analisis de fourier discreto

8/17/2019 Analisis de Fourier Discreto

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Análisis de Fourierpara señales Discretas


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Objetivos

1.Definir la DTFT y estudiar algunas de sus

propiedades.

2. Analizar señales y SLIT discretos utilizando

la transformada de Fourier.

3.Definir la DFT y estudiar algunas de sus

propiedades.


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Desarrollo en serie de fourier deseñales discretas y periódicas

• Una señal en tiempo discreto es periódica de

periodo N si:

• Donde N es un entero positivo

)()( N n xn x +=


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N k

ean x

k

n j

k

k k

π 2

][

=Ω

= Ω∑

• Solo hay N valores de

!"#$%$2$&'$N%


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• *eempla+ando en el desarrollo en series de,ourier -enerali+ado:

• .omo cada uno de los t/rminos de la serietiene periodo N por lo tanto su suma tam0i/ntiene periodo N

∑>==<

−=

N n

N

nk j

k en x N

aπ 2

)(%

∑∞

−∞==

n

T

nt j

k eat x

π 2

)(


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Propiedades de la Serie

discreta de Fourier.• Suponiendo ue 3(n) es una señal periódica$de ,recuencia ,undamental:

• 4 con los coe,icientes de la serie de ,ourier

discreta notados como:

k

SFD

an x ↔)(

N

π 2# =Ω


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Propiedades de la Serie

Continua de Fourier.• Linealidad:

• Desplazamiento de tiempo:

k

FS

at x ↔)(

( ) ( ) ( ) k k k SFD Bb Aacn Byn Axn z += →←+=

( ) k km jSFD aemn x #

Ω− →←−

k

FS

bt y ↔)(


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Propiedades de la SerieContinua de Fourier.• Convolución

• Modulación

∑∞

−∞=

Ω−=Ω

↔

n

n jk

k

k enh H

N

k H anhnhn x

)()(

2 periodicano)()5(6)(

S7D π

( ) ( ) k k k SFD bact yt x ⊗= →←


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Propiedades de la SerieContinua de Fourier.• Conjugación y simetría:

• Convolución periódica

∗

−

= k N k

aa

( ) ( ) k k k SFD b Nact yt x = →←⊗

∑∑ −

=

−

=−=−=⊗=

%

#

2%

%

#

2%2% )()()()()()()(

N

k

N

k

k xk n xk n xk xn xn xn y


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Transforada de fourier entiepo discreto DTFTecordando la pare!a transformada de fourier

en tiempo discreto"

∫ ∞

−∞=

−=

t

jwt dt et xw X )()(dwew X t x jwt

w

∫

∞

−∞=

= )(2

%)(

π

jwnT

n

t

jwt

nt

jwt

s s

enT x

dt et xnT t dt et xw X

−∞

−∞=

∞

−∞=

−∞

−∞=

∞

−∞=

−

∑

∫ ∑∫

=

−==

)(

)()()()( δ


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Transforada de fourier entiepo discreto DTFT• Sustituyendo 89 por la nueva ,recuencia

discreta en *adianes;

ΩΩ=

=Ω

Ω

><

Ω−∞

−∞=

∫

∑

d e X n x

en x X

n j

n j

n

π π 2 )(2

%

)(

)()(

Ω


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Propiedades de la Transforadade fourier en tiepo discreto

DTFT• Usando la notación:

• 4 sean

)()(%

Ω↔ℑ

ℑ− X n x

( ) ( )Ω →←ℑ

X n x ( ) ( )Ω →←

ℑ

Y n y


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DTFT• Periodicidad

• Linealidad:

• Desplazamiento de tiempo:

( ) ( ) ( ) )()()( Ω+Ω=Ω →←+= ℑ BY AX Z n Byn Axn z

( ) )(## Ω →←− Ω−ℑ X enn x

n j

( ) )(2 Ω →←+Ω ℑ X X π


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DTFT• Desplazamiento en frecuencia:

• Multiplicación “modulación”:

( ) ( )## Ω−Ω →←ℑΩ X en x n j

( ) ∫ ><ℑ

−Ω →← π π 2 )()(2%

)( dp pY p X n yn x


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DTFT• Diferenciación en frecuencia

• Convolución

• Desplazamiento en frecuencia:

( )

ΩΩ

→←ℑd

dX nnx )(

( ) ( ) )()(6 ΩΩ →←ℑ Y X n yn x

( )#)(# Ω−Ω →←ℑΩ− X n xe n j


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DTFT• D! de se"ales periódicas:

( )

( )

( )

%$111$2$%$#"

)(2

)(2

2con$

%

#

#

%

#

#

%

#

#

%

#

#

#

−=

Ω−Ω=Ω

Ω−Ω=ℑ=

=Ω

ℑ=Ω

∑

∑∑

∑

−

=

−

=

−

=

Ω−

−

=

Ω−

N k

k a X

k aea

N ea X

N

k

k

N

k

k

N

k

n jk

k

N

k

n jk

k

δ π

πδ

π

π 2# =Ω N

)2#()#( π += X X


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Transforada discreta de FourierDFT

∑>=<

= N k

N

nk j

k ean xπ 2

)(

∑>=<−

= N n

N

nk j

k en x N

a

π 2

)(% ΩΩ=

=Ω

Ω><

Ω−∞

−∞=

∫

∑

d e X n x

en x X

n j

n j

n

π π 2)(

2%)(

)()(

Se pretende encontrar la transformada de fourier de la secuencia discreta

−

−≤≤==$#

%#$%)()$()()(

N nnwnwn xn x oriina!


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Transforada discreta de FourierDFT

π 2 periodode periodica$)()(

%

#

n j N

nen x X

Ω−−

=∑=Ω

−−≤≤==

$#

%#$%)()$()()(

N nnwnwn xn x oriina!

%$111$&$2$%$#"$)()(%

#

−==Ω Ω−−

=∑ " k en x X n j N

n

k k

"

k k

π 2=Ω

#uede tomarse cual$uier %alor de & por practicidad se toma &'(


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Transforada discreta de FourierDFT y su inversa !DFT

%$111$&$2$%$#"$)()(%

#

−== Ω−−

=∑ N k en xk X n j N

n

k

N k

k π 2=Ω ∑

>=<

−= N n

N

nk j

k en x N

aπ 2

)(%

%$111$&$2$%$#"$)(

%

)(

%

#

−== Ω−

=∑ N nek X N n x n j

N

k

k


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Propiedades de la Transforadadiscreta de Fourier DFT

• Usando la notación:

• 4 sean

)()(%

k X n x DFT

DFT −

↔

( ) ( )k X n x DFT

→← ( ) ( )k Y n y DFT →←


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• Periodicidad

• Linealidad:

• Desplazamiento en n:

( ) ( ) ( ) )()()( k BY k AX k Z n Byn Axn z DFT += →←+=

( ) )(## k X enn x kn j DFT Ω− →←−

( ) )( N X N k X =+


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• #D! inversión alternativa “y r$pida”

• Convolución

( ) ( ) ∑−

=− →←

%

#

)()( N

m

#DFT mn ym x $ Y k X

( ) ( ){ }∗∗= )(% k X DFT N

n x )()(%

k X n x DFT

DFT −↔


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Convolución lineal ediante laDFT

#ara realizar la con%oluci)n lineal de dos secuencias *+n, de longitud ( yy+n, de longitud & mediante la DFT- se deen seguir los siguientes pasos"

1. Se e*panden al final de las dos secuencias con ceros de tal manera

$ue tengan una nue%a longitud / $ue cumpla"

%−+≥ N " k

2. 0on estas nue%as secuencias y se calcula"

))()(()( k X k Y #DFT n y aa! =

)(k ya )(n xa


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"eferencias

Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman.S y Srinath. M. 2ª edición cap 7

Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 5

Apuntes de clase Prof. airo !urtado P" Apuntes de clase Prof. uli#n $uiro%a P"

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