analiza matematica a duopolului
TRANSCRIPT
-
8/14/2019 Analiza matematica a Duopolului
1/22
99.1 Cadrul conceptualConsiderm piaa unui produs, pentru care oferta este asigurat de un
numr redus de productori. Fiecare din aceti productori deine o cotparte din desfacerea pe pia, atomicitatea cererii fiind trstura esenial a
consumatorilor acestui produs. Cererea de factori necesari produciei serealizeaz pe piaa cu concuren perfect; este o ipotez simplificatoarepentru demersul analizei cantitative ce-l vom derula n continuare, ipotezce nu afecteaz coninutul legitilor ce vor fi evideniate privindcomportamentul productorilor pe piaa produsului analizat. Eliminareaacestei ipoteze conduce la introducerea caracteristicilor de monopson afactorilor achiziionai n condiiile respective, modelul matematic alfunciei de cost fiind similar cu cel analizat n cap.8 8.2.
Ansamblul productorilor ce asigur oferta pe piaa produsului n
ipotezele precizate mai sus formeaz aa numitul oligopoli piaa estepiade oligopol.n cazul particular cnd numrul productorilor este doi, numim
aceast structur de pia, duopol.Vom ncepe analiza cu duopolul, n mod progresiv cu gradul de
complexitate, chiar dac este posibil i varianta reciproc de a studiamecanismul de oligopol i apoi prin particularizare pentru N = 2 productoris deducem legitile duopolului.
Este caracterizat de mecanismele precizate mai sus, pentru N = 2
productori ce concureaz pentru acapararea pieei produsului analizat.
Duopolul
-
8/14/2019 Analiza matematica a Duopolului
2/22
Reglarea cibernetic n sistemul pieei bunurilor i serviciilor
Problemele care se pun sunt:cum i mpart piaa i n consecin care va fi decizia deproducie a fiecrei firme pentru a-i maximiza profitul?Care va fi nivelul preului produsului?
innd seama de concurena acerbi de dorina fiecrui productorde a domina piaa, s-au dezvoltat n literatura de specialitate o diversitate demodele, n funcie de caracteristicile specifice ale comportamentului celordoi productori.
9.1.1 Echilibrul Cournot pe piaa de duopolNotm cele dou firme cu F1i F2; cum cererea total pe pia este
limitat, q, dat prin funcia (invers) a cererii:
P = (q) (9.1)
fiecare firm va produce o cantitate 2,1iq ,i = , n funcie de ct
produce cealalt firm, deci q1+q2=q. Dar la un moment t, firma F1 nu tiecu exactitate (prin secretul strict pstrat) ct va produce concurenta sa, F2ireciproc cu excepia accidental a informrii prin spionaj economic,
situaie care ar fi posibil numai la un moment oarecare t1, decinesemnificativ n general, prin msurile de stopare a scurgerii de informaiiluate de firma spionat n urma semnalelor date de pia.
n consecin este natural s pornim de la ipoteza c fiecare firm vaface o predicie (va anticipa) ct va produce concurenta sa. Notm cu qj cantitile efective decise a fi produse de fiecare firmi q1
a,q2a anticiprile
fcute de F2 respectiv de F1 asupra produciei pe care consider c o varealiza concurenta F1 respectiv F2.
Funciile de cost sunt deterministe:
C1(q1) pentru firma F1C2(q2) pentru firma F2.Dar veniturile i profiturile sunt anticipate:
( ) 121111 qqqqpR aaa +== (9.2.a)( ) 212222 qqqqpR aaa +== (9.2.b)
respectiv:( )1111 qCR
aa = (9.3.a)
( )2222 qCRaa = (9.3.b)
-
8/14/2019 Analiza matematica a Duopolului
3/22
Mecanisme de reglare optimale pe piaa bunurilor
Static, se poate construi tabelul de bord al anticiprilor:
F1 F2Oferta
anticipatVenit anticipat
Profitanticipat
F1 q1a
q2 a
qq 21 + ( ) 1a21 qqq +
a
1 F2
aq1 q2aqq 12 + ( ) 2a12 qqq + a2
A. Identificarea curbelor de reacie anticipateAa cum am menionat, producia fiecrei firme va fi funcie de ct
anticipeaz c produce concurena:( ) ( )( ) ( )
=
=
b.4.9qfq
a.4.9qfqa122
a211
funcii ale cror grafice, n sistemul de axe (q1,q2) numit n teoriasistemelor i spaiul fazelor, sunt curbe numite curbe de reacie alefiecrei firme n raport cu ct anticipeaz c va produce firma concurent.
Identificarea acestor curbe se face prin rezolvarea problemelor demaximizare a profitului anticipat.
jFPO max ( ) 2,1, == jqCR jjajaj (9.3)
Deducem (C.N.O):
( ) ( ) 2,1,'' == jqCR jjaj (9.3)sub restricia condiiei de ordinul 2:
( ) ( ) 2,1j,qCR j''j''a
j = (9.3)
Se constat existena acelorai legiti binecunoscute alemecanismului decizional:
egalitatea ntre veniturile marginale i costurile marginalenregistrate la fiecare firmi
condiia ca variaia costurilor marginale s devanseze pe cea aveniturilor marginale, condiie garantat (deci suficient) cnddeciziile de producie aparin domeniului pe care costul marginaleste cresctori venitul marginal este descresctor.
-
8/14/2019 Analiza matematica a Duopolului
4/22
Reglarea cibernetic n sistemul pieei bunurilor i serviciilor
innd cont de expresia veniturilor anticipate (9.2) a) i b), deducemsistemul:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
=+
++
=
+++
b,3,9qCq
qqqqq
a,3,9qCq
qqqqq
''2
'2
2
2a1
22a1
''1
'1
1
a21
1a21
din care, prin rezolvare, se obin, n ordine, curbele de reacie anticipat alefiecrei firme, adic ( )aqfq 211 = i ( )aqfq 122 = .
Exemplu: Considerm cazul cnd funcia cererii pe piaa produsuluieste liniar:
0,0),( 21 >>+== baqqbabqap (9.5)
i presupunem c firmele au randamente constante de scar, deci funciile decost (total) sunt liniare:
( ) 0>+= jjjjjj cuqqc i 0j (9.6)
undejFj
c= - sunt costurile fixe ale celor dou firme dac analiza se face
pe termen scurt sau j =0, dac analiza se face pe termen lung).
Sistemul (CNO) devine:
( ) ( )( ) ( )
=+
=+
B.3.9bqqqba
A.3.9bqqqba''
222a1
''11
a21
din care obinem funciile (curbele) de reacie a celor dou firme, care n
acest caz sunt dreptele:
(F1)2221
1
aq
b
aq
=
(9.4.A)
(F2)2212
2
aq
b
aq
=
(9.4.B)
-
8/14/2019 Analiza matematica a Duopolului
5/22
Mecanisme de reglare optimale pe piaa bunurilor
i exist numai dacj < a, adic atunci cnd costul mediu variabil al
fiecrei firme este mai mic dect preul maxim oferit de cel puin unconsumator cnd oferta s-ar reduce le zero.
Condiia de ordin 2 este verificat; gsim: -2b < 0 adevrat.
Studii de caz propuse:
1. Identificai curbele de reacie dac:a) costurile marginale sunt descrise prin funcii liniare:
( ) jjjjj qqc +=' (9.6)
b) costurile sunt normale, adic parabole de ordinul 3:( ) jjjjjjjjj qqqqc +++= 23 (9.6)
cnd curba cererii este liniar (9.5)
2. Aceeai problem, cnd funcia de cerere este o paraboltrunchiat:
p = aq2 + bq +c , (9.5)
n care caz precizai i condiiile pentru parametrii a, b, c, astfel ca (9.5) sfie o curb de cerere.
Indicaie: Trebuie ca (q) = aq2 + bq + c s fie descresctoare, deci
exist dou variante (vezi fig. (9.1)):
(q) - convex, cnd a > 0 (q) - concav, cnd a < 0
care reflect comportamentul consumatorilor: n prima situaie (a>0) preulscade accelerat; n cea dea doua preul scade din ce n ce mai lent.
-
8/14/2019 Analiza matematica a Duopolului
6/22
Reglarea cibernetic n sistemul pieei bunurilor i serviciilor
3. Aceeai problem, cnd funcia de cerere este hiperbolic:bq
ap = , cu a > 0, b > 0 (9.5)
Cercetai cazurile cnd b = 1 sau b > 1, sau b < 1.
4. Formulai funcii de cerere cu punct de inflexiune, n cele douvariante (mai nti convexe, apoi concave i invers)
B. Anticipri n echilibrul Cournot. Nucleul duopoluluiIpoteza care se face asupra anticiprilor este c firmele au informaie
completasupra produciei concurenei, deci:
22 qqa = i 11 qq
a = (9.7)
n aceste condiii funciile de reacie f1i f2 devin deterministe i seobin din sistemul (9.3) fr anticipare:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
=
+++
=
+++
b,8,9qCq
qqqqq
a,8,9qCq
qqqqq
2'2
2
21221
1'1
1
21121
2p
1p
1q q
p
q
p
q
q1
p2
q2
p1
a) a > 0(q1 = q2 p1 > p2
b) a < 0(q1 = q2 p1 < p2
Figura 9.1
-
8/14/2019 Analiza matematica a Duopolului
7/22
Mecanisme de reglare optimale pe piaa bunurilor
i cum ( ) ( ) ( ) ( ),'11
qq
q
q
q
q
q
q
q
=
=
=
se deduce: ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
=+
=+
b'.8.9qCq'qq
a'.8.9qCq'qq
2
'
22
1'11
Din prima ecuaie se obine funcia q1 = f1(q2) i din a doua,q2 = f2(q1).
n consecin, nucleul duopolului n echilibrul de tip Cournot este( ) 21 , qq i p* = (q*) unde q* = + 21 qq obinut din sistemul:
( ) ( )
( ) ( )
=
=
b".8.9qfq
a".8.9qfq
122
211
deci la intersecia curbelor de reacie f1i f2.n figura 9.2 se prezint mecanismul realizrii echilibrului de tip
Cournot, un mecanism complex n care condiiile pieei (cererea i echilibrul pe pia) sunt reflectate n figura b), n partea dreapt, n cadranul I, iarcomportamentul firmelor este reprezentat n figura a), n stnga, n cadraneleI, II i IV astfel:
n cadranul I, n axele (q1,p) este ilustrat mecanismul decizional
al firmei F1;n cadranul II, n axele (q2,p) este ilustrat mecanismul decizionalal firmei F2 .(atenie!: q2 este pozitiv i nu se interpreteaz ca ncazul unei singure variabile, la stnga ordonatei valorile suntnegative); graficele costului marginal ( )2
'2 qC i venitului
marginal '2R se obin n aceast reprezentare cu q2 spre stnga, prin reprezentarea n mod obinuit (cu q2 spre dreapta) irabatarea prin simetrie fa de axa vertical, n cadranul II).n cadranul IV sunt reprezentate funciile de reacie f1 i f2 alecelor dou firme n axele (q1,q2).
Oferta total pe pia, q = q1 + q2 este deci funcie de decizia fiecreifirme i se obine prin proiecia cantitilor q2 respectiv q1 din cadranul III(al firmelor), pe axa vertical din cadranul IV (al pieei), apoi prin rabatare pe bisectoare (dreapta la 45, din figura b) se obine cantitatea produsq* = *2
*1q q+ pe axa ofertei pe pia (axa orizontal din figura b) i n
consecin, la intersecia cu curba cererii p = ( )q se obine preul deq
-
8/14/2019 Analiza matematica a Duopolului
8/22
Reglarea cibernetic n sistemul pieei bunurilor i serviciilor
echilibru p* care definete poziia curbelor veniturilor marginale '1R i'2R din cadranele I i II ale firmelor.
Pentru obinerea cantitilor produse de fiecare firm, trebuie savem concordane ntre deciziile *1q i
*2q rezultate din cadranul I i II cu cele
rezultate din funciile de reacie (cadranul IV).Aceast concordan se obine prin reprezentarea n cadranul III
a bisectoarei care reflect, prin rabatarea cantitii *2q de pe abcisa
cadranului II egalitatea cu nivelul lui *2q rezultat din echilibrul dat de
funciile de reacie i nregistrat pe ordonata cadranului IV.Pentru o mai bun nelegere a acestor interdependene destul decomplexe propunem refacerea concret a figurii 9.2 n condiiile funciilorde cost i de cerere studiate n exemplul 1, adic pentru funciile liniare (9.5)i (9.6), fie n cazul teoretic, fie n cazul numeric. Acelai exerciiu sepropune i pentru unul (sau mai multe) din studiile de caz prezentate maisus.
p
45q2
E2
'C
'2R
2q
1q
+ 21 qq
2q
45q2=f2(q1)
q1=f1(q2)
E
E1
1R
( )1'1 qC
1q
45
2q
1q
+ 21 qq
q = q1+q2
p*(q)
( Firmele din duopol )a
( piaa de duopol)b)
Figura 9.2 Echilibrul de tip Cournot
q2*
-
8/14/2019 Analiza matematica a Duopolului
9/22
Mecanisme de reglare optimale pe piaa bunurilor
C. Mecanismul ajustrii dinamice a echilibrului de tip CournotIpoteza fcut n paragraful anterior este evident nerealist, dar vom
demonstra c nivelul de echilibru astfel obinut este punctul de echilibru
staionar al unui proces dinamic de ajustri ale anticiprilor, deci un procesdinamic stabil, ce poate fi reprezentat n spaiul fazelor (axele (q1, q2)). Ceamai intuitiv metod de anticipare este aceea de a lua ca funcii de reacie:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
=
=
b,'4,91tqftq
a,'4,91tqftq
122
211
deci decizia de producie a unei firme este funcie de ct a produsconcurena n perioada anterioar.
Se evideniaz astfel dou procese dinamice de ordin 2:( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
=+
=+
b,9,91tqff1tq
a,9,91tqff1tq
2122
1211
Astfel, la sfritul perioadei t = 0, firmele cunosc oferteleconcurenilor n perioada respectiv: 01q respectiv
02q .
Atunci decizia lor pentru perioada t = 1, t = 2, t = 3, va fireflectat prin funciile:
t = 1 : ( )02111 qfq = i ( )01212 qfq =
t = 2 : ( )12121 qfq = i ( )11222 qfq =
t = 3 : ( )22131 qfq = i ( )21232 qfq =
etc.
Teorem: Dac procesele dinamice reflectate prin ecuaiile cu
diferene finite: ( )( ) ( )( )( ) ( )
==
+
+
9,'9,9qffq
a,'9,9qffq1t
2121t
2
1t121
1t1
o
o
sunt stabile,
atunci exist echilibru staionar al duopolului ( *1q ,*2q ), unde
*1q i
*2q sunt
soluiile ecuaiilor algebrice:( )( ) ( )( )( ) ( )
=
=
9,"9,9qffq
a,"9,9qffq
2122
1211
o
o
Not: aici tjq nseamn producia firmei j la momentul t.
-
8/14/2019 Analiza matematica a Duopolului
10/22
Reglarea cibernetic n sistemul pieei bunurilor i serviciilor
Consecina 1 Exist echilibru al duopolului n condiiile anticipri-lor de tip (9.4.a) i (9.4.b), dac funciile de reacie ale celor dou firmeverific condiiile ca prin compunerea lor, funciile 21 ff o= i
12ff o= s admit punct fix.
Observaie: Condiiile de punct fix sunt fundamentate prin teoremelede punct fix studiate n cursul de matematic (teorema Brower, teoremaKakutani etc.)
Consecina 2: Dac f1i f2 sunt liniare, atunci condiia de stabilitateeste ca valorile proprii ale ecuaiilor caracteristice (de gradul 2) ataateproceselor dinamice (9.9,a) i (9.9.b) s fie, n modul, subunitare.
Exemplul 2: Pentru ilustrare s studiem aceste procese n condiiileexemplului 1 de mai sus. Deducem procesul dinamic:
=
=+
+
21
21
121
1
2
2
tt
tt
bqbqa
bqbqa
adic:
( )
( )
++=
++
=
+
+
B'.9.9q41b4 2aq
A'.9.9q4
1
b4
2aq
1t2211t2
1t1
121t1
Ecuaiile caracteristice sunt:
=
=
04
1
04
1
2
2
(n acest caz coincid), deci valorile proprii sunt21
2,1 = , 21
2,1 = adic
1j
-
8/14/2019 Analiza matematica a Duopolului
11/22
Mecanisme de reglare optimale pe piaa bunurilor
Ca o consecin, firma F1 va deine o parte mai mare din pia, dac
21 < , deci firma care are costuri marginale mai reduse (n acest caz,costuri medii variabile mai reduse) va domina piaa de duopol.
Preul pieei va fi:
p* = (q*) = a-bq*
unde oferta esteb
aqqq
3
2 21*2
*1
* =+= deci3
* 21 ++
=a
p
Ce putem spune? Dac 1 este cel mai mic cost variabil, atunci:
3* 11
++>
ap i cum a> 1 din cele dou relaii rezult
p*> 1 deci, cu siguran, preul pieei acoper costurile medii variabile ale
firmei dominante pe pia.
Cum ap , deci nu putem trage
concluzia c p*> 2 deoarece ( 21 < ), astfel c se nregistreaz dousituaii:
P*> 2 , caz n care firma F2 va rezista pe piaa de duopol
P*< 2 , caz n care dac F2 nu se redreseaz pe termen lung, va finlturat, situaie care asigur firmei F1 dominaie de monopol.
n condiii similare se studiazi scenariile propuse n A.
D. Curbele de izoprofiti echilibrul CournotDac q1i q2 sunt variabile, curbele de izoprofit ale celor dou firme
vor fi locul geometric al combinaiilor (q1, q2) pentru care profitul rmneacelai. Din ecuaiile profitului (9.3.a) i (9.3.b) se gsesc curbeleizoprofitului, sub form implicit:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) =+=+
b.10.9qCqqq
a.10.9qCqqq
222221
111121
i sub form explicit:( ) ( )
( ) ( )
=
+=
=
+=
b'.10.9,qq
qCq
a'.10.9,qq
qCq
222
22211
111
11112
constantcu
constantcu
-
8/14/2019 Analiza matematica a Duopolului
12/22
Reglarea cibernetic n sistemul pieei bunurilor i serviciilor
Pentru diverse valori ale lui 1 respectiv 2 se obin familiile decurbe ale izoprofitului.
Consecina 1. Vrfurile acestor curbe se afl pe curbele de reacie:
21 21 , fVfV Aceast consecin decurge din CNO, (9.3), din care am dedus f1i
f2.
Consecina 2. Curbele izoprofitului maxim 1 ,2 :
( ) ( )
( ) ( )
+=
+=
b".10.9,qq
qCq
a".10.9,qq
qCq
22
22212
11
11112
sunt tangente n punctul de intersecie al curbelor de reacie, deci npunctul de echilibru al duopolului de tip Cournot.
Pentru ilustrare, vom determina curbele de izoprofit n condiiileexemplelor 1 i 2 de mai sus (vezi figura 9.3).
Curba (implicit) a izoprofitului firmei F1 este:
R1(q1 + q2) C1(q1) = 1
adic: aq1 bq1(q1 + q2) - 1 -1 q1 = 1 , deci familia de parabole (cuparametrul 1):
( ) ( )A.10.90bqaqbq 1121121 =+
Ecuaia explicit este:
( )A'.10.9bqb
aqq
1
11112
+
+=
Graficul: asimptotele: q1 0 q2 -q1 q2 -
Pentru q2 = 0 se obin punctele de intersecie cu abscisa, ca soluii aleecuaiei ( ) 01111
21 =++ aqbq . tim, n plus, c punctele de maxim
ale curbelor (10.10.A) se afl pe curba de reacie f1.
-
8/14/2019 Analiza matematica a Duopolului
13/22
Mecanisme de reglare optimale pe piaa bunurilor
Similar se obin curbele izoprofitului firmei F2, dar graficul se face
n sistemul de axe 2Oq - abcisa i 1Oq - ordonata.
Astfel, dac vom considera curba *1 , n oricare punct A de pe
aceast curb, profitul firmei F1 va fi maxim, dar producia firmei F1 va fiAq1 >*1q i a celei de-a doua,
Aq2 =
>=
b".14.90qq'q,q'
a".14.90qq'q,q'
1212
2211
deoarece ( ) 0'
-
8/14/2019 Analiza matematica a Duopolului
17/22
Mecanisme de reglare optimale pe piaa bunurilor
Consecine:
1)Maximizarea profitului comun, n condiii de cartel, nu asigur nmod necesar maximizarea profiturilor individuale (dup cum se
deduce din 9.14.a i b);2)Din (CNO) ale duopolului de tip Cournot i de tip cartel deducem
c ntre veniturile marginale obinute de cele dou firme existrelaiile:
( ) '12'1
'1 ' RqqRR
k
-
8/14/2019 Analiza matematica a Duopolului
18/22
Reglarea cibernetic n sistemul pieei bunurilor i serviciilor
9.1.3 Duopolul de tip Stackelberg. Firma leader
Corespunde situaiei cnd una din firme este leader fie princantitatea produs, fie prin costul mult mai sczut fa de firma concurent dictnd astfel condiiile de pia; firma concurent numit satelit vaproduce in conformitate cu funcia sa de reacie q2 = f2(q1) numai aceacantitate q2 care completeaz cererea q a pieei, subordonndu-se deciziei q1a leaderului.
Notm cu F1 firma leaderi cu F2 firma satelit. Problema deciziei lanivelul firmei leader este:
( ) ( ) ( )111211 ,max1
qCqqqqq
= (9.16)
undeq=q1 + f2(q1) i n consecin p = (q) = (q1) (9.17)
f2 fiind funcia de reacie a firmei satelit, q2 = f2(q1)Condiia necesar de optim conduce la legitatea cunoscut:
( ) ( )111'1 qCqR = (9.16)
( ) ( )2'21
'1 qCqC =
*1q
k *2q
*2q
k*1q
*1q
k
*
1q
*2q
k
*
2q
*kp
*kp*p*p
*kq
*q
( )q
'1R
k '2R
k '1C
'2C
'2R
'1R
Firmele F1i F2 Piaa de duopol
Figura 9.4
-
8/14/2019 Analiza matematica a Duopolului
19/22
Mecanisme de reglare optimale pe piaa bunurilor
unde
( )( )( )
1
12111
'1
q
qfqqpqR
+
+= (9.18)
preul p fiind dat de funcia cererii pe pia p = (q) = (q1 + f(q1)).
Variaia preului este indus numai de decizia firmei leader:
( )( )
1
121
1 q
qfq
q
p
+
=
, deci 02
=q
p- de unde i definirea firmei F2
ca firm satelit, deoarece nu poate impune condiii pe piaa de duopol.n consecin, decizia firmei dominante (leader) este *1q rezultat din
ecuaia (9.16).Pentru firma F2, decizia optim rezult din condiia:
( ) ( ) ( )222212 ,max2
qCqqqqq = (9.19)
adic:
( )2'22
2
qCqq
pp =
+ (9.19)
i cum 022
=
=
qq
p , se obine cerina:
p = ( )2'2 qC (9.19)
Deci q*2 este soluia ecuaiei (9.19), adic soluia rezultat din:
( ) ( )2'221 qCqq =+ (9.19)
din care se obine funcia de reacie f2:
( )12*2 qfq = (9.20)
n concluzie, nucleul duopolului de tip Stackelberg(cu firm leader)este punctul (q*,p*), unde:
*2
*1
* qqq += i ( )*2*1* qqp += (9.21)
n care *1q i*2q sunt soluiile sistemului dat de (CNO) pentru cele dou firme:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=+
=
+++
'"19.9qCqq
a'.16.9qCq
qqqqq
2'221
1'1
1
21121
-
8/14/2019 Analiza matematica a Duopolului
20/22
Reglarea cibernetic n sistemul pieei bunurilor i serviciilor
dac sunt ndeplinite condiiile de ordinul 2:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )