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Mathematics 4 Statistics / 5장. 미분 ▼ 72

Prof. Sehyug Kwon, Dept. of Statistics, HANNAM University http://wolfpack.hannam.ac.kr @2005 Spring

미분은 함수의 임의 점에서 접선의 기울기이다. 미분이 가능한 함수를 미분 가능 함수라

하고 미분 값을 구하는 과정을 미분(Differentiation)이라 한다. 일반적으로 미분 가능한 함

수로는 다항 함수, 로그 함수, 지수 함수, 삼각 함수 등이고 그리고 미분 가능한 함수들의

사칙 연산에 의해 얻어지는 함수 또한 미분 가능하다. 미분 가능하면 연속이지만 연속 함

수라고 미분 가능한 것은 아니다. 선이 꺾인 점이나 변곡점은 미분 가능하지 못하기 때문

이다.

미분이 통계학에 사용되는 예를 들어 보자. 미분은 함수의 최대값이나 최소값을 구하는

경우에 사용된다.

0)(' =xf 을 만족하는 x값

아이 키(Y)

XbaY ˆˆ +=

아빠 키(X)

어떤 직선이 가장 적합한가? 회귀 모형 ebXaY ++= 에서 오차항의 제곱합을 최소화 하

는 2,

)(min)(min bXaYebaba

−−= 회귀 계수( ba, )를 OLS(Ordinary Least Square, 최소자승법) 추정치

라 한다. 2,

)(min),( bxaYbafba

−−= 는 ),( ba 의 함수이므로 함수를 최소화 하는 (a, b)를 구한다

는 것은 ),( ba 에 대해 미분하여 0이라 놓고 방정식을 풀면 된다. 즉 0,0 =∂∂

=∂∂

af 만족하는

(a, b)가 최소자승법 추정치가 된다.

Chapter 5 미분

5.1. 함수의 규칙1

5.1.1 미분의 정의

함수 f 의 임의의 점 x에서 미분 f ′는 다음과 같이 정의한다.

hxfhxf

)()(lim)(

−+=′

→: Fermat’s Difference Quotient

위의 값이 존재하면 점 x에서 함수 f 는 미분 가능하다고 한다. 만약 함수 f 의 모든

정의역에서 미분 가능하면 함수 f 는 미분 가능(differentiable)하다고 한다.

5.1.2 미분 규칙

규칙1 만약 c가 상수이면 0)( =cdxd

■예제■ 5=y 의 미분 dxdy 구하시오. 0)5( =

규칙2 만약 n이 양의 정수이면 1)( −= nn nxxdxd

■예제■ 4xy = 의 미분 dxdy 구하시오. 34 4)( xx

규칙3 규칙2는 n이 음의 정수인 경우에도 성립한다.

■예제■ x

y 1= 의 미분

dxdy 구하시오.

2111 11)(

−=−= −−−

■예제■ 34

xy = 의 미분

dxdy 구하시오.

443 11212)4(

−=−= −−

규칙4 )(xu 가 x의 함수이고 미분 가능하며 c가 상수이고 n이 양의 정수이면 다음이 성립

(1) )()( udxdccu

= 간편 기호: )'()'( uccu =

(2) 1)( −= nn cnxcxdxd

간편 기호: 1)()'( −= nn xcncx

(3) )()( 1 udxdcnucu

dxd nn −= 간편 기호: )()()'( 1 ′= − uucncu nn

■예제■ 23xy = 의 미분 dxdy 구하시오.

xxdxdx

dxd 6)(3)3( 22 ==

■예제■ 22 )2(5 xxy −= 의 미분 dxdy 구하시오.

)22)(2(10)22)(2(2*5))2((5))2((5))2(5( 22222222 −−=−−=−=−=− xxxxxxxxdxdxx

규칙5 만약 )(xu , )(xv 모두 x의 함수이고 미분 가능하다면

)()()( vdxdu

±=± 간편 기호 vuvudxd ′±′=± )(

■예제■ xxy 124 += 의 미분 dxdy 구하시오.

124)( 3 += xydxd

■예제■ 5337 23 −−= xxy 의 미분

dxdy 구하시오.

xxydxd 67)( 2 −=

■예제■ 22 24 +−= xxy 는 기울기가 0인 접선을 갖는가? 그렇다면 어디인가?

044)( 3 =−= xxydxd 0)1(4 2 =−xx 2

0)1)(1(4 =+− xxx 1,1,0 −=== xxx 1

2차 미분 이상

□2차 미분(second derivative): 2

ydy =′′ (y double prime, d squared y dx squared)

□3차 미분(third derivative): )(ydxdy ′′=′′′ (y triple prime)

□n차 미분(nth derivative): )( )1()( −= nn ydxdy (y super n)

■예제■ 23 23 +−= xxy 에 대하여 xxy 63 2 −=′ , 66 −=′′ xy , 6=′′′y , 0)4( =y

만약 0)(,0)( <′′=′ cfcf 이면 함수 f 는 점 c에서 (local) 최대값을 갖고 0)(,0)( >′′=′ cfcf

이면 (local) 최소값, 0)(,0)( =′′=′ cfcf 이면 변곡점이다.

규칙6 만약 )(xu , )(xv 모두 x의 함수이고 미분 가능하다면

)(**)()( vdxduvu

+= 간편 기호 vuvuuvdxd ′+′=)(

■예제■ )3)(1( 32 ++= xxy 의 미분 dxdy 구하시오.

xxxxxxxdxdy 635)3)(2()3)(1( 24322 ++=+++=

규칙7 만약 )(xu , )(xv 모두 x의 함수이고 미분 가능하고 0≠v 이면

dxdvuv

dxd −

■예제■ )1()1(

−=xxy 의 미분

dxdy 구하시오.

)2()1()2()1(+

−−+=

xxxxdxdy

■예제■ 4

2 )2()1(

xxxy −−= 의 미분 dxdy 구하시오.

23 2312323xxxx

xxxxy +−=+−=

432661

xxxdxdy

−+−=

HOMEWORK #12-1 DUE 5월 3일(화)

다음 함수의 1차 미분 ( )dxdy

구하시오.

842)1( 2 −−= xxy 523

)2(23−+=

)3)(1()3( 2xxy −−= )1)(1()4(x

xy −+=

)1()5(2

xy 12 )1)(1()6( −+−= xxy

23)7(x

y35)8( =

xxy )7()9(

3 += 21

)1)(1()11( 22 xxxy −+=

■예제■ 만약 u , v가 x의 함수이고 미분 가능, 2)0(,1)0(,3)0(,5)0( =′−=−=′= vvuu 일 경

우 0=x 에서 다음을 구하시오.

132*5)1(*3||)()1( 00 =+−−=′+′= == xx vuvuuvdxd

2*5)1(*3||)()2( 2020 −=−

−−−=

′−′= == xx

13)2(*2)3(*3|23|)23()3( 00 −=−−=′−′=− == xx vuvudxd

u , v가 x의 함수이고 미분 가능이며 0)1(,5)1(,0)1(,2)1( =′==′= vvuu 일 경우 1=x 에서 함수의

미분 값을 구하시오.

)()1( uvdxd

)()2(uv

)()3(vu

)27()4( uvdxd

5.2 삼각 함수 미분

(1) xxdxd cossin = (2) xx

dxd sincos −=

(3) xxdxd 2sectan = (4) xx

dxd 2csccot −=

(5) xxxdxd tansecsec = (6) xxx

dxd cotcsccsc −=

다음 함수를 미분하시오.

xxcos)1( xxcossin)2( xxx cossin)3( + x

xsin51)4( +

xcos4)5(

5.3 미분의 응용1

5.3.1 자유 낙하 법칙

자유 낙하의 법칙에 의하면 떨어진 거리 s , 시간 t 사이에는 다음 식이 존재한다.

)(9.421)( 22 mtgtts == (중력: sec)/(8.9 mg = Gravity)

■예제■ 자유낙하 후 15m 거리에 도달하는데 걸리는 시간은? 3초 후 도달하는 거리는?

29.415 t= 로부터 시간 75.1=t (초)이다.

2)3(9.4=s 로부터 거리 1.44=s (m)이다.

■예제■ 속력(velocity): 자유 낙하를 시작하여 t초가 경과한 후 속력은?

)()()(

lim)(0

tsttstv

∆−∆+

=→∆

이고 속도(speed)는 속력의 절대값이다.

3초 후 속력은 ts 8.9=′ 로부터 4.39)3()3( =′= sv (m/sec)이다.

■예제■ 가속도(Acceleration): 물체가 얼마나 빨리 속력을 높이나 (혹은 줄이나) 측정하

는 것이 가속력인데 이는 거리 함수의 2차 미분 값이다.

거리 함수가 )(ts 인 경우 가속도는 2

dtsdtsa =′′= 이다.

■예제■ 다이너마이트 폭발 후 바위는 수직으로 216160 tts −= 에 도달한다.

(1)얼마나 높이 올라갈까?

032160 =−= tdtds

이므로 5=t (초후) 최고의 높이에 이른다.

그 때 높이는 4005*165*160)5( 2 =−=s

(2)256 높이에 있을 때 바위의 속력은?

높이가 256일 때의 시간은 25616160)( 2 =−= ttts 이므로 0)8)(2(16 =−− tt 로부터 =t 2초와 8

초이다. 속력 tdtdstv 32160)( −== 이므로 962*32160)2( =−=v , 968*32160)8( −=−=v (음의 의

미는 떨어짐)

HOMEWORK #13-1 DUE 5월 4일(수)

달에서 바위를 수직으로 24m/sec 속력으로 던지면 t초 후 높이 28.034 tts −= 이 된다고 할 때 다음에 답하시오.

(1)바위의 속력과 가속력을 구하시오.

(2)바위가 지상에서 가장 높이 올라갈 때까지 걸리는 시간과 그 때의 높이?

(3)바위가 300m에 있을 때 순간 속력을 구하시오.

5.3.2 경제학에서의 미분

경제학에서 미분은 한계 값(marginal value)이라 불려진다. A회사에서 냉장고를 생산하는데 소요되는 비용 함수를 )(xc 라 하자. x는 제품 생산량이다. ( )(xc 나 )(xf 의 의미는 같다.

둘 다 x 의 함수라는 것이다. 비용이 cost이므로 c를 사용한 것 뿐이다.) h

xchxc )()( −+의

의미는 제품을 x 만큼 생산하고 있는 생산 라인에서 제품을 h만큼 더 생산할 때 비용의

평균 증가량이다. 0→h 일 때 이를 x서 한계 비용이라 (marginal cost) 한다.

■예제■ A회사에서 냉장고를 생산하는데 드는 비용 함수가 xxxxc 156)( 23 +−= 라 하자.

현재는 하루에 10개 생산하고 있다. 이 경우 하나를 더 생산하는데 드는 비용은 얼마

일까?(단위: 만원)

15123)156()( 223 +−=+−=′ xxxxxdxdxc

19515)10(12)10(3)10( 2 =+−=′c 즉 초과 비용은 195(만원)이다.

책상을 만드는 회사의 수익 함수는 )30100(2000)( 2 xxxr +−= 이다. 물론 x는 생산량이다.

(1)5대 생산에서 6개 생산으로 늘리면 수익은 얼마나 증가하는가?

(2)최대 수익을 얻으려면 생산량을 얼마나?

5.4 연쇄 규칙 (chain rule)

미분 규칙과 미분 절차를 이용하면 )sin(x , )4( 2 −x , xe 등의 함수를 미분 할 수 있다.

그러면 함수 )4sin( 2 −x , xxe +2는 미분 할 수 있나? 이 때 필요한 규칙이 연쇄 규칙이다.

■예제■ 함수 106 −= xy 를 미분하자.

(1) )53(2 −= xy

(2) uy 2= , )53( −= xu

(3) 2=dudy , 3=

(4)dxdy

■예제■ 함수 )4sin( 2 −= xy 을 미분하자.

(1) )sin(uy = , )4( 2 −= xu

(2) )cos(ududy

= , xdxdu 2=

(3) xxxudxdu

dxdy )4cos(22)cos( 2 −===

5.4.1 연쇄 규칙

함수 )(ufy = , )(xgu = 가 모두 미분 가능하다면 dxdu

= 이다. 혹은 xx dxdu

dxdy || = 이다.

■예제■ 함수 )32

cos( xy −=π

의 0=x 에서 미분 값은?

uy cos= , xu 32−=

3|)3)(32/sin(|)3)(sin(|| 0000 =−−−=−−== ==== xxxx xudxdu

■예제■ 함수 xy 5sin= 미분하라.

5uy = , xu sin=

xxxudxdu

dxdy cossin5)(cos5 44 ===

■예제■ 함수 3)12( −+= xy 의 미분하자.

3−= uy , 12 += xu

44 )12(6)2(3 −− +−=−== xudxdu

■예제■ 함수 xey −= 을 미분하자.

uey = , xu −=

uedudy

= , 1−=dxdu

그러므로 xx eedxdu

dxdy −− −=−== )1(

■예제■ 함수 xxey +=2을 미분하자.

uey = , )( 2 xxu +=

uedudy

= , 12 += xdxdu

그러므로 )12()( 2+== + xe

dxdy xx

5.4.2 안-바깥 규칙

연쇄 규칙을 사용하면 치환하는 복잡한 과정을 거친다. 이를 계산이 용이하게 함수의 형

태를 안과 바깥을 구별하고 바깥 부분을 먼저 미분하고 안 부분을 미분하여 서로 곱하는

방법을 안-바깥 규칙(inside-outside rule)이라 한다.

)())(( xgxgfdxdy ′′= o (예) )12)(2cos()sin( 22 ++=+ xxxx

안 (1)바깥 미분

바깥 (2)안 그대로 (3)안 미분

■예제■ 함수 3)12( −+= xy 의 미분하자.

44 )12(6)2()12(3 −− +−=+−= xxdxdy

■예제■ 함수 )sin( xy −= 미분하자.

)cos()1)(cos( xxdxdy

−=−−=

■예제■ 함수 xxe +2을 미분하자.

)12()( 2+= + xe

dxdy xx

5.4.3 반복 사용

연쇄 규칙을 두 번 이상 사용할 수 있다. 예를 들어 설명하겠다.

■예제■ 함수 2)13( −= xey 미분하자.

3)13(2)])13[(22 )13(2)13( −=′−= −− xexe

dxdy xx

즉 22 )13()13( )3(63)13(2 −− −=−= xx exxe

다음 함수의 1차 미분을 (dxdff =′ 혹은

dxdyy =′ ) 구하시오.

9)34()()1( xxf −= 10)12

()2( −−=xy 5)

5()()3(

xxxf +=

)sin()4( 2xy = )(sin)5( 3 xy = 22 )1()5()6(

))52(cos(sin)7( 2 −= xy 2)

2)8(−

ey 4)11()9( −−+=x

주어진 x 값에서 )())((]))(([])([ xgxgfxgfxgf ′′=′=′o 을 구하시오.

xxguuuf ==+= )(,1)()1( 5 , 1=x x

==−=1

1)(,11)()2( , 1=x

■예제■ 주어진 x에서 미분 값을 구하시오.

x )(xf )(xg )(xf ′ )(xg′

2 8 2 3 -3

3 3 -4 2 1

)(2)( xfya = , 2=x

63*2)2(2|)(2| 22 ==′=′=′ == fxfy xx

)()()( xgxfyb = , 3=x

51*3)4(*2)3()3()3()3(|)()()()(| 33 −=+−=′+′=′+′=′ == gfgfxgxfxgxfy xx

)()()(

xgxfyc = , 2=x

)4()3(*82*3

)2()2()2()2()2(|

)()()()()(| 22222 ==

−−=

′−′=

′−′=′ ==

xgxgxfxgxfy xx

)()( xfyd = , 2=x

21)2(*))2((

21|)(*))((

21| 2/1

2 ==′=′=′−

= ffxfxfy xx

)(1)( 2 xg

ye = , 3=x

)3(12)3(*)3(2|)(*)(2|)(| 3

22 =−=′−=′−==′ −

ggxgxgxgy xxx

주어진 x에서 미분 값을 구하시오.

x )(xf )(xg )(xf ′ )(xg′

0 1 1 5 1/3

1 3 -4 -1/3 -8/3

)()()( 3 xgxfya = , 0=x

1)()()(+

xfyb , 1=x

))(()( xgfyc = , 0=x

)3)(()( ++= xgxfyd , 1=x

211 ))(()( −+= xfxye , 1=x

5.5 잠재 미분

함수를 )(xfy = 식으로 쉽게 표현할 수 없을 때 사용하는 미분 방법을 잠재 미분

(implicit differentiation) 이라 한다. 잠재 미분 절차를 예제 중심으로 설명하여 보자.

■예제■ 함수 yxy sin2 2 += 에 대해 dxdy를 구하시오.

함수를 x에 대해 미분한다. )sin()2( 2 yxdxdy

+= 이므로 dxdy

yxdxdy

cos22 +=

dxdy 항을 한 쪽으로 모은다. x

2cos2 =−

dxdy로 인수 분해한다. x

y 2)cos2( =−

dxdy에 대해 푼다.

)cos2(2

다음 함수에서 dxdy을 구하시오.

6)1( 22 =+ xyyx yxyxy +=+ 22)2( 1)3( 33 =+− yxyx 32 2)3)(4( yyx =+

5.6 미분 응용2

5.6.1 상대 변화율

예제를 중심으로 상대 변화율이 어떤 개념이고 어디에 적용될 수 있는지 알아보자.

■예제■ 풍선이 하늘로 날아간 궤적을 보니 다음과 같고 min)/(14.0 raddtd

이라고 하

자. 지상 500m 지점에서 풍선의 속력은 얼마인가?

(1)무엇을 구하는 것인가 적는다. 4πθ = 일 때

dtdy을 구한다.

(2) 변수 이름을 설정한다. y= 풍선의 (현재) 높이, θ =풍선이 날아간 각도

(3)관계 수식(함수)을 구한다. 500

=θ 이므로 θtan500=y

(4) 140)14.0()414.1(500)(sec500 22 ===′dtdy θθ 1분당 140의 속력으로 올라감

4/πθ =

저수통의 물이 분당 3000( min)/l 으로 빠지고 있다. 물의 높이가 얼마나 빨리 줄어들겠는

가? (세제곱 미터 당 1,000 l물이 있다)

TIP 3000=dtdV

이고 알고자 하는 것은 dtdh이다. π 와 r은 변하지 않음

5.6.2 최대값과 최소값

▣지역(local)과 절대(absolute)의 의미

절대 최소 지역최대 지역최소 절대최대 지역최소

▣1차 미분 정리

함수 f 가 일정 구간 안의 모든 점에서 미분 가능하고 구간 내 임의의 점 c에서 1차

미분이 0이면 ( 0)( =′ cf ) 함수 f 는 점 c에서 지역 최대값이나 최소값을 갖는다.

▣증가 함수와 감소 함수 정의

만약 )()( 1212 xfxfxx >⇒> 이면 )(xf 는 증가 함수이다.(정의)

)()( 1212 xfxfxx <⇒> 이면 )(xf 는 감소 함수이다.(정의)

h rV 2000,1 π= 높이 h

▣1차 미분과 증가 함수 관계 정리

함수 f 에 대해 0>′f 이면 증가 함수이고 0<′f 이면 감소 함수이다.

▣1차 미분 y′

1차 미분이 0인 점에서 최대, 최소 혹은 변곡이 발생한다.

▣2차 미분 y ′′

1차 미분(기울기)의 변화율이므로 기울기가 감소하면 2차 미분 값은 음이고 기울기가 증

가하면 2차 미분 값은 양이다.

▣오목성(Concavity)

만약 y ′의 기울기가 감소하면 함수 f 는 concave down ( )0<′′f , 만약 y ′의 기울기가 증

가하면 함수 f 는 concave up( )0>′′f 이라 한다. 만약 concavity가 변하는 점이 있으면 이

점을 변곡점(inflection point)이라 한다. 변곡점에서는 0=′′y 이 성립한다.

concave down concave up 변곡점

▣1차 미분과 2차 미분을 이용한 최대, 최소

만약 0)( =′ cf 이고 0)( <′′ cf 이면 함수 f 는 점 c에서 (지역) 최대값을 갖는다.

만약 0)( =′ cf 이고 0)( >′′ cf 이면 함수 f 는 점 c에서 (지역) 최소값을 갖는다.

만약 0)( =′ cf 이고 0)( =′′ cf 이면 함수 f 는 점 c에서 변곡점이다.

■예제■ 함수 312

23+−−= xxxy 의 최대값, 최소값, 변곡점이 있는지 알아보고 있다면

))(,( xfx 를 구하시오.

(1)1차 미분이 0인 값을 구한다.

022 =−−=′ xxy 2,1−=x

(2)2차 미분을 구하고 1차 미분이 0인 곳에서 2차 미분 값의 구한다.

12 −=′′ xy

1−=x 에서 3| 1 −=′′ −=xy 이므로 최대값 2/3=y

2=x 에서 3| 2 =′′ =xy 이므로 최소값 3−=y

다음 함수의 (local) 최대값, (local) 최소값, 변곡점이 있는지 알아보고 있다면 ))(,( xfx 을

구하시오.

34)1 2 +−= xxy 142)2 24 +−= xxy 23 32)3 xxy −= xxy −= 3)4

334)5 xxy −+= 24 2)6 xxy −= π20,sin)7 ≤≤−= xxxy

미분 공식 응용

다음 함수의 미분을 dxdy 구하시오.

73)1(x

y −= x

xy 11)2( ++= )15()3( 2x

xxy ++=

12)1)(1()4( −+−= xxy )1)(1()5( +−= xxxy 120

)6(5xy =

함수 cbxaxy ++= 2 는 점 (1,2)를 지나고 원점(0,0)에서 접선 기울기가 xy = 일 경우 cba ,,

구하시오.

다음 함수의 Taylor 시리즈(1.5절 참고, 0=a )를 구하시오.

① xexf −=)( ② 3)1()( −+= xxf

함수 )(xf 가 미분 가능하다면 임의의 상수 a에 대해 다음이 성립한다.

))((!2

))(())(()()(32+

−′′′+

−′′+−′+=

axafaxafaxafafxf

만약 상수 0=a 이면

...!3)0(

!2)0()0()0()(

′′′+

′′+′+=

xfxfxffxf

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