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V. The Governing Equations in the Boundary Layer
Andrew S. KowalskiCatedrático de Universidad
Departamento de Física AplicadaUniversidad de Granada
andyk@ugr.es
Bibliografía micrometeorológica
• Stull; Capítulo 3. (Governing equations) • Stull; Capítulo 4. (Prognostic equations)
ECUACIONES DE PERTURBACIONESESQUEMA
• Nos interesa sobre todo una dimensión• Escalas de tiempo
– Estadísticas– Los promedios de Reynolds– El flujo turbulento
• Las ecuaciones en promedio– Estado – Ley de gases– Las ecuaciones de conservación
• Advección en “flux form”• Etapas para su derivación• Momento
• Las ecuaciones para las perturbaciones– Estado – ley de gases– Momento Vertical– Momento en general
• La “fricción” en un contexto turbulento (Re)
ECUACIONES DE PERTURBACIONESESQUEMA
• Nos interesa sobre todo una dimensión• Escalas de tiempo
– Estadísticas– Los promedios de Reynolds– El flujo turbulento
• Las ecuaciones en promedio– Estado – Ley de gases– Las ecuaciones de conservación
• Advección en “flux form”• Etapas para su derivación• Momento
• Las ecuaciones para las perturbaciones– Estado – ley de gases– Momento Vertical– Momento en general
• La “fricción” en un contexto turbulento (Re)
La dirección vertical nos interesa
• Horizontal: domina el viento promedio– Calor, humedad, contaminación– Importancia del transporte vertical en el
tiempo• La vertical es la dirección fuerte en
– Gradientes– Flujos
• (Cerca de la superficie)
Simplificación: Flujos Verticales
0
xT
wkvjuiV ˆˆˆ
0
yT
0
zT
z
y
x
Dirección de los flujos• Sinópticos: gradientes a escala continental• Turbulentos: gradientes (verticales) locales
ECUACIONES DE PERTURBACIONESESQUEMA
• Nos interesa sobre todo una dimensión• Escalas de tiempo
– Estadísticas– Los promedios de Reynolds– El flujo turbulento
• Las ecuaciones en promedio– Estado – Ley de gases– Las ecuaciones de conservación
• Advección en “flux form”• Etapas para su derivación• Momento
• Las ecuaciones para las perturbaciones– Estado – ley de gases– Momento Vertical– Momento en general
• La “fricción” en un contexto turbulento (Re)
Comportamiento del viento
• La velocidad del viento varia de manera irregular• “Casi-aleatorio”: normalmente se puede ver un promedio• La intensidad de la turbulencia varía, y se puede cantificar (luego)
Vamos a interponer una partición
No Turbulencia Turbulencia
Turbulencia
• Estocástica / Casi-aleatorio• Técnicas estocásticas
– Estadísticas• Promedio• Varianza• Co-varianza (luego: flujo)
– Interval de promedio ~ media hora• Captura todo lo que es “turbulento”• Elimina movimientos a escalas “no-interesantes”
Motivación para trabajar con promedios
El flujo del calor es sesgado
Descomposición temporal notación: barras y primas
Viento total Componente turbulento
Viento promedio
'uuu
ECUACIONES DE PERTURBACIONESESQUEMA
• Nos interesa sobre todo una dimensión• Escalas de tiempo
– Estadísticas– Los promedios de Reynolds– El flujo turbulento
• Las ecuaciones en promedio– Estado – Ley de gases– Las ecuaciones de conservación
• Advección en “flux form”• Etapas para su derivación• Momento
• Las ecuaciones para las perturbaciones– Estado – ley de gases– Momento Vertical– Momento en general
• La “fricción” en un contexto turbulento (Re)
Descomposición de Reynolds
• Leyes de promedios
BABA
0' A
AkkA
AA
BABA
Otras leyes de promedios
• La ley de Leibnitz
dtAd
dtdA
Promedios de Reynolds• Notando el promedio con una barra,
descomponemos los variables
• Y el flujo promedio (cinemático, vertical) se escribe así
''
cccwww
)')('( ccwwwc
¿Qué es esto?
'''' cwwccwcw
''cwcw
'''' cwwccwcw
Se trata de una covarianza
''
cccwww
N
ccwwN
))((1
N
cwN
cw ''1''
ECUACIONES DE PERTURBACIONESESQUEMA
• Nos interesa sobre todo una dimensión• Escalas de tiempo
– Estadísticas– Los promedios de Reynolds– El flujo turbulento
• Las ecuaciones en promedio– Estado – Ley de gases– Las ecuaciones de conservación
• Advección en “flux form”• Etapas para su derivación• Momento
• Las ecuaciones para las perturbaciones– Estado – ley de gases– Momento Vertical– Momento en general
• La “fricción” en un contexto turbulento (Re)
El Flujo Turbulento• El flujo promedio se puede descomponer
en dos partes
• La parte turbulenta se define como una covarianza– (Así: la técnica “eddy covariance”)
''cwcwwc
Remolinos: subiendo/bajandoDay
[CO2] (ppm)
z (m
)
w’>0
c’<0
producto: w’c’<0
Burbuja subiendo
zm Nivel de referencia (nivel de medida)
Medidas en un marco Euleriano
De Día
De día: la fotosíntesis quita CO2 en la superficie, y establece un gradiente
Remolinos: subiendo/bajandoDay
[CO2] (ppm)
z (m
)
w’<0
c’>0
producto: w’c’<0
Burbuja bajando
zm Nivel de referencia (nivel de medida)
De día: flujo neto de CO2 hacía la superficie (negativo) para remolinos tanto subiendo como bajando
De Día
Nivel de referencia (nivel de medida)
Medidas en un marco Euleriano
Remolinos: subiendo/bajandoDay
[CO2] (ppm)
z (m
)
w’>0
u’<0
producto: w’u’<0
Burbuja subiendo
zm
De Día
Inercia promedia
Perfil de viento • Lo mismo que hay un flujo de CO2, hay un flujo de momento
''uwuwwu
''uw
ECUACIONES DE PERTURBACIONESESQUEMA
• Nos interesa sobre todo una dimensión• Escalas de tiempo
– Estadísticas– Los promedios de Reynolds– El flujo turbulento
• Las ecuaciones en promedio– Estado – Ley de gases– Las ecuaciones de conservación
• Advección en “flux form”• Etapas para su derivación• Momento
• Las ecuaciones para las perturbaciones– Estado – ley de gases– Momento Vertical– Momento en general
• La “fricción” en un contexto turbulento (Re)
La ecuación de estado
• Descomposición temporal
• La ley de gases es
• Podemos derivar una ecuación para el estado promedio de la capa límite:
(despreciamos los productos de perturbaciones)
''' vvd TTRpp
'''
vvv TTT
ppp
vd TRp vdvd TRTRp ''
ECUACIONES DE PERTURBACIONESESQUEMA
• Nos interesa sobre todo una dimensión• Escalas de tiempo
– Estadísticas– Los promedios de Reynolds– El flujo turbulento
• Las ecuaciones en promedio– Estado – Ley de gases– Las ecuaciones de conservación
• Advección en “flux form”• Etapas para su derivación• Momento
• Las ecuaciones para las perturbaciones– Estado – ley de gases– Momento Vertical– Momento en general
• La “fricción” en un contexto turbulento (Re)
Advección en “flux form”• Advección de z (cualquier):
• El producto de z con “continuity “:– Forma incompresible (!)
• Por lo cual, se puede escribir advección como:
• “flux form”: contiene el flujo cinético (zuj)
0
j
j
xu
j
j
j
j
jj
jj x
uxu
xu
xu
0
jj x
u
ECUACIONES DE PERTURBACIONESESQUEMA
• Nos interesa sobre todo una dimensión• Escalas de tiempo
– Estadísticas– Los promedios de Reynolds– El flujo turbulento
• Las ecuaciones en promedio– Estado – Ley de gases– Las ecuaciones de conservación
• Advección en “flux form”• Etapas para su derivación• Momento
• Las ecuaciones para las perturbaciones– Estado – ley de gases– Momento Vertical– Momento en general
• La “fricción” en un contexto turbulento (Re)
La ecuación Navier-Stokes(conservación de inercia)
– I almacenamiento (cambio local)– II transporte (“advección”)– III gravedad– IV Coriolis– V gradiente de presión– VI estrés viscoso (transporte molecular)
2
2
312
j
i
ikjijki
j
ij
i
xu
xpug
xuu
tu
I II III IV V VI
– I almacenamiento (cambio local)– II transporte (“advección”)– VI transporte molecular (“conducción”)– VII divergencia del flujo radiativo– VIII calor latente por cambio de fase(despreciamos el calor producido por fricción)
La ecuación termodinámica
pj
j
pjT
jj c
LExR
cxxu
t
1
2
2
I II VI VII VIII
Conservación de un escalar• Razón de mezcla (r), de H2O por ejemplo
– I almacenamiento (cambio local)– II transporte (“advección”)– VI transporte molecular (“difusión”)– VII evaporación (fuente/sumidero = source/sink)
djv
jj
Exr
xru
tr
2
2
I II VI VII
Ecuaciones de conservación para la capa límite
• Las derivaciones son parecidas para la conservación de– Momento– Energía Termodinámica (calor)– Razón de mezcla
• Los pasos:– 1. Ecuación de conservación (antes)– 2. Expansionar términos ( , por ejemplo)– 3. Tomar el promedio de la ecuación– 4. Aplicar las leyes de Reynolds (nos quedamos con )– 5. “Continuity” -- “flux form”– 6. Despreciamos la difusión molecular (turbulencia es más
eficaz)
' y
''w
Ejemplo: conservación en las perturbaciones turbulentas (c)
• Los pasos:– 1. Ecuación de conservación– 2. Expansionar términos
– 3. Tomar el promedio de la ecuación– 4. Aplicar las leyes de Reynolds
– 5. “Continuity” -- “flux form”
– 6. Despreciar la difusión molecular
cj
cj
j Sxc
xcu
tc
2
2
cj
cj
jj
j Sccxx
cuxcu
tc
)'('' 2
2
')'()'()'('2
2
ccj
cj
jj SSccx
ccx
uutc
tc
cj
cjjj
j Sccx
cuxx
cutc
)'('' 2
2
cjjj
j Scuxx
cutc
''
Comparar
Resumen de las ecuaciones para el caso promedio
vd TRp 0
j
j
xu
j
jgc
jj x
uuvVf
xuu
tu
''
)(
j
jgc
jj x
vuuUf
xvu
tv
''
)(
j
Tjq
j
Tj
T
xquS
xqu
tq T
''
j
j
j
jv
pjj x
uxR
ELcx
ut
''1
j
jC
jj x
CuS
xCu
tC
''
I II VII X
Término I almacenamiento Término II advección Término VII fuente
/sumidero Término X divergencia del
flujo turbulento
Promedio Fuentes “Difusión” Momento vertical: luego
ECUACIONES DE PERTURBACIONESESQUEMA
• Nos interesa sobre todo una dimensión• Escalas de tiempo
– Estadísticas– Los promedios de Reynolds– El flujo turbulento
• Las ecuaciones en promedio– Estado – Ley de gases– Las ecuaciones de conservación
• Advección en “flux form”• Etapas para su derivación• Momento
• Las ecuaciones para las perturbaciones– Estado – ley de gases– Momento Vertical– Momento en general
• La “fricción” en un contexto turbulento (Re)
Perturbaciones• Las perturbaciones se definen como lo que hay
en general, menos la parte promedio• Ahora, tenemos dos tipos de ecuaciones
– General– Promedio
• Definimos las ecuaciones para las perturbaciones como la diferencia entre la situación general y el promedio
• Uno ejemplos – La ley de gases– La ecuación de momento
La ecuación de estado para las perturbaciones
• De la ley general de gases
• Sustraemos la ecuación para promedios de la ecuación total de estado
• Y obenemos:vd TRp
vdvdvd TRTRTRp '''''
''' vvd TTRpp
La ecuación de estado (cont)• Dividimos por la ecuación de promedios:
• Despreciamos el último termino (producto de perturbaciones)
• Despreciamos las fluctuaciones de p
v
v
v
v
TT
TT
pp
'''''
3
4
105~'
10~'10~'
v
v
TT
ppPap
La ecuación de estado(cont)• Podemos sustituir las fluctuaciones de densidad con
las de la temperatura (que se miden)
'''
v
v
v
v
TT
'61.0'' qTTT v
'61.0'' qv
qTf ,
ECUACIONES DE PERTURBACIONESESQUEMA
• Nos interesa sobre todo una dimensión• Escalas de tiempo
– Estadísticas– Los promedios de Reynolds– El flujo turbulento
• Las ecuaciones en promedio– Estado – Ley de gases– Las ecuaciones de conservación
• Advección en “flux form”• Etapas para su derivación• Momento
• Las ecuaciones para las perturbaciones– Estado – ley de gases– Momento Vertical– Momento en general
• La “fricción” en un contexto turbulento (Re)
Inercia Vertical
Ecuación de moviemiento, i=3
• Multiplicamos por y aplicamos promedios de Reynolds :
2
21
jxw
zpg
dtdw
'
g
zp
xww
zpg
dtwwd
j
1''1'''1 2
2
hidrostático
• << 1
• Sin embargo, tiene una magnitud igual de grande como los otros términos, y no lo podemos despreciar
La Aproximación Boussinesq(perturbaciones de densidad)
2
2 ''1'''1jx
wwzpg
dtwwd
'
g '
2
2 ''1''jx
wwzpg
dtwwd
• Subsidencia es pequeña ( ), y despreciable en la ecuación de inercia(puede ser importante para advección de q, c, T, …)
• Utilizando lo de la ecuación de estado
» I – cambio material» III – gravedad (“buoyancy” = empuje-gravedad)» V – gradiente de presión» VI - fricción
Inercia Vertical'ww
2
2 ''1''jv
v
xw
zpg
dtdw
I III VI VII
ECUACIONES DE PERTURBACIONESESQUEMA
• Nos interesa sobre todo una dimensión• Escalas de tiempo
– Estadísticas– Los promedios de Reynolds– El flujo turbulento
• Las ecuaciones en promedio– Estado – Ley de gases– Las ecuaciones de conservación
• Advección en “flux form”• Etapas para su derivación• Momento
• Las ecuaciones para las perturbaciones– Estado – ley de gases– Momento Vertical– Momento en general
• La “fricción” en un contexto turbulento (Re)
Momento• La ecuación completa (antes de expandir):
• La parte promedio
• Restando, nos quedamos con la ecuación prognóstica para la “ráfaga” turbulenta ui’:
2
2
312
j
i
ikjijki
j
ij
i
xu
xpug
xuu
tu
j
ji
j
i
ikjijki
j
ij
i
xuu
xu
xpug
xuu
tu
''12 2
2
3
j
ji
j
i
ijijc
v
vi
j
ij
j
ij
j
ij
i
xuu
xu
xpufg
xuu
xuu
xuu
tu
''''1'''''''2
2
33
Cambio local
Advección (varios) Arquímedes Presión “Fricción”
ECUACIONES DE PERTURBACIONESESQUEMA
• Nos interesa sobre todo una dimensión• Escalas de tiempo
– Estadísticas– Los promedios de Reynolds– El flujo turbulento
• Las ecuaciones en promedio– Estado – Ley de gases– Las ecuaciones de conservación
• Advección en “flux form”• Etapas para su derivación• Momento
• Las ecuaciones para las perturbaciones– Estado – ley de gases– Momento Vertical– Momento en general
• La “fricción” en un contexto turbulento (Re)
El Numero de Reynolds• La razón entre inercia y las fuerzas moleculares
• U y L : escalas típicos. nair1.5 10-5 m2s-1
• Re– para Re ~1, hace falta U ~ 10-2 m/s y L~10-3 m– Por valores típicos (SL) U=5 m/s y L=100 m, Re 3 107
Re~
//~,,
UL
LLULUU
VIXIII
j
ji
j
i
ikjijki
j
ij
i
xuu
xu
xpug
xuu
tu
''12 2
2
3
I II III IV V VI X
El Numero de Reynolds
• Re >> 1, el movimiento es turbulento y se puede despreciar las fuerzas moleculares en la ecuación de inercia
• Re ~ 1, régimen intermedio
• Re << 1, el movimiento es laminar
UL
Re
“Fricción”• En la capa limite, lejos (a cm o más) de la superficie,
el freno (“fricción”) no es molecular si no el estrés de Reynolds ( )
• Por eso, definimos una escala de velocidad muy importante para la turbulencia
• Se llama la velocidad de fricción (“friction velocity”)• Y el estrés (de Reynolds) es
''uw
''2* uwu
5.0* ''uwu
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