j. mauricio lópez r. cenam time and frequency division statistical analysis of measurements (time...

J. Mauricio López R.

CENAM Time and Frequency Division

Statistical Analysis of Measurements

(time domain)

OUTLINE

1. Introduction

3. Allan Variance (AVAR)

4. AVAR uncertainty

5. Trazability

2. Time and Frequency Measurements

5. Time Deviation

Introduction

Real Clocks

There not exist the perfect clock, all the real clocks are unestable. The output frequency of a clock changes with time. A correct mathematical tool is needed to characterise the frequency instability of oscillators.

33

.0 c

m

22

.0 c

m

35

.0

cm

)2sin()( tAtV

A: amplitude: frequencyt: time

+A

-A

Mathematical model for ideal frequency signal

V(t) = V0 sen(20t)

V(t) =[V0 + (t)] sen[20t + (t)]

Time

Time

Mathematical model for a real frequency signal

4 - 1 6

F r e c u e n c i a e s t a b l e ( o s c i l a d o r i d e a l )

U n s t a b l e F r e q u e n c y ( R e a l O s c i l l a t o r )

T i m e

( t )

T i m e

( t )

V1

- 1T 1 T 2 T 3

1- 1

T 1 T 2 T 3

V ( t ) = V 0 s i n ( 2 0 t )

V ( t ) = [ V 0 + ( t ) ] s i n [ 2 0 t + ( t ) ]

( t ) = 2 0 t

( t ) = 2 0 t + ( t )

V ( t ) = s a l i d a d e l o s c i l a d o r , V 0 = A m p l i t u d n o m i n a l p i c o - a - p i c o ( t ) = a m p l i t u d d e r u i d o , 0 = f r e c u e n c i a n o m i n a l ( t ) = f a s e , a n d ( t ) = r u i d o d e f a s e

t d)t(d

21=

t d)t(d

21 = )t( 0

π

Φπ

frequency, ousInstantane

V

I n e s t a b i l i d a d e n f r e c u e n c i a ( r u i d o )

The Allan Variance

La Varianza de Allan es la herramienta usada para el análisis en el dominio del tiempo de mediciones de Tiempo y Frecuencia siendo un estimador de la dispersión de las mediciones, determinando así, la estabilidad del oscilador bajo calibración.

The Allan Variance is a statistical tool used for the time domain analysis of time and frequency measurements to estimate the noise behind measurements and to determine the stability of an oscillator under calibration.

Time

Ph

ase

dif

fere

nce

x

t

Time

Ph

ase

dif

fere

nce

x

t

Time

Ph

ase

dif

fere

nce

x

t

Time

Ph

ase

dif

fere

nce

x

t

Time

Ph

ase

dif

fere

nce

x

t

Time

Ph

ase

dif

fere

nce

x

t

Time

Ph

ase

dif

fere

nce

x

t

Time

Ph

ase

dif

fere

nce

x

t

Time

Ph

ase

dif

fere

nce

x

t

Time

Ph

ase

dif

fere

nce

y1 y2

y3

y4y5

y6

y7

y8

x

tt1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8

Time

Ph

ase

dif

fere

nce

y1 y2

y3

y4y5

y6

y7

y8

x

tt1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8

ii

i

xxy

1

Time

Ph

ase

dif

fere

nce

y1 y2

y3

y4y5

y6

y7

y8

x

tt1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8

ii

i

xxy

1iii yyy 1

22y 2

1σ iy

Time

Ph

ase

dif

fere

nce

y1 y2

y3

y4y5

y6

y7

y8

x

tt1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8

ii

i

xxy

1iii yyy 1

Allan Variance

222

2y 2

1σ ix

iii yyy 1 iiii xxxx 122 2

ii

i

xxy

1

Time

Ph

ase

dif

fere

nce

y1 y2

y3

y4y5

y6

y7

y8

x

tt1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8

Varianza de Allan para Mediciones de Frecuencia

1N

1i

2i1i

0

2y yy

1N21

σ

donde:

Varianza de Allan

Número de datos espaciados 0

i-ésima medición de fase

2y

N

iy

Tiempo de observación = m0

m =2n cálculos posibles

mN

iimimiy xxx

mN

2

1

222

2 222

1

donde:

Varianza de Allan

Número de datos espaciados 0

Tiempo de observación = m0

i-ésima medición de fase

2y

Nix

m =2n cálculos posibles

Varianza de Allan para Mediciones de Diferencia de Fase

4-25

Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una dependencia -1 (white phase noise). Los patrones atómicos de frecuencia muestran una dependencia del tipo -1/2 (white frequency noise) para tiempos de promediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y -1 para tiempos menores del tiempo de ataque. Tipicamente los ’s para el ruido flicker son: 1 s para osciladores de cuarzo, 103s para relojes de rubidio y 105s para Cesio.

y()-1

-1

0

Tipo de ruido:

Whitephase

Flickerphase

Whitefreq.

Flickerfreq.

Randomwalk freq.

-12 12

Dependencia temporal de Dependencia temporal de yy(())

Ejemplos de cálculo de varianza de Allan

NIST Special Publication 1065

NIST Special Publication 1065

Incertidumbre de medición

La pendiente del gráfico ofrece información sobre la diferencia fraccional de frecuencia “promedio” entre los

osciladores

mff

La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información

sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia

La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información

sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia

0

La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información

sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia

1

La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información

sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia

3

La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información

sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia

)( y

)(

ymff

0

0

fff

ff

Frecuencia del

oscilador

Frecuencia de

referencia

))(1(0 ymff

))(21(0 ymff

Factor de cobertura k=2

......)( 2210

122

fhfhh

fh

fh

fhfS y

 =-2 Random walk frequency=-1 Flicker frequency=0 White frequency=+1 Flicker phase=+2 White phase

y2 ()

= -1 Random walk frequency= -1 Flicker frequency= -1/2 White frequency= 0 Flicker phase = +1/2 White phase 

Dominio de la frecuencia

Dominio del tiempo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 -17

-15

-13

-11

-9

log

logy

White PM o flicker PM

White FM

Flicker FM Random walk FM

103

100 101 102 103

10-1

100

101

102

=2 =1

=0

=-1

=-2

N (número de mediciones)

),2(

),(2

2

N

Random walk frequency

Flicker frequency

White frequency

Flicker phase

White phase

Varianza de Allan

Varianza estándar

=--1

Varianza de Allan vs Varianza Estándar

Traceability

NMI 2

Labs. Sec.

Labs. Ind.

NMI 1

Labs. Sec.

Labs. Ind.

BIPM

u1

u2

u´1

u´2

u´0 u0

Concepto de Trazabilidad

NMI 2

Labs. Sec.

Labs. Ind.

NMI 1

Labs. Sec.

Labs. Ind.

BIPM

u1

u2

u´1

u´2

u´0 u0

Concepto de Trazabilidad

NMI 2

Labs. Sec.

Labs. Ind.

NMI 1

Labs. Sec.

Labs. Ind.

BIPM

u1

u2

u´1

u´2

u´0 u0

CMC´sCMC´s

Concepto de Trazabilidad

NMI 2

Labs. Sec.

Labs. Ind.

NMI 1

Labs. Sec.

Labs. Ind.

BIPM

u1

u2

u´1

u´2

u´0 u0

CMC´sCMC´s

CMC´s CMC´s

Concepto de Trazabilidad

NMI

Labs. Sec.

DUT

BIPM

u1

u2

u0

Concepto de Trazabilidad

210 uuu

NMI

Labs. Sec.

DUT

BIPM

Concepto de Trazabilidad

,0

ff y()0

,1

ff y()1

,2

ff y()2

NMI

Labs. Sec.

DUT

BIPM

Concepto de Trazabilidad

,0

ff y()0

,1

ff y()1

,2

ff y()2

NMI

Labs. Sec.

DUT

BIPM

Concepto de Trazabilidad

,0

ff y()0

,1

ff y()1

,2

ff y()2

,ff y()

NMI

Labs. Sec.

DUT

BIPM

Concepto de Trazabilidad

,0

ff y()0

,1

ff y()1

,2

ff y()2

,ff y()

n

i iff

1

n

ii

y1

2 )(

NMI

Labs. Sec.

DUT

BIPM

Concepto de Trazabilidad

,0

ff y()0

,1

ff y()1

,2

ff y()2

n

i iff

ff

1

n

ii

yy1

2 )()(

Concepto de Trazabilidad

Frecuencia, f

BIPM

Frecuencia, ff0

BIPM

NMI

Concepto de Trazabilidad

Concepto de Trazabilidad

Frecuencia, ff0

BIPM

NMI

f0

Concepto de Trazabilidad

Frecuencia, ff0f1

NMILab Acred.

BIPM

Concepto de Trazabilidad

Frecuencia, ff0f1

BIPM

NMI

f1

Lab Acred.

Concepto de Trazabilidad

Frecuencia, ff0f1 f2

BIPM

NMI DUTLab Acred.

Concepto de Trazabilidad

Frecuencia, ff0f1 f2

BIPM

NMI DUT

f2

Lab Acred.

Concepto de Trazabilidad

Frecuencia, ff0f1 f2

BIPM

NMI DUT

f

Lab Acred.

Concepto de Trazabilidad

Frecuencia, ff0f1 f2

BIPM

NMI DUT

n

ii

ff1

Lab Acred.

Concepto de Trazabilidad

y()0

y()1

y()2

n

ii

yy1

2 )()(

J. Mauricio López R.

CENAM Time and Frequency Division

Statistical Analysis of Measurements

(time domain)

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