live webinars (online lectures) with recordings. online query solving

Live Webinars (online lectures) with recordings.

Online Query Solving

Online MCQ tests with detailed solutions

Online Notes and Solved Exercises

Career Counseling

सं�भा�व्यता�

सं�भा�व्यता�

ब्लेज पा�स्कले

फर्मा��

को�णत्या�ही घटने ची घडण्या�ची किंको�वा� ने घडण्या�ची

शक्याता� म्हीणजे सं�भा�व्यता� ही�या.

सं�भा�व्यता�

या�दृच्छि�क प्रया�ग

को� ठलीही अश क्रि"या� अथवा� घटने� जे वा�रं�वा�रं घड%ने

या ऊ शकोता , या� घटने ची सं�भा�व्य फलिलीता अगो�दरं

मा�क्रिहीता असंता�ता पण या� फलीता��बा�बाता क्रिनेश्चि/ता भा�को0ता

कोरंता� या ता ने�ही. अश� घटने ली� या�दृच्छि�क प्रया�ग

असं म्हीणता�ता.

नि�ष्पात्ती�

या�दृच्छि�क प्रया�ग�च्या� फली�ता�ली� नि�ष्पात्ती� असं

म्हणता�ता.

क�ह� उदा�हरण

��ण फ कल्या�वर छा�पा� किंक+व� क�टा� या�पा-क. एक याण�र ह

नि�श्चि1ता असंता. म्हण2� ��णफ क ह� या�दृच्छि�क प्रया�ग आह.

52 पात्त्या��च्या� क5 टार्माधू2� 1 पात्ती� क�ढण ह� या�दृच्छि�क प्रया�ग आह.

एक फ�सं� टा�कली�. ह� ह� एक या�दृच्छि�क प्रया�ग

आह.

पात्त्या��चा� क5 टा

• एक2 ण 4 सं�चा : इस्पि;क, बदा�र्मा, निकलीवर, चा=कटा

• प्रत्याक सं�चा�ता 2, 3,……10 आश्चिण र�ज�, र�ण�, ग?ली�र्मा, एक्क� असं

13 पात्ती असंता�ता.

• 4 र�ज, 4 र�ण्या� आश्चिण 4 ग?ली�र्मा असं 12 पात्ती ह चिचात्रया?क्त पात्ती

असंता�ता.

संर्मासं�भा�व्य नि�ष्पात्ती�

फ�सं� फ कोली� असंता� प1ष्ठभा�गो�वारं या� प3को0 को�णताही

एको सं�ख्या� या ण्या�ची शक्याता� संमा�ने असंता . म्हीणजे ची 1 ता 6 प3को0

को�णताही सं�ख्या� प1ष्ठभा�गो�वारं असं% शकोता .

परं�ता� जेरं एखा�द� फ�सं� फ कोली� असंता� एको क्रिवालिशष्ट सं�ख्या� संताता

प1ष्ठभा�गो�वारं मिमाळता असं ली तारं त्या�ली� असंमाता�ली फ�सं� असं

म्हीणता�ता. या थ नि�ष्पात्ती� संर्मासं�भा�व्य नेसंता�ता.

जेरं दिदली ल्या� क्रिनेष्पत्तीप3को0 एखा�द> क्रिवालिशष्ट

क्रिनेष्पत्ती प्रा�धा�न्या�ने मिमाळण्या�ची शक्याता�

नेसं ली तारं त्या�ली� संमासं�भा�व्य क्रिनेष्पत्ती म्हीणता�ता.

जेसं को0 एको ने�ण फ कोली असंता� छा�प� किंको�वा�

को�ट� मिमाळण्या�ची शक्याता� संर्मासं�भा�व्य असंता .

�र्मा?�� अवक�श या�दृच्छि�क प्रया�ग�ता�ली शक्या असंण�ऱ्या� संव� नि�ष्पात्तीGच्या� सं�चा�ली�

�र्मा?�� अवक�श असं म्हणता�ता. ता� ‘S’ किंक+व� Ω ( ओर्माग� ) या�

चिचान्ह�� दाश�निवता�ता.

�र्मा?�� अवक�श�ता�ली प्रत्याक घटाक�ली� �र्मा?�� घटाक असं म्हणता�ता.

�र्मा?�� घटाक e1, e2……en किंक+व� ω1, ω2, ω3…… ωn �

दाश�निवता�ता.

�र्मा?�� अवक�श S र्माधू�ली एक2 ण घटाक��चा� सं�ख्या� n(S) �

दाश�निवता�ता.

जर n (S) सं��ता असंली तार त्या�ली� सं��ता �र्मा?�� अवक�श असं

म्हणता�ता.

सं��ता �र्मा?�� अवक�श�चा� क�ह� उदा�हरण अ.

क्र.

या�दृच्छि�क प्रया�ग �र्मा?�� अवक�श �र्मा?�� घटाक��चा� सं�ख्या�

1. एक ��ण फ कली. S = { H, T } n(S) = 2

2. दा�� ��ण� फ कली�.  S = { HH, HT, TH, TT }

n(S) = 4

3. ता�� ��ण� फ कली� S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT }

n(S) = 8

4. एक फ�सं� टा�कली�. S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

n(S) = 6

5. 1 ता 20 सं�ख्या� चिलीनिहलील्या� क�र्डां�Oर्माधू2� 1 क�र्डां� क�ढली.

S = { 1, 2, 3,……….20 }

n(S) = 20

H

H

H

H

T

T

T

T

H H

H

H

H

H

H

H

T

T

T

T

TT

T

T

i. एक ��ण दा��दा� फ कण किंक+व� दा�� ��ण� एक�चा

वळीQ फ कण या� दा�न्ह� या�दृच्छि�क प्रया�ग��सं�ठीQ

�र्मा?�� अवक�श एकचा आह.

ii. एक फ�सं� दा��दा� फ कण किंक+व� 2 फ�सं एक�चा वळीQ फ कण

या� दा�न्ह� या�दृच्छि�क प्रया�ग��सं�ठीQ �र्मा?�� अवक�श एकचा

आह.

iii. दिदालीली� अटा पा2ण� करण�ऱ्या� नि�ष्पात्ती�ं��� अपाश्चिUता नि�ष्पात्ती�

असं म्हणता�ता.

घटने�

�र्मा?�� अवक�श�च्या� उपासं�चा�ली� घटा�� असं म्हणता�ता.

म्हणजचा अपाश्चिUता नि�ष्पात्ती�ं�च्या� सं�चा�ली� घटा�� असं म्हणता�ता.

घटा�� � दाश�वली� ज�ता.

को�ही उद�हीरंण

दा�� ��ण� फ कली� असंता�, कर्मा�ता कर्मा� एक (म्हणज 1 निकं�व�

2 ) क�टा� मिर्माळीण्या�चा� घटा�� ‘A’ ह� खा�ली�लीप्रर्मा�ण चिलेनिहलेX

ज�ता.

या� घटा�ता�ली एक2 ण घटाक��चा� सं�ख्या�

� दाश�निवली� ज�ता.

याथे =

संर्माज� A आश्चिण B या� S च्या� घटा�� आहता.

तार A ⊆ S आश्चिण B ⊆ S

∴ A ∪ B ⊆ S आश्चिण A ∩ B ⊆ S

म्हणजचा A ∪ B आश्चिण A ∩ B या� S च्या� घटा��

आहता .

घटा�चा प्रक�र नि�श्चि1ता घटा�� : ज्या� घटा�र्माध्या �र्मा?�� अवक�श�र्माधू�ली संव� �र्मा?�� घटाक

असंता�ता निताली� नि�श्चि1ता घटा�� असं म्हणता�ता. �र्मा?�� अवक�श S ह�

स्वता\चा� उपासं�चा असंता� म्हण2� S ह� नि�श्चि1ता घटा�� आह.

उदा�हरण�थे�

फ�सं� फ कली� असंता�,

∴ n (S) = 6

∴ n (A) = 6

संर्माज� A ह� 10 पाU� लीह�� असंण�र� सं�ख्या�

मिर्माळीण्या�चा� घटा�� आह.

A या� घटने माध्या S माधाली संवाE नेमा�ने� घटको आही ता म्हीण%ने A ही क्रिनेश्चि/ता घटने�

आही .

अशक्या घटा�� : ज्या� घटा�र्माध्या �र्मा?�� अवक�श�र्माधू�ली एकह� �र्मा?��

घटाक ��ह� त्या� घटा�ली� अशक्या घटा�� असं म्हणता�ता.

उदा� : एक फ�सं� फ कली� असंता�,

∴ n (A) = 0

संर्माज� A ह� 7 � भा�ग ज�ण�र� सं�ख्या�

मिर्माळीण्या�चा� घटा�� आह. तार

A या� घटा�र्माध्या एकह� �र्मा?�� घटाक ��ह� म्हण2� A ह� अशक्या घटा��

आह.

एकघटाक. घटा��

ज्या� घटने माध्या एकोची नेमा�ने� घटको असंता� अश� घटने ली� एकोघटको0

घटने� असं म्हीणता�ता.

उदा� 1 : एक फ�सं� फ कले� असंता�,

संर्माज� A ह� 4 � भा�ग ज�ण�र� सं�ख्या� मिर्माळीण्या�चा� घटा�� आह. तार

A = {4} ∴ n(A) = 1

∴ A ह� एकघटाक. घटा�� आह.

उदा� 2 : संर्माज� B ह� 3 � भा�ग ज�ण�र� सं�ख्या� मिर्माळीण्या�चा�

घटा��

आह. तारB = {3, 6} ∴ n(B) = 2

∴ B ह� एकघटाक. घटा�� ��ह� .