eindhoven university of technology master ...het nierbekken (pyelum). hierin verzamelt zich de...
Post on 12-Nov-2020
0 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Eindhoven University of Technology
MASTER
Parameterschatting aan renogrammen van patienten met gezonde nieren
Zijlmans, J.
Award date:1976
Link to publication
DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.
General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.
• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
Vakgroep Meten en Regelen.
Afdeling der Elektrotechniek.
Technishe Hogeschool
Eindhoven.
Parameterschatting aan renogrammen
van patienten met gezonde nieren.
door J. Zijlmans.
Afstudeeronderzoek verricht aan de
Technische Hogeschool te Eindhoven
van maart 1975 tot maart 1976
in de vakgroep Meten en Regelen
onder supervisie van Prof. dr. ire J.E.W. Beneken.
coaches: ire A.A.H. Damena
d=s. M. Stapper.
, ,'~,.' ... ~ • ,.__, :....,1 "-0
- O. I --
Samenvatting:
EaE~eieEs£h~tiigg_a~n_h~t_r~n£gE~·
Doel: Ret verkrijgen van kwantitatieve informatie over de nier
funktie en nierdoorbloeding uit het tijdsverloop (het
renogram) van de radioaktiviteit in de nier, welke op
treedt na een injektie in de armader van hippuran, dat
gemerkt is met 1131.
Voortgang:
Na bestudering van de fysiologie en anatomie van de nier
en de waterhuishouding van het lichaam, is een model
opgesteld, dat het verloop van de hoeveelheid hippuran
in de nieren mathematisch beschrijft d.m.v. 3 e-machten.
Er is een schattingsprogramma ontwikkeld berustend op
het principe van Marquardtschatting, dat h.O.V. hat model
de 6 parameters (2 coefficienten, 3 exponenten en 1 ver
tragingstijd van de e-machten) van een renogram scnat.
Onderzocht is of deze parameters omgerekend kunnen worden
in fysiologische grootheden, die de arts kwantitatieve
informatie verstrekken over enkele aspekten van de werking
van de nier van een patient.
- 0.2-
Summary:
Ea~~eie~e~tim~tio£~n~ ih~ Ee£ogr~~
Aim: To get quantitative information about kidney function
and bloodsupply to the kidney from the radioactivity
as function of time (the renogram) which occurs in
the kidney after injection with Hippuran labelled with
1131 •
Method: After the study of physiology and anatomy of the kidney
and the bodywater-regulation, a model has been designed
which describes the quantity of Hippuran in the kidney
by means of 3 exponentials (6 parameters).
An estimationprogram has been developed, based on the
principle of Marquardt, which estimates. ~ith the aid
of the model, the 6 parameters of a renogram.
We have investigated whether these parameters may be
converted into physiological quantities, which give
the physician numerical information about some aspects
of the function of the patient's kidney.
- 0.3-
Hierbij wil ik eenieder van de vakgroep hartelijk danken voor
zijm steun, goede raad en gezellig gepraat in de koffiehoek.
In het bijzonder:
Prof. dr. ire J.E.W. Beneken wil ik bedanken veor zijn
enthOllsiaste begeleiding.
Ir. A.A.H. Damen wil ik bedanken voar zijn spitsvondigheden
en goede discussies.
Drs. M. Stapper wil ik bedanken voer de suggesties, voortvloeiend
uit een heldere kijk op mijn problematiek.
Dr. J.A. Flendrig wil ik bedanken voor zijn medewerking aan
dit projekt en het geduld wat daaraan verbonden is.
W. Carpay wil ik bedanken voor het selekteren en beschikbaar
stellen van meetwaarden.
J. Zijlmans
Eindhoven Maart '76.
- O. l.f -
Inhoud.
I
Inleiding.
Modelbouw.
1.1 • an£ltQ,mie_eu U§..iQ,lgp;ie_vg,n_d§.. g,i§..r.:..
1.1.1. Taak van de nieren.
1.1.2. Ligging van de nieren.
1.1.3. Bouw van de nieren
1.1.4. Bloedtoevoer en -afvoer.
I. '1 .5. Werking van de nefronen.
1.1.5.1. Ultrafiltratie.
1.1.5.2. Reabsorptie en secretie.
1.1.5.3. Het juxtagIomerulaire apparaat.
1.1.6. Urineafvoer.
1.2. ~aih§..m~tis£h~ £e~chrijyiggL ~o£elb£u~.
blz.1.
bIz.2.
bIz.5.
bIz.6.
bIz.7.
bIz.S.
bIz.9.
bIz.10.
1.2.1.
II.
Schematische beschrijving van de hippuranhuishouding
van een nefron.
Verdeling van de IichaamsvIoeistoffen.
Hippuranverdeling.
Schattingmodel.
Meetprocedures.
bIz.11.
bIz.13.
bIz.27.
II.1 • E.r.!.n£iJ2.e_v~n_d§.. !B,eiigg_eg £e_g§.bE.uikie_aEP~r.§:.t:!luE.'
11.1.1. Eigenschappen van het 1131.
ILL 2. Meetapparatllur.
III. 1.
III. 2.
- 0. 5 -
11.2. !1e~tl2.r.2.c!:d:!!r~s.!..
11.2.1. Methode gebruikt in het st. Catharinaziekenhuis.
11.2.2. De CABBS methode.
III. Informatieverwerking.
111.1.1. De gradient methode.
111.1.2. De Gauss-Newton methode.
111.1.3. De methode van Marquardt.
lie.§.ult§.t~n_v~n_s£h!!:t!i!!g~n_a§.n_r~n.2.gE.8.£!ID~n_
yaEl I!.a!i~n!e!! !!!e! B:e~o!!d!: !li~r~n.!..
111.2.1. Schatting met het 2 e-machtenmodel.
111.2.2. Schatting met het 3 e-machtenmodel.
III. 3.
111.3.1. Model- op modelschatting.
111.3.2. Hoogtekaartplot van een gegenereerd renogram.
111.3.3. Hoogtekaartplot van een echt renogram.
111.3.4. Omrekenen van de geschatte parameters
in fysiologische grootheden.
1111. Conclusie en aanbevelingen.
11111. Literatuurlijst.
111111. Appendix (listing van het computerprogramma).
blz.27.
blz.33.
blz. 36.
blz.37.
1)lz.38.
blz.39.
blz.42.
blz.45.
blz.57.
blz.68.
blz.74.
blz.80.
blz.89.
- 0.6 ~
1nleiding.
Renografie is het registreren van de radioactiviteit in de nier,
welke optreedt na een injektie in de armader van hippuran, dat
gemerkt is met 1131. Als injektievloeistof heeft men hippuran
gekozen, omdat het een lichaamsvreemde stof is, die uitsluitend
en volledig door de nieren wordt uitgescheiden en niet meer
voorkomt in de nierader.
Het doel van de renografie is het verkrijgen van informatie
over de nierfunktie.
In het St. Catharinaziekenhui.s te }!Jindhoven wordt renografie
toegepast. Men vroeg zich daar af of er met behulp van de com
puter meer informatie ui teen renogram gehaald kan \'1Orden. Onze
vakgroep is gespecialiseerd in parameterschatti'lg' en boad.
daarom aan dit onderzoek te verrichten.
Na bestudering van de anatomie en de fysiologie van de nier
en de waterhuishouding van het lichaam, is een model opgesteld,
dat het verloop van de hoeveelheid hippuran in de nier beschrijft.
Met dit model gaan we schattingen uitvoeren aan renogrammen
van patH~nten met gezonde ni.eren. We nemen hiervoor mensen met
gezonde nieren om de schattingsresultaten te kunnen beoord~len.
-1-
Hoofdstuk I. Modelbouw.
1.1. Anatomie en fysiologie van de nier.
1.1.1. 1:aiJ:k_v.!~:.n_d~ £i~r~n.
De nieren reguleren direkt de samenstelling en het volume van de
extraeellulaire vloeistof en indirekt die van de intr~eellulaire
vloeistof. Ze houden het voehtgehalte en de eoneentratie van opge
loste stoffen op peil" (water- en zouthuishouding), en zorgen er
mede voor, dat het evenwieht tussen zuren en basen bewaard blijft.
Deze taak wordt zo goed verrieht, d.at bij een grote variatie van
de toevoer van vloeistof met de daarin opgeloste staffen, het volu
me, de samenstelling en de zuurgraad van de liehaamsvIoeistoffen
opmerkelijk konstant blijft.
1.1.2. 1i,gging ~a£ .9:.e_nie!.e£.
De nieren .zijn twee boonvormige organen, gelegen aehter boven in
de buikholte ter hoogte van de lendenstreek, links en reehts van
de wervelkolom. Ze liggen tegen de diepe laag van rugspieren aan
aehter het peritoneum (buikvlies).
De reehter nier Iigt onder de lever; het hoogste punt ligt op de
hoogte van de twaaIfde rib. :De linker nier ligt hager; het hoogste
punt ligt ter hoogte van de eIfde en twaalfde rib.
De nieren zijn ongeveer 11 em. lang, 7 em. breed en 3 em. dik en
hebben een gewicht van 120-160 gram. Het middelpunt van de nier
ligt ge;niddeld 6 em... onder de vpPoI'vlakte van de rug.
De nieren liggen gebed i.n sen dJ.kke vetmassa, waardoor zij op hun
plaats worden gehouden. Om deze vetlaag loopt een stevige fascie
(bindweefsel), die voor de wervelkolom langs van de ene naar de
andere nier loopt. Onder de vetlaag heeft de nier nog een dunne vrij
stevige laag bindweefsel, het zogenaarnde kapsel, dat vast op de
nier zit en de nier een glad glanzend uiterlijk geeft. De nier is
bruinig van kleur.
De bolle kant van de nier ligt naar buiten gericht, de holle zijde
naar de wervelkolom toe. In deze holte komen de bloedvaten en zenu
wen de nier binnen en verlaten d.e bloedvaten sarnen met de urinelei
der de nier.
1.1.3. ~o£w_v~n_d~ £i~r.
Beziet men de nier op doorsnede, dan ziet men aan de holle zijde
het nierbekken (pyelum). Hierin verzamelt zich de urine.
fig. 1. Overlangse doorsnede van een nier~
(uit: Renal Function. dool' Heinz V1'~l tin).
- .')-
- Het nierweefsel bestaat uit twee lagen:
de buitenste smalle laag, de schorslaag of cortex; deze is gespik
keld.
de binnenste brede laag, de merglaag of medulla; deze ziet er
streperig uit en is gerangschikt in de vorm van piramiden.
- De tappen hiervan, de zogenaamde papillen, zijn naar het nierbek
ken gericht. Er zijn in totaal 8-15 piramiden in een nier.
- De papillen steken iets uit in het nierbekken en duwen daarbij
de uitlopers van het nierbekken, de nierkelken of calyces, iets in.
- In de schorslaag en merglaag liggen de ± 1 miljoen nierkanaaltjes,
nefronen genaamd. Men schat de lengte ervan op 50 mm.
Men onderscheidt hieraan:
1. Het nierkapsel of kapsel van Bowman; dit is een dubbelwandig
zakje, dat met een laag platte epitheelcellen is bekleed. Het
kapsel heeft een diameter van 0.2 mm.
2. De wanden van het kapsel zetten zich vQort in een gekronkeld
kanaaltje, de proximale tubulus.
3. De proximale tubulus gaat over in de lis van Henle, gelegen in
het merge Deze bestaat uit een afdalend en een opstijgend been.
4. De lis van Henle zet zich voort in een gekronkeld kanaaltje,
de distale tubulus; dit deel ligt weer in de sehors.
5. De distale tubulus mondt uit in het verzamelbuisje, dat in de
merglaag ligt. Een verzamelbuisje verzamelt de urine afkomstig
uit verschillende nierkapsels en mondt uit in het nierbekken
via de papil van een piramide.
- 1.;-
- Aan de hand van hun ligging, bouw en werking onderscheidt men twee
typen nefronen. (zie fig. 2)
1. De corticale nefronen: hiervan ligt het kapsel van Bowman in de
buitenwand van de cortex. Ze hebben een korte lis van Henle, die
slechts doordringt in de buitenste rand van de medulla.
2. De juxtamedullaire nefronen: hiervan ligt het kapsel van Bowman
diep in de cortex, tegen de medulla aan.
De lis van Henle dringt ver door in de medulla, soms zelfs tot in
de papillairpunt.
De bijbehorende glomerulus is grater dan bij de corticale nefronen.
De bloedtoevoer is ook anders geregeld.
De mens heeft 8 maal zoveel corticale nefronen als medullaire
nefronen. Als de mens in rust is werkt slechts 1/10 van aIle
nefronen.
""'" I
• t•• , l\U" ,,'
,.... """ .. '\Ill ,,' I.
( b)
CORTEX
SUBCORTICAllONE
OUTERMEDULLA
iNNERMEDULLA
rjRPl\,P! LtA
fi.g. 2: corticaal en llieclullair nefX'();c, ':1let (b)
en zcnter (a) ~a?illair netwerk.
1.1.4. ~lQ.e£.tQ.e:ro§..r_eE.=.aivQ.e£..
De nierslagader, de arteria renalis, die in het bovenste buikgedeelte
direkt uit de aorta ontspringt, komt de nier binnen en splitst zich
daar in de arteria anterior en posterior. Deze splitsen zich verder
en gaan over in de afferente arteriolen, die naar de schors lopeno
- De afferente arteriool die naar een corticaal nefron gaat, is om-
geven door spierweefsel, dat de plasmaflow in de arteriool kan
regelen. Ret spierweefsel wordt beinvloed door het sympatische
zenuwstelsel en door concentratie van bepaalde stoffen in het bloed.
- De afferente arteriool, die naar een medullair nefron gaat, is niet
omgeven door spierweefsel. De plasmaflow is dan ook afhankelijk van
de bloeddruk.
Iedere afferente arteriool mondt uit in een kapsel van Bowman. In het
kapsel van Bowman vindt men een kluwen van slagaderlijke capillairen
(6-10), glomerulus genaamd. Deze verenigen zich binnen het kapsel weer
tot een arteriool, het vas efferens.
- Bij de corticale nefronen is de doorsnede van het vas efferens klein
en daardoor ook de stroomsnelheid in de glomerulus.
Bij de medullaire nefronen is het vas efferens omgeven door spier
weefsel dat de stroomsnelheid in de glomerulus regelt. Ret spier
weefsel reageert op het sympatische zenuwstelsel en op de aanwezigheid
van het antidiuretisch hormoon.
Het vas efferens treedt door een opening van het kapsel van Bowman naar
buiten.
Bij de corticale nefronen vertak't het zioh daar direkt weer in een
capillairnet. Dit capillairnet zit geweven om de proximale en distale
tubuli en om de lis van Henle van het hetzelfde nefron en om die van
andere nefronen. In di t capillairnet ga.an zuursto:(rijke capillairen
over in zuurstofarme. Deze verenigen zich tot adertjes, die zich
op hun beurt verenigen tot de nierader.
- Bij de medullaire nefronen splitst het vas efferens zich in een
capillairnet en in een aantal kronkelige vaten, de vasa recta.
Deze vasa recta gaan in bundels naar het binnenste van de medulla
of de papillen. Daar splitsen ze zich weer in een capillairnet,
dat de verzarnelbuizen en de oplopende benen van de lissen van Henle
omgeeft. Daarna komen ze weer sarnen en vormen een vas rectum, deze
vasa recta gaan in bundels naar de cortex. Daar vormen ze adertjes
die uitmonden in de nierader.
Naar de nier stroomt 1/5 van de cardiac output. Dit komt neer op
500 - 650 mI. bloed per minuut voor iedere nier.
1.1 .5. lie!,king yag i.e_n~.f!,ogeg.
1.1.5.1. Ultrafiltratie.
De nierarterie is een vertakking van de aorta. De druk in de nier
arterie is daarom hoog en blijft hoag tot in de glomeruli. Daar is
hij ongeveer 60% van de aortadruk. Dat betekent, dat de druk in de
glomeruli veel hoger is dan de colloid-osmotische druk van de plasma
eiwitten; deze is 25 rom. Hg. Het gevolg is dat vocht uit de capillairen
van de glomerulus door de wand hiervan wordt geperst naar het inwendige
van het kapsel van Bowman. Dit proces noemt men ultrafiltratie. Het
is een passief proces. Hierbij worden weI water en zouten gefilterd,
maar niet of nauwelijks de grote eiwitmoleculen. De hoeveelheid
glomerulair ultrafiltraat bedraagt 120 mle/min.; dit is ongeveer 1/5
van de haeveelheid aangevoerd plasma.
1.1.5.2. Reabsorptie en secretie.
De rest van het plasma dat niet gefilterd is, stroomt via de vas
efferens naar het capillairnet, dat de proximale en distale tubulus
en de lis van Henle omgeeft. Tegelijkertijd stroomt het gefilterde
plasma, het glomerulair ultrafiltraat, via de proximale tubulus en
de lis van Henle naar de distale tubulus.
In de proximale en distale tubulus en in de lis van Henle vindt nu
tweeerlei transport plaats. Er worden water en opgeloste stoffen
vanuit de proximale tubulus getransporteerd naar de intracellulaire
vloeistof van de cellen van de tubuluswand , en van daaruit naar het
peritubulair bloed; dit noemt men het reabsorptieproces. 80% van het
water, veel natrium, It grootste deel van de fosfaten en aminozuren
en aIle glucose wordt uit de proximale tubulus gereabsorbeerd. Ook
uit de lis van Henle wordt nog water en natrium gereabsorbeerd.
Anderzijds worden er ook stoffen getransporteerd van het peritubulaire
bloed naar de intracellulaire vloeistof van de tubuluswand en van
daaruit naar het inwendige van de tubulus; dit noemt men het secretie-
proces. Dit proces, alsook het reabsorptieproces, is een aktief proces;
er wordt namelijk energie en ook zuurstof verbruikt. Het secretieproces
zorgt ervoor, dat o.a. de lichaamsvreemde stoffen zoals PAH (para-amino-
hippuurzuur) en Hippuran, uit de bloedbaan naar de proximale tubulus
worden getransporteerd. Hippuran is voor ± 70% aan proteine gebonden
en voor een klein deel ook aan rode bloedlichaampjes. Deze kunnen beide
niet door het passieve ultrafiltratieproces gefilterd worden maar weI
door het proximaal filtratieproces. Zolang de dosis niet te groat is,
worden PAR en Hippuran voor bijna 100% uitgescheiden.
-0-
De distale tubuli en de stijgende benen van de lissen van Henle zorgen
ervoor, dat er zoveel water gereabsorbeerd wordt, dat het volume van
de lichaamsvloeistoffen konstant blijft; wat teveel is wordt uitge
scheiden. (Dit wordt o.a. geregeld door het antidiuretisch hormoon).
De distale delen reguleren door selectieve uitscheiding ook de samen
stelling en de zuurgraad van de lichaamsvloeistoffen.
1.1.5.3. Ret juxtaglomerulaire apparaat (JGA).
De meeste corticale nefronen hebben speciale epitheelcellen, de macula
densa cellen, in het begin van de distale tubulus en tevens speciale
secretiecellen in een gedeelte van de bloedtoevoer en -afvoer. (zie
fig. 3) Ze liggen daar waar de afferente en efferente arteriool de
glomerulus binnengaat, respectievelijk verlaat. Deze twee soorten
cellen, behorende tot hetzelfde nefron, raken elkaar.
Ret JGA scheidt renine af, dat de spieren van de afferente arteriool
prikkelt. Men beweert, dat bet JGA onderdeel is van een teruggekoppeld
systeem, dat zorgt voor de autoregulatie Vrol het nefron; d.w.z. voor
het konstant houden van de glomerulaire filtratiesnelheid en van de
nierdoorbloeding. Dit heeft tot gevolg, dat de vertragingstijd van
een nefron, dat is de tijd, die verstrijkt tussen het moment waarop
een stof aankomt bij de glomeTI~lus en het moment waarop het van het
nefron naar de verzamelbuis gaat, vrij konstant is voor deze nefronen.
We kunnen dus stellen, dat de vertragingstijd onafhankelijk is van de
urineproduktie ofweI diureses
Men neemt aan dat aIleen corticale nefronen het JGA kunnen bezitten.
De doorstroming van de medullaire nefronenwordt geregeld door het
sympatische zenuwstelsel en het antidi11retisch hormoon. Ze hebben dan
ook een andere vertraging3tijd dan de nefrons met het JGA (zie Britton
en Brown blz~ 207 e.v.).
- q.-
fig. 3: het juxtaglomerulaire apparaat:
de distale tubulus raakt het vas
efferens en het vas afferens.
\ '
,', ..
De urine, die uiteindelijk gevormd is, komt via de verzamelbuisjes in
het nierbekken (ong. t ml./min.)
Vanuit het nierbekken gaat de urine naar de urineleider of ureter.
Door middel van peristaltische bewegingen wordt de urine naar de blaas
gebracht.
- Ie -
1.2. Mathematische beschrijving,modelbouw.
Hiervoor hebben we globaal de werking van de nier beschreven. Voor
ons is vooral van belang de verwerking door de nier van het radio-
aktief gemerkte hippuran. Het zijn voornamelijk de corticale nefronen,
die hippuran uitscheiden. Men stelt, dat ze verantwoordelijk zijn voor
80% van de uitscheiding van hippuran. We stellen de nier voor door
een groot nefron met zijn diverse processen:
l~PC;-::t:!!=---,-.(-)------~OUTPUT'ATERY J 51 T,I-S) I-F (I-S)(H)(i-K)· --+ VEIN
--------..,',///
Fdt.r i~-----'
~-p-;.llmQI 1
tubul. Cliis
fig. 4: model van hippuranuitscheiiing door een nefron.
(uit: Clinical Renography by Britton en Brown)
Een zeer Kleine fraktie 8 (+ 3%) van de input gaat via de vaten,
die het nierkapsel en de pelviswand van bloed voorzien, rechtstreeks
naar de outputader.
- De fraktie (1-8) gaat naar de glome~lli. Een fraktie F (± 6%) wordt
hier passief gefilterd. F is evenredig met de "glomerular filtration
rate", GFR. De fraktie F is klein vanwege de binding van hippuran
aan proteine (± 70%) en aan rode blJedlichaampjes (4-5%), die beide
niet door het ultrafilter van de glomerulus kunnen.
- 11-
De restfraktie (1-S)(1-F) gaat via de efferente arteriool naar de
peritubulaire haarvaten. Een fraktie K (+ 83%) wordt door de cellen
van de proximale tu'bulus getransporteerd naar het inwendige van de
tubulus. K is dus een maat voor de opname-efficientie van de proxi
male tubulus. Het secretiemechanisme van de proximale tubulus is
niet in staat al het hippuran uit het bloed te halen. Dit wordt
deels veroorzaakt door de proteinebinding en deels doordat het
mechanisme concentratieafhankelijk is. De concentratie wordt lager
naarmate het hippuran verder doordringt in het haarvat vanwege
filtering van hippuran en vanwege reabsorptie van water.
- De fraktie, die uiteindelijk in de verzamelbuis komt is gelijk
aan (1-S)F + (1-S)( 1-F)K•.
We definieren nu de extractieverhouding E als 1 minus de fraktie
in de output-ader:
E = (1-S) - (1-S)(1-F)(1-K) ~ 81,5%
Deze extractieverhouding is een belangrijke maat voor de werking
van de nier.
1.2.2. ye£.d~linB: ~a£ ~e_Iicha~m~vlo~i~t.2.f.f.e£.
Voordat we een model kunnen opstellen, moeten we eerst onderzoeken
hoe het hippuran door de rest van het lichaam verwerkt wordt. Daar
toe beschouwen we de verdeling van de lichaamsvloeistoffen over de
diverse ruimtes.
Het lichaam bestaat voor 50 - 70% uit vocht. Dit percentage hangt
af van de h06veelheid vet, die iemand heeft. Vetweefsel bevat weinig
vocht. Aangezien vrouwen relatief meer vet hebben dan mannen zal
voor hen het percentage dichter bij de 50% liggen.
Het vocht is over twee ruimtes verdeeld: een extracellulaire en een
intracellulai:re.
- /2--
De extracellulaire vloeistof is de vloeistof buiten de cellen en
omvat: het bloedplasma
de interstitiele vloeistof
de transcellulaire vloeistof (vocht in de hersenen, ruggemerg,
ogen, longvlies, buikvlies en spijsverteringssappen)
het lymfevocht.
De intracellulaire vloeistof omvat de vloeistof binnen aIle cellen
van het lichaam. Tussen de interstitiele en vasculaire ruimte vindt
uitwisseling plaats van water met de daarin opgeloste stoffen, met
uitzondering van de meeste eiwitten en sommige lipoiden.
Tussen de interstitiele en intracellulaire vloeistof vindt uit-
wisseling plaats van voedingsstoffen v66r, en afbraakprodukten van
de cellen.
De produktie van urine door de nieren kan opgevat worden als een out-
flow van water uit het bloedplasma.
Zoals al eerder werd opgemerkt, blijft de totale hoeveelheid li-
chaamsvocht gemiddeld konstant. Dit houdt in dat het volume van de
diverse compartimenten konstant is, en dat de totale inflow van een
compartiment gelijk is aan de totale outflow van dat compartiment.
Dit is van groot belang voor ons model.
~- -/ntrr;;jce//LlIQ/r - - -)1(- - ex tI"'Qce//ti/GI/r - - - - ->
~lIU ~ I'()., ~ I... ....... ......
~~ ~ ~
() ~ ~:IU
'cl ~~
,-,,'::'i ~
I~-....: ."lJ
~.::t- I.\)'\:) , ~, \) a
'i-J
~ ~ Ion 'i.JI \.l .V) "-J t ~
\I) ~ ~~
"C) , .... """'" lI) I '1 "
"') "- ~ \U~) .......... ~ \l) ~'l.l
~ 'lJ ~ l~ ~ ~ a.~ ~~ .~
~ Q, ~ ............... "'J ~
'-- --J... -'-_~ ____'_ .l.-__----l
fig. 5: verdeling van de lichaamsvloeistoffen.
- /3-
1.2.3. !!iEP:!:a:r§!l:ye£d~ling.
Hippuran, dat opgelost is in een vloeistof met dezelfde osmotische
druk als bloedplasma, wordt in een armader geinjecteerd. Door de
snelle bloedcirculatie en de goede menging in de beide ventrikels
wordt het hippuran in verhouding tot de samplefrekwentie zeer snel
over het hele bloedvatenstelsel verdeeld.
Vanuit dit bloedcompartiment vindt uitwisseling plaats van water
en stoffen, waaronder hippuran, met de interstitiele vloeistof.
Men neemt aan, dat er geen uitwisseling van hippuran plaatsvindt
tussen de interstitiele en de intracellulaire vloeistof.
Van de cardiac output gaat ongeveer 1/5 rechtstreeks naar beide
nieren. Deze scheiden het aangeboden hippuran voor het grootste deel
uit. Dit gaat via de ureter naar de blaas.
De verdeling van hippuran over het lichaam, zoals hier beschreven,
kunnen we schematisch weergeven zoals in fig. 6 is gebeurd (z.o.z.)
1. 2.4. licl!a1tings!!!oS!.el.
Aan de hand van dit schema kunnen we een model opstellen voor de
hippuranhuishouding. Dit model zullen we gebruiken voor parameter
schatting aan renogrammen van patienten met gezonde nieren.
Eij het opstellen van het schattingsmodel hebben we gezocht naar
een compromis.
- Enerzijds willen we zoveel mogelijk informatie (fysiologische
grootheden) uit het renogram halen. Daartoe maken we gebruik
van de parameterschattingstechniek. De funktie die het model
beschrijft wordt daarbij over de meetcurve gelegd, en er wordt
gezocht naar een best fit.
--ILj -
Interst,l./e-/e f- - - - - - ~b/oed-
11\ I
v/oeistof~-----
" T,II
IIh crace /luIQ/re Iv/oe/stof I
I/Jer/tl.fhl.t!Q/re !]/orneru /1
cCJ!JI/lat'ren
( //nks) ( hnks)If'>
I,II I.. 'II
jerI t:tlotllaire glomeruIt'I
cOjJi/IQ/ren
{,.echt:~} (reChCS)1'\I
(rechLs)
(recht'S)
(9 6.
(~ ~ iry eC'cJe
- - -~ ::.. welterflow 20hcler hp'p/..Irr:~J?
,~ <:. £..,;at.erflow I??et hifJpurOn
T _ it"9h :5!);rC1t/-e
-/~-
Het heeft echter geen zin om een gedetailleerd model op te stellen,
dat beschreven wordt door een gecompliceerde funktie, als de meet
curve (het renogram) veel ruis bevat. De parameters, die dan ge
vonden worden hebben een grote variantie.
- Anderzijds kunnen we een eenvoudig model opstellen. De parameters,
die we bij schattingen met dit model vinden zijn betrouwbaar, maar
nu bestaat de kans, dat er tussen de parameters en de fysiologische
grootheden geen duidelijk verband meer bestaat.
We starten met een eenvoudig twee e-machtenmodel.
De variantie en de fysiologische relevantie van de resultaten
van de schattingen met dit model bepalen of we het model verder zullen
detailleren.
We doen de volgende vooronderstellingen:
- de invloed van de niercapillairen kan verwaar100sd word.en.
- de nieren scheiden al het hen aangeboden hippuran uit (dat betekent
dat de voorheen afgeleide extractieverhouding E gelijk aan 100%
gesteld wordt)
- de volumina van en de waterflows van en naar de compartimenten
zijn konstant.
- op t = 0 (moment van injectie) is al het hippuran gelijkmatig ver
deeld over het bloedcompartiment (omdat de circulatietijd van het
bloed klein is t.o.v. de duur van een meetinterval.)
- aIle nefronen van 1 nier hebben dezelfde vertragingstijd; we maken
dus geen onderscheid tussen corticale en juxtamedullaire nefronen.
- de extracellulaire activiteit wordt verw&arloosd.
de menging van de nefronen wordt verdiskonteerd in de menging van
de pelvis.
Het schattingsmodel, dat we hiermee verkrijgen is getekend in
onderstaande figuur.
I. r i.'-oilb10edfJ /Qt>·I'J?Q.I-----:....:..:.=----~, ,,,let-oSc/i./ele
v!oeistofyoltt""e v.,.
I, (//#1k.)
I·JeJ-Miaidekle
vert,cuj/nq:s .I t:la de" l7efrom
( N!!t:hl;~)
!Ie "",/~r;lelcle
Vt:. t-t. rQ'j;h9Seye( a'erne!ro/rs
r - -
hierbekken.
pO!I.In,e Yd'P /00501, 6i' het .3 emGlchtehrYIoclel niet.
IJi het: .2 e- h-1achten·
moc;le/ lIerWQar-
;.;-- e'e inv/oecl Veln het.I
nierk eld..'en wordtI
I
I
I
1/
Creche:!» !
n leI"be.tken
vo/LtJ'¥1e Vt,-p
___1_ - - - Jr---------.J
( It'y,Ic~)I
I
I
IL _ _
r·r'f], 7 Schott./nqs mode/.
Het verkregen schattingsmodel bestaat uit:
- 5 volumina 1. bloedcompartiment
2. interstitieel compartiment
3. nierbekken linkernier
4. nierbekken rechternier
5. blaas
(v1 )
(V2
)
(V3P
)
(V4P
)
(V5)
- 2 vertragingslijnen 1. gemiddelde vertragingstijd
van aIle nefronen links (T3
)
2. gemiddelde vertragingstijd
van aIle nefronen rechts (T4
)
We gebruiken voor de fysiologische grootheden de volgende symbolen:
V.~
T
Gij=Gji
Q.~
= volume van compartiment
= vertragingstijd van nefrO!leD
= de waterflow van compartiment i naar j
= hoeveelheid hippuran in compartiment i
= totale flow van en naar bloedcompartiment;
Voor het schattingsmodel gelden de volgende beginwaarden:
Q1(O) = K : K = hoeveelheid geinjecteerd hippuran
Q2(O) = QT3(O) = Q3P(O) = QT4(O) = Q4P(O) = Q5(O) = O.
De hoeveelheid hippuran aanwezig in de blaas, Q5(t), kan gesplitst
worden in Q5,3(t) en Q5,4(t), hoeveelheden afkomstig van respectieve
lijk het linker- en rechternierbekken.
De vergelijkingen voor de hoeveelheden in de diverse compartimenten
kunnen afgeleid worden met behulp van een aantal standaardtechnieken
beschreven in "Compartments in Biology and Medicine". Deze berekeningen
zijn uitgevoerd door R. Haak (zie literatuur). Daze vergelijkingen luiden:
t ~o [.2J
o~ t< 7j ~)
t ~~ {it)
O~ t. <T'f (s)
t '?-lit (6)
O~ t. < 13 (1)- ';lJ(t -7i)
~.z 6.%. ) e • C) 73 (iP).:1;3 - AZ
f;,(t) :;
- 16'-
t~o' OJ
~4'P{t) = 0
6"i4fJ rt; = /" 6~
::I y - A,
&~3 (t) .. 0I
o~t<73 (/1)
o~ t. <~ ~2)
- Jq-
In deze vergelijkingen is gebruik gemaakt van een aantal mathematische
parameters, die als voIgt uitgedrukt kunnen worden in de fysiologische
parameters:
- 4 exponenten:
~. = ~[( t + ~:)+VC<;; + ~2)'-'t( q'J ~~. " ~)1~.5 = c;3~
ltjp
- 8 co~ffici~nten:
~6}
(; f))
OJ. = k (~I _Go) =AI - :l.l v,
aJ = -k 4'2-'A'-';\2 VI
- 1<. I(-~ r~ )-V(~ ~ ~t-ltCff4~Clo/ ~~) (2 I}
( 0.E....,. C;,2.).t _ ,,(C'~.+C;,o/ i\- C;,:z.v, V2. v, Vol
+k. c;":l.
k'A, - ').z
-2C '-
Oz _- -':41
v,
- 2 vertragingstijden:
T3 = vertragingstijd van de linker nier.
T4 = vertragingstijd van de rechter nier.
Voor de renografie is van belang het verloop van de hoeveelheid radio-
activiteit in de nieren. De stralingsdetector meet echter de hoeveel-
heid radioactiviteit, die uit de richting van d0 nieren komt en meet
derhalve ook de activiteit afkomstig van weefsel voor en achter de nier.
Verder dient opgemerkt te worden, dat de meetwaarden, die we zullen
aangeven met Mt . (t slaat op het sampletijdstip, i is een indikatie,J.
van het meetgebied),geen kontinue funkties van de tijd zijn. De detek-
tor telt gedurende een interval van een halve minuut de hoeveelheid
quanten, die uit de richting van de nier komt. De eindwaarde is ~~n
meetpunt en is de uitkomst van een integratie over het tijdsinterval
At. We kunnen derhalve schrijven:I)AC
M L • ~ fc.~ i {j/ ~j' {t)l crthlJc:// ' 1. \Je l
(h-I)At
(~8)
Hierin is: Q.(t) de hoeveelheid hippuran in compartiment jJ
f .. de fraktie van de quanten, die afkomstig zijn uit comJJ.
partiment j en meegeteld worden bij de meting in gebied i.
C 18 de omrekeningsfaktor hoeveelheid hippuran - aantal quanten Q
- :!./-
Voor deze integratie maken we gebruik van de midpointregel.
Daarom voeren we in t' =(t - iAt) met t = nAt; n = 1,2 ••• 41; t = ~ min.
Er zijn vier metingen mogelijk:
1) Bloedplasma en interstiti~le ruimte:
2) Linkernier + a.chtergrond:
(2q)
3) Rechternier + achtergrond:
4) Blaas + achtergrond:
1'1t,,,, ~ CAt \ /~.", Q~(tJ -I-!", fi, (0,. (2,. {}2 a1 jOmdat de detector het hele niergebied bestrijkt geldt:
f T3 ,2 = f 3P ,2 = f T4 ,3 = f 4P ,3 = f 5,4 = 1.
Na invullen van de vergelijkingen 1 tim 15 krijgen we de volgende
vergelijkingen:
- 22-
[ j; - ~d'] t o~t<I't {35}bl( + {-bit -f- j:3 (), f- 23 r4j) e
L:Jt.c } [_ 63 f- b~~lj e ">,,TI( f- {3Qf + {z3 Q3 Je_ Aft J
I'1t ,3 -:: +':\Y-AI
[- b't +'h~;; ~ ] - ~zt 'by Ai( e -f /J (12. of 23 CI'f e of
';\ 'i- AI
_ [ 'At 63 + ~2. b" 1 e- ~ • u - /4.) i c~T't (31)';\lj- 'A I ?tt - A~ J
Mt 4 is voor ons onderzoek (nog) niet van belang, omdat het erg moeilijk
is om uit dit signaal kwantitatieve informatie te halen. Desgewenst kan
Mt 4 gevonden worden door de vergelijkingen 11 tim 15 in te vullen in
vergelijking 32.
We zullen gedurende dit onderzoek voornamelijk te maken hebben met
Mt 2 en Mt 3. Omdat Mt 3 analoog is aan Mt 2 beperken we ons bij de
nu volgende beschouwing tot Mt 2.
We nemen aan, dat de frakties van het bloedcompartiment en inter-
stitiele ruimte, die door de detector gezien worden, vrij klein zijn.
Stel f 12 = f 22 = O. Dan vinden we de benadering voor het renogram:
/'1(2.( _p~tJ) ( -PlIt)
o~t<?5" (39):::: Pi I-e ff3 I-e
!'1t ,i.(f:lfJ!" I!-z eP:J.!1r) - ~2 t'
= 'pI e - / of - e. 1-/6-12
,P ( ;tf~ fJLt e. fJ'IP~) -I'll t'J e - I r /-- - e f-
16 -1'1( -jJ6 a-rJ t~?~ (39)flfh +- f 3/'7 ) e
fJ6 -/2 f6 -/2
Hierin zijn P1 tim P6 de parameters van het schattingsmodel. Er geldt:
P1 = ~ t. b 1
P 2 ='). 1
p3
=At.b2
P4 =).2
Ps = T3
P6 = ~ 3
(~o)
(t-il)
( '12)
(¥3)
(tt'l)
(0/6)
pelvisvolume.
flow van bloedccmpartiment naar
volume interstiti~le vloeistof.
renal plasma flow RPF.
v - 3 liter1
V2 = 15 liter
V3P = 5 mle
G13 = 500 mle/min. = G
14
G12 = 1 liter/min.
Met de volgende gegevens berekenen we P1 tim P6:
volume bloedplasma.
interstiti~le ruimte.
G35 = G
45 = 2,5 mle/min.
T3 = T
4 = 2,5 min.
G10 = G12 + G13 + G14 = 2
K = Q1(0)
We vinden:
P1 = 0,14.K
P2 = 0,03
P3 = 0,11.K
P4 = 0,70
P5 = 2,50
P6 = 0,50
helft van de gemeten diurese.
gemiddelde vertraginstijd der nefronen.
lit./min.totale flow uit bloedcompartiment.
hoeveelheid geinjecteerd hippuran.
Met deze waarden kunnen we een "renogram" genereren. 1)e amplitude
hiervan is afhankelijk van de hoeveelheid gelnjecteerd hippuran K.
Omdat bij de patienten deze hoeveelheid sterk varieert, normeren
we de renogrammen op een maximale amplitude van 1, wat ons in staat
stelt de parameters van verschillende renogrammen met elkaar te ver-
gelijken.
Bij de schattingen gebruiken we straks respectievelijk een 2 e-machten-
model (daarbij verwaarlozen we het compartiment van het nierbekken,
zie fig. 7) en een 3 e-machtenmodel (daarbij verwaarlozen we dit
compartiment niet).
De berekende P1 is O,14.K
De berekende P3 is O,11.K
Voor het 2 e-machtemmodel vinden we de genormeerde parameters:
P1 = 1,3
P3 = 1,1
Voor het 3 e-machtenmodel vinden we ~e genormeerde parameters:
p' = 1,13
Het met het 2 e-machtenmodel gegenereerde renogram ziet er als volgt uit:
It>
I:
]I:
-'--'--'--.........----.L-'---'-......' -;.-,---:'::;,=::;:.:::4'F""i~_,.......,,.-,.-.....·-.-....- .....-"r--<"'......,--...----r--r-~
- 6 , ~ N 4 ~ " ff ~ 7 ~ ~
.,.....--------~"":::::-=::::::~=~------.---...........-.-4,'_'__' ~.>-+. ......- • • eo --e .. • • '--.--...-.....--.
fig.9: op 1 genormeerd renogram (2 e-machtenmodel).
Het met het 3 e-machtenmodel gegenereerde renogram ziet er als voIgt uit:
I:
lZ:
'/.e
q
1.6
/'0
/.3
1.1
1.0
0.8
0.5'-
(>.}
0.1
",0
-o..J
-0.7
-0.$
-0.9·-
-/.()
-1./
-1.1
-I.J
-I.¥
-I.~
-1.6 I
!~I
*"'"" I .----
'" ~' '" " 7 ,4' 'f U -7 ;,."it.
fig. 10: op 1 genormeerd~renogram
(3 e-machtenmodel).
Als we de beide modellen met elkaar vergelijken, zien we dat het
3 e-machtenmodel goed overeenkomt met een echt renogram. Het 2 e
machtenmodel gelijkt niet zozeer op een echt renogram vanwege zijn
spitse top.
We starten toch met schattingen met het 2 e-machtenmodel om het
schattingsprogramma te testen.
Op grond van de theorie verwachten we dat voor dit vereenvoudigd
model -de variantie van de geschatte parameters klein is
-de parameters niet om te rekenen zijn in fysiologische
grootheden.
Daarna voeren we schattingen uit met het 3 e-machtenmodel. We zijn
in onze opzet geslaagd als.
-de variantie van de parameters voldoende klein is
-de parameters omgerekend kunnen worden in fysiologische
grootheden.
Hoofdstuk II. Meetprocedures.
11.1. Principe van de meting en de gebruike apparatuur.
Voordat we overgaan tot toetsing van het hiervoor beschreven model
is het nodig, dat we eerst iets afweten van het meetproces om straks
de schattingsresultaten op een juiste wijze te kunnen beoordelen.
We bespreken achtereenvolgens: de eigenschappen van het 1131; de
gebruikte apparatuur en verschillende meetprocedures.
Uit een fles met een fysiologische zoutoplossing, waarmee het 1131
hippuran vermengd is, wordt met een injectiespuit van 2 mI. de toe
te dienen dosis gezogen. Als injectievloeistof heeft men hippuran
gekozen, omdat het een lichaamsvreemde stof is, die uitsluitend en
volledig door de nieren wordt uitgescheiden en niet meer voorkomt
in de nierader. Het hippuran is gemerkt met de radioactieve stof
1131 (soms gebruikt men 1123).
De eenheid van stralingsactiviteit is de Curie. Een stof heeft een
aktiviteit van 1C als er per sec. 3,7.1010 desintegraties plaatsvinden.
Het isotoop 1131 zendt daarbij zowel j& als r stralen uit. Het desinte
gratieschema van 1i31 is in fig. 11 weergegeven.
IJII ·6J
________________.,_+~lt
/4/
Xe ·5';
fig. 1~; desinteeratieschema van 1131.
_ ?ofJ.-~ .
De horizontale lijnen geven de verschillende energieniveau's aan dle
ontstarol nadat het 1131 j3quanten heaft afgestaan. Eij uitzending van
rquanten komt de gehele energie van het desbetreffende niveau vrij.
Energieen van de verschillende straling:
/) 1250 KeV 2,8%
/b .2'2, '7, t; KeV 9,3%.,,1 ~,.,'
,g - 61C KeV 879 2%I 5
812KeV 0,7%
{1 722 KeV 2 9 8%
(2 637 ICe-\;- 9,3%
(3 364 KeV 80,9%
f4 284 KeV 6,3%
rS 163 KeV 0,7;10I
(6 80 KeV 6,3%
E1.J ui 'cH:!nuige meting van radioactivitei t binnen in het lichaam d€'1~1:-'
teer"G men alleen de )" quanten; deze hebben ee~ groot doordringend ,,';r-
mogen in tegenstelling tot de j3 quanten.f
h · . r (r .... qd'l,J.ervan J.s 3 \C.J,,/-;,: deze neeft €9n q~antumenergiG van 364 keY.
Bij de wisselwerking tussen deze (straling en materie treden de y: 1-
gende processen op:
I
1) fotolelectrisch effect: volledige absorptie van een r qua.ntum.
2) compton verstrooiing: onvolledige absorptie van de energi6 van -,er
(quantum gepaard gaande met een richtingsverandering van het u~ar
door minder energierijke r quantum.
3) klassieke verstrooiing: richtingsverandering van het onverzwakte
rquantum.
Door deze effecten kan men uitwendig nooit exact meten hoeveel 1131
er in het lichaam aanwezig is.
--29-
De halveringstijd van 1131 is ongeveer 8 dagen, zodat de stralings-
energie van een dosis 1131 konstant verondersteld mag worden gedurende
een test van ea. 20 minuten.
De dosering is afhankelijk van het lichaamsgewicht van de patient. In
het Catharinaziekenhuis te Eindhoven houdt men aan 2/3~C/kg. lichaams
gewicht.
Bij deze dosis is de toevoer naar de niertubuli vele malen kleiner dan
de maximum uitscheidingscapaciteit van de nieren. De dosis in de spuit
aanwezig wordt eerst gemeten. Opgemerkt dient te worden dat deze meting
niet erg nauwkeurig is (absolute fout 5jlC).
11.1.2. ~e~t§P~a~a1u~r. (System 70 Scanning Gamma Camera)
Hieronder zien we een blokschema van de gebruikte opstelling.
QYJU/y
,s"(;1 tOr.-
I kr, sta/r 005 te rVi ...---
(oto Mulbpl, - /,'nec;1
CaLOr hYI [) -4 ve,- ')'}
I(e".
fig. 11: blokschema van de meetopstelling.
De meting van de r straling geschiedt met behulp van een scintillatie
kristalrooster. De patient neemt plaats voor dit rooster, waarbij men de
hoogte ervan zo instelt, dat het hele niergebied bestreken wordt.
Het rooster is een matrix, opgebouwd uit 14 rijen en 21 kolommen.
Als zoln kristal een yquant invangt produceert het een lichtquant
(zie mechanisme 2 op de vorige bIz.)
- Ongeveer twee uur na de 1njeotie vindt een 8 minuten durende
motin~ plaats met de voorheen beschreven apparatuur. Het resultaat
10 len nieraoan (zie fig. 13), die gebru1kt wordt om onregelmatig-
had en op te eporen in de oortex en tevens om vast te stellen,
waar de nieren preoiee liggen.
fig. 13& nierscan.
- De volgende dag wordt het renogram opgenomen. De patiijnt urineert
en drinkt daarna 750 ml. the~ of water. De patiijnt gaat voor de
oamera zitten. Van het nog aanwezige Technetium wordt de aktiviteit
met een quantumenergie groter dan 220 keV. gemeten. Bij het op-
nemen van het renogram worden de meetwaarden hiervoor gecorrigeerd.
Bij deze meting ziet men waar de nieren liggen, zodat de kristallen
die 1n de niergebieden liggen gemerkt kunnen worden (rechts 1, '
links 2; zie fig. 14).
-3/-
-21-19-17D?4c~
~5-13-11--9--7--5--3-1
.....-.-.._~- ......... -.........--.- ............ ~. . - - • • • • • • - • • • • • • • • -. 1 -I 1 ••~ 1·."....,.....1.. • -":l~ • - • • • • • • • - - • • • • • • • • ~ ~ ~ ~ • J • • • •
• • • • - • • - • • • • • • • • .. II • -''')OIo.ttCio.C,. • _• • • . . _..... ---......... ~ .. "" ..•. ····'-·-···1-1 11 ••....... - --- 4... 1 t····
•• __ ••••••••••••••••• ,*6.~ •••.~ 4.- . _~ '_~ # ~ • • • • • • • • • • .~.~.~ •• _ ••••
• . •- ..... - _. - c:......j?,. • • • • • • ••• 1 1 1 1 •. 1 • . . .. ~ ~ ~......... ~
• • • • • • - .. • - • .. - • - .. • • II • • ."CIIOOaactC~a.:.c," .> • - •' •••..• .,.f> .. I11" f'. .-_ ... • .--;::-·2 • •• " •• _1 ... - ••.
~ ~ ~ ••1~·.·.-_·.~~~~~........... .
~ .... . ..~
j~I~~il~~2 .... ·- .. 1.1~ • • • 0 - ~ • ~ ~ ~~~.c~..... . -....
~~~~~ ... • ..... ., • f'~ ~ •• " ••••• ' ••••••4 1
• • • • • . •• • • ·'lIC1ar:.. • • .. • • • • r ~ •--:> ••••• •• .. 1·1~ ... . . .. ~ ~ ~
····-·-·····~~DDGO~~~"'w. =-~. -4.·..._-'" -. • ••..•. -1.1·. -. ~ . - . ~ . . . ~ . , ~
f... Jo • • • • .. • • .. • • • - • .......I"'o.I"'5.l"i.l"I.l-,
• • • ~ ~ .. oM .. • .. _ _ • • ". .. "'__~~W"I.:...... .2·---·-·-··1.1_ a • • ~ ; ... - • • • - - • • ~ # ~.. ~ . ...-- . . . . . -- . ...... .· . . • • .-:;;:>-.. ~-'" . ... .. - . .. . . .. .. -- .., .. . .
• .. • .. • ~.~# • .. • • • • • • • • -. • 1 • 1 • 1 • .• • - • • _ • • • • .. • • • ~ ~ 6. # ~ • •
f ·· · · ~ · · · . .. . · · · · - ..........~ . ... - . . .... -- ., .... - .. - ..---.-........ ·.·~·.·.·.·~-~·o·• • • II••,-. -:;;:> • 2. - _ .
. ~ .. ~~~ ~ ~ . - ~. .....--. - . ............... -.....-.7e? .••.•... . ...--:. .:--. .. . . - ... . --..
HMLKJIHGFEoCB 1:A
fig. 14: scintillatierooster met gemerkte gebieden.
De patignt krijgt een injectie met hippuran 1131 (ongeveer 50 C).
Op hetzelfde moment wordt de apparatuur gestart. De pulsen af-
komstig van ieder kristal in bijvoorbeeld gebied 1 worden gedu-
rende een halve minuut gesommeerd. Dit levert een meetpunt. Een reno-
gram (fig.15)bestaat uit 41 van dergelijke meetpunten. De appa-
ratuur is in staat am 4 meetcurven op te nemen. Dus behalve de
2 renogrammen kunnen curven opgenomen worden van nog 2 gebieden,
(zo kan de weefselactiviteit gemeten worden).
Na de meting urineert de ~atHint ::n €Jen ITH·.l8.tkolf. Men kan zo onge-
veer bepalen hoe groat de diurese was tijdens de meting.
- 3.2 -
Ongelijkheden in de kristallen worden ondervangen door de meetop-
stelling te calibreren met behulp van een "flat pool". Dit is een
plaat met een homogeen verdeelde radioactieve stof.
De intensiteit van de lichtflits afkomstig van een kristal is even-
redig met het aantal ingevangen quanten. reder kristal is optisch
gekoppeld aan de fotokathode van een fotomultiplicatorbuis. Het
ui tgangssignaal hiervan is een elektrische puIs. I'let behulp van een
pulsteller, waarop pulsbreedte en pulshoogte kunnen worden ingesteld,
worden de uitgestraalde quanten geteld. Hierbij zorgt men ervoor, dat
aIleen de quanten afkomstig uit de richting van de beide niaren worden
meegeteld. De collimator absorbeert narnelijk de quanten met een kleine
invalshoek. De drempel van de teller i-Iordt zo ingesteld, dat aIleen
~ quanten met een energie groter dan 220 keY. worden geteld. De hier
gebruikte gamma quanten hebben een energie van maximaal 364 keY.
De pulsteller wordt gekoppeld aan een schrijver, die om de halve min-
nuut het aantal pulsen weergeeft afkorustig van respectievelijk de
linker- en de rechternier. De verzameling van de meetwaarden noemt men
het renogram.
We bespreken achtereenvolgens twee procedures:
1) de methode, die gebruikt wordt in het St. Catharinaziekenhuis te
Eindhoven.
2) de zogenaamde CABBS methode.
r1.1.3.1. 11ethode gebruikt in het St. Cai:;ha1.inaziekenhuis.
- E~n dag voor de eigenlijke meting wordt de pati§nt ingespoten met
een vloeistof, die glucoheptonaat bevat gemerkt met Tc 89m.
Te~hnetium 89m. is een radioaktieve stOT', die gamma q~anten uitzendt.
Ret glucoheptonaat hoopt zich op in de cortex.
[ ~ ~/n.
.p123456"789
101 1121314.151617181. 9202122232425262728293031323334
- 33-
QanCQ/ COt/hCS
L,. 9040 352604 363360 373752 3S3999 394385 404474 4144783995349631042705264123232347215921862'31231851179416681608152416111577154514631301129913601295128e12331237
TOT CNT
10sa1185106a1147116710221071
86349
68697071727374
fig. 15: het renogram van de linkernier.
11.1.3.2. De CABBS methode.
De voorheen beschreven methode heeft het nadeel, dat behalve de acti-
viteit afkomstig van de nier ook die van het weefsel voar en achter
de nier geteld wordt. Bij het opstellen van ons model hebben we deze
activi tei t verwaarloo·3d. Dit kan s"traks moeilijkheden a;even bij dE
schattingen en de verwerking van de schattingsresultaten. We bespreken
daarom een methode, die het renogram corrigeert voor deze achtergrond-
activiteit.
Bij de CABBS (computer assisted blood background subtraction) methode
gaat men als voIgt te werk. Men injecteert voor het nieronderzoek
een hoeveelheid radioactieve stof, die niet door de nieren wordt
opgenomen en/of uitgescheiden. Men gebruikt hiervoor een dosis van
+ 10~C RIHSA , radio iodinated human serum albumin. Na ongeveer
5 minuten heeft dat zich stabiel verdeeld over het lichaam. Men meet
nu de activiteit met drie detectoren: een voor de rechternier, een
voor de lir-kernier, en een voor de subclaviculaire regia (gebied
direkt onder het sleutelbeen). Men kan nu de verhoudingen bepalen
tussen subclaviculairepen rechternieractiviteit en tussen subclavi-
culaire en linkernieractiviteit. Met dit meetresultaat kan men de
aftrekfaktor bepalen. De " a ftrekfaktor" van een bepaalde radioactieve
stof op een bepaald moment na injectie in een patient, is dat getal
waarmee de straling gemeten met de subclaviculaire detector vermenig-
vuldigd moe~ worden om een waarde te krijgen voor de straling van de
bloedvaten en het weefsel in het niergebied.
We vinden twee aftrekfaktoren FL voor de linker- enFR voor de rechter
nier. A~ngen0men mag worden, dat F1
en FR
konstant zijn in de tijd
en gelijk zijn voar RIHSA en hippuran. Om bij het o;nam~~ van het
~tjSnt - :. -evonien ~et de RIHSA ~ethoae, e~ trakk~n a~t 2) ~e
:<",nts i2,"F:neteil met de nierdetectoreJ.l. Ui t uJ.tvoer.ige me·i:;in.g'Em v;O.:.J.
r _0on en Brown id gebleken, dat vaal' de verwachtingswaarde gelrtt:
1; - 0,89 met standaarddeviatie () "H' = 0,39~.
-1
E (.", 1 -- 1 , () 3 met standaarddeviatie vFR = 0,42. ,e;,'
E .1-''''' 0,88 met standaarddeviatie (jFT/Fp 0,29.L1 J! = =L L
-35-
Opmerkingen:
Bij deze meetmethode wordt geen gebruik gemaakt van de Tc 89m
injektie voor de nierscan.
- Men maakt gebruik van 3 afzonderlijke detectoren. Aangezien de
nieren niet gelocaliseerd zijn, worden de detectoren gewoon op de
niergebieden gericht. De camera's bestrijken een vrij groot gebied
maar dit is niet erg voor de correctie voor achtergrondactiviteit.
- 36-
Hoofdstuk III. Informatieverwerking.
Bij de beoordeling van het renogram maakt men in het St. Catharina-
ziekenhuis te Eindhoven gebruik van de volgende gegevens:
1) piektijd van het renogram, T •P
2) percentage, dat na twintig minuten nog aanwezig is in de nier,
de retentie. D.i. (meetpunt 41/topwaarde)x100%.
3) halfwaardetijd. D.i. tijd waarop de activiteit nog de helft bedraagt
van de topwaarde.
4) steilheid eerste fase. Maat hiervoor is: (meetpunt 2/topwaarde)x100%.
5) helling tweede fase genormeerd op de topwaarde. D.i.:
(topwaarde - meetpunt 2)/(tijdsinterval x topwaard~).
Omdat deze methode weinig informatie verstrekt over de toestands-
grootheden van de nier, vroeg men ons om te trachten meer informatie
ui t het renogram te halen met behulp van de compm;er. Daartoe hebben
we het verloop van de hoeveelheid hippuran aanwezig in de nier beschre-
ven d.m.v. een aantal e-machten. Hieruit afgeleid zijn de meetwaarden
Mt 2 en Nt 3 van blz.2/,
De procedure is nu als voIgt: men voert de meetwaarden van het echte
renogram en de theoretische renogrambeschrijving ft~) alsmede begin
waarden voor /'31 tim p6 toe aan een programma op de computer. Er geldt:
~ (/1) =13'{/- e-;3z.1:)+j33{ I_e-/J<ttj 0$6:'<,85 (1.(6)
I ('A 1 _ ~ (J6:.J6" 11.1. e,82J~) -,4z C1
6 F) - /'"" e - / ~ /:._- e -r136 -j3z
Let weI: In voorgaande vergelijkingen gebruiken we links van het
gelijkteken de index t en rechts van het gelijkteken t 1• Dit komt
doordat de theoretische meetwaarde op het tijdstip t is afgeleid uit
de hoeveelheid hippuran aanwezig op het tijdstip t'; waarbij geldt:
t l = t - ~.6t
t = n.ot
metA t = ~ min.
me t n = -1, 2, 3, ••••• 41
De computer genereert nu m.b.v. fty£) een theoretisch renogram en
vergelijkt dit met het echte renogram. Door iteratieve verandering
van de coefficienten en exponenten van fty~) wordt gezocht naar een
best fit. Als deze gevonden is moeten we trachten uit de gevonden
parameterwaarden p. = crt·· -;1;6) T de gezochte informatie te verkrljgen.
We bespreken nu achtereenvolgens:
1) het computerprogramma.
2) resultaten van schattingen aan 52 renogrammen van 26 patienten.
3) verwerking van de resultaten.
III.-1. Beschouwing van het comnuterprogramma (berustend op het principe
van Marquardt).
Bij de curve fitting maken we gebruik van het principe der kleinste
kwadraten. D.w.z. we moeten minimaliseren:
Hierin is: Yt de gemeten waarde op tijdstip t = n4t.
ft(ft) de theoretische waarde op tijdstip t = nAt.(z.o.z.)
gebruikt: Wn
- 30- -
W zijn weegfactoren" De keuze hiervoor is gebaseerd opn
het feit, dat de gemeten waarden een poisson kansdicht-
heidsfunktie beantwo orden. Een treffende bespreking is te
vinden in Dell e.a. (zie lit.). De conclusie definieert:
1W = / Y I. Per abuis is in het rekenmachineprogramman nLlt.
= 1/VY~~ De resultaten zijn daarom beperkt
(interpreteerbaar.
Er zijn verschillende methoden omp te minimaliseren. We bespreken er
hier slechts twee: de gradient-methode (Steepest Descent) en de Gauss-
Newton methode. De methode van Marquardt is namelijk een kombinatie
van deze twee methoden.
We bekijken de hoogtekaart van een error-funktie~,diehier getekend
is voor een twee-dimensionaal geval.
I, . --~f,
fig.16: hoogtekaart van de error-funktie ~.
(0)
Bij de gradient-methode lopen we vanuit een bepaald startpunt~ via
een traject, dat in ieder iteratiepunt loodrecht op de bij dat iteratie-
punt horende hoogtelijn staat naar het minimum.(~is een schatter van p).I -
De vek-tor, die lood.recht op d5 == kOrJ3tant St21.t in het runt 16 (r) is;I /-
- 30-
Het bij deze gradient-methode horende algoritme luidt:
ofwel:
(5"0)
Hierin is ~ een kanstante grater dan 0; de stapgrootte is afhankelijk
van ~ • De stap mag niet te groot zijn vanwege de kans op oscilleren
rond het minimum. Naarmate het minimum dichter benaderd wordt, wordt
A dan ook grater gekozen. Het iteratieproces gaat door totdat een
Ll~(r) gevonden wordt, die relatief erg klein is.
We moeten minimaliseren:
p=
Hierin is: Yt
de gemeten waarde op t = nAt
ft~) de theoretische waarde op t - not
W de weegmatrix : wn = 1/{Y~t!
? is een funktie van de parameters 11 t/m;1J 6' f> is minimaal als
voor k =1 •••• 6
ofwel als:
1"
-L. r '"r1)}I / :'" c: -1_ voor k = '1 ••• 6
We nemen nu aan, dat het model de werkelijkheid exact beschrijft. Dan
geldt:
waarin: - f t dezelfde funktie is, die gebruikt wordt voor het
bepalen van de theoretische waarde ft(~).
- E = (P1 ••• P6)T de parameterwaarden zijn, die het renogram
beschrijven en die we d.m.v. parameterschatting trachten
te vinden.
- n t is ruis.
(s~)
We verwaarlozen nu 1e invloed van de rUls op de parameterschatting. De
invloed ervan onderzoeken we later bij model- op modelschatting.
Als de afstand (E -~) niet te groot is kunnen we de meetwaarden ft(E)
in een Tayllorreeks ontwikkelen rond het punt~ in de 6-dimensionale
ruimte. We krijgen dan:
(oS")
Als we deze vergelijking invullen in vergelijking (53) dan vinden we:
~ W n tYi -PLft)} dit tt?)~~/ Ofk(K:., .... 6)Hierbij hebben we de hogere orde termen 'rerwaarloosd.
Noem de eerste term gk' dan geldt:
~6)
_ L/I_
Dan wordt (56) als voIgt in matrixnotatie geschreven:
r~:t_oflTl/jf: WI
Hd~~ g~;t1II -/z I q/----O~I
~7)I
,
lCJf,,,t O!IfI.At 20r,L1C ;) f'tl.e.t-- .-L----
O/,6 ~;6 W'!I--- ¥6 jJ6 -(36 ~al'L
OfweI:
Als de beginwaarden ;,gco) en de meetwaarden y bekend zijn, kunnenr t
pT) W, P en g berekend worden. We kunnen dan oplossen:
We vinden een nieuwe parametervektor:
(bO)
(61)
~ ~Deze vektor I is een betere benadering voor 12. dan;1 • (de afstand
(£ -;1) wordt hierdoor kleiner en ook de fout, die we maken door bij
de Tayllorreeksontwikkeling de hogere orde termen te verwaarlozen).
;1cd/_ gebruiken we als beginwaardehvektor voor een nieuwe iteratie; los op:
fJ (f ) 11. (I J (i)~;.:J .=.:!Jr -
Dit iteratieproces gaat door totdat er eenA~ gevonden wordt, die t.o.v.
~ erg klein is, zodat aangenomen mag worden, dat het minimum van .f bereikt
is.
- '1'2-
De gradient methode arriveert snel in de buurt van het minimum
van 9" maar convergentie naar het uiteindelijke minimum vereist
een goede controle voor de stapgrootte van de correctievektor.
Dit vereist veel iteraties om bet minimum te bereiken. Aan de
andere kant gaat de Gauss Newton methode betrekkelijk langzaam
naar de buurt van het minimum van .¢ en is gau.w geneigd te gaan
oscilleren of divergeren als de begeinschatting te ver van de
uiteindelijke oplossing af wordt gekozen. Echter eenmaal in de
buurt van het minimum gekomen, convergeert deze methode snel
en efficient naar het minimum. Marquardt heeft daarom beide
methoden gecombineert.
1,a (r)~;- wordt gevonden door op te lossen:
Hierin is ~ een mengfaktor tussen de Gauss-Newton methode en de
gradient methode , en I is de identiteitsmatrix.
Als ~ klein is (bijv. 10-6 ) dan is de procedure gelijk aan de
Gauss-Newton methode.
De numerieke eigenschappen van de convergentie worden verbeterd
als we de A matrix en g op de volgende manier schalen:
akk , ·- (akk,/V~k {ak'~')·-
gk ·- (gk/Vakk) •.-Li~ (to) wordt nu op de volgende manier gevonden:
k= /. _. b
(/J (r) f -) ;err) *''I .L) LJ.l + A -
(r) "1;
9
~ ern) /J (r)IV.*. :.:: Iv/( -f
--:>. 7 I ' "= I' Wl'kk.
voor k == 1••• 6
De moeilijkheid bij deze methode is de keuze van een geschikte ?
bij i edere i teratie.
J3J."J" de r de 't t' b hJ. era J.e ge eurt et volgende:
Met behulp van de beginwaardenvektor1-(") kunnen we berekenen 1r) en
f?; ') moet daarbij zo gekozen worden, dat .rf({~IJJ kleiner wordt dan
;r::, (" (~). D dr ~ e proce ure, die hierbij gevolgd wordt is in het schema van
fig.17 samengevat. Hierbij gaan we ervan uit, dat de (r_1)de iteratie
is uitgevoerd met de juiste ~
(r_I/:ile it.en:;tie,..----_ .._--_._---.,-----------------------------,
rae
f/(r-I)
!/(r-I)
~ (r-I)
~el'e.teJ7 hierHoee
L1.;§ (,.. -I)
l.3en~keh h/~""'ee
(J,(;) Atr - ,) (r-1)I:: :: I:: -f Ll(!
IJ Cr) IJ rrJ /) I~)
g{r) q 0') i g(I')
~ (f'-II£.' ~ C,..-I) ~U -I). J) W
6ve.J:e" ""e,."",ee ~erekeh h/eo»ee &;eke~ J.lI'en'.,ee
11/E 1 t,.} I AA z (r) A;E /-,..)Bereker. hierWlee I 8el'e,ken h/ermee be;eJceh tll'e;mee
,) I, I) ( ) ~ CNI) t") (I')ll;r~II-:;:.J!/"~ A;§/I-J I j§/I'-rl):.~l" -f Aj}z" r~ 3 = t J + AeJ
13ere~el? J1Ie;w.ee &relceh hlQo'Hee .Be;eke", hienJ-1ee lJereA:en hie;mee
'i (r) ;:: ep (r) ~Ij"')) P (;2 /".,1) ) I P{;§' ~/I'._""I)_)__.-=----=.P_(_fE-;--;--i~_'t'_:_)):-;------1I heel?? I/{)Or ~(r) o!ie ? wOOrVOOt j> <: 1l"J{;1:(~1.'-.-------- _.- ---._. .. ._-=-_-=-_.::..1-_=-__-:....--1.
keuze. I
JJ =kOh~tQl?t
W~II.2,J····
Theoretisch is het iteratieproces klaar als4}2 = 0, dan is ook £ = o.
In de praktijk maakt men gebru.ik van een passend stopcriterium:
:: / ... 6
Co) 5 0- -3We nemen evenals Marquardt: 'A = 0,01; 11= 10; c= 3.10- ; {. =10 •
op de volgende bladzijde vindt u het flow diagram van het schattings-
programma, dat bek~st op het principe van Marquardt.
Een complete listing van het computerpxogramma treft u aan in de
appendix.
flO I-V
stof:Mocr"x All'-s Jingu/ier
nee
r------"'-----sto~ : lin e",;" -Qppli(and prr'1> tf rtJ
'-----------
111.2. Resultaten van schattingen aan renogrammen van patienten
met gezonde nieren.
Bij de informatieverwerking maken we aIleen gebruik van renogrammen
van 26 patienten met gezonde nieren. We hopen zo 6 parameters te
vinden ~1 timf 6) voor elke patient, die we later proberen am te
rekenen in fysiologiscne grootheden.
Patienten met gezonde nieren zijn mens en bij wie renografie is
toegepast vanwege klachten, die wijzen op een nierafwijking, maar
bij wie geen enkele afwijking .is geconstateerd. Dat wil zeggen ze
hebben een normale nierscan, een (op het oog) gezond renogram,
goede nierdoorbloeding en er zijn geen grate verschillen tussen
het linker- en het rechterrenogram. Omdat de amplitudes van de
renogrammen van verschillende patienten sterk va-v.-ieren, normeren
we aIle renogrammen op een maximale amplitude van 1. Uit de ampli-
tude van het renogram kunnen we tach geen informatie halen, omdat
de omrekeningsfaktor van aantal counts naar aantal mI. hippuran
a~~wezig in de nier niet berekend kan worden.
We voeren achtereenvolgens 2 schattingen uit. Bij de eerste schatting
gebruiken we een 2 e-machten model. Daarbij verwaarlozen we de
mengkamer van het nierbekken. Als V3P
= 0 (zie bIz. /6 ) dan wordt
(j6 =t~.I
Bij de tweede schatting maken we gebruik van een 3 e-machtenmodel.
Hierbij verwaarlozen we de mengkamer van het nierbekken niet.
Het renogram wordt benaderd door de funktie:
Als beginschatting voer j6; tim(3s nemen we de experimenteel gevonden
goed funktionerende vektor:}i{~= (4,4 0,06 0,75 2,0 2,5)T.
". . d . t /l {o} . t . .1:Jl J renogrammen, 1e me h2 n1e convergeren naar een m1n1mum
/-
( meestal vanwege een hoge piektijd> 3 min.), gebruiken we :
A~* T/_ = (4,4 0,06 0,75 2,0 3,5)
De renogrammen, Waarbij;4(~kiS gebruikt zijn gemerkt met een ster.
Ile nummering, die gebruikt is, is dezelfde als men gebruikt in
het archief van het St. Catharinaziekenhuis te Eindhoven. Een 1
achter het nummer van de patient duidt op het renogram van de
rechternier, een 2 op dat van linkernier.
Verklaring van de benamingen bij de tabellen van de hieropvolgende
bladzijden.
-f ~ timf 5 zijn de 5 g,e£chait~ parameters van een genormeerd renogram.r1 van het niet genormeerde renogram volgt als voIgt uit/1 ' :
f 1 =/1; ~ x maximum.
- maximum is het maximum van het renogram uitgedrukt in counts.
- Tpiek is de piektijd van het renogram in minuten.
- conv. crit. is de redan waarom het schattingsprogramma stopt.
- aant. it. is het aantal iteraties.
- p eind. is de eindfout van 1e~ genormeerde renogram:
Yt
= meetwaarde, ftj6) = modelwaarde.
- gi max. is het maximum van de elementen van g in het minimum.
gi = - d.f;8fti .
- diurese is de urineproduktie van be ide nieren samen.
De eindwaarden van de geschatte ~'s zijn gegeven in 5 decimalen
nauwkeurig, omdat deze decimalen signifikant zijn voor de mini-
't'/malep. De parametrs P1 tim Ps van de patient worden uit de eind-
sChattingen/61 t/m~5 berekend. Theoretisch moet Pk gelijk zijn
aanfk. Maar later bij model- op modelschatting zal blijken, dat
Pk slechts in een paar decimalen overeen kan komen met~k' omdat
door ruis op het renogram een aantal decimalen van de;6's onbe
trouwbaar zijn.
Op de volgende pagina's treft U de resultaten aan van de schattingen
met het 2 e-machtenmodel.
Hierbij dient nog opgemerkt te worden, dat er schattingen zlJn
CD)uitgevoerd met verschillende beginwaarden~ / ,gekozen in de buurt
van de~(~ beschreven op de vorige bladzijde. Daze schattingen
leverden dezelfde eindwaarden op voor ~1 t/m;J5.
- L/[J-
I, .
f-----
0.05'-101
0.63g03
1.13 1/66.2. {) '-12.2 L.;
..3065'
50016£/
0. 0569°o.sI.l6/3
/ . .2 'I'7'h/.2. //96/.2
,35//
It.!};lJ.3
0.06630
O. '130.2 /
..3. f] it"/(3/
.2.597'163100
_2.5' -2.0- .l.5.
to I. Jtn(3i.. tol/ncL to I. IYlec.
17 I 12 /q'3tr6't':*/O·1 1326:1';'00.
1/. 3191/*/0-1
.22J3-X/o-1-L.6rJo't*lo"J -J.l3/1/f.IO·t
5 0 10'71/ .. /h.."n.
~'~C
75 /;:9.
JOiVu. i
.---- -t _.Jttf1.-_·_J _
~~ 1.;'11. I itt/I. 2.
'5.21625 b.ogit30 6.Q4'35"1
0.0'79°5 0.0'1762 0.0365'6
o.&o/!l.fg 0.60230 c.683g t/
o.l19 2!lf 0-/31.;56 o. 62. Jt]82.'-13616 2.-5,208& 2.'51_':.(,&
/6'-13 ..3'162 ~109
..3.0 2.!{) 3. 0
col. met co/ rn~I t.o! frJ{?L.
18 Ij ~.3
/633*10. ' g~Ji53~/O-21 /.lb3'1*IO·/
7 10'lft';'IO-1 -6. 5"rYOlt ~'IO-; - /. 3/2.3 it 10'"
1 3 n "1//.. /""111.
I
4L;/~C
10 kg.200-110
I'1NL.--+-
2.35.2. 330.1 330.2----+------1------_..._----
4-. b6sL;t]
vR.I,/ I I
e5lqcJ'It /v( IvL! I~---'- - ---.. L ..__.....:. .-'-... ..-.....----.--L
• /C£-U. Wi.- .liff}. / {(. .1. LI tJ. 2. ~t o/qJl i'c-----.
ft,' ,j. :<. OI"S"-:J 3.5"3569 6.064'9:3f2 0.062. 6 I 0.0.5qt,-f? 0.03/.1. 0
j2J1
o. tJ· {, IIIJ o.(l'i~61 0.8g12.1~'( o. (;3006 O.65(J6 l! 0.'-126 110
13 ~. 3.61733 J. Llg u90 2.5°/95I
/hCfx/mum .31.2.5" 25"9 5 26730
Ip/ek Lj.O .3.5 3.0
COh /I. cnt. CO I. n,ec. co! met t. 01. frJef:
~ant.il:. 13 12 I 13 I·1 ·1 -1if> . I I.L12g0 ;:/0 1.17'/1 -\LID g.2 "f'Schuo I I.e/hO.
g; I ....,QX r. - I ~l) -r} -6' -Ill",10 ;1(. 10 - G". 666 y{dO /. 2 9 '70 If.. 10 -
d,uresc 0/.0 ndj;-'flh. "';.6 m~"hdo::;/s
I11/-tc 40"t<.C
gewt"cJrt. l~kg. 6gkg.Itens/e /60 - 96' /6-0- 95
qes/Qcht VR. ltR.reno r.r. Ib3.1 163.2- 2.~o.l
---i /B 1
1J,263g6 2.&039& -5.0L;~Cl4
~~ 0.0'1913 0.016 2.6"
I0. 062 9 1
, ;63' 1.17984 0.92.1 10 0.42. 608~'( I o.~/5'3J9 0.5-5 651 2..2 'tClf6
~~ I 2 /)o,~ol 2.56'030 2.6·ofJ'-Ili .- 7'7
n?CI'K/lnt..lh? 5382. 5373 .2&211pick 0.0 .3.0 2.5
COhv.crlc.. tol. meL. co! tnee. CoI. WIef.C!(~~ t. if;. Ii. /6 /j-,
r.De/hd-/
I. '5- 08/*10 -, I I. og<]1* 10-1
1.10 'f&1f. I{) /
g; '··,.':;x ·c-I 672Qi-.'I{J"l l2qODVO-;g. t/j /tl -llID .2
clI4rese I I '- m» . .r. 0 n"1/j, •I . ~l 1'."1117. •J. I J~rJJP7.
dos/s 66?C. Itg,ftC9cl-//cllf lLfkg. I
I661:9I
tf'YISI·/"'. ,('0- tic> ~- () -:: - /30
i 1
!, 'I
-;~-;:;;; ---i7;;-!-~ 11.(.2 _!}5J~ _--~~---* ._'-;zg. 1 1'2Jq~-'
~/ 't.0l3q3 3.5"5080 3.53/62 3.L.;&655 5'1!tl5t!} I L;.!l1J200
~z 0.07 floo O.O!J223 0.018&6 0.066191 0.0'1601 o.Olt991
/9.}, 1 0.'13'10:J- o· 'I[} 322 0.33'-131 0.112999 0.53537 0.09'16'1'
jJ 't ~.8201.3 4']5379 Lt. 352 of} 1t.5017L 1.97399 I.7232./
; ~ -2..656/ 2.66[l19 J.6029; j,53q9o 2.5&;25 ..2. 53S2.9
, tnaXiJ-HLIN 692 b /.;5"g6 57°& 5'19/ 3551 ~-S20
IfJiek. 3.0 0.0 "T.O .3.0 2.5 ./.5
COnv.cJr/t. tol met. t.ol. me( {oJ. f'nec 1:.0/ met.. fo! met. .e.o/met..acm!:.. i/;. .2/ Itj /5 I 12 /3 .21
Pelhcl 1.:?:frJlt*IO-1 1.2.2.69*10-1
(jLlllf3¥;IO'z
1.01161-'.,10-1
/.215l1:1..lo-1
/.1&gl*IO-1
g. 1-nQy', 191.fOOf[ /O? IJlo06- 1.,-10-£ 1. &96.1 i\-I/I 0·. 7'323 ~u - - I. o330X 10 - 6.3760(10-6
d/t.lt"ese 6. j rn;;:',,"h. 3.0 r"'(it;'n. .3. &n7~U/h
o/O~/:J 66!.A-C 50./-tC stY,.Acgetlllchc 6bkg. 6&/(9· 11k!].cen:;/e ..<co-I3D IrfJ5-IOD O/v8.
• q"e ,-;lad, t _It.R /Ii{ MNL .
'--~eh.J?r / 0. / /go.2 -x .2 /3J. 1 -2.-~-- i -.2q6. I 1< .296.2 if
4/ II.qqLdlJ 3.tl1/36 --~&9113& .3.06015~...?C67'3 3:0115fJ
jg z o.o(]o!Jg 0.0jl}Lt2 0.0£655 00186'1' 00506; 0.05030
;a./ 0.1/990 022255 o.6'1LlI1 0.66/3/1 o,fJoor..QrY 0-j903g
pI-( 8,7°792 .tB.J..6/1..J1 1.18033 1. .3 .. 61,-<-; Q.1f950{} 0.'52'131
/6 ~-. 2..b25lf5 ,3.70322 .2.1-(6/60 .2.1(!(J96 3.'igtflLf! 3.'17 8172rnCJXlmc~nJ lf3bl 4'613 6211 556& 755Lf 5631
IjJiek ~.O ;",j' .2.5 .2.5 ft.o 3.15
conv.cl"d. lo/rnet. t.O!.fnet. to/hJet.. to/Met. eolr,..,et-. to/f"hec.
QQnt.. /t.. 2.0 21 Jl/ .23 ,12 13
, 15 e/hd. I. 536 I *' /0-1
1.302;:1;:-10 -I tl. 9063·VO'z I. o6~&* 10 -I II. &/6l Jf: /0 -I b/O71*10-.1.-t / -f:;"1 -6 ·{1 -/g; maX, l.sf}fo.2-J,IO 3.b!.;9(iXIO -<;'fd?",o*IO -l0t.;cY~*IO l-b.j6.1.N...IO . (1.&JI8,'/.-/0
-J 0 ry/// . !J. nil '1 n,!/ .: uiure;:£ I.~, 7/ho1/ fJ . .5' 'ljh-tIIJ. I /.'5" /h:lh,
, 01OU ,---",> .:3~ C. :J'-I/£.C , 6/,.« C
c;C~vicl7l~ 511.:9 I L?Jkq I I 7skr).
,te:-JSie IlY5-/10 I I /::)5 -liS I ! .200-135
_J~<',IQc/7t:.--.-t~--.-_l . __..1::1/1/1 ' _~ __ L 11fj,...Ll/..=.L..:...._..L.-. _
6/ kq 51.fkq
::3 1)-90 I //D-IIO
//1<. I I l/R.
......-------1----------
.
q2 .2.3/.1 ~ .2.:3 /.2 .2.3 g I 23q.2 4(-
--i
'132 J.3Q2.32 3. /;0053 5..2033/ 2. 117251,l
(};q o.o1..f221 0.06566 o.otllrc9o 0.10'-177 ~I
O.6fJ02/ 0.69'19"/ 0./6go!l 0.36 1fqq l595
I15lf 2.{}6!Ol I. LI/522 Jtl. '5t;5~5 .:?(J.2j35 /
15 9 3.'583'-19 2.ofJ(J6!:l ./]/6/(9 -3.68;50
7-2 61qo 55Lj!J /31.2 /3.38r
.2.'S 2.5 3.0 2.'S
met. I co! ;-net. col. h1et co! mel:.. to! met
I /If 31 .19 33*/0 -1. 17/15 *:. /0 -I I. 6020*./0'1
·12.. {)[963 *10 "IJ.379;:~uO
7';<10-9
1 I. 8&35* /011-/1922 * /0-'0 {; -;
I. O/vl ¥. 10 . "'02rJ *"10
61 hlfwu·h. 2.~ htfw.in.
..32/-<C .33/-<C
5"5kq ONI3.iI!d;0-90 /~-o -95 \I
,I:1NL AIR t
"* 206.1 3/6. JI
02 2062 I 3/6.2. II ,-----.--0l---- - -
-6-03 l02355 6.9362.0 4.tY6olh ! 5: 1.;'1';)-17;
t;33 O.05't4~ o.o'-!{}tll 0.05602 o.Ol..f755
lf03f} 0.2355/ O.3qOLrq 0. 52376 0.o1..f71fJ
001 .j&.5L;55 tl 6.11q '-t(}6 3.000&; J.l83375&2 .2-l2g19 .2. 6'1.2q I 2.°9386 .2.61//6
D& 5037 4 tli LI 1t6 t/o 3tJqoj" 30 30 -l. -S 2.~
thee. tol. met t. () I l1-le I. . t!.o! met to/. /'rIel:.
21 I-S I It; 17-I
1.//i26:;.:. 10-, .1. -z () -I
1* /0 I. ICJ:Jj' :;:'10 I 99.233'1; /0 /. 2 6(J -x !v·6
(J.//bl?f 10. ' I;. 536v)( 10-; J. 3116 X 10.6 5.q2 IJqY: 10-
25"1;/0;~j,' /0 11ot~ .5:9 }14/rJ HIli?
't7/-{C q6/C
reh.nr. 1{lgJ___ It}
/' 1 5.5713 9 5.1L;'0,
,/32 0.05"'-1';:> 0.06, ,0. 1.;8603f'3 D.'dJ
.~ 'f 3.11515 !.'t5I
.45 I 2.;5YIOI 2.6/I
maxif11um I 1t617 ..3BIp/ek 2.5 .2.0
COn v. crit.I
co/. met. to/Oc;hC.. it. /L; /3
¢ einol 7303'1* 10-1
tJ.l106
g; #'1'IQX 5.L;26b *" 10.1 -1/'1oI;l..Ire:>-e n.y,5. '; min.
doSi:s 5 11/<-(gewicht 66 kg.tef//sie 130 -9fiqesJocJlt MNL..
ren.nr. ~Joo./ 30, i
/J/¥}663 Iq 2.rJo
;g.2. 0.°9'793 D.OG, Ii 0.°9 102 0.6i 14- l2./~5S 0.85
: jJ:r 2.o6Cllb 0;)5"
; InQ Xii"" C-I r", ~f7670 J3v-
Ipiek 1;.5" J/COnV.Ct/~ co! met. to!Qant./c ~I /::>-
¢eihd l/rP55* 10"', 1.~;'1tl
J/mQx .317/6 ;iUO-~ .J. 3 ill(
d/c..lYe:5e 2 j! r...1. .. .....,n.do.5/s ;tfi/"C
,(lewichc (lJAq I~~.- ~ ,'" /50·· /2 01....1::;" v It.-
t ges/Qchl MNL
-_._------
2QrJ. / .1 0.2.2.2
met
3.399&6
0.°1295
I0.s(}29°.2/l2. 709
I
2.oc{'1() I
..3qrY&.2.0
folr-net..
lit
~-cY*lo-/1 {i'fC(2g¥IO-Z.
- {,I 1lf6*lo Y,l002 ~ 10-
236'
1'5'6
79Lt
0217°1DO
ren.nl". j2fJ. / 32{].2 27..__.
•) I
d. 8it137 .3516'1b Lt.lq01/;Jz 0.064'06 o. /If}76 0.06
~/ l.ofJo82 0.23 t.;6q 0. 6.3
fr O.3g639 3./977.3 1/34'
~~ .l.S c?~oll .2.58153 i .P. 0/6lhax.imUh? ~089 t;~n)9 I 'lto
/fJiek. 3.0 .3.25 .2.0
COn v.crit. cO/met. to! h?e!; 6::;1.
QQnt. /{ If} 20 16
qj eihC/ 1. 27/2 '1:10-1
1.220(1 ~ 10-I
1.2'1
9i hfCiX -2.0~7&*IO-7 -6-3.3'11.374'5* 10
diL/re:5e 2.0 mY,...in . &9dosis Lto/'-C. 3t,-
gew/cht. 6'-1kq 50teJl1<sie
l.1'10-100 /05-
fjes/Qc.ht VI( V.I
ren.nr. 25.2. / 202.2. 2q
// 0.967°2 3.rJ139Lt .3.Q3
.1 0.019053 0.0&115 0.07
g,. rn~t
i oIiurese
Ij>i~k· COn /I.cr/t.
QQnl: ./f.I·1:> e /11':::>/
.3.g0rY'I3 2. 6933 fJO.fo(f>JI o.oqqlJl
0.22796 o..3b65~-.3.fJ'S'!55 &.,36526.2-7.2/10 .3.61/,;53
5591) ~~c99
I}. 0 .3.0to! !net: I p(l-f-I):. g;((-)
JI 13
o.g2&0:t 10.2
fJ.{)lf22 'k10-2
't. 2931 ~ 10· 1 /. 't3~!l*,10-7
n", nrll .~'V 'Ii'vIln. I
0 C 5¥C
kg 6gkq&0 IjO-IOD
R __._~ .._.... __ '.......11..~---J--- _
I~ O:~_I~qrz.·~ * 2'10. I ¥ 2t.,to.2. 'It-
61'5 ..3.937&9 2.3231'-1 1JI2;(}O
IjO 0.01/;79 0.1035'1 I 010 1/29i o.liO/62. 0.1;2{}13 0.33 £"09 0.25'003 0.1;-5 113 O.l/.25/;7
..3. 312.lfO It.Q6-';)-Ol 5. 36/5{J 20.26693 1t6J!}.31 705620
2.561lfl 2.6205/ 0.60221 ..3-713(}g 3.5&76/ 3.66930.296~- .f262.1 566/ 6/6fJ 21~5 .2Cfq3
2. "S 2.6' d. 'S Lf. 0' 3. 0 j 3.5'cO/.l11et. c.ol.r-Y1et colJ1.1ei: eol.Y'Y1ec. to/mel. p(j-"")::>ji~)
15 16 11 It] /0' .21
5.6ICj6-x.1o-:Z 7°952*10-2: 1.0680f..·IO'1 1.3196*10-1 I. 2£171 Y:10 I 1.52.'21'*'10-1
5.6/00*10'1 2.6661t·/o-1 -3.q30Ih. lo1 5~2go2*ID-' I.Cl~70*IO-6 1.3&t/5~:·irl
I A ,..,/1 . /1 ,.../1 . f) 7. 1'1·,11 .. ..; 'jn-rlh . 'j11-1/h {Y",T /Y1-1/J?
otOSIS 6-f;;-<C 69/--<C ~0C I· ge~:.:c./;!.; lllq I (laIC) 5-glq !
·~:;:~~>t 1~~~11_~. 1/~~;ooJ J/507-9~- --'-.l__
_r._e_I1_.n_r_.-+_.2---eQQ.l-1 .2 fiG'. 2 216. 1 I .P16.2 1<
;£/ 2.'156'16- .').t~06-2. tI,'t1fiJ3 .2.69302
j3.l. o.o6L;oS D.II/6'1l 0.°1556 0.°125'9/6/ 1.1'161}6 0,'r1297 0 ..3°72 7 0.5201}3
;6¥ 0.01/1;>'-1 . .f.2b593 3.o'-!o[J{) .'1,1-1'625/
;4'5" 2,1di"025" .f.6fJg'5"g 2.6lt361 I .J. ltb311
mQX/mum Itt-&1 5258 J! /51 I /991
T;J/ek I J.O 3.0 3.0 3.0
c.Oh v. Cr/t ,1:0/ l1?eticoj. met . I CD! met to! met.QQnt. /l 23 1'.36 If /2e:peihd 3(jlo6~/(/ 1,l.t5"D2'i;IO-1 I. OIO/·UO·' 1 1.'t161t-IO·'
gi that -2.2002*10-(, l.og~6*(o·"J 6'92D'rltIO·' /,o.2I0l-lo·6
1
d/qrese b.B m/jtvtlh. 0/:4' """(hot!h,J
dashi .39.~C /3.,)!-[ !
gew/chf l;tlkq. /rYJ:q jtehMe /~o - &0 0!V6.
~'-"">-l,-"/o,,--,,c=-h=t:...cL-_Y_R V,-I( . _~__.__
, '., ., .., I
l 'lI
/
;ri -
Gemiddelde waarden:
Er is gemiddeld voor de gevaJ.len waarbi,j de tolerantie bereikt
werd en waarvoor g. ~ax.< 10-4 •J.
Dit geldt voor 23 rechterrenogrammen en 20 linkerrenogrammen.
maximum == 4278
Tpiek == 2,98
rechts en links (gemiddeld)
aant ~ it. == 17
;r... 6-1Jr eind = 1,1 94.102,60302
0,57534
== 0,06854
== 4,03169
links (2)
P1/6 2
I
17j!) 3 .-
/3 4 --
rechts (1)
/61 == 4,24251
P2 == 0,06461
/~ 3 == 0,58306
! P4 == 2,68263
jl} 5 == 2,80608 d 2,80402I~ I 5
iJ 1~133 == 7,27628/31~/g3 == 7,00'749
Conclusies van de schatting met het 2 e-machtenmodel:
- Ret schattinsprogramma werkt goed. In 50 van de 52 gevallen
wordt het stopcriterium "tol. met." bereikt.
- :De interindividuEHe spreiding van de parameters is groot.
Ret is in dit stadium moeilijk te zeggen of dit veroorzaakt
wordt door individuele verschillen bij de patienten of door
onvolledigheid van het model of door d.e I'"llis op de renogrammen.
op de volgende bladzijde zijn de geschatte parameters van de
verschillende renogrammen bijeen geplaatst. Vooral de parameters
1'3 en j34 vertonen een grote spreiding.
- We kunnen op de volgende manier bekijken of het model voldoet:
Genereer met de geschatte parameters een curve en schrijf
di t "renogr8.l11" over het echte renogram. (zie blz. ~-5 ). We
zien, dat het laatste stuk goed benaderd wordt terwijl er in
het eerste stuk grote afwijkingen optreden. Dit is nog duide
lijker te zien aan de curve op blz.~6 , waar het verschil
tussen het gemeten en geschatte renogram is uitgezet. Opgemerkt
dient te worden, dat deze curve representatief is voor alle
gevallen. Er is dus een deterministisch residue We concluderen
hieruit, dat het 2 e-machtenmodel niet volledig genoeg is, en
gaan daarom onderzoeken of het 3 e-machtenmodel, waarbij
de mengkamer van het nierbekken niet wordt verwaarloosd,
beter voldoet.
geschatte parameters. (2 e-machtenmodel).
T!" 1- .,. ... "I I,I ,
I, IJ I I
I I"I I ,I II I
10 I III
9 :® n
;II
1 r I I
: ~
G} :~..~
'03
1.~
1.0
::I~"1
0.'1
0.5\~~ [0.3
1otrair0.0 _L_.' __'- .J__L_ ..! _1_--1._
..J
I I
o L~~__L_L._'_'_'_~'" L 0 .. ,--,-.l._,.-'---'-~L-.C-L...L_~
It.Of tj5j~ • : G
;.0 [
.... G 0H • : 0 {" : C> .;;)
• ~D l_L.J_ ~~..J.._,_'_ -'_,_..._I.J.-.L....L.'-- ,
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~s~~~~_.~ I"c1J",o:;irQ," nr
Fig.18: geschatte parameters. De puntjes stellen de waarde voor
van een parameter. Gelijknamige parameters V'an een patient
zijn verbonden door een stippellijn. Langs de horizontale as
staat het patientnummer.
VE~GELIoJ:<H.G VAN RE:'\CGRHI 277.1 MET GESCHH r1£"JCGRA~
GESCHAT.
\:.YCDc+
TYJ(M:i~.J
D.se no ~ !:U1 '" C'.) 2~71 2.3751 • :, IJ 3692 33162. (]( ~ co C 4020:2.Su .3 9.i (; 45 c;o3. CQ 3550 40053. 50 3260 31 134.CU 3018 26251,.50 2015 23435.0G 2400 2160J5. 50 22CE> 20 '50·6. CO 2037 19 &1b.5? 19!f 4 1 ~ 8'47", c:) 1 ~ ,I=j '5 18237. 'v: 1569 17 65e .. 'J '.: 1621 17 0).5 .. ':};J 1639 165794 J;'j 14se 1 s 000;.5) 144E 1~:5 7
10.G0 13" 8 151)le.50 1324 1:' 6'..1 : • CIJ 1270 14H1 1 • ~ Cl 1312 137 0
>1 Z .. l~':"!
"I -,: c, 13 35,.L'.JlJ
12.5 v 1 0' , - : Z 94,~.)
- -. J'.• ~ 1 : 4 1255.. ::. 5 ~ 1139 lZlf14. '~'':: 1280 11 ~:;
1 4 .. c r'. :109 Ii 44"15 .. GJ 1~57 11 101.,.5 Q le!5 1u70:. :S .. GQ lOS 9 1 C 4.316.~G t097 1 U12
17. "'J le18 9 d 117 10: .... 97& 951• oJ '.J
l,j.CJ 1822 92210.5,) :1oa d91+1 9 .. ~-.i 9251 &611~.5C 90.3 d 412C.C) 936 d162C.50 5&5 791
0%I
Ii~+
~+
11 •
J+Ii ~
25:I
+ :::. :;+~
~ ;I
+ #+ It
~ Ii
+ I:
+:/-• d+ #
+ II
+ I!
it+
II +
t ..it +
so:I
:
+
..
75:>:
+
100tI
I,j)
TYJ GO'ETEN( ~ 1 ~ I
92C 9·~ 3 -S3 -I - - - - - - - -2971 2315 5% l - ~'*- -:H:?2 3 !1O 376 , - -"- -- - -4COC 4 C20 -20 I - - - - - - -,*- t-- -~93C ~596 -6,,& 1*- - - - - -- I- - -,5050 4 CO" -35" 1 - - -'*- - - - 1- --32&0 ' 3 11 " hl , -I - - - -*- -3C 18 2£:25 393 I , - - --:.::*Z6le.> 2J43 272 1 I -----2400 21109 231 I
.-I '"22US 205 C 156 I I _.-
2e37 19" 1 70 I t 'A'"I
1944 1 Ea~ 50 I ..1385 1 C2 ~
• ';J _L--l I,,-15cl9 17" 5 -1TS ---- -*::;- I
~16'~ 1 1/09 - 3(3...~*~ I
1)J9 1': ';)( -l'l ~
I_...
1488 i cU" -113 to;- - t,
144 IJ 1557 -109 > I1366 IS10 -142 .' I1324 1464 -140 L 11210 1 ,1 '/ -149 1._ I1HZ : !.l S - f)4 "-1' 1
1268 1 3 ~ 5 - 51 " 11243 12?4 -~ 1 )r. 11 114 1 (:)5 -141 *;::
~
I1139 1 [,1 / - 7d ""- I12JC 1 100 2J 1 -_"1--*:109 1 1" 4 -:5 I r I-.C';,1 1:10 ... s-S I .:~ IlCl5 1GT" -1 1 "', I1 OS 9 1 C Ie, 3 26
~
t*_I: CSff 1 CU 35 I I ::.0:cu~ 'i ' , \7 I I ,.~u _
Silt r;5 'i. 25 I 1 *~10;;: 2 922 100 I J -.,
9 q A t 94 9 f, I , ...929 807 bZ I f~a 3 241 02 1 A,_
9d S il16 170 I ~ -;;*
dt-5 /91 74 1 ....
H).....~•I'.)
0
tJ:j <:~ ro
Ii/-'. OJtil Q
::r'p.. .....p ~.....p.. "f-ro p~ r.o1-" r.o
c.... roI='i' ::;
r.o ::r''d roIi c+
~ ~ro ro
!3<: ro!lJ c+::; ro
::;roro ro::; ::;p, Ot!m roc+ r.o(!) Q
Ii ::r'S (lJ..... c+i::l c+..... romc+ ~..... CDm tj....Q 0::r' ~
IiIi
~ror.o.....p..p
0 .. 50l.C01. 50~.00
2.50~ .. OJ3."0It.CO4.')05.CO5 ... ~0b. (.:O
" • 507.001. ':' Jcl. CQJ. '5)
'J. () ,j
OJ," 5 I)
10.~}J
10.SJ~l.vO
:l.)~;
1 r; ,....._ ..... \J\J
1 ~. CO
14.00
15.:0l :; __ GO
, / • (;'J
l·1.~O
13 .. \101 -3. ~011.001 'j. SO2 ~ .. ~'.}
L;).50
CC:SCrt.T VER5Crlll -605I
oI
333I
&65I
Ret renogram wordt benaderd door de funktie:
Als beginschatting voor~1 t/m;16 nemen we de experimenteel gevonden
goed funktionerende vektor: ;a~~ = (3,8 0,04 0,96 1,95 2,0 0,55).
Bij renogrammen, die met dezef1(~ niet convergeren naar een minimum
(meestal vanwege een afwijkende piekti,jd), gebruiken we:
p.(IJj'f 0,96 0,55)_ = (3,8 0,04 1,95 1 ,5
f-(O)#~ ( 0,04 0,96 1,95 0,55)_ = 3,8 3,0
jt!.\f= C3, 8 0,04 0,96 1,95 3,5 0,55).
Ook hier zijn evenals bij het 2 e-machtenmodel schattingen uit-
gevoerd met andere beginwaarden, die in de buurt liggen van boven-
genoemde beginwaarden. De eindresultaten blijven daarbij hetzelfde.
Voor de gebruikte benamingen bij de tabellen op de volgende
pagina's zie de verklaring op bIz. ~6.
'IGIOp de volgende pagina's treft U de resultaen aan van de schattingen
met het 3 e-machtenmodel.
II
II
j,
- -sf}
~ rn.U -I:u .3 e-h1~dPL.--_._-- - .
ren.llr. 2'18. / Jh 18.2 L;Ltll L;l.; 7.2 ~'1I. 1 ';'11.2--I-.
l,' J.Q5q36 2. 6/7-6-9 &.'124'3 I 2.8g660 3.Q32911 5·1cPOltlI
13- O.O.35rJg 0.03910 0.01'163,
0. 0399° 0.0~2°1 0.04'152 j,
f;J I I. 0 (};ooI
0.62//7 0.71192 o. Clo 531} O. b'l£';22 °If}sb3tI
~i{ 0.381lt6 1. 0 5"(l9 Lt I 1.2..0613 1..2'1'5~O /.62.612 I. '-126'15~Iq~ 1.<9.3663 .3. I(JOIL.; 2.31(jrJ1 .P.o!J/J3 .?Lt5992 2.2ogo2
I I1&>6 °15b l}l o.6IJo80I
0.5/663 04-30 't~- 0.6932.0 0. 339.3'1I
/Y)aX/m (./ rn ..3126- .2596' 28.30 16lf3 .3£;62 3109 !I
7jJ/ek. ~.o -3.:5' -3.0 .3.0 2/fi 3.0
ICOnvent:. fo/. J??et. Col met c..ol.h?et co! !'net col met col met.
Giant.if . 42 16 II 11 12. 12
{J efhd 1/./603-*10-' I 6.olt!J~ .. 102 -z I; -2 6 -2 -2.3.630l.f ","10 .oao/ *" 10 2.'19 Lt~ 10 2l525~/O
-0'g/ max -/9462 tIO'; 8 -~ 2.28..35:y. 10'6' 1,1132 1 ~ 10-1 1.3Lt&lf ok /0-/ s.608g "t105.37 5.Jj- 10I
"/l./re;:Je 1;.0 m!/min ..3.6 h71rn/n 7 3 "'!/m/nctost's 7!,~tC %",uC t,.'i"t<Cgew/cht lb-kq 69*9 10k!] Itehsie 160 - 96 I~-O -jS 200 - liD
rae.slocht JtR. vI(. /"'fNL...-'
25 o~ 2 .,)(: '*ren.hr. 163./ 103.2 235'. I 3.3 0. I 330.2..,
J: l·glt53L; I. '180 01 ..3.29 633 J. {ilo79 tJool b3 .3.5t.tl l° I
I12 0.0520/ 10.06l.f2lf 0. 03169 0.023'10 0.04'33& 0.03220 I;&' o. ()3 (Jo'i °187°2. 0.16066 o.BIB1 't 1.2L;o60 a.Bo12B ,I 'J
if~ I. rS63() 1.0-8371 1.680'56 2.o66Bo 0. 05999 1. 61376 i
I
;36" 2.3.2276 2.51051 1.1l3/'59 ~./2.l03 0.12.353 1.93931 I.?b 0. 60956 0.542f)fi 0.7'/55'-1 O.32C120 I.O.25Iq O.ttfj533 I
II1?QX.1'nJ" m 53&2 ~;d73 2[}21 3100 .3511 .3065
t,Ip/ek. ..3.0 -3.0 .2.-5 .2.5 .2.5 2.0-
CDnv.crit. co/. met tol. h->etitof. h->e t col. h->et. f.ollYJet col met..aant ./c. 1 I '11. 1/ II :So II
r:ji e/" cI 5..2'706:1f 10.2 4.o30o*,/o-2.1.2.81qd-l(10-~ I. S'558:vo-1. -z
't.1191 *-IO'Z
:6. '1261'* 10~ . - ~ .,
-'1.9&01 uof '9,' 'hOI.. 722/2 ~ 10 • I.Q Lt76 '*10"1 . /. 1/ ~1 ~ 10 1- 8.05'03 ~ 10 ~. 0'791 ~(O
o'/ure6e /. 3 n-.1J1..?ih. 5.C n-,lJ1,fiJo? 5. 0 1?71,..,./"ctoSi~ b6~C ~9,PC ~s.,pC i
1"'*Q 66'9 76"*9Igew/cht.
t.ehsie 160-9° 20S-130 I ON8.flo." IncAC HNL. VI( I HNL.,/
-sq-
ddc.~~ mU --lief. ..3 e-~dd.
-
ren.nr. JiLt. I ¥ .f1'7.2 /65".1 16".).2 ~7q. I 27928' 2.'13!l21 ..f.JIt2lt2. /.11620 .2.3 7'3 I '-I 5.2{}tjll tt.23 093/ 'Iz ().0'!f}6'! 0.0 Y!}j'-l 0.0'-1605 O.Ot; IS 'I 0.022/6 0.0.2. 629
1./ °1/&/I 0]55// 0.;69.23 0.73501 o.fhlt5B °1/26P/3", .2/01CJ1 J.:2L.t2 'f9 /. 5 '1615" .2.09/-50 .2. o I I}(j 5 -R. /030 1,gs .2. 't{);Q2 ..2.3 3~66 3.00 2.29 .<.6'-I Il't6 /.fI I 8fNJ 1·9 j -056I
;56 0.5'0/.;0/ 0.6-0°70 0.2110-6 0.36·2 ttL; o.ttl)If l.tq 0. 5197'7,Met X.1m l.I h? 5920 '-159 6 '~floQJ 0(.19 1 ..35"57 L.;~.2D
Jp/ek 3.0 J.O 1;.0 30 -P.o 2. ~-
ICOn v. Crt i. tol l?1et. , t oJ. met. tol. met Colh1ct. 1:.01. fhet. t.ol n,e.t.Qqr;l .il. 13 /2 IS' 13 II 9 -2cP e;nct {; -3 -I. ./. ·z 2.6;65'1/0'2.Iogfh,/o I. 52-:>1"1: 10 /.353.2 • /0 l.qqfJox: 10 1.2911 '1-/0
gt' J?1Q ~ 51299 i' IO-(} 61..2569 ~ 10·1--f}
I. 599/ -If 10"1-0 I. s/fbl -,*;10'11.'-;'110 *10 ·j.l371 ,uo
o//C-Irese b.3 h-11n-,/n ..3.0 m!jn-,/n d tJ h7!/n"lh
dos/s ~B?c 50PC 6~C- gew/cht 80*9 68k9 71 J:.q
cehsie ..toO -loa ItY-:r-ID0 i ON8.025/ochl: /Ii?.
/90 .2 -j I/R.I
MNL.I...ren.nr. Iqo.1 .2/3. I ~/3.2 ..2q6. / ~q6 ..2 .
/6 I
--1-2.6 Lj /93 .2,/2 (65 I 6.1;72 ~-3 .2.101;30 It. /9033 2.6ofJolt/ ' IIz 0.Ot.;5j-:; O.OLfI6'i 0.0 t,-221 0.oltrP66 0.01190 0. 039°7'!
~' 0.69// 3 0.66363 1.0"0/:56- o·6J'f91° 1.2/56b O. &5'16lt
13'" 1.05134 1.63036 o.~())o56 /.66'1(// 0.17'25'50 o.108rY~-
;~ 3./1528 Lt.l7552 0.83554 1.77°25 I. 76691. .9. 5166'7'/J, O.LtOg55 0.3/613 1.20/6/ 0.027'16 0.6/2 tyQJ 0.'59"'7 1
!71QXiJUGlI'11 1;361 /;6/5 6.2/1 556tY !'5'j-tt 5'631
I f/elc It. 0 ".5" 2.5 :<. -5" 't.o 3/6-COhv.cn't col. met. Lol. met. to!. met. tol met. CO/ fYlef. CO/. l?1et. i
OQnt./t. 15 /3 2/ /0 32 11ep eincl
-2I. 23tY3·Uo- Z -1 -z r -( :G -21.323200 .2.1//0 J( 10 /.2013 *' 10 b.3055~/O 2.fJi 11. t 10 !
J.~a36tlri9 -10·-Z.hlf}2 *"10"& -'f.:J35/t/O·9 fJ.2/S2 "1.10'1
-~,9/ YnQ)( 1.3006 -1-;0 g1103~IO .o//t./yese /. 3 n,1w.in .t9.;,::;,h
l
I. 5' m'l~/h
%si'i 3~C Sl~Cgew/ ch t. 6'/ko t9Jka
I 1'5"'*9.I J
tensie 185-120 1.5-S - /I~ ..?OO -1,36-
19-e,SIQchI. vR fl1 N L l /'1I1/L... ~,.. ._.-.~.- _.~ .- ._._-_._.~. - -... _--~,--,_. -_._.-. -- .~--_ .._-_.- - ----_._- - ._-_._--'._---- ., - ---_._." -_.--,-------
-60-
ren.nr.--!!l9..J_. f-_ Iqq2 .2.3/./ 23/.2. 239,1 .23fj.2
/~/ Lt.l5612 3.4'329/ !}.5lft969 1.t/7530 3.50013 .J.OIt033
12 O.03q(}(J 0.07'116 0,00l07 0.o36f)1 0. 1/652 0.003tJ9
f/ I O}6b12 0-75"231 0.83301] 0.79973 o.tto666 0.8t.;Q:;-3 lI~Y ..2 .21(JO't ..3. 6131& .<.~-1728 .2,612 &1 .2.26'910 .l.25/fl2 l?(; 1·4/o-'Sl 1.66';13 ~.'Tl}rP31 :2.310/9 0.5/555 3.01'1211 f
/:36 0.4'5523 OJI1382 O.~6119 0. 55/!J'T 0 ..33211 0.15653
Yhaxt"h1t.1Yh /.;677 3rYJ.2. 6/qO 557'3 1312 133f1 1/ fiek 2.5 '<.0 .7. '5 2.5 3.0 2. S I
COnV.cr/t.. colh?et. CO/l?7et. ep(j-f'l»fiif) co/meL. lo/met. .Lh?OX::.6U;
QQnt./l. 16. -z 1'1 .27 .22.. 31 50 I~eiha/. ..2.9696\.10 1.f)039flo-z &'006fiIl0'
JI.OOJ-S-rJ*IO:z I Lf1lq *10" 1- 51'19'1-10":
gt' n;o x .e:5259'1ld {2~01"" IO·f! . 6.ltqol("tlo"6'1 lOLllovo'9 5.3623* 10-J J. 619 6• 10 '1.\
d/lIre~e '5. 't n,1h-r/...,. 67 n-.!j~ih 2.j' n,jn-,;,.,c1os/s 6'tpC 3.2,)<C ..3~C
gew/cht 66/(9 o-s*9' ON8.
tens/e /30· 95" 160 - go i /00 - 9~-
1 tjeslocht NNL. /1NL. 1/;< II ren.nr I ...300.1 300.2 j(¥ 206.1 .106.2 3/6.1 316.2.!I AI ( I 6 I: r' J.qqo't2. .1.39055' 0. 60575 1,-'1'S33 0 3rY2~2t../ '1. 9rl /. I1;$02 o.ooBt.r6 0.035"02 0.0083'1 0.03J68 I D.03Q91 0.03023
I :~~. 0.(}tj.30-S 0.83&fll 0.&327-:) 0.65.962 O.!O'i23 0]16:20!I fJj /&" lo3"J-3u' I 103792 /.65001 3. 22997' 2]163f) 2.tJl(.II~-
I I)" 3.'-t:lb96 I 2]t./,j(}! ,J.2n9~'t .2.'-1/952 :<.032.25 .<'./2321
I /g, 0 ..2 3269 o.'t66~96 0'//017 0.5'0061 0.635a2 o.6t,300
rnQx.inTLI;J-, 518o 33grY 'SD317''-i/'1 Lt{;tf'5 3&90
/?,ek ~. 5"" I d}5" J.O .3.0 .f. j 2.6-
COnll.C,./t. '>.>IO(JO/C>/o to/met. IrnQ'X col.h?et. co/n-,ec. col. mel~Qnt./t..31. /5 5D /0 II II
~eir,oI. 3.5372.-*:/0';' '5.-53'S'7'i-Io'z .3.1976 -1/0-
11L.53&31tIO"z I.Cj&26*IO'z .l.q613*IO-l
q,- YHQX -Z.O:J..II¥10-6
6.53&5'*/0.1
.l5;20+IOo !-9.6728oK-IO':: 7191/1uo·6J 1.'/1'I5'/;-/0"}
o'':urese .l.B fl7'l~,'n 5.9 rnJ~i'n /0 i"i?jh-7"n0"0::; Is lv~C I 4'lPC L,-o/C
gew/cht IJ.;I..TJ I bl):9 !' 1)~k9
i tf2hsie 1/00-120 130-90 flo-IIO
_9-S!.!>Io,cA:.! /l1NL. . L__vR . __-,-__~II~R-=---_..l.- _
g. rnC>'K
0'/4Yf?.5f2
do~/s
gewlchtcensieQe~'/Qcht.v
! gew/cht~ t. ehs/e
! geslDchlj _r---ten. nr.! .4 I
, /-'
fz;;g/r~'&5
// 1J6
#]QXlmL/f11
I I/J;e!<.
COhV.Cr;C.
OCihC. It.
<;$ e/ho/
- 6/-J-c4~9 ~ ~ 3 e- ~dd.
-r-;e-r.-7.-/l-r.-r--3- 2- q--.1---,-1-3-2-q..-.2--.----~--7- ..-/-'--.21-',l-·-2-,,--2-q-c9-:::-.-/---.~-,.-.2-9-rY-.2-
p/ 'r.5/C1q6 1.5"6/r'-f6 &.15593 -</!rl.fbl /.56010 1.f.0L.;.20l; ;
;.z o.oitlf}l o.orYt06 0.0.3'-12& 0.05.2&0 0.°9618 ! o.096lt3 :~/ /.1'-121° 0·7.2163 1.61611 0.16912. o.61-t601 0.535673 ~/~Iy 0. 3811(,.1 I. -j-IIJ6'6" 0.'1/Q92 2.37236 .2.36/19 .3.'166'75
I/65 I 0}1653 2l2 1 5'1 0,. 6fJo92 I. 106 !Y2. 2. 6C?37 I .2. 53999
,/~b 0·7'1305" o.'Sol;'~6 1.13500 061367' O.3!}~q4 {).55(J6'1
'hlQxilnl./m -So{Jq L;soq ~ooo ,{9rY& 5'59& ~5c99
If;iel: 3.0 3.2~ .1.0 '<.0 3.0 3.0'C.OI?v.cr/1:. fo/tnef.. cO/.h7e6. to/met fol.rnet. io!}')?ec. toln,et.
QQnf./t. Jtt /~ (zoet.J II /2 /3-2 -2. -1..2. - Z.P einci. .3.9752 *10 I. 0'067*10 1.2t962-t 10 1.2035 ~ 10 1.2190f- 10
66 .() ? /.(') -0 /. -$I 36 -c; -1q/ #?QX 1- qu +10 ~1'·9(.J6.3,* 10 7'.OI2t",uO . 113 tuo ~ I. 2lf39* lOT I
c1i!.lrese .!.0 h?!hot /h Il. (/ n,!k/J) !/.~ J1?j""" /;' ;d05i.5 L/o/c. 3YC 6-~C.
64k9 oo/\g 6ljKqlitO-loo los-flo /70 - 100
vA! . fiR. 1'1NL~
26-2.1 .2'J-2.2 I .2.90.1 ..2C)0.2. il* ..!~·O.l ,2t./o.2.. I
.~.6b6t;1 ,2.5'<101 i /.q&900 .2./°712 1.32./51 1'11110 '
0.06 I.tfJl. o.{)ol6j 0,0 426tl 0.035"16 0.0566 t; 0. 06395O.633Lrlf o.683~f5' O}!,to II 0.1077j O/(J'-IIf) 0.7167°.2.29715 .f.&28J.. 0 /. f}()"J61 tt 1.79139 :1/5 227 :(.~0905
.2,ol/5'56 ll..I.2.tl'IO J.29og1 /;'1611,3 :l.rJ56slj ...3.~7'.352
0.6222-:5 I o.:5'-fq()6 0. 2 rY.2lY) O.30lt22 O.3j/}26 o.'5oJ(}6
.2965 .2 62 I 566 I 0168 ..27 '-ItT ~ '193.:! .~- .2. '5 3. t) 4: 6" .3. 0 J.5
CO/met. I CO/met 6o!~et. t.ol}')?et. to/met. co/met.
10 II II /1 12. It;
1.1/6H10-z
J.1219~/O-2 tj.611!J*10·,j 1.03127tIO·l
1"'&57'*10-1
3.02£;7*10-Z
-0 -e1 .c9! -I. n t!l. "9 -0"I. l'-IuO ~I;:/O 1.305YiUO 1-1.'t~:;q.yIO 1-~..?1(Y6 ~/O - .6106~/O -/.j/C12 .... 'O ,
! ts m'/n-.li-}. 1/.7 #7!j~/h I Il7 "'f~/I?6-6~c 59",f-lC I ~2PC7 I Irq 80k9 I 6"9/9
(7'S-IOO /50-100 . /SO-95fUR hNL. I 7
;
;J
.,!
- 62~9 /IUU /{u .$ e-~~.
reh.nr. .2Q{j, / ,pqq.2 .flb. I .216.1
13/ /.36g06 1..2q320 ./.'12 96-'1 .!.'1.2t;3 9/62 0. 0'1350 0.06(..168 003812 0.03316
A' 0.892.61 0.196.22 O}6560 0.855"6-9/1c5", 1.'10/66 2./6'162 1.73153 I. '13326jJ., .2.1l./191 .2.'1£933 B ~.2tjq31 Ig5"63 I
?t o. Y!.t363 0.'7'61b63 0.35'3ft'! 0.3/&56IJ?Qx/mllJ!n IfG&1 . 52-:tl} ,f.1".J-I ICjql
'lJ/ek 3.0 I .J.o .3.0 3.0
ConV.Crtl. tol mel.. i tD/mec. co/met. 10/metQQnf./t. Itt IJ 12 IIP eihol 6 ·z -2 .z. -2.2. 052 */0 I. /5/':J-'" /0 1.931J :X/0 1.50&3*10g/ n-tax -l.fJtofhIO1 &0912~/D-;
-6 -6>-1.1.:<1)3);-/0 --j-. ~3/.) ¥ 10
oIitwese beY 1~!jI-W/h 4-. '-t ;H~/hdos/s dg?-C /.y-<cgeW;"cht .y:~ /&k9cehs/e /20 - &0 DNI3 I
qe~/QChl kR IIR 1'" -_._----
Gemiqdelde waarden:
Er is gemiddeld voor de gevallen waarbij de tolerantie bereikt
werd en waarvoor g. max. < 10-4 •~
Dit geldtvoor 23 rechter- en 25 linkerrenogrammen.
rechts (1) links (2) links en rechts (gemiddeld)
/3 1 = 3,58741 /3 1 = 2,77836 maximum == 4180
;62 = 0,04804 /8 2 = 0,04549 Tpiek = 3,00 min.
;33== 0,90248 #3 = 0,75226 aant.it.= 15
1,53626 /:3 4 == 2,09462 teind-2
P4= = 2,8822.10
(65 = 1,96778I~ 5 = 2,47~05
;96 = 0,57705;66
= 0,48920
/2 11(33 = 3,97506 ?1!P3 = 3,69335
) ,
Conclusies van de schatting met het 3 e-machtenmodel:
- Het schattingsprogramma werkt goed. In 48 van de 52 gevallen
wordt het criterium "tol. met." bereikt.
- Ook hier is de interindividuele spreiding van de parameters
groot. Op de volgende bladzijde zijn de geschatte parameters
uitgezet. De kruisjes geven schattingen aan, waarbij het
criterium "tol. met." niet bereikt werd. Opvallend is, dat de
ze renogrammen ook met het 2 e-machtenmodel moeilijk te schatten
waren. Ze hebben daar weI het criterium "tol. met." bereikt
maar hun waarden wijken daar sterk af van de gemiddelde waarden.In't
aJgameen blijkt, dat de renogrammen waarvan de geschatte para-
meters sterk afwijken van de gemiddelde waarden~moeilijk te
schatten zijn. D.w.z. er is een groot aantal iteratieslagen
nodig voordat zo'n programma stopt op het criterium "tol. met."
De schattingen, die meer dan 20 iteraties nodig hebben, zijn
gemerkt met een~. De spreiding van de waarden wordt aanzien-
lijk kleiner als we deze renogrammen buiten beschouwing laten.
We komen hierop later terug als we hoogtekaarten gaan maken
van de omgeving van de gevonden minimale error-waarde cf·Gemiddeld is het aantal iteraties bij het 3 e-machtenmodel
iets kleiner dan bij het 2 e-machtenmodel, respectievelijk 15 en 17.
We genereren weer een geschat renogram en schrijven dit over
het gemeten renogram. (zie bIz. 6') ).
Ook bekijken we weer het verschil tussen het geschatte en
gemeten renogram. (zie bIz. 66 ).
C.I!
1/ &.11
/0- 0.10
g
o
C.og
0.06
],1,I,, .
.....'~,
II
~..I,
6
.!A··
c.o/
I,I
II\I,,, ,
·a:I I
I I
: I, II II I I I
'XXXx0.00 -J,--J--'_.J..-..t-J,--L..-L_~_--.L.....J t ! I .l- L--\-......--L-L. ..J..-..l_...L..-J
O.OJ
.O.OS ,
II
O.O'{ .£ 1
0.07lc<>6
& I
'fI. ~ ~:
I I ,
~ ,. ,: ,~I L.? ~I II • •I •, .· :··
~ .&,, .oJ ::
4
,
••\
• •, .I •I•
z
'!I• •
I
~,II
III
I
~:I II •
0',,,•
.&,I
0.0
1-0
fJG9,.S
6.0
n
f.o
t;.S
1;.0
•J.~ , ,. ,, I03.0 • I
I I . ·:~. • 1 I
1.5 I · I I
;ifih ~ · , ,, • ~• · . , •2.0 . ,I
, , .~
I , , • ,I . X , •
~ ~. · I ,
I.S , . • I. ,I, • •II
I I I. :@'1·0 I I I, I I
~.
~0.5 Lt ~
··,•
~I
J. 1,...
.I.
I.
.• I
I
&:~
III
~
I
M
'"~::;<I • •I •
IIII
xXxlX£: I
: I 'III
I
I
',6: I
I ',I
I,I
I II.
•III•
·•
&I,
,~
, ..I. • ..•
.,;. ~
I,~
7
o _.....l.-J-L.~....L..-..J...., • I' III i-L..J
til~~&~~~~~i~~~~~~~~~Z~~~~
9
G
.J ,I
I •I ;& J
1
,
'T 'I-J f!;r.(,
I.~
l.,
I.~
1.1
1.1 ~loD
0-9
0.8
0)
0.6
(l~
D.~
,j e-WrQc,htenmotielJeSChQCCe /:>CI"Qmet.er~ tjevoJ.?den met het(X wil 2eqqeh: voor c:I/t renoqral<?? I~' c:le tol. niee beyedd; .
.6. wil 2eqqen: er 2jn ~eer GYal? LO ;t,ercd;~'eslt:~gen l1od/g)
~ Ii
- +
\'
+.,.
;'" +-
.......
SO,G
...
;-
~
~
:t
+;;i.
... ~
I/. .•
~ __ ~ - ~~ ~ ,~ - " __ m ac_._~
:t.;;: • .!"'.10'" + ~. +.< .\' 1 " "
~rt\l~1"\
~~1:"-....1:"-1(\)
.'" · ". )
~.c S '::'
~ ~, ~
~ '" " ="() 01 ;. " ";'}
~("I ? .' "
"~, " . :.....
~ ........ .'.... ,.! fi-- .. :;
,.£:::
,
U\ ,. .-
'"c'
OJ(t) .. ::)',
~I
,~..... ~-
~ (tl t: ·.'
r-t-. '.
~ '" :J.')
r..,~
~ ~ • ,.(")... C/)
"
~ (\ , .. '
~
~, ,r, c ·v,
~1 ; ..'G
\"!-, · "~ ,.J-
~ ~ · ~ j 'J
Q. ~ · " · .. ,
~ " "~(i)~ · : ·, ';
'"' :> ,~· ·~
J .. , :1 c
~..
~1 ,
·)0% 1 c ·'. "~ '.~J · -'~ 1 '.:.. \... C~.
~ ::· ·.~ .. · J :j
," J ..
'JE.;·~'SC"'ll_
7 (5 l () ~ « ~ 1 J t
" .-: 1 ·..; '1 " !• ,.
f'. ~ r.: I. (; :. 3 .3 "," c .. J " f -, -
'.~ : " 1 J ·1, ;.. ., '; : .. " ? ~ , .-
,~ : '. 2 -"/,. ..,3 1 <- , ?
'. ( .. < ? -.: "
.. -/ ..;. ;. .. L
,.. :: ~ - j ..
, 'J " ~ , < . - .J .;
') 1 .. ,. ." . .~,
. , ., j -t, .J1 '-;I <- " v 7
" c .. -' , : , :,j 6(,
..:;, I, '"..
t :.> I ~,
~ c
".. 1 (. .:; u :; 1
1 ~., ,.' 3 -7
· ~ -:. 1 " : \; -~
'. ;.' C -, 1.. .. ·,~~ " 1 :, 1 :. 1 ;
J .. 1 " ~-" 2 ;;- <.
· .. • 1 1" '; r: ~ 1,L . .. 1 " c 11 ,; ,
l j '- ;j -? ]
·" J . 1 ~ .'
(j -,- j
1 ;3 0,,< ; j .' v -.. ~
,; J ·.0 : 2 -,; ?A
1 ! ~ ~ t
· , ~ 1 <. " (j :,, . ;. 1 ~-'. ? 1 -" ..1 ;: " .; , , " :- 1 51 ,.. :' .- 1 1 'I
" " :1 ~
, 1 , IJ. 6 I.1 j .. ; 1.2 2' ·')
1 .. j •0 '~ - - ::.1 :. 7 1 ;.) '. S -.- ..1 ; ;> G : v " ~ 7 to,
*
~
*
+
*
**
+
**
*I *1*
*I *II •
*
**
We zien hier een betere benadering dan bij het 2 e-machtenmodel.
De afwijking in het begin is aanzienlijk kleiner geworden. Dit
uit zich ook in de waarde van de eindfoutq5. Deze is gemiddeld
-2voor het 3 e-machtenmodel 2,8822.10 , voor het 2 e-machtenmodel
1,1694.10-1 •
Ook lijkt het residu (gemeten waarde minus geschatte waarde)
veel op witte ruis. nit blijkt ook uit een runs-test. We laten
daarom in het vervolg het 2 e-machtenmodel rusten.
We hebben het geluk, dat de 3 e-machten na elkaar uitsterven,
de gemiddelde waarden van de exponenten zijn:
;62 = 0,04671 /~4 = 1,82707 ~6 = 0,53129.
Dit maakt schatten met dit 3 e-machtenmodel mogelijk (zie lite-
ratuur Glass en Ga,retta).
Omdat we nog niet weten in hoeveel decimalen de pIS overeenkomen
met de fls, stellen we een beschouwing over de gevonden parameters
nog even uit.
-b8-
III.3. Verwerking van de resultaten.
Voordat we de geschatte parameters omrekenen in de fysische
parameters van het renogram, moeten we eerst onderzoeken hoeveel
invloed de ruis heeft op de waarden van de geschatte parameters.
Voordat we daarna deze parameters omrekenen in fysiologische
grootheden, moeten we eerst onderzoeken of een set van 41 meet
punten een of meerdere sets van 6 parameters kan opleveren.
We voeren daartoe achtereenvolgens uit:
1) model- op modelschatting.
2) we plotten hoogtekaarten om de omgeving van de modelparameters
te bekijken; liggen er misschien een of meerdere minima naast
een globaal minimum?
3) we plotten hoogtekaarten om de omgeving van d~ geschatte
parameters te bekijken; dit doen we voor:
a) een renogram waaraan gemakkelijk geschat kan worden.
b) een renogram waarvoor veel iteraties nodig zijn en waarvan
de geschatte parameters afwijken van de gemiddelde waarden.
4) we proberen daarna de fysische parameters om te rekenen in
fysiologische grootheden.
III. 3.1. !'1o£,e.!.-_o.E, !!l0£,e.!.s£h~t1iEK~ ..
We genereren met 6 parameters, die in de buurt liggen van de
gemiddelde geschatte waarden, een renogram waarop we 20 verschil
lende reeksen Poisson ruis snperpQneren. }).;; mC''3tmethode waarvan
gebruik gemaakt is (het tellen van quanten afkomstig nit de
richting van de nier) impliceert namelijk Poisson Tuis.
- 6tJ-'J
De errors in de countwaarden volgen een Poisson verdeling. Bij
zo'n verdeling is de variantie gelijk aan het gemiddelde. Het
totale aantal counts gemeten in ieder interval is een schatting
van het gemiddelde van de Poisson verdeling voor dat count-
interval.
Aangezien het aantal counts geteld in een interval vrij groot
is,mogen we de Poisson ruis benaderen door Normale ruis.
Voor het genereren van het renogram met Poisson ruis maken we
daarom gebruik van de volgende subroutine, die een normaal
verdeeld random getal met een gegeven gemiddelde en standaRrd-
deviatie berekent. Boven hebben we gezien, dat de variantie
gelijk is aan het gemiddelde in dit geval. Dus de standdaard
deviatie is Vgemiddelde: Als gemiddelde nemen we het aantal
gemeten counts in dat interval.
Een benadering voor normaal verdeelde meetwaarden Yt
kan met de
volgende formule,waarbij gebruik gemaakt wordt van de uniform
verdeelde random getallen op de computer, worden berekend:
12.
!If; i '== Yt t- VYt . 2. Crt" - 6 )1= /
Hierin is: Yt
de waarde van het meetpunt van het gegenereerde
renogram zander ruis.
Yt ' idem maar nu met ruis.
r. is een uniform verdeeld random getal (0 ~ r. ~ 1)1 1
Met deze gegenereerde meetwaarden kunnen we het schattingspro-
gramma testen en de invloed var" de ruis onderzoeken. We weten
nu met welke parameters het "renogram" gegenereerd is, wat ons
in staat stelt de resultaten op de juiste wijze te beoordelen.
We voeren achtereenvolgens 2 schattingen uit, waarbij we als
beginwaarden nemen:
1) ~(O)= Eg = (2,76553-0,04783-0,73149- 1,84849-2,17632-0,582 54)
~
2) /6(0) = (3,8 0,04 0,96 1,95 3,5 0,55 )i-
f
ad 1) deze beginwaardenvektor is gelijk aan de vektor waarmee
het renogram gegenereerd is.
ad 2) deze beginwaardenvektor is gebruikt bij schatting aan
echte renogrammen.
De resultaten van beide schattingen zijn weergegeven op de vol-
gende bladzijde.
Beide schattingen leveren precies dezelfde waarden op (in 5
decimalen nauwkeurig). Schatting 1 heeft daarvoor gemiddeld
91 iteraties voor nodig, schatting ~ 121.
Verder dient opgemerkt te worden, dat de "renog"('ammen" 2386(NI) _ c.,.)
en 18216 bij de eerste schatting stoppen op het criterium 15 >~
terwijl ze bij de tweede schatting met dezelfde eindwaarden
het criterium "tol. met." bereiken!!!
Evenzo stoppen de "renogrammen" 1342 en 10121 bij de tweede
schatting op het criterium "count> 10", terwijl ze bij de
eerste schatting het criterium "tol. met." bereiken!!!
De diverse criteria zijn niet tegenstrijdig. Ret verdient echter
aanbeveling om in de toekomst een stopcriterium in te voeren,
dat beter aanduidt of het globale minimum bereikt is ja dan nee.
Op de hiervolgende bladzijden zijn de resuJt~ten van de schat-
tingen weergegeven in een tabel.
Ook is weer het residu bepaald, geschatte minus gegenereerde
waarde (zie bIz. 72 ).
-1' -irJ I:! I" f /J' ( .L. •Il100J. ()li f11"0()(;~A(... ..a... A~ftj. X = Se..--c;,..twQu,-de, voo;'de raI-1C!O;--;,-
~ 6qo'9 ','179/ -'l~llR;~;M61~&;'6~~-Il/OO. 12t]IIJ. l2!k;fl. 130/;{1 1326").'
1" I00'(1"3 00'1,'09 100"}01 iDOW;35 to'i917" O.M! 61 O.050,!'1 OM!6 I
~JJf I():~~2/:9 07J~I)'J·}65ci:)).· II ()-7:3110::J'·]o.~ \ {J.j23:V D.JI!O't ()!3I5D °P901 °P9 IJr ~?7 v , ~ jl//s. 33:,0. 3t;-S2. 33S13. J!I//J.
lei !.iY'IV{l'-f !/IO/'5r; If/IF?' I.flq!h/ ItSj279 l.!y'j-S'2. /./}IJ'SII 1.}1>126
() 2 If,'' 12 ( .. f') .. I)' 2gofC .22 r'7 ~? 2 /, 7" r?! AODrJ'j'" n ''''~r:i .1 ':'1/ I .Ol;:,'!:, \ .. 2 .• .-/ I' '7;/',' .<.~I 7·) .,.I:JO') ...:. ';' . ..I. /../,;.,.. ,1
It O.j"[j)2;j·~) I G-\'5S·I.)I/ I o {.O:':'J/ lo.60L'."b o.609Cl O.-S'(,:':"rjO I O' ..·,9,~·3tJ O.--S:Q2 9/COnv.Clrt.. {O/rnei i le!r.l.!. f.(>l.rrl~t. i LO/llle!. !Oi/-;;c!.. /c<!i1rt.lg;frt~~1/r)ltOI./}j(.}c,
~~?n,t"I;. I J 9 J II ) IJ. _~I 10 oj 10 '3 6 oJ q -.J
'0'/",{ .1'J~:, '."', 'I i," J:) ; 10,'i3.1J"Y' 10 i{""(/] , ,"J'J9]",'/0 !4'1'.iJ6"", ! {o/o! 1'- i<:"92 ",'10 ,
,s~·t'~~<: _' ~ ~~61_Kd, <'1 ! X.6f-Jq'~1 ~S6_j-'-'- 6'0'1 I,x' 'Z:t£ '..",/<>::1.1 K, ::"'!:6/1 2.(,(,,136 /.fJ.1 1J'.9 I J.P;,)) 0 12.":;o~'(, ,;(,ln323 .'(C'.j(,'q'5- 2.6/1;,(;1} J.b4'{)()O
;;/ /233(7. /3.N3. 13//6. I /3(j16. 12(jO/ I 1.3/'S/. I 12"sI3. 12·S)!I.
jJ2 o.ori571 O(J 1;6-::. 'I 0. (!/(lJl/ O.O!/{.7'Y O,()'/Sh' 10.05'000 D.O£/i('// o.Ol-j7CO
/1 0I"·;q3 i oPIj(··1 D},-S'16 0/,"/(,/ 1 DJSI" I0.71%6 O]~D92 "pR3!/1 1 c?I(f)I. ,3'120, J'52·S. 37'8,/. I 3'1'(?!! I ,~,315" J1-;66. Sf;('j'
I" I.g I( 6'1 I.J7&"'/ 1.8'10>0 'It1.('0 j"B,",,'; I/.Jlb 55 I. 8~73 / /IP t7IF J"'72 {O ..2.11(,9:' I .2.(..'9:/32 2.1/!?i3 I :!./lo2lJ 1/..;8(;/3 .'U,2Cf.19 lJ'i3tS3
'/[, os/!;./( O.·sq(}:.,·f., O.f:9[?39 0.-56-:>291 O.:S·33i3 o.6ht't55 D.53::3,/)' 0.53"::;'-11
CUr,L'.U:{. f_:)i.r.:.~t'l iO!.I»(;!.. iol.l'Y/cC tu/rueC I C-ol.n;f/: to!n--;t'!.." lO/.r",-,el {()I,/;...,ee-.
QC.//lt..tC.1 g {} 9 9 I (1 q tJ II. I -" -!- 'JI .J -J oj' 'I -i. 2~>_:..-'" :.'. _ ~~/:iC;!i._~ If) "16 q,;H,:rl */~ §Jh"" ..\JO I·j q;,!~./ 1('._ Jj3Jl.6.!!.O __ t,. ~/'/;'-'!....' /(i !J ~:s.:{).:,t>+<iJ ~jY';9E~~O_ ~
,,-~<m,c I Xj;:~~>;;~;;;~ :~~~;.; j;-;;;:~ (;;~<:5; i 0;bq l~i~;;:/" ~:::\t-jJ/ /276-~. 12t.rr;3. 12{,£1/. 130qo. I 12;'5!'). 12fl65.
2. / t:0.;:);) II'
0. 0 'lFr't]
0)325'-1
..31.(6(,.
/,{9j 6 l;3
2.16J! I
D.·SF/Jo
0.0 If}
0.001
0,01/
0.063
o .03Q
D.(J'l70()() , i· 1 ~l'~j.i,.,l ILl/.
O.73{;:; {?f
3 l/[! J.
I. 5p (;0
3312.
0.050::'/'
O}371/7' 1")->'1. ).
, fl,! c/. U',:" .; /
OJ; 5"/(?O
O / ... l 00.t..'Cj f .1.
3371·
I.fhJ.b7
I
illI -
12. ffj.36'/ I .?.I6ap "?30Y(J3 I :U977 (I i "U7,?J3
/J,: (? L., 0. I'?·' ..~.) ': ., r ...0- f· J I' /? .... ' I (.l. A.' 91l.!'.L.:' !'\ K' i',.·· 3
::,':: t;~"'[ I '~:;;:2! ;~;; ~;'rI (~,""I I ;~":':I I'l!.J:...~,!S: .. ~/)4'/~:~/.;c~L·/I~9'[l,~~~-}_ </]:--.'j,·/,';JI (/:).~ ... 'I:J!'f!;!Of'n...-
J!
~VERSCHIL~GE~ETEN_EN_GESCHAT_RUISRE~OGRAM_4561
~.
l'o Tya GE"1ETEN GESCHAT VERSCHIL -80 eo~
-40.0 0 40.0(MIN) I I I I I
---------------------------------------------------------------------------------0.50 1451 1467 -14 I .. I
~ "= 1.00 3089 3075 14 I I ..:t ('> 1.50 3882 3856 26 - I I ..
"'-\ 2.00 4308 4317 -9 I .. I)-- n 2.50 4624 4639 -15 I .. I\l;l 3"- 3.00 4503 4516 -12 I " Il"'t- .....: 3.50 408fl 4131 -45 I .- I
~4.00 3747 3717 30 I I
r,.,. 4.50 3421', 3346 81 I . I ..~ ~ 5.00 3028 3033 -5 I .. IIAn \.\ 5.50 2777 ?77fJ 2 I t Itl3' ~ 6.0C 2504 2565 -I'll I " I '1!~ :t (,.50 2406 2392 14 I I "r>-- 7.00 2212 2249 -17 I .. I I"'l- ~~ 7.50 205t, 2129 -73 I .. I~ I);) 8.00 208;> 2028 53 I I "~
n- 8.50 193'l 1941 -4 I " I~~
9.00 1~~3 1866 17 I I ..:l
(\) 9.50 1823 1799 24 I I ..cZ ~ 10.00 1698 1740 -42 I " I
") ro 10.50 1759 16B6 74 I I ..~ ~ 11.00 1593 1636 -43 I " I
~«l 11.50 1594 1591 3 I I"
" 12.00 1559 1548 11 I I "~ro 12.50 1497 1508 -11 I I
" 13.00 1392 1470 -78 I" IQ. 13.50 1485 1434 52 I I "I\) 14.00 1426 1399 27 I I "
14.50 1196 1365 30 I I "~ 15.00 1293 1333 -40 I I
~15.50 1322 1302 20 I I ..
I;) 16.00 12BO 1272 9 I I "~ 1(,.50 1252 1242 9 I I ..~ 17 .00 1260 1214 46 I I ..~ 17.50 122? 11 B6 36 I . I "~
le.oo 1121'1 1159 -31 I .. I1~.50 11 16 1132 -17 I .. I
~19.00 1130 1107 24 I I "19.50 1029 1082 -52 I iL I
~20.00 1072 1057 15 I I ..20.50 1001 1033 -32 I - .. I.....
'---
Conclusies van de schatting:
- Het schattingsprogramma funktioneert goed; de stopcriteria
moeten nog verbeterd worden.
- De standaard deviaties van de 6 parameters bedragen:
Vi = 0,069 ~2 = 0,002
V6 == 0,039.
r,· - ° 071v 4 - , (/s == 0,063
Van de geschatte parameters, die we gevonden hebben bij schattin-
gen aan echte renogrammen zijn respektievelijk slechts 1
)61 f3;64 Is /6) of 2 </2 ) decimalen betrouwbaar.
- Het residu van de vorige bladzijde vertoont veel overeenkomst
met dat van blz.6t; er dient echter opgemerkt te worden, dat
de amplitude van het residu van het 3 e-machtenmodel groter
is dan bij de model- op modelschatting. Hierbij rijst de vraag
of da~ ene resterende decimaal dan nog weI bet·'ouwbaar is
Dit dient nader onderzocht te worden.
Om uitsluitsel te geven over eventuele lokale minima in de
omgeving van het globale minimum, maken we twee-dimensionale
doorsnedes van de zes-dimensionale parameterruimte. We bekijken
de error-funktie zonder weging in de deelruimtes. Er geldt:
Hierin is:y{ de meetwaarde van het gegenereerde renogram met
ruis. We nemen hicrvoor "renogram"4S61 van blz.71.
ft~) is de theoretische meetwaarde (zie verg. 46 en 47)
Deze waarde, die afhangt van de;Ol s , wordt gevarieerd.
4;5 I S worden konstant gehouden. We nemen voor deze
~'~de bij de minimale error-waarde horende waarden.
2;5 's lopen van de bij de schattingen gevonden
minimale naar de maximale waarden.
op de volgende bladzijden zijn weergegeven :
In deze hoogtekaarten zijn weergegeven de iteratiestappen van de
(1,(0) ( ).schatting met beginwaarden/~ = 3,8-0,04-0,96-1,95-3,5-0,55.
Ret veld van de hoogtekaart is verdeeld in 18 vertikale en 18
horizontale hokjes. Ret programma berekent de waarden van
voor de bijbehorende 361 roosterpunten en geeft het daarbij
gevonden minimum aam met een X , en het maximum met een"t •
Uit de hoogtekaarten blijkt, dat er geen lokale minima liggen
in de buurt van het globale minimum voor deze do,)rsneden. Ret
heeft dan ook geen nut om de andere doorsneden ook te bepalen.
Verder blijkt, dat het schattingsprogramma goed naar het globale
minimum toeloopt. We mogen dus aannemen, dat de gevonden eind-
schattingen voor;G1 t/m;16 een-eenduidig bepaald worden door
de 41 meetpunten van het ~~~~~~~~~~~~. renogram.
Opmerking: op de nu volgende hoogtekaarten is de afstand tussen
de verschillende hoogtelijnen gelijk.
,iJG:l~" LJ _,
------==---==-=- ----------'-===_._----::_-=-------=--=--=-=.-=
__L_J-----.L.
. fJ 3,02
n/, '-
·92
8,,4
11
4 .08
[3 r~ TH
;>q.26hooqtel<aarcvoth
qeren ereerd
reho9r~#7.
(/t/)br)
- ------------
.::= ;;; "~~~.i;J·',--J~~'~.'
1._.1... I..I.
,l: ",.I
---- -:.....-....-----
-'0 (' C"'~·~ -----_._. U (y. I _ _
L/ ~".--" . -.~....... -~_.. .
-, i~ r'. /~ .__----'~~ ) lJ _'. (//"
! /
J),j ~'I.. r\L1 ,) ~- - .. __
~'-. ""- _--._-- ..
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
I
LJ;
__ ...--.,--_ .... ~ ~_~_..-.r".
"
2
< _. ---~--
C t1
(It-lI ,
1 '
.8
1 . S:2
_,13
.9\3
.58
.. 1
"13 Z
~96
!'q.2Fhooqtekaartvan9eq en eree,.drenoqrCi VV1
.(If-:i6/)
,07
BETR
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
\
) F- -- n)
1_., I__ ! I •
.2S
11.
f>q. zq: ' 2~)-;;ooqte kQt:;r tVClh ge f!jf2-l?ereer{)/
reno9rCtn--,(. cr-s-6 Jj
I;' q.
--lq-
,~) r~~
. l....Ju 1 . 1~
lrI
if, ,t
Ii·
--&0-
Om te kijken of de omgeving van de geschatte parameters verschil-
len vertonen met die van een gegenereerd renogram, maken we
weer een hoogtekaart van de error-funktie:
~/ ~13;: L (!:It- - /to))n.=:/
Hierin is Yt de meetwaarde van het echte renogram. We nemen
hiervoor reepectievelijk 441.1 en 330.1.
ft~) wordt bepaald zoals hiervoor (bIz. Iii ) beschre-
ven is.
In de hoogtekaarten liggen de hoogtelijnen weer op gelijke onderlinge
afstand. We bekijken eerst renogram 441.1.
Ook hier zijn de iteratiestappen van het schattingsprogramma
aangegeven. De voor deze schatting gebruikte beginwaardenvektor
was:~{o/ = (7,4-0,06-1,6-1,1-2,5-0,4).
Deze beginwaarden leveren exact dezelfde waarden op als de schat
ting met beginWaarden:~{o/= (3,8-0,04-0,96-1,95-2,5-0,55).
Conclusies hoogtekaartplot van renogram 441.1:
In de buurt van het globale minimum liggen geen lokale minima.
De struktuur van de hoogtekaarten vertoont sterke overeenkomst
met die van het gegenereerde renogram.
lf~t schattingsprogramma loopt voor verschillende beginwaarden
naar het-zelfde globale minimum. Voordat we hieruit concluderen,
dat de geschatte parameters een-eenduidig bepaald worden door
een set van 41 meetpunten bekijken 'we eerst nog een hoogtekaart\(330,1)/
van een renogram, waarvan de teschattenparameters moeilijk te
schatten zijn en waarvan de parameters oak afwijken van de ge-
middelde waarden. Ook uit deze hoogtekaarten blijkt, dat het
programma naar een globaal minimum toeloopt. Ze zijn daarom niet
weergegeven.
2.64
VQn
5.52
BETR 1 4.8
4.08
3.36
. 2.64
1 .92
1 . 2.47
BETR 2
.68 .89 1.1 1.31 1.52 1.73
3.352.92.45
4
2
BETR
1 .551 . 1
-----_..
_.~--------------
L------__~ ~
-82-"
I!"-=--~~-. - --.:..--.:...:..--.---------..---------- _._---_._- -
~~~;-==-~==-====~~-= - --. . - -~~-=== -_.-
7.68
8.4
[;.9(3
[:i .24
3.36
2·54
BETR 1 4.8
4.08
!iq.31:
hoogtekQQrtltan
ren09rahr7 L,YI.!
8.4
7.58
6·~6
6.24
5.52
BETR 1 4·8
4.08
3.36
2.54
1 .92
1 . 21 . 5 2 2.5 3 , 3. 5
.07.06.05.04.03
2.64
3.36
/iq 32:
hooq tekoart 1. 2
lIqn
ren oqram 4'-1 I. /
1 .92
BETR
BETR
'.l '7• I..,
. CH-J S
.025
.035
, () t3
3,352.9
4
2
BET F~
1 .551 ' 1.65.02
.03
.05
.055
2. 045
.04
I~q 33 .
hooqtekoQrt/l4n
renoqrClvn
BETR
3 .25 I
3
2.75
BETR S·25
2
1 .75
1 .5
1 .25
1.02 .03 .04 .05 .06 .07
BETR 6
. U I
-85..065
.06
.055
.05
BETR('l.045i-
.04
.035
.03
.025
liq 3t.;: .02hooqtekQClrt .25 . 4
vanrenoqro lM t.;'1/,/
.55 .7
,i,f{.
I;
ti.....r,;\;,
~,~I'i •
---\=-===----========.82 !.68 . ~~! .'
~~~
.54 ---- '\, ~ ---------------------------
11G...J-::::::-,{ ::r:::=:r::::.:-....t-l..-L-L---J--J I \ 1 1 I ! ! .. Ld
• '.l .65 1,1 1.55 2 2.45 2.9 3.35
1 .8
1 .24
1 .38
1 .52
1 .66
BETR 3 1.1
.96
DCTn II
- 86- 1 . 8
1 . G6
1 .52
1 .38
1 .24
Bt_ TR ~ 1 . 1 I'-'
.. 96
.82
.68
.54
;;q,3S:' .4 ~--'-'-hocq tel<oortva"renoqrom L;~/, I
1 . 5 2 2 .5
BETR 5
3 3.5
1 . 8
1 . G6
1 .52
1 .38
1 .24
BETR 3 1 .1
.95
.82
.68
.54
. 42 l-. U
--------.L ._._L-l l _.J._..J__..L-l. I~_--.-l--.J
.4 .55 .7 .85 1 1.15
'iI,.',
,.~
"
;
,iI
,I, 1
-I'I,!I:II
\
\
"/!,BETR
2
.8
1 .7
2.3
1 . 1
2.9
2.6
1 .5
2
3.2
2.75
2.5
1 . 75
2.255
4
1 .25
I~q. 36: 1hooqtekoQrt
van CrLiI, Ireh(){Jra~
3.5
BETR
BETR
I .
-88-
", ,
..
\
BETR 6
3.5
3
3.25
.2.75
I-:q. 37;hoogcekaadL-Oh
rer709rQ~ '141. (
BETR
, ,: 1
1
I
ii
I ~, ,, '
; .~';. .
., .
-fJq -
Aan de hand van de hoogtekaarten kunnen we vaststellen, dat
een set van 41 meetpunten een set van 6 parameters bepaalt.
We kunnen daarom trachten de geschatte parameters om te rekenen
in fysische parameters.(P1 tim P6).
We moeten daarbij het volgende bedenken:
- We hebben gesteld, dat: Yt = ft(~) + nt. (Yt = meetwaarde)
Ten gevolge van de ruis nt
is hoogstens 1 decimaal van de
geschatte parameters betrouwbaar, bij~2 2 decimalen.
- We hebben gesteld, dat de funktie ft
van het model de werke
lijkheid exact beschrijft.
- We hebben gesteld, dat de achtergrondactiviteit verwaarloos-
baar klein is.
Als het gestelde waar is, vinden we voor de gemiddelde waarden
der fysische parameters:
rechts links
P1 = 3,6 P1 = 2,8
P2 = 0,05 P2 = 0,05
P3 = 0,9 P3 = 0,8
P4 = 1 , 5 P4= 2,1
P 5= 2,0 P5
= 2,5
P6 = 0,6
P 1/P3 = 4,0
P6 = 0,5
P1/P3 = 3,5
Deze waarden voldoen niet geh~el san de v~~~achtingen. Er mnet
namelijk gelden: P2 (rechts) = P2
(links)
P4
(rechts) = P4 (links)
P1/P3 (rechts) = P1/P3
(links).
-qo-
De problemen, die hier Iiggen kunnen door mij i.v.m. tijdgebrek
niet meer opgelost worden. WeI kan ik nog kijken of deze para-
meters reeel zijn. Daartoe rekenen we ze m.b.v. de volgende
formules, die afgeleid zijn in hoofdstuk I, om in fysiologische
grootheden.
T
(ree-hts)1)6'= c;,,~ (J/nks) .
;- 0.P
Uit deze vergeIij~ingen destiIIeren we de volgende vergeIijkingen:
(z.o.z.)
-=- f2jJ't (ll T13)
j lt1. -rjJJjJ'i
- (J;-
C;;o ~ (;112 Z-f/Jjp~7.)(Pd jh)412 f'lJ3 (PL_jJ'I)7.
II, =J}!i!:!- (PI -r/JJ) 2
/12.. 1'/)3 {!:l ry )2
cI/L;re5e~~~-
2
Hierin vullen we de gemiddelde waarden in van blz.89. We vinden:
rechts: links:
G1o/V1 = 1 ,3 G1o/V1 = 1,9
G12/V1 = 1,0 G12/V1 = 1 ,4
G12/V2 = 0,22 G12/V2 = 0,21
G10/G12 =1,3 G10/G12 = 1,4
V1 /V2 = 0,22 V1 /V2 = 0,14
V3P = 4,1 mI. V
4P = 4,9 mI.
T = 2,0 min. T = 2,5 min.
Het gewicht van de patienten is gemiddeld 68 kg. De diurese is
gemiddeld 4,9 ml/min.
Vanwege de normering van de renogrammen kunnen we de absolute
waarden van de grootheden niet berekenen, de verhoudingen weI.
-92-
Om het resultaat te toetsen aan de werkelijkheid stellen we,
dat het volume van het bloedplasma gelijk moet zijn aan 2,8 liter!
Met deze waarden vinden we:
rechts: V1 = 2,81. V2 = 12,7
Gi0 = 3,6 liter/min.
1. V 3P = 4, 1 mL
G12 = 2,8 liter/min. G13 = 0,41/min.
links: V1 = 2,8 1. V2 = 20
G10 = 5,3 liter/min.
1. V4P = 4,9 ml.
G12 = 3,9 liter/min. G14 = 0,71/min.
Vooral de flows wijken sterk af van de realiteit.
We concluderen, dat de parameterschatting verbeterd moet worden,
en de verschillende knelpunten, die op de volgende bladzijde
worden genoemd,nader onderzocht moeten worden.
-~-
Conclusie en aanbevelingen:
Dit verslag bevat de eerste resultaten van parameterschatting
aan renogrammen van patienten met gezonde nieren.
Er wordt geschat met respectievelijk een 2 e-machtenmodel en
een 3 e-machtenmodel.
Als schattingsprogramma gebruiken we een programma dat berust
op het principe van Marquardt.
Vooral de curven gevonden met het 3 e-machtenmodel gelijken
goed op de echte renogrammen. Het residu gelijkt op witte ruis.
Het omrekenen van de geschatte parameters in fysiologische groot
heden wordt echter bemoeilijkt door de volgende punten:
- Er zit ruis op de renogrammen. Hierdoor zijn de geschatte
parameters slechts in weinig decimalen betrouwbaar.
- Er is gekeken of de afbeelding van 41 meetpunten naar 6 ge
schatte parameters een-eenduidig is. In enkele (3) gevallen
was dit niet zoo Hierbij convergeerde het computerprogramma
bij verschillende beginwaarden naar verschillende eindpunten.
- De achtergrondaktiviteit heeft invloed op de meting. De meting
wordt hiervoor niet gecorrigeerd.
- Het is niet bekend of het model de werkelijkheid exact beschrijft.
Vanwege deze moeilijkheden zijn de op bIz. 91 gevonden fysio
logische grootheden dan ook weinig betrouwbaar.
In de toekomst zal D. de Vries, die met dit onderzoek verdergaat,
dezelfde schattingen nog gellS verrichten met een verbeterde
versie van de f0utenfunctie ~. (er wordt dan als weegmatrix
gebruikt wn = 1/ YnAt ).
Hij zal ook de achtergrondaktiviteit onderzoeken.
Ondergetekende wenst hem daarbij veel succes.
- {II.;-../
Literatuur.
Britton en Brown: Clinical Renography.
Lloyd Luke London. 1971.
Valtin H.
Atkins. G.L.
Renal Function.
Little, Brown and Company. 1973.
Multicompartmental models for biological
systems.
Methuen London. 1969.
Glass en Garreta: The Quantitative limitations of
exponential curve fitting.
Phys. Med. BioI. 1971 vol.16 no 1. 119-130.
Marquardt D.W. An algorithm for least-squares
estimation of non-linear parc:jeten~.
J. Soc. Indust. Appl. Mat. 11 no 2. 1963.
Dell R.B. et el.: A weighted least-squares technique for
analyses of kinetic data and its application
to the study of renal 133Xenon washout in
dogs and man.
Circulation Research 32 no 1. 1973.
Haak. R. Renography modelling and parameterestimation.
Eindhoven University of Technology. 1974.
Appehdi~' E I E f< I Z I ~I L 1,1 A N S I P A C I',\--/i------::: :<: 'j:: :: :: ~ ::: = ::: ~ :1; ., ::: :: ~ - ,.
: uEG1 f~ f
b 'SeT' Nt!'i!' Uf"ill~ F I ([~1 CE. DURE \ ~,~ i, :<l! Ur~. f'W T t. rJ pO r NS,N PA'" pAR, GRII D,t X, '( , ¥i" Ful~ , F J ,! 1', Ct G" 1 () L1 , TO l ~ •_-::"'=::;;;~::: :;;:..~=~:.:.: :' 'C,:::C-:-:=,=~==_ I TEIt l' 1 ~i i\ X, PHI I PHI r ,. Dr Ar, I' C() NVI' 0 UT j; r I lEO UT ) ;• V1\ L l) t::' NP0 J hl:::i I' I~ Pt\" 1 ~~ i\ Xt TuL 1, r [I L ? P [) PAI-(l' UU1 J~ ll~ 1 L l~ ER' NP U," NS l' I~ PA' l TUl p I MA1.)\ CON v' OUT;, i\ t: i\ L' 1 0 L 1 f' T0 l. ~ l' IJ H1 " i' I~ I I ,. DPili i ;
t 1\ I~ f~ h Y~ PAi'\I' G!U\ UJ' ,; [ ~, ] ,. )' p F [ *" to J }I rll G( *; ~ " ..... J ;t f Il.f-~ ~ r I l.f~ 0 u1 j
~ FP(l CCD1I f~ C t f' UI'; P ,) ,4, C;'uLGIi'J:1~*~~~~'A.~**~~*****'*~{A********ftA**~***R~******~**~****~**.**'**k*•• ~
PRO~EUURE MAR~UARDT
~**n***r.*****~*~*******n*~t.r~***~**wi******w*~***~~~*****r.***P.**r.******
~~
~ 1111S PRUC[UURL LSTIMATE~ THE PARAMEllKS OF A HODEL' THAT OECR1BlS A~ G1 VUJ P i~ QC[,S S \-! 1 THUN C LJ R '''~: REO UTP LJ Ts. H~ :> UCt-1 /\ WA Yto 'f Ii 1\ T PH r::;~ S !JtH ( 0 uHUn .)) P fI C~ [ SS ... 0 UTi' lH ( S) ~1 UDEL ),., * 2) 1 ~ I; S S ~~ t, Ll. AS~ PUSSXBLl..~ rm: I-IDOl\. cr\l~sI~TS uF A FUNCTION OR A seT OF FUNCTIONS" 111AT)) 0 L Cfd B[ S THt: 0 UTPUi , S) l) r TIi £ t': 0 D[L •
%~ PROCEDURE CALLt~; H1\ t: lJ LIt.. RDr ( HP0 JUS I l~ P i\ I P /;I( i' Gf{ 1\ D.. Xp Y, ri" FUN .. F, J ACp G·+ TULl ; T0 L 2;: I Tnuz Hd~XfI'Hl .. PlnI~OPArpCONV .. OUTI'FIU:OvT)J~~
~XXl~!~lii~~~~~~Zk~%~1Xt~~iIZ~ZZ~~ZI~~tZZ~~ZIII%I~1~lt~!Z~zt~hZ~t~i~~k1
1;~ HH. PROC[LUid:: Ft..:fj GU~U\j\T£S THE FUNCTror~VAluESI M/iTRIX rU,I<)Jl% 0 t,!':::I.; [) I t~ G u;~ r Hl G1 vE;: IN U[I) £: t~ [l E. tH vr'\ Hr l~ BLeV ECTon ~r J (P .. E. r I I,; E ) •% Iii E PH 0 (; [ll L! t< l ,) AC GL/.! [fU, TLS TIi E 0 ERI vAr n't vAllJ [ S J' t~ AT Id x G( ~ J '" ,011 ) ~
% D(Pl.f:O!NG xr.';:J~
%% NS~ r-wo~J /liP!'l!; 1. ill\ Xr TUl. 1)'; 'f01.21; ITLH~ Pillt Pill Ib Df'Af<" CUNY~
X
IW HtJ EH LJ F S ~ GN1'. LSfW !·i II CR li r p uI N T~
I IJU:1() I:. F~ lJ F P" f\ AHL 'I' [ f~ SlUI X UIU II, NUI·W EH UFIT Cn,\ T I 0 r~ s
I TULL~~N~l 1 (PHI/PHISTAHTl1 TUL d~ k h (; C 2 (N 0 Idol 0 / rw fH-I P Af( )
, J Ub EN I' ARM\ [T (K 'I TEf~ AT! 0 NCO UNT Er~ )1 SU~~ , Ii; :l r~ (J D( 'Y l .;; I 1: J ." F t '" ,. .;: J ) ~ ~i [ * # 'it P .. ) I' Y( ,~ , *J ... J: [ oJ< I *) ) )
I TH[ SAM [ t, S Plil fj U1 CHAN GrNG uUtd r~ G EA(' HIT EHAT 1eNz 1,1 I, X1 Ii UH () f 1', 8 ~ <u( ... ] I P I. R( '" J )
GI V[s T 11 I:': Rt:: ASO fH Ii H'( r HE PnQCEUlm ( s T0 f) SC() tJ if - v s THl (i I vi.r~ TO i. E~UI NSC 1. S M[TCo~ v' ~, 1 t r; 0 Vr.L. 1D STM<T 1 t'!(i pur rd F0 UNOCuiU .. c:: I 1 TL i( ;:, J ~i AX
% OUT>S:t;
~
~
% FILEOUT
CUNY ~ J :CUN" :: 4 tCUN" .,; J t
t oLTt.:rndl~Es
ou T .• 0OuT .. OJI tOUr - lvOl~
OUT :: 1\)02;• OU'fPUTFILE
.2MATRIX GTWG IS SINGULAR1..1NEMIN IS APPLIED I'I''\D hill Gir~ PHILAMG0A G1R p+8 OK COUNT GTH 10lHE uulPuT OF PRocEOuRE MAKUuARDT,OUT>; 0
NO t.;LITPUTouTPUT EVERY OUT ITERATIONS (1<~OUT<~1000)
Si'MiiDATATH[ RESUL T OF THE PHOCEOUf;E MARQUARDT
% PAIH*J% GfU,ut,,JZ xl*)
. % n~·.dJ
~ FI.*I'*)% wL*"".d:·)% G(*f* .. ,;,J%
::: PAfHltNPAJ- GHAuCl1NPh):,:, x, 1 :NPOJ::: Y(lq~PO .. lINS):;: FLlt"'\'Clpl:N~J
:: ~ ( 1 : NPO, 1 t N~1" 1 : f~ SJ~, G[ltNf'O ... ltNPf,,,,llNSJ
I PARA~ETLRVEcTUR
a GflAuI(NTVlCTOHI INDEPENCE~T VARIABLE VECTORt PHOCEsS N£ASUkEMENTSI MUDEL Ml~SURlMENTS
I W£IGHTI~GrlATRIX
1 DLRIVAT1VlMAT~IX
/.
.2.
~****.~*****.**~*~*~* ••****.****.*******.***~~~~*~****~****************~******~*~**~,~~~*~*******~.*~~***********~~***~.***********************
PROcEUUHE MAROUhRDTPROCEOUk[S AND DECLARATIONS
Z***~***~~*·~*~~)~*~~*********~~***~*'** •• *·*~*~******,.*******.*~**.**'HEf\L' \rf~L'('!~U:}~·,i:' ()HIt: (NPU.· NS, \)1' YI F);"'-VA-CU Ef·"-r~';;Ll/i·~·:;T- _._-~- ._...~+INTEGtR' NPU'NSJt H f~ k A )" 't I' F [ 1\' p ;, J f i/ [ 'I: l' *, 'I': ) ittJE(i!N f
, 'INTEGER' I/J,K;~ HEAV 5j~ AR1\ AY' A( 1 xr-i ~} J;S3:-:0; .
'font If:: 1 'STEP' 1 'Ui,TIL. ' NPO 'DU''BEGIN' . !' , •
· '(6R~ J~~ 1 '~TEP' 1 'UNTIL' NS 'ua'~[JJt~ IN~HOn(K,l;NSf~(I,K)~F[I'Kl,~[!pK'JJ);s 1~ S"" I I'd P I~ 0 D( ;,<" 1 J 14 S.' 1\ [ t\ J ~ Y( I , K J'" r [ J. j; t\ J. );
~END'JPriIE:~ s;
'i:.ND~ PHIU:tB.!L\j.~Q.Ynt~J'l At:.~,-..l~J ~,.q_~ NPOI' NS fo i\ P p., I' PAR 1 X, ri f Gf. ~J A(.; , GT fi GI 0 I AG) i~ VII L LJ [' rH' (j 1 I ~ ~} J N!' 1', .:
I ltH [(;. [H ~ I~ PDJ iI/51' I'; fJ U, A f~ Hp, yIp 1\ H,. >; , D1/, \..; [ " J ~ GTh \oJ r i, , * 1p \".' GL '1:, .. , 11 J j, PRUe [ 6u f~ [' J II C;·u(Glr,,'I .
'INTEGER' I"J~K,L;'ARRAY' GO,Gl[lJNPA,lINPAJ)· ,JAC(NPU~PAR/X~G,N~);
'fOH' It:: 1 '~l~:P' 1 ;UN1'lV NPA 'DU'~FOR' Jt= I j~TEP; 1 'UNTIL 1 NPA iOO' GTWij(l"J]l~ GTWQ(J,I]r= 0;'rOR' r:= 1 'sTEpi 1 !UNT1L~ NPO ~D~~'BEGIN' . ,· 'FOH' Jt::: 1 '~TEP' 1 'ur'TIL' NPA '00'
·FOR' K*= 1 ~STEpl 1 ~U~TIL~ NS 'DO'GO(J,K)t~ DLi~PRO~(Lfi'NS"GtI,JpLJ'~[I,L'K])i'FOR' J~= 1 'STEP' 1 'UNTIL' NPA 'DO'
• I 'I I',
'TH£I\', ,
'FOR~ K&~ 1 :~TEP~ 1 ~UNTIL~ NPA ~DO'
G1 [ J P 1< J :::: 0 L I I~ PHD u( t. I> 1 p NS 1 G0 ( J, L 1, Gt I I KR L ) ) ;'fUR' JI~ 1 '~TEP' 1 'UNTIL' NPA '00'tFOR f Kl= 1 ~STEP~ 1 ~UNTIL~ NPA ~DO'GiiJlitJfJK)t~ GTkG(JJ!\)+ Gl[j'K); .
'END'':trol<' 1:'" ,. '~TEP' 1 'UNTIL' NPA 'DO' DIAGrpt= SORT<Gn~G(I.. I]);'rnn' IP' 1 '~Tf:.pi 1 ~UUTlL~ NPA ~l)U~~FOR' J:~ 1 ·~TEP; 1 'UNTIL' NPA 'DO'GHi eH 11' J J ~ r:: GTl JGr. L J } i C!J !P, CIt I ] ~ D! f., G[ J J )I
t t:.. ND' t>: M, E c; l' \'J GJt P t~ UCEO UH[' tv! t· Kf. GT \~ Y( t~ PO" r~ S .!" f~ PA" 1/·- Y; F' GJl f) I 1\ G' GT f'IY )); VALU-i"I-Nt";'~J" r~'~:~-i~'t:;'A;'-
·lNll.l;,b~H· iW[Jt IJS' liPA}• At( i\ AY~ [)1 AGIG Tin' l '" ] f f I' Y( 'k s- " ) .. Ii, G[ .. , 'iu '* J J
, ~ bEG I r~ ~ , " " ,, Ifn [ ci [ i~ f I I ..I ~ I{ I' L}, ARf< 1\ Y' (i 0 [ 1 t 1,,1,1 A ~ 1 t NS ) " G1 l 1 l NP t, ] J~rOR' i.= 1 'STEP' 1 'UNTLL' wPA 'DO' GTWY[Ilz= OJ·fQH ' 11= 1 ·~T[F! 1 JUNT1Li NPO iDO~t ~, . , ' .• ~ I'
• dECd 1-;tFOH~ ~J:;;:J, 'STE.PI 1 'li1l<TIl.' NPA 'DO'~fOR' Kt= l' '~TE~: 1 ~~HTI~f NS ~DO~GU ( ,) p K } r:~ DL. r j~ PH0 lJ ( L. /' 1 , I~ S, G[ I r J" L ) , w( ! , L, K 1 ) itfOR~ Jlu 1 9~T~P' 1 ·UN1IL' NPA '00'
~ • ! I
'IJEGIN f
, G1 t ,J J :~; 0 LIN P t~ CJ U( L~ 11 NS I' GO ( J,. L ] p YL I " L ) .. F ~ 11 L) ) ;GTii Y( .J ) :::: GT ~\ Y( .J ) l' G1 [ J 1J
'ENUI'[NU'i•ron' I::~ 1 • ~ 1 EP' 1 'u I~ Trl' r~ PA 'D 0' GT i': 1 ( 1 ) ;:l Gil, Y[ 1 ) / 0 1AG( I J;
'Lr~o' M!\,KE Gil~YJ' .. , "
r. ~~_~.¢if}~lRl-~.'_':_l.tc.rS.LJ?J..A~~1 N f\ l... ( t\ FAf G'I' f~ G, EL[M EN T) i, Vt<. L Ut: \ N:' u' L U. 1'1 to 1'\ 1 ;.tIN H~ L[: R' ~w f:.. Jf 1\ £ "L f F.l. 1:>,1 t I'! T;• II fOU, )" GTH (i [ *, 1'! ) ;
·I.;;EGIf·~i, , I r~ T[ GE!~' I}
IFOR' Il~ 1 "TEP' 1 'UNTIL' NPA 'DO' GT~G(r'I)l= ELEMENT)I ~, I , . 1 I
, L NUl ~: At< L () r,,\ G0 NAU5. ~.~.!~bJ:: ~.rL~~.. f~r\~~.~ L.0.\'LL_'__~JlJiT 1.tl.Y .f:;.( NOH f'; D" N(J HH P1\ H~ Pt1 I ~ TAHT) )
, 'r' ALu[t rJiJ ,n~ D.. NI) f\ [·1 P f, R f PHI ~) l 1', Fd )t r\l.I\ L ' . NO j( i-H) i' NU!\ i~ f' AlU t' HI .5 TAfn ;'U[ull'j', ~D~N':rNTEGER~ MAXTOL~)
·1~OOLt:AN' GUOr,,)GU(\ I~ t::: ; iii UL f ;
, I r' I~ 0 Ii HU 'E. y L ~ ~ f 6 f Ttl EN t MAY. TO L 2 1::3 0':{ • I
1F' NOH H() I r'~ 0 rd,1 PMl • L ~ S' TGL2 'T H£ N' ,<1 /; XTUL2 I:: MAXT0L 2 + 1)~ IF": P Hllf~ HIS "\ II RT 'l~ S:) ~ . TuL1 ~ em' t~ AxTDL2 ~ GTR ~ 5 'T HU~ :'U£GIN~
, GUQril:~ ~FAL":'[~)CONY::;; 0;
tEND' S PHI/PHISTART LSS lOll OR NO~~D/NORMPAR lSS TOL2I
'ELSE~
l'rCRI~ 1 Tt;n'" U~ £ NO' . I TEK GTK rr~ Ii XJC(JNlrNIJ!:::~ GOUN;
, E. N\) teo rn It~ uU6. 'i j ~~ Gee DUf([' L rN[ rH IH PAH1 Jl PHI d- HI I .. 0 ) ,
t;;-"-._.-..- ..---,,--~-.vALUE' I'IU;'~\t:AL' P,ilpPHlr;·AHHAY' PARI~D[*)~'l1[<.ilf\i', ~ IN TEuEll' r I' i~ 1-' LF i
, f\ [ .t, L f T.. Tr L U.j p TMrN J' r r "FP1.. us' nlI r~ ;, .HALF::.: 1J, 1'1 HI l. E' 11 ALF 'l SS: 1 1 'p. r~ 0; PHI I 'G TR' P t1 I'D (J ,I L.:t c: (' r,'It' . I; L) f;.., ..l ' 'It .
T;::: 065 +; "'t", ALF ~
'FOH' ll~ 1 ':.TLP' 1 'UI'lTll.' NPA ~D(J'PARI[l]l: PA~LI]+'O[I~~T; ·FUN(NPO,PARI~~,F~HS);
FF t::; PHr ~= (NP[J" r~ ~;... t'.J '{ fo F ) ;'Ir' rr 'bTR' PHI 'THtN' PHIlz~ FF.. . , 'ELSt.'·, ,
'l3£:G I i'I'TrLUS:~ 1.5-1; TM1N:= 065*T;'FOH' lt~ 1 '~TEP' 1 'UNTIL' NPA 'DO'FAin t ! J t:: P i\i~ l I )+ . r.: l I ) *TPLUS; . I
FUi~ , ~J,.., UI' rAn 1 ~ X, F " i~ S ) ;fPLJSl~ PriIC(NPU'~S,W,Y'F);
, ~- 0 H' It:: 1 '~n: p I 1 'u I~ ilL' r~ p A ~ DO;~AHltr]:~ PA~[Il+'ctIJ*TMlNjfUN ( II PO, P II RI ~ x j r p l~ S ) ;r MI [~ g::. PH r [ ( r>J F0~ N~, ~x I' YfJ F) ;'lF~ rPLU~ 'L~S' FF 'THeN'tUEGL~' . . . ,
PtlII:::' FPlUS;'fOR' I~= 1 '~TEP' 1 'UNTIL' NPA ~DQ'
rARItl]:~ PA~LIJ+ D[I)*rPLUS;'(NO' 'ELSE't 1f; , f MIN 'L S~, FF I I I, EI~ ,'8E~lH~ .. PHI!::::: ftHNi
'FOR' I:~ 1 t~lEP' 1 'UNTIL' NPA '00'~ARlt~l~= PARLI]. D[Ij*TMI4;
'(~u' 'tLSE', . _ I
.. 't3EGrl~'
PHlp:: FFJ~FOt\' rz~ 1 ':,T£P' 1 'UNTIL~ NPA 'Du'PAf{ ! ( I ] :::; Pf, f( l I J.: 'D [ I j *Ti
'END';'END' Ff L[~ fHX;
. HALf I ~ HAL.F .... li~lND'j Z HHILL HALF L~S 11 AND PHIL GTR PHI
't:NlJ t LINL/·:IN;2 ' I;' tW CLi JlJf~ r:' HLSLTLJ A ! A( r ,t.. t\ I ) jT· 'A-I~lfAyT'PA'fl'iT';-n---'--'--
:oEl;1N':lNTE.Gr::F~' r;PHIl::.: PHI;~fOR' 11= 1 ~~TEP: 1 ~UNTIL; NPA ~DO' PARLCllz= PAR(!l)
'c.NU~ REstToATAJ
8. 'PHUCEO'JRC ~ OUTPlJl (OUlPUT >1~f;l. utf'--o·~?f f Lirr--"~lNTEGtH' UUTPuT), Ii E(j I :~ •, ~U~TEU:l~~ IsJ .. U
'OViNt'I!~1r(~u(' K!·lF t QU'/f'UT 'i.-d:::O' 1 'rHE.N'·fjECrl~· ", IIF' OUTPuT 'LQL' 1001 'THEN'
• .1 E(', T r,' , Il.J .: ~* 1 t •
j'i F( I j [ Cf 1L £. 0UT" < ,I p ~ 6 ( tl * If ) " H .. s ... T.. A.. R.., T'" D... A.. T... f, .. tI I 56 ( "'" II J I
IIII f I, b ~ H f i\ n· i p Xl 13,~ " X", " p * ( r., 1 '> p n yIt I I 1 ) I I> I
NS,~FU~~ !:~ 1 'SlEpt 1 tUNTIL~ N~ :OO~ I>;'IF' Nro ~G(Q' NPA 'THEN i, ,_!. I il . , 1
L3t:.\J i~
\'t In TF: , f I l. LOU T.~ < 1i: ( / pEl 7 ~ 10., X141 U, 7 ~ 10 f 1< ( XI.p [ 17 e 10 ) » "NU,;. ; I 01< t If::: 1 's i EP ~ 1 • UN1" J. L ~ NPA 'DOt r PII H( I J I
X( 1 1:' h S ~ ~ F LJ ;; I ,j l:' 1 's Tt. P t 1 ~ U(~T I L ~ N 5 'D 0: y( 1 I' J ) 2 ) }, l F I i., f' LJ '(1'{ f~ I NPA 'T Ii t r... '
Ii h'! T[ ( F ! Lt.ll UT;· c: '* ( I , x2 1P £ i 7 ~ 1 L' f. * ( X4 ,. [ 17 & 10) ) > ,NPU-NVA~tfOH' If: NPA+l 'ST[~' 1 'UNTIL' NPO '00'[XLI J, j-j S I' ' f Uf\ ~ J &::: 1 • ~ TEl" 1 ~ UN TIL: i~ S 'D 0 ~ Y[ I i J ) ) ) ;
, E j~ U f % fd' G Gt Q !~ t; /~ ,. ~ELSEf
if 1< I l f , r' ILL 0 '.,' T" <: l~ ( I ,~ £: 1 'I .. 10 I X£4 , t: 1., • 10, * ( X4 , E 17 s 10 ) ) ,*(/~l17.l0», .NPO.'FOR' l: u 1 '~TlP' 1 'UNTIL' NPO 'Do' [PAR[lJ,XLI1,NS ." \ Fu H' ..I~, ~~ 1 t ST[ f' t ' 1 fUN TIL ' . NS '0 U I Y( I ,. J J ) ,. N~ A.. NPO,., FUI~ t Ii!.'! NP[) + 1 ' , ~ TEP' 1 ~ UNTIL' Iii PJ\ I [) L.J' PAR (! )) iiHU Tt.:: ( r ! U:: 0 uT'" c:. I I I .' II .. PHI ... ,;.; ....... I' t: 1 j t 1 1 8 I / I , 1 32 ( to 1( tt ) >1' P Hr );K ! ~ L I~ TrEH( NPAI)'~ ~ 8 ) ;\'{ RI i [ t FJ Lt. 0UT.' <I ,. ~ 32 ( II \( ft ) ,. II f X3p .. ! ft ;. ) ;
HNI1L~F1LLUUT[SPACE(O)J);
ri i <I 1 E. ( F ! LL [J UT, < I' ( f.. 9 /' ~, ( X:'i I' tI P i\ R( ,; ,. 1 ~ J It ] .1 , X1 1 ), I ) I I >,.KJ' frO,:' I ~:-~ 1 's l' LP f 1 'u NT1L' r, lOU' [' IF' (N PI, .. I it 5) 'G EI:i 'o i r i! L i~ t l L 1,:: 5J 'rLS l ' ' ( L ~:: 1'\ F' I, '" , I" i ) '* 5J , t F0 I~' J ,;: 1 • S TE. P1 :UinrL~ L ~LJC~ Li~ (i"l)"~JJ); "
'END' "ELSE''lr~ OUTPuT '~aL' 100~ lTHEN't bE \l I r~ " •! ~RiTElFILLOUT[SKI~(l)l);
WRI T[ <. F r LL 0 LJ r I' <L; UCHI': tt ) I' " ... T.. II ... E... _, .. R.. L .. S'" Uon L. T'" ..... 0 ... t ....... T.. H.. E..• _P_~~O~C_[_D.U~R~C .... ~M.A_K_Q_U ... A.RMDwTM·t,29(n*tt),111 I,II PHI <"_ ~: '" " I; I' C1e ~ 11 f II " It NUMOE H.. () F ... }. Tt:: Hf, T rUN .. :;:., .., tt , I LII II ," L i\ H Dl; A•., ,,; ...." H P L J. i3 t 1 1F I II I X2 ~ " I II I'
X! 2 ; Ii I ,\ R( J. J I: , ,; ! «.. " GH1\ 0 r [ NT[ I ) " , I I , t. CI , It:., 2 ( X5 I £ 1B • 1 1 ) >~ ,f-' II I I' 1 r [ t~ >' F HI I I' NPA, , f ar~' 1 ~:: 1 '5 Tt p' 1 'u NTIL' NPA '0 0 •( I P /) Ii t\ ( ! ] ,n CfI t, U( 1 ) J ) .: ' " , .wl~lTECFILLCUT6cll,hTHE~PRUClSS_TERMINATEs,_ulCAUSEI ...~»J, IF' (,. U j'i V 'L 0 L' 0 • T H£ N t
\.~ id h:. ( f 1 LLOU T f <" Tt1 E.. GI Vl N... TLl Lf. RMJ C[ .. IS .. 11 ET , " > >;, 1F ~ l: [J i-:'v I E.. Q L ~ 1 f THE hi •WrlITE'FILLOUT,<IIND~VAI.rD"STARTINGPQINT ... HAS"BEEN-FaUND."»;'IF' CONV '[G~· 2 'THEN'1m I h~ , F 1. Lt. 0UT, <tI rTER :: i ',I AX• If > )}tlF' lD~V 'EQL' 3 'THEN'~/ Ii I rt ( F rLI:: 0 IJ T, <.! I~ Ii Tt~ I x.. G,.. rI G.. I $ ... SIN GULAR• H > ) ;f IF' I.; 01'1 V 'E Ql.. I I~ 'T ti E. N'~i HliE \ F ILL 0 UT, <" L1/\ £ MIN ~ IS ... APPLIE U'" ANl1 ~. PHI 1 <. GT f~ .. PHI • " '0 ) ;
'IF' CONV 'EQL' 5 'THEN', . ,
WRITE(FILEOUT'<~LAN8DA_GTR.V+U.ORuCOUNT~GTR~10,"»J
Ii HIT E( F I Lt. 0 L.J T, <I 1 , 132 ( " '" It ) > J J'OW t tEL SE t
toE~IN' .,'1ft (ITE~/OUTPUT)~ENTI[RCITER/OUTPUT)'EQL' 0 'TrlEN'• 1 •'b["T .. 1
'" J. 10
Y/ r~ I TE" F I Lt: 0 uT,,, 1 " r 4 >, ITt: R' ) ,HKITE(FIL~OUTLSPACE(O)J)}
WKITE(fILlOUT,<*(X9,*(Ele.ll'X5),/),I'X9'"PHI~~~.H,
(18.111'1/ .. ,K,~FOKf If::: 1 ~STEP~.l
'G.[Qv 0 t IHEN~ [L:~ 5). Jt a 1 'STLP' 1 'UNTIL'
'lIW,tUJD'i .., LN() I , UW' 0 UTPUT .i~lNTtGER'J'JpK#L~M,N#COU~T;~ I ( [ AL.' C(\ ~ St, F' h CTp F r~ CTu RJI L /<, ~{ UD/; P L I, t·\ eDp, STAR T,. N0 t~ ~~ [) .• ~\ 0 n~': GT t~ Y~ 1tOR t1 PAR ~ NU'PHLST,;!\"r ;t [) 0 Ll L El;i~' ST;'l, In il J' pee [ PT L. Mi 8 Dr~ I Gf~ USS,:~ t\ Ri{ f\ Y 9 Pi\:~ 1 $ Dp () 1/\ GJ' Oi h yeA t N f-' /\ } t- l U~ (i T \'1 Gl 1 , Nr) h., 1 t NPA J j
• L t· i.' ~. L' r T I" Ii'. k.' ;• "lJ _. ., L" , ..... ; I
~**~**~*«*~.*~~**~*~*~**~**~*~.*A6~*******************.******~*****.***....1.1
PROCEDURE MARWUAROT8[Gl~ OF THE PROGRAM
I*~*~~~***~*~**~***~*~~·**·*~*.***********ft***.~*~*.** ****.*****.Q*****
1.t',1I;l~[)/... STAH1·~'·· OilO!)j'lL:nhD ~ ~ 1;'4·6;
L 1-\ r.J I.' DA : ~ 0 JNlJ t ~ 10;IT[H*;~ 0;Jl~ OJsTM<TAl:.; 'THUE'jGf>.U~S:~~ 'l'HUC';'tOk~ 12= 1 t~TEP' 1 :UNT1L 1 ~PA ~Dot PARI[l):= PAReIJ)%' ..
• --' i~ I ~ ! U. I ~~ TM: r II '0 U ''UIGI i~I-"'-"'---~- .
r' U!~ Ct~ POp IJ ,!\ fd I j, p F I I~ S ) JHA1\ E L, T H'; ( ('U·' 0,< IJ ~~ of [~P AJ' I'M\ r f xjl hI' G, J 1\ Cp GTI~ G.. UI AGI Jtil P. f, [ La Ill' ( i~ POi' r~:; t l~ P tl' rH '( " ~ , G" lJ I AG' Gl WY) ;1ft fd\ E l) I /1 G(J t,,; A. L. , I~ f' A, GT h \.1 P 1 ) i'Ir' , ~HULESKIDl~OHpuSITjON{l'NPA'bT~G,LU) 'TH~N',f iJ EGI ill ' II
J f ~j J+ 1;'1F t J 'GIRt J :THEH'• !3 EGI I~' . ., C0 I~ V:::l 1J
nESlTuATIHPARI);'GrlTO' FlrdSK}
····"£NU'; .tfon f I:~ 1 'STEP' 1 ~UNTrL~ NPA too''at~IN' ' .
'RtAL~ P,LMIN,EPLuSIpp~ PAHIL~J;
'IF' r 'EWL' 0 'THEN' PI= 0-1)r u(~ ( !~ f' 0 ~ P AHi, X I ~. , h S ) j
'EL.SE'!
PHIll~ PH1E(NPO'N~pW,y .. r)}PARl(lJI~ P*O,90;FUNCNPO,PARI .. X.F,NS»)EMINl= PHJE(NPO'N~,~ .. y .. F)JPAR1[L)l~ P*1.10irUN{NPO,PARI .. X~F,NS>;t:: PL US I:: PH rE , l'~ PO.' !, S1 I~ I YIF) ;
~IF~ CMIN 'LSS~ EPLUS :THEN:
[
' 8 E. GI I~ ,
- 'rt' t.MIN 'l.S~· PHIl 'THEN' PARI(IJt= P*O.90'. !ELSE' PARICI)a: PJ
, EI~!J ' , EL SEo '
'If' 'PLUS 'LSS' PHIl tTHEN i PARI(Ilt= P*1.10• ,t.. •. f'ELSE PARI[IJz= Pi• I
'END';...' EN D'
SrARiA== ~FAL~E';~t.110t STAR'It,;! .
i~O~i II~ 1 'STLP' 1 'UNT1L t NPA 'DO' PARCIlt= PARILX1)tUN<~PO,PAR~~$f,N~);' I I
P 11 I i:-: P tH S TMH i 1, PHI E , NP Q .. NS .. 10 y .. F ) J, rF' 0 UT • GTf<' 0 'T Ii Ei~' OUT PUT ( 100 1 ) ,'IF· OUT ~LSS' IM~X 'THEN~ uulPuT<O)J,~ l. Ii r'·H':: /, R ~ :;: ! N(]f( I~ 2 V{ N P j; I PAi~ >J.y,%
, .Hi I LE' CON THW[( i~ 0 R~, u~ r~ 0 tm f' f-dU PHI STAR T) ~ 00 f
·13[G.rr.~
IT EHI~: I H. R'" 1,;Courn::.:: 0;ACCl?TLAMdUA!= 'THUE~j
FUN ( NP0 .< P M\ I fi I.. f .. j~ s ) .:HPo 1\ L b Th (: ( NPOI' N;:) P I, P ;".." t' AI: r fA .. H.f G,. J AC.. GT ft GI' lJ I AG) ;MAKE GT~Y(NrO/NS'NP~IH'Y~f"GpUIAG'GTNY)J
NuHHGTII Y::: NUIn·~ 2 \' ( t-i PAi' (j T i1 YH
''''fllL.E' ACClrJrLAI'~oi)A 'DO'-bEGIN' t ,
. MA~( DIAG0NAL(NPA'GT~~'1+ LAMeDA);, IF' ., CHDL. [S I( 1DEC ~H).P 0 ~ IT I 0 rH 1.1' NPAI' Gr WG, L U) ~ THE N 'tUt:GJN'
c(mv::: 3)
RESlTuATA(PAR1);'GOTO' FlldSiU
'[NO'; .CH0 L Es ~( 1. SuL UT 10 N, 1, IH' AI' L U, GTv(y ,. () ) ;rAe TUt: 3 ;.~ l;'FOR' 1:= 1 '~TEP' 1 'UNTIL' NPA 'DO''BEGIN' . .. . ., utl)~~ U(LJ/OIAG(I);
'IF' ABS'~[I]/PARLIJ) 'GTR' DPAR 'THEN', ,I ~ ,'GE~rl\'. FAC1E~ ABS(PAH[l]/O(IJ)*OPAR;
'AF' FACT 'LS~' FACTOR 'THEN' FACTO~:= FACT;• Et~ 0 • • Ei~ 0 t i ':; F0 H I:~ 1 STEP 1 UN tIL Nf' AtfUR' 'I:~'l '~TEP' 1 'UNTIL' NPA 'DO''{jEGlf~' . t· , •
. D( I ) I:' D[ l ) *FACT 0 H;fARI[!J:= PARr[I]~ O[lJ'
{}
'BEGIN'CuS Sf::; I ~~ p nOD ( I, 1 , NP A' PAR ( I 2 , u ( I ] ) I , N(J R1-\ PAR 1< I'J 0 HMD) ;, ! r' I,,; 0 SS 'G "," t 0 '- ?' 5 I THEN 't rc·,!·" . ~ ,tH.. h
, ACCEPH.M\bOAt:: 'FAL.)E'i" •. I ,
LINEM)NCPARI'PHI,PHII~D)J
, 1f' fJ H! 1 I G11,' Ptil 'T 11 [i~ ,~ tl E l~ r i~ ~ . . •
CUN\ll:~ 4;I~LSEiLiAT"(PM~ I);'I..Ol[)~ FlrdSHi
'U~D''I:I'JD' ~ CUSD bTH 0.75. . ~ELSE'
~IJEGII~'
. CuUNT:~ CWUNT+ 1;'LF' ~AMGUA 'LSS'~·U 'AND! COUNT 'LSS~ 10 :TH~N~'UEG!I":' .I ,
LAHtJDA:~ LAI.-IQOA*NUJR£SE1'Uf\TA{ fJltHI))
'~NDt ~ LA~bDA LSS @+6 ANU COuNT LSS 10
f t:!'lLl '; ;G f 0 I{ 1:: 1 ::)1 [. P 1 UN T ! L NPA
NORMU:~ NURM2 V(N~A-D)'
f 11 i~ ( NPO, P1\ nIp Id' F l' 1'1 S ) .:Prl I I :", PHJ. E( t~ ~J 0 1 NS; I~ I' Y, F ) ;'If' PHIl 'GTK' PHI 'THEN'~UEGIN~ ". ~lF~ uAUS~ ~THENt
, U[G 11~'
GAUSSt; ~fALSL';
LA~CO~ :~ LAMbDASTARTJRi.SE"fLJA i A(P/dU)J
~ END' GAU~S. 't:LSE"
! •
~ELSE~~ tJ EGr !~ ~
cur'~Vt:: 5)t~t:.S[TiJATA(PAHr);~uOlO: FIldSH;
'END'; ~ LAMD~ GTR .+b DR CaUNT dTR 10'ENU t
; ~·COSS LEO 0.75, t:: ND t lW T GALJ ;:; S}
'[NU' PHIl GTri PHI 'LL5E'• 8E Gi I~ ~ '!
'IF' ~GAUSS 'THEN' LAMBDA'= LAMeDA/NU;" ..ACe E. P1 L f\ i~ :.i DA ~:: {F {, L :;) F. ' ;
, E. ND' f-' i'II 1. U: l,.,) Pti 1; I '
'END' ACCEPTLAkBDAJ~FOH' l~= 1 'STEP: 1 ~UNTIL: NPA ~DO' PAR(IJ:. PARl[IJJNOR HPI, R l::= IH)f~ t·: 2 V( NPIv F"H nPHI:;:: PHIL;'IF' OUT 'U>S' U~I\X 'THEN' OUTPUTCOUT)J
, t:: I~ lJ· CON T 1NU~;' 1 •
f UH St1 ~FriIlt= lAfvl8Di,;fUNCNrO'PAR'X'F'N~);
1-\ f;. r< f GTr( G( NP UJ NS , i~ P AJ f' ARI' XI' Yl l' i.i,. J AC, GTYi G~ D1.1'. G) ;MAKE GTNYCNPO,NSPNPA,n.V,f,GrOIAG,GTWY);'fOH' I'~ 1 'sT~PI 1 'UNTIL' hPA 'DO' GRAU[Ill~ GThY[IJ*DIAG[lJJ! I I. I ~
'lr' OUT 'GTR' 0 'THE~' OUTPU1(l002)J• ,.. 1
'LN()' tJ,f,R(HJARUT i, ~ , Rt 5ET ' j~ t HI' 0 ~1I ", L~:I I) , • •
top related