fourier series elg
Post on 06-Jul-2018
232 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
1/23
A 16
THE FOURIER SERIES
http://www.presentasi.net/
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
2/23
16.1 Pendahuluan
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
3/23
16.2 Deret Fourier Trigonometri
Fourier menemukan sebuah fungsi periodik nonsinusoidal yang
dapat dinyatakan sebagai sebuah penjumlahan tak hingga fungsi
sinusoidal dan fungsi tersebut berulang setiap T detik.
Fungsi periodik tersebut secara matematis dinyatakan dengan :
...............(16.1)
dimana : n = bilangan bulat
T = periode fungsi tersebut
)()( nT t f t f +=
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
4/23
16.2 Deret Fourier Trigonometri
Berdasarkan Teorema Fourier setiap fungsi periodik berdomain
frekuensi ( ) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan tak hingga
fungsi sinus atau cosinus yang merupakan integrasi perkalian dari
Fungsi dapat dinyatakan sebagai :
atau :
.................(16.!)
"imana : adalah fundamental frequency dalam rad#s
dan adalah harmonik ke$n dari
oω
oω
)(t f
)sincos()( 1 t nbt naat f onon no ω ω ++= ∑
∞
=
..2sin2cossincos)( 2211 +++++= t bt at bt aat f ooooo ω ω ω ω
T o
π
ω 2
=
t n oω sin t n oω cos )(t f
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
5/23
16.2 Deret Fourier Trigonometri
%ersamaan (16.!) disebut dengan deret Fourier &rigonometri dari
dengan konstanta dan adalah koefisien Fourier . 'onstanta
adalah komponen " atau nilai rata$rata . 'oefisien dan
adalah amplitudo dari sinusoidal di komponen .
"engan demikian
Deret Fourier dari fungsi periodik adalah representasi yang
memisahkan kedalam sebuah komponen DC dan sebuah
komponen AC yang berisikan deret tak hingga sinusoidal harmonis.
)(t f
nb
)(t f
oa)(t f
nana nb
)(t f
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
6/23
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
7/23
16.2 Deret Fourier Trigonometri
Analisis Fourier merupakan proses penentuan nilai koefisien
Fourier. Berikut merupakan integral trigonometri yang sangat
berguna dalam analisis Fourier :
0sin0
=∫ T
dt n oω
0cos0
=∫ T
dt n oω
0cossin0
=∫ T dt mn oo ω ω
)(,0sinsin0
nmdt mnT
oo ≠=∫ ω ω
)(,0coscos0
nmdt mn
T
oo ≠=∫ ω ω
2sin
0
2 T dt n
T
o =∫ ω
2cos
0
2 T dt nT
o =∫ ω
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
8/23
16.2 Deret Fourier Trigonometri
1. %encarian nilai
'ita integrasi ruas kanan dan kiri persamaan (16.!) menjadi :
oa
dt dt t f T
ono
n
no
T
t nbt naa∫ ∫
∞
=
+∑+=0
10
)sincos()( ω ω
[ ]dt tdt nbtdt nadt a nT T
onon
T
o ∑ ++=
∞
= ∫ ∫ ∫ 1 0 00 sincos ω ω
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
9/23
16.2 Deret Fourier Trigonometri
Berdasarkan dan
maka didapatkan
/umus tersebut memperlihatkan bah0a adalah nilai rata$rata
0sin0
=∫ T
dt n oω 0cos0
=∫ T
dt n oω
T adt adt t f oT
o
T
== ∫ ∫ 00 )(
..........(16.3)dt t f T
T oa ∫ = 0 )(1
oa )(t f
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
10/23
16.2 Deret Fourier Trigonometri
!. %encarian nilai
'ita kalikan kedua ruas persamaan (16.!) dengan
kemudian diintegrasikan menjadi :
na
tdt mt nbt naaotdt mt f oT
ono
n
no
T
ω ω ω ω cos)sincos(cos)(0
10 ∫ ∫
∞
=
+∑+=
[∑+=∞
= ∫ ∫
1 00
coscoscosn
T
oon
T
oo tdt mt natdt ma ω ω ω
dt m oω cos
]dt tdt mt nbT oon∫ + 0 cossin ω ω
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
11/23
16.2 Deret Fourier Trigonometri
Berdasarkan
dan maka didapatkan
persamaan
0cos0
=∫ T
dt n oω 0cossin0
=∫ T
dt mt n oo ω ω
)(,0coscos0
nmdt mnT
oo ≠=∫ ω ω
nmatdt mt f T
no
T
==∫ ;20 cos)( ω
..........(16.4)∫ = T
tdt nt f a on T 0
cos)(2
ω
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
12/23
16.2 Deret Fourier Trigonometri
+. %encarian nilai
'ita kalikan kedua ruas persamaan (16.!) dengan
kemudian diintegrasikan menjadi :
nb
tdt mt nbt naaotdt mt f oT
ono
n
no
T
ω ω ω ω sin)sincos(sin)(0
10 ∫ ∫
∞
=
+∑+=
[∑+=∞
= ∫ ∫ 1 00 sincossin nT
oonT
oo tdt mt natdt ma ω ω ω
dt m oω sin
]dt tdt mt nbT oon∫ + 0 sinsin ω ω
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
13/23
16.2 Deret Fourier Trigonometri
Berdasarkan
dan maka didapatkan
persamaan
0cos0
=∫ T
dt n oω 0cossin0
=∫ T
dt mt n oo ω ω
)(,0coscos0
nmdt mnT
oo ≠=∫ ω ω
nmbtdt mt f T
no
T
==∫ ;20 sin)( ω
..........(16.5)∫ = T
tdt nt f b on T 0
sin)(2
ω
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
14/23
16.2 Deret Fourier Trigonometri
%ersamaan (16.!) dapat diubah bentuknya dalam bentuk amplitudo-
fase yakni :
..........(16.6))cos()(1
no
n
no t n Aat f φ ω ++= ∑∞
=
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
15/23
16.2 Deret Fourier Trigonometri
"ari persamaan (16.6) kita dapat menerapkan identitas trigonometri
menjadi
.........(16.)
β α β α β α sinsincoscos)cos( −=+
t n Aat n Aa onn
nono
n
no ω φ φ ω cos)cos()cos(11
∑∑ ∞
=
∞
=
+=++
t n A onn ω φ sin)sin(−
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
16/23
16.2 Deret Fourier Trigonometri
"ari persamaan (16.!) dan (16.6) kita dapat kesamaan koefisien
yakni
2ehingga didapatkan besarnya amplitudo dan fase :
Spektrum frekuensi dari sebuah sinyal terdiri dari plot amplitudo
dan fase dari grafik harmonik-frekuensi
nnn Ab φ sin−=nnn Aa φ cos=
........(16.8)22nnn ba A += n
nn a
b1tan
−−=φ
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
17/23
16.2 Deret Fourier Trigonometri
Berikut merupakan integral trigonometri yang sangat berguna dalam
menaksir harga koefisien Fourier:
at a
atdt cos1
sin −=∫
at aatdt sin
1
cos =∫
at t a
at a
atdt t sin1cos1cos2
+=∫ at t
aat
aatdt t cos
1sin
1sin
2−=∫
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
18/23
16. !e"imetri"an
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
19/23
16.# A$li%a"i $ada Rang%aian
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
20/23
16.& Da'a Rata(rata dan )ilai
R*S
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
21/23
16.6 Deret Fourier E+$onen"ial
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
22/23
16., Anali"i" Fourier dengan PS$i-e
-
8/17/2019 Fourier Series ELG
23/23
16. A$li%a"i
top related