tema 2. el model de regressió simple joan llullpareto.uab.cat/jllull/econometria/tema_2.pdf ·...
Post on 26-Feb-2020
3 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Tema 2. El model de regressió simple
Joan Llull
Materials: http://pareto.uab.cat/jllull
Tutories: dijous de 11:00 a 13:00h(concertar cita per email)�Despatx B3-1132�
joan.llull [at] movebarcelona [dot] eu
Continguts
Tema 2. El model de regressió simple
1 El model.
2 L'estimador mínim quadrat ordinari (MQO).
3 Bondat de l'ajust.
4 Distribució de l'estimador MQO.
5 Experiments de Monte Carlo.
6 Aplicacions.
Tema 2. El model de regressió simple 2
Continguts
Tema 2. El model de regressió simple
1 El model.
2 L'estimador mínim quadrat ordinari (MQO).
3 Bondat de l'ajust.
4 Distribució de l'estimador MQO.
5 Experiments de Monte Carlo.
6 Aplicacions.
Tema 2. El model de regressió simple 3
El model de regressió simple
Recordeu que el model de regressió simple tenia la següentestructura:
yi = β0 + β1xi + ui ui ∼ i.i.N (0, σ2).
Si tenim una mostra de N individus, tindrem les següents obser-vacions:
y1 = β0 + β1x1 + u1 u1 ∼ N (0, σ2),
y2 = β0 + β1x2 + u2 u2 ∼ N (0, σ2),
...
yN = β0 + β1xN + uN uN ∼ N (0, σ2).
Això ho podem transformar a notació matricial (pissarra).
Tema 2. El model de regressió simple 4
Model de regressió simple: notació matricial
Elmodel en notació matricial quedaria expressat de la següentmanera:
y = Xβ + u U ∼ N (0, σ2IN ),
on:
y =
y1
y2...yN
X =
1 x1
1 x2...
...1 xN
β =
[β0
β1
]u =
u1
u2...uN
.
Tema 2. El model de regressió simple 5
Supòsits
Els supòsits que farem sobre u1, u2, ..., uN (coneguts com a supòsits�clàssics� del model de regressió amb x �xes) són:
1. Totes les pertorbacions tenen esperança igual a zero:
E[ui] = 0 ∀i.
2. Totes les pertorbacions tenen la mateixa variança (homosquedas-
ticitat):Var(ui) = σ2 ∀i.
3. Les pertorbacions no estan correlacionades entre elles:
Cov(ui, uj) = 0 ∀i 6= j.
4. Totes les pertorbacions segueixen una distribució normal:
ui ∼ N ( ).
Tema 2. El model de regressió simple 6
Tots els supòsits es compleixen
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Model que cumpleix tots els supòsits
Tema 2. El model de regressió simple 7
Desviacions (I): E[ui] 6= 0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Violació del Supòsit 1
Tema 2. El model de regressió simple 8
Desviacions (II): Var(ui) = σ2i 6= σ2
j = Var(uj)
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Violació del Supòsit 2
Tema 2. El model de regressió simple 9
Desviacions (III): Cov(ui, uj) 6= 0
0
5
10
15
20
25
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Violació del Supòsit 3
Tema 2. El model de regressió simple 10
Desviacions (IV): ui � N ( )
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Violació del Supòsit 4
Tema 2. El model de regressió simple 11
Implicacions sobre yi dels supòsits sobre ui
1. E[ui] = 0 ∀i → E[yi] =
2. Var(ui) = σ2 ∀i → Var(yi) =
3. Cov(ui, uj) = 0 ∀i 6= j → Cov(yi, yj) =
4. ui ∼ N (0, σ2) ∀i → yi ∼
Tema 2. El model de regressió simple 12
Continguts
Tema 2. El model de regressió simple
1 El model.
2 L'estimador mínim quadrat ordinari (MQO).
3 Bondat de l'ajust.
4 Distribució de l'estimador MQO.
5 Experiments de Monte Carlo.
6 Aplicacions.
Tema 2. El model de regressió simple 13
Objectiu del procés d'estimació
Quin procés pot haver generat les nostres dades?
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Les nostres dades
No coneixem la recta de regressió poblacional!
Objectiu: aproximar β0 i β1 a partir de les nostres dades. És adir, �estimar� β0 i β1 (recta de regressió mostral).
Tema 2. El model de regressió simple 14
Escollir la recta de regressió mostral
Com escollirem la recta de regressió mostral? Quina recta ésel més probable mecanisme generador de les dades?
El més probable és que la nostra mostra contengui moltes obser-vacions a prop de la RRP i poques enfora.
Cal triar aquella recta que �millor s'ajusti� a la mostra!
Solució: triar aquella recta que generi els residus més petits.
Tema 2. El model de regressió simple 15
Dos exemples del que no volem
��
��
��
��
��
�
�
Y
� ���� �� �� �� �� �� � � ���
X
��
��
��
��
��
�
�Y
� ���� �� �� �� �� �� � � ���
X
Tema 2. El model de regressió simple 16
Els residus més petits (I)
Un podria pensar que la manera fer els residus el més petits pos-sibles seria minimitzar la suma dels residus:
minβ0,β1
N∑i=1
ui.
Problema: els valors positius i negatius es compensen!y
x
y
x
-1
1
Tema 2. El model de regressió simple 17
Els residus més petits (II)
Una solució al problema anterior podria ser minimitzar la sumadels valors absoluts dels residus:
minβ0,β1
N∑i=1
|ui|.
Problema: aquest mètode no penalitza que les observacions es-tan molt allunyades!
y
x
y
x
-1
1
-2
Tema 2. El model de regressió simple 18
Els residus més petits (III)
La millor alternativa serà, per tant, minimitzar la suma dels
quadrats dels errors:
minβ0,β1
N∑i=1
u2i .
Aquest és l'estimador de mínims quadrats ordinaris (MQO).
L'estimador MQO:
No compensa els valors positius amb negatius.
Penalitza les (menys probables) observacions allunyades.
Tema 2. El model de regressió simple 19
L'estimador MQO
minβ0,β1
N∑i=1
u2i ⇔ min
βu′u ⇔ min
β(y −Xβ)′(y −Xβ).
(pissarra)
β = (X ′X)−1X ′Y.
(pissarra)
β1 =
∑Ni=1(yi − y)(xi − x)∑N
i=1(xi − x)2; β0 = y − β1x.
Tema 2. El model de regressió simple 20
La recta de regressió ajustada
La recta de regressió ajustada ve donada per: yi = β0 + β1xi,on yi és el valor ajustat:
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Dues rectes de regressió ajustada per a dues mostres
El residu és l'estimació de la pertorbació: ui = yi − yi
.Tema 2. El model de regressió simple 21
La recta de regressió ajustada
La recta de regressió ajustada ve donada per: yi = β0 + β1xi,on yi és el valor ajustat:
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Dues rectes de regressió ajustada per a dues mostres
El residu és l'estimació de la pertorbació: ui = yi − yi
.Tema 2. El model de regressió simple 21
La recta de regressió ajustada
La recta de regressió ajustada ve donada per: yi = β0 + β1xi,on yi és el valor ajustat:
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Y
X
Dues rectes de regressió ajustada per a dues mostres
El residu és l'estimació de la pertorbació: ui = yi − yi
.Tema 2. El model de regressió simple 21
La recta de regressió ajustada
La recta de regressió ajustada ve donada per: yi = β0 + β1xi,on yi és el valor ajustat:
�
��
��
��
��
��
��
��
� �� �� �� �� �� �� �� � � ���
Y
X
Dues rectes de regressió ajustada per a dues mostres
û = y - - xβ β^ ^
i i i� �
u = y - - xβ βi i i� �
Y
El residu és l'estimació de la pertorbació: ui = yi − yi.Tema 2. El model de regressió simple 21
Propietats numèriques de l'estimador MQO
Hi ha dues propietats numèriques de l'estimador MQO quesón força interessants:
N∑i=1
ui = 0.
N∑i=1
xiui = 0.
(demostracions a la pissarra)
Tema 2. El model de regressió simple 22
Continguts
Tema 2. El model de regressió simple
1 El model.
2 L'estimador mínim quadrat ordinari (MQO).
3 Bondat de l'ajust.
4 Distribució de l'estimador MQO.
5 Experiments de Monte Carlo.
6 Aplicacions.
Tema 2. El model de regressió simple 23
Què és la �Bondat de l'ajust�?
Una vegada tenim un estimador (MQO) pels nostres paràmetresens podem demanar:
És el nostre model una bona representació de les dades?
Quina part de y ve explicada pel model i quina part perla pertorbació?
Ens hem deixat moltes variables importants senseincloure?
La bondat de l'ajust és la resposta a aquestes preguntes: ensindica si el model és una bona aproximació de les nostres dades.
Tema 2. El model de regressió simple 24
Bondat de l'ajust vista grà�cament
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 20 40 60 80 100
Y
X
"Bon" ajust
y = 9.82 + 0.28x
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 20 40 60 80 100
Y
X
"Mal" ajust
y = 9.82 + 0.28x
Tema 2. El model de regressió simple 25
Sumes de quadrats
Per poder establir una mesura de bondat de l'ajust hem de de�nirprimer els següents conceptes:
Suma dels quadrats totals:
SQT = (y − yι)′(y − yι) =
N∑i=1
(yi − y)2 = NVar(yi).
Suma dels quadrats explicada:
SQE = (y − yι)′(y − yι) =
N∑i=1
(yi − y)2 = NVar(yi).
Suma dels quadrats dels residus:
SQR = u′u =
N∑i=1
u2i = NVar(ui).
Es pot demostrar que SQT = SQE + SQR. (pissarra)
Tema 2. El model de regressió simple 26
El coe�cient de determinació (R2)
La nostra mesura ens ha de dir quina proporció de la variació
de y està explicada pel nostre model de regressió.
Aquesta és, de fet, la de�nició del coe�cient de determinació:
R2 =SQE
SQT=SQT − SQR
SQT= 1− SQR
SQT.
Noteu que aquesta mesura estarà sempre entre 0 i 1. Quan mésproper a 1, millor serà l'ajust.
Tema 2. El model de regressió simple 27
El coe�cient de determinació grà�cament
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 20 40 60 80 100
Y
X
"Bon" ajust
y = 9.82 + 0.28x
R² = 0.91
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 20 40 60 80 100
Y
X
"Mal" ajust
y = 9.82 + 0.28x
R² = 0.48
Tema 2. El model de regressió simple 28
Continguts
Tema 2. El model de regressió simple
1 El model.
2 L'estimador mínim quadrat ordinari (MQO).
3 Bondat de l'ajust.
4 Distribució de l'estimador MQO.
5 Experiments de Monte Carlo.
6 Aplicacions.
Tema 2. El model de regressió simple 29
L'estimador MQO com a variable aleatòria
Fins i tot amb x �xes, l'estimador és una variable aleatòria: Yés una variable aleatòria (perquè u és una v.a.).
Obtindrem un estimador diferent per cada mostra diferent.
Funció de densitat mostral: distribució de l'estimador enmostres repetides de la mateixa mida i amb les mateixes x (x �xes).
Tema 2. El model de regressió simple 30
L'esperança i la variança de l'estimador
Partirem de la següent transformació de l'estimador:
β = (X ′X)−1X ′y = β + (X ′X)−1X ′u.
(demostració pissarra)
A partir d'aquí és fàcil demostrar que: (pissarra)
E[β] = E[β0β1
]= β.
Var(β) =
[Var(β0) Cov(β0, β1)
Cov(β0, β1) Var(β1)
]= σ2(X ′X)−1.
Exercici: trobar les expressions per Var(β0), Var(β1) i Cov(β0, β1).
Tema 2. El model de regressió simple 31
Distribució de l'estimador
Recordeu la propietat de la distribució normal que diu que siZ ∼ N (µ,Σ), aleshores W = AZ + b ∼ N (Aµ+ b, AΣA′).
Per tant, ja sabem quina serà la distribució de β:
β ∼ N(β, σ2(X ′X)−1
).
Grà�cament, per cada paràmetre (p.ex. β1):Var( ) petitaβ
2ˆ
Var( ) granβ2
ˆ
β2
Tema 2. El model de regressió simple 32
Estimador no esbiaixat i e�cient
Com hem demostrat, l'estimador MQO sempre satisfà E[β] = β.Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és unestimador no esbiaixat.
Es pot demostrar també que l'estimador MQO és el que té menysvariança d'entre tots aquells estimadors lineals1 no esbiaixats(Teorema Gauss-Markov).
Quan un estimador compleix aquesta propietat es diu que és unestimador e�cient.
1 Es diu que un estimador és un estimador lineal quan es pot escriure
com una combinació lineal de les pertorbacions, és a dir, que té aquesta
forma: Au+ bTema 2. El model de regressió simple 33
Estimació de la variança de l'estimador
La variança de l'estimador β no és coneguda. Per estimar-lanecessitarem un estimador de σ2.
Recordem que, per a tot i:
Var(ui) = σ2 = E[(ui − E[ui])2] = E[u2
i ].
Per tant, un estimador ideal seria σ2 =∑N
i=1 u2i
N.
No coneixem u, però podríem utilitzar u. No obstant això,
σ2 =∑N
i=1 u2i
N és un estimador esbiaixat de σ2: E[σ2] 6= σ2.
L'estimador alternatiu no esbiaixat és:
σ2 =
∑Ni=1 u
2i
N − 2=
u′u
N − 2=
SQR
N − 2.
Tema 2. El model de regressió simple 34
Continguts
Tema 2. El model de regressió simple
1 El model.
2 L'estimador mínim quadrat ordinari (MQO).
3 Bondat de l'ajust.
4 Distribució de l'estimador MQO.
5 Experiments de Monte Carlo.
6 Aplicacions.
Tema 2. El model de regressió simple 35
Motivació
En l'apartat anterior hem vist que β ∼ N(β, σ2(X ′X)−1
).
Aquest resultat es basa en una derivació �teòrica� , a partir decertes propietats estadístiques i matemàtiques.
Com a alternativa, aproximarem la distribució de l'estimador apartir de la simulació (experiments de Monte Carlo).
Tema 2. El model de regressió simple 36
Objectiu
La simulació serveix per entendre quin paper juga cada elementdel model (Tema 1).
En l'econometria, els experiments de Monte Carlo són una einaútil perquè a vegades no podem derivar la distribució d'un
estimador de forma �teòrica�.
Idea bàsica: si els vertaders paràmetres són β = b i σ2 = s, itenim mostres de N = n observacions, quina seria la distribucióde probabilitat del nostre estimador MQO.
Tema 2. El model de regressió simple 37
Experiments de Monte Carlo amb x �xes
1. Triar els paràmetres del model:
Escollir els valors de tots els paràmetres del model: β i σ2.
Triar la mida mostral N .
Generar una mostra de x de mida N (x �xes!).
2. Obtenir M estimadors β i σ2:
Generar una mostra de y de mida N (utilitzant β i σ2).
Estimar β i σ2 per MQO amb la mostra generada.
Guardar els resultats.
Repetir el procés M vegades (bucle).
3. Presentar els resultats (histograma).
Tema 2. El model de regressió simple 38
Experiments de Monte Carlo amb Gretl (I)
Tema 2. El model de regressió simple 39
Experiments de Monte Carlo amb Gretl (II)
Tema 2. El model de regressió simple 40
Experiments de Monte Carlo amb Gretl (III)
Tema 2. El model de regressió simple 41
Experiments de Monte Carlo amb Gretl (III)
Tema 2. El model de regressió simple 41
Continguts
Tema 2. El model de regressió simple
1 El model.
2 L'estimador mínim quadrat ordinari (MQO).
3 Bondat de l'ajust.
4 Distribució de l'estimador MQO.
5 Experiments de Monte Carlo.
6 Aplicacions.
Tema 2. El model de regressió simple 42
Els nostres tres exemples (del Tema 1)
Demanda de llet: Qi = β0 + β1Pi + ui
1,000
1,100
1,200
1,300
1,400
1,500
1,600
1,700
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50
Vendes, nombre d'ampolles (Q)
Preu unitari, en euros (P)
Preu unitari i ampolles de llet venudes
Tema 2. El model de regressió simple 43
Els nostres tres exemples (del Tema 1)
Demanda de llet: Qi = β0 +β1Pi +ui Cobb-Douglas: lnYi = β0 +β1 lnKi +ui
1,000
1,100
1,200
1,300
1,400
1,500
1,600
1,700
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50
Vendes, nombre d'ampolles (Q)
Preu unitari, en euros (P)
Preu unitari i ampolles de llet venudes
5
6
7
8
9
10
11
12
0.0000 2.0000 4.0000 6.0000 8.0000 10.0000 12.0000 14.0000 16.0000
Logaritme del PIB per càpita (ln y)
Logaritme del Capital per càpita (ln k)
PIB per càpita i capital per càpita (en logaritmes)
Tema 2. El model de regressió simple 43
Els nostres tres exemples (del Tema 1)Demanda de llet: Qi = β0 +β1Pi +ui Cobb-Douglas: lnYi = β0 +β1 lnKi +ui
1,000
1,100
1,200
1,300
1,400
1,500
1,600
1,700
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50
Vendes, nombre d'ampolles (Q)
Preu unitari, en euros (P)
Preu unitari i ampolles de llet venudes
5
6
7
8
9
10
11
12
0.0000 2.0000 4.0000 6.0000 8.0000 10.0000 12.0000 14.0000 16.0000
Logaritme del PIB per càpita (ln y)
Logaritme del Capital per càpita (ln k)
PIB per càpita i capital per càpita (en logaritmes)
Salaris i educació: lnWi = β0 + β1Ei + ui
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
0 5 10 15 20
Logaritme de salaris mensuals (ln W)
Anys d'educació (E)
Salaris bruts mensuals (en logaritmes) per anys d'educació
Tema 2. El model de regressió simple 43
Exemple I: Demanda de llet Qi = β0 + β1Pi+ uiLa nostra base de dades és la següent:
Tema 2. El model de regressió simple 44
Regressió (manualment)�coe�cients
X =
1 0.31 0.31 0.351 0.35...
...
y =
1555156016551548...
X ′X =[
1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + . . . 1 · 0.3 + 1 · 0.3 + 1 · 0.35 + . . .
0.3 · 1 + 0.3 · 1 + 0.35 · 1 + . . . 0.3 · 0.3 + 0.3 · 0.3 + 0.35 · 0.35 + . . .
]=[
50 67.4567.45 111.28
](X ′X)−1 = 1
50·111.28−67.452
[111.28 −67.45−67.45 50
]=
[0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]
X ′y =
[1 · 1555 + 1 · 1560 + 1 · 1655 + . . .
0.3 · 1555 + 0.3 · 1560 + 0.35 · 1655 + . . .
]=
[66568
85797.43
]
β =
[β0
β1
]=[
0.1097 · 66568− 0.0665 · 85797.43−0.0665 · 66568 + 0.0493 · 85797.43
]=[
1597.55−197.32
]
Tema 2. El model de regressió simple 45
Regressió (manualment)�coe�cients
X =
1 0.31 0.31 0.351 0.35...
...
y =
1555156016551548...
X ′X =
[1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + . . . 1 · 0.3 + 1 · 0.3 + 1 · 0.35 + . . .
0.3 · 1 + 0.3 · 1 + 0.35 · 1 + . . . 0.3 · 0.3 + 0.3 · 0.3 + 0.35 · 0.35 + . . .
]=[
50 67.4567.45 111.28
]
(X ′X)−1 = 150·111.28−67.452
[111.28 −67.45−67.45 50
]=
[0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]
X ′y =
[1 · 1555 + 1 · 1560 + 1 · 1655 + . . .
0.3 · 1555 + 0.3 · 1560 + 0.35 · 1655 + . . .
]=
[66568
85797.43
]
β =
[β0
β1
]=[
0.1097 · 66568− 0.0665 · 85797.43−0.0665 · 66568 + 0.0493 · 85797.43
]=[
1597.55−197.32
]
Tema 2. El model de regressió simple 45
Regressió (manualment)�coe�cients
X =
1 0.31 0.31 0.351 0.35...
...
y =
1555156016551548...
X ′X =
[1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + . . . 1 · 0.3 + 1 · 0.3 + 1 · 0.35 + . . .
0.3 · 1 + 0.3 · 1 + 0.35 · 1 + . . . 0.3 · 0.3 + 0.3 · 0.3 + 0.35 · 0.35 + . . .
]
=[
50 67.4567.45 111.28
](X ′X)−1 = 1
50·111.28−67.452
[111.28 −67.45−67.45 50
]=
[0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]
X ′y =
[1 · 1555 + 1 · 1560 + 1 · 1655 + . . .
0.3 · 1555 + 0.3 · 1560 + 0.35 · 1655 + . . .
]=
[66568
85797.43
]
β =
[β0
β1
]=[
0.1097 · 66568− 0.0665 · 85797.43−0.0665 · 66568 + 0.0493 · 85797.43
]=[
1597.55−197.32
]
Tema 2. El model de regressió simple 45
Regressió (manualment)�coe�cients
X =
1 0.31 0.31 0.351 0.35...
...
y =
1555156016551548...
X ′X =[
1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + . . . 1 · 0.3 + 1 · 0.3 + 1 · 0.35 + . . .
0.3 · 1 + 0.3 · 1 + 0.35 · 1 + . . . 0.3 · 0.3 + 0.3 · 0.3 + 0.35 · 0.35 + . . .
]=[
50 67.4567.45 111.28
](X ′X)−1 = 1
50·111.28−67.452
[111.28 −67.45−67.45 50
]=
[0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]
X ′y =
[1 · 1555 + 1 · 1560 + 1 · 1655 + . . .
0.3 · 1555 + 0.3 · 1560 + 0.35 · 1655 + . . .
]=
[66568
85797.43
]
β =
[β0
β1
]=[
0.1097 · 66568− 0.0665 · 85797.43−0.0665 · 66568 + 0.0493 · 85797.43
]=[
1597.55−197.32
]
Tema 2. El model de regressió simple 45
Regressió (manualment)�coe�cients
X =
1 0.31 0.31 0.351 0.35...
...
y =
1555156016551548...
X ′X =
[1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + . . . 1 · 0.3 + 1 · 0.3 + 1 · 0.35 + . . .
0.3 · 1 + 0.3 · 1 + 0.35 · 1 + . . . 0.3 · 0.3 + 0.3 · 0.3 + 0.35 · 0.35 + . . .
]=[
50 67.4567.45 111.28
]
(X ′X)−1 =
150·111.28−67.452
[111.28 −67.45−67.45 50
]
=
[0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]
X ′y =
[1 · 1555 + 1 · 1560 + 1 · 1655 + . . .
0.3 · 1555 + 0.3 · 1560 + 0.35 · 1655 + . . .
]
=
[66568
85797.43
]
β =
[β0
β1
]=[
0.1097 · 66568− 0.0665 · 85797.43−0.0665 · 66568 + 0.0493 · 85797.43
]=[
1597.55−197.32
]Tema 2. El model de regressió simple 45
Regressió (manualment)�coe�cients
X =
1 0.31 0.31 0.351 0.35...
...
y =
1555156016551548...
X ′X =
[1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + . . . 1 · 0.3 + 1 · 0.3 + 1 · 0.35 + . . .
0.3 · 1 + 0.3 · 1 + 0.35 · 1 + . . . 0.3 · 0.3 + 0.3 · 0.3 + 0.35 · 0.35 + . . .
]=[
50 67.4567.45 111.28
](X ′X)−1 = 1
50·111.28−67.452
[111.28 −67.45−67.45 50
]=
[0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]
X ′y =
[1 · 1555 + 1 · 1560 + 1 · 1655 + . . .
0.3 · 1555 + 0.3 · 1560 + 0.35 · 1655 + . . .
]=
[66568
85797.43
]
β =
[β0
β1
]=[
0.1097 · 66568− 0.0665 · 85797.43−0.0665 · 66568 + 0.0493 · 85797.43
]=[
1597.55−197.32
]Tema 2. El model de regressió simple 45
Regressió (manualment)�s.e.'s i R2
u = y −Xβ =
155515601655...
−
1597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.35
...
=
16.6521.65126.52
...
σ2 = u′u50−2 = 16.652+21.652+126.522+...
48 = 2665.57
Var(β) = σ2(X ′X)−1 = 2665.57 ·[
0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]=
[292.44 −177.26−177.26 131.40
]s.e.(β0) =
√292.44 = 17.10 s.e.(β1) =
√131.4 = 11.46
y = 1555+1560+1655+...50 = 1331.36
y − yι =
155515601655...
− 1331.36
111...
=
1555− 1331.36 · 11560− 1331.36 · 11655− 1331.36 · 1
.
.
.
=
223.64228.64323.64
.
.
.
R2 = 1− u′u
(y−yι)′(y−yι) = 16.652+21.652+126.522+...223.642+228.642+323.642+...
= 0.8606
Tema 2. El model de regressió simple 46
Regressió (manualment)�s.e.'s i R2
u = y −Xβ =
155515601655...
−
1597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.35
...
=
16.6521.65126.52
...
σ2 = u′u
50−2 = 16.652+21.652+126.522+...48 = 2665.57
Var(β) = σ2(X ′X)−1 = 2665.57 ·[
0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]=
[292.44 −177.26−177.26 131.40
]s.e.(β0) =
√292.44 = 17.10 s.e.(β1) =
√131.4 = 11.46
y = 1555+1560+1655+...50 = 1331.36
y − yι =
155515601655...
− 1331.36
111...
=
1555− 1331.36 · 11560− 1331.36 · 11655− 1331.36 · 1
.
.
.
=
223.64228.64323.64
.
.
.
R2 = 1− u′u
(y−yι)′(y−yι) = 16.652+21.652+126.522+...223.642+228.642+323.642+...
= 0.8606
Tema 2. El model de regressió simple 46
Regressió (manualment)�s.e.'s i R2
u = y −Xβ =
155515601655...
−
1597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.35
...
=
16.6521.65126.52
...
σ2 =
u′u50−2 = 16.652+21.652+126.522+...
48
= 2665.57
Var(β) = σ2(X ′X)−1 = 2665.57 ·[
0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]=
[292.44 −177.26−177.26 131.40
]
s.e.(β0) =√
292.44 = 17.10 s.e.(β1) =√
131.4 = 11.46
y = 1555+1560+1655+...50 = 1331.36
y − yι =
155515601655...
− 1331.36
111...
=
1555− 1331.36 · 11560− 1331.36 · 11655− 1331.36 · 1
.
.
.
=
223.64228.64323.64
.
.
.
R2 = 1− u′u
(y−yι)′(y−yι) = 16.652+21.652+126.522+...223.642+228.642+323.642+...
= 0.8606
Tema 2. El model de regressió simple 46
Regressió (manualment)�s.e.'s i R2
u = y −Xβ =
155515601655...
−
1597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.35
...
=
16.6521.65126.52
...
σ2 = u′u
50−2 = 16.652+21.652+126.522+...48 = 2665.57
Var(β) =
σ2(X ′X)−1 = 2665.57 ·[
0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]
=
[292.44 −177.26−177.26 131.40
]s.e.(β0) =
√292.44 = 17.10 s.e.(β1) =
√131.4 = 11.46
y = 1555+1560+1655+...50 = 1331.36
y − yι =
155515601655...
− 1331.36
111...
=
1555− 1331.36 · 11560− 1331.36 · 11655− 1331.36 · 1
.
.
.
=
223.64228.64323.64
.
.
.
R2 = 1− u′u
(y−yι)′(y−yι) = 16.652+21.652+126.522+...223.642+228.642+323.642+...
= 0.8606
Tema 2. El model de regressió simple 46
Regressió (manualment)�s.e.'s i R2
u = y −Xβ =
155515601655...
−
1597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.35
...
=
16.6521.65126.52
...
σ2 = u′u
50−2 = 16.652+21.652+126.522+...48 = 2665.57
Var(β) = σ2(X ′X)−1 = 2665.57 ·[
0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]=
[292.44 −177.26−177.26 131.40
]s.e.(β0) =
√292.44 = 17.10 s.e.(β1) =
√131.4 = 11.46
y = 1555+1560+1655+...50 = 1331.36
y − yι =
155515601655...
− 1331.36
111...
=
1555− 1331.36 · 11560− 1331.36 · 11655− 1331.36 · 1
.
.
.
=
223.64228.64323.64
.
.
.
R2 = 1− u′u
(y−yι)′(y−yι) = 16.652+21.652+126.522+...223.642+228.642+323.642+...
= 0.8606
Tema 2. El model de regressió simple 46
Regressió (manualment)�s.e.'s i R2
u = y −Xβ =
155515601655...
−
1597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.35
...
=
16.6521.65126.52
...
σ2 = u′u
50−2 = 16.652+21.652+126.522+...48 = 2665.57
Var(β) = σ2(X ′X)−1 = 2665.57 ·[
0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]=
[292.44 −177.26−177.26 131.40
]s.e.(β0) =
√292.44 = 17.10 s.e.(β1) =
√131.4 = 11.46
y =
1555+1560+1655+...50
= 1331.36
y − yι =
155515601655...
− 1331.36
111...
=
1555− 1331.36 · 11560− 1331.36 · 11655− 1331.36 · 1
.
.
.
=
223.64228.64323.64
.
.
.
R2 = 1− u′u(y−yι)′(y−yι) = 16.652+21.652+126.522+...
223.642+228.642+323.642+...= 0.8606
Tema 2. El model de regressió simple 46
Regressió (manualment)�s.e.'s i R2
u = y −Xβ =
155515601655...
−
1597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.35
...
=
16.6521.65126.52
...
σ2 = u′u50−2 = 16.652+21.652+126.522+...
48 = 2665.57
Var(β) = σ2(X ′X)−1 = 2665.57 ·[
0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]=
[292.44 −177.26−177.26 131.40
]s.e.(β0) =
√292.44 = 17.10 s.e.(β1) =
√131.4 = 11.46
y = 1555+1560+1655+...50 = 1331.36
y − yι =
155515601655...
− 1331.36
111...
=
1555− 1331.36 · 11560− 1331.36 · 11655− 1331.36 · 1
.
.
.
=
223.64228.64323.64
.
.
.
R2 = 1− u′u
(y−yι)′(y−yι) = 16.652+21.652+126.522+...223.642+228.642+323.642+...
= 0.8606
Tema 2. El model de regressió simple 46
Regressió (manualment)�s.e.'s i R2
u = y −Xβ =
155515601655...
−
1597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.31597.55 + (−197.32) · 0.35
...
=
16.6521.65126.52
...
σ2 = u′u
50−2 = 16.652+21.652+126.522+...48 = 2665.57
Var(β) = σ2(X ′X)−1 = 2665.57 ·[
0.1097 −0.0665−0.0665 0.0493
]=
[292.44 −177.26−177.26 131.40
]s.e.(β0) =
√292.44 = 17.10 s.e.(β1) =
√131.4 = 11.46
y = 1555+1560+1655+...50 = 1331.36
y − yι =
155515601655...
− 1331.36
111...
=
1555− 1331.36 · 11560− 1331.36 · 11655− 1331.36 · 1
.
.
.
=
223.64228.64323.64
.
.
.
R2 = 1− u′u
(y−yι)′(y−yι) = 16.652+21.652+126.522+...223.642+228.642+323.642+...
= 0.8606
Tema 2. El model de regressió simple 46
Presentació dels resultats
La forma estàndard de presentar els resultats d'una regressió ésla següent:
Qi = 1597.55(17.10)
− 197.32(11.46)
Pi R2 = 0.8606
SQR = 127, 947.22 (Opcional)
Interpretació?
Tema 2. El model de regressió simple 47
Importar dades
Tema 2. El model de regressió simple 48
Importar dades
Tema 2. El model de regressió simple 48
Importar dades
Tema 2. El model de regressió simple 48
Importar dades
Tema 2. El model de regressió simple 48
Regressió (Gretl, via menús)
Tema 2. El model de regressió simple 49
Regressió (Gretl): Demanda de llet
Qi = 1, 597.55(17.10)
− 197.32(11.46)
Pi R2 = 0.8606
SQR = 127, 947.22 (Opcional)
Tema 2. El model de regressió simple 50
Regressió (Gretl): Demanda de llet
Qi = 1, 597.55(17.10)
− 197.32(11.46)
Pi R2 = 0.8606
SQR = 127, 947.22 (Opcional)
Tema 2. El model de regressió simple 50
Regressió (Gretl): Demanda de llet
Qi = 1, 597.55(17.10)
− 197.32(11.46)
Pi R2 = 0.8606
SQR = 127, 947.22 (Opcional)
Tema 2. El model de regressió simple 50
Regressió (Gretl): Demanda de llet�Presentació
grà�ca
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
0.5 1 1.5 2
Vend
es
Preu
Vendes versus Preu (with least squares fit)
Y = 1.60e+003 - 197.X
Tema 2. El model de regressió simple 51
Funció de producció Cobb-Douglas: ln yi = β0+β1 ln ki + ui
ln yi = 5.65(0.32)
+ 0.35(0.04)
ln ki R2 = 0.3150
SQR = 231.53 (Opcional)
Interpretació?
Tema 2. El model de regressió simple 52
Funció de producció Cobb-Douglas: ln yi = β0+β1 ln ki + ui
ln yi = 5.65(0.32)
+ 0.35(0.04)
ln ki R2 = 0.3150
SQR = 231.53 (Opcional)
Interpretació?
Tema 2. El model de regressió simple 52
Funció de producció Cobb-Douglas: ln yi = β0+β1 ln ki + ui
ln yi = 5.65(0.32)
+ 0.35(0.04)
ln ki R2 = 0.3150
SQR = 231.53 (Opcional)
Interpretació?Tema 2. El model de regressió simple 52
Rendiments de l'educació: lnWi = β0+β1Ei+ui
ln Wi = 6.37(0.07)
+ 0.13(0.01)
Ei R2 = 0.9245
SQR = 1.86 (Opcional)
Interpretació?
Tema 2. El model de regressió simple 53
Rendiments de l'educació: lnWi = β0+β1Ei+ui
ln Wi = 6.37(0.07)
+ 0.13(0.01)
Ei R2 = 0.9245
SQR = 1.86 (Opcional)
Interpretació?
Tema 2. El model de regressió simple 53
Rendiments de l'educació: lnWi = β0+β1Ei+ui
ln Wi = 6.37(0.07)
+ 0.13(0.01)
Ei R2 = 0.9245
SQR = 1.86 (Opcional)
Interpretació?
Tema 2. El model de regressió simple 53
top related