Regresi dan Kolerasi

Statistika Probabilitas

Teknik Informatika 2011

Disusun Oleh :

Ahmad Ridwan

Fiki Pratama Alnis Salim

Martinus Hidayat

Pengertian Analisis Regresi

Analisis Regresi adalah Analisis statistika yang memanfaatkan hubungan antara dua atau lebih peubah kuantitatif sehingga salah satu peubah dapat diramalkan dari peubah lainnya.

Variabel (x) yang berfungsi untuk menerangkan atau meramalkan disebut peubah bebas. Sedangkan variabel (y) yang keadaannya diterangkan oleh variabel (x) disebut peubah tak bebas.

Persamaan Garis Regresi Linier Sederhana

Rumus untuk persamaan garis regresi linier sederhana adalahy = a + Bx

Keterangan :Y = Variabel terkait (variabel yang diduga)X = Variabel bebas (variabel yang diketahui)A = Intersep (nilai Y, bila x=0)B = Slop (kemiringan garis regresi)

= a + bxy

Gambar 1.2.1 Garis Regresi

Metode Kuadrat TerkecilDengan metode kuadrat terkecil, nilai a dan b dapat ditentukan dengan rumus berikut ini :

Untuk membuat suatu peramalan atau pendugaan dengan persamaan regresi, maka nilai a dan b harus ditentukan terlebih dahulu.

Persamaan Y = a + Bx memberikan arti jika variabel X satu satuan maka variabel Y akan mengalami peningkatan atau penurunan sebesar 1 x b.

Contoh soal Berikut ini adalah data hasil pengamatan pemupukan dan hasil panen padi untuk 5 percobaan yang telah dilakukan.

X = hasil panen padi (dalam kwintal)Y = pemupukan (dalam kg)

a. Buatkan persamaan garis regresinya dan jelaskan artinya !b. Tentukan nilai pendugaan bagi Y , jika X = 9 !

Untuk menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu kita harus membuat tabel seperti ini :

X 3 6 9 10 13

Y 12 23 24 26 28

X Y X² Y² XY

3 12 9 144 36

6 23 36 529 138

9 24 81 576 216

10 26 100 676 260

13 28 169 784 364

∑ = 41 113 395 2709 1014

Lanjutan Contoh Soal

a. Persamaan garis regresi linier sederhananya adalah :Y = 10,3 + 1,5X

Artinya, jika digunakan pupuk sebesar 1kg maka akan memberikan peningkatan hasil panen padi sebesar 1 x 1,5 = 1,5 kwintal.

b. Nilai duga Y , jika X = 9 adalah :

Y = 10,3 + 1,5 (9)=23,8

Pendugaan & Pengujian Koefisien Regresi1. Kesalahan Baku dan Koefisien Regresi Sederhana

Kesalahan baku merupakan indeks yang digunakan untuk mengukur tingkat ketepatan regresi guna mengetahui seberapa jauh melesetnya perkiraan kita dalam meramalkan data yang telah diketahui.

Rumus untuk kesalahan baku regresi adalah :

Rumus untuk kesalahan baku koefisien regresi a (penduga a) :

Rumus untuk kesalahan baku koefisien regresi b (penduga b) :

2

2

n

XYbYaYSe

22

2

XYXn

SXS ea

n

XX

SS eb 2

2

2. Pendugaan Interval Koefisien Regresi (Parameter A dan B)

Pendugaan interval bagi parameter A dan B menggunakan distribusi t dengan derajat kebebasan (db) = n-2

Pendugaan interval untuk parameter A, dirumuskan :

Pendugaan interval untuk parameter B, dirumuskan :

1

2;2

2;2

an

an

StaAStaP

1

2;2

2;2

bn

bn

StbBStbP

Contoh Soal

Tentukan pendugaan interval dari parameter A dan B dari Tabel Contoh Soal sebelumnya dengan ά = 5% atau tingkat keyakinan 95% dan jelaskan artinya !

Berdasarkan jawaban pada contoh soal sebelumnya, didapatkan :a = 10,3 b = 1,5 Sa = 1,97 Sb = 0,38 α = 5% = 0,05α/2 = 0,025 db = 5 – 2 = 3 t0,025(3) = 3,81

Pendugaan interval parameter A adalah sebagai berikut :

10,4 – 3,81 (1,97) ≤ A ≤ 10,4 + 3,81 (1,97) 2,894 ≤ A ≤ 17,906Artinya, dengan interval keyakinan 95%, dalam jangka panjang (jika sampel diulang), maka 95 dari 100 kasus pada interval 2,894 sampai 17,906 akan berisi A yang benar.

Pendugaan interval parameter B adalah sebagai berikut :

1,5 – 3,81 (0,38) ≤ B ≤ 1,5 + 3,81 (0,38) 0,052 ≤ B ≤ 2,948

Artinya, dengan interval keyakinan 95% dalam jangka panjang (jika sampel berulang), maka 95 dari 100 kasus pada interval 0,052 sampai 2,948 akan berisi B yang benar.

3.Pengujian Hipotesis Koefisien Regresi (Parameter A dan B)

Pengujian hipotesis bagi parameter A dan B menggunakan uji t dengan langkah-langkah sbb :

1. Menentukan formulasi hipotesis- Untuk parameter A :

H0 : A = A0H1 : A > A0 A < A0 A ≠ A0

- Untuk parameter BH0 : B = B0 mewakili nilai B tertentu, sesuai hipotesisnyaH1 : B > B0, berarti pengaruh X terhadap Y positif B < B0, berarti pengaruh X terhadap Y negatif B ≠ B0, berarti X mempengaruhi Y

2. Menentukan Taraf Nyata (α) Dan Nilai t Tabel

Taraf nyata dan nilai t tabel ditentukan dengan derajat bebas (db) = n-2

3. Menentukan kriteria pengujian

a. - H0 diterima apabila t0≤ tα , - H0 ditolak apabila to > tα

b. - H0 diterima apabila t0≥ -tα, - H0 ditolak apabila t0 < -tα

c. - H0 diterima apabila –tα/2 ≤to ≤ tα/2

- H0 ditolak apabila t0<–tα/2 atau t0 > tα/2

4. Menentukan nilai uji statistik

Untuk parameter A , rumusnya adalah :

Untuk parameter B , rumusnya adalah :

5. Membuat Kesimpulan Menyimpulkan apakah Ho diterima atau ditolak.

Contoh Soal :Ujilah parameter A dan B dengan menggunakan penduga a dan b pada tabel sebelumnya dengan taraf nyata 5% ! Dari jawaban contoh soal sebelumnya, didapatkan :n = 5 a= 10,3 b= 1,5 Sa = 1,97 Sb = 0,38

aS

Aat 00

bS

Bbt 00

Penyelesaian :1. Formula Hipotesis Untuk parameter A :

H0 : A = A0 , H1 : A ≠ A0

Untuk parameter B :H0 : B = B0 , H1 : b ≠ b0

2. Taraf Nyata (α) dan nilai t tabel :α = 5% = 0,05 » α / 2 = 0,025db = 5 – 2 = 3 t0,025(3) = 3,81

3. Kriteria Pengujian : H0 diterima apabila -3,81 ≤ t0 ≤ 3,81

H0 ditolak apabila t0 < -3,81 atau t0 > 3,81

4. Uji Statistik :

5. Kesimpulan

a. Untuk parameter A

Karena t0 = 5,23 > t0,025(3) = 3,81 , maka H0 ditolak.

b. Untuk parameter B

Karena t0 = 3,947 > t0,025(3) = 3,81 , maka H0 ditolak.

Jadi, variabel X mempengaruhi variabel Y.

Catatan :

Dari kedua koefisien, koefisien regresi B, yaitu koefisien regresi sebenarnya adalah yang lebih penting. Karena dari koefisien ini, ada atau tidak adanya pengaruh X terhadap Y dapat diketahui.

Khusus untuk koefisien regresi B, pengujian hipotesisnya dapat juga dirumuskan sbb :

F = ( b² . S ( X - Ẍ ) ) / Se²

KOEFISIEN KORELASI1. Pengertian Koefisien Korelasi (KK)

Koefisien korelasi merupakan indeks atau bilangan yang digunakan untuk

mengukur keeratan (kuat,lemah,atau tidak ada) hubungan antarvariabel.

Koifisien korelasi memiliki nilai antara -1 dan +1 (-1≤KK≤+1)

2. Jenis Jenis Koefisien Korelasi

A. Koefisien Korelasi Pearson

Koefisien Korelasi ini digunakan untuk mengukur keeratan hubungan antara

dua variabel yang datanya berbentuk data interval atau rasio. Disimbolkan dengan r

dan dirumuskan :

Nilai dari koefisien korelasi (r) terletak antara -1 dan +1 .

2222 YYnXXn

YXXYnr

B. Koefisien Korelasi Rank Spearman Koefisien korelasi ini digunakan untuk mengukur keeratan hubungan antara dua variabel yang datanya berbentuk data ordinal (data bertingkat ). Disimbolkan dengan rs dan dirumuskan seperti di bawah ini :

Keterangan :d = selisih ranking X dan Yn = banyaknya pasangan data

C. Koefisien Korelasi Kontingensi

Koefisien korelasi ini digunakan untuk mengukur keeratan hubungan antara 2 variabel yang datanya berbentuk data nominal ( data kualitatif ). Disimbolkan dengan C dan rumus

nn

drs

3

261

nx

xC

2

2

D. Koefisien Penentu / Koefisien Determinasi

Apabila koefisien korelasi dikuadratkan, akan menjadi koefisien penentu (KP) atau koefisien determinasi (R) , yang artinya penyebab perubahan pada variabel Y yang datang dari variabel X, sebesar kuadrat koefisien korelasinya. Koefisien penentu ini menjelaskan besarnya pengaruh nilai suatu variabel (variabel X) terhadap naik/turunnya (variasi) nilai variabel lainnya.

Keterangan :KK = Koefisien Korelasi

Nilai koefisien penentu ini terletak antara 0 dan +1 ( 0 ≤ KP ≤ +1 ). Jika koefisien korelasinya adalah koefisien korelasi Pearson, maka koefisien penentunya adalah

KP = R = r² x 100%

%100)( 2 KKRKP

Hubungan koefisien Korelasi dengan Koefisien Regresi

Antara koefisien Korelasi (r) dan koefisien Regresi (b), terdapat suatu hubungan. Hubungan tersebut dapat dibentuk dalam rumus seperti di bawah ini :

y

x

S

Sbr

n

XX

nSx

221

n

YY

nS y

221

Contoh SoalBerikut ini adalah data hasil pengamatan pemupukan dan hasil panen padi untuk 5 percobaan yang telah dilakukan.

X = hasil panen padi (dalam kwintal)Y = pemupukan (dalam kg)

Tentukanlah besar koefisien korelasi dengan rumus hubungan koefisien regresi !

X 3 6 9 10 13

Y 12 23 24 26 28

X Y X² Y² XY

3 12 9 144 36

6 23 36 529 138

9 24 81 576 216

10 26 100 676 260

13 28 169 784 364

∑ = 41 113 395 2709 1014

Penyelesaian

“Sekian dan Terima Kasih”