analisis model regresi coxrepository.usd.ac.id/30211/12/143114018 edit.pdf · 2018. 8. 7. · 3....

ANALISIS DATA KETAHANAN HIDUP DENGAN MODEL REGRESI

COX PROPORSIONAL HAZARDS

Tugas Akhir

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Etri Amiani

NIM: 143114018

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

SURVIVAL DATA ANALYSIS WITH THE COX PROPORTIONAL

HAZARDS REGRESSION MODEL

A Thesis

Present as a Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by:

Etri Amiani

Student Number: 143114018

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2018


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan kepada:

Tuhan Yesus Kristus atas segala Berkat dan Kasih-Nya yang mengalir

sepanjang perjalanan hidup saya.

Papah, mamah, kak Mela, dan kak Noto tercinta.

Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing yang tidak

akan tergantikan.

Semua orang yang akan membaca skripsi saya.

“Hormatilah ayahmu dan ibumu, supaya lanjut umurmu di tanah yang

diberikan Tuhan, Allahmu, kepadamu.” Keluaran 20:12


vii

ABSTRAK

Banyak peristiwa yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari berhubungan

dengan waktu ketahanan hidup. Data tentang lamanya waktu ketahanan hidup

individu disebut data ketahanan hidup. Data ketahanan hidup yang tidak dapat

diamati sepenuhnya atau tidak lengkap disebut sebagai data tersensor. Model

regresi Cox proporsional hazards digunakan untuk menganalisis dan menentukan

model regresi dari data ketahanan hidup, serta menyelidiki hubungan antara waktu

ketahanan hidup dengan satu atau lebih variabel penjelas. Model regresi Cox

dikatakan proporsional karena rasio hazard bernilai konstan seiring bertambahnya

waktu.

Pada tugas akhir ini, penduga model regresi Cox proporsional hazards

diaplikasikan pada data pasien kanker payudara di Rumah Sakit Panti Rapih

Yogyakarta tahun 2014-2016. Dari hasil komputasi diperoleh model regresi Cox

proporsional hazards yang terbaik untuk pasien kanker payudara tahun 2014-2016,

yaitu

.)(),( 5881.10xethth X

Nilai pendugaan paramater ̂ adalah -1.5881. Artinya, risiko untuk gagal

bertahan hidup pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi lebih kecil

dari pada pasien yang tidak mengikuti kemoterapi. Selanjutnya, pasien kanker

payudara yang mengikuti kemoterapi berpeluang bertahan hidup kurang lebih 5

kalinya pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi.

Kata Kunci: Data Tersensor, Model Regresi Cox Proporsional Hazards, Rasio

Hazard.


viii

ABSTRACT

A lot of events occured in daily life are connected with survival time. Data

discussing the duration of survival time is called survival data. Survival data

which cannot be observed completely is called as censored data. Cox proportional

hazards regression model is employed to analyze and determine regression model

from survival data, and to find the relationship between survival time and one or

more explanatory variables. Cox regression model is proportional because the

hazard ratio is constant over time.

In this thesis, Cox proportional hazards regression model is applied to

breast cancer patients at Panti Rapih Hospital Yogyakarta in 2014-2016. From the

computation as results, it is obtained that the best Cox proportional hazards

regression model for breast cancer patients in 2014-2016, is

.)(),( 5881.10xethth X

The estimate value of the parameter is -1.5881. It means that the risk to fail

for patients who take the chemotherapy is smaller than patients who do not take

the chemotherapy. Moreover, patients who take the chemotherapy have a

probability to survive about 5 times patients who do not take the chemotherapy.

Keywords: Censored Data, Cox Proportional Hazards Regression Model, Hazard

Ratio.


x

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala

berkat dan penyertaan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini

dengan baik. Tugas akhir yang berjudul “Analisis Data Ketahanan Hidup Dengan

Model Regresi Cox Proporsional Hazards” merupakan salah satu syarat untuk

memperoleh gelar sarjana Sains pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas

Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis mendapat banyak dukungan dan bantuan

dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Oleh karena itu, penulis ingin

menyampaikan terima kasih kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing tugas akhir

yang sangat baik hati dan penuh kesabaran telah meluangkan waktu, tenaga

dan pikiran serta selalu memberikan masukan, arahan, nasihat dan motivasi

kepada penulis.

2. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Dr. Rer. Nat. Herry P. Suryawan,

S.Si., M.Si., Bapak Y.G. Hartono, Ph.D., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko,

M.Sc., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., dan Bapak Sudi Mungkasi,

S.Si., M.Math., Ph.D., selaku dosen program studi matematika yang telah

membagikan ilmu dan pengalaman selama masa perkuliahan.

3. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains

dan Teknologi yang telah banyak membantu dalam proses administasi dan

akademik.

4. Kedua orang tuaku yang selalu memberikan doa, semangat, motivasi, dan

nasihat sampai tugas akhir ini selesai.

5. Sahabat d’joker: Vivi, Sandy, Rian, Ajie, Aldi, Andhi, Ilham, Ferisa, Yely

yang telah mewarnai pertemanan dan perjuangan saya di Yogyakarta.

6. Sahabat saya Sifra,Winda, dan Damai yang selalu berbagi cerita dan memberi

semangat di segala suasana.

7. Teman-teman Program Studi Matematika Angkatan 2014: Bella, Eka, Aan,

Inne, Dila, Dewi, Meme, Wulan, Monica, Destika, Dini, Mega, Arista, Efrem,


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .................................................................................................. i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ................................................ ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................................ iii

HALAMAN PENGESAHAN .................................................................................... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................................ v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...................................................................... vi

ABSTRAK ................................................................................................................. vii

ABSTRACT ............................................................................................................... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ............................................................ ix

KATA PENGANTAR ................................................................................................. x

DAFTAR ISI .............................................................................................................. xii

BAB I PENDAHULUAN .......................................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah ................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah .......................................................................................... 3

C. Batasan Masalah ............................................................................................. 3

D. Tujuan Penulisan ............................................................................................ 3

E. Manfaat Penulisan .......................................................................................... 4

F. Metode Penulisan ........................................................................................... 4

G. Sistematika Penulisan ..................................................................................... 4

BAB II LANDASAN TEORI .................................................................................... 6

A. Probabilitas ..................................................................................................... 6

1. Probabilitas dari Suatu Kejadian ............................................................... 6

2. Probabilitas Bersyarat ............................................................................... 7

3. Variabel Acak ............................................................................................ 8

B. Distribusi Probabilitas .................................................................................... 9

1. Distribusi Probabilitas Diskrit ................................................................... 9

2. Distribusi Probabilitas Kontinu (Fungsi Densitas) ................................... 13

3. Nilai Harapan ............................................................................................ 15

4. Variansi ...................................................................................................... 20


xiii

5. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen .................................................. 24

6. Metode Fungsi Pembangkit Momen ......................................................... 28

C. Distribusi Probabilitas Multivariat ................................................................. 30

D. Teorema Limit Pusat ...................................................................................... 33

E. Pendugaan Parameter ..................................................................................... 36

1. Penduga Titik ............................................................................................ 36

2. Penduga Selang (Selang Kepercayaan) ..................................................... 38

3. Metode Pivot ............................................................................................. 38

4. Selang Kepercayaan untuk Sampel Besar ................................................. 40

F. Fungsi Kemungkinan (Likelihood) ................................................................. 42

BAB III MODEL REGRESI COX ........................................................................ 46

A. Analisis Regresi ............................................................................................... 46

B. Analisis Ketahanan Hidup ............................................................................... 46

C. Data Tersensor ................................................................................................. 47

1. Penyensoran Tipe I .................................................................................... 47

2. Penyensoran Tipe II ................................................................................... 48

3. Penyensoran Tipe III.................................................................................. 49

D. Fungsi Ketahanan Hidup ................................................................................. 50

E. Fungsi Hazard ................................................................................................. 52

F. Model Regresi Cox Proporsional Hazards ...................................................... 53

G. Penduga Kemungkinan Maksimum Model Regresi Cox Proporsional

Hazards ............................................................................................................ 55

1. Pendugaan Parameter .......................................................................... 55

2. Pengujian Parameter .................................................................................. 56

a. Pengujian Secara Serentak .................................................................. 56

b. Pengujian Secara Parsial ..................................................................... 57

3. Menghitung Rasio Hazard ........................................................................ 57

BAB IV APLIKASI MODEL REGRESI COX PROPORSIONAL HAZARDS

UNTUK MENGANALISIS DATA KETAHANAN HIDUP ......................... 69

A. Sumber Data ................................................................................................... 69


xiv

B. Identifikasi Variabel ....................................................................................... 69

C. Model Regresi Cox Proporsional Hazards untuk Data Ketahanan Hidup ..... 70

BAB V PENUTUP ..................................................................................................... 76

A. Kesimpulan ..................................................................................................... 76

B. Saran ............................................................................................................... 77

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Statistika merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika yang

dipelajari oleh pelajar maupun mahasiswa saat ini. Statistika erat sekali

hubungannya dengan pengambilan sampel dari suatu populasi, proses pengolahan

data, analisis data serta penarikan kesimpulan yang sangat penting dalam

pengambilan keputusan. Banyak sekali orang memakai ilmu statistika untuk

mengambil keputusan dari suatu masalah, misalnya di bidang kesehatan.

Dalam bidang kesehatan, ilmu statistika yang sering digunakan adalah

analisis data ketahanan hidup. Analisis data ketahanan hidup adalah suatu

penyelidikan terhadap daya tahan hidup individu. Dalam bidang kesehatan pula,

sulit sekali bagi kita untuk mengetahui lamanya ketahanan hidup dari seseorang

yang menjalani pengobatan suatu penyakit, khususnya penyakit mematikan

seperti kanker. Ketahanan hidup yang dimaksud adalah proses terjadinya suatu

kejadian khusus, berupa kesembuhan, kambuhnya penyakit yang diderita, bahkan

kematian seseorang. Hal yang dapat kita lakukan adalah mengetahui sifat

karakteristik dari penyakit tersebut, seperti menganalisis peluang seseorang

bertahan hidup, risiko kematian, memodelkan sifat karakteristik penyakit dalam

suatu persamaan matematika, menentukan selang kepercayaan, serta mengambil

keputusan yang berhubungan dengan penyakit yang diderita orang tersebut.

Faktanya dalam bidang kesehatan, banyak sekali kejadian yang melibatkan

populasi heterogen. Sehingga penting sekali untuk menentukan hubungan waktu

ketahanan hidup seseorang dengan faktor lainnya. Model regresi Cox proporsional

hazards (Cox, 1972) pada dasarnya adalah model regresi yang sering digunakan

dalam penelitian medis untuk menyelidiki hubungan antara waktu ketahanan

hidup pasien dengan satu atau lebih variabel penjelas.

Model regresi Cox proporsional hazards diperluas pada kasus risiko

kematian seseorang di waktu tertentu yang bergantung pada nilai pxxx ,,, 21 dari

sejumlah p variabel bebas .,,, 21 pXXX Menurut Lee dan Wang (2003),


2

persamaan model regresi Cox proporsional hazards untuk pengamatan ke-i dari n

orang dapat dituliskan sebagai berikut:

ix

i ethth

)()( 0

dengan t variabel terikat yaitu waktu, parameter model, ix variabel bebas

ke-i.

Rasio hazard adalah rasio tingkat bahaya sesuai dengan kondisi yang

dijelaskan oleh satu atau lebih variabel penjelas. Nilai dugaan parameter

menyatakan hubungan variabel penjelas dengan besarnya rasio hazard. Jika nilai

0ˆ j maka naiknya nilai jx akan memperbesar nilai rasio hazardnya atau

semakin besar risiko seseorang untuk gagal bertahan hidup. Jika nilai 0ˆ j

maka naiknya nilaijx akan memperkecil nilai rasio hazardnya atau semakin kecil

risiko seseorang untuk gagal bertahan hidup. Jika nilai 0ˆ j maka naiknya

nilaijx tidak berpengaruh terhadap nilai rasio hazardnya. Untuk mendapatkan

nilai dugaan parameter dapat digunakan metode kemungkinan maksimum

(maximum likelihood) parsial dengan menyelesaikan persamaan (Lee dan Wang,

2008),

.0ln)(ln1

)(

m

i

tRj

x

x

j

j

i

e

eL

Pada tugas akhir ini, data yang digunakan berupa data tak tersensor atau

data tersensor. Data tak tersensor adalah adalah data yang didapat dari setiap

individu dalam sampel dan setiap perkembangan individu dari awal penelitian

sampai individu tersebut meninggal dunia tercatat dengan jelas. Pada

kenyataannya data dari setiap perkembangan individu dari awal hingga individu

tersebut meninggal dunia jarang ditemukan. Banyak faktor yang menyebabkan

data tersebut tidak bisa diperoleh. Faktor-faktor tersebut antara lain individu yang

dinyatakan sembuh sebelum penelitian berakhir, individu yang tidak lagi bersedia

mengikuti penelitian, individu berhenti diberikan perlakuan karena suatu alasan,

dan individu meninggal dunia bukan karena diberi perlakuan sebagaimana yang


3

dimaksud dalam penelitian. Data yang dihasilkan oleh berbagai faktor tersebut

disebut data tersensor. Biasanya data yang dihasilkan berupa waktu dengan satuan

hari, minggu, bulan atau tahun.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, maka rumusan

masalahnya adalah sebagai berikut:

1. Apa itu model regresi Cox proporsional hazards?

2. Bagaimana persamaan model regresi Cox proporsional hazards untuk suatu

data ketahanan hidup di bidang kesehatan?

3. Bagaimana menduga hubungan antara variabel respon yaitu waktu ketahanan

hidup pasien dengan satu atau lebih variabel penjelas?

C. Batasan Masalah

Batasan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Data yang digunakan merupakan data tersensor acak.

2. Teorema Ketunggalan Distribusi Probabilitas tidak dibuktikan.

3. Teori probabilitas yang dibahas hanya yang berkaitan dengan materi pokok.

4. Variansi koefisien regresi tidak dibahas tetapi cukup diterapkan saja.

5. Data yang digunakan untuk analisis di bab IV menggunakan data hasil

penelitian Girik Allo, Caecilia B. (2017).

D. Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penulisan skripsi ini

adalah sebagai berikut:

1. Menjelaskan model regresi Cox proporsional hazards dalam analisis

ketahanan hidup.

2. Mendapatkan persamaan model regresi Cox proporsional hazards untuk suatu

data ketahanan hidup di bidang kesehatan.

3. Mengetahui hubungan antara variabel respon yaitu waktu ketahanan hidup


4

pasien dengan satu atau lebih variabel penjelas dari data ketahanan hidup.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Memperluas wawasan pembaca tentang model regresi yang digunakan untuk

menganalisis data ketahanan hidup.

2. Menambah pengetahuan pembaca tentang penerapan analisis model regresi

Cox proporsional hazards di bidang kesehatan.

F. Metode Penulisan

Metode penulisan dalam tugas akhir ini adalah metode studi pustaka yaitu

dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal yang berkaitan

dengan analisis data ketahanan hidup dengan model regresi Cox proporsional

hazards, serta proses pengolahan data menggunakan program R.

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II LANDASAN TEORI

A. Probabilitas

B. Distribusi Probabilitas

C. Distribusi Probabilitas Multivariat

D. Teorema Limit Pusat

E. Pendugaan Parameter


5

F. Fungsi Kemungkinan (Likelihood)

BAB III MODEL REGRESI COX

A. Analisis Regresi

B. Analisis Ketahanan Hidup

C. Data Tersensor

D. Fungsi Ketahanan Hidup

E. Fungsi Hazard

F. Distribusi Waktu Ketahanan Hidup Model Diskrit

G. Distribusi Waktu Ketahanan Hidup Model Kontinu

H. Model Regresi Cox Proporsional Hazards

I. Penduga Kemungkinan Maksimum Model Regresi Cox Proporsional Hazards

BAB IV APLIKASI MODEL REGRESI COX PROPORSIONAL HAZARDS

UNTUK MENGANALISIS DATA KETAHANAN HIDUP

A. Sumber Data

B. Identifikasi Variabel

C. Model Cox Proporsional Hazards untuk Data Ketahanan Hidup

BAB V KESIMPULAN

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


6

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Probabilitas

1. Probabilitas dari Suatu Kejadian

Definisi 2.1

Misalkan S adalah ruang sampel yang terkait dengan suatu percobaan. Untuk

setiap kejadian A dalam S, dilambangkan dengan P(A), disebut probabilitas dari A

memenuhi:

Aksioma 1 : .0)( AP

Aksioma 2 : .1)( SP

Aksioma 3 : Jika ,,, 321 AAA membentuk urutan berpasangan kejadian saling

asing dalam S maka

1

321 ).()(i

iAPAAAP

Contoh 2.1

Seorang produsen memiliki lima terminal komputer yang identik, tersedia untuk

dikirimkan. Tanpa diketahui oleh produsen tersebut, dua dari lima terminal

komputer adalah cacat. Ada suatu pesanan datang meminta untuk dikirimkan dua

terminal dan diisi secara acak dengan memilih dua dari lima yang tersedia.

a. Daftarkan ruang sampel untuk eksperimen ini.

b. Misalkan A adalah kejadian bahwa pesanan diisi dengan dua terminal yang

tidak cacat. Daftarkan titik sampel A.

c. Tentukan probabilitas kejadian A.

Jawab:

a. Misalkan dua terminal yang cacat diberi label 1D dan 2D serta misalkan tiga

terminal yang bagus diberi label .,, 321 GGG Setiap titik sampel tunggal akan

terdiri dari dua terminal yang dipilih untuk pengiriman. Kejadian sederhananya

dapat ditulis dengan

),,{ 211 DDE ),,{ 125 GDE ),,{ 218 GGE ).,{ 3210 GGE


7

),,{ 112 GDE ),,{ 226 GDE ),,{ 319 GGE

),,{ 213 GDE ),,{ 327 GDE

),,{ 314 GDE

Jadi, ada sepuluh titik sampel dalam ruang sampel S, dan }.,,,{ 1021 EEES

b. Kejadian }.,,{ 1098 EEEA

c. Karena 1098 EEEA , maka oleh Aksioma 3 diperoleh

.10

3

10

1

10

1

10

1)()()()( 1098 EPEPEPAP

2. Probabilitas Bersyarat

Definisi 2.2

Probabilitas bersyarat dari kejadian A jika diketahui kejadian B terjadi adalah

,)(

)()|(

BP

BAPBAP

dengan .0)( BP

Lambang )|( BAP dibaca “probabilitas bersyarat dari A jika diketahui kejadian

B”.

Contoh 2.2

Sebuah dadu setimbang dilempar satu kali. Tentukan probabilitas munculnya mata

dadu yang kurang dari lima jika diketahui munculnya kejadian mata dadu genap

terlebih dahulu.

Jawab:

Ruang sampel }.6,5,4,3,2,1{S

A = kejadian muncul mata dadu yang kurang dari lima }.4,3,2,1{

B = kejadian munculnya mata dadu genap }.6,4,2{

}.4,2{ BA

.3

1

6

2)( BAP


8

.2

1

6

3)( BP

Sehingga diperoleh,

.3

2

2

13

1

)(

)()|(

BP

BAPBAP

Jadi, probabilitas munculnya mata dadu yang kurang dari lima jika diketahui

munculnya kejadian mata dadu genap terlebih dahulu adalah .32

3. Variabel Acak

Defisi 2.3

Variabel acak adalah fungsi yang memetakan setiap elemen ruang sampel ke

bilangan real. Dengan kata lain variabel acak merupakan pemetaan dari himpunan

ruang sampel ke himpunan bilangan real. Variabel acak dilambangkan dengan

huruf kapital, misalnya X.

Definisi 2.4

Variabel acak X dikatakan diskrit jika nilai-nilainya berhingga atau tak berhingga

terbilang. Jika tidak memenuhi kondisi tersebut maka variabel acak X dikatakan

kontinu.

Contoh 2.3

Dua buah bola diambil berturut-turut tanpa pengembalian dari sebuah tabung yang

berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Kemungkinan hasil dan nilai x dari variabel

acak X, dengan X adalah banyaknya bola merah, adalah

Ruang sampel S X

RR 2

RB 1

BR 1

BB 0


9

Dengan kata lain, ruang sampel BBRBBRRRS ,,,,,,, dan setiap

elemen dari S dipetakan ke ℝ yang merupakan nilai y dari variabel acak X

seperti berikut:

S

ℝ

B. Distribusi Probabilitas

1. Distribusi Probabilitas Diskrit

Definisi 2.5

Himpunan pasangan terurut ))x(p,x( adalah fungsi probabilitas atau distribusi

probabilitas dari variabel acak diskrit X jika untuk setiap kemungkinan nilai x,

1. ,0)x(p

2. ,x

1)x(p

Peluang suatu variabel random X bernilai x, dinotasikan dengan )( xXP atau

).(xp

Contoh 2.4

Pengiriman 20 komputer sejenis ke sebuah toko memuat 3 komputer yang rusak.

Jika sebuah sekolah membeli secara acak 2 komputer dari 20 komputer tersebut,

tentukan distribusi probabilitas untuk banyaknya komputer yang rusak.

Jawab:

Misalkan X adalah variabel acak dengan x adalah kemungkinan nilai banyaknya

komputer rusak yang dibeli oleh sekolah, maka kemungkinan nilai x adalah 0, 1,

atau 2.

{(R,R)}

{(R,B)}

{(B,R)}

{(B,B)}

0

1

2


10

,95

68

2

20

2

17

0

3

)0X(P)0(p

,190

51

2

20

1

17

1

3

)1X(P)1(p

.190

3

2

20

0

17

2

3

)2X(P)2(p

Jadi, distribusi probabilitas untuk X adalah

X 0 1 2

f(x) 95

68

190

51

190

3

Definisi 2.6

Fungsi distribusi kumulatif )(xF dari variabel acak diskrit X dengan distribusi

probabilitas )x(p adalah

xt

),t(p)xX(P)x(F untuk . x

Contoh 2.5

Jika sebuah agen mobil menjual 50% inventaris mobil asing tertentu yang

dilengkapi dengan kantong udara samping, tentukan rumus untuk distribusi

probabilitas dari banyaknya mobil dengan kantong udara samping yang terjual

dari 4 mobil yang tersedia oleh agensi dan tentukan juga fungsi distribusi

kumulatifnya.

Jawab:

Karena probabilitas menjual mobil dengan kantong udara samping adalah ,5.0

1624 titik ruang sampel sama-sama mungkin terjadi. Oleh karena itu,

penyebut untuk semua probabilitas, dan juga untuk fungsi yang dicari, adalah 16.

Untuk memperoleh banyaknya cara menjual 3 mobil dengan kantong udara

samping, perlu dipertimbangkan berapa banyak cara membagi 4 hasil ke dalam 2

bagian, 1 bagian untuk 3 mobil dengan kantong udara samping dan 1 bagian


11

lainnya untuk model tanpa kantong udara samping. Hal tersebut bisa dilakukan

dengan 43

4

cara. Secara umum, kejadian menjual x model dengan kantong

udara samping dan x4 model tanpa kantong udara samping dapat terjadi pada

x

4 cara, dengan kemungkinan nilai x adalah 0, 1, 2, 3, atau 4. Dengan demikian,

distribusi probabilitas )xX(P)x(p adalah

,16

x

4

)x(p

untuk .4,3,2,1,0x

Selanjutnya, dari rumus distribusi probabilitas di atas, secara langsung

memberikan ,161)0(p ,41)1(p ,83)2(p ,41)3(p dan .161)4(p

Sehingga,

,161)0(p)0(F

,165)1(p)0(p)1(F

,1611)2(p)1(p)0(p)2(F

,1615)3(p)2(p)1(p)0(p)3(F

.1)4(p)3(p)2(p)1(p)0(p)4(F

Jadi,

.4,1

,43,16

15

,32,16

11

,21,16

5

,10,16

1

,0,0

)(

x

x

x

x

x

x

xF

Contoh-contoh distribusi probabilitas diskrit adalah distribusi Binomial, distribusi

Geometrik, distribusi Hipergeometrik, dan distribusi Poisson. Selanjutnya akan

dibahas mengenai distribusi Binomial.


12

Definisi 2.7

Eksperimen Binomial memiliki sifat sebagai berikut:

1. Eksperimen terdiri dari n ulangan yang identik.

2. Setiap ulangan menghasilkan satu dari dua hasil, yaitu sukses (S) atau gagal

(G).

3. Probabilitas sukses pada sebuah ulangan adalah p, dan tetap sama untuk

ulangan-ulangan lainnya. Probabilitas gagal pada ulangan tersebut adalah

.1 pq

4. Ulangan-ulangan bersifat saling bebas.

5. Variabel acak X adalah banyaknya sukses yang teramati selama n ulangan.

Contoh 2.6

Sebuah ujian pilihan ganda mempunyai 15 pertanyaan, masing-masing dengan

lima kemungkinan jawaban, hanya satu dari antaranya yang benar. Asumsikan

bahwa seorang siswa menjawab semua pertanyaan dalam ujian tersebut. Apakah

pengamatan terhadap hasil ujian ini termasuk eksperimen Binomial?

Jawab:

Jika pengamatan di atas termasuk eksperimen Binomial maka harus memenuhi

sifat-sifat yang ada pada definisi 2.7.

1. Mengamati siswa menjawab 15 soal pilihan ganda berarti dapat diasumsikan

dengan eksperimen dengan ulangan sebanyak .15n

2. Setiap soal hanya ada dua kemungkinan hasil, yaitu benar (sukses) atau salah

(gagal).

3. Untuk setiap soal, peluang menjawab benar (sukses) 5

1p dan peluang

menjawab salah (gagal) .5

4q

4. Jawaban setiap soal saling bebas satu dengan yang lain.

5. Variabel acak X adalah banyaknya jawaban yang benar.

Jadi, pengamatan di atas termasuk eksperimen Binomial.


13

Definisi 2.8

Variabel acak X dikatakan berdistribusi Binomial dengan n ulangan dan

probabilitas sukses p jika dan hanya jika

,)( xnx qpx

nxp

nx ,,2,1,0 dan .10 p

Contoh 2.7

Tentukan probabilitas siswa menjawab benar minimal 10 soal pada contoh 2.6.

Jawab:

X = banyaknya jawaban yang benar

.15,,3,2,1,0 x

xx

xxp

15

5

4

5

115)(

Probabilitas bahwa siswa menjawab benar minimal 10 soal )10( XP

)15()14()13()12()11()10( XPXPXPXPXPXP

213312411510

5

4

5

1

13

15

5

4

5

1

12

15

5

4

5

1

11

15

5

4

5

1

10

15

015114

5

4

5

1

15

15

5

4

5

1

14

15

.10132256625.1

4

2. Distribusi Probabilitas Kontinu (Fungsi Densitas)

Definisi 2.9

Fungsi )(xf adalah fungsi probabilitas untuk variabel acak kontinu X, jika

1. ,0)( xf x ℝ.

2.

)(xf .1dx

Peluang variabel random X terletak dalam interval [a,b] dinyatakan dengan

b

a

dx)x(f)bXa(P


14

Contoh 2.8

Misalkan kesalahan dalam pengiriman pada suatu perusahaan pengiriman adalah

variabel acak kontinu X yang memiliki fungsi densitas

lainnya

xx

xf

,0

20,4)(

3

Buktikan bahwa )(xf adalah fungsi densitas.

Jawab:

Menurut definisi 2.9

1. 0)( xf jelas terlihat dari definisi ).(xf

2.

)(xf 2

0

3

4

xdx .1

0

2

16

4

x

dx

Jadi, terbukti bahwa )(xf adalah fungsi densitas.

Definisi 2.10

Fungsi distribusi kumulatif )(xF dari variabel acak kontinu X dengan fungsi

densitas )(xf adalah

x

tfxXPxF )()()( ,dt untuk . x

Akibat dari definisi 2.10

)()()( aFbFbXaP dan dx

xdFxf

)()( jika turunannya ada.

Contoh 2.9

Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari contoh 2.8 dan tentukan ).31( XP

Jawab:

o Untuk 0x

x

xF 0)( .0dt

o Untuk 20 x


15

dxxxf

xxp

XEx

)(

)(

)(

0

0)(xF x

tdt

0

3

4.

16

4xdt

o Untuk 2x

0

0)(xF 2

0

3

4

tdt

2

0dt .116

16dt

Jadi,

2,1

20,16

0,0

)(4

x

xx

x

xF

Selanjutnya, .16

15

16

11)1()3()31( FFXP

Contoh-contoh distribusi probabilitas kontinu adalah distribusi Normal, distribusi

Gamma, distribusi Eksponensial, dan distribusi Chi-square. Selanjutnya akan

dibahas mengenai distribusi Normal.

Definisi 2.11

Variabel acak X dikatakan berdistribusi Normal jika dan hanya jika untuk 0

dan , fungsi densitas dari X adalah

,2

1)(

2

2

1

x

exf . x

3. Nilai Harapan

Definisi 2.12

Misalkan X adalah variabel acak. Nilai harapan dari X, dilambangkan dengan

),(XE didefinisikan sebagai

, jika X adalah variabel acak diskrit

, jika X adalah variabel acak kontinu.


16

Contoh 2.10

Tentukan nilai harapan X dari contoh 2.4.

Jawab:

.10

3

190

32

190

511

95

680)(

XE

Contoh 2.11

Tentukan nilai harapan X dari contoh 2.8

Jawab:

.5

8

0

2

2044)(

2

0

52

0

43

x

dxx

dxx

xXE

Teorema 2.1

Jika X adalah variabel acak dengan fungsi probabilitas )(xp atau f(x) dan )(Xg

adalah fungsi yang bernilai real dari X maka nilai harapan dari )(Xg diberikan

oleh

, jika X adalah variabel acak diskrit

Bukti:

Akan dibuktikan

x

xpxgXgE )()( pada kasus dengan nilai variabel acak

diskrit X berhingga yaitu .,,, 21 nxxx Karena fungsi )(xg mungkin bukan

fungsi satu-satu, asumsikan bahwa )(Xg mengambil nilai mggg ,,, 21

(dengan nm ). Hal ini berarti )(Xg adalah variabel acak sedemikian hingga

untuk ,,,2,1 mi

jx

iji gpxpgXgP ),()()( dengan .)( ij gxg

Sehingga, oleh definisi 2.12,

, jika X adalah variabel acak kontinu

dx x f x g

x p x g

x g E x

) ( ) (

) ( ) (

)) ( (


17

m

i

ii gpgXgE1

)(

m

i x

ji

j

xpg1

)(

m

i x

ji

j

xpg1

)(

n

j

jj xpxg1

).()(

Jadi, terbukti bahwa

x

xpxgXgE ).()(

Untuk kasus kontinu,

dx)x(f)x(gXgE

dapat dibuktikan secara analog.

Contoh 2.12

Manajer ruang persediaan di sebuah pabrik telah membuat distribusi probabilitas

berikut untuk permintaan harian (banyaknya waktu yang digunakan) untuk alat

tertentu.

x 0 1 2

p(x) 0.1 0.5 0.4

Biaya penggunaan di pabrik adalah $10 setiap kali alat tersebut digunakan.

Tentukan rata-rata dari biaya harian untuk menggunakan alat tersebut.

Jawab:

X = banyaknya kali peralatan digunakan

g(X) = biaya penggunaan alat harian .10X

g(x) 0 10 20

p(x) 0.1 0.5 0.4

x

xpxgXgE )()())(( .13850)4.0(20)5.0(10)1.0(0

Teorema 2.2

Jika X adalah variabel acak dan c adalah suatu konstanta taknegatif maka

.)( ccE


18

Bukti:

Kasus 1: untuk X variabel acak diskrit

x x

ccxpcxcpcE .)1()()()(

Kasus 2: untuk X variabel acak kontinu

.)1()()()( ccdxxfcdxxcfcE

Jadi, terbukti bahwa .)( ccE

Teorema 2.3

Jika X adalah variabel acak dan c adalah konstanta taknegatif maka

).()( XcEcXE

Bukti:

Kasus 1: untuk X variabel acak diskrit

x x

XcExxpcxcxpcXE ).()()()(

Kasus 2: untuk X variabel acak kontinu

).()()()( XcEdxxxfcdxxcxfcXE

Jadi, terbukti bahwa ).()( XcEcXE

Teorema 2.4

Jika X adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas )(xp dan

)(,),(),( 21 XgXgXg k adalah k fungsi dari X maka

.)()()()()()( 2121 XgEXgEXgEXgXgXgE kk

Bukti:

x

kk xpxgxgxgXgXgXgE )())()()(()()()( 2121

x

k xpxgxpxgxpxg )()()()()()( 21

x

k

x x

xpxgxpxgxpxg )()()()()()( 21


19

.)()()( 21 XgEXgEXgE k



Teorema 2.5

Jika X adalah variabel acak kontinu dengan fungsi densitas )(xf dan

)(,),(),( 21 XgXgXg k adalah k fungsi dari X maka


Bukti:

dxxfxgxgxgXgXgXgE kk )())()()(()()()( 2121

dxxfxgxfxgxfxg k

)()()()()()( 21

dxxfxgdxxfxgdxxfxg k )()()()()()( 21

.)()()( 21 XgEXgEXgE k



Teorema 2.6

Jika X adalah variabel acak Binomial dengan n ulangan dan p adalah probabilitas

sukses, maka

.)( npXE

Bukti:

Akan dibuktikan npXE )(

Dari definisi 2.12 diperoleh


20

n

x

xxpXE0

)()(

Karena jumlahan pertama adalah 0 dan menurut Definisi 2.8 diperoleh

ynxn

x

qpx

nxXE

1

)(

xnxn

x

qpxxn

nx

!)!(

!

1

n

x

xnx qpxxn

n

1 )!1()!(

!

n

x

xnx qpxxn

nnp

1

1

)!1()!(

)!1(

Misal ,1 xy sehingga

ynzn

y

qpyyn

nnpXE

1

1

0 !)!1(

)!1()(

ynyn

y

qpy

nnp

1

1

0

1

Karena ,11

11

0

ynyn

y

qpy

n maka

.)( npXE

Jadi, terbukti bahwa .)( npXE

4. Variansi

Definisi 2.13

Jika X adalah variabel acak dengan rata-rata ,)( XE variansi dari variabel

acak X didefinisikan menjadi nilai harapan dari .)(2X Dengan kata lain,

.)()( 2 XEXV Standar deviasi dari X adalah akar kuadrat positif dari ).(XV


21

Contoh 2.13

Tentukan variansi dari X pada contoh 2.12.

Jawab:

x

xg xpxgXgEXgV )())(())(())((2

)(

2

4.0)1320(5.0)1310(1.0)130( 222

.415

98

2

9

10

169

Teorema 2.7

Jika X adalah variabel acak dengan fungsi probabilitas )(xp dan rata-rata

)(XE maka .)(])[()(2222 XEXEXV

Bukti:

])[()( 22 XEXV

]2[ 22 XXE

][]2[][ 22 EXEXE

][][2][ 22 EXEXE

222 2][ XE

.][ 22 XE

Jadi, terbukti bahwa .)(])[()(2222 XEXEXV

Contoh 2.14

Tentukan variansi dan standar deviasi dari X pada contoh 2.4

Jawab:

Diketahui dari contoh 2.10 bahwa .103

,19063)1903()2()19051()1()9568()0()()( 22222 x

xpxXE

Oleh Teorema 2.6, diperoleh

.1900459100919063)()( 222 XEXV


22

.4915068131.01900459)( XV

Teorema 2.8


).()( 2 XVccXV

Bukti:

]))([()(2cXEcXEcXV

])[( 2ccXE

]2[ 22222 cXcXcE

][]2[][ 22222 cEXcEXcE

222222 2][ ccXEc

2222 ][ cXEc

)][( 222 XEc

).(2 XVc

Jadi, terbukti bahwa ).()(2 XVccXV

Teorema 2.9


).()( XVcXV

Bukti:

]))()[(()( 2cXEcXEcXV

]))()[(( 2ccXE

]222222[ 22222 ccccbXXccXXE

]2[ 22 XXE

])[( 2 XE

).(XV

Jadi, terbukti bahwa ).()( XVcXV


23

Teorema 2.10

Jika X adalah variabel acak Binomial dengan n ulangann dan p adalah probabilitas

sukses, maka

.)( 2 npqXV

Bukti:

Akan dibuktikan npqXV 2)(

Dari Teorema 2.7 diketahui bahwa 22 )()( XEXV

o

n

x

xpxXE0

22 )()(

xnxn

x

qpx

nx

0

2

xnxn

x

qpxxn

nx

!)!(

!

0

2

Dari bentuk di atas dapat disimpulkan bahwa mencari )(2XE adalah sulit

karena 2x bukanlah faktor dari !.x Oleh karena itu, )(2XE dapat diperoleh

dari ).()]1([)(2 XEXXEXE

o

n

x

xpxxXXE0

)()1()]1([

xnxn

x

qpx

nxx

0

)1(

xnxn

x

qpxxn

nxx

0 !)!(

!)1(

Jumlahan saat 0x dan 1x adalah nol, sehingga diperoleh

xnxn

x

qpxxn

nXXE

2 )!2()!(

!)]1([

xnxn

x

qppxxn

nnn

22

2 )!2()!(

)!2)(1(

xnxn

x

qpxxn

npnn

2

2

2

)!2()!(

)!2()1(


24

Misal ,2 xy diperoleh

ynyn

y

qpyyn

npnnXXE

2

0

2

!)!2(

)!2()1()]1([

Karena ,1!)!2(

)!2( 2

0

ynyn

y

qpyyn

n maka

2)1()]1([ pnnXXE

Sehingga diperoleh .)1()()]1([)(22 nppnnXEXXEXE

22 )()( XEXV

222 )()( npnppnn

22222 pnnpnppn

2npnp

)1( pnp

.npq

Jadi, terbukti bahwa .)(2 npqXV

5. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen

Definisi 2.14

Momen ke-k dari variabel acak X di sekitar titik asal adalah .')( kkXE

Definisi 2.15

Fungsi pembangkit momen )(tm untuk variabel acak X adalah ).()(tXeEtm

Fungsi pembangkit momen untuk X dikatakan ada jika ada sebuah konstanta

positif a sedemikian hingga )(tm berhingga untuk .|| at

Teorema 2.11

Jika )(tm ada, maka untuk sebarang bilangan positif k,

.)0()( ')(

0

k

k

t

k

k

mdt

tmd


25

Bukti:

k

k

dt

tmd )( atau )(

)( tm k adalah turunan ke-k dari )(tm terhadap t. Karena

,!3!2

1)()( '3

3'

2

2'

1 tt

teEtm tX

sehingga

'3

2'

2

'

1

)1(

!3

3

!2

2)(

tttm

'3'

2

)2(

!2

2)(

ttm

Secara umum,

'

2

2'

1

')(

!3

3

!2

2)( kkk

k tttm

saat ,0t maka '

1

)1( )( tm dan ,)( '2)2( tm sehingga secara umum

.)( ')( kk tm

Jadi, terbukti bahwa .)0()( ')(

0

k

k

t

k

k

mdt

tmd

Contoh 2.15

Tentukan fungsi pembangkit momen dari distribusi Binomial.

Jawab:

)()(tXeEtm

n

x

tx xpe0

)(

n

x

xnxtx qpx

ne

0

n

x

xnxt

x

nqpe

0

)(

ntntntn pen

nqpe

nqpe

nq

n)()(

210

221


26

.)( nt qpe

Ingat bahwa .210

)( 221 nnnnn pn

nqp

npq

nq

npq

Jadi, fungsi pembangkit momen dari distribusi Binomial adalah

.)()( nt qpetm

Contoh 2.16

Tentukan )(XE dan )(XV untuk Contoh 2.15 dengan cara mendiferensiasikan

fungsi pembangkit momen pada Contoh 2.15.

Jawab:

nt

tt

qpedt

dtm

dt

dXE )()()(

0

)1(

0

'

1

0

1)(

t

tnt peqpen

1)( nqpnp

Karena 1 qp maka .)( npXE

Selanjutnya,

)()(0

'

2

)2( qpenpedt

dtm tt

t

0

21 ))(1()(

t

tnttntt peqpennpeqpenpe

pnnpnp )1((

.222 nppnnp

2)1()2( )]([)()( tmtmXV

2222 )(npnppnnp

22222 pnnppnnp

2npnp

)1( pnp

.npq

Jadi, npXE )( dan .)( npqXV


27

Contoh 2.17

Tentukan fungsi pembangkit momen dari distribusi Normal.

Jawab:

dxeeeEtmx

txtX

2

2)(

2

1

2

1)()(

Misal xu maka ux dan ,dxdu maka diperoleh

dueetmu

ttu

2

22

1

2

1)(

dueeutu

t

2

22

1

2

1

duee

utu

t 2

22

2

2

2

1

duee

tuu

t 2

22

2

2

2

1

Karena 42222 2)( ttuutu maka

dueetmttu

t])[(

2

1 4222

2

1)(

dueeet

t

t])[(

2

1

2

22

22

42

2

1

dxeetx

tt

22

2

22

)(2

1

2

2

1

Karena 12

122

2)(

2

1

dxetx

dengan rata-rata

2 t dan variansi

,2 maka

.)( 222

t

t

etm

Teorema 2.12

Jika X berdistribusi Normal dengan parameter dan maka

)(XE dan .)(2XV


28

Bukti:

Pembuktian nilai harapan dan variansi dari distribusi Normal dibuktikan dengan

cara mendiferensiasikan fungsi pembangkit momen dari distribusi Normal.

Dari Definisi 2.14 dan Teorema 2.11, diperoleh

2

0

)1(

0

'

1

22

)()(

t

t

tt

edt

dtm

dt

dXE

0

22

22

)(

t

tt

et

.

Selanjutnya,

22

0

'

2

)2(

22

)()(

t

t

t

etdt

dtm

0

22222

2222

)(

t

tt

tt

ete

22

2)1()2( )]([)()( tmtmXV

222

.2

Jadi, terbukti bahwa )(XE dan .)(2XV

6. Metode Fungsi Pembangkit Momen (FPM)

Metode fungsi pembangkit momen digunakan untuk menentukan distribusi

probabilitas untuk fungsi dari variabel acak .,,, 21 nXXX

Teorema 2.13 Teorema Ketunggalan Distribusi Probabilitas

Misalkan )(tmX dan )(tmY adalah fungsi pembangkit momen dari variabel

acak X dan Y. Jika kedua fungsi pembangkit momen ada dan )()( tmtm YX

untuk semua nilai t, maka X dan Y mempunyai distribusi probabilitas yang sama.


29

Bukti:

Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi

Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan

menggunakan definisi fungsi karakteristik, yaitu ),()(itx

x eEt dengan i adalah

bilangan kompleks.

Perhatikan bahwa fungsi pembangkit momen adalah bentuk khusus dari fungsi

karakteristik, bukti dilakukan dengan menunjukkan bahwa bila F dan G adalah

fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama, yaitu

,)()(

xdGexdFe itxitx t ℝ.

Maka )()( xGxF (Skripsi halaman 54).

Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi

pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.

Contoh 2.18

Misalkan X adalah variabel yang berdistribusi normal dengan rata-rata dan

variansi .2 Tentukan fungsi pembangkit momen dan distribusi probabilitas dari

. XU

Jawab:

)()( utu eEtm

)( )( txeE

)( )( ttxeE

t

tx

e

eE

t

tt

e

e 222

tt

t

e

222

.222t

e


30

Jadi, fungsi pembangkit momen dari XU adalah 22

)(

t

u etm sama

dengan fungsi pembangkit momen dari distribusi Normal sedemikian hingga

XU berdistribusi Normal.

Teorema 2.14

Misalkan nXXX ,,, 21 adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi

pembangkit momen ).(,),(),(21

tmtmtmnxxx

Jika nXXXU 21

maka ).()()()(21

tmtmtmtmnxxxU

Bukti:

)()( tUU eEtm

)()( 21 nxxxteE

)( 21 ntxtxtx

eeeE

)()()( 21 ntxtxtx

eEeEeE

).()()(21

tmtmtmnxxx

Jadi, terbukti bahwa ).()()()(21

tmtmtmtmnxxxU

C. Distribusi Probabilitas Multivariat

Definisi 2.16

Misalkan 1X dan 2X adalah variabel acak diskrit. Fungsi probabilitas bersama

untuk 1X dan 2X adalah

),,(),( 221121 xXxXPxxp ., 21 xx

Definisi 2.17

Misalkan 1X dan 2X adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas

bersama ),( 21 xxp maka

1. ,0),( 21 xxp untuk semua 1x dan ,2x

2. 21 ,

21 .1),(xx xxp


31

Contoh 2.19

Sebuah supermarket memiliki tiga buah kasir. Dua pelanggan datang ke kasir pada

waktu yang berbeda ketika kasir tidak melayani pelanggan lain. Setiap pelanggan

memilih kasir secara acak, saling bebas satu sama lain. Misalkan 1X adalah

banyaknya pelanggan yang memilih kasir I, dan 2X adalah banyaknya

pelanggan yang memilih kasir II. Tentukan fungsi probabilitas bersama untuk 1X

dan .2X

Jawab:

Misal pasangan terurut },{ ji adalah kejadian sederhana bahwa pelanggan

pertama memilih kasir i dan pelanggan kedua memilih kasir j, dengan ,2,1, ji

dan 3. Menggunakan aturan mn, ruang sampel terdiri dari 933 titik sampel.

Dengan asumsi yang telah diberikan sebelumnya, setiap titik sampel sama-sama

memiliki probabilitas .91 Ruang sampel yang terkait adalah

}].3,3{},2,3{},1,3{},3,2{},2,2{},1,2{},3,1{},2,1{},1,1[{S

Perlu diperhatikan bahwa titik sampel {1,1} adalah satu-satunya titik sampel yang

sesuai dengan )0,2( 21 XX akibatnya .91)0,2( 21 XXP Sama

halnya dengan }2,1({)1,1( 21 PXXP atau .92})1,2{ Tabel 2.1 memuat

probabilitas yang berhubungan dengan setiap kemungkinan pasangan nilai untuk

1X dan .2X Dengan kata lain, tabel 2.1 menyajikan fungsi probabilitas bersama

untuk 1X dan .2X

x1

x2

0

1

2

0 1/9 2/9 1/9

1 2/9 2/9 0

2 1/9 0 0

Tabel 2.1 Fungsi probabilitas bersama untuk 1X dan 2X

Definisi 2.18

Untuk sebarang variabel acak 1X dan ,2X fungsi distribusi bersama ),( 21 xxF

adalah ),,(),( 221121 xXxXPxxF ., 21 xx


32

Untuk dua variabel diskrit 1X dan ,2X ),( 21 xxF adalah

).,(),( 212111 22

ttpxxFxt xt

Contoh 2.20

Berdasarkan variabel acak 1X dan 2X pada Contoh 2.18, tentukan ),2,1(F

),2,5.1(F dan ).7,5(F

Jawab:

Menggunakan hasil pada Tabel 2.1, diperoleh

.0)()2,1()2,1( 21 PXXPF

Selanjutnya,

)2,5.1()2,5.1( 21 XXPF

)2,1()1,1()0,1()2,0()1,0()0,0( ppppp

.9

8

9

022121

.1)7,5()7,5( 21 XXPF

Perlu diperhatikan bahwa 1),( 21 xxF untuk semua 21 , xx sedemikian hingga

2},min{ 21 xx dan 0),( 21 xxF jika .0},min{ 21 xx

Definisi 2.19

Misalkan 1X dan 2X adalah variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi

bersama ).,( 21 xxF Jika terdapat fungsi tak negatif ),,( 21 xxf sedemikian

hingga

1 2

,),(),( 122121

x x

dtdtttfxxF

untuk semua ,, 21 xx maka 1X dan 2X dikatakan sebagai

variabel acak kontinu bersama. Fungsi ),( 21 xxf adalah fungsi densitas

bersama.


33

Definisi 2.20

Misalkan 1X dan 2X adalah variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas

bersama ),( 21 xxf maka

1. ,0),( 21 xxf ., 21 xx

2.

.1),( 2121 dxdxxxf

D. Teorema Limit Pusat

Teorema 2.15

Misalkan X dan ,,, 321 XXX adalah variabel acak dengan fungsi pembangkit

momen )(tm dan .),(),(),( 321 tmtmtm Jika

)()(lim tmtmnn

t ℝ

maka fungsi distribusi dari nX konvergen ke fungsi distribusi X saat .n

Bukti:

Bukti terdapat pada buku Williams, David. (1991). Probability With Martingales.

New York: Cambridge University Press. Halaman 185.

Teorema 2.16

Misalkan nXXX ,,, 21 merupakan variabel acak yang berdistribusi independen

dan identik dengan )( iXE dan .)(2 iXV Didefinisikan

,1

n

X

n

nXU

n

i i

n

dengan .1

1 n

i iX

nX

Maka fungsi distribusi dari nU konvergen ke fungsi Distribusi Normal Standar

ketika ,n yaitu

u t

nn

dteuUP ,2

1)(lim 2

2

untuk semua u.

Bukti:


34

Misalkan

XnU n

n

i

i nn

Xn

n

11

n

i iX

n

11

n

i iZ

n1

1 dengan .

ii

XZ

Karena variabel acak iX adalah saling bebas dan berdistribusi identik maka ,iZ

ni ,,2,1 juga saling bebas dan berdistribusi identik dengan 0)( iZE dan

,1)( iZV maka fungsi pembangkit momen dari jumlahan variabel acak adalah

perkalian dari masing-masing fungsi pembangkit momennya (Teorema 2.14),

maka

)()()()(21

tmtmtmtmni

zzzZ

.)(1

n

Z tm

Selanjutnya akan dicari fungsi pembangkit momen untuk ,nU

i

n

Zn

t

U eEm

1

in

t

ZeE

n

tm

iZ

.1

n

Zn

tm

Deret Taylor dari )(1

tm z adalah


35

2)(")0(')0()(

2

1111

tmtmmtm ZZZZ dengan t 0

1)1()()0( 11

0 EeEm

Z

Z dan ,0)()()0(' 1

0

11

1 ZEeZEm

Z

Z

maka

2)(''1)(

2

11

tmtm ZZ dengan .0 t

Sehingga

n

nZU

n

t

mmn

2

)(''1

2

1

n

nZ

n

tm

2)(''

1

2

1

dengan .0n

t

Saat n maka ,0n sehingga

2)0(''

2)(''

22

11

tm

tm ZnZ

maka .2

))]([)((2

)(22

)0(''2

2

11

22

1

22

1

tZEZV

tZE

ttm Z

Jika bbnn

lim maka .1lim bn

n

ne

n

b

Maka

2

2

2

1 2)(''

1limlim

t

n

nZ

nU

ne

n

tm

mn

2

2t

e merupakan fungsi pembangkit momen bagi distribusi Normal Standar.

Menurut Teorema 2.15 dapat disimpulkan bahwa nU memiliki fungsi

probabilitas yang konvergen ke fungsi probabilitas Normal Standar. ■


36

E. Pendugaan Parameter

Tujuan statistika adalah membuat kesimpulan tentang populasi dengan

menggunakan informasi yang terdapat dalam sampel yang diambil dari populasi

tersebut. Setiap populasi memiliki karakteristik yang dinyatakan dengan sebuah

bilangan yang disebut parameter. Tujuan dari penelitian statistis adalah untuk

menduga satu atau lebih parameter yang relevan. Informasi yang terdapat dalam

sampel dapat digunakan untuk menghitung nilai dari dugaan titik, dugaan selang,

atau keduanya.

Definisi 2.21

Sebuah penduga adalah aturan yang biasanya dinyatakan dalam rumus untuk

menghitung nilai dari suatu dugaan berdasarkan pengukuran-pengukuran yang

terkandung dalam sampel.

1. Penduga Titik

Penduga titik adalah penduga yang menghasilkan suatu nilai sebagai hasil

pendugaannya.

Contoh 2.21

Rata-rata sampel yang diperoleh dari nXXX ,,, 21 dinyatakan dalam rumus

n

i

iXn

X1

1

adalah salah satu penduga titik dari rata-rata populasi .

Suatu penduga titik dapat dikatakan sebagai penduga yang baik atau

penduga yang buruk. Penduga yang baik nantinya akan dipilih unruk menduga

suatu nilai dari parameter. Penduga yang baik akan dilihat dari bias dan rata-rata

kuadrat galatnya. Syarat dari penduga untuk suatu parameter dikatakan penduga

yang baik yaitu apabila penduga tersebut merupakan penduga tak bias.


37

Definisi 2.22

Misalkan ̂ adalah suatu penduga titik untuk sebuah parameter . Jika

)ˆ(E maka ̂ disebut penduga tak bias. Jika )ˆ(E maka ̂ disebut

penduga bias.

Definisi 2.23

Bias dari suatu penduga titik ̂ diberikan oleh .)ˆ()ˆ( EB

Definisi 2.24

Rata-rata kuadrat galat dari suatu penduga titik ̂ adalah .)]ˆ[()ˆ(2 EMSE

Contoh 2.22

Misalkan ̂ adalah suatu penduga untuk parameter dan baE )ˆ(

untuk suatu konstanta a dan b yang taknol. Tentukan )ˆ(B dan *̂ penduga tak

bias bagi .

Jawab:

Dari definisi 2.23 kita dapatkan bias dari suatu penduga titik ̂ adalah

.)1()ˆ()ˆ( babaEB

Dari definisi 2.22 kita tahu bahwa jika )ˆ(E maka ̂ disebut penduga tak

bias, sedemikian hingga

baE )ˆ(

a

bE )ˆ(

)(

)()ˆ(

aE

bEE

.ˆ

a

bE


38

Jadi, baB )1()ˆ( dan

a

b

ˆˆ* adalah penduga tak bias bagi .

2. Penduga Selang (Selang Kepercayaan)

Penduga selang lebih dikenal dengan selang kepercayaan yaitu suatu

selang nilai yang dipercaya memuat nilai parameter yang sebenarnya. Setiap

selang kepercayaan memiliki batas atas dan batas bawah. Batas atas dan batas

bawah dari selang kepercayaan disebut dengan limit atas kepercayaan dan limit

bawah kepercayaan. Probabilitas bahwa suatu selang kepercayaan akan dekat

dengan disebut koefisien kepercayaan. Jika L̂ dan Û adalah limit bawah

kepercayaan dan limit atas kepercayaan bagi parameter , maka

,1)ˆˆ( ULP

probabilitas )1( adalah koefisien kepercayaan. Hasil selang penduganya

]ˆ,ˆ[ UL disebut selang kepercayaan dua sisi. Selang kepercayaan juga dapat

berupa selang kepercayaan satu sisi, seperti

,1)ˆ( LP

dengan selang kepercayaan ],ˆ[ L atau

,1)ˆ( UP

dengan selang kepercayaan ].ˆ,[ U

3. Metode Pivot

Metode Pivot merupakan metode yang sangat berguna untuk menentukan

suatu selang kepercayaan. Metode Pivot bergantung pada suatu nilai yang disebut

kuantitas pivot. Kuantitas pivot memiliki dua ciri, yaitu:

a. Merupakan fungsi dari pengamatan sampel dan parameter yang tidak

diketahui.

b. Distribusi probabilitas dari kuantitas pivot tidak bergantung pada parameter .


39

Contoh 2.23

Misalkan variabel acak X berdistribusi Normal dengan rata-rata dan variansi

.2 Apakah n

xZ

adalah kuantitas pivot bagi ? Tentukan selang

kepercayaan bagi .

Jawab:

Syarat kuantitas pivot:

a. Z merupakan fungsi dari ix dan .

b. Mencari distribusi probabilitas dari Z:

)()( tZZ eEtm

),( )()(

xcx

n

tt

n

x

eEeEeE dengan n

tc

nxn

cx

n

c

c

xc

cc

xc

eEeEe

eEee

eE

11)(

1

),()(1 '' 1 nxtxtc

eEeEe

dengan n

ct '

n

cc

c

n

n

c

n

c

c

nt

t

ce

ee

ee

e

222

)'('

22

2

2222

111

n

c

e 222

.2222

22

t

n

nt

ee

Fungsi pembangkit momen dari n

xZ

adalah 2

2

)(

t

Z etm yang

merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi Normal standar.

Berdasarkan teorema ketunggalan, n

xZ

berdistribusi Normal standar

dengan rata-rata 0 dan variansi 1.


40

Fungsi probabilitas dari Z adalah 2

2

1

2

1)(

z

Z eZf

yang tidak bergantung

pada parameter .

Karena dua syarat kuantitas pivot terpenuhi maka n

xZ

adalah kuantitas

pivot bagi .

Akan dibentuk selang kepercayaan bagi .

Karena )1,0(~ NZ maka

Gambar 2.1 Kurva distribusi Normal

1)ˆˆ( ULP

)(1 22 zZzP

221

z

n

xzP

nzx

nzxP

221

Sehingga diperoleh

nzxL

2ˆ dan .ˆ 2

nzxU

4. Selang Kepercayaan untuk Sampel Besar

Saat ukuran sampel semakin besar maka semua penduga titik akan

mendekati distribusi Normal. Jika parameter target adalah ,,, 21 p


41

21 pp maka berdasarkan teorema limit pusat, untuk sampel yang besar,

ˆ

ˆ Z

berdistribusi mendekati Normal standar. Oleh karena itu, Z merupakan bentuk

kuantitas pivot dan metode pivot dapat digunakan untuk menghasilkan selang

kepercayaan bagi parameter target .

Contoh 2.24

Misalkan ̂ berdistribusi Normal dengan rata-rata dan standar error .̂

Tentukan selang kepercayaan bagi yang memiliki koefisien kepercayaan sama

dengan ).1(

Jawab:

Kuantitas pivot

ˆ

ˆ Z berdistribusi Normal dengan kurva distribusi Normal

sama seperti pada gambar 2.1.

Dipilih dua nilai, yaitu 2

Z dan 2

Z sehingga

1

22

ZZZP )1.2(

Substitusi Z ke persamaan (2.1), maka diperoleh

1

ˆ

2ˆ2

ZZP

1ˆ ˆ

2

ˆ

2

ZZP

1ˆ ˆ

2

ˆ

2

ZZP

1ˆ ˆ

2

ˆ

2

ZZP

Sehingga diperoleh


42

ˆ

2

ˆˆ ZL dan .ˆˆ

ˆ

2

ZU

Contoh 2.25

Waktu berbelanja 64n pelanggan yang dipilih secara acak di sebuah

supermarket lokal telah dicatat. Rata-rata dan variansi dari 64 kali berbelanja

adalah 33 menit dan 256 menit2. Tentukan selang kepercayaan 90% bagi ,

rata-rata waktu berbelanja per pelanggan yang sebenarnya.

Jawab:

Diketahui , sedemikian hingga 33ˆ y dan 2562 untuk sampel

.64n

Selang kepercayaan

ˆ

2

ˆ z

menjadi

nzy

2

Dari tabel distribusi Normal (Lampiran 1) diperoleh ,645.105.02

zz

diperoleh limit bawah kepercayaan dan limit atas kepercayaan

,71.2964

16645.133

2

nzy

.29.3664

16645.133

2

nzy

Jadi, selang kepercayaan 90% bagi adalah (29.71, 36.29).

F. Fungsi Kemungkinan (Likelihood)

Definsi 2.25 Fungsi Kemungkinan dari Sampel

Misalkan nxxx ,,, 21 adalah pengamatan sampel yang berkorespondensi

dengan variabel acak nXXX ,,, 21 yang distribusinya bergantung pada


43

parameter . Jika nXXX ,,, 21 adalah variabel acak diskrit maka fungsi

kemungkinan dari sampel adalah

)|,,,()|,,,( 2121 nn xxxpxxxL

atau

).|()|()|()|,,,( 2121 nn xpxpxpxxxL

Definisi 2.26 Metode Kemungkinan Maksimum

Misalkan fungsi kemungkinan bergantung pada k buah parameter .,,, 21 k

Metode kemungkinan maksimum bertujuan memilih penduga nilai-nilai dari

parameter sedemikian hingga memaksimalkan fungsi kemungkinan

).,,,|,,,( 2121 knxxxL

Contoh 2.26

Sebuah eksperimen Binomial terdiri dari n ulangan menghasilkan nxxx ,,, 21

dengan 1ix berarti ulangan ke-i sukses dan 0ix berarti ulangan ke-i gagal.

Tentukan penduga kemungkinan maksimum bagi p.

Jawab:

Fungsi kemungkinan dari sampel adalah probabilitas dari ,,,, 21 nxxx

sehingga

xnx

n pppxxxLpL )1()|,,,()( 21 dengan

n

i

ixx1

.

Jika 0x maka nppL )( dan )( pL akan maksimum ketika .1p

Sekarang dicari penduga kemungkinan maksimum untuk p jika 1,,2,1 nx

dengan .0)(

)(

pd

pdL Untuk mempermudah perhitungan, dilakukan transformasi

ln pada kedua sisi persamaan, sehingga diperoleh:

])1(ln[)](ln[ xnx pppL

)1ln()(ln pxnpx


44

p

xn

p

x

dp

pdL

1

)(

01

p

xn

p

x

0)1(

pp

npx

Penyelesaian dari persamaan di atas adalah ,0 npx sehingga .n

xp

Jadi, penduga bagi p adalah .ˆn

xp

Contoh 2.27

Misalkan nYYY ,,, 21 adalah sampel acak dari sebuah distribusi Normal dengan

rata-rata dan variansi .2 Tentukan penduga kemungkinan maksimum

untuk dan .2

Jawab:

Karena nYYY ,,, 21 adalah variabel acak kontinu, ),(2L adalah

probabilitas bersama dari sampel, sedemikian hingga,

).,|,,,(),( 2212 nyyyfL Dalam kasus ini,

),|,,,(),( 2212 nyyyfL

),|(),|(),|( 2222

1 nyfyfyf

2

2

2

2

1

2

)(exp

2

1

2

)(exp

2

1

nyy

.)(2

1exp

2

1

1

2

2

2

2

n

i

i

n

y

Selanjutnya,

.)(2

12ln

2ln

2),(ln

1

2

2

22

n

i

iynn

L

Penduga kemungkinan maksimum untuk dan 2 adalah nilai yang membuat


45

),(ln 2L maksimum. Ambil turunan ),(ln 2L terhadap dan ,2 diperoleh

n

i

iyL

12

2

)(1,(ln

(2.2)

dan

n

i

iynL

1

2

422

2

)(2

11

2

,(ln

(2.3)

Buatlah derivatif di atas sama dengan nol, dan dari (2.2) diperoleh

n

i

iy1

2,0)ˆ(

ˆ

1

atau

n

i

iy1

,0)ˆ( dan

n

i

i yyn 1

.1

̂

Substitusi y untuk ̂ pada (2.3) dan selesaikan untuk ,ˆ2 diperoleh

n

i

i yyn

1

2

42,0)(

ˆ

1

ˆ atau .)(

1ˆ

1

22

n

i

i yyn

Dengan demikian, Y dan

n

i

i yyn 1

22 )(1

̂ masing-masing adalah penduga

kemungkinan maksimum untuk dan .2


46

BAB III

MODEL REGRESI COX

A. Analisis Regresi

Analisis regresi merupakan teknik statistik untuk menyelidiki dan

membuat model hubungan di antara variabel-variabel. Tujuan dari analisis regresi

yaitu untuk mendapatkan model terbaik yang menggambarkan hubungan antara

variabel respon (variabel tak bebas/variabel dependen) dengan satu atau lebih

variabel penjelas (variabel bebas/variabel independen) (Hosmer dan Lemeshow,

2000). Variabel penjelas adalah variabel yang nilainya dapat ditentukan atau yang

nilainya dapat diamati tetapi tidak dapat dikendalikan. Variabel respon adalah

variabel yang nilainya dipengaruhi oleh perubahan variabel-variabel penjelas. Di

dalam kehidupan nyata begitu banyak teknik statistika yang dapat digunakan

untuk menganalisis suatu masalah. Salah satu teknik statistika yang dapat

digunakan untuk menganalisis data yang berhubungan dengan waktu tahan hidup

adalah analisis ketahanan hidup.

B. Analisis Ketahanan Hidup

Analisis ketahanan hidup (survival analysis) adalah suatu metode untuk

menganalisis data yang berhubungan dengan waktu, mulai dari waktu awal atau

time origin sampai dengan terjadinya suatu kejadian khusus atau end point. Di

dalam riset medis, waktu awal sering digunakan sebagai awal perekrutan individu

dalam suatu studi percobaan, seperti uji klinis untuk membandingkan dua atau

lebih perlakuan. Sedangkan, kejadian khusus merupakan kematian suatu individu

atau pasien, sehingga data yang dihasilkan dinamakan waktu hidup atau survival

time (David Collett, 2003).

Untuk mendapatkan data ketahanan hidup biasanya dilakukan percobaan.

Dalam melakukan percobaan ada beberapa metode yang dilakukan sehingga data

yang dihasilkan juga berbeda dari satu metode ke metode yang lain. Hal yang

membedakan analisis ketahanan hidup dengan analisis-analisis yang lain pada

statistika adalah penyensoran.


47

C. Data Tersensor

Banyak peneliti menganggap analisis data ketahanan hidup hanya sekedar

penerapan dua metode statistik konvensional untuk jenis masalah khusus:

parametrik jika distribusi waktu ketahanan hidup diketahui normal dan

nonparametrik jika distribusi waktu ketahanan hidup tidak diketahui. Asumsi ini

benar jika waktu ketahanan hidup semua subjek tepat dan diketahui, namun

kenyataannya beberapa waktu ketahanan hidup tidak demikian. Sebagai contoh,

beberapa pasien mungkin masih hidup atau sembuh dari suatu penyakit pada akhir

masa penelitian. Waktu ketahanan hidup yang tepat untuk pasien tersebut tidak

diketahui. Hal ini disebut penelitian yang disensor atau waktu yang disensor dan

juga bisa terjadi ketika individu hilang dari pemeriksaan. Berikut adalah tiga jenis

penyensoran, yaitu:

1. Penyensoran Tipe I

Penelitian pada hewan biasanya dimulai dengan jumlah hewan yang tetap

dengan diberikannya suatu perawatan (treatment). Peneliti sering tidak dapat

menunggu kematian semua hewan karena waktu dan/ atau biaya yang terbatas.

Salah satu pilihan untuk mengatasi hal tersebut adalah melakukan penelitian

untuk jangka waktu tertentu, katakanlah selama enam bulan, setelah itu hewan

yang masih hidup dikorbankan. Waktu ketahanan hidup yang tercatat untuk

hewan yang mati selama jangka waktu penelitian adalah waktu dari awal

penelitian hingga kematian mereka. Hal ini disebut penelitian yang tepat

(exact) atau tidak disensor. Waktu ketahanan hidup hewan yang dikorbankan

tidak diketahui secara pasti tetapi tercatat selama jangka waktu penelitian dan

waktu ketahanan hidup hewan dari awal penelitian sampai pada kematian atau

hilang dari penelitian disebut penelitian yang disensor.

Sebagai contoh, misalkan ada enam tikus telah terkena karsinogen dengan

menyuntikkan sel-sel tumor ke bantalan kaki mereka. Waktu untuk tumor

berkembang dengan ukuran pada ke enam tikus tertentu diamati. Peneliti

memutuskan untuk mengakhiri penelitian setelah 30 minggu.


48

Gambar 3.1 Plot perkembangan tumor pada enam tikus

Pada gambar 3.1 diketahui bahwa perkembangan tumor pada tikus A, B, dan D

terjadi setelah 10, 15, dan 25 minggu secara berturut-turut. Perkembangan

tumor tidak terjadi pada tikus C dan E sampai pada akhir penelitian; waktu

bebas tumor mereka adalah 30 minggu lebih. Tikus F meninggal secara tidak

sengaja tanpa ada perkembangan tumor setelah 19 minggu pengamatan. Data

ketahanan hidup (waktu bebas tumor) adalah 10, 15, 30+, 25, 30+, dan 19+

minggu. (Tanda + menunjukkan pengamatan yang disensor).

2. Penyensoran Tipe II

Pilihan lain dalam penelitian pada hewan adalah menunggu hingga sebagian

besar hewan mati, katakanlah 80 hewan mati dari 100 hewan, setelah itu hewan

yang masih hidup dikorbankan. Dalam hal ini, penyensoran tipe II, jika tidak

ada kerugian yang tidak disengaja, pengamatan yang disensor sama dengan

pengamatan tanpa sensor terbesar. Misalnya dalam percobaan pada enam tikus

(Gambar 3.2), peneliti dapat memutuskan untuk mengakhiri penelitian setelah

perkembangan tumor terjadi pada empat dari enam tikus. Waktu ketahanan

hidup (waktu bebas tumor) adalah 10, 15, 35+, 25, 35, dan 19+ minggu.


49

Gambar 3.2 Plot perkembangan tumor pada enam tikus

3. Penyensoran Tipe III

Di sebagian besar studi klinis dan epidemiologi jangka waktu penelitian adalah

tetap dan pasien memasuki penelitian pada waktu yang berbeda selama jangka

waktu penelitian tersebut. Beberapa pasien dapat meninggal sebelum akhir

penelitian; waktu ketahanan hidup mereka diketahui dengan tepat. Pasien yang

lain mungkin hilang dari pemeriksaan (loss to follow-up) sebelum akhir

penelitian, dan mungkin ada yang masih hidup pada akhir penelitian. Untuk

pasien yang hilang, waktu ketahanan hidupnya adalah setidaknya dari awal

masuk penelitian sampai pasien menghilang dari penelitian. Untuk pasien yang

masih hidup, waktu ketahanan hidup adalah setidaknya dari awal masuk

penelitian sampai pada akhir masa penelitian. Hal tersebut termasuk

pengamatan yang disensor. Karena waktu masuk penelitan masing-masing

pasien tidak bersamaan, waktu yang disensor juga berbeda. Oleh karena itu,

penyensoran tipe III sering disebut penyensoran acak.

Sebagai contoh, misalkan ada enam pasien penyakit leukimia masuk ke dalam

penelitian klinis selama jangka waktu penelitian adalah satu tahun. Misalkan

juga bahwa semua pasien mendapatkan perawatan. Waktu perawatan pasien

penyakit leukimia terdapat pada Gambar 3.3 di bawah ini. Pasien A, C, dan E

mendapat perawatan dan masuk penelitian pada bulan ke 2, 4, dan 9, lalu

penyakitnya kambuh setelah 4,6, dan 3 bulan masing-masing. Pasien B

mendapat perawatan dan masuk penelitan pada bulan ke 3, tetapi hilang dari


50

pemeriksaan 4 bulan kemudian; waktu perawatan adalah setidaknya 4 bulan.

Pasien D dan F mendapat perawatan pada bulan ke 5 dan 10, masing-masing,

dan tetap mendapat perawatan sampai pada akhir penelian; waktu perawatan

mereka adalah setidaknya 8 dan 3 bulan masing-masing. Waktu perawatan dari

enam pasien leukimia adalah 4, 4+, 6, 8+, 3, dan 3+ bulan.

Gambar 3. Plot waktu perawatan pasien penyakit leukimia

Dalam analisis ketahanan hidup ada dua macam fungsi yang dapat

memberikan informasi tentang data ketahanan hidup, yaitu fungsi ketahanan

hidup dan fungsi hazard.

D. Fungsi Ketahanan Hidup

Definisi 3.1

Fungsi ketahanan hidup atau survival function yang dilambangkan dengan )(tS

adalah probabilitas variabel acak T, yang merupakan waktu ketahanan hidup,

melebihi suatu waktu t. Secara matematis, fungsi ketahanan hidup dapat ditulis

)()( tTPtS .0t (3.1)

Secara teori, t berada di antara 0 sampai ∞. Fungsi ketahanan hidup bisa

diilustrasikan seperti pada gambar di bawah ini, dengan t sebagai sumbu

horizontal


51

Gambar 3.4 Kurva fungsi survival

Semua fungsi ketahanan hidup memenuhi tiga karakteristik, yaitu:

fungsi ketahanan hidup adalah fungsi tak naik, ini berarti bahwa fungsinya

konstan atau turun untuk t yang semakin besar;

saat waktu ,1)0()(,0 StSt ini berarti bahwa awal pengamatan karena

belum ada individu yang mengalami kejadian, maka probabilitas ketahanan

hidupnya adalah 1.

saat waktu ,0)(lim,

tStt

ini berarti bahwa jika waktu pengamatan

bertambah menuju tak terbatas alhasil tidak ada individu yang dapat bertahan

hidup, jadi kurva ketahanan hidup akhirnya harus menuju nol.

Pada kenyataannya, ketika digunakan data yang aktual akan diperoleh fungsi

ketahanan hidup berupa fungsi tangga )(ˆ tS seperti grafik di bawah ini.

Gambar 3.5 Kurva fungsi survival ketika digunakan data yang aktual

(fungsi tangga)

Oleh karena waktu pengamatan tidak pernah sampai takhingga dan mungkin tidak

semua individu yang diamati akan mengalami kejadian yang sama sehingga tidak

semua fungsi ketahanan hidup akan sama dengan nol pada akhir pengamatan.

akhir studi


52

E. Fungsi Hazard

Definisi 3.2

Fungsi hazard atau hazard rate yang dilambangkan dengan )(th didefinisikan

sebagai limit dari probabilitas bersyarat bahwa waktu ketahanan hidup individu, T,

terletak pada interval waktu ),( ttt jika diketahui waktu ketahanan hidup T

lebih dari atau sama dengan t. Secara matematis fungsi hazard dapat ditulis

t

tTttTtPth

t

)|(lim)(

0 (3.2)

Dalam istilah matematika, pembilang setelah tanda limit dalam rumus

fungsi hazard ditemukan dalam pernyataan probabilitas. Pernyataan probabilitas

yang dimaksud adalah probabilitas bersyarat karena pembilang dalam rumus

fungsi hazard berbentuk, “P dari kejadian A, jika diketahui kejadian B” atau

)|( BAP , dengan P adalah probabilitas dan garis vertikal di antara A dan B

menunjukkan “diketahui”. Lebih lanjut pengertian )|( tTttTtP

adalah probabilitas bahwa individu gagal dalam interval ],[ ttt jika waktu

ketahanan hidupnya sampai t.

Fungsi hazard suatu waktu disebut tingkat kegagalan bersyarat (conditional

failure rate). Dalam rumus fungsi hazard, ekspresi setelah tanda limit memberi

perbandingan dari dua kuantitas, pembilang merupakan probabilitas bersyarat dan

penyebut adalah t , menyatakan interval waktu t yang kecil. Oleh pembagian

dua kuantitas tersebut, kita memperoleh probabilitas tiap satuan waktu, yang

bukan sekedar probabilitas tetapi tingkat (rate). Khususnya, skala untuk

perbandingan ini bukan 0 sampai 1 seperti pada probabilitas, melainkan berkisar

antara 0 dan takhingga, dan tergantung pada waktu dalam hari, minggu, bulan,

atau tahun, dan lain-lain. Sebagai contoh, jika probabilitas P adalah 31 dan t

adalah setengah hari, maka probabilitas dibagi dengan interval waktu adalah 31

dibagi 21 sama dengan 67,0 tiap hari. Contoh lainnya, misalkan

probabilitasnya sama, yaitu 31 , dan interval waktunya dalam minggu,

sedemikian hingga 21 hari sama dengan 141 minggu, maka probabilitas


53

dibagi dengan interval waktu adalah 31 dibagi 141 sama dengan 67.4 tiap

minggu.

P t ratetP

3

1

2

1

hari

21

31

=0.67 tiap hari

3

1

14

1minggu

141

31

=4.67 tiap minggu

Jadi, ekspresi P dibagi dengan t setelah tanda limit tidak memberikan suatu

probabilitas. Nilai yang diperoleh akan memberikan bilangan yang berbeda

tergantung pada satuan waktu yang digunakan, dan mungkin akan memberikan

bilangan lebih dari satu.

Ketika diambil limit dari ekspresi sebelah kanan tanda limit untuk interval

waktu t menuju nol, didapatkan ekspresi untuk probabilitas instan dari kegagalan

pada waktu t tiap satuan waktu. Cara lain untuk mengatakan bahwa tingkat

kegagalan bersyarat atau fungsi hazard )(th memberikan potensi instan untuk

kegagalan pada waktu t tiap satuan waktu jika diberikan waktu ketahanan

hidupnya sampai t.

Fungsi hazard )(th memenuhi dua karakteristik, yaitu:

Fungsinya taknegatif.

Fungsinya tidak memiliki batas atas.

Kedua karakteristik di atas adalah akibat dari rumus )(th karena probabilitas

analisis model regresi coxrepository.usd.ac.id/30211/12/143114018 edit.pdf · 2018. 8. 7. · 3....

Documents