evaluation & forschungsmethoden
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Methoden derPsychologie
Evaluation & Forschungsmethoden
Günter MeinhardtJohannes Gutenberg Universität Mainz
q-q-Plot Methode zur Prüfung der Multivariaten Normalverteilung
Methoden derPsychologie
Verteilungsanpassung/Prüfung
• Effiziente Tests: Die NV- Annahme ist mit effektiven Methoden und trennscharfen Test zu prüfen, um ihre Gültigkeit sicherzustellen
Prüfung der Verteilungs-annahme
• Korrekturen und Datentransformationen: Ist die NV- Annahme auf den originalen Skalen verletzt, können Skalentransformationen für die einzelnen Variablen des Variablen- verbundes gefunden werden, mit denen die multivariate Normalver- auf den transformierten Skalen gilt.
Prüfung der NV-Annahme Klassifikation
• Ausreißeranalyse: Vor der Schätzung der Parameter (,) für die multivariate NV- wird eine Analyse der Rohdaten auf Ausreißer vorgenommen.
Methoden derPsychologie
Die allgemeine Form des Chi – Quadrat für Häufigkeiten ist:
Univariate Tests (1D) Klassifikation
• Dieses Schema wird flexibel auf die jeweilige Fragestellung angewendet.
• Die Frage ist, nach welchem Kriterium sich die erwarteten Häufigkeiten ergeben. Das einfache hat k-1 Freiheitsgrade, die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Verteilung.
• Für den Test der Anpassung an die Normalverteilung werden die erwarteten Häufigkeiten aus den Wahrscheinlichkeiten der Quantil- Intervalle der Normalverteilung berechnet.
- Test aufGüte der Passung
: beobachtete Häufigkeit
: erwartete Häufigkeiti
i
o
e
2
2
1
ki i
i i
o e
e
Methoden derPsychologie
Univariate Tests (1D) Klassifikation
- Test aufGüte der Passung
Nr.
Intervall
jh
(absolut) jp
(relativ)
ˆ jp
(erwartet) je
(erwartet) j jh e
(Differenz) 2
j j
j
h e
e
1x x h1 p1 1F x F e1 h1-e1
1 2x x x h2 p2 2 1F x F x e2 h2-e2
j
1k kx x x hk pk 1k kF x F x ek hk-ek
N 1 1 N 2
• Die erwarteten relativen Häufigkeiten berechnet man aus der Differenz der Werte der Verteilungsfunktion für die exakten Intervallgrenzen.
• Die erwarteten Häufigkeiten ergeben sich durch Multiplikation mit der Anzahl der Beobachtungen N.
• Test mit progressivem alpha-Niveau, da man an der Absicherung für die Beibehaltung der H0 interessiert ist ( = mind. 10%).
Univariate Normalverteilung
Methoden derPsychologie
Univariate Tests (1D) Klassifikation
- Test aufGüte der Passung
Univariate Normalverteilung
Beobachtet: oi
100 300 500 700 90011001300
1000
2000
3000
4000
h(x)
x
erwartet als Normalverteilung: ei
1000
2000
3000
4000
h(x)
x
Vergleich:
1000
2000
3000
4000
h(x)
100 300 500 700 90011001300
100 300 500 700 900 11001300 x
Methoden derPsychologie
• Tests sind nicht sehr trennscharf und brauchen ein hohes N
• Sie hängen von der Anzahl der Intervalle (Freiheitsgrade) ab
• Sie können nur für die univariaten Verteilungen der einzelnen Meßvariablen durchgeführt werden (- Ausreisser durch spezielle Wertekombinationen in der multivariaten Verteilung können nicht aufgedeckt werden)
Tests der NV- Annahme
• Effektive Methoden: Methoden, die die Quantile der erwarteten und tatsächlichen Distanzen vom Zentroid verwenden, können univariat und multivariat verwendet werden
• Effiziente Tests: Die Testung der Gleichheit von erwarteten und tatsächlichen Quantilen beruht auf einer trennscharfen Testung des Korrelationskoeffizienten (uni-und multivariat).
Alternative:Q-Q Plot Methodenund Korrelations-Tests
Prüfung der NV-Annahme Klassifikation
- Tests
Nachteile von
Methoden derPsychologie
• Ausreißer sind heikel zu bestimmen, bei kleinen Stichproben N < 30 gibt es keine zuverlässigen Methoden
• Bei N > 30 legt man die Quantile der Normalverteilung zugrunde und eliminiert die Werte, die jenseits der äußeren Quantile liegen. Dies sollten nicht mehr als 7%-8% sein.
Identifikation von Ausreißern
Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation
Data Clearing
max
0.5 0.5 1, 1, , 1
2i
i Np i N p
N N N
1 1max maxe iq F q F p z
X 1002 1110 1180 1214 1238 1252 1271 1290 1313 1356 1384 1389 1414 1422 1439 1493 1518 1547 1561 1595 1602 1614 1627 1646 1701 1717 1815 2065 2087 2412
Z -1.70 -1.34 -1.10 -0.99 -0.91 -0.86 -0.80 -0.74 -0.66 -0.51 -0.42 -0.40 -0.32 -0.29 -0.24 -0.05 0.03 0.13 0.17 0.29 0.31 0.35 0.40 0.46 0.64 0.70 1.03 1.86 1.94 3.03
P 0.017 0.050 0.083 0.117 0.150 0.183 0.217 0.250 0.283 0.317 0.350 0.383 0.417 0.450 0.483 0.517 0.550 0.583 0.617 0.650 0.683 0.717 0.750 0.783 0.817 0.850 0.883 0.917 0.950 0.983
Qe 2.128 1.645 1.383 1.192 1.036 0.903 0.784 0.674 0.573 0.477 0.385 0.297 0.210 0.126 0.042 0.042 0.126 0.210 0.297 0.385 0.477 0.573 0.674 0.784 0.903 1.036 1.192 1.383 1.645 2.128
Methoden derPsychologie
• Nach Ausreißerbereinigung werden den Meßwerten empirische Quantile qo (in z) zugeordnet über die sortierte Reihe der Meßwerte.
• Mit aus den Daten geschätzten Parametern () werden für die Prozentränge erwartete Quantile qe (in z) bestimmt.
• Man trägt qo (y-Achse) und qe (x-Achse) gegeneinander ab. Perfekte Passung liegt vor, wenn die Daten auf der Winkelhalbierenden liegen.
• Man bestimmt Anteil der aufgeklärten Varianz und Korrelation.
Test über Quantilskorrelation
Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation
Q-Q Plot Methode
2
22
var( )1 1
var( )
oi eii
oi oi
q qe
y q q
cov ,
var var
o eqq
o e
q qr
q q
• Für den Korrelationskoeffizienten existieren kritische Werte, die bei Unterschreitung zur Ablehnung der NV-Annahme führen (s. Tabelle).
Methoden derPsychologie
Kritische Q-Q- Korrelationen
Korrelations-Test
Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation
Q-Q Plot Methode
Ist rqq < rcrit(), wird die Annahme der NV auf dem gewählten Level verworfen. sollte progressiv gewählt sein (10%), da man eine Sicherheit für die Beibehaltung wünscht.
0.99600.99530.99353000.99420.99310.99052000.99280.99130.98791500.98950.98730.98221000.98660.98380.9771750.98360.98010.9720600.98220.97870.9695550.98090.97680.9671500.97920.97490.9632450.97710.97260.9599400.97400.96820.9538350.97150.96520.9479300.96650.95910.9410250.96040.95080.9269200.95030.93890.9126150.93510.91980.8801100.90320.87880.829950.100.050.01
Significance level Smple Size N
( )qq critr r
Methoden derPsychologie
Datenbeispiel
Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation
Q-Q Plot Methode
2
221 0.949
oi eii
oi oi
q q
q q
cov ,.974
var var
o e
o e
q qr
q q
Korrelations-Test
( .1)qq critr r .974 .9715
NV Test knapp im Annahmebereich, aber 2 Ausreißer verschlechtern die Passung beträchtlich
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
expected quantile (qe)
ob
serv
ed q
uan
tile
(q
o)
N = 30
mit 2 Ausreißern
Methoden derPsychologie
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
expected quantile (qe)
ob
serv
ed q
uan
tile
(q
o)
Datenbeispiel
Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation
Q-Q Plot Methode
2
221 0.983
oi eii
oi oi
q q
q q
cov ,.992
var var
o e
o e
q qr
q q
Korrelations-Test
( .1)qq critr r .992 .9715
NV Test und Varianzaufklärung zeigt perfekte der empirischen Quantile an die NV an.
N = 28
ohne Ausreißer
Methoden derPsychologie
Datenbeispiel
Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation
Q-Q Plot Methode
2
221 0.877
oi eii
oi oi
q q
q q
cov ,.937
var var
o e
o e
q qr
q q
Korrelations-Test
( .1)qq critr r .94 .9715
• NV Annahme ist heikel und sollte abgelehnt werden
• Ausreißerentfernung würde Passung verbessern, aber die Art der Abweichung deutet auf eine systematische Transformation der Quantile
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
expected quantile (qe)
ob
serv
ed q
uan
tile
(q
o)
N = 29
Nichtlineare Abweichung
Methoden derPsychologie
• Unsystematische Ausreißer sollten entfernt werden.
• Bei systematischen Quantilsabweichungen können die Rohdaten einer Potenztransformation unterzogen werden, um eine gute Approximation an die NV zu erreichen.
• Parameterschätzung für (,) der NV sind über die transformierten Daten auszuführen.
Quantils-Transformation zur NV
Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation
Box-Cox-Power-Transformation
1, , für 0
kxg x k k
k
ln var , 1 ln2 i
i
Nl k g x k k x
Die Power-Transformation g(x) liefert mit dem Wert k aus der Maximierung von l(k) die beste Annäherung an die NV
maximiert nach k
Methoden derPsychologie
70.0
71.0
72.0
73.0
74.0
75.0
76.0
77.0
78.0
79.0
80.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
k
l(k)
Datenbeispiel nichtlineare Abweichung
Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation
Q-Q Plot Methode
OptimalePotenz-Transformation
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
expected quantile (qe)
ob
serv
ed q
uan
tile
(q
o)
N = 29
Maximierungsfunktion l(k)Q-Q - Plot
Potenztransformation der Originalskala:
0 max 0.35k k l k l k
k0
0 0.35
0
1 1,
0.35
kx xg x k
k
Erneuter Q-Q Test
Methoden derPsychologie
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
expected quantile (qe)
ob
serv
ed q
uan
tile
(q
o)
Datenbeispiel nichtlineare Abweichung
Test der NV-Annahme (univariat) Klassifikation
Q-Q Plot Methode
OptimalePotenz-Transformation
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
expected quantile (qe)
ob
serv
ed q
uan
tile
(q
o)
2 = .877r = .937
Q-Q – Plot original
,g x k berechnen
Q-Q – Plot nach Potenztransformation
2 = .986r = .993
z- transformieren
Q-Q plotten
Potenztransformation bringt fast perfekte Passung der NV
( .1)qq critr r .993 .9715
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