texto nº 14_estadistica no parametrica

8/3/2019 TEXTO Nº 14_ESTADISTICA NO PARAMETRICA

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APLICACIÓN

Las pruebas de hipótesis realizadas en los capítulosanteriores respecto a los parámetros poblacionales

de medias, proporciones o varianzas son hechasbajo supuestos a las poblaciones, tales comosupuestos de normalidad.

Lamentablemente no todas las poblacionescumplen con este supuesto, pero existen técnicasestadísticas útiles que no necesitan de supuestosde las poblaciones conocidas como Pruebas No

Paramétricas o pruebas de distribución libre.

Pruebas no paramétricas másutilizadas son

1. Prueba de signos

2. Prueba Chi –

cuadrado 2.1 Prueba de Bondad de ajuste

2.2 Prueba de Independencia y homogeneidad

3. Prueba de Kruskal – Wallis4. Correlación de Rangos de Spearman

5. Prueba de rachas

Ventajas de los Pruebas noparamétrica :

1. No requiere que hagamos la suposición de

que las poblaciones distribuidasnormalmente.

2. Se aplican a datos categóricos

3. Implican cálculos más sencillos, por lo tantoson más fáciles de entender y aplicar

Desventajas de las pruebas noparaméticas :

1. Desperdician información, ya que losdatos originales se reducen a una formacualitativa

2. A menudo no son tan eficientes comolas prueba paramétricas por lo tanto senecesita evidencias más fuertes

PRUEBA DE SIGNOS

Se le llama prueba del signo porque lainformación contenida en la muestra

seleccionada se puede transformar en unconjunto de signos más y menos, y cuando sehace la prueba no se hace uso de la magnitudde los valores de la muestra, sino solamentese consideran los signos.

PRUEBA DE SIGNOS

Se pueden probar estas aseveraciones:

1. Aseveraciones que incluyen datos apareados dedatos muestrales.

2. Aseveraciones que incluyen datos nominales.

3. Aseveraciones acerca de la mediana de una solapoblación.

REQUISITOS

1. Los datos muestrales se seleccionan

aleatoriamente

2. No existe el requisito de que los datos

muestrales provengan de una población con una

distribución particular, como la distribución

normal

ESTADÍSTICO DE PRUEBA

1. Para n≤25

x : el número de veces que ocurre el signomenos frecuente

n: el número total, de signos positivos y

negativos combinados

Los valores críticos x se encuentran en la Tabla

1. Para n>25

x : el número de veces que ocurre el signo menos

frecuenten: el número total, de signos positivos y negativos

combinados

Los valores críticos x se encuentran en la Tabla A-2

2)5.0(

ASEVERACIÓN QUE INCLUYEDATOS APAREADOS

Procedimiento:

1. Restamos cada valor de la segunda variable del valor

correspondiente de la primera variable

2. Registramos sólo el signo de la diferencia que se

encontró en el paso 1. Excluimos los empates

“Si dos conjuntos de datos tienen medianas iguales, elnúmero de signos positivos debe ser aproximadamente

igual al número de signos negativos”

Ejemplo 1:Medición de inteligencia en niñosLas mediciones mentales de niños pequeños se hace

dándoles cubos pidiéndoles que construyan una torre tan alta

como sea posible. Un experimento de construcción de cubosse repitió un mes después, con el tiempo (en segundos)

listados. Utilice un nivel de significancia de 0.05 y pruebe la

aseveración de que no hay diferencia entre los tiempos de la

primera y segunda prueba.

Niño A B C D E F G H I J K L M N O

Primera prueba 30 19 19 23 29 178 42 20 12 39 14 81 17 31 52

Segunda Prueba 30 6 14 8 14 52 14 22 17 8 11 30 14 17 15

ASEVERACIÓN QUE INCLUYEDATOS NOMINALES

Datos nominales: incluyen nombres, etiquetas o categorías

Se aplican los signos más o menos en forma arbitraria a las

categorías.

Ejemplo: Discriminación por género

La cadena de restaurantes Hatters recibió acusaciones de

discriminación por género por que sólo contrató a 30

hombres junto a 70 mujeres solicitantes. Un representante de

la compañía aceptó que los solicitantes calificados son

aproximadamente la mitad hombres y la mitad mujeres, pero

además asevera que “Hatters no discrimina y el hecho de

que 30 de los últimos 100 empleados nuevos sean hombreses sólo una casualidad”. Utilice la prueba de signos con un

nivel de significancia de 0.05 y prueba la hipótesis nula de

que esta compañía contrata hombres y mujeres por igual.

ASEVERACIÓN ACERCA DE LA MEDIANA

DE UNA SOLA POBLACIÓN

Los signos positivos y negativos se basan en el valor que se

asevera para la mediana.

Ejemplo: Temperaturas corporales

El conjunto de datos 4 del Apéndice B incluye temperaturas

corporales medidas en adultos. Utilice las 106 temperaturas

listadas para las 12:00 AM del día 2 con la prueba de signos,para probar la aseveración de que la mediana es menor que

98.6°F. El conjunto de datos tiene 106 sujetos: 68 sujetos

con temperaturas por debajo de 98.6°F, 23 sujetos con

temperaturas por encima de 98.6°F y 15 sujetos contemperaturas iguales a 98.6°F

PRUEBA DE RANGOS

CON SIGNOS DEWILCOXON

PARA DATOS APAREADOS

PRUEBA DE RANGOS CON SIGNOS DE WILCOXON

Utiliza rangos ordenados de datos muestrales

consistentes en datos apareados

Se usa para probar las diferencias en las

distribuciones poblacionales y para probar la

aseveración de que una muestra proviene de una

población con una mediana específica.

Planteamiento de hipótesis H0: Los datos apareados .tienen diferencias que

provienen de una población con una mediana igual

a cero

H1: Los datos apareados .tienen diferencias que

provienen de una población con una mediana

diferente a cero.

Procedimiento: 1. Calcule d (restando el segundo valor menos el

primero), descarte d=0

2. Ignore los signos de las diferencias y ordene las

diferencias de la más baja a la más alta y

reemplace por el valor del rango

correspondiente.

3. Adjunte a cada rango el signo de la diferencia

de la que provino.

Procedimiento: 4. Calcule la suma de los valores absolutos de los

rangos negativos. También de los rangos

positivos.

5. Utilice T que sea la más pequeña de las dos

sumas que se calcularon en el paso 4

6. Utilice n que sea el número de pares de datos

para los que la diferencia d no es cero

Procedimiento: 7. Determine el estadístico de prueba y los valores

críticos

8. Tome su decisión y conclusión apropiada

ESTADÍSTICO DE PRUEBASi n≤30 el Estadístico de prueba es TDonde T es el más pequeño de las siguientessumas:1. La suma de los valores absolutos de los

rangos negativos de las diferencias d que nosean ceros.

2. La suma de los rangos positivos de lasdiferencias d que no sean ceros

El valor crítico de T se encuentra en la tabla A-8

ESTADÍSTICO DE PRUEBASi n>30 usar el siguiente estadístico de prueba

)12)(1(

Los valores críticos de z se encuentran en latabla A-2

EJEMPLO 4Remítase a los datos muestralesapareados indicados y utilice la pruebade rangos con signo de Wilcoxon paraprobar la aseveración de que los datosapareados tienen diferencias que

provienen de una población con unamediana igual a cero. Utilice un nivel designificancia de 0.05.

EJEMPLO 4 (CONTINUACIÓN)

PRUEBA DE LA SUMA DE

RANGOS DE WILCOXON

PARA DOS MUESTRASINDEPENDIENTES

PRUEBA DE LA SUMA DE RANGOS DE WILCOXON

Utiliza rangos de datos muestrales consistentes en

muestras independientes

Se usa para probar la hipótesis nula de que las dos

muestras independientes provienen de poblaciones

con medianas iguales.

Es equivalente a la prueba de U de Mann-Whitney

Planteamiento de hipótesis H0: Las dos muestras provienen de poblaciones

con medianas iguales

H1: Las dos muestras provienen de poblaciones

con medianas diferentes

Procedimiento: 1. Combine temporalmente las dos muestras en

una muestra grande y a cada valor muestral

reemplace su rango.

2. Calcule la suma de los rangos de las dos

muestras

3. Calcule el valor del estadístico de prueba z.

ESTADÍSTICO DE PRUEBA R

)1(211

nnn R 12

)1( 2121

Valores Críticos

Los valores críticos se encuentran en la tabla A-2

EJEMPLO 5¿Los trastornos psiquiátricosseveros están relacionados con

factores biológicos? Un estudioutilizó tomografía computarizada (TC)por rayos X para reunir datos de

volúmenes cerebrales de un grupo depacientes con trastorno obsesivo-compulsivo y un grupo de control depersonas saludables.

EJEMPLO 5La lista adjunta presenta los resultadosmuestrales (en mililitros) para

volúmenes del hemisferio derechoUtilice un nivel de significancia de 0.01y pruebe la aseveración de que los

pacientes obsesivo-compulsivos y laspersonas saludables tienen la mismamediana de volúmenes cerebrales.

EJEMPLO 5Con base en este resultado, ¿podemosconcluir que el trastorno obsesivo-

compulsivo tiene una base biológica?

EXPERIMENTOS

MULTINOMIALES

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

La prueba de bondad de ajuste se

utiliza para determinar si la distribuciónde los valores en la población se ajustaa una forma particular planteada como

hipótesis.Por ejemplo una distribución uniforme

LAS HIPÓTESIS H0: La población sigue la distribución ........

H1: La población no sigue la distribución........

ESTADISTICO DE PRUEBA

En donde:O

es la frecuencia de los eventos observados en losdatos muestrales

Ei es la frecuencia de los eventos esperados si lahipótesis nula es correcta.

x es el número de categorías o clases.

ii np E

REGLA DE DECISIÓN El estadístico de pruebase conpara con el

valor crítico de la tabla 2

con c – 1 grados delibertad con grados designificación.Si el valor de 2 es mayorque el valor crítico,entonces rechazar lahipótesis nula H0

gl=k-1

FRECUENCIAS ESPERADAS PEQUEÑAS

Cuando c > 2, si más del 20% de las Ei son

menores que 5, habrá que combinar lascategorías adyacentes cuando searazonable hacerlo, reduciendo de este

modo el valor de c e incrementando losvalores de algunas de las Ei

EJEMPLO 6 (continuación)En el examen de recuperación, elprofesor pidió a los estudiantes que

identificaran el neumático en particularque se desinfló. Si en realidad notuvieron un neumático desinflado,

¿serían capaces de identificar el mismoneumático?

EJEMPLO 6 (continuación)El autor pidió a otros 41 estudiantesque identificaran el neumático que ellos

seleccionarían. Los resultados estánlistados en la siguiente tabla (excepto elde un estudiante que seleccionó el

neumático de refacción). Utilice un nivelde significancia de 0.05

EJEMPLO 6 (continuación)Utilice un nivel de significancia de 0.05para probar la aseveración del autor de

que los resultados se ajustan a unadistribución uniforme. ¿Qué sugiere elresultado acerca de la capacidad de los

cuatro estudiantes de seleccionar elmismo neumático cuando en realidadsu excusa fue una mentira?

EJEMPLO 6 (continuación)

NeumáticoFrontal

izquierdo

Frontal

derecho

Trasero

izquierdo

Trasero

derecho

Número

seleccionado11 15 8 6

TABLAS DE

CONTINGENCIA

INDEPENDENCIA Y HOMOGENEIDAD

PRUEBA DE INDEPENDENCIA La Prueba Chi-cuadrado de independencia tambiénpermite la comparación de dos atributos paradeterminar si existe una asociación entre ellos.

¿Cuándo se utiliza?

Se utiliza cuando se quiere determinar si las variablesson independientes o dependientes respectivamente

una de la otra.

LAS HIPOTESIS

H0: Las variables (fila y columna) sonindependientes.

H1: Las variables (fila y columna) sondependientes.

E O 22 )(

Donde:Oi : Frecuencia Observada de la i-ésima fila con la

j-ésima columna

Ei : Frecuencia Esperada de la i-ésima fila con la j-ésima columna

ni : frecuencia de la i-ésima filanj : frecuencia de la j-ésima columna

n : tamaño de la muestra

REGLA DE DECISIÓN El estadístico deprueba se compara conel valor crítico de latabla 2 con (f - 1)(c - 1)grados de libertad con grados designificación.Si el valor de 2 es

mayor que el valorcrítico,entonces rechazar lahipótesis nula H0

gl=(f-1)*(c-1)

EJEMPLO 7 ¿Existe discriminación racial? Ladiscriminación racial es la práctica polémica

señalar que alguien tiene una conductacriminal con base en su raza, país de origen uorigen étnico. La tabla adjunta resume

resultados de conductores seleccionados alazar, detenidos por la policía en un añoreciente (según datos del Departamento deJusticia de Estados Unidos, Bureau of Justice

Statistics).

EJEMPLO 7 (continuación)El uso de los datos de esta tabla diocomo resultado una pantalla de Minitab.

Utilice un nivel de significancia de 0.05para probar la aseveración de que elhecho de ser detenido es independiente

de la raza y del origen étnico. Con baseen la evidencia disponible, ¿podemosconcluir que hay discriminación racial?

Afroestadounidenses

y no hispanos

Caucásicos y no

hispanos

Detenidos por

la policía24 147

No detenidos

por la policía176 1253

PRUEBA DE HOMOGENEIDAD

Se prueba la aseveración de que las

poblaciones tienen las mismasproporciones de algunos características.

LAS HIPOTESIS

H0: Las proporciones de las poblacionesson iguales

H1: Las proporciones de las poblacionesno son iguales

EJEMPLO 8¿La exactitud del escáner es lamisma para las ofertas? En un

estudio de sistemas de cobro porescáner en almacenes, se utilizaronmuestras de compras para comparar laslecturas por escáner de los precios conlos precios etiquetados. La tablaadjunta resume resultados de unamuestra de 819 artículos.

EJEMPLO 8 (continuación)Cuando los almacenes utilizan escánerpara cobrar los artículos, ¿las tasas de

error son las mismas para los artículoscon precio normal que para los artículosen oferta? ¿Cómo podría cambiar laconducta de los consumidores si creenque ocurren desproporcionadamentemás cobros excesivos en los artículosen oferta?

Artículos con

precio normal

Artículos en

oferta

Cobros de menos 20 7

Cobros de más 15 29

Precio correcto 384 364

PRUEBA DE KRUSKAL

WALLIS

PRUEBA H

PRUEBA DE KRUSKAL -

WALLIS O PRUEBA H

Se utiliza para probar que muestras (tres o máspoblaciones) independientes provienen de

poblaciones con medianas iguales.

LAS HIPÓTESIS

H0 :Las muestras provienen de

poblaciones con medianas iguales

H1: Las muestras provienen depoblaciones con medianas que no

son iguales

)1(3)1(

Donde: K = valor estadístico de la prueba de

Kruskal-Wallis.

n = tamaño total de la muestra.

Ri2 = sumatoria de los rangos elevados al cuadrado.

ni = tamaño de la muestra de cada grupo.

REGLA DE DECISIÓN El estadístico de prueba(K) se compara con el

valor crítico de la tabla 2

con c-1 grados delibertad con grados designificación.Si el valor de K es mayorque el valor crítico,entonces rechazar lahipótesis nula H0

gl=k-1

EJEMPLO 10 Afecta el peso de un automóvil lasheridas en la cabeza producidas enun choque? Se obtuvieron datos deexperimentos de choques realizados por laNational Transportation Safety

Administration. Se compraron automóviles

nuevos, se impactaron contra una barrerafija a 35 mi/h y se registraron lasmediciones en un maniquí en el asientodel conductor.

EJEMPLO 10 (continuación)Utilice los datos muéstrales listados abajopara probar las diferencias en lasmediciones de heridas en la cabeza (deacuerdo con el Head Injury Criterion, HIC)en cuatro categorías de peso. ¿Existeevidencia suficiente para concluir que las

mediciones de heridas en la cabeza paralas cuatro categorías de peso deautomóviles no son las mismas?

EJEMPLO 10 (continuación)¿Sugieren los datos que los automóvilesmás pesados son más seguros en un

choque?Subcompacto: 681 428 917 898 420

Compacto: 643 655 442 514 525

Mediano: 469 727 525 454 259

Grande: 384 656 602 687 360

PRUEBA DECORRELACIÓN DE RANGOS DE SPEARMAN

CORRELACIÓN DE RANGOS DE SPEARMAN

Se utiliza para probar una asociación entredos variables con datos apareados.

LAS HIPÓTESIS

H0 : = 0 ; No existe correlación entre las dos

variables

H1 : 0 ; Si existe correlación entre las dos

variables

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

DE SPEARMAN

Donde :di : es la diferencia entre los puntajes de cada

observaciónn : Tamaño de la muestraAdemás se debe cumplir que -1 rs 1

Sin empates

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

DE SPEARMAN Empates

y yn x xn

y x xynr s

ESTADÍSTICO DE PRUEBAPara muestras pequñas (n≤30), se hace uso de la

tabla A-9.

Si rs se encuentra en el intervalo de los valorescríticos de la tabla A-9 entonces se acepta H0

ESTADÍSTICO DE PRUEBAPara muestras grandes (n>30) la distribución ders se aproxima a la normal, donde el estadístico

de prueba es:

1 nr z s

Si el valor del estadístico de prueba es mayorque el valor crítico de z al nivel de /2 rechazar

EJEMPLO 11Grillos y temperatura. Se estudió larelación entre la temperatura y el número

de veces que un grillo chirría en unminuto. Abajo se listan los números dechirridos por minuto y las temperaturascorrespondientes en grados Fahrenheit(según datos de The Song of Insects, deGeorge W. Pierce, Harvard UniversityPress).

EJEMPLO 11 (continuación)¿Existe evidencia suficiente paraconcluir que existe una relación entre el

número de chirridos por minuto y latemperatura?

Chirridos en un minuto 882 1188 1104 864 1200 1032 960 900

Temperatura (en oF) 69,7 93,3 84,3 76,3 88,6 82,6 71,6 79,6

PRUEBA DE RACHAS

Utilizada para comprobar la

aleatoriedad de las muestras.

RACHA (G) : Una serie continua de uno

o más símbolos

LAS HIPÓTESIS

Ho : Existe aleatoriedad en la muestra.

H1 : No existe aleatoriedad en la muestra.

REGLA DE DECISIÓN Cuando n1 como n2 son menores o iguales a20

Usar la Tabla A-10

Si el valor de G no se encuentra entre los valorescríticos de las tablas entonces se rechaza H0

PRUEBA DE RACHAS Cuando n1 como n2 son mayores que 20

La distribución de la muestra se aproxima a lanormalidad. Entonces se puede decir que tiene:

212121

nnnnnnG

Media Desviación estándar

Sigue una Distribución Normal estandarizada

REGLA DE DECISIÓN Si el valor de estadístico cae fuera de la

región de aceptación, H0 se rechaza

EJEMPLO 12Géneros de osos. El primer ejemplo deesta sección utilizó los géneros de losprimeros 10 osos del conjunto de datos 6

del apéndice B. Realice una prueba derachas para detectar aleatoriedadutilizando los géneros de los primeros 20

osos del conjunto de datos 6. Acontinuación se listan los géneros.M M M M H H M M H H M M H M H M M H M M

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