� (D�J)

�1� ���2 $��������� � �*����6�� #B�C . ÆB� - �C - �J�ÆB�C - ��?�ÆB�� �C�

IE ���� �� ��� # � ���� �

�� �/� <6������� �� #B�C������� '(�) . ���- �J� �� - ��?� ��

?� *��� !�������� �� '(�)� ���� ��'(�) . ��(� - �J� �- ��?� � �)�

D� *�����0�'(�) ���� ����������� �� ��������9 ��'(�) . ��(�-���)(�-�?��)�

I� ����� *������ 2������ �� ��(� - ���)(� - �?��) 9

(� - ���)-

(� - �?��).

(� - ���)(� - �?��)� (D�4)

�� ��������� ���� ����� �� (� - ���)(� - �?��) %� ��

(� - �?��) - �(� - ���) . �� (D��)

��% ��� � . �I �� ���,� ��� �+ �� ���� ��� � . �? �� ���,� ��� �� �� . ? �� � . ��+ ��������,����

'(�).

?�

(� - ���)� �

(� - �?��)� (D���)

�� 2��� ���� ������ �� G�� ����� >����� ������9

��'(�) . ?�� �� - ���� � �?�� - �����

�� - �?��� � ���E�� - ��EI� - ����� (D���)

E� ��,���� <6������� ��,� ������9

#B�C�� . ÆB�� �C� �J�ÆB�� ?C - J��EÆB�� DC - ���� (D��?)

������� ��� ��,� ������ �� ����� ��� � �� ���,��,� �� %��� ��� ������ ����� �������B�C �� ��� ��% %��� �� ���/�� ��� ������

�� �����+ �� �6����� ���� #B�C �� �� <6������� �� ���� � %�� ������ ���� �+ %���� �� �� ���� ����� ���� ����������� �� �6� ?6����/��� (� � �)(� ���)(� � ��)���� 3 ����� ������� �2������ �� �� ���� �� ���� ���� ��� ��,������'(�) ���� �� �� ��,���� ��� � �� ��(�� ���� �)+ %���� �� �� �2����� ���� �� ����� ������� ��% �� �� ��� �� �� ��� ��,���� <6������� �

���� #$� ���� � ���� � IJ

����� "������# "�$���� ��� "�$�� ����� %���� �

��� ��,� ��,���� "����� �� ����� ������ ��� ������� �� ��(�� �) �� ���������� ��� ���H �����%���+ ����� �����,������� "����� %���� �� �������� ��� ���������� � ��,���� "���� �� ��% �� ����� ���� ��� ������ �� �� ?6����/���

8�� ��� ?6����/�� �� �B�C . ÆB�C - ÆB� � �C %���� �� �� � ������� �������+�� 2(�) . (�� �)� ���� 2B�C ��9

� ��� � ���� �� � � � �

� 2� � ���� �� � � �

� �2�� ���� �� � � � �� ��� � � ��� 2(�) . (�� �)(�� ��)�

*�� � �-� ����� ���� 2B�C %��� <6�������

2(�) .�����

(�� ��)� (D��D)

���� �B�C �� 2� � ���� �� �� �� ��� �������� �� 2� � ����H �B�C �� ��� � ���� �� �� �������� �� ��� � ����H �� �� �� �2�� ���� �� ����� �� �2������ ��� � �� 2� � ���� %,������

4����� �� (�� � �� (�1� � )��� 7�������3

*�� �B�C . ÆB�C� ÆB�� �C+ ��� ��,���� "���� �� ��� < �� �� �� �,�� �9

��2(�) . ��(�� �)�

. � - � - � �� - � �� - ����� (D��I)

%���� �� ����+ �� �� � � � � �� �� ��� ������ ���� �� ��� � ���� %,������,� �����6���� ��,�����

�� �B�C �� 2� � ���� (� � �) ���� ��� ��,���� �� ������� �� ����� ��������0� ��� ��,���� �� 2� � ���� ���� %� �2��� �� ��,���� ��%��� �� �9

��2(�) . ��(�� �)�

.�

��B�� ( �)��C �

.�� �

B� - ����� - ����� - ����� - �����C�

(D���)

%���� ��� ������ �� ��% ����� ������ ��� �������� �� � �,� ������ ���� ��� �+����+ � ��� � �� 7�� %� �� ��� ���� �������� %��� � ���� ��,����� ���� �� �� �� %��� ���� ���6�� � ��������� (���� � ���0�� ��� ����� ��� ���� �� �������)+

I4 ���� �� ��� # � ���� �

��� �� �� �� ������ �� �,� ���� �������� �� %� �� ��������� �� ��� �� �������� �� ������ G����� ������ ,���� �� ��� ����� �� ����� ������� ������ �� �������� �� ���� ����

�1� ���2 $��������� � �� � ���� �*����6�� #B�C . ÆB�C� ��ÆB�� �C*�� ��� �����,������� �2 ��� ��,� %� /��% ��� ��,���� �� #B�C �� #B�C�� .B� �� �?� ��?� ���C� �� %� ������� ���� ? ��� � ���� %� �� � ����2� �� ��,����#B�C�� . B� ��C� �� ���26,����� ������� ������ ��� ����2� �� ��,���� �� #B�C�,��9

������������

� �

�� �

� ��

������������

��������

���

������� .������������

�?�

������������(D��E)

����+ ��� ����2� �� ��,���� � ��� ���/�� ��� %,���� �� ���/� ������ . B� � �C+�2���� ��� ��� �������� �� ��?� �� ��� !=> �� ��� ��,� �1������ ���� �� ��� �������� �

�� %� ���� ������ ����2� �� ��,���� �� /����� ��� ��� ��� �� ��� ��,�������+ ���� #B�C�� . B� �� �?�C �,�� � ����� ��� �� ��?� %���� �� �,�� � ���� ������ ��,� ������ ���� ��� ��� �2�� ��,���� �� ��! (��"���� � ����� !�������)+ ���#B�C �� *�! (*����� � ����� !�������)�

*�� 2� � ���� ���� �B�C . B� � ?C+ ��� ��,���� �� �,�� �� #B�C�� .B� ? I 4 �E ���C %���� �� ��,������ �������� �� %� �/� � ����2� �� ��,���� �� $���/����� ��� "��� ? ��� � �� ��� #B�C�� . B� ?C ����

������������

� �

�? �

� �?

������������

��������

?

������� .������������

�I

������������(D��J)

%���� ��� ��� ��� �� ��� !=> ������� ��� ������ �� %� ������� ����� ��� �� �������2� �� ��,���� �� ��� #B�C�� . B� ? IC ���� ��� ����� ��� %���� �� �1�� ��64Q

���� ��������� ������� �� ���� I�

��% %� �� ��� ��� ����� ������ ��� ��� �6��� ��,���� #B�C�� . B� � � C9��������������������������

� �

� �

� �

��������������������������

��������

������� .

��������������������������

� �

��������������������������

(D��4)

��������� ��� ���/�� ����� ����2� ���� �� ,��� ��� �� � � � � ��� �� �� ,��� ������ � � ��

�� ��!���*�� $�������� ��* �"�"

��� ������ �� ��� ,����� ��� ���� �� �� ���� ������ %��� "2�� ���1�����*+ ����+ ��� ����� �� �B�C . ��!�� ��� ���� ��� ������ ���/ ��/�@ '��� ��� 8�� ���������� �������� �� ��� ��� %��� ��5����� ���1������� �� ���������@ �� ��%������ 1������� ��� ��� � ����� �������� �� �,�� ��

#BC .�����

#B�CÆB� �C� (D���)

�� ���� ���,��,� �� %��� �� ���� ����� �B�C . ��!�9

�B�C . �B�C � #B�C .�����

#B�C��!������

. ��!�

#�!� �� ������

#B�C���!��

.

����� �����!�

������� �� �'(*) � (D�?�)

�� ����� %����+ ��� ������ ���� �� ��� �� ���� %��� ��� � � ���1����� � �������� ����+ ��� �� �� ����� �� ����������,� ������� '(*)� >���� ��� ������ ����� � � � ��� ����� �2���� ��� ����������,� ������� %� ��� ��!� � ������������

�� ���� �� ��� # � ���� �

�� ��� ����� �� '(*) �� ��� ����,���� ���� �� �� ��� �� ���26,����� ��������%���� �� 1 �� � ����,����� �� ��� ���2+ ���� +1 . 51+ %���� 5 �� ��� ����,����

'(*) �� ��� <6������� �� #B�C �,����� �� ��� ���� ������+ �� �� �� ��� ���'������� �� � *������ ������� ('�*�) �� #B�CQ �� ���,�+ �/� ��� <6������� ��#B�C �� ��

#B�C"�� '(�) .

������

#B�C��� (D�?�)

>����� � �� �� �� ��� ���� ������ �� ��� � . ���!+ %���� * �� ��� ��� ��� � ,����� /�� %K� �� ��� ����0���� 2��+ %� ��

#B�C"�"������ '(�) .

������

#B�C��!��

.��

����

#B�C���!��������

.��

����

#B�C��!��� (D�??)

%���� �� . ��� �� *� . *���� �� ����� %���� ��� '�*� �� #B�C �� ��� <6������� �� #B�C �,����� �� ��� ���� ������ (����+ � . �� � ) �� ��� <6����+ � ���������� ��*���� D���

����� ��!��� ����� &��� &���'��

�� �B�C �� ������� �� "����� �������� ���� ��� �����%�� ������� ��� ������������� �������9

2(*) .��

���

�B�C���!� ((� ����) (D�?D)

�B�C .� �$

�2(*)��!��*� ( ���#���) (D�?I)

%���� * �� ���������� ,����� �� ������� �� ��� ��� �� �������� ��� ��,��1������ �� ,��� ��� �� �������� �� �������� �� � ��1����� #B�C %��� "��������� �� �1 �������+ �� �� /��%� � '�*� ���� *�� ���,������� %� %���+������ ����� �����%���+ ��� � ��� �� . � �� �� ��� �� ���� � ���� �����,��

��� ���%�� ������� ������� �� �1����� D�?D �� ����,�� �� �/�� ��� <6������� �� �B�C �� �,����� 2(�) �� ��� ���� ������� 1����� D�?I �� ������,�� �� ����� ��� � �$

���!��

���* . ?+Æ(� � ��) (D�?�)

���� ��������� ������� �� ���� ��

%���� ����� �����%� ��� ��� ��� ��� �� � �� �������� %��� ������ ?+ ��� �� ��������H ���� �������� ������ �� ���� %K� �� * �,�� ������ �� �1�� �� 0���+ �2����%��� � . ���

���������� �1����� D�?I �� ��!�

�� �������� %K� �� * %� ��9

� �$

�2(*)��!

�* .�

�B�C� �$

���!��

���*�

. ?+�

�B�CÆB� � ��C�

. ?+�B��C� (D�?E)

���������+ �1����� D�?D ���%� �� �� �� ��� ������� ������� �� ������� �� �B�C+%���� �1����� D�?I �,�� ��� �� � ���� ��� ��� ������� '(*)�

���� ��� �B�C �� � �������� �������� �� ������� ,����� �+ ��� 2(*) �� �������� �������� �� �����!�!� ,����� *� ��� �� 2(*) . 2(* - ?+) ��� �� *�

����� ()����� ������!)�

��� � ���� �����,� �� �� ����� �� ����� �"��+ �� ��� ��,���� �� ����� �� � �������1�����9 � �"�������� �� �� ���� ��� *���� D�? ��� ��� � ���� ���1����� ��� �� � ���� �%��� ����� ��� ��� ���1����� �� ��� ���� �B�C . ���(*�)+ ����+?��� ?*�(?+)� ��� ������� � ���� ���1����� ���� . *�+ �� /��%� � ��� ��1�������1������ 3�� ���� ����� ��� ���� ������� ��1���� ���1����� %��� �� ����� ����������� �� *���� D�?�

��� ������ �1����� D�?D �� �� �$����� ��� � ������� � ���� �����,� ���� ��� �� ���� ��9

2(*) .�

�B�C�

��������� ������ �� �*��� ����� �

��������� �����

(D�?J)

�� ��� ������� 2(*) ��� ���/ ��/� ��� �� . �9

�=*7,�

��� ���� ��� �)"� ���������� �� �*��"����� � ������ ��� � %� �#� � ��� �� "�#��� ����

�� ����� "�� ��� "����)�� �� +� ����� �� "�#��� �� ����� ����� ���$ ��� #������� � ����,

#������� ���� �� ������� ���� ��� "���� � ���� � %� �#� ��� � ����� ������� �� +� ��� �)"�#��� �� ��$� ���� ��� �� "�#��� ���� �� ���#��$ ����� ����� � � ��� �������� ����� � %� �#� ��-��� .����� ��$ � ��$��� ���� �� ���� � ����� #�������� ����� ���� ��� �� "�#��� ��� �����%������� ����� � -��, � %� �#� ��$� ���� ���$ ��� %��%�� �#���� � �� �������

�? ���� �� ��� # � ���� �

0 5 10 15−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Continuous Sampling

Time (s)

a).

0 5 10 15−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Sampling Interval dt =.5 s

Time (s)

b).

Student Version of MATLAB

0 5 10 15−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Sampling Interval dt = 4 s

Time (s)

c).c).

0 5 10 15−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Sampling Interval dt = 4 s

d).

Time (s)

Student Version of MATLAB

*���� D�?9 )� :����� ���� %��� ������ �� ?+ � �� ��� �������� ��������������� � ���� �����,�� �� �)� �� �+ �)� ? � �� �)� I� �� �� ��� � ���� �����,� ����� ����� (�� � +�)+ ��� �������� ���� �� � ��� �� ��� ��� ���1����� ���� �1������ � ��% ���1����� �����

���� ��������� ������� �� ���� �D

�� � ��

� � � � � >������� ?�����

� � � � �

�� � � � � � ��

� � ��� � �

������������������������������������

@@ @@

��� 7 ��

�A 4���� A 4����

�� ��� ������� 4 (*�) . 2(*���) ��� ���/ ��/� ��� ������� ��9

�B*7,�

�� � ��

� � � � � >������� ?�����

� � � � �

�� � � � � � ��

� � ��� � �

������������������������������������

@@ @@

������ 7 �����

�A 4���� A 4����

��� ���������� �� ���� �� ����� �� ��� �������� �2 ���� �� ��� ���1������� �� ����� ��� �� ��� �� � �� ��+ � ���������� �� ��� ��2� �2 ����

����� $��� �* ���+���� "� �� ��

�����9 3 �3 ��%6��� "���� #B�C ���� �B�C . # � � . ��D(�B�� �C - �B�C - �B�-�C)�

����� '(*)

�����>��� �9 *��� 4 (�) �� ���� ������ �� ������� Æ(�� �) ��������� �� �B�C �� ��9

4 (�) .

#� � �� ���D(�- � - ���)2(�)� (D�?4)

�I ���� �� ��� # � ���� �

0 5 10 15 20 25−1

−0.5

0

0.5

1cos(w*k)

k

0 5 10 15 20 25−1

−0.5

0

0.5

1cos((w+2*pi)*k)

k

Student Version of MATLAB

*���� D�D9 > ���� ���(*�) �� ���((* - ?+)�)� 7��� ��������� �� ��5����� � �������� �� ���������� ,����� / (����� ����� �� ��%�� "���)+ ��� �� ��� � � ��������� ,���� �� / (��� ���� �� ��%�� "���)� ����+ ��� ���(*�) �� �������� � ������� �*� ���� ��� ++ ��� � �������� � ���� � ����� ���1�������� �� ���+ ��� � �������+ ���(*) . ���((* - ?+)�) ��� �� *�

>��� ?9 ��������� '(�) . ��D(�- � - ���) �� ��� ���� ������ ���� ��

'(���!) . ��D(���! - � - ��!)�

. ��D(?���(�) - �) (��# "��� �����) (D�?�)

�� �

� � � �

� � � �

5*7,� � � �

� � � �

#� � � � >������� ?�����

� � � �

���������������������������

7

@@

��

���� '(*) . 4 (*)�2(*) �� ��� ������� �������� �� ��� ����� �

���� ��������� ������� �� ���� ��

��� �������� �� ���� ��% ��� "���� � ��� ���1������� (����+ ���1������� ��� �K��)�� ���60���� *�� �2 ���+ � * . ?�D+ ��� �������� �� ��� �3 ��%6��� "���� �����60���� ���� ���/ � ��� ���1����� �������� ��� ��� %� ���� �� �� ������ $��� ������� ��%6��� "����+ � ���%� �� ��� ��2� �2 ����

����, $��� �* -������ ���+���� "� �� ��

�����9 3 �3 ��%6��� "���� #B�C ���� �B�C . #�� . ��I(�B���C-?�B�C-�B�-�C)�

����� '(*)

����� 3� ������ "�� ��� '�*� �� ��9

'(�) . ��I(���! - ? - ��!)�

. ��?(���(*) - �) (��# "��� �����)� (D�D�)

���

� �

5*7,� �

� �

� � >������� ?�����

� �

� �

@@@@@�@@@@@@@@@�@@@@@@@@@@@@@

@@@@

7 ��

���� ��% ���� "���� �� �������� �� ��� ��%6��� ������� �� ���� �� ���,���� �2 ����

��% %� ���0� ��� ������� ���������� �� ���6����� "����6��5������ ������������ ��� ���� �1����� �� ��(�)��� . �(�) %���� ��� ����� �� �� ���������� ��(�) �� ��� ������ �� �(�) . ��(�)���� ��� ���������� *������ ������� ������ ������ #' ������� �� 4 (*) . *2(*) �� ��� ��� ������ ������� �������� �� �,����9 4 (*)�2(*) . *� '��� ��� "����6��5������ ����2� ���� ��1����� ������������� ������� ��������@ 8��� "�� ����

�E ���� �� ��� # � ���� �

����. $��� �* ���+��� ������+ �/���!� ����$�������

� ����+���� "� �� ���

�����9 3 �3 ���6��� "���� #B�C ���� �B�C . # � � . ��?(�B�- �C� �B�� �C)�

����� '(*)� ���� ��� ��,� �3 �� ������ "����6��5������ ����2� ���� �� ������6����� ����,��,��

����� 3� ������ "�� ��� '�*� �� �� 4 (*) . '(*)2(*)� '�,���� �� 2(*) �,����� ������� �������� '(*)99

'(�) . ��?(��! - ? - ���!)�

. ��(*) (��# "��� �����)� (D�D�)

� . C���� �7�

� .

� .

� .

�5*7,� � � �

� � �

� � � C�������� ���"*7,�

� � �

� � �

@@@@@ ��@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@�@@@@@@@

@@@@

7 ��

� �

�@@@@@@@@@@@@@@�

/�� ������ �� � ������"

�� �'� � ��� 39 �����2

����9 3��,� *' ����2� ���� �� ������ ��� ����� %� �� �� ���1������� ����� ���+�?� ���� �� �2������ ������ ����� ��� ���1������� �� ��� ��� ��1���� ���1�����%���� ��� ��� ��� ���1����� ����������� �� ��� %��� ����2� ��� %��� �����

������� �!����#�� �� �����)���� ���� ���%��� )��� ���� ���*���#��� �� ��%%������ �����*���#���

���� ���� � �J

*' ����2� ������ 3 ������ ����2� ���� �� �,�� � ����� F���F ���1������� ����� �� "��� � ���� �����,� �� ��� �� ��� ��

��� !���

��� ��� ���� �� <6������� ������ �� ���������� ��� ��� �������� �������� ����� <6������� �� ��� �� ������� � ���,������� �� �����,������� ��������� �� ����� � �� �� ���� �� ��� ������������ �� ��,����� �� ��� ���1����� �� ��� ������� <6������� �� �,����� �� ��� ���� ������ �� ��� ���1����� �� �� ���� ���� ��/��%� � ��� ������ �� ������ �������� � ��� <6������� �� ,��� ��� ��������� �������� ������ 8���+ %� %��� ���� ��� �� ���� �� ����� �� �� ����������� ������ ������� �����+ %���� �� �� ������� ���0�� �� ��� ������ �������������� �

��� �� ��� �� ��� <6������� �� � � ������ ���� ��� �,����� ��� ������������ "����� �� ����� ��,������ *�� �2 ���+ ��� � ���� �������� �,� �������,���� �� ��� � �� ���� �� �������+ %���� 2� � ���� �������� �,� ��������� ��,����� ��� � ����� �������� �� "����� �� ����� ���0�� �� ��� ���1������� �� �� ��� '�*�+ �� "���� �� ����� �$����� ������� �� ��� ��1���� ������� ��� ������ ������� 3� %��� �� ���%� �� ��� ��2� ������+ ������ "����� �� ��������� ���� ����������� �� ������ �%� ��� "����� /��%� � ���������

��� $�#�������

'�5�+ '�+ ������� ������ ��� ���,�� ����� ��5������� �1������9 :!: �����+7�� !���+ *��

:�������+ O� *�+ ��4�+ � �� ��� ����� ��������+ 7��/%��� >������"� ������6������

M��+ O�+ 3� ������������ �� ����� ���� ���������9 3��� �� �����+ �P+ �P�

M�����+ ����+ ��4E+ *������ ������9 : ����� ;��,������ �����+ : �����+ �6����

!�������+ �+ �� #� �+ #�+ ���E+ '����,������� ?9 >������ �� 2�������� G��6�������+ ����+ #/�

P�� 0+ #�+ ��4J+ >��� �� �� ���������9 >������ �� 2�������� G���������+ ����+#/�

�4 ���� �� ��� # � ���� �

��( �.�������

�� '��� �� 3�,��� #�������

� >��% �2�������� �� ���26,����� ������ ��� ���� ���� ÆB�� �C �������%��� ���� ��� ����� ���� �B�C . B� ? D IC �� ��� �����

� >��% �2�������� �� ���26,����� ������ ��� ���� �,��� ÆB�-�C �������%��� �,��� ��� ����� ���� �B�C . B� ? D IC �� ��� �����

� ��� ���� ��� ������� ÆB��??C �� �� � ����� ����@ ��� ���� ��� �������ÆB�- ??C �� �� � ����� ����@

� �� #B�C . ÆB�� ??C ���� �� ���� ����� @ 2����� �� �� *�! �� ��!@

?� :��,�������6������������� ���������

� =�% �� ������ ��������� �� ������ �� �������� ���,��,� ��6�� %,����%��� ��6�� %,����@ =�% �� ������ ��������� �� ������ �� �� �������������� �� ������� �� ���� ��� <6�� ��+ ���� ��� ������������+ ������ ��,���� <6������� ��@

� > � �%� 1�������� � ��,� �2���� ��%�� ��� ��� � �6����� ���� ���,��,��%��� � �6����� �����

� �������� ���,� ��� ���,��������6 ����������,� �������� ��� ��� �%� ������B�C . B� ?C �� �B�C . BD � DC� ��� ��+ �� ������ ���,������� �� �� ��������� �� ��� �������� %� �� ���� ���,��������

D� 3����2� �� ��,������

� �/� ��� �� ���� �� � �� �� ������� �� �� ���,��,�� �� %��� ��� "����� B�C . �B�C � �B�C � �B�C+ %���� �B�C �� �� � ��� � ���� "���� ���� ��B�C . B� � ��C� �� � B�C ��� � �� 2� � ����@

� ��% ���/ �� �%�6��� ��,���� �� �B�C �� ��� �� ��B�CH "�� ��� ����2� ����,���� �� � B�C � ��B�C � ��B�C � ��B�C+ �� �����,��,� ���� ��������� �� � ��'�� ��� ��������� ��� ��������� �� � �@

� !���� ��,� �%� �2������� �2���� ��� �B�C . B� � ��C� ��� �� �� ����� ����������� ���� ��% ��������� ���� �� ���� �� ��� ���������� ���� �B�C .B�� ��C@ (=���9 8��/ � ,���� �� ����� ��� �)�

�� � ����" �% ����& �� �����" ���'� � ��

� !���� ���� � �� ? �2���� ��� �B�C . B� � ?C �� /� ���� ��� "�� ������,����� '��� ���� ������������ %��/ ������ ��� ������@ 2���� %�� %��������� �� ���� ������������ ������ ��� �� ��� �������� ��� ��� � �� �������2� �� ��,�����

� *�� ��� I ��������� %��� � ���� ����� ��,�����

��+ �����*�. �' $����0 �# 1����. 2!����

3 �� ���2 �� ��� � �� ��"��� � � . 6�(�)- 0�(�)� ���� �� ��� �� �� �������� ������� ���������� (6�(�)� 0�(�)) �� ��� �� ���2 ���� � ���%� ����%+ ���� ,��%�� � ,����� ��� ������ �� ��� ����� (6�(�)� 0�(�))� ��� � �� ��� ������������� �� ���� ��������� � � . �����% %���� 7 �� ��� ���� �� ��� �� ��� ������ (�� �������)� ���� �� ��� ���� ������� ��� �� ���2 �� �����

�� ��� �� ���2 �� ��� '(*) �� �������� �� ���1�����+ ���� %� ��"�� ��� 6������ ������� � �'(*)� �� ��� ���� ������� � 7(*) �9

'(*) . 6� �('(*)) - 0�('(*))�

�'(*)� .�6� �('(*))� - 0�('(*))��

7(*) . ��� �B0�('(*))�6�('(*))C� (D�D?)

=��� ��� * �� ��"��� � ���� ���1����� ������ �� �,���� ��� �� ���� ���� ����� �� � . ��!� %K� �� �� ��

� ��� � 5

� � �

� � �

� �

D�� � � C������ )�"�� �� '����� 5 �� �5�

� � .

� � .

� � ���

� � .

@@@@@ ��@@@@@@@@@@@.@@@@@@@@@@@@@@@@@@

>���

��'(*) . ��?B�-���(*)C �� ��� �� ��� ��� ��� ���� �� 0���+ �� #(�) �� 0���6��������� >� ����� ��������� �� �� � �%�� �,� 0��� ���� ��������

E� ���� �� ��� # � ���� �

��, �����*�. ' ��"&�3 1�*��

��� �3�837 ���� ��� ��� "����6��5������ �������� �� ��� %,� �1����� �� �,�� ����� �����%���

����� ���� ��� ��������� ������ ������������� � ����� ���� ���� ������ �������� ������ �� �� ! ������

��� ������� � ����� � � "������� ��#��� �$�� ��� � �� ����� ������������%��&���� �%�� ��� � � "������� ��#��� �$�� ��� � %� ����� �������������������� ���� ��� � � "������� ��#��� �$�� ��� � �� ����� ������������'��&���� �'��%��� � � "������� ��#��� �$�� ��� � '�� ����� �����������������(�������)����������������)���)������������������)�����#���*�����)�)�����#)����++*)#���)����������#����$�����#)�,%�������� ����� �����$�� ����� ��)��$ �$��$%�$��������� ���������������� (��-����������������(���������� � �%%������ ��)�*����������� �� .�����������#)�

�� ����.��� �%%���������������������� �%%��%%�*�%%� �) ��)/ ��)%��)/%��������0 ������������� �� .���������%*�� � �%*�����#��)���������%*�0 � � �%*����0 �#��)�����)))�%*�������)))�%*�0 ���������

)))� �������� ���%*��� �#��)������$���#������/�$�#%�.�.�$�#%� �)*� . .�)��������� /� �*� * ��,% *$�,% � �*�)$�/ ��,% * $�,% * ��,% � �1���2��� ���������������� .��������� .���$�������������������3������ 4�"����3��)��5���36��� ���3��$���������� ���%.���$%�%.�) ��%*$ �%.�) � / $��%.�) � 0 ��$��*�%%�%.�) ��*�$ � .�)%�/%*$ �%.�) �0$ ��.�)� ��$%� ��$%� �0����������/���������/ �� $%��)��$ ��)�0�$ ��)/ �/$ ��)��*��������*�#)�

$���� �$%�)))�����3//3��������137�899:�8 9;<79�=6 6� 3����%�����*����3 ���32��)��5���3>�$�� ���3�� $������� �$��$ � $ �$%��� ��� .����������������������$%����/$%���0 ��#)���������� ���� ���� .�������

�)���*��)���)��5������������(��-� .����������� 0 ������� .�������#�)�

�� �$�����*� . .����(��-�3/3�� )��5���36��� ���3�� ������37������� <����������� 9�����(����3�����5���3>�$�� ?�"��3�

�� ��� �

�� ����� �� ��� !���

� �����

*������ ���������� �� �� ������� �� �2 ���� ����� ������� ���������� �� ��� <�� ��� >������� ��� �������� �� 0���� �� ����� %��� ����� ��� ��� ���6 �� ��%6��� ������������� �� ����� "������

3 ����"��� ������ �� ������� "����� �� ��� < �� �� �� ��� ��� �������%��� � �� * �� ���6�����+ %���� �� ��� �� ���������� ������� �� ��� ���1�����6�� �� "����� ���� ������ �� �� ����� �,���� � �� ��� 7������ ������� �* .?�� �

�� � . ��!�����!��

��� 1�!����� ��* ��������� �������

!���� ��� ����� 3!�3 ����� '(�) �� �� ����������� ��

'(�) .(�� �)(�� ?)���(�� �)

(�� ��)(�� �?)���(� � ��)� (I��)

%���� ��� ��� �� ��� 0���� �� ���� �� ��� ����� �� ��� "����� 8��� ��������� ������,��� �� ���� ����� "���� �� �2 ���� ��� ��%6��� �� ���6��� ��������������� ��� �� ��� �������� (�� ) �� ��(�� �)�

,���� %��� � 0�� ���� ��

3 ����� 0��� ������� �� ����������� ��'(�) . (����) �� ��� ���� �� ��� ��������������� � �� ������� �� *���� I��� ���� ��� ��� � �� �� ,������ �� ������� ����� ����� � * ����� �1�� �� ?++ �� ��� ��� ������ �� � � �� ������ ��� ����� (����+ ����� ��5������ �� � �����)� ���� � �������� ��� ���� ������� 7(*) ��������� ���%���9 ���+ 7(*) �++ �� ������ ���� ���� ��� %��������� ?+� ���� �� ��� ����� %� ��� � � �� ��� � ���� %,����+ ��� ����������� �������� ��� � ���� ,������ �,��� ?+ ���� �� *� ���� ��� ���

E�

E? ���� �� ������� �� ��� '����� � ���� �

0

PhaseSpectrum

Magnitude Spectrum (i.e., z and z are closest)

ω

ω

π

−2π −π π 2π

2π2π− −π

Angle at which z and z parallel00

φ(ω)−

ω*

ω*

Real

Imag.

ιωz=e

φ

ωω*

z0

0z−z = |H(z)| e

ιφ(ω)|H( )|ω

: H(z) = z−zMinimum Phase Zero Couplet:

*���� I��9 ���� � ���� ����� 0��� ������� �� <6���� �� �������� �������� ���� ������� �� ���� ��� ��� ���� ������� �� �������� %��� ������ ?+�

��� ��� ��� ��� ������ ��� 0��� �� �� �� ��� ���� ������ ��� ������� ��� ����� � *H���� ��� ��� ���� ��� ����� ������� �� �� ���� � ����� "���� ��� ������ �����%���� ���1������� ��� *�

��� ������ �� ��� �,� 0��� %����� ��� ���� ������@ ���� �� 2� � ����������� ��� �� ���� ��� ��� ���� ,������ ���� ��� ����� ������ %��� ������ ?+��� ��� ��� ���� ,������ �������� %��� *+ � ���%� �� *���� I�?� ��� ���� ��� ����� �� ?+ �,��� �� ����� ���� �� ��� �������

,���� %��� � �� � ���� ��

3 ����� ���� ������� �� ����������� �� '(�) . ��(� � ��) �� ��� ���� �� ����������� ������� � �� ������� �� *���� I�D� ���� ��� ��� � �� �� ,������ ��������� �� ��� ����� � * ����� �1�� �� ?++ �� ��� ��� ������ �� ���� �������� ����� � ���� ��������� 3� �� ��� ��� � ���� ����� 0��� �2 ���+ ��� ����������� 7(*) ��������� ���%���9 ���+ 7(*) �++ �� ������ ���� ���� ���%��� ������ ?+� ��� ������� �� ��� ��� ������ ������� �� ��� ����� ����������� �� ������� � *+ ��� ��� � � �� ��� ����� 0��� �������� ���� ������ ��� ��� ��� ������ ��� 0��� �� �� �� ��� ���� ������ ��� ����� ��� ������� � *H���� ��� ��� ���� ��� ����� ������� �� �� ���� � ������� "���� ��� ���������1������� ��� *�

��� ������ �� ��� �,� ���� %����� ��� ���� ������@ ���� �� 2� � ����������� (��� *���� I�I) ��� �� ���� ��� ��� ���� ,������ ���� ��� ����� ������%��� ������ ?+� �� ��� ��� ���� ,������ �������� %��� *+ � ���%� ����%� ���

���� ������� �� ������� � ����� � ED

0z−z = |H(z)| e ιφ(ω)

z0

Real

Imag.

ω

z=eιω H(z) = z−zMaximum Phase zero Couplet: 0

Phase Spectrum

Magnitude Spectrum

ω π2π− −π

φ(ω)−

ω−2π −π π 2π

Angle at which z and z parallel0

(i.e., z and z are closest)0

ω*

ω*

|H( )|ω

*���� I�?9 �2� � ���� ����� 0��� ������� �� <6����� ���� ��� ��� ���� ��� ����� �� ?+ ��� �,��� ?+ ,������ �� *�

PhaseSpectrum

Magnitude Spectrum

Minimum Phase Pole Couplet:

(i.e., z and z are closest)

ω

ω

π

−2π −π π 2π

2π2π− −π

Angle at which z and z parallel0

φ(ω)

ω*

ω*

H(z) = 1/z−z0

Real

Imag.

ιωz=e

φ

ωω*

z0 z−z = 1/ |H(z)| e

0

ιφ(ω)

0

|H( )|ω

*���� I�D9 ���� � ���� ����� ���� ������� �� <6���� �� �������� �������� ���� ������� �� ���� ��� ��� ���� ������� �� �������� %��� ������ ?+�

EI ���� �� ������� �� ��� '����� � ���� �

z0

Phase Spectrum

Magnitude Spectrum

ω π2π− −π

φ(ω)−

Maximum Phase Pole Couplet:0

: H(z) = 1/(z−z )

Real

Imag.

ω

z=eιω

z−z = 1/|H(z)| e ιφ(ω)

0

ω−2π −π π 2π

Angle at which z and z parallel0

(i.e., z and z are closest)0

ω*

ω*

|H( )|ω

*���� I�I9 �2� � ���� ����� ���� ������� �� <6�����

���� �� � ����� �� ?+ ��� �,��� ?+ ,������ �� * (����+ �,��� �� ����� ���� �� ���������)�

,���� ���� �� ��������

>� � ������ ���������� �� �������� �� ��% �� ��"����

�� �%� �������� �,� ��� � � ������ ������� ����� �� ���2 ���$������������ �� ����������

)����2 8�� '�(�) . - �� �� '�(�) . �� - ��� ���� �� �� ��� �� ���%��� �'�(�)� . � - �� - ��� - �� �� �� �'�(�)� . � - �� - ��� - �� ��

=���� �'�(�)� . �'�(�)�� ���� ��� ��� �� ��� �������� �� ��� � ���� ����� ����� �� 2� � ����+ �� ���� �,� ��� � � ������ ������� �

?� �� ����� � �6����� �� � ������ %��� �,� ?��� ��5����� �� � ������ %��� ���� � ������ ������� � #� ����� �� � ������ ��� �� ��� %��� �� ��� � ����+ ��� %��� �� 2� � ����+ �� ��� ���� %��� �� �2�� ����� ������� �� ���1������ �� ��� ����� �� 0����+ �� �� ����������� �� ���� �������

)����2 �� %� �,� ? �������� ���� ����� �� ?� . I %�� �� ������ ������������ �� ����� �� ��� � � ������ ������� (���� �����%� ��� ����6���� �)� �� ����� �� D �������� ���� ����� �� ?� . 4 %�� �� ������ ���

���� ������� �� ������� � ����� � E�

��������� �� ����� �� ��� � � ������ ������� � �� ����� �� % � � ���6����� ���� ����� �� ?��� %�� �� ������ ��� ��������� �� ����� �� ���� � ������ ������� � 3� �6����� �� � ������ �� ������� ��� �� ����������� �� % � � ���������

D� ���� � ���� �6����� �� � ���� %��� �,� ��� � ���� ,������ � *,���� �,�� ?+� �� ��� ��� ���� 7(*) ������ ������ �,��� ?+ ,������ �� *�

)����2 ���� �������� �����%� ��� *����� I�� �� I�D+ �2���� ��� ������� �� ����������� �� ������� � �� ��� �������+ �� ��� ���� �� �� ����� ����,���� ����� ��� ��� �������H ��� ������� ���� ������ %��� ?+,������� �� * �� ��� �� ��� ������ �� ��� � � �����

I� �2� � ���� �6����� �� � ���� %��� �,� 2� � ���� ,������ �* ,���� �,�� ?+�

)����2 ���� �������� �����%� ��� *����� I�? �� I�I+ �2���� ��� ������� �� ����������� �� ������� � ��� ��� �������+ �� ��� ���� �� �� �� �������,���� ����� ��� ��� ��������

�� �� #B�C �� ��� ����

#B�C � #B�C&�'��� '(�)'(�) (I�?)

)����2 ���� �������� �����%� ��� ���,������� �������� �� <6������� ��

E� �� �B�C �� ��� ����

#B�C � #(��) &�'��� '(*)�'(*) (I�D)

)����2 ���� �������� �����%� ��� ��� ��� ��� #B��C �� ��&����� ,������ ��#B�CH ���� ��� ���� ��������� �� #B�C ���� � ��� ���� ��������� �� #(��)�� ,��� ,���� ��� ��+

#B�C . ���- #B��CÆB� - �C - #B�CÆB�C - #B�CÆB�� �C - ��� ��

'(�) . ���#B��C��� - #B�C - #B�C� - ���

#B��C . ���- #B�CÆB� - �C - #B�CÆB�C - #B��CÆB�� �C - ��� ��

'(��) . ���#B��C��� - #B�C - #B�C� - ����

(I�I)

EE ���� �� ������� �� ��� '����� � ���� �

���� ��� ��� ��� '�*� �� ��� �� � ������ #B��C �� '(*)��3������ � � ��� #B�C � #(��) �� ������������� H #B�C � #B��C �� �1��,���� ���/�� ��� ��� ������� �� #B�C %��� ������� ������ �� ������ (��� �������6��&����������� �� ������ � �� #B�C � #B�C� *�� �2 ��� �� #B�C . B� ?C ���� #B�C � #B��C .B? � ?C+ %���� ��� ����� ,���� �� ��� ���� �� ���� ��� �� �� ���� ����'(*)�� . '(*)'(*) �� ��� ��� '�*� �� ��� ������������� �� ��� ��%��������� �

J� �� #B�C �� ��� ���� ��� ������� �������� %��� �� ���2 ��������� ����� ���� ���2 ���$��� ����� ��� ��+ �� ��� ��� 0��� ������� �� 0��� � �� ������� ��� �� 0��� � ��+ ��� �� ���2 ���$��� �� ��� "��� 0����

)����2 ���� �������� �����%� ��� ��� ���

� � � �

5*E, � *E�E#,*E�E# , � E � E*E# . E# , . �E#�

�@@@@@@@@@�

F

� >�*E#,

���� ��� ���Æ������ �� ��%��� �� � �� ��� � ����� ��� ��� ���Æ������ ����� �� � �� �� �� ��� ���9 #B�C . ÆB� � ?C � ÆB� � �C?6�(��) - ����ÆB�C����� �������� �� � ������ ������ ��� %�� �� ���� ��� "����� �� ��� �� ��� �� ������

4� �� ��� #(�) �� �� ����� ��������� (����+ #(�) . #(%��-�)) ���� ��� ������������ �� ����� (����+ 7(*) . *��+ %���� � �� �������)�

)����2 �� %��� �� ������� ���� �������� ��� �� ����� I6����/�� �2 ���+�� ��� ������0���� �� � �6����/�� %��� �� ��,����� 8�� ��� <6������� �� I6����/�� �� �,�� ��9

'(�) . #� - #��� - #��

� - #����

. #� - #��� - ��(#��

�� - #�)�

. #� - #��� - ��(#��

�� - #�)� (�� �������� �� ����������)

. ��(�B���(�(#� - #��) - ��(�(#��

�� - #�)C� (� ������ ��(�)�

. ��(�B#�(���(� - ��(�) - #�(�

��(� - ��(�)C� (�� �� ���� �����)

. ��(�B?#����(*���) - ?#����(*���)C� (I��)

���� ��� ��� �1����� ��� ��� ��� ������� �� �,�� �� ��� ��� ��� �����/��� ��������� �� ��� �2�������� %��� ��� ����� ���� ����� 7(*) .

���� ����� ������ EJ

1/z

1/z

z

z*

*

o

o

o

o

Zeros of a Real and Linear Phase FIR Filter

*���� I��9 <���� �������� %��� *�! "���� ���� ��� ��� ��������� �� ��� (����6���� J) �� ��� ���� �� ����� (�������� 4)�

���*� =����+ ���� %��� ����� ����Q ���� �������� �� � ������ ��������� %�� �� ����� "����� %��� ����� ���� ���������� (����+ �� ����� ������������)+ %���� �� ��� �������� ��� ���6����� ���� ����������� >�� *�!*����� '���� �������

3 �����1����� �� �������� 4 �� ��� ��� �-� ����� "���� #B�C %��� ��������� (����+ �� ����� ���������) %��� �,� <6������� '(�) . ��'(���)����� � ����� ��� �� '(��) . � ���� '(����) . �H ����+ ����� ��� �� 0������� ���� � �� ��� ��� � ����Q ����+ ��� 0���� �� ��� ����� ���� "���� "���� ��� ����� � 1������� ����+ � ���%� �� *���� I��� #�� �� ��� ���� ����� �� ��� ��������� � �� ���2 ���$��� ����+ �� ��� ����� ��� �� ��� ������� ���� � �� �� ���� �� 0���� �� ��� ������� �

�� ������ ������

�� �� ��% ����� "����� �� ���,��� �� %��� ��� �����%�� �������� �������������9

� :����

� <���6���� �� ����� ����+ ����+ ��� ���� 7(*) �� ��� "���� ������ �� 7(*) . �*%���� � �� �� ���� ���� ��� ��� ��,���� <6������� �� ��! �� �� ��� ������� ������� Æ(���)� '���� �� ��� �� ������� ��� �� ��� �� � �� �� �� ����� ���6����� ���� �$��� ���� �� ��Æ���� �� ������� ��� �� ��� �� �6�� ���

E4 ���� �� ������� �� ��� '����� � ���� �

� ���� ��� �� �� ������� �� �� ���� "���� �� ������ ��! �� �� *�! ������� ��� ��! "���� �,��

������ ����5� ��� *�!�� (%���� �� ������� ���+ ��� �� �� � ��� �@) �����5�� ��� ��� ���� ����������� 7���% �� ����� ��� ��� ������� ��! �� *�!"�����+ ��� %� %��� ���� ��� ������������ ������ �� �����1���� �������)�

�1� ���2 $������ � $� 8��� ����� ��� � �����*9��� :����3

� �� ����� ����� "���� ��� /���� ': ���1������� �� � ����� ���� 2B�C+ %� ��� ������ 0��� � � . � �� ��� / (�) . �� �� ���� "���� %��� �,� ����� � �� �� �������� �� %� ����� ���� �������� J �� ��� ��� ��� �� ���$����� ����� ���������

� ��� '�*� �� / (�) �,�� � B�C . �ÆB�C - ÆB�� �C� �� �B�C . ������� ��� �� �+����+ �B�C �� ': ����+ ���� � B�C � �B�C . �� #�� "���� �������� /���� ��� 0������1����� �� ����� �����+ ��� �� ��� �������� ����� ���1����� ������� ������ ����� ���� ������ � B�C �� "����6��5������ ����2� ���� �� "��� �� �����,��,��

� 3 ������ ����� "���� � � ���1����� ��� �� �� ������� ����60��� "����/ (�) . (� � �)�(� � �� �) . (� � �)(�- ��� - �4���- �J?�����)� �� ����� � �� �� ���� "���� ���� �� �(�) . (����) � (�� ��� �4�� �J?� ����)� ��� "������ (����) �� "����6����,��,� ����2� ���� ��� /���� ��� 0���6���1������� ': �� ������ �� �B�C� ��� ������ ��� �� ��� ����2� �� ��,���� �� ����,��,�+ ����+ � ����2� �� ��������� ��� �������� ��� ��� ���������� ����� ��� ����,��,�� !���� ��� �2�� ��������� "���� �� B�� �� �� �� �� �� ���C ������� ����0��� �����

� ��� "���� � B�C . B����C�B�� ����� ���4� ���J� ���C �� ��� �� � ��� ��� � � �3"���� ������ �� ��� ���� ��� �� ��� �� "���� ���������+ ��������� ������ �������6�5 ������� 3 ������ %� �� � ��� ��� ��� "���� �� ��� �� � �� �� �� %������ 3!�3 ������ %���� ��� ��,� "������ �1����� 4 (�) . / (�)2(�) ���� ����� � 4 (�)(� � �����) . (� � �)2(�)H ���� ���� �� ��� 3!�3 ����� �1������ �B�C � �����B� � �C . �B�C � �B� � �C� ���� ��� 3!�3 ��� ���1������ �� � ��� ����� %��� ��% ��������� � ��� �� � ����+ %�������� �����������

� �� �� ��,���� ��� ������ "���� ��� ������ �� %� ���� ��� ���� ������ ����� ���� ������ ���� � / (�) . (� � �) �(� � �����)+ �� ��� ��� ����2� ����������� �� ��� ������� �� ���� ��� ��� �� � �� �� "���� ���/� ��/�� B�C . B����C � B�� ����� ���4� ���J� ���C�

�� %� ������ ��� 0��� "���� �� /���/ ��� E� =0 ��������� ����� �� ��� �����%� ���� 0��� �������� � ��� ��������� ������� ��� ��� ���� ������� ��� "����

���� '����� � ���� � E�

��� �� �,�� ��� �5����,� �� %� ��� ����������� �� ��,��� 0��� �������� � ������������ ��������� �� %� %�� �� ��$��� ��� �� ���1������� ��� + �� D�6��=0+���� %� ��� ����� �� ���������� 0��� �������� %��� 0���� ������� ��� ���� ������� ��� ��������� �������� ��� ��� ���� ������� 3�� �� %� %�� ���� ������� ������� ������������� ���� %� ��� ������� �� ��������� ���� �� 0��� �������� ������ "�����

,���� � ���� �� ��

3������ "���� �� � ��6��� "���� %���� ��� ������ ������� �� �1�� �� � ��� �����1�������� �� �� ��� �� ����� � ��6��� "���� �� ��� ���1����� �� ��+ �� ������ ��� �� ����� �� / (�) � - �� �� ��� ���� ����� ������ �� ��� � � ��������2���� ��� �� ���2 ���$��� ��������� �� ���������� ��� ��+ / (�) . ( -��)�(� - �) �� ��� �/ (*)� . � - ������ - �� . � �� �������� �� 3�� ������� "���� �� �� ������� %��� ��� ��6��� �������� 3� ��������� �� � ��6���"���� �� �� ������� ��� ������ ��� ���� ���������� �� ���� %������ ��������� ��� ���������

��� 3������� "����#��

����� �� ���6����� ����������� ���%��� ��� <6������� ,����� � �� ��� *������,����� *+ ����+ ���� �� ������ � � . ��! �� * . ���� ���� �� ��� �� ������ �(:�������+ ��4�H M��+ ��4�) �� �������� ���� ��� * �� �� "���� ������� �� ���< �� �� � ����� �� ������ ��� �� �� >� ��� ����� �� < ������ ��� �� ��� ����6��� ���� �� ��� ����� �� * (����+ %� � ��� �%�� � ��� ��� "����� �� ������� ����� �� ���1����� �� ��)� ���� �� ��� �� ���� "���� ����2� ����� � ��� ���61������� (���+ ���%�� "����6��5������ ����2� ����� ���� � ,��� �������� �������� � ���� �����,��)�

=�% �� %� "2 ���� ������ @ ��� ����� ���� �� ��� ���6����� ���� �� � ��* /��%� � ��� ������� ������� (M��+ ��4�H :�������+ ��4�)� =���+ %� ��� ����������� � . ��!������!�� �� �2��� ���� �� ����� �� ���� ����� �� ��%�������� �� * �� ��

� .��!��

���!��.

� - *�? - (*�?)��?Q���

�� *�? - (*�?)��?Q����

� � - *�?

�� *�?� (I�E)

>� �����+

* . ��(��!) . ��� . ?3 - �

3 � � - ��D(3 - �

3 � �)� - ���

� ?3 - �

3 � � � (I�J)

J� ���� �� ������� �� ��� '����� � ���� �

|H( )/ |

20 db

−20 db

Bilinear transform

1st Difference operator

*���� I�E9 7������ �� "���6����� "����6��5������ ��������� ������� ���� ���61������ ��� ���6����� *' �������� �� �������� ������ �������� � ����� ���61�������+ ��� �� �� ��� ���� ����� � ����� ���1�������� ��� ������� ������� �� �� ���� ����� (�/������ ��� M��+ ��4�)�

���� ������� ���%��� � �� * �� /��%� � ��� ������� ������� � �� ������ �� ���%���6/��%� ����/ ��� ��� ���� �� �2��������� �� �1����� I�E ���� �� ���������,���� ���� �� �2������� (M��+ ��4�)�

�� ��� %�� ��� ������� ������� �� ������+ ����� ��� ���%�� "����6��5����������2� ���� �� ��� ���6����� ��5������� ������� �

��� Æ(���)�Æ(�)� ��� ���1�����

�������� �� ���� ������� �� '(*) . ��� �� ���� �� ��� ������� ���1����� ���������� '(*)������� . *� ������� �'(*)�'(*)�������� . �'(*)�*� �� '(*)"�'(*)��������. �?"�

"���*� ���%� (��� *���� I�E) ��� ��� ������� �������� �� ������ ����2� ����

�� ��� ����,��,� ��� ��� ���%�� ��5������ ���������

3 ���� �������� �� ��� ������� ������� �� ��� �� ������,�� ��� ��� � ������������ �� ��� ������� �� �� ����� �� ����2� ��� ����+ ����� ������� ����� ������� ����2� ���� ������ ��� �� ������

�� ��������� ���� �����+ ����� ��� '(�) �� ��� � ���� �� �� ���� �� ��'(��) . � �� ������� ��� ���� ������� 7����� �� . ��)����!���*��!��+ ���� 0�(*�) ��� �� ����,� ��� �� �� �� ������� ��� ���� ������

�� 8��/���+ ��� ������� ������� (:�������+ ��4�) ��� �� ��� ������ ������� ��� ���� ������ �� �� �� ��� ����,�� ���� ��� �� ��� * �� ���2 ����� ����+ ��� � ���� "���� ����2� ����� ��� ������� ������� %��� ������,� ��� ��� � ���� �����+ %���� �� ��� ������� ����2� ����� �� ��������

���� ������ � ��� "�#�� �� �� �������� � � �� ����� �� ������"��

���� ���� � J�

��� !���

7����� "����� �� �� ������� ���� ����������� �� 0���6 �� ����6�������� ������� �� ����,� �����"�� ������� �� ��������� ��� �� ������ %��� ��,����"����� �� ���% ���,������ �� 2� � ���� ��������� ��� ���� �� ���� "������3!�3 "����� �� ��� �������� �� ���� �� �3 "����� %��� ��� �3 "���� ��/� ������,������� 3������ ���� ��� ������� "����� �� �� ���� ��� ������� ����2� ����+%���� �� ������ ������� ��� ���� ������ �� �� ����% ��� ��� ���� �� ��� �� ���2* ����� ���� ��� ��� "���� �� ��������� ����� ( ��� � ���� %��� 0����������� ���� ������) ���� ������� ����2� ���� %��� ������,� ��� ��� � �������������

��( $�#�������

:�������+ O� *�+ ��4�+ � �� ��� ����� ��������+ 7��/%��� >������"� ������6������

M��+ O�+ ��4�+ 3� ������������ �� ����� ���� ���������9 3��� �� �����+ �P+�P�

��+ �.�������

�� '���� ��� ����� "���� �� /���/ ��%� E� =0 ������ ��� ���� � "���� �(�) �� ����� � E� =0 �� �� &� �,���%���� ����+ %��� 0��� ���� ������� � �/� ������� "���� �� ��� �� ��� �� � �� �� �� ������� ���$��� �� ����� ���������

� 3��� � � ���� �����,� �� ��.���� �+ "�� ������ 0��� ������� "���� ���%��� /���/ ��� E� =0 ����� �� ���� ���� �� + ��� ����� ��� �� ��� ���6E� =0����� �/� ���� ��� ��� ���$��� �� ����� ��������� ���� ��� �������� ���� ������� + �� ���� �,�� 6��1���� �� ��1����� ���� ��� �(�)� �/����� �� 2�� �� ������ �������� �� ����� �� ������� �� =0�

� > � � ��,� �2���� ��� ����������� �� ��,��� 0��� "����� ��� %��� /���/��� ���1������� ���%��� �� =0 �� E� =0�

� ��� ������ � ���� 0���� �� � ������ �� ��� ���� ������@ �� �� ������ �� ��� 0��� ,��� ����� �� ��� ���� ������ �� �� �� ������ �� ��� ��,��� 0��� �������� %���0���� �� �%�� �� ��� ��� ���� ������@

� �� ����� ��5������ �� ��� ������� �������� �� ��� 0���� %��� ������ ,������������ ��� ���� ������@

J? ���� �� ������� �� ��� '����� � ���� �

� ������� ��% ���� �������� ���� ���� ����� �� �(�) �� ��� ��� ����� �,� ����� � E� =0 ��� ��� �,� &� �������� ����%����� ���� ������ ������ ������� �� ���� ��� �(�) �� �� ��� �� �����K�� ����� �� ��� ����60��� "���� �� ���� �� 0��� "����� P�� ��� %�� �� ��� ��� F"����F �� ���� �3�837 �� "�� ��� �(�)� �/� ���� �� �������� �,� ���$��� �� ���������+ �� ��� ���� ���� "����� �� ����� �� ����� ����� ������� ���� ������Q

� ��� %���� ��� ������ ��� � ���� ���� "����� �,�� 2� � ���� ����"�����@ :� ��� �� ����� �� �6�� �� ��������� %��� %���� ��� ��� ���������� � ��/� ����+ ����+ ��!+ *�! �� ���������

� �/� �3�837 �,�� �� ���� ����6���� "����� >�� �,�� � ����9KK�� ���������K� ��K0��

?� (*�� :�������+ ��4�) �� ��� �������� �� ��5����� ������ � %� ����� ��� ���

����� / (*) . ����*)� *��� ��� ���� �� � ������������� �(�) �� ������"�����

�� ��%��� �� �9

(�� - ��� - ���� - ���)� . ��(�*) � ��?(� - �)�(�� �)� (I�4)

D� ��� ������ �� � ����,��,� ������ �� ��� ������� �*�� >� ��� �� ��� ���,���������� + ����� ��� ��� ��� I ��������� ��� ��� ����2� ���� ����%9

(�� - ���- ���� - ���) . *� � I((�� �)�(� - �))�� (I��)

I� ��� ����0���� ���� ��� ��������� �� �(�) .� �� �(�

�)��� �� �� . ����- ��(��-����)�>��% ��� ��� � ����� �������� �� ���� ����2� ���� �� '(�) . ��(� - �)�(�� �)�=�% �� �� ������ �� ��� ������� ������� @ ����� �� ��� 0���� �� ����� �� ����"����@ >��% ��% ���� "���� �� �� � ��� ����� � � 3!�3 �� � �3 "���������� �� ��� ��� ������ � ��� �������+ 3!�3 �� �3@ ���@

�� ��� "

#� �� �$ �� ����% ��� ��

� ������ ����� ���

(�� ����*!�����

>� ��� �� ��� ���� %� �� 1���/�� ��������� ����� �� �� ��� � �2 ���+ �����6����� ��� ��� �� ���� �� ��� �� ��������� ����������� *�� ���� ����� ��� "��������� �������� ��� �2 ��� �� ��,���� � �� ������ ��� �� ��� /�� ���� �� ������ ��� �2 ��� ��������� ��� ������ ���������� �� ���� �� ���� �0����+ %���� ������������ ���,��� ����� ������ �� ����� �� �������

�� %��� ��������� ������ ���� �� ���� �0����+ ���� �1���� ��,������ (G����� ��+ ��4�H*�������+ ��4J)� �� ���� ���+ ��"� �������� �� ��� �� �� �� ����� �1���� ��,���� � �������� �� ��� �������� �� ��� ��� ��� ��� �0�� ��� ��"���������� ��� ��,���� � ������� �� ��� ��5������ ���%��� ��� �����,�� �� �����������,���� ��� ��� ������� �������� �� ��� ������ ���� ��� ��� ��2� �������� ������������ ��������� ������ � �� ������� ���6������

�� %��� "��� ��,��% ��� �� ������������� �� � �,������������ ����� �� �1�6�����+ �� ���� ���% ��% ���� ����� � ��������0� ��,���� � �� ����� ������ ������ �2 ��� %��� ��������� ��� ����� ������� �� %���6����� ��,���� ������ 9 �2��6����� �� ��������+ ���1������+ �� �������� (G�������+ ���D)�

(� &���� 4!���� �����5�����

3� �,������������ ����� �� ����� �1������ �� ��� �1������ ��� ��/��%���*�� �2 ���+ ��� D2? ����� �� �1������ �� ����0�� �� �� . � �� �,�� ��

��� � �

� ���J ��J

��� ������

�.

��� �??

!" � (���)

JD

JI ���� �� � ������� ����� ��

1

s s1 2#1

#2

#3

0.7

*���� ���9 � �� �2���� ��� ������ �� �1����� �� ��� �� �� ��� ��������,���� ��+ ��� �� ��� ������ �� ������� ��2� �� ��� �� ���+ �� ��� �� �� ������������� ��� ���%���� ,��� �� ��� ����� ����+ ��� ���� ��,���� � �� ��� �� ����� �� ��� ��,���� �� (����+ (�� ��� �����)2���%����) �� ���

����+ ����� �1������ �� ����������+ ����+ �� ��� �������� �� �� ���������� �������� �� ��� �1������� *�� �2 ���+ ��� ������ �� ����� �1������ ���&��� %��� ����������

3 ������� �2 ��� ������ �� �1����� � �� ��� �� ������ � �� �2���� ������%� �� *���� ���� ��� ������ ��,���� � �� �� �������� �� ��� ,����� �+ ����� �� �� �� "�� ��� ��/��%� ���%���� ,���� �� �� ��� ����� =��� ��� - ���2������� ��� �� ��� ������ �� ��� �����+ �� ��� � ������� ��� ���%���� �6� ������ ��� �������� �� ���� �,������������ ����� �� �1������ �,�� ��� ���%������ �� �(�� �� �)� ���������+ ��� ��,���� � �1������ �� ������������ ��������� �� ������ ��,���� � ���/�� ������ �� ������ ��� ������� ���� �� ���� ����� �� ���� ������

G�� ��������+ ��� ����� �1������ �� ��� ���� � ������ ����� ���%� �� *�6��� ��?+ �� �� �� �� ������������ ����� ��� ��� ��� �1������ �� ��������6����� 3������ ����� �� �� �� �� �������� �� �1����� ���+ %� %���� �� ���� %���� ����2� �� �������� F�����F �� ��� ������ �� ������������� >��� �� ��� ��� ����� ���� �1���� �������� %���� ��� �0�� ��� �����%�� ��"� ���������9

1 . ��? B-�� � C� � B-�� � C�

. ��?�����

�����

(����� � ��)��

���� ���� �(� �� ������#���� J�

S1

S2

S1

S2

s + s = 2

s = 11

1

0.7 s + 0.7 s = 2

ε

2

2

*

*1

*���� ��?9 ()� 8���� �������� %��� �1����� �+ %���� ��� �1������ �� �������������� ����� �� �� �� �� ������������ ������ (�)� ���� ������ �������� %��� ��"����������

JE ���� �� � ������� ����� ��

. ��?�����

��� � (��?)

%���� �� �� ��� �# �������+ ����+ ��� ��5������ ���%��� ��� �# �� ������ �� ������������ � �� ��� ���� !=> ,����� �� �� ��� ��� ���� ���� ��� ���2 �� ��������� �1����� ��� ������ �� ��� ��/��%�� �� ���� ��� ��� ��� ��,� ����� ���1������ ������ �� ������� �� ����� ������0�� ����2� ���� ����������� �� -�� .�+ � ��������� �� ��� ���,���� �������

������� ��� ��"� ,��� ���� �� �� �� ������ ��� ����� ��%� ���%� �� *�6��� ��?�� �� �� ��,���� ��� ��� ����� �� ���� ����� ��%� �� �������� �,�� ��� ���� ��������� ��+ %���� %��� ��� �� ���������� ��� ���� �1���� ��������� ����� �� ����� �� ��� ����� ��%�+ �� %� ��% /��% ����� ����� ���� �1���� ���������

������� ��� ��� ����� ������ �� "�� ��� ���� � �������� � �� ���,������ �������� � �� �1������ %��� $��� ��% ��/��%��+ ��� �� � ������� ��� �� ��/��%���3 ��� ����� ��� ������ �� �� ������0� ��� � ��� ����� �� ��� ����� ��%� �������� ����,��,�� &1�&�� . � �� �� ���������� 0���� ��� ��+

&1�&� .�����

�����

(����� � ��)���&���&��

.�����

�����

(����� � ��)����� (��D)

%���� � . � �� � . �+ �����%��� �� �� �1�� �� 0���� ���������+

&1�&� .�����

(��� � ��)���

. B -� (-�� �)C . � � . �� ?� (��I)

���� �� �2���� ��� ������ ��� ��� � �� ������� G���6��%��� ����� ����,�� �������� �� ��� �2�� ��� �� ������ ����,��,�� �� ��� ������� ������ ��� �������1������ %��� ��� �� �� �� ������

.���� (��� ��������

1����� ��I �� �� ��� �� ����� %������ �

-� - �� . -� ��� (���)

�� �� ����� ��� ��� � �1������� �� ���� ���+ -� - �� �� ����� ?�? ���2�� ��� �%� ��/��%�� �� �� �� �� �� ���,�� �� ��,����� ��� ��,� ���2 ���,� ��� ���� �1���� �������� ������� � ��� ����� �%� ��������� �1������ %���������� �� ������ �� 0��� ��� ��"� ����,��,� ��� ��� �� ��� �� ����������� ����+

���� ���� �(� �� ������#���� JJ

t 1

t 2

t 3

Ls − t

t

LsPredicted Traveltimes

Observed Traveltimes

*

*

*���� ��D9 ��� ���� �1���� �������� "��� ��� ���� � �� �� ��� ��� ������� -������ �������� �� ��� ��������� ��,���� �� �,�� �� -���

%� ��� � ����� �� ����� �1������+ �����%��� ��� ����,��,� %K� �� �� %���� ����� ������ �� ��� ��� ��� ��

*�� ����� ,�% ����� �� ����� �1������+ �1����� ��� �� ���� �� ���,� ������ ���� �1���� �������� ��� ��� �0�� ��� �� �� ��� �1���� ��������� ����� ������� ��� ��� � �1������ ������ �1����� ��� �� �� ������� �� ����������� �� �� �,�

( - �� - �� �) . �� (��E)

%���� ��� ��� ��� ������� ,����� � . -��� �� ��� � �� ��� ��������� !=> ,�����-�+ � ���%� �� *���� ��D�

��� /��� �� ���2 - �� �������� %��� ��� ��� �� *���� ��D@ ��� ��%���� -. B �H � �H � �C+ ������ -� . � �� �� �2������� � �� �� ���� � ,������

��� ��

��� �� -

��� ���

��� �� .

��� ������

!" � (��J)

%���� ��� ���� � ,����� �� ��� �� ��� ���� � ,������ �� -� ��� ��� �� ������ ������� ���� � ,������ �� 0���+ �� �� %������ ����� �� ������� �� ��� �� ����� �� ������ ��� ��,�� �� ��� �� �� ������ ���%� �� *���� ��D� �� ����� %����+ ������� �� �� - ���� ��� ��� ����0���� ���� ��� �� �� ��� �� �� �� ���� ,����������� �� ������ ������������� �� ������������ ��,���� � �1������9 ���� ������� ��,������ � ��� ����� ��,� �� ��� � � ���� � ��� �����,�� �� ,������

J4 ���� �� � ������� ����� ��

�1�������

�� ��� ���� � ��� �� ��� ,�% ���2 - �� ��� ���� ��� �� ,�� ,������ ����� ����� �� �������� �� ��� - ���� � ,������� ��� ���� �� ������ �� ���D�� ���� � ,������ �� - . B� �H � �H � �C@ �� ��� ���� ������ �� ��� �����,��D2� ,����� � ��� ��� ����� ���� �� *���� ��D@ ��� ,�� � ,����� ������������+ �� ��� ���� � ,������ �� - �� ��� �� ��� ����� �� �� �����

?� :� �,��� ����� �� �����6�� ������� ���� �� ������ �� ��� ���� � ,�������� - . B� �H � �H � �C@�

D� ��� �� ������ ��$���+ ���� �� ����+ �� ������ �� ��� ���� � ,������ �� - .B� ?H � ?H � ?C@ 3�� ����� �%� ���� � ,������ �� �� ���� ������� �����������@

I� 8���� �� �������� �� ���%���� ,������ ��� ����� ����� *�� ��� �2 ���- . B� ?H � ?H � ?C+ ���% ��� ����� �� ��� ��� ��� ?�� ���%���� ,����� � ��������� ��� � � ��������� ��,���� � �1������� ���� ��� ��� ��� �������� �����6���1���

�� ��� ,������� ���� ��� -�� . (' ' ') �� /��%� � ���� ���� ,������ 3�� �������� ,����� ���� �� �������� �� -(�- ��) . � %��� ��� ������ ��� ��,���� ��1������� �� ����� %����+ ����� �� ���6���1�� ���������� ��� ���� �������� ����� ���� ,������ ��"�� ��� ���� ���� ����� ��� �� ������ ��$��� �������� �� ��� ���� ���� ���� ,������ ��� - . B� ?H � ?H � ?C@ ���� ���� ��/��%� � ��� ���� ���� ����+ �� �� ��������0�� �� 0��� ����,���� �� --�

E� >��% ��� ��� ���� ���� ���� ,����� ��� - . B� ?H � ?H � ?C �� ��� � � � �������,����� �� -- �������� %��� 0��� ����,����

J� ������ ��% �� ��� �� ������ �� �� D �� *���� ���+ �� ��� �� �� I� >��%��� ��� ����� ��,���� � �1������ �������� %��� ��� ?+ D �� I �� *���� ����,� ���� �� ���6� ��� ���� ����� ��� ���� ���� �� ���� ��� ������ �� ������ �� �����%��� �2���� ��� �� �����,� ����� ,������� ,�������@ 3�����%��� �2���� ��� �� ��� �� %���� ��� �����,��� �� ��� ,������ %��� ����� ������� �� ��� ������ ,������ %��� �5��� ��� ��� �����,�� %����

.���� ��� ) ����������� �������� ��� 1��� ��������

��� ��������� �� ��� �� -- �� �� ��� �� ��������� �� ��5����� ����������� �,� ���� �� ����� ��� � � ,��� �� 1� ���� �� � �2 ��� �� � !��� ��� �����6����������� ��,���� ������ � �� ������ ���� ���� ���+ %� ��"�� ����� ��

���� ���� �(� �� ������#���� J�

1S

2S

ε

*���� ��I9 ������ ����������� -- ���� �� ��� ,����� �� ��� ��������� ��"���������� 1��,������+ �� ��5����� ����� �� �1���� ������ ��� ��� ���

�1������ � ��� 8� �� 8�8� ��

��� ������

�.

��� ��D

!" � (��4)

%���� 8� 8�� ��� ������������ ��� � �1������ ��#?8�� �� 8��

$������

�. -�� (���)

�� �� ���� ��� �� 8� 8� ���� ��� ��������� �� ��� (���+ 2� � ����,���K ��� � ����,��� �� ���� . ?8���8

��) �� ,��� ���� ���� ��� ��� 1���� ��5����� ,����

�� �� �,� ���� ��� � � ,��� �� 1� 1��,������+ ��� ��"� �������� ���%� ��*���� ��I �� ��������0�� �� ��� ��� ����% ,���� ��� ��� �� 2�� %���� 1 ���� �%�� ���������,� �� ��� ����� �� ��� �� ���� ,��� �� ���

�� ���+ �� 8� . � ���� ��� ���� ���� �� -� - �� ���6� ��� �� �� ������ ����� ���� ���� ,����� (� �)� � 3�� ����� ,��� �� ���� ���� ���� ,����� %��� ������� ��� ������� ,��� �� ��������� ���� ���� ��� �������� %��� ���������� ���� �������� ���� �� � �2 ��� �� ���� !�9!����� �� ��� ��,���� ������ � ��,��� ���6���1������ %� ��������� � �2�� ��������� �� ��� ��"� ��������+ ����+

1 . ��?�� - �� ���� - ������ �� ������ (����)

%���� � �� � �� � ��� �� ���� �� �� �� � ������ ���� �� ��� ������������ ��������� ��� ��� %� %��� �� "�� � ��� ��� �0�� ��� �� �� ��� �1����

4� ���� �� � ������� ����� ��

�������� �� �� ��� ����� �� ��� ������ ���� � ��� ��� ����� �� ��������� ������� ���� �� ��� ,��� �� ��

��� ��� � �1������ �������� %��� ���� ���������� ��"� �������� �� ��������� ��5��������� 1 �� �,�

&1�&� .�����

�����

(����� � ��)���&���&� - ����&�� �� ������&��

.�����

�����

(����� � ��)���� - �(� � ��) . �� (����)

�� ��� �� �����

B -� - - �4C � . - �- � ��� (���?)

�� �� �� ��� �� /��%� � ��� 8�,�����6��1���� ��������� �� ��� ��� �� �1�6���� ���+ ��� �������� ���� �� �� . B -� �C��(?8

�� - �) �� �� . B�� �C��(8

�� - �)

�� �� . �� ����+ ��� ��������� �� ��� �� � ���,�� %��� � ��� %���� ���� .(?8�� - �)�(8�� - �)+ � ��� ���� �� �� �%�� �� ������� �������

#���� ��������� �1������ ������� � �������� ��������� %���� �������������� ������ ����� �� ��� ��# ��%�� �� � ����� <�� �� ��/��0 (���4) �� ��� ��������� ��� �� ����� �������� ���������� �� ���% ��� � . ? �� � . I ���,����������� ������ ��� �� ���� �� � . ��

.���� %)������! &��� ���� &�������) $��� �

�� %��� ��% ���� ��� G���6��%��� ����� %��� � �� �������� �� ��� ��,���� ��� ����� ������ � ��� �2 ��� �� ��� �� ���� ������ �2���� ��� %���� ��� ���� �� ������ ���� ?� �� ?� ��� �� ����� %��� ��/��%� ���%����� ����� �� ?�������� �,���� ����������� ��� ��� ����� ������� �� ��� ����+ �� ��� ������������ ������ �� ���� ��� �� ��� ?� �,���� ����������� �����,��� ��� ��� ���������� �� ��� ����� ���� �,�� ���� �� I�� ��,���� �� ��� �� ���� � ������� ���� ��� ���� �1���� G���6��%��� ������ ��� ���� �� �� �� ������������� ������ ������ ��� �� � �������

��� � ��� ���� �1���� �������� �������� �� ��� ������������� ����� ���%� *�6��� ���� �� ���� ��� ��� ,������6������ ���� %� ���� �����,�� %���� ��� ����0���������� ���� %� ���� �����,��� ���� �� ������ ��� ���� ���������� �� ����,�� ������ ��� �� ������������ �� ��� ��������� �� ,������� ,�������+ �� ��� ��� �����,������ ��� �� ���� � �����,�� ����� ,������ ����������

*�� �2 ���+ �� ��� ��,���� ��� ����� ����� �� ��� ��,���� � ��� ,�������� ����� ������ ��� ,������ ���� %��� ����� ��� �2�� ,������� �� ��� ����� =����+ ��1����� �� ,������ ����� (����+ ���� %��� �������� ����0���� ,������� ,�������)�� �� ���1���� ������������� �� ��,����� ��,���� �� �������� %��� ,������ ����

���� ���� �(� �� ������#���� 4�

2000

2500

3000

3500

4000Z

(m)

Velocity Model Velocity (km/s)

10 20 30 40 50 60 70 80 90

20

40

60

80

2000

2500

3000

3500

4000

X (m)

Z (m

)

Slowness Tomogram (Damped LS) Velocity (m/s)

10 20 30 40 50 60 70 80 90

20

40

60

80

Student Version of MATLAB

2000

2500

3000

3500

4000

Z (m

)

Velocity Model Velocity (km/s)

10 20 30 40 50 60 70 80 90

20

40

60

80

2000

2500

3000

3500

4000

X (m)

Z (m

)

Slowness Tomogram (Damped LS) Velocity (m/s)

10 20 30 40 50 60 70 80 90

20

40

60

80

Student Version of MATLAB

*���� ���9 ��� �%� "���� ������ ��� �%�6���� ,������ ���� �� ��� � ��� �����1���� ��������������� 7���� �%� "���� �� ��� � � �2���� ��� ���� �� �%�6����0���� ���� ���� %��� ���� ��� ��� ��������� ����+ ��� �� ������������ ����� �������� ��� ��� ,������ 2��+ �� ��� ,������6���� ���� %��� ������������� �� ��� ��� �� ���� �����,�� (�������� �� ��� <���)�

4? ���� �� � ������� ����� ��

2000

2500

3000

3500

4000

X (m)

Z (m

)

Actual Velocity Model Velocity (m/s)

20 40 60 80 100 120 140 160 180

50

100

150

2000

2500

3000

3500

4000

X (m)

Z (m

)

Final Damped LS Velocity Model (Gauss. noise) Velocity (m/s)

20 40 60 80 100 120 140 160 180

50

100

150

Student Version of MATLAB

*���� ��E9 !������������ ����� ��� (���) ������ �� (����� ) ��%������ �����1���� ��,������ ��� ��� ,������6���� ���� �� *���� ���� ��� ��,���� � �� ������ ����� %��� � ������� 0���6 �� G����� (�������� �� G� ����)�

:��,������+ �� ��� ���� %��� ������ ����0���� ����� ���� ��� ������ ��,���� �� �����,���� �� %��� ���� ����� ��� ,��� ,������� �� ��� ������

�� ������ �� ���� �� ��� ��+ ���� ���� �1���� ��,������ �� ��1����� ��6��� G����� ������ 3� � �2 ���+ *���� ��E ������� ��� G���6��%��� ������������ ������ �� ��%������ ���� �1���� ��,������ (7��� �� 8��+ ���I) %������ ��,���� � �� �� ���� ����� %��� 0���6 �� � ������� G����� ������!�%������ ���� �1���� ���� �� � ������ %��� ��� ���6G����� �������� ������ �� ��� �����+ � ���%� �� �� *���� ��J� ��� ��� "��� �� ��� � � ��� � ��� ���� �1���� %���� ��� ����� "��� �� ��� ��%������ ���� �1���� ����� (7��� �� 8��+ ����)� �� �� ��,���� ��� ��� ��� �������� �,� �������������� �� ��� ��%������ ���� �1���� ������

(�� !���

*�� ��� �,������������ ����� � �� �1������ �� ���� �� � �� �� �2�� ���������2����� ��� ���� �� ��� �� ��� ���/ ���� �1���� �������� ��� ��� �0�� ��� �� �� ��� �1���� �������� ������� �� 1 . ���

�� �

�� � �� ���� ���+ ��� ���6����� G�

�������� 1��� . 1�'�� ���+ ������ ��� =����� �,�� �� ' .��

��� )��� - - -+

%���� )� ������� ������ ����,��,�� �� ��� �������� �� - ������� ��� "��� ����,6��,�� �� ��� ��������� ��,�/�� � �� ������� ��� �����+ ��� ������ ����,��,���� �� ��������+ �� ��� 1��� . 1 � B -� -C�� -� Æ ��

���� ���� � 4D

2000

2500

3000

3500

4000

X (m)

Z (m

)

Final Damped LS Velocity Model (Gauss. noise+outliers) Velocity (m/s)

20 40 60 80 100 120 140 160 180

50

100

150

2500

3000

3500

X (m)

Z (m

)

Weighted Damped LS Velocity Model (Gauss. noise+outliers) Velocity (m/s)

20 40 60 80 100 120 140 160 180

50

100

150

Student Version of MATLAB

*���� ��J9 > � � ���,���� "��� �2���� ��� ������� ������ (���� ��� �������)�,� ���� ���� �� ��2 �� ��� ��,���� � ���/� (�������� �� G� ����)�

�� ��� -� - �� ������ ����������� ���� �� ��5����� ����� �� ������ ������ ��+ ����+ ��� �������� �� !��� ���� ��� ����� �� ��� �� �� � ���� �1������ ����������� �� ������0� ��� ����� �� �1������� �� ��� ����� �� �1������ �� ����������������� ������ �� ������� ������ �� ��� ��,���� � ���/� ���� � �� ����� ���� ����+ �����%��� /��%� � ��%������ ���� �1����� �� �������+ ��� ����� ���1������ �� ������ ��� ��� �� "�� ��� ������ ��,���� �� -� -+ �� ������,� �������� ������ �� ����+ � ��������� �� ��� "��� �������

4I ���� �� � ������� ����� ��

�� ��� &

'�������� '������� ���

�� ��� ����� �(�) �� /��%� �� �� ���,�������� �� ����� ���� �� ����� �� ���� ��� �����(�) �

�(�) . �(�) � �(�)� (E��)

%���� �(�) �� ��� ������ ��� G�,�� ���� ��� ����� �� ��� ��+ ��� �����,������������� �� �� "�� ��� ������ �� ��������!��� "���� �(�)�� ���� ���

�(�)�� � �(�) . �(�)�� � B�(�) � �(�)C�

. B�(�)�� � �(�)C � �(�)�

. BÆ(�)C � �(�)�

. �(�)� (E�?)

=���+ ��� ��� ���� ��� �� ��� ��� ��,���� "���� ���/�� ��� �����+ ����+ �(�)�� ��(�) .Æ(�)� ��� ���/�� �� ��,���� "���� �(�)�� �� ��� /��%� � ��� �����,������� "����+ ���� ���� �1���� ����� �� ���� �(�)�� �� �� ��� �� /��%� � ������ "�����

��� ��� ��� ��,���� "���� �� ��� *������ �� �� �� ������� ��,����� �� /��%�� ������� �����,�������� ���� ������ ��������� ��� ���� �1���� ������ �� ��6��� ���� ��� ������� ����� "�����

>� � ������� ���� ��� ������� �����,������� ������� ��� �����%���

� '����,������� �� ��� ������ ��� �������� ��� ������ ��� ��� ���� ��������� �� � ������ ��� �������� (�) ���� ��� ��� ������ �� �� �(�) .(�) � �(�)+ %���� �(�) �� ��� ���� � ����� �������� �� ��� ����� ��� ��������������� �� ��� &� ��� �� ���1�������+ �� �� �������� ��� ������ ���� ��&����,����3������ (�)�� �� ��� �� �,�� ��� ���� �������� �� ��� ���� �(�)�

� >� �����+ ������ �� �� ������� �� ��� ������ ��� �������� �� ��� ���� (�� �)���� ����� �(�� �) . (�� �) � �(�� �) �� �� ��������� �� ���,��,�� �� %���(�� �)���

� ��� ���� �� ������ ������� �(�) �� ��� ���� �� %� %���� ��/� �� ������ ��%��� ��� ���/�� �����,������� "���� �(�) �� ��� �(�) � �(�) . Æ(�)� ������������ ���� ���� �� ������ �,�� �� �B�C . �(�) � �(�) �� �� �����,��,�� �� �,��(�) � �(�) . �(�)+ ��� ��&����,��� ��1����� �(�)�

4�

4E ���� � ���� �������� �������������

+�� ������� ��������!����

��� ����� ������� �����,������� ������ �� �� ���,�� ����������� ��� ���/�� "�����(�) ��� ���/�� ��� /��%� ����� �(�)+ ����+

�(�) � �(�) . Æ(�)� (E�D)

���� �� ����� ����� ������� �����,������� ������ ��� ����� �(�) �� ����2� ����/��%� �� ����� ���+ �� ��� ����� �� �������� �������� �� ��� ���� �

!������ ��� ���,������� ������ + ��������� �� ��� ��� *������ ������� ������ �1����� ������

%(*)/ (*) . �� (E�I)

'�,���� �� %(*) ������ ��� �����,������� "����

/ (*) . ��%(*)� (E��)

��� ������� %��� ���� ������ �� ��� ��� "���� %��� ����� ����� %��� ��� ��������� ������� �� %(*) �� 0��� �� ����� 0���+ � ���������� �� *���� E��� �������������+ ��� �� �� ��������� ��

:(*) . B%(*) - ���� C6(*)� (E�E)

%���� :(*) ���������� ��� �� ������� + 6(*) ���������� ��� ��&����,��� ������� +����� �� � �� ������� ��� ���������� ��� ���2�� /��%���� �� ��� ��������� �����%(*) - ������ :����1������+ �����,������� �� �1����� E�E �� ��� ���� ���� �� ����� ����� "���� / (*) . ��%(*) ������

/ (*):(*) . :(*)�%(*) . 6(*) -�����

%(*)6(*)� (E�J)

%���� ���%� �� ��� ����� �� ������%(*) %��� %(*) � ��

�� ���� ���� ���������� ������ + ������� ���� ��� �� ����� �� ���� ������� �1����� E�E �� %(*)� �� �� ������� � ��� ��� 1 �� ��� ���� �����9

/ (*) .%(*)�

%(*)%(*)� - 1� (E�4)

���� � ��� �� ���� ����� ��� ������� %��� ��,� ��� 0��� ,���� �� ��� �����,���� �� ��% �����+ � ���������� �� *���� E���� ��������+ 1 � ���� � �(�%(*)�)+%���� ��� 2� � �� ��� �� ���1������� �� ��������� ��� ��,� ��� �� �� /��%� �������� �����,������� %��� %��� ��,�� � ����

��� ���� � ������������� 4J

ωN( )

ωN( )

N( )ω1

ε+ ω N( )ωN( )ωN( )

ω

ω

Decon Filterw/o Damping

Decon Filterwith Damping

a).

b). *

*

*���� E��9 >����� �� %(*) �� ��%(*) ��� )� �� � ��� �� �)� � ����

2���� 3���� �� �� �� &��� �����

��� ��,���� "���� �� �1����� E�4 �� ��� /��%� � ������ "���� �� ��� ���1������� ��+ �� �� �� ���%� �� �,� ��� � ��� ���� �1���� ��������� �� ��� �� ��� �� ��� ���� �1���� �������� �� �� ����� �� �1������ ����������� �� 8� . �9

��������������������������

��� ��� � � ���

��� ��� � � ���

� � � � �

� � � � �

��� ��� � � ���

��������������������������

���������������������������������

� B�C

� B�C

� B% C

�������������������������������

.

���������������������������������

�B�C

�B?C

�B, C

�������������������������������

(E��)

�� �� ����� �� ���,�� ��� ��� � �1������

B88- 14C� . 8�� (E���)

%���� 1 �� � �� ������,� � ��� ������� ���� �� ��� ����� �� ��� ��������6����� ���2 B88C (��� ������ �� ���� �1���� �������� �� ��,���� � �1������)���� ��,� ������������� �� ��� ��� � �1������ �� �� ����,�� �� ��������� ��������� �� �1����� E�4 �� %(*)%(*)� - 1 �� �/�� ��� ��,���� *������ ������� 9

B�(�)� �(�) - 1Æ(�)C � �(�) . Æ(�)� (E���)

44 ���� � ���� �������� �������������

%���� � ���������� �������������� ���� �1����� ��������� ����� �� ����� �1�6����� �� ��� �� � �� �� /��%� � ��� ��� � �1������� ��� ��� �(�) � �(�)��������� ��� ������������� �� ��� ����� �� 1Æ(�) �� ��� � ��� ��� �

��� ��2� �������� ���% �2 ���� ��� ���� ��� ��,���� "����� ��� ��� � + 26� � �� �2�� ���� ������ 3�� ���������� %��� �� ���� �� ��� �� � �� ���

+� 1�!��� &���� 4!���� �������' ����! �����

������

�� %��� ��% �� ������� �� �2 ��� ��� ��� ���� ���� �1���� ��,���� �� ��� � ���� ���� �� ��� ��� � ���� �����

�1� ���2 -�� �� �� � ���� ���� ,� �B�C . (�B�C �B�C) . B� ��C ���� ������� ������ ,� �B�C . (�B�C �B�C �B?C) . B� � � �C3 ��� � ������ ������;����� �*���� :���� � B�C ��� ���6�� �B�C< �3�3< � B�C � �B�C . ÆB�C3

� ��� ������ ��� �� �1������ �B�C � � B�C . �B�C ������

����������������

��� ��� ���

��� ��� ���

��� ��� ���

��� ��� ���

����������������

���������������

� B�C

� B�C

� B?C

�������������.

�����������������������

���

���

���

���

���������������������

(E��?)

� ���������� ��� ��,� �1����� �� ��� �������� �� ��� ��,� I2D ���,������� ���2 ������

�������������� ������ �� �������������

��?� ��� ���

��� ��?� ���

��� ��� ��?�

������������

������ ������ �� ����������������

� B�C

� B�C

� B?C

�������������.

������� ������ �� ����������������

�������������

(E��D)

�/�� ��� ��,���� ���2 ������ ��� D6��� ���/�� "���� � 9���������������

� B�C

� B�C

� B?C

�������������.

������������

��?� ��� ���

��� ��?� ���

��� ��� ��?�

������������

�����������������

�������������.

���������������

����

���IJ

����

�������������

(E��I)

��� ���� ���� �(� �� ����� �% �"���� ��� ������ 4�

��� ���2 �� �1����� E��D �� ����� ��� ������������� ���2 ������ �B��C��B�C �� ��� ������������� �� �B�C+ �� ������ 7��B�C . B7��B��C 7��B�C 7��B�CC .B�� ��?� ��C� ��� ��,� D2D ���2 �������� �� ������� ��%� �� 7��B�C�

� :��,��,�� � B�C �� �1����� E��I %��� �B�C ������ � B�C � �B�C . B��44? ��?D� ���IJ ���I�C� :� ���� �� ��� ������� ������ �� �B�C . B� � � �C ���� �� � ������� �B�C . ÆB�C�� B�C� �B�C . B��? � ��?D� ��IJ � ���I�CH ���� ��� �1���� ������� ��� ����� ,����� �� � � . ����4 �� ��� ���� �1���� ����� �������� %��� ���B��44 � �IJ�E ��44?C D6��� ���/�� "�����

� �� ����� ��� ��� � �1������ �� �,�� ��9����������������

7(�)�� 7(�)�� � � � 7(%)��

7(�)�� 7(�)�� � � � 7(% � �)��

� � � � � �

7(%)�� 7(% � �)�� � � � 7(�)��

����������������

�����������������������

� B�C

� B�C

� B% C

���������������������.

�����������������������

7(�)��

7(�)��

7(%)��

���������������������(E���)

%���� 7(;)�� �� ��� ��������������� �� ��� ����� ,����� 1 %��� ��� ������� ������,����� � � ��� ; �� ���� �� �� ����� �� �� ��� �/�� ��� �������� �� ������,�������� ���2 �� �1����� E��? %��� ��� ������� ,����� ��

�1������ �2 ������ -���� �;����� ��������3

!���� ��,� �2 ��� �2���� "�� ��� I6��� "���� ��� ���/�� �B�C . B� ��C� :� ������ �1���� ����� ��� �� ��� �������� %��� ��� I6��� "����� ��% �� ���� ���I6��� ����2� �� ��,���� "���� �� ��� ���� �� ����� ������ �2������ �� ��� <6������� �� ��� ����� "����+ ��� ���� �1���� �� ��� <6������� "����+ �,�� ������� �1���� �����@ ��% �� ���� ��� ��,���� "���� ���� ���� �1���� ���1������� �� ������� ����� �� ��� ���� ���/�� "����@

+�� ���!��� &���� 4!���� �������' ��.�! �����

������

�� ��� ���,���� ������� %� ����� � ����2� �� ���� ��,���� "����+ �� �� %��/��1���� %���� ���� %� ������ ��� ����� �B�C %� ��� � ����� �� ��� ����� %������� 2� � ���� ���� ��� ���� "���� %���� �� ������ ������ ��������� %����� �� /� ���� ��� ��� ���� �1���� ��,���� "���� �� ������� �� �� ������

�/�#��� ��� ��� 0,�������� #��%��� ��� ���)�� ��"���� � � %��� ������� %���� #�%��� �� ���#����� ���)�� 1�����

�� ���� � ���� �������� �������������

���� "����� ��� ��2� �2 ��� ���������� ���� ������

�1� ���2 -�� �B�C . B�� ���C �� �B�C . ÆB�C3 ��� � ������� ����� �;������*���� :���� �=> ��� ���6�� �B�C< �3�3< � B�C � �B�C . ÆB�C3

��� ���,�������� �1������ ��� � ���� "����� � B�C . B� B�?C � B��C � B�CC ���,�� ��9 ����������������

��� ��� ���

��� ��� ���

��� ��� ���

��� ��� ���

����������������

���������������

� B�?C

� B��C

� B�C

�������������.

�����������������������

���

���

���

���

���������������������

� � . �?

� � . ��

� � . �

� � . �

(E��E)

%���� ������ ��� ��� � �1������

������������

��� ��� ��� ���

��� ��� ��� ���

��� ��� ��� ���

������������

����������������

��� ��� ���

��� ��� ���

��� ��� ���

��� ��� ���

����������������

���������������

� B�?C

� B��C

� B�C

�������������.

������������

��� ��� ��� ���

��� ��� ��� ���

��� ��� ��� ���

������������

�����������������������

���

���

���

���

���������������������

(E��J)

�������������� ������ �� �������������

��?� ��� ���

��� ��?� ���

��� ��� ��?�

������������

������ ������ �� ����������������

� B�?C

� B��C

� B�C

�������������.

� ���������� ������ �� ����������������

���

���

���

�������������

(E��4)

%���� ������ ���������������

� B�?C

� B��C

� B�C

�������������.

���������������

���DJE�

���I�?

���?D�

�������������

(E���)

�/�#��� �� �#����� 1���� ��� ��,-��,#�%����� �� ������"� ���� "������ ���� ����� ���� ���1���� ���#�� %��� � �� ��%�� ��#������ � ��� �$�����

��� ���� ���� �(� �� ����� �% ��"�� ��� ������ ��

:��,��,�� � B�C %��� �B�C ������

�����������������������

����44?

����I�?

����?�

���?D�

����������������������

�����������������������

���������������������

(E�?�)

�1������ �2 /������ -���� �;����� ��������3

�� !���� ��,� �2 ��� �2���� "�� ��� D6��� ���� "���� ��� ���/�� �B�C .B�� ���C� :� ��� ��� �1���� ����� ��� �� ��� �������� %��� ��� ����"���� �� ��� ��,� �2 ���� 2���� %�� ��� ���� "���� ���,���� ��� �������������

?� ��% �� ���� ��� D6��� ����2� �� ��,���� ���� "���� �� ��� ���� �6� ����� ������ �2������ �� ��� <6������� �� ��� ����� "����+ ��� �����1���� �� ��� <6������� "����+ �,�� ��� ���� �1���� �����@

+�� ���!��� &���� 4!���� �������' ��.�* �����

������

�� ��� ���,���� ������� %� ����� � ����2� �� ���� ��,���� "����+ �� �� %��/��1���� %���� ���� %� ������ ��� ����� �B�C %� 2� � ����� �� ��� ����� %� �2�� ���� ���� ��� ���� "���� %���� �� �2���� �� ���� �� ���� �� ����������� ��2� �2 ��� ���������� ���� ����� �� ������� ���� �1���� "���� %��� �������� �� ���� �� ��������

�1� ���2 8�� �B�C . B�B��C �B�C �B�CC . B�� ��� ��C �� �B�C . ÆB�C� *��� � �������� �1���� D6����� "���� � B�C ��� ���/�� �B�C+ ����+ � B�C � �B�C . ÆB�C�

� ��� ���,�������� �1������ ��� � ���� "���� � B�C . B� B��C � B�C � B-�CC ��

�? ���� � ���� �������� �������������

�,�� �� ���������������������

��� ��� ���

��� ��� ���

��� ��� ���

��� ��� ���

��� ��� ���

���������������������

���������������

� B��C

� B�C

� B�C

�������������.

���������������������������������

���

���

���

���

���

�������������������������������

� � . �?

� � . ��

� � . �

� � . �

� � . ?

(E�?�)

� *�� ��� ������������� ���2 �� "�� ��� ��,���� �� �� ��� ��,���� "����� B�C� :��,��,� ���� ��,���� "���� %��� ��� ����� �B�C �� ��� ��% ����� ��� ���� ������� ���/��

+�( $!��� �# "�!� #�� ������ ������

=�% �� ��� ����� ������� ��,���� "����@ ���� �� ����� ����� �� ������ ���� ��� ���� "���� ������� ��������+ ���� �1���� "���� �� ������� �� �,� ���� � �� ��� �� ���� �� ���� ��������� ������ ��� ����� ���� �� /��%� ���� ������ ��� � �� 2� � ����� ��� "���� ����� �� �������� ����� ��� �������� %,���� �� �� ���/��� >��/�� �� ��,�� ����,��� �� �������� �� %� ��� � ����� ������0� ��� ��,������� ��� ���� �� ��� � ��� � ��� �� ��� ������,� ��������1 �� ���� �� ��� ����� �� ��� ������������� ���2+ %���� 7(�)�� ��� � 1 �7(�)�� ����

+�+ !���

��� �����,������� �������� �,�� �� �1����� E�� �� �,���� �� ������� �� ��,�� ������ ������ ��� �� �� ���6�� ���� �� ��� ���1����� �� �� �� ��� �� �� �������� ��� �� �� "���� �� ���6�� ���� ���� ���� ��� ��� ��� ���� ����� ��:(*)�%(*) %��� ���% �� � ���1������� %���� ��� ����� ������� %(*) �� ������0��� �� ���60���� ��� ���� �� ������ "������ %��� � ���� ��� �� ��� �� �������� ��� ���/�� "����+ ��� �� ��� �� ���� �� �������+ �� ��� ,��� �� ��� � ����� ���� �� ����� ���� �� ���� �� ����� �2��������

+�, $�#�������

#������� + 3�+ �� ����/�+ 3�+ ��4D+ >���� �� ����� �9 ��������6=�� :��

����� �� )�#���� ��� ��������# ��"����� ��"� � ������ )�� �� �� � �� ���� ���*���#��� �� ��� )� �����)�$ �"� ��� )$ ������ -�� � ��� ���� � �#���"� ��������� � ��� ��"���� �%�#�����

�!� �"� ����� �D

P�� 0+ #�+ ��4J+ >��� �� �� ���������9 >������ �� 2�������� G���������+ ����+#/�

+�- �.�������

�� >������ '����,������� �� ����������

� :���� 0���6�5��� ��������� ���� �� ���� ?� =0 !��/�� %,���� �(�)(���/� ) �� ?�E ����� ��&����,��� �� � ������ �(�) ��� �����6���� ����+%���� �(�) . �H �(��) . ��� �(J�) . ��?� �� �(�D�) . -�?+ %���� ��� �� �� ���� ���� �� �� ���� ��� ��� �� ��������� ���� �� �� �� ����� ��"(�) . �(�)R�(�)� ���� ��� �(�) �� ����� F�������(?��)H��� (�)F+ ��� ���� ������ �� ��������� ���� �� �� ����� F�������(?�?)H����(�)H+ %���� "(�) ����� %,���� ���,��,�� %��� ��� ��&����,��� ������� �/� ���� ��� ������� �� ������ ��� 2���

� ��% ����� D6��� ������� ������� �(�) ��� �� ��� ��� ������� ����6��� �� ��� "��� ��&����� ��������� #� ������ �(�) . �H�(��) . ���H�(���) .��?H�(���) . ���D� :� ���� ��� ��% ���� �� "�(�) . �(�) � �(�) � �(�)��� 0���� �� ����� ������ ��? ����� ���� �� "�(�)� �� 0���� �� ����������� ��? ����� ������� ������� �(�)� �!�"���(?��)H "���(")H ��(B�I�� ����C)H �!�"���(?�?)H"���("�)H ��(B�I�� � ���C)H ��� �� ����� ��5������� ��6�%��� ��� �%� ���� �� �@

� *��� ��,���� "���� �(�)�� �� �����%�� �����9

�)� :���� **� �� (�) �� ����� �� . ���(�)H ���� ��� ��� ������������� �� ����� "���( ��(��)) %���� ��� ����� �� ��� ���1����� � ��� ����) %���� ) �� ��� ���� �� � �� ��� ������ �(�)� �/� ���� ��� ���� ����� �����1����� 2���

,)� :���� ��,���� "���� �� ����� �� . ����(��)��(��� ����(��))H ������� �� ����� ������ �� �����

�������*G!!,$����*���*��,,$ �������*G!�,$����*���*���,,$

�������*G!G,$����*���*������,,$

'��� ��� ��,���� "���� ������� &� ������� @ ��� �� ��� ������ ����6��� �� ���� �������� Æ(�)@

�)� :���� �� � �� �� ��,���� "���� �� ����� � . �� �(���(��))H�)� :��,��,� ��,���� ������� "���� �(�) %��� ��� ������� ������� �(�) ��

�I ���� � ���� �������� �������������

�� ��� �����,��,�� ������� �(�) . �(�) � �(�)� ���� �� ����� �������� �� ���6�� �!�"���(D��)H "���(�)H �!�"���(D�?)H "���(�)H �!�"���(D�D)H "���(�)H� '�� �����,���� �� ��� $��@ :��,��,� ��,���� "���� � (�) �� � (�)� '�� �� ��� ������� ��������@

� ��� � ���,�� ������ �� ���� %��� ��,�� �� ��,���� "���� (����+ �� .����(��)��(��� ����(��)-� ��������)+ %���� %�����,�� ������ �� ���%������� � �( ��(��))� �� ��� � �( ��(��))��

�� ��� (

�� � � �����

��� �6' *������ ������� �� ��� ���� ���� ��� ���/� �� �� � ���� �(�)���� %������ �� �� �� ������ ���������9 �(�) .

����:(�)�

���$���� �� ���������� ��5����� ���1����� � �� ����� �� ������K������+ � ���%� �� *���� J��� ����������� %���� :(�) �� ��� �� ������ ���1����� �� ��� ������� �������+ %�������� %����� ������� ��� ��� ���� �� ����� �� ����� �� ����������� �� ������1������ ��� ������ �� ��� ������� ������� �� �� ������� ���� ���1�����(=0 �� ������K�) �� �,� ��� ������ ������� ���%� �� *���� J�?� ������ �����/ ������� �� ��� ������� � ����� � ��5����� ���1�������+ �� �� �� ���� ������� ��� ���������� �� ��� �� ��� ���

��� *������ ������� �� ������ ��� �� �����+ �������� ��� �����%�� �����6������

�� 3������� ���1����� ������� �� ��� M��%�� ��� ���1����� ������� �� ����� ���%� ��� ���� ��� �� �����+ ���������� �� ���+ �� ����� ���� �������(:�������+ ��4�H P�� 0+ ��4J)�

?� ������� �� �� ���� ��5����� ���� %���� ��� ���� ��� �� ������ ��6����� ��� ������ ���� ���%� ��� ���������%�� ����� ���� �� ��� �����,���� ������� ������ ����� "������ ����� 2 ���� ������� ������"������+ ��� "������ �� �������� �����+ !��� ������� ��� ������ �� �����6,������� (P�� 0+ #�+ ��4JH !������� �� #� �+ ���I)�

D� :� �������� �� ��� ���1����� �� �� �� �� ��� �� ����� ���� � �� ��������� ������ �� >���� ������ (G0� �� >�00���+ ��4IH 8�� �� ��+����H G0�+ ��J4)� ���� �� ������ ���,�������� �� ��5������� ���������������� �� ������ ��������� ����� *������ ������� + ��+ ���+ ����� ���6�������� �1������ �� ����� �� ���,� �� ��� ������� �� �� �� ('�5�+ ���I)�

�� ���� ������ %� %��� �2 ��� ���� ��� �6' �� ?6' *������ ������� �+ �� �� ��6����� �� � �� ����� ���� �� ���� �� �� ����������

��

�E ���� )� ��� �� � ���� �

F−1

F

d(t)

f

Fourier Transform = Mathematical Prism Busts d(t) into Sinusoids

f (Hz)−>+

+

+

+

+

+

..

..

.

.

f=0

f=1

f=2

f=3

f=4

f=5

f=6

time (s)−>

time (s)−>

d(t) = Weighted Sum of cos( f t)

*���� J��9 ��� *������ ������� �� ��� ���� ���� ��� ���/� �� �� ����� ���� ��� �� ������ ��������� ((*)���(*� - 7(*)) �� ��5����� ���1������� (����1����� J��)� ��� ��,���� *������ ������� �� � �� ��� �� ������ ��������� �� ����� ���� �(�)�

,�� ��!���� "����#��

�� �� � ���� �(�) �� ����� �� ��� �1��� �������� ��������� ��(�)���� ��+ ����

��� ���%�� �� ��,���� *������ ������� � �2���� (M�����+ ��4E)�

��� *������ ������� ��� �� ��"��� �

:(*) .� �

��

�(�)��!���� (���� ��) (J��)

�(�) . ��(?+)� ���

:(*)���!��*� (������) (J�?)

%���� ��� ���� ���1����� * . ?+� + :(*) �� ��� ������� �� ��!� �� ��� *������ /������

��� ������� :(*) �� �� ���2 �� ��� (��� 3������2)+ �� �� �� ������������� �������� ������� �

:(*) . 6� �(:(*)) - 0� �(:(*))� (J�D)

)��� ��� �� � ���� � �J

0 0.05 0.1−1

−0.5

0

0.5

Muted Trace at Offet 8.5 m

0 100 200 3000

0.5

1Muted Magnitude Spectrum

0 0.05 0.1

−0.5

0

0.5

1Muted Trace at Offet 18.5 m

0 100 200 3000

0.5

1Muted Magnitude Spectrum

0 0.05 0.1

−0.5

0

0.5

1Muted Trace at Offet 28.5 m

Time (s)0 100 200 300

0

0.5

1Muted Magnitude Spectrum

Frequency (Hz)

Megatrench Data

Student Version of MATLAB

*���� J�?9 (8��� ���� �) ����� ��� ���� ���� (��������� �,�� ��� ����� *���)�� ����� (���� ���� �) �������� ������ ������� �� ����� %��� %����%������ ��� "��� ���,� ���� �1���� ������ ���� ������� �� � ���� ����������,� �� ��� �����

�4 ���� )� ��� �� � ���� �

D( )

φ( )

ω

ω

ω ω

φ

o

o|D |

Real D

Imag D

Real D

Imag D

ωω

RectangularSpectrumSpectrum

Polar

oi φ

o oReal(D ) + i Imag(D ) = |D | e o

*���� J�D9 (���) ���� �� �������� ������������� �� �� ���2 �� ��� :� ����� �� ���2 �� ��� (7���� ) ���� �� ���� ������������� �� ������� :(*)� �������� �� ���� ���1������ N������ 2�� ��� ������ ������� �� �������� '�

�� �� ���� ��� �

:(*) . �:(*)���%�!�� (J�I)

%���� �:(*)� .�6� �(:)� - 0� �(:)� �� ��� ������ ������� �� 7(*) .

� ���0� �(:)�6� �(:) �� ��� ���� ������� (��� *���� J�D)� ��� ������� �������� ��� ���� �� ���� �������+ %���� ��� ������ ������� � ���1����� * ������������� � ��� ������� �� ��� ������ � ���1����� * �� 7 �� ��� ����� �� ��� �������� ��� �� � �� �� �� ��� �� � 7�*� *�� �2 ���+ �� �(�) . ?���!��%��. ?���!���%��!��

��� ������ ������� �� ? � * . *� �� 0��� ����%����+ �� ��� ���� ������� �� 7� � ��� ���� ���1����� *��

��� *������ /����� ��!� �� �������� �� ���!�� ���� ���� �

��

����!�!���� . ?+Æ(* � *�)� (J��)�

��

��!�������* . ?+Æ(�� ��)� (J�E)

)��� ��� �� � ���� � ��

%���� Æ(�) �� ��� ���� �������� (��� ��� ����� '��� ���� ��������) ��� �� 0��������� ��� �� ��� � . �+ �� %���� ��� �� �/�� �� ��� �� ����� ,��� �� � (���3������2 ? ��� ������� ������)� ��� ��+

Æ(�� ��) .

%� � . ���� ��#�����

(J�J)

��� ���� �������� ��$��� ��� ������� ��������9

�(��) .��(�)Æ(�� ��)��� (J�4)

%���� /�� �� ������ ���,�� �� �,���� %��� ��� ������� ������� �������������

�� �� ��� �� ��� ��� �1����� J�E �� ���� �� ����� ��� ��� ������ �� ����� ��(*�) �� ���(*�) ���,� �� 0��� ��� �� ���60���6���1������ =�%�,��+ ��� �� ����"���� ��� * . � �� ��� ���� �������� �� ��� �1��� ��������� �� ������ + ���������6M��������� ������ �/�� ��� �� ���� ������ ��� �������� ��������� ���� ���� �2��������� ��� ���%�� ������� �� �1����� J�� �� �� ����,�� �� ��������!� �� �������� �,�� �� �� � �� ����� ��� ��,���� ������� �

��� �� %� ��� ��� �2�������� � ��� *������ /����� ����� ��� �� ��� ��������������@ #�� ��%�� �� ������ ��� �2�������� �������� �� ����� �� ��� ������ ������� �� ���� �� ��� ������+ ��������� %��� ��� �� ��� �� �� ���� ����,��� ����������

�� ���% ��� �� ��� ����� ���� �(�) �� �� �2������� � ������ %�������� �2��������� �� �������+ %� ���� %���

�(�) .� �

��

((*)���(*�- 7(*)) �*�

. ��?� �

��

B((*)��%�!���!� - ((*)���%�!����!�C �*�

. 6� �B� �

��

((*)���%�!����!� �*C� (J��)

%���� ((*) �� 7(*) �� ��� ����� ��������� ��� ������ ��� ������� �� ���� ����� ������� �� *���� J��� *�� ���,�������+ ((*) %��� �� ��� �� �� �� ��,�� ����,��� %� �� �1��� �� �� �((*)�� 7�� �� ��� ���� �������� 7(*) �� ����� ����� �����1����� �� ��� ������� ((*) �� ������,� �� ����� �� ���1����� ���� %� ������ ��� 6� � ������� �� ��

�(�) .� �

��

�((*)����%�!����!� �*� (J���)

%���� :(*) . �((*)����%�!� �� ��� ������� �� �(�) �� ���� ��� + �� ��� ��� ������������ �� �1��,���� �� ��� *������ ������� + �2���� ��� ��� ����� ��?+� ��������� �� ����� �� ������� �� ����"��� ((*) . ((*)��?+�

��� ���� )� ��� �� � ���� �

t

=

cos( f t ) d(t) = D(f)

D(0)

D(1)

D(2)

D(3)

D(4)

D(5)

D(6)

cos( f t) Correlated with d(t)

*���� J�I9 ��� *������ ������� �� �� ����������� � ��� ������� ���%��� ����2�������� /����� �� ��� ����� ���� �(�)�

4���� ��!�" # ��!�" � ����!��"

��� ������� ������������� �� ��� ���%�� ������� �� ��� ��� ������� :(*) ����� ��� ������� �� ��� %��� �2�������� ��!� %��� ��� ����� ���� �(�)+ ����+ :(*) .(�(�)� ��!�) %���� ��� �� �� ,����� � �������� ��������� �,�� �� �� ������ �������� ���+ ����� ��� ��� "2�� ���1����� ��������0�� ,������ �� �(�) �� ������������� � ��"����6�� ������� ,����� �(�)� (�(�) �(���) �(��?) �(��D)���� ) �� ��!����

�� �� �� ��� ��� ���������� ��� ��"���� �� ������� ,�����

��!� � (��!� ��!�(� ��!�(� ��!�( ��!�(� ��!�(� �������)� (J���)

%���� %� ��������� ��� �� � ���� �� � �����,� �� ����� ��� �2�������� /������� ����2�� �� �%� �������+ �� � �� ���1�����+ �� �� �� �� ������ �� � ��� /������� � ��"����6�� ������� ���2� ����+ ��� *������ ������� �� �� ������ �� � ���26,����� ������� �� ��� ������� �������� (�(�)� ��!�) . <:(*) ���%��� �����% ,����� �� ��� ���2 �� ��� ,����� �(�)� >�� *���� J�I ��� ,���� ��������������� ���� �������������� >� �����+ ��� ��,���� ������� �� ��� ��� �������+ �2�����(�) . (��!�� :(*)) �� � ��������� �,�� ��� * ,������

)��� ��� �� � ���� � ���

4���� ����� &���'�� 5 0��+ �� ��� ����� 6������ �!�"��� %�������

��� ���������� ���%��� �(�) �� ��!� �� ��"��� �

S!(;) .� �

��

�(�- ;)��!���� (J��?)

�� ��� 0���6� ���������� �� S!(�)H �� �� ����� �� ��� �� ������ ���%��� �(�) ��

��!�� ����+ ��� ������� � ��� ������� (�(�)� ��!�) . <:(*) �� ��� �� ������������ ��� 0���6� ���������� ���%��� �(�) �� ��!�9 �� ��� ���� �� ��!� �,� ��%���� %��� ��� � � ������ ?+�* ���� ����� �� ��� ���������� ���%��� ��� �%���� �,�� ���� �� ��� ������� ������� (���+ ��� ��/� �� *���� J�?)� #����%������ ���������� �� %�/ �� ������ � �� ������� ���������

4���� ����� &���'�� -���������

����� �� �� ��� �� ���������� %� %��� ���� ��� ���� ���� ��� ��� � ������ ����� �����%���

�� $�?���������2 &��&�� �� (�*)�� ���� �������� �� ���,�� �� ��5����6����� �1����� J�? %K� �� �� ���� �������� �� ���� ��� ������� �� �������5������� ��������� ���� ������������ �� (*)� ��������� ��� �������������� �� �1����� �� ����� ���,��� �� �� ��� ��,�����6��/� ����������

?� ��������� ����� 2��(;)�(� � ;)�; �� / (*)=(*)� ���� �������� ��

���,�� �� ������ ��� *������ ������� �� ��� ���,�������� �1������

� B� �C . � B� �

��

�(;)�(�� ;)�; C�

.� �

��

��!�� �

��

�(;)�(�� ;)�;��� (J��D)

%���� � ������� ��� ���%�� *������ ������� � ���������� ��� ����� ����������� %� ��

� B� �C .� �

��

�(;)� �

��

��!��(�� ;)���;� (J��I)

�� ��"��� ��� ��������� ,����� � �� . �� ;

.� �

��

�(;)� �

��

��!���+��(��)����;� (J���)

�� ���� ��� ��"������� �� ��� *������ ������� �� �(�) �� �(�) %� ��

. =(*)��

��

�(;)��!+�;� (J��E)

��? ���� )� ��� �� � ���� �

ω

ω

φ(ω)

−π π

π−π

n (time)−>

|Η(ω)|

DFT

REAL TIME SIGNAL

*���� J��9 3 ��� ���� �� �� � �� ���$��� �� ����� ������� � ������� �

. / (*)=(*)� (J��J)

�� %��� ����� ������ ��� ���,������� �� �%� ��������� �(�)�(�) �� ��� �� ����

D� (��������2 � B�(�)�(�)C� ��?+���� / (*)=(*��*)�*� ���� �������� �� ��6

��� ���,�� �� ������ ��� *������ ������� �� ��� ������� �(�)�(�)�

I� � B6� � �(�)C � :(*) �� ��@����� �� ����� :(*) . :(�*)�3 ������������ �� �� ���,�� �� ����� ��� �� �(�) �� ��� ���� ��� �� ���2 ���$����� ��� � �+ ����+ �� ���$���� �1����� J�? %� ��

�(�)� . ��(?+)� ���

:(*)���!��*� (J��4)

:���� ,������ * � �* �,��

�(�)� . ��(?+)� ���

:(�*)����!��*� (J���)

7�� �(�) �� ��� �� �(�) . �(�)� �� �1����� J��� �� �1����� J�? � ��� ������$��� �� ���� �������� :(*) . :(�*)�+ %���� ��� ��� ��� �� :(*) ���� ����� (����+ �,�� �������� �� *) �� ��� � ���� ��� �� ����� �����(����+ ��� �������� �� *) (��� *���� J��)�

�� �� * . � ('�:� ���1�����) ���� ��� :(�) .��(�)�� �� ������ �� � ���������

�,�� ��� �� � �������� (��� *���� J�E)�

)��� �$� ��� �� � ���� � ��D

TIME SIGNAL WITH NO DC COMPONENT

TIME SIGNAL WITH NON−ZERO DC COMPONENT

ω−π π

Zero Area

ω−π π

Non−Zero Area

Non−Zero DC

Zero DC

Algebraic Area=

time

time

| (ω)|D

| (ω)|Dd(t)

d(t)

F

F

of d(t)

*���� J�E9 <���6���1����� ��� ��� ��� ������ �� ����� ��� ���,� �(�) �� 0����

,� �� ��!���� "����#��

��� ?6' *������ ������� �� �(�� �) �� ����������� �� �%� �6' ������� �9

:(��� *) .� �

��

� �

��

�(�� �)���!���������� (���� ��)

(J�?�)

�(�� �) . ��(I+�)� �

��

� �

��

:(��� *)�������!������*� (������)

(J�?�)

%���� �� �� ��� ����� %,��� ��� �� ����� �� ?+��������� ��� ������������� ����� ������� �� ��� ��� ������� :(��� *) �� ��� �� �� ?6' ��� ������� ���%������ *������ /����� ������!�� �� ��� ?6' ���� �(�� �)H ����+ �(�� �) ��� ��������� ���� ����� ��� *������ /����� ����� ��� � ������� �� (�� ���� %,�) �� �� ����� %��� ��� ��������� ,����� (����*) ������������ �� ��� %,�������

4���� �� �� �����

��� ?6' *������ ������� �� �� ���� �� ������ �,������� �,���� %��� ��5�������� ���� �� �� � ����� *�� �2 ���+ ��� �� �(�� �) . Æ(�� ���) - Æ(�� ���- ��)

��I ���� )� ��� �� � ���� �

��������� �%� ����� �� �,���� �� �� � ����9 ��� �� ������ %,� %��� ��� ��� ������� ����� . ���� �� ��� ����� �� ���������6��/� �,��� %��� ����� ����� . ������ 26��������� ���� >���� �� ��+ ���� ��� �,���� ��������� � �� � �5��� �� �� ���� ��� ��� �� ������ ����� �,���� �� � � � ����� ���� ������+ ��� ?6' *������������� �� ��� ������ %,� ������

���&B Æ(�� ���) C .� �

��

� �

��

Æ(�� ���)������!�������

.� �

��

����,��!�����

. ?+Æ(���� � *)� (J�??)

%���� ��� �� ��� ��������� �,��� ��

���&B Æ(�� ��� - ��) C .� �

��

� �

��

Æ(�� ��� - ��)������!�������

.� �

��

����,��!����������

. ?+Æ(���� � *)������� (J�?D)

=����

���&B Æ(�� ���- ��) - Æ(�� ���) C . ?+BÆ(���� � *)������ - Æ(���� � *)C�

=���+ ���&B C ������� ��� ?6' *������ ������� � �� ���� ���+ ��� �,��� ����� � ������ ���� �� ��� �� � * ���� �� ��� ������ %,� �� �� ����� ���� (����/� ����� �� � �� ��)�

3� � �2 ���+ *���� J�J ������� ��� "������ �� ����6��� %,�� �� <# ������ ��� "������+ %���� ��� ���� �� ������� %,�� �� ���������%�� �� ��� � � ���� ��� *������� ������� ������ ������ %,�� ��� �����% ������ ��&������� �����%� �� *���� J�4� ��� ���� ���� �� ��� ��� >�� 8/� N����+ ;���

,�� 3�.����) $����!���� ��* &��6���

#����+ %� %��� �� ���� �� ��� ������� �� ���� �(�) ��� �������� ����� ����� ��� ���� �,�� �� �(�)�(�)+ %���� �(�) �� ��� ��2�� �������� %��� %���� )�9

�(�) .

%� � )� � � � )��� ��#�����

(J�?I)

��������� �� ������� ��������� ������ %� �� ���� ������ �� �,�� "��������� �� �� �� ���� ��� ������� �� ��� �������� ���� �(�)�(�) �� ���,��������� ���1����� :(*) >(*) (�� ��� �������� ������ )+ �� �� ��������� ���� �����2� ���� �� ��� ���� ������� :(*)� :��,������� %��� >(*) ������ � ,����� ������� ���� �� �� ��� ���� ������� :(*)�

)��� '�"� �� ��������� �� ��*�� ���

LEFT−GOING WAVE

2−D FFT

PIE SLICEFILTER

Kx

ω

RIGHT−GOING WAVE

ZERO−OFFSET TRACES

❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❇

2−D FFT

ZERO−OFFSET TRACES

❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❇

Kx

ω

RIGHT−GOING WAVE

LEFT−GOING WAVE

RIGHT−GOING WAVE

DIP FILTERING CSP GATHER

*���� J�J9 >������ � (���) ������ �� (����� ) ���� ��� "������ ( ��� ����6���������� �� ��,���� ������� ) �� ���� �� ��������

�� ��� ��% ��� ������� :(*) �� ��������� �� >(*)+ %� ���� *������ ������� �� �(�) �� ��9

� B�(�)C .� �

��

�(�)��!����

.� ��

�����!����

. B��!�� � ���!��C�(*)�

. ?��(*)�)�* . ���(*)� (J�?�)

��� ��2�� �� ��� *������ ������� �� ������� �� *���� J��+ %���� ��� %�������%��� ��� 0���6�������� �� ��� �� ���� �� ����������� �� ��) � ���������+ ����6����� ������� ��/� ��:(*) ������� �� ���1����� �� ��)� �� ���� %��� �� ����������������� �� :(*)>(*)� >������ %����%� �� �� � ��� �� ����� ���� ��������� �� ���61����� �� ���� ���1����� ���������� (#������� �� ����/�+ ��4D)�

� ����� �������� 7�����

��� ���� ���1�����6�� �� �������� �� ��� %����%�� �������� �� ���� ��������Æ(*) �� ��� ���1����� �� �� �� ��� %� ����� ������� ���� �� �� ��� �� ������� Æ(*) :(*) . :(*)� *�� ,��� %��� ��2�� �� �� �+ ��� �������� ��� �������� �����1����� ����2� ��� ��� %���� �� ���� �����0�� ���� �������� ��� �� ��� ����������� ���������� ��� �����1����� �� ��� ��� ������� � *� �� ���� ��� �� �������,���� ����� ��� ������ �� ���� ���1������� *� � +�)� � * � *� - +�)� � %���

��E ���� )� ��� �� � ���� �

*���� J�49 >������ � (���) ������ �� (����� ) ���� ��� "������ �� ��� ������%,��+

)��� '�"� �� ��������� �� ��*�� ��J

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Time (s)

Ampli

tude

Boxcar Function

T/2 = 1−T/2 = −1

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.5

0

0.5

1

Frequency (cycles/sec)

Ampli

tude

Spectrum of a Boxcar Function

f = 2/T = 1

*���� J��9 ��� ��2�� �������� �� ��� *������ ������� + ��� ���� ���������

� ��� ���� ����� � ��� ���1������� * *�� ����+ ��� ���1����� ����� ���� ��:(*) �� �� ��� ���� ��� ��%6���1����� ���� �� �� :(*)>(*)�

�� ���� ��� �� � �� ������ %� ������0� ��� ���� ���� �� ��� �� � �� ������ �� �������� %��� �������� ��� ���1����� �� �������+ ����+ ����� ��������� ��� ������� � ��� ������� �� �� �������� �� � ������+ ����� ��� ������+�������� ��� �� �� �� �� ���� �� �� ���� %��� ��������� �������� ��� ������� �,� ���� ����+ ���� � ��� � ���� %����%� ���%� �� *���� J���6J���� 3��� �� ����+ � ������ %����%� �� ��� �� � �� �� ���� �� �,� %�/�� ������� ���� ���1�������+ ��� ������ �� ������ ��� �����5 �� %�/�� ������� ��� %������������� 0�����

3� �2 ��� �� ��������� ��� ������� �� ��/� �� ���� ���������� �� ���%��� ��� ��� �%� ����� �� *���� J��?� =���+ ��� ������ ���� �(�) �� �� �� �%����� �� ����� %��� ���1������� �� �� ��� 3 ����� %����% ��������� ���� �� ������� ���� �� %���� ��� �%� ���1����� �� ������� �� ������� ���� ��� �������� ���� �� ��� ������������ �� ��� ���� ��� ������� � �� ���� ���+ ��� � ��� %�����%�� ��� ��� �� ���� %���� ��) �� ��� ���� ��������� ��� ����� �%� ������� *���� J��? ���%� � �2 ��� %���� %���� %����% %����� ��� �� ������ ������������������

:���/ ��� ��� �,�� ��!�����#����E��"� �� ��� ��� ������� �� �%� �������%����%�� �� ��2��+ �� ��� %����%�� �� �1���� ������ ����� �� ��� ��� ����� ������ ����+ ��� ������� ���������� �� %���� ��� ��� ��/� �� ���������

���������� �� ��������� ������ �� ��� �� �,� ����� ���� �� ��� ��� ���� ��6��,��� �� ����� ���� ������ ��� ��� � �� ��� ����� �� 0��� � ��� ���H ���� ������������� ��� ��������K��/� ������ �� ��� � � ����� '���� ��� �� ��������

��4 ���� )� ��� �� � ���� �

0 50 100 150 200 2500

0.5

1Am

plitu

de

Bartlett Window

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

10−5

100

Spectrum of Bartlett Window

0 50 100 150 200 2500

0.5

1

Ampli

tude

Blackman Window

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

10−10

100

Spectrum of Blackman Window

0 50 100 150 200 2500

0.5

1

Ampli

tude

Boxcar Window

Time (s)0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

100

Spectrum of Boxcar Window

Frequency (cycles/s)

*���� J���9 (���) >� � ������ %����%� �� ����� ������� �� > ������ �� �6�� �� %����%� �,� %�/�� ������� ���� ����� (���� ��/�) ��� %���� ������� �� ����� (%���� ����������)� :���/ ��� ��� ���!�����#����E��"� �,�� ����� ���� ��� ������� ���� ��� ��� ? �������+ ��� %����%�� �� ��2�� �� �������� %����%�� �� = �� %����%�

0 50 100 150 200 2500

0.5

1

Ampli

tude

Hamming Window

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

10−5

100

Spectrum of Hamming Window

0 50 100 150 200 2500

0.5

1

Ampli

tude

Hanning Window

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

10−5

100

Spectrum of Hanning Window

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

10−5

100

Spectrum of Triangular Window

Frequency (cycles/s)0 50 100 150 200 250

0

0.5

1

Ampli

tude

Triangular Window

Time (s)

*���� J���9 > � � ���,���� "��� �2���� ��5����� %����%� ,����� � �3�837���������

)��� '�"� �� ��������� �� ��*�� ���

−30 −20 −10 0 10 20 30−2

0

2

Time (s)

Am

plitu

de

Sum of 2 Cosine Functions: Window Length 10s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10−3

0

0.5

1

Frequency (cycles/sec)

Am

plitu

de

Spectrum of Summed Cosine Function: Window Length 10s

−30 −20 −10 0 10 20 30−2

0

2

Time (s)

Am

plitu

de

Sum of 2 Cosine Functions: Window Length 60s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10−3

0

0.5

1

Frequency (cycles/sec)

Am

plitu

de

Spectrum of Summed Cosine Function: Window Length 60s

*���� J��?9 �������� �� ���� �� �%� ������� �� ��� *������ ������� ��� (���? �����) ��6������ �� (����� ? �����) E�6������ %����%� 8���� %����%� ��� �������� ���������� ���%��� ��� �%� ��������

��� ���� )� ��� �� � ���� �

�� ������ ���������

,�� ����� ��#� ��*�����

2�������� ���� ������� ������ ���� �� ����� �� ��� ������ ������ � ���%� ��*���� J��D� 3 ���� �� �2����� �� ,�������� �� �������� ��� � �1���� ��������� �� �����,���H ��� �������� �� �� � �� �������� � �(�� � � . �� �) %���� � �� ����5��� ��������� �� � �� ��� ����� ��������� ��� ������� ��������� ����� %�������� �� ��� ������ ������� ��� �,����� �1����� ��� ������� %,�� ��������� ?6' �� ������� ���� ��

(&��&�� - &��&��)�(�� �� �)� �

��&��(�� �� �)�&�� . �� (J�?E)

%���� � �� ��� �������� ,������� �� � �� ��� ���� �������� "���� *������ ����6��� �� ��� ��,� �1����� �� ��� � �� � ,������ �,��

&�:(��� �� *)�&�� � (*���� � ���):(��� �� *) . �� (J�?J)

%���� �� ������� ��� *������ ,����� ��� �� � �� * ������� ��� *������ ,�������� �� ��

��� �������� �� ��� ��,� #' ��

:(��� �� *) . (���- ->����-� (J�?4)

%���� �- . (*����� ���)��� �� ( �� > �� �������� �� �� ����� ���� �� � �����

������� �������������� ��� �� ��� �2�������� �� ���� �� �1����� J�?4 ����� ���� ��� ��������

��������� �� ��� %,�� *�� �2 ���+ �� ��� �������� �� ��� ��,� #' �� ����%,� �� ��� ���

�������� � �� . ����-�!��� (J�?�)

%���� ���������� ��%���� %,� (��� ��������� ����� %��� � �������� ��%�6%��) ������ � ��� ������� � �� � �������� �� /��� ��� ���� �� ��� ���������� * �� !����+ ��� ���� �� ������� �� ��� %,������ �� ������� ����%,�� �� ������ ��� ���� �� ���� �,�� ��� ����,� ���1�������+ %� �� ��� �� ������ ������� �������!��-�!��+ ��� ����� %� %��� ����� ��� ��� ���,������ �� � ����������� �� ������,� ���1�������� >� ��� ������� ������ ��� ����-!�� �� � ��%��������� %,��

�� ���� %,�� ������� �� ��� ���� %��� �1����� J�?4 %� � ���� �%� �����6�� ���������� �� ����� ��� ( �� >� *�� �2 ���+ ��� � ��� ��� ��%�� ����6��� ���� %,� :(��� �� *) . ?Æ(�- � ��-)�

���-!�� �� �������� �� �������� ������ � . � ����+ %���� ��- ����������� �� �,�� %,��� ��� ,���� � ����� ���

)��� ���� � ���

��������� ��� ��� "��� � � . � ��� �1�� ���� �������� %,� ���� �1����� J�?4(����+ > . � �� (���� . ?Æ(�- � ��-)) ������� ��

:(��� �� *) . ?����-Æ(�� � ���)� (J�D�)

���� �� ��� ���� ����� ����� �� ������ ������� %,�� �� �� ������� ���� (G0�+ ��J4H G0� �� >�00���+ ��4IH :�������+ ��4�H 8�� �� ��+����H P�� 0+ ��4J)�

�1����� �� -������ (����� *�� ������ ���� + ���� ��������� �� �� ����6��� ��� ��� �� ������� ����+ %���� ������� ���������� �� ��1�������� � �������� ��� ��� �������� �� ����� �������� ��� ��%�%�� ������� %,�� ���������� ���������� �� ��1�������� � ����� ��� %,� ������� ��� ����� �� ��� ��� � ��%�� ������� %,�� >��� � ������ ������� ������� ��&��6����� %����� �����+ ��� ��� � ��� ���� ��� �� � ������ � �� (����+ ������)������ � �� �2�������� ���� �����

,�( !���

��� *������ ������� �� ���������� ��� �1��� �������� ���������� �� %����+ ���*������ ������� �� %������ �� �� ������ ���� ���������� ��� ������� ��������6����� �� ���� ������� �� ��� �� �� 0���6� ���������� (�� ��� �������) ���%������ ����� ���� �� �����"� ������ �� ���1����� *� �� ��� ����� ���� �� �� ������� %���� %��� �� � �����,� �� ���� )�? ���%��� �$���� 0���6��������+ �������� ���� %��� ����� �������� %��� ������� �� ������ ) � ��� ��+ ��� ������� %��� ����/�� � ���1����� ��) ������K�� ���� �� � �������,� ��� ��� ������ ���� ������ ��� *������ ������� �

*������ ������� � �� ������ ������ ���� �� ��� �� ������ ���� ��� ������� ��� ���1����� �� ��+ ����� �� � ��� ��� �� ��� ������ *�� ��� %��� %��/��2 ���+ ���6���1����� ��,���� ���� ����� %� ������� ��� ��� ��%�� ���� �����1����� ����� �� ��� ���1����� �� ��� �� ��� �2 ��� �� ��� "������+ ����� %������������� ��� ���� �� ��&������� �� ����� ��5����� (��� �����������) ���� �� ����� � �� ��� ����� �,���� %��� �� ������� ������� �� ��� �� � * �� ���

3 ���� ���� �������� �� ��� ��2 �� ��������+ %���� *������ ������� �� ������������� >��� ��������� %��� %���� �� ����� �� ��������0�� �� �/������ ��2���+ �� ,��� ,���� ��� ��2 �� �� �� �6�� ���� ��� ��� ������� �� ��"������ %��������� ��� ���� ����� �� ��� ���� �������� �� ��,� ��� �� ��"����� ���� �� ���� ����� �� � �� �� ����9 �� �6�� ���� ���� ����� �,� ��� �� ���� *������������ � �� �� �� ��� ������� �� ��� ���� �����+ ��� ������� �� ��� ��2 �� �������� � ������ %���� ���� �� %�/�� ���� ����� ��� %���� �� ����� 8���+ %� %������ ��% � ������ ��2 ��� �� �� ���� � ���1�����6�� �� "������

��? ���� )� ��� �� � ���� �

0 100 200 300 400 500 600−0.5

−0.45

−0.4

−0.35

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

Tim

e (s

)

X (m)

Filtered East Shot Profile: West <−− East

*���� J��D9 >��� ���� ��� � �2���� ��� ��������� � ��� %��� %��/� ���� ����� �������� ��� �� ��� >�� 8/� ,����� >���� ����� ������� ����� �� "��� ���,�+%���� �� ������ �� �� � %��� �������� �5��� ��� ��� ������ �������� � � . E�� ��>������ �������� ����������� �� ������� ����� ����� � ��� ������� ��������H"���� (��"����) %���� ���������� �� ��%�� (��%�%��) ����� ������

)� � ��� ����� ��D

�� ������� �� ��� ��� ��� *������ ������� � �� �� ���� �� �� ������� ���,��' �� >��� ��������� �� �� ���� �� ���� ���� �� %,� �������� �� ��� ����+ ������ %� %��� ��� ��% �� ��,��� ���� �� �� ��� ��� ��������� ��&����,��� �������������

,�+ $�#�������

'�5�+ '�+ ������� ������ ��� ���,�� ����� ��5������� �1������9 :!: �����+7�� !���+ *��

:�������+ O� *�+ ��4�+ � �� ��� ����� ��������+ 7��/%��� >������"� ������6������

G0�+ O�+ ��J4+ �,� �1����� ������ %��� ����6����� ������ G���������+ID+�DI?6�D���

G0�+ O�+ �� >�00���+ ��+ ��4I+ ������� �� ���� �� �� �� ���� ����� ����������������9 G���������+ I�+ �?I6�D��

M��+ O�+ 3� ������������ �� ����� ���� ���������9 3��� �� �����+ �P+ �P�

M�����+ ����+ ��4E+ *������ ������9 : ����� ;��,������ �����+ : �����+ �6����

8��+ ��+ ����+ 8� ��+ �� O�/���+ G� ��+ ����+ >����6���� *������ ����6������ ������ %��� �����,������� � ��� G���������+ �E(��)+ �J4E6�J�D�

#������� + 3�+ �� ����/�+ 3�+ ��4D+ >���� �� >���� �+ ��������6=�� :��

!�������+ �+ �� #� �+ #�+ ���E+ '����,������� ?9 >������ �� 2�������� G��6�������+ ����+ #/�

P�� 0+ #�+ ��4J+ >��� �� �� ���������9 >������ �� 2�������� G���������+ ����+#/�

,�, �.�������

�� ���,� ��� �����%�� ����������+ %���� ��� ��������� �� 0��� � ��"�����

$���� $�? 9� �

��

�Æ(�)��� �(�)�� . ���(�)����

��I ���� )� ��� �� � ���� �

=���9 ��� �������� �B�(�)�(�)C��� . �(�)��(�)���- �(�)��(�)����

(�������� 9 �(�)�(�)�� ��?+

� �

��

/ (*)=(*� � *)�*�

��������������� 9� �

��

�(;)=(�- ;)�;�� / (*)=(*)�

������ �1�� 9 ��!���� ?+Æ(* - *�)

���!���� ?+Æ(* � *�)

���(*��) . ��?(��!�� - ���!��)�� +(Æ(* � *�) - Æ(* - *�))

��(*��) . ��?(��!�� � ���!��)�� +(Æ(* � *�)� Æ(* - *�))

$�? � � ���;� 9 ��(�)�� �/ (*)��*

���� � 9 �(�� ��)�� ���!��/ (*)

)��������� � 9� �

��

��(�)���� . ��?+� �

��

�/ (*)���*

������ )���� 9 �( �)�� ��� �/ (*� ) ( . �� � �����)

?� '�%���� ��� ���� ���2 �� ��� ���� ���� �

���������������������������������������� ���!

3��� ��%���� ��� �������-"������ ���� �

���������������������������������������� ���������!�

���������������������������������������� ���������!�

�� �3�837 ��� ��� ��� �� ����� F��� ��� 6����F+ �� ���� F��������F� '����6 ��� ��� ��0� �� ��� ���2 F���FH ��� �� ������ �� I� ��� �������� ��� �� ��� ������� (� �� �����) �� ��� ����� �� ������ �� ��0� ����+ ��� �� ��� �� �� �� ���� (��� � � ���� �����,�)� ��� ��%6��� "������ �� F�������F �� ?�6�����,���� "���� ������ �� ��� ����� ��� ��%6��� ,���� "���� �� ��� ��

)�)� �"� ����� ���

"���#$ % &���" ��"�� �� �'����" ������

��� ��!��(#$ % )��� �'�� ������ !��(#

���"��*"�+!,��$�����"'*��!�*�+�,+�,$ % ������-�����

��!��*!�!###+�,�

��*���"�*"���,�!###.���"�*"���,�!,$ % /��"���� �� ������" ����

�"�

� ����� �������� ���%���� �� ���6���1����� ����� �� ����� �� ���� ��� ����� =0 (�����K�)� 3��� ���� �� ����� ��� �� ����� �� ������ (�K�����)�

� ��� ��5����� "���� ������ �� /��� ������ ����� �� ���� "���� ��� /���� ����� ���/���� ����@ ����� ������ ?�6����� ��%6��� "���� (���+ ��� ������ � �����"���� �� � . (���� ���� ���� ���� ��)) �� ������@

� �/� *������ ������� �� ��� �� �� ����� ��� ��� ���1����� ��� ����� ������ *�� �2 ���+ ��� ������ ������� �� ��� ���� �� ������� �������%�� �3�837 �� ����

����!*�+!,$&�*���*���*�,,,$���####�$

����*0#�( 1�*!###���,+&*!��##,,$2�����*�3��4��"� *56,�,

G� ������ ����� �� �����+ ����� ��� ��� ������ ������+ ����� ��� �������� ���%���� �� ����� "���� ����� �� /��� ������ *����� �����+ ���% ������� ���� ����� ��� ������ ����� %��� ��%�� �����+ %��� �� ���� �� ������ ���� "��� �����

� *��� ������ �� ?�6����� ,���� "���� %��� ��� �����%�� �3�837 �� 6 ���

����!*�+!,�#$�*!��#,�!$&�*���*���*�,,,$���####�$

����*0#�( 1�*!###���,+&*!��##,,$2�����*�3��4��"� *56,�,

�� ���� ��� "���� ��� %��� /��� ����� ��,� ��� =0@ ��� �� ��� "���� %����� �������� ������ ���� ��� ����� ����� (� ��� ��� ��)� �� ��� �������� �������

� �/� ��� *������ ������� �� ��� �� ���� �,����� "����6��5������ ����,��,�"����� �� ��� %�� ��� ������ �� ��� ���� �� �� ��� ��� �� ��% ��� "����@*������ ����� ���� ���� ���� �� �� �

�������������������7�����������������

��E ���� )� ��� �� � ���� �

D� �� �3�837+ ���% ��� �(�)��(�) �,�� ��� � � ������ � ���B/ (*) �:(*)C� =���+�(�) �� ��� "���� ���� �� ��� ���,���� �2������+ �(�) �� ����+ �� / (*) �� :(*) ������� *������ ������� ��

I� >��% ��� ��� �6' %,� �1����� &�"(�� �)�&�� � ���&�"(�� �)�&��. �(�� �) ����6��� � �� (���� - *����) L? (��� *). L/ (��� *) ����� *������ ������� �� ��� � �� �,������� =��� � �� ������� ����������� � ��� %,� �������� ,�������� ��� ����� ������� �� � . �(�)@

,�- �����*�. �' $����0 �# 1����. 2!����

��� � ���� �� ��� �� ��"��� � .���+ �� ��� � . ��� 3 �� ���2 �� ���

� . � - � �� ����������� �� ��� �� ���2 ���� � ,�����+ � ���%� �� *���� J�D�=��� � ������� ��� ����0���� �2������� ��� ��� ����0���� 2�� �� � ���������� ,������ �2������� ��� ��� ,������ 2��+ $��� ��/� %��� ,����� ���������� �� ������� ��������� ����� �

��� �� ���� � . 6� �(�) �� � . 0� �(�) �� ��� �� ����+ ��� �� ���2 ���$�6�� �� � �� ��"��� � �� . ���+ �� ��� ����� �� ��� ,����� � �� �,�� �� ��� . ����.�(�� �)(�- �).

��� - �� - �� � �� .

��� - ��� ��� F,�����F � �� �� ���6

�������� �� ������� ������� � � . �- � �� �� ���� ������� � � . �����%+ %����7 �� ��� ��� ��� ,����� /�� %��� ��� ����0���� 2�� �� *���� J�D�

��� �2�������� �� ��"��� � ��!� . ���(*�) - ��(*�)+ �� ��$��� ��� ������������� . ������ ��� �� ��� �� ��� � �� �� �� ��� �� ���2 ,����� � . �����% ��*���� J�D �� �1���� �� ��� �2�������� ��!� ���� 7 � *� �� ��� ����� ��� .���!�� . �� 3� �� � �������� ��� ���% ����� �����������/%���+ �� ��� ��� � %������ ����� �� �,�� �� �7��� . �(*�)���. *� ���� �� %�� * �� ����� F���� ���1�����F(����� �� �����K�) �� � �� ����� ���1����� (����� �� ������K�)� ��� ��������� �����1����� �� ��� ������+ �� ) . ��� (�������)� 3������ � � ��� �������� �� =0�

,�7 �����*�. ' ����� ����� �!������

3 '��� ���� �������� Æ(�) �� ��"��� � ��� �� �� �� ��1����� �� ���������� ����6����� %���� ����������� �,� ��� �����%�� ��������9

Æ(�) .

%� � . �� ��#�����

)��+� ����" �% &���� $*��������� ���� �� ��J

%���� � �� �� ��� ���� �����(�)Æ(�)�� . �(�)� 3 �������� �� ��� ���� ��������

�� ��� �#���� ��������+ ������� ��"��� ���(�)Æ(; � �)�� . �(;)�

3� ������ %��� ���� �������� �� ��� ������ ������ �� �,����+ �� ��� �,������� ������� � ��� ����� %���� 0���� ��� ���� ���������� �� ����

=�% �� ��� ���� �������� ��"���@ �� �� ��"��� � ��� �� �� �� ��1����� �������������� ��5��������� ��������� ��� �� ����� �� �/������ ������� ��%� �����1������ 3� �2 ��� ��

��(�) .

�������� ��� � � � � �����(?��� �) ��� ��� � � � ?��� ��#�����

(J�D�)

������� ��� �� *���� J��I� �� �� ����� ��������� �,� ���� ������ ��1����� �� ��������� ��� ���,��� �� ��� ���� �������� �� ��� ���1��� 3�

�2 ��� �� ��� ��1����� ��"��� ��

��(�) .�

+

���� - �� (J�D?)

�� �,� ��� ���,�� �� *���� J����

,��8 �����*�. �' 9������:��������� "�����

1����� J�E �� ������������ �� ��� *������ ������� ��������� ��� �������� ��� �� �1��� ��������� ��� ��+ ���(*�) �� ��(*�) �,� ��"���� �����+ ������� ���(*�)�����+ �� ��� ��� *������ ������� �� ��!� ����� �2���Q�� ���+ �� �������� ��������� ���� ���� ���� � ��� %� ����� ���� ������ ��

��� ������6M��������� ������ (M��+ ��4�)� �� ��� ������6M��������� ��"������+��� ������0�� *������ ������� �� �������� �(�) �2���� �� �� �� ���� "����+ ����+

��������

� ��� ��(�)���� �� (J�DD)

%���� ��� ��,���� ��) /���� ��"���� ����� ��������� ��� ���%�� ��� �� ��� ��� ����� �2�������� ��������+ %� �,�

�� ���

?)

� �

�����!����� � ��

���

?)

� �

�����

. �� ���

?)?) . �� (J�DI)

%���� ��� ��� ��!� �� "���� ��%�� �� ������0�� *������ ������� �� ���������6M�������� ������ ���� ������ �� ��� ���� �� ��"�� ��� ��%�� ������ ����"������ ��� ���� �� � �������

��4 ���� )� ��� �� � ���� �

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1

2

3

4

5

6

7

8

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

n=7

t

f n(t)

fn(t) vs t

*���� J��I9 >�1����� �� ���������� ��������� ��� �� ��� �� �� ���,� � �������������

)��+� ����" �% &���� $*��������� ���� �� ���

−3 −2 −1 0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

t

π−1 n

/(n2 t2 +

1)

π−1 n/(n2 t2 + 1) vs t

*���� J���9 >�1����� �� ����������+ ��5��������� ��������� ��� �� ��� �� �� ���,�� ���� ���������

�?� ���� )� ��� �� � ���� �

�� ��� )

'����� �� � � �����

��� *������ ������� ������ �� ����� ����2� ��� �� 1������� ����+ ���� �>� ������ �� !�� ���� ������ ����� ����2� ����� ��5�� ��� ��������0���� ������+��� ���� � ��� ������ %��� "��� ��� ������ ���� !�� ��6��/� ���� ������ ��� �������� ��� �� �1������ �� /��%� � ��� '������� *������ ������� � ����������� ��� �� ����������� �� ��� ����� ���� �(�) � %��� � ��� ������� :(*)�3������ �������� ����� �� ��� ��������+ ���� �� �� �� ������ �������� ������������� �2������ �� � ���� �������� �����

-�� �������� ��!���� "����#��

3��� �� ��������0���� �� �(�) �� � �,���� ����� ��� �� �� � %��� � ���������,� A�+ ��� *������ ������� :(*) .

��(�)��!��� �� �� ����2� ��� ��

!�� ��6��/� �� /��%� � ��� '������� *������ ������� ('*�)9

:(�A�) � A��������

�(�A�)���$����� � (���� ��) (4��)

�� ��� ������� �� �,����� � ��� ���1����� �A� + %���� A� �� ��� � ���������,� �� ���1����� �� � �� � ������� ��� �� ��� �� �� � � ���� �� ��� �� ���� % + ��� �� ��� �(�) �� �� "���� �� � ������� �� ��������� ������ �� ���������

'�������0�� :(*) �� � �,���� ����� ��� �� ���1����� %��� � ���� �����,�?+A� ������� �(�) .��?+

�:(*)���!��* �� ��� �����%�� ����2� ����9

�(�A�) � A�������

:(�A�)����$������ (������) (4�?)

�?�

�?? ���� !� ���� ��� ��� �� � ���� �

>����� A� . ��(%A�) ���� �1����� 4�� �� ��,���� �������� A� ������ ��� ���%�� '*�

L:B�C .�������

L�B�C���$��� � (���� ��) (4�D)

�� ������ A� . ��(%A�) ���� �1����� 4�? ������ ��� ��,����'*�

L�B�C . ��%������

L:B�C����$��� � (������) (4�I)

%���� L:B�C . :(�A�)�A� �� L�B�C . �(�A�) ��� �� � ������������

����+ �������� ��������� %��� ������ �� ��������0�� �� �1��� ���/���+ %���� ���6������� ��������� %��� �,� ����� ���/���� �� %��� ����� ���� ��� ���� �� ��� %������������� ��� '*��

�� �� ��� ��,���� ��� ��� ��,� �1������ �� ��,�������+ ����+ ��� L:B�C ���������� �1����� 4�D ����� ���� �1����� 4�I ����� ������ L�B�C� ���� �� �� ���,�� ������� ��� ����������� �����������9

�������

���$��� .

%% � ��� . �� %� ?%� ��� ��#������

(4��)

%���� �� � 1B�� �� ?����%��C� �/�� ��� ��� ������� �� ���$��� %��� �1����� 4�I ������ ����������� �� ���$��� ������ �1����� 4�D�

��� ����������� �� ��� �2�������� /����� �� ��� �� ,�����0� �� ������� ��� �26�������� ,������ �� ��� �� ���2 ����+ � ���%� �� *���� 4��� ��� �� ���2 �� ������$��� ��� "2�� � ����� ��� �� � . �� �� ?� ��% � � � � ���� ��� �� ,������ ������ ��� �1��6���� ���/�� �� %����� ����� % ���/�� ,��������� �� �� 0���+�2���� %��� � . � �� �,� ,������� �� ���� �1�� �� ��� ��� �� ��� % �

7� ���� �� � ,�� �� �� ���� � �� � �� ���;���� ��� �� % 3 ��6,���������� �� ��� *������ ������� � ����� �6� ���� ���%��� �� � � ���� �����1����� � ���� �� ��� ��� �� ��� �� ��� ���� �� ��� �� �� ��� �� ��� � �Q

7� ��� �� ��� A� . ��(8A�)B >����� A� . ��(%A�) ������� ����������� ����� ���� ��������� ���$��� ��� �� ������ ,���� �� �� ��

4� �� ,���� ������ ���$��� ��������B �� �� ��� �� ��� ��� �� ������ ,��� ��

!��� ���� ��� ��� �� � ���� � �?D

ιωnPlot of e = e for n=0, 1, 2, 3

ι2πkn/4

Im

Re

Im

Re

Im

Re

Im

ω=2π∗0/4 ω=2π∗1/4

ω=2π∗3/4ω=2π∗2/4

n=1

n=0n=2

n=3

n=1

n=3

n=0n=1

n=2n=3

n=1n=2

Re

n=0 n=2 n=0

n=3

k=3k=2

k=1k=0

*���� 4��9 2�������� ,������ �� �1����� 4�� ������� �� �� ���2 ����� #����6����� ��� ����� �� %��� �� 0��� ������ ��� ���1����� ����2 � . ��

�?I ���� !� ���� ��� ��� �� � ���� �

� �� � ��� ��� ���� �������� �� �������� %��� ������ % � �����

���$������ . ���$���$��� . ���$��� �

����+ % �� ��� � ����� � ��� ������ �� �� /��%� � ��� �!�� ���� � � ��� ������H��/�%��� %A� �� ��� ���� ���� ������ �� ����� �� ��������

7�� �� �� ����;���� �� �� $�� 6���� ���$��� ,��� �������� ��������� % �� ���� � ,�� � �� �B ��� �����1����� �� ��� ���� �B�C ��:B�C �� ���� �������� %��� ���� ���� ������ % ������ ���� �� %������ �� ��� ���$��� �

+�� �� � ��������� ������ ��� �� � ���� �� ����� ,� ���������� ,�� �������� ������B !���� ��� ���� �� ���� �(�) ��� � � � � %A� � ����������,�� �� %A�� ��� ������ �� ����� ��� �������� �2������� �� �(�)� 3� ��� � ���������,� A� ��� � ���� �� % ��������+ ��� ������ '*� ���,���� �� ��� ����*������ ������� ������� � �� %��� ���� �� ��� �����%�� ������� ��% �� �������������� A��

-� 2�4!��� ������ "�����

��� ��1���� � ���� ��������� (#������� �� ����/�+ ��4D) �� �� ����� �� ��������%�� %�9 ���������� �� �6�� �� (�� ����6�� ��) ���� �� �� ��������� ���� %��� � ���� �����,� A� (�� A�) �� ��� �����%�� ���������� �� ���"�����

?A� � )����

?A� � 5���� (4�E)

%���� )��� (5���) �� ��� ��� � ������ (%,������) �� ��� ��� �������� � ���� ��� ��� ��� �������� �� �� �� ���� �� ��������� ����,�� ��� ���������� ����+%���� ��� �� "���� �� ���%���� �� � � ���� . ��)��� (#������� �� ����/�+��4D)�

�� ��� �� �� � �������� � ���� ���� ����� �� �����+ %���� ��� ��������1������� �1����� �� ��� � ��% ���1�������� 3 �� ��� �2 ��� �� �,�� ��*���� 4�?�

-�� ������ ��* $���������� 1���

�� ��% �������� ��� � ������ ���� �� � ���� �� ��������� �� ��+ %���� ������ �� ��� ������ �������� ��������6�������� ������ ��� "��� ���� �� �� ��"����� M�����/�� ���� ��������+ ��� �� %���� �� ����� �� ��� �� �9

ÆB� � ��C .

%� � � . ��

� � � �. ���(4�J)

!��� ������ �� �������� ���'� �?�

t

t

t

Continuous Time Signal

Reconstructed Time Signal

Sampled Time Signal

*���� 4�?9 � �������� � ���� ���� ����� �� �� �� ��%�� ���1����� ��� �������1������

�?E ���� !� ���� ��� ��� �� � ���� �

�� ÆB�C �� ��� M�����/�� ���� �������� %��� ���� ,��� %��� ��� �� ��� �� ��3 ���������� �� �6�� �� ���� �(�) �� �� � ���� �� ��������� �� �� ���

� �"��� �� �

�B�C�� .�������

ÆB�� A�C� (4�4)

%���� �� ���������� �� ������� �� �(�) �� ���� ���60��� ���%��� ��� �� �� � ��(% � �)A�� ���������� ��� � ���� �� � �B�C�� �� ��� ���������� ���� �(�) �,��

�B�C . �(�)�B�C�� .�������

ÆB�� A�C�(�)�

.�������

�(A�)ÆB�� A�C� (4��)

%���� �� ��� ��� ���� ������������� �� ��� ��������0�� ���� �B�C�

$�� �� �B�C��3 ��� '*� �� �B�C�� �� �1����� 4�4 �� ����� ������� �� ������ ���'*� (�1����� 4��) �� ��

��� ��B�C�� .������

����$����

�������

ÆB� � ��C�

�� ������� ��� ���� �������� �� �1����� 4�� %� ��

. ��%������

�������

�������

����$�������$���

���� �

�� �,�� ��� � �� ���� �� �� ��� ����� ��� �� ����

. ��%�������

�������

����$����

������

���$�������� �

.�������

�������

���$����ÆB�� ��C�

.�������

���$����� �

. %ÆB��C� ��� ���� . �� %� ?%�� (4���)

��� !=> �� ,��� 0��� � �� ������ ���1������� ��+ �2���� � �� . �� %A�� ��� .�� ��A�� ?A����+ %���� A� . ��(%A�)� ���� �� ��� �� � ��������

��� ��B�C�� . %�B�C���� . %�

ÆB(� � ��)��A�C� (4���)

!��� ������ �� �������� ���'� �?J

1/dtdt

C(f)dt 1/dt

ft

c(t)

F

COMBS

*���� 4�D9 :� � �� �� � �� ��� ������� �� ���1������ ����� ����� �� �� � �� A��� �� ���1����� ��A��

%���� �B�C���� �� ��� �� � �������� �� ��� ���1����� �� ��� �� ��� �� � �� �� �������� ���%��� ����� �� A� �� ��� '*� �� �� � �������� �� ��� �� � ��������+��� %��� ����� ����� �� ��A� (��� *���� 4�D)�

$�� �� ������9�� ����� �B�C���(�)3 ;��� ��� �������� ������ %� "�� ��� ���*������ ������� �� �(�)�B�C�� ���� �� ��?+:(*) �B*C�$���+ %���� �B*C�$��� �� ���������� �� �B�C�� �� ���������� ��"�� ��� �� � (��� �1����� 4���) �� ��� ���61����� �� ��� �� ��� �����2� �� ���,�������+ �B*C�$��� �� ����� ��"�� ��� �� ������� ��� ���1����� ������� :(*) �� ��������� (�� ���,������� %��� �B*C�$���)%��� ����� ���1����� �� ?+�A�� >�� *���� 4�I ��� � �2 ����

$�� �� ������9��*�������� ����� �B�C ��B�C���(�)3 *���� 4�I ������� ��% �������� �� �6�� ���� ���� (����+ ���� ��� �� 0��� ,��� ��� �� ����,� �� � ���� �� � ����� ��� �� � %� %��� ��� ) ) �� �� ���� �� ��������� ��������6������������ �B�C %��� ����� ) �� ��������� �(�) %��� ��� � ���� �� � �B�C�� �� ���6,��,�� ��� ������ %��� ��� ��������� �� � �B�C� + %���� ) �� ��� ���� ������� �� ���� ����� %����+ �������� �� �������� ���� �� �� ����������� �

�B�C . B�B�C�� �(�)C �B�C� � (4��?)

;��� ��� ���,������� �� �������� ������ �+ �� �� �� ���%� ��� ��� *������������� �� �B�C ��

� B�B�CC . � B(�B�C���(�)) �B�C� C�. B�B*C�$��� :(*)C�B*C�$�� � (4��D)

���� �1����� ��� ��� ��� �� � � ���� �����,� A� ����� ���� ��� ����������?+�A� �����,� �� ��� �� � ������ ) ����� ���� ��� ���1����� � ���� �����,�

�?4 ���� !� ���� ��� ��� �� � ���� �

1/T

1/T

1/dt

T

T

dt

dt

1/2dt

Unaliased Data

−1/2dt

1/dt

*

Fourier Transform

x

x

Discrete

*

*���� 4�I9 �������� �������� ���� ��� ������ ����������� � �B�C . B�B�C���(�)C �B�C�� � >������ �� ������� (�� �,���� � ��1���� ���1�����) ������ ��� �� ����� �� "���� � �����

?+�) � *���� �� � � ���� ��� ��� ��� ��������� ������ �� *���� 4�I ���� �������� ��� �� ����� %��� �� �� �,���� �� �����1���� ������ �� ���+ �� ��A� �?�)��� + ������� ������ �� ��� �,���� �� ����� �� �� ������ ���� �� ������ ����� ��� ��1���� � ���� ���������� �� ����� ��� ����A� ��� ��1���� ���1������

��� ��������2 ��� �� ����� �� �� ���%� �� *���� 4��� =���+ ��� �� � ��6�� �� ������� � ���� �� ��� ��� ��1���� � ���� ��������� �� ,������ (��A� ?�)��)� ��� ������ �� �,���� �� ��� ��������� ������ ���� ��� ��1���� ���61����� ��(?A�)�

-�� ��������� ��; #�� ��� ��"

>� � *��1������ 3�/�� T�������� (*3T) ��� ��� '*� �� ��� �����%���

�� ���� ������ '*� �� �������� %� �� ������ �,�� ���� �� ��� ������������� � �������� �� � ��� �� ���� ��� �� ��� ���1����� �����,� A����%��� � ���� �� ��� ���1����� �� ��@ ��� ��%�� �� A� . ��) . ��(%A�)=0+ %���� ) �� ��� ������� �� � �� ��� ���� �� % �� ��� ���� �� ��� ��� ����� !� � ���+ ��� ��������� �� � �� �� � (%��� ����� �����,� ) )����� ���� ��� � ���� �� � (%��� ����� �����,� ��) =0) �� ���1������

?� =�% �� ��� �� ���� ��� ������ ������� �� �B�C (%���� � �� ��� � ��������2 �� �� �) %��� �3�837@ ��� �� ��� ����� �� ��� � ��� ������� '*�

!��� ����� �( �� ��� ��� �?�

1/T

1/T

1/dt

Masquerade as Lower FrequenciesAliased Data = Higher Frequencies

T

T

Aliasing around Nyquistdt

dt1/2dt−1/2dt

*

*

Fourier Transform

x

x

Discrete

*���� 4��9 �������� �������� ���� ��� ������ ����������� � �B�C . B�B�C���(�)C �B�C�� � >������ �� ����� (�,���� ����� ��1���� ���1�����) ������ �� � ������ ������� � �����

�� � ����� ��������0�� ���� �B�C �� �� ���� ��� **� �� �� �� �3�837�� �� ��� ������� $ . ���(�)� =��� � ���������� ��� �2� ,����� ��� ��������0�� ����+ ����+ � . B�(�) �(?) �(D)����(%)C �� $ ���������� ��� �2�,����� �� ��� ������� ��������+ ����+ $ . B:(�) :(?) :(D)����:(%)C�

�� ��� ��� �� � �� �������� %��� � ��� �� ��� ���� ������� � �������� �� �� *�� �2 ���+ �(�) �� ��� ���� ������� � �� � � �+ �(�) ����� ���� ������� � �� � IA�� ����+ %���� A� �� ��� �� � � ���� �����,��>� �����+:(�) �� ��� ������� � ��� � ���1����� � '�+ :(�) �� ��� ������� � ��� � ���1����� IA� =0+ %���� A� �� ��� ���1����� � ���� �����,��!� � ���+ ��� '*� ��� ������ ������ �� �� ��� A� . ��(A�%) �� %� �,� ����� ����� �����,�� %��� ������� ��� ��� ������� �������� ��� �� ���2 ������� ���� � :(�) �� ��� ��� ������ �� ��1������������ ���� ��� �� � ���� ���� �� ,��� ���� ��������� + %� ����

��� ������ ������� (����+�6� �(:(�))� - 0� �(:(�))� ) � ��������

�� ���1����� �� ���� ��� �3�837 �� �� "���( ��(?�($)))� 3� ���������� ���� ��� ������ ��� ��� �3�837 $ . ?�(�) �� �� �� ��� ���,�� � ������ %�� ,����� $ ��� �� ������� ��� � =0 �� �%��� ��� ��1�������1����� ?�������� . ��A�� 7�� ���� � =0 �� ��� ��1���� �� �� ����Q >���� $��� ���� $ ��� � =0 �� ��1���� ���1������

D� 3�� ����� �� �������� �,���� �� ��� '*�@ ��� *�� *������ �������

�D� ���� !� ���� ��� ��� �� � ���� �

(**�) �/�� �,��� �� �� ������ �� ����������� �� ��� ������ �� �1�6����� 4�D64�I �� ������ ��� $(%�) �� ��� �� ��������� �� $(%����%)� ���� �� ������� ��������� �� �� �������� �,��� ��� ��� ��0�� ��� *�� �2 6���+ �� ��� %��� ��� ��� ���� ��1����� ���� ������ ��������� �� ������ ���26,����� ������� �� ��� ���%�� '*�� �� �������+ ��� **� ���� ��61����� ��������� � ?����� � :����1������+ ���,������� �� �%� ��� ����� ���� � �� �%�� ������ �� ���� ��� **�+ ����+ **� ��� �%� �����+ ������������ ������ �� ��,���� **� ����� ��������

I� =�% �� %� ���� �� ��� ���� �� �����@ :���/ ��� '*� ������� + �� ������� ����"��� ����� ��� ��� ��1���� ���1����� (�������� . ������) ���� ��/6� �� �������� ��� ��������� ������ (�� ��� ������� � ��� ��1�������1����� �� *���� 4�I %��� ��� �� *���� 4��)�

�� #/+ � ����/ � �� ��� #��� ��� '*� ������� ���%��� ��������� �� ���������� ������� ������ ������ ������ ����� ���1������� ������ �� ������7�� %�� �� %� ����� �,� ���6�������� ����� �� ��� '*� ������� %� ��6���� ��� ��1���� �� ��� (���+ ��� *���� 4��)@ '������ ���� �� ��� ���6����� ���� �� �� ���� ����� ���� ������� %��� ����� ��� ���1������� ���� ����(?+��������%)@ P��+ ���� �� ���� ��� ������� ��������0�� ���6���1����������� ���/� ��� � � � ��%6���1����� ������ (��� *���� 4�E)� 3�� �� ���������� ������� ��� � � ���������� (����+ *������ ������� ) %��� ��� � ������ �����

E� ��,������� ������� � ���� � ��� '*� ��1���� �6��6� ���� ���%��� ���� ���� �� ��� ���1����� �� �� � �� ���� �� ��� �� � �� �� ����� �� %��� �� � � ����+ ��� �� ��� ���1����� �� �� ����� �� % �� ���2 � ����(��� �� ���2 �� ��� �� �� ����� �� ��� �� ��� �� � ���� �� ���)+ ���� ��� ���� �� �6��6?Q ��� �,��@ 3� ��� �� ��� ���,���� �������������%�� ��+ ��� ���� �� ������� %���� ��� ��� �� � �,�� �������� �����1����� �� ��� � ���� ��� �� � ��� ��������� ����+ ���� ��� ��� ����� � ���� ������� � ���� �� ����������� � ����� >� ��� '*� �� ����� �6� ���� ���%��� ��� �%� �� ����

-�( 1���!��� 1�����!����

�� ��� �� � ������ �� �������� ���� ����� ���,������� �� � �������� ������ �� � ��"������ �,�� � ��"������ ��� �� � ������� ��������� %� ��"�� ������� ���,������� �� ?�������� �� � ������ %��� ������ % � ��� ���,������� �� ���� �,�� % ��������,�� �����

�B�C . �B�C� �B�C�

!��� �� ��� ����������� �D�

Low Frequency Cosine

High Frequency Cosine cos(5wt)

Discrete Low Frequency Cosine

cos(wt)

cos(2 nk/4)π

Discrete High Frequency Cosine

π cos(2 5 nk/4)

*���� 4�E9 :������ � ���� ��6���1����� ������� ���/ ��� � � � ��% ���1�������������

.��������

�B�� ��C�B��C� (4��I)

���� ���,������� ���� �� � �,�� ��� �� ��� �� � ���� �� ������+ ���� ��� B�� �� ?� ����% � �C+ �� ��� ��� �� � ���� �,���%���� � �� ������ ���,���6����� *�� ���� ����� ��� ��,� ���,������� �� ����� ������� ���,�������+ �� ���� �������� ������� �� ��� �� ���

&�

3� �2 ��� �� ��� ������� ���,������� ��� ����� %��� ������ �� % . E � ���� �����%� �� *���� 4�J� =��� ��� ��� �������� �� ���� ���,� %����� ��� ����� %����%�� %���� E � ����+ ��� ������ �� ��� �������� ������� 3� �� �� ?� D� I� �� �+ ������������ ������ �� ��� ���� �� ��� ����� ����� %��� ����� ���� ��� ���6�������%����% �� �,� ������ ��� �� ��� ��� � � � ����� ���,��������

3 ,������ ���,������ %� �� ������ ������� ���,������� �� �� ���� ��� ���Æ6������ �� ��� �� � ������ �� ��� ���/�� �� ��� %���� ����% �� ������ ������ �� ����������� � �������� ����%�

�1� ���2 :������ ,� 8���� :��,������� �� �B�C . �B�C �B�C+ %���� �B�C .B�� E� J� 4C �� �B�C . B�� ?� D� IC �� ��� �%� �������� �� � ������ (�.I) �� ��� ��,���������

�� ��� ������� ���,������� �� ��� *���� 4�4 �� �� ����� �� ����� ��� �%�,������ �B�C �� �B�C ��� ��� ����� �� ����� %�����+

�D? ���� !� ���� ��� ��� �� � ���� �

Active dot−product window

Y(n−3)

Y(n−2)

Y(n−1)

Y(n−0)

X(n)

WRAPAROUND

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22n

−6 −4 −2

*���� 4�J9 :������ ���,������� �� ��� ��� ���� (�,�� ������ �� % . E � ����)%��� �(�) ��� ��5����� � ,���� � . �� �� ?� D� I� ���� ��� ������� ���,������������� %��� ��� �1�� ��� ����� ���,������� ������ ������ ��� ��������� ������ ����� ���� �� ��� ����� %����% %��� ����� ���� ��� ����"���!�� ������ ��� ������ ���� �� " ��!�� ������ �� �� �� 0���� ���� ��� �� � ������ �� ��� �������� ����� ������� ���� ��� ���6������� %����% ��� % ��� �� ���� ���+ ����� ��2 ���0���� %��� ���,��� %�������� �� ���� ��� ��� � 0��� �����@

!��� �� ��� ����������� �DD

1

2

3

4●

● ●

5

6

7

8

Reflect

1

2

3

4●

● ●

Shift n=1

7

5

Shift n=2

1

2

3

4●

● ●

Shift n=3

Circular Convolution of (1, 2, 3, 4) * (5, 6, 7, 8) = x[n]

n=0

n=1 n=2

n=3

8 6

1

2

3

4●

● ●

8

57

6

1

2

3

4●

● ●

5

8

7

6

6 8

5

7

*���� 4�49 :������ ���,������� �� �B�C . B�� E� J� 4C �� �B�C . B�� ?� D� IC�

�DI ���� !� ���� ��� ��� �� � ���� �

?� ��&����� ��� ����� %���� ���� ��� ����0���� ����+

D� �/� ��� ��� ������� �� ��� ,����� �� ��� ����� %���� %��� ��� ,����� �� �������� %���� �� �,� 2B�C+

I� ����/%��� ������� ��� ����� %���� �� ��� �� � ����+ �� ��� ��� ������� ������ ����� �� �,� �B�C� ���� ��������� �� ������� �� �,� �B�C ��� � . �� �� ?� D����� �B�C . BEE� E4� EE� E�C�

*�� �� ������+ ����� ���,������� �,�� �B�C . B�� �E� DI� E�� E�� �?� D?C� �� �$��� ����� � ������ �� ��� ������� ���,������� �,�� ��� � � ������ � ������� ���,���������� ��� ������ ��� ����� �� ��� ������ �� � ������ �� ����� 0����� *�� �2 ���+�� �B�C . B�� E� J� 4� �� �� �� �C �� �B�C . B�� E� J� 4� �� �� �� �C ���� ������� ���,��������,�� ��� � � ������ � ����� ���,������� ��� �� ��� � �� 4�

7�.�� �� ����� ��� 0�� ������� �� &��� �����

*������� ��������� �� ����� ������ �� �� ��� ���1����� �� �� �� ���� ��� ��������� ������� �� ��/ ���� ��� �� � �� ��� *�� �2 ���+ �� ��� '*� �� ��� �� �B�C�,�� :B*C+ ���� ��� "������ �� ������� �� / B*C:B*C+ %���� ��� "���� �� ����� ����� ���1����� �� �� / B*C� ��,���� ������� �� �� '*� �,�� � B�C��B�C� �� ��������� � B�C� �B�C . � B�C �B�C ��� % ��������,� � ����+ %� ��� /� ���� ����� �� ���� " ��!�� �� ��� �� � �� ��+ �� %� �� ����� 0���� �� �B�C ����� �� ��� '*��#� ������+ ��� �� ��� �� ������ �� ��� "���� ������� ��� �� �1�� �� ��� �� ����� ������ �� ��� ���

7�.�� -����� ����� ��� 0�� ������� �� ������!) �����

3 ���� �� �� ����������� �� �� � �� 0���6����� ��� ������� � 3������� % 0������ ��� ������� ������� ��� ����� ����� �� ��� ��������� �� � �� ��� ���1������� �� (����+ �(�)���� � �(�)����)+ �� ��� �������� � ���� �� � �� �� � �� ������ ����� ������ ��� ��+ �(�)�� � �(�)����� 3 �3�837 ���� ��� ����������� � ��� ���� %,� �� ����%

�"@&.6#.'6#AJ�"�� $�%6����$��%J K L�!� � �� ��� �� � ��,�

���$�%

F"!!$�%J�"�� 8$F%J��"��� �$�3�%J K E�� !� ���

F#"@F$#.��% 2����$#M�% F$���#.�%AJ K �� ������ �� 8 �� 2��� ���

�� $����$�!!$F#%%% K E�� � �������� !� ���

�� *���� 4�� ������� ��� ���� ������ �� ���� �������������

!� � ���� � �D�

5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4Original Function f[n]

f[n]

10 20 30 40 50 600

0.05

0.1

0.15

0.2

Doubly Interpolated Function f2[n]

Sample Number n

f 2[n]

*���� 4��9 ���� (���) ������ �� (����� ) ���� ������������� ��� ��� ��� ���6���� �� ��,��@

-�+ !���

3� �������� ����������6�� � ���� �(�) �� �� ��������0�� ���� � �,���� � ������������ ���� �B�C+ %��� ��� �� ���� � ���� �����,� �� A� �� % ���� � �������� ������� �� �(�) �� ����2� ��� �� ��� '*� ������� :B�C+ �������� ����26� ���� �� ��� *������ ������� ��� �� ��������� �,��� %�# ���1����� � ���� ���� ���� �����,� �� �������� ���� ��� A� � )��� �� ,��� ����� ��� ��� =�������1������� �1����� � ��%�� ���1������� �� ����� ��+ � �,����� �� ��� ������ ���� �� ���6���1����� ������� 3� �2��� ��� ��� ,������ �� ��� '*� �� ���**�+ ������� ��� �� ������� �� � �� �� ������ �� ������ ��� ��� �������

> ���� �� �� �B�C��� ������� ���� ��������� �� �� �B� C����+ �� ,��� ,������� �� ���� � ���� �����,� A� �� �� ��� �� � ���� % �� ��������+ �� ��������� ���� ��� ���1����� � ���� �����,� A� . ��(%A�) � %��� � ��� ��1�������1����� �������� . ���A��

:������ ���,������� �� �1�� �� ����� ���,������� � ��� � ��� �� � ������ ��������� �� 0��� ������ =�%�,�� �� "���� �� ����������� �� ��� ���1����� �� ��+���� ��% ��� �� ��� �������� �� � ������@ ���� �� ��� /��%� ������+ �� ���� ������� � ���� ���� �� ��� ���1����� �� �� ������ �� ���� �� ����� ��� ��� ������ ���� ����� �� ��� ����� <��� ����� �� �� � ���� �� "��� � ���� �� ���������� + �� 0��� ����� �� ��� ���1����� �� �� ���� �� "��� �� ���� � ����(����+ ������������)�

�DE ���� !� ���� ��� ��� �� � ���� �

-�, $�#�������

#������� + 3�+ �� ����/�+ 3�+ ��4D+ >���� �� >���� �+ ��������6=�� :��

P�� 0+ #�+ ��4J+ >��� �� �� ���������9 >������ �� 2�������� G���������+ ����+#/�

-�- �.�������

�� *��� ���� > ��� ������ ��

� ���,� ��� ��� ���� �������� �B�� �C . ���$��� �� � ��� ������ �� � ������� ��� � �� / ��������

� ���,� ��� '*� ���%�� �� ��,���� ������� � �,� ������ �� % � �����

� *�� � ������� �� � ���� %��� � ��� ������ % . I+ ���% ��� ��� '*��� �'*��� �� �� ��� ������������ �� I2I ���2 �� �2��������� @ %��� I2� ����� ,������

� >��% ��� ��� ���2 @ �������� %��� ��� '*� �� ��� ���$��� ���������� ��� @� ���2 �������� %��� ��� �'*�� >��% ��� ����� ? ������ ����������+ ��� �� B@CB@�C . 0+ %���� 0 �� ��� I2I �������� ���2� P�� ����� �3�837 �� ��� ���� ���

?� '*� �� :��$��� >� ���� �����������

� 8�� �B�C . B�� � �� �� ?CH ��� ������ �� ���� �� "�� ��� '*�� ���� ��� ������ �� ���� ������ ��� 6?U��1���� �� ?U��1����� 3�� ��� ����6�� ���$��� �� �����@ ���@ 3�� ��� ������ ��,� ��1���� ���1������� �������@ ��� ���@

D� **� �� :��$��� >� ���� �����������

� !���� ��,� �2������ �2���� ��� �3�837�� **� �� �,� ������+ �� ���� ������ �� ���� �������� '� ��� ������ ��� ����� ��� ��� ���,��������@

� 3��� � ��� � ���� ��� A� �� ���� � �� �B�C� !����� ��� �� � ������ �� ��������� %��� ��� ������� ������ !����� ��� '*� �� �'*� �1������ ��� �������� � ���� �����,� A�� �� ���� ��� %�� �� ��� ���� ���� ���1������� ������ �� ��� �� � ���� �� ��� � �� % �� A�@

!�!� �"� ����� �DJ

I� '*� �� >������ ���������

� 8�� �B�C . B����� �� ?� �C �� ��� ������� ������ �B�C� . B�� �� � �� �� ?C+ %������� � ���� ��� �� �� �� *��� ��� '*�� ���� ��� ������ �� ���� ���������� 6��1���� �� ��1����� �� ��� ����� ������ ,���"�� �� ���� �2 ���@ ;��������� ������

�� :������ :��,��������

� 8�� �B�C . B�� D� ?C �� �B�C . B�� ��C+ "�� ��� ����� �� ������� ���,���������� ����� �%� �� � �������

� ��� ��� ��� �� �� ����� �� � ������ �� ��� ��� ������� ���,������� �1������ ����� ���,�������@ >��% %��/�

� :���/ ��� ��� �,�� %���� ���%� �%� ����� ���� ��������� ���,��,��� 3� �������� �� ��� ���� �������� ��� ������� ����� ��� �������� ���,������� ��%������� ������� ��� ��+ ��� �� � ���� �� ��� ���� ���� � ��% �� ������� �������� �� �������� ��� �� �����+ %���� %� ��� ��� � ��� "������� �� ��� ������� �� ��� 3 "��� � ���� �� ���1����� ���� �� ��� �� �� ���� �� ��� �� � �� ��� ��� �,�� �� � ���!�����#�����I ?������"��

E� ?' **��

� ;�� ��� ?' **� �������� �� �3�837 �� "�� ��� ������ ������� ������ %��� %��/� ���� ����� �/� ���� ����� �� �������� �� ������� ��������% ��� ���� ��� � ����� ��� ��5����� ��������� ���,�� �� (��������) ������%,� ���,�� �� ������� ������ ��% ��� ����� ���� ���� ���� 3�� ���� �������,� ������� ������ �� ���� �� ����� ��� ��� ���1����� 2��@ �� �� �������� ��� %,��� ��� 2��@ ��� �� %�� ���@

J� **��� �� :������ :��,��������

� 8�� �B�C . B�� D� ?� ?C �� �B�C . B�� � �� �� ?CH ��� ������ �� ���� ��"�� ��� ����� �� ������� ���,�������� �� ����� �%� �� � ������� ��% "����� ������� ���,������� ������ �� ��� �������� ����� (� ��������� �� ������,������� ������ ) �� "���� ��� **� �� ���� � �� �+ ��������� ������������� ������� �� �,� 2B�C4 B�C+ �� ���� ��,���� **� ��� ������� ;�� ����3�837 �� �� F5�F� '� ��� �3�837 �� ������-���� ��%��� ���@

�D4 ���� !� ���� ��� ��� �� � ���� �

�� ��� *

�' '����� �� � � �����

����� ����� �/�� ��� ��� �� ����6��/� �,���� �� ?' � �� *�� �2 ���+ ��� ������������� �� �����+ ������ %,�� �� ���� �� ���� ���� %��� ����� �,������ �� �+ ��� ������ ,����� �� � ���� ����� (��� *���� ���)+ �� ����� ��������������� �� �������� ����� �� 3 ������ G��� 7���� >� �����+ ��� ���� ��� ����� �����6��/� �,��� �2���� �� ���������� ��� ����� %��� ��5����� ��� ���� 3 ?''*� �� ����� �� ������� ��� ����� ��� ��� ���� �� ��� ���� �� ����� ������������� ����� �� �� ��� ����� �� ���� �� ��� *������ �� �� �� � ��,���� ?' '*��,�� ��� �����6���� ��� ���� �� ��� ��� �� �� ��� �� ��� ?' '*�+ ��� �������� ����� �������� ������

7�� � ��"

��� �%� �� ������� '*� �� ��� �������� ���� �B���C �� ����������� �� �%��6' '*��9

L:B�� �C .�������

�������

L�B���C���$�����$���� � (���� ��)�

(���)

�� ������ ��� ��� ������� �� ��� �������� ���� ,������B���H �� �C . ����$��������� �� ��� ��,� �1����� ������ �����,���� '*�

L�B���C . ��%��������

������

L:B�� �C����$������$���� � (������)�

(��?)

�� �� ��� �� ���% ��� ��� ������� :B�� �C �� �������� �� ��� � �� � ,������ %���

�D�

�I� ���� ,� �� ���� ��� ��� �� � ���� �

Martin Lake

100 200 300 400 500 600 700

100

200

300

400

500

600

700

800

*���� ���9 ����� 8/� ����� �� 3��/+ %���� ��� ,����� �� ����� ��� �� �� ����6���� ��� ��� �> ����������

� ��� ������ �� % � >� �����+ ��� � � �B���C �� ������� ��� �� ���$����� ����� (����+ :B�� �C . �:B�����C�)� ���� � ����� ��� ��� ������ ������ ���� ����� ���� ��� �����+ � ���������� �� *���� ��?� *�� ��� ������ ��1���� ��2+��� ������ ������� �� ��� ����� ���� 1����� �� ��&����� ������ ��� ��������� ��� ��%�� ���� 1������ *���� ��?� ������� � ����� '*� ������� %��������� %,��� ��� ����� ��/� ����� ��� ��1���� ������� �� ��%�� %,��� �����

3� �� ��� �' '*�+ ��� ?' '*� � �������� ��� �� ����������� �� ���� ��������� �+ %��� ����� �����,�� �� % � ����� �� ��� ������ �� ��� �� ������� ���(�� �) ���� ��� � ���� �����,�� A� �� A� �� �������� ������� �� ��� ��1�����������9

?A� � 5���� �

?A� � 5���- � (��D)

�� ������ ������ � ���� �� �� ������ ��� ��������� �� %,������+ ����+ ?+�5+�� /��%� � ��� %,��� ��� �� +�A� �� /��%� � ��� ��1���� %,��� ����

7� ������ ��* $���������� 3�!����

3 ?6' �� ��� �(�� �) �� � ���� �� ����� � ���� ����� �B�� �C

�B�� �C����- .�������

�������

ÆB�� �A�CÆB� � A�C� (��I)

,��� ������ �� �������� ' ����� �I�

x

t

−2π

π

π

π

− π

2

−2π

π

kx

f2πF

Nyquist

Nyquist

Nyquist

Unaliased 2D DFTa).

x

t

−2π

x

t

π

π

π

− π

2

−2π

π

kx

f2πF

Nyquist

Aliased 2D DFTb).

*���� ��?9 )� ;������ �� �)� ����� '*� �� ���� ����� :������ ������ ��������� %���� ����� %,��� ��� ����� ��/�� ����� ��� ��1���� ������� (��������� ����� ��2) �� ��%�� %,��� �����

�I? ���� ,� �� ���� ��� ��� �� � ���� �

��� '*� �� ��� � ���� ����� �� ��� ����� �� ��� *������ �� ��+ �2���� �������� �����,�� �� ����� � ��A� �� ��A� �����,��� ��� �6' ���,������� �� �������� ���������� ������0� �� ����� �� �������+ �� ��� � ���� ����� ����� �� � �� �� ������� � ���� ���������� ����� �� ��� �� � �- �� ���

���B�� �C����- . >(��� �-) .�������

�������

ÆB�� � �?+�A�CÆB�- � ?+�A�C�

(���)

>� ��� �� �6' �� ��+ ����� ������� ������� ���� "�� ������� �� ,��� ,����

�� ��������� ��% �� �������� � ��� � � �+ *����� ��D6� ������ ���� � ����� >�� ����� ����� ������� ��� ��� ��������� � �+ ��������,���� >����� ������� ��� ��� �������� ������ �� ���"��� ����� �,���� ��� ��� ��� ����� ���� ������� ����� �� ����� ��� ��� ��1���� %,��� ���+ ���"��� ��� ��� � ���> �� ������� �� ��� ����� ��% �� *���� ��D �� ��� ��� � 5� �� 5- �� ������ ���� #�,������+ ��� �> ���"��� �,� � ���� ��� � %,������ ��� ��� � ���"��+ �� �� ��,��� �� �� ����� ��� ��� ��2�� %����� ���� ����� � ������ �� �� ������� ���� ��� ���������� 3 � ������ "���� ������ �� ��� � �%��� ���� ,��� ������ � ��� ��� ��1���� %,��� ����

!���� ���� ��� ������� ���� �� *���� ��D� �� ��� ��� 6��1���� �� ��1����%,��� ��� �,�� *���� ��I�

7�� �!���� &����� 2����

��� ����� ����� �� *���� ��D� �� �� ��� ����� �� ���� ��� 1������ ��:(��� ��)�� %���� ���� ����� ��� ���� �/�� ��� ��� ?6' ��2�� ��� �/�� ��� ,���0��� �� ��� 1������ �� ������ '��� �� ���� �� *���� ��I�+ %���� �� �,���� ������ �� ��� �������� �� ��� �����+ �������� ��� �������� ������ ��� ������ �� � ���� �� ��� ���� ��� ���� ��� ��� �������� ���������� ���� � ���� �� ��������� �� � ������ ��������� �� ��� ������� O��� ��/� � ������ �6' ��2��������� �6' �������� ������ �+ � ������ ��� ���� �� ?6' ��2 %��� ������� ?6'�������� ������

7�� $�#�������

#������� + 3�+ �� ����/�+ 3�+ ��4D+ >���� �� >���� �+ ��������6=�� :��

P�� 0+ #�+ ��4J+ >��� �� �� ���������9 >������ �� 2�������� G���������+ ����+#/�

,��� ��� ����� �ID

Martin Lake Subimagea).

WE Pixel Number

NS P

ixel N

umbe

r

50 100 150 200

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Edge Detected Imageb).

WE Pixel Number

NS P

ixel N

umbe

r

50 100 150

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 50 100 150

−250

−200

−150

−100

−50

0

50

100

Pixel Number

Inte

nsity

c). NS and WE Profiles

WE Profile

NS Profile

kx (radians/pixel)

kz (r

adian

s/pixe

l)

Magnitude Spectrum d).

200 400 600 800 1000 1200

200

400

600

800

1000

1200

*���� ��D9 >��� �� �� >� ����� 8/� () ������ �� (�) ���� ��� ����������(�)� � �� �> ���"��� �� ��� ��������� � � �� ���� �� ��� � 5� �� 5-�(�)� �3�837 ������ �� ��� ?' **� �� ��� � � � ���"��� �� �%��� ��� ��1����%,��� ���� ����� ����� ������ �� ����� ���� �� ���� ��� 6��1���� �� ��1����%,��� �����

�II ���� ,� �� ���� ��� ��� �� � ���� �

WE Pixel Number

NS P

ixel N

umbe

r

a). St Martin Lake

50 100 150

20

40

60

80

100

120

140

160

180

WE Pixel Number

NS P

ixel N

umbe

r

Dip Filtered St Martin Lakeb).

50 100 150

20

40

60

80

100

120

140

160

180

kx (radians/pixel)

kz (r

adian

s/pixe

l)

Magnitude Spectrumc).

−400 −200 0 200 400

−400

−300

−200

−100

0

100

200

300

400

kx (radians/pixel)

kz (r

adian

s/pixe

l)

d). Muted Spectrum

−400 −200 0 200 400

−400

−300

−200

−100

0

100

200

300

400

*���� ��I9 >� ����� � � () ������ �� (�) ���� ���� �� ��� ������� �� (�)�� (�)+ ��������,���� ��� ������ �� ������� ��� 6��1���� �� ��1���� %,��� ���+�� ��� ���"�� ����� ����� ����� �� ��� ������� �� �� � �%� ����� ����� �� ����� � �- �� ���

,��� �"� ����� �I�

7�( �.�������

�� ?' **� �� ������ '�%���� ��� ����� 8/� �� �#��" 9 ��!� �����!� #���!�����������?J���!�����#���, ���� ����"� �� ������ ?�E2?�E ����� �� ��+ � �� �� F ����F� �/� ���� ��� �������� ����� ������� �� ������ �,�����

� �*$ ��� �� ��������3 3���� ��� �3�837 �� �� F�����.5�?( ����)HF+�� ���� ��� ������ ������� �� F����(��(�����))HF� ������ ��% ��� ����� ����� �� ��/�� � ��� (�� �) ���������� ���@

� �*$ ��� �� ���� �������� ��������3 3���� � ��� �������� �� ����������� �� ���� ��� **��

0��!+���1������"�*�����"+!,$

����4��*��!H�.���H�,$

����������"*���,$

�������*!�!,$������*����,$

�������*!��,$������*���*����*����,,,$���� �"$

��"����*���*����*����,,+�7�,$���� ���

�/� ���� ��� �2� ������ �� �,�� �� �������� ��� ��� ��� ': ���1������� ������ ����� �������@

���� ��% ��� ������� �� ������� ��� � � ��� �- � ? %�9!��� ��� ����� ��1���� %,��� ���� �� ��� ��2�� ��0� �� ��� �@ ���� ��� ��% �> �� � ���"��� �� ����� ��� ��� 2� � �� �� �- ,���� �� ��� ��� 3�� ����� �����@ ��� ����� ��� �� ����� �� �/�� ��� **� �� ������ ��� ���/ �������@ !����� ��� �� ��� 6��1���� �� ��1���� ���� F5������F� �/� ������� %,��� ��� 2�� �� ��������� �������

?� '� �������

� ������� �� ���� ����� �� ����� �������� ���� ��,��3 ������ � ������� �� ��� F���F �����+ ����� �� ���� ��������� �� ��� ����� �� ��������5� � ��� ����� ���� ��� ��� ��� ���1����� ������� %��� �,� ������������������� �� �,� ���� ��� ���1����� ������� �� �������� > ���� ��� ������ ��� ���"�� �� ���� ��� �� ��,��� %,������� %���� ���� �/� ?'**� �� ��� %���� ��� �� ��%�� ��� ���1�������� ;�� ���,������� ������ ���2�����

0�+"1���6�*����,$��2!��"��*�+",$��2����2!$

7�I$��� ��!�7$��2!*�+�,�*��!,�*7�!,$�"�$ % 7 � ����� 7����

���#$��� ����7.!��$�����.!$��2!*�+�,�*7���,�*7�!,$�"�$

���#$��� ��!�7$�����.!$��2�*�+�,�*���!,�*7�!,$�"�$

�IE ���� ,� �� ���� ��� ��� �� � ���� �

���#$��� ��"�7.!��$�����.!$��2�*�+�,�*7���,�*7�!,$�"�$

��2���2!���2�$������*��2,$ % ��"��� ����� ��2

��2���"*�������2,H�$ % �4����� ����"� ����� ��2

�����*�,$

/:���������*�����,$�������*!�!,$������*���*/:����,,$

���� �"$��"����*���*/:����,+!#+�7�,$

�����*�<������ �� /������ D����,

:���������*����,$�������*!��,$������*���*:����,,$

���� �"$��"����*���*:����,+!#+�7�,$

�����*�<������ �� 8"������� D����,

���� ���$

>�� *���� ��� ��� �� ������ �� �1���� ������ �� ����� ���� ����������

� ���� ��� �%� 1������ �� ��� ������ �� /��� ���� ������ �,����� ��,���� **������� �� ����� ��� ���� �������� !���� ���� �2���� ��� ������ ��� ����� %,��� ��� �� ���

,��� �"� ����� �IJ

5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

b).

X Pixel Number

Tape

r Amp

litude

Linear (−) vs Squared Cosine (−−) Tapersa). Tapered Image with 14 Pixel Width

X Pixel Number

Y Pixe

l Num

ber

50 100 150

20

40

60

80

100

120

140

160

180

−600 −400 −200 0 200 400 6003

4

5

6

7

8

9

10

11

d). Log Spectra of Tapered Image

kx (radians/pixel)

Log M

agnit

ude S

pectr

a

−600 −400 −200 0 200 400 6003

4

5

6

7

8

9

10

11

kx (radians/pixel)

Log M

agnit

ude S

pectr

a

Log Spectra of Untapered Imagec).

*���� ���9 )� ������ � � %��� ���� %���� �� �I ��2���H �)� �1���� ������ ,������ ���� ���������H ������ �� �)� �������� �� �)� ������ ������ ������� ��� � � �� )� ���� ��� � ������ ������� �� ��� ��� ���� ��� �5 �� ���%,��� ���� �� ��� ������ ������� �� ���� �� ��� �������� ������� �

�I4 ���� ,� �� ���� ��� ��� �� � ���� �

�� ��� �+

,�� � �����

� �� �� �� ��� �� ���� ����� �� F����F ����� ��� ������ � ������� ������ ���� ����� ���� � ����� ���%� �� ��� ��� � � �� *���� ����� ;��� �3 "������ �� �,� ����� �������� %��� ���� �� � ������� �� ���� �� ����������+ �� ���� � �� �,�� %���� �� ��� ���� ����� �� ��� ���� ��� ��� ��������� �������� ,��� �� ,��� ��� �� ��� %��� ��,��� � ���� �� ���� �� ����� ����� ����� ���� ���� ������ ��������� ��� ������� �� ���� "������+ ��������� �������,��� �3 %��� ����� �� ���� ����� �� ��� � ��

�8�� ��*��� ���������

��� �� ��� �� ���� ����� �� ��� ���� "����+ "���� %���� ������ �� ��� F ����F�� ��� ��������� ,���� �� ��� �/� �� ��� �� �� ��"��� � �(� �)+ ���� ��� %�% ���� "������ ������ � (� �) �� ��"��� �

�(� �) . ��� �(�(�� � �) ��� �% � � � -%� � �% � � � � � -%) (����)

�� %����+ ��� ���� "������ ������ �� ��� �� ��� %���� �� ��%� ���%��� �� ������������ ,���� �� ��� �/� *�� �2 ���+ ��� ��� �� �� ���� (�� ?� ����� D� �) �� ����� ���/� �� ����+ ��� ��� ���� ,��� �� D+ ��� ���� ������ ��� �����+ �� ������ ��� ,��� ,��� �� ?�? %���� �� ��,��� ��&������ �� ��� ������ ����� "�������� � ��� �%�� ��������� �� ���� �� �3 "������ %��� ����� �� %��� ������ ����� ���

3� �2 ��� �� ��� ���� "���� �������� �� ��5����� ��� ��������� �� ���%� ��*���� ���?� ��� ����� ���� � ���%� ��� �� "������ �������� �� D6����� �3"����+ %���� � ��� ��� ���� �� ��� ��������� %��� ���� ����� �� �������+ ��� ���� "��� �������� ������,�� ����� ���� �� ,��� �������� ������+ �� ������,������ ��� �� ������ �� ��� ������� �� �������� "���� �/�

=�% ���� ��� ������ ��� "���� �/ ��0�@ ���� ������ ������ ��� � ���6 ����� ���� "�����9 "��� ��� %����% ����� �� �����+ �� �� ����"��� ���� ������ ���� ��� ����� �� ",�+ �� �� ��� ��� ������� �� ��� ����� %��� ��� "����

�I�

��� ���� �+� ����� ����� �

5x5 Median Filtered Face on Mars

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

50

100

150

200

250

300

350

Noisy Face on Mars

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

50

100

150

200

250

300

350

0

50

100

150

200

50

100

150

200

*���� ����9 F*�� �� ���F ������� �� �3>3�� ��%6���������� ����� �������(���) ������ �� (����� ) ���� ��������� ���� "�������

�+��� ����� ����� ��� ���

SINGLEPULSE

STEP

RAMP

PULSE

PULSE

DOUBLE

TRIPLE

TRIANGLE

STEP

ORIGINAL MEAN FILTERED MEDIAN FILTERED

*���� ���?9 !������ �� ������ �� �� ���� "����� �� ��5����� � � ���"����� ��� �� ������� :� ��� ���� ��� "���� ��0�@ ����� "����� ������,� ���� ��������� ,���� "����� (����+ ����)�

��? ���� �+� ����� ����� �

���� ��� �� ��� ����

������� (���� ��������3 �� ��� ����� �� ����� %��� �� � ��� �%�� �26����� ������ ���������+ ���� ��������� ���� "������ �� ��������� 3 ����������������� �� ������ �� ��� ���� "���� ���� ��� ��� "���� �� ���� ���,��� �� ����� %����� ��� "���� %����% ������ ������ ��,�� ��,� �� � ��������� ,����*�� �2 ���+ �� %� ����� ��� ��� ��� %��� ����� �� ��� %����� ��� ��� �� �6������ ��� ���� "���� �� ���� ���,��� %��� ��� %����% ������� %��� ����� ,��������� ������ %��� ��,� ������ �� ��� ��� �������� ��������� �� ��� � �������5���� �� ���� "����� *���� ���� ���%� ��� ������� �� ��� ���� "���� �������� � � ��� ��� %��� ���� ���� ������ ,�� �������� ����� ��� �2����� ��������� �� �� ������ � ���%� �� ��� *���� ���D ��������

/������� ��� � �� 8������ 8���,�� (���� �������3 8�%�� (����) ����������� "����� %���� ���� ��� � �������� �� %����% ��� �,� �� ���� ,���� ������� ��� ������ ��,����� �� ���� �� ��� ,����H ��� ������ ��,����� �� ����� �� �� ��� ��2�� �� ���� ,���� �� ��� ������ %����%� ����� � �������� ��,���� �� �,� ��� ������ ,��� � ��� %����%�� ������ ��2��� ��� �� ��� � �������� �� �� ���� ?KD ��� �� ��� �� ��2��� �� ��� ������ %����%� ��� �� "���� ��� ��� �� �� ������� � ��� ������,�� � ������ "���� %���� ���� �� ��� ���������������

��� �� "���� ������ �� ��������� �� �� ���� ,���� ��������� ��� ��������2��� �� ���� ������+ P� 8�� �� �������� � 3� �� ��,���� ���� "���� ���������� %����% ���� ��� ������ ����� ��2�� ��� �� ���� ������ ��,������� ��� �� ���� ,����� 3��� � ��� ��� ������ ��2�� �� �������� �� ��� ��� ��2���:����� ��,��� ������� %����%� � � ���� %��� ��� ������ ��� ��� ��� ��2��� *������ ������ ��,����� �� �� ���� ,���� �� ��� �� ����� ������� %����%�� :�������� %����% %��� ��� � ����� �� ���� ,��� �� ��� ������ � ��� ��� ��2�� �� ��� ���� ,���� >�� ����� 8���� �� ���� ��� ���� �� �2 ����H ���� ���� ��� ��� ���� "���� �� � ���� ��� � � ����� �� �� � ������ ��� ���������

�8� �.����� �# ��*��� ���������

����� "������ �� �� ���� �� ������� �������� ����� �� ���� �� ��� 2 �������%�� ��% �� �� ���� ��� ��������� �������� ����� �� ���� �� �� �� ��% �,���

�8���� ��������� �' &�6� 3���� �� ������ ���

���� %,�� �� ���,�� ��� �,� ����� �,����+ � ���������� �� ��� ���� ������ *���� ���I� �� ���� ������ ���%� �� *���� ����� �� �� �,� ����� ����%,��+ ����� ������ ,������� ��� ��� %��� ���� �� ���� ���+ %���� �� ������ ����� %��� (����+ ����� � ���? ����)� 3 ����� �,���� ���������� �� ������ �� ���

�+��� �"���� �� ����� ����� ��� ��D

Filtered Face. Is it a mountain or monument n= 5

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

50

100

150

200

Scratched up recent photograph

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

50

100

150

200

50

100

150

200

0

50

100

150

200

*���� ���D9 F*�� �� ���F %��� ����/������ ����� ������� �� �3>3�� ���������6���������� ����� ������� (���) ������ �� (����� ) ���� ��������� ����"�������

��I ���� �+� ����� ����� �

�� ���� ��� ��� ����� ����� �� *���� ���� �� &������ � ���%� �� *���� ���������� ������+ ���� &������ �� �2������� ��

�(�� �)��,���� . �(�� �� ����� �) . �(�� �� ����� �)���� �,��

- �(�� �� ����� �)����� �,����� (���?)

%���� ��� � . � �� ��� � � ����� � ��� ��2 �� ��� F,F �� ��� ���� %,� ��*���� ����� ���� �,���� ����������� F&�����F ��� ���� %,� (��� *���� �����)�*�� "2�� �� � ,���+ ���� "���� �� ���� ������ �� ��� ���� ���� ��� 062���3������ ���� "���� �� ��� 0 ��������� %��� ��� ������� ��� ���� %,� ���,����� %��� ������� ����� ���6����� �,���� ��� �� ��� &/������� ���� ��������� ��������� ��� �� �� � ,���� (��� *���� �����)�

���� ������+ ��� "������ �� ��������� �

�������B�(�� �)��,����C . �������B�(�� �� ����� �)���� �,��

-�(�� �� ����� �)����� �,����C�

� �(�� �� ����� �)���� �,��� (���D)

��� "������ �� �� �� ��������� ��� ��� ��"������ ��

�(�� �)��,���� � �������B�(�� �)��,����C � �(�� �� ����� �)����� �,�����

(���I)

�� �,� ��� �,����6��������� �� ���� �� ���� %,�� (��� *���� �����)� ��� ����� �,���� ���������� �� �� ��/�� ��� �� ��� %� �,� ��� ������ �� ���� �� ����%,��+ � ���%� �� *���� ������

�8���� ��������� �' "� ��� �� 3���� �� � � ���

*���� ���E ������� 0���6�5��� �� ��� ��� ��� ��������� >�3!!� �� ��� ����� � ����� ��������� %��� ������� �,���� �� ������� �� ��� ��� ��� ��������� �,� ��������� �� �� ��� �� ��� ��� ���� %,� �� �,��

�� ��� ��,���� � �� �������� �� ��� ������ ������� �� ��� �� �� ���� ��� �����/�� ��� ��� ���

?� ����� ��,���� �� �� ���� �� &���� ��� �������� �� ��,���� � �,���������������

D� ��� ���� "���� �� ������ �� �� �,� �� ��� ��� ���������

I� ��� "������ �� �� ��������� ��� ��� ������ �,���� ��������� �� ���,� �� ���� �� ���������

�+��� �"���� �� ����� ����� ��� ���

*���� ���I9 :����%��� ���� ���� %��� ����� ���� %,��� ��� ����0���� 2�� �� �������� 2�� � %���� �����,��� �� ������� ��� ���� �� ������ �� � �$���� %��� ���� � � ����� � ��� �� ��� ���� 3���� ������� ����� �,���� ���������� ������� %,�� %��� �� F&������F ( ����+ ���� ���� ��� ����0���� ������ ����� 062��) �� ���� "���� �� �� ������ ��� ��� 062�� ��� ��� �� � ,����

��E ���� �+� ����� ����� �

Tim

e

Z

Tim

e

Z

Tim

e

Z

Tim

e

Z

Tim

e

Z

Signal

Noise

Noise+Signal Data: d(z,t) Flattened Noise+Signal: d’(z,t) = d(x,t− z )τ( )

Median Filtered Data : f[d’(z,t)] Subtraction : d’(z,t) − f[d’(z,t)]

Signal

Flatten

Subtract

Unflatten

Filter

c). d).

e).

a). b).

*���� ����9 :����%��� ���� ���� %��� ����� ���� %,��+ �� ��� ����� ��� �� �,������ ������

�+��� ���� � ��J

3���� ��/�� ��� ��� �,���� ����������+ ��� 0�� ,��% ������ �� ���%� �� *�6��� ���J� ���� �� ,��� �5����,� %� �� �� �,� �������� ����� �� ����� �� �����

�� �� ��+ ������� ��� ��,���� �� �� ��� �����+ &���� ��� �����+ ���� "��������� &������ �� �� ����� �� ������� �� ���� �� ��������+ �� ������� ��� ��� ��"������ �� �� �,� �����6���� ���

*���� ���E9 #�� ������� �� ��� ��������� 0���6�5��� >�33!� ���

�8�� !���

���� ������ �2������ ��� ��� �� ���� "�����+ %���� �� ��������� �,�� �3 "�����%��� ����� �� ���� ����� �� ����� �������� ����� �� ��� ��� �� ��� �������� ������� ��� ������ �� ��� �� ��� ��������� 2�� �� ��� � �+ ���� �,���� ������������ �� ������ �� ��� �� �� &���� ��� ����� (����+ �������� ����� �� ������ �� ��������� 2��)� ��� ���� "���� �� �� ������ �� ����� �� �� ��� ������ ����������� ��� ��� ��"������ �� �� �,� �����6���������� ���

��4 ���� �+� ����� ����� �

*���� ���J9 ����� "������ �� ��������� ����� 0���+ %��� ��� �/ ��0� �1�� ��(���) �� ����� �� (����� ) � ������ ��� 0�� ,��% �� ��� ��� ��2 �� ��� ��� ����� �� ��� ���,���� ��������

�+��� �"� ����� ���

$���$�21�

G��0��0+ !� �� �����+ !�++ ���?+ '���� � � ���������9 3������ ������ :��

8�%��+ !�+ ����+ ������� ����� � � ���������9 ���� =��%��� :� ����

8��+ P�+ ������+ ��+ 3� '�����+ >�+ �� 3���$+ ��+ ?��?+ ��6������,��� ������ �� ����������9 ��� 8���� ��+ *��� �����+ �DE6��4� =��%���:� ����

����+ ��+ ����+ '���� � � ���������9 (?�� �������) ��������6=�� :��

!��������+ 3�+ �� M/+ 3�+ ��4?+ '���� ������� ���������9 N��� �� � �� ��9 (?���������)+ 3��� �� ����� :� ����

�8�� �.�������

�� '�%���� �������� �� � � (� ���K��� �)� �� ���� ��� �������� �� ��������� ���� "������� 8�� ��� ���� "���� "�� F� ���K ��"��� F �������� %��/�� ���������� ��� ��"��� ���� �� ���� "���� %��� ��� �F��%. ��"��(���+�)FH ���� �� �/�� ��� � � F���F �� ���� "����� �� ���� �2� �/� �/� ���� � �� � ��� �� ���� P�� �� ,��% F��� �F �� �����F����� �(��(?��))H� �(��)F� �� �� �������� � � �� ��� ������ ,������� ���� �� � ��

�E� ���� �+� ����� ����� �

�� ��� ��

-������ '������� ���

���� ����*!�����

��� ����� ������ �����,������� ������ �� � �����%�9

=0� @% 9 �(�) �(�) . �(�) �#��� �(�) � �"!� ��

�(�) � ������ �!�"!�

/0%: 9 �(�)

$�A)0$% 9 ���� CC� . C� (����)

� � . (CC)��C� (���?)

%���� BCCC�� . 7��( � �) �� ��� ��� ���� �� ��� ������������� ���2 ��

BC�C� . 7��() �� ��� �# ,������� ��� ��� �� ��� ��������������� ���%��� ��� �����,����� 1 �� ��� ������� ������ ,����� �� !������ ��� ��� � �1������ ������CC� �C� . '+ �� (1�C� � �) . '� ���� ��� ��� ��� ������ "���� ���,�� ����������� �� �� ����������� %��� ��� ����� ,������

3 ������ ��� �� ������ �����,������� �� ��������,� �����,�������� ������ ��+��� ����� %,���� ���� ������� %,����+ %� ���/ � !� � "���� ��� �������������� ,���� �� ��� ����� ��� ������� �� ��� ,���� �� ��� ������ ��� ��+ �1������� ������� ������ �(�) �� �� � �,���� ,������ �� ��� ����� �(�) . �(�-�) �� ���

=0� @% 9 �(�) �(�) . �(�- �) �#��� � � �"!� ��

�(� - �) � ������ �!�"!�

/0%: 9 �(�)

$�A)0$% 9 ���� CC� . C1(�- �)

(���D)

� � . (CC)��C1(�- �) (���I)

�E�

�E? ���� ��� �������� �������������

=���+ � � �� ��� ���������� ������� �� � �� ��� �� �� �� ���� �� ���6�����"����� �� �� ��� �� ���% ��� ��� ��������������� ���%��� ��� ����� ,����� �� ���������� ������ �� �,�� �� C1(� - �)� . 7��( - �)+ %���� �� ��� ��������������������� ��� �� ��� ���������� �� � �� �� %��� ���% ��� ��������,� ����� "������� �� ���� �� ��� ���� ���������� ����� ���� � ��������+ %,�����+ �� �� ����������

��� ��6��� ��������!����

�� ��% ������/� ��,��% �� ���/�� "������+ %���� "���� �� ����� ��� ���/�� �,�� %,����� ���� "���� �� ������ ��� �� ������ "���� �� �1����� ����+ %������� ������� ������ �� ���/�� �� ��� ��2� ������� %� %��� ���% ��% ���/� "���� �������� �� �6���� ���������� "����� �,�� �� �1����� ���I�

��� �6' ���,�������� ���� �� ��� ���� �� ��� ��� ��� ���� �� �(�) ���,�� �� ���,������� �� ��� ��&����,��� ������ �(�) �� ��� ���� %,���� �(�)+ ����+�(�) . �(�) �(�)� ��� �� �� ���/�� �����,������� �� �� ���� � ��,���� %,�����(�)�� �� ��� �� �� �� ��� ��������� ��&����,��� ������� �(�)�

8���� ��� �� ��� ��� � �1������ �������� %��� ������ ���/�� �����,����������� ��+ %� %���� ��/� �� "�� ��� �(�)�� ���� ��� ��� ��"� �������� ���(�)� �(�) �(�)���� �� ��� �0��� 3� %� ������ ������+ ��� �0���� �� ���� ��"� ��������

���� �� ��� ��� � �1������ BCCC���

. BCC� *�� I6��� ��,���� "����B���� ���� ���� ���� C �� ?6��� ���� �� ����� � . B����C+ ��� ���26,����� ���6���������� �� ��� ��� � �1������ �� �,�� ��

������� �� � � �� �� �� � �� � �� �� �� � � �� ��

����� ���������

�� � � ��� �� � �� �� �� �� � �� ��� � � ��

�������� ����������

����

����

����

!!!" .

������� �� � � �� �� �� � �� � �� �� �� � � �� ��

����� ���������

���������

!!!!!!" � (����)

�� %� ��� � ��� ��� ��&����,��� �� 0���6 �� %���� ����� %��� ���� ,����� (����+�(��) �(�) . Æ(�))+ ���� ��� ��,� ������������� ���2 ���� �� B�(�) �(��)C .B�(�) �(�) �(��) �(��)C . B�(�) Æ(�) �(��)C. B7��(�)C+ ���� BCCC . B7��C ���1����� ����� �� �������+ ��� !=> �� �1����� ���� ���� �� BCC . B�(��) �(��)C �(�) . �(��) Æ(�) . �(��)� 7����� �(�) �� ���� �������� ���� ��� ����

����� �������� ����� �ED

��� ��� �� ��� ,����� ��� �� ���60��� �� ��� ��� �����+ ����+

�����7��(�) 7��(�) 7��(?) 7��(D)7��(�) 7��(�) 7��(�) 7��(?)7��(?) 7��(�) 7��(�) 7��(�)7��(D) 7��(?) 7��(�) 7��(�)

����� ����������

����

����

����

!!!" .

��������

������

!!!!!!" � (���E)

>��,�� ��� ��,� ��� �� �1������ �,�� ��� ���/�� "���� �(�)��+ %���� %��� �������� �(�) �,�� ��� ��������� ��&����,��� ������� ��� 0�� ���� ���� ���� �������� ��� %� ���� ���� ��� ���� �� + �� ���� �� /��%���� �� ��� ������ %,������ ��� ��&����,��� ������� ���� ��� �� ��� ��� %,���� �(�) �� ���� �� �(�) �� %���� ����� ������� =�%�,��+ %� ���,������ ����� ��� ���� ��,���� "���� �� ���,��� �5����,� �� ��� �(�) �� ��� ���� ��� � ���� %,����� >� %� ��� �������� ��� �����+ � ��� ��� ��� %,���� �� ��� � �����

�� ����� ��� �5����,����� �� ���� ������+ *���� ���� ������� ��� ������������� �� �����,��,�� �� ���/�� "����� ��� ����� "��� ���%� ��� ��� �����6,��,�� ���� �� �� �� �%�� �� ��� �� ��� ���� *������%��� ��&����,��� ���������� �������� ��� ���1����� ����� ���� �� ��� �����,��,�� ���� �� ��� �� ��� %�����6�� �� ��� %,���� � �� ���1�������+ �,�� ��� ,��� ��� ���1������� %���� ���� ����% �� ���6�2������� �� ���� ���+ D��6����� ��� %,���� %� ���,��,�� %��� ���*������%��� ��&����,��� ������ �� ������ ��� ��������� ��� ��� 06������� �� ����%,���� �� �(�) . ��(�� ���)+ %���� �� ��� ��� � ���� ���������

�� �������� ��� ��� ���1����� �����+ � ��� �� ���� �� ��� ����� �� ���������������� ���2� ���� �� �1��,���� �� ���� ��������� �� ��� ��"� ����6����+ � ��� ������ ��� ����� �� ��� �������� ,����� �� �� � � �� � �������� ����� ����� ��� �0� ��� ��"� ��������� 3���� � ������� � ��� ����� �,�� ��������,��,�� ������ �� *���� ���?+ %���� �� ��� ���� ���6���1����� ����� �� ���������� ����� ��� ���� ��&����,����

�1������ �2 ���6�� $���������� �� ���������� $���� ���� ��� ����� ��� ���� �� ��� �� ���!��� ��� ���� ���!� ������"��� �#������ ��� ����� ��� ������� ����� "������ ���" ����� ��� �� ���!��� ��� ��� $�%� ����# ��� � ���� "���� $&%� ��� ��� � ���� "���� ��� $�%� ����# �'�� � ���� "�����

���� ���*������ ������

�� %��� ��% ���% ��% ��� ���/�� "���� �� ��� ���,���� ������� �� ������ �� ������������� "���� �� �1����� ���I�

��� ���������� "���� �� �1����� ���I �� ��� �� ������� ������ ,���� �� ��� ��������� ��� ����� �� ������� ��� �� F����������F� =�% �� %� ���� �� ���� ��

�EI ���� ��� �������� �������������

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1Input Signal = Friendswood Reflectivity*wavelet: w(t) = 0.9t

Ampli

tude

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−0.2

0

0.2

0.4

Predicted Input with Damping = 0% : 100−pt Prediction Filter: Lag = 1 samples

Ampli

tude

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−0.02

0

0.02

0.04

Ampli

tude

Time (s)

Actual Reflectivity:100−pt Prediction Filter: Lag = 1 samples

*���� ����9 (���) !�&����,��� �������� !(�) ��� *������%��� %��� �� ���,��,��%��� ��� � ���� %,���� �(�) . �(�+ (?�� ��� ���) ������ ���� ������ �6���� ���������� ������ "���� �� ����� �� ��� � �1������ �� F���/�� '����F�������+ �� (D�� ��� ���) *������%��� ��&����,��� �������� '����,��,�� ���� �� ����� �� 1���� �� ��� �� ��&����,��� ������ � ����� �2���� ��� �������� ��� ���61����� ������ �� � ��� �� ������ �� ������������� ���2�

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1Input Signal = Friendswood Reflectivity*wavelet: w(t) = 0.9t

Ampli

tude

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−0.2

0

0.2

0.4

Predicted Input with Damping = 5% : 100−pt Prediction Filter: Lag = 1 samples

Ampli

tude

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−0.02

0

0.02

0.04

Ampli

tude

Time (s)

Actual Reflectivity:100−pt Prediction Filter: Lag = 1 samples

*���� ���?9 > � � ���,���� "��� �2���� � ������� � ��� �� ���� ���� �� ���������������� ���2� ����+ ��� �������� ��� ���1����� ����� �� ���� ������������ ����� �� ������ ��� �� ��� ���� ������

����� �������� ����� �E�

%,���� �� ����������@ ��� ��%�� �� ��� ��� � ���� %,���� �� ,��� ���6������� �� ���� ���������� "����+ ��� 2� � �� ����� �2��6���� %,������ ��� ����� ���������� �� �6����� ���� ���������� "����� �� ����� �����,�������� ��� �� ������� ���/�� "����� %��� ���� ��,������ � ����� ��� � ������,� ��� ������� ��"������ �� ��������������

������ $��� �� �' ����!���� %���� �

�� %��� ��% �2 ��� ��5����� �2 ���� �� ��������� ���� ����� ������

)�������,�� 7�������� 3� �2 ��� �� ���������� ����� �� ������ �� �,���� ��� ����� �(�) . ��+ %���� ��� ������ ,��� ������� 1��������� �� ���,����,����� ���� �������� ���� �� ����� ���� � 1������ �� �� � ����� ������ ��� ���� �%�� ���������� �� ���� �6���� ���������� "�����+ �,�� ����� ��� 1����������� �� �� ����� 2� � ����� *���� ���D ���%� ��� ������� �� ������ �6���� ���������� "���� �� ����� ��� �1����� ���I ��� 1������ ����� ����� �����������,� �������� �� ��� �� ��� I�6����� ���������� "����+ ��������� ������ �������� %,���� ����� �� �� ����� 2� � �����

3 �� ���� ������ �� ��� ���������� �� ���� "����+ %���� �� ��� ������������ %,�� �� ��� �� ���� � �� ���� ������ 3� ���%� �� *���� ���I+ ������������� "���� �� 1���� ��� ��� I�6����� ������ "���� %��� �6���� �������������� ����� ��� ���%� ��� ��� ��������� ������ �� ��� ��� ��� "��� I� �� �������� �� ��� �����������

5��������,�� 7�������� ��� ���� �� ���� �� ��� ���������� � ��@ 3 ����6 �� %���� ����� ������ �� ������������+ �� ��"������9 ����/� ��� ������ �������� ����� 1������ �����+ ��� ������ ,���� �� ��� ���� ����� ������ �� ����������� %������ ������� �� ��� ,����� �� ���+ �� �(�) . �(�) ���� 7 (�) . �(�) �(��) . Æ(�)�� ��� ��� (CC) �� ����� �� ��� !=> �� ��� ��� � �1������ ���D �� 0���,����� ��� � � �� ����+ ��� ������ ���������� "���� ������ �� �(�) . � ��� �� ��3� ���%� �� *���� ����+ ��� ����� �� ���� ����� %���� ����� ������ �� �� ����������������� �� �6���� ���������� "����� �� ���+ ��� ������ �� ���� ���������� "������ ����� ��� � � � ��� ������ ����� �������

������ 1����� (���� ����� �� ������� %����

��� %���� ��� ������ �� ��������,� "������ �� �� �����,� %���� ����� %��� ���� �� �������� ����+ ����+ ��� ����� ���� �� � . � - �+ %���� � �� %���� ����� �� � ���������� ���� ��� �� ����������� %��� �� ��� ������������ �� � �� � ��� ���7��(�) . � ��� �� �� �� ���� ��� ��� ��� � �1������ ���D %���� ���� �

(7��(�) - 7��(�)) �(�) . 7��(�- �)

. 7��(�- �)� ��� � . �� �� ?� ��� (���J)

�EE ���� ��� �������� �������������

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

Input Signal = t2: Actual (−) and Predicted (+) Input

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

60

80

% Error Between Actual and Predicted Input

% E

rro

r

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.5

1

Time (s)

100−pt Prediction Filter: Lag = 1 samples

*���� ���D9 (���) T������ ����� (-) ���� �� ��������� (6) ���� �� ��� �6�������������� ������ "���� ���%� � ����� � ���������� ������ �� ������� �� ��������+ �� ��� ���������� "���� %� I�6������ ��� (��� �����?� )�

����� �������� ����� �EJ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

0

1

2Input Signal = cos(t): Actual Input (−) and Predicted (+) Input

Am

plit

ude

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

50

100% Error Between Actual and Predicted Input

% E

rror

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.5

0

0.5

1

Time (s)

100−pt Prediction Filter: Lag = 1 samples

*���� ���I9 (���) :����� ����� (-) ���� �� ��������� (6) ���� �� ��� �6�������������� ������ "���� ���%� � ����� � ���������� ������ �� ������� �� ��������+ �� ������ �� "��� I� ������ �� �� � ������ �� ��� �� ��������� ������ �� ���I�6����� ���������� "���� (��� �����?� )�

�E4 ���� ��� �������� �������������

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

−0.5

0

0.5

Input Signal = random: Actual Input (−) and Prediction Error Result (+)

Am

plitu

de

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

50

100

% Error Between Actual and Predicted Input

% E

rror

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Time (s)

100−pt Prediction Filter: Lag = 1 samples

*���� ����9 (���) !��� ����� (6) ���� �� ��������� ����� (-) ���� �� ����6���� ���������� ������ "���� ���%� �� ����� ���� ���������� ������ �� ��������� ����� ���+ �� ��� ������ ������ ������ ��� ���� �� ����� ��������������� ���+ ��5������ ���%��� ��� ��������� �� ���� ���� �� ,��� �� ��� �� ��� ��������� �� � �������

����� �������� ����� �E�

%���� ��� ��� �1����� �����%� ������ 7��(�) . 7��(�) - 7��(�) .7��(�) - Æ(�)+ ����� 7��(�- �) . 7��(�- �) ��� � � �� �� ��� ���1����� �� �� ��� �6���� ����������"���� �� �1����� ���J ���� ��9

/ (*) . (*) �(*)�B �(*) (*) -%�(*)%(*)C� (���4)

���� "���� ��������� �� ��� �������� ��� �� ����� �� ������ ��� ,���� �� ����� ��0��� %���� �������� ��� ����� ���� �� �� ���� �� ������ / �� ��� ����� �� �,�

B -% C/ . � � �B -% C�B� � �- �%�% �C�� ��� ����� � � �%�B� � �- �%�% �C�

. $(%�%�%)� �� (����)

%���� * ������� �� ���� ����������� #� ��� ����� ��� / (*) ����� �� ������� ������� �� ��� ����� �� �� �%�� � ���� ��� ��� ����+ ����+

B (*) -%(*)C/ (*) . � � � B -% C�B� � �- �%�% �C���� � ����� � � � �B� � �- �%�% �C�

. $( )�

(�����)

>�+ "������� "����� %��� ���������� ������� �1�� �� ��� %��� ���� �� �2���� ������� �����,� %���� ������ ���� �� ��� ��� ���������+ ������ ��� �������� �� �����"���� �� %���� ����� ����� �� ����� ��� ��� %���� ����� �� ,�����

3� �2 ��� �� �6���� ���������� "���� ���� �� ����� ��� �������� �� �������������� �� �����,� *������%��� ��&����,��� �� �,�� �� *���� ���E� =���+ ��� ���6������� "���� ������� ��������� ��� ��� ������ ���� �� �,� ��� ������ �� ��� ����� "���� >�������� ���� ���������� ������ �� ��� ����� ��� ��� ��� ����� ���� ����� ��� ��� �,�� ��� ���������� ����� ���%� �� ��� ����� ���H ���� ������ ������� ����� ��� *������%��� ��&����,��� ������� 3� %��� �� ��������� �� ���� �������+���� ����� "��� �� ��� �� ���������� �� �� ��� ������ �� ������ ��������������� "���� (� *) �� ��� ������ =���+ ��� ������������� ���2 �� ����� �� %��������� �� �� ��� ���������� "���� �� ������� �� ������� ��� �������� ������ �����

��� � * "���� ��� �� ������ �� ��� ��� �� �������� ���� �� �� �(�) . �(�)-�(�) ��� �� �������� %��� E� =0 ��%������ ��00 �(�)H ���� ��� ���� �� ��&��������(�) �� �� ���������� �� �� ���������� ������ 3 ���������� "���� ������ �� ������ ��� �,� ��� �������� ���� �(�) %������ ��� �����,� F�����F �(�)� ���� ��������� ����� �� �(�) �� �� ��������� ��� ��� "������ �� �� �,� ��� �����,������+ %���� �� %�� %� %��� �� ��� ��2� �������+ %� %��� ���% ��� ���� �� ��� ����������,� ����� "�������

�J� ���� ��� �������� �������������

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−1

0

1

Input Signal (−−) = cos(t) + r(t) where r(t) (−)=Friendswood Reflectivity

Am

plit

ude

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−0.5

0

0.5

1PEF Result with Damping = 8% : 100−pt Prediction Filter: Lag = 1 samples

Pre

dic

tion E

rror

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Am

plit

ude

Time (s)

Predicted Signal:100−pt Prediction Filter: Lag = 1 samples

*���� ���E9 (���) ����� ���� �� �������� ����� (V) �� *������%��� ��&����,��� (6)+(�)� � * ������ �� ���� �6���� ���������� ������ "����+ (�)� ���������� "���� �������3� �2������+ ��� ���������� "���� ����� ��������� ��� �������� ���� �� ��� ������������ ����� ��� ���� *������%��� ��&����,����

����� �������� � � ����� �J�

���� ���*������ ����� ������

��% %� ������ �� �6���� ���������� "������+ �� ���% ��� ����� �$��� ��� ������ "���� %��� ������� ��� ���/�� "���� ����,�� �� ��� ���,���� �������� ��� �$�����"���� %��� �� ������� � �6���� ��������� ���� ���+ �� � *�

3� ������+ %� ��� � ��� ��� ����� �� �� �,�� � �(�) . �(�) �(�)+ %�����(�) �� ��� 0���6 �� %���� ����� ��&����,��� ������ �� �(�) �� ��� %,����� ��� ���� �� "�� �6���� ���������� "���� �(�)+ �� ���� ����� ��� ��� � * �� ���/�� "������� �(�)�

�� %��� �/� ��� ������ ��� �� D6��� ���������� "���� %��� ���������� ��������� �+ %���� ���� �� ��� �����%�� ��� � �1�������

�� 7��(�) 7��(�) 7��(?)7��(�) 7��(�) 7��(�)7��(?) 7��(�) 7��(�)

��� ���� ������

!" .

��� 7��(�)7��(?)7��(D)

!" � (�����)

>�������� ��� !=> ,����� ��� ���� ����� �� ������� �� ���� ��� ���2 �,��

��� 7��(�) 7��(�) 7��(�) 7��(?)7��(?) 7��(�) 7��(�) 7��(�)7��(D) 7��(?) 7��(�) 7��(�)

��� ������

����������

!!!" .

��� ���

!" � (����?)

�� ��� � �2�� �1�����+ � ���

(7��(�)� 7��(�)� 7��(?)� 7��(D) )� � (�� � ��� � ��� � ��) . -� (����D)

%���� - �� ������� ��� �� �� ����� ���� ���� ��� ���������� "���� �(�) �� ������� ���,�� �1����� ������ 3������� �1����� ����D �� �1����� ����? %� �� ����1������ ��� ���������� ����� "������9

�����7��(�) 7��(�) 7��(?) 7��(D)7��(�) 7��(�) 7��(�) 7��(?)7��(?) 7��(�) 7��(�) 7��(�)7��(D) 7��(?) 7��(�) 7��(�)

����� ������

����������

!!!" .

�����-���

!!!" � (����I)

%���� (�� � ��� � ��� � ��) �� ��� ���������� ����� "���� (� *)� '�,���� �1�6���� ����I ������ �� - ������ ��� � � ��� �� ��� � �1������ � ���� ��� ��,����"������� ��� ��+ ��� ���6���� ���������� ����� "���� (�� � ��� � ��� � ��)

��-�� ��� ���/�� "���� �� %,����+ �� �,�� ��� ��&����,��� ������ %��� ������ �� ���� �� � ��� � * ��,���� �� %������ ��� ������� �� ��� %,�����

�1������ �2 )�������� ����� ������ ��� ������� ���� ���� � ���� ����(� ����� ��� ���� �� ��� �� ���!��� ��� ���� ���!� �#������ ���� ��� ������������ "������ ���" ����� ��� �� ���!��� ��� ��� $�%� ����# ��� � ����

�J? ���� ��� �������� �������������

"���� $&%� ��� ��� � ���� "���� ��� $�%� ����# �'� � ���� "�������# ���#��� �� ��� ����� ��� �� ���� ���� �� ��� �! �� �� ��� �� ����� ����� ��� "��� ��)��� "���� �#�� �� ���� ���� ��� ��� ��� ��*��

D �� /3

�� '� %� �%�� ������ ��� ��� ��� ���������� �������@ ��+ ����� %� ������ ������� �1�� �� ��� ?��60���6������� �� ��� ������������� �������� (���*���� ���J)� 3 � * %��� ���������� ������� ��� &����� ��� ������� �,6���%����+ �,�� ��� ��� ��� ���1������� %���� ����� ����� ������ �� �����%�� �� ����� ����� �� %� ������ ������ ����� ���������� ������� �� ��� ��� � ��� �� ��� ������������� ���2� ;��� ��� ��� ������60��� �����6�� � ��� ���������� ������� (��� *���� ���J �� �� ���� ���� �������#����+ ��� ��� "������ �� ������ �� ��� � * "������ �� �� ��� ���� ���6���1����� ������

?� =�% ��� � ��� ������ %� ��� �� ��� ������������� ���2@ � ����������� ���� � �� � ������� �� ��� 2� � ,��� �� ��� ������������� ��� ����

D� =�% ��� ������ ��� ���������� "���� ��@ ���� 1�������+ ������ �� � %,������� �� ��,����� �� ����� "���� �� �� � ���� ��� "����� 3 ��� ���� ����� � �� �� ��� "���� ��� �� � ���� � ��� � ��� ������ 0��� ������� �� ���������������� %,����� ���� �� ����� �� ��� ���� ��������/��� ������������� ����� �� ��������� ���� ������� =�%�,��+ ����� "����� �������� ����� ����� :�; �� � �� ��� ���6����������� ������� M��� �� ���+ �2����6���� ������ ��� ��� ����� �� ��� "���� ������ �� �� ����� ��� �KE �� ���� ������� ����� �� ��� ���� �� ������ �� ��������� �5���� �� ��������������� "����6����� �� � �������

I� ��� �� ��� ���� �� �� ��5����� ������� �� ���1����� ������� � ������ �� �� ���� �� ���� �� ��� ���� ,������ ���������� ��� ����� ����%���� ������ ��� �� %� ��@ :��� �� ���� �� ���� ��,��� ��� �,�������������+ �� "�� � * ��� ��� ����

�� 8�� "����� ��1���� �2�����,� ��2 ��,������+ �� ����� �� ������ ��� ���� �26�����@ P��+ ��� 8�,����� ��������� �� ���$��� ������ ������

E� ��� �� ��� �� � ���%��� �������� ����� %��� �������� �� �+ � ��� ����2���� ��� ���60��� �5��� �����@ ������ ;�" ������� �� "�� � * �� ����� �� ��� ��� � ,���� �� � ,���+ �� � ��� ����������� �� ���� %,�������� �� ������ ���+ �� ������� ������ ������ �� ������� ��� �� ; �

J� =�% %���� �� ���� ���� ��&����,��� ������@ ��� ����� %����+ ��� �� ��� ��%���� ����� �� �� %��/�� >�� *���� ���� �2 ���+ %���� ��&����,��� ������ ��

����� �������� � � ����� �JD

������� ��� *������%��� ����� ��� ����� �� ��������� ����� �� ����� ���F%��������F �� �� � ������+ ��� /� ���� ��� �� �,� F������ ������F ���������� ��� � *�

4� '��� ��� � ���� ��� ����� ���� %,���� ����@ P��+ �� ������ ����� ����� ��� ������� ?��60��� ������� � ���������� ��������

�� ��� ���� %� �,� � ���� ���������� "������� ��� ��+ ��� ���� ������ ����� ,���� �� ������� ������@ ;��� ������ ,��� ���%� �� �� ������� �,���6����+ �,�� ������������ �� ��������

���,�� �� -�����������

��� ������ �� ��� � * �������� �� �� ���� ����� � �(�) � �(�) �(�)+ %���� ����� ��5������ ���%��� ��� ���������� ��� �� ��� ����� �,�� �� �(�) �(�) �� ������� ����� �(�)� ���� ��5������ ������ ����� ��� ������������ ��� �� ��� ����+%���� %� ��� %���� ��&����,��� ������ �� ��� ���,���� �2 ����

���,�� 9����� ��

���� ��� ���������� ������� �� ���� ��� ���+ ���� ��� � * "���� �� /��%� ����� �����,�������� G���� �����,������� �� �� ��� �� ���� ��� ����,����������� ��������+ �� �� ��� �� ���� ��� %,���� ������ ��� ���������� ������� ��+�� �+ ������ ��� "���� B�� �� �� �� �� � ��� � ��� � ��� ����C� ��� ��������������� ���� "���� �� ��� ������ �� �� ������� ��� ������������� %,���� �� ���/� ��������� �� �� ����� �6��� ��� ������ ��� ��� �� ��� ��� ����� �� ��� ������ �������� ���/ �� ��� ������������� � �� ����� ��� � �� ��� ��� ����������� ��*���� ���J ���%� ��� ��� ���6������ �������� �� �� ���������� %���� ��� ����������� ��,���������� (�������� ��� �� ��&�������) �� �� ������� �� ������� ��� ���������� ������� ��� �� ����� ��� ��� ��,��������� ������ ��� ������� ������ ��� ������ �� ��� ���������

3� � �2 ��� �� ��������� ��� %,����+ *���� ���4 ���%� ��� ������ �� ������ � * "���� %��� ���������� ������� �� �� ������ �� ��� � ���� %,����� =���+��� %,���� �� ���� ��������� �� �� ���� �� ������ ��� �� ��� ���������� �� ������������ %������ ��� ���� �� ���������� �������� ��� ���1����� ������

:��,��,�� ��� %,���� �� *���� ���4 %��� %��� ����� ������� ��������(�) ������ ��� ���� �� � ��� ��� �� *���� ����� =��� �(�) �� ������ ���� � ���� �� ��� %��� ����� ��&������ �������� �� �/�� �� �� ��E� 3������ ?��6����� � * %��� ���������� ������� �� �� ������ �� ����� �� ������ ��� ����� ���� �� �� *���� ����+ %���� ���%� ��� ��� �������� �,� ���� �������� ������

*�����+ ��� *������%��� ��&����,��� ������ �� ���,��,�� %��� ��� ����� �� ���� ��� �� *���� ���� �� ����� ��� �������� ���� �� ���%� � ��� ��� �� *�6

�JI ���� ��� �������� �������������

*���� ���J9 3������������� �������� (���) ������ �� (����� ) ���� ���������� �����"������� ��� ���������� ������� %� ������ �� ����� ����� ������ ��,����������(�� ��� ���� ������ ��� �� ��&�������) �� /��� ��� ������ ��������� 8���� ��"���� ���� ���������� ������� ������ ��� ������ ��� �� � �� ��� ��� �� ��� ������ ��������

��� ������ ����+ ����� �� ��������� �6' ���� �� � %��� �������� %��� �������� �� � ����� 3������ ���� � � * �� ���� ���� �� ������ ��� ������ ���%��� ��� ����� �� *���� �����+ �� ������� ����� ��� ���� ��&����,��� ���%� ���� ����� �

�� �� %���� �� � ����� ��� ��� ��� ������ ��� ��� ,������ �� ��� � * ����� �����%��9 %���� ����� ��&����,���+ �������� ������� ������� (�����%��� �������������� %���� ���� � �� �� �� �������������)+ �� �����,� �����+ �� ��� � ���� %,����� 3�� ,������� �� ����� ��� ������ %��� ����� ��� ������� 3� ��2 ��� �� ,������ ��� ��� � ���� ��� �����+ *���� ����� ������� ��� �������� ���� �2�� ���� %,���� �� ������ ��� ����� �� �������� %��� ���������=��� ��� ������ %,���� ���� �� *���� ����� %� ��������� %��� ��� �������� %��� ������ �� ���� ?� � ����� ��� � * ������ ���%� �� ��� ����� ��� �� *���� ������� ��� � ��� � ��� �� *���� �����+ %���� ���� ��� � ���� %,�����

3 ������ ,������� �� ��� ��,� ��� ������ �� ����� �� ������� ��� ������� ��� "���� �� �� �� ����� ��� ��� ������������� �������� ���� ��� ������ ������� ���� ���� ��� ��������� ���� �� ��� ��� ��� ��� �������� �� *���� ������ "���� ����� �� �� ������ %� ���� (�����+ ��� ����� �� "���� ����� ���� ����� ������ �� ��� ������������� ���2)� =���+ �� ����� "���� %��� ��� �� ��2��������������� ���2 %���� ���� ��� ������ �� ����� ���� ���� ��� ��������%��� ������ �� �� � ����Q *���� ����? ���%� ��� ��������� ������� �� �������

����� �������� � � ����� �J�

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1Input Signal = w(t) where w(t) Minimum Phase Wavelet

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1PEF Result with Damping = 4% : 200−pt Prediction Filter: Lag = 10 samples

Pre

dic

tion E

rror

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

Am

plit

ude

Sample Number (.001 s/sample)

Predicted Signal:200−pt Prediction Filter: Lag = 10 samples

*���� ���49 (���) ���� � ���� %,����+ ( �����) ��� � * ������ ���� ?��6����� ���������� "���� %��� ��6����� ���������� �������+ �� (����� ) ��� ����������"���� ������� ���� ��� ���������� ����� �� ���60��� ��� ��� ���� �� ��� %,���� �� ����� �� �����+ ���� ��� ����� �� ����� 0��� ���� ���� =��� ��� � * �� ������� ���%,���� ���� ������� ��6����� %,�����

�JE ���� ��� �������� �������������

��6����� � * "���� %��� ���������� ������� �� � ����� ��� ����� "��� ���%���� ���� ����� "���� %� ������ �� ��� �������� �� ���� %��/�� �� ���/�� ���%,����Q :�����+ ��� �������� �� ����� ������� �� ��� �����,��,�� ��������

�1������ �2 E����� $���������� �� ���������� $���� ���� ����(�� ����� ��� ���� �� ��� �� ���!��� ��� ���� �� ����� ������� �� ������"�������� +� �� ��,-. ������ �� ����(�� '��� ������ �� '��� ������ ������������ �� ���� ( ������ �������� �� "��� � ����� �� /. �� ��� ��� �� ����"��� � ����� �� -.. �� ���� ���" ����� ��� �� ���!��� ��� ��� $�%� ����# ���� � ���� "���� $&%� ��� ��� � ���� "���� ��� $�%� ����# �'� � ���� "����� 0'����� ����� ��� �� 10� ��� ��������� ��� ������ �� / ������ (. ������ ��� -.. ������� ���" )�� �� ������� ���� �� 10� �������

���,�� 9����� �!���� ����� &���* 9��� %� � ��:� ���

!����� ���� �� ��&������ ���"��� �� ��,����+ �������� ��� ��� "��� �� �+ ��� ������������� �� ����������� ����1�/�� �� ��� ���� ��� � ����� �� ��� *�� �� ���4+'�3� '����� �� O�:� ���� �� ��������� 0���6�5��� ���� �� �� �,�� $�� ��� ����� ������ ��� G��� >�� 8/�� ����� 0���6�5��� ���� �� �� �� *���� ����D ���%���� �,������ ��� ������� ����������� ����1�/�� �� ���� ���� �� ��� ��� �� (�)���� �������� �����+ �� (?) ��������� ����� %���� ��� �������� �� ��� ���� ������ ��� ���� %��� ��� ���� �������� ����� �� ����������� �� �� ����� �������� �� ������ �� ��� ���� %�� ��%��� ��� ���� �� �����1���� ���������� ��&���� ���� �/� ���� ���� �� ��� �� ��� ������ �����

3������ � * "���� ������� �� �������� ��� ������ �������� �,�� ��� �������� ��� ����� �� *���� ����D� =��� �� � ��,���� �������� �,� ���� ������������ ��,�� �� �%�� ��% ������ ����� ����� %��� ��� ������ ��� �������� ������� ��� ��� ������ %� ��� ���1����� ����� %��� ���1������� ��,� /�������0��� ���+ *���� ����I ���%� ��� ��� �% ����� �������� �� ����,� ��������+ ���� �� �� �� ����� �� "������ �� ���� ��� ������ ���� �� ������ �� �������+ I��6����� ������ �� %� ���� (��%�� ���� ������ ���� �� *���� ����I) �� ���������� �� �� �,� ��� "�� �� �� ��� ��%�� ���� �� *���� ����I� ����+ �������� ���,� ���� ����� �� �� �� ������� �� ��� ���� �� � �������� �� ��� ������������� ��� ����� �� ����"���

���( !���

�� ���� ������ %� ������ ���� ���������� �� ���������� ����� "������� ��� �6�� ������ �� ��� �����%���

�� ����� ����� ��&����,��� ����"�� �����������

����� ���� � �JJ

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−0.5

0

0.5

1Input Signal = w(t)*m(t) where m(t) has period 50 samples and H20−bottom refl.coeff.=.6

Am

plit

ude

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−0.5

0

0.5

1PEF Result with Damping = 4% : 200−pt Prediction Filter: Lag = 10 samples

Pre

dic

tion E

rror

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−0.5

0

0.5

1

Am

plit

ude

Sample Number (.001 s/sample)

Predicted Signal:200−pt Prediction Filter: Lag = 10 samples

*���� ����9 > � � ���,���� "��� �2���� ��� ��� � ���� %,���� �� �������,��,�� %��� ������� ������� %��� ������ �� �� � ����� ���� ������� ������� ����� %��� ����� ������� %��� %���6����� ��&������ �������� �� ��E�

�J4 ���� ��� �������� �������������

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−1

−0.5

0

0.5

1Input Signal = r(t)*w(t)*m(t) where m(t) has period 50 samples and H20−bottom refl.coeff.=.6

Am

plitu

de

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−0.2

0

0.2

0.4

PEF Result with Damping = 4% : 200−pt Prediction Filter: Lag = 1 samples

Pre

dic

tion E

rror

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−0.02

0

0.02

0.04

Samples (.001 s/sample)

Am

plitu

de

Actual Reflectivity:200−pt Prediction Filter: Lag = 1 samples

*���� �����9 > � � ���,���� "��� �2���� ��� %��� ����� �������� �,� �������,��,�� %��� ��� *������%��� ��&����,��� ������+ �� ���������� ������� �� � ������� ���� ����� ��� ���,������� �� ��� ��� � ���� %,���� %��� ��� �������������� ������ ��� � ���� %,����� ����+ ��� � * ������ ������ �� ��� ��� �� ��� *������%��� ��&����,���+ � �� �������� �� �� ���� ��� ����� ������� "�����

����� ���� � �J�

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−0.5

0

0.5

1Input Signal = r(t)*w(t)*m(t) where w(t) mixed phase

Am

plitu

de

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−0.2

0

0.2

PEF Result with Damping = 8% : 200−pt Prediction Filter: Lag = 1 samples

Pre

dic

tion E

rror

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−0.02

0

0.02

0.04

Samples (.001 s/sample)

Am

plitu

de

Actual Reflectivity:200−pt Prediction Filter: Lag = 1 samples

*���� �����9 > � � ���,���� "��� �2���� �2�� ���� %,���� %� ����� =������ �2�� ���� %,���� %� ������� �� ��������� ��� ��� � ���� %,�������� �� ��� ���,���� "��� %��� ��*� �������� %��� ������ �� ���� ?� � �������� � * ������ �� ��� � ��� � ���%� �� ��� ���,���� "����

�4� ���� ��� �������� �������������

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−0.5

0

0.5

1Input Signal = w(t)*m(t) where m(t) has period 50 samples and H20−bottom refl.coeff.=.6

Am

plit

ude

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−0.5

0

0.5

1PEF Result with Damping = 8% : 20−pt Prediction Filter: Lag = 1 samples

Pre

dic

tion E

rror

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

0.5

1

Am

plit

ude

Sample Number (.001 s/sample)

Predicted Signal:20−pt Prediction Filter: Lag = 1 samples

*���� ����?9 > � � *���� ����+ �2���� ?�6����� ���������� "���� %� �� �����%��� ���������� ������� �� � � ���� ��� �������� ?�2?� ������������� ���2��� ��� ������ �� ����� ���� ���� ��� �������� %��� ������ ��+ �� $��� %��/���� ���/�� ��� ������ %,�����

����� ���� � �4�

200−point PEF Zero−Offset Seismic Section: Prediction distance = 0.02345 sec

X−coordinate (ft)

2−w

ay T

ime

(s)

200 400 600 800 1000 1200 1400

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Great Salt Lake Raw Zero−Offset Seismic Section

X−coordinate (ft)

2−w

ay T

ime

(s)

200 400 600 800 1000 1200 1400

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

*���� ����D9 <���6�5��� ��&������ ������� ��� G��� >�� 8/� (���) ������ ��(����� ) ���� � * "������� ��� ���������� "���� %� ?�� (����DI �) ������ ��� ����� ���������� ������� %� D�� � ����+ �� ���?DI � ���� 3� �5���� �� D�� �� �������+ ��� ������ �,���� � ���E �+ �� ���J � �,� ���� ����������+ �� ��� &� �,���� ���ID � �� ���� ���������

�4? ���� ��� �������� �������������

0 0.02 0.04 0.06 0.080

0.2

0.4

0.6

0.8

1Raw Seismic Trace

Time (s)0 0.02 0.04 0.06 0.08

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Demeaned Seismic Trace

Time (s)

0 0.02 0.04 0.06 0.08−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Filtered Demeaned Seismic Trace

Time (s)0 0.02 0.04 0.06 0.08

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Time (s)

Deseasoned Filtered Demeaned Trace

*���� ����I9 <���6�5��� ��&������ ���� ��� G��� >�� 8/� ��9 ;���� ����9!% ����� ;���� ����9 �� ���� ����� 8�%�� ����9 *������� �� ���� ���� %������� ��� ������ ����� ����� �� I��6����� "���� ���,� (����� ����)� 8�%�� ����9'�������� "������ �� ���� �����

?� 3�������������� �� �� �� ����� �� "���� �� ����� �� ��+ �� ��� ��6������� �� ���������� �� ��� ��� �,���� �� ��&����,��� ��1����� ������� ���� ����K������� %��� �������� �� �+ �����%��� �� ���� ��5������ *�� ��� ��5����� �� ���� �� ���� �� �

D� �������� ������� ������� (�����%��� ������� ������� %���� ���� � ���� �� �������������)�

I� �� �����,� ������

�� ���� � ���� %,�����

3�� ,������� �� ��,� ��� ������ �� ����� ������� �� ������������ %��� ;������ ��� � *�� ������� ���/�� �� ������ %,����+ ������ %,���� �����+ ��������� �,�+ �� �� �,� �� �����,� �������� ������ ������ � ����� %��� ����� �� ��6,��� �����,� ���� �����+ %���� �� �������� %��� �������� ����� >���� ������ �������� ��� ��� ��� ������ �� ����� �� ������� ������ ���� �� ��� ��1����� ������������� ���2 %��� ��� �� ������� 8���� ������ �������� �� ��������� �� ��� ���� ������ ���� ��1���� ���� �� ������ ������������� ������+%���� �� ���$��� �� ������ ��� �� ��� ���� �� ���� "���� ������ ������ ������ ��� � �� ��� 2� � ������� � �� �� ����� ������������� �������� �������� ���� �KE ����� �� ���� �� �

�� ��� ��

�.' -������ '������� ���

� �� ����*!�����

��� ���,���� ������ �� �������� ��% ���������� "����� ��������� ��� �������������� �� ��� �����+ � ��� �(�) � �(�) . �(� - �)+ %���� ��� � * ������ %� ��������������� ��� �� ��� ������ ��� ������������ ��� �� %���� ����� ������ ���� �+ %���� �� %���� ������� � *�� ���� �����+ ��� � * �� �� ��� �� �������� ��� %������� "���� %����+ �� ��� ���/�� ����� �2 ���+ �� ��� ��� ��,���� �� �������� ������ %,�����

��% %� �2���� ��� ������� �� ���������� "������ �� �%� �� ������� (:����+��4I)+ �������� ��� �� � �� ��+ ����+

�(�� �) � �(�� �) . �(� - �� �- -)� (�?��)

%���� � �� - �� ������,� ,����� #�� ��� �/+ %�� ��� �� ���������� "������ ������ �� ��@ 3 �� ��� �2 ��� �� ���� ����� ��$������ ������ ����� *���� �?��������� ������ �,��� �� ��� ��� �� ��+ %���� ���� ����� �� ���� �� ��� ���*�� ���� �2 ���+ ��� ?6' ���������� "���� �������� ���� ������ �,��� �� ��$���� ��������,� ������ ���� �� �� ��� �� ��� �6' ���������� "���� �� ��� ���,���� ������+%���� ���� ����� %��� � �����,� ������ ���%�� ��� ��� �6' ���������� "��������� � ��� ��������� ������� ��� ������ ���� �� ��$��� ��� �����,� ������ #�����2 ����+ %��� �� ���������+ �������� ��� ������ �� ����������� ����� ����� ������ �1���� ������������ "������ *�� ����� ���������+ ��� ?6' ���������� "�������� �� ��� �� /��%� � *W ����� ��������� (G������+ ����) �� ����� ����������"������ ( G�����+ ?���)

� � 1�!��� ��* ���!��� ���*������ �������

��� ��� �� *���� �?�? ������� ��� ������� �� ���� ?6' ���������� "����+ %������� ����� ��� ������� � ���� "����� ����+ ��� ������� �� ��� "���� ���������� ��� ��� ��� ��� ������ � � ��� ��������� (�� �) �� %������ �� �� �����

�4D

�4I ���� ��� �$� �������� �������������

0 50 100 150 200 2500

10

20

30

40

50

60

Time (samples)

X−co

ordin

ate (t

race

inter

val)

Noisy Shot Gather

0 50 100 150 200 2500

10

20

30

40

50

60

Time (samples)

X−co

ordin

ate (t

race

inter

val)

Predicted Shot Gather

*���� �?��9 (���) ����� ��&������ ������ %��� �������� ���,�+ �� (����� ) ������������� ��&������ ������ %���� ���������� �����,� ����� �� ���� ��� ����� �� ���������� "�����

,���� �� ��� %������ ����� �(�� �) ,���� %��� �5���� (� � �� � � ?� ���) �� �� ��(�� �� �� ?� �� D� ����)� �� ����� %����+ ��� ������ �� ��� ���� ���������� "���� �� %������ �� �� ���,���� �� � �� ����6������� ������� 3� ���� "���� ��� ������� ���,���� �� ������ ,���� �� ��� �����+ � %��� � ���� ���� �� ���� ���������� ��� ����� �� ������� � ������ ,��� � (�� �)�

�� �� ����� ��� ����������� �� ��� ?6' "����� %� %��� ������ ����� �� � �� ������&����� ,�������+ �� ��� �� %��� �� ��� �� �������� ��� ����������� �� ��� "������������� �� ��� � ��� ��������� �� ��� ����� �����

3� �2 ��� �� ���������� "���� �� �,�� �� ��� �' ��� ���� ��� %,�+� ���

�&? (�� �)

&�. �&? (�� �)

&�� (�?�?)

%���� � �� ��� ,������� �� ? (�� �) �� ��� �������� "���� ����+ ��� ���� %,� ����� ��� ��!������ �� �(� � ���) ����"�� ���� �1����� �2����� ��� "����6��5����������2� ���� �� ���� �1����� �� �,�� ��

(�A��A�)B? (�� �)� ? (�� �� �)C . �B? (�� �)� ? (�� �� �)C� (�?�D)

�� ������� ? (�� �) �� ��� 8=> �,��

(�A��A� - �) ? (�� �)

. ? (�� �) � B(�A��A�)Æ(�)Æ(� � �) - Æ(�� �)Æ(�)C� (�?�I)

����� ���� �� ���� �������� ����� � �4�

X

T

REFLECT

X

TREFLECT

X

T

Acausal f(x,t) Acausal f(-x,-t)

Causal f(x,t) Causal f(-x,-t)

*���� �?�?9 (���) >������ �� ��� ?6' ���������� "���� ��2� �� ��� �� �6���� ��&�����,������� ���� ��� ��� ���������� ������� �� � ���� �� ���� �� � �� ������� ������6����+ �� ��� ��� ������ �� %���$��� �� �� ��� �� ����6����� ������� ���� �� �������6�� � �1��,���� �� ���� "����+ �� ������ ��������� ������� ����6��6���%,��� 3 "���� ��� ���� ��� ���� ����� �� �� ������� ����6��6��� �,���� �������� ��� �� ������� %,�� %��� �������� ����

�4E ���� ��� �$� �������� �������������

0 50 100 150 200 2500

10

20

30

40

50

60

Time (samples)

X−co

ordin

ate (t

race

inter

val)

Shot Gather

0 50 100 150 200 2500

10

20

30

40

50

60

Time (samples)

X−co

ordin

ate (t

race

inter

val)

Predicted Shot Gather: f = (x 0 1; 0 0 0)

*���� �?�D9 (���) !�&������ ������ %��� �������� ���,�+ �� (����� ) �����������&������ ������ %���� ��� ���������� "���� �� ��� �,�� �� �1����� �?�E�

%���� ��� A� �� A� �� ��� ���� �� �� � � ���� �����,��� '�,���� ���A��A� - � �,�� ��� ���������� ��� �� ��� ? (�� �)

? (�� �) . 8 ? (�� �) � �(�� �)� (�?��)

%���� �(�� �) . 8 B(�A��A�)Æ(�)Æ(� � �) - Æ(� � �)Æ(�)C �� ��� ���������� "����+ ��8 . (�A��A� - �)�� � G��������+ ��� ?6' ���������� "���� ����� �

#@ ������ ���

$.

#@ 8�A��A�8 �

$� (�?�E)

%���� ��� ����� �� � ��� ����� ���� ������ �� ��� ���2+ �������� ���� � ����2����������� �� ��� ��� ���� ,����� �� �������� ��% ����2 ����������� �� ����� � ,������ 3������ ���� ���������� "���� �� ��� ���� ���� ���%� � ��� ����� *���� �?�D ������ ��� ��������� ���� ���� �� ��� ����� "���� ��� ������������ ���� ��� �� �2�������+ ��� ��� �� ������ ��� �� ����� �� ��� ���������� "����%��� ����� �� ��� ���� �,��� �� ��� ����� "���� �� ������ ��� �������� ���,���� ���������� "���� �� ������� ��0� ������ �� ����������� ��� ���� ���������������� ���,�� �� ��������� ���������� ������ >��� "���� �� �� ������������� ��� ����%��� %��

�� 3���� �� ���� **� �� �1����� �?�� �� ��

L�(�- �� *) .���

L�(��� *)L�(�� ��� *)

��� � . �� A�� ?A�� ���� (�?�J)

����� ���� �� ���� �������� ����� � �4J

%���� ����� ������� ��� ������� �� �������� �� ��� ���1����� �� �� �� A��� ��� ����� ���� �����,�� �� ���26,����� �������+ ��� ����� �� �1��������� ��� ���1����� ������

F� . F� F� � (�?�4)

%���� ��� � �� ��� ����� �� ���2� ��� ���� �1���� �������� �� �,�� ��

F� . BF�F�C�� L� F�� (�?��)

����+ ��� ���� �� �� ���2 �� ��� �������� �� ��� ����� ��� =�� ����+�������� ��� ���� �� �/� ��� �� ���2 ���$��� �� ��� ���2 ��� �����

?� ��,���� *������ ������� ��� "���� ��������� �� �� �(�� �)� ����+ ��� **� ���1����� �?�� ��� ��� ������� ��� ��1���� ��� �� ������� �� �� �+ �� ��� "������ ���� �� �� ��

������ 3��� ������ �� ����!��6 �;

��� �,���� �� ���������� (G������+ ����)@ 3 ����� ������ �,��� ������� ���(� � ���) �� �� ���� *������ ������� �,�� �� L�(*)��!��� ���� ��� ������� � �,��� �� ����� ���� ������� �� 2 ��� �� "2�� ���1����� *� ����+ ������������� "���� ������ �� ��� �� ������� ���� ����� ��� ������� ������� �� ������� ��� �� �+ �� �� ��� ������ �� ���������� ��� "2�� ���1������

�%� ������ �,���� �� ������� �� �(�����)-�(������)+ %���� �,� �� ����*������ ������� ��

L�(*)��!�� - L�(*)��!���

. L�(*)���(�!��������B?���(���*�(���� ����))C� (�?���)

����+ ��,��� ������ �,���� %��� ��� �,� ����� ���� ������� %K� �� �+ �� %����,� � ������� ������� ��� ������� �� ���� ���� ��������� 3� %� �% ����� �6' ���������� ���+ ���� ��������� %��� ����������� ����+ ����� ������ �,���������� �� ���������� �� � *W "�����

G����� (?���) ����/� ��� ?6����� ������� "����� �� ������ ��� ���� "����������� ���� ��� �� �� ��� �� ��� ��������� � �,������ ����� �� ������� ��� ��� ���� ����� (��� *���� �?�I)� �� ���� ���+ ���� ��� �� ������ �� � ����"�� ���"������ ����� ��� ���������� "������+ %���� �� � �2��������� �������� =� �������/� ��� ������� �� ���� ������,� �� ��� ��0� �� ��� �� ��� ��� ������ ?6' *W���������� "�����

������ 3��� �� ��� 6��� ���� ����;

=�% ��� ������ ��� "���� �� �� ��� � � �������@ 3������� �� G������ (����)+�� ������ �� ��� ����� �� ��� ��� ����� ������� �� ��� ������ �,���+ ��� ���

�44 ���� ��� �$� �������� �������������

X

t

Psuedononcausal Filter

*���� �?�I9 >������ �� ������������� (��:) "�����

����� �"��� �� �" ����� ����� � �4�

�� ���� #����%��� ����� ���������� %���� �� ,������� 3 "���� ����� �� ���26��������� �� D �� I ����� ��� � �� �� �������+ %���� ?� ����� �� �� �� ���� ���� ���� ��� ������������� ���2� �� ����� ��� ���� �� ����� �� ������ �� �� ������ ��� %���� "���� ����� %��/� �����

� �� �.���� �# �< ���*��� =�����

*W "����� ������ �� ��� �� ���� �� �� (*) � ���%� �� �1����� �?�J� 3� ������1�����+ ����� ���������� "���� �� ������� �� ������ �� ��� ����� �� ������ ����� ���������� 3������ ��� ��� *W ��� � ��� ?6' "����+ *W "����� ����� �� ������� (G����� ?���)� ������ ������ ��� %���� �� 26�� �� �� �����"����� (=���������+ ����)� >� ���� �� $��� ��� ������ ��� �� �1����� �?��+ %������������� ?6' "�����

*�� ��� ������ �,���� � �� �1����� �?���+ %��� ��� ���1����� * �� "2��+ ��������� �,���� �� �������� �� ����� ��������� %���� �� ���������� � %� �% �� ����6' ���������� ���� �� $��� �����% ��� � � %� %� ��� �� �6' ���������� "������� "�� ��� ������� "���� �������� �(�� *) ��� ��� ���1����� *� 3���� %� "�� �� ���"����� ��� �� �������� ���1�������+ ��,���� *������ ������� %��� �,� ��� "���� �(�� �)�

*���� �?�� ���%� ��� �2 ��� �� *W ���������� "����� 3 *W ���������� "���� %������ ����� �� D �� ��������� ������� �� � �� ������ �� ��� ����� (������,� ���� �����) ��&������ ������ � � � *���� �?�� %��� �������� ������ ���,� (���)+ �������� �� ����� ���������� �� ��� ��������� ���� ����(7���� )�

*���� �?�E ���%� ��� ��� ��� ��� ����� ��&������ %��� �%� �������� ���������,�� (���)+ ��� ��������� ���� ���� (7���� ) %��� � 4 ����� *W ����������"���� �� ��%�� >K� ���� ��� ��� �� *���� �?��� �� �� ������ ��� ��� �,���� %������&��� ���� ���� ��"���� �������� ��� ��� ���������� ����� "���� (G�����+ ��4E)�

� �� �.������

�� ��� ��5����� "���� ����� %��� ���� ���� ���?'� + �������� + �� ���� + �� ��� ��� ������� �� ��� �� ��� ����� �� ��� "���� 5���� �� ��� ������ ��� �� � ��"�����

��� ���� ��� �$� �������� �������������

0 50 100 150 200 2500

10

20

30

40

50

60

Time (samples)

X−

coord

inate

(tr

ace inte

rval)

Noisy Shot Gather

0 50 100 150 200 2500

10

20

30

40

50

60

Time (samples)

X−

coord

inate

(tr

ace inte

rval)

Predicted Shot Gather: Filter length = 3; Lag = 1

*���� �?��9 D ����� *W ���������� "���� �� ������ �� ����� (������,� ���� �����)��&������ ���� ���� %��� ��� �������� ���,� (���)+ ��� ����� �� ����� ������������ ��� ��������� ���� ���� (7���� )� ��� ��������� ������� �� ��� *W "���� �� ��

����� �"� ���� ���

0 50 100 150 200 2500

10

20

30

40

50

60

Time (samples)

X−

coord

inate

(tr

ace inte

rval)

Noisy Shot Gather

0 50 100 150 200 2500

10

20

30

40

50

60

Time (samples)

X−

coord

inate

(tr

ace inte

rval)

Predicted Shot Gather: Filter length = 8; Lag = 1

*���� �?�E9 > � � *���� �?��+ ��� ��� ����� �� ��� "���� �� 4 �� ��� ����� �������� �� �%� �������� ���,� %��� ��5����� ���� (���)� ����� ��� ����� �� �������� ���������� �� ��� ��������� ���� ���� (7���� )+ ��� >K� ���� �� ��%�� ������ �� *���� �?�� �� ��� %,����� ��� �%� �,���� �� ��� �� %��� ��������������

��? ���� ��� �$� �������� �������������

!/��� ���

:����+ 8�+ ��4I+ !��� ����� ���������9 2����� 3������� �� ��� II�� 3�6��� ����������� �������

3� + !�+ �� :�������+ O�+ ����+ 8���� ���������� ��� ����� ��������� ���62 �� �62 ������1���9 G���������+ !'+ �44J6�4�E�

:���+ ��+ ���?+ !��� ����� ��������� �� D6' ����� ���������� "������9 26����� 3������� �� ��� E?�� 3���� ����������� ������+ ���?6���E�

G�����+ ��+ ��4E+ *W' :#� �� �� ���2 ������ ���������� "����9 �E�� 3�6��� �������� ���+ >��� 2��� G�������+ 2����� 3�������+ ?J�6?4��

G�����+ ��+ ?���+ ������� ����� ���������� "������ ��� ���� ����� �����6���� �� D6' ��9 G���������+!"+ �EI�6�E�D�

G������+ ��+ ����+ !��� ����� ��������� � *6W ����������9 �������9 26����� 3������� �� ��� ���� 3���� ����������� ������+ �I?46�ID��

=���������+ >�+ ����+ >���� ���������� "������ �� ��� �62 �� �62 �� ���9 G��6�������+ �E+ ?���6?�?E�

��D

��I '�'���� ��

�� ��� ��

0�/�� � �����

��� =������ ������� ����� ��� ���� �� �������� �� ��� ��� �� ���1��������3� �2 ��� �� ��� ����� �������� �(�) . ���(*��) %���� =������ ������ �� #(��) .���(*���)� �� �����+ ��� ����� �������� �� �� �� ����� ���������

#�� �� ��� ������� ��������� ���� �� ��� =������ ������� �� ��� ������ ������"��� �

!(�) . �(�) - �(�)� (�D��)

%��� ��� ������������ ��� �� ���!� �������+ ���� �� ���1����� ��"��� �

�!(�)� .��(�)� - �(�)��

7(�) . ��� �(�(�)��(�))�

*� .�7(�)

��� (�D�?)

��� �!(�)� �� ��� /��%� � ��� ��,����� �������� ��� �� ������� �������� ��� ��������� �(�)� ��� ����� �� ����� ��,� %��� ���� � � ��� ��������� �� �������������� ��� ��4��� �� �� �� ����� ���������� �� ���������� ������� �� ���� �� ��������(P�� 0+ ��4�)� ����+ ��� =������ ������� �� ���� �� �� �� ��� ������������� ���������� "��� �� (������+ ��J?H >����+ ��J?H ���� �� ��+ ��4?)+ �� ������������ (8�� �� ��+ ?��DH ������ �� ��+ ?��I)�

���� "����� �# >������ "����#��

��� =������ ������� �� ��� ��,���� �� �,�� ��

�(�) . �B�(��)C .�

+?�

� �

��

�(��)���

�� � ��

(�D�D)

�(��) . �B�(�)C�� . � �+?�

��

��

�(�)��

�� ��� (�D�I)

���

��E ���� ��� ���'� � � ���� �

%���� ��� :���� �������� ,��� �� �/�� �� ��� �� ��� �������� ��� /����� �� ����������� �� ������ �� �� ��� ������ �� � ������ �� ��� �N ������

>� � ������� � ������� ��� �����%�� �����

��(�)�� ���(��)�

���(�)�� ���(��)�

��(�)���� (���(��)� �)����

X(�)�� �

+����� � ��?���� - ��?� �

� - ���� � ��

� - ����

����(�)�� �� ���(��)� ����(��)

����

Æ(�)�� � �

+���

���� �� ���������(��)� (�D��)

�� �� �� ���%� (M��+ ��4�) ��� ��� *������ ������� �� ���� �� ���(*)+ �,�����0�� �� *���� �D��� ����+ ��� ���,������� ������ ��� ��� ��� *������ ����6��� �� ��� =������ ������� �� �(�) �� �1����� BB �� ���(*)/ (*)+ %���� / (*) ����� *������ ������� �� �(�)� ��� ��+ �� ����� ���� ���� �� ������ �� �,������1����� �� ������ �� / (*)� ���� ��� ���� ����� �� ,������ ��� ��� =������ ����6��� �� ��(�)+ %���� �� ���(�) . ��(� - ���)

/������ �����3 ��� ������ ���� �� ��"��� �

!(�) . �(�)� �B�(�)C�. �Æ(�)�

+� � �(�)�

(�D�E)

%��� ��� *������ �������

A(*) . . / (*)� ����(*)/ (*)�

. B� - ���(*)C/ (*)�

.

�����? * �

� * � �(�D�J)

����+ ��� ������� �� ��� ������ ���� �� ��� ����� � ���%� �� *���� �D�?�� =���+��� ��1���� ���1����� �� ?�� =0+ �� ��� ���6����� ������� �� 0��� ������� ��� ?�� �0 �� ��� =0�

����� ���� � �� ���'� � � ���� � ��J

t

Im(F(w))

w

f(t) = −1/t

F

*���� �D��9 *������ ������� �� ����

0 0.2 0.4−1

−0.5

0

0.5

1Original Trace f(t)

Time (s)

a).

0 100 200 300 400 5000

10

20

30

40

50

60

70Spectrum of f(t)

Frequency (Hz)

c).0 0.2 0.4

−1

−0.5

0

0.5

1Envelope −− of f(t)b).

0 100 200 300 400 5000

10

20

30

40

50

60

70Spectrum of f(t) Envelope

Frequency (Hz)

d).

Student Version of MATLAB

*���� �D�?9 )� #����� ���� �� �)� ����� ��,����� ��������� ��� ������������ ������� ������ �� �� �)� �� �)�

��4 ���� ��� ���'� � � ���� �

Offset (km)

Tim

e (s

)

CDP Section

0.5 1 1.5

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Offset (km)

Tim

e (s

)

Instantaneous Phase CDP Section

0.5 1 1.5

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Offset (km)

Tim

e (s

)

Envelope CDP Section

0.5 1 1.5

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Offset (km)

Tim

e (s

)

Instantaneous Frequency CDP Section

0.5 1 1.5

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Student Version of MATLAB

*���� �D�D9 :'� ���� �� �������� %��� (����� ����) ������ �����+ (����� ����) ��6,����� �����+ (��%�� ����) ����������� ���� ����� �� (��%�� ����) ��������������1����� ������

����� ��� ����� ���

��� ����� �� ��� :'� ������� �� ��� ����� ���� �� *���� �D�D �� ������� ������ ��,�����+ ����������� ���� �� ����������� ���1����� ������ 3��������� P�� 0 (��4J)+ ��� ����������� ���1����� � �,� ��� ����� �� ,������+%���� � ������ �� ���������� ��� ����������� ���1����� ��1����� �� �����,��,�+ %���� ������ ��� ���1����� ������ ����+ � ������ �� ������ �� ��������� ����� ��,���

#�� �� ��� ���� �� ��� ��,����� �������� �� ��� �� �� ��� � � ��� �� ����������1����� ������� ����(*) (M��+ ��4�)+ %���� � �� ���� �������� ���� �� �������� %��� ��� ������ �������� �0(*)� �� � ������ ��� �� /��%� ��� ��� ������������ �� ��/��%�� >� ��� ��,���� ��� ������� �� ��� ������ ��� �������� �� �������� ���� (*) �,�� ��� �����,��,�� �������� (*)� . (*)��0(*)�� ��� ��/��%������� ��� ���� �������� �� ��� �� �� �� ������ ������� �� ��� �5��� �� �������� �� ���/�� ��� ��,����� ����� ���� ��,����� ���� ��������� ��� �� ��� ����% ��� ���� �����,��,�� ���� ��� ���/�

��� $�#�������

:�������+ O� *�+ ��4�+ � �� ��� ����� ��������+ 7��/%��� >������"� ������6������

M��+ O�+ ��4�+ 3� ������������ �� ����� ���� ���������9 3��� �� �����+ �P+�P�

8��+ P�+ >���+ 3�+ �����+ ��+ �� 3���$+ ��+ ?��D+ G������0�� =������ ������� �� ��� ���������� �� ���������9 ��� 8���� ��+ ��46?�?�

������+ M�+ �� '����+ ��+ ?��I+ :� ������ �� D' ��� ��������� ���� �� �6�������� �� N����� '� � 8�����9 �� 2����� 3������� �� 3���� > G������+ '��,���

����+ ��8�+ >�����$�+ ��+ �� >������ !�+ >�N�+ ��4?+ ������������� ���� � �%�6�� ������� ����� ������ ���� =������ ������� �9 G���������+IJ+ DJE6D4J�

������+ ����+ ��J?+ ��� ������ ���� �� �%�6�� ������� ����� ������%��� ������� �����6�������9 ��� ���������� �� ��� ��� ��� ��� �� ���������������9 G���������+ DJ+ ��J6��J�

>����+ !�+ ��J?+ 3��������� �� =��,���� ������� � �� ����� ���"���9 G���������+��ID6��I��

P�� 0+ #�+ ��4J+ >��� �� �� ���������9 >������ �� 2�������� G���������+ ����+#/�

?�� ���� ��� ���'� � � ���� �

���� �.�������

�� >��% %�� �������� �� ��� =������ ������� �,� ��� �������������� !����+�� ��� ������� �� ��� �������� �(�) �� / (*) ���� ��� ������������� �(�)� �(�) ����� ������� / (*)/ (*)� %��� 0���6���� ������� �

?� �� �,� ���%� ��� ���6����� ������� �� ��� �� ��� �� � �� �� ��� �� ������� ����� >��% ��� ���6����� �� �6�� �� ���� (����+ ���� ����) �� ������� ��� �� ������� ��� ��+ ��� � ���� ��� �� ��� ������� �� =������������� �� ��� ��� ����

D� >��% ��� ��� *������ ������� �� ��� �� �+���(*)�

�� ��� ��

��� #������ 1�� ��� ��� �

���� ����*!�����

��� 8�,����� ��������� �� � ������ ��� ���,�� ��� ��� � �1������ ��� ������ ���������� ����� "������� ��� ���2 �� �� �� �� ��� ��� � �������0 ����������� ��� �� ��� �� ������ ��������� ��� ���,�� � %�% ����� �� �1�������� 8�,����� ��������� �� $(%�)� ���� �� ���� �,����� �� ��� $(%�) �����������1����� �� ������ ����� ���� � G����� ��� ������� �� ��� �� ������,���+ ����� ������ ��� �������0 ���2 �� ��� �� ����

��� ������ %��� 8�,����� ��������� �� ��� �� ���� ������ �� ���������� �� �������0 ������+ �� �� ��� � ����� � ��� ���$��� ������ (:G) ������ ��� :G ����� �� ��������� (�� >�������) ������ �� �� �� ������ �� �� ����� ������,���"���� ����� � �� �1������+ �� � �� ����� ��1���� ���� �� ��� ������ � %������� $��� $(%�) ������ ���������� ��� 8�,����� ��������� ������ � %��� ��%�� �2������ �� ����� ( ����� ������ ��� ��� ��/����� ��� ���$���)�

��� "������5 �����.

3 �������0 ���2 �� ������ ���� �� �1��� ���2 %���� ������� �� ���������� ��� ������ �� ��� ���2 �� �� ����� ���� ���� � %�� ,����� �� ��1�������� ������ ��� ���2� *�� � �� ������ ���2+ �%� ,������ �� ������ ��������� �� �3�837 ����� �� �������� ��� ������� �������0 ���2� �� �������� �� �1������ �� ��� �����+ ��� ��� �� �� ���"���(���) �� ������ ����������0 ���2+ %���� ��� ������� ��� ��% ,������ ���� ��� ����� �� �1������ ���� ������+ ��� �� ������ �������0 ���2 �� ���"���(���� ���)� >������ ����,� ,����� � . B�� ?� D� I� �C+ ���"���(�) %��� ������ ��� �����%�� ���29

�2��� ���� �� 2.�3.4 # �� ������� )$ 5���� 6�����

?��

?�? ���� ��� ��� �������� ��� ���� �� ���

(� .

��������

� ? D I �? � ? D ID ? � ? DI D ? � ?� I D ? �

�������� �

�� ��� � �,� � . B�� ?� D� I� �C �� � . BEH JH 4H �H ��C+ ���� ��� �� ��� ���"���(�� �)%��� �,� �� � �� ����� �������0 ���2

(�� .

��������

� J 4 � ��? � J 4 �D ? � J 4I D ? � J� I D ? �

��������

*���� �I�� ���%� � �2 ��� �������0 ���2 ��� �� ����

���� "�� &������� $��!����� ��* ������ 1�*�

3� %�% ����� �� ��� � �1������ �� �� �������� ���,�� �� ��� 8�,�����6!�������� ������ �� $(%�) ����������� ��� 8�,����� ��������� ����� %��� ?�?��� �� ��� � �1������� ��� ��� � �1������ �� �,�� ��

������������

S� S� S� � � � S�S� S� S� � � � �S���S� S� S� � � � �� � � � � � �� � � � � � �

�S��� � � � � � S��S� S��� � � � �S� S�

�������������

�������������

�����������

�������������.

�������������

��������

�������������� (�I��)

%���� S� �� �� ������������� ��� �� ���� �� ��� "���� ���������H �� , �� ������� ��� ���� ,������ ��% ��� �� ��� �� ��������� ��� 8�,����� ��������� ��� ����� ����� �� �� ����+ %� �� ���� %��� ?�? ��� �� ��� � �1�����9#

S� S�

S� S�

$ #���

$.

#���

$(�I�?)

%���� �� �� �� �� ��/��%��� ��� �%� ��/��%�� �� �� ���,�� �

�� . �S�

S�

�� �� . S� � S��

S�

� (�I�D)

��� ��� �� �� ������ ���� �������� ������� �� � (% - �)�(% - �) ��� �� ��� ��1������ ��� ��� ����� �

����� ��� �������� ��� ���� �� ���' ���� ?�D

Row

Colu

mn

Symmetric Toeplitz matrix

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

*���� �I��9 �������0 ���2 ��� �� ����

?�I ���� ��� ��� �������� ��� ���� �� ���

8���� �������� �� ������� ��� ��0� �� ��� ���2 �� ������9

��� S� S� S�

S� S� S�

S� S� S�

������ ����

��� .

��� �����

��� � (�I�I)

*�� ��� ��� �1����� %� �� ���,� ��� ��

�� . S� - S���� (�I��)

1����� (�I�I) � �� %������ �� ������ ���

��� S� S� S�

S� S� S�

S� S� S�

������ ����

��� .

��� �����

��� � (�I�E)

��� ��� �%� �1������ �� �� ���� ��� ����� ���� �� � ���%� ����9��� S� S� S�

S� S� S�

S� S� S�

����������� ����

���� ��

��� ����

������ .

��� �����

���� ��

��� �����

��� � (�I�J)

:�������� ��� ���������� �,����� S� S� S�

S� S� S�

S� S� S�

������ �(�� ��)�����

��� .

��� �� � ����

��� � ����

��� .

��� ����

��� � (�I�4)

���� %� �,��� .

�����

���� . �� � �����

�� %� �,� ��� �������� ��� D 2 D ����� � �� �� ������0� ���� ��� ��� %�%��� �� ��� � �1������ 9

�� . S����� - S����� - ��� - S������

��

�� .�������

S���������� � (�I��)

�� �����

�� .������

(�I���)

���� . ���� � ���� (�I���)

����� ��� ���� '��&��� ��� ���� ��� ������ ���� ��� �" ���� �

� ��� ��% ��� �������������

��������

����

�������������.

�������������

��� � ������� � �����

��

��� ?� ������

�������������

(�I��?)

�� ���� �� �� %������ ��5����� ������

�� . ��� . �� � �������

���� . ��(�I��D)

%���� . � �� �� ?� 1����� �I��D � �� %������

/ (�)�

. / (�)� �3�/ (��3)� (�I��I)

%���� * �� ��� � ����+ �� ��� � ��

���� 1�������� ���0��� $��!����� �������� ��*

���*��* �����. �������� 0��� ������� ��

1�? ���

�� ���� ������� � %��� �� ��� ��� �� �������� �� � �� ��� 8�,����� ����������� ��� �3�837 �������� ��� ��,����� ���2� *�� ��� ������ ���,��+ � ����� . ��(() �� ���� � ���%� ��� :�; �� � %��� ������� �� ���2 �� ������(*���� ?)�

, ���:������ �������(���(�) � �� ��(�)��� ?��������6�? D��������6�??�� ���������6�? ?�D������6��D�� D�I������6�� J��������6��I�� J�E������6�� ?��?�����-����� ���������-�� D��4�����-������ ��E�E����-�� I�E?I����-��

�� ����� �� ��� ���������+ ��� $��� ���� �� ����� ��� "��� ��% �� ��� �������0 ���2� ��� �������(���) �,�� ��� ��0�� ,����� *���� D ���%� ���������� �����"������+ ���,�� �� ���� ��� 8�,����� ������ �� ��� ������ ������ ����� ������ �� ���2 �� �������� ��� ������ �� � %� ���D ������� ��� ������

?�E ���� ��� ��� �������� ��� ���� �� ���

100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Cputim

e (

s)

Matrix dimension

Comparison

LevinsonStandard

*���� �I�?9 :� ������ ���%��� �%� ������ � %��� ������� �� ����� ��

����� ������� ���� � ?�J

������ ��� :�; �� � �� ���� ������� �� ����� �� ���,� ��� � � ���2 �� ���8�,����� ������ � *���� I ���%� � ��������� �� *������%��� %��� �� ��� ��� ���� ���� %������ ���� �� /��� �� � ��� ������ � ���� �2���� � . ��(()��� ��� � �� �� ��� ��� �������� ���� ��� ��� ������ ���,��+ ��� �� ���� � ��� ����� (�� ������0���� �� ����) %���� ��� �� ���� �� ��� ������

���( ������ !���

�� �,� ��������� ��� 8�,����� ������ � ��� 8�,����� ������ �� ��� ��6"����� ��� ��� ������ ���,�� ��� ��� % � �� ��� �� ����� �,����� 7��%��� �� �� ������ �� ��� *������%��� ��+ ����� �� �� � ������ �� ��� ������/ ���2 �� ��� ��������� �� ���+ �� � ��� ��� �� ����������� ���� ��������� �

���+ �.������

�� P�� �� ��%���� �� ��� �� %���� �� ��� ���� ������� 7�� ��� %� ��%������� ������ + ���������� ��� �� ���0� 8�,����� ������ �� ������ ���,��%���� �� ����� �� ���� ��� �� ������ �� ��� �������0 ���2 ,����� ����� �+ ��� �������� ���� � ���� � �� ��� ��2� (#� ��� �� ���� ��� ������)�

?� 3 ���2 / �� �� ���� ����� ���� �� �� � ���6��6��,��� �� ���6��6��,�������9 / . /���� -/����� ��� ��� �� ��,��� ��� ��� �,� �������0 �������������� ��� �1������ �� �� ������� �� �,�

(/���� -/����)1 . /����(4-/������/����)1 . �� (�I���)

3���� ������ ��� ���6��6��,��� ��,���� (������ �� ����� �1������+ ��� �������� 1�� �� ����� �� 1���/�� ���,����� �� ����� ������

1 . (4�/������/���� - (/������/����)� - ���)/�������� (�I��E)

��� ������ ���,���� 1���/�� �� ��� ��� ��/���� �� � ��� ��� ��������� ������ ��,� ���� �� �1��� ������ ��� �� ������� ��������� ,������� �� �������0 ������@�� ������� �� ������� ��� ��� ��,� ��������� %���� %��/ %��� ��� ���� ������ ��

?�4 ���� ��� ��� �������� ��� ���� �� ���

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

0

1

2Input Signal = Friendswood Reflectivity*wavelet + 9% random noise: w(t) = .95t

Am

plitu

de

Time (s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.5

0

0.5

Predicted Input with Damping = 0% : 100−pt Prediction Filter: Lag = 1 samples

Am

plitu

de

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−0.02

0

0.02

0.04

Am

plitu

de

Actual Reflectivity:100−pt Prediction Filter: Lag = 1 samples

*���� �I�D9 *������%��� %��� �� �� � *�

��� � �"� ���� ?��

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

Am

plit

ude

PEF with standard algorithm

Time

cputime=0.03Matrix dimension= 100 x 100

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

Am

plit

ude

PEF with the Levinson algorithm

Time

cputime=0.01Matrix dimension= 100 x 100

*���� �I�I9 � * %��� 8�,����� ������ �� >����� ���,���

?�� ���� ��� ��� �������� ��� ���� �� ���

�� ��� �"

#,� 2� ���� ����

���� ��� ��������� �� ��� �� � ������ ,���� %��� �� � (���+ ��������� �� ������������� %��� �� �) ���� ��� � * ��� ����� �� �� � ��,����� �� ,������� ������������ �� ��� � * "���� �� ��� � � %��� ������ �� ��� ���� �������� �� ������� � ����� ������ �� ��� ��� �������� �� ��� ����� �� �,���� � ��� ������ �� �� �6,���� ���������+ ��� ��� ���� �� ��� �� � ������� ���� ����/� %���� ������������ �� ��� � �� ���� ���� � * ���������� 3������ %� �� �� ���� ���� ���� ����,� "������� =���+ ��� "���� ��������� �� �� � ,���� �� �� ������������� ���� ������ �� ��� �� �6,���� ���������� �� /��% �������� ��� �������� ����,� "������ ( ����� ������ ��� ��� <����� ��� ���$���)�

�(�� ����*!�����

��� ����,� "���� ��5��� ��� "2�� "���� �� ��� ��� "���� ��������� �� ,����%��� �� � � �������� �� ��� "���� ������ G�,�� �%� �� � ������9 �� B�C+ ��� "���������+ �� �� B�C+ ��� ������� ��������+ ��� ���� ��� �� �� ��� � % 6��� �� �,���� ����� �� ������� �� � B�C+ � B� � �C+ � � �+ � B� �% - �C �� ���� �� � B�C� ������ �� �������+ ��� �������� ,����� �� �������

7 .

������

� B�C� B�C���

� B% � �C

������ � (����)

%���� �� �������,��� ����� ���� �� ��� ,�����

C .

������

� B�C� B� � �C

���� B� �% - �C

������ (���?)

?��

?�? ���� ��� ��� ����� �����

�� ��� ����� ��1�����

� B�C . � B�C��������

� B�C � B� ��C . � B�C�7�C� (���D)

��� ��5����� ����,� ���������� �,� ���� ��������� �� ��� ���������� �������6 �� �1��� (8�>) ����� (���+ �����% �� ��+ ��JE) �� ��� �� ��� ���� ������������� �� ��� �� ����� �� ���� ������ %� ������� ��� 8�> ����,� "���������� + ��� ������ ��� �� ��� ��������� �� *������%��� ��������� �� ��'����� �� ���� �� <# >�� 8/� 7��� '��

�(� &� �*������ ������ ��������

'�5����� ������ ��� ������� ������ �� ��5����� ����,� ������ �+ �� ������� ��� ��� � ��6�1���6����� (��> ) ��������� �� ��� ��� �� ���� ����+ %��������� ���� ��� "���� ��������7 %���� ��� �0�� ��� ��6�1��� �����+ @ (�

� B�C)���� ��+

((�� . ��7�

�'�� B�C

(� (���I)

1����� ���I ���� ��+ ���� 1� ���D+

((�� . ��7�

�'�� B�C

(� ?)�

7 -7�.7� (����)

%����

. . �'CC

((���E)

. �

������

�� B�C � B�C � B� � �C � � � � B�C � B� �% - �C� B�C � B� � �C �� B� � �C � � � � B� � �C� B� �% C

������

������

� B�C � B� �% - �C � B� � �C� B� �% C � � � �� B� �% - �C

������(���J)

��

) . � (C� B�C) . �

����

� B�C� B�C���

� B�C � B� �% - �C

���� (���4)

�� ��� ������������� ���2 �� ��� �����6���������� ,�����+ ��������,���� ���((�� �� 1� ���� �� 1������ �� ��� ����,�6"���� ���������7+ %���� ������� ���1�� ���� � �� . �� ��������� ��� �������� �� �� ����� �

7��� . .�� )� (����)

*�� �������� ���+ . �� ) �� �������� #���� �� ������� ��� ������������� ���2 � �� �����������+ �� �� ���� ���� ��� ������ ��� �� ��� "2�� "�����

����� ��� ����� ����� ��� ���� ?�D

%��� �� �������� . �� ) �� ������ ��� ,�����+ �� ��� ����,� ������ � ��� ���� �� ����� 1�������� �� ����� �1��,������ ��� 8�> ����,� "���� � ����� ����� � �������� ������� ������ ����� (���+ �����% �� >�����+ ��4�)

7� .7 � B �'�� B�C

((�����)

%���� B �� ��� ���� ��0�+ ������� ������� ��� ������ ��� ��+

�'�� B�C

(. ?�

'� B�C

'�C�

((� (�����)

8�> ������ ����2� �� ��� 1������ �'� B�CC�

(�� ��� � ��� ,��� ,���

�'� B�CC�

(� �

�������

� B� ��CC��� (����?)

>����� � . � �� 1� ����?+ 1� ����� �� ������� ��

7� .7 - B� B�CC� (����D)

��� ��������� �� 8�> ����,� "���� ������ �� �� ������ � �����%�9

�� >��� �9 ������ ��������� � . �+7 . �H

?� >��� ?9 :� ���� ��� ���������� ������ B�C . � B�C�7�

C

�� ����� ��� "���� ���"�������7� .7 - B� B�CCH

D� >��� D9 � . � - �+ ����� >��� ?�

>� � ������ ���� ��� ������ ��� �� 8�> ����,� "���� ������ �� ������ ������%� (������� �������% �� ��+ ��JE+ �� =�/��+ ��4E)9

�� *�� ��� ��������� ��,�+ %� �� ��� ��� ��� 8�> ����,� "���� ������ ���� ������/+ �� �� � �� �������� ��� �������� �� ������� ����������������� ��� � (�� B�C) ��

� � B ��

��.� (����I)

%���� �� ������� ��� ���� �� ��� ���2�

?� ���� � �� ,��� �� ������ �� B+ ��� ������� �� ���%+ %���� �� �1��,������ ��� 8�> ������ �,�� ��� F � ���F� :�������������+ ��� �2���� ��6�1���� ����� ���� ������� �� � ��+ �� ��� ,���� #� ��� ��������+ %��� B �� ���+ ��� ������� �� �����,��� ���+ ��� � ��� �2����� �� �������� �� ��� ,��� �2���� ��6�1���� ����� ���� �������� �� ���� ���+���� �� ����� ��� ���� ����H �����+ ������ ���� ���� ����� ������ ��������+ ��� ���� ��0� B � ��� �� ,��%�� � ��� � ��� �� ��� 8�> ����,�"����� ������ �� ��� ����� ��� �� ����� ���� ��� "���� ����������

?�I ���� ��� ��� ����� �����

D� ���� ��� ����,���� �� ��� ������������� ���2 �� %����� �����+ ��� �2���� ��6�1���� ����� �� ��� ���� ����� ���� �� ��� ����� ����,����+ �� ����� � �/��7 �� ���,��� �� �� ���� �� ��� � ����� ����,�����

I� ��� ����� �� ��� "���� % �� ��� ���� ��0� B ������ �� �������� ������������� �����5 ���%��� ���$��� ���, �� ��� �� � ������� �� ��� �������������� ;��� (�� ����,���� ��� �� �1��)

, .%

I;���� ;��� .

%

IB��.(�����)

�� ��� 8�> ����,� "���� ������ �� ������,�+ �� ��� ������5 ����� � ���� � ������� ������ �� �� � �����

�(�� ����������� �� �����*�0��* ��������� *���

��* ��� &�6� 3���� ����

�/�� ��� ������� ������ � B�C �� �� � B� - �C+ ��� 8�> ����,� "���� �� �� ������6���� �� �� � ����,� � *+ �� �� �� �� ������ �� *������%��� ��������� �� ����� >�� 8/� 7��� "��� �� �� ������� ��� ��&����,������

*���� ���� ���%� ��� ����� �� � ������+ ��������� ��&����,�����+ �� ��� ������&����,������ ��� ������ �� ������� ��������� %��� ��� ���� ���� *���� ���? �� ���I���% ��� '����� �� ���� �� <# >�� 8/� 7��� '�+ ��� 8�> ����,� "������� �+ �� ��� � * ������� ����� �� ��� ��� �� ��5������ ���%��� ��� �%� ��������=���+ ��� ����� �� ��� ����,� "���� �� ������� �� �� ?�� � ���� �� ��� ���� ��0��� ��� �� �� B . �(�

��.�

�(�� !���

��� 8�> ����,� "���� ������ %��/� %������ �� ���2 ��,������ �� �� ����� ��� %��� ���������� �� � ������� ��� /�� ����� ��� 5���� ������ ��� �� ��������� �� ��� ���� ��0�� �� �� ��� ������+ ����6��6����� � �� �������

/�6������ ��3 ��� <��� %���� ��� �� ���� ������ �� ��� �������� �3�6837 ������

!/��� ���

=�/��+ >�+ ��4E+ 3����,� "���� ������9 �������� =��+ ����

�����%+ 7�+ G��%��+ O� !�+ O��+ ��:���+ O� ��+ M����0+ O�+ ����� �+ :� >�+=���+ !� =�+ <������+ O� !�+ '��+ �+ �� G������+ !� :�+ ��J�+ 3����,� �������������9 ���������� �� ����������9 ����� � + ED+ �E�?6�J�E�

�����%+ 7�+ ��:���+ O� ��+ 8�� ���+ �� G�+ �� O������+ :� !�+ O��+ ��JE+>������� �� ����������� ������ ������������� �� ��� 8�> ����,� "����9����� � + EI+ ����6��E?�

�����%+ 7�+ �� >�����+ >� '�+ ��4�+ 3����,� ���� ���������9 �������� =��+����

?��

?�E '�'���� ��

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−0.5

0

0.5

1Input Signal = r(t)*w(t)*m(t) where w(t) mixed phase

Am

plitu

de

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−0.02

0

0.02

0.04

ADF ERROR

Pre

dic

tion e

rror

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−0.02

0

0.02

0.04

Samples (.001 s/sample)

Am

plitu

de

Actual Reflectivity:

Student Version of MATLAB

*���� ����9 ��� ����� ���� (*������%��� ��������� ��)+ ��� 8�> ����,� "���������� �� ��� ���� ��&����,�����

'�'���� �� ?�J

Raw Data

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

200

400

600

800

1000

1200

Student Version of MATLAB

*���� ���?9 '����� �� ���� �� <# >�� 8/� 7��� '��

?�4 '�'���� ��

Residual Result

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

200

400

600

800

1000

1200

Student Version of MATLAB

*���� ���D9 ��� 8�> ����,� "���� ������ ��� >�� 8/� 7��� '��

'�'���� �� ?��

PEF Result

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

200

400

600

800

1000

1200

Student Version of MATLAB

*���� ���I9 ��� � * ����,� "���� ������ ��� >�� 8/� 7��� '��

??� '�'���� ��

�� ��� �&

- ��� � 2������ �� '3 ����

�� �4 ,� ���

�+�� ����*!�����

��� ���� ��� ����� �� �������� ���� ����� ���� �� �� ������� �����+ �6����� ��# �� ���/�� �� ��� ��� ��&������ �� &�� �� ����+ ��� ����� �� ������/�� ��&������ ����� �������� �� �%���� �������� ������ ��� ����+ � ���%��� *���� �E��� =�%�,��+ ������ ��� ������ ��� ��� ����0����+ ���� � ��� ���6��� ����� ���%� �� *���� �E�?6�E�D+ ,������ ���� ��� ������ ��� �����1������� ��� ��� ��&������ ����� �� ���� ����� �,� �������� ��� ��&����� ���������0������ �5��� ��� ��� ����� ���� %� ���� �� F ����F ��� ��&������ �� �������� �� �����+ ������� �� ���� /��%� � ������� ��� ���� �� %��� ��� �� ������������ ������ �� ���� ��� ��� ������� �� ������ �� �� ��� ������

3������ ����� ��� F ������F �� ��� ���� ����� �� ��� �������� �� �����,� ���� �� ��5�������� 2 ���� �� ����� �������� �� �������� ���� �,������ �� ��� <# �������� ���%� �� *���� �E�I� ������� ������+ ��� ����� ������������� ���� � �� ���� %��� ������� �� �������� ����������

�+� ��������6 ���������

��� �� �� ���� �� � �� �� �� ��� ���� �� �� �� ����� ��&����,��� �������� ����� ���� �� ������ (�� �) �� (�� �� �) ����� �� ��� ��&������ ����� �� �� %� �,�+��% �� %� �������� �� (�� �) ��� ����� ����� �� ��&������� �� ���� ��� �� �������&������ ����� �� �����@ ��� ��%�� �� ���� 1������� ��� ������ ���� �� ���%��� *���� �E�D� ��� ��&������ ����� � �� � � �� ���� : ����� �,� �������� ��6%���� ��� ������ �� ����� �� �������� � :+ %���� � �� ��� �� ������� ,��������� ��� ���� � 3�� ��&����� ������ ��� ���� ������ ����� �,� ����������� ������� ���� : � �� � �� =�%�,��+ ���� ������ �� ������� �� ��� ��������+ �� %�

??�

??? ���� � � ����� ��� ����

� ���,� ��� ��%�� �� �/�� ��� 1�������9 %�� /��� �� ��&����� ����� ������ ��� �� ��� �����@ ��� ��%�� �� ����� �� ��%�� ������� �� ����� �� �������� � ������ ���������+ %���� � �� ��� ��&������ �� � � ��� �������� ����� ��� ����������� �� ����� ������� ��"��� ��� ��&����� ��� ����� ������ ��� ����� ���� �� ���� ��� ������

�2���� �������!: "������� 5 %��� �!� �" � ��� %���!�! �! �"

!���� ��� ��%�� �������+ ��� ������ ��������� �� �� ��� ��� �� � ������&������ ����� ��� �� ������� %���� ��� ����� �� "���� %��� ��� ��&������ %,�����(�)+ � ���%� �� *���� �E��� ��� ��� %���� ��� �$���� ������ ����� �� ��/����� �� ��� �� ����+ �� ��� �� ��� ��&������ ����� �� � ���� �� �!���� �� �������� ���������� (�� �) ���� ���������,� ������������ �� ��/��� �� ������ %����� ����������������� =�%�,��+ ��� ��� �� �� ����� (����+ ��� ���� ��&�����) �������� �� �� ���� �� �� �� ���� �� ��������� ����+ ������ �� �� ���������� � ���� �� �� �� ��� ��&������� ��� ��� ��������� ������ (>���� ��7�����+ ��4EH :�������+ ���E)�

���� ������+ <# ������ �� �,�� �� ��� ��� �� (��� ���,���� ������ ��G������ ���������)9

�(�� �) .����������

Y� � (��� �(��� �� �))���(�� ��)� - ������

�#���

�(��� �� �) .�(�� ��)� - ����� (�E��)

%���� �(��� �� �) �� ��� ���6%� �� � ��� ����� �� � ��� ��� ������ ����� (��� �)�� ��� ���� ����� (�� �)+ �� � � (��� �) �� ��� ��&������ <# ���� �� ���6%� �� �� �������� (��� �)� ��� ������ ��� ������� ������6����� ��5���������� %��� ��������� �� �+ %���� �� �� ���� ��� � ������ �5���� �� ��������� �� ��� ��6������ ���������� >���� ���� ����� ���� ����� ��� ��� ����������,�K���������,������������� �� �����+ � %��� ������ ����� ��� �� ������ ������� ����� �� ����� ��� ��������

���� ��������� �� �� ��� ��� %��� ��� �����%�� �3�837 �� ���

!�� ������"#. ����J H��� �,�� N� ���� � ������

!�� ��"����.�� �J H��� �,�� ���� ����� � ������ $��M2�%

!�� 2�"#. 2J

� " �-�$$���������������%1��$2����%1�%J �� ��� ������ �! �� ��������

� � " ��� �$ # � �3�3� %J �� ��� #���� � � � ������

$��M2�% " $��M2�% � ���$������M� �%3�J� ��� � � �� ��� ��!����� � � � $�M2%

� �J

� �J

� ��� ������* ��� ���� ??D

*���� �E��9 ��� ���� �� ��� ���� �� �����0�� 0���6�5��� (<#) ���� �� ��������� ��� ����+ %���� ��� ���� %� �������� �� � �2���� ��� %���� ��� �������� 0��� �5��� ��� ��� �������� ��� ��,� <# ���� �� ������� ����������� ��� � (�� � . �� �) ������ ���� ���� ��� ������ ��&����,��� ���� �(�� �) ������ %�������������� ��� � �� ������� ���� ��� ��� �� ��&������� �� ��� ��&������� ����� �� ������� �������� ������ ��� �����

����+ ��� �� �� � � (��� ��� ���) �� ��� �� �� �� �� ���6%� �� �+ �����%������ ,������� � %���� �,� �� �� ��,���

�2���� -������������ <� �!��)

3� � ������ ��� ����� �� ��� ��,� ��������� �� ��� ��� ,������� ���� �� �� �6������ �� ��� �������� ��&����� ��������� ��� ��� �� �6������� ���� �����������+��� ���� �� ������������ ,������� ������������ �� ��� ����� ������ ��� ��� ������� ������ ���%� � ��� ����� �� *���� �E��� ��� 1���6������� �� �� �� 6����� �� "��� ���� �� ����� �� ��������� ��� ��,���� � ���� �(�� �� ��� ��) ��� ������ � (��� ��� �)H ��� ��+ "�� ��� D6' ���2 �(�� �� ��� ��) ��� �� ���� ����6������ (�� �) �� ���� �5���� (��� ��� �)� ����+ ������ ��� . ��!��(� - ������)�� ��� ��,� �3�837 ���� �� �(�� �� ��� ��)�

�2���� �+ �������!: "������� 5 %��� �!� �" � ��� ���������! �"

������ �� ���� �� <# �����+ D6' ������� %��� ������ � ��� ���� �� <# ��������� ���,���� ��� D6' �������� �� ��� ��� ��&������ ����� ����� �,� ����������%���� �� ��� ���������+ �,�� %� ��� ��� ,������ ���� ��� ��� ?6' ������������� ��� ��+ ���6��6���6���� ��&������� ����� �,� ���� ��������� �� ��������� ���6��6���6���� ��&������� �� ����� ����� ����� %� ������ � ��-�� ��&������

??I ���� � � ����� ��� ����

Tsx

Tsx

Tgx

Tgx

Tgxs

Tgxs

Non-ZO Trace

ZO Trace

❇ ❇▼ ▼

+

Ellipse

*���� �E�?9 !����� �� �������� :�� ����� ��� ?6���� ���� � ���� �������� �� �� �� �� ��&������ ����� �������� %��� ����� ���+ �� �� ��� �6' ��#��� �� ����������� �������� ��� �,���� �� ��� ��&������ ��� ��� �����1���� ���/%��� ��� ������� ��� ������� <# ���� ���������� �� ��� �����

VT

TIME (

S)DE

PTH

(M)

2T

Reflection Points

Actual Reflection Points

Apparent

C

POSTSTACK DATA

*���� �E�D9 ����� ����� ��� ��&������ ����� �� ���� : �,� �������� ��� @3��%��9 3��� ��� �� �6������ %��� ����� ��� �������� � :� ����� ����� ��� ��&����������� �,� �������� ��� �� �� ��� �����@ :� �� 3��%��9 ��� ����� �� ����� �6������� %���� �� ��� ������ ��������� ����+ ����� ����� �%�� �,��!"�" �� ��� ��&������ ����� ���� �� ��� ���� �� ������� �� ���� ��� �� ���������� ������ ��� ���� �� ���� �� ��������

� ��� ������* ��� ���� ??�

−0.5

0

0.5

1

X−offset (m)

Dep

th (m

)

Poststack Migration Image

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

0

500

1000

1500

0

2

4

6

8

10

Offset (m)

Tim

e (s

)

Poststack AGC Data in 1−Way Time

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Student Version of MATLAB

0

5

10

15

20

Offset (m)

Tim

e (s

)

Poststack AGC Data in 1−Way Time

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−2

−1

0

1

2

3

X−offset (m)

Dep

th (m

)

Poststack Migration Image

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

0

500

1000

1500

Student Version of MATLAB

*���� �E�I9 <# ����� �� ���� ������� �� ��&������� ��� (��� ? � ��)����� �������� �� (����� ? � ��) �������� ���� ������� �� %���� ����� ������������� � � �� ��� �� ���� ������ �� ���%� � %����

??E ���� � � ����� ��� ����

Destructive Interference

C

TIM

E (S

)D

EPTH

(M)

2T

POSTSTACK DATA

InhomogeneousVelocity

C

TIM

E (S

)D

EPTH

(M)

2T

POSTSTACK DATA

*���� �E��9 *� ������ F�������F ��� (���) �� ������� �� (����� ) � ����6 ������� ,������� ���� � ��� ������ %,���� "��� �� ��� �� F�������F�

� ��� ����* ��� ���� ??J

����� ��� �� �������� ����� ��� �� �������� (��� *���� �E�E)� ��� ���� ����� �3�837 ���� �� �� ������� �2�� ����� �,�� ��� ����6 �� ��6���� �62���

G�9 J&/)&K ;�������� J������" ?���

��� �2������!�"�����$ % )��� �'�� EL ����� �"������

��� DB/>&?M�!�"�����$

��� 2�����������"�$ % )��� �'�� ����� ����� �"������ *2�+ �+6�,

��� 6��!�"6$ ��� B<�!�" $

� � �4��**�2�������2�2���2,H�.*DB/>&?M�� �B<�� ,H�.*6���2,H�,$ % ������� ������ ��

% �����������

���� � ���"�* ! . ������ ,$ % ������� !�7� ���� �� ������

�*2�+B<+6�, � �*2�+B<+6�, . ����*�2�����+DB/>&?M+����,��$ % <���� �"� ��� ����

�"� % ���������"� �"�� *2+6,

�"�$

�"�$

�"�

�"�

���� ��� ����� �� � ��� �%��� � �� ��� ���� ���� �� ��� D6' ���� �� ������ ��� ?6' ����+ %���� ��� ��� D6' <# ������ �� ��,��� ������ �� ������ ��� �2�����,� ��� ?6' <# �������

�+�� �������6 ���������

�� �� ���2 ���� + ���� � ������ ��� �� �+ ��� ��# �� ���/�� ��� �6���� �� ����������� �� ��� ��� ���/�� ������� �� ��� ������ �� ����� �� �������/ ������� ��� ���� �� ���� ������ �� �� ��� ���� ��� ��# �� ���/�� ����� �������� ������/ ������ �� ��� ���� ���� �(��� �� ������ �� ��)+ %���� �� �� �������� ��� ������ �� ������� 26���������� ��� ���� ���� �� �� �� �� ��������� �������� �� � �� ������ �2������� �� �+ ��������,���� ��������+ ��� ������ ����� �� �� �� �2����� � �� � �� . ��

�2���� �����!: "������� 5 %��� �!� �" � ��� ����! �"

����� ���� �� ��� ���� ����� ��� ��&������ ����� � �� � ; ������� ��� @ >� ����� ��� �������/ ������ �2 ���+ ��� ��%�� �� ��� ��� (�� �) ���� �� ��� ������� ������ ��� �,���� �1����� BB ��� "2�� �� �� �� ��� ���� �1����� ��"���� ������� �� ���� ���� %��� ���� � (��� �) �� (��� �)�

>� ��� �� ��� �������/ ������ ��� ��+ ������/ ������ � ��� ��&������� ��� ���� ���� ����+ ��� ��� ��� ��������� ������� ����� ��� �� �6�������

??4 ���� � � ����� ��� ����

Non−ZO Trace

Prestack Migration Ellipsoid

*

ZO Trace

Poststack Migration Hemisphere

*

*���� �E�E9 (���) �������/ �� (����� ) ������/ ������ � ����� ��������� ���D6' ���

��� ��� �� ��� ������/ ������ �� �,�� ��

�(�� �) .���

���

Y�(��� �� ;(��� ��� �� �)���� �� ��)�((�� �� ��� ��)�

(�E�?)

2 ���� �� ���/�� ��+ �������/ ������ �� ������/ ������ �� �,�� ��*����� �E�J6�E�4�

�+�� ������ ������ ��!��

=�% ���� ��� ������ ��� ���� �� ���� �����,�� � %��� � ��� ���� �������� ���6����@ ��� ���� �����,� �� �������� �� ��� ��� �������� ������������� �� ��� �� ������������ �� ������ ����� ���� ���� ����� >������ �� ���� �� ����� ���������1������� %��� �� �� "��� ���� ������ 3���+ ������� ���� �� ��� ���� %��� �,����� �� <# ��&������ ��� ��� �� � ��� ����0����+ �� %��� �� �� %���� �����������������

�2�,�� � ����� ���

�� ��� ���� ����� �� ��� �����+ ��� F%���F �� ��� ��������� %��� ��� �� ������������ �� �� ��,� ��� � ���� �� ���%�� �� ��� ���� ���� �� ��� ������ � �+

� ��� ���� ������ ������ ??�

0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Time (

s)

100 200 300CDP

Stack

0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Depth

(km)

100 200 300CDP

Poststack Depth Mig

*���� �E�J9 (���) >��/�� ������� �� (����� ) �������/ ����� ������ ��������(�������� �� O���� P� �� ;����)� ������ ��% �������� ��&������ �,� ������������� �� ��5������� ���%�� �,� ���� ������� �� �������

?D� ���� � � ����� ��� ����

1

2

3

Tim

e (s

)

100 200 300 400 500 600 CDP

Stack section with AGC window of 400 ms

1

2

3

Tim

e (s

)

0 100 200 300 400 500 600 CDP

PSTM section with AGC window of 400 ms

*���� �E�49 (���) >��/�� ������� �� (����� ) ������/ �� � ������ (���������� O���� P� �� ;����)�

� ��� ���� ������ ������ ?D�

� ���%� �� *���� �E��� �� �� ��� ��� ����� ���� ����� ������� �� ������������� 3������ ����� �� ,��% �� ��� ����� ���� �� ��� �� ���� ��� �����% ����� ���� ����� �� ��� �����H ����+ ��� �� �� �������

3����� �� �� ����� �� /�� ���� ��� ��� �������� ������ %,������ ����� �� (5�)��� �� ����� ��� �K? ��� ���� ����� A�� 7� ��"������ ��(5�) .)���(�����)��� �� ��� ��� ���6����� ��������� ��

?A� � ��(5�) . (�����)���)���� (�E�D)

%���� ��(5�) �� ��� ��� � ������ %,������ ��� ��� 26��������� �� ������������� ���� �� /��%� � ��� ��1���� � ���� ���������+ �� ��� ,������� ������ ��������� ����� ������ ��� ��� �K? ������ �� �� � ������ ���� ��� �� ������ ���� ��� �� ��������0�� "���� ����� �� ,��� ������ � �� ���������� � ���� ���������� ���������

3 ,���� �2 ��� �� ����� �� �� �,�� �� *���� �E���� ��� ����� � � �� ������� �� ����0������ ������� ���� %,�� ��� ��� �� ����� "���� ���%��� ���� �� � �������� �� ��� ����0���� ������+ �2���� ��� ��� ������� �� �����%���� ��� ����� ������� �� %��� � ���� �� ����� ��� ��� �� ��� �,���� �� ��� ������������ ���% ��� ���� �������� ,������� (�2K��.,) %���� ��� ������ ,������� ����� ��� �� ��� ��� ������� �� ���%�� ������ ��� �� �� ������ ��� ������ ����3�837 ���� ����% �� ��� ��% ����� 5���� �������� ���

��������*��� �,$ �������*G!!,$ ����*!��+!��,$ �������*G!�,$

����*!��+!��,$ �������*G!G,$ ����*!�G+!�G,$

"�"���G$"���#$"�"���"��"�"��$����#$���$

�������*��+�;������"�,$

����*!��,�0# #1$

J���'���"*"�"��+��+����,$

��� ��"���!�"�"��$ ����N$�"������(��*��"���!,$

�2���������*�"��,����$� ���"*�"��,���������$

"2�!##$���4��*�2H�.� H�,$7����$ ��!�!�"2$���"��*"2+!,$

�2����$ � ��2�$���##!�0"���!�!1$���!��"��*"�+"2�(,$

�����"��*"�+"2,$

��� ���!�"�$ �������.!$ �7����*�2��2.� �� .7���,$�7�������*�7,$

��� ����!���$ ���!*��+���,��7*!+!.*����!,�(,$ �"�$

���*��+�,��7*!+�,$

�������*G!!,$

������*�+��+���!,$

�� ��"����!$�����*�<���������� &"�� � # ���,$�"�$

?D? ���� � � ����� ��� ����

�� ��"�����$�����*�<���������� &"�� � (# ���,$�"�$

�� ��"����G$�����*�<���������� &"�� � I# ���,$�"�$

�����*�/��� *�,�,$ �����*�,

�������*G!�,$

������*�+��+���,$

�� ��"����!$�����*�<���������� &"�� � # ���,$�"�$

�� ��"�����$�����*�<���������� &"�� � (# ���,$�"�$

�� ��"����G$�����*�<���������� &"�� � I# ���,$�"�$

�����*�/��� *�,�,$ �����*�,

�������*G!G,$

������*�7,$2�����*�5���6�"��� L����� *�,�,$

�����*�9���� *�,�,$

�� ��"����!$�����*�<"�������� &"�� � # ���,$�"�$

�� ��"�����$�����*�<"�������� &"�� � (# ���,$�"�$

�� ��"����G$�����*�<"�������� &"�� � I# ���,$�"�$

�����*�,

J*�+���,��������*��+����,$ �"�$ �"�$ A�! $

3;<�! $

��'��*��+J+A+3;<+����,$

�2�,�� ������ �����������

����� �������� %��� ��� �� ������ ����0���� ����������+ �� ��� ���% ��� ���������� �,���� %��� ����� ����0���� ������� ��� ������� %���� ������ �� ���� ����� ���� ��� ��� �� �,�� �� *���� �E����

�+�( "�� ��������� �� ����� ���������

'���� ������ �� ,����� ,������� ���� �� �� �5����� �� ������� ��� � . ������� ��� �� ��� �3�837 ������ �� ��� ��,���� � ������� ��� �� ����� ���� ������� ��� ��� ���� �������� �� ��� ����� � � ������ ���� �� ��� ���������������� ��� ��%�%�� ��������� �������� ����� �� ��� ���� �� �����+ �� ������,���� �� �� �� ����� �� "����6��5������ �������� �� ��� ��/��� �1������

>� ��� �� ��� ,������� �� ��� /��%� ,��� %��� �� ��� ��� ����� ������ ��������� ��� ���/ ,��� ���� �� ���� ��� ��� ������������ ��� �� ��� ������ ��� �� ������ /��%� � �� � ������� �� � ������ �� �5����� �� ������� ��� � .��� ���� ��� �� ��� �3�837 ������ �� ��� ��# ��,���� � �� ����� ��� ��� !�>,�������� ��� ����� ���� �� ������� �� ���� �,�� ��� 0���6�5��� ��,���� ��� ���������� ��� ��� ������ ��� �� � ���� ���� %��� ,�������� ,���� ,�������+�������� �� ������+ �� �� ����� ,������� ,�������� ��� ��&������ �,��� ��

� ��� ���� ��� ���� �� ���� ��� ���� ?DD

−0.5

0

0.5

X−offset (m)

De

pth

(m

)

Poststack Migration Image

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

0

500

1000

1500

−4

−2

0

2

Offset (m)

Tim

e (

s)

Poststack AGC Data in 1−Way Time

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Student Version of MATLAB

*���� �E��9 > � � �������� ���� ������� �2���� ����� ��� �� �� �� �������� �� �,� ���� �� � ����� ������ ������� %��� � ���� �������� ����+ ��� &���&����� �� �� ��� ����� ��� ��� ������� ������ ��� �� �� (�������� ��&�������)�� ������

?DI ���� � � ����� ��� ����

Seismograms: Angle = 0 degT

ime (

s)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Seismograms: Angle = 0 deg

Tim

e (

s)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Horizontal Offset (m)

Depth

(m

)

Snapshots: Angle = 0 deg

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

20

40

60

80

100

*���� �E���9 (���) 3����� �� ( �����) %���6� ���� ���� �� � ��� ��� ����0��6���� ������� %,� ���� �� ��� ����� �������� 3����� �� ����� �� �,����%�� �,�� %,��+ $��� ��/� �� ��� ����� �� ���� ��/%�� �� ������ �����

� ��� ���� ��� ���� �� ���� ��� ���� ?D�

L = D/tanα

L

D

α

α

*���� �E���9 3������� %���� � ������ �� �� ����� �� ���� ��� ��� 2� � ������ � �� ��&����� �� ��� ����� :+ �� ��� � . :�� ���

?DE ���� � � ����� ��� ����

� ���� ��� ������+ � ���%� �� *���� �E��?� ���� ��� ���� ���� �� ���������� ��� ��1���� �� ����� �� �� �� ����� ��� ����� ������� ��� ������ ����� �� ����� � ��� ����� ��� �������+ %���� �� ��������� �� ����� �� ����"��� �������� ����� ���������� ���� ���� �� ��� ������������ �� ��� ����� ����������� ������� ��&������� 3� � �2 ���+ ��� ������ �� ��� "��� �� ������ � ����� ������ ���� %���� ��� �� � ����� M������5 ������ � ���� ��� ��&�������������� 7���% �� �� �6 ������ �3�837 �����

��� �2������!�"�����$ )��� �'�� EL ����� �"������

��� 2�����������"�$ )��� �'�� ����� ����� �"������ *2�+�#,

��� �#�!�"�#$

� � '"��*�#,��#

���� � �4��* *�#���,H� . *2�'"��*�#,���,H� ,$

�*2�+�#, � �*2�+�#, . ����*�2�����+����,��$

�"�$

�"�$

�"�

#�� �5��� �� �� � ������ �� ��� ��� �� � ������ � �� �� ��� �� ���/������� ��� ����� ������ � ��� ���� �� ������ ��� � �� �� ������� �� �5���,� �%�6%� ,������ �� � ����+ �� ����� %��� �� �� %,���� ������� ��� �� �����,������� ���� � ��� ��+ �� ����� ������ ��� %,���� �� � ���� %����� ��� ���� �������+ ��� �� ��� ,������� �� ��� �� ������� �� ����� � ����� (����� %,��������� �,�� ������) ���� ��� ����� ��� �� ����� �� ���� �� ��%�� ��� �� ����� �� ���:� ��� ��� ��������� �5��� �� *���� �E�J �� ��� ��6������� �� � ������ ��������� *���� �E�4� ���/�����+ �� � ������ ���/� ��/� �� �� ���� �� ���� �� �������� �� ��� ���������� �� ���������� �,�����

=�%�,��+ �� � ������ �� ��������� �� ��� ,������� ���� �� ��� ,��� %��� /��%�����@ 7����� ��� ��# ,������� �� ������� �� ���/�� ��� ��� ���� �������� ��� ��� ���������� ���/� ��&�������� ����+ �� � ������ ������� ����� � %��� � ���� ���� ��� ��������� �� ���� �� ����,�� :� ��� ���� �� ����� ������%��� ��� � ,������� ����� *�� ��� � ,������� ���� %� �� �� �� �������� �������������� ��� � 1���6��������+ �������� �� ��� ��� �������� �� :�� �� ��+ ��� �� ����

� ��� ���� ��� ���� �� ���� ��� ���� ?DJ

T=3s

T=3s

Single ZO Trace

Time Migration Operator Depth Migration Operator

*���� �E��?9 <# �� � ������ ������� �� ��� �/� ���� ������ �������� �5����+�� ��� ������ �� ��� �� � ������ ������� ����������� ��� �,����� '���� �������/�� ���� ������ �������� ����� ��������� � %��� � ����� ,������� ,�������+�� �� %��� ��������� � � ��� <# ��&������ ������ ��� ������ �� ��� ��� <#���� �� ��� �� �� ���/�� :�� ����� ���� �6' ��# ��� ��+ %���� �� ������������� ��� ���� ����� %��� ����� ����� ,������� ,�������� ��� ���������� ������/ ����� ������

?D4 ���� � � ����� ��� ����

�+�+ ������ $����!����

��� �� ��� ��� � �������� ���%��� �%� ����� ��������� ��� �� �� �����,���� ����� �������@ ���� ��� � ������� �� /��%� � ��� ����� ������������ ��� ����� �������+ %���� ��� ����0���� ���������� %��� ��5�� ��� ��� ,����������������� ��� ����� ���������� %��� ����� �� �������� �� ��� %,������ 5+�������� ������� � ��K�� ����� �� ��� ���������

��� ����� ���������� �� 1�������,��� ���� ��� �� ���� ��� ��� �� *������0��� ( � ��� �� =���+ ��E�)+ %���� ��� "��� *������ 0���� /�� ��� ����� ���6��������� �� ��� �������� ��&������ ����+ %��� �������� ������������ ��� ��������6����� *������ 0����� ��� ��"������ �� ��� ��� ��&������ *������ 0��� �� ����� �� ��� ��&����� ���� ��� �� ��&������ �� ��� (��� *���� �E��E) ��� ������6��6��&�����6������� ��5��� �� ���� ��� ����� �� �� ��� ��� 5�? (�� ���,��� � ��5������ �� )�?)� ���������+ �%� ����� ��������� ������ %����� ��� ������"��� *������ 0��� %��� ��� �� ������ ������������� ��� ��� ������ �� ������������ ������ �� ������������ �5����� 3� �2 ��� �� � �� �� ��� ��,��� ����6����� ����� ��������� � ��5����� ������ �� �,�� �� *���� �E��I� =���+ ��� ��������������� ���� �� %���� %��� ����� ������ ��� ������ ������� ���� � &����%��� �����+ �� ��� ��� ������� ��� �� ��������� �� ��� �����,��� �� ��� ������� �� ��� ������ �������� ��������� ���� ��� ���� ��� �� � ����� ��� �%����� �� ��� ����,��% � � (>�������+ ���EH :��� �� >�������+ ����)�

3� �������,� ������� �� ���������� �� ��� �� �,�� �� *���� �E��D� =���+ �%� ������� ���� �� �����,� ��� ������� �� ��������+ %���� ��� ������������ �� ��� ������������ ����� ���� ��� ����2� �� ������� �� ��� ����� ��������� ����+ ��� %����(����+ ����0���� ���������� �� ��) �� ��� ������������ 0��� �� ���������� �� ��� %���� ����� ��6���� ����� � ��� �������� �����+ %���� ,������ ����� (����+ ,������ ������������ ��) �� ��� ������������ 0��� �� ���������� �� ��� ����/���� �� ��� ���6���� ������ ��� �������� ������ ���� �������+ ,������ ���������� �� ��� �� ���������� �� ������6�5��� ����� �� ��� ����0���� ���������� �� �� �� ���������� �� ��� ��6�5��������� ��� ��2� �%� �������� 1������ ����� ���������� �� ��� %��� ������ ��� ����

)�������6 (������� .��������3 3� ���%� �� *���� �E��E+ *������ 0��� ��6�� ����� ����� ����� �� %���� ��� ����� ��5������ ���%��� ��� �������� �������� ��&������ �� �� �K?5� *�� ��� <# ���� �� *���� �E��E+ ��� ��� ����0����*������ 0��� �� ����� ��

)�? . )./. � ).0.�

. ?(>�� ->C��(>���� ? (>���

� ?(>(� - ���>C��(>�)��� ? (>���. >C��((> �)�

� � � ���� ��������� ?D�

Where is the Scatterer?

Answer: Here

1 2

2

Near−offset traces = better dz

Far−offset traces = better dx

1

*���� �E��D9 ����� �� ��� �������� ������ ��� �2����� ��� ��&������� �� ��� ���6�� ��6�5��� <# �����@ 3��%��9 ��� 1��������� ������������ 0���� ��� %���� ����� ������������ 0��� �� ���������� �� ��� ��6�5��� (����+ ������� ��� ��� ��������)���� %���� ��� ����� �� ���������� �� ��� ���6�5��� (����+ ������ �� ��������) �����

?I� ���� � � ����� ��� ����

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

X−offset (m)

Dep

th (m

)

Poststack Migration Image

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

0

500

1000

1500

−0.5

0

0.5

Offset (m)

Tim

e (s

)Poststack AGC Data in 1−Way Time

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

0

0.5

1

1.5

Student Version of MATLAB0

500

1000

1500

2000

0

500

1000

1500

2000−100

−50

0

50

100

Z (m)

Side View of Migration Section

X (m)

Migrati

on Am

plitude

Student Version of MATLAB

*���� �E��I9 (���) <# �� ( ����� �� ����� ) ������ � �� ��� ����%��� D ���� �� ��������� ��������� (%���� ����)� 8���� ���������� ���� �� %����%��� ����� ������ ��� ������ ������� ���� � ���� ������ �� *������ 0���� ���� �%����� ��� ��� �� ��������� ������� �� �?� � � � . �J�� � �� ��� �����,���+%���� ��� ������ ���1����� �� %,���� �� �� =0+ ,������� �� ���� K�+ �� ��� �������%���� �� �4J� �

� � � ���� ��������� ?I�

(�E�I)

�� �������+ ����� ��� �) . 5+ ������ (> . ������ �� ���,�� ��� >C �,��

>C . �� .�5 �������?� (�E��)

%���� (> . ������ �� ��� ����� �� ��� �������� �������� ������ ��� <# ����� �������� >C �� ����������� �� ��� ����0���� ���������� �������� ����% <# ����+�� �� ����0���� ���������� ���� �� ������ ��� � ���� %,������� �� �����%������������

7�� %�� �� ��� ����0���� ���������� �� <# ���� ��� �������� ������� �5������ ��� <# ����@ �� �� ���/ �� � ������ ��� �� �� ��� �� ��� ��,�+ �2������% %� ��� ����� ���� ��� ��+ ��5�������� ��� ��,���� � �1����� �E�� %K� �� ��� ��

����� . ? (�� ��)�(�(�� ��)� - �� �)� (�E�E)

%���� ��� ����� ? �� �� ���� ������ %� �� ���� ��� �%�6%� ��,���� � �1������>����� �� . )�? �� ���,�� ��� �� �,��

�� . (�)�(�� ��)� - ��)�(I(�� ��))�

. 5�(�� ��)� - ���(I (�� ��))� (�E�J)

�� ���/ ��� �� ����� ��� �,� ��� ��� � ���������� ,��� �� �� ������ ����� A� . �� ��� �� ��� �������� ����� � �� ��� ���� ��� ��� ������� � .� �(�� ��)+ ���� �1����� �E�J ���� ��

A� . ��(��) . �?�)��� - �� ����

. �?�5��� - ��������

� �?�5���� (�E�4)

��� � �� ���� ���� ��������+ �����%�� ���������+ �� � ���� %,������� ����� ������ ����0���� �����������

>� ��� ������������� ���% ��� ��� ,������ ���������� �� �� ������� �� ���6������ ).0.�)./. ��� ��� ,������ ����� ���%� �� ��� ���� ���� �� *���� �E��E9

)�? . )./. � ).0.�

. ? (>(��� ? (C(���

. ? >C��� (�E��)

>��,�� ��� 7: �,��

>C . A� . 5�I� (�E���)

?I? ���� � � ����� ��� ����

*���� �E��� ���%� ��� ����� ����� ����� ��� ��&������� ��� ������� ���+�� ������ ��� %� �� ���������� ��� ����� �� �%� ��&������ ��� ��� ������������� �� ����� ����/���� �� ����� ��� �� �1�� �� ��I5�

1����� �E��� ��� ��� ,������ ���������� ���� ��� ������ �� ��� ���������������� �� ������� �������� ���+ ��� ����0���� �� ,������ ���������� �� ����� �� ���� ��� (��� *���� �E��E) ��� <# ����� �������� �� ��� ��� ��� �E�4�� �E���� �� ���+ �1����� �E�4 �� �� ���� �� ,����� ��� ��� ������� ��� ����������� �� *���� �E��I �� ��� ������� �����,����

)������6 (������� .��������3 >� ��� ������������� ��"�� ��� ���������� �� 6��� ��� ����� ������/ ���� �� :�� �����+ � ���%� �� *���� �E��J� =���+��� ��� � ,������ ���������� �� ��� ����� ���� �� �,����� �� ��� �����<# ����+ %���� �� A� . 5�I� #� ��� ����� ���+ ��� ��6�5��� ���� %��� �,��� ��� ��� � ����0���� ����������+ %���� �� �� . 5 ��(I�)+ %���� � �� ��� ����������������

3 ��� �� ��� A� �� �� ����,�� �� ��������� �� ��� �� ��� �� ��� <# ��������������H �� �� ��5��������� ��� ��,���� � �1�����

; . ;�� - ;���

.

�� ������ ���� �� ��(�� � �)� - (�� � �)� - (�� � �)���-

������� ���� �� ��(�� � �)� - (�� � �)� - (�� � �)����

(�E���)

%��� ������� �� ��� 26��������� � �� ��� ���� � � �����+ " �� �;�&�+ �������; � )�?+ �� ���,�� ��� ��� ����� �� /��%� � ������ ������� ��� �� ���,� ���� ������� �� ���������� ���� ��� ��� ��� 2 �� 0 �����������

=�% ���� ��� "�� ��� ��� � �� �� �� � � � ����� (��� ��� ��) ��� � ���������� ��� �� ������/ �����@ >� ��� "�� ��� ������ �����,�� ���� ��� ��� �0� ��������������� ���� ����

��� ��,� ��� ��� �� ���������� �� �� ������� ,������� ���+ ��� ��� ������� �� ���� ������� �� ,�������� !��������� ���� ��� �� �� ������� ��� ��6�� ������� ��� �� ���� ��� �� ��� ��� ��� ��� �� �� ��� ���� ,������ ����� ��%���� �� ����,� ����� ��� �� ����������� �� ��� %,��� ��� 6������� ��� ���� ��� �� �� ������������� *�� �2 ���+ ��� <# ,������ ��� �������� ��� %,��� ��� �� ��� ���� ��� �� �� ������������� �� ����������� ��<����� . (�� �� ?+�5)� ����+ ��� �� �� �� �� ������� �� 0��� ������ ��� �� ����������� ,������ �� �� �� 26� �� ������ (G������+ ?��D)� *�� ���+ ��� ����%,��� ��� ��� �� �� ������������� (��� *���� �E��4) �� �,�� ��

<� . * (;�� �(�) - ;��(�))� (�E��?)

>� ��� ������������� �� �� ���� �� ���� �� ���������� ��� �� ������ � ��(>��� �� >�������+ ?��D)�

� � � ���� ��������� ?ID

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11−200

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

Depth

(m

)

Midpoint (m)

Δ z / λ = 1

Depth Resolution Test: Interference of reflections for Different Layer Thickness/Wavelength Ratios

Δ z / λ = 0.8 Δ z / λ = 0.6 Δ z / λ = 0.4 Δ z / λ = 0.2

*���� �E���9 N������ ���������� �� �� �� ������ %��� ��� ����/���� ���%��� �%���������� ��&������ A� . 5�I�

?II ���� � � ����� ��� ����

TABA

TACA

TABA

TACA

A

B

C

dz

B C

A

1st Fresnel Zone BC=dx

−TACA TABA

−TACA TABA

T

= T/2

= T/2

dz = /4λ

λdx z /2

*���� �E��E9 2���� �� ����0���� (����) �� ,������ (����) *������ 0���� ��� <#����+ %���� ��� ��� *������ 0��� ��"��� ��� �� %���� ��� ��5������ �� ��� ���������� ������ ����� �� �1�� �� ��� ��� %,������� ��� ����2� ���� ��� �� �������0���� ���������� �� ,��� %��� (> �� ��� ���� ��� 5�

� �)� ��� ����� ?I�

�� �� ����� � ������ �� �� ��������� ���� ��� ������ ������ �� � ���,�� ��6��� ����������@ O���� P� ���%� �� *���� �E��� ��� ����� ����� ������������,�� ����� ���� ��� �2������� �� ����+ ��� ������� � ���,�� ���� ����� ������6���� ,� ������ �����,������� ��,�� �� ����� ���� ��� �2������� �� �����

���6� .�������� � (������� ������3 3 �� ��� ������������� �� �1�6���� �E��? �� ��� �� �� �1��,���� �� ��� ��� �� ��� ������ �������� >����"����+��� ������ ������� ��� ��� �� ��� ��5����� ��������� ���������� �� �,�� �� ���6���������� ��� ��,���� � ��� �� �E��� %��� ������� �� ��� ���������� �� ��� ����� � ����� (�� �� �)9

&;�&� . &;���&� - &;���&��

&;�&� . &;���&� - &;���&��

&;�&� . &;���&� - &;���&��

(�E��D)

;��� *������60��� �� ���+ %� ��� &; � )�? �� &� � A�+ &� � A� �� &� � A��� ��� ���� ��� ���� �� ��� ��,� �1�����+ �� ������ ��� � �� �� ��������2��������� ��� ��� ���������� �� ��� (A��A��A�)+ �� ������ ������� �� ��� ��������������� �� ��� �� ��� �2�������� �� *���� �E��J� =���+ ) �� ��� �� ���� �������� ��� %,����� ���������� ��� ����� ������� ��� �� �� �1����� �E��D �� * ��������� �� ������� ����������� �� ��� 7���/�� %,��� ��� ��� �� �� �1����� �E��?(���+ ����� *&;�&� . ��)� ���� ���������� ��� �1��,����� ���%��� 7���/���� �������������� ��� �� �� ��� %��� /��%� ������ ������� ��� ����

�+�, $�#�������

:���+ O�+ �� >�������+ G���+ ����+ !��������� �� ��� ��� ������ � ��9 G��6�������+ ��IE6���D�

:�������+ O�+ ���E+ ��� >������� 3������9 ��������� ,����� ��,������9 7��/6%��� >������ 8���+ 8�����+ ;�M�

� ��� :� �� �� =��� 3� ��+ ��E�+ ������� �� �,��9 ��G�%6=��� 7��/ :� 6���+ ��% P��/+ ;>�

G������+ >�+ ?��?+ *�� �1�������� ���������� �� ���� �������9 G���������+ !#+4D�64D��

?IE ���� � � ����� ��� ����

TABA

TACA

1st Fresnel Zone

A

B C

BC=dx

A’

dx λ z4L

L

−TACA TABA’ ’ = T/2

*���� �E��J9 2���� �� ����0���� *������ 0��� ��� ���� %��� ���60��� �5��� ��6�%��� ��� ������ �� �����,��� ��� ��� ����0���� *������ 0��� ��� ��&������ ��"������ �� %���� ��� ��5������ �� ��� �������� �� ������ ��&������ ������ �� �1���� ��� ��� %,�������

� �)� ��� ����� ?IJ

dTdown dTdowndx dy

i + j

Source Receiver

k

dx dyi + jdTup dTup

Upcoming raypathDowngoing raypath

*���� �E��49 �,��� ��� 6 �� ���� ��� �� �� ������������� �� ��� ��%������ ����� ��� �� ��� ��&������� =��� 6 . *( ����� - ���)+ �� ��� %,��� 6���� ��� ����� ����%�� (��%�) ������� ��� ����� (,������) �����������

?I4 ���� � � ����� ��� ����

*���� �E���9 D' ������/ ������ � �� (����) ������ �� (����) ���� �����������,�������� 8���� ���������� � ���,�� �� ���� ?� ������� �� ��� ��� ����� � ��,�� �� ����� ���� ��� �2������� �� �����

� �!� �"� ����� ?I�

>�������+ G���+ ���E+ !��������� �� ��� ��� �����%��� ������ �� ��,���� � �� �6����9 G��������� O� ����+ I?J6II��

>���+ O�+ �� >�������+ G���+ ?��D+ *�����6���1����� ���������� �� ��� �� %,� �����,���� � �� ����� ��� � ������ ,���� �����9 G������� O� ����+ �"�+ EE�6EJE�

>����+ !�+ �� 7�����+ 3�+ ��4E+ >��� �� �������9 ������ �� �������9 �� =��6���/ �� G��������� 2��������+ N��� � �+ G��������� �����+ 8�����+ ;M�

�+�- �.�������

�� ��� :'� �����,� �� *���� J �� �� � ��� ,������� � � . � / �� ? / K��� � � . ?�� / �� �� I / K�+ �� ��� �������� ������� �� D�� :'��� %������ �� ���� ������ :������ ��� ��� � ����0���� �� ,������ �������������� ������/ ������ � � � ��� ������ (�� �) . (� ��� � ��)+ (�� �) .(� ��� � ��)+ (�� �) . (� ��� ?�� ��)+ �� (�� �) . (� ��� ?�� ��)� > �1������� � ������+ �2���� ������� ��� � ����0���� �� ,������ �������������� �������/ ������ � �� >��% %��/�

?� ;��� �� ������� �� �� ��������+ �� ��� ��� ,������ �� ����0���� ������������ ��� ��� �������/ ������ �� ������/ ������ ��� ����� � (�� �) .(� ��� ?�� ��) �� *���� J� 3��� � �� ������� ,��������

D� ���� ���� �������/ ����� ������ ���� ���� �������/ �� � ������ �������� ������ ������� �� �� ��� �5���6�� � �� ��� >��% �������/ ����� ���� � ������ � ���

I� '���� ��� ��� 2� � ������� ��� ���� �� �2���� ��� �� ����� �� � �� � I� ����� ���� � � . � / � 3��� � �� ������ ,������� �� � / K����� �� ��� ��� � ������� ����� �� ����� �� ��� ������� ��� �����@ 3��� � ��� � %,���� ������ �� ���� �� :����� ���% ����� �� ������������

top related