analiza matematica_paltanea

1

Universitatea ”Transilvania” din BrasovInvatamant Deschis la Distanta (IDD Brasov)Facultatea: Matematica si InformaticaSpecializarea: Informatica, anul I

ANALIZA MATEMATICA

Radu Paltaneasi

Eugen Paltanea

2006

REPROGRAFIA UNIVERSITĂŢII “TRANSILVANIA” DIN BRAŞOV

user

Rectangle

user

Rectangle

Cuprins

1 Relatii, functii, multimi numarabile 51.1 Relatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Relatii pe o multime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Familii de multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Numere cardinale. Multimi numarabile . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Corpul numerelor reale 92.1 Definirea axiomatica multimii numerelor reale . . . . . . . . . . . . 92.2 Siruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Serii numerice. 113.1 Definitii. Generalitati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Criterii de comparatie pentru seriile cu termeni pozitivi. . . . . . . 123.3 Criterii directe pentru serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . 13

4 Functii reale de o variabila 154.1 Definitii si rezultate de baza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Teoreme de medie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Regulile lui l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.4 Polinomul lui Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Siruri si serii de functii. 215.1 Siruri de functii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2 Serii de functii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3 Serii de puteri. Serii Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Spatiul Rn 256.1 Structura vectoriala a lui Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.2 Topologia spatiului Rn. Generalitati . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.3 Siruri ın spatiul Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.4 Multimi compacte si multimi conexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3

4 CUPRINS

7 Limita si continuitate. 297.1 Limite de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.2 Functii continue ıntr-un punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.3 Functii continue pe o multime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.4 Aplicatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8 Calculul diferential 338.1 Derivate partiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.2 Diferentiabilitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.3 Derivate partiale si diferentiale de ordin superior . . . . . . . . . . 368.4 Polinomul lui Taylor. Extreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378.5 Functii implicite. Transformari regulate . . . . . . . . . . . . . . . 38

9 Integrala Riemann 419.1 Definitii. Criterii de integrabilitate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419.2 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.3 Proprietatile integralei Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

10 Integrala multipla 4510.1 Masura Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.2 Integrabilitatea Riemann multipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.3 Calculul integralelor multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

11 Integrale improprii. Integrale cu parametru 4911.1 Integrale improprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4911.2 Integrale cu parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5011.3 Integrale improprii cu parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

12 Integrale curbilinii 5312.1 Drumuri si curbe ın spatiul Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5312.2 Integrala curbilinie de prima speta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.3 Integrala curbilinie de speta a doua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.4 Aplicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Capitolul 1

Relatii, functii, multiminumarabile

1.1 Relatii

Definitia 1.1.1 Un triplet R = (A,B,GR) unde A si B sunt doua multimi nev-ide, iar GR este o submultime a produsului cartezian A×B , se numeste relatieıntre multimile A si B.

Multimea GR ⊂ A×B se numeste graficul relatiei R.

Fiind data o relatie R = (A,B,GR), vom spune ca elementul a ∈ A este ınrelatia R cu elementul b ∈ B si vom nota aR b, daca (a, b) ∈ GR. In cazulparticular B = A vom spune ca R este o relatie pe multimea A.

1.1.1 Relatii pe o multime

Pentru a indica ınzestrarea unei multimii A cu o relatie R = (A,A,GR) vomutiliza ın general notatia (A,R).

Definitia 1.1.2 Fie (A,R). Relatia R se numeste:

• reflexiva, daca (∀) a ∈ A aR a

• simetrica, daca (∀) a, b ∈ A aR b ⇒ bR a

• antisimetrica, daca (∀) a, b ∈ A aR b ∧ bR a ⇒ a = b

• tranzitiva, daca (∀) a, b, c ∈ A aR b ∧ bR c ⇒ aR c

• totala, daca (∀) a, b ∈ A aR b ∨ bR a

Definitia 1.1.3 O relatie R definita pe o multime A se numeste relatie deechivalenta daca este reflexiva, simetrica si tranzitiva.

5

6 CAPITOLUL 1. RELATII, FUNCTII, MULTIMI NUMARABILE

Fie (A,∼) o multme ınzestrata cu o relatie de echivalenta. Pentru fiecareelement a ∈ A, definim multmea:

a = x ∈ A |x ∼ a

numita clasa de echivalenta a elementului a, relativ la relatia ” ∼ ”.

Definitia 1.1.4 O relatie R definita pe o multime A se numeste relatie deordine daca este reflexiva, antisimetrica si tranzitiva.

O multime A ınzestrata cu o relatie de ordine ≤ se numeste multime ordonatasi se noteaza (A,≤). Daca relatia de ordine ≤ este totala atunci multimea A senumeste total ordonata; ın caz contrar, multimea A se numeste partial ordo-nata.Mentionam deasemenea urmatoarele notatii conventionale:a ≥ b ⇔ b ≤ a; a < b ⇔ a ≤ b ∧ a 6= b; a > b ⇔ a ≥ b ∧ a 6= b.

Prezentam ın continuare cateva notiuni fundamentale legate de conceptul demarginire ın multimi ordonate.

Definitia 1.1.5 Fie (A,≤) o multime ordonata si X ⊂ A o submultime nevidaa multimii A.Un element a ∈ A se numeste:

• majorant al multimii X, daca: (∀) x ∈ X x ≤ a

• minorant al multimii X, daca: (∀) x ∈ X a ≤ x

• cel mai mare element al multimii X, daca apartine multimii X si este unmajorant al acestei multimi

• cel mai mic element al multimii X, daca apartine multimii X si este unminorant al acestei multimi

• marginea superioara (supremumul) multimii X, daca este cel mai micmajorant al multimii X

• marginea inferioara (infimumul) multimii X, daca este cel mai mareminorant al multimii X

Multimea X se numeste marginia daca admite cel putin un minorant (este mino-rata) si respectiv cel putin un majorant (este majorata), adica:

(∃) a, b ∈ A (∀) x ∈ X a ≤ x ≤ b

1.1. RELATII 7

1.1.2 Functii

Definitia 1.1.6 O relatie R = (A,B,GR), se numeste relatie functionala dacasatisface proprietatea (numita de univocitate):

(∀) a ∈ A (∀) b, c ∈ B aRb ∧ aRc ⇒ b = c.

O relatie functionala f = (A,B,Gf ), se numeste functie daca este definita pemultimea A cu valori ın B, adica:

(∀) a ∈ A (∃) b ∈ B af b (sau (a, b) ∈ Gf )

Notatia uzuala pentru o functie f = (A,B,Gf ) este f : A→ B. Existenta si unic-itatea elementului b ∈ B, asociat unui element fixat a ∈ A, avand proprietatea(a, b) ∈ Gf , justifica utilizarea curenta a notatiei f(a) = b. Astfel avem:

Gf = (a, f(a)) | a ∈ A

Definitia 1.1.7 Fie functiile f : A→ B, si g : B → C.1) Functia compusa gf : A→ C este definita prin: gf(a) = g(f(a)), (∀) a ∈A2) Functia f se numeste:

• injectiva, daca (∀) a1, a2 ∈ A f(a1) = f(a2) ⇒ a1 = a2

• surjectiva, daca (∀) b ∈ B (∃) a ∈ A f(a) = b

• bijectiva, daca este injectiva si surjectiva

• inversabila, daca (∃) g : B → A f g = 1A ∧ g f = 1B

Teorema 1.1.1 O functie este inversabila daca si numai daca este bijectiva.

Definitia 1.1.8 Fie functia f : A→ B, si multimile X ⊂ A, Y ⊂ B.Imaginea multimii X prin functia f este multimea:

f(X) = f(x) |x ∈ X = y ∈ B | (∃) x ∈ X f(x) = y .

Preimaginea multimii Y prin functia f este multimea:

f−1(Y ) = x ∈ A | f(x) ∈ Y .

O functie f : A → B este surjectiva daca si numai daca f(A) = B. Pe de altaparte, atragem atentia ca definitia ”preimaginii” nu este legata de invesabilitate.

8 CAPITOLUL 1. RELATII, FUNCTII, MULTIMI NUMARABILE

1.2 Familii de multimi

Definitia 1.2.1 Fie o multime A, cu multimea submultimilor sale P(A), iar I omultime nevida (numita multimea indexilor).

• O multime F ⊂ P(A) se numeste familie de multimi (parti ale multimiiA).

• O functie I : I → P(A), I(i) = Ai i ∈ I se numeste familie indexatade multimi (parti ale multimii A) si se noteaza

I = Ai | i ∈ I. = (Ai)i∈I

In particular, o familie indexata dupa multimea numerelor naturale se numeste sirde multimi si se noteaza (An)n∈N.

Un sir (An)n∈N de multimi se numeste crescator daca An ⊂ An+1, (∀) n ∈N, si respectiv descrescator daca An ⊃ An+1, (∀) n ∈ N.

1.3 Numere cardinale. Multimi numarabile

Pentru a compara doua multimi dupa ordinul lor de ”marime”, vom utiliza notiunilede functie injectiva si respectiv bijectiva.

Definitia 1.3.1 Spunem ca doua multimi nevide A si B au aceeasi putere car-dinala (sunt cardinal echivalente) daca exista o functie bijectiva f : A→ B siın acest caz notam

A ∼ B.

Cardinal echivalenta multimilor prezinta proprietatile specifice unei relatii de echi-valenta.

Propozitia 1.3.1 Echivalenta cardinala a multimilor este reflexiva, simetrica sitranzitiva.

Proprietatile echivalentei cardinale justifica definirea numerelor cardinale drept”clase de echivalenta cardinala”.

Definitia 1.3.2 Se numeste numar cardinal orice familie de multimi cuprinzandtoate multimile de aceeasi putere cardinala cu o multime nevida fixata. Numarulcardinal asociat unei familii de multimi de acceasi putere cardinala reprezinta car-dinalul fiecarei multimi apartinand familiei respective. Utilizam notatii de tipul:

a = X −multime |X ∼ A ; a = card(X), (∀) X ∼ A.

Cardinalul multimii numerelor naturale se numeste ”alef zero”. Vom utiliza notatia:

card(N) = H0

Definitia 1.3.3 O multime se numeste numarabila daca este cardinal echiva-lenta cu multimea numerelor naturale (are cardinalul ”alef zero”).

Capitolul 2

Corpul numerelor reale

2.1 Definirea axiomatica multimii numerelor reale

Definitia 2.1.1 Se numeste multimea numerelor reale o multime nevida R,ınzetrata cu doua operatii interne + si · si cu o relatie de ordine ≤, care verificaurmatoarele proprietati:1) (R,+, ·) este un corp (algebric) comutativ;2) (R,≤) este o multime total ordonata;3) Relatia de ordine ” ≤ ” este compatibila cu operatiile algebrice de adunare (+)si respectiv ınmultire (·), adica sunt satisfacute axiomele

(i) (∀) x, y, z ∈ R x ≤ y ⇒ x+ z ≤ y + z(ii) (∀) x, y, z ∈ R x ≤ y ∧ z ≥ 0 ⇒ xz ≤ yz.

4) Orice multime nevida si marginita superior, A ⊂ R, admite margine superioara,(deci exita supA), (Axioma marginii superioare).

2.2 Siruri de numere reale

Un sir (xn)n∈N cu termenii ın R trebuie ınteles ca o functie ϕ : N → R pentrucare notam xn = ϕ(n), n ∈ N.

Definitia 2.2.1 Sirul (xn)n∈N se numeste:

• marginit, daca(∃) m > 0 (∀) n ∈ N |xn| ≤ m

• monoton crescator (respectiv descrescator), daca

(∀) n ∈ N xn ≤ xn+1 (respectiv xn ≥ xn+1)

• convergent, daca

(∃) a ∈ R (∀) ε > 0 (∃) N ∈ N (∀) n ∈ N n ≥ Nε ⇒ |xn − a| < ε

si ın acest caz notam xn → a

9

10 CAPITOLUL 2. CORPUL NUMERELOR REALE

• fundamental (sau sir Cauchy), daca

(∀) ε > 0 (∃) N ∈ N (∀) n,m ∈ N n,m ≥ Nε ⇒ |xn − xm| < ε

Teorema 2.2.1 (i) orice sir convergent este fundamental;(ii) orice sir fundamental este marginit;(iii) daca un sir fundamental admite un subsir convergent atunci sirul este con-vergent.

Teorema 2.2.2 Orice sir monoton si marginit din R este convergent

Teorema 2.2.3 R este complet ın sens Cauchy, adica are proprietatea caorice sir fundamental este convergent

In continuare vom introduce noi notiuni legate de extindererea multimii R, cudoua noi elemente +∞ si −∞. Convenim sa notam R = R∪−∞,∞ multimeanumita dreapta ıncheiata. Definim limitele ”infinite” ale sirurilor reale astfel:

• limn→∞ xn = ∞ daca

(∀) m > 0 (∃) N ∈ N (∀) n ∈ N n ≥ N ⇒ xn > m

• limn→∞ xn = −∞ daca

(∀) m < 0 (∃) N ∈ N (∀) n ∈ N n ≥ N ⇒ xn < m

In finalul discutiei despre sirurile de numere reale, amintim cateva criterii impor-tante de convergenta.

• Criteriul majorarii: Daca pentru sirurile (xn)n∈N si (pn)n∈N, cu pro-prietatile pn > 0, (∀) n ∈ N si pn → 0 si numarul real a avem

|xn − a| ≤ pn, (∀) n ∈ N,

atunci xn → a;

• Criteriul cleste: Daca pentru sirurile (xn)n∈N, (an)n∈N si (bn)n∈N, cuproprietatile an → c, bn → c, avem

an ≤ xn ≤ bn, (∀) n ∈ N,

atunci xn → c;

• Criteriul lui Stolz: Daca pentru sirurile (an)n∈N si (bn)n∈N, cu pro-prietatile 0 < bn < bn+1, (∀) n ∈ N si bn →∞ , avem

limn→∞

an+1 − anbn+1 − bn

= c

atunci limn→∞anbn

= c.

Capitolul 3

Serii numerice.

3.1 Definitii. Generalitati.

In acest capitol vom studia seriile de numere reale. Cu ajutorul seriilor se poateda un sens notiunii de ”suma” a termenilor unui sir de numere reale.

Definitia 3.1.1 Fie un sir de numere reale (an)n∈N. Se numeste seria atasatasirului dat, ansamblul format din sirurile (an)n∈N si (Sn)n∈N, unde Sn := a0 +. . . + an, (n ≥ 0). Aceasta serie se noteaza cu

∑n≥0

an. Termenii an se numesc

termenii seriei, iar termenii Sn se numesc sumele partiale ale seriei. In cazulın care sirul (Sn)n∈N este convergent, seria se numeste convergenta, iar ın cazcontrar, seria se numeste divergenta. Limita sirului (Sn)n∈N, ın cazul ın care

exista, se numeste suma seriei si se noteaza cu∞∑n=0

an.

Calitatea unei serii de a fi convergenta sau divergenta poarta numele de naturaseriei.

Seria∑n≥0

an, precum si suma ei, ın cazul convergentei se mai noteaza prin

a0 + a1 + . . ..

Exemplul 3.1.1 Seria geometrica se defineste prin∑n≥0

qn, unde q ∈ R. Avem

Sn = 1 + q+ . . .+ qn = 1−qn+1

1−q , pentru q 6= 1 si Sn = n+ 1, pentru q = 1. Rezultaca seria este convergenta si are suma 1

1−q , daca |q| < 1 si este divergenta cand

|q| ≥ 1. In plus suma seriei este +∞ pentru q ≥ 1.

Exemplul 3.1.2 Fie seria∑n≥1

1n(n+1) . Pentru n ≥ 1, avem Sn = 1

1·2 + . . . 1n(n+1)

=(

11 −

12

)+ . . . +

(1n −

1n+1

). Dupa reducerea termenilor asemenea, obtinem

Sn = 1 − 1n+1 . Deoarece limn→∞ Sn = 1, conchidem ca seria este convergenta si

are suma egala cu 1.

11

12 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE.

Exemplul 3.1.3 Fie seria∑n≥1

n(n+1)! . Avem Sn =

n∑k=0

k(k+1)! =

=n∑k=0

(1k! −

1(k+1)!

)= 1

0! −1

(n+1)! = 1 − 1(n+1)! . Obtinem limn→∞ Sn = 1. Deci

seria este convergenta cu suma 1.

Propozitia 3.1.1 i) Daca ıntr-o serie∑n≥0

an, adaugam, eliminam, sau modifi-

cam un numar finit de termeni, natura seriei nu se schimba, ci doar suma ei semodifica, ın cazul cand este convergenta.

ii) Daca toti termenii unei serii se ınmultesc cu o constanta k 6= 0, atuncinatura seriei nu se modifica dar, ın cazul convergentei, suma noii serii este egalacu suma seriei date ınmultita cu k.

Teorema 3.1.1 (Criteriul general al lui Cauchy) Seria∑n≥0

an, este conver-

genta, daca si numai daca, pentru orice ε > 0, exista un indice nε ∈ N, astfelıncat, pentru orice n ≥ nε si m ≥ nε, n ≤ m, avem |an + . . .+ am| < ε.

Observatia 3.1.1 Conditia din criteriul lui Cauchy, se poate formula pentru seria∑n≥0

an, ın mod echivalent astfel: pentru orice ε > 0, sa existe un indice nε ∈ N,

astfel ıncat, pentru orice n ≥ nε si orice p ≥ 0, sa avem |an + . . .+ an+p| < ε.

Corolarul 3.1.1 Daca seria∑n≥0

an este convergenta, atunci limn→∞ an = 0.

Observatia 3.1.2 Reciproca din Corolarul 3.1.1 nu este adevarata.

Definitia 3.1.2 Seria∑n≥0

an se numeste absolut convergenta, daca seria∑n≥0

|an|

este convergenta.

Teorema 3.1.2 (Criteriul absolutei convergente) Orice serie absolut conver-genta este convergenta.

Observatia 3.1.3 Reciproca teoremei de mai sus nu este adevarata.

Definitia 3.1.3 O serie se numeste semiconvergenta, daca ea este convergenta,dar nu este absolut convergenta.

3.2 Criterii de comparatie pentru seriile cu termenipozitivi.

Observatia 3.2.1 Daca∑n≥0

an este o serie cu termeni pozitivi: an ≥ 0, (n ≥ 0),

atunci sirul sumelor partiale (Sn)n∈N este crescator. In consecinta, seria∑n≥0

an

este convergenta, daca si numai daca sirul (Sn)n∈N este marginit. Daca sirul

3.3. CRITERII DIRECTE PENTRU SERII CU TERMENI POZITIVI 13

(Sn)n∈N este marginit, si deci seria este convergenta, notam∞∑n=0

an < ∞. Daca

sirul (Sn)n∈N este nemarginit, si deci seria este divergenta, avem∞∑n=0

an = ∞.

Teorema 3.2.1 (Criteriul 1 de comparatie) Fie seriile cu termeni pozitivi,∑n≥0

an si∑n≥0

bn, pentru care exista n0 ∈ N astfel ıncat

an ≤ bn, pentru orice n ≥ n0.

i) Daca∞∑n=0

an <∞, atunci∞∑n=0

an <∞.

ii) Daca∞∑n=0

an = ∞, atunci∞∑n=0

bn = ∞.

Teorema 3.2.2 (Criteriul de comparatie cu limita) Fie seriile cu termenistrict pozitivi,

∑n≥0

an si∑n≥0

bn. Presupunem ca exista l ∈ [0, ∞)∪∞ astfel ıncat

limn→∞

bnan

= l.

i) Daca∞∑n=0

an <∞, si l <∞, atunci∞∑n=0

bn <∞.

ii) Daca∞∑n=0

an = ∞, si l > 0, atunci∞∑n=0

bn = ∞.

3.3 Criterii directe pentru serii cu termeni pozitivi

Teorema 3.3.1 (Criteriul radacinii, sau criteriul lui Cauchy) Fie seria cutermeni pozitivi,

∑n≥0

an. Notam

Cn := n√an, n ∈ N.

i) Daca exista q < 1 si un indice n0 ∈ N, astfel ıncat Cn ≤ q, (n ≥ n0), atunci∞∑n=0

an <∞,

ii) Daca exista un subsir de indici (nk)k∈N astfel ıncat Cnk ≥ 1, pentru orice

k ∈ N, atunci∞∑n=0

an = ∞.

Corolarul 3.3.1 Fie seria cu termeni pozitivi∑n≥0

an. Sa notam l :=

= lim supn→∞Cn.

i) Daca l < 1, atunci∞∑n=0

an <∞,

ii) Daca l > 1, atunci∞∑n=0

an = ∞.

14 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE.

Teorema 3.3.2 (Criteriul raportului, sau criteriul lui D’Alembert) Fieseria cu termeni strict pozitivi

∑n≥0

an. Notam:

Dn :=an+1

an.

i) Daca exista q < 1 si un indice n0 ∈ N, astfel ıncat Dn ≤ q, (n ≥ n0), atunci∞∑n=0

an <∞,

ii) Daca exista un indice n0 ∈ N, astfel ıncat Dn ≥ 1, (n ≥ n0), atunci∞∑n=0

an = ∞.

Corolarul 3.3.2 Fie seria cu termeni strict pozitivi∑n≥0

an. Presupunem ca exista

limn→∞Dn = l.i) Daca l < 1, atunci seria converge.ii) Daca l > 1, atunci seria diverge.

Exemplul 3.3.1 (Seria armonica) Seria armonica de parametru α ∈ R se de-fineste prin

∑n≥1

1nα . Avem

∞∑n=1

1nα

=

<∞, α > 1= ∞, α ≤ 0

.

Teorema 3.3.3 (Criteriul Raabe-Duhamel) Fie seria cu termeni strict pozi-tivi

∑n≥0

an. Notam:

Rn := n

(an+1

an− 1

), (n ∈ N).

i) Daca exista q > 1 si n0 ∈ N, astfel ıncat Rn ≥ q, (n ≥ n0), atunci∞∑n=0

an <∞,

ii) Daca exista n0 ∈ N, astfel ıncat Rn ≤ 1, (n ≥ n0), atunci∞∑n=0

an = ∞.

Corolarul 3.3.3 Fie seria cu termeni strict pozitivi∑n≥0

an. Presupunem ca exista

limn→∞Rn = l.

i) Daca l > 1, atunci∞∑n=0

an <∞,

ii) Daca l < 1, atunci∞∑n=0

an = ∞.

AplicatiePentru a determina natura seriei

∑n≥1

an·n!nn , a > 0, notam cu an termenul gen-

eral. Avem limn→∞an+1

an= a

e . Aplicand criteriul raportului, forma cu limita,obtinem: serie convergenta, pentru a < e si serie divergenta pentru a > e. Dacaa = e, avem an+1

an= e

(1+ 1n)n > 1. Atunci rezulta ca sirul (an)n∈N nu converge la 0,

deci seria este divergenta.

Capitolul 4

Functii reale de o variabila

4.1 Definitii si rezultate de baza

Definitia 4.1.1 Fie a ∈ R. O multime V ⊂ R se numeste vecinatate, a punc-tului a daca exista ε > 0 astfel ıncat (a− ε, a+ ε) ⊂ V .

Definitia 4.1.2 O multime V ⊂ R se numeste vecinatate a lui ∞, daca existaα ∈ R, astfel ıncat (α, ∞) ∪ ∞ ⊂ V . O multime V ⊂ R se numeste vecinatatea lui −∞, daca exista α ∈ R, astfel ıncat (−∞, α) ∪ −∞ ⊂ V .

Definitia 4.1.3 Fie D ⊂ R. Un element a ∈ R se numeste punct de acumu-lare al lui D, daca pentru orice vecinatate, V a lui a, exista x ∈ V , astfel ıncatx 6= a.

Definitia 4.1.4 Fie D ⊂ R, f : D → R si a ∈ R punct de acumulare a lui D.Spunem ca functia f are limita, ın punctul a, daca exista l ∈ R, cu proprietateaca pentru orice vecinatate U a lui l exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat pentruorice x ∈ V ∩D, x 6= a sa avem f(x) ∈ U .

Observatiile 4.1.1 i) Conditia din definitia de mai sus poate fi scrisa ın formaechivalenta astfel:

• Daca a ∈ R, l ∈ R : (∀) ε > 0, (∃)δε > 0, (∀)x ∈ D, x 6= a, |x− a| < δε ⇒|f(x)− l| < ε.

• Daca a ∈ R, l = ∞ : (∀)α ∈ R, (∃)δ > 0, (∀)x ∈ D, x 6= a, |x− a| < δ ⇒f(x) > α.

• Daca a = ∞, l ∈ R (∀)α ∈ R, (∃)δα > 0, (∀)x ∈ D, x > α ⇒ |f(x)−l| < ε.

• Daca a = ∞, l = ∞ (∀)α ∈ R, (∃)βα ∈ R (∀)x ∈ D, x > βα ⇒ f(x) > α.

Daca a sau l sunt egali cu −∞, se obtine o scriere analoaga cu cele pentru +∞.

15

16 CAPITOLUL 4. FUNCTII REALE DE O VARIABILA

Definitia 4.1.5 Elementul unic l ∈ R care apare in Definitia 4.1.4 se numestelimita, a functiei f ın punctul a. Limita functiei se noteaza cu limx→a f(x).

Teorema 4.1.1 (Heine) Fie D ⊂ R, f : D → R si a ∈ R un punct de acumularea lui D. Sunt echivalente urmatoarele afirmatii:

i) limx→a f(x) = l,ii) pentru orice sir (xn)n∈N cu limita a si cu termeni xn ∈ D, xn 6= a, avem

limn→∞ f(xn) = l.

Corolarul 4.1.1 Fie D ⊂ R, f : D → R si a ∈ R un punct de acumulare a luiD. Daca exista l1, l2 ∈ R, l1 6= l2 si doua siruri (x1

n)n∈N, (x2n)n∈N, unde pentru

i = 1, 2, avem xin ∈ D, xin 6= a, (n ∈ N), limn→∞ xin = a, si limn→∞ f(xin) = li,atunci functia f nu are limita ın a.

Propozitia 4.1.1 (Criteriul majorarii) Fie functiile f, g : D → R, unde D ⊂R. Fie a un punct de acumulare a lui D.

i) Daca |f(x) − l| ≤ g(x), (∀)x ∈ D, l ∈ R si limx→a g(x) = 0, atuncilimx→a f(x) = l.

ii) Daca f(x) ≥ g(x), (∀)x ∈ D si limx→a g(x) = ∞, atunci limx→a f(x) = ∞.

Teorema 4.1.2 Fie functiile f, g : D → R, D ⊂ R si a un punct de acumularea lui D, Presupunem ca exista limitele limx→a f(x) = lf si limx→a g(x) = lg, undelf , lg ∈ R. Sa notam cu ? oricare din operatiile +, −, ·, /. Daca ? este /, atunci,presupunem ın plus ca exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat g(x) 6= 0, (∀)x ∈D∩V . In aceste conditii, daca lf ? lg are sens ın R, atunci exista limx→a(f ∗g)(x)si este egala cu lf ? lg. Pe scurt

limx→a

(f ∗ g)(x) = ( limx→a

f(x)) ? ( limx→a

g(x)).

Definitia 4.1.6 Functia f : D → R, D ⊂ R, se numeste continua ın punctula ∈ D, daca pentru orice vecinatate V a lui f(a), exista o vecinatate U , a lui a,astfel ıncat f(x) ∈ V , pentru orice x ∈ D∩V . In cazul contrar functia se numestediscontinua ın a.

Observatia 4.1.1 O definitie echivalenta a continuitatii ın punctul a este: (∀) ε >0, (∃)δε > 0, (∀)x ∈ D, |x− a| < δε ⇒ |f(x)− f(a)| < ε.

Definitia 4.1.7 O functie f : D → R, D ⊂ R se numeste continua pe D, dacaea este continua ın orice punct din D. In caz contrar se numeste discontinua.

Propozitia 4.1.2 Fie f : D → R, D ⊂ R si fie a ∈ D, care este totodata punctde acumulare a lui D. Functia f este continua ın a, daca si numai daca existalimita:

limx→a

f(x) = f(a).

Un enunt similar are loc pentru continuitatea laterala.

4.1. DEFINITII SI REZULTATE DE BAZA 17

Teorema 4.1.3 Fie functiile f, g : D → R, D ⊂ R. Sa notam cu ? oricaredin operatiile +, −, ·, /. Daca ? este /, atunci, presupunem ın plus ca exista ovecinatate V a lui a astfel ıncat g(x) 6= 0, (∀)x ∈ D∩V . Daca funtiile f si g suntcontinue ıntr-un punct a ∈ D, atunci f ? g este continua ın a.

Teorema 4.1.4 Fie functiile f : D → E, g : E → R, D, E ⊂ R. Daca feste continua ıntr-un punct a ∈ D, iar g este continua ın f(a), atunci g f estecontinua ın a.

Definitia 4.1.8 O functie f : D → R, D ⊂ R se numete convexa, (respectivstrict convexa, concava, strict concava) pe D, daca pentru orice puncte x < ydin D si pentru orice λ ∈ (0, 1), astfel ıncat λx + (1 − λ)y ∈ D, avem λf(x) ++(1− λ)f(y)− f(λx+ (1− λ)y) ≥ 0, (respectiv > 0, ≤ 0, < 0).

Definitia 4.1.9 Spunem ca functia f : I → R, unde I este un interval, areproprietatea lui Darboux, daca imaginea f(J) a oricarui subinterval J ⊂ Ieste un interval.

Observatia 4.1.2 Proprietatea lui Darboux poate fi enuntata si astfel: pentruorice puncte x < y din I si orice λ astfel ıncat f(x) < λ < f(y) sau f(y) < λ <f(x), exista un punct c, x < c < y astfel ıncat f(c) = λ.

Teorema 4.1.5 Orice functie continua pe un interval are proprietatea luiDarboux.

Teorema 4.1.6 (Weierstrass) Orice functie continua f : [a, b] → R este margi-nita si ısi atinge marginile. Mai concret, exista m, M ∈ R si exista xm, xM ∈∈ [a, b], astfel ıncat

i) m ≤ f(x) ≥M, (∀)x ∈ [a, b].ii) f(xm) = m si f(xM ) = M .

In continuare vom considera notiunea de derivabilitate a unei functii reale.

Definitia 4.1.10 Fie functia f : D → R, D ⊂ R si a ∈ D, care este totodatapunct de acumulare a lui D. Numim derivata functiei f ın a, elementul f ′(a) ∈∈ R, definit prin

f ′(a) := limx→a

f(x)− f(a)x− a

,

ın cazul cand limita exista. Daca f ′(a) ∈ R, atunci functia f se numeste deri-vabila ın a.

Daca D este un interval, iar f este derivabila ın orice punct din D, atunci fse numeste functie derivabila pe D, iar functia f ′ : D → R, care ia ın oricepunct a ∈ D valoarea f(a), se numeste functia derivata a lui f . Funtia f senumeste primitiva functiei f ′.

Teorema 4.1.7 O functie derivabila ıntr-un punct este continua ın acel punct.


Teorema 4.1.8 Fie functiile f, g : D → R derivabile ın punctul a ∈ D. Atunciexista:

i) (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a).ii) (f · g)′(a) = f ′(a) · g(a) + f(a) · g′(a).iii) Daca exista o vecinatate V a lui a astfel ca g(x) 6= 0, (∀)x ∈ D∩V , atunci

exista(fg

)′(a) = g(a)f ′(a)−f(a)g′(a)

g2(a).

iv) Daca f este constanta, atunci f ′(a) = 0.

Teorema 4.1.9 (Derivarea functiilor compuse) Fie functiile f : D → E sig : E → R, D, E ⊂ R. Fie a ∈ D un punct de acumulare a lui D si presupunemca b := f(a) este punct de acumulare a lui E. Daca f este derivabila ın a si geste derivabila ın b, atunci g f : D → R este derivabila ın a si

(g f)′(a) = g′(b) · f ′(a).

Teorema 4.1.10 (Derivarea functiilor inverse) Fie I, J intervale si functiaf : I → J bijectiva si continua. Daca f este derivabila ın a, si f ′(a) 6= 0, atuncif−1 este derivabila ın punctul b = f(a) si

(f−1)′(b) =1

f ′(a).

Definitia 4.1.11 (Derivate de ordin superior) Fie functia f : D → R, D ⊂⊂ R si a ∈ D, punct de acumulare a lui D. Definim derivatele de ordinul k,k ≥ 0 ale lui f ın a, ın mod recursiv astfel: f (0)(a) := f(a), iar daca k > 0, atunciderivata f (k)(a) se defineste ın cazul cand exista o vecinatate V a lui a , astfel caf admite derivata de ordin (k − 1) ın toate punctele lui D ∩ V si ın plus functiaf (k−1) : D ∩ V → R este derivabila ın a. Atunci definim

f (k)(a) := (f (k−1))′(a).

4.2 Teoreme de medie

Definitia 4.2.1 Fie f : D → R, D ⊂ R. Un punct x0 ∈ D se numeste punct demaxim local, respectiv punct de minim local al lui f , daca exista o vecinatateV a lui x0, astfel ıncat sa avem f(x) ≤ f(x0), (∀)x ∈ D ∩ V , respectiv f(x) ≥≥ f(x0), (∀)x ∈ D ∩ V . Un punct care este de maxim local sau de minim local senumeste punct de extrem local.

Definitia 4.2.2 Fie functia f : D → R, D ⊂ R. Un punct ın care f ısi atingevaloarea maxima se numeste punct de maxim global, iar un punct ın care fısi atinge valoarea minima se numeste punct de minim global. Un punct demaxim sau de minim global se numeste punct de extrem global.

Observatia 4.2.1 Orice punct de extrem global este si un punct de extrem localde acelasi tip.

4.3. REGULILE LUI L’HOSPITAL 19

Teorema 4.2.1 (Fermat) Fie f : D → R, D ⊂ R si un punct x0 ∈ D. careeste punct de acumulare la stanga si la dreapta pentru D. Daca

i) x0 este punct de extrem local pentru functia f siii) f este derivabila ın x0,

atunci f ′(x0) = 0.

Teorema 4.2.2 (Darboux) Daca o functie f : I → R, I interval, este derivabilape I, atunci functia derivata f ′ : I → R are proprietatea lui Darboux pe I.

Teorema 4.2.3 (Rolle) Fie functia f : [a, b] → R. Dacai) f este continua pe [a, b],ii) f este derivabila pe (a, b) siiii) f(a) = f(b),

atunci exista c ∈ (a, b), astfel ıncat f ′(c) = 0.

Teorema 4.2.4 (Cauchy) Fie functia f : [a, b] → R. Dacai) f este continua pe [a, b],ii) f este derivabila pe (a, b) siiii) g′(x) 6= 0, pentru orice x ∈ (a, b),

atunci g(b) 6= g(a)si exista c ∈ (a, b) astfel ıncat

f(b)− f(a)g(b)− g(a)

=f ′(c)g′(c)

.

Daca alegem functia g(x) = x ın Teorema lui Cauchy se obtine urmatoareateorema, numita si teorema cresterilor finite.

Teorema 4.2.5 (Lagrange) Fie functia f : [a, b] → R. Dacai) f este continua pe [a, b] siii) f este derivabila pe (a, b),

atunci exista c ∈ (a, b) astfel ıncat

f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).

4.3 Regulile lui l’Hospital

In acest paragraf prezentam regulile lui l’Hospital pentru rezolvarea unor cazuride nedeterminare de limite de functii.

Teorema 4.3.1 (Regula pentru cazul 00) Fie I ⊂ R un interval, a un punct

de acumulare a lui I si f, g : I → R. Daca sunt ındeplinite conditiile:i) f si g sunt derivabile pe I \ a,ii) g′(x) 6= 0, (∀)x ∈ I,iii) limx→a f(x) = 0 si limx→a g(x0) = 0,iv) exista l ∈ R astfel ıncat limx→a

f ′(x)g′(x) = l,

atunci g(x) 6= 0, (∀)x ∈ I \ a si exista limita

limx→a

f(x)g(x)

= l.


Teorema 4.3.2 (Regula pentru cazul ∞∞) Fie I ⊂ R un interval, a un punct

de acumulare a lui I si f, g : I → R. Daca sunt ındeplinite conditiile:i) f si g sunt derivabile pe I \ a,ii) g′(x) 6= 0, (∀)x ∈ Iiii) limx→a g(x0) = ∞,iv) exista l ∈ R astfel ıncat limx→a

f ′(x)g′(x) = l,

atunci exista o vecinatate V a lui a, astfel ıncat g(x) 6= 0, (∀)x ∈ I ∩ V \ a siexista limita

limx→a

f(x)g(x)

= l.

4.4 Polinomul lui Taylor

Polinomul lui Taylor asociat unei functii derivabile de ordin superior si unui punctdin domeniul sa de definitie, este ales astfel ıncat sa dea cea mai buna aproximarelocala a functiei, dintre toate polinoamele de acelasi grad cu polinomul lui Taylorconsiderat. Avem urmatoarea definitie de baza.

Definitia 4.4.1 Fie functia f : D → R, D ⊂ R, derivabila de ordinul n ∈ N ınpunctul a ∈ D. Se numeste polinomul lui Taylor de ordinul n al funtiei f ınpunctul a, urmatorul polinom algebric:

Ta,n(f)(x) = f(a) +f ′(a)

1!· (x− a) + . . .+

f (n)(a)n!

· (x− a)n, (x ∈ R). (4.1)

Numim restul polinomului lui Taylor de ordinul n al functiei f ın punctul a,functia:

Ra,n(f)(x) = f(x)− Ta,n(f)(x), (x ∈ D).

Teorema 4.4.1 Fie f : I → R, I interval. Daca functia f este derivabila deordinul n ≥ 1 ıntr-un punct a ∈ I, atunci

limx→a

Ra,n(f)(x)(x− a)n

= 0.

Teorema 4.4.2 (Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange) Fie I un inter-val si f : I → R o functie derivabila de ordinul n+ 1, n ∈ N pe I. Atunci pentruorice doua puncte a si x din I, x 6= a, exista un punct c situat ıntre a si x, astfelıncat sa avem

f(x) =n∑k=0

f (k)(a)k!

· (x− a)k +f (n+1)(c)(n+ 1)!

· (x− a)n+1.

Capitolul 5

Siruri si serii de functii.

5.1 Siruri de functii.

Definitia 5.1.1 Se numeste sir de functii, definite pe o multime D ⊂ R si cuvalori reale, orice aplicatie din multimea N ın multimea functiilor f : D → R.Un astfel de sir de functii se noteaza prin (fn)n∈N.

Definitia 5.1.2 Sirul de functii (fn)n∈N, fn : D → R, D ⊂ R, se numeste con-vergent punctual, sau convergent simplu, daca exista o functie f : D → R,astfel ıncat pentru orice x ∈ D fixat, avem limn→∞ fn(x) = f(x). Functia f senumeste limita sirului (fn)n∈N si se noteaza prin limn→∞ fn.

Definitia 5.1.3 Sirul de functii (fn)n∈N, fn : D → R, D ⊂ R, se numesteconvergent uniform, pe D, daca exista o functie f : D → R, astfel ıncat pentruorice ε > 0, exista un indice nε ∈ N astfel ıncat |fn(x) − f(x)| < ε, pentru oricen ∈ N, n ≥ nε si orice x ∈ D.

Teorema 5.1.1 Fie sirul de functii (fn)n∈N, fn : D → R, D ⊂ R si o functief : D → R. Sunt echivalente urmatoarele afirmatii:

i) Sirul de functii (fn)n∈N nu converge uniform la f pe D siii) Exista δ > 0, un subsir de indici (nk)k∈N si un sir (xk)n∈N, xk ∈ D, astfel

ıncat |fnk(xk)− f(xk)| ≥ δ, (∀) k ∈ N.

Exemplul 5.1.1 Sa aratam ca sirul de functii fn(x) = xn, x ∈ [0, 1], convergesimplu dar nu converge uniform. Intr-adevar, se obtine imediat ca limn→∞ fn(x) =f(x), x ∈ [0, 1], unde

f(x) =

0, x ∈ [0, 1)1, x = 1

.

Pentru a arata ca convergenta nu este uniforma, indicam trei metode: alegemsirul de puncte (xn)n∈N, xn = 1

n , obtinem limn→∞ fn(xn) = e. Atunci, aplicandTeorema 5.1.1 rezulta ca (fn)n∈N nu converge uniform la f .

21

22 CAPITOLUL 5. SIRURI SI SERII DE FUNCTII.

Teorema 5.1.2 (Transferul limitei) Fie sirul de functii (fn)n∈N, fn : D → R,D ⊂ R, uniform convergent la functia f : D → R si fie x0 un punct de acu-mulare al lui D. Presupunem ca pentru orice n ∈ N, exista limx→x0 fn(x) = ln,ln ∈ R. Atunci sirul (ln)n∈N este convergent, iar functia f are limita ın punctulx0 egala cu limita sirului (ln)n∈N. Pe scurt avem

limx→x0

limn→∞

fn(x) = limn→∞

limx→x0

fn(x).

Teorema 5.1.3 (Transferul continuitatii) Orice sir uniform convergent defunctii continue, are limita tot o functie continua.

Teorema 5.1.4 (Transferul derivabilitatii) Fie sirul de functii (fn)n∈N, defi-nite pe inervalul marginit I. Presupunem ca

i) functiile fn, n ≥ 0 sunt derivabile pe I, iar sirul (f ′n)n∈N converge uniformpe I la o functie g : I → R,

ii) exista un punct x0 ∈ I, astfel ıncat sirul (fn(x0))n∈N este convergent.Atunci sirul de functii (fn)n∈N converge uniform pe I la o functie derivabila

f : I → R si in plus f ′ = g.

5.2 Serii de functii.

Definitia 5.2.1 Fie sirul de functii (fn)n∈N, fn : D → R, D ⊂ R. Se numesteseria de functii atasata sirului (fn)n∈N, ansamblul format din sirurile de functii(fn)n∈N si (Sn)n∈N, unde Sn := f0 + . . .+fn, (n ∈ N). Aceasta serie de functii senoteaza cu

∑n≥0

fn. Daca sirul de functii (Sn)n∈N, numit sirul sumelor partiale,

este convergent punctual pe multimea D, atunci seria se numeste convergentapunctual, sau convergenta simplu, iar functia limita se numeste suma seriei

de functii si se noteaza prin∞∑n=0

fn. Daca sirul (Sn)n∈N este convergent uniform,

atunci seria se numeste la randul ei uniform convergenta.

Seria∑n≥0

fn se mai noteaza si prin f0 + f1 + . . ..

Teorema 5.2.1 (Criteriul lui Weierstrass) Fie seria de functii∑n≥0

fn,

fn : D → R, D ⊂ R si fie seria numerica∑n≥0

an. Daca sunt ındeplinite conditiile:

i) |fn(x)| ≤ an, (∀)x ∈ D, (∀)n ∈ N,ii)

∑n≥0

an < ∞, atunci seria de functii∑n≥0

fn converge uniform pe D.

Teorema 5.2.2 (Transferul limitei) Fie seria de functii∑n≥0

fn, fn : D → R,

D ⊂ R convergenta uniform, avand suma f : D → R. Fie x0 un punct deacumulare al lui D. Presupunem ca pentru orice n ∈ N, exista limx→x0 fn(x) = ln,

5.3. SERII DE PUTERI. SERII TAYLOR. 23

ln ∈ R. Atunci seria∑n≥0

ln este convergenta, iar functia f are limita ın punctul

x0 egala cu∑n≥0

ln. Pe scurt avem

limx→x0

∑n≥0

fn(x) =∑n≥0

limx→x0

f(x).

Teorema 5.2.3 (Transferul continuitatii) Daca seria de functii∑n≥0

fn,

fn : D → R, D ⊂ R este uniform convergenta si toate functiile fn sunt con-tinue pe D, atunci functia suma este tot continua pe D.

Teorema 5.2.4 (Transferul derivabilitatii) Fie seria de functii derivabile∑n≥0

fn, fn : D → R, D ⊂ R. Daca

i) seria∑n≥0

f ′n este uniform convergenta la o functie g : D → R si

ii) exista un punct x0 ∈ D, astfel ıncat∑n≥0

fn(x0) este convergenta,

atunci seria∑n≥0

fn este uniform convergenta, iar suma sa este o functie deri-

vabila, cu derivata egala cu g. Pe scurt avem:∑n≥0

fn

′ = ∑n≥0

f ′n.

5.3 Serii de puteri. Serii Taylor.

In acest paragraf vom studia un caz particular, de mare importanta, de serii defunctii si anume seriile de puteri. Seriile de puteri reprezinta extinderea notiuniide polinom algebric.

Definitia 5.3.1 Se numeste serie de puteri centrata ın x0, o serie de functiide forma

∑n≥0

an(x − x0)n, unde (an)n∈N este sirul coeficientilor, x0 ∈ R este un

punct fixat, iar x ∈ R este variabila. Daca x0 = 0, seria se numete simplu seriede puteri.

Definitia 5.3.2 (Formula Cauchy-Hadamard) Numim raza de conver-genta a seriei

∑n≥0

anxn, numarul R ∈ [0,∞) ∩ ∞, definit astfel:

R :=1

lim supn→∞n√|an|

.

Observatia 5.3.1 Fie seria de puteri∑n≥0

anxn. Raza de convergenta a seriei se

poate calcula si dupa urmatoarele formule:

R =1

limn→∞n√|an|

; si R = limn→∞

∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣ ,ın cazul cand exista limitele care apar ın aceste formule.

24 CAPITOLUL 5. SIRURI SI SERII DE FUNCTII.

Teorema 5.3.1 (Teorema razei de convergenta a lui Abel) Fie seria deputeri

∑n≥0

anxn avand raza de convergenta R ∈ [0,∞) ∩ ∞.

i) Daca R > 0, atunci seria de puteri converge absolut pentru orice x cu|x| < R.

ii) Daca R < ∞, atunci seria de puteri este divergenta pentru orice x cu|x| > R.

iii) Daca R > 0 si 0 < r < R, atunci seria de puteri este uniform convergentape intervalul [−r, r].

Observatia 5.3.2 Din teorema rezulta ca daca R = 0, domeniul de conver-genta al seriei de puteri se reduce la multimea 0, iar daca R = ∞, domeniul deconvergenta este R. Daca 0 < R <∞, ın general nu se poate spune numic despreconvergenta ın punctele ±R. Sunt serii care converg ın unul sau ambele puncte,precum si serii care diverg ın ambele puncte.

Teorema 5.3.2 O functie f : (x0 − R, x0 + R) → R, f(x) =∑n≥0

an(x − x0)n,

x ∈ (x0 −R, x0 +R), unde R > 0 este raza de convergenta a serie de puteri, esteindefinit derivabila pe intervalul (x0 −R, x0 +R) si

ak =1k!· f (k)(x0), (∀) k ∈ N.

Definitia 5.3.3 Fie functia f : D → R, D ⊂ R. Presupunem ca exista un puncta ∈ D, astfel ıncat, f admite derivate de orice ordin ın punctul a. Seria de putericentrata ın a ∑

n≥0

1n!f (n)(a)(x− a)n,

se numeste seria Taylor a functiei f ın punctul a. Daca a = 0, atunci aceastaserie se mai numeste si serie MacLaurin.

Dezvoltarile Mc Laurin ale principalelor functii elementare sunt urmatoarele:

exp(x) = 1 +x

1!+x2

2!+ . . . =

∞∑n=0

xn

n!, (∀)x ∈ R,

ln(1 + x) =∞∑n=1

(−1)n−1

nxn, (∀)x ∈ (−1, 1),

(1 + x)r =∞∑n=0

(rn

)xn, (∀)x ∈ (−1, 1), r > 0,

unde

(rn

):=

r(r − 1) . . . (r − n+ 1)r!

sinx := x− x3

3!+x5

5!+ . . . =

∑n≥0

(−1)2n+1

(2n+ 1)!· x2n+1, (x ∈ R),

cosx := 1− x2

2!+x4

4!− . . . =

∑n≥0

(−1)2n

(2n)!· x2n, (x ∈ R).

Capitolul 6

Spatiul Rn

6.1 Structura vectoriala a lui Rn

Definitia 6.1.1 Notam prin Rn, n ≥ 1 produsul cartezian R×. . .×R, (de n ori).Spatiul Rn se numeste spatiul aritmetic n-dimensional. Elemenetele lui Rn

se numesc puncte sau vectori. Orice element x ∈ Rn se reprezinta sub formax = (x1, . . . , xn), unde xi ∈ R, (1 ≤ i ≤ n) se numesc componentele lui x. Pespatiul Rn se introduc urmatoarele doua operatii:

• adunarea + : Rn ×Rn → Rn, definita prin:

x + y := (x1 + y1, . . . , xn + yn), (∀)x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, (∀)y == (y1, . . . , yn) ∈ Rn si

• amplificarea cu scalar: R × Rn → Rn, (notata prin juxtapunerea ope-ranzilor), definita prin:

λx := (λx1, . . . , λxn), (∀)x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, (∀)λ ∈ R.

Mentionam ca vom nota ıntotdeauna elementele spactiului Rn, n ≥ 2 cu litereıngrosate, eventual indiciate: a, b,x, a1,a2 s.a.m.d., ın timp ce numerele reale levom nota ıntotdeauna cu litere normale, eventual indiciate: a, b, x, a1, a2, s.a.m.d.

Se observa imediat ca Rn ınzestrat cu operatiile de adunare si amplificare cuscalar este un spatiu vectorial.

Notam 0 = (0, . . . , 0) ∈ Rn. Avem (−1)x = −x si 0x = 0, pentru oricex ∈ Rn. Pentru orice indice 1 ≤ i ≤ n, notam cu ei, vectorul ei = (0, . . . , 1, . . . , 0),unde 1 apare pe pozitia a i-a. Multimea e1, . . . , en, formeaza baza canonica aspatiului Rn. Orice x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, admite o unica reprezentare ın raportcu aceasta baza si anume x = x1e1 + . . .+ xnen.

Definitia 6.1.2 Introducem urmatoarele tipuri de multimi speciale ın Rn:

• Daca a, b ∈ Rn, se numeste segmentul de capete a si b, multimea

[a, b] := ta + (1− t)b| t ∈ [0, 1].

25

26 CAPITOLUL 6. SPATIUL RN

• O multime C ⊂ Rn se numeste convexa, daca pentru orice puncte a, b ∈ C,avem [a, b] ⊂ C.

• Daca a, v ∈ Rn, v 6= 0, se numeste dreapta ce trece prin a si de directiev, multimea

a + tv| t ∈ R.

De asemenea, multimea a + tv| t ∈ [0,∞) se numeste semidreapta decapat a si de sens v.

Definitia 6.1.3 Pentru indicii 1 ≤ i ≤ n, functiile πi : Rn → R, definite prinπi(x1, . . . , xn) = xi, (x1, . . . , xn) ∈ Rn, se numesc functiile proiectie de indice i.

Definitia 6.1.4 Fie funtia f : D → Rn, unde D este o multime oarecare. Pentruindicii 1 ≤ i ≤ n, notam cu fi : D → R, functiile fi := πi f . Functiile fi senumesc functiile componente de indice i ale functiei f .

Observam ca functia f considerata ın definitia precedenta, admite reprezentareaf = (f1, . . . , fn).

6.2 Topologia spatiului Rn. Generalitati

Definitia 6.2.1 Se numeste norma unui element x ∈ Rn, x = (x1, . . . , xn),numarul real pozitiv:

‖x‖ :=√x2

1 + . . .+ x2n.

Propozitia 6.2.1 Norma are urmatoarele proprietati:a) ‖x‖ = 0, daca si numai daca x = 0, cand x ∈ Rn.b) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖, pentru orice x ∈ Rn si λ ∈ R. (Proprietatea de omogeni-

tate)c) ‖x+y‖ ≤ ‖x‖+‖y‖, pentru orice x, y ∈ Rn. (Inegalitatea triunghiului

sau Inegalitatea lui Minkowski).

Propozitia 6.2.2 Pentru orice punct x ∈ Rn, x = (x1, . . . , xn), si orice indice1 ≤ i ≤ n avem

|xi| ≤ ‖x‖ ≤n∑j=1

|xj |. (6.1)

Definitia 6.2.2 Pentru x, y ∈ Rn, numarul d(x,y) := ‖x − y‖ se numestedistanta dintre punctele x si y.

Propozitia 6.2.3 Distanta are urmatoarele proprietati:a) d(x,y) = 0, daca si numai daca x = y, x, y ∈ Rn.b) d(x,y) = d(y,x), pentru orice x,y ∈ Rn.c) d(x, z) ≤ d(x,y) + d(y, z), pentru orice x, y, z ∈ Rn.

6.2. TOPOLOGIA SPATIULUI RN . GENERALITATI 27

Definitia 6.2.3 Daca a ∈ Rn si r > 0, se numeste sfera deschisa de centru asi de raza r, multimea

B(a, r) := y ∈ Rn| ‖y − x‖ < r.

Definitia 6.2.4 Multimea A ⊂ Rn se numeste marginita, daca exista R > 0,astfel ıncat A ⊂ B(0, R).

Definitia 6.2.5 Se numeste vecinatate a unui punct a ∈ Rn, orice multimeV ⊂ Rn cu proprietatea ca exista un numar r > 0, astfel ıncat B(a, r) ⊂ V .Notam cu Va familia vecinatatiilor lui a.

Sferele deschise centrate ıntr-un punct a sunt cele mai simple vecinatati alepunctului a.

Definitia 6.2.6 O multime A ⊂ Rn se numeste multime deschisa, daca pentrupentru orice a ∈ A, exista r > 0, astfel ıncat B(a, r) ⊂ A, (sau echivalent, daca Aeste vecinatate pentru toate punctele sale).

Propozitia 6.2.4 Familia multimile deschise are urmatoarele proprietati:a) Multimea vida ∅ si spatiul Rn sunt multimi deschise.b) O reuniune arbitrara de multimi deschise este o multime deschisa.c) Intersectia a doua multimi deschise este o multime deschisa.

O familie de multimi τ ⊂ P(X), unde X este o multime oarecare, care verificaconditiile a), b), c), din Propozitia 6.2.4 se numeste spatiu topologic. Deciın Propozitia 6.2.4 am demostrat ca spatiul Rn, ınzestrat cu familia de multimideschise, asa cum au fost definite ın Definitia 6.2.6, este un spatiu topologic.

Definitia 6.2.7 O multime din Rn se numeste ınchisa, daca complementara saeste o multime deschisa.

Definitia 6.2.8 Fie A ⊂ Rn si a ∈ Rn. Punctul a se numeste:

• punct interior al lui A, daca exista r > 0 astfel ıncat B(a, r) ⊂ A

• punct aderent al lui A, daca pentru orice r > 0, avem B(a, r) ∩A 6= ∅.

• punct de acumulare al lui A, daca pentru orice r > 0, avem

B(a, r) ∩A \ a 6= ∅.

Definitia 6.2.9 Fie A ⊂ Rn. Definim:

• interiorul lui A, notat cuA, multimea punctelor interioare ale lui A,

• aderenta sau ınchiderea lui A, notata cu A, multimea punctelor aderenteale lui A.

28 CAPITOLUL 6. SPATIUL RN

6.3 Siruri ın spatiul Rn

Definitia 6.3.1 Un sir (xk)k∈N se numeste convergent, daca exista a ∈ Rn,astfel ıncat, limk→∞ ‖xk − a‖ = 0. In acest caz punctul a se numeste limitasirului (xk)k∈N si se noteaza cu limk→∞ xk.

Propozitia 6.3.1 Fie sirul (xk)k∈N, unde xk = (xk 1, . . . , xk n), k ∈ N si fiepunctul a ∈ Rn, a = (a1, . . . , an). Sunt echivalente:

i) limk→∞ xk = a,ii) limk→∞ xk i = ai, pentru orice indice 1 ≤ i ≤ n.

Cu ajutorul sirurilor putem caracteriza punctele aderente, punctele de acumu-lare si multimile ınchise.

Propozitia 6.3.2 Fie A ⊂ Rn si a ∈ Rn Avem:i) a este punct aderent al multimii A, daca si numai daca, exista un sir

(xk)k∈N, de puncte din A, convergent la a.ii) a este punct de acumulare al multimii A, daca si numai daca exita un sir

de puncte (xk)k∈N, din A \ a, convergent la a.

Propozitia 6.3.3 O multime A ⊂ Rn este ınchisa, daca si numai daca orice sirconvergent de puncte din A are limita ın A.

6.4 Multimi compacte si multimi conexe

Numim acoperire cu deschisi a unei multimi A ⊂ Rn, o familie de multimideschise Di, i ∈ I cu proprietatea ca A ⊂

⋃i∈I Di.

Definitia 6.4.1 O multime A ⊂ Rn se numeste compacta, daca din orice acoperirecu deschisi a lui A se poate extrage o subacoperire finita, adica daca A ⊂

⋃i∈I Di

cu Di deschisi, exista indicii i1, . . . , ik, astfel ıncat A ⊂ Di1 ∪ . . . ∪Dik .

Teorema 6.4.1 (Borel-Lebesque) Fie A ⊂ Rn. Sunt echivalente:i) A este compacta,ii) A este marginita si ınchisa.

Definitia 6.4.2 O multime A ⊂ Rn se numeste conexa, daca nu exista douamultimi deschise D1, D2 cu proprietatile:

a) A ∩D1 6= ∅ si A ∩D2 6= ∅,b) A ⊂ D1 ∪D2 sic) A ∩D1 ∩D2 = ∅.

In caz contrar, multimea A se numeste disconexa.

Teorema 6.4.2 Orice multime convexa A ⊂ Rn este conexa.

Teorema 6.4.3 O multime din R este conexa, daca si numai daca ea este uninterval.

Capitolul 7

Limita si continuitate.

Functiile care vor interveni ın acest capitol vor fi de forma f : D → Rm, undeD ⊂ Rn, n, m ≥ 1. O astfel de functie se numeste functie scalara daca m = 1si respectiv functie vectoriala, daca m ≥ 2. De asemenea, functia f se numestede o variabila, daca n = 1 si de mai multe variabile, daca n ≥ 2.

7.1 Limite de functii

Definitia 7.1.1 Fie functia f : D → Rm, D ⊂ Rn, n ≥ 1, m ≥ 1 si fie a ∈ Rn

un punct de acumulare al lui D. Fie de asemenea l ∈ Rm. Spunem ca l estelimita functiei f ın punctul a, (sau ınca limita globala a lui f ın a), daca,pentru orice vecinatate V a lui l, exista o vecinatate U a lui a, astfel ıncat

f(U ∩D \ a) ⊂ V. (7.1)

.

Definitia 7.1.2 Daca functia f : D → Rm, D ⊂ Rn admite limita ın punctula ∈ D′, atunci limita sa, (despre care se poate arata ca este unica), se noteaza culimx→a f(x).

Propozitia 7.1.1 Fie functia f : D → Rm, D ⊂ Rn, f = (f1, . . . , fm), undefi : D → R, (1 ≤ i ≤ m). Fie a ∈ D′ si l ∈ Rm, l = (l1, . . . , lm). Suntechivalente:

i) limx→a f(x) = l,ii) limx→a fi(x) = li, pentru orice 1 ≤ i ≤ m.

Definitia 7.1.3 Fie functia f : D → Rm, D ⊂ Rn, a ∈D, v ∈ R, ;v 6= 0 si

l ∈ Rm. Spunem ca l este limita dupa directia v a lui f ın punctul a, daca:

limt→0

f(a + tv) = l. (7.2)

In cazul particular cand v = ei, 1 ≤ i ≤ n, atunci limita de mai sus se numestelimita partiala de indice i.

29

30 CAPITOLUL 7. LIMITA SI CONTINUITATE.

Exemplul 7.1.1 Functia f : R2 \ (0, 0) → R, definita prin

f(x, y) :=xy2

x2 + y4, (x, y) ∈ R2.

are ın punctul (0, 0) limite dupa orice directie egale, dar nu admite limita globala.Intr-adevar, sa consideram o dreapta arbitrara care trece prin origine. Ea poatefi reprezenta printr-o ecuatie de forma y = mx, unde m ∈ R, sau prin x = 0.Limita ın punctul (0, 0), ın raport cu directia dreptei respective este ın primulcaz: limx→0 f(x,mx) = limx→0

mx3

x2+m4x4 = limx→0mx

1+m4x2 = 0, iar ın al doilea caz:limy→0 f(0, y) = limy→0 0 = 0.

Pentru a constata ca f nu admite limita globala ın origine, sa luam (xk, yk) :=( 1k2 ,

1k ), k ≥ 1. Atunci limk→∞ f( 1

k2 ,1k ) = limk→∞

12 = 1

2 .

Propozitia 7.1.2 Fie functia f : D → Rm, D ⊂ Rn si a ∈D. Daca f admite

limita (globala) l ın punctul a, atunci ea admite limite dupa orice directie v 6= 0ın a si toate sunt egale cu l.

Teorema 7.1.1 (Heine) Fie functia f : D → Rm, D ⊂ Rn si a ∈ D′. Suntechivalente:

i) exista limx→af(x),ii) pentru orice sir (xk)k∈N de puncte xk ∈ D \ a, convergent la a, sirul

valorilor: (f(xk))k∈N este convergent.Mai mult, ın cazul cand acestea au loc, atunci

limx→a

f(x) = limk→∞

f(xk),

pentru orice sir (xk)k∈N ca mai sus.

Teorema 7.1.2 (Criteriul Cauchy-Bolzano) Fie functia f : D → Rm, D ⊂⊂ Rn si a ∈ D′. Sunt echivalente:

i) exista limx→af(x),ii) pentru orice ε > 0 exista δε > 0, astfel ıncat pentru orice puncte x, y ∈

∈ D \ a, astfel ıncat ‖x− a‖ < δε, si ‖y − a‖ < δε, avem ‖f(x)− f(y)‖ < ε.

Propozitia 7.1.3 (Criteriul majorarii) Fie D ⊂ Rn, a ∈ D′, si fie functiilef : D → Rm si ϕ : D → R. Daca exista l ∈ Rm, astfel ıncat

i) ‖f(x)− l‖ ≤ ϕ(x), pentru orice x ∈ V ∩D \ a, unde V este o vecinatatea punctului a,

ii) limx→a ϕ(x) = 0,atunci exista limx→a f(x) = l.

7.2 Functii continue ıntr-un punct

Definitia 7.2.1 Spunem ca o functie f : D → Rm, D ⊂ Rn este continua(global) ın punctul a ∈ D, daca pentru orice vecinatate V a lui f(a) exista ovecinatate U a lui a astfel ıncat f(U ∩D) ⊂ V .

7.3. FUNCTII CONTINUE PE O MULTIME 31

Propozitia 7.2.1 Fie o functie f : D → Rm, D ⊂ Rn si punctul a ∈ D. Avem:i) Daca a este un punct izolat al lui D, atunci f este continua ın a.

ii) Daca a este un punct de acumulare a lui D, atunci f este continua ın a,daca si numai daca f are limita ın a si limx→a f(x) = f(a).

Propozitia 7.2.2 O functie f : D → Rm, D ⊂ Rn, f = (f1, . . . , fm) estecontinua ın punctul a ∈ D, daca si numai daca toate functiile componente fi :D → R, 1 ≤ i ≤ m, sunt continue ın a.

Propozitia 7.2.3 O functie f : D → Rm, D ⊂ Rn este continua ın punctula ∈ D, daca si numai daca pentru orice sir (xk)k∈N, de puncte din D, avemlimk→∞ f(xk) = f(a).

Definitia 7.2.2 Fie o functie f : D → Rm, D ⊂ Rn, fie a = (a1, . . . , an) ∈ Dsi fie un indice 1 ≤ i ≤ n. Spunem ca f este continua partial ın punctula ∈ D, ın raport cu variabila de indice i, daca functia partiala ϕa,i(xi) :== f(a1, . . . , xi, . . . , an), xi ∈ xi ∈ R| (a1, . . . , xi, . . . , an) ∈ D, este continua ınpunctul ai. De asemenea, spunem simplu, ca f este continua partial ın punctula, daca ea este continua partial ın a ın raport cu toate variabilele.

Propozitia 7.2.4 Daca functia f : D → Rm, D ⊂ Rn este continua global ın a,atunci ea este continua partial ın a.

Teorema 7.2.1 Fie D ⊂ Rn, E ⊂ Rm si fie funtiile f : D → E si g : E → Rp.Fie a ∈ D si notam cu b := f(a). Daca functia f este continua ın punctul a, iarfunctia g este continua ın punctul b, atunci functia g f : D → Rp este continuaın punctul a.

7.3 Functii continue pe o multime

Definitia 7.3.1 Functia f : D → Rm, D ⊂ Rn se numeste continua pe D dacaea este continua ın orice punct din D.

Teorema 7.3.1 O functie f : D → Rm, D ⊂ Rn este continua pe D, daca sinumai daca, pentru orice multime deschisa B ⊂ Rm, exista o multime deschisaU ∈ Rn astfel ıncat f−1(B) = D ∩ U .

Teorema 7.3.2 Daca D ⊂ Rn este multime compacta si daca functia f : D →→ Rm este continua, atunci multimea f(D) este compacta.

Corolarul 7.3.1 (Teorema lui Weierstrass) Daca D ⊂ Rn este compacta,atunci orice functie continua f : D → R este marginita si ısi atinge marginile.Aceasta ınseamna ca exista, m, M ∈ R, si xm, xM ∈ D astfel ca

i) m ≤ f(x) ≤M , pentru orice x ∈ D siii) m = f(xm), M = f(xM ).

32 CAPITOLUL 7. LIMITA SI CONTINUITATE.

Teorema 7.3.3 Daca D ⊂ Rn este multime conexa, iar functia f : D → Rm estecontinua, atunci multimea f(D) este conexa.

Definitia 7.3.2 Functia f : D → Rm, D ⊂ Rn se numeste uniform continuape D daca, pentru orice ε > 0, exista δε > 0, astfel ıncat pentru orice x, y ∈ D,cu ‖x− y‖ < δε sa avem ‖f(x)− f(y)‖ < ε.

Teorema 7.3.4 Orice functie continua definita pe o multime compacta, f : D →→ Rm, D ⊂ Rn, este uniform continua pe domeniul de definitie D.

Definitia 7.3.3 O functie f : D → Rm, D ⊂ Rn, se numeste lipschitziana peD daca exista o constanta M > 0, astfel ıncat

‖f(x)− f(y)‖ ≤M · ‖x− y‖, pentru orice puncte x, y ∈ D. (7.3)

Propozitia 7.3.1 Orice functie f : D → Rm, D ⊂ Rn, care este lipschitziana peD este uniform continua pe D si orice funtie uniform continua este continua.

7.4 Aplicatii liniare

Definitia 7.4.1 O aplicatie L : Rn → Rm, n,m ≥ 1, se numeste liniaradaca ındeplineste conditia L(ax + by) = aL(x) + bL(y), pentru orice x, y ∈Rn, si orice a, b ∈ R. Notam cu L(Rn,Rm), multimea aplicatiilor liniare din Rn

ın Rm.

Vom prezenta ın continuare reprezentarea matriceala ın raport cu bazelecanonice a aplicatiilor liniare. Fie e1, . . . , en, baza canonica a spatiului Rn si fiee1, . . . , em, baza canonica a spatiului Rm. Daca L ∈ L(Rn,Rm), atunci pentruorice 1 ≤ j ≤ n exista o reprezentare unica

L(ej) =m∑i=1

ai,jei.

Matricea A := (ai,j)1≤i≤m1≤j≤n

, de ordin (m,n) se numeste matricea atasata

aplicatiei liniare L, ın raport cu bazele canonice. Reprezentare matriceala aoperatorilor liniari este:

L(x) =

y1...ym

=

a1,1 . . . a1,n

. . . . . . . . .am,1 . . . am,n

x1

...xn

.Definitia 7.4.2 Pentru orice L ∈ L(Rn,Rm) notam

‖L‖ := infM | ‖L(x)‖ ≤M‖x‖, (∀)x ∈ Rn.

Numarul ‖L‖ se numeste norma operatorului L.

Teorema 7.4.1 Pentru orice L ∈ L(Rn,Rm) si orice x ∈ Rn, avem ‖L(x)‖ ≤‖L‖ · ‖x‖. In consecinta orice aplicatie liniara este lipschitziana.

Capitolul 8

Calculul diferential

8.1 Derivate partiale

Definitia 8.1.1 Fie D ⊂ Rn, f : D → R, a ∈D, a = (a1, . . . , an). Notam

argumentii functiei f cu x1, . . . , xn. Spunem ca functia f este derivabila partialın raport cu variabila xi, 1 ≤ i ≤ n, ın punctul a daca exita numarul∂ f∂ xi

(a) ∈ R astfel ıncat are loc urmatoarea limita (de functie reala si de variabilareala):

∂ f

∂ xi(a) = lim

xi→ai

f(a1, . . . , ai−1, xi, ai+1, . . . , an)− f(a1, . . . , an)xi − ai

.

Numarul ∂ f∂ xi

(a), notat si f ′xi(a) se numeste derivata partiala a functiei f ınraport cu variabila xi, ın punctul a.

Daca functia f admite derivate partiale ın punctul a ın raport cu toate vari-abilele xi, (1 ≤ i ≤ n), atunci f se numeste derivabila partial ın punctul a.

Definitia 8.1.2 Fie D ⊂ Rn, a ∈D, v ∈ Rn, v 6= 0. Fie de asemenea functia

vectoriala f : D → Rm, f = (f1, . . . , fm), fi : D → R, (1 ≤ i ≤ m). Notamargumentii functiei f cu x1, . . . , xn. Spunem ca functia f admite derivata partialaın punctul a ın raport cu variabila xi, daca pentru orice indice (1 ≤ j ≤ m),exista ∂ fj

∂ xi(a).

Deoarece derivabilitatea partiala a functiilor vectoriale se reduce imediat, prindefinitia data la derivabilitatea functiilor scalare componente, ın continuare vomtrata doar cazul functiilor cu valori reale.

Propozitia 8.1.1 Fie D ⊂ Rn, a ∈D si f : D → R. Daca f este derivabila

partial ın raport cu variabila xi ın punctul a, atunci f este continua partial ınraport cu variabila xi ın punctul a.

Definitia 8.1.3 Fie D ⊂ Rn, a ∈D si fie functiile fi : D → R, 1 ≤ i ≤ m

derivabile partial ın punctul a. Notam argumentii acestor functii cu variabilele

33

34 CAPITOLUL 8. CALCULUL DIFERENTIAL

x1, . . . , xn. Pentru orice indici j1, . . . , jm ∈ 1, . . . , n, definim ( dupa numele luiC. Jacobi), Jacobianul functiilor f1, . . . , fm ın raport cu variabilele xj1 , . . . , xjm,determinantul de ordin m

D(f1, . . . , fm)D(xj1 , . . . , xjm)

(a) :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂ f1∂ xj1

(a) . . . ∂ f1∂ xjm

(a)...

......

∂ fm∂ xj1

(a) . . . ∂ fm∂ xjm

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .

Definitia 8.1.4 Fie D ⊂ Rn, a ∈D si f : D → R. Daca f este derivabila partial

ın punctul a, numim gradientul lui f ın punctul a, vectorul

∇ f(a) :=(∂ f

∂ x1(a), . . . ,

∂ f

∂ xn(a)).

Gradientul lui f ın a se mai noteaza si prin grad f(a).

Definitia 8.1.5 Fie D ⊂ R3, a ∈D si f : D → R3, f = (P,Q,R). Notam

argumentii lui f cu x, y, z. Daca f este derivabila partial ın punctul a, atuncidefinim:

i) rotorul lui f ın punctul a, ca fiind vectorul

rot f(a) :=(∂ R

∂ y(a)− ∂ Q

∂ z(a),

∂ P

∂ z(a)− ∂ R

∂ x(a),

∂ Q

∂ x(a)− ∂ P

∂ y(a)).

siii) divergenta lui f ın punctul a, ca fiind numarul real

div f(a) :=∂ P

∂ x(a) +

∂ Q

∂ y(a) · ∂ R

∂ z(a).

8.2 Diferentiabilitatea

Definitia 8.2.1 Fie D ⊂ Rn, a ∈D si f : D → Rm. Spunem ca functia f este

diferentiabila ın punctul a, daca exista un operator liniar L : Rn → Rm astfelca sa existe limita (ın Rm):

limx→a

f(x)− f(a)− L(x− a)‖x− a‖

= 0. (8.1)

In acest caz, operatorul L se numeste diferentiala functiei f ın punctul a si senoteaza prin df(a).

Observatia 8.2.1 Conditia de diferentiablitate poate fi exprimata echivalent, ast-fel: exista o functie ω : D → Rm, astfel ca sa avem

f(x) = f(a) + df(a)(x− a) + ‖x− a‖ω(x), (∀)x ∈ D si limx→a

ω(x) = 0. (8.2)

8.2. DIFERENTIABILITATEA 35

Definitia 8.2.2 O functie f : D → Rm, D ∈ Rn, D deschis, se numestediferentiabila pe D, daca f este diferentiabila ın orice punct a ∈ D.

Propozitia 8.2.1 Fie D ⊂ Rn, a ∈D si f : D → Rm, f = (f1, . . . , fm). Functia

f este diferentiabila ın punctul a daca si numai daca toate functiile componentefi : D → R, 1 ≤ i ≤ m sunt diferentiabile ın a. In plus, ın acest caz avemdf(a) = (df1(a), . . . ,dfm(a)).

Teorema 8.2.1 Fie D ⊂ Rn, a ∈D si f : D → R. Daca f este diferentiabila ın

punctul a, atunci ea este derivabila partial ın a si ın plus functia liniara df(a) :Rn → R este definita prin:

df(a)(h1, . . . , hn) =n∑j=1

∂ f

∂ xj(a) · hj , (∀) (h1, . . . , hn) ∈ Rn. (8.3)

Observatia 8.2.2 Notatia clasica a diferentialei este:

df(a) =n∑j=1

∂ f

∂ xj(a)dxj . (8.4)

Definitia 8.2.3 Daca D ⊂ Rn, a ∈D si functia f : D → Rm, f = (f1, . . . , fm)

este derivabila partial ın punctul a, atunci matricea

J(f,a) :=

∂ f1∂ x1

(a) . . . ∂ f1∂ xn

(a)...

......

∂ fm∂ x1

(a) . . . ∂ fm∂ xn

(a)

se numeste matricea lui Jacobi a functiei f ın punctul a.

Teorema 8.2.2 Fie D ⊂ Rn, E ⊂ Rm si functiile f : D → E si g : E → Rp.Fie punctele a ∈

D si b ∈

E astfel ca b = f(a). Daca functia f este diferentiabila

ın punctul a, iar functia g este diferentiabila ın punctul b, atunci functia g f :D → Rp este diferentiabila ın punctul a si

d(g f)(a) = dg(b) df(a). (8.5)

Propozitia 8.2.2 (Formula derivarii functiilor compuse) Fie D ⊂ Rn, E ⊂⊂ Rm si functiile f : D → E, f = (f1, . . . , fm), g : E →. Fie punctele a ∈

D

si b ∈E astfel ca b = f(a). Notam cu x1, . . . , xn argumentii functiei f si cu

y1, . . . , ym, argumentii functiei g. Daca functiile f1, . . . , fm sunt diferentiabila ınpunctul a, iar functia g este diferentiabila ın punctul b, atunci functia compusah : D → R, h = g f are derivatele partiale:

∂ h

∂ xj(a) =

m∑i=1

∂ g

∂ yi(b) · ∂ fi

∂ xj(a), 1 ≤ j ≤ n. (8.6)


Exemplul 8.2.1 Sa se calculeze ∂ f∂ x si ∂2f

∂x2 , pentru functia f(x, y) := xϕ(xy , xy),unde ϕ : R2 → R este o functie diferentiabila.

Notam argumentii lui ϕ prin u, v. Pentru simplificare, ın calculele care urmeaza,nu mai scriem argumentii functiilor, acestia fiind subantelesi. Aceasta simplificarea scrierii este uzuala ın calculele cu derivate partiale.

Avem ∂ f∂ x = ϕ+ x

[∂ ϕ∂ u

∂ u∂ x + ∂ ϕ

∂ v∂ v∂ x

]= ϕ+ x

y ·∂ ϕ∂ u + xy ∂ ϕ∂ v .

∂2f∂x2 = ∂ ϕ

∂ u ·∂ u∂ x + ∂ ϕ

∂ v ·∂ v∂ x + 1

y∂ ϕ∂ u + x

y

[∂∂u

(∂ ϕ∂ u

)· ∂ u∂ x + ∂

∂v

(∂ ϕ∂ u

)· ∂ v∂ x

]+ y ∂ ϕ∂ v +

+xy[∂∂u

(∂ ϕ∂ v

)· ∂ u∂ x + ∂

∂v

(∂ ϕ∂ v

)· ∂ v∂ x

]= 2

y ·∂ ϕ∂ u + 2y ∂ ϕ∂ v + x

y2· ∂

2ϕ∂u2 +xy2 ∂2ϕ

∂v2+ 2x ∂2

∂u∂v.

8.3 Derivate partiale si diferentiale de ordin superior

Definitia 8.3.1 Fie D ⊂ Rn, a ∈D si f : D → Rm. Notam variabilele lui f cu

x1, . . . , xn. Spunem ca f admite derivata partiala de ordinul k, k ≥ 2, ınpunctul a, ın raport cu variabilele xi1 , . . . , xik , notata ∂kf

∂xik ...∂xi1(a), sau cu

f(k)xi1 ,...,xik

(a), daca exista o vecinatate V a punctului a, astfel ca sa existe derivata

partiala ∂k−1f∂xik−1

...∂xi1(x), cand x ∈ V si aceasta sa fie derivabila partial ın raport cu

variabila xik ın punctul a, adica

∂kf

∂xik . . . ∂xi1(a) :=

∂

∂xik

(∂k−1f

∂xik−1. . . ∂xi1

)(a).

De asemenea, spunem ca functia f este diferentiabila de ordinul k ın punc-tul a, daca f admite toate derivatele partiale de ordinul k ın punctul a.

Definitia 8.3.2 O functie f : D → Rm, unde D ⊂ Rn este un deschis, senumeste derivabila partial de ordinul k pe D, k ≥ 1 daca f este derivabilapartial de ordinul k ın orice punct a ∈ D. Daca f admite derivate partiale deordinul k continue pe D spunem ca functia f este de clasa Ck pe D. Notam cuCk(D,Rm), si simplu cu Ck(D), daca m = 1, multimea functiilor de clasa Ck peD.

Definitia 8.3.3 Fie D ⊂ Rn, a ∈D si f : D → Rm. Spunem ca f este

diferentiabila de ordinul k, k ≥ 2 ın punctul a, daca f admite pe o vecinatatea lui a toate derivatele partiale de ordinul k − 1, si daca aceste derivate partialesunt diferentiabile ın punctul a.

Definitia 8.3.4 Fie D ⊂ Rn, a ∈D si f : D → R diferentiabila ın punctul a.

Numim diferentiala de ordinul k a functiei f ın punctul a, notata dkf(a),aplicatia dkf(a) : Rn × . . .×Rn︸︷︷︸

k ori

→ R, definita prin

dkf(a)(h1, . . . ,hk) =n∑

i1=1

. . .n∑

ik=1

∂kf

∂xik . . . ∂xi1(a)h1,i1 . . . hk,ik ,

pentru orice h1, . . .hk ∈ Rn, unde hj = (hj,1, . . . , hj,n), (1 ≤ j ≤ k).

8.4. POLINOMUL LUI TAYLOR. EXTREME 37

Teorema 8.3.1 Fie D ⊂ Rn, a ∈D si f : D → R. Daca f admite derivate

partiale de ordinul k pe o vecinatate a punctului a, si daca acestea sunt continueın punctul a, atunci f este diferentiabila de ordinul k ın a.

Teorema 8.3.2 (Schwartz) Fie D ⊂ R2, f : D → R si (a, b) ∈D. Notam

cu x si y argumentii lui f . Daca f admite dertivatele partiale ∂2f∂x∂y si ∂2f

∂y∂x pe ovecinatate a punctului (a, b) si daca acestea sunt continue ın punctul (a, b), atunciavem

∂2f

∂x∂y(a, b) =

∂2f

∂y∂x(a, b).

Definitia 8.3.5 Cu notatiile din Definitia 8.3.4, notam

dkf(a) · hk := dkf(a)(h, . . . ,h︸︷︷︸k ori

), h := (h1, . . . , hn).

Daca ın plus, derivatele partiale de ordinul k sunt simetrice, atunci diferentialaadmite, cu notatiile din Definitia 8.3.4 o reprezentare de forma:

dkf(a) · hk =∑

j1+...+jn=k

ji≥0, 1≤i≤n

k!(j1)! . . . (jn)!

· ∂kf

∂j1x1 . . . ∂jnxn(a) · (h1)j1 . . . (hn)jn ,

unde h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn.Pentru diferentiala de ordinul al doilea, rezulta imediat din Definitia 8.3.4,

urmatoarea reprezentare:

d2f(a) · h2 = (h1, . . . , hn)H(f,a)

h1...hn

,h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn, unde

H(f,a) :=

(∂2f

∂xi∂xj(a)

)1≤i,j≤n

,

se numeste matricea lui Hesse a functiei f ın punctul a.Cu notatiile clasice diferentiala de ordinul doi se reprezinta sub forma:

d2f(a) =n∑i=1

∂2f

∂2xi(a)(dxi)2 + 2

∑1≤i<≤n

∂2f

∂xi∂xj(a) dxi dxj . (8.7)

8.4 Polinomul lui Taylor. Extreme

Definitia 8.4.1 Fie D ⊂ Rn, a ∈D si f : D → R, diferentiabila de ordinul k ın

punctul a. Numim polinomul lui Taylor de ordin k, k ≥ 0 atasat functiei fın punctul a, functia polinomiala Ta,k(f) : Rn → R, definita prin

Ta,k(f)(x) = f(a) +11!

df(a) · (x− a) + . . .+1k!

dkf(a) · (x− a)k x ∈ Rn.


Teorema 8.4.1 (Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange) Fie D ⊂ Rn,D deschis si convex. Fie f : D → R, de clasa Ck+1, k ≥ 0 pe D. Pentru oricepuncte a, x ∈ D, exista un punct c ∈ [a,x], astfel ıncat avem:

f(x) = Ta,k(f)(x) +1

(k + 1)!dk+1(c) · (x− a)k+1.

Definitia 8.4.2 Fie D ⊂ Rn, a ∈ D si f : D → R. Spunem ca punctul aeste un punct de maxim local, (respectiv de minim local) al functiei f , dacaexista o vecinatate V a lui a astfel ca f(x) ≤ f(a), (∀)x ∈ V ∪ D, (respectivf(x) ≥ f(a), (∀)x ∈ V ∪ D). Punctul a se numeste de extrem local al lui fdaca el este de maxim local sau este de minim local.

Teorema 8.4.2 Fie D ⊂ Rn, a ∈D si f : D → R. Daca a este punct de extrem

local pentru functia f si daca f este diferentiabila ın punctul a, atunci df(a) = 0.

Teorema 8.4.3 Fie D ⊂ Rn, a ∈D si f : D → R de clasa C2 pe o vecinatate

deschisa V ⊂ D a punctului a. Presupunem cai) df(a) = 0 si

ii) forma patratica h 7→ d2f(a) · h2, h ∈ Rn este pozitiv definita, (respectivnegativ definita). Atunci a este punct de minim local, (respectiv punct de maximlocal) a lui f .

8.5 Functii implicite. Transformari regulate

Fie D ⊂ Rn+m, n ≥ 1, m ≥ 1. Vom nota elementele lui D sub forma (x,y),unde x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn si y = (y1, . . . , ym) ∈ Rm. Fie functia F : D → Rm,F = (F1, . . . , Fm). Ecuatiei

F (x,y) = 0, (8.8)

ıi corespunde o multime de solutii M ⊂ D. Daca M 6= ∅ sa notam Mx :== x ∈ Rn| (∃)y ∈ Rm, astfel ca (x,y) ∈ M. Atunci pentru orice x ∈ Mx

putem alege un y ∈ Rm, astfel ca (x,y) ∈ M . Cu alte cuvinte exista functiiϕ : Mx → Rm, astfel ca (x, ϕ(x)) ∈M, x ∈Mx, adica echivalent, F (x, ϕ(x)) = 0.Suntem condusi la urmatoarea definitie.

Definitia 8.5.1 Cu notatiile de mai sus, se numeste functie implicita definitade ecuatia (11.1), orice functie ϕ : E → Rm, E ⊂ Rn cu proprietatea ca pentruorice x ∈ E sa avem

i) (x, ϕ(x)) ∈ D siii) F (x, ϕ(x)) = 0.

Putem privi functiile implicite definite de ecuatia (11.1) ca explicitari ale vec-torului y ın functie de vectorul x, sau echivalent ca ”rezolvarea” sistemului deecuatii

Fi(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0, 1 ≤ i ≤ m

ın raport cu necunoscutele y1, . . . , ym, ın functie de parametrii x1, . . . , xn.

8.5. FUNCTII IMPLICITE. TRANSFORMARI REGULATE 39

Exemplul 8.5.1 Fie n = 1, m = 1 si functia F : R2 → R, F (x, y) = x2 + y2 −1, (x, y) ∈ R2. Multimea M a solutiilor ecuatiei F (x, y) = 0 este constituita dinpunctele aflate pe cercul de raza 1, centrat ın origine, iar proiectia Mx a acesteimultimi pe axa Ox este [−1, 1]. Observam ca exista doar doua functii implicitecontinue, definite pe [−1, 1] de ecuatia F (x, y) = 0 si anume: ϕ1(x) :=

√1− x2 si

ϕ2(x) := −√

1− x2. Mai mult observam ca daca se cunoaste un punct (a, b), careverifica conditia F (a, b) = 1 si daca a 6= ±1, atunci doar una dintre functiile ϕ1 siϕ2 are graficul trecand prin punctul (a, b). Daca ınsa a = ±1, atunci prin punctul(a, b), trec graficele ambelor functii. De asemenea avem ∂ F

∂ y (±1, 0) = 0.

Teorema 8.5.1 (Teorema functiilor implicite) Fie D ⊂ Rn+m, n ≥ 1, m ≥ 1si fie functia F : D → Rm, F = (F1, . . . , Fm). Presupunem ca exista un punct

(a,b) ∈D, astfel ıncat:

a) exista o vecinatate W ⊂ D a punctului (a,b) pe care functia F admitederivate partiale continue,

b) F (a,b) = 0,c) D(F1,...,Fm)

D(y1,...,ym) (a,b) 6= 0.Atunci exista o vecinatate deschisa U ⊂ Rn a lui a si o vecinatate deschisaV ⊂ Rm a lui b, si o functie unica ϕ : U → V , ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm) cu proprietatile:

i) ϕ(a) = b siii) pentru orice x ∈ U , avem (x, ϕ(x)) ∈ D si F (x, ϕ(x)) = 0.

De asemenea,iii) functia ϕ este de clasa C1 pe U si avem pentru orice 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n:

∂ ϕi∂ xj

(x) = − D(F1, . . . , Fm)D(y1, . . . , yi−1, xj , yi+1, . . . , ym)

(x, ϕ(x)) /D(F1, . . . , Fm)D(y1, . . . , ym)

(x, ϕ(x)).

iv) Daca functia F este de clasa Ck pe W , atunci ϕ este de clasa Ck pe U .

Exemplul 8.5.2 Sa se determine y′ si y′′, pentru functia y(x), definita implicitprin ecuatia x3 + y3 − 3xy = 0.

Notam F (x, y) := x3 + y3 − 3xy. Avem y′(x) = −∂ F∂ x∂ F∂ y

(x, y) = y−x2

y2−x . Apoi

y′′(x) = ∂∂x

(y(x)−x2

y2(x)−x

)= (y2−x)(y′−2x)−(2yy′−1)(y−x2)

(y2−x)2 = −2xy(−3xy+y3+x3)−2xy(y2−x)3 =

= − 2xy(y2−x)3 .

Definitia 8.5.2 Fie D ⊂ Rn un domeniu din Rn, adica o multime deschisa siconexa. Fie f : D → Rn, f = (f1, . . . , fn), avand argumentii x1, . . . , xn. Functiaf se numeste transformare regulata, ( sau schimbare de coordonate) pe D,daca f este de clasa C1 pe D si ın orice punct a ∈ D avem

D(f1, . . . , fn)D(x1, . . . , xn)

(a) 6= 0.


Definitia 8.5.3 Fie D ⊂ Rn, unde n ≥ 2. Fie functiile f : D → R si Fi :D → Rm, (1 ≤ i ≤ m), cu 1 ≤ m < n. Spunem ca punctul a ∈

D este punct de

maxim local, (respectiv de minim local) al functiei f cu legaturile Fi(x) = 0,x ∈ D, (1 ≤ i ≤ m), daca exista o vecinatate V ⊂ D a punctului a, astfel ıncat,pentru orice punct x ∈ V , cu proprietatea ca Fi(x) = 0, x ∈ D, (1 ≤ i ≤ m), saavem f(x) ≤ f(a), (respectiv f(x) ≥ f(a)). Un punct care este de maxim localsau de minim local cu legaturi, se numeste punct de extrem local cu legaturi.

Teorema 8.5.2 Teorema multiplicatorilor lui Lagrange Fie D ⊂ Rn si fiefunctiile f : D → R, Fi : D → Rm, (1 ≤ i ≤ m), cu 1 ≤ m < n. Presupunem ca

exista un punct a ∈D cu urmatoarele proprietati:

i) Fi(a) = 0, (1 ≤ i ≤ m),ii) exista o vecinatate deschisa U ⊂ D a punctului a, astfel ca pentru orice

punct x ∈ U care verifica conditiile Fi(x) = 0, (1 ≤ i ≤ m), diferenta f(x)− f(a)are semn constant sau este nula pe U ,

iii) functiile f , F1, . . . , Fm sunt de clasa C1 pe U ,iv) rangul matricei (∂ Fi∂ xj

(a))1≤i≤m1≤j≤n

este m.

Atunci exista vectorul , λ0 = (λ01, . . . , λ

0m) ∈ Rm, numit vectorul multiplicato-

rilor lui Lagrange, astfel ıncat dΘ(a, , λ0) = 0, unde functia Θ : D ×Rm → R,numita Lagrangeanul problemei, se defineste prin

Θ(x, λ) = f(x) +m∑i=1

λi · Fi(x), x = (x1, . . . , xn) ∈ D, λ = (λ1, . . . , λm) ∈ Rm.

Observatia 8.5.1 Conditia dΘ(a, λ0) = 0, consta ıntr-un sistem de n+m ecuatii,cu n+m necunoscute, care principial poate fi rezolvat.

Exemplul 8.5.3 Sa determinam punctele de extrem local al functiei f(x, y, z) =x−2y+2z, (x, y, z) ∈ R3, cu legatura x2+y2+z2 = 9.Pentru ceasta consideram La-grangeanul problemei L(x, y, z, λ) = x − 2y + 2z + λ(x2 + y2 ++z2−9).Din conditia dL(x, y, z) = 0, obtinem solutiile (x, y, z, λ) = ±

(−1, 2,−2, 1

2

).

Pentru a verifica daca punctul (−1, 2,−2) este punct de extrem local, procedamın felul urmator. Consideram functia ajutatoare Θ(x, y, z) = L

(x, y, z, 1

2

)=

= x − 2y + 2z + 12(x2 + y2 + z2). Avem d2Θ(x, y)(h1, h2, h3) = (h1)2 + (h2)2 +

+(h3)2, (h1, h2, h3) ∈ R3. Apoi diferentiind legatura, ın punctul (−1, 2,−2),obtinem dx− 2dy + 2dz = 0. Deoarece, dx(h1, h2, h3) = h1, dy(h1, h2, h3) = h2 sidz(h1, h2, h3) = h3, obtinem h1 = 2h2 − 2h3. Substituind ın d2Θ(x, y)(h1, h2, h3),obtinem 5(h2)2 + 5(h3)2 − 8h2h3. Aceasta forma patratica, ın variabilele h2, h3

este pozitiv definita. Deci punctul (−1, 2,−2) este punct de minim local. In modasemanator, se arata ca punctul (1,−2, 2) este punct de maxim local.

Capitolul 9

Integrala Riemann

9.1 Definitii. Criterii de integrabilitate.

Definitia 9.1.1 Se numeste diviziune a intervalului [a, b], un sir finit ordonatde puncte ∆ := a = x0 < . . . < xn = b. Notam ‖∆‖ := max1≤i≤n |xi − xi−1|.Numarul ‖∆‖ se numeste norma diviziunii ∆. Notam cu ∆[a, b], familia tuturordiviziunilor intervalului [a, b].

Definitia 9.1.2 Fie ∆ = a = x0 < . . . < xn = b ∈ ∆[a, b]. Spunem ca familiade puncte ξ = (ξi)1≤i≤n este un sistem de puncte intermediare compatibilecu diviziunea ∆, daca avem ξi ∈ [xi−1, xi], (1 ≤ i ≤ n). Notam cu S(∆) familiasistemelor de puncte intermediare compatibile cu diviziunea ∆.

Definitia 9.1.3 Pentru o functie f : [a, b] → R, o diviziune ∆ = a = x0 < . . . << xn = b si un sistem de puncte intermediare ξ = (ξi)1≤i≤n, ξi ∈ [xi−1, xi], (1 ≤≤ i ≤ n), notam cu σ∆(f, ξ) suma Riemann atasata tripletului format din f , ∆si ξ, definita prin

σ∆(f, ξ) =n∑i=1

f(ξi)(xi − xi−1).

Definitia 9.1.4 Functia f : [a, b] → R se numeste integrabila Riemann peintervalul [a, b], daca exista un numar I ∈ R, astfel ca pentru orice ε > 0, existaδε > 0 cu proprietatea ca pentru orice diviziune ∆ ∈ ∆[a, b] cu ‖∆‖ < δε si oricesistem de puncte ξ ∈ S(∆), avem

|I − σ∆(f, ξ)| < ε.

Notam f ∈ R[a, b], daca functia f este integrabila Riemann pe intervalul [a, b].

Definitia 9.1.5 Numarul unic I, care apare ın definitia precedenta din , se numesteintegrala Riemann a funtiei f si se noteaza cu

∫ ba f , sau cu

∫ ba f(x) dx, unde x

este o variabila aleasa arbitrar. De asemenea notam∫ a

bf := −

∫ b

af.

41

42 CAPITOLUL 9. INTEGRALA RIEMANN

Pentru funtiile marginite pe un interval [a, b], vom introduce sumele Darboux.

Definitia 9.1.6 Daca functia f : [a, b] → R este marginita, atunci pentru oricediviziune ∆ := a = x0 < . . . < xn = b, notam cu

S∆(f) :=n∑i=1

supx∈[xi−1, xi]

f(x) si s∆(f) :=n∑i=1

infx∈[xi−1, xi]

f(x),

sumele Darboux superioara si respectiv inferioara ale functiei f ın raport cudiviziunea ∆.

Teorema 9.1.1 Fie functia f : [a, b] → R. Sunt echivalente afirmatiile urmatoarei) f ∈ R[a, b].ii) Functia f este marginita si pentru orice ε > 0 exista δε > 0, astfel ıncat

pentru orice ∆ ∈ ∆[a, b] cu ‖∆‖ < δε si orice ξ ∈ S(∆), avem S∆(f)− s∆(f) < ε.(Criteriul lui Darboux)

iii) Functia f este marginita si pentru orice ε > 0 exista ∆ ∈ ∆[a, b] astfel caS∆(f)− s∆(f) < ε.

9.2 Primitive

Definitia 9.2.1 Fie functiile f : I → R si F : I → R, unde I este un interval alaxei reale. Spunem ca F este o primitiva a lui f pe inervalul I, daca F este deriv-abila pe I si avem F ′(x) = f(x), x ∈ I. Notam cu

∫f sau cu

∫f(x) dx mutimea

primitivelor lui f .∫f si respectiv

∫f(x) dx se numeste integrala nedefinita a

lui f .

Propozitia 9.2.1 Daca o functie f admite pe un interval, o primitiva F , atuncitoate primitivele lui f difera de F printr-o constanta aditiva. Deci avem∫

f = F + C | C ∈ R.

Un rezultat general este urmatorul:

Teorema 9.2.1 Orice functie f continua pe un interval I, admite primitive pe I.

Exista doua metode generale de a reduce calculul primitivelor unor functiila calculul primitivelor unor funtii mai simple, si anume metoda ”integrarii prinparti” si metoda ”schimbarii de variabila”.

Teorema 9.2.2 (Teorema integrarii prin parti) Fie functiile f, g : I → Rderivabile pe I. Daca functia f ′g admite primitive pe I, atunci functia fg′ admiteprimitive pe I si ın plus avem ∫

fg′ = fg −∫f ′g.

9.2. PRIMITIVE 43

Teorema 9.2.3 (Prima schimbare de variabila) Fie intervalele I, J si functiileϕ : I → J si f : J → R. Presupunem ca ϕ este derivabila pe I, iar f are primitivepe J . Daca F este o primitiva a lui f pe intervalul J , atunci F ϕ : I → R esteo primitiva a functiei (f ϕ)ϕ′ : I → R.

Observatia 9.2.1 Teorema precedenta permite reducerea calcului integralei nedef-inite

∫f(ϕ(x))ϕ′(x) dx, la calculul integralei nedefinite

∫f(t) dt.

Teorema 9.2.4 (A doua schimbare de variabila) Fie intervalele I, J si func-tiile ϕ : I → J si f : J → R. Presupunem ca ϕ este bijectiva, derivabila si cuinversa derivabila. Notam cu v : J → I, functia inversa lui ϕ. Daca F : J → Reste o primitiva a functiei fv′ pe intervalul J , atunci functia F ϕ : I → R esteo primitiva a functiei f ϕ pe intervalul I.

Observatia 9.2.2 Teorema precedenta reduce calculul integralei nedefinite∫f(ϕ(x)) dx la calculul integralei nedefinite

∫f(t)v′(t) dt.

Primitivele de baza sunt urmatoarele 1)∫(x + a)k dx = (x+a)k+1

k+1 + C, a ∈R, k 6= −1, 2)

∫ 1x+a dx = ln |x + a| + C a ∈ R, 3)

∫ 1x2+a2 dx = 1

aarctg xa +

C, a 6= 0 4)∫ 1x2−a2 dx = 1

2a ln∣∣∣x−ax+a

∣∣∣ + C, a 6= 0, 5)∫ 1√

x2±a2dx = ln |x +

√x2 ± a2|+ C, a 6= 0, 6)

∫ 1√a2−x2

dx = arcsin(

xa

)+ C, a 6= 0, 7)

∫sin x dx =

cos x+ C, 8)∫

cos x dx = − sin x+ C, 9)∫ 1

cos2 xdx = tg x + C, 10)

∫ 1sin2 x

dx =−ctg x + C, 11)

∫ax dx = ax

ln a + C, a > 0, a 6= 1.In continuare vom urmari modul de calcul al integralelor functiilor rationale si

a unor tipuri de integrale care se reduc la acestea.A. Primitivele functiilor rationale. Calculul primitivelor integralelor de forma∫ P (x)

Q(x) dx, unde P si Q sunt polinoame se face prin metoda desfacerii ın fractiisimple, parcurcand urmatorele etape:

Etapa 1. Se aplica, numai daca grP ≥ grQ, ın caz contrar se trece direct laEtapa 2. Daca grQ ≥ grP , ımpartim pe Q la P .

Etapa 2. Daca grP < grQ, atunci se descompune functia P (x)Q(x) , ın fractii simple,

folosind metoda coeficientilor nedeterminati. Fractiile simple sunt de forma:

1)α

(x+ a)n, sau 2)

βx+ γ

(x2 + bx+ c)n,

unde α, β, γ, a, b, c ∈ R, n ∈ N, n ≥ 1 si b2 < 4c.Etapa 3. Determinarea primitivelor fractiilor simple. Avem urmatoarele cazuri:

1)∫ αx+a dx = α ln |x + a| + C; 2)

∫ α(x+a)n dx = 1

1−n(x + a)1−n + C, daca n ≥ 2;

3) Integrala de forma βx+γx2+bx+cn

, β, γ, b, c ∈ R, b2 < 4c, se reduce la integrala∫ βt+δt2+d2n

dt, cu ajutorul schimbarii de variabila t = x+ b2 , unde am notat d2 := c− b2

4

si δ := γ− βb2 , iar aceasta se desface ın suma a doua integrale. Daca n = 1 ambele

integrale rezultate sunt imediate, iar ın cazul n ≥ 2, integrala∫ 1

(t2+d2)ndt se face

stabilind o formula de recurenta, ıntimp ce cea de a doua este imediata.

44 CAPITOLUL 9. INTEGRALA RIEMANN

B. Primitivele unor clase de functii reductibile la cele rationale

Tipul B1. La integrale de forma:∫R(x, n

√ax+bcx+d

)dx, unde R este o functie

rationala de doua variabile, se poate face schimbarea de variabila t = n

√ax+bcx+d .

Tipul B2. La integrale de forma∫R(x,

√ax2 + bx+ c) dx, undeR este o functie

rationala de doua variabile, putem folosi una din urmatoarele substutii: 1) Dacaa > 0, atunci

√ax2 + bx+ c =

√ax + t; 2) Daca c > 0, atunci

√ax2 + bx+ c =√

c + tx, 3) Daca ∆ > 0, atunci√ax2 + bx+ c = t(x − α), unde α ∈ R este o

radacina a polinomului ax2 + bx+ c.Tipul B3. La integralele de forma

∫xm(axn + b)p dx, unde a, b ∈ R, a, b 6= 0,

m, n, p ∈ Q, putem folosi urmatoarele substitutii, 1) Daca p ∈ Z, atunci t = xr,unde r ∈ N este numitorul comun ale numerelor rationale m si n; 2) Daca p 6∈ Zsi m+1

n ∈ Z atunci t = s√axn + b, unde s este numitorul lui p si 3) Daca p 6∈ Z si

m+1n 6∈ Z, dar m+1

n + p ∈ Z, atunci t = s√a+ bx−n, unde s este numitorul lui p.

Tipul B4. La integralele de forma∫R(sin x, cos x) dx, unde R este o functie

rationala de doua variabile, se poate face schimbarea de variabila t = tg x2 . Daca

putem scrie R(sin x, cos x) = f(tg x), se face schimbarea t = tg x, daca putemscrie R(sin x, cos x) = sinxf(cosx) se face schimbarea t = cosx, iar daca putemscrie R(sin x, cos x) = cosxf(sinx) se face schimbarea t = sinx.

9.3 Proprietatile integralei Riemann

Teorema 9.3.1 (Formula Leibniz-Newton) Daca f ∈ R[a, b] si daca F admiteo primitiva F pe intervalul [a, b], atunci avem∫ b

af = F (b)− F (a).

Teorema 9.3.2 (Proprietatea de liniaritate) Daca f, g ∈ R[a, b], atunci pen-tru orice α, β ∈ R avem αf + βg ∈∈ R[a, b] si

∫ ba (αf + βg) = α

∫ ba f + β

∫ ba g.

Teorema 9.3.3 (Proprietatea de monotonie) Daca f, g ∈ R[a, b] si f ≤ g,atunci

∫ ba f ≤

∫ ba g.

Teorema 9.3.4 Daca f ∈ R[a, b] si exista constantele m, M ∈ R astfel ca m ≤f ≤M , atunci m(b− a) ≤

∫ ba f ≤M(b− a).

Teorema 9.3.5 Daca f ∈ R[a, b], atunci |∫ ba f | ≤

∫ ba |f |.

Teorema 9.3.6 (Proprietatea de aditivitate la interval) Daca f ∈ R[a, b] sic ∈ (a, b), atunci

∫ ba f =

∫ ca f +

∫ ba f .

Teorema 9.3.7 (Teorema I de medie) Daca f ∈ C[a, b], atunci exista unpunct c ∈ [a, b] astfel ca

∫ ba f = f(c)(b− a).

Capitolul 10

Integrala multipla

10.1 Masura Jordan

Definitia 10.1.1 Numim cub n - dimensional, (sau simplu cub), oricem multimedin Rn de forma C = I1 × . . .× In, unde pentru orice indice 1 ≤ i ≤ n, Ii este uninterval marginit din R, adica un interval de una din urmatoarele forme: (a, b),(a, b], [a, b), [a, b], a ≤ b. Cubul se va numi deschis, daca toate intervalele Ii suntdeschise si se va numi ınchis, daca aceste intervale sunt ınchise.

Pentru orice astfel de cub, consideram volumul sau, numarul, definit prin

vol(C) = l(I1) · l(I2) . . . l(In),

unde pentru orice indice 1 ≤ i ≤ n, l(Ii) reprezinta lungimea intervalului Ii.

Definitia 10.1.2 Numim multime elementara ın Rn, orice multime E ⊂ Rn

care se poate reprezenta ca o reuniune finita de cuburi n - dimensionale. Notamcu E(Rn), familia multimilor elementare din Rn.

Definitia 10.1.3 Fie E ∈ E(Rn), E =p⊔i=1

Cp, unde Ci, 1 ≤ i ≤ n sunt cuburi

n- dimensionale cu proprietatea caCi ∩

Cj= ∅, pentru orice i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n.

Definim volumul lui E ca fiind numarul:

vol(E) :=p∑i=1

vol(Ci).

Definitia 10.1.4 Pentru orice multime A ∈ B(Rn), definim masura Jordaninterioara, numarul:

λi(A) := supvol(E) | E ∈ E(Rn), E ⊂ A,

si definim masura Jordan exterioara, numarul:

λe(A) := infvol(F ) | F ∈ E(Rn), A ⊂ F.

45

46 CAPITOLUL 10. INTEGRALA MULTIPLA

Definitia 10.1.5 O multime A ∈ B(Rn) se numeste masurabila Jordan, dacaavem

λi(A) = λe(A).

Daca mutimea A este masurabila Jordan, notam cu λ(A), valoarea comuna a luiλi(A) si λe(A) si numim acest numar masura Jordan a lui A.

Notam cu M(Rn) familia multimilor masurabile Jordan.

10.2 Integrabilitatea Riemann multipla

Notam cu Mc(Rn) familia multimilor din Rn care sunt compacte, (echivalentmarginite si ınchise) si care au interiorul nevid.

Definitia 10.2.1 Fie D ∈ Mc(Rn). O familie finita ∆ = D1, . . . , Dp senumeste diviziune a multimii D daca are urmatoarele proprietacti:

a)p⋃i=1

Di = D,

b)Di ∩

Dj= ∅, pentru orice 1 ≤ i, j ≤ p, i 6= j,

c) Di ∈Mc(Rn) si λ(Di) > 0, pentru orice 1 ≤ i ≤ p.Pentru o astfel de diviziune ∆, vom nota cu ‖∆‖, norma diviziunii, definitaprin

‖δ‖ := max1≤i≤p

δ(Di),

unde δ(Di) := sup‖x− y‖ | x, y ∈ Di este diametrul multimii Di.Notam cu ∆(D), familia diviziunilor lui D.

Definitia 10.2.2 Fie D ∈ Mc(Rn) si fie ∆ ∈ ∆(D), ∆ = D1, . . . , Dp. Unsistem de puncte c = (ci)1≤i≤p, cu propietatea ci ∈ Di, 1 ≤ i ≤ p se numestecompatibil cu diviziunea ∆. Notam cu S(∆) familia sistemelor de puncteintermediare compatibile cu diviziunea ∆.

Definitia 10.2.3 Fie D ∈ Mc(Rn), f : D → R, ∆ ∈ ∆(D), ∆ = D1, . . . , Dpsi c ∈ S(∆), c = (ci)1≤i≤p. Numarul

σ∆(f, c) :=p∑i=1

f(ci)λ(Di),

se numeste suma Riemann atasata functiei f ın raport cu diviziunea ∆ si cusistemul de puncte intermediare c.

Definitia 10.2.4 Functia f : D → R, unde D ∈ Mc(Rn), se numeste integra-bila pe D, daca exista un numar I ∈ R astfel ca pentru orice ε > 0, sa existeδε > 0, astfel ca pentru orice ∆ ∈ ∆(D) cu ‖∆‖ < δε si pentru orice c ∈ S(∆) saavem

|σ∆(f, c)− I| < ε.

10.3. CALCULUL INTEGRALELOR MULTIPLE 47

In acest caz numarul I se numeste integrala Riemann sau integrala multipla alui f pe D si se noteaza cu

∫Df , sau

∫Df(x) dx, sau ca cu

∫Df(x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn.

Daca n = 2, integrala multipla se numeste integrala dubla si se mai noteaza cu∫∫D f(x, y) dx dy. Daca n = 3, integrala multipla se numeste integrala tripla si se

mai noteaza cu∫∫∫D f(x, y, z) dx dy dz.

Notam cu R(D) familia functiilor integrabile pe D.

Enuntam ın continuare princi[alele proprietati ale integralei multiple:

Teorema 10.2.1 Fie D ∈Mc(Rn).i) Daca f, g ∈ R(D), atunci pentru orice α, β ∈ R, avem αf + βg ∈ R(D) si∫

D(αf + βg) = α∫D f + β

∫D g (Proprietatea de limiaritate)

ii) Daca f, g ∈ R(D), atunci fg ∈ R(D).iii) Daca f ∈ R(D), atunci |f | ∈ R(D).

Teorema 10.2.2 (Proprietatea de aditivitate la domeniu) Fie D ∈Mc(Rn)si f : D → R. Presupunem ca aven descompunerea D = D1 ∪D2, unde D1, D2 ∈∈ Mc(Rn) si

D1 ∩

D2= ∅. Daca f ∈ R(D), atunci exista egalitatea:

∫D f =∫

D1f +

∫D2f.

Teorema 10.2.3 Fie D ∈Mc(Rn). Avem:i) Daca f : D → R este o functie constanta, f(x) = a, (x ∈ D),

∫D f = aλ(D).

ii) Daca f ∈ R(D) are proprietatea f(x) ≥ 0 , (∀)x ∈ D, atunci∫D f ≥ 0

(Proprietatea de pozitivitate).iii) Daca f, g ∈ R(D) au proprietatea ca f(x) ≤ g(x), (∀)x ∈ D, atunci∫

D f ≤∫D g (Proprietatea de monotonie).

iv) Pentru orice f ∈ R(D) avem |∫D f | ≤

∫d |f |.

v) Pentru orice f ∈ R(D) avem mλ(D) ≤∫D f ≤ Mλ(D), unde m :=

= infx∈D

f(x), iar M := supx∈D

f(x).

vi) Daca f ∈ C(D) si D este multime conexa, atunci exista un punct c ∈ D,astfel ca

∫D f = f(c)λ(D)(Teorema de medie).

10.3 Calculul integralelor multiple

Motoda de baza al calcului integralelor multiple este data de formula de iterare,care reduce integrala a unei functii de mai multe variabile, la integrala unei functiicu un numar mai mic de variabile. In final calculul integralelor functiilor de maimulte variabile se reduce la calculul integralelor functiilor de o variabila.

Teorema 10.3.1 Fie D ∈ Rn si fie ϕ, ψ : D → R, doua functii continue, astfel caϕ(x) ≤ ψ(x), (x ∈ D). Consideram multimea Kϕ,ψ := (x, y)|x ∈ D, ϕ(x) ≤ y ≤ψ(x), Daca f : Kϕ,ψ → R, este continua, atunci exista si sunt egale urmatoarele

48 CAPITOLUL 10. INTEGRALA MULTIPLA

integrale: ∫Kϕ,ψ

f(x1, . . . , xn, y)dx1 . . . dxn dy =∫Ddx1 . . . dxn . . . dxn

∫ ψ(x1,...,xn)

ϕ(x1,...,xn)f(x1, . . . , xn, y) dy.

O alta metoda de calcul al integralelor multiple este data de schimbarea devariabila.

Teorema 10.3.2 (Teorema schimbarii de variabila) Fie ϕ : U → V , undifeomorfism, ıntre multimile deschise U, V ⊂ Rn, ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn). Daca A ⊂U, A ∈Mc(Rn) si f : ϕ(A) → R este o functie continua, atunci avem∫

ϕ(A)f(y) dy =

∫Af(ϕ(x)) ·

∣∣∣∣D(ϕ1, . . . , ϕn)D(x1, . . . , xn)

∣∣∣∣ dx1 . . . dxn. (10.1)

Exemplul 10.3.1 Sa calculam∫∫D xy dx dy, unde D = (x, y) ∈ R2 | y ≥ x2, y ≤

x+ 2. Determinam intersectia curbelor y = x2 si y = x+ 2. Rezolvand sistemulcelor doua ecuatii, obtinem solutiile x = −1, y = 1 si x = 2, y = 4. Deci multimeaD poate fi reprezentata sub forma D = (x, y) ∈ R2 | x ∈ [−1, 2], x2 ≤ y ≤x + 2. Aplicand Corolarul 10.3.1, obtinem:

∫∫D xy dx dy =

∫ 2−1 dx

∫ x+2x2 xy dy =∫ 2

−1

[12xy

2∣∣∣x+2x2

]dx = 1

2

∫ 2−1 x[(x+ 2)2 − x4] dx etc.

Exemplul 10.3.2 Sa se calculeze∫∫D x dx dy, unde D = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤

4, x ≤ y.

Facem schimbarea de variabile: x = ρ cos t, y = ρ sin t, ρ ∈ [0,∞), t ∈ [0, 2π].Variabilele ρ, t se numesc coordonatele polare ale punctului (x, y), ın timpce variabilele x, y se numesc coordonatele carteziene ale acestui punct. Ine-galitatile x2 + y2 ≤ 4 si x ≤ y se transcriu ın coordonate polare sub forma ρ ≤ 2 sirespectiv cos t ≤ sin t. Ultima inegalitate este echivalenta, cu 1

4π ≤ t ≤ 34π Daca

notam ϕ(ρ, t) = (x(ρ, t), y(ρ, t)), (ρ, t) ∈ [0,∞)×R, atunci avem D = ϕ(Ω), undeΩ = [0, 2]×

[14π,

34π]. Tinand cont de relatia D(x,y)

D(ρ,t) = ρ, avem :

∫∫Dx dx dy =

∫∫Ωx(ρ, t)

∣∣∣∣D(x, y)D(ρ, t)

∣∣∣∣ dρ dt =∫∫Ωx(ρ, t)

∣∣∣∣D(x, y)D(ρ, t)

∣∣∣∣ dρ dt =∫ 2

0dρ

∫ 34π

14πρ2 cos t dt =

=∫ 2

0

[ρ2 sin t

∣∣∣∣ 34π14π

]dρ = −

√2∫ 2

0ρ2 dρ = −8

√2

3.

Capitolul 11

Integrale improprii. Integralecu parametru

11.1 Integrale improprii

Definitia 11.1.1 Daca I ⊂ R este un interval, notam cu RI multimea functiilorf : I → R care sunt integrabile Riemann pe orce subinterval compact [c, d] din I.

Definitia 11.1.2 Fie f ∈ R[a,b), unde a ∈ R si b ∈ R, sau b = ∞. Spunemca functia f este integrabila impropriu pe intervalul [a, b), daca exista si estefinita limita

limB→b

∫ B

af. (11.1)

Limita de mai sus se numeste integrala improprie a lui f pe intervalul [a, b) sise noteaza prin

∫[a,b)

f , sau∫

[a,b)

f(x) dx. Vom spune ca integrala∫

[a,b)

f este conver-

genta, daca functia f este integrabila impropriu pe [a, b) si vom spune ca aceastaintegrala este divergenta, ın caz contrar.

In mod analog se definesc integralele improprii pe intervale semideschise deforma (a, b], unde a ∈ R ∪ −∞, b ∈ R.

Definitia 11.1.3 O functie f ∈ R(a,b), unde a ∈ R sau a = −∞, iar b ∈ Rsau b = ∞ se numeste integrabila improprie pe (a, b), daca exista un punctc ∈ (a, b), astfel ca ambele integrale improprii

∫(a,c]

f si∫

[c,b)

f sa fie convergente. In

acest caz se definecste ∫(a,b)

f :=∫

(a,c]

f +∫

[c,b)

f.

Teoria acetor integrale se poate reduce la cazul integralele de forma∫

[a, b)

f .

49

50CAPITOLUL 11. INTEGRALE IMPROPRII. INTEGRALE CU PARAMETRU

Teorema 11.1.1 (Criteriul absolutei convergente) Fie f ∈ R[a, b). Dacaintegrala improprie

∫[a, b)

|f | este convergenta, atunci integrala improprie∫

[a, b)

f este

convergenta.

Pentru integralele improprii a functiilor pozitive avem urmatoarele criterii decomparatie.

Teorema 11.1.2 (Criteriul de comparatie cu inegalitati) Fie f, g ∈ R[a,b),astfel ca 0 ≤ f ≤ g.

i) Daca integrala∫

[a, b)

g converge, atunci integrala∫

[a, b)

f converge.

ii) Daca∫

[a, b)

f = ∞, atunci∫

[a, b)

g = ∞.

Teorema 11.1.3 (Criteriul de comparatie cu limita) Fie f, g ∈ R[a,b), astfelca f > 0, g > 0. Daca exista l ∈ (0, ∞) astfel ca

limxb

f(x)g(x)

= l,

atunci integralele improprii∫

[a, b)

f si∫

[a, b)

g au aceeasi natura.

11.2 Integrale cu parametru

Definitia 11.2.1 Fie I, J intervale din R. Fie f : I × J → R o functie cuproprietatea ca pentru orice punct x ∈ J , avem f(·, x) ∈ RI . Fie de asemeneafunctiile ϕ, ψ : J → I. Functia F : J → R, definita prin

F (x) :=∫ ψ(x)

ϕ(x)f(t, x) dt, (x ∈ J), (11.2)

se numeste integrala cu parametru (cu capete variabile). Daca functiile ϕsiψ sunt constante: ϕ(x) = a, ψ(x) = b, x ∈ J , atunci integrala cu parametru senumeste integrala cu parametru cu capete fixe.

Teorema 11.2.1 Daca functia f : I × J → R este continua global pe I × J , iarfunctiile ϕ, ψ sunt continue pe J , atunci functia F : J → R, definita ın (11.2)este continua pe J .

Teorema 11.2.2 Daca functia f : I × J → R, (t, x) 7→ f(t, x), (t, x) ∈ I × J ,admite derivata partiala ∂f

∂x , continua global pe I × J , iar functiile ϕ, ψ admitderivate partiale continue pe J , atunci are loc formula:

F ′(x) = f(ψ(x), x)ϕ′(x)− f(ϕ(x), x)ϕ′(x) +∫ ψ(x)

ϕ(x)

∂f

∂x(t, x) dt, (x ∈ J). (11.3)

Teorema 11.2.3 Daca f : [a, b]× [c, d] → R este continua, atunci exista si suntegale integralele iterate urmatoare:∫ b

a

[∫ d

cf(t, x) dx

]dt =

∫ d

c

[∫ b

af(t, x) dt

]dx. (11.4)

11.3. INTEGRALE IMPROPRII CU PARAMETRU 51

11.3 Integrale improprii cu parametru

Definitia 11.3.1 Fie functia f : [a, b) × J → R, unde b ∈ R ∪ ∞, iar J ⊂ Reste un interval. Presupunem ca, pentru orice x ∈ J , f(·, x) ∈ R[a, b) si integralaimproprie

∫[a,b)

f(t, x) dt este convergenta. Functia F : J → R, definita prin:

F (x) :=∫[a,b)

f(t, x) dt, x ∈ J, (11.5)

se numeste integrala improprie cu parametru.

Definitia 11.3.2 In conditiile din Definitia 11.3.1, spunem ca integrala cu parametruF : J → R, definita prin relatia (11.5) este uniform convergenta pe J , dacapentru orice ε > 0, exista, bε ∈ (a, b), astfel ca, pentru orice B ∈ (bε, b) si oricex ∈ J sa avem ∣∣∣∣∣

∫[a,b)

f(t, x) dt−∫ B

af(t, x) dt

∣∣∣∣∣ < ε.

Teorema 11.3.1 (Criteriul lui Weierstrass) Fie functia f : [a, b) × J → R,unde b ∈ R ∪ ∞, iar J ⊂ R este un interval. Presupunem ca, pentru oricex ∈ J , f(·, x) ∈ R[a, b). De asemenea, presupunem ca exista o functie ϕ ∈ R[a, b)

cu urmatoarele proprietati:1) |f(t, x)| ≤ ϕ(t), pentru orice (t, x) ∈ [a, b)× J si2) integrala improprie

∫[a,b)

ϕ este convergenta. Atunci functia F : J → R

definita prin relatia (11.5) este uniform convergenta pe J .

Teorema 11.3.2 Daca functia f : [a, b)× J → R, este continua global, iar inte-grala cu parametru F : J → R, definita ın (11.5) este uniform convergenta pe J ,atunci functia F este continua pe J ,

Teorema 11.3.3 Fie functia f : [a, b)× J → R, J interval, care admite derivatapartiala ∂f

∂x , continua global pe [a, b)× J . Presupunem ca:1) pentru orice x ∈ J , integrala improprie

∫[a,b)

f(t, x) dt este convergenta, si

2) integrala cu parametru∫

[a,b)

∂f∂x (t, x) dt, este uniform convergenta ın raport cu

x ∈ J .Atunci functia F : J → R, definita ın (11.5) este derivabila continuu pe J si

F ′(x) =∫

[a,b)

∂f

∂x(t, x) dt, x ∈ J.

Teorema 11.3.4 Daca functia f : [a, b)× J → R, unde J = [c, d], este continuaglobol, iar integrala cu parametru F : J → R, definita ın (11.5) este uniformconvergenta pe J , atunci exista egalitatea:∫ d

c

[∫[a,b)

f(t, x) dt

]dx =

∫[a,b)

[∫ d

cf(t, x) dx

]dt.

52CAPITOLUL 11. INTEGRALE IMPROPRII. INTEGRALE CU PARAMETRU

In ıncheierea acestui paragraf prezentam functiile lui Euler, care se definescfolosind integrale improprii cu parametru.

Definitia 11.3.3 Functia beta se defineste prin:

B(a, b) :=∫ 1−0

0+0ta−1(1− t)b−1 dt, a > 0, b > 0.

Definitia 11.3.4 Functia gama se defineste prin:

Γ(a) :=∫ ∞

0ta−1e−t dt, a > 0.

Principalele proprietati ale acestor functii le prezentam ın teorema urmatoare:

Teorema 11.3.5 Avem:1) Functia B(a, b), (a, b) ∈ (0,∞) × (0,∞), exista si este indefinit derivabila

pe domeniul de definitie.2) Functia Γ(a), a ∈ (0,∞), exista si este indefinit derivabila pe domeniul de

definitie.3) B(a, b) = B(b, a), (a, b) ∈ (0,∞)× (0,∞).4) B(a, b) = Γ(a)Γ(b)

Γ(a+b) , a > 0, b > 0.5) Γ(a+ 1) = aΓ(a), a > 0.6) Γ(n+ 1) = n!, n ∈ N.7) Γ(a)Γ(1− a) = π

sin πa , a ∈ (0, 1).

Exemplul 11.3.1 Sa calculam integrala improprie I =∞∫1

dxx4+1

, folosind functiile

lui Euler. Daca facem schimbarea de variabila y = 1x4+1

, obtinem

I =∫ ∞

0+0

dx

x4 + 1=

14

∫ 1−0

0+0y−

14 (1− y)−

34dy =

14B

(34,14

)=

14·Γ(

34

)Γ(

14

)Γ(1)

=

=14· π

sin π4

=√

24π.

Exemplul 11.3.2 Sa calculam integrala cu parametru I(a) :=π2−0∫

0+0

arctg(atgx)tg x dx, a ∈

R, folosind metoda derivarii ın raport cu parametru. Sa notam , pentru a ∈ R fixatFa(x) = arctg(atgx)

tg x , x ∈(0, π2

). Functia Fa se poate prelungi prin continuitate ın

capetele intervalului, prin F (0) = a si F(π2

)= 0. Atunci I(a) =

π2∫0Fa(x) dx. Deci

I(a) poate fi considerata integrala neimproprie. Avem, I ′(a) =π2∫0

11+a2(tg x)2

dx. Cu

schimbarea de variabila t = tg x2 , ajungem la rezultatul I ′(a) = π

2 ·1

a+1 . AtunciI(a) = π

2 · ln |a+ 1|+ C. Deoarece I(0) = 0, obtinem I(a) = π2 · ln |a+ 1|, a ∈ R.

Capitolul 12

Integrale curbilinii

In acest capitol vom trata problema integrarii functiilor reale de mai multe variabile”de-a lungul” curbelor parametrizate (drumurilor) din spatiul Rn.

12.1 Drumuri si curbe ın spatiul Rn

Definitia 12.1.1 O functie continua γ = (γ1, γ2, · · · , γn) : [a, b] → Rn se numestedrum din spatiul Rn. Multimea γ = γ([a, b]) ⊂ Rn (imaginea functiei γ) estesuportul drumului.

Drumul γ se numeste:

• ınchis, daca γ(a) = γ(b);

• simplu, daca este o functie injectiva pe [a, b);

• neted, daca este o functie de clasa C1 (derivabila, cu derivata continua).

Fie drumurile γ1 : [a, b] → Rn, γ2 : [c, d] → Rn, cu γ1(b) = γ2(c). Drumulnotat γ∪γ2 : [a, b+ d− c] → Rn, definit prin :

(γ1 ∪ γ2)(t) =

γ1(t), t ∈ [a, b]γ2(t− b+ c), t ∈ [b, b+ d− c]

se numeste suma drumurilor γ1 si γ2.Drumul γ− : [a, b] → Rn definit prin:

γ−(t) = γ(a+ b− t), t ∈ [a, b]

se numeste opusul drumului γ : [a, b] → Rn.

Pentru a ”identifica” doua drumuri de acelasi tip, vom defini pe multimeadrumurilor din Rn o relatie de echivalenta.

Definitia 12.1.2 Doua drumuri γ1 : [a, b] → Rn si γ2 : [c, d] → Rn se numescechivalente si notam γ1 ∼ γ2 daca exista o functie continua, strict crescatoare sisurjectiva φ : [c, d] → [a, b] astfel ıncat γ2 = γ1 φ.

53

54 CAPITOLUL 12. INTEGRALE CURBILINII

Putem verifica cu usurinta ca relatia ” ∼ ” definita mai sus este o relatie deechivalenta pe multimea drumurilor din Rn. De asemenea constatam ca douadrumuri echivalente au aceleasi extremitati si pot fi numai simultan ınchise, simple.Pentru echivalenta drumurilor netede, putem presupune suplimentar ca functia φdin definitia de mai sus este de clasa C1.

Definitia 12.1.3 O curba Γ din spatiul Rn se defineste ca o clasa de drumuriechivalente. Orice drum γ apartinand clasei respective se numeste o parametrizarea curbei Γ.

Curba se numeste simpla (ınchisa, neteda) daca parametrizarile sale sunt simple(ınchise, netede). Din proprietatile variatiei marginite a functiilor reale deducemformula de calcul a lungimii unei curbe netede (cu parametrizari netede).

Definitia 12.1.4 Fie Γ o curba neteda care admite parametrizarea neteda γ :[a, b] → Rn, γ = (γ1, γ2, · · · , γn). Atunci lungimea sa se defineste prin formula

l(Γ) =∫ b

a‖γ′(t)‖ dt =

∫ b

a

√√√√ n∑i=1

(γ′i(t))2 dt.

Formula de mai sus este independentade parametrizarea curbei Γ.

12.2 Integrala curbilinie de prima speta

Fie Γ o curba neteda din Rn iar γ : [a, b] → R o parametrizare a sa. Fie deasemenea o functie continua f : D ⊂ Rn → R, cu γ ⊂ D.

Definitia 12.2.1 Se numeste integrala curbilinie de prima speta pe curba Γ, cuparametrizarea γ, numarul real

∫γf dl =

∫ b

af(γ(t))‖γ′(t)‖ dt =

∫ b

af(γ(t))

√√√√ n∑i=1

(γ′i(t))2 dt.

Definitia de mai sus a integralei curbilinii de prima speta este independenta deparametrizari. Prezentam cateva proprietati fundamentale ale acestui tip de inte-grala curbilinie, considerand parametrizari fixate.

1.∫γ1∪γ2 f dl =

∫γ1f dl +

∫γ2f dl;

2.∫γ(α1f1 + α2f2) dl = α1

∫γ f1 dl + α2

∫γ f2 dl, α1, α2 ∈ R;

3.∫γ 1 dl = l(γ);

4.∫γ− f dl =

∫γ f dl.

12.3. INTEGRALA CURBILINIE DE SPETA A DOUA 55

12.3 Integrala curbilinie de speta a doua

Vom defini ın continuare un alt tip de integrala curbilinie constand ın integrareaformelor diferentiabile de gradul I de-a lungul curbelor rectificabile din Rn.

Fie aplicatiile dxi ∈ L(Rn,R) de proiectie de indice i ∈ 1, 2, · · · , n definiteprin

dxi(t1, t2, · · · , tn) = ti, t = (t1, t2, · · · , tn) ∈ Rn, i = 1, 2, · · · , n.

Fie o multime deschisa U ⊂ Rn si aplicatiile continue Pi : U → R, i = 1, 2, · · · , n.

Definitia 12.3.1 Aplicatia continua ω : U → L(Rn,R), ω = P1dx1 + P2dx2 +· · ·Pndxn, cu

ω(t) = P1(t)dx1 + P2(t)dx2 + · · ·Pn(t)dxn, t ∈ U,

se numeste forma diferentiabilade gradul I.Forma ω se numeste:

• exacta, daca exista o functie de clasa C1 f : U → R astfel ıncat ω = df (deci∂f∂xi

= Pi, i = 1, 2, · · · , n) pe domeniul U .

• ınchisa, daca functiile Pi sunt de clasa C1 pe domeniul U si satisfac relatiile∂Pj∂xi

= ∂Pi∂xj

, (∀) i 6= j.

Definitia 12.3.2 Numim integrala curbilinie de speta a doua a formei diferentiabile

de gradul I ω =n∑i=1

Pidxi : U → L(Rn,R), de-a lungul curbei netede, cu parametrizarea

γ : [a, b] → U , numarul real∫γω =

∫ b

a

(P1(γ(t))γ′1(t) + P2(γ(t))γ′2(t) + · · ·+ Pn(γ(t))γ′n(t)

)dt.

Definitia de mai sus este independenta de parametrizarea curbei Γ.Proprietatile elementare ale integralei curbilinii de speta a doua, pentru parametrizari

fixate, sunt urmatoarele:

1.∫γ1∪γ2 ω =

∫γ1ω +

∫γ2ω;

2.∫γ(α1ω1 + α2ω2) = α1

∫γ ω1 + α2

∫γ ω2, α1, α2 ∈ R;

3.∫γ− ω = −

∫γ ω.

Un rezultat fundamental legat de ”independenta de drum” a integralei curbiliniide speta a doua este dat de teorema urmatoare.

Teorema 12.3.1 Fie U ⊂ Rn o multime conexa si deschisa si ω o forma diferentiabilade gradul I definitape U . Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(i) pentru oricare doua drumuri netede cu suportul ın U , γ1 si γ2, avand acelasi”capat de plecare” si acelasi ”capat de sosire” avem∫

γ1ω =

∫γ2ω

56 CAPITOLUL 12. INTEGRALE CURBILINII

(ii) pentru orice drum rectificabil ınchis γ cu suportul ın U avem∫γω = 0

(iii) ω este o forma diferentiabila exacta.In acest caz, daca ω = df pe domeniul U , iar γ este un drum neted cu suportul ınU , ce uneste punctele x, y ∈ U , avem∫

γω =

∫ y

xω = f(x)− f(y).

Urmatoarea teorema stabileste legatura ıntre notiunile de forma diferentiabila ex-acta si respectiv ınchisa.

Teorema 12.3.2 Fie ω =n∑i=1

Pidxi o forma diferentiabila, cu Pi de clasa C1 pe

o multime deschisa si convexa. Atunci ω este exacta daca si numai daca esteınchisa.

In final vom enunta Teorema lui Green, care stabileste o legatura ıntre integralacurbilinii de speta a doua pe drumuri ınchise, simple din spatiul R2 si integraladuba. Mentinam urmatorul rezultat:

Teorema 12.3.3 (Jordan) Orice drum ınchis si simpluγ din R2, descompunespatiul R2 ın: R2 = D ∪ E ∪ γ, unde γ este imaginea lui γ, D c si E suntmultimi deschise si disjuncte, γ = FrD = FrE si astfel ca D este multimemaginita, iar E este multime nemarginita. Multimea D se numeste interioruldrumului γ, iar multimea E se numeste exteriorul drumului ga.

Pentru un drum ınchis, se poate preciza sensul de parcurgere, care poatefi direct sau invers si care corespunde intuitiv, sensului direct trigonometric sirespectiv invers trigonometric care se considera pe un cerc. Definitia riguroasa asensului unui drum ınchis, o vom omite.

Teorema 12.3.4 Fie U ⊂ R2 o multime deschisa si convexa si fie P, Q : U → R,doua functii de clasa C1 pe U . Fie de asemenea un drum simplu si ınchis γ ınU cu sens direct, cu imaginea notata γ. Notam cu D1 interiorul drumului γ, siD = D1 ∪ γ. Presupunem ca D ∈M(R2). Avem formula:∫

γ

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =∫∫

D

(∂Q

∂x(x, y)− ∂P

∂y(x, y)

)dx dy. (12.1)

Universitatea ”Transilvania” din BrasovFacultatea: Matematica si Informatica, DIDIFR - BrasovSpecializarea: Informatica, anul I, an univ. 2005-2006

ANALIZA MATEMATICA

Tema de verificare 1

1. Sa se studieze convergenta seriei numerice

∑n≥1

n!p(p + 1) . . . (p + n− 1)

ın raport cu parametrul real p > 0.2. Sa se arate ca sirul de functii fn : [1,∞) → R, definite prin

fn(x) =x2

n2 + x4, n ∈ N,

este uniform convergent pe multimea [1,∞).3. Sa se determine raza de convergenta, multimea de convergenta si suma

seriei de puteri

∞∑n=0

(2n + 1)x2n.

4. Sa se dezvolte ın serie Taylor ın jurul originii, functia f(x) = (x+1) ln(1+x).

5. Sa se stabileasca convergenta si sa se calculeze integrala∞∫0

dx(x+1)

√x2+x+1

.

1

Tema de verificare 2

1. Aratati ca functia z(x, y) := xy + xϕ( y

x

), verifica ecuatia:

x∂ z

∂ x+ y

∂ z

∂ y= xy + z.

2. Studiati punctele de extrem local ale functiei f(x, y) = x2 + y2 cu legaturax2 + y

3 = 1.

3. Sa se calculeze integrala cu parametru I(a) =2π∫0

ln(1− a cos x) dx, |a| < 1.

4. Sa se calculeze integrala∫∫∫D

(1 + z) dx dy dz,

unde D = (x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 + z2 ≤ a2, z ≥ 0.

5. Sa se calculeze integrala∫γ

xy dx− (x + y) dy,

unde γ este drumul care parcurge ın sens direct conturul domeniului D = (x, y) ∈R2 | x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0, y ≤ x.

2

analiza matematica_paltanea

Documents

incazulparticular b

mult iminumarabilefie

denim mult

mult iminumarabile1

si unicitatea elementului

mult imi numarabile

f b sau

mult imeaa se numeste