méthode "volumes finis"

Methode ”Volumes Finis”

Introduction a la Mecanique des FluidesNumerique:

Methode ”Volumes Finis”

Alexei Stoukov

ENSEEIHTDepartement Hydraulique / Mecanique des Fluides

Version initiale: Octobre 2006Revision: Fevrier 2012

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Methode ”Volumes Finis”

Introduction

Mecanique des Fluides NumeriqueComputational Fluid Dynamics - methodologie

Resolution numerique des problemes de la Mecanique des Fluides

Grandes etapes :

Probleme physique continu est decrit par un modele mathematiquecontinue (mis en equations)Modele mathematique continu est discretise en s’appuyant surune(des) methode(s) numerique(s)Equations discretisees sont approximees a l’aide des schemasnumeriques appropries, l’algorithme de resolution est etablieAlgorithme est code (C, Fortan, Matlab, Java,...)Code est execute sur un ordinateurSi tout va bien, la solution approchee du probleme initial est obtenue

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Methode ”Volumes Finis”

Introduction

Mecanique des Fluides NumeriqueComputational Fluid Dynamics - methodologie

Resolution numerique des problemes de la Mecanique des Fluides

Grandes etapes :

Probleme physique continu est decrit par un modele mathematiquecontinue (mis en equations)

Modele mathematique continu est discretise en s’appuyant surune(des) methode(s) numerique(s)Equations discretisees sont approximees a l’aide des schemasnumeriques appropries, l’algorithme de resolution est etablieAlgorithme est code (C, Fortan, Matlab, Java,...)Code est execute sur un ordinateurSi tout va bien, la solution approchee du probleme initial est obtenue

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Methode ”Volumes Finis”

Introduction

Mecanique des Fluides NumeriqueComputational Fluid Dynamics - methodologie

Resolution numerique des problemes de la Mecanique des Fluides

Grandes etapes :

Probleme physique continu est decrit par un modele mathematiquecontinue (mis en equations)Modele mathematique continu est discretise en s’appuyant surune(des) methode(s) numerique(s)

Equations discretisees sont approximees a l’aide des schemasnumeriques appropries, l’algorithme de resolution est etablieAlgorithme est code (C, Fortan, Matlab, Java,...)Code est execute sur un ordinateurSi tout va bien, la solution approchee du probleme initial est obtenue

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Methode ”Volumes Finis”

Introduction

Mecanique des Fluides NumeriqueComputational Fluid Dynamics - methodologie

Resolution numerique des problemes de la Mecanique des Fluides

Grandes etapes :

Probleme physique continu est decrit par un modele mathematiquecontinue (mis en equations)Modele mathematique continu est discretise en s’appuyant surune(des) methode(s) numerique(s)Equations discretisees sont approximees a l’aide des schemasnumeriques appropries, l’algorithme de resolution est etablie

Algorithme est code (C, Fortan, Matlab, Java,...)Code est execute sur un ordinateurSi tout va bien, la solution approchee du probleme initial est obtenue

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Methode ”Volumes Finis”

Introduction

Mecanique des Fluides NumeriqueComputational Fluid Dynamics - methodologie

Resolution numerique des problemes de la Mecanique des Fluides

Grandes etapes :

Probleme physique continu est decrit par un modele mathematiquecontinue (mis en equations)Modele mathematique continu est discretise en s’appuyant surune(des) methode(s) numerique(s)Equations discretisees sont approximees a l’aide des schemasnumeriques appropries, l’algorithme de resolution est etablieAlgorithme est code (C, Fortan, Matlab, Java,...)

Code est execute sur un ordinateurSi tout va bien, la solution approchee du probleme initial est obtenue

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Methode ”Volumes Finis”

Introduction

Mecanique des Fluides NumeriqueComputational Fluid Dynamics - methodologie

Resolution numerique des problemes de la Mecanique des Fluides

Grandes etapes :

Probleme physique continu est decrit par un modele mathematiquecontinue (mis en equations)Modele mathematique continu est discretise en s’appuyant surune(des) methode(s) numerique(s)Equations discretisees sont approximees a l’aide des schemasnumeriques appropries, l’algorithme de resolution est etablieAlgorithme est code (C, Fortan, Matlab, Java,...)Code est execute sur un ordinateur

Si tout va bien, la solution approchee du probleme initial est obtenue

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Methode ”Volumes Finis”

Introduction

Mecanique des Fluides NumeriqueComputational Fluid Dynamics - methodologie

Resolution numerique des problemes de la Mecanique des Fluides

Grandes etapes :

Probleme physique continu est decrit par un modele mathematiquecontinue (mis en equations)Modele mathematique continu est discretise en s’appuyant surune(des) methode(s) numerique(s)Equations discretisees sont approximees a l’aide des schemasnumeriques appropries, l’algorithme de resolution est etablieAlgorithme est code (C, Fortan, Matlab, Java,...)Code est execute sur un ordinateurSi tout va bien, la solution approchee du probleme initial est obtenue

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

CFD : Principales methodes

Differences finies

Appoximation des derivees intervenantes dans les equations a l’aide dedeveloppement en serie de Taylor

Elements finis

Determination d’un champ local a attribue a chaque sous domaine(element) pour que le champ global obtenu par juxtaposition de ceschamps locaux soit proche de la solution du probleme (bilan global).

Volumes finis

Bilan local des flux dans un petit volume de controle

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

CFD : Principales methodes

Differences finies

Appoximation des derivees intervenantes dans les equations a l’aide dedeveloppement en serie de Taylor

Elements finis

Determination d’un champ local a attribue a chaque sous domaine(element) pour que le champ global obtenu par juxtaposition de ceschamps locaux soit proche de la solution du probleme (bilan global).

Volumes finis

Bilan local des flux dans un petit volume de controle

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

CFD : Principales methodes

Differences finies

Appoximation des derivees intervenantes dans les equations a l’aide dedeveloppement en serie de Taylor

Elements finis

Determination d’un champ local a attribue a chaque sous domaine(element) pour que le champ global obtenu par juxtaposition de ceschamps locaux soit proche de la solution du probleme (bilan global).

Volumes finis

Bilan local des flux dans un petit volume de controle

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Differences finies

Differences finies

Le principe de la methode se decoule directement de la definition dederivee : (

∂φ

∂x

)xi

= lim∆x→0

φ(xi + ∆x)− φ(xi )

∆x(1)

Serie de Taylor pour une fonction continue φ(x) aux alentours de xi :

φ(x) = φ(xi ) + (x − xi )

(∂φ

∂x

)i

+(x − xi )

2

2!

(∂φ2

∂x2

)i

+

(x − xi )3

3!

(∂φ3

∂x3

)i

+ ...+(x − xi )

n

n!

(∂φn

∂xn

)i

+ H (2)

ou H represente les termes d’ordre superieurs Higher order terms

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Differences finies

Differences finies

En remplacant x par xi+1 ou xi−1 dans (2) on obtient :(∂φ

∂x

)i

=φi+1 − φi

xi+1 − xi− xi+1 − xi

2

(∂φ2

∂x2

)i

− (xi+1 − xi )2

6

(∂φ3

∂x3

)i

+ H

(3)(∂φ

∂x

)i

=φi − φi−1

xi − xi−1+

xi − xi−1

2

(∂φ2

∂x2

)i

− (xi − xi−1)2

6

(∂φ3

∂x3

)i

+ H

(4)(∂φ

∂x

)i

=φi+1 − φi−1

xi+1 − xi−1− (xi+1 − xi )

2 − (xi − xi−1)2

2(xi+1 − xi−1)

(∂φ2

∂x2

)i

−

(xi+1 − xi )3 + (xi − xi−1)3

6(xi+1 − xi−1)

(∂φ3

∂x3

)i

+ H (5)

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Differences finies

Differences finies

Exemple d’approximation

Forward Difference (FD)

(∂φ

∂x

)i

≈ φi+1 − φi

xi+1 − xi(6)

Backward Difference (BD)

(∂φ

∂x

)i

≈ φi − φi−1

xi − xi−1(7)

Central Difference (CD)

(∂φ

∂x

)i

≈ φi+1 − φi−1

xi+1 − xi−1(8)

L’erreur de troncature

ϑ(∆x) pour FD et BD

ϑ(∆x2) pour CD

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Differences finies

Differences finies

Exemple d’approximation

Forward Difference (FD)

(∂φ

∂x

)i

≈ φi+1 − φi

xi+1 − xi(6)

Backward Difference (BD)

(∂φ

∂x

)i

≈ φi − φi−1

xi − xi−1(7)

Central Difference (CD)

(∂φ

∂x

)i

≈ φi+1 − φi−1

xi+1 − xi−1(8)

L’erreur de troncature

ϑ(∆x) pour FD et BD

ϑ(∆x2) pour CD

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Elements finis

Methode Elements finis

Consiste a rechercher une solution approchee sous la forme d’un champF (M, t) defini par morceaux sur des sous domaines de Ω. Les n sous-domainesΩi doivent etre tels que

n⋃i=1

Ωi = Ω et Ωi ∩ Ωj = ∅ ∀i 6= j

ou Ωi designe l’interieur de Ωi .Les champs fi (M, t), definis sur chaque sous domaines sont des champs choisisparmi une famille arbitraire de champs (generalement polynomiaux).Le champ dans chaque sous domaine Ωi est determine par un nombre fini devaleurs du champ (ou de valeurs de ses derivees) en des points choisisarbitrairement dans le sous domaine, et appeles nœuds. Le champ local est uneinterpolation entre les valeurs aux nœuds. Le sous-domaine muni de soninterpolation est appele element.

Chercher une solution par elements finis consiste a determiner quel champ local

on attribue a chaque sous domaine pour que le champ global F (M, t) obtenu

par juxtaposition de ces champs locaux soit proche de la solution du probleme.

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’utiliser

Pourquoi utiliser l’approche ”Volumes Finis” ?

Differences finies

Bien connue

Mise en œvre simple pour une geometrie simple

Mise en œvre difficile pour une geometrie complexe

Pas toujours conservative

Utilisation dans des codes de ”recherche”

Elements finis

Approche tres ”mathematique”

S’adapte a une geometrie quelconque

Difficultees pour resoudre les termes non-lineaires

Tres utilisee dans le domaine de Mecanique des Solides et pour desproblemes multi-physique (Comsol, ex FemLab).

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’utiliser

Pourquoi utiliser l’approche ”Volumes Finis” ?

Volumes finis

Approche tres ”physique” : bilan des flux

S’adapte a une geometrie quelconque

Plusieurs schemas pour la resolution des termes non-lineaireshyperboliques

Conservative (par sa formulation)

La base de tout les codes generalistes en Mecanique des Fluides :Fluent et CFX (ANSYS), StarCCM+ et ProStar (CD-Adapco), Fire(AVL), OpenFoam (Libre)...

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : etapes typiques

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : repartition des etapesdans le temps

Temps horloge (h) Temps homme (h)

Todd Michal. SIAM News, CSE 2009 : Preprocessing for Industrial CFD : More Important Than You Might Think

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : repartition des etapesdans le temps

Temps horloge (h) Temps homme (h)

Todd Michal. SIAM News, CSE 2009 : Preprocessing for Industrial CFD : More Important Than You Might Think

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : geometrie CAD(CAO)

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : geometrie CAD(CAO)

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : geometrie CFD

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : maillage surfacique

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : maillage volumique

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : maillage volumique

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : maillage volumique

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : choix d’un maillagevolumique

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : geometrie CFD

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : maillage volumique

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : maillage volumique

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Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation

Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?

Unsteady1 Implicite unsteady

Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?

2 Explicite unsteady

CFL ?Fractional step time advancement ?...

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CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation

Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?

Unsteady

1 Implicite unsteady

Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?

2 Explicite unsteady

CFL ?Fractional step time advancement ?...

23 / 75

Methode ”Volumes Finis”

CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation

Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?

Unsteady1 Implicite unsteady

Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?

2 Explicite unsteady

CFL ?Fractional step time advancement ?...

23 / 75

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CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation

Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?

Unsteady1 Implicite unsteady

Solveur : segregated ou coupled ?

∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?

2 Explicite unsteady

CFL ?Fractional step time advancement ?...

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CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation

Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?

Unsteady1 Implicite unsteady

Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?

Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?

2 Explicite unsteady

CFL ?Fractional step time advancement ?...

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CFD : Principales methodes

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Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation

Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?

Unsteady1 Implicite unsteady

Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?

Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?2 Explicite unsteady

CFL ?Fractional step time advancement ?...

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Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?

Unsteady1 Implicite unsteady

Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?

2 Explicite unsteady

CFL ?Fractional step time advancement ?...

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CFD : Principales methodes

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Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation

Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?

Unsteady1 Implicite unsteady

Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?

2 Explicite unsteady

CFL ?Fractional step time advancement ?...

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CFD : Principales methodes

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Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation

Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?

Unsteady1 Implicite unsteady

Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?

2 Explicite unsteady

CFL ?

Fractional step time advancement ?...

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CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation

Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?

Unsteady1 Implicite unsteady

Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?

2 Explicite unsteady

CFL ?Fractional step time advancement ?

...

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Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : preparation de lamodelisation / modelisation

Modele de l’ecoulement : steady, unsteady ?

Unsteady1 Implicite unsteady

Solveur : segregated ou coupled ?∆t ?Schema de discretisation : SIMPLE, QUICK, CD, MARS, ... ?Options du solveur : Gauss-Zeidel, GC, ... ?

2 Explicite unsteady

CFL ?Fractional step time advancement ?...

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CFD : Principales methodes

Volumes finis - pourquoi l’apprendre

Processus de la CFD industrielle : analyse

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Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme differentielle

Loi de conservation sous forme differentielle

Equations de Navier-Stokes :

∂U

∂t+∂F (U)

∂x= S(U) (9)

U =

ρρuρvρwρet

F = Fc + Fd =

ρ~u

div(ρu~u) + ∂P∂x

div(ρv~u) + ∂P∂y

div(ρw~u) + ∂P∂z

div(ρE~u) + Pdiv~u

−

0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )

(10)

Equation generale du transport :

∂ρφ

∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸

Advection

− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸

Diffusion

= Sφ︸︷︷︸

Terme Source/Puits

(11)

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Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme differentielle

Loi de conservation sous forme differentielle

Equations de Navier-Stokes :

∂U

∂t+∂F (U)

∂x= S(U) (9)

U =

ρρuρvρwρet

F = Fc + Fd =

ρ~u

div(ρu~u) + ∂P∂x

div(ρv~u) + ∂P∂y

div(ρw~u) + ∂P∂z

div(ρE~u) + Pdiv~u

−

0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )

(10)

Equation generale du transport :

∂ρφ

∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸

Advection

− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸

Diffusion

= Sφ︸︷︷︸

Terme Source/Puits

(11)

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Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme differentielle

Loi de conservation sous forme differentielle

Equations de Navier-Stokes :

∂U

∂t+∂F (U)

∂x= S(U) (9)

U =

ρρuρvρwρet

F = Fc + Fd =

ρ~u

div(ρu~u) + ∂P∂x

div(ρv~u) + ∂P∂y

div(ρw~u) + ∂P∂z

div(ρE~u) + Pdiv~u

−

0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )

(10)

Equation generale du transport :

∂ρφ

∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸

Advection

− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸

Diffusion

= Sφ︸︷︷︸

Terme Source/Puits

(11)

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Loi de conservation

Forme differentielle

Loi de conservation sous forme differentielle

Equations de Navier-Stokes :

∂U

∂t+∂F (U)

∂x= S(U) (9)

U =

ρρuρvρwρet

F = Fc + Fd =

ρ~u

div(ρu~u) + ∂P∂x

div(ρv~u) + ∂P∂y

div(ρw~u) + ∂P∂z

div(ρE~u) + Pdiv~u

−

0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )

(10)

Equation generale du transport :

∂ρφ

∂t

+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸

Advection

− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸

Diffusion

= Sφ︸︷︷︸

Terme Source/Puits

(11)

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Loi de conservation

Forme differentielle

Loi de conservation sous forme differentielle

Equations de Navier-Stokes :

∂U

∂t+∂F (U)

∂x= S(U) (9)

U =

ρρuρvρwρet

F = Fc + Fd =

ρ~u

div(ρu~u) + ∂P∂x

div(ρv~u) + ∂P∂y

div(ρw~u) + ∂P∂z

div(ρE~u) + Pdiv~u

−

0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )

(10)

Equation generale du transport :

∂ρφ

∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸

Advection

− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸

Diffusion

= Sφ︸︷︷︸

Terme Source/Puits

(11)

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Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme differentielle

Loi de conservation sous forme differentielle

Equations de Navier-Stokes :

∂U

∂t+∂F (U)

∂x= S(U) (9)

U =

ρρuρvρwρet

F = Fc + Fd =

ρ~u

div(ρu~u) + ∂P∂x

div(ρv~u) + ∂P∂y

div(ρw~u) + ∂P∂z

div(ρE~u) + Pdiv~u

−

0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )

(10)

Equation generale du transport :

∂ρφ

∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸

Advection

− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸

Diffusion

= Sφ︸︷︷︸

Terme Source/Puits

(11)

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Loi de conservation

Forme differentielle

Loi de conservation sous forme differentielle

Equations de Navier-Stokes :

∂U

∂t+∂F (U)

∂x= S(U) (9)

U =

ρρuρvρwρet

F = Fc + Fd =

ρ~u

div(ρu~u) + ∂P∂x

div(ρv~u) + ∂P∂y

div(ρw~u) + ∂P∂z

div(ρE~u) + Pdiv~u

−

0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )

(10)

Equation generale du transport :

∂ρφ

∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸

Advection

− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸

Diffusion

= Sφ︸︷︷︸

Terme Source/Puits

(11)

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Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme differentielle

Loi de conservation sous forme differentielle

Equations de Navier-Stokes :

∂U

∂t+∂F (U)

∂x= S(U) (9)

U =

ρρuρvρwρet

F = Fc + Fd =

ρ~u

div(ρu~u) + ∂P∂x

div(ρv~u) + ∂P∂y

div(ρw~u) + ∂P∂z

div(ρE~u) + Pdiv~u

−

0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )

(10)

Equation generale du transport :

∂ρφ

∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸

Advection

− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸

Diffusion

= Sφ︸︷︷︸

Terme Source/Puits

(11)

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Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme differentielle

Loi de conservation sous forme differentielle

Equations de Navier-Stokes :

∂U

∂t+∂F (U)

∂x= S(U) (9)

U =

ρρuρvρwρet

F = Fc + Fd =

ρ~u

div(ρu~u) + ∂P∂x

div(ρv~u) + ∂P∂y

div(ρw~u) + ∂P∂z

div(ρE~u) + Pdiv~u

−

0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )

(10)

Equation generale du transport :

∂ρφ

∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸

Advection

− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸Diffusion

= Sφ︸︷︷︸

Terme Source/Puits

(11)

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Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme differentielle

Loi de conservation sous forme differentielle

Equations de Navier-Stokes :

∂U

∂t+∂F (U)

∂x= S(U) (9)

U =

ρρuρvρwρet

F = Fc + Fd =

ρ~u

div(ρu~u) + ∂P∂x

div(ρv~u) + ∂P∂y

div(ρw~u) + ∂P∂z

div(ρE~u) + Pdiv~u

−

0div(µgradu)div(µgradv)div(µgradw)div(kgradT )

(10)

Equation generale du transport :

∂ρφ

∂t+ div(ρφ~u)︸ ︷︷ ︸

Advection

− div(Γgradφ)︸ ︷︷ ︸Diffusion

= Sφ︸︷︷︸Terme Source/Puits

(11)

25 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integraled ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ +

∫ΩCV

div(ρφ~udΩ)−∫

ΩCV

div(Γgradφ)dΩ =

∫ΩCV

SφdΩ

(12)

Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

+

∫ACV

(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport advectif

−∫

ACV

(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport diffusif

=

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(13)

26 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integraled ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ +

∫ΩCV

div(ρφ~udΩ)−∫

ΩCV

div(Γgradφ)dΩ =

∫ΩCV

SφdΩ

(12)

Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

+

∫ACV

(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport advectif

−∫

ACV

(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport diffusif

=

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(13)

26 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integraled ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ +

∫ΩCV

div(ρφ~udΩ)−∫

ΩCV

div(Γgradφ)dΩ =

∫ΩCV

SφdΩ

(12)

Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

+

∫ACV

(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport advectif

−∫

ACV

(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport diffusif

=

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(13)

26 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integraled ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ +

∫ΩCV

div(ρφ~udΩ)−∫

ΩCV

div(Γgradφ)dΩ =

∫ΩCV

SφdΩ

(12)

Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

+

∫ACV

(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport advectif

−∫

ACV

(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport diffusif

=

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(13)

26 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integraled ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ

+

∫ΩCV

div(ρφ~udΩ)−∫

ΩCV

div(Γgradφ)dΩ =

∫ΩCV

SφdΩ

(12)

Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

+

∫ACV

(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport advectif

−∫

ACV

(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport diffusif

=

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(13)

26 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integraled ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ +

∫ΩCV

div(ρφ~udΩ)

−∫

ΩCV

div(Γgradφ)dΩ =

∫ΩCV

SφdΩ

(12)

Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

+

∫ACV

(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport advectif

−∫

ACV

(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport diffusif

=

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(13)

26 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integraled ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ +

∫ΩCV

div(ρφ~udΩ)−∫

ΩCV

div(Γgradφ)dΩ

=

∫ΩCV

SφdΩ

(12)

Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

+

∫ACV

(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport advectif

−∫

ACV

(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport diffusif

=

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(13)

26 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integraled ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ +

∫ΩCV

div(ρφ~udΩ)−∫

ΩCV

div(Γgradφ)dΩ =

∫ΩCV

SφdΩ

(12)

Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

+

∫ACV

(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport advectif

−∫

ACV

(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport diffusif

=

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(13)

26 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integraled ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ +

∫ΩCV

div(ρφ~udΩ)−∫

ΩCV

div(Γgradφ)dΩ =

∫ΩCV

SφdΩ

(12)

Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

+

∫ACV

(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport advectif

−∫

ACV

(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport diffusif

=

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(13)

26 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integraled ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ +

∫ΩCV

div(ρφ~udΩ)−∫

ΩCV

div(Γgradφ)dΩ =

∫ΩCV

SφdΩ

(12)

Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

+

∫ACV

(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport advectif

−∫

ACV

(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport diffusif

=

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(13)

26 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integraled ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ +

∫ΩCV

div(ρφ~udΩ)−∫

ΩCV

div(Γgradφ)dΩ =

∫ΩCV

SφdΩ

(12)

Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

+

∫ACV

(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport advectif

−∫

ACV

(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport diffusif

=

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(13)

26 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integraled ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ +

∫ΩCV

div(ρφ~udΩ)−∫

ΩCV

div(Γgradφ)dΩ =

∫ΩCV

SφdΩ

(12)

Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

+

∫ACV

(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport advectif

−∫

ACV

(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport diffusif

=

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(13)

26 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integraled ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ +

∫ΩCV

div(ρφ~udΩ)−∫

ΩCV

div(Γgradφ)dΩ =

∫ΩCV

SφdΩ

(12)

Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle

+

∫ACV

(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport advectif

−∫

ACV

(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport diffusif

=

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(13)

26 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integraled ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ +

∫ΩCV

div(ρφ~udΩ)−∫

ΩCV

div(Γgradφ)dΩ =

∫ΩCV

SφdΩ

(12)

Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle

+

∫ACV

(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸Transport advectif

−∫

ACV

(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸

Transport diffusif

=

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(13)

26 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integraled ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ +

∫ΩCV

div(ρφ~udΩ)−∫

ΩCV

div(Γgradφ)dΩ =

∫ΩCV

SφdΩ

(12)

Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle

+

∫ACV

(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸Transport advectif

−∫

ACV

(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸Transport diffusif

=

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(13)

26 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integraled ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ +

∫ΩCV

div(ρφ~udΩ)−∫

ΩCV

div(Γgradφ)dΩ =

∫ΩCV

SφdΩ

(12)

Pour le volume ΩCV le theoreme de Gauss donne :

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle

+

∫ACV

(ρφ~u)d ~An︸ ︷︷ ︸Transport advectif

−∫

ACV

(Γgradφ)d ~An︸ ︷︷ ︸Transport diffusif

=

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸Source/Puits

(13)

26 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integrale

Une autre facon de voir la methode :

d ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur

~F - vecteur flux de la matiere

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

= −∮

ACV

~F d ~An︸ ︷︷ ︸

Bilan des flux

+

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(14)

de ρφ dans ΩCV a travers de ACV

On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ

27 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integrale

Une autre facon de voir la methode :

d ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

= −∮

ACV

~F d ~An︸ ︷︷ ︸

Bilan des flux

+

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(14)

de ρφ dans ΩCV a travers de ACV

On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ

27 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integrale

Une autre facon de voir la methode :

d ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

= −∮

ACV

~F d ~An︸ ︷︷ ︸

Bilan des flux

+

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(14)

de ρφ dans ΩCV a travers de ACV

On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ

27 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integrale

Une autre facon de voir la methode :

d ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

=

−∮

ACV

~F d ~An︸ ︷︷ ︸

Bilan des flux

+

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(14)

de ρφ dans ΩCV a travers de ACV

On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ

27 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integrale

Une autre facon de voir la methode :

d ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

= −∮

ACV

~F d ~An︸ ︷︷ ︸

Bilan des flux

+

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(14)

de ρφ dans ΩCV a travers de ACV

On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ

27 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integrale

Une autre facon de voir la methode :

d ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸

Variation temporelle

= −∮

ACV

~F d ~An︸ ︷︷ ︸

Bilan des flux

+

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(14)

de ρφ dans ΩCV a travers de ACV

On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ

27 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integrale

Une autre facon de voir la methode :

d ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle

= −∮

ACV

~F d ~An︸ ︷︷ ︸

Bilan des flux

+

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(14)

de ρφ dans ΩCV

a travers de ACV

On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ

27 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integrale

Une autre facon de voir la methode :

d ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle

= −∮

ACV

~F d ~An︸ ︷︷ ︸Bilan des flux

+

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸

Source/Puits

(14)

de ρφ dans ΩCV a travers de ACV

On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ

27 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integrale

Une autre facon de voir la methode :

d ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle

= −∮

ACV

~F d ~An︸ ︷︷ ︸Bilan des flux

+

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸Source/Puits

(14)

de ρφ dans ΩCV a travers de ACV

On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ

27 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integrale

Une autre facon de voir la methode :

d ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle

= −∮

ACV

~F d ~An︸ ︷︷ ︸Bilan des flux

+

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸Source/Puits

(14)

de ρφ dans ΩCV a travers de ACV

On note que −~F d ~An est le flux entrant

Advection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ

27 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integrale

Une autre facon de voir la methode :

d ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle

= −∮

ACV

~F d ~An︸ ︷︷ ︸Bilan des flux

+

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸Source/Puits

(14)

de ρφ dans ΩCV a travers de ACV

On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u

Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ

27 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Loi de conservation

Forme integrale

Loi de conservation sous forme integrale

Une autre facon de voir la methode :

d ~An

~V

ACV

ΩCV

ΩCV - volume (domaine) de controle

ΩCV fixe dans le temps

ACV - surface exterieure du volume

ρφ - densite volumique d’une grandeur~F - vecteur flux de la matiere

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ︸ ︷︷ ︸Variation temporelle

= −∮

ACV

~F d ~An︸ ︷︷ ︸Bilan des flux

+

∫ΩCV

SφdΩ︸ ︷︷ ︸Source/Puits

(14)

de ρφ dans ΩCV a travers de ACV

On note que −~F d ~An est le flux entrantAdvection : ~Fc = ρφ~u Diffusion (loi de Fick) : ~Fd = −Dgradφ

27 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Methode VF

Bilan sur le volume de controle

Methode Volumes Finis

ΩCV

ΩJ

d ~An

~V

ACV

~Ai~Fi

Bilan sur ΩJ

∂

∂t(ρφJ ΩJ ) +

∑faces

(~Fi~Ai )J = (Sφ)J (15)

φJ - valeur moyenne de φ sur ΩJ (valeur au centre de ΩJ )

~Fi - flux moyen sur Ai

28 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Methode VF

Bilan sur le volume de controle

Methode Volumes Finis

ΩCV

ΩJ

d ~An

~V

ACV

~Ai~Fi

Bilan sur ΩJ

∂

∂t(ρφJ ΩJ ) +

∑faces

(~Fi~Ai )J = (Sφ)J (15)

φJ - valeur moyenne de φ sur ΩJ (valeur au centre de ΩJ )

~Fi - flux moyen sur Ai

28 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Methode VF

Bilan sur le volume de controle

Methode Volumes Finis

ΩCV

ΩJ

d ~An

~V

ACV

~Ai~Fi

Bilan sur ΩJ

∂

∂t(ρφJ ΩJ ) +

∑faces

(~Fi~Ai )J = (Sφ)J (15)

φJ - valeur moyenne de φ sur ΩJ (valeur au centre de ΩJ )

~Fi - flux moyen sur Ai

28 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Methode VF

Bilan sur le volume de controle

Methode Volumes Finis

ΩCV

ΩJ

d ~An

~V

ACV

~Ai~Fi

Bilan sur ΩJ

∂

∂t(ρφJ ΩJ ) +

∑faces

(~Fi~Ai )J = (Sφ)J (15)

φJ - valeur moyenne de φ sur ΩJ (valeur au centre de ΩJ )

~Fi - flux moyen sur Ai

28 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Methode VF

Bilan sur le volume de controle

Methode Volumes Finis

Points clefs de la methode

Choix des volumes de controle (maillage)

Type d’approximation dans les volumes

Schemas numeriques pour evaluation des flux

29 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Methode VF

Bilan sur le volume de controle

Methode Volumes Finis

Points clefs de la methode

Choix des volumes de controle (maillage)

Type d’approximation dans les volumes

Schemas numeriques pour evaluation des flux

29 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Methode VF

Bilan sur le volume de controle

Methode Volumes Finis

Points clefs de la methode

Choix des volumes de controle (maillage)

Type d’approximation dans les volumes

Schemas numeriques pour evaluation des flux

29 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Methode VF

Bilan sur le volume de controle

Methode Volumes Finis

Points clefs de la methode

Choix des volumes de controle (maillage)

Type d’approximation dans les volumes

Schemas numeriques pour evaluation des flux

29 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Methode VF

Types de volume de controle

Definition des volumes de controle

Vertex centered Cell centered

Vi

xi−1/2

1Dφi φi

φi−1

φi+1φi−1

φi+1

Vi

2D Vi Vi

Vi Vi

xi−1/2 xi+1/2

xni xni+1

xni−1 xni+1

xi+1/2

xni

30 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Methode VF

Types de volume de controle

Maillage

Source : [2]31 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Advection 1D

Rappelons la loi de conservation sous forme integrale

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ = −∮

ACV

~F d ~An +

∫ΩCV

SφdΩ

Dans le cas d’advection pure et en abscence d’un terme source

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ = −∮

ACV

ρφ~ud ~An (16)

32 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Advection 1D

Rappelons la loi de conservation sous forme integrale

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ = −∮

ACV

~F d ~An +

∫ΩCV

SφdΩ

Dans le cas d’advection pure et en abscence d’un terme source

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ = −∮

ACV

ρφ~ud ~An (16)

32 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Advection 1D

En 1D (faux 2D) :

i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e

∆xi = xi+1/2 − xi−1/2

∆xic = xi+1 − xi

Vi = ∆xi ∆y∆z∆y - hauteur du volume∆z = 1

∂

∂t

∫Vi

ρφdVi = −∫

∆y

ρφ~u ~ex dy (17)

Formulation Volumes Finis :

∂

∂t(ρφ)i Vi = −

((ρφ~u)i+1/2 ~ex ∆y + (ρφ~u)i−1/2 ~ex ∆y

)(18)

avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et (ρφ~u)i±1/2 = fi±1/2 les flux(moyens dans le cas 2D et 3D). Posons ~u > 0. Multiplication par ~ex

donne∂

∂t(ρφ)i Vi = −

((ρφu)i+1/2∆y − (ρφu)i−1/2∆y

)(19)

33 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Advection 1D

En 1D (faux 2D) :

i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e∆xi = xi+1/2 − xi−1/2

∆xic = xi+1 − xi

Vi = ∆xi ∆y∆z∆y - hauteur du volume∆z = 1

∂

∂t

∫Vi

ρφdVi = −∫

∆y

ρφ~u ~ex dy (17)

Formulation Volumes Finis :

∂

∂t(ρφ)i Vi = −

((ρφ~u)i+1/2 ~ex ∆y + (ρφ~u)i−1/2 ~ex ∆y

)(18)

avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et (ρφ~u)i±1/2 = fi±1/2 les flux(moyens dans le cas 2D et 3D). Posons ~u > 0. Multiplication par ~ex

donne∂

∂t(ρφ)i Vi = −

((ρφu)i+1/2∆y − (ρφu)i−1/2∆y

)(19)

33 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Advection 1D

En 1D (faux 2D) :

i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e∆xi = xi+1/2 − xi−1/2

∆xic = xi+1 − xi

Vi = ∆xi ∆y∆z∆y - hauteur du volume∆z = 1

∂

∂t

∫Vi

ρφdVi = −∫

∆y

ρφ~u ~ex dy (17)

Formulation Volumes Finis :

∂

∂t(ρφ)i Vi = −

((ρφ~u)i+1/2 ~ex ∆y + (ρφ~u)i−1/2 ~ex ∆y

)(18)

avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et (ρφ~u)i±1/2 = fi±1/2 les flux(moyens dans le cas 2D et 3D). Posons ~u > 0. Multiplication par ~ex

donne∂

∂t(ρφ)i Vi = −

((ρφu)i+1/2∆y − (ρφu)i−1/2∆y

)(19)

33 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Advection 1D

En 1D (faux 2D) :

i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e∆xi = xi+1/2 − xi−1/2

∆xic = xi+1 − xi

Vi = ∆xi ∆y∆z∆y - hauteur du volume∆z = 1

∂

∂t

∫Vi

ρφdVi = −∫

∆y

ρφ~u ~ex dy (17)

Formulation Volumes Finis :

∂

∂t(ρφ)i Vi = −

((ρφ~u)i+1/2 ~ex ∆y + (ρφ~u)i−1/2 ~ex ∆y

)(18)

avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et (ρφ~u)i±1/2 = fi±1/2 les flux(moyens dans le cas 2D et 3D).

Posons ~u > 0. Multiplication par ~ex

donne∂

∂t(ρφ)i Vi = −

((ρφu)i+1/2∆y − (ρφu)i−1/2∆y

)(19)

33 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Advection 1D

En 1D (faux 2D) :

i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e∆xi = xi+1/2 − xi−1/2

∆xic = xi+1 − xi

Vi = ∆xi ∆y∆z∆y - hauteur du volume∆z = 1

∂

∂t

∫Vi

ρφdVi = −∫

∆y

ρφ~u ~ex dy (17)

Formulation Volumes Finis :

∂

∂t(ρφ)i Vi = −

((ρφ~u)i+1/2 ~ex ∆y + (ρφ~u)i−1/2 ~ex ∆y

)(18)

avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et (ρφ~u)i±1/2 = fi±1/2 les flux(moyens dans le cas 2D et 3D). Posons ~u > 0. Multiplication par ~ex

donne∂

∂t(ρφ)i Vi = −

((ρφu)i+1/2∆y − (ρφu)i−1/2∆y

)(19)

33 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Advection 1D

Avec la notation WPE :

∂

∂t(ρφ)P VP = − ((ρφu)e∆y − (ρφu)w ∆y) (20)

(ρφ)P

Pour un maillage de type cell center (ρφ)P est connu au moment t = 0(initialisation).

(ρφu)e = fe et (ρφu)w = fw ???

Interpolation a partir de valeurs connues : choix d’un schemad’approximation

i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e

Vos idees ?

34 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Advection 1D

Avec la notation WPE :

∂

∂t(ρφ)P VP = − ((ρφu)e∆y − (ρφu)w ∆y) (20)

(ρφ)P

Pour un maillage de type cell center (ρφ)P est connu au moment t = 0(initialisation).

(ρφu)e = fe et (ρφu)w = fw ???

Interpolation a partir de valeurs connues : choix d’un schemad’approximation

i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e

Vos idees ?

34 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Advection 1D

Avec la notation WPE :

∂

∂t(ρφ)P VP = − ((ρφu)e∆y − (ρφu)w ∆y) (20)

(ρφ)P

Pour un maillage de type cell center (ρφ)P est connu au moment t = 0(initialisation).

(ρφu)e = fe et (ρφu)w = fw ???

Interpolation a partir de valeurs connues : choix d’un schemad’approximation

i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e

Vos idees ?

34 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Interpolation lineaire

i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e

(ρφu)e = (ρφu)Eλe + (ρφu)P (1− λe) (21)

avec

λe =xe − xP

xE − xP(22)

Maillage regulier :

(ρφu)e =(ρφu)E + (ρφu)P

2(23)

Nous avons obtenu le schema centre d’ordre 2 (l’erreur estproportionnelle a ∆x2)

35 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Interpolation lineaire

i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e

(ρφu)e = (ρφu)Eλe + (ρφu)P (1− λe) (21)

avec

λe =xe − xP

xE − xP(22)

Maillage regulier :

(ρφu)e =(ρφu)E + (ρφu)P

2(23)

Nous avons obtenu le schema centre d’ordre 2 (l’erreur estproportionnelle a ∆x2)

35 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Interpolation lineaire

i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e

(ρφu)e = (ρφu)Eλe + (ρφu)P (1− λe) (21)

avec

λe =xe − xP

xE − xP(22)

Maillage regulier :

(ρφu)e =(ρφu)E + (ρφu)P

2(23)

Nous avons obtenu le schema centre d’ordre 2 (l’erreur estproportionnelle a ∆x2)

35 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Schema centre

Discretisation temporelle - schema d’Euler

∂

∂t(ρφ)P =

(ρφ)n+1P − (ρφP )n

∆t+ ε(∆t) (24)

Schema explicite en temps et centre en espace (maillage regulier)

(ρφ)n+1P − ρφn

P

∆tVP = − ((ρφu)n

e ∆y − (ρφu)nw ∆y)

= −(

(ρφu)nE − (ρφu)n

W

2

)∆y (25)

(ρφ)n+1P = ρφn

P −∆t

2V((ρφu)n

E − (ρφu)nW ) ∆y (26)

36 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Schema centre

Discretisation temporelle - schema d’Euler

∂

∂t(ρφ)P =

(ρφ)n+1P − (ρφP )n

∆t+ ε(∆t) (24)

Schema explicite en temps et centre en espace (maillage regulier)

(ρφ)n+1P − ρφn

P

∆tVP = − ((ρφu)n

e ∆y − (ρφu)nw ∆y)

= −(

(ρφu)nE − (ρφu)n

W

2

)∆y (25)

(ρφ)n+1P = ρφn

P −∆t

2V((ρφu)n

E − (ρφu)nW ) ∆y (26)

36 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Un peu d’arithmetique

(ρφ)n+1P = (ρφ)n

P −∆t

2V((ρφu)n

E − (ρφu)nW ) ∆y

Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1

P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0

Solution exacte : x(t) = x0 + ut

∆t

2V∆y = 0.5

i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n

i−1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i − (ρφ)ni−2) = 1− 0.5(1− 1) = 0

i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n

i −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+1 − (ρφ)ni−1) = 1− 0.5(0− 1) = 1.5

i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n

i+1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+2 − (ρφ)ni ) = 0− 0.5(0− 1) = 0.5

37 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Un peu d’arithmetique

(ρφ)n+1P = (ρφ)n

P −∆t

2V((ρφu)n

E − (ρφu)nW ) ∆y

Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1

P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0

Solution exacte : x(t) = x0 + ut

∆t

2V∆y = 0.5

i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n

i−1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i − (ρφ)ni−2) = 1− 0.5(1− 1) = 0

i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n

i −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+1 − (ρφ)ni−1) = 1− 0.5(0− 1) = 1.5

i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n

i+1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+2 − (ρφ)ni ) = 0− 0.5(0− 1) = 0.5

37 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Un peu d’arithmetique

(ρφ)n+1P = (ρφ)n

P −∆t

2V((ρφu)n

E − (ρφu)nW ) ∆y

Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1

P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0

Solution exacte : x(t) = x0 + ut

∆t

2V∆y = 0.5

i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n

i−1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i − (ρφ)ni−2) = 1− 0.5(1− 1) = 0

i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n

i −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+1 − (ρφ)ni−1) = 1− 0.5(0− 1) = 1.5

i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n

i+1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+2 − (ρφ)ni ) = 0− 0.5(0− 1) = 0.5

37 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Un peu d’arithmetique

(ρφ)n+1P = (ρφ)n

P −∆t

2V((ρφu)n

E − (ρφu)nW ) ∆y

Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1

P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0

Solution exacte : x(t) = x0 + ut

∆t

2V∆y = 0.5

i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n

i−1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i − (ρφ)ni−2) =

1− 0.5(1− 1) = 0

i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n

i −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+1 − (ρφ)ni−1) = 1− 0.5(0− 1) = 1.5

i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n

i+1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+2 − (ρφ)ni ) = 0− 0.5(0− 1) = 0.5

37 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Un peu d’arithmetique

(ρφ)n+1P = (ρφ)n

P −∆t

2V((ρφu)n

E − (ρφu)nW ) ∆y

Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1

P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0

Solution exacte : x(t) = x0 + ut

∆t

2V∆y = 0.5

i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n

i−1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i − (ρφ)ni−2) =

1− 0.5(1− 1) = 0

i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n

i −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+1 − (ρφ)ni−1) =

1− 0.5(0− 1) = 1.5

i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n

i+1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+2 − (ρφ)ni ) = 0− 0.5(0− 1) = 0.5

37 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Un peu d’arithmetique

(ρφ)n+1P = (ρφ)n

P −∆t

2V((ρφu)n

E − (ρφu)nW ) ∆y

Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1

P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0

Solution exacte : x(t) = x0 + ut

∆t

2V∆y = 0.5

i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n

i−1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i − (ρφ)ni−2) =

1− 0.5(1− 1) = 0

i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n

i −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+1 − (ρφ)ni−1) =

1− 0.5(0− 1) = 1.5

i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n

i+1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+2 − (ρφ)ni ) =

0− 0.5(0− 1) = 0.5

37 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Un peu d’arithmetique

(ρφ)n+1P = (ρφ)n

P −∆t

2V((ρφu)n

E − (ρφu)nW ) ∆y

Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1

P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0

Solution exacte : x(t) = x0 + ut

∆t

2V∆y = 0.5

i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n

i−1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i − (ρφ)ni−2) = 1− 0.5(1− 1) = 0

i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n

i −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+1 − (ρφ)ni−1) =

1− 0.5(0− 1) = 1.5

i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n

i+1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+2 − (ρφ)ni ) =

0− 0.5(0− 1) = 0.5

37 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Un peu d’arithmetique

(ρφ)n+1P = (ρφ)n

P −∆t

2V((ρφu)n

E − (ρφu)nW ) ∆y

Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1

P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0

Solution exacte : x(t) = x0 + ut

∆t

2V∆y = 0.5

i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n

i−1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i − (ρφ)ni−2) = 1− 0.5(1− 1) = 0

i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n

i −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+1 − (ρφ)ni−1) = 1− 0.5(0− 1) = 1.5

i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n

i+1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+2 − (ρφ)ni ) =

0− 0.5(0− 1) = 0.5

37 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Un peu d’arithmetique

(ρφ)n+1P = (ρφ)n

P −∆t

2V((ρφu)n

E − (ρφu)nW ) ∆y

Verifions avec : ρ = 1 u = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1 ∆y = 1

P i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2 i + 3φ 1 1 1 0 0 0

Solution exacte : x(t) = x0 + ut

∆t

2V∆y = 0.5

i − 1 : (ρφ)n+1i−1 = (ρφ)n

i−1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i − (ρφ)ni−2) = 1− 0.5(1− 1) = 0

i : (ρφ)n+1i = (ρφ)n

i −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+1 − (ρφ)ni−1) = 1− 0.5(0− 1) = 1.5

i + 1 : (ρφ)n+1i+1 = (ρφ)n

i+1 −∆t

2V∆y((ρφ)n

i+2 − (ρφ)ni ) = 0− 0.5(0− 1) = 0.5

37 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Exemple

Verifions le choix

Integration explicite en temps du schema centre pour le terme convectifu = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1

38 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Exemple

Verifions le choix

Integration explicite en temps du schema centre pour le terme convectifu = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1

38 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Exemple

Verifions le choix

Integration explicite en temps du schema centre pour le terme convectifu = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1

38 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Exemple

Verifions le choix

Integration explicite en temps du schema centre pour le terme convectifu = 1 ∆t = 0.1 ∆x = 0.1

38 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema centree

Exemple

Mauvais choix !

Integration explicite en temps du schema centre pour le terme convectifest inconditionnelement instable

0

0.5

1

1.5

2

i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2

t = 0

× × × × ×

× × × × ×

×

0

0.5

1

1.5

2

i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2

t = ∆t

4 4 4 4

4

4

4 4 4 4

4

0

0.5

1

1.5

2

i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2

t = 2∆t

? ? ?

?

?

?

?

? ? ?

?

0

0.5

1

1.5

2

i − 2 i − 1 i i + 1 i + 2

t = 3∆tb b bb

bb

bb b b

b

38 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema upwind

Remedes

Decentrement de flux

fe = fP fw = fW si u ≥ 0 (27)

fe = fE fw = fP si u < 0 (28)

Schema decentre explicite en temps

Pour u > 0 (ρφ)n+1P = (ρφ)n

P −∆t

V((ρφu)n

P − (ρφu)nW ) ∆y (29)

Schema stable sous condition de Courant-Friedrish-Levy

CFL =u∆t

∆x≤ 1 (30)

Le pas de temps est calcule a partir du CFL !

39 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema upwind

Remedes

Decentrement de flux

fe = fP fw = fW si u ≥ 0 (27)

fe = fE fw = fP si u < 0 (28)

Schema decentre explicite en temps

Pour u > 0 (ρφ)n+1P = (ρφ)n

P −∆t

V((ρφu)n

P − (ρφu)nW ) ∆y (29)

Schema stable sous condition de Courant-Friedrish-Levy

CFL =u∆t

∆x≤ 1 (30)

Le pas de temps est calcule a partir du CFL !

39 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema upwind

Precision

Diffusion numerique

φe = φP + (xe − xP )

(∂φ

∂x

)P

+(xe − xP )2

2!

(∂φ2

∂x2

)P

+ H (31)

fe = fP - approximation d’ordre 1 avec l’erreur de troncature :

f de = Γnum

e

(∂φ

∂x

)e

Γnume = (ρu)e∆x/2 (32)

On peut demontre que pour CFL =u∆t

∆x= 1 et u = cste, ρ = cste le

schema 29 donne la solution exacte.

40 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema upwind

Precision

Diffusion numerique

φe = φP + (xe − xP )

(∂φ

∂x

)P

+(xe − xP )2

2!

(∂φ2

∂x2

)P

+ H (31)

fe = fP - approximation d’ordre 1 avec l’erreur de troncature :

f de = Γnum

e

(∂φ

∂x

)e

Γnume = (ρu)e∆x/2 (32)

On peut demontre que pour CFL =u∆t

∆x= 1 et u = cste, ρ = cste le

schema 29 donne la solution exacte.

40 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema upwind

Precision

Diffusion numerique

φe = φP + (xe − xP )

(∂φ

∂x

)P

+(xe − xP )2

2!

(∂φ2

∂x2

)P

+ H (31)

fe = fP - approximation d’ordre 1 avec l’erreur de troncature :

f de = Γnum

e

(∂φ

∂x

)e

Γnume = (ρu)e∆x/2 (32)

On peut demontre que pour CFL =u∆t

∆x= 1 et u = cste, ρ = cste le

schema 29 donne la solution exacte.

40 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schema upwind

Schema decentre - exemple

Condition initiale : φ = 1 en x = 0 et φ = 1 pour x ∈]0, 1].Solution :u = cste = 1m/s, t = 0.5s

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x, m

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

ϕ

Schéma décentré, CFL=0.45Schéma décentré, CFL=0.9

Schema tres diffusif et dependant du CFL !

41 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas d’ordre eleve

Schema explicite de Lax-Wendroff

Le schema explicite de Lax-Wendroff

(ρφ)n+1i = (ρφ)n

i −ν

2((ρφ)n

i+1 − ((ρφ)ni−1)

+ν2

2((ρφ)n

i+1 − 2(ρφ)ni + (ρφ)n

i−1) (33)

avec ν =u∆t

∆x

Exprime en flux VF :

(ρφ)n+1/2i+1/2 =

1

2

((ρφ)n

i+1) + (ρφ)ni ))− ∆t

2∆x

((ρφu)

n+1/2i+1 − (ρφu)

n+1/2i

)F ∗i+1/2 = (ρφu)

n+1/2i+1/2 ∆y

(ρφ)n+1i = (ρφ)n

i −∆t

V(F ∗i+1/2 − F ∗i−1/2) (34)

Stabilite : CFL ≤ 1Precision : ε(∆t, (∆x)2)

42 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas d’ordre eleve

Schema explicite de Lax-Wendroff

Le schema explicite de Lax-Wendroff

(ρφ)n+1i = (ρφ)n

i −ν

2((ρφ)n

i+1 − ((ρφ)ni−1)

+ν2

2((ρφ)n

i+1 − 2(ρφ)ni + (ρφ)n

i−1) (33)

avec ν =u∆t

∆x

Exprime en flux VF :

(ρφ)n+1/2i+1/2 =

1

2

((ρφ)n

i+1) + (ρφ)ni ))− ∆t

2∆x

((ρφu)

n+1/2i+1 − (ρφu)

n+1/2i

)F ∗i+1/2 = (ρφu)

n+1/2i+1/2 ∆y

(ρφ)n+1i = (ρφ)n

i −∆t

V(F ∗i+1/2 − F ∗i−1/2) (34)

Stabilite : CFL ≤ 1Precision : ε(∆t, (∆x)2)

42 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas d’ordre eleve

Schema explicite de Lax-Wendroff

Le schema explicite de Lax-Wendroff

(ρφ)n+1i = (ρφ)n

i −ν

2((ρφ)n

i+1 − ((ρφ)ni−1)

+ν2

2((ρφ)n

i+1 − 2(ρφ)ni + (ρφ)n

i−1) (33)

avec ν =u∆t

∆x

Exprime en flux VF :

(ρφ)n+1/2i+1/2 =

1

2

((ρφ)n

i+1) + (ρφ)ni ))− ∆t

2∆x

((ρφu)

n+1/2i+1 − (ρφu)

n+1/2i

)F ∗i+1/2 = (ρφu)

n+1/2i+1/2 ∆y

(ρφ)n+1i = (ρφ)n

i −∆t

V(F ∗i+1/2 − F ∗i−1/2) (34)

Stabilite : CFL ≤ 1Precision : ε(∆t, (∆x)2)

42 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas d’ordre eleve

Comparaison

Transport convectif d’un scalaire passif - condition initiale discontinueu = 1 m/s t = 1s CFL = 0.5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

ExacteLax-Wendroff

Upwind

43 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas d’ordre eleve

Comparaison

Transport convectif d’un scalaire passif - condition initiale continueu = 1 m/s t = 1s CFL = 0.5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

ExacteLax-Wendroff

Upwind

44 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas d’ordre eleve

Schema centre implicite en temps

On peut exprimer fe et fw dans le schema centre en fonction de n + 1

(ρφ)n+1P = (ρφ)n

P −∆t

2V

((ρφu)n+1

E − (ρφu)n+1W

)∆y (35)

Inconditionnalement stable

Forte erreur dispersive (oscillations) pour le nombre de Peclet

Pe =ρu∆x

Deleve

Precision ε(∆t, (∆x)2)

45 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Schemas de haute resolution - apercu general

Motivation

Schema decentre ne produit pas les oscillations mais est tres diffusif

Schemas d’ordre 2 sont moins diffusifs mais produisent lesoscillations aux alentours des discontinuites

Essayer de combiner les avantages des deux ?

Resolution du probleme a valeur initiale : approches possibles

Solution exacte de Godunov [6] : onereuse en temps de calcul etdifficile a appliquer dans certains situations

Solution approchee du probleme de Riemann (solveur de Roe [5]) :necessite un calcul du Jacobien a l’interface

Ai±1/2 =

(∂F (U)

∂U

)i±1/2

Approche MUSCL : interpolation des variables conservatives ouprimaires

46 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Schemas de haute resolution - apercu general

Motivation

Schema decentre ne produit pas les oscillations mais est tres diffusif

Schemas d’ordre 2 sont moins diffusifs mais produisent lesoscillations aux alentours des discontinuites

Essayer de combiner les avantages des deux ?

Resolution du probleme a valeur initiale : approches possibles

Solution exacte de Godunov [6] : onereuse en temps de calcul etdifficile a appliquer dans certains situations

Solution approchee du probleme de Riemann (solveur de Roe [5]) :necessite un calcul du Jacobien a l’interface

Ai±1/2 =

(∂F (U)

∂U

)i±1/2

Approche MUSCL : interpolation des variables conservatives ouprimaires

46 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Schemas de haute resolution - apercu general

Motivation

Schema decentre ne produit pas les oscillations mais est tres diffusif

Schemas d’ordre 2 sont moins diffusifs mais produisent lesoscillations aux alentours des discontinuites

Essayer de combiner les avantages des deux ?

Resolution du probleme a valeur initiale : approches possibles

Solution exacte de Godunov [6] : onereuse en temps de calcul etdifficile a appliquer dans certains situations

Solution approchee du probleme de Riemann (solveur de Roe [5]) :necessite un calcul du Jacobien a l’interface

Ai±1/2 =

(∂F (U)

∂U

)i±1/2

Approche MUSCL : interpolation des variables conservatives ouprimaires

46 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Schemas de haute resolution - apercu general

Motivation

Schema decentre ne produit pas les oscillations mais est tres diffusif

Schemas d’ordre 2 sont moins diffusifs mais produisent lesoscillations aux alentours des discontinuites

Essayer de combiner les avantages des deux ?

Resolution du probleme a valeur initiale : approches possibles

Solution exacte de Godunov [6] : onereuse en temps de calcul etdifficile a appliquer dans certains situations

Solution approchee du probleme de Riemann (solveur de Roe [5]) :necessite un calcul du Jacobien a l’interface

Ai±1/2 =

(∂F (U)

∂U

)i±1/2

Approche MUSCL : interpolation des variables conservatives ouprimaires

46 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Schemas de haute resolution - apercu general

Motivation

Schema decentre ne produit pas les oscillations mais est tres diffusif

Schemas d’ordre 2 sont moins diffusifs mais produisent lesoscillations aux alentours des discontinuites

Essayer de combiner les avantages des deux ?

Resolution du probleme a valeur initiale : approches possibles

Solution exacte de Godunov [6] : onereuse en temps de calcul etdifficile a appliquer dans certains situations

Solution approchee du probleme de Riemann (solveur de Roe [5]) :necessite un calcul du Jacobien a l’interface

Ai±1/2 =

(∂F (U)

∂U

)i±1/2

Approche MUSCL : interpolation des variables conservatives ouprimaires

46 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Schemas de haute resolution - apercu general

Motivation

Schema decentre ne produit pas les oscillations mais est tres diffusif

Schemas d’ordre 2 sont moins diffusifs mais produisent lesoscillations aux alentours des discontinuites

Essayer de combiner les avantages des deux ?

Resolution du probleme a valeur initiale : approches possibles

Solution exacte de Godunov [6] : onereuse en temps de calcul etdifficile a appliquer dans certains situations

Solution approchee du probleme de Riemann (solveur de Roe [5]) :necessite un calcul du Jacobien a l’interface

Ai±1/2 =

(∂F (U)

∂U

)i±1/2

Approche MUSCL : interpolation des variables conservatives ouprimaires

46 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Schemas de haute resolution - apercu general

Motivation

Schema decentre ne produit pas les oscillations mais est tres diffusif

Schemas d’ordre 2 sont moins diffusifs mais produisent lesoscillations aux alentours des discontinuites

Essayer de combiner les avantages des deux ?

Resolution du probleme a valeur initiale : approches possibles

Solution exacte de Godunov [6] : onereuse en temps de calcul etdifficile a appliquer dans certains situations

Solution approchee du probleme de Riemann (solveur de Roe [5]) :necessite un calcul du Jacobien a l’interface

Ai±1/2 =

(∂F (U)

∂U

)i±1/2

Approche MUSCL : interpolation des variables conservatives ouprimaires

46 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Monotone Upstream Scheme for Conservation Laws(MUSCL)

Generalitees

Propose par B. van Leer en 1979 [7]

Reconstruction d’ordre eleve des flux aux interfaces en dehors d’unediscontinuite

Decentrement des flux en presence d’une discontinuite a l’aide d’unlimiteur de flux

Respect de la condition TVD (Total Variation Diminishing)

TV (Un) =+∞∑

i=−∞

|Uni+1 − Un

i | [1]

47 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Monotone Upstream Scheme for Conservation Laws(MUSCL)

Generalitees

Propose par B. van Leer en 1979 [7]

Reconstruction d’ordre eleve des flux aux interfaces en dehors d’unediscontinuite

Decentrement des flux en presence d’une discontinuite a l’aide d’unlimiteur de flux

Respect de la condition TVD (Total Variation Diminishing)

TV (Un) =+∞∑

i=−∞

|Uni+1 − Un

i | [1]

47 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Monotone Upstream Scheme for Conservation Laws(MUSCL)

Generalitees

Propose par B. van Leer en 1979 [7]

Reconstruction d’ordre eleve des flux aux interfaces en dehors d’unediscontinuite

Decentrement des flux en presence d’une discontinuite a l’aide d’unlimiteur de flux

Respect de la condition TVD (Total Variation Diminishing)

TV (Un) =+∞∑

i=−∞

|Uni+1 − Un

i | [1]

47 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Monotone Upstream Scheme for Conservation Laws(MUSCL)

Generalitees

Propose par B. van Leer en 1979 [7]

Reconstruction d’ordre eleve des flux aux interfaces en dehors d’unediscontinuite

Decentrement des flux en presence d’une discontinuite a l’aide d’unlimiteur de flux

Respect de la condition TVD (Total Variation Diminishing)

TV (Un) =+∞∑

i=−∞

|Uni+1 − Un

i | [1]

47 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Monotone Upstream Scheme for Conservation Laws(MUSCL)

Generalitees

Propose par B. van Leer en 1979 [7]

Reconstruction d’ordre eleve des flux aux interfaces en dehors d’unediscontinuite

Decentrement des flux en presence d’une discontinuite a l’aide d’unlimiteur de flux

Respect de la condition TVD (Total Variation Diminishing)

TV (Un) =+∞∑

i=−∞

|Uni+1 − Un

i | [1]

47 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Schema MUSCL

Equation de transport 17 sous forme semi-discretisee :

dφi

dt+

F (φ∗i+1/2)− F (φ∗i−1/2)

∆x= 0 ou

dφi

dt+

F ∗i+1/2 − F ∗i−1/2

∆x= 0 (36)

avec flux numeriques F ∗i±1/2

Ces flux correspondent a une combinaisonnon-lineaire d’ordre 1 et 2 d’approximation des flux continus. Les fluxsont calcules a partir d’une interpolation des variables primaires φ∗±1/2 :

φ∗i+1/2 = φ∗i+1/2

(φL

i+1/2, φRi+1/2

)(37)

φLi+1/2 = φi + 0.5ψ(ri )(φi+1 − φi ) (38)

φRi+1/2 = φi+1 − 0.5ψ(ri+1)(φi+2 − φi+1) (39)

φLi−1/2 = φi−1 + 0.5ψ(ri−1)(φi − φi−1) (40)

φRi+1/2 = φi − 0.5ψ(ri )(φi+1 − φi ) (41)

ri =φi − φi−1

φi+1 − φiavec ψ(ri ) une fonction limiteur de flux (42)

48 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Schema MUSCL

Equation de transport 17 sous forme semi-discretisee :

dφi

dt+

F (φ∗i+1/2)− F (φ∗i−1/2)

∆x= 0 ou

dφi

dt+

F ∗i+1/2 − F ∗i−1/2

∆x= 0 (36)

avec flux numeriques F ∗i±1/2 Ces flux correspondent a une combinaisonnon-lineaire d’ordre 1 et 2 d’approximation des flux continus. Les fluxsont calcules a partir d’une interpolation des variables primaires φ∗±1/2 :

φ∗i+1/2 = φ∗i+1/2

(φL

i+1/2, φRi+1/2

)(37)

φLi+1/2 = φi + 0.5ψ(ri )(φi+1 − φi ) (38)

φRi+1/2 = φi+1 − 0.5ψ(ri+1)(φi+2 − φi+1) (39)

φLi−1/2 = φi−1 + 0.5ψ(ri−1)(φi − φi−1) (40)

φRi+1/2 = φi − 0.5ψ(ri )(φi+1 − φi ) (41)

ri =φi − φi−1

φi+1 − φiavec ψ(ri ) une fonction limiteur de flux (42)

48 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Interpretation geometrique de la reconstruction

φ

xi − 1 i i + 1 i + 2

φLi−1/2

φRi−1/2

φLi+1/2φRi+1/2

49 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Schema MUSCL de Kurganov-Tadmor[4]

Flux numerique :

F ∗i+1/2 =a+

i+1/2F (φEi )− a−i+1/2F (φW

i+1)

a+i+1/2 − a−i+1/2

+a+

i+1/2a−i+1/2

a+i+1/2 − a−i+1/2

[φW

i+1 − φEi

](43)

φEi = φi − (φx )i (44)

(φx )i = minmod

(θφi+1 − φi

∆x,φi+1 − φi−1

2∆x, θφi − φi−1

∆x

), θ ∈ [1, 2](45)

Fonction multivariable minmod :

minmod(x1, x2, ...) =

minixi si xi > 0∀ i ,maxixi si xi < 0∀ i ,

0 autrement.(46)

50 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Schema MUSCL de Kurganov-Tadmor[4]

Flux numerique :

F ∗i+1/2 =a+

i+1/2F (φEi )− a−i+1/2F (φW

i+1)

a+i+1/2 − a−i+1/2

+a+

i+1/2a−i+1/2

a+i+1/2 − a−i+1/2

[φW

i+1 − φEi

](43)

φEi = φi − (φx )i (44)

(φx )i = minmod

(θφi+1 − φi

∆x,φi+1 − φi−1

2∆x, θφi − φi−1

∆x

), θ ∈ [1, 2](45)

Fonction multivariable minmod :

minmod(x1, x2, ...) =

minixi si xi > 0∀ i ,maxixi si xi < 0∀ i ,

0 autrement.(46)

50 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Schema MUSCL de Kurganov-Tadmor[4] - suite

Les vitesses de propagation a±i±1/2 :

a±i±1/2 = λn

(∂F (φ)

∂φ

)i±1/2

(47)

avec λn les valeurs propres de∂F (φ)

∂φDans le cas de l’equation de transport 1D d’un scalaire passif (17) λ = uIntegration explicite en temps a l’aide de la methode d’Euler de bilan desces flux donne le schema d’ordre 2 en espace (en dehors desdiscontinuites) et d’ordre 1 en temps.Stabilite : CFL ≤ 0.5

51 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Schema MUSCL de Kurganov-Tadmor[4] - suite

Les vitesses de propagation a±i±1/2 :

a±i±1/2 = λn

(∂F (φ)

∂φ

)i±1/2

(47)

avec λn les valeurs propres de∂F (φ)

∂φ

Dans le cas de l’equation de transport 1D d’un scalaire passif (17) λ = uIntegration explicite en temps a l’aide de la methode d’Euler de bilan desces flux donne le schema d’ordre 2 en espace (en dehors desdiscontinuites) et d’ordre 1 en temps.Stabilite : CFL ≤ 0.5

51 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Schema MUSCL de Kurganov-Tadmor[4] - suite

Les vitesses de propagation a±i±1/2 :

a±i±1/2 = λn

(∂F (φ)

∂φ

)i±1/2

(47)

avec λn les valeurs propres de∂F (φ)

∂φDans le cas de l’equation de transport 1D d’un scalaire passif (17) λ = uIntegration explicite en temps a l’aide de la methode d’Euler de bilan desces flux donne le schema d’ordre 2 en espace (en dehors desdiscontinuites) et d’ordre 1 en temps.Stabilite : CFL ≤ 0.5

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Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour l’advection

Schemas de haute resolution

Schema MUSCL de Kurganov-Tadmor : resultats 1D

Condition initiale : φ = 1 en x = 0 et φ = 1 pour x ∈]0, 1].Solution :u = cste = 1m/s, t = 0.5s

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x, m

0

0,2

0,4

0,6

0,8

ϕ

Décentré, CFL=0.45Kurganov, CFL=0.45Kurganov, CFL=0.1

52 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour la diffusion

Schema centree

Terme diffusif

Le flux diffusif dans l’equation du transport

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ = −∮

ACV

~F d ~An +

∫ΩCV

SφdΩ

est

~Fd = −ρDgradφ (48)

Formulation Volumes Finis :i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e

En 1D : Dgradφ =∂φ

∂x~ix

∂

∂t(ρφ)i Vi = ~Fdi+1/2

~ex ∆y + ~Fdi−1/2~ex ∆y = Fdi+1/2

∆y − Fdi−1/2∆y (49)

avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD

∂φ

∂x)i±1/2

53 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour la diffusion

Schema centree

Terme diffusif

Le flux diffusif dans l’equation du transport

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ = −∮

ACV

~F d ~An +

∫ΩCV

SφdΩ

est~Fd = −ρDgradφ (48)

Formulation Volumes Finis :i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e

En 1D : Dgradφ =∂φ

∂x~ix

∂

∂t(ρφ)i Vi = ~Fdi+1/2

~ex ∆y + ~Fdi−1/2~ex ∆y = Fdi+1/2

∆y − Fdi−1/2∆y (49)

avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD

∂φ

∂x)i±1/2

53 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour la diffusion

Schema centree

Terme diffusif

Le flux diffusif dans l’equation du transport

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ = −∮

ACV

~F d ~An +

∫ΩCV

SφdΩ

est~Fd = −ρDgradφ (48)

Formulation Volumes Finis :i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e

En 1D : Dgradφ =∂φ

∂x~ix

∂

∂t(ρφ)i Vi = ~Fdi+1/2

~ex ∆y + ~Fdi−1/2~ex ∆y = Fdi+1/2

∆y − Fdi−1/2∆y (49)

avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD

∂φ

∂x)i±1/2

53 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour la diffusion

Schema centree

Terme diffusif

Le flux diffusif dans l’equation du transport

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ = −∮

ACV

~F d ~An +

∫ΩCV

SφdΩ

est~Fd = −ρDgradφ (48)

Formulation Volumes Finis :i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e

En 1D : Dgradφ =∂φ

∂x~ix

∂

∂t(ρφ)i Vi = ~Fdi+1/2

~ex ∆y + ~Fdi−1/2~ex ∆y = Fdi+1/2

∆y − Fdi−1/2∆y (49)

avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD

∂φ

∂x)i±1/2

53 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour la diffusion

Schema centree

Terme diffusif

Le flux diffusif dans l’equation du transport

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ = −∮

ACV

~F d ~An +

∫ΩCV

SφdΩ

est~Fd = −ρDgradφ (48)

Formulation Volumes Finis :i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e

En 1D : Dgradφ =∂φ

∂x~ix

∂

∂t(ρφ)i Vi =

~Fdi+1/2~ex ∆y + ~Fdi−1/2

~ex ∆y = Fdi+1/2∆y − Fdi−1/2

∆y (49)

avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD

∂φ

∂x)i±1/2

53 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour la diffusion

Schema centree

Terme diffusif

Le flux diffusif dans l’equation du transport

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ = −∮

ACV

~F d ~An +

∫ΩCV

SφdΩ

est~Fd = −ρDgradφ (48)

Formulation Volumes Finis :i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e

En 1D : Dgradφ =∂φ

∂x~ix

∂

∂t(ρφ)i Vi = ~Fdi+1/2

~ex ∆y

+ ~Fdi−1/2~ex ∆y = Fdi+1/2

∆y − Fdi−1/2∆y (49)

avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD

∂φ

∂x)i±1/2

53 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour la diffusion

Schema centree

Terme diffusif

Le flux diffusif dans l’equation du transport

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ = −∮

ACV

~F d ~An +

∫ΩCV

SφdΩ

est~Fd = −ρDgradφ (48)

Formulation Volumes Finis :i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e

En 1D : Dgradφ =∂φ

∂x~ix

∂

∂t(ρφ)i Vi = ~Fdi+1/2

~ex ∆y + ~Fdi−1/2~ex ∆y =

Fdi+1/2∆y − Fdi−1/2

∆y (49)

avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD

∂φ

∂x)i±1/2

53 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour la diffusion

Schema centree

Terme diffusif

Le flux diffusif dans l’equation du transport

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ = −∮

ACV

~F d ~An +

∫ΩCV

SφdΩ

est~Fd = −ρDgradφ (48)

Formulation Volumes Finis :i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e

En 1D : Dgradφ =∂φ

∂x~ix

∂

∂t(ρφ)i Vi = ~Fdi+1/2

~ex ∆y + ~Fdi−1/2~ex ∆y = Fdi+1/2

∆y

− Fdi−1/2∆y (49)

avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD

∂φ

∂x)i±1/2

53 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour la diffusion

Schema centree

Terme diffusif

Le flux diffusif dans l’equation du transport

∂

∂t

∫ΩCV

ρφdΩ = −∮

ACV

~F d ~An +

∫ΩCV

SφdΩ

est~Fd = −ρDgradφ (48)

Formulation Volumes Finis :i+ 1

i− 1/2 i+ 1/2

i

~ex ~ex

i− 1W

EP

w e

En 1D : Dgradφ =∂φ

∂x~ix

∂

∂t(ρφ)i Vi = ~Fdi+1/2

~ex ∆y + ~Fdi−1/2~ex ∆y = Fdi+1/2

∆y − Fdi−1/2∆y (49)

avec ρφi la valeur moyennee sur le volume et Fdi±1/2= (ρD

∂φ

∂x)i±1/2

53 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour la diffusion

Schema centree

Schema centre pour le terme diffusif

Pour simplifier considerons ρ = csteEstimation centree du flux :

(D∂φ

∂x)i+1/2 ≈ Di+1/2

φi+1 − φi

xi+1 − xi(50)

avec Di+1/2 = 0.5(Di+1 + Di )

Integration explicite en temps donne :

φn+1i = φn

i +∆t

Vi

(Di+1/2

φi+1 − φi

xi+1 − xi∆y − Di−1/2

φi − φi−1

xi − xi−1∆y

)(51)

Schema centre en espace et explicite en temps

Precision : ε(∆t, (∆x)2)

Stabilite :∆tD

∆x2= r ou ∆t = r

∆x2

Davec r ≤ 0.5

54 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour la diffusion

Schema centree

Schema centre pour le terme diffusif

Pour simplifier considerons ρ = csteEstimation centree du flux :

(D∂φ

∂x)i+1/2 ≈ Di+1/2

φi+1 − φi

xi+1 − xi(50)

avec Di+1/2 = 0.5(Di+1 + Di )Integration explicite en temps donne :

φn+1i = φn

i +

∆t

Vi

(Di+1/2

φi+1 − φi

xi+1 − xi∆y − Di−1/2

φi − φi−1

xi − xi−1∆y

)(51)

Schema centre en espace et explicite en temps

Precision : ε(∆t, (∆x)2)

Stabilite :∆tD

∆x2= r ou ∆t = r

∆x2

Davec r ≤ 0.5

54 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour la diffusion

Schema centree

Schema centre pour le terme diffusif

Pour simplifier considerons ρ = csteEstimation centree du flux :

(D∂φ

∂x)i+1/2 ≈ Di+1/2

φi+1 − φi

xi+1 − xi(50)

avec Di+1/2 = 0.5(Di+1 + Di )Integration explicite en temps donne :

φn+1i = φn

i +∆t

Vi

(

Di+1/2φi+1 − φi

xi+1 − xi∆y − Di−1/2

φi − φi−1

xi − xi−1∆y

)(51)

Schema centre en espace et explicite en temps

Precision : ε(∆t, (∆x)2)

Stabilite :∆tD

∆x2= r ou ∆t = r

∆x2

Davec r ≤ 0.5

54 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour la diffusion

Schema centree

Schema centre pour le terme diffusif

Pour simplifier considerons ρ = csteEstimation centree du flux :

(D∂φ

∂x)i+1/2 ≈ Di+1/2

φi+1 − φi

xi+1 − xi(50)

avec Di+1/2 = 0.5(Di+1 + Di )Integration explicite en temps donne :

φn+1i = φn

i +∆t

Vi

(Di+1/2

φi+1 − φi

xi+1 − xi∆y −

Di−1/2φi − φi−1

xi − xi−1∆y

)(51)

Schema centre en espace et explicite en temps

Precision : ε(∆t, (∆x)2)

Stabilite :∆tD

∆x2= r ou ∆t = r

∆x2

Davec r ≤ 0.5

54 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour la diffusion

Schema centree

Schema centre pour le terme diffusif

Pour simplifier considerons ρ = csteEstimation centree du flux :

(D∂φ

∂x)i+1/2 ≈ Di+1/2

φi+1 − φi

xi+1 − xi(50)

avec Di+1/2 = 0.5(Di+1 + Di )Integration explicite en temps donne :

φn+1i = φn

i +∆t

Vi

(Di+1/2

φi+1 − φi

xi+1 − xi∆y − Di−1/2

φi − φi−1

xi − xi−1∆y

)(51)

Schema centre en espace et explicite en temps

Precision : ε(∆t, (∆x)2)

Stabilite :∆tD

∆x2= r ou ∆t = r

∆x2

Davec r ≤ 0.5

54 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour la diffusion

Schema centree

Schema centre pour le terme diffusif

Pour simplifier considerons ρ = csteEstimation centree du flux :

(D∂φ

∂x)i+1/2 ≈ Di+1/2

φi+1 − φi

xi+1 − xi(50)

avec Di+1/2 = 0.5(Di+1 + Di )Integration explicite en temps donne :

φn+1i = φn

i +∆t

Vi

(Di+1/2

φi+1 − φi

xi+1 − xi∆y − Di−1/2

φi − φi−1

xi − xi−1∆y

)(51)

Schema centre en espace et explicite en temps

Precision : ε(∆t, (∆x)2)

Stabilite :∆tD

∆x2= r ou ∆t = r

∆x2

Davec r ≤ 0.5

54 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour la diffusion

Schema centree

Schema centre pour le terme diffusif

Pour simplifier considerons ρ = csteEstimation centree du flux :

(D∂φ

∂x)i+1/2 ≈ Di+1/2

φi+1 − φi

xi+1 − xi(50)

avec Di+1/2 = 0.5(Di+1 + Di )Integration explicite en temps donne :

φn+1i = φn

i +∆t

Vi

(Di+1/2

φi+1 − φi

xi+1 − xi∆y − Di−1/2

φi − φi−1

xi − xi−1∆y

)(51)

Schema centre en espace et explicite en temps

Precision : ε(∆t, (∆x)2)

Stabilite :∆tD

∆x2= r ou ∆t = r

∆x2

Davec r ≤ 0.5

54 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Schemas pour la diffusion

Schema centree

Terme diffusif - exemple

Comparaison calcul/solution analytique

Diffusion 1D L = 0.5m, 30 volumes

D = 0.01m2/s r = 0.45, Temps final 0.5s

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5x, m

0

0,2

0,4

0,6

0,8

ϕ

Solution calculéeSolution exacte

55 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 1D

Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D

Advection-Diffusion 1D

Schema explicite en temps :

φn+1i = φn

i −∆t

Vi

[((F n

c ∆y)i+1/2 − (F nc ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸

Advection

− ((F nd ∆y)i+1/2 − (F n

d ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸Diffusion

](52)

Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)

Advection : decentree (eq. 28)

Diffusion : centree (eq. 50)

56 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 1D

Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D

Advection-Diffusion 1D

Schema explicite en temps :

φn+1i = φn

i −∆t

Vi

[((F n

c ∆y)i+1/2 − (F nc ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸

Advection

− ((F nd ∆y)i+1/2 − (F n

d ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸Diffusion

](52)

Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)

Advection : decentree (eq. 28)

Diffusion : centree (eq. 50)

56 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 1D

Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D

Advection-Diffusion 1D

Schema explicite en temps :

φn+1i = φn

i −∆t

Vi

[((F n

c ∆y)i+1/2 − (F nc ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸

Advection

− ((F nd ∆y)i+1/2 − (F n

d ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸Diffusion

](52)

Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)

Advection : decentree (eq. 28)

Diffusion : centree (eq. 50)

56 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 1D

Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D

Advection-Diffusion 1D

Schema explicite en temps :

φn+1i = φn

i −∆t

Vi

[((F n

c ∆y)i+1/2 − (F nc ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸

Advection

− ((F nd ∆y)i+1/2 − (F n

d ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸Diffusion

](52)

Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)

Advection : decentree (eq. 28)

Diffusion : centree (eq. 50)

56 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 1D

Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D

Advection-Diffusion 1D

Schema explicite en temps :

φn+1i = φn

i −∆t

Vi

[((F n

c ∆y)i+1/2 − (F nc ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸

Advection

− ((F nd ∆y)i+1/2 − (F n

d ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸Diffusion

](52)

Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)

Advection : decentree (eq. 28)

Diffusion : centree (eq. 50)

56 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 1D

Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D

Advection-Diffusion 1D

Schema explicite en temps :

φn+1i = φn

i −∆t

Vi

[((F n

c ∆y)i+1/2 − (F nc ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸

Advection

− ((F nd ∆y)i+1/2 − (F n

d ∆y)i−1/2)︸ ︷︷ ︸Diffusion

](52)

Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)

Advection : decentree (eq. 28)

Diffusion : centree (eq. 50)

56 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 1D

Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D

Advection-Diffusion 1D

Precision et stabilite

Precision :

ε(∆t,∆x2) pour la diffusion

ε(∆t,∆x) pour l’advection

Stabilite : ∆t ≤[

u

Cu∆x+

D

r∆x2

]−1

avec le nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5

57 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 1D

Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D

Advection-Diffusion 1D

Precision et stabilite

Precision :

ε(∆t,∆x2) pour la diffusionε(∆t,∆x) pour l’advection

Stabilite : ∆t ≤[

u

Cu∆x+

D

r∆x2

]−1

avec le nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5

57 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 1D

Exemple d’un schema explicite en temps pour Advection-Diffusion 1D

Advection-Diffusion 1D

Precision et stabilite

Precision :

ε(∆t,∆x2) pour la diffusionε(∆t,∆x) pour l’advection

Stabilite : ∆t ≤[

u

Cu∆x+

D

r∆x2

]−1

avec le nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5

57 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage orthogonal

Advection-Diffusion 2D - maillage orthogonal

Vi−1,j

Vi−1,j−1

Vi,j+1

Vi+1,j

~Sxi+1/2,j

y(j)

x(i)

Vi,j

(i , j)(i , j)

(i + 1, j + 1)

(i + 1, j)

(i , j + 1)

~Sxi−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Syi,j+1/2

Equation 15 pour un volume quadrilateral

∂

∂t(ρφV )i,j +

k=4∑k=1

(~F~S)k = 0 avec k interfaces i±1/2, j et i , j±1/2 (53)

58 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage orthogonal

Advection-Diffusion 2D - maillage orthogonal

Vi−1,j

Vi−1,j−1

Vi,j+1

Vi+1,j

~Sxi+1/2,j

y(j)

x(i)

Vi,j

(i , j)(i , j)

(i + 1, j + 1)

(i + 1, j)

(i , j + 1)

~Sxi−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Syi,j+1/2

Equation 15 pour un volume quadrilateral

∂

∂t(ρφV )i,j +

k=4∑k=1

(~F~S)k = 0 avec k interfaces i±1/2, j et i , j±1/2 (53)

58 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage orthogonal

Bilan des flux

Flux advectif : ~Fk = (~Fa + ~Ga)k = (ρφ~u)k + (ρφ~v)k (54)

Flux diffusif : ~Fk = ( ~Fd + ~Gd )k = −(ρD∂φ

∂x~ix )k − (ρD

∂φ

∂y~iy )k(55)

Bilan de flux (ρ = cste)

∑(~F~S)k = (φuS)i+1/2,j − (φuS)i−1/2,j

+ (φvS)i,j+1/2 − (φvS)i,j−1/2

− (D∂φ

∂xS)i+1/2,j + (D

∂φ

∂xS)i−1/2,j

− (D∂φ

∂yS)i,j+1/2 + (D

∂φ

∂yS)i,j−1/2 (56)

59 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage orthogonal

Bilan des flux

Flux advectif : ~Fk = (~Fa + ~Ga)k = (ρφ~u)k + (ρφ~v)k (54)

Flux diffusif : ~Fk = ( ~Fd + ~Gd )k = −(ρD∂φ

∂x~ix )k − (ρD

∂φ

∂y~iy )k(55)

Bilan de flux (ρ = cste)

∑(~F~S)k = (φuS)i+1/2,j − (φuS)i−1/2,j

+ (φvS)i,j+1/2 − (φvS)i,j−1/2

− (D∂φ

∂xS)i+1/2,j + (D

∂φ

∂xS)i−1/2,j

− (D∂φ

∂yS)i,j+1/2 + (D

∂φ

∂yS)i,j−1/2 (56)

59 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage orthogonal

Bilan des flux

Flux advectif : ~Fk = (~Fa + ~Ga)k = (ρφ~u)k + (ρφ~v)k (54)

Flux diffusif : ~Fk = ( ~Fd + ~Gd )k = −(ρD∂φ

∂x~ix )k − (ρD

∂φ

∂y~iy )k(55)

Bilan de flux (ρ = cste)

∑(~F~S)k

= (φuS)i+1/2,j − (φuS)i−1/2,j

+ (φvS)i,j+1/2 − (φvS)i,j−1/2

− (D∂φ

∂xS)i+1/2,j + (D

∂φ

∂xS)i−1/2,j

− (D∂φ

∂yS)i,j+1/2 + (D

∂φ

∂yS)i,j−1/2 (56)

59 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage orthogonal

Bilan des flux

Flux advectif : ~Fk = (~Fa + ~Ga)k = (ρφ~u)k + (ρφ~v)k (54)

Flux diffusif : ~Fk = ( ~Fd + ~Gd )k = −(ρD∂φ

∂x~ix )k − (ρD

∂φ

∂y~iy )k(55)

Bilan de flux (ρ = cste)

∑(~F~S)k = (φuS)i+1/2,j − (φuS)i−1/2,j

+ (φvS)i,j+1/2 − (φvS)i,j−1/2

− (D∂φ

∂xS)i+1/2,j + (D

∂φ

∂xS)i−1/2,j

− (D∂φ

∂yS)i,j+1/2 + (D

∂φ

∂yS)i,j−1/2 (56)

59 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage orthogonal

Bilan des flux

Flux advectif : ~Fk = (~Fa + ~Ga)k = (ρφ~u)k + (ρφ~v)k (54)

Flux diffusif : ~Fk = ( ~Fd + ~Gd )k = −(ρD∂φ

∂x~ix )k − (ρD

∂φ

∂y~iy )k(55)

Bilan de flux (ρ = cste)

∑(~F~S)k = (φuS)i+1/2,j − (φuS)i−1/2,j

+ (φvS)i,j+1/2 − (φvS)i,j−1/2

− (D∂φ

∂xS)i+1/2,j + (D

∂φ

∂xS)i−1/2,j

− (D∂φ

∂yS)i,j+1/2 + (D

∂φ

∂yS)i,j−1/2 (56)

59 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage orthogonal

Bilan des flux

Flux advectif : ~Fk = (~Fa + ~Ga)k = (ρφ~u)k + (ρφ~v)k (54)

Flux diffusif : ~Fk = ( ~Fd + ~Gd )k = −(ρD∂φ

∂x~ix )k − (ρD

∂φ

∂y~iy )k(55)

Bilan de flux (ρ = cste)

∑(~F~S)k = (φuS)i+1/2,j − (φuS)i−1/2,j

+ (φvS)i,j+1/2 − (φvS)i,j−1/2

− (D∂φ

∂xS)i+1/2,j + (D

∂φ

∂xS)i−1/2,j

− (D∂φ

∂yS)i,j+1/2 + (D

∂φ

∂yS)i,j−1/2 (56)

59 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage orthogonal

Bilan des flux

Flux advectif : ~Fk = (~Fa + ~Ga)k = (ρφ~u)k + (ρφ~v)k (54)

Flux diffusif : ~Fk = ( ~Fd + ~Gd )k = −(ρD∂φ

∂x~ix )k − (ρD

∂φ

∂y~iy )k(55)

Bilan de flux (ρ = cste)

∑(~F~S)k = (φuS)i+1/2,j − (φuS)i−1/2,j

+ (φvS)i,j+1/2 − (φvS)i,j−1/2

− (D∂φ

∂xS)i+1/2,j + (D

∂φ

∂xS)i−1/2,j

− (D∂φ

∂yS)i,j+1/2 + (D

∂φ

∂yS)i,j−1/2 (56)

59 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage orthogonal

Advection-Diffusion 2D - maillage orthogonale

Schema explicite en temps :

φn+1i,j = φn

i,j −

∆t

Vi,j

k=4∑k=1

(~F~S)k (57)

Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)

Advection : decentree (eq. 28)

Diffusion : centree (eq. 50)

Precision et stabilite

Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection

Stabilite : ∆t ≤[ |u|

Cu∆x+|v |

Cu∆y+

D

r

(1

∆x2+

1

∆y 2

)]−1

avec le

nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5

60 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage orthogonal

Advection-Diffusion 2D - maillage orthogonale

Schema explicite en temps :

φn+1i,j = φn

i,j −∆t

Vi,j

k=4∑k=1

(~F~S)k (57)

Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)

Advection : decentree (eq. 28)

Diffusion : centree (eq. 50)

Precision et stabilite

Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection

Stabilite : ∆t ≤[ |u|

Cu∆x+|v |

Cu∆y+

D

r

(1

∆x2+

1

∆y 2

)]−1

avec le

nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5

60 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage orthogonal

Advection-Diffusion 2D - maillage orthogonale

Schema explicite en temps :

φn+1i,j = φn

i,j −∆t

Vi,j

k=4∑k=1

(~F~S)k (57)

Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)

Advection : decentree (eq. 28)

Diffusion : centree (eq. 50)

Precision et stabilite

Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection

Stabilite : ∆t ≤[ |u|

Cu∆x+|v |

Cu∆y+

D

r

(1

∆x2+

1

∆y 2

)]−1

avec le

nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5

60 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage orthogonal

Advection-Diffusion 2D - maillage orthogonale

Schema explicite en temps :

φn+1i,j = φn

i,j −∆t

Vi,j

k=4∑k=1

(~F~S)k (57)

Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)

Advection : decentree (eq. 28)

Diffusion : centree (eq. 50)

Precision et stabilite

Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection

Stabilite : ∆t ≤[ |u|

Cu∆x+|v |

Cu∆y+

D

r

(1

∆x2+

1

∆y 2

)]−1

avec le

nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5

60 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage orthogonal

Advection-Diffusion 2D - maillage orthogonale

Schema explicite en temps :

φn+1i,j = φn

i,j −∆t

Vi,j

k=4∑k=1

(~F~S)k (57)

Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)

Advection : decentree (eq. 28)

Diffusion : centree (eq. 50)

Precision et stabilite

Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection

Stabilite : ∆t ≤[ |u|

Cu∆x+|v |

Cu∆y+

D

r

(1

∆x2+

1

∆y 2

)]−1

avec le

nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5

60 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage orthogonal

Advection-Diffusion 2D - maillage orthogonale

Schema explicite en temps :

φn+1i,j = φn

i,j −∆t

Vi,j

k=4∑k=1

(~F~S)k (57)

Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)

Advection : decentree (eq. 28)

Diffusion : centree (eq. 50)

Precision et stabilite

Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection

Stabilite : ∆t ≤[ |u|

Cu∆x+|v |

Cu∆y+

D

r

(1

∆x2+

1

∆y 2

)]−1

avec le

nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5

60 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal

Vi,j

~Si,j+1/2 (i + 1, j + 1)

(i , j)

(i + 1, j)

(i , j + 1)

~Si+1/2,j~Si−1/2,j

~Si,j−1/2x(i , j)

y(i , j)

Equation 15 pour un volume quadrilateral

∂

∂t(ρφV )i,j +

k=4∑k=1

(~F~S)k = 0 avec k interfaces i±1/2, j et i , j±1/2 (58)

~Sk ne sont plus colineaires avec les axes X et Y

61 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal

Vi,j

~Si,j+1/2 (i + 1, j + 1)

(i , j)

(i + 1, j)

(i , j + 1)

~Si+1/2,j~Si−1/2,j

~Si,j−1/2x(i , j)

y(i , j)

Equation 15 pour un volume quadrilateral

∂

∂t(ρφV )i,j +

k=4∑k=1

(~F~S)k = 0 avec k interfaces i±1/2, j et i , j±1/2 (58)

~Sk ne sont plus colineaires avec les axes X et Y

61 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal

Vi,j

~Si,j+1/2 (i + 1, j + 1)

(i , j)

(i + 1, j)

(i , j + 1)

~Si+1/2,j~Si−1/2,j

~Si,j−1/2x(i , j)

y(i , j)

Equation 15 pour un volume quadrilateral

∂

∂t(ρφV )i,j +

k=4∑k=1

(~F~S)k = 0 avec k interfaces i±1/2, j et i , j±1/2 (58)

~Sk ne sont plus colineaires avec les axes X et Y

61 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decomposition des vecteurs surfaciques

On choisie : ~Sx colineaire a ~X et ~Sy colineaire a ~Y

(i + 1, j)

(i , j)

(i , j + 1)

~Si,j−1/2

~Si−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Sxi−1/2,j

y(i , j)

x(i , j)

~Sxi,j−1/2

~Syi−1/2,j

Vi,j

Face ouest (i − 1/2, j) :~Si−1/2,j = ~Sxi−1/2,j

+~Syi−1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) :~Si,j−1/2 = ~Sxi,j−1/2

+~Syi,j−1/2

etc...

Les composantes des vecteurs ~Sx

et ~Sy se calculent aisement :

~Sxi−1/2,j= ~exi−1/2,j

(yni,j+1 − yni,j )

~Syi−1/2,j= ~eyi−1/2,j

(xni,j+1 − xni,j )

ou exi−1/2,j,~eyi−1/2,j

sont les vecteurs unitaires normaux et xn, yn sont lescoordonnees de noeuds.

62 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decomposition des vecteurs surfaciques

On choisie : ~Sx colineaire a ~X et ~Sy colineaire a ~Y

(i + 1, j)

(i , j)

(i , j + 1)

~Si,j−1/2

~Si−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Sxi−1/2,j

y(i , j)

x(i , j)

~Sxi,j−1/2

~Syi−1/2,j

Vi,j

Face ouest (i − 1/2, j) :~Si−1/2,j = ~Sxi−1/2,j

+~Syi−1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) :~Si,j−1/2 = ~Sxi,j−1/2

+~Syi,j−1/2

etc...

Les composantes des vecteurs ~Sx

et ~Sy se calculent aisement :

~Sxi−1/2,j= ~exi−1/2,j

(yni,j+1 − yni,j )

~Syi−1/2,j= ~eyi−1/2,j

(xni,j+1 − xni,j )

ou exi−1/2,j,~eyi−1/2,j

sont les vecteurs unitaires normaux et xn, yn sont lescoordonnees de noeuds.

62 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decomposition des vecteurs surfaciques

On choisie : ~Sx colineaire a ~X et ~Sy colineaire a ~Y

(i + 1, j)

(i , j)

(i , j + 1)

~Si,j−1/2

~Si−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Sxi−1/2,j

y(i , j)

x(i , j)

~Sxi,j−1/2

~Syi−1/2,j

Vi,j

Face ouest (i − 1/2, j) :~Si−1/2,j = ~Sxi−1/2,j

+~Syi−1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) :~Si,j−1/2 = ~Sxi,j−1/2

+~Syi,j−1/2

etc...

Les composantes des vecteurs ~Sx

et ~Sy se calculent aisement :

~Sxi−1/2,j= ~exi−1/2,j

(yni,j+1 − yni,j )

~Syi−1/2,j= ~eyi−1/2,j

(xni,j+1 − xni,j )

ou exi−1/2,j,~eyi−1/2,j

sont les vecteurs unitaires normaux et xn, yn sont lescoordonnees de noeuds.

62 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decomposition des vecteurs surfaciques

On choisie : ~Sx colineaire a ~X et ~Sy colineaire a ~Y

(i + 1, j)

(i , j)

(i , j + 1)

~Si,j−1/2

~Si−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Sxi−1/2,j

y(i , j)

x(i , j)

~Sxi,j−1/2

~Syi−1/2,j

Vi,j

Face ouest (i − 1/2, j) :~Si−1/2,j = ~Sxi−1/2,j

+~Syi−1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) :~Si,j−1/2 = ~Sxi,j−1/2

+~Syi,j−1/2

etc...

Les composantes des vecteurs ~Sx

et ~Sy se calculent aisement :

~Sxi−1/2,j= ~exi−1/2,j

(yni,j+1 − yni,j )

~Syi−1/2,j= ~eyi−1/2,j

(xni,j+1 − xni,j )

ou exi−1/2,j,~eyi−1/2,j

sont les vecteurs unitaires normaux et xn, yn sont lescoordonnees de noeuds.

62 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decomposition des vecteurs surfaciques

On choisie : ~Sx colineaire a ~X et ~Sy colineaire a ~Y

(i + 1, j)

(i , j)

(i , j + 1)

~Si,j−1/2

~Si−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Sxi−1/2,j

y(i , j)

x(i , j)

~Sxi,j−1/2

~Syi−1/2,j

Vi,j

Face ouest (i − 1/2, j) :~Si−1/2,j = ~Sxi−1/2,j

+~Syi−1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) :~Si,j−1/2 = ~Sxi,j−1/2

+~Syi,j−1/2

etc...

Les composantes des vecteurs ~Sx

et ~Sy se calculent aisement :

~Sxi−1/2,j= ~exi−1/2,j

(yni,j+1 − yni,j )

~Syi−1/2,j= ~eyi−1/2,j

(xni,j+1 − xni,j )

ou exi−1/2,j,~eyi−1/2,j

sont les vecteurs unitaires normaux et xn, yn sont lescoordonnees de noeuds.

62 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decomposition des vecteurs surfaciques

On choisie : ~Sx colineaire a ~X et ~Sy colineaire a ~Y

(i + 1, j)

(i , j)

(i , j + 1)

~Si,j−1/2

~Si−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Sxi−1/2,j

y(i , j)

x(i , j)

~Sxi,j−1/2

~Syi−1/2,j

Vi,j

Face ouest (i − 1/2, j) :~Si−1/2,j = ~Sxi−1/2,j

+~Syi−1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) :~Si,j−1/2 = ~Sxi,j−1/2

+~Syi,j−1/2

etc...

Les composantes des vecteurs ~Sx

et ~Sy se calculent aisement :

~Sxi−1/2,j= ~exi−1/2,j

(yni,j+1 − yni,j )

~Syi−1/2,j= ~eyi−1/2,j

(xni,j+1 − xni,j )

ou exi−1/2,j,~eyi−1/2,j

sont les vecteurs unitaires normaux et xn, yn sont lescoordonnees de noeuds.

62 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decomposition des vecteurs surfaciques

On choisie : ~Sx colineaire a ~X et ~Sy colineaire a ~Y

(i + 1, j)

(i , j)

(i , j + 1)

~Si,j−1/2

~Si−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Sxi−1/2,j

y(i , j)

x(i , j)

~Sxi,j−1/2

~Syi−1/2,j

Vi,j

Face ouest (i − 1/2, j) :~Si−1/2,j = ~Sxi−1/2,j

+~Syi−1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) :~Si,j−1/2 = ~Sxi,j−1/2

+~Syi,j−1/2

etc...

Les composantes des vecteurs ~Sx

et ~Sy se calculent aisement :

~Sxi−1/2,j= ~exi−1/2,j

(yni,j+1 − yni,j )

~Syi−1/2,j= ~eyi−1/2,j

(xni,j+1 − xni,j )

ou exi−1/2,j,~eyi−1/2,j

sont les vecteurs unitaires normaux et xn, yn sont lescoordonnees de noeuds.

62 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Flux advectif

Flux advectif a travers des faces (ρ = cste)

Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fa~S)i−1/2,j = (φ~u~Sx )i−1/2,j + (φ~v~Sy )i−1/2,j

Face est (i + 1/2, j) : (~Fa~S)i+1/2,j = (φ~u~Sx )i+1/2,j + (φ~v~Sy )i+1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) : (~Fa~S)i,j−1/2 = (φ~u~Sx )i,j−1/2 + (φ~v~Sy )i,j−1/2

Face sud (i , j + 1/2) : (~Fa~S)i,j+1/2 = (φ~u~Sx )i,j+1/2 + (φ~v~Sy )i,j+1/2

(φ~u)i±1/2,j (φ~v)i±1/2,j (φ~u)i,j±1/2 (φ~v)i,j±1/2 peuvent etre evalues al’aide du schema upwind 28, MUSCL 43 etc...

63 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Flux advectif

Flux advectif a travers des faces (ρ = cste)

Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fa~S)i−1/2,j = (φ~u~Sx )i−1/2,j + (φ~v~Sy )i−1/2,j

Face est (i + 1/2, j) : (~Fa~S)i+1/2,j = (φ~u~Sx )i+1/2,j + (φ~v~Sy )i+1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) : (~Fa~S)i,j−1/2 = (φ~u~Sx )i,j−1/2 + (φ~v~Sy )i,j−1/2

Face sud (i , j + 1/2) : (~Fa~S)i,j+1/2 = (φ~u~Sx )i,j+1/2 + (φ~v~Sy )i,j+1/2

(φ~u)i±1/2,j (φ~v)i±1/2,j (φ~u)i,j±1/2 (φ~v)i,j±1/2 peuvent etre evalues al’aide du schema upwind 28, MUSCL 43 etc...

63 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Flux advectif

Flux advectif a travers des faces (ρ = cste)

Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fa~S)i−1/2,j = (φ~u~Sx )i−1/2,j + (φ~v~Sy )i−1/2,j

Face est (i + 1/2, j) : (~Fa~S)i+1/2,j = (φ~u~Sx )i+1/2,j + (φ~v~Sy )i+1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) : (~Fa~S)i,j−1/2 = (φ~u~Sx )i,j−1/2 + (φ~v~Sy )i,j−1/2

Face sud (i , j + 1/2) : (~Fa~S)i,j+1/2 = (φ~u~Sx )i,j+1/2 + (φ~v~Sy )i,j+1/2

(φ~u)i±1/2,j (φ~v)i±1/2,j (φ~u)i,j±1/2 (φ~v)i,j±1/2 peuvent etre evalues al’aide du schema upwind 28, MUSCL 43 etc...

63 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Flux advectif

Flux advectif a travers des faces (ρ = cste)

Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fa~S)i−1/2,j = (φ~u~Sx )i−1/2,j + (φ~v~Sy )i−1/2,j

Face est (i + 1/2, j) : (~Fa~S)i+1/2,j = (φ~u~Sx )i+1/2,j + (φ~v~Sy )i+1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) : (~Fa~S)i,j−1/2 = (φ~u~Sx )i,j−1/2 + (φ~v~Sy )i,j−1/2

Face sud (i , j + 1/2) : (~Fa~S)i,j+1/2 = (φ~u~Sx )i,j+1/2 + (φ~v~Sy )i,j+1/2

(φ~u)i±1/2,j (φ~v)i±1/2,j (φ~u)i,j±1/2 (φ~v)i,j±1/2 peuvent etre evalues al’aide du schema upwind 28, MUSCL 43 etc...

63 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Flux advectif

Flux advectif a travers des faces (ρ = cste)

Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fa~S)i−1/2,j = (φ~u~Sx )i−1/2,j + (φ~v~Sy )i−1/2,j

Face est (i + 1/2, j) : (~Fa~S)i+1/2,j = (φ~u~Sx )i+1/2,j + (φ~v~Sy )i+1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) : (~Fa~S)i,j−1/2 = (φ~u~Sx )i,j−1/2 + (φ~v~Sy )i,j−1/2

Face sud (i , j + 1/2) : (~Fa~S)i,j+1/2 = (φ~u~Sx )i,j+1/2 + (φ~v~Sy )i,j+1/2

(φ~u)i±1/2,j (φ~v)i±1/2,j (φ~u)i,j±1/2 (φ~v)i,j±1/2 peuvent etre evalues al’aide du schema upwind 28, MUSCL 43 etc...

63 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Flux advectif

Flux advectif a travers des faces (ρ = cste)

Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fa~S)i−1/2,j = (φ~u~Sx )i−1/2,j + (φ~v~Sy )i−1/2,j

Face est (i + 1/2, j) : (~Fa~S)i+1/2,j = (φ~u~Sx )i+1/2,j + (φ~v~Sy )i+1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) : (~Fa~S)i,j−1/2 = (φ~u~Sx )i,j−1/2 + (φ~v~Sy )i,j−1/2

Face sud (i , j + 1/2) : (~Fa~S)i,j+1/2 = (φ~u~Sx )i,j+1/2 + (φ~v~Sy )i,j+1/2

(φ~u)i±1/2,j (φ~v)i±1/2,j (φ~u)i,j±1/2 (φ~v)i,j±1/2 peuvent etre evalues al’aide du schema upwind 28, MUSCL 43 etc...

63 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decentrement du flux advectif - schema upwind 28

Flux-splitting : decentrement selon les directions X (vitesse u) et Y(vitesse v)

Par exemple, pour la face sud (i , j − 1/2) :

(φu)i,j−1/2 =

(φu)i,j si u ≥ 0

(φu)i,j−1 si u < 0

(φv)i,j−1/2 =

(φv)i,j−1 si v ≥ 0

(φv)i,j si v < 0

Cette approche fonctionne mais elle introduit la duffision numeriquesupplementaire.

64 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decentrement du flux advectif - schema upwind 28

Flux-splitting : decentrement selon les directions X (vitesse u) et Y(vitesse v)

Par exemple, pour la face sud (i , j − 1/2) :

(φu)i,j−1/2 =

(φu)i,j si u ≥ 0

(φu)i,j−1 si u < 0

(φv)i,j−1/2 =

(φv)i,j−1 si v ≥ 0

(φv)i,j si v < 0

Cette approche fonctionne mais elle introduit la duffision numeriquesupplementaire.

64 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decentrement du flux advectif - schema upwind 28

Flux-splitting : decentrement selon les directions X (vitesse u) et Y(vitesse v)

Par exemple, pour la face sud (i , j − 1/2) :

(φu)i,j−1/2 =

(φu)i,j si u ≥ 0

(φu)i,j−1 si u < 0

(φv)i,j−1/2 =

(φv)i,j−1 si v ≥ 0

(φv)i,j si v < 0

Cette approche fonctionne mais elle introduit la duffision numeriquesupplementaire.

64 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decentrement du flux advectif - schema upwind 28

Decentrement base sur le signe de la vitesse normale a la face un = ~U · ~nselon Peric [2].

On s’interesse au signe de ~U · ~n. P.ex., pour la face nord i , j − 1/2

sign(~U · ~n)i,j−1/2 = sign(~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2)

(i + 1, j)

(i , j)

(i , j + 1)

~Si−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Sxi−1/2,j

y(i , j)

x(i , j)

~Sxi,j−1/2

~Syi−1/2,j

Vi,j

Vi,j−1

~Si,j−1/2

~Ui,j−1

~Ui,j

~Ui,j−1/2 =???

65 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decentrement du flux advectif - schema upwind 28

Decentrement base sur le signe de la vitesse normale a la face un = ~U · ~nselon Peric [2].

On s’interesse au signe de ~U · ~n. P.ex., pour la face nord i , j − 1/2

sign(~U · ~n)i,j−1/2 = sign(~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2)

(i + 1, j)

(i , j)

(i , j + 1)

~Si−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Sxi−1/2,j

y(i , j)

x(i , j)

~Sxi,j−1/2

~Syi−1/2,j

Vi,j

Vi,j−1

~Si,j−1/2

~Ui,j−1

~Ui,j

~Ui,j−1/2 =???

65 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decentrement du flux advectif - schema upwind 28

Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2

(i + 1, j)

(i , j)

(i , j + 1)

~Si−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Sxi−1/2,j

y(i , j)

x(i , j)

~Sxi,j−1/2

~Syi−1/2,j

Vi,j

Vi,j−1

~Si,j−1/2

~Ui,j−1

~Ui,j Soit :

ULn = ~Ui,j−1 · ~Si,j−1/2

URn = ~Ui,j · ~Si,j−1/2

Alors :

ULn = (~ui,j−1 + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2

+ ~Syi,j−1/2)

= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~ui,j−1~Syi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2

= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2

= ui,j−1(yni+1,j − yni,j )− vi,j−1(xni+1,j − xni,j )

ou xn, yn sont les coordonees des noeuds.

66 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decentrement du flux advectif - schema upwind 28

Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2

(i + 1, j)

(i , j)

(i , j + 1)

~Si−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Sxi−1/2,j

y(i , j)

x(i , j)

~Sxi,j−1/2

~Syi−1/2,j

Vi,j

Vi,j−1

~Si,j−1/2

~Ui,j−1

~Ui,j Soit :

ULn = ~Ui,j−1 · ~Si,j−1/2

URn = ~Ui,j · ~Si,j−1/2

Alors :

ULn = (~ui,j−1 + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2

+ ~Syi,j−1/2)

= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~ui,j−1~Syi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2

= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2

= ui,j−1(yni+1,j − yni,j )− vi,j−1(xni+1,j − xni,j )

ou xn, yn sont les coordonees des noeuds.

66 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decentrement du flux advectif - schema upwind 28

Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2

(i + 1, j)

(i , j)

(i , j + 1)

~Si−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Sxi−1/2,j

y(i , j)

x(i , j)

~Sxi,j−1/2

~Syi−1/2,j

Vi,j

Vi,j−1

~Si,j−1/2

~Ui,j−1

~Ui,j Soit :

ULn = ~Ui,j−1 · ~Si,j−1/2

URn = ~Ui,j · ~Si,j−1/2

Alors :

ULn = (~ui,j−1 + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2

+ ~Syi,j−1/2)

= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~ui,j−1~Syi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2

= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2

= ui,j−1(yni+1,j − yni,j )− vi,j−1(xni+1,j − xni,j )

ou xn, yn sont les coordonees des noeuds.

66 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decentrement du flux advectif - schema upwind 28

Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2

(i + 1, j)

(i , j)

(i , j + 1)

~Si−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Sxi−1/2,j

y(i , j)

x(i , j)

~Sxi,j−1/2

~Syi−1/2,j

Vi,j

Vi,j−1

~Si,j−1/2

~Ui,j−1

~Ui,j Soit :

ULn = ~Ui,j−1 · ~Si,j−1/2

URn = ~Ui,j · ~Si,j−1/2

Alors :

ULn = (~ui,j−1 + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2

+ ~Syi,j−1/2)

= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~ui,j−1~Syi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2

= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2

= ui,j−1(yni+1,j − yni,j )− vi,j−1(xni+1,j − xni,j )

ou xn, yn sont les coordonees des noeuds.

66 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decentrement du flux advectif - schema upwind 28

Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2

(i + 1, j)

(i , j)

(i , j + 1)

~Si−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Sxi−1/2,j

y(i , j)

x(i , j)

~Sxi,j−1/2

~Syi−1/2,j

Vi,j

Vi,j−1

~Si,j−1/2

~Ui,j−1

~Ui,j Soit :

ULn = ~Ui,j−1 · ~Si,j−1/2

URn = ~Ui,j · ~Si,j−1/2

Alors :

ULn = (~ui,j−1 + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2

+ ~Syi,j−1/2)

= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~ui,j−1~Syi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2

= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2

= ui,j−1(yni+1,j − yni,j )− vi,j−1(xni+1,j − xni,j )

ou xn, yn sont les coordonees des noeuds.

66 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decentrement du flux advectif - schema upwind 28

Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2

(i + 1, j)

(i , j)

(i , j + 1)

~Si−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Sxi−1/2,j

y(i , j)

x(i , j)

~Sxi,j−1/2

~Syi−1/2,j

Vi,j

Vi,j−1

~Si,j−1/2

~Ui,j−1

~Ui,j Soit :

ULn = ~Ui,j−1 · ~Si,j−1/2

URn = ~Ui,j · ~Si,j−1/2

Alors :

ULn = (~ui,j−1 + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2

+ ~Syi,j−1/2)

= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~ui,j−1~Syi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2

= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2

= ui,j−1(yni+1,j − yni,j )− vi,j−1(xni+1,j − xni,j )

ou xn, yn sont les coordonees des noeuds.

66 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decentrement du flux advectif - schema upwind 28

Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2

(i + 1, j)

(i , j)

(i , j + 1)

~Si−1/2,j

~Syi,j−1/2

~Sxi−1/2,j

y(i , j)

x(i , j)

~Sxi,j−1/2

~Syi−1/2,j

Vi,j

Vi,j−1

~Si,j−1/2

~Ui,j−1

~Ui,j Soit :

ULn = ~Ui,j−1 · ~Si,j−1/2

URn = ~Ui,j · ~Si,j−1/2

Alors :

ULn = (~ui,j−1 + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2

+ ~Syi,j−1/2)

= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~ui,j−1~Syi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2

= ~ui,j−1~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j−1~Syi,j−1/2

= ui,j−1(yni+1,j − yni,j )− vi,j−1(xni+1,j − xni,j )

ou xn, yn sont les coordonees des noeuds.

66 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decentrement du flux advectif - schema upwind 28

Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2

URn = (~ui,j + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2

+ ~Syi,j−1/2)

= ~ui,j~Sxi,j−1/2

+ ~ui,j~Syi,j−1/2

+ ~vi,j~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j~Syi,j−1/2

= ~ui,j~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j~Syi,j−1/2

= ui,j (yni+1,j − yni,j )− vi,j (xni+1,j − xni,j )

Calcul du flux advectif en (i , j − 1/2)

(φu)i,j−1/2 =

(φu)i,j si UL

n > 0 et URn > 0

(φu)i,j−1 si ULn ≤ 0 et UR

n ≤ 0

0 autrement

67 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decentrement du flux advectif - schema upwind 28

Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2

URn = (~ui,j + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2

+ ~Syi,j−1/2)

= ~ui,j~Sxi,j−1/2

+ ~ui,j~Syi,j−1/2

+ ~vi,j~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j~Syi,j−1/2

= ~ui,j~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j~Syi,j−1/2

= ui,j (yni+1,j − yni,j )− vi,j (xni+1,j − xni,j )

Calcul du flux advectif en (i , j − 1/2)

(φu)i,j−1/2 =

(φu)i,j si UL

n > 0 et URn > 0

(φu)i,j−1 si ULn ≤ 0 et UR

n ≤ 0

0 autrement

67 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decentrement du flux advectif - schema upwind 28

Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2

URn = (~ui,j + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2

+ ~Syi,j−1/2)

= ~ui,j~Sxi,j−1/2

+ ~ui,j~Syi,j−1/2

+ ~vi,j~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j~Syi,j−1/2

= ~ui,j~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j~Syi,j−1/2

= ui,j (yni+1,j − yni,j )− vi,j (xni+1,j − xni,j )

Calcul du flux advectif en (i , j − 1/2)

(φu)i,j−1/2 =

(φu)i,j si UL

n > 0 et URn > 0

(φu)i,j−1 si ULn ≤ 0 et UR

n ≤ 0

0 autrement

67 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Decentrement du flux advectif - schema upwind 28

Calcul de ~Ui,j−1/2 · ~Si,j−1/2

URn = (~ui,j + ~vi,j−1) · (~Sxi,j−1/2

+ ~Syi,j−1/2)

= ~ui,j~Sxi,j−1/2

+ ~ui,j~Syi,j−1/2

+ ~vi,j~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j~Syi,j−1/2

= ~ui,j~Sxi,j−1/2

+ ~vi,j~Syi,j−1/2

= ui,j (yni+1,j − yni,j )− vi,j (xni+1,j − xni,j )

Calcul du flux advectif en (i , j − 1/2)

(φu)i,j−1/2 =

(φu)i,j si UL

n > 0 et URn > 0

(φu)i,j−1 si ULn ≤ 0 et UR

n ≤ 0

0 autrement

67 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Flux diffusif

Flux diffusif a travers des faces (ρ = cste)

Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fd~S)i−1/2,j =

− (D∂φ

∂x~ix~Sx )i−1/2,j

−(D∂φ

∂y~iy~Sy )i−1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) : (~Fd~S)i,j−1/2 = − (D

∂φ

∂x~ix~Sx )i,j−1/2

−(D∂φ

∂y~iy~Sy )i,j−1/2

Comment evaluer∂φ

∂xet

∂φ

∂y?

68 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Flux diffusif

Flux diffusif a travers des faces (ρ = cste)

Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fd~S)i−1/2,j = − (D

∂φ

∂x~ix~Sx )i−1/2,j

−(D∂φ

∂y~iy~Sy )i−1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) : (~Fd~S)i,j−1/2 = − (D

∂φ

∂x~ix~Sx )i,j−1/2

−(D∂φ

∂y~iy~Sy )i,j−1/2

Comment evaluer∂φ

∂xet

∂φ

∂y?

68 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Flux diffusif

Flux diffusif a travers des faces (ρ = cste)

Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fd~S)i−1/2,j = − (D

∂φ

∂x~ix~Sx )i−1/2,j

−(D∂φ

∂y~iy~Sy )i−1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) : (~Fd~S)i,j−1/2 = − (D

∂φ

∂x~ix~Sx )i,j−1/2

−(D∂φ

∂y~iy~Sy )i,j−1/2

Comment evaluer∂φ

∂xet

∂φ

∂y?

68 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Flux diffusif

Flux diffusif a travers des faces (ρ = cste)

Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fd~S)i−1/2,j = − (D

∂φ

∂x~ix~Sx )i−1/2,j

−(D∂φ

∂y~iy~Sy )i−1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) : (~Fd~S)i,j−1/2 =

− (D∂φ

∂x~ix~Sx )i,j−1/2

−(D∂φ

∂y~iy~Sy )i,j−1/2

Comment evaluer∂φ

∂xet

∂φ

∂y?

68 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Flux diffusif

Flux diffusif a travers des faces (ρ = cste)

Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fd~S)i−1/2,j = − (D

∂φ

∂x~ix~Sx )i−1/2,j

−(D∂φ

∂y~iy~Sy )i−1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) : (~Fd~S)i,j−1/2 = − (D

∂φ

∂x~ix~Sx )i,j−1/2

−(D∂φ

∂y~iy~Sy )i,j−1/2

Comment evaluer∂φ

∂xet

∂φ

∂y?

68 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Flux diffusif

Flux diffusif a travers des faces (ρ = cste)

Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fd~S)i−1/2,j = − (D

∂φ

∂x~ix~Sx )i−1/2,j

−(D∂φ

∂y~iy~Sy )i−1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) : (~Fd~S)i,j−1/2 = − (D

∂φ

∂x~ix~Sx )i,j−1/2

−(D∂φ

∂y~iy~Sy )i,j−1/2

Comment evaluer∂φ

∂xet

∂φ

∂y?

68 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Flux diffusif

Flux diffusif a travers des faces (ρ = cste)

Face ouest (i − 1/2, j) : (~Fd~S)i−1/2,j = − (D

∂φ

∂x~ix~Sx )i−1/2,j

−(D∂φ

∂y~iy~Sy )i−1/2,j

Face nord (i , j − 1/2) : (~Fd~S)i,j−1/2 = − (D

∂φ

∂x~ix~Sx )i,j−1/2

−(D∂φ

∂y~iy~Sy )i,j−1/2

Comment evaluer∂φ

∂xet

∂φ

∂y?

68 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Flux diffusif : evaluation des derivees

Vi−1,j

(i , j)

(i + 1, j)

(i + 1, j + 1)

ξ

η

x

y

Vi,j

(i , j + 1)

∂φ

∂ξet

∂φ

∂ηpeuvent etre evaluees a l’aide du schema centre p.ex. 50

∂φ

∂xet

∂φ

∂ypeuvent etre evaluees a partir de

∂φ

∂ξet

∂φ

∂ηa l’aide d’un

changement des coordonnees (ξ, η)→ (x , y)

69 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Flux diffusif : evaluation des derivees

Vi−1,j

(i , j)

(i + 1, j)

(i + 1, j + 1)

ξ

η

x

y

Vi,j

(i , j + 1)

∂φ

∂ξet

∂φ

∂ηpeuvent etre evaluees a l’aide du schema centre p.ex. 50

∂φ

∂xet

∂φ

∂ypeuvent etre evaluees a partir de

∂φ

∂ξet

∂φ

∂ηa l’aide d’un

changement des coordonnees (ξ, η)→ (x , y)

69 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Flux diffusif : evaluation des derivees

Vi−1,j

(i , j)

(i + 1, j)

(i + 1, j + 1)

ξ

η

x

y

Vi,j

(i , j + 1)

∂φ

∂ξet

∂φ

∂ηpeuvent etre evaluees a l’aide du schema centre p.ex. 50

∂φ

∂xet

∂φ

∂ypeuvent etre evaluees a partir de

∂φ

∂ξet

∂φ

∂ηa l’aide d’un

changement des coordonnees (ξ, η)→ (x , y)

69 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Evaluation des derivees : changement des coordonnees

Definissons :

ξ = ξ(x , y) et η = η(x , y) (59)

Derivation donne :

∂

∂x=∂ξ

∂x

∂

∂ξ+∂η

∂x

∂

∂η(60)

ou∂

∂x= ξx

∂

∂ξ+ ηx

∂

∂η(61)

∂

∂y= ξy

∂

∂ξ+ ηy

∂

∂η(62)

avec ξx =∂ξ

∂x, ξy =

∂ξ

∂y, ηx =

∂η

∂x, ηy =

∂η

∂y

70 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Evaluation des derivees : changement des coordonnees

Definissons :

ξ = ξ(x , y) et η = η(x , y) (59)

Derivation donne :

∂

∂x=∂ξ

∂x

∂

∂ξ+∂η

∂x

∂

∂η(60)

ou∂

∂x= ξx

∂

∂ξ+ ηx

∂

∂η(61)

∂

∂y= ξy

∂

∂ξ+ ηy

∂

∂η(62)

avec ξx =∂ξ

∂x, ξy =

∂ξ

∂y, ηx =

∂η

∂x, ηy =

∂η

∂y

70 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Evaluation des derivees : changement des coordonnees

Definissons :

ξ = ξ(x , y) et η = η(x , y) (59)

Derivation donne :

∂

∂x=∂ξ

∂x

∂

∂ξ+∂η

∂x

∂

∂η(60)

ou∂

∂x= ξx

∂

∂ξ+ ηx

∂

∂η(61)

∂

∂y= ξy

∂

∂ξ+ ηy

∂

∂η(62)

avec ξx =∂ξ

∂x, ξy =

∂ξ

∂y, ηx =

∂η

∂x, ηy =

∂η

∂y

70 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Evaluation des derivees : changement des coordonnees

Definissons :

ξ = ξ(x , y) et η = η(x , y) (59)

Derivation donne :

∂

∂x=∂ξ

∂x

∂

∂ξ+∂η

∂x

∂

∂η(60)

ou∂

∂x= ξx

∂

∂ξ+ ηx

∂

∂η(61)

∂

∂y= ξy

∂

∂ξ+ ηy

∂

∂η(62)

avec ξx =∂ξ

∂x, ξy =

∂ξ

∂y, ηx =

∂η

∂x, ηy =

∂η

∂y

70 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Evaluation des derivees : changement des coordonnees

Definissons :

ξ = ξ(x , y) et η = η(x , y) (59)

Derivation donne :

∂

∂x=∂ξ

∂x

∂

∂ξ+∂η

∂x

∂

∂η(60)

ou∂

∂x= ξx

∂

∂ξ+ ηx

∂

∂η(61)

∂

∂y= ξy

∂

∂ξ+ ηy

∂

∂η(62)

avec ξx =∂ξ

∂x, ξy =

∂ξ

∂y, ηx =

∂η

∂x, ηy =

∂η

∂y

70 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Evaluation des derivees : changement des coordonnees

Definissons :

ξ = ξ(x , y) et η = η(x , y) (59)

Derivation donne :

∂

∂x=∂ξ

∂x

∂

∂ξ+∂η

∂x

∂

∂η(60)

ou∂

∂x= ξx

∂

∂ξ+ ηx

∂

∂η(61)

∂

∂y= ξy

∂

∂ξ+ ηy

∂

∂η(62)

avec ξx =∂ξ

∂x, ξy =

∂ξ

∂y, ηx =

∂η

∂x, ηy =

∂η

∂y

70 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Evaluation des derivees : calcul des metriques

En inversant le role des variables independantes :

x = x(ξ, η) et y = y(ξ, η) (63)

On peut trouver (c.f. [3] pour les details) :

ξx = Jyη ξy = −Jxη (64)

ηx = −Jyξ ηy = Jxξ (65)

avec le Jacobian de transformation J =1

xξyη − yξxη

ou p.ex. (xξ)i,j−1/2 ≈ (∆x

∆ξ)i,j =

xni+1,j − xni,j√(xni+1,j − xni,j )2 + (yni+1,j − yni,j )2

71 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Evaluation des derivees : calcul des metriques

En inversant le role des variables independantes :

x = x(ξ, η) et y = y(ξ, η) (63)

On peut trouver (c.f. [3] pour les details) :

ξx = Jyη ξy = −Jxη (64)

ηx = −Jyξ ηy = Jxξ (65)

avec le Jacobian de transformation J =1

xξyη − yξxη

ou p.ex. (xξ)i,j−1/2 ≈ (∆x

∆ξ)i,j =

xni+1,j − xni,j√(xni+1,j − xni,j )2 + (yni+1,j − yni,j )2

71 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Evaluation des derivees : calcul des metriques

En inversant le role des variables independantes :

x = x(ξ, η) et y = y(ξ, η) (63)

On peut trouver (c.f. [3] pour les details) :

ξx = Jyη ξy = −Jxη (64)

ηx = −Jyξ ηy = Jxξ (65)

avec le Jacobian de transformation

J =1

xξyη − yξxη

ou p.ex. (xξ)i,j−1/2 ≈ (∆x

∆ξ)i,j =

xni+1,j − xni,j√(xni+1,j − xni,j )2 + (yni+1,j − yni,j )2

71 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Evaluation des derivees : calcul des metriques

En inversant le role des variables independantes :

x = x(ξ, η) et y = y(ξ, η) (63)

On peut trouver (c.f. [3] pour les details) :

ξx = Jyη ξy = −Jxη (64)

ηx = −Jyξ ηy = Jxξ (65)

avec le Jacobian de transformation J =1

xξyη − yξxη

ou p.ex. (xξ)i,j−1/2 ≈ (∆x

∆ξ)i,j =

xni+1,j − xni,j√(xni+1,j − xni,j )2 + (yni+1,j − yni,j )2

71 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Evaluation des derivees : calcul des metriques

En inversant le role des variables independantes :

x = x(ξ, η) et y = y(ξ, η) (63)

On peut trouver (c.f. [3] pour les details) :

ξx = Jyη ξy = −Jxη (64)

ηx = −Jyξ ηy = Jxξ (65)

avec le Jacobian de transformation J =1

xξyη − yξxη

ou p.ex. (xξ)i,j−1/2 ≈ (∆x

∆ξ)i,j =

xni+1,j − xni,j√(xni+1,j − xni,j )2 + (yni+1,j − yni,j )2

71 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal

Schema explicite en temps :

φn+1i,j = φn

i,j −

∆t

Vi,j

k=4∑k=1

(~F~S)k (66)

Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)

Advection : decentree (eq. 28)

Diffusion : centree (eq. 50)

Precision

Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection

72 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal

Schema explicite en temps :

φn+1i,j = φn

i,j −∆t

Vi,j

k=4∑k=1

(~F~S)k (66)

Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)

Advection : decentree (eq. 28)

Diffusion : centree (eq. 50)

Precision

Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection

72 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal

Schema explicite en temps :

φn+1i,j = φn

i,j −∆t

Vi,j

k=4∑k=1

(~F~S)k (66)

Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)

Advection : decentree (eq. 28)

Diffusion : centree (eq. 50)

Precision

Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection

72 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal

Schema explicite en temps :

φn+1i,j = φn

i,j −∆t

Vi,j

k=4∑k=1

(~F~S)k (66)

Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)

Advection : decentree (eq. 28)

Diffusion : centree (eq. 50)

Precision

Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection

72 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal

Schema explicite en temps :

φn+1i,j = φn

i,j −∆t

Vi,j

k=4∑k=1

(~F~S)k (66)

Evaluation spatiale des flux (a titre d’exemple)

Advection : decentree (eq. 28)

Diffusion : centree (eq. 50)

Precision

Precision : ε(∆t,∆x2) pour la diffusion, ε(∆t,∆x) pour l’advection

72 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Advection-Diffusion 2D

Maillage non-orthogonal

Advection-Diffusion 2D - maillage non-orthogonal

Stabilite

∆ti,j ≤[|ui,j |(|~Sxi±1/2,j

|+ |~Sxi,j±1/2|)

CuVi,j+|vi,j |(|~Syi±1/2,j

|+ |~Syi,j±1/2|)

CuVi,j

+D

r

(1

∆ξ2+

1

∆η2

)]−1

(67)

∆t = min(∆ti,j ) ∀ i , j (68)

avec le nombre CFL Cu ≤ 1 et le coefficient r ≤ 0.5

73 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Conditions aux limites

Conditions aux limites de type Von Neumann

Derivee est imposee ou interpolee sur les faces des volumes des bords dudomaine de calcul

Fdi,1/2= (D

∂φ

∂x)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme

diffusif

Fdimax+1/2,j= (D

∂φ

∂x)imax+1/2,j = (D

∂φ

∂x)imax−1/2,j : condition de

sortie pour le terme diffusif

Flux est impose ou interpole sur les faces des volumes des bords dudomaine de calcul

Faimax+1/2,j= (φu)imax+1/2,j = (φu)imax−1/2,j : condition de sortie

pour le terme advectif (schema d’ordre 2 en espace)

74 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Conditions aux limites

Conditions aux limites de type Von Neumann

Derivee est imposee ou interpolee sur les faces des volumes des bords dudomaine de calcul

Fdi,1/2= (D

∂φ

∂x)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme

diffusif

Fdimax+1/2,j= (D

∂φ

∂x)imax+1/2,j = (D

∂φ

∂x)imax−1/2,j : condition de

sortie pour le terme diffusif

Flux est impose ou interpole sur les faces des volumes des bords dudomaine de calcul

Faimax+1/2,j= (φu)imax+1/2,j = (φu)imax−1/2,j : condition de sortie

pour le terme advectif (schema d’ordre 2 en espace)

74 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Conditions aux limites

Conditions aux limites de type Von Neumann

Derivee est imposee ou interpolee sur les faces des volumes des bords dudomaine de calcul

Fdi,1/2= (D

∂φ

∂x)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme

diffusif

Fdimax+1/2,j= (D

∂φ

∂x)imax+1/2,j = (D

∂φ

∂x)imax−1/2,j : condition de

sortie pour le terme diffusif

Flux est impose ou interpole sur les faces des volumes des bords dudomaine de calcul

Faimax+1/2,j= (φu)imax+1/2,j = (φu)imax−1/2,j : condition de sortie

pour le terme advectif (schema d’ordre 2 en espace)

74 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Conditions aux limites

Conditions aux limites de type Dirichlet

Valeurs sont imposees dans des centres de volumes-fantomes i.e. desvolumes supplementaires qui bordent le domaine du calcul(i = 0, i = imax + 1, j = 0, j = jmax + 1)

φ0,j = f (y), u0,j = g(y) : condition d’entree

φi,0 = φi,1, ui,0 = ui,1, vi,0 = −vi,1 : condition de symetrie

φimax+1,j = φimax,j : condition de sortie pour le terme diffusif

Flux (valeurs) sont imposes ou interpoles sur les faces des volumes desbords du domaine de calcul

Fa1/2,j= (φu)1/2,j = f (y) : condition d’entree pour le terme advectif

Fai,1/2= (φv)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme advectif

75 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Conditions aux limites

Conditions aux limites de type Dirichlet

Valeurs sont imposees dans des centres de volumes-fantomes i.e. desvolumes supplementaires qui bordent le domaine du calcul(i = 0, i = imax + 1, j = 0, j = jmax + 1)

φ0,j = f (y), u0,j = g(y) : condition d’entree

φi,0 = φi,1, ui,0 = ui,1, vi,0 = −vi,1 : condition de symetrie

φimax+1,j = φimax,j : condition de sortie pour le terme diffusif

Flux (valeurs) sont imposes ou interpoles sur les faces des volumes desbords du domaine de calcul

Fa1/2,j= (φu)1/2,j = f (y) : condition d’entree pour le terme advectif

Fai,1/2= (φv)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme advectif

75 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Conditions aux limites

Conditions aux limites de type Dirichlet

Valeurs sont imposees dans des centres de volumes-fantomes i.e. desvolumes supplementaires qui bordent le domaine du calcul(i = 0, i = imax + 1, j = 0, j = jmax + 1)

φ0,j = f (y), u0,j = g(y) : condition d’entree

φi,0 = φi,1, ui,0 = ui,1, vi,0 = −vi,1 : condition de symetrie

φimax+1,j = φimax,j : condition de sortie pour le terme diffusif

Flux (valeurs) sont imposes ou interpoles sur les faces des volumes desbords du domaine de calcul

Fa1/2,j= (φu)1/2,j = f (y) : condition d’entree pour le terme advectif

Fai,1/2= (φv)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme advectif

75 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Conditions aux limites

Conditions aux limites de type Dirichlet

Valeurs sont imposees dans des centres de volumes-fantomes i.e. desvolumes supplementaires qui bordent le domaine du calcul(i = 0, i = imax + 1, j = 0, j = jmax + 1)

φ0,j = f (y), u0,j = g(y) : condition d’entree

φi,0 = φi,1, ui,0 = ui,1, vi,0 = −vi,1 : condition de symetrie

φimax+1,j = φimax,j : condition de sortie pour le terme diffusif

Flux (valeurs) sont imposes ou interpoles sur les faces des volumes desbords du domaine de calcul

Fa1/2,j= (φu)1/2,j = f (y) : condition d’entree pour le terme advectif

Fai,1/2= (φv)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme advectif

75 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Conditions aux limites

Conditions aux limites de type Dirichlet

Valeurs sont imposees dans des centres de volumes-fantomes i.e. desvolumes supplementaires qui bordent le domaine du calcul(i = 0, i = imax + 1, j = 0, j = jmax + 1)

φ0,j = f (y), u0,j = g(y) : condition d’entree

φi,0 = φi,1, ui,0 = ui,1, vi,0 = −vi,1 : condition de symetrie

φimax+1,j = φimax,j : condition de sortie pour le terme diffusif

Flux (valeurs) sont imposes ou interpoles sur les faces des volumes desbords du domaine de calcul

Fa1/2,j= (φu)1/2,j = f (y) : condition d’entree pour le terme advectif

Fai,1/2= (φv)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme advectif

75 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Conditions aux limites

Conditions aux limites de type Dirichlet

Valeurs sont imposees dans des centres de volumes-fantomes i.e. desvolumes supplementaires qui bordent le domaine du calcul(i = 0, i = imax + 1, j = 0, j = jmax + 1)

φ0,j = f (y), u0,j = g(y) : condition d’entree

φi,0 = φi,1, ui,0 = ui,1, vi,0 = −vi,1 : condition de symetrie

φimax+1,j = φimax,j : condition de sortie pour le terme diffusif

Flux (valeurs) sont imposes ou interpoles sur les faces des volumes desbords du domaine de calcul

Fa1/2,j= (φu)1/2,j = f (y) : condition d’entree pour le terme advectif

Fai,1/2= (φv)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme advectif

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Methode ”Volumes Finis”

Conditions aux limites

Conditions aux limites de type Dirichlet

Valeurs sont imposees dans des centres de volumes-fantomes i.e. desvolumes supplementaires qui bordent le domaine du calcul(i = 0, i = imax + 1, j = 0, j = jmax + 1)

φ0,j = f (y), u0,j = g(y) : condition d’entree

φi,0 = φi,1, ui,0 = ui,1, vi,0 = −vi,1 : condition de symetrie

φimax+1,j = φimax,j : condition de sortie pour le terme diffusif

Flux (valeurs) sont imposes ou interpoles sur les faces des volumes desbords du domaine de calcul

Fa1/2,j= (φu)1/2,j = f (y) : condition d’entree pour le terme advectif

Fai,1/2= (φv)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme advectif

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Methode ”Volumes Finis”

Conditions aux limites

Conditions aux limites de type Dirichlet

Valeurs sont imposees dans des centres de volumes-fantomes i.e. desvolumes supplementaires qui bordent le domaine du calcul(i = 0, i = imax + 1, j = 0, j = jmax + 1)

φ0,j = f (y), u0,j = g(y) : condition d’entree

φi,0 = φi,1, ui,0 = ui,1, vi,0 = −vi,1 : condition de symetrie

φimax+1,j = φimax,j : condition de sortie pour le terme diffusif

Flux (valeurs) sont imposes ou interpoles sur les faces des volumes desbords du domaine de calcul

Fa1/2,j= (φu)1/2,j = f (y) : condition d’entree pour le terme advectif

Fai,1/2= (φv)i,1/2 = 0 : condition de symetrie pour le terme advectif

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Methode ”Volumes Finis”

Conditions aux limites

[1] A. Harten.High resolution scheme for hyperbolic conservation laws.Journal of Computational Physics, 49 :357–393, 1983.

[2] Joel H.Ferziger and Milovan Peric.Computational Methods for Fluid Dynamics.Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1996.

[3] Klaus A. Hoffmann.Computational FLuid Dynamics for Engineers.SciTech Typing Service of Austin, Texas, 1989.

[4] A. Kurganov and E. Tadmor.Solution of two-dimensional riemann problems for gaz dynamicswithout riemann problem solvers.Numer. Methods Partia Differential Equations, 18 :584–608, 2002.

[5] P.L.Roe.Approximate riemann solvers, parameter vectors and differenceschemes.Journal of Computational Physics, 43 :357–372, 1981.

75 / 75

Methode ”Volumes Finis”

Conditions aux limites

[6] S.Godounov, A.Zabrodine, M.Ivanov, A.Kraıko, and G.Prokopov.Resolution Numerique des Problemes Multidimensionnels de laDynamique des Gaz.Edition Mir, Moscou, 1979.

[7] B. van Leer.Towards the ultimate conservative difference scheme. v. asecond-order sequel to godunov’s method.Journal of Computational Physics, 32 :101–136, 1979.

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