moms lecture 11

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 1/42

Б.Оюун - Эрдэнэ /магистр/

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 2/42

• Нэгэн туршилтын хувьд холбоотойсанамсаргүй хэмжигдэхүүнийг X гэе.

• Энэхүү туршилтыг n удаа давтан явуулья . k- ртуршилттай холбоотой санамсаргүйхэмжигдэхүүнийг X k гэе .

Санамсаргүй түүвэр

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 3/42

Санамсаргүй түүвэр

• { X 1, X 2, …, X n} санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийнолонлогийг n хэмжээтэй санамсаргүй түүвэр гэнэ.

• X 1, X 2, …, X n санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд ньхоорондоо үл хамаарах бөгөөд f (x) нягтын функцбүхий нэгэн ижилхэн тархалттай (iid түүвэр ) байна .(iid - independent identically distributed )

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 4/42

Шоог 2 удаа хаясан. Үл хамаарах 2 туршилт явагдах тул X 1, X 2 санамсаргүй

хэмжигдэхүүнүүд холбогдон гарч ирнэ.• Эхний хаялтын үр дүн X 1 с/х

• Хоёр дахь хаялтын үр дүн X 2 с/х Магадлалын нягтын функц нь дараах хэлбэртэй бичигдэнэ.

{ X 1, X 2} санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн олонлогийг 2 хэмжээст

санамсаргүй түүвэ р гэнэ.

Жишээ -1.

6,....,2,1,6

11

x x f

6,....,2,1,

6

12

x x f

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 5/42

• X 1, X 2 санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь хоорондоо үлхамаарах бөгөөд нягтын функц бүхий нэгэнижилхэн тархалттай байна .

• Ө.х шооны 2 удаагийн хаялтын үр дүн нь{1,2,3,4,5,6 } эгэл үзэгдлийн огторгуйтай, ижилтархалтай олонлогоос олж авсан n=2 хэмжээтсанамсаргүй түүвэр юм.

Жишээ -1.

61

x f

61

x f

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 6/42

Хамтын магадлалын нягтын функц

X 1, X 2, …, X n нь n хэмжээт санамсаргүй түүвэр. X 1, X 2, …, X n нь үл хамаарах с/х -үүд бөгөөд f (x) нягтынфункц бүхий нэгэн ижил тархалттай бол

X 1, X 2, …, X n хамтын магадлалын нягтын функц нь

болно. n x f x f x f

21

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 7/42

Шооны 2 удаагийн хаялтын үр дүн X 1 , X 2 үл хамаарахс/х -үүд бөгөөд ижил тархалттай тул хамтынмагадлалын нягтын функц

болно.

Жишээ -1.

6,....2,1;6,.....2,1361

61

61

2121 x x x f x f

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 8/42

Теором -1.

X 1, X 2, …, X n үл хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бөгөөд хамтын магадлалын нягтынфункц нь .

санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын функц бол Y-н хүлээгдэж буйУтга :

Дискрет с/х -ий хувьд :

Тасралтгүй с/х -ий хувьд нийлбэрийн тэмдэгүүдийноронд интегралууд орлуулан тавина.

n x f x f x f 21

n X ,... X , X uY 21

y g

, x f x f x f x ,... x , xu y yg Y E y x x xnnn

n 1 2

221121

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 9/42

Теором -2.

X 1, X 2, …, X n үл хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд ба .

Хэрэв оршин байвал

nn X u X u X uY 2211

ni X u E ii ,...,2,1)],([

nn

nn

X u E X u E X u E

X u X u X u E Y E

2211

2211

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 10/42

Хэрэв нь харгалзан 1, 2 , …, nдундаж, 2

1, 2 2 ,…, 2

n дисперстэй харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бол

байх Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикдундаж болон дисперс нь:

n X X X ,...,, 21

),...,,( 211 тогтмолуудaaa X aY n

n

iii

n

iiiY

n

iiiY aa

1

222

1

Теором -3.

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 11/42

Шооны 2 удаагийн хаялтын үр дүн X1, X 2 нь f (x)=1/6

ижил тархалтын n=2 хэмжээт санамсаргүй түүвэр юм. Хоёр үл хамаарах с/х -ий хувьд холбогдохүзүүлэлтүүдийг тооцъё.

536

121 . x xf X E X E x

1235

536

1

221

x

x f . x X Var X Var

251253532121 ... X E X E X X E

053535353 2121 . X E . X E . X . X E

Жишээ -1.

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 12/42

21 X X Y 7535321 .. X E X E Y E

.6

3512352

02

5.35.35.325.35.35.37

21

2221

21

221

221

X Var X Var

X E X X E X E X X E X X E Y Var

Жишээ -1.

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 13/42

с/х -ий магадлалын нягтын функц y g

12432 ,........, , ,Y

.................................

, X , X эсвэл X , X эсвэл X , X P g

, X , X эсвэл X , X P g

, f f X , X P g

3631322314

362

61

61

61

61

12213

361

61

61

11112

212121

2121

21

Жишээ -1.

21 X X Y

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 14/42

y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

g(y)361

362

365

363

365

364

366

364

363

362

361

Y –н тархалтын хууль :

712

2 y

y yg Y E

, y g yY Var y 6

35712

2

2

Жишээ -1.

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 15/42

Теорем -4.

• Хэрэв нь байххарилцан хамааралгүй санамсаргүйхэмжигдэхүүнүүд бол

санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь Y дундаж , 2Y

дисперс бүхий хэвийн тархалттай байна.

n X X X ,...,, 21 ),(~ 2iii N X

n

iii X aY

1

n

iiiY a

1

2

1

22i

n

ii X a

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 16/42

Санамсаргүй түүврийн дундаж

µ математик дундажтай, 2

дисперстэй тархалтын X 1, X 2, …, X n санамсаргүй түүврийн дундаж нь

бөгөөд нь с/х -үүдээс хамаарсаншугаман функц юм.

n X ... X X

X n 21

X

n X ,..., X , X u X 21

n X ,..., X , X 21

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 17/42

нь дундаж, 2 дисперс бүхий хэвийнтархалттай эх олонлогоос n хэмжээтэйгээр авсансанамсаргүй түүвэр бол түүврийн дундаж нь

дундаж, 2/n дисперс бүхий хэвийн тархалттай

санамсаргүй хэмжигдэхүүн болно.

n X X X ,...,, 21

X

Теорем -5.

),(~2

n N X

),(~ 2

N X

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 18/42

Гаргалгаа

• Түүврийн дунджийн математик дундаж нь:

.1)(1)(11

n

i

n

ii n X E n X E

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 19/42

• Түүврийн дунджийн дисперс нь:

nn

n

n X

n

n

X X X X

n

i

n

ii

n

22

2

1

22

1

22

2122

1

11

...)(

Гаргалгаа

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 20/42

Жишээ -2.

нь =50, 2 =16 байх хэвийнтархалттай олонлогоос авсан санамсаргүйтүүвэр бол,

6421 ,...,, X X X

?)5149( X P

?)5149( 8 X P

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 21/42

учраас N X )16,50(~8

1974.04013.05987.04

1

4

1

45051

45049

)5149( 8

Z P

Z P

X P

Жишээ -2.

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 22/42

)6416,50(~ N X

9544.0

22

6416

5051

6416

5049

)5149(

Z P Z P

X P

Жишээ -2.

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 23/42

Их тооны хууль

Гол санаа нь :• Хэрэв X 1, X 2, …, X n нь дундажтай Х эх

олонлогоос авсан n хэмжээтэй санамсаргүй түүвэр бол түүврийн хэмжээ n маш их үед түүврийн дундаж нь эх олонлогийн математик дундаж -аас маш багаар хазайдаг .

• Өөрөөр хэлбэл, түүврийн хэмжээ ихсэх тусам

түүврийн дундаж нь эх олонлогийн дундаж -рүү магадлалаараа нийлнэ .

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 24/42

Их тооны “сул” хуулийн теоремууд

Теором -1. Марковын тэнцэтгэл биш X нь E(X) дундажтай, сөрөг биш санамсаргүйхэмжигдэхүүн бол с /х-ий боломжит утгууд ямар

нэг их тоо a -аас их байх магадлал нь тухайнс /х-ий математик дунджийг тэр эерэг, их а тоонд харьцуулсан харьцаанаас хэтрэхгүйбайна.

0 a ,a X E a X P

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 25/42

С/x-ий боломжит утгуудыг өсөх эрэмбээрбайрлуулъя.

С/x-ий боломжит утгуудын илрэх магадлал :

25

n x x x x X ....,0 321

ii p X X P ni ,1

Баталгаа :

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 26/42

Х c/x- ий математик дунджийг тооцвол :

нөхцөл биелэгдэнэ. 26

nnk k k k p x... p x p x.... p x X E 1111

000 X E p , X i

X E p x... p x p x nnk k k k 2211

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 27/42

гэсэн а -аас их

утгуудыг эерэга

тоогоор солъё. Тэгвэл

27

nk k k x x x x ,,,,, 321

X E p... p pa nk k 21

a X E

p... p p nk k 21

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 28/42

гэж санавал :

байх магадлал :

28

a x , , , x , x , x nk k k 321

a X

a

X E

a X P

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 29/42

Теором -2. Чебышевийн тэнцэтгэл биш Х нь дундаж, 2 төгсгөлөг дисперстэйсанамсаргүй хэмжигдэхүүн байг. Тэгвэл,дурын эерэг тоо -ийн хувьд

тэнцэтгэл биш хүчинтэй.

29

2

2

X P

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 30/42

Магадлалыг тодорхойлж байгаа нөхцлийн 2талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлье.

30

22

X

Баталгаа :

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 31/42

авч үзвэл Марковын тэнцэтгэл бишбиелэгдэж байна.

Ө.х эерэг байна.

31

22 X P

2 X

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 32/42

32

2

222

X E

X P

2

222

X P

22 X

X

2

2

X P

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 33/42

33

2

2

1

X P

Чебышевийн тэнцэтгэл бишийн

нөгөө хувилбар :

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 34/42

нь =E ( X i), 2= 2( x i)

(i=1,2,… ) бүхий хоорондоо хамааралгүй,

нэгэн ижил тархалттай санамсаргүйхэмжигдэхүүнүүдийн дараалал гэвэл

,..., 21 X X

, X P lim nn

0 n

X X X энд n

n ...1

1 nn

X P lim

Теором -3. Их тооны “сул” хууль

ε -дурын эерэг тоо

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 35/42

Теором -5- д байсан.

Чебышевийн тэнцэтгэл бишийн дагуу

хязгаар авахад

Баталгаа : , n X E

n

X Var n

2

,2

n

nn X Var

X E X P

2

2

n X P n

0

n

2

2

limlim

n X P n

nn

0lim nn

X P

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 36/42

Теором -4. Бернуллийн хууль

нь p магадлал бүхийБернуллийн тархалттай, хоорондоохамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийндараалал бол

,..., 21 X X

1lim p X P nn

n X X X энд n

n ...1

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 37/42

нь =E ( X i ), 2= 2( x i) ( i =1,2,… )

бүхий хоорондоо хамааралгүй, нэгэн ижилтархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийндараалал гэвэл

,..., 21 X X

1lim

nn

X P

n X X

X энд nn

...1

Теором -5. Их тооны “хүчтэй” хууль

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 38/42

Теором -6. Төвийн хязгаарын теором

төгсгөлөг математик дундаж , 2 төгсгөлөгдисперстэй тархалтаас авсанхангалттай их (n→∞) хэмжээтэй санамсаргүй түүврийн

дундаж бол

хэмжигдэхүүн нь тархалттай байна. (Энд : түүврийн хэмжээ хангалттай их (n→∞) гэсэн хязгаарлалт тавигдаж

байна. )

n X X X ,...,, 21

X

n /

X Z n

10 , N

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 39/42

Төвийн хязгаарын теором

Түүврийн хэмжээ (түүврийн нэгж ) хангалттай их тохиолдолд түүврийн дунджийн тархалт нь хэвийн тархалт руу дөхдөг. Энэ нь түүврийг

бүрдүүлсэн эх олонлогийнх нь тархалтын хэлбэр ямар байхаас хамаарахгүйгээр үнэн байдаг .

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 40/42

• Гэтэл түүврийн ямар хэмжээг хангалттай их гэж үзэхвэ ?

Төвийн хязгаарын теором

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 41/42

Хэрвээ түүврийн хэмжээ хамгийн багадаа30 бол ихэнх эх олонлогийн тархалтынхувьд түүврийн дунджийн тархалт ньхэвийнтэй ойролцоо тархалттай байдаг.

Хэрэв эх олонлогийн тархалт нь бараг тэгшхэмтэй байгаад түүврийн хэмжээ нь хамгийн

багадаа 15 байхад түүврийн дунджийн тархалтнь хэвийнтэй ойролцоо тархалттай байна.

Хариулт

7/23/2019 MOMS Lecture 11

http://slidepdf.com/reader/full/moms-lecture-11 42/42

Төвийн хязгаарынтеорем:

Эх олонлог ньХэвийн, Ижил ,Экспоненциальтархалттайтохиолдолдn=2; 5; 30; хэмжээтэйтүүврүүдийн

дунджийн тархалтууд