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Universidade Federal do ParanáPrograma de pós-graduação em engenharia
de recursos hídricos e ambiental
TH705 Mecânica dos fluidos ambiental IIProf. Fernando Oliveira de Andrade
Escalas do movimento turbulento
•O escoamento turbulento apresenta uma variedade de escalas, as quais aumentam a medida que o número de Reynolds cresce
•A análise das escalas da turbulência é importante para entender como a energia do movimento turbulento é transferida e dissipada
Escalas do movimento turbulento
Escalas do movimento turbulento
• Cascata de energia e hipótese de Kolmogorov
• O conceito de cascata de energia foi introduzido por Richardson (1922):
A energia cinética turbulenta é produzida pelas grandes escalas do movimento
A energia é então transferida para as escalas menores por um processo não viscoso até atingir escalas pequenas o suficiente para que a dissipação ocorra por efeitos viscosos
• Kolmogorov (1941) quantificou esse processo e identificou as relações entre as grandes e pequenas escalas
Escalas do movimento turbulento
ℒℓ𝑜 ℓ𝐸1 ℓ𝐷1 𝜂
Faixa que contém a energia cinética turbulenta (Escala integral da turbulência)
Faixa de equilíbrio universal
Sub-faixainercial
Faixa dissipativa
Escalas do movimento turbulento
•Grandes escalas
•Os vórtices das grandes escalas possuem escala de comprimento ℓ𝑜, comparáveis com as escalas geométricas do escoamento L
•A escala de velocidade uo é da ordem do rms da velocidade e comparável com 𝑢
•O número de Reynolds 𝑅𝑒 =𝑢𝑜ℓ𝑜
𝜈é grande, portanto,
os efeitos da viscosidade são desprezíveis
Escalas do movimento turbulento
•De acordo com Richardson, os grandes vórtices são instáveis e se quebram, transferindo sua energia para vórtices menores e assim sucessivamente
•A taxa de dissipação de energia é independente da
viscosidade e é dada por 𝜀 =𝑢𝑜3
ℓ𝑜
•Até a escala de comprimento ℓ𝐸1 ≈ 1 6 ℓ𝑜 a turbulência é anisotrópica. Para ℓ < ℓ𝐸1entra-se numa faixa de equilíbrio universal
Escalas do movimento turbulento
• Faixa de equilíbrio universal
• A turbulência é isotrópica e homogênea (as estatísticas possuem uma forma universal)
• A taxa de energia injetada entra em equilíbrio com a taxa de energia dissipada
• A faixa delimitada pela escala ℓ𝐷1 < ℓ < ℓ𝐸1, com ℓ𝐷1 ≈60𝜂, é chamada de sub-faixa inercial
• Nessa região os efeitos viscosos continuam desprezíveis e a transferência de energia é determinada unicamente em função de 𝜀
Escalas do movimento turbulento
• Pequenas escalas
•O limite das pequenas escalas é quando ℓ < ℓ𝐷1, chamada de faixa dissipativa
•Nessa faixa o número de Reynolds é pequeno o suficiente tal que a viscosidade molecular se torna significativa, tendo a capacidade de dissipar a energia turbulenta
•A transferência de energia depende de 𝜀 e ν
Escalas do movimento turbulento
• Escalas de Kolmogorov
• São as escalas dissipativas do movimento turbulento
• 𝜂 =𝜐3
𝜀
1 4
• 𝜏 =𝜈
𝜀
1 2
• 𝑣 = 𝜈𝜀 14
Escalas do movimento turbulento
Escalas Grandes Pequenas Relação
Comprimento 𝐿 𝜂 =𝜐3
𝜀
1 4 𝑢𝐿
𝜈
− 1 2= 𝑅𝑒−
12
Tempo 𝑡 = 𝐿/𝑢 𝜏 =𝜈
𝜀
1 2 𝑢𝐿
𝜈
− 3 4= 𝑅𝑒−
34
Velocidade 𝑢 𝑣 = 𝜈𝜀 14
𝑢𝐿
𝜈
− 1 4= 𝑅𝑒−
14
Escalas do movimento turbulento
• Espectro de energia cinética turbulenta
•Qual seria a razão em que a energia é transferida das grandes para as pequenas escalas
•De acordo com a teoria de Kolmogorov, para turbulência homogênea e isotrópica
𝐸 ℓ ≈ 𝜀 23ℓ 23
Escalas do movimento turbulento
•O espectro de energia cinética turbulenta é normalmente escrito no espaço de número de onda, k
•O número de onda é definido como
•A transformação para o espaço de número de onda é realizada pela transformada de Fourrier
𝑘 = 2 𝜋 ℓ
Escalas do movimento turbulento
𝑢𝑖 𝑘 =1
2𝜋
−∞
+∞
𝑢𝑖 𝑡 𝑒−𝑖𝑘𝑡 𝑑𝑡
• Transformada de Fourrier do sinal das componentes do vetor velocidade
𝑢𝑖 𝑘 =1
𝑀𝑇
𝑚=0
𝑀𝑇−1
𝑢𝑖 𝑚Δ𝑡 𝑒−𝑖𝑘𝑚Δ𝑡
𝐸 𝑘 = 𝑢𝑖 𝑘2
Escalas do movimento turbulento
• Espectro de energia cinética turbulenta
𝐸 𝑘 ≈ 𝜀 23𝑘 −53
Log [E(k)]
Log(k)kI
Efeitos viscosos
predominantes
Zona inercial do
espectro
Escalas do movimento turbulento
• Para se ter uma ordem de grandeza, a escala dissipativapara camada limite atmosférica é da ordem de 1 mm, enquanto que para turbulência de grelha é de 0,1 mm
•Os conceitos de escalas características e do mecanismo de transferência de energia cinética turbulenta serão utilizados no desenvolvimento dos modelos de turbulência