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Mecánica de Fluidos Computacional

Prueba N°1

“Modelación de Transferencia de Calor en una

pared con aislante”

Estudiante: David Aliaga F. Rol: 2704617-7

Profesor: Romain Gers.

Fecha: 25 de Noviembre de 2013.

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Contenido Descripción del problema ................................................................................................................... 3

Objetivos ............................................................................................................................................. 3

Ecuación general de conducción de calor. .......................................................................................... 3

Aplicación al problema ........................................................................................................................ 4

Ecuaciones y condiciones de contorno ........................................................................................... 4

Condiciones iniciales: ...................................................................................................................... 4

Condiciones de contorno: ............................................................................................................... 5

Método de discretización, criterio de estabilidad y aproximaciones finitas. ..................................... 6

Discretización de condiciones de contorno, análisis de casos. ........................................................... 7

CASO PARED-AISLANTE: .................................................................................................................. 7

CASO AISLANTE - PARED: ............................................................................................................ 9

Ejemplo de resolución mediante Iteración ................................................................................... 11

Resultados y Análisis. ........................................................................................................................ 13

Análisis de condición inicial ........................................................................................................... 13

Análisis Perfil de Temperaturas en condición transciente: Sistema pared- aislante .................... 14

Análisis Perfil de Temperaturas en condición estacionaria: Sistema pared- aislante .................. 15

Análisis Perfil de Temperaturas en condición Transciente: Sistema Aislante-Pared. ................... 18

Análisis Perfil de Temperaturas en condición Estacionario: Sistema Aislante-Pared. .................. 19

Flujos de Calor netos ..................................................................................................................... 22

Para el sistema Pared Aislante: ................................................................................................. 22

Para el sistema Aislante- Pared: ................................................................................................ 22

Conclusiones ..................................................................................................................................... 23

Sobre discretización y aproximaciones del método de resolución ............................................... 23

Sobre el fenómeno físico ............................................................................................................... 23

Sobre cuál configuración es más conveniente para aislar el hogar .............................................. 24

Anexos ............................................................................................................................................... 25

Cálculo de Flujo de Calor ............................................................................................................... 25

Algoritmo MatLab ......................................................................................................................... 25

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Descripción del problema

En este estudio se tiene por objetivo estudiar la transferencia de calor en la pared de una casa,

esta pared tendrá un aislante. Se tendrá que verificar cual es la configuración de los materiales

para que sea más eficiente la aislación de calor.

Objetivos

- Estudiar la transferencia de calor en un sistema pared-aislante y aislante-pared.

- Resolver la ecuación de transferencia de calor unidimensional, sin fuentes. Con sus

respectivas condiciones iniciales y de contorno.

- Aplicar el método de discretización de diferencias finitas, para resolver el problema.

- Programar en algún lenguaje de computación el método de discretización.

Ecuación general de conducción de calor.

El estudio de la transferencia de calor por conducción es modelado a partir de un análisis

infinitesimal con flujos de calor en un volumen de control. La formulación ya conocida da como

resultado la ecuación general de conducción de calor, presentada en coordenadas cartesianas:

Dónde: T = Campo de Temperaturas

4

Aplicación al problema

Se considerará una pared de largo y ancho infinito, con conductividad térmica isotrópica. El

sistema estará inicialmente a una temperatura uniforme T1. Y la cara de la pared externa tendrá

una temperatura variable en función de las horas del día:

) , con t en horas.

Ilustración 1 Sistema Pared Aislante

Ecuaciones y condiciones de contorno

Ecuaciones de transferencia de calor

Con el aislante al interior de la casa:

En la pared 0 < x < l1

En el aislante l1 < x < l

Condiciones iniciales:

5

)

Condiciones de contorno:

Condición de flujo de calor

(

)

Condición de convección

Parámetros físicos

(

(

6

Método de discretización, criterio de estabilidad y aproximaciones

finitas.

Para la resolución del problema se utilizará discretización en diferencias finitas (FD), de orden 2, y

centrada en (3 puntos), a través de la aproximación de serie Taylor, el dominio consistirá en una

línea recta, la cual estará dividida en segmentos de espacio :

Para la discretización temporal se usará el Método de Euler Explícito, el cual tomará las

condiciones iniciales en el tiempo t y con ellas calculará los valores futuros t+ .

La ecuación diferencial de conducción para el problema discretizada quedará:

; para pared (1) y aislante (2)

Para obtener los valores en los instantes posteriores se usaran los valores actuales, de esta forma

se iterarán los resultados con la siguiente expresión:

En la ecuación discretizada aparece el Número de Courant, condicionante para la estabilidad de la

resolución del problema. Como se vio para este esquema de discretización temporal – espacial

este es el siguiente:

7

Esta condición establecerá una condicionante para los intervalos de tiempo y espacio para el cual

se discretizará el dominio del problema. Con los parámetros físicos entregados y escogiendo los

intervalos se comprueba entonces:

Con:

Para el medio 2 se comprueba que:

Discretización de condiciones de contorno, análisis de casos.

Para estas expresiones se hará una discretización centrada en de orden 2, (3 puntos), la

utilización de estas condiciones serán para el cálculo de la temperatura en el nodo posterior al

cambio de material. Luego la aproximación se hará con la información de los nodos anteriores. El

uso de las condiciones se dividirá para los dos casos a analizar, pared-aislante y aislante- pared.

CASO PARED-AISLANTE: Sea N el nodo intersección entre el material y aislante y P el nodo de la pared exterior. El cálculo

de la cantidad de nodos se realiza de la siguiente manera:

⇒

Luego se tendrá para la condición de contorno de flujos de calor:

8

Condición de flujo de calor

(

)

Condición de convección

Luego el acoplado de ecuaciones queda de la siguiente manera:

Sea i = 1,….N=46,…..P=51, este será el dominio de la malla unidimensional de los nodos. Luego:

Para i= 1

)

Para i>1 y i <N

Para i =N

Para i >N y i<P

9

Para i=P

CASO AISLANTE - PARED:

Sea R el nodo intersección entre el material y aislante y T el nodo de la pared exterior.

Luego se tendrá para la condición de contorno de flujos de calor:

Condición de flujo de calor

(

)

Condición de convección

10

Luego el acoplado de ecuaciones queda de la siguiente manera:

Sea i = 1, R=6,..T=51, este será el dominio de la malla unidimensional de los nodos. Luego:

Para i= 1

)

Para i>1 y i <R

Para i =R

Para i >R y i<T

Para i=T

11

Ejemplo de resolución mediante Iteración

Se ejemplificara la resolución del caso aislante pared. Con este esquema de iteración se puede

entonces, calcular los valores para la temperatura del dominio para una cierta cantidad de tiempo:

En el problema se resolverá para los siguientes valores de discretización:

Para i= 1...51 y n=1 correspondiente a la condición inicial. Se tiene:

)= 10°C

)= 10°C

)= 10°C

.

.

.

.

)= 10°C

Con estos valores iniciales, se puede entonces calcular los valores para el primer paso temporal de

50 (s). Se procede a calcular para i>1 y i<6:

.

.

12

El cálculo procede ahora para el nodo i=R=6

Luego para la condición i>6 y i<51

.

.

.

Finalmente para la condición i=T=51

Luego como se muestro se obtiene, según el algoritmo de resolución escogido una matriz donde

se tendrán las temperaturas para los 51 nodos cada 50s por 5 días de evaluación. El código

programado será adjuntado en el área de anexos. Cabe decir además que el mismo método se usa

para resolver el caso pared-aislante.

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Resultados y Análisis.

Los cálculos se realizaron en código Mathlab, como resultado se obtuvo una matriz de

temperaturas en posición de nodos y espacios de tiempo. Estos se graficaron y serán

comentado a continuación:

Análisis de condición inicial

La temperatura externa responde a un comportamiento oscilante a través del tiempo, con una

máxima de 15° y mínima de 5°C, esta se puede ver en el siguiente gráfico:

Ilustración 2 "Temperatura pared Externa "

14

Análisis Perfil de Temperaturas en condición transciente: Sistema pared-

aislante El sistema inicialmente a las 0hrs se encuentra a 10 °C, este es considerado como el tiempo inicial

del análisis, ya cuando el tiempo comienza a correr los efectos de la temperatura externa y la

condición convectiva dentro del hogar, inducirán una diferencia de temperatura en el dominio,

con esto se inducirá un flujo de calor a circular hacia el interior de la pared.

Se puede notar que a las 5 horas la temperatura al lado de la pared comienza a aumentar, debido

a la transferencia de calor que existe desde el exterior con una temperatura aproximada de 15°C,

además por el lado del aislante se nota una pendiente que se acerca a la vertical. Estos son los

efectos del aislante que recibe los 20°C del interior del lugar, pero anula los efectos de

transferencia por conducción, encontrándose una temperatura menor en el nodo 46,

correspondiente a la interfaz de materiales.

Se puede observar que para las 15 horas, la temperatura del exterior disminuye a cerca de 6°C,

esto hace que la temperatura del muro disminuya gradualmente respecto a la temperatura de las

10 hrs, teniéndose un flujo de calor en dirección hacia el exterior. Por otro lado el aislante

continua teniendo casi el mismo gradiente de temperatura que a las 0 hrs, además se puede notar

que para los otros tiempos graficados también se asemeja. No así como se mencionaba las

temperaturas de la pared variaran a través del tiempo, producto de la liberación o

almacenamiento de calor, además de los efectos producidos por los flujos de calor desde el exterior

y desde la fuga del aislante.

Ilustración 3 Temperaturas estado Transciente Pared- Aislante

15

Análisis Perfil de Temperaturas en condición estacionaria: Sistema pared-

aislante

El comportamiento de las temperaturas del sistema pared aislante, varía debido a la temperatura

externa. Inicialmente como se comentó tiene un comportamiento irregular, donde las

temperaturas tanto como para el muro como aislante varían a través de los ciclos. Esto

corresponde a la parte transciente del problema. Sin embargo como se ve en el gráfico de

superficie de temperaturas, llega un punto donde se llega a un comportamiento estacionario de la

temperatura aproximadamente a las 55 hrs. Donde para cierto momento del día, se tendrá el

mismo perfil de temperaturas, que para el mismo momento al día siguiente. El gráfico se

construyó con los valores de temperatura para los nodos, evaluados para 10 días. En el nodo 51 se

tiene la pared interna del hogar, y se puede ver como hay un gran salto de temperaturas desde los

17°C a 10 °C aproximadamente. Esto es debido a que en esa zona se encuentra el aislante, el cual

con baja conductividad térmica disminuye los efectos de transferencia de calor y aumenta la

resistencia térmica. Luego desde el nodo 0 hasta el 46 se observa un gradiente de temperatura

hacia el interior del muro, favoreciendo un aumento de temperatura en el muro producto de la

temperatura externa. Esto ocurre cuando la temperatura de comportamiento senoidal del exterior

se encuentra en sus puntos más altos, es decir entre 12 y 15°C.

Ilustración 4 Distribución de temperaturas sistema pared aislante para 10 días

16

En la ilustración 4, se observa el cambio de régimen transciente a estacionario en los 4000 pasos

de tiempo, equivalente a 55 horas. Luego la temperatura de la pared interna oscila entre los

valores de:

Estos valores son los más importantes al momento de decidir si el aislante debe ir dentro o fuera

del hogar, para el problema propuesto. Ya que se debe considerar tanto el flujo de calor hacia el

exterior, que en parte se almacena como energía sensible en el muro. Además de finalmente la

temperatura del muro interno que será el determinante en evaluar una buena aislación y

mantención de temperatura dentro del hogar.

Ilustración 5 Temperaturas en pared interior

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En estado estacionario el perfil de temperaturas a través de la pared y aislante se observa en los

siguientes gráficos, para una temperatura de 5°C y 15°C en la parte exterior. En este gráfico se

puede ver que la temperatura interna del muro para una temperatura máxima exterior de 15°C,

es menor que la temperatura interna del muro cuando la temperatura mínima exterior es de 5 °C.

Esto puede deberse a que el flujo de fuga de calor desde el aislante es mayor cuando la

temperatura exterior de 5°C, además se debe considerar un % de error asociado al esquema de

discretización utilizado, que puede aumentar o disminuir las temperaturas y los perfiles. Además

de la elección de los parámetros de discretización.

Sin embargo se puede ver la tendencia de la pared a ganar o perder temperatura dependiendo de

la temperatura del exterior. Teniendo además una contribución de lo que no pueda bloquear el

aislante, este flujo se podría denominar flujo de fuga de aislación.

Ilustración 6 "Perfil de temperaturas en pared aislante"

18

Análisis Perfil de Temperaturas en condición Transciente: Sistema

Aislante-Pared.

El sistema parte en estado transciente, con una temperatura inicial de 10°C para las 0 hrs, luego

para las primeras 5 horas las condiciones de contorno toman efecto. El interior del hogar que está

a 20°C induce un flujo de calor que eleva la temperatura de la pared. Por otro lado el aislante

impide que se conduzca calor por el lado de la cara exterior del muro, teniéndose una pendiente

muy pronunciada y luego disminuida. Se puede ver además que la mayor contribución al cambio

de temperatura del muro se verá influenciada por el flujo de calor neto proveniente desde la pared

interior del hogar. Y el aislante en la parte externa del hogar, realizará un trabajo de frenar el flujo

tanto de entrada como de salida a nivel local en la intersección de materiales.

Mediante la ilustración siguiente se pueden ver estos efectos:

Ilustración 7 Perfil de temperaturas transciente aislante pared

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Análisis Perfil de Temperaturas en condición Estacionario: Sistema

Aislante-Pared.

El comportamiento de las temperaturas del sistema aislante pared, varía debido a la temperatura

externa. Inicialmente como se comentó tiene un comportamiento irregular, donde las

temperaturas tanto como para el muro como aislante varían a través de los ciclos. Esto

corresponde a la parte transciente del problema. Sin embargo como se ve en el gráfico de

superficie de temperaturas, llega un punto donde se llega a un comportamiento estacionario de la

temperatura aproximadamente a las 42 horas. Donde para una temperatura externa determinada,

se tendrá el mismo perfil de temperatura. El gráfico se construyó con los valores de temperatura

para los nodos, evaluados para 10 días. En el nodo 51 se tiene la pared interna del hogar, libre de

aislación, con la temperatura más alta del sistema de 20°C. Induce un flujo de calor que elevará la

temperatura de la pared. Esto ocurre hasta que se encuentra con el aislante, el cual con baja

conductividad térmica disminuye los efectos de transferencia de calor y aumenta la resistencia

térmica. Luego desde el nodo 1 hasta el 6 se observa un gradiente de temperatura, que se

relacionará con la temperatura exterior. En este caso el flujo inducido a nivel local debido a la

temperatura externa no tendrá mayor repercusión sobre la pared, como en el caso de pared

aislante.

Ilustración 8 Distribución de temperatura en Aislante Pared

20

En la ilustración 3, se observa el cambio de régimen transciente a estacionario en los 2500 pasos

de tiempo, equivalente a 42 horas. Luego la temperatura de la pared interna oscila entre los

valores de:

Estos valores son los más importantes al momento de decidir si el aislante debe ir dentro o fuera

del hogar, para el problema propuesto. Ya que se debe considerar tanto el flujo de calor hacia el

exterior, que en parte se almacena como energía sensible en el muro. Además de finalmente la

temperatura del muro interno que será el determinante en evaluar una buena aislación y

mantención de temperatura dentro del hogar.

Ilustración 9 Distribución de temperaturas pared interna hogar

21

El estado estacionario el perfil de temperaturas a través del sistema aislante pared, se observa en

el siguiente gráfico. Se analizará para temperatura de 5°C y 15°C en el exterior.

Cuando la temperatura externa es de 5°C, se observa que desde la pared se tiene un perfil de

temperaturas decreciente, de esto se puede deducir que existe un flujo de calor en el sentido

izquierda del sistema. Este decrecimiento de la temperatura es hasta el nodo 6 donde empieza la

intersección con el aislante.

Cuando la temperatura externa es de 15°C, la temperatura de la cara interna del hogar será

aproximadamente de 13°C. Produciéndose un flujo de calor desde el exterior hacia el interior.

Ilustración 10 perfil de temperaturas , aislante pared, estado estacionario

22

Flujos de Calor netos

Se presentan los gráficos de flujos de calor a lo largo de la configuración, los detalles de cálculo

son presentados en anexos:

Para el sistema Pared Aislante:

Con esta configuración se obtienen los siguientes valores:

Para el sistema Aislante- Pared:

Con esta configuración se obtienen los siguientes valores:

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Conclusiones

Sobre discretización y aproximaciones del método de resolución El problema analizado implica la discretización del dominio unidimensional correspondiente a un

sistema de pared con aislante, utilizando diferencias finitas. La aproximación de las derivadas se

realizó en diferencias centradas con un orden 2 de aproximación. El esquema de discretización

temporal utilizado fue el denominado Euler explícito, que considera dos espacios de tiempo. Uno

inicial y el posterior. Este esquema cuenta con una limitante para su estabilidad, para esto se

utilizó un Número de Courant menor o igual a ½. Dependiendo de los parámetros elegidos, salto

de espacio y tiempos, serán los resultados numéricos, es importante destacar que según el

esquema y para métodos usados se tendrán diversas soluciones del algoritmo de iteración, lo

importante es tener en mente la estabilidad y el error de truncamiento asociado a la solución, esto

determinará la calidad de la solución y la disminución de la difusión numérica. Estas propiedades

de la solución numérica serán más flexibilizadas dependiendo de la utilización de los resultados. En

el caso planteado se requería tener valores de temperaturas asociados a un extremo del dominio,

luego la correcta y exacta descripción física del interior del dominio no era de gran relevancia, por

ello pueden haber temperaturas que distan de la realidad especialmente en condiciones de

contorno. Claramente otra opción de esquema de discretización espacial y temporal con mayor

orden de magnitud y menor error de truncamiento hubiese entregado una mejor calidad de

resultado, Euler implícito por nombrar alguno, utilizando aproximación de orden 3 o 4. Esto

hubiese resultado en una dificultad mayor al programar y mayor cantidad de recursos

computacionales, ya que implica resolver un sistema matricial lineal, ocupando algún método de

inversión.

Sobre el fenómeno físico

La transferencia de calor se llevara a cabo por la diferencia de potenciales de temperatura entre la

pared externa, que varía sinusoidalmente, y la temperatura de la pared interna. Por esto se

tendrán constantemente flujos de calor tanto desde o hacia el interior del hogar a nivel local y

global, esto dará como resultado perfiles de temperatura variando constantemente. El aislante es

un material con propiedades poco conductoras y de baja difusividad térmica, es decir presenta

una gran resistencia al flujo de calor y posee una alta inercia térmica. Es por esto que en los

gráficos revisados presenta una pendiente muy inclinada.

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Analizando el caso pared aislante, se tiene que la energía almacenada por calor sensible de la

pared, está constantemente cambiando. Pero con un patrón determinado en estado estacionario.

Este calor sensible esta dado en mayor medida por el flujo que existe desde el exterior hacia el

interior del hogar. Esto ocurre sin grandes resistencias debido a que el aislante está en el otro

extremo. Por otra parte cuando la temperatura exterior llega a un mínimo el flujo de calor neto

será mayor provocando una mayor flujo de fuga del aislante, permitiendo subir la temperatura del

muro.

En el caso aislante pared, el calor sensible asociado a la pared será influenciado en mayor medida

por el flujo proveniente del interior del hogar, este sin restricciones hasta llegar al otro extremo

donde se encuentra el aislante. Esto representa una desventaja clara, puesto que cuando la

temperatura en el exterior es mínima, la temperatura en el interior del hogar disminuirá puesto

que el flujo de calor contribuirá a “calentar” la pared en términos globales.

Sobre cuál configuración es más conveniente para aislar el hogar

Luego de la discusión dada se puede decir que es más conveniente la de Pared- Aislante. Esto en

primera instancia porque las temperaturas del muro interno son de:

Mayores a las de la configuración Aislante- Pared:

Esto es determinante puesto que el objetivo es conservar la temperatura de 20 °C, ambiente

dentro del hogar. La configuración Pared- Aislante además es más eficiente térmicamente puesto

que no contribuye en mayor medida en el aumento de la energía sensible de la pared, salvo

cuando el flujo de calor es máximo, para este caso el flujo de calor neto a través del sistema será el

valor máximo de 15.6 (W).Luego con este valor máximo se producirá una mayor fuga de aislación

hacia la pared. Por otro lado la configuración Aislante- Pared, contribuye en mayor medida al

calor sensible de la pared, siendo más ineficiente para utilizar el calor en la zona de importancia

que es la interna del hogar. En esta configuración los valores de flujo de calor neto son menores,

puesto que la temperatura interior de la pared es menor, luego hay un menor potencial térmico.

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Anexos

Cálculo de Flujo de Calor

Por ley de Fourier se tiene, para una pared infinitamente larga y ancha:

Para intervalo de tiempo de j =1,…,N.

Con

Algoritmo MatLab % ALGORITMO MATHLAB PARA RESOLUCION PROBLEMA, METODO EULER EXPLÍCITO DE % ORDEN 2 DIFERENCIAS CENTRADAS.

clc clear all format long %DECLARACION DE VARIABLES! % % delta_t = 50; % 50 (s) de espacio temporal delta_x = 0.01; % 10mm de espacio entre malla lambda1= 2; % conductividad termica pared

(W/mK) lambda2= 0.1; % conductividad termica aislante

(W/mk) conv_coef=4; %coeficiente de conveccion (

W/m2K) rho_cp1=2*10^6; % Producto de la densidad y

capacidad calorifica (pared) rho_cp2=1*10^6; % producto de la densidad y

capacidad calorifica (aislante) cu_1= ((lambda1*delta_t)/(rho_cp1*(delta_x)^2)); %numero de courant cu_2= ((lambda2*delta_t)/(rho_cp2*(delta_x)^2)); % numero de courant

%ITERACION CASO PARED_AISLANTE!

T=zeros(51,17281); % crea matriz de ceros T[x,t]

26

for j=1:51 %llenado de vector columna x de condicion inicial

10°C!

T(j,1)=10;

end

for i=1:17281 % llenado vector fila con condicion de temperatura

exterior!

T(1,i)=10+5*(sin(2*pi*(i-1)*delta_t/86400));

end

for j=1:17281 % llenado de la matriz segun paso de tiempo

y posicion de nodos for i=2:51

if ((i>1)&&(i<46)) % condicional para zona de pared

T(i,j+1) = cu_1*(T(i+1,j)-2.*T(i,j)+T(i-1,j))+T(i,j);

end

if ( i==46) % condicional para interfaz pared aislante T(i,j+1) = cu_1*(T(i-1,j)-(lambda2/lambda1)*(T(i+1,j)-T(i-1,j))-

2*T(i,j)+T(i-1,j))+T(i,j); end

if ((i>46)&&(i<51)) % condicional para zona de aislante

T(i,j+1) = cu_2*(T(i+1,j)-2.*T(i,j)+T(i-1,j))+T(i,j); end

if (i==51) % condicional para interfaz aislante-interior ( convectiva)

T(i,j+1) = cu_2*(T(i-1,j)-((2*conv_coef*delta_x)/lambda2)*(T(i,j)-

20)-2*T(i,j)+T(i-1,j))+T(i,j) ;

end

end

end

% ITERACION PARA CASO AISLANTE_PARED

27

R=zeros(51,17281); %CREA MATIZ DE CEROS PARA EL CASO R[x,t]

for j=1:51 %llenado de vector columna x de condicion inicial

10°C!

R(j,1)=10;

end

for i=1:17281 % llenado vector fila con condicion de temperatura

exterior!

R(1,i)=10+5*(sin(2*pi*(i-1)*delta_t/86400));

end

for j=1:17281 % llenado de la matriz segun paso de tiempo y posicion

de nodos for i=2:51

if ((i>1)&&(i<6)) % condicional para zona de aislante

R(i,j+1) = cu_2*(R(i+1,j)-2.*R(i,j)+R(i-1,j))+R(i,j);

end

if ( i==6) % condicional para interfaz aislante pared R(i,j+1) = cu_2*(R(i-1,j)-(lambda1/lambda2)*(R(i+1,j)-R(i-1,j))-

2*R(i,j)+R(i-1,j))+R(i,j); end

if ((i>6)&&(i<51)) % condicional para zona pared

R(i,j+1) = cu_1*(R(i+1,j)-2.*R(i,j)+R(i-1,j))+R(i,j); end

if (i==51) % condicional para zona interfaz pared interior.

R(i,j+1) = cu_1*(R(i-1,j)-((2*conv_coef*delta_x)/lambda1)*(R(i,j)-

20)-2*R(i,j)+R(i-1,j))+R(i,j) ;

end

end

% Flujo de calor

28

for j=1:17281

Q(1,j)= -(T(1,j)-T(51,j))/((0.45/lambda1)+(0.05/lambda2)); % calculo de

Ley de Fourier entre nodo 1 y 51 ( caso Pared Aislante) S(1,j)= -(R(1,j)-R(51,j))/((0.45/lambda1)+(0.05/lambda2)); % calculo de

Ley de Fourier entre nodo 1 y 51 ( caso Aislante Pared)

end

end