quarto seminario: teoria de campos clássicos

Campos de calibre classicos: Maxwell

M.T. Thomazmariateresa.thomaz@gmail.com

Instituto de Fısica, UFF

Resumo:A partir do princıpio de mınima ac ao reobtemos as equac oes de movimento cl assicas reescritas atrav es das equac oesde Lagrange. Mostramos como estender esse princıpio para o bter as equac oes de movimento dos campos cl assicose o aplicamos ao caso dos campos eletromagn eticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desen volver,estudaremos a noc ao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de tra nsformac ao da Relatividade Restrita eescrever as equac oes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os camposeletrico e magn etico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a inv ari ancia de calibre e implementadanestes campos.

M.T. Thomaz (Instituto de Fısica, UFF) CAMPOS DE CALIBRE CLASSICOS 1 / 30

Apresentacao:

1. Princıpio de mınima acao

2. Revisao de topicos em Matematica

3. Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell

4. Espaco de Minkowski

5. Princıpio de Hamilton para campos classicos

6. Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell

Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell

Relembrando:

Espaco de Minkowski

Mecanica nao-relativıstica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz.O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais.

Relembrando:

Espaco de Minkowski

Mecanica relativıstica: v <∼ c.

Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.

Relembrando:

Espaco de Minkowski

Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.Evento fısico: caracterizado por ~x e t.

Relembrando:

Espaco de Minkowski

Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.Evento fısico: caracterizado por ~x e t.

A velocidade das ondas eletromagneticas (luz) no vacuo e c emtodos os referenciais ⇒ sistema relativıstico.

Transformacoes de Lorentz

y y’S

Figura 3.2

Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritasem dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longoda direcao x:

y y’S

Figura 3.2

= γ(x0 − βx1), x′1

= γ(−βx0 + x1), y′1

= y e z′1

sendo x′0

= ct′ e x0 = ct, e

y y’S

Figura 3.2

= γ(x0 − βx1), x′1

= γ(−βx0 + x1), y′1

= y e z′1

sendo x′0

= ct′ e x0 = ct, e

c⇒ 0 ≤ β ≤ 1

y y’S

Figura 3.2

= γ(x0 − βx1), x′1

= γ(−βx0 + x1), y′1

= y e z′1

sendo x′0

= ct′ e x0 = ct, e

c⇒ 0 ≤ β ≤ 1 e γ =

1 − β2

y y’S

Figura 3.2

= γ(x0 − βx1), x′1

= γ(−βx0 + x1), y′1

= y e z′1

sendo x′0

= ct′ e x0 = ct, e

c⇒ 0 ≤ β ≤ 1 e γ =

1 − β2⇒ 1 ≤ γ < ∞.

Produto escalar no espaco de Minkowski

. d=2 (1+1)i) Vetores contra-variantes:

xµ = (x0, x1) ≡ (x0, x);

ii) Vetores covariantes:

xµ = (x0, x1) ≡ (x0,−x),

sendo x0 = ct e x a coordenada x usual.

Produto escalar no espaco de Minkowski

. d=2 (1+1)i) Vetores contra-variantes:

xµ = (x0, x1) ≡ (x0, x);

ii) Vetores covariantes:

xµ = (x0, x1) ≡ (x0,−x),

sendo x0 = ct e x a coordenada x usual.

Produto escalar no espaco de Minkowski:

−x2 + c2t2 = x0x0 + x1x1

xµxµ ≡ xµxµ︸︷︷︸

soma implıcita

. d=4 (3+1)

.Quadri-vetor posicao:

Vetor contra-variante: xµ = (x0,~x);

Vetor covariante: xµ = (x0,−~x).

. d=4 (3+1)

Escalar de Lorentz:∑

µ=0xµxµ = xµxµ = −~x ·~x + c2t2.

. d=4 (3+1)

Escalar de Lorentz:∑

µ=0xµxµ = xµxµ = −~x ·~x + c2t2.

Como relacionar os vetores covariantes econtra-variantes?

xµ = gµνxν sendo gµν = gµν =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

Exercıcio: usando a matriz do tensor metrico gµν , mostre que:

gµν = gνµ e gµα gαβ = δ βµ ,

δ βµ =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

e a matriz identidade de dimensao 4 × 4.

A relacao entre tensores covariantes e contra-variantes dequalquer ordem:

i. 4-vetor:

Bµ = gµνBν ,

i. 4-vetor:

Bµ = gµνBν ,

ii. tensor de ordem 2:

Bµ1µ2 = gµ1ν1gµ2ν2Bν1ν2,

i. 4-vetor:

Bµ = gµνBν ,

ii. tensor de ordem 2:

Bµ1µ2 = gµ1ν1gµ2ν2Bν1ν2,

iii. tensor de ordem n:

Bµ1µ2...µn = gµ1ν1gµ2ν2 . . . gµnνnBν1ν2...νn .

Exemplos de 4-vetores de Lorentz:

i. 4-potencial vetor: Aµ(~x, t) = (A0(~x, t), ~A(~x, t)),

onde A0(~x, t) e o potencial escalar e ~A(~x, t) o potencial vetor associadosaos campos eletromagneticos.

ii. 4-densidade de corrente: jµ(~x, t) = (cρ(~x, t),~(~x, t)),onde ρ(~x, t) e a densidade de carga eletrica e ~(~x, t) e a densidade decorrente eletrica.

As transformacoes de calibre:

(~x, t) = A0(~x, t)− 1

c∂G(~x,t)

e~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t),

podem ser escritas na forma covariante:

As transformacoes de calibre:

(~x, t) = A0(~x, t)− 1

c∂G(~x,t)

e~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t),

podem ser escritas na forma covariante:

A′µ = Aµ − ∂µG(~x, t).

Lagrangeana de campos cl assicos

Acao associada a uma partıcula:

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

dt L(x(t), x(t); t),

onde x e variavel e t e parametro.

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

A acao associada a um campo Φ(~x, t):

S[Φ; t0, tf ] =

∫ tf

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t),

onde ~x e t sao parametros e Φ e variavel.

S[x(t); t0, tf ] =

∫ tf

A acao associada a um campo Φ(~x, t):

S[Φ; t0, tf ] =

∫ tf

d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t),

onde ~x e t sao parametros e Φ e variavel.

A acao S e a densidade de lagrangeana L de um sistemarelativıstico e um escalar de Lorentz.

Equacao para campos classicos

Partıcula: Campo:∂L

∂x−→

∂Φ(~x, t)

∂x−→

( ∂L

∂(∂Φ∂t

( ∂L

∂(∂Φ∂xi

= ∂µ

∂(∂µΦ)

onde: ∂µ = ( 1

c∂∂t ,

~∇).

Equacao para campos classicos

Partıcula: Campo:∂L

∂x−→

∂Φ(~x, t)

∂x−→

( ∂L

∂(∂Φ∂t

( ∂L

∂(∂Φ∂xi

= ∂µ

∂(∂µΦ)

onde: ∂µ = ( 1

c∂∂t ,

~∇).

Equacao de Euler-Lagrange:

∂Φ− ∂µ

∂(∂µΦ)

Campos eletromagneticos classicos: campos deMaxwell

A partir de qual densidade de lagrangeana obtemos todas as equacoesde Maxwell?

Definimos o tensor Fµν :

Fµν(~x, t) = ∂µAν(~x, t)− ∂νAµ(~x, t), µ, ν = 0, 1, 2, 3,

= −Fνµ(~x, t),

onde ∂µ = ( 1

c∂∂t ,

~∇) e Aµ(~x, t) = (A0(~x, t),−~A(~x, t)).

Definimos o tensor Fµν :

Fµν(~x, t) = ∂µAν(~x, t)− ∂νAµ(~x, t), µ, ν = 0, 1, 2, 3,

= −Fνµ(~x, t),

onde ∂µ = ( 1

c∂∂t ,

~∇) e Aµ(~x, t) = (A0(~x, t),−~A(~x, t)).

Quais sao as componentes do tensor Fµν? Sera que elas podem

ser escritas em termos dos campos eletromagneticos?

Relembrando os campos fısicos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) em termos dospotenciais escalar (A0(~x, t)) e vetor (~A(~x, t)):

~E(~x, t) =[−~∇A0(~x, t)−

∂~A(~x, t)

]e ~B(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t).

~E(~x, t) =[−~∇A0(~x, t)−

∂~A(~x, t)

]e ~B(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t).

Componentes do tensor Fµν :1)

F0i = −1

∂t−

∂xi=

[−~∇A0(~x, t)−

∂~A(~x, t)

~E(~x, t) =[−~∇A0(~x, t)−

∂~A(~x, t)

]e ~B(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t).

F0i = −1

∂t−

∂xi=

[−~∇A0(~x, t)−

∂~A(~x, t)

= Ei(~x, t)

~E(~x, t) =[−~∇A0(~x, t)−

∂~A(~x, t)

]e ~B(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t).

F0i = −1

∂t−

∂xi=

[−~∇A0(~x, t)−

∂~A(~x, t)

= Ei(~x, t)

Fij =∂Ai(~x, t)

∂xj−

∂Aj(~x, t)

~E(~x, t) =[−~∇A0(~x, t)−

∂~A(~x, t)

]e ~B(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t).

F0i = −1

∂t−

∂xi=

[−~∇A0(~x, t)−

∂~A(~x, t)

= Ei(~x, t)

Fij =∂Ai(~x, t)

∂xj−

∂Aj(~x, t)

∂xi=

~∇× ~A(~x, t))

~E(~x, t) =[−~∇A0(~x, t)−

∂~A(~x, t)

]e ~B(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t).

F0i = −1

∂t−

∂xi=

[−~∇A0(~x, t)−

∂~A(~x, t)

= Ei(~x, t)

Fij =∂Ai(~x, t)

∂xj−

∂Aj(~x, t)

∂xi=

~∇× ~A(~x, t))

Escrevendo explicitamente as componentes de Fij:

F12 = −Bz(~x, t), F13 = By(~x, t), F23 = −Bx(~x, t).

A matriz do tensor Fµν :

Fµν =

0 Ex Ey Ez

−Ex 0 −Bz By

−Ey Bz 0 −Bx

−Ez −By Bx 0

Fµν =

0 Ex Ey Ez

−Ex 0 −Bz By

−Ey Bz 0 −Bx

−Ez −By Bx 0

As componentes do tensor Fµν sao os campos fısicos

~E(~x, t) e ~B(~x, t)

Fµν =

0 Ex Ey Ez

−Ex 0 −Bz By

−Ey Bz 0 −Bx

−Ez −By Bx 0

As componentes do tensor Fµν sao os campos fısicos

~E(~x, t) e ~B(~x, t)

⇒ O tensor Fµν e invariante sob as transformacoesde calibre.

Tentativa:densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos:

L(Aµ, ∂νAµ)?= −

16πFµνFµν −

cjµAµ

=| ~E |2 − | ~B |2

π− ρA0 +

~ · ~A

16πFµνFµν −

cjµAµ

=| ~E |2 − | ~B |2

π− ρA0 +

~ · ~A

Observe: a densidade de lagrangeana depende dos 4-potenciaisAµ(~x, t).

16πFµνFµν −

cjµAµ

=| ~E |2 − | ~B |2

π− ρA0 +

~ · ~A

Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos:∂L

∂Aα− ∂τ

∂(∂τAα)

= 0, α = 0, 1, 2, 3.

16πFµνFµν −

cjµAµ

=| ~E |2 − | ~B |2

π− ρA0 +

~ · ~A

∂Aα− ∂τ

∂(∂τAα)

= 0, α = 0, 1, 2, 3.

Usando a metrica gµν temos:

jµAµ = gµαjα gµβAβ = gµα gµβ︸︷︷︸

jαAβ

16πFµνFµν −

cjµAµ

=| ~E |2 − | ~B |2

π− ρA0 +

~ · ~A

∂Aα− ∂τ

∂(∂τAα)

= 0, α = 0, 1, 2, 3.

Usando a metrica gµν temos:

jµAµ = gµαjα gµβAβ = gµα gµβ︸︷︷︸

jαAβ ⇒ jµAµ = jαAα.

A troca de posicao dos ındices que estao contraıdos nao alterao resultado.

∂Aα− ∂τ

∂(∂τAα)

= 0, α = 0, 1, 2, 3.

∂Aα− ∂τ

∂(∂τAα)

= 0, α = 0, 1, 2, 3.

O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange:∂L

∂Aα=

∂Aα

16πFµνFµν −

cjµAµ

∂Aα− ∂τ

∂(∂τAα)

= 0, α = 0, 1, 2, 3.

∂Aα=

∂Aα

16πFµνFµν −

cjµAµ

= −1

[∂Fµν

∂AαFµν + Fµν

∂Fµν

∂Aα

[jµAµ

∂Aα− ∂τ

∂(∂τAα)

= 0, α = 0, 1, 2, 3.

∂Aα=

∂Aα

16πFµνFµν −

cjµAµ

= −1

[∂Fµν

∂AαFµν + Fµν

∂Fµν

∂Aα

[jµAµ

Como: Fµν = ∂µAν − ∂νAµ

∂Aα− ∂τ

∂(∂τAα)

= 0, α = 0, 1, 2, 3.

∂Aα=

∂Aα

16πFµνFµν −

cjµAµ

= −1

[∂Fµν

∂AαFµν + Fµν

∂Fµν

∂Aα

[jµAµ

Como: Fµν = ∂µAν − ∂νAµ ⇒∂Fµν

∂Aα= ∂Fµν

∂Aα= 0.

∂Aα− ∂τ

∂(∂τAα)

= 0, α = 0, 1, 2, 3.

∂Aα=

∂Aα

16πFµνFµν −

cjµAµ

= −1

[∂Fµν

∂AαFµν + Fµν

∂Fµν

∂Aα

[jµAµ

∂Aα= ∂Fµν

∂Aα= 0.

Alem disso:

∂Aα

[jµAµ

]= −

cjµ∂Aµ

∂Aα= −

cjµδµ α = −

∂Aα− ∂τ

∂(∂τAα)

= 0, α = 0, 1, 2, 3.

∂Aα=

∂Aα

16πFµνFµν −

cjµAµ

= −1

[∂Fµν

∂AαFµν + Fµν

∂Fµν

∂Aα

[jµAµ

∂Aα= ∂Fµν

∂Aα= 0.

Alem disso:

∂Aα

[jµAµ

]= −

cjµ∂Aµ

∂Aα= −

cjµδµ α = −

Portanto:∂L

∂Aα= −

Exercıcio: Mostrar:

∂(∂τAα)=

4πFατ α, τ = 0, 1, 2, 3.

∂(∂τAα)=

4πFατ α, τ = 0, 1, 2, 3.

As equacoes de Euler-Lagrange nos dao as equacoes de movimentopara os campos eletromagneticos:

∂τFτα =4π

cjα, α = 0, 1, 2, 3.

∂(∂τAα)=

4πFατ α, τ = 0, 1, 2, 3.

∂τFτα =4π

cjα, α = 0, 1, 2, 3.

Assim:

Equacoes de Maxwell ⇒ 8 equacoes

Equacoes de Euler-Lagrange ⇒ 4 equacoes

∂(∂τAα)=

4πFατ α, τ = 0, 1, 2, 3.

∂τFτα =4π

cjα, α = 0, 1, 2, 3.

Assim:

Equacoes de Maxwell ⇒ 8 equacoes

Equacoes de Euler-Lagrange ⇒ 4 equacoes

Quais as equacoes de Maxwell estao representadasnas equacoes de Euler-Lagrange?

As componentes das equacoes de Euler-Lagrange:

i. α = 0: ∂jFj0(~x, t) = 4πρ(~x, t) ⇒ ~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t).

ii. α = 1

∂F01

∂F21

∂F31

cjx ⇒

∂Ex(~x, t)

∂Bz(~x, t)

∂y−

∂By(~x, t)

cjx(~x, t) ⇒

⇒ (~∇× ~B(~x, t))x =4π

cjx(~x, t) +

∂Ex(~x, t)

ii. α = 1

∂F01

∂F21

∂F31

cjx ⇒

∂Ex(~x, t)

∂Bz(~x, t)

∂y−

∂By(~x, t)

cjx(~x, t) ⇒

⇒ (~∇× ~B(~x, t))x =4π

cjx(~x, t) +

∂Ex(~x, t)

iii. α = 2 (~∇× ~B(~x, t))y = 4πc jy(~x, t) + 1

c∂Ey(~x,t)

∂t .

ii. α = 1

∂F01

∂F21

∂F31

cjx ⇒

∂Ex(~x, t)

∂Bz(~x, t)

∂y−

∂By(~x, t)

cjx(~x, t) ⇒

⇒ (~∇× ~B(~x, t))x =4π

cjx(~x, t) +

∂Ex(~x, t)

iii. α = 2 (~∇× ~B(~x, t))y = 4πc jy(~x, t) + 1

c∂Ey(~x,t)

∂t .

iv. α = 3 (~∇× ~B(~x, t))z =4πc jz(~x, t) + 1

c∂Ez(~x,t)

∂t .

ii. α = 1

∂F01

∂F21

∂F31

cjx ⇒

∂Ex(~x, t)

∂Bz(~x, t)

∂y−

∂By(~x, t)

cjx(~x, t) ⇒

⇒ (~∇× ~B(~x, t))x =4π

cjx(~x, t) +

∂Ex(~x, t)

iii. α = 2 (~∇× ~B(~x, t))y = 4πc jy(~x, t) + 1

c∂Ey(~x,t)

∂t .

iv. α = 3 (~∇× ~B(~x, t))z =4πc jz(~x, t) + 1

c∂Ez(~x,t)

∂t .

As equacoes de Euler-Lagrange reproduzem as equacoes inomogeneasde Maxwell.

Como obter as equacoes de Maxwell homogeneas,