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Universidade Federal do ParanáPrograma de pós-graduação em engenharia

de recursos hídricos e ambiental

TH705 Mecânica dos fluidos ambiental IIProf. Fernando Oliveira de Andrade

Escalas do movimento turbulento

•O escoamento turbulento apresenta uma variedade de escalas, as quais aumentam a medida que o número de Reynolds cresce

•A análise das escalas da turbulência é importante para entender como a energia do movimento turbulento é transferida e dissipada

Escalas do movimento turbulento

Escalas do movimento turbulento

• Cascata de energia e hipótese de Kolmogorov

• O conceito de cascata de energia foi introduzido por Richardson (1922):

A energia cinética turbulenta é produzida pelas grandes escalas do movimento

A energia é então transferida para as escalas menores por um processo não viscoso até atingir escalas pequenas o suficiente para que a dissipação ocorra por efeitos viscosos

• Kolmogorov (1941) quantificou esse processo e identificou as relações entre as grandes e pequenas escalas

Escalas do movimento turbulento

ℒℓ𝑜 ℓ𝐸1 ℓ𝐷1 𝜂

Faixa que contém a energia cinética turbulenta (Escala integral da turbulência)

Faixa de equilíbrio universal

Sub-faixainercial

Faixa dissipativa

Escalas do movimento turbulento

•Grandes escalas

•Os vórtices das grandes escalas possuem escala de comprimento ℓ𝑜, comparáveis com as escalas geométricas do escoamento L

•A escala de velocidade uo é da ordem do rms da velocidade e comparável com 𝑢

•O número de Reynolds 𝑅𝑒 =𝑢𝑜ℓ𝑜

𝜈é grande, portanto,

os efeitos da viscosidade são desprezíveis

Escalas do movimento turbulento

•De acordo com Richardson, os grandes vórtices são instáveis e se quebram, transferindo sua energia para vórtices menores e assim sucessivamente

•A taxa de dissipação de energia é independente da

viscosidade e é dada por 𝜀 =𝑢𝑜3

ℓ𝑜

•Até a escala de comprimento ℓ𝐸1 ≈ 1 6 ℓ𝑜 a turbulência é anisotrópica. Para ℓ < ℓ𝐸1entra-se numa faixa de equilíbrio universal

Escalas do movimento turbulento

• Faixa de equilíbrio universal

• A turbulência é isotrópica e homogênea (as estatísticas possuem uma forma universal)

• A taxa de energia injetada entra em equilíbrio com a taxa de energia dissipada

• A faixa delimitada pela escala ℓ𝐷1 < ℓ < ℓ𝐸1, com ℓ𝐷1 ≈60𝜂, é chamada de sub-faixa inercial

• Nessa região os efeitos viscosos continuam desprezíveis e a transferência de energia é determinada unicamente em função de 𝜀

Escalas do movimento turbulento

• Pequenas escalas

•O limite das pequenas escalas é quando ℓ < ℓ𝐷1, chamada de faixa dissipativa

•Nessa faixa o número de Reynolds é pequeno o suficiente tal que a viscosidade molecular se torna significativa, tendo a capacidade de dissipar a energia turbulenta

•A transferência de energia depende de 𝜀 e ν

Escalas do movimento turbulento

• Escalas de Kolmogorov

• São as escalas dissipativas do movimento turbulento

• 𝜂 =𝜐3

𝜀

1 4

• 𝜏 =𝜈

𝜀

1 2

• 𝑣 = 𝜈𝜀 14

Escalas do movimento turbulento

Escalas Grandes Pequenas Relação

Comprimento 𝐿 𝜂 =𝜐3

𝜀

1 4 𝑢𝐿

𝜈

− 1 2= 𝑅𝑒−

12

Tempo 𝑡 = 𝐿/𝑢 𝜏 =𝜈

𝜀

1 2 𝑢𝐿

𝜈

− 3 4= 𝑅𝑒−

34

Velocidade 𝑢 𝑣 = 𝜈𝜀 14

𝑢𝐿

𝜈

− 1 4= 𝑅𝑒−

14

Escalas do movimento turbulento

• Espectro de energia cinética turbulenta

•Qual seria a razão em que a energia é transferida das grandes para as pequenas escalas

•De acordo com a teoria de Kolmogorov, para turbulência homogênea e isotrópica

𝐸 ℓ ≈ 𝜀 23ℓ 23

Escalas do movimento turbulento

•O espectro de energia cinética turbulenta é normalmente escrito no espaço de número de onda, k

•O número de onda é definido como

•A transformação para o espaço de número de onda é realizada pela transformada de Fourrier

𝑘 = 2 𝜋 ℓ

Escalas do movimento turbulento

𝑢𝑖 𝑘 =1

2𝜋

−∞

+∞

𝑢𝑖 𝑡 𝑒−𝑖𝑘𝑡 𝑑𝑡

• Transformada de Fourrier do sinal das componentes do vetor velocidade

𝑢𝑖 𝑘 =1

𝑀𝑇

𝑚=0

𝑀𝑇−1

𝑢𝑖 𝑚Δ𝑡 𝑒−𝑖𝑘𝑚Δ𝑡

𝐸 𝑘 = 𝑢𝑖 𝑘2

Escalas do movimento turbulento

• Espectro de energia cinética turbulenta

𝐸 𝑘 ≈ 𝜀 23𝑘 −53

Log [E(k)]

Log(k)kI

Efeitos viscosos

predominantes

Zona inercial do

espectro

Escalas do movimento turbulento

• Para se ter uma ordem de grandeza, a escala dissipativapara camada limite atmosférica é da ordem de 1 mm, enquanto que para turbulência de grelha é de 0,1 mm

•Os conceitos de escalas características e do mecanismo de transferência de energia cinética turbulenta serão utilizados no desenvolvimento dos modelos de turbulência