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V. The Governing Equations in the Boundary Layer

Andrew S. KowalskiCatedrático de Universidad

Departamento de Física AplicadaUniversidad de Granada

[email protected]

Bibliografía micrometeorológica

• Stull; Capítulo 3. (Governing equations) • Stull; Capítulo 4. (Prognostic equations)

ECUACIONES DE PERTURBACIONESESQUEMA

• Nos interesa sobre todo una dimensión• Escalas de tiempo

– Estadísticas– Los promedios de Reynolds– El flujo turbulento

• Las ecuaciones en promedio– Estado – Ley de gases– Las ecuaciones de conservación

• Advección en “flux form”• Etapas para su derivación• Momento

• Las ecuaciones para las perturbaciones– Estado – ley de gases– Momento Vertical– Momento en general

• La “fricción” en un contexto turbulento (Re)

La dirección vertical nos interesa

• Horizontal: domina el viento promedio– Calor, humedad, contaminación– Importancia del transporte vertical en el

tiempo• La vertical es la dirección fuerte en

– Gradientes– Flujos

• (Cerca de la superficie)

Simplificación: Flujos Verticales

0

xT

wkvjuiV ˆˆˆ

0

yT

0

zT

z

y

x

Dirección de los flujos• Sinópticos: gradientes a escala continental• Turbulentos: gradientes (verticales) locales

Comportamiento del viento

• La velocidad del viento varia de manera irregular• “Casi-aleatorio”: normalmente se puede ver un promedio• La intensidad de la turbulencia varía, y se puede cantificar (luego)

Vamos a interponer una partición

No Turbulencia Turbulencia

Turbulencia

• Estocástica / Casi-aleatorio• Técnicas estocásticas

– Estadísticas• Promedio• Varianza• Co-varianza (luego: flujo)

– Interval de promedio ~ media hora• Captura todo lo que es “turbulento”• Elimina movimientos a escalas “no-interesantes”

Motivación para trabajar con promedios

El flujo del calor es sesgado

Descomposición temporal notación: barras y primas

Viento total Componente turbulento

Viento promedio

'uuu

Descomposición de Reynolds

• Leyes de promedios

BABA

0' A

AkkA

AA

BABA

Otras leyes de promedios

• La ley de Leibnitz

dtAd

dtdA

Promedios de Reynolds• Notando el promedio con una barra,

descomponemos los variables

• Y el flujo promedio (cinemático, vertical) se escribe así

''

cccwww

)')('( ccwwwc

¿Qué es esto?

'''' cwwccwcw

''cwcw

'''' cwwccwcw

Se trata de una covarianza

''

cccwww

N

ccwwN

))((1

N

cwN

cw ''1''

El Flujo Turbulento• El flujo promedio se puede descomponer

en dos partes

• La parte turbulenta se define como una covarianza– (Así: la técnica “eddy covariance”)

''cwcwwc

Remolinos: subiendo/bajandoDay

[CO2] (ppm)

z (m

)

w’>0

c’<0

producto: w’c’<0

Burbuja subiendo

zm Nivel de referencia (nivel de medida)

Medidas en un marco Euleriano

De Día

De día: la fotosíntesis quita CO2 en la superficie, y establece un gradiente


[CO2] (ppm)

z (m

)

w’<0

c’>0

producto: w’c’<0

Burbuja bajando

zm Nivel de referencia (nivel de medida)

De día: flujo neto de CO2 hacía la superficie (negativo) para remolinos tanto subiendo como bajando

De Día

Nivel de referencia (nivel de medida)

Medidas en un marco Euleriano


[CO2] (ppm)

z (m

)

w’>0

u’<0

producto: w’u’<0

Burbuja subiendo

zm

De Día

Inercia promedia

Perfil de viento • Lo mismo que hay un flujo de CO2, hay un flujo de momento

''uwuwwu

''uw

La ecuación de estado

• Descomposición temporal

• La ley de gases es

• Podemos derivar una ecuación para el estado promedio de la capa límite:

(despreciamos los productos de perturbaciones)

''' vvd TTRpp

'''

vvv TTT

ppp

vd TRp vdvd TRTRp ''

Advección en “flux form”• Advección de z (cualquier):

• El producto de z con “continuity “:– Forma incompresible (!)

• Por lo cual, se puede escribir advección como:

• “flux form”: contiene el flujo cinético (zuj)

0

j

j

xu

j

j

j

j

jj

jj x

uxu

xu

xu

0

jj x

u

La ecuación Navier-Stokes(conservación de inercia)

– I almacenamiento (cambio local)– II transporte (“advección”)– III gravedad– IV Coriolis– V gradiente de presión– VI estrés viscoso (transporte molecular)

2

2

312

j

i

ikjijki

j

ij

i

xu

xpug

xuu

tu

I II III IV V VI

– I almacenamiento (cambio local)– II transporte (“advección”)– VI transporte molecular (“conducción”)– VII divergencia del flujo radiativo– VIII calor latente por cambio de fase(despreciamos el calor producido por fricción)

La ecuación termodinámica

pj

j

pjT

jj c

LExR

cxxu

t

1

2

2

I II VI VII VIII

Conservación de un escalar• Razón de mezcla (r), de H2O por ejemplo

– I almacenamiento (cambio local)– II transporte (“advección”)– VI transporte molecular (“difusión”)– VII evaporación (fuente/sumidero = source/sink)

djv

jj

Exr

xru

tr

2

2

I II VI VII

Ecuaciones de conservación para la capa límite

• Las derivaciones son parecidas para la conservación de– Momento– Energía Termodinámica (calor)– Razón de mezcla

• Los pasos:– 1. Ecuación de conservación (antes)– 2. Expansionar términos ( , por ejemplo)– 3. Tomar el promedio de la ecuación– 4. Aplicar las leyes de Reynolds (nos quedamos con )– 5. “Continuity” -- “flux form”– 6. Despreciamos la difusión molecular (turbulencia es más

eficaz)

' y

''w

Ejemplo: conservación en las perturbaciones turbulentas (c)

• Los pasos:– 1. Ecuación de conservación– 2. Expansionar términos

– 3. Tomar el promedio de la ecuación– 4. Aplicar las leyes de Reynolds

– 5. “Continuity” -- “flux form”

– 6. Despreciar la difusión molecular

cj

cj

j Sxc

xcu

tc

2

2

cj

cj

jj

j Sccxx

cuxcu

tc

)'('' 2

2

')'()'()'('2

2

ccj

cj

jj SSccx

ccx

uutc

tc

cj

cjjj

j Sccx

cuxx

cutc

)'('' 2

2

cjjj

j Scuxx

cutc

''

Comparar

Resumen de las ecuaciones para el caso promedio

vd TRp 0

j

j

xu

j

jgc

jj x

uuvVf

xuu

tu

''

)(

j

jgc

jj x

vuuUf

xvu

tv

''

)(

j

Tjq

j

Tj

T

xquS

xqu

tq T

''

j

j

j

jv

pjj x

uxR

ELcx

ut

''1

j

jC

jj x

CuS

xCu

tC

''

I II VII X

Término I almacenamiento Término II advección Término VII fuente

/sumidero Término X divergencia del

flujo turbulento

Promedio Fuentes “Difusión” Momento vertical: luego

Perturbaciones• Las perturbaciones se definen como lo que hay

en general, menos la parte promedio• Ahora, tenemos dos tipos de ecuaciones

– General– Promedio

• Definimos las ecuaciones para las perturbaciones como la diferencia entre la situación general y el promedio

• Uno ejemplos – La ley de gases– La ecuación de momento

La ecuación de estado para las perturbaciones

• De la ley general de gases

• Sustraemos la ecuación para promedios de la ecuación total de estado

• Y obenemos:vd TRp

vdvdvd TRTRTRp '''''

''' vvd TTRpp

La ecuación de estado (cont)• Dividimos por la ecuación de promedios:

• Despreciamos el último termino (producto de perturbaciones)

• Despreciamos las fluctuaciones de p

v

v

v

v

TT

TT

pp

'''''

3

4

105~'

10~'10~'

v

v

TT

ppPap

La ecuación de estado(cont)• Podemos sustituir las fluctuaciones de densidad con

las de la temperatura (que se miden)

'''

v

v

v

v

TT

'61.0'' qTTT v

'61.0'' qv

qTf ,

Inercia Vertical

Ecuación de moviemiento, i=3

• Multiplicamos por y aplicamos promedios de Reynolds :

2

21

jxw

zpg

dtdw

'

g

zp

xww

zpg

dtwwd

j

1''1'''1 2

2

hidrostático

• << 1

• Sin embargo, tiene una magnitud igual de grande como los otros términos, y no lo podemos despreciar

La Aproximación Boussinesq(perturbaciones de densidad)

2

2 ''1'''1jx

wwzpg

dtwwd

'

g '

2

2 ''1''jx

wwzpg

dtwwd

• Subsidencia es pequeña ( ), y despreciable en la ecuación de inercia(puede ser importante para advección de q, c, T, …)

• Utilizando lo de la ecuación de estado

» I – cambio material» III – gravedad (“buoyancy” = empuje-gravedad)» V – gradiente de presión» VI - fricción

Inercia Vertical'ww

2

2 ''1''jv

v

xw

zpg

dtdw

I III VI VII

Momento• La ecuación completa (antes de expandir):

• La parte promedio

• Restando, nos quedamos con la ecuación prognóstica para la “ráfaga” turbulenta ui’:

2

2

312

j

i

ikjijki

j

ij

i

xu

xpug

xuu

tu

j

ji

j

i

ikjijki

j

ij

i

xuu

xu

xpug

xuu

tu

''12 2

2

3

j

ji

j

i

ijijc

v

vi

j

ij

j

ij

j

ij

i

xuu

xu

xpufg

xuu

xuu

xuu

tu

''''1'''''''2

2

33

Cambio local

Advección (varios) Arquímedes Presión “Fricción”

El Numero de Reynolds• La razón entre inercia y las fuerzas moleculares

• U y L : escalas típicos. nair1.5 10-5 m2s-1

• Re– para Re ~1, hace falta U ~ 10-2 m/s y L~10-3 m– Por valores típicos (SL) U=5 m/s y L=100 m, Re 3 107

Re~

//~,,

UL

LLULUU

VIXIII

j

ji

j

i

ikjijki

j

ij

i

xuu

xu

xpug

xuu

tu

''12 2

2

3

I II III IV V VI X

El Numero de Reynolds

• Re >> 1, el movimiento es turbulento y se puede despreciar las fuerzas moleculares en la ecuación de inercia

• Re ~ 1, régimen intermedio

• Re << 1, el movimiento es laminar

UL

Re

“Fricción”• En la capa limite, lejos (a cm o más) de la superficie,

el freno (“fricción”) no es molecular si no el estrés de Reynolds ( )

• Por eso, definimos una escala de velocidad muy importante para la turbulencia

• Se llama la velocidad de fricción (“friction velocity”)• Y el estrés (de Reynolds) es

''uw

''2* uwu

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