Name: ________________________ Class: ___________________ Date: __________ ID: A

1

awerg

True/False

Indicate whether the sentence or statement is true or false.

____ 1. Se considera ecuatia f(x) = 2x3 − x − 1 = 0

Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda

bisectiei.

____ 2. Se considera ecuatia f(x) = x3 − x − 2 Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica

metoda bisectiei.

____ 3. Se considera ecuatia

f(x) = [x] −x

2

Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. In formula de mai sus [x] este partea intreaga a

numarului x . Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei.

____ 4. Se considera ecuatia f(x)=0

cu f continua pe intervalul [a,b] si f(a)f(b)<0. Atunci metoda bisectiei produce un sir ce converge

catre una din solutiile ecuatiei de mai sus.

____ 5. Se considera ecuatia f(x)=0

cu f continua pe intervalul [a,b]si f(a)f(b)<0 . Atunci daca se porneste cu predictie initiala suficient

de aproape de o solutie din [a,b] a ecuatiei de mai sus metoda lui Newton va converge catre acea

solutie cu ordin de convergenta patratic.

____ 6. Se considera ecuatia f(x)=0

cu f ∈ C2[a,b] pe intervalul [a,b] si f' (x*) ≠ 0 unde x* ∈ [a,b] este solutia exacta a

ecuatiei. Atunci daca se porneste cu predictie initiala suficient de aproape de o solutie din [a,b] a

ecuatiei de mai sus metoda lui Newton va converge catre acea solutie cu ordin de convergenta

patratic.

____ 7. Metoda bisectiei e intotdeauna mai rapida decat metoda lui Newton.

Name: ________________________ ID: A

2

____ 8. Metoda bisectiei converge liniar.

____ 9. Intotdeauna metoda lui Newton produce un sir de numere care converge catre solutia ecuatiei careia

ii aplicam metoda.

____ 10. Se considera ecuatia f(x)=0

cu f continua pe intervalul [a,b] si f(a)f(b)<0 . Utilizam metoda bisectiei pentru aproximarea unei

solutii a ecuatiei de mai sus. Notam cu solutia catre care converge sirul de aproximari produse de

metoda bisectiei. Este adevarat atunci ca putem determina cu exactitate numarul n de iteratii necesare

pentru ca |x n − x * |< 10−5 . aici xn denota a n-a iteratie.

____ 11. Se rezolva un sistemul compatibil determinat cu matrice A si termen liber b utilizand o metoda

numerica iterativa. La pasul n se calculeaza un vector Xn . Calculam AXn − b si gasim ca fiecare

componenta a lui AXn − b este foarte mica. Atunci Xn este foarte aproape de solutia exacta a

sistemului liniar AX = b

____ 12. In general metoda de interpolare a lui Lagrange e mai rapida decat metoda de interpolare cu

diferente divizate.

____ 13. Metoda rotatiilor a lui Jacobi calculeaza in mod exact valorile proprii ale oricarei matrici.

____ 14. Metoda rotatiilor a lui Jacobi pentru determinarea valorilor proprii ale unei matrici de un anumit tip

A este o metoda iterativa in care la fiecare pas se construieste o matrice R de un anumit tip si se

inmulteste A la stanga cu RT iar la dreapta cu R. In acest fel la fiecare pas se anuleaza una cate una

componentele din matricea A ce nu sunt pe diagonala si intr-un numar finit de pasi metoda rotatiilor

produce o matrice diagonala ale carei elemente pe diagonala sunt exact valorile proprii ale matricii

A.

____ 15. Daca f este un polinom de grad n atunci metoda lui Newton-Cotes cu n+1 noduri echidistante pe

[a,b] va calcula in mod exact integrala

f(x)dxa

b

∫

Name: ________________________ ID: A

3

____ 16. Daca f este un polinom de grad 4 atunci metoda lui Newton-Cotes cu 3 noduri echidistante pe [a,b]

va calcula in mod exact integrala

f(x)dxa

b

∫

____ 17. Formulele Newton-Cotes sumate se obtin prin impartirea intervalului de integrare in subintervale de

lungime egala, aplicarea formulelor Newton-Cotes pe fiecare subinterval si sumarea rezultatelor

obtinute.

____ 18. In practica se folosesc formulele Newton-Cotes nu formulele Newton-Cotes sumate pentru ca

acestea ultimele necesita prea multe calcule.

____ 19. Polinomul lui Legendre P3 de grad 3 este ortogonal pe polinomul lui Legendre P4 de grad 4 adica

P3−1

1∫ (x)P4(x)dx = 0

____ 20. Polinoamul lui Legendre de grad 4 este ortogonal pe

adica (x2 + 1)−1

1∫ P4(x)dx = 0

____ 21. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) nodurile se

aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata.

____ 22. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) ponderile

se aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata.

____ 23. Metoda lui Euler produce intotdeauna o solutie aproximativa care pe masura ce pasul h se

micsoreaza va converge catre solutia exacta a problemei.

Name: ________________________ ID: A

4

____ 24. Se rezolva numeric o ecuatie diferentiala

y'= f(x,y),y(0) = 1

cu metoda lui Euler cu pas h. Notam x 0 = 0,y 0 = 1.La efectuarea primului pas eroarea comisa este

|y 1 − y(x 1 )|=h2

2|y' ' (ψ)|

unde ψ este un numar din intervalul [x0,x1]

Multiple Choice

Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question.

____ 25. Se considera ecuatia f(x) = 4x5 − 3x 3 − 1 = 0

Pentru rezolvarea ei vom alege x 0 = 1.2 si apoi vom defini recursiv xn + 1 = xn −(4x

n

5 − 3xn

3 − 1)

(20xn4 − 9x

n2)

.

Aceasta este

a. metoda bisectiei c. metoda lui Newton

b. metoda secantei d. metoda pozitiei false

____ 26. Se considera ecuatia f(x) = 3x5 − 2x 3 − 1 = 0

Pentru rezolvarea ei vom alege x 0 = 1.2 si apoi vom defini recursiv x n + 1 = x n −(3x

n

5 − 2xn

3 − 1)

(15xn

4 − 6xn

2) , n

numar natural. Aceasta este

a. metoda bisectiei c. metoda lui Newton

b. metoda secantei d. metoda pozitiei false

Name: ________________________ ID: A

5

____ 27. Se considera ecuatia f(x) = 3x3 − x − 1 = 0

Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La

primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel

punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda

a. bisectiei c. lui Newton

b. secantei d. lui Gauss

____ 28. Care din urmatoarele afirmatii sunt adevarate?

a. Metoda lui Newton necesita

calcularea exacta a derivatei la

fiecare pas, in timp ce metoda

bisectiei nu necesita acest

lucru.

c. Si metoda bisectiei si metoda

lui Newton se pot utiliza

intotdeauna

b. Metoda bisectiei are un ordin

de convergenta mai mare decat

metoda lui Newton.

____ 29. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa

Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica

a. Metoda lui Cholesky(sau

metoda radacinii patrate)

c. Metoda lui Newton

b. Metoda lui Gauss d. Metoda lui Lagrange

Name: ________________________ ID: A

6

____ 30. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa

Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica

a. Metoda lui Cholesky(sau

metoda radacinii patrate)

c. Metoda lui Gauss

b. Metoda lui Gauss-Legendre d. Metoda lui Lagrange

____ 31. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa

Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica

a. Metoda lu Choleski(sau metoda radacinii

patrate)

c. Metoda lui Gauss

b. metoda lui Simpson d. Metoda lui Lagrange

Name: ________________________ ID: A

7

____ 32. Se rezolva sistemul cu matricea

2 1 1

1 5 0

1 0 1

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜

Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica

a. Metoda lui Cholesky(sau metoda

radacinii patrate)

c. Metoda bisectiei

b. Metoda lui Newton d. Metoda lui Lagrange

____ 33. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa

Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica

a. Metoda lui Cholesky(deasemenea

numita si metoda radacinii

patrate)

c. Metoda lui Newton

b. Metoda lui Lagrange d. Metoda lui Gauss-Legendre

Name: ________________________ ID: A

8

____ 34. Care din urmatoarele conditii sunt suficiente pentru ca metoda lui Jacobi pentru rezolvarea de

sisteme liniare sa produca un sir ce converge catre solutia exacta a sistemului liniar?

a. Matricea sistemului este

simetrica

c. Matricea sistemului e superior

triunghiulara

b. Matricea sistemului e diagonal

dominanta pe linii

d. Matricea sistemului e pozitiv

definita

____ 35. Care din urmatoarele conditii sunt suficiente pentru ca metoda lui Gauss-Seidel pentru rezolvarea de

sisteme liniare sa produca un sir ce converge catre solutia exacta a sistemului liniar?

a. Matricea sistemului este

simetrica

c. Matricea sistemului e superior

triunghiulara

b. Matricea sistemului e diagonal

dominanta pe linii

d. Matricea sistemului e pozitiv

definita

____ 36. Care din urmatoarele metode de rezolvare de sisteme liniare nu sunt metode iterative(adica sunt

metode ce teoretic produc solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi rezolvat)?

a. Metoda lui Gauss pentru

rezolvarea de sisteme

algebrice liniare

c. Metoda lui Gauss-Seidel

b. Metoda lui Jacobi pentru

rezolvarea de sisteme

algebrice liniare

Name: ________________________ ID: A

9

____ 37. Care din urmatoarele metode de rezolvare de sisteme liniare sunt metode iterative(adica sunt

metode ce teoretic produc un sir ce in anumite conditii converge catre solutia exacta a sistemului

liniar e se doreste a fi rezolvat)?

a. Metoda lui Jacobi(pentru sisteme

liniare)

.

c. Metoda radacinii patrate(sau metoda

Cholesky)

b. Metoda lui Gauss (pentru

sisteme liniare)

____ 38. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata simetrica si pozitiv definita. Care

din urmatoarele metode de rezolvare poate fi utilizata pentru rezolvarea lui?

a. Metoda lui Lagrange c. Metoda lui Gauss-Legendre

b. Metoda lui Cholesky(metoda

radacinii patrate)

d. Metoda lui Newton

Name: ________________________ ID: A

10

____ 39. Se rezolva sistemul cu matricea A data de

4 0 1

2 5 2

3 1 7

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

Se doreste a se aplica metoda lui Gauss-Seidel cu predictie initiala X0 = (0,0,0)

De ce este metoda lui Gauss-Seidel garantata sa convearga?

a. Pentru ca metoda lui

Gauss-Seidel converge

intotdeauna.

c. Pentru ca predictia initiala este X0 = (0,0,0)

b. Pentru ca matricea sistemului este

diagonal dominanta pe linii.

d. Pentru ca matricea A este

inversabila.

____ 40. Se rezolva sistemul compatibil determinat cu matricea extinsa A data de

4 0 1

2 5 2

3 1 7

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

Se doreste a se aplica metoda lui Jacobi cu predictie initiala X0 = (0,0,0). De ce este metoda lui

Jacobi garantata sa convearga?

a. Pentru ca metoda lui Jacobi

converge intotdeauna.

c. Pentru ca predictia initiala este X0 = (0,0,0)

b. Pentru ca matricea sistemului este

diagonal dominanta pe linii.

d. Pentru ca matricea A este

inversabila.

Name: ________________________ ID: A

11

____ 41. Ce metoda de interpolare utilizeaza polinoamele

l i (x) =(x − x j )j = 1, j ≠ i

n∏

(x i − x j )j = 1, j ≠ i

n∏

a. metoda de interpolare cu

polinoame Lagrange

c. metoda de interpolare cu

diferente divizate

b. metoda lui Gauss d. metoda de interpolare cu functii

spline

____ 42. Care este forma polinoamelor Lagrange de interpolare pe nodurile ?

a. l i (x) =(x i − x j )j = 1, j ≠ i

n∏

(x − x j )j = 1, j ≠ i

n∏

b. l i (x) =(x − x i )j = 1,j ≠ i

n∏

(x j − x i )j = 1, j ≠ i

n∏

c. l i (x) =(x − x j )j = 1, j ≠ i

n∏

(x i − x j )j = 1, j ≠ i

n∏

d. l i (x) = (x − x j )j = 1, j ≠ i

n∏ − (x i − x j )j = 1,j ≠ i

n∏

Name: ________________________ ID: A

12

____ 43. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul

este

a. (x − 1)2 − 1 c. (x − 1)2

b. x2 + 1 d. x

2

____ 44. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul

este

a. (x − 1)2 − 1 c. (x − 1)2

b. x2 − x d. x

2 − 2

____ 45. Se da tabelul

Cat este l2 (x) (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0)

a. (x − 1)2 − 1 c. (x − 1)2

b. 1− x2

d. (x − 1)2 + 1

Name: ________________________ ID: A

13

____ 46. Se da tabelul

Notam cu l i polinomul lui Lagrange corespunzator nodului i adica l i are grad n si l i (x j ) = 0 daca

j ≠ i si l i (x i ) = 1 . Atunci polinomul lui Lagrange P(x) de grad n ce interpoleaza valorile din tabelul

de mai sus este dat de formula:

a. P(x) = y ii = 0

n∑ l i (x) c. P(x) =i = 0

n∑ y i

l i (x)

b. P(x) = y ii = 0

n∑ − l i (x) d. P(x) = y ii = 0

n∑ + l i (x)

____ 47. Se considera functia f(x) = sinπx

2

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜ si P(x) polinomul de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe

nodurile 0,1 . Cat este atunci P(2)?

a. 1 c. 3

b. 2 d. 4

____ 48. Care din urmatoarele este o metoda de calcul a valorilor proprii ale unui anumit tip de matrici?

a. Metoda bisectiei c. Metoda rotatiilor a lui Jacobi

b. Metoda Newton-Cotes d. Metoda trapezului

Name: ________________________ ID: A

14

____ 49. Carui tip de matrici i se poate aplica metoda rotatiilor?

a. Matrici reale simetrice c. Matrici superior triunghiulare

b. Matrici inversabile d. Matrici diagonal dominante pe

linii

____ 50. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula x3

−1

1

∫ dx prin

utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1. Conform metodei Newton-Cotes

x3

−1

1

∫ dx

este aproximata de P2(x)−1

1

∫ dx

unde P2este un anumit polinom de grad cel mult 2. Cat este P2?

a. x2

c. 2x

b. x d. 2x − 4

____ 51. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula x3

−1

1

∫ dx prin

utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui x3 pe

nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare cu trei noduri se numeste

a. metoda trapezului c. metoda lui Lagrange

b. metoda lui Simpson d. metoda lui Jacobi

Name: ________________________ ID: A

15

____ 52. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula x3

−1

1

∫ dx prin

utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui x3 pe

nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare este

a. metoda trapezului c. metoda lui Lagrange

b. metoda lui Simpson d. metoda lui Jacobi

____ 53. Metoda trapezului aproximeaza integrala lui f pe [a,b] dupa formula

a.(b + a)(f(b) + f(a))

2c.

(b − a)(f(b) − f(a))

2

b.(b − a)(f(b) + f(a))

2d.

(b + a)(f(b) − f(a))

2

____ 54. Metoda lui Simpson aproximeaza integrala lui f pe [a,b] cu formula

a.

(b + a)(f(b) + 4fa + b

2

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜+ f(a))

6

b.

(b − a)(f(b) − 4fa + b

2

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜+ f(a))

6

c.

(b + a)(f(b) − 4fa + b

2

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜+ f(a))

6

d.

(b − a)(f(b) + 4fa + b

2

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜+ f(a))

6

Name: ________________________ ID: A

16

____ 55. Aproximam integrala

f(x)0

3

∫ dx

cu metoda sumata a trapezului cu 3 subintervale. Obtinem

a. (f(0) + 2f(1) − 2f(2) − f(3)) / 2b. (f(0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) / 2c. (f(0) + 3f(1) + 3f(2) + f(3)) / 2d. (f(0) + 4f(1) + 4f(2) + f(3)) / 2

____ 56.

Aproximam integrala f(x)0

6

∫ dx

cu metoda sumata a lui Simpson cu 3 subintervale. Obtinem

a.

b.

c.

d.

Name: ________________________ ID: A

17

____ 57. Formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre este o metoda de

a. rezolvare a sistemelor algebrice

liniare

c. integrare numerica

b. gasire a valorilor proprii ale unei

matrici

d. interpolare

____ 58. Metoda Newton-Cotes este o metoda de

a. rezolvarea a sistemelor

algebrice liniare

c. interpolare

b. gasire a valorilor proprii ale

unei matrici

d. integrare numerica

____ 59. Metoda lui Simpson se incadreaza in metodele mai generale de tip

a. Newton-Cotes

b. Gauss-Legendre

c. nici una nici alta

Name: ________________________ ID: A

18

____ 60. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu n noduri (xi) i = 1. .n pentru

aproximarea unei integrale pe intervalul [-1,1]. La primul pas

a. se determina nodurile cu

formula x i = −1 +2i

n − 1(nodurile ar fi in cazul acesta

echidistante)

c. se integreaza polinomul lui

Legendre pe [-1,1] valoarea

obtinuta fiind o aproximare

buna a integralei.

b. se afla valoarea polinomului

lui Legendre la capetele

intervalului

d. se afla radacinile polinomului lui

Legendre de ordin n

____ 61. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri x 1 ,x 2 pentru aproximarea

integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Atunci x 1 ,x 2 in mod necesar sunt

a. -1 respectiv 1 c. radacinile polinomului de

interpolare al lui Lagrange

pentru functia f pe nodurile -1

si 1

b. se calculeaza valorile

polinomului lui Legendre la

capetele intervalului. acele

valori sunt x1 si x2

d. radacinile polinomului lui

Legendre de ordin 2

____ 62. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y'= x +y

x,y(1) = 1

cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este y(x) = x2 . Care este

aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(2), unde y este solutia exacta a ecuatiei de mai sus?

a. 3 c. 4

b. 3.5 d. 4.5

Name: ________________________ ID: A

19

____ 63. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y'= x + sin(y),y(1) = 1

cu metoda lui Euler cu pas h=0.5 . Notam x 0 = 1,y 0 = 1Formula iterativa din metoda lui Euler este

a. y i + 1 = y i + 0.5(x i − sin(y i)) c. y i + 1 = y i + 0.5(x i + sin(y i))

b. y i + 1 = y i − 0.5(x i + sin(y i)) d. y i + 1 = y i − 0.5(x i − sin(y i))

____ 64. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y'= f(x,y),y(0) = 1

Notam x 0 = 0,y 0 = 1. Fixam pasul h si consideram formula iterativa

y i + 1 = y i + hf(x i ,y i )

Aceasta este

a. Metoda lui Euler c. Metoda lui Runge-Kutta de

ordin 2

b. Metoda lui Taylor pentru n=2 d. nicuna din cele de mai sus

Name: ________________________ ID: A

20

____ 65. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y'= f(x,y),y(0) = 1

Notam x 0 = 0,y 0 = 1. Fixam pasul h si consideram formula iterativa

y i + 1 = y i + 0.5h(f(x i ,y i ) + f(x i + 1 ,y i + hf(x i ,y i )))

Aceasta este

a. Metoda lui Euler c. Metoda lui Runge-Kutta de

ordin 3

b. Metoda lui Taylor pentru n=2 d. Metoda Cauchy-Euler

____ 66. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y'= x +y

x,y(1) = 1

Utilizam metoda Euler-Cauchy cu h=1 . Notam y0 = 1. Care este prima iteratie y1?

a. 3 c. 3.75

b. 3.5 d. 4

Name: ________________________ ID: A

21

____ 67. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y'= f(x,y),y(0) = 1

Fixam pasul h si consideram formula iterativa: la pasul i

y i + 1 =(k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )

6

unde k 4 = hf(x i + h,y i + k 3)

Aceasta este

a. Metoda lui Euler c. Metoda lui Runge-Kutta de ordin

4

b. Metoda lui Taylor pentru n=2 d. Metoda Cauchy-Euler

____ 68. Se considera ecuatia f(x) = 5x3 − x − 1 = 0

Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La

primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel

punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda

a. bisectiei c. lui Newton

b. secantei d. lui Gauss

Name: ________________________ ID: A

22

____ 69. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata A = (a ij)i, j = 1. .n si termen

liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul

Xm = (x1,x2, . . . ,xn) si calculam urmatoarea iteratie Xm + 1 = (y1,y2, . . . ,yn) dupa formula

-----------------------

pentru i de la 1 la n

yi = (bi − aikk = 1,k ≠ i

n∑ xk ) / aii

-----------------------

Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula recursiva?

a. 1. Metoda lui Lagrange c. 1. Metoda lui Gauss

b. 1. Metoda lui Cholesky(metoda

radacinii patrate)

d. 1. Metoda lui Jacobi(pentru

rezolvarea de sisteme liniare)

Name: ________________________ ID: A

23

____ 70. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata A = (a ij)i, j = 1. .n si termen

liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul

Xm = (x1,x2, . . . ,xn) si calculam urmatoarea iteratie Xm + 1 = (y1,y2, . . . ,yn) dupa formula

-----------------------

pentru i de la 1 la n

yi = (b i − a ikk = 1

i − 1∑ yk − a ikk = i + 1n∑ xk ) / a ii

-----------------------

Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula iterativa?

a. Metoda lui Lagrange c. Metoda lui Gauss-Seidel

b. Metoda lui Cholesky(metoda

radacinii patrate)

d. Metoda lui Jacobi(pentru

rezolvarea de sisteme liniare)

____ 71. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata A = (a ij)i, j = 1. .n si termen

liber (bi) i = 1. .n . Consideram metoda substitutiei inapoi

-----------------------

pentru i de la 1 la n

yi = (b i − a ikk = i + 1n∑ xk ) / a ii

-----------------------

Numim o operatie elementara o inmultire plus o adunare. Care este cu aproximatie numarul de

operatii in algoritmul de mai sus?

a. n3/ 2 c. n

3/ 3

b. n2/ 2 d. 3n

3/ 2

Name: ________________________ ID: A

24

____ 72. Se considera un tabel

si asociat lui algoritmul

d=y; pentru k de la 1 la n pentru j descrascand de la n la k d_{j+1}=(d_{j+1}-d_j)/(x_{j+1}-x_{j-k+1}); sfarsit bucla jsfarsit bucla k

Cu ce metoda numerica asociati acest algoritm?

a. Metoda de interpolare a lui

Lagrange

c. Metoda lui Cholesky(metoda

radacinii patrate)

b. Metoda de interpolare cu

diferente divizate

d. Metoda lui Gauss-Seidel

Name: ________________________ ID: A

25

____ 73. Se considera un tabel

si asociat lui algoritmul

d=y; pentru k de la 1 la n pentru j descrascand de la n la k d_{j+1}=(d_{j+1}-d_j)/(x_{j+1}-x_{j-k+1}); sfarsit bucla jsfarsit bucla k

Ce va stoca dupa iesirea din bucla k?

a. coeficientii polinomului de

interpolare al lui Lagrange

c. valoarea polinomului de

interpolare al lui Lagrange

b. d1,d2,d3, . . . vor stoca diferentele divizate

corespunzatoare perechilor de

noduri

x1, (x1,x2), (x1,x2,x3), . . .

d. coeficientii interpolantului

spline corespunzator nodurilor

____ 74. Consideram un prim pas:

-----------------------

-----------------------

intr-o metoda numerica utilizata pentru rezolvarea unui anumit tip de sisteme liniare. Ce metoda

numerica incepe cu acest pas?

a. Metoda lui Lagrange c. Metoda lui Gauss-Seidel

b. Metoda lui Cholesky(metoda

radacinii patrate)

d. Metoda lui Jacobi(pentru

rezolvarea de sisteme liniare)

Name: ________________________ ID: A

26

____ 75. Se considera sistemul neliniar

x2 − x − 2y = 0,x + x

2 + 3y = 0

ce admite solutia (0,0). Sa se selecteze mai jos o conditie care impreuna cu alte doua conditii (care

nu sunt prezentate aici) garanteaza convergenta metodei lui Newton pentru sisteme neliniare.

a. Matricea Jacobiana a functiei

F(x,y) = (x2 − x − 2y,x + x

2 + 3y)are determinantul diferit de 0

la (0,0)

c. Functiile x 2 − x − 2y,x + x2 + 3y

admit derivate partiale de

ordin 3

b. (0,0)este unica solutie a sistemului

considerat

d. Predictia initiala e mai mica

decat 1

____ 76. Se da tabelul

Cat este l2(2) (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 2)

a. -1 c. -3

b. -2 d. 0

____ 77. Se da tabelul

Cat este l2(0.5) (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 0.5)

a. 1.25 c. 0.75

b. 1.75 d. 0.25

Name: ________________________ ID: A

27

____ 78. Se da tabelul

Fie Pn polinomul de ordin n interpolant al valorilor din tabel, adica

calculat cu metoda lui Lagrange. Care e numarul de operatii efectuate pentru calcularea valorii Pn (2)

presupunand ca 2 nu este printre valorilex i , i = 0. .n.

a. n2

c. 4n2

b. 4n2/3 d. 4n

3

Name: ________________________ ID: A

28

____ 79. Se da tabelul

Notam cu P(x) = a0 + a1x +. . .+ anxn polinomul de grad n ce interpoleaza valorile din tabelul de

mai sus adica P(xi) = yi . Atunci coeficientii a0,a1, . . . ,an pot fi determinati prin rezolvarea

sistemului

a.

a 0 a 1 . . . a n

a 0 a 1 . . . a n

. . . . . . . . . . . .

a 0 a 1 . . . a n

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

x 0

x 1

.

x n

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

=

y 0

y 1

.

y n

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

b.

a 0 a 1 . . . a n

a 0 a 1 . . . a n

. . . . . . . . . . . .

a 0 a 1 . . . a n

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

y0

y1

.

yn

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

=

x 0

x 1

.

x n

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

c.

x0 x 1 . . . x n

x0 x 1 . . . x n

. . . . . . . . . . . .

x0 x 1 . . . x n

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

a 0

a 1

.

a n

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

=

y 0

y 1

.

y n

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

d.

1 x 0 . . . x0

n

1 x 1 . . . x1

n

. . . . . . . . . . . .

1 x n . . . xn

n

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜

a 0

a 1

.

a n

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

=

y 0

y 1

.

y n

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃˜̃

Name: ________________________ ID: A

29

____ 80. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula f(x)dx0

2

∫ prin

utilizarea a 2 noduri echidistante 0,2. Conform metodei Newton-Cotes

f(x)dx0

2

∫ = A0 f(0) + A1 f(2)

Cat este A1?

a. 1 c. 3

b. 2 d. 0

____ 81. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula x3dx

−1

1

∫ prin

utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui x3 pe

nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau cel mult

egal cu

a. 0 c. 2

b. 1 d. 3

____ 82. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula x3dx

−1

1

∫ prin

utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui x3 pe

nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal decat

a. 0 c. 2

b. 1 d. 3

Name: ________________________ ID: A

30

____ 83. Se considera algoritmul pentru integrarea functiei f pe intervalul [a,b] utilizand n subintervale. ---------------------------------impartim [a,b] in n subintervale de lungime egala cu (b-a)/n.obtinem nodurile x_0,x_1,...,x_n. CalculamF=[f(x_0),f(x_1),...,f(x_n)]calculamq=A*sum(F)-(h/2)*(F(1)+F(n));---------------------------------

In aceasta rutina, sum(F) reprezinta suma componentelor vectorului F iar F(1),F(n) reprezinta prima

respectiv ultima componenta a vectorului F. Cat trebuie sa fie variabila A de pe ultima linie din

algoritm pentru ca acest algoritm sa implementeze formula sumata a trapezului?

a. A = (f(b) − f(a)) / n c. A = (b − a) / n

b. A = (b + a) / n d. A = (f(b) + f(a)) / n

____ 84. Se aproximeaza integrala unei functii f ∈ C2[−1,1] cu metoda trapezului sumata cu n subintervale si

se obtine o eroare e. Atunci cand numarul de subintervale se dubleaza eroarea devine aproximativ

egala cu

a. e / 2 c. e / 4

b. e / 3 d. e / 5

____ 85. Consideram formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre pe intervalul [-1,1] cu n noduri. Aceasta

metoda este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal cu

a. 2n+1 c. n+1

b. 2n-1 d. n-1

____ 86. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri x 1 ,x 2 pentru aproximarea

integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Aceasta metoda este exacta pe polinoame de grad mai

mic sau egal ca

a. 1 c. 3

b. 2 d. 4

Name: ________________________ ID: A

31

____ 87. Radacinile polinomului lui Legendre de grad 2 sunt x 1 = −1 / 3,x 2 = 1 / 3 . Se considera

urmatoarea metoda de integrare numerica: f(x)dx = W1−1

1

∫ f(x 1) +W2 f(x 2)

Cum alegeti W1 ,W2 pentru ca aceast metoda numerica sa fie exacta pe polinoame de grad cel mult 3?

a. alegem l1 ,l2 polinoamele lui Lagrange corespunzatoare nodurilor x 1 ,x 2 si

apoi integram aceste polinoame pe [-1,1]. Aceste integrale vor fi W1 ,W2 .

b. alegem l1 ,l2 polinoamele lui Legendre corespunzatoare nodurilor x 1 ,x 2 si

apoi integram aceste polinoame pe [-1,1]

c. Se stie ca W1 = f(−1) si W2 = f(1)

d. Niciunul din raspunsurile de mai sus, intotdeauna W1 ,W2 se determina

depinzand de acea functie f ce urmeaza a fi integrata

____ 88. Se rezolva numeric o ecuatie diferentiala

y’=f(x,y), y(0)=1

cu metoda lui Euler. Presupunem ca solutia exacta y a ecuatiei de mai sus este liniara. Afirmatie:

indiferent de pasul h folosit solutia numerica obtinuta cu metoda lui Euler este solutia exacta a

ecuatiei de mai sus.

a. Afirmatia nu e corecta, validitatea ei depinde de pasul h ales

b. Afirmatia este corecta.

c. Afirmatia nu este niciodata corecta, solutia numerica este doar o

aproximatie a solutiei exacte, nu e chiar egala cu ea

Name: ________________________ ID: A

32

____ 89. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y'= x +y

x, y(1)=1

Utilizam metoda Euler-Cauchy cu pas h= 1

10. Notam y 0 = 1. Efectuam zece iteratii in metoda

Euler-Cauchy. Obtinem iteratiile succesive y 1 ,y 2 ,y 3 , . . . ,y 10 , . Atunci y 10 este aproximatia produsa de

metoda numerica pentru

a. y(1), y solutia exacta a ecuatiei c. y(3), y solutia exacta a ecuatiei

b. y(2), y solutia exacta a ecuatiei d. y(4), y solutia exacta a ecuatiei

____ 90. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y'= x +y

x, y(1)=1

Utilizam metoda Euler cu h=1/20. Notam y 0 = 1. Efectuam 20 de iteratii in metoda Euler. Obtinem

iteratiile succesive y 1 ,y 2 ,y 3 ,y 4 , . . . ,y 20 . Atunci y 20 este aproximatia produsa de metoda numerica

pentru

a. y(1) c. y(3)

b. y(2) d. y(4)

Yes/No

Indicate whether you agree with the sentence or statement.

____ 91. Se considera ecuatia f(x) = 2x3 + x

2

Este garantata convergenta metodei lui Newton catre solutia exacta 0 daca pornim cu predictie

initiala foarte aproape de 0?

Name: ________________________ ID: A

33

Numeric Response

92. Se considera ecuatia f(x) = 2x3 − x − 1 = 0

Dorim sa aflam o solutie a ei utilizand metoda lui Newton cu predictie initiala x 0 = 1 . Cat este

urmatoare iteratie x1?

93. Se considera ecuatia f(x) = 2x3 − 2x − 1 = 0

Dorim sa aflam o solutie a ei utilizand metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este

prima iteratie in metoda lui Newton?

94. Se da tabelul

Fie P2 polinomul de grad 2 interpolant al valorilor din tabel, adica P2 (−1) = 1,P2 (0) = 0,P2 (1) = 1 .

Cat este P2 (3)?

95. Se considera functia f(x) =arctg(x)

π si P(x) polinomul de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe

nodurile 0,1. Cat este atunci P(2)?

96. Se da tabelul

Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2].

Name: ________________________ ID: A

34

97. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula f(x)0

2

∫ dx prin

utilizarea a 3 noduri echidistante 0,1,2. Conform metodei Newton-Cotes

f(x)0

2

∫ dx = A0 f(0) + A1 f(1) + A2 f(2)

Cat este A0?

98. Aproximati integrala

x2

0

1

∫ dx

cu metoda trapezului.

99. Aproximati integrala

sin(πx)0

1

∫ dx

cu metoda trapezului.

100. Aproximati integrala

2x

0

1

∫ dx

cu metoda trapezului.

101. Aproximati integrala

3x40

2∫ dx

cu metoda lui Simpson.

102. Aproximati integrala

x3

0

2

∫ dx

cu metoda lui Simpson.

Name: ________________________ ID: A

35

103. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y'= x +y

x,y(1) = 1

cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este y(x) = x2 . Care este

aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(3)?

104. Se da tabelul

Sa se calculeze diferenta divizata f[2,3].

105. Se da tabelul

Sa se calculeze diferenta divizata f[3,4].

106. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y’=y, y(0)=1

cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x0 = 0,y0 = 1. Care este aproximatia produsa de aceasta

metoda pentru y(1)?

107. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y’=y+x, y(0)=1

cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x0 = 0,y0 = 1. Care este aproximatia produsa de aceasta

metoda pentru y(1), unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus?

108. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y’=y-x, y(0)=1

cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x0 = 0,y0 = 1. Care este aproximatia produsa de aceasta

metoda pentru y(1) unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus?

Name: ________________________ ID: A

36

109. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y’=y-6x, y(0)=1

cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x0 = 0,y0 = 1. Cat este prima iteratie y1 produsa de

metoda lui Euler?

110. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y’=y+5x, y(0)=1

cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x0 = 0,y0 = 1.Cat este prima iteratie y1 produsa de

metoda lui Euler?

111. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

y’=y-10x, y(0)=1

cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x0 = 0,y0 = 1. Cat este prima iteratie y1 produsa de

metoda lui Euler?

112. Se considera sistemul neliniar

x2 − x + 2y = 0,

x2

2+ 3y = 0

Se aplica metoda lui Newton cu predictie initiala x 0 = (1,1) . Sa se calculeze prima iteratie x1 (care va

fi un vector) si sa se puna in casuta de mai jos prima componenta a lui x1 .

113. Se considera functia f(x) = (x − 1)4 si P(x) polinomul de grad 4 care interpoleaza valorile lui f pe

nodurile 1,2,3,4,5 . Cat este P(0)?

114. Se da tabelul

Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] .

Name: ________________________ ID: A

37

115. Se da tabelul

Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] .

116. Se da tabelul

Sa se calculeze P3 (0) unde P3 este polinomul interpolant al valorilor din tabel.