operaciones con matrices
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OPERACIONES CON MATRICES
OBJETIVOS
- COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LA MATRIZ Y SU APLICACIÓN CORRESPONDIENTE.
- QUE LAS OPERACIONES CON MATRICES SEAN UN HERRAMIENTA Y NO Y PROBLEMA A LO LARGO DE LA CARRERA
- ADQUIRIR LAS HABILIDADES NECESARIAS PARA LAS OPERACIONES CON MATRICES
Matriz:Conjunto
rectangular de números
Características:- Se encierran entre
corchetes- A los números se los
denominan Entradas o Elementos
- Se las designan por letras mayúsculas A, B, C, etc.
Ejemplo
0 2 4
-4 -8 1
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
Entrada ó
Elemento
A =
Otros Ejemplos
B =1 0
0 1C =
Ahora trabajemos con
los elementos
Sea
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
A =
Fila 1
Fila 2
Fila 3
LAS FILAS SE CUENTAN DESDE ARRIBA PARA ABAJO
Ahora trabajemos con
los elementos
Sea
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
A =
CO
LU
MN
A
1
CO
LU
MN
A
2
CO
LU
MN
A
4
CO
LU
MN
A
3
LAS COLUMNAS
SE CUENTAN DE
IZQUIERDA A
DERECHA
Ahora trabajemos con
los elementos
Sea
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
A =
Fila 1
Fila 2
Fila 3
CO
LU
MN
A
1
CO
LU
MN
A
2
CO
LU
MN
A
4
CO
LU
MN
A
3
Ahora trabajemos con
los elementos
Sea
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
A =
Fila 1
Fila 2
Fila 3
CO
LU
MN
A
1
CO
LU
MN
A
2
CO
LU
MN
A
4
CO
LU
MN
A
3
Podemos decir que esta
matriz tiene en total
3 filas y 4 columnas
Definimos:
Una matriz con m filas y n columnas es
una matriz m x n o es de
dimensión m x n
Ahora trabajemos con
los elementos
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
A =
Definimos:
Una matriz con m filas y n columnas es
una matriz m x n o es de
dimensión m x n
3 x 4
0 2 4
-4 -8 1B =
1 0
0 1C =
2 x 3 2 x 2
Una matriz con n filas y n columnas es
una matriz cuadrada
de dimensión n x n
Ahora trabajemos con
los elementos
Definimos:
Una matriz con m filas y n columnas es
una matriz m x n o es de
dimensión m x n
1 0
0 1C =
2 x 2
Una matriz con n filas y n columnas es
una matriz cuadrada
de dimensión n x n
Ahora trabajemos con
los elementosUna matriz con m filas y n columnas es
una matriz m x n o es de
dimensión m x n1 0
0 1C =
2 x 2 Una matriz con n filas y n columnas es
una matriz cuadrada
de dimensión n x n
Definimos:
Una matriz con n filas y 1 columna es
una matriz Columna
de dimensión n x 1
Una matriz con 1 fila y n columnas es
una matriz Fila
de dimensión 1 x n
5
2D =
2 x 1
2 3 0E =
1 x 3
Seguimos trabajando
con los elementos
Volvamos a la matriz:
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
A =
3 x 4
Cada elemento de la matriz A se
identifica por la fila y la columna a
la que pertenece
Decimos: el elemento (2, 3) de
la Matriz A, es el elemento que
pertenece tanto
a la fila 2
y a la columna 3 ( a la vez )
Entonces el elemento (2, 3) de la
matriz A es 0
Seguimos trabajando
con los elementos
Volvamos a la matriz:
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
A =
3 x 4
Cada elemento de la matriz A se
identifica por la fila y la columna a
la que pertenece
GENERALIZAMOS
El elemento (i, j) de una matriz
es el número que pertenece
simultáneamente a la fila i y a
la columna j
El elemento (i, j) de la Matriz A
se denomina aij
a23= 0 a31= a34= 4 9
Generalizando los elementos de la matriz A
2 1 7 5
3 22 0 5
4 -1 5 9
A =
3 x 4
A =
3 x 4
a11 a12 a14a13
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
A =
m x n
a11 a12 a1na13
a21 a22 a23 a2n
am1 am2 am3 amn
…….
…….
…….
A = aij
A =
3 x 3
2 4 9
1 0 2
5 5 10
A =
3 x 3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
MATRIZ CUADRADA
a11 , a33, a22 , …… , ann
aiji = j DIAGONAL PRINCIPAL
Si una matriz es de dimensión m x n, tiene mfilas y n columnas
Si se habla del elemento (i, j) de una matriz, éste pertenece a la fila i y a la columna j
Si un elemento se denota como aij , el primer subíndice i se refiere a la fila y el segundo subíndice j a la columna a la que pertenece aij
CONVENCION CONCERNIENTE A LAS FILAS Y LAS COLUMNAS
LAS FILAS SIEMPRE SE
MENCIONAN ANTES
QUE LAS COLUMNAS
Tienen la misma dimensión Los elementos
correspondientes son iguales
Veamos la primera operación con matrices
IGUALDADDos matrices A y B son iguales
esto es A=B si y solo si:
Si A= [ aij ] B= [ bij ]y
La segunda condición se
cumple si: [ aij ] = [ bij ] Lo que significa:
aij = bij para todo i , j
a11 = b11
Veamos la primera operación con matrices
IGUALDAD
Si A= [ aij ] B= [ bij ]y
La segunda condición se
cumple si: [ aij ] = [ bij ] Lo que significa:
aij = bij para todo i , j
a12 = b12
a13 = b13
amn = bmn
Ejercicios:
Dadas
A =a b
c d B =1 2 -1
3 0 1C =
1 0
-1 2
Discutir la posibilidad de
que A=B , B=C , A=C
A es 2 x 2 y B es 2 x 3 luego la operación
no es posible porque tienen distintas
dimensiones
Así también C es 2 x 2 y B es 2 x 3 luego
la operación no es posible porque tienen
distintas dimensiones
Ejercicios:
Dadas
A =a b
c d B =1 2 -1
3 0 1C =
1 0
-1 2
Discutir la posibilidad de
que A=B , B=C , A=C
A es 2 x 2 y C es 2 x 2 tienen iguales
dimensiones, luego la igualdad esta definida
Igualando ambas matrices tenemos:
a b
c d=
1 0
-1 2
a = 1 , b = 0
c = -1 , d = 2
Adición de Matrices
Sean A y B dos matrices de igual
dimensión
Su suma A + B
Es la matriz formada al sumar sus
elementos correspondientes.
Si A= [ aij ] B= [ bij ]y
A + B = [ aij + bij ]
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Adición de Matrices
A =
m x n
a11 a12 a1na13
a21 a22 a23 a2n
am1 am2 am3 amn
…
….
…
B =
m x n
b11
b11
b1nb13
b21 b22 b23 b2n
bm1 bm2 bm3 bmn
…
….
…
y
A + B =
m x n
a11 ….
b12
+ b12a12 + b13a13 + b1na1n +
b21a21 ….+ b22a22 + b23a23 + b2na2n +
bm1am1 ….+ bm2am2+ bm3am3 + bmnamn+
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Adición de Matrices
A =2 x 3
8 -4 0
1 2 -1 B =5 2
-1 -3 -1y4
2 x 3
5A + B =
8 + 4-4+ 20 +
-11 + -32 + -1-1+2 x 3
A + B =13 0 2
0 -1 -22 x 3
A + B =
Matrices Características
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Es aquella cuyo elementos son todos
iguales a cero “o”
Matriz Cero:
Es decir: 0= [ 0ij ]
0 =
m x n
011 012 01n013
021 022 023 02n
0m1 0m2 0m3 0mn
…
….
…
0 =2 x 2
0 0
0 0
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Matrices Características
Es aquella que se obtiene de multiplicar
cada elemento de la matriz por -1
Matriz Opuesta:
Es decir si A= [ aij ] -A= [-aij ]
A =
2 x 3
3 -4 0
8 1 -1 -A =2 x 3
(-1)x3 (-1)x-4 (-1)x0
(-1)x8 (-1)x1 (-1)x-1
-A =
2 x 3
-3 4 0
-8 -1 1
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
RestaSi A y B son dos matrices m x n , la
Diferencia se define como:A - B = A + (-B) = [ aij - bij ]
A =2 x 3
8 -4 0
1 2 -1 B =5 2
-1 -3 -1y4
2 x 3
5A - B =
8 - 4-4- 20 -
(-1)1 - (-3)2 - (-1)-1-2 x 3
A - B =3 -8 -2
2 5 02 x 3
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Multiplicación por un EscalarSi A es una matriz cualquiera y k es un
número cualquiera, el producto kA el la
matriz obtenida de multiplicar cada elemento
de A por k:Es decir si A= [ aij ] kA= [kaij ]
A =
m x n
a11 a12 a1na13
a21 a22 a23 a2n
am1 am2 am3 amn
…
….
…
kA =
m x n
ka11 ka12 ka1nka13
ka21 ka22ka23 ka2n
kam1kam2 kam3kamn
…
….
…
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedades de la Adición de matrices y la
Multiplicación por un Escalar
Sean A, B y C matrices arbitrarias m x n, donde m y n son
fijos y k y p números reales cualesquiera, entonces:
1- A + B = B + A
2- A + (B + C) = (A + B) + C
3- Existe una matriz m x n, tal que 0 + A = A + 0 = A para cada A
4- Para cada A, existe una matriz m x n , -A, tal que A + (-A) = 0
5- k (A + B) = kA + kB
6- (k +p) A = kA + pA
7- (kp)A = k(pA)
8- 1A = A
Pero el [ aij + bij ], elemento ij de la suma es un número real;
Luego por la propiedad conmutativa de los números reales
aij + bij = bij +aij
Por lo que podemos escribir:
A + B = [ bij + aij]
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 1 A + B = B + A
Sean A = [aij] y B = [bij]
A + B = [ aij + bij ] * por definición
y B + A = [ bij + aij ] * por definición
Teniendo en cuenta las ultimas sentencias podemos
escribir A + B = B + A , como se quería probar.
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Utilizamos otro método:
A =
m x n
a11 a12 a1na13
a21 a22 a23 a2n
am1 am2 am3 amn
…
….
…
B =
m x n
b11 b1nb13
b21 b22 b23 b2n
bm1 bm2 bm3 bmn
…
….
…
,b12
C =
m x n
c11 c1nc13
c21 c22 c23 c2n
cm1 cm2 cm3 cmn
…
….
…
c12
y
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Trabajemos primero con el primer Término de la ecuación
A + ( B + C)
Realizamos primeramente la suma contenida dentro del
paréntesis.
( B + C) =
m x n
b11 b1nb13
b21 b22 b23 b2n
bm1 bm2 bm3 bmn
…
….
…
b12
+
m x n
c11 c1nc13
c21 c22 c23 c2n
cm1 cm2 cm3 cmn
…
….
…
c12
( B + C) =
m x n
b11 b1nb13
b21 b22 b23 b2n
bm1 bm2 bm3 bmn
…
….
…
b12
+
m x n
c11 c1nc13
c21 c22 c23 c2n
cm1 cm2 cm3 cmn
…
….
…
c12
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
( B + C) =
c11
m x n
b11 ….+ c12b12 + c13b13 + c1nb1n +
c21b21 ….+ c22b22 + c23b23 + c2nb2n +
cm1bm1 ….+ cm2bm2+ cm3bm3 + cmnbmn+
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Ahora realizamos la suma completa:
A + ( B + C)
A + ( B + C) =
m x n
a11 a12 a1na13
a21 a22 a23 a2n
am1 am2 am3 amn
…
….
…
+
c11
m x n
b11
….+ c12b12 + c13b13 + c1nb1n +
c21b21
….+ c22b22 + c23b23 + c2nb2n +
cm1bm1
….+ cm2bm2+ cm3bm3 + cmnbmn+
A + ( B + C) =
m x n
a11 + c11b11 + ….a13 + c13b13 +a12 + c12b12 + a1n + c1nb1n +
a21 + c21b21 + ….a23 + c23b23 +a22 + c22b22 + a2n + c2nb2n +
am1 + cm1bm1 + ….am3 + cm3bm3 +am2 + cm2bm2 + amn + cmnbmn +
….1
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Trabajemos ahora con el segundo Término de la ecuación
(A + B ) + C
Realizamos primeramente la suma contenida dentro del
paréntesis.
( A + B) =
m x n
a11 a1na13
a21 a22 a23 a2n
am1 am2 am3 amn
…
….
…
a12
+
m x n
b11 b1nb13
b21 b22 b23 b2n
bm1 bm2 bm3 bmn
…
….
…
b12
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
( A + B) =
b11
m x n
a11 ….+ b12a12 + b13a13 + b1na1n +
b21a21 ….+ b22a22 + b23a23 + b2na2n +
bm1am1 ….+ bm2am2+ bm3am3 + bmnamn+
( A + B) =
m x n
a11 a1na13
a21 a22 a23 a2n
am1 am2 am3 amn
…
….
…
a12
+
m x n
b11 b1nb13
b21 b22 b23 b2n
bm1 bm2 bm3 bmn
…
….
…
b12
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Ahora realizamos la suma completa:
(A + B) + C
(A + B) + C =
m x n
c11 c12 c1nc13
c21 c22 c23 c2n
cm1 cm2 cm3 cmn
…
….
…
+
b11
m x n
a11
….+ b12a12 + b13a13 + b1na1n +
b21a21
….+ b22a22 + b23a23 + b2na2n +
bm1am1
….+ bm2am2+ bm3am3 + bmnamn+
A + ( B + C) =
m x n
a11 + c11b11 + ….a13 + c13b13 +a12 + c12b12 + a1n + c1nb1n +
a21 + c21b21 + ….a23 + c23b23 +a22 + c22b22 + a2n + c2nb2n +
am1 + cm1bm1 + ….am3 + cm3bm3 +am2 + cm2bm2 + amn + cmnbmn +
….2
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Verificando las ecuaciones 1 y 2
Vemos que el desarrollo matricial es el mismo; por lo
tanto
A +( B + C) = (A + B) + C
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Matriz Transpuesta
SI A es una matriz m x n, la transpuesta de A, escrita AT,
es la matriz n x m cuyas filas corresponden a las
columnas de A
Si A = [aij] se define AT= [aji]
A =
2 x 3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
Si
AT= a11
a21
a12
a22
a13
a23
3 x 2
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Matriz Transpuesta
Propiedades de la Transposición
Sean A y B dos matrices de la misma dimensión y k un
escalar
1- Si A es cualquier matriz m x n, entonces AT es una
matriz n x m
2- (AT)T = A
3- (kA)T= k AT
4- ( A + B )T = BT +AT
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Matriz Simétrica
Se dice que una matriz es simétrica si A = AT
y A es necesariamente una matriz cuadrada.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a333 x 3
Sea:
A=
Hacemos A = AT
a11a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
Los elementos de la diagonal principal no varían.
Y los elementos simétricos en relación a la diagonal principal son iguales
a12 = a21
a13= a31
a23 = a32
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
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