an lisis temporal se ales sistemas discretos - uv.essoriae/tema_2_pds.pdf · potencia (su ener g a...

Procesado Digital de Señales.

4º Ingeniería Electrónica, Universitat de València, Profesor Emilio Soria

Análisis temporal de señales y

sistemas discretos.

1



OBJETIVOS DEL TEMA. En este tema se analizarán las señales y sistemas discretos desde el punto de

vista temporal; son conceptos BÁSICOS E IMPRESCINDIBLES a la hora de trabajar con dichos sistemas.

Señales discretas. Tipos.

Sistema lineal, invariante temporal.

Estabilidad. Causalidad

Respuesta impulsional.

Convolución. Propiedades

Energía y potencia de una señal discreta

Correlación.

2



Sinusoide

Señales discretas. Tipos principales Impulso unitario

Senales elementales en tiempo discreto:

• Impulso unitario:

!(n) =

!"

#1, para n = 0

0, para n != 0

• Impulso unitario desplazado:

!(n" n0) =

!"

#1, para n = n0

0, para n != n0

• Escalon unitario:

u(n) =

!"

#1, para n # 0

0, para n < 0

• Rampa unitaria:

ur(n) =

!"

#n, para n # 0

0, para n < 0

• Exponencial: ue(n) = A"n, $n y ", A % C. En funcion del va-

lor de " y A se tratara de una exponencial creciente/decreciente

compleja o real.

" = |"|ejw0n (2.1)

31

1Unit sample

0

(a)

n

1Unit step

0

(b)

...

......

...

n

Real exponential

0

(c)

n

Sinusoidal

0

(d)

...

...

...

... n

Figure 2.3 Some basic sequences.The sequences shown play importantroles in the analysis and representationof discrete-time signals and systems.

Fro

m D

iscr

ete-

Tim

e Si

gnal

Pro

cess

ing,

2e

by

Op

pen

hei

m, S

chaf

er,

and

Buck

©

19

99

-20

00 P

ren

tice

Hal

l, I

nc.

Escalón unitario.



!(n) =

!"

#1, para n = 0

0, para n != 0


!(n" n0) =

!"

#1, para n = n0

0, para n != n0


u(n) =

!"

#1, para n # 0

0, para n < 0

• Rampa unitaria:

ur(n) =

!"

#n, para n # 0

0, para n < 0



compleja o real.

" = |"|ejw0n (2.1)

31

1Unit sample

0

(a)

n

1Unit step

0

(b)

...

......

...

n

Real exponential

0

(c)

n

Sinusoidal

0

(d)

...

...

...

... n


Fro

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iscr

ete-

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gnal

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19

99

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Hal

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1Unit sample

0

(a)

n

1Unit step

0

(b)

...

......

...

n

Real exponential

0

(c)

n

Sinusoidal

0

(d)

...

...

...

... n


Fro

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ete-

Tim

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by O

pp

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199

9-2

00

0 P

ren

tice

Hal

l, I

nc.

Exponencial compleja.

!

RXX (m) =1

2 " #SX w( ) "e jmw

$#

#

% dw

!

SY w( ) = H ( j "w)2" SX w( )

!

x(n) = A "e#"n

!

x(n) = A "sin # " n +$( )

!

x(n) = A "ej " w"n+#( )

Además de estas señales

discretas básicas se tienen

sus versiones retardadas;

a modo de ejemplo el impulso unitario retardado

queda definido como



!(n) =

!"

#1, para n = 0

0, para n != 0


!(n" n0) =

!"

#1, para n = n0

0, para n != n0


u(n) =

!"

#1, para n # 0

0, para n < 0

• Rampa unitaria:

ur(n) =

!"

#n, para n # 0

0, para n < 0



compleja o real.

" = |"|ejw0n (2.1)

31

Una última definición es la de

señal discreta periódica que

cumple x(n+N)= x(n) " n; aquí N es el periodo de la

señal.

Exponencial real.

1Unit sample

0

(a)

n

1Unit step

0

(b)

...

......

...

n

Real exponential

0

(c)

n

Sinusoidal

0

(d)

...

...

...

... n


Fro

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l, I

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!

x n( ) = A "#n

!

x n( ) = A " cos # "n+$( )

!

ak

= ak"1 + d# a

n

k=N1

N2

$ =aN1

+ aN2

2

%

& '

(

) * + N1 + N

2"1( )

ak

= ak"1 + r# a

n

k=N1

N2

$ =aN2

+ r " aN1

r "1

%

& '

(

) *

!

T a " x1n( ) + b " x

2n( ){ } = a "T x

1n( ){ }+ b "T x

2n( ){ }

!

ak " y(n# k) =

k=0

M

$ bs " x(n# s)

s=0

N

$

!

ak " yH (n# k) = 0

k=0

M

$

!

ak " yP (n# k) =

k=0

M

$ bs " x(n# s)

s=0

N

$

!

T a " x n( ) + b " y n( ){ } = a "T x n( ){ }+ b "T y n( ){ }

!

T x n( ){ } = y n( )"T x n#D( ){ } = y n#D( )

!

y(n) = x n( )" 2 # x n"1( ) + x n" 2( )

!

x(n) = x k( ) "# n$ k( )k=$%

%

&

!

y n( ) = T x n( ){ }

!

y(n) = T x k( ) "# n$ k( )k=$%

%

&'

( )

* )

+

, )

- )

!

y(n) = x k( ) "T # n$ k( )[ ]k=$%

%

&

!

h n( ) = T " n( ){ }# h n$ k( ) = T " n$ k( ){ }

!

y(n) = x k( ) "h n# k( )k=#$

$

%

!

y(n) = x n( )"h n( )

!

ak " y(n# k) =

k=0

M

$ bk " x(n# s)

s=0

N

$

!

ak " yH (n# k) = 0

k=0

M

$

!

x n( ) = A "#n

!

x n( ) = A " cos # " n+$( )

!

ak

= ak"1 + d# a

n

k=N1

N2

$ =aN1

+ aN2

2

%

& '

(

) * + N1 + N

2"1( )

ak

= ak"1 + r# a

n

k=N1

N2

$ =aN2

+ r " aN1

r "1

%

& '

(

) *

!

T a " x1n( ) + b " x

2n( ){ } = a "T x

1n( ){ }+ b "T x

2n( ){ }

!

ak " y(n# k) =

k=0

M

$ bs " x(n# s)

s=0

N

$

!

ak " yH (n# k) = 0

k=0

M

$

!

ak " yP (n# k) =

k=0

M

$ bs " x(n# s)

s=0

N

$

!

T a " x n( ) + b " y n( ){ } = a "T x n( ){ }+ b "T y n( ){ }

!

T x n( ){ } = y n( )"T x n#D( ){ } = y n#D( )

!

y(n) = x n( )" 2 # x n"1( ) + x n" 2( )

!

x(n) = x k( ) "# n$ k( )k=$%

%

&

!

y n( ) = T x n( ){ }

!

y(n) = T x k( ) "# n$ k( )k=$%

%

&'

( )

* )

+

, )

- )

!

y(n) = x k( ) "T # n$ k( )[ ]k=$%

%

&

!

h n( ) = T " n( ){ }# h n$ k( ) = T " n$ k( ){ }

!

y(n) = x k( ) "h n# k( )k=#$

$

%

!

y(n) = x n( )"h n( )

!

ak " y(n# k) =

k=0

M

$ bk " x(n# s)

s=0

N

$

!

ak " yH (n# k) = 0

k=0

M

$

3



Señales discretas. Energía y potencia.

La energía de una señal discreta queda definida de la siguiente forma

A = |A|ej!

x(n) = |A||"|nejw0nej! = |A||"|nej(w0n+!)

Si |"| = 1 ! x(n) = |A|ej(w0n+!) hablamos de una Secuencia

Exponencial Compleja que puede descomponerse en los corres-

pondientes fasores:

x(n) = |A|[cos(w0n + !) + jsin(w0n + !)],

donde w0 es la frecuencia de la sinusoide.

Descomposicion: Toda secuencia se puede expresar como una

combinacion de #s.

Por ejemplo:

x(n) = {1, 2, 3, 4, ...}! x(n) = #(n) + 2#(n" 1) + 3#(n" 2) + . . .

El escalon unitario se puede expresar ası:

u(n) =n!

k="#

#(k)

De forma general:

x(n) =#!

k="#

x(k)#(n" k)

Clasificacion de senales en tiempo discreto:

• Energıa y potencia:

Energia : E $#!

n="#|x(n)|2

32

Si este valor es finito se dice que la señal es una señal de energía

La potencia media de una señal discreta queda definida de la siguiente forma

Si E es finita se habla de x(n) como una senal de energıa.

Potencia media : P ! lımN"#

1

2N + 1

N!

n=$N

|x(n)|2

Muchas senales con energıa infinita poseen potencia media fini-

ta.

Podemos llegar a:

P ! lımN"#

1

2N + 1EN

donde EN es la energıa de la senal en el intervalo$N % n % N .

• Simetricas y antisimetricas:

Simetrica (par) : x($n) = x(n)

Antisimetrica (impar) : x($n) = $x(n)

Cualquier senal se puede expresar como suma de dos compo-

nentes, una par y la otra impar.

• Periodicas y aperiodicas:

Periodica : x(n + N) = x(n), &n y N > 0.

El valor mas pequeno de N es el periodo fundamental.

33

Si la potencia media es finita y diferente de cero la señal se denomina señal de potencia

A modo de ejemplo es inmediato comprobar que el escalón unidad es una señal de

potencia (su energía es infinita) y el impulso unitario es una función energía (su potencia

media es 0).

A modo de ejercicio intenta demostrar que la señal discreta compleja x(n)= A!ejwn tiene

energía infinita y potencia media igual a A y que la señal rampa x(n)=n!u(n) ni es señal

de energía ni de potencia.

4



Sistemas discretos. Se define un sistema discreto como aquel que transforma

una señal discreta original x(n) a otra final y(n) x [n] y [n]T {•}

Figure 2.6 Representation of adiscrete-time system, i.e., atransformation that maps an inputsequence x[n] into a unique outputsequence y[n].

From Discrete-Time Signal Processing, 2e

by Oppenheim, Schafer, and Buck

©1999-2000 Prentice Hall, Inc.

Un sistema discreto es invariante temporal si desplazamientos temporales de la

entrada se traducen en los mismos desplazamientos temporales a la salida del sistema

Types of discrete systemsA causal system cannot look into the future:

yn = f(xn, xn!1, xn!2, . . .)

A memory-less system depends only on the current input value:

yn = f(xn)

A delay system shifts a sequence in time:

yn = xn!d

T is a time-invariant system if for any d

{yn} = T{xn} !" {yn!d} = T{xn!d}.

T is a linear system if for any pair of sequences {xn} and {x"n}

T{a · xn + b · x"n} = a · T{xn} + b · T{x"

n}.

7

Un sistema discreto es lineal si para cualquier par de constantes a y b se cumple la siguiente igualdad.


yn = f(xn, xn!1, xn!2, . . .)


yn = f(xn)


yn = xn!d


{yn} = T{xn} !" {yn!d} = T{xn!d}.


T{a · xn + b · x"n} = a · T{xn} + b · T{x"

n}.

7La propiedad de linealidad permite aplicar el principio de superposición en procesado digital de señales. Las dos propiedades, linealidad e invarianza temporal son claves para definir la convolución (SI NO SE DAN ESTAS DOS PROPIEDADES NO SE PUEDE DEFINIR LA CONVOLUCIÓN).

5



Respuesta impulsional. Convolución. Tenemos un sistema discreto L.T.I (lineal e invariante temporal) y estamos interesados en determinar la

salida de dicho sistema cuando se tiene una cierta señal a la entrada........

Aquí hay tres cuestiones clave, la primera consiste en que cualquier señal se puede poner como combinación lineal de una serie de impulsos

unitarios

Can all LTI systems be represented by convolution?Any sequence {xn} can be decomposed into a weighted sum of shiftedimpulse sequences:

{xn} =!

!

k="!

xk · {!n"k}

Let’s see what happens if we apply a linear(#) time-invariant(##) systemT to such a decomposed sequence:

T{xn} = T

" !!

k="!

xk · {!n"k}

#

(#)=

!!

k="!

xk · T{!n"k}

(##)=

!!

k="!

xk · {!n"k} ! T{!n} =

" !!

k="!

xk · {!n"k}

#

! T{!n}

= {xn} ! T{!n} q.e.d.

" The impulse response T{!n} fully characterizes an LTI system.15

Si queremos determinar la salida de la señal discreta {xn} aplicaremos


yn = f(xn, xn!1, xn!2, . . .)


yn = f(xn)


yn = xn!d


{yn} = T{xn} !" {yn!d} = T{xn!d}.


T{a · xn + b · x"n} = a · T{xn} + b · T{x"

n}.

7

Recordando la expresión anterior se tiene


{xn} =!

!

k="!

xk · {!n"k}


T{xn} = T

" !!

k="!

xk · {!n"k}

#

(#)=

!!

k="!

xk · T{!n"k}

(##)=

!!

k="!

xk · {!n"k} ! T{!n} =

" !!

k="!

xk · {!n"k}

#

! T{!n}

= {xn} ! T{!n} q.e.d.


Aquí se aplica la 2ª “cuestión clave” el sistema es lineal


{xn} =!

!

k="!

xk · {!n"k}


T{xn} = T

" !!

k="!

xk · {!n"k}

#

(#)=

!!

k="!

xk · T{!n"k}

(##)=

!!

k="!

xk · {!n"k} ! T{!n} =

" !!

k="!

xk · {!n"k}

#

! T{!n}

= {xn} ! T{!n} q.e.d.


Se tiene la actuación del sistema sobre la señal impulso unitario retardado. Definimos la respuesta impulsional de un sistema discreto, hk , como la

salida del sistema cuando la entrada es el impulso unitario esto es hk=T{#k}.

Finalmente como el sistema es invariante

temporal se llega a

!

RXX (m) =1

2 " #SX w( ) "e jmw

$#

#

% dw

!

SY w( ) = H ( j "w)2"SX w( )

!

x(n) = A "e#"n

!

x(n) = A "sin # "n +$( )

!

x(n) = A "ej " w"n+#( )

!

yn{ } = xk "hn#kk=#$

$

% & y(n) = x(k) "h(n # k)

k=#$

$

%

El anterior producto-suma se conoce como la convolución de xk y hk y se designa por

!

RXX (m) =1

2 " #SX w( ) "e jmw

$#

#

% dw

!

SY w( ) = H ( j "w)2"SX w( )

!

x(n) = A "e#"n

!

x(n) = A "sin # "n +$( )

!

x(n) = A "ej " w"n+#( )

!

yn{ } = xk "hn#kk=#$

$

% & y(n) = x(k) "h(n # k)

k=#$

$

%

!

xn{ } " h

n{ } = xk#h

n$k

k=$%

%

&

6



Convolución. Propiedades

Distributiva.

Propiedades de la convolucion:

• Conmutativa: h(n) ! x(n) = x(n) ! h(n)

• Distributiva: x(n)![h1(n)+h2(n)] = x(n)!h1(n)+x(n)!h2(n)

• Asociativa: h2(n) ! [h1(n) ! x(n)] = [h2(n) ! h1(n)] ! x(n)

Propiedades de h(n):

• “Un sistema LTI es estable "!#

k=$# |h(k)| < #, entonces

los sistemas con h(n) = 0, %n & n0 son todos estables.”

• “Un sistema LTI es causal si h(n) = 0, %n < 0.”

39

!

"#$%&'(&)(%&#*%+'),'-)./)01#*).2

x[n]h1 n][ h2[n]

y[n] x[n] y[n]h2 ] h1[n]

x[n] y[n]h1[ *==

x[n] y[n]

h1[ ]

h2[ ]

=x[n] y[n]

h1[ ]+h2[ ]

n[ n] h ]2[n

n n

n

n










39

!

"#$%&'(&)(%&#*%+'),'-)./)01#*).2

x[n]h1 n][ h2[n]

y[n] x[n] y[n]h2 ] h1[n]

x[n] y[n]h1[ *==

x[n] y[n]

h1[ ]

h2[ ]

=x[n] y[n]

h1[ ]+h2[ ]

n[ n] h ]2[n

n n

n

n

Asociativa.










39

2004-09-14Dan Ellis 28

Connected systems

! Cascade connection:

Impulse response h[n] of the cascade of

two systems with impulse responsesh1[n] and h2[n] is

! By commutativity,

][nh2][nh1 ][][ nhnh 1=][nh2][nh1 *!

][nh2][nh1 ][nh1][nh2!

][nh2*

h[n] = h1[n]

Conmutativa.

7



Convolución. Ejemplos gráficos

!

"#$%&'() *+,-+'./0+,1+21/3+14(5/$,6'(71!!""8

k

x[k]

50

1

n

y[n]

0 5

6N=

10

6

!"

n = –

n = –

n =

n =

n =

y = 0

y = 0

y = 3

y = 6

y = 3

y = 0

y = 0n =

x[k]

x[k]

x[k]

x[k]

x[k]

x[k]

x[

x[

x[

x[

x[

x[ –k]

1

k

k

k

k

k

k

k

–7–k]

–1–k]

2–k]

x[k]x[5–k]

8–k]

11–k]

17

8

7

1

n = 2

5

11

17

8



Estabilidad. Causalidad.Una vez vista la forma de obtener las salidas de un sistema discreto es necesario

definir el concepto de estabilidad BIBO; un sistema digital es estable BIBO si, ante

cualquier entrada acotada, la salida del sistema permanece acotada.

Se puede demostrar que la definición anterior se transforma en la siguiente condición matemática










39

Si nos fijamos en la respuesta impulsional del sistema discreto aparece lo que se conoce como sistema F.I.R (Finite Impulse Response) e I.I.R (Infinite Impulse

Response). Evidentemente (¿lo ves?) los sistemas FIR siempre son estables.

Otra definición importante es la de causalidad; un sistema discreto es causal cuando

la salida en cualquier instante no depende de valores futuros de entradas o salidas.

Es inmediato comprobar que un sistema es causal si se cumple que










39

9



Correlación. Autocorrelación.Existen situaciones en las que estamos interesados en determinar como va cambiando

una señal a lo largo del tiempo; nos preguntamos si existe cierto parecido en la forma de

onda x(n) si consideramos diferentes intervalos temporales. Esta información es muy

útil cuando se modelizan sistemas y existen periodicidades

Las operaciones de procesado digital que nos proporcionan esa información son la

autocorrelación; cuando quiero determinar parecido dentro de una misma señal x(n); y

la correlación cruzada cuando quiero determinar parecido entre formas de onda

diferentes.

Se pueden distinguir entonces dos operaciones; la autocorrelación cuando se utiliza una señal y la correlación cruzada cuando se utilizan dos secuencias discretas.

Se define la autocorrelación de una señal discreta x(n) a la secuencia definida por la siguiente expresión,

2004-09-14Dan Ellis 54

Autocorrelation

! Autocorrelation (AC) is correlation of

signal with itself:

! Note: Energy of sequence x[n]

rxx[l] = x[n]x[n ! l]

n=!"

"

# = rxx[!l]

rxx[0] = x

2[n]

n=!"

"

# = $x

La energía de la

señal se corresponde

con rxx(0)

10



Correlación cruzada.!"##$%&'(")*+,&-.%$*/0")'12

! 34()5*#&6&#7*8$*'#&)4-('*'9$*4(5)&%*49"8)*:$%"8

!"##$%&'(")*+,&-.%$*/0")'12

! 3$*#$0$(4$*'5$*6"%%"7()8*/)"'$*'5$*)"(9$:2

!"##$%&'(")*+,&-.%$

! /#"0(1$2*&*-$&23#$*"4*2(-(%&#('5*6$'7$$)*8*2(9)&%2

! :5.(;&%*&..%(;&'(")*(2*%";&'()9*&*<)"7)*2(9)&%

! +=9=>*'#&)2-('*&*2(9)&%*&)1*2$$*(4*5"3*#$;$(0$*('*6&;<*&)1*&%2"*&'*7?&'*'(-$*5"3*#$;$(0$*('*6&;<

!"#"$

%&'()*#+

,-,*./

Problema clásico--Radar y Sonar.

!"##$%&'(")*+,&-.%$*/0")'12Además se comprueban las siguientes igualdades

2.5. Correlacion y convolucion

Dadas dos secuencias x(n), y(n) se define la correlacion cruzada de

estas dos secuencias como:

rxy(l) =!!

k="!

x(n)y(n" l), l = 0,±1,±2, . . .

rxy(l) =!!

k="!

x(n + l)y(n), l = 0,±1,±2, . . .

ryx(l) ="!

k="! y(n)x(n" l) =

="!

k="! y(n + l)x(n) = rxy("l), l = 0,±1,±2, . . .

item Por tanto:

rxy(l) = x(l) # y("l) = ryx("l)

Por tanto, ryx(l) es solo la version reflejada de rxy(l) donde la refle-

xion se hace con respecto a l = 0. Por tanto, la matriz de correlacion

cruzada entre dos secuencias es simetrica; nos da la misma infor-

macion hacer la correlacion entre x(n) e y(n) que viceversa.

43

Se define la correlación cruzada entre

dos señales x(n) e y(n) como

!

rxy(l) = x k( ) " y k # l( )k=#$

$

% l = 0,±1,±2,....

!

rxy(l) = x n+ l( ) " y n( )n=#$

$

% l = 0,±1,±2,....

Si se hace un cambio de índices en la

expresión anterior es inmediato llegar a

la siguiente igualdad.

!

rxy(l) = x k( ) " y k # l( )k=#$

$

% l = 0,±1,±2,....

!

rxy(l) = x n+ l( ) " y n( )n=#$

$

% l = 0,±1,±2,....

11

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