derivatives lesson oct 19

Continuity

Graph the function:  f(x) = x(x ­ 1)(x ­ 1)

g(x) =  x + 1x ­ 1 Graph the function: 

A function f is continuous at x = a if: 

1)  limx      a

f(x) exists

2) f is defined at a

3)  limx      a

f(x) = f(a) 

Determine if the function f defined by: 

4 , x = 2{ x 2=x2 ­ 4

x ­ 2,

f(x) = is continuous.

f(x) =x2 + 2x 1x  <,3 ­ x , x  1>{

Is this function continuous at x = 1?

Continuity on an interval

A function f is continuous on the  closed interval [a, b] if it is continuous at every number in the open interval (a, b) and

limx      a+

f(x) = f (a) and limx      b­

f(x) = f(b)

right continuousleft continuous

The Intermediate Value Theorem: If the function f is continuous on the closed interval [a, b], with f(a)     f(b), and k is a number between f(a) and f(b), then there exists at least one number c in (a, b) for which f(c) = k.

=

f(b)

f(c) = k

f(a)

a bc

The Extreme Value Theorem: If the function f is continuous on the interval [a, b], then there exist numbers c and d in [a, b] such that for all x in [a, b], 

and<f(c) f(x) >f(d) f(x)

f(d)

f(c)

a bc d

f

a

fg

a

a

h

If a function f has a derivative at x = a, then f is continuous at x = a. 

Exercise 2.8

Questions: 1, 5, 7, 13, 15, 21