ANALISIS REAL

Pustaka1. Robert G. Bartle, The Element of Real Analysis, John Wiley Sons, Inc., Canada, 1976.2. Robert G. Bartle and Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, John Wiley Sons,

Inc., Canada, 1992Drs. Asrul Sani, M.Sc, Ph.DProf. Edi Cahyono, M.Si

Cakupan Materi

1. HIMPUNAN dan BILANGAN REAL2. TOPOLOGI RUANG KARTESIUS3. KEKONVERGENAN4. FUNGSI KONTINYU5. FUNGSI SATU PEUBAH6. DERET TAK HINGGA7. TURUNAN DALAM Rn

8. INTEGRAL DALAM Rn

HIMPUNAN DAN BILANGAN REALSinonim himpunan : kelas, kumpulan, agregasi, dll.Notasi himpunan dengan huruf besar, misal A ,B ,.. dll.Anggota himpunan dengan huruf kecil, misal a ,b ,… dll.Jika A himpunan dan x anggota (elemen) dari himpunan A maka dinotasikan dengan

x∈ AJika A himpunan akan tetapi x bukan anggota dari himpunan A maka dinotasikan dengan

x∉ ABeberapa notasi himpunan

Himpunan bilangan asli, N={1,2,3 ,…} Himpunan bilangan bulat, Z={0,1 ,−1,2,−2 ,… }

Himpunan bilangan rasional Q={mn;m,n∈Z ,n≠0 }

Himpunan bilangan real R Himpunan interval satuan I={x∈R ;0≤x ≤1 } Himpunan bilangan kompleks C

Jika A dan B merupakan himpunan dan x anggota suatu himpunan, maka ada empat kemungkinan(1) x∈ A dan x∈B(2) x∈ A dan x∉B(3) x∉ A dan x∈B(4) x∉ A dan x∉B

Diagram Venn-nya

Latihan. Jika A ,B , dan C himpunan dan x anggota dari suatu himpunan. Tentukan kemungkinannya dan gambarkan diagram venn-nya.

Jika B merupakan himpunan bagian dari A maka dinotasikan denganB⊆ A

Himpunan B dikatakan himpunan bagian sempurna (proper subset) dari A, apabila terdapat anggota A yang bukan anggota B.

Definisi. Dua himpunan dikatakan sama jika keduanya memuat anggota yang sama. Jika himpunan A dan B sama, maka ditulis A=B.

Untuk menunjukkan kesamaan dua himpunan, A=B, maka harus ditunjukkan bahwa berlakuA⊆B dan B⊆ A

Jika p(x ) menyatakan sifat dari keanggotaan x pada himpunan S, maka dinotasikan {x∈S; p (x ) } atau {x∨p ( x ) , x∈S }

Contoh.{x∈N ;10< x<100 }{x∈R ; x2−15x+56=0}

OPERASI HIMPUNAN

Dalam himpunan dikenal juga beberapa operasi untuk menghasilkan suatu himpunan.

Definisi. Misalkan A dan B dua himpunan. Irisan (intersection) himpunan A dan B, dinotasikan dengan A∩B adalah himpunan dengan semua anggotanya merupakan anggota himpunan A dan B. Sedangkan gabungan (union) himpunan A dan B, dinotasikan dengan A∪B adalah himpunan dengan semua anggotanya berasal dari anggota himpunan A atau B. Maka,

A∩B={x : x∈ A dan x∈B }A∪B={x : x∈ A atau x∈B }

Definisi. Himpunan kosong, dinotasikan dengan ∅ , yakni himpunan tanpa elemen. Jika irisan dua himpunan adalah ∅ , maka kedua himpunan tersebut saling lepas (disjoint)

Teorema. Misalkan A ,B ,C adalah himpunan. Maka

Bukti. Contoh pembuktian.(d). A∩ (B∪C )=¿ (A∩B)∪(A∩C) jika dan hanya jika A∩(B∪C)⊆ (A∩B)∪(A∩C) dan

(A∩B)∪(A∩C)⊆ A∩(B∪C). Pertama akan ditunjukkan A∩(B∪C)⊆ (A∩B)∪(A∩C). Misalkan x∈ A ∩(B∪C). Maka

berarti x∈ A dan x∈(B∪C). Artinya x∈ A dan, x∈B atau x∈C. Dengan kata lain x∈ A dan x∈B , atau x∈ A dan x∈C. Maka, x∈ A ∩B atau x∈ A ∩C . Sehingga x∈(A∩B)∪ (A ∩C). Dengan demikian ∩(B∪C)⊆ (A∩B)∪(A∩C).

Selanjutnya akan ditunjukkan (A∩B)∪(A∩C)⊆ A∩(B∪C). Misalkan x∈(A∩B)∪ (A ∩C). Artinya x∈ A ∩B atau x∈ A ∩C . Dengan kata lain x∈ A dan x∈B , atau x∈ A dan x∈C. Dapat dikatakan juga x∈ A dan, x∈B atau x∈C. Sehingga x∈ A ∩(B∪C). Dengan demikian (A∩B)∪(A∩C)⊆ A∩(B∪C).

Latihan. Buktikan untuk (a), (b), (c), dan (d) bagian keduanya.

Misalkan himpunan A merupakan gabungan dari kumpulan himpunan-himpunan {A1 , A2 ,…, An}. Maka dapat dituliskan

A=A1∪ A2∪…∪ An=¿i=1¿n Ai={A i ; i=1,2 ,…,n }

Misalkan himpunan B merupakan irisan dari kumpulan himpunan-himpunan {B1 ,B2 ,…,Bn}. Maka dapat dituliskan

B=B1∩B2∩…∩Bn=¿i=1¿n Bi= {Bi ; i=1,2 ,…,n }

Definisi. Jika A dan B dua himpunan, maka himpunan komplemen B relatif terhadap A adalah semua anggota A yang bukan anggota B. Biasanya himpunan disebut dengan “A kurang B” dan dinotasikan dengan

A ¿ atau A−B atau C (B)

Dengan demikian berartiA ¿={x∈ A : x∉B }

Teorema. Himpunan A∩B dan A ¿ merupakan himpunan saling lepas dan A=(A ∩B )∪ ( A ¿ ) .Bukti.Akan digunakan metode Kontradiksi. Misalkan himpunan A∩B dan A ¿ merupakan himpunan tidak saling lepas, artinya irisan keduannya tidak kosong. Katakan x merupakan anggota irisannya. Jadi x∈ A ∩B dan x∈ A ¿. Jika diuraikan lebih lanjut, untuk x∈ A∩B berlaku x∈ A dan x∈B , dan juga untuk x∈ A ¿ harus berlaku x∈ A dan x∉B . Terlihat bahwa tidak mungkin terjadi x∈B dan x∉B . Jadi yang benar irisan himpunan A∩B dan A ¿ kosong atau harus saling lepas. Untuk bagian kedua, sebagai latihan.

Berikut dikenal dengan dalil De Morgan (Augustus De Morgan 1806-1873, London, Ahli matematika dan Logika).

Teorema. Misalkan A ,B ,C merupakan himpunan. Maka,

A ¿B∪C ¿=(A ¿)∩(A ¿)A ¿B∩C ¿= (A ¿ )∪ ( A ¿ )

Bukti. Sebagai latihan.

PERKALIAN KARTESIUS

Definisi. Misalkan A dan B merupakan dua himpunan tak kosong. Maka perkalian kartesius (Cartesian product), dinotasikan dengan A×B, didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut (a ,b) dengan a∈ A dan b∈B.

Catatan. Urutannya penting diperhatikan.

Contoh. Misalkan A={1,2,3 } dan B={4,5 }. Maka

A×B= {(1,4 ) , (1,5 ) , (2,4 ) , (2,5 ) , (3,4 ) , (3,5 ) }B× A={(4,1 ) , (4,2 ) , (4,3 ) , (5,1 ) , (5,2 ) ,(5,3)}Latihan. Misalkan A={x∈ R :1≤ x≤2} dan B={x∈R :0≤ x≤1atau 2≤x ≤3 }. Tentukan A×B dan B× A .

FUNGSI

Definisi. Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap anggota domain A, x∈D(A), dengan tepat satu anggota himpunan B.

Definisi tersebut memungkinkan suatu fungsi tidak terdefinisi pada domain A, dan juga memungkinkan himpunan A dan B bukanlah himpunan bilangan real, tetapi himpunan benda-benda. Jadi definisi tersebut agak tidak jelas, khususnya dalam hal istilah “aturan yang mengaitkan”.

Definisi. Misalkan A dan B merupakan himpunan, yang tidak harus berbeda. Fungsi dari A ke B adalah himpunan f pasangan terurut A×B yang memenuhi sifat jika (a ,b) dan (a ,b ') merupakan anggota dari f , maka b=b ' . Himpunan dari semua anggota A yang muncul pada bagian pertama dalam himpunan pasangan terurut tersebut disebut dengan domain dari f , dinotastikan D( f ), dan himpunan dari semua anggota B yang muncul pada bagian kedua dalam himpunan pasangan terurut tersebut disebut dengan range dari f , dinotastikan R ( f ) .

Apabila D (f )=A , maka sering dikatakan f memetakan A ke dalam B dan dinotasikan f : A→B.

Jika (a ,b) anggota dari fungsi f , maka biasanya dituliskanb=f (a) atau f : a⟶b

bukan (a ,b )∈ f .

Anggota b sering disebut juga sebagai nilai dari f pada titik a, atau bayangan f untuk titik a.

TRANSFORMASI

Fungsi dapat diartikan sebagai transformasi atau juga mesin. Secara geometri keduanya dapat digambarkan sebagai berikut.

Transformasi Mesin

KOMPOSISI FUNGSI

Definisi. Misalkan f suatu fungsi dengan domain D( f ) di A dan range R( f ) di B. Misalkan g suatu fungsi dengan domain D(g) di B dan range R(g) di C . Maka komposisi fungsi f dilanjutkan g, dinotasikan dengan g∘ f (dalam hal ini urutan diperhatikan), adalah fungsi dari A ke C yang diberikan oleh

g∘ f={ (a , c )∈ A×C :∃b∈B sdh b=f (a )dan c=g(b)}

Teorema. Misalkan f dan g suatu fungsi. Maka g∘ f merupakan suatu fungsi dengan

D (g∘ f )={x∈D ( f ) : f ( x )∈D (g ) }R (g∘ f )={x∈R (g ) : x∈D (g∘ f ) }Bukti. Latihan.

Contoh.Misalkan fungsi f dan g sebagai berikut.

f ( x )=2x dan g ( x )=3 x2−1Tentukan D (g∘ f ) , R (g∘ f ) , dan fungsi g∘ f .Penyelesaian

Diketahui D (f )={x∈R } , R ( f )={x∈R : f ( x )∈ R } , dan D (g )={x∈R : f (x )∈R }. Karena R ( f )∩D (g )={x∈R : f ( x )∈R }, maka dengan demikianD (g∘ f )={x∈ R : f ( x )∈ R }= {x∈R :2 x∈R }={x∈R } .

Karena D (g∘ f )=D (g )= {x∈ R } , maka R (g∘ f )=R ( g )={x∈R :−1≤g(x )<∞ }. Sedangkan g∘ f=3 (2 x )2−1=12 x2−1. Selanjutnya diperoleh f ∘ g=2 (3 x2−1 )=6x2−2. Jadi g∘ f ≠ f ∘ g .

Contoh.Misalkan fungsi f dan h sebagai berikut.

f ( x )=2x dan h ( x )=√ x−1Tentukan D (h∘ f ) ,R (h∘ f ) , dan fungsi f ∘h .Penyelesaian

D (f )={x∈R } ,R ( f )={x∈R : f ( x )∈ R } , dan D (g )={x∈R : f (x)≥1 }. Karena

R ( f )∩D (g )= {x∈R : f (x)≥1 }, maka dengan demikian

D (h∘ f )= {x∈ R :2x ≥1 }={x∈R : x≥ 12 }.

Karena D (h∘ f )={x∈R : x ≥ 12 }, maka R (h∘ f )=R (h )={x∈ R :0≤h (x)<∞ }.

Selanjutnya diperoleh h∘ f=√2 x−1 . Sedangkan f ∘h=2√ x−1 .

FUNGSI INJECTIF DAN FUNGSI INVERSDefinisi. Misalkan fungsi f dengan domain D (f ) di A dan range R( f ) di B. Fungsi f dikatakan injektif atau satu-satu jika setiap f (a)=b dan f (a' )=b maka a=a ' .

Definisi. Misalkan fungsi f injektif (fungsi satu-satu) dengan domain D ( f ) di Adan range R( f )diB . Misalkan fungsi g didefinisikan sebagai

g={(b ,a )∈B× A :b∈B ,a∈ A , (a ,b )∈ f }Maka g merupakan fungsi injektif dengan domain D (g )=R( f ) dan range g adalah R (g )=D ( f ). Fungsi g ini disebut fungsi invers dari f dan dinotasikan dengan f−1 .

Adapun secara geometri dapat digambarkan sebagai berikut

Contoh. Dapat dilihat pada buku teks

FUNGSI SURJEKTIF DAN BIJEKTIF

HIMPUNAN FINITE (TERBATAS) DAN INFINITE (TIDAK TERBATAS)

Himpunan bilangan asli, dilambangkan dengan N , dengan anggota sebagai berikut

N={1,2,3 ,… }

Setiap himpunan bagian tak kosong dari N mempunyai anggota terkecil. Sifat dari N ini sangat penting, dan sering

dikatakan N terurut dengan baik (well ordered).

Himpunan S dikatakan segmen awal dari N apabila terdapat n∈N sehingga

S={x∨x≤ n ,dengan x , n∈ N }.

Contoh.

{1,2 } merupakan segmen awal dari N yang ditentukan dengan anggota 2.

{1,2,3,4 } merupakan segmen awal dari N yang ditentukan dengan anggota 4 .

{2,3 } bukan merupakan segmen awal dari N , karena 1<2 akan tetapi 1∉{2,3 }

{1,3,5 } bukan merupakan segmen awal dari N , karena 2<3 dan 4<5 akan tetapi 2,4∉ {1,3,5 }

Definisi. Himpunan B dikatakan finite (hingga) apabila B=∅ atau terdapat fungsi satu-satu antara domain B dan range pada suatu segmen awal dari N . Sebaliknya jika tidak terdapat fungsi satu-satu, maka himpunan tersebut infinite (tak hingga). Apabila terdapat fungsi satu-satu dengan domain B dan range semua anggota N , maka himpunan B dikatakan denumerable (terbilang). Himpunan yang finite atau denumerable disebut countable (terhitung).

Contoh.

(a). Himpunan hingga (kenapa?)

{1,3,5 } , {2,4,6,8,10 } ,{2,3 ,…,100 }

(b). Himpunan tak hingga tapi terbilang (kenapa?)

{2,4,6 ,… }, {1,3,5,7 ,…} , {…,−2 ,−1,0,1,2 ,… }

Teorema 3.1. Himpunan bagian dari himpunan hingga adalah hingga. Setiap himpunan bagian dari himpunan terhitung adalah terhitung.

Teorema 3.2. Himpunan gabungan dari kumpulan terbatas dari himpunan-himpunan hingga adalah himpunan hingga. Himpunan gabungan dari kumpulan terhitung dari himpunan-himpunan terhitung adalah himpunan terhitung.

Contoh.

Gabungan semua himpunan-himpunan bilangan rasional Q membentuk suatu himpunan terhitung.

Penyelesaian.

Bilangan rasional merupakan bilangan pecahan dengan bentuk

r=mn,dengan n≠0 danm,n∈B ,BBilangan bulat

Misalkan himpunan Ai , i=0,1,2 ,…,n ,… sebagai berikut

A0={0 }A1={11,−1

1, 21,−2

1,…}A2={1

2,−1

2, 22,−2

2,…}

⋮

An={1n,−1n

, 2n,−2n

,…}⋮

Terlihat bahwa setiap Ai adalah himpunan terhitung dan gabungannya Q=¿i=0 ¿❑A i, menurut Teorema 3.2., adalah terhitung.

Himpunan semua bilangan real R tidak terhitung (kenapa?). Bahkan himpunan bilangan real I={x∨0≤ x≤1 , x∈R } tidak terhitung.

BILANGAN REAL

Pada bagian ini kita akan membahas sifat-sifat bilangan ril. Akan dibahas beberapa sifat bilangan ril dan selanjutnya dapat diturunkan sifat-sifat lain berdasarkan sifat-sifat sebelumnya.

SIFAT ALJABAR BILANGAN R

SIFAT TERURUT R