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MATEMÁTICA – 7.° ANO 1
MARCELO CRIVELLA
PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO
CÉSAR BENJAMIN
SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO
MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS
SUBSECRETARIA DE ENSINO
KATIA REGINA DAS CHAGAS MOURA
GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL
SILVIA MARIA SOARES COUTO
ORGANIZAÇÃO
CLEBER RANGEL DO NASCIMENTO
ELABORAÇÃO
FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA
NELSON GARCEZ LOURENÇO
SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA
REVISÃO
AGRADECIMENTOS ESPECIAIS(IMAGENS DA CAPA)
MOANA MARTINS E EQUIPE
ORQUESTRA SINFÔNICA JUVENIL CARIOCA
MULTIRIO
CONTATOS E/SUBE
Telefones: 2976-2301 / 2976-2302
EDIGRÁFICA
IMPRESSÃO
FÁBIO DA SILVA
MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR
DESIGN GRÁFICO
MATEMÁTICA – 7.° ANO 2
− 6 7
2
0, 25
−1
90,555.. 21%
Todo número que pode ser representado
na forma de fração 𝐚
𝐛, onde a e b são
inteiros e b é diferente de zero ( b ≠ 0 ), é
chamado de número racional.
Lembre-se: toda fração pode ser
colocada na forma de um número decimal.
Exemplos:
• Onde: 7
2e −
1
9já se encontram na forma de fração.
• Os demais números também podem ser escritos na forma
de fração. Observe:
− 6 = − 6
1; 0, 25 =
25
100; 0,555... =
5
9; 21% =
21
100
AGORA,É COM VOCÊ!!!
1 – Transforme os números racionais, da forma de fração para a
forma decimal, conforme o exemplo acima:
a) 2
5=
Para transformarmos uma fração em um
número decimal, temos que dividir o numerador
dessa fração pelo seu denominador.
Ex.: 7
2= 3,5
b) 1
8=
c) 4
9=
MATEMÁTICA – 7.° ANO 3
1 – Localize os números racionais, apresentados a
seguir, na reta numérica, transformando as frações
impróprias em números mistos ou decimais:
A = 13
2B = −
3
4C = 0,3 D =
11
4
1 – Represente as situações, apresentadas abaixo,
utilizando a forma fracionária e decimal:
a) 2,3 metros abaixo do nível do mar.
b) Dividir, igualmente, R$ 50,00 entre 8 pessoas.
c) Uma temperatura de 3,8 graus Celsius abaixo de zero.
d) Dividir uma barra de chocolate, igualmente, entre 4 pessoas.
AGORA,É COM VOCÊ!!!
Localizando os números racionais na reta numérica, temos:
−2
3= − 0,666...
1
2= 0,5
9
4= 2
1
4ou 2,25
19
5= 3
4
5ou 3,8
A B C D
A = B = + C = + D = 1
2
19
5
9
4−2
3
AGORA,É COM VOCÊ!!!
–3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
memoria.ebc.com.brP
ixabay
Pixabay
– 2,3 metros ⟶
Nível do mar ⟶ http
://ww
w.s
ubsport.c
h/
• Em uma fração própria, em que o numerador é menor que o denominador, a
sua localização, na reta numérica, vai estar sempre entre 0 e 1 (positivo) ou entre 0
e -1 (negativo). Ex.: B = +
• Numa fração imprópria, em que o numerador é maior que o denominador, o
melhor a fazer é transformá-la em fração mista antes de localizarmos na reta.
Ex. : D =
Para transformarmos um decimal exato em fração, basta
repetir o número, sem a virgula no numerador e, no
denominador, colocar 10, 100, 1000...dependendo do
número de casas decimais que temos depois da vírgula.
Alguns números decimais também podem ser escritos
na forma de fração. São eles os decimais exatos (que
são finitos) e as dízimas periódicas (que são os
decimais infinitos e que possuem período).
Ex.: 3,5 = 35
10=
7
2
Demonstre, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma
você chegou aos resultados.
1
2
19
5
MATEMÁTICA – 7.° ANO 4
Exemplos:
a) l −4
5l =
4
5b) l +
3
5l =
3
5
c) módulo de +18,35 = 18,35
d) valor absoluto (módulo) de − 0,7777.... = 0,7777....
Chat matemático
O que já estudamos sobre módulo
ou valor absoluto para os números
inteiros, vale também para os
números racionais?
Sim! Módulo de um número
racional ou seu valor absoluto é
a distância do ponto que o
representa até a origem!
Temos que lembrar também que o
módulo de um número positivo ou
de um número negativo será
sempre positivo!
1 − Determine:
a) módulo de – 5 = ___________
b) l − 𝟒
𝟑l = ___________
c) O valor absoluto de – 0,333... = _____________
d) O módulo de + 6 𝟐
𝟑= ________________
2 − Identifique o oposto ou o simétrico de cada número:
a) 1,9 é ______ b) + 0,555... é _________ c) − 8,3 é ______
Números opostos ou simétricos são aqueles
cujas representações estão à mesma distância
da origem. Os números simétricos possuem o
mesmo módulo, mas sinais contrários. A soma
de dois números simétricos é igual a zero.
Demonstre, para os seus colegas e para o seu
Professor, de que forma você chegou aos
resultados.
MATEMÁTICA – 7.° ANO 5
Para compararmos dois números racionais, precisamos analisar os números, verificando se um desses números é maior, menor
ou igual ao outro número. Para isso, vamos observar alguns pontos:
• números com sinais diferentes, o maior é sempre o número positivo. Exemplo:
− 𝟑
𝟒< +
𝟏
𝟔
• localizados em uma reta numérica, o maior número estará sempre à direita do outro. Exemplo:
− 1,5 < +6
• na forma decimal, primeiro comparamos a parte inteira, e, se as partes inteiras forem iguais, comparamos a parte decimal.
Exemplo:
+ 2,68 > + 2,65
• na forma de fração:
- com denominadores iguais, a maior é a que possui maior numerador. Exemplo:
+ 𝟑
𝟗> +
𝟏
𝟗
- com denominadores diferentes, primeiro achamos as frações equivalentes com o mesmo denominador. A maior será a fração
que possuir maior numerador. Exemplo:
Comparando4
5e
2
3, temos:
4
5=
12
15e
2
3=
10
15Logo, se
12
15>
10
15então
4
5>
2
3
MATEMÁTICA – 7.° ANO 6
1 − Complete, utilizando os sinais > , < , = :
a) − 6
3+
1
9b) −
1
5−
5
3c) 1,9 – 5,55
d) − 2,5 − 2,533 e) − 31
30 f ) −
1
2− 0,5
2 − Tia Beth comprou uma barra de chocolate para seus sobrinhos. Ela
repartiu a barra em 12 pedaços iguais. João comeu1
12da barra, Pedro
comeu1
6da barra e Luísa comeu
3
4da barra. Qual dos sobrinhos
comeu mais?
Resposta: ________________________________________________
pixabay
Quando temos uma comparação entre números racionais, em que
um está na forma de fração e o outro, na forma decimal, o melhor a
fazer é colocar os dois no mesmo formato (ou fração ou decimal).
Exemplo: Comparando 15
4com 3,2, temos:
15
4= 3,75 3,2 < 3,75 Logo: 3,2 <
15
4
3 − Compare os números em relação às situações apresentadas:
a) Temperatura entre − 8 °C e 34 °C: ________________
b) Saldo negativo de 3 gols e positivo de 5 gols: __________________
c) 5 °C abaixo de zero e 4,3 °C acima de zero: ___________________
d) 2,5 m e 1,3 m, ambos abaixo do nível do mar: _________________
e) Saldo negativo de R$ 20,00 e negativo de R$ 30,00: _____________
− 8 < + 34
4 − Coloque os números, apresentados a seguir, em ordem crescente:
− 2,35 ; 0 ; − 1,7 ; 2,31 ; − 2,3
Resposta: __________________________________________
5 − Quatro amigos resolveram medir suas alturas para verificar quem
era o mais alto. A altura de João é de 1,55 m, a de Pedro 1,59 m,
Rodrigo tem 1,57 m e Carlos 1,48 m. Faça a comparação entre eles e
coloque os meninos em ordem crescente de altura:
Resposta: _____________________________________________
pixabay
Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.
MATEMÁTICA – 7.° ANO 7
Exemplo:
Eduardo viajou para um sítio e constatou que a temperatura, durante o dia, era de + 2,5 °C e à noite era de −3,4 °C. Qual a variação de
temperatura que ocorreu do dia para a noite?
Variação de temperatura = temperatura final – temperatura inicial
Resposta: _______________________________
1 − Um submarino navegava a uma profundidade de – 52,5 m. No dia seguinte, passou a navegar a – 69,4 m de profundidade. Com essa nova
profundidade podemos dizer que o submarino subiu ou desceu ? De quantos metros foi a variação da altura?
(− 3,4) – (+ 2,5) = − 3,4 − 2,5 = − 5,9 °C
Clipart
Pixabay
Continua
A variação foi de – 5,9 ºC.
Resposta: _________________________________________________________________
• Na adição, se os números possuem o mesmo sinal,
mantemos o sinal e somamos os módulos.
• Se os números possuem sinais contrários, mantemos
o sinal do número de maior módulo e subtraímos os
módulos.
• Na subtração, somamos o 1.º número com o oposto do
2.º número e depois aplicamos as regras da adição
citadas acima.
Auxiliando a memorização...
>
<maior que – lembra o número 7
menor que – lembra o número 4
MATEMÁTICA – 7.° ANO 8
2 – Efetue:
a) ( + 1
3) + (–
2
5) =
b) (–6
5) – (–
3
4) =
c) (– 3,5 ) + (– 5,8) =
d) (–2
5) – (–
4
3) =
e) ( +4,3) – ( +2,7) =
3 – Leia a figura. Ela representa uma mesa de pingue-pongue oficial
que possui 2,74 m de comprimento e 1,52 m de largura. Calcule o
perímetro dessa mesa:
4 – Um fazendeiro vendeu parte da produção de milho de sua fazenda
para três mercados diferentes. Com o restante, alimentou o gado.
Leia atentamente:
1
5de sua produção ele vendeu para o mercado da praça.
1
3de sua produção ele vendeu para o mercado do Seu Zé.
4
15de sua produção ele vendeu para o mercado Central.
Que fração representa a quantidade de milho vendida e que fração
representa a parte utilizada para alimentar o gado?
https://t1.educima.com/dibujo−para
−colorear−agricultor−s7076.jpg
Resposta: ________________________________________
5 – A tabela apresentada ao lado mostra
as temperaturas máximas e mínimas em
centígrados, durante cinco dias seguidos,
em certa cidade. Em qual dia ocorreu a
maior variação de temperatura?
OBMEP – NÍVEL 2
Para efetuar adições ou subtrações de números racionais, na
forma de fração, com denominadores diferentes, devemos
encontrar as frações equivalentes de mesmo denominador e, depois,
somar ou subtrair essas frações.
(Adaptada)
Lembre-se de demonstrar, para os seus colegas e para o seu Professor, de
que forma encontrou os resultados.
MATEMÁTICA – 7.° ANO 9
A regra dos sinais, utilizada na multiplicação de números inteiros,
também é válida para a multiplicação de números racionais.
a) Cinco colegas de uma mesma
escola resolveram ir ao cinema no
fim de semana. Cada ingresso
custa R$ 25,00 a inteira, e R$
12,50, a meia entrada. Quanto
esses meninos gastarão, ao todo,
uma vez que todos eles pagam
meia entrada?
b) Rodrigo passou em um posto de
gasolina para abastecer o tanque
do carro. Sabendo-se que ele
colocou 45,7 litros de gasolina e
que o valor do litro é de R$ 3,75,
quanto Rodrigo gastou?
Observe os exemplos a seguir:
Os meninos gastarão, ao todo, R$ 62,50.
Rodrigo gastou, aproximadamente, R$ 171,38 para encher o tanque do
seu carro.
clip
art
1 − Efetue os cálculos, simplificando quando possível:
a) 7 . 3
4= b)
2
5. −
3
4=
c) 5
4. 4
6= d)
1
4. 12 =
Atenção!
Podemos, também, realizar a
simplificação ou cancelamento, antes
da multiplicação dos termos. Para
isso, basta identificarmos um número
que possa dividir, ao mesmo tempo, o
numerador e o denominador. Observe:
Continua
clip
art
Na multiplicação de números racionais fracionários, multiplicamos
os numeradores, achando um único numerador como resultado, e,
em seguida, multiplicamos os denominadores, achando também
um único denominador como resultado.
Exemplo:
12,50
x 5
62,50
Quando colocarmos
a vírgula no produto
(resultado da
multiplicação)
devemos contar as
casas decimais dos
dois fatores.
45,7
x 3,75
2285
3199
1371
171,375
Quando formos
colocar a vírgula no
produto devemos
contar as casas
decimais dos dois
fatores.
: 2
: 2
: 2
: 2
MATEMÁTICA – 7.° ANO 10
4 − A que fração corresponde1
3de
1
5de um mês (30 dias)?
A quantos dias equivale a fração?
Resposta : _______________________________
2) Efetue as multiplicações:
a) (– 0,1) x 2,4 =
b) 3,2 x (− 2,2) =
c) 5
6x
3
4=
d) 1
3x
3
2x 2
5=
e) 4
5x (−
3
7) x
1
2=
f) 1
3x 2,4 =
g) 0,5 x 3
2=
pixabay
3 − Ana comprou uma pizza para comer com a família e repartiu em
10 pedaços iguais. Ela comeu3
10, sua mãe comeu o dobro dela e seu
pai comeu o restante. Qual a fração que representa a quantidade de
pizza que cada um comeu?
Resposta: ___________________________________________
MATEMÁTICA – 7.° ANO 11
A divisão entre dois números, com divisor diferente de zero, também
pode ser calculada a partir da multiplicação pelo inverso do divisor.
Observe o exemplo:
15 ∶ 5 = 15 .1
5=
15
5= 3
Na divisão de dois números na forma de fração, temos que multiplicar
a primeira fração pelo inverso da segunda e, assim, obteremos o
resultado. Veja no exemplo:
2
3:
3
5=
2
3.
5
3=
2 .5
3 .3=
10
9
Na divisão de dois números na forma decimal, temos que, primeiro,
igualar as casas decimais. Depois, efetuar a divisão, normalmente,
como se os números fossem inteiros. Observe:
Igualar o número de casas decimais
e cortar as vírgulas
,1440
2880
28800
• OPERAÇÃO COM NÚMEROS RACIONAIS: DIVISÃO
Continua
Dois números dizem-se inversos quando o resultado da
multiplicação entre eles é igual a 1. Todo número diferente de zero
possui um inverso.
Exemplos: 2
5x
5
2= 1 2 x
1
2= 1
1 − Ache o inverso de cada um dos números racionais:
a) 3
4b)
5
8
c) − 1
2d) 1,3
e) 0 f) − 2,7
g) 0,7777...
Para encontrarmos o inverso de um
número racional, basta trocar de
lugar o numerador pelo
denominador.
Tanto na multiplicação, quanto na divisão, a regra dos sinais é a
mesma:
• se os números possuem sinais iguais, o resultado
(produto/quociente) é positivo;
• se os números possuem sinais contrários, o resultado
(produto/quociente) é negativo;
𝟔
𝟖inverso
𝟖
𝟔
Logo, 5
2é o inverso de
2
5. Logo,
1
2é o inverso de 2.
Demonstre, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma
você chegou aos resultados.
MATEMÁTICA – 7.° ANO 12
Resposta: _________________________________________
__________________________________________________
1 – Resolva as divisões abaixo:
a) ( 4
7) : (
3
4) =
b) (–5
3) : (–
15
4) =
c) (+ 3
5) : (–
4
5) =
d) ( + 3
4) : 0,5 =
e) – 76,85 : 14,5 =
f) (– 45,24) : (– 8,7) =
Observe esta situação-problema:
Um pedreiro precisa construir uma escada de concreto com 299,2 cm
de altura. Sabendo-se que a altura mínima de cada degrau é 17,6 cm,
quantos degraus haverá nesta escada?
Resposta: Na escada, haverá 17 degraus.
2 – Uma fábrica de bolas de futebol produz 3 504 bolas. Dessa
produção,3
4já foram vendidos. Para realizar a entrega, esses
3
4
terão que ser distribuídos, igualmente, em 6 caminhões.
a) Ache a fração que representa a quantidade de bolas de futebol
distribuídas em cada caminhão.
Pixabay
Pixabay
MATEMÁTICA – 7.° ANO 13
Resposta: ________________________________________________
3 – Seis amigas fizeram um bazar para vender pulseiras. Após
um dia de trabalho, elas arrecadaram R$ 181,50. Quanto, cada uma
das seis amigas irá receber se dividirem, igualmente, essa quantia?
Resposta: ______________________________________________
Pixabay
b) Agora, diga quantas bolas cada caminhão carregou? 4 – Um galão de água está com3
4de sua capacidade preenchida. Essa
água será distribuída, igualmente, em garrafas com capacidade igual a1
16do galão. Quantas garrafas serão utilizadas?
Resposta: ______________________________________________
5 – Pedro levará 3 horas e1
2para ir do Rio de Janeiro a São Pedro de
Aldeia. Sabendo-se que ele terá que parar para abastecer, quando
completar1
3da viagem, calcule em quanto tempo de viagem ele terá
que fazer essa parada?
]
Resposta:_____________________________________________
Pixabay
Pixabay
Freepik
MATEMÁTICA – 7.° ANO 14
Cria
do p
or
Cle
ber
Potenciação é a
multiplicação de
fatores iguais.
Observe este exemplo:
Seu João trabalha com obras. Ele foi chamado para colocar cerâmica
no chão de um banheiro. Esse banheiro é quadrado e mede 1,5 m de
lado. Para ajudar Seu João, calcule qual a área desse banheiro.
Área do quadrado = (lado)², logo
área do banheiro = (1,5)²= (1,5) x (1,5)
= 2,25 m²
Outra forma de resolver seria passar a medida de 1,5 m da forma
decimal para fração:
1,5 =15
10e calcular a área do banheiro
A = (15
10)² =
15
10x15
10=
225
100= 2,25
Quando escrevemos uma potência com base negativa,
sempre utilizamos os parênteses. Observe:
( - 0,5) ² = + 0,25 ≠ - 0,5² = - 0,25
Toda potência, com base diferente de zero e expoente igual
a zero, tem resultado igual a +1.
Exemplos:
a) ( 3,48 )0 = 1 b) (8
13)0 = 1
1 − Calcule as potências:
a) (0,4)² = __________ c) (−0,1) ³ =__________
b) (0,1)³ = __________ d) (−1,6)² = __________
2) Escreva o resultado das potências:
a) ( 3
4)² = __________ c) (−
2
5) ³ =__________
b) (− 1
2)³ = __________ d) (
9
10)² = __________
base
(0,5)² = 0,5 x 0,5 = 0,25
fatores
expoente
potência
MATEMÁTICA – 7.° ANO 15
Exemplos:
a)
b)
c) 2−
4
25= Não existe um número racional que seja raiz de um
radicando negativo. Observe:
(+ 2
5)² = +
4
25e (–
2
5)² = +
4
25
2 – Calcule as raízes dos números racionais na forma de fração:
a) 2 81
64=
b) 2 16
25=
c)2 1
16=
d) 2 9
49=
e) 2−
100
81=
3 – Calcule o lado de um quadrado cuja área seja igual a 1,69 m²:
Resposta: ______________________________
2 𝟗
𝟏𝟔=
𝟑
𝟒pois (
3
4)² =
9
16
2 0,36 = 0,6 ou 2 36
100=
6
10pois ( 0,6 )² = 0,36
Os números racionais podem ser
apresentados na forma de frações ou de números
decimais. Quando se apresentam como
radicando, temos que calcular a raiz do
numerador e a raiz do denominador.
1 – Calcule as raízes:
a) 2 0,81 =
b) 2 1,44 =
c) 20,25 =
d) 2 0,01 =
radical
radicandoíndice
1,69 m²
MATEMÁTICA – 7.° ANO 16
1) Resolva as expressões:
a) (– 4) . { [ (+ 1,25) – (+1,5) : ( + 0,3) ] + (– 2) + (– 5) } =
b) ( + 2
5) + (–
1
3) : ( +
2
3) =
Exemplo:
(– 3)2 –1
8. [
1
3– (–1 +
3
2) ] =(resolvem-se a potência e os parênteses )
(– 3). (– 3) –1
8. [
1
3– (
−2 + 3
2) ] =
+ 9 –1
8. [
1
3– (
1
2) ] = (eliminam-se os parênteses)
+ 9 –1
8. [
1
3–
1
2] = (resolve-se o que está entre os colchetes)
+ 9 –1
8. [
2 −3
6] =
+ 9 –1
8. [–
1
6] = (efetua-se a multiplicação e eliminam-se os colchetes)
+ 9 + 1
48=
432
48+
1
48=
433
48
Nas expressões com números racionais,
começamos resolvendo o que está entre
parênteses ( ), depois o que está nos colchetes
[ ] e, depois, o que está nas chaves { }. Deve-se
seguir sempre esta ordem das operações:
potenciações e radiciações, multiplicações e
divisões. Por último, somas e subtrações, na
ordem em que aparecem.
(resolve-se a soma, achando as frações equivalentes de
mesmo denominador)
MATEMÁTICA – 7.° ANO 17
Para realizarmos a aproximação de um número decimal para um
número inteiro, precisamos observar que algarismo está presente na
primeira casa decimal:
• Se esse algarismo for um número de 0 a 4, manteremos o
número inteiro. Exemplo: 40,3 ≅ 40
• Se esse algarismo for um número de 5 a 9, acrescentaremos uma
unidade ao inteiro. Exemplo: 35,8 ≅ 36
Observe os exemplos com auxilio de uma reta numérica:
Repare que o número 35,8 está localizado mais próximo do número inteiro
36 e o número 40,3 está localizado mais próximo do número inteiro 40.
Logo: 35,8 ≅ 36,0
40,3 ≅ 40,0
Vejamos outro exemplo com auxilio da reta numérica:
Repare que o número 6,1 está localizado mais próximo do número inteiro 6 e
o número 6,8 está localizado mais próximo do número inteiro 7.
Logo: 6,1 ≅ 6
6,8 ≅ 7
Este símbolo
representa valor
aproximado:
≅
1 – Faça a aproximação para os números inteiros. Depois efetue,
conforme o exemplo abaixo:
a) 3,6 + 4,8 + 2,32 + 5,9 ≅4 + 5 + 2 + 6 ≅ 17 (resultado aproximado)
OBS: Se essa soma fosse realizada sem aproximação, o resultado
seria igual a 16,62.
b) 35,9 + 6,7 + 4,25 + 1,2 ≅
c) 22,4 – 18,4 + 9,70 + 4,1 ≅
d) 9,3 x 33,2 ≅
e) 84,9 x 3,4 ≅
f) 27,2 : 2,9 ≅
– – –
MATEMÁTICA – 7.° ANO 18
CALCULEResultado
aproximado em
número inteiro
Resultado na
calculadora
4,03 + 8,876 + 34,7
78,102 – 75,8
43,29 x 1,87
35,5 : 3,05
(7,03)2
2 – Efetuando cálculos com valores aproximados:
a ) [ ( +7,23 – (2,98)] . 1,6 =
b) 15, 3 : 3,4 + 4,8 . 2,7 =
1 – Preencha o quadro, utilizando a calculadora,
para comparar os resultados:
Exemplo:
Qual o resultado do dobro de 2,5 somado ao quadrado de 0,5?
2 x 2,5 + ( 0,5 )² = 5,25
1 – Represente e resolva as expressões numéricas:
Qual o resultado
a) do quadrado da soma de 4,3 com 5,7?
b) do dobro de – 4,5 menos o triplo de 1,2?
c) do módulo de – 3,2 menos o oposto de – 3,2?
d) da metade de 2,2 menos 3
5?
e) de 3 mais a raiz quadrada de 0,25?
Representar uma expressão numérica
significa transformar uma linguagem escrita
ou falada em uma linguagem matemática.
clip
art
MATEMÁTICA – 7.° ANO 19
LINGUAGEM MATERNA EXPRESSÃO MATEMÁTICA
Oito mais cinco 8 + 5
O dobro de seis 2 . 6
A metade de oito 8 : 2 ou 8/2
O triplo de três menos quatro 3 . 3 – 4
As expressões algébricas são
sequências de operações envolvendo
números e letras. As letras substituem
números e são chamadas de variáveis
(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑎, 𝑏, 𝑐,...).
LINGUAGEM MATERNA EXPRESSÃO MATEMÁTICA
Um número mais quatro a + 4
O dobro de um número 2 . c
A metade de um número p : 2 ou p /2
O triplo de um número menos quatro 3 . a – 4
Um número acrescido de dez unidades 𝑥 + 10
Metade de um número mais sete
Um número menos meia dúzia
O triplo de um número mais quatro
O módulo de um número
Cinco por cento de um número
O antecessor de um número
A raiz quadrada de um número
O quíntuplo de um número mais oito
A metade de um número mais uma dúzia
O sucessor de um número
O quadrado de um número
Quarenta por cento de um número
Dois mais o dobro de um número
As expressões matemáticas ou
numéricas são sequências de
operações envolvendo números. Elas
podem aparecer em expressões
escritas na linguagem materna ou na
linguagem de símbolos da matemática.
1 – Represente a expressão algébrica, utilizando a variável “𝒙”
conforme o exemplo:
MATEMÁTICA – 7.° ANO 20
Carlos
715 723 727 731 735 739
3 – Observe a sequência abaixo. Nela, foram
utilizados palitos de fósforo para formar triângulos.
Descubra a próxima figura.
Resposta: _____________________________________________
4 – Descubra o segredo das sequências e complete os quadros:
a)
b)
c)
d)
23 35 41 53 59
– 8 – 5 1 4 10
5 15 20 30 35
10 19 37 55 64
pix
abay
?
Quando sabemos o segredo de uma sequência numérica,
podemos descobrir o valor de qualquer termo. Esse segredo é
denominado lei de formação da sequência.
Observe a sequência apresentada:
(3, 6, F, 12, 15, 18......) onde F = 9
O segredo é que a sequência aumenta de 3 em 3 unidades.
1 – Descubra o segredo de cada uma das sequências, completando-as:
a) 2, 4, 8, 16, 32, ........,..........,..........,...........,...........,
b) 5, 10, 15, 20, 25,........,.........,.........,..........,............,
c)1
2,1
4,1
8,1
16,1
32........,.........,........,........,.........
2 – Complete a sequência abaixo:
Carlos mora na casa de número 723 da rua. Após esta informação, você
é capaz de descobrir qual o número da casa de telhado vermelho e da
casa de telhado amarelo?
Imagens pixabay
ATENÇÃO!Só utilize palitos defósforos usados!
MATEMÁTICA – 7.° ANO 21
Observe este exemplo:
O perímetro de um quadrado é a soma de seus quatro lados.
Como todos os lados de um quadrado possuem a mesma medida,
podemos representá-lo desta forma:
Perímetro = lado + lado + lado + lado = 4 . lado
Substituindo lado pela letra “ℓ” podemos dizer que perímetro é
igual a 4ℓ.
Lendo a figura abaixo, temos:
3 cm
Perímetro = 4 . ℓ= 4 . 3
= 12 cm
Logo, 12 é o valor numérico dessa expressão quando ℓ = 3
1 – Calcule o perímetro das figuras:
a)
𝓍 𝓍 onde 𝓍 = 2 cm
𝓍Perímetro = ________________
b)
𝑚 𝑚onde 𝑚 = 4 cm
𝑚 𝑚
𝑚Perímetro = _________________
2 – Calcule o valor numérico das expressões para “ a ” = 5:
a) 2 a + 3 = ______________
b) 5 a + 3 a – 2 a = _____________
c) a + a + a + a = _____________
Observe que o perímetro se altera de
acordo com o tamanho do lado.
Em uma expressão algébrica, as letras,
chamadas de “variáveis”, podem assumir valores
diferentes. Quando substituímos essas
variáveis por números e efetuamos os
cálculos, obtemos o chamado
VALOR NUMÉRICO DA EXPRESSÃO.
Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.
Logo, o perímetro será:
MATEMÁTICA – 7.° ANO 22
5 – Clóvis foi a uma lan house e verificou que cada hora, na
internet, custava R$ 9,00. Além de navegar na internet, ele também
precisava tirar cópias de alguns documentos. Cada cópia custava
R$ 0,50.
a) Sabendo-se que ele navegou “𝓍” horas na internet e tirou “𝑦”
cópias, monte a expressão algébrica que correspondente ao valor
da conta de Clóvis:
Resposta: _______________________________________
b) Qual seria o valor da conta de Clóvis se ele tivesse navegado
5 horas e tivesse tirado 6 cópias?
Resposta: _______________________________________
c) Qual seria o valor da conta de Clóvis se ele tivesse navegado
3 horas e tivesse tirado 30 cópias?
Resposta: _______________________________________
3 – Determine os valores das expressões algébricas, de acordo com os
valores já indicados:
a) 3 a + 5 b = ____________ onde a = 4 e b = 6
b) 𝓍² + 2 𝒴 = ____________ onde 𝓍 = 2 e 𝒴 = – 3
c)𝓍
2– 2 = ____________ onde 𝓍 = 6
d) b² – 4ac =____________ onde a = 1 , b = – 5 e c= 6
4 – Em uma pizzaria, o preço do rodízio custa R$ 20,00 e cada
refrigerante custa R$ 5,00.
a) Utilizando a letra “𝓍”, para substituir a quantidade de refrigerante
consumido, escreva a expressão algébrica que representa o total da
conta a ser paga por uma pessoa que utilizou o rodízio desta pizzaria:
Resposta : _______________________
b) Calcule o total da conta se essa pessoa
tomasse 3 refrigerantes:
Resposta: ________________________________
pixabay
pix
abay
pixabay
MATEMÁTICA – 7.° ANO 23
b) exemplo de desigualdade:
𝔁 + 3 ______ 2 𝒚 + 5 onde 𝔁 = 2 e 𝒚 = 3
2 + 3 ______ 2 . (3) + 5
5 ______ 11
1 – Verifique, entre as sentenças apresentadas a seguir, quais são
igualdades e quais as desigualdades:
a) 2𝓍 + 9 ______ 6 𝑦 + 7 onde 𝓍 = 3 e 𝑦 = 1
b) 2𝓍 + 𝑦 ______ 3 𝑦 + 𝓍 onde 𝓍 = 2 e 𝑦 = 1
c) 8𝑎 + 2b ______ b³ onde 𝑎 = 2 e 𝑏 = 3
d) 𝑚 + 9 n ______ 18 onde 𝑚 = 9 e 𝑛 = 1
Observe:
a) exemplo de igualdade
𝔁 + 3 ______ 5 onde 𝔁 = 2
2 + 3 ______ 5
5 ______ 5 =
<Chat matemático
Igualdades são sentenças matemáticas
que apresentam sinal de igual (=) entre
elas.
Quando os valores numéricos
encontrados são diferentes, há uma
desigualdade entre as expressões.
Sim! E para que a igualdade seja
verdadeira, os valores numéricos,
encontrados em cada uma das
expressões algébricas,
deverão ser iguais.
Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.
MATEMÁTICA – 7.° ANO 24
Em uma equação, a expressão que vem à esquerda do sinal
de igualdade ( = ) é chamada de primeiro membro e a expressão
que aparece à direita do sinal de igualdade ( = ) é chamada de
segundo membro.
Observe:
O dobro de um número, menos 16, é igual a 4. Qual é esse
número?
2 𝔁 – 16 = 4
1.ºmembro2.ºmembroIncógnita
A palavra equação tem origem no latim “equatione”,
equacionar, que quer dizer igualar, pesar, igualar em peso.
http://www.matematiques.com.br
Equação, é uma sentença matemática
de igualdade, contendo, pelo menos, uma
letra, que representa um número que
ainda não é conhecido.
Incógnita é o valor que é
desconhecido, o que se procura saber.
Neste exemplo, a incógnita é o “𝔁”. Logo,
temos uma equação de primeiro grau
com uma incógnita.
Quando encontramos o valor da incógnita de uma equação de
1.º grau, chegamos a uma solução ou à raiz da equação. No caso
apresentado acima, a solução ou raiz da equação é 10(𝔁 =10).
Procure, no dicionário, o significado da palavra incógnita, escreva
aqui e compartilhe a resposta com os seus colegas.
Vamos resolver essa equação?
2 𝔁 – 16 = 4
Podemos utilizar o método prático. Ele é conhecido como operação
inversa. Nele, passamos o termo que possui a incógnita para o 1.º
membro, à esquerda do sinal de igualdade, e todos os números, para
o segundo membro, à direita do sinal de igualdade.
Como pudemos observar, toda vez que
precisamos passar números ou letras
de um lado para o outro, utilizamos a
operação inversa, ou seja, se o número
está somando de um lado, passa para o
outro subtraindo, e se estiver
multiplicando a incógnita, passa para o
outro dividindo, e vice e versa.
1.° membro
(esquerda)
2.° membro
(direita)
incógnita - __________________________________________
Incógnita
MATEMÁTICA – 7.° ANO 25
A adição é a operação inversa da subtração e
a multiplicação é a operação inversa da
divisão, e vice e versa.
1 – Ache a solução ou a raiz das equações:
a) Um número menos três é igual a 20. Qual é esse número?
b) O dobro de um número mais 10 é igual a 5 .Qual é esse
número?
c) O triplo de um número menos quatro é igual ao dobro desse
mesmo número mais dez. Encontre esse numero:
2 – Resolva as equações:
a) 4 m – 3 = 21 b) 2 a = a + 8
c) 2 𝒴 + 10 = 30 d) 3 p + 9 = 48
e) 3𝓍 – 25 = 2𝓍 + 10 f) 𝑚
2+ 5 = 8
inversa - _____________________________________________
Procure, no dicionário, o significado da palavra inversa, escreva aqui e compartilhe
a resposta com os seus colegas.
MATEMÁTICA – 7.° ANO 26
3 – Renata comprou uma torradeira por R$ 96,00. Ela pagou da
seguinte forma: uma entrada de R$ 16,00 e mais 4 prestações de
mesmo valor (iguais). Qual o valor de cada prestação?
Resposta: _______________________________________
4 – A avó de Pedro tem o triplo da idade de Pedro mais 5 anos. Sua
avó tem 50 anos. Qual a idade de Pedro?
Resposta: _________________________________________
pixabay
pixabay
5 – Em um clube, há uma quadra de tênis cujo perímetro é de 96 m.
Se o comprimento da quadra é de 12 m maior que a largura,
descubra quais as dimensões dessa quadra?
Resposta: _____________________________________________
6 – Em uma praça, cinco crianças resolveram brincar na gangorra.
Dois irmãos (João e José), tendo exatamente a mesma massa
(“peso”), sentaram-se em um dos lados da gangorra. Do outro lado,
sentaram Pedro, Paulo e Felipe, com 45 kg, 42 kg e 39 kg,
respectivamente cada um. Sabendo-se que a gangorra ficou
equilibrada, descubra qual a massa (“peso”) dos irmãos José e João?
Resposta: ______________________________________
pixabay
pixabay
Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.
MATEMÁTICA – 7.° ANO 27
EXPRESSÃO:
3𝑦 + 3
VALOR NUMÉRICO
3 . 2 + 3 6 + 3 = 9
3 . 7 + 3 21 + 3 = 24
3 . (– 3) + 3 – 9 + 3 = -6
3 . 0 + 3 0 + 3 = 3
3 . 10 + 3 30 + 3 = 33
𝑦
2
7
– 3
0
10
Vejamos esse exemplo:
Sr. Pedro trabalha em uma carrocinha de pipoca. Seu patrão paga a
ele R$ 20,00 por dia de trabalho mais R$ 2,00 por saquinho de pipoca
vendido.
Primeiro, vamos montar a equação que representa quanto Sr. Pedro
ganha ao final de um dia de trabalho:
Ganho = 20 + 2𝓎
Repare que, de acordo com a quantidade de saquinhos de pipoca
vendidos, o valor que ele ganha por dia, também vai variar.
Se o Sr. Pedro vender 30 saquinhos de pipoca no dia, ele irá ganhar...
Ganho = 20 + 2𝓎Ganho = 20 + 2 . 30
Ganho = 20 + 60 = 80
Logo, Sr. Pedro ganhará R$ 80,00 no dia.
1 – Para passar o fim de semana com a família, João Pedro alugou
um quarto numa pousada. O valor da diária do quarto de casal é
R$ 80,00 mais R$ 10,00 a cada cama extra solicitada.
a) Monte a equação que melhor representa o gasto diário nessa
pousada:
Resposta:________________________________________________
b) Se João Pedro pediu 4 camas extras, calcule o seu gasto diário
nessa pousada:
Resposta: ________________________________________________
Em uma equação de 1.º grau, o elemento
desconhecido é chamado de incógnita. A
incógnita apresenta apenas um único
número como resultado, tornando a
equação verdadeira. Já a variável, pode
assumir qualquer valor que desejarmos em
uma expressão algébrica. Daí o nome
variável (sujeito a variações ou mudanças).
• Exemplo de incógnita:
2𝑥 + 9 = 81
2𝑥 = 81 – 9
2𝑥 = 72
𝑥 = 72
2
𝑥 = 36
• Exemplo de variável:
𝒙 = incógnita
Para tornar a equação verdadeira, o “𝒙”
só pode assumir um único valor que é 36.
Conforme
modificamos o valor
da variável,
alteramos o valor
numérico da
expressão algébrica.
pixabay
𝒚 = variável
MATEMÁTICA – 7.° ANO 28
Um sistema de equação de 1.º grau pode ser
resolvido através do método da substituição
ou do método da adição.
• MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO
Este método consiste em achar o valor de uma das incógnitas em
uma das equações e substituí-la na outra. Observe:
ቊ𝑀 + 𝐶 = 40
𝑀 = 3𝐶
Se M = 3C e substituindo esse valor na 1.ª equação, teremos:
3C + C = 40
4 C = 40 → C =40
4→ C = 10
Descobrimos, dessa maneira, que Clara tem 10 anos. Substituindo
esse valor na 1.ª ou na 2.ª equação, encontraremos:
M = 3 x 10
M = 30
Logo, descobrimos que Mariana tem 30 anos.
Existem algumas situações em que encontramos equações que
possuem mais de uma incógnita.
Observe:
A soma das idades de Mariana e Clara é igual a 40 anos. Poderíamos
representar a situação através da seguinte equação:
M = idade de Mariana
C = idade de Clara Logo, M + C = 40
Porém, somente essa informação não é suficiente para determinar a
idade de cada uma delas, pois existem 2 incógnitas. Logo, existem
muitas possibilidades para essa equação.
Veja:
20 + 20 = 40
15 + 25 = 40
18 + 22 = 40 .......
Se tivermos mais alguma informação, envolvendo uma das incógnitas
pelo menos, já teríamos dados suficientes para determinarmos as
idades de Mariana e Clara.
Por exemplo:
A idade de Mariana é o triplo da idade de Clara. Poderíamos, então,
representar a situação através dessa equação:
M = 3 . C
Ficamos com 2 equações, com 2 incógnitas em cada uma delas, o
que chamamos de Sistema de Equações de 1.º Grau.pixabay
MATEMÁTICA – 7.° ANO 29
• MÉTODO DA ADIÇÃO
Este método consiste em realizarmos a soma dos termos de cada uma
das equações, com a finalidade de anular uma das incógnitas.
Vejamos um exemplo que resolveremos pelo método da adição:
Rodrigo possui vários animais de estimação. Certo dia, um amigo
perguntou a ele quantos cachorros e quantos gatos ele possuía. Rodrigo
disse que a soma do número de cachorros, com o número de gatos, era
igual a 11 e que a diferença entre o número de cachorros e o número de
gatos era de apenas 1. Para descobrirmos o número de cachorros e
gatos, vamos montar um sistema com as duas equações.
O número de cachorros representaremos por c.
O número de gatos representaremos por g.
Se a soma do número de cachorros com o número de gatos é igual a 11,
temos:
c + g = 11
Se a diferença entre o n.º de cachorros e de gatos é igual a 1, temos:
c – g = 1
Já com as equações encontradas, podemos montar o nosso sistema:
c + g = 11
c – g = 1
ቊ𝑐 + 𝑔 = 11𝑐 − 𝑔 = 1
+
c = 12
2
c = 6 → número de cães
Substituindo o número de cães em qualquer uma das duas equações,
descobriremos o número de gatos.
c + g = 11
6 + g = 11
g = 11 – 6
g = 5 → número de gatos.
1 – Resolva os sistemas:
a) ൜𝓍 +𝓎 = 20𝓍 −𝓎 = 6
MATEMÁTICA – 7.° ANO 30
b) ቊ𝑎 + b = 2𝑎 + 2b = 7
c) ቊ2𝓍 + 𝓎 = 62𝓍 + 3𝓎 = 2
2- Resolva os problemas apresentados a seguir, montando um sistema.
a) Em uma partida de vôlei de praia, Luísa e Júlia marcaram, juntas,
21 pontos. Luísa marcou o dobro dos pontos de Júlia. Quantos
pontos cada uma fez?
Resposta: ____________________________________________
b) A soma das idades de dois amigos é igual a 45. Sabendo-se que um
é 5 anos mais velho que o outro, descubra as idades dos dois amigos:
Resposta: _______________________________________________
c) Caio e Felipe combinaram de soltar pipas no final de semana. Juntos,
eles possuíam 9 pipas. Caio levou 3 pipas a mais que Felipe. Descubra
quantas pipas cada um levou:
Resposta: _______________________________________________
MATEMÁTICA – 7.° ANO 31
3 – Resolva as situações-problema:
a) Em um brechó, Ana comprou uma blusa e uma calça. Ela pagou
R$ 50,00. A diferença entre o preço da blusa e o preço da calça foi de
R$ 10,00. Quanto custou a blusa e quanto custou a calça?
Resposta: ______________________________________________
b) Gustavo foi ao banco pagar a conta de água e a conta de luz. Para
pagar as duas contas, ele gastou R$ 140,00. Sabendo-se que o valor
da conta de água, acrescido de R$ 40,00, é igual ao valor da conta de
luz, calcule o valor de cada conta:
Resposta: ______________________________________________
c) Em um sítio, há 8 cavalos entre potros e cavalos adultos. O número
de potros mais 1 é igual ao dobro dos cavalos adultos. Quantos
cavalos são potros e quantos já são adultos?
Resposta: ______________________________________________
d) Em uma loja de brinquedos, há 22 veículos infantis à venda, entre
minicarros e bicicletas. Sabemos que as bicicletas possuem 2 rodas e
os minicarros possuem 4 rodas, dando um total de 74 rodas. Qual a
quantidade de bicicletas e minicarros à venda nessa loja?
Resposta: __________________________________________
pixabay
pixabay
pixabay
Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.
MATEMÁTICA – 7.° ANO 32
De acordo com a tabela, responda:
a) Qual ou quais os produtos que foram menos consumidos?
___________________________________________________________
b) Qual ou quais os produtos que foram mais consumidos?
___________________________________________________________
c) Qual ou quais os produtos que venderam mais de 400 unidades?
___________________________________________________________
1 – Observe o plano cartesiano e diga onde estão localizados os
oito coelhos:
A (....., .....) B (....., .....) C (....., .....)
D (....., .....) E (....., .....) F (....., .....)
G (....., .....) H (....., .....)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Quantidade e
m u
nid
ades
Produtos
CONSUMO DE ALIMENTOS DURANTE O FIM DE SEMANA
1 – Leia a tabela apresentada a seguir. Ela nos mostra o consumo de
alimentos na lanchonete de um clube durante o fim de semana.
Faça boas escolhas! Descubra o
prazer da boa alimentação,
preferindo frutas,
legumes e verduras.
Parceria com Prof. Tadeu
Campos e Prof.ª Roberta
Lopes (Gerência de
Alimentação Escolar -
SME)
MATEMÁTICA – 7.° ANO 33
2 – Leia o gráfico apresentado a seguir. Veja a quantidade de latas de
leite que Marlene utilizou para preparar os bolos para as festas infantis
nos últimos seis meses:
Com base nos dados acima, responda:
a) Em qual dos meses Marlene usou mais latas? __________________
b) Em quais meses Marlene usou menos latas? ___________________
c) Qual a quantidade de latas utilizada nos meses de janeiro e fevereiro,
juntos? ___________________________________________________
d) Qual a quantidade de latas utilizada nos meses de maio e junho,
juntos? ____________________________________________________
e) Qual o total de latas utilizado nesses seis meses? ______________
3 – Leia o gráfico apresentado a seguir. Ele nos mostra a
distribuição percentual das vendas de barras de chocolate
realizadas por uma distribuidora na Páscoa:
Com base nos dados acima, responda:
a) Qual o tipo de barra de chocolate que foi mais vendido?
______________________________________________________
b) Qual o tipo de chocolate menos vendido?
______________________________________________________
c) Qual o percentual encontrado nas vendas de chocolates ao leite
mais chocolates brancos? ______________________________
d) Qual o percentual encontrado nas vendas de chocolates brancos
mais chocolates amargos?______________________________
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
Junho
Maio
Abril
Março
Fevereiro
Janeiro
QUANTIDADE DE LATAS DE LEITE UTILIZADAS
Latas de leite utilizadas
MATEMÁTICA – 7.° ANO 34
Algumas razões recebem nomes especiais, como: densidade
demográfica, velocidade média, escala, porcentagem etc.
Exemplo:
Para encontrarmos a velocidade média (Vm) percorrida por um
veículo, determinamos a razão entre a distância percorrida por
esse veículo e o tempo gasto nesse percurso. Se o veículo
percorreu 60 km em 2 horas, encontraremos:
Vm =𝟔𝟎 𝑲𝒎
𝟐 𝒉= 30 km/h
Chat matemático
Você sabia que a razão é utilizada
para compararmos duas grandezas?
E que grandeza é tudo aquilo que
pode ser medido ou contado, como
comprimento, temperatura, massa,
idade, tempo, e outras quantidades?
Sim! A palavra razão significa
"divisão”. Logo, para fazermos uma
relação entre duas grandezas, temos
que dividir uma grandeza pela outra.
Temos que lembrar também que, numa razão
entre dois números, o número que vem
primeiro vai para o numerador e o número
que vem depois, vai para o denominador!
Exemplo:
Uma equipe de judô possui 35 atletas, sendo 15 meninas e 20
meninos. Qual a razão entre o número de meninas e o número de
meninos?
Razão → 15 : 20 ou15
20
15
20=
3
4Logo, a razão é
3
4.
Se temos duas grandezas a e b, a razão entre elas será 𝒂
𝒃ou a : b onde b é diferente de zero. Observe a ordem em
que foram apresentadas as duas grandezas.
1 – Calcule as razões entre os números abaixo:
a) 16 e 20
b) 36 e 30
c) 8 e 4
d) 30 e 100
pixabay
MATEMÁTICA – 7.° ANO 35
A igualdade entre razões denomina-se
proporção. Logo, se duas razões são iguais,
elas formam uma proporção.
De acordo com a propriedade fundamental das proporções, diz-se que:
“em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos
meios.” Para verificarmos a proporcionalidade, realizamos uma operação
denominada multiplicação cruzada.
Exemplo:
As razões 1
4e
5
20são iguais. Então, temos uma proporção formada por:
1
4=
5
20ou 1 : 4 = 5 : 20
Em uma proporção, a razão entre a e b
é igual à razão entre c e d , onde a, b,
c e d são diferentes (≠) de 0.
ab
=cd
Onde “a” e “d” são chamados de extremos.
“b” e “c” são chamados de meios.
1 – Diga se as razões apresentadas a seguir, formam uma proporção:
a) 4 = 8
5 10
b) 2 = 5
4 3
c) 10 = 3
20 6
d) _9 = 3
12 4
e) _5 = 7
4 6
2 – Uma fábrica de pneus produz 198 pneus em 6 horas de trabalho
e 99 pneus em 3 horas de trabalho. Diga se as razões encontradas,
nesta situação, formam uma proporção?
Resposta: ___________________
____________________________
pixabay
extremo
extremo
meio
meio
produto dos extremos produto dos meios
Demonstre, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos
resultados.
MATEMÁTICA – 7.° ANO 36
As grandezas proporcionais podem ser divididas em:
- grandezas diretamente proporcionais, quando variam em um
mesmo sentido, ou seja, se uma grandeza aumenta a outra também
aumenta na mesma proporção.
Exemplo:
Uma costureira precisa de 2 m de tecido para fazer uma almofada. Se
ela tivesse que fazer 5 almofadas, quantos metros de tecido ela iria
precisar?
1
5=
2
𝑥
1. 𝓍 = 5 . 2
𝓍 = 10
- grandezas inversamente proporcionais, quando variam em
sentidos opostos, ou seja, se uma das grandezas cresce a outra
decresce e vice-versa, também na mesma proporção.
Exemplo:
Uma firma leva 18 dias para reformar uma determinada casa,
trabalhando com 6 operários. Se essa firma tivesse um prazo de apenas
9 dias para executar essa obra, quantos funcionários ela teria que
utilizar?
18
9=
𝑥
6
18. 6 = 9 . 𝓍9𝓍 = 108
𝓍 = 12
Existem grandezas proporcionais e
grandezas não proporcionais. Observe!
Existe um método que nos ajuda a resolver vários problemas que
envolvem grandezas proporcionais. Chama-se regra de três. Nesta
regra, geralmente, conhecemos três valores e temos que achar um
quarto valor.
Exemplo:
João vai percorrer 10 km, andando a pé, mantendo a mesma
velocidade. Sabendo-se que ele leva 12 minutos para percorrer cada
quilômetro, quanto tempo ele levará para percorrer 10 km?
Temos 1
10=
12
𝑥(1 está para 10, assim como 12 está para 𝑥 )
Agora, basta multiplicar os termos dessa
Proporção, em cruz, que teremos:
1 . 𝑥 = 10 . 12
Logo, 𝓍 = 120 min ou 2 horas.
pixabay
Aumenta a quantidade de almofadas e
aumenta a quantidade de tecido.
Diminui o prazo e aumenta a quantidade
de operários.
Se as grandezas são inversamente proporcionais, temos que
manter uma razão e inverter a outra para termos uma igualdade.
X 5 X 5
X 2: 2
DISTÂNCIA (km) TEMPO (min)
1 12
10 𝓍
n.º de almofadas metros de tecido
1 2
5 𝓍
prazo da obra n.º de operários
18 6
9 𝓍
Repare que, aumentando a distância da caminhada,
aumenta o tempo dessa caminhada.
MATEMÁTICA – 7.° ANO 37
1 – João Guilherme deseja ampliar uma gravura cujo tamanho
original tem 15 cm de largura por 21 cm de comprimento. Ele quer
que a figura fique com 42 cm de comprimento, mantendo a
proporção. Qual será a largura dessa gravura?
Resposta: ____________________________________________
2 – Dois caminhões, juntos, transportam 30 toneladas de areia.
Para transportar 120 toneladas de areia, quantos caminhões iguais a
esses serão necessários?
Resposta: ____________________________________________
3 – Um pintor levaria 12 dias para pintar um determinado
apartamento. Mas o proprietário precisa que o apartamento seja
pintado em 3 dias. Assim, quantos pintores serão necessários para
realizar a pintura em 3 dias?
Resposta: ______________________________________________
4 – Um trem, com a velocidade de 90 km/h, percorre uma certa
distância em 2 horas. Se esse trem aumentasse a sua velocidade
para 120 km/h, quanto tempo gastaria para percorrer a mesma
distância?
Resposta: ______________________________________________
Largura (cm) Comprimento
(cm)
Caminhões Toneladas de
areiavelocidade (km/h) tempo (h)
n.º de pintores n.º de dias
Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.
MATEMÁTICA – 7.° ANO 38
Porcentagem é uma razão que compara
grandezas de mesma natureza, tomando por
base uma fração com denominador 100.
“Por cento” significa dividir por cem.
Observe as porcentagens:
100% = 100
100= 1 (que equivale ao todo)
50% = 50
100= 1
2(que equivale à metade do todo)
25% = 25
100= 1
4(que equivale à quarta parte do todo)
10% = 10
100=
1
10( que equivale à décima parte do todo)
1% = 1
100=
1
100( que equivale à centésima parte do todo)
Exemplos:
Calcule 50% de 150, sendo 150 o nosso todo:
50% de 150 = metade de 150 = 75
Calcule 25% de 80, sendo 80 o nosso todo:
25% de 80 = quarta parte de 80 = 20
Outra maneira de se calcular a porcentagem é multiplicando a
fração pelo todo.
Exemplo:
20% de 500 →20
100. 500 =
20 . 500
100= 100
10% de 300 →10
100. 300 =
10 . 300
100= 30
1 – Sabrina foi abastecer seu carro e verificou que o litro de álcool
teve um aumento de 10%. Se o álcool custava R$ 2,00, quanto
aumentou o valor do litro?
Resposta: ________________________________________
2 – João Gabriel recebeu 15% de desconto na compra de um
tênis. Qual o valor do desconto que ele recebeu, sabendo-se que
o tênis custou R$ 120,00?
Resposta: ________________________
pixabay
pix
abay
Observe: cem – cento – centena – centésimo...
MATEMÁTICA – 7.° ANO 39
3 – Em um curso de inglês, estudam 120 alunos. Destes, 80% obtiveram
aprovação. Calcule o número de alunos aprovados:
Resposta: ________________________________________
4 – Um celular pode ser comprado em 6 prestações de R$ 100,00 ou
também pode ser comprado à vista com 10% de desconto. Caso seja
pago à vista, qual o valor a ser pago por esse celular?
Resposta: ________________________________________
5 – Diamantino colocou três litros de água e um litro de refresco em
um recipiente. O refresco é composto de 20% de suco de laranja e
80% de água. Depois de misturar tudo, que porcentagem do
volume final representa o suco de laranja?
(A) 5%.
(B) 7%.
(C) 8%.
(D) 20%.
(E) 60%.
OBMEP – NÍVEL 1
Agudo ObtusoReto
•
De acordo com a sua medida, o ângulo possui três
classificações: agudo, obtuso e reto. Observe:
RETO - quando sua medida vale 90°.
AGUDO - quando sua medida se encontra entre 0° e 90°.
OBTUSO - quando sua medida se encontra entre 90° e 180°.
Os ângulos podem ser medidos através de um instrumento
chamado transferidor. A unidade de medida de ângulo é o grau, cujo
símbolo é ( ° ) .
Chamamos de ângulo a região do plano limitada por duas
semirretas de mesma origem.
O grau se divide em minutos e segundos.
1°= 60’ , ou seja, o grau é 60 vezes maior que o minuto.
1’ = 60’’, ou seja, o minuto é 60 vezes maior que o segundo.
OA
OB
semirretas demesma origem
(lados do ângulo)
:
MATEMÁTICA – 7.° ANO 40
3 – Encontre os valores de “𝑥” e determine os ângulos formados
pelas bissetrizes nas figuras abaixo:
a) b)
c)
2 – Em seu caderno, efetue as operações. Lembre-se de colocar
aqui as respostas:
a) 24° 52’ 38” + 40° 30’ 25” = ___________________________
b) 2 x ( 7° 2’ 20”) = ___________________________________
c) (30° 25’ 12”) : 2 = ___________________________________
❖ Transformar graus em minutos:
a) 2° = 2 x 60 = 120’
b) 12° = 12 x 60 = 720’
❖ Transformar graus em segundos:
Se 1° = 60’, e 1’ = 60” logo: 1° = 60 x 60 = 3 600”
a) 3° = 3 x 3 600 = 10 800”
b) 10°= 10 x 3 600 = 36 000”
❖ Transformar minutos ou segundos em graus:
→ utilizamos a operação inversa da multiplicação, que é a divisão. Veja:
a) 30’ em graus = 30 : 60 = 0,5°
b) 720’ em graus = 720 : 60 = 12°
1 – Responda:
a) Qual é o ângulo de uma volta completa? ___________________
b) Qual o ângulo de meia volta? ____________________________
c) Qual o ângulo de um quarto de volta? ______________________
d) Qual o ângulo de três quartos de volta?_____________________
e) Como se chama um ângulo que mede mais que zero grau e
menos que noventa graus? ________________________________
f) Como se chama o ângulo que mede 0º? ____________________
D
E
F
M
DM é bissetriz de EDF^
Bissetriz de um ângulo é uma semirreta
que parte do vértice desse ângulo,
dividindo-o em dois ângulos de mesma
medida, ou seja, em dois ângulos
congruentes.
DF
M
E
20° 10°10°
L
J
𝒙20°
M
P
W
5𝒙 + 12°
7𝒙
O
K Q
B
M
𝒙
C
A
Demonstre, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.
vértice
MATEMÁTICA – 7.° ANO 41
r
s
t
u
• Retas paralelas – pertencem ao mesmo plano e não possuem
nenhum ponto em comum, ou seja, não se cruzam:
• Retas concorrentes – pertencem ao mesmo plano e se cruzam em
apenas um ponto (ponto em comum):
• Retas concorrentes perpendiculares – elas se cruzam perpendicularmente,
formando 4 ângulos retos (90°):
v
w
• Retas coincidentes – pertencem ao mesmo plano e possuem todos
os pontos em comum, ou seja, são sobrepostas:
p q
.. .
.
r // s
t u
v w┴
p ≡ q
Duas retas diferentes, dentro do
mesmo plano, podem ser: paralelas,
concorrentes, concorrentes
perpendiculares, e coincidentes.
1 – Identifique as retas abaixo:
....
2 – Responda:
a) Quando duas retas, que se localizam no mesmo plano, se cruzam,
formando quatro ângulos retos, são chamadas de
_________________________________________________________
b) Quando duas retas se localizam no mesmo plano e não possuem
pontos em comum, são chamadas de
_________________________________________________________
c) Quando duas retas se localizam no mesmo plano e se cruzam em
apenas um ponto (ponto em comum), são chamadas de
_________________________________________________________
3 – Lendo a imagem, podemos observar que os trilhos do trem nos
trazem a ideia de retas
(A) paralelas.
(B) coincidentes.
(C) concorrentes.
(D) perpendiculares.
pixabay
𝑟
𝑠
𝑡
𝑢
𝑣
𝑥
𝑦𝑧
ponto em comum
Sobreposto -posto em cima de
MATEMÁTICA – 7.° ANO 42
As formas geométricas planas, cujo contorno é fechado e formado
por segmentos de retas que não se cruzam, são chamadas de
polígonos.
AB
CDvértice
lado
diagonal
ângulointerno
No polígono A, B, C, D, podemos destacar os seguintes elementos:
- 4 vértices: A, B, C e D;
- 4 lados: AB, BC, CD e AD;
- 4 ângulos internos: A, B, C, e D;
- 2 diagonais: AC e BD
- 4 ângulos externos: BCE é um dos 4 ângulos externos.
Observe, a seguir, exemplos de polígonos e de não polígonos:
polígonos – formados por linhas retas
fechadas que não se cruzam
Os polígonos possuem elementos capazes de diferenciá-los.
São eles: lados, vértices, ângulos internos, ângulos externos e
diagonais.
ânguloexterno
E
TRIÂNGULO
Os polígonos podem ser classificados de acordo com o número
de lados, vértices e ângulos internos:
3 lados, 3 vértices
e 3 ângulos internos
6 lados, 6 vértices
e 6 ângulos internos
HEXÁGONO
5 lados, 5 vértices
e 5 ângulos internos
PENTÁGONO
QUADRILÁTERO
4 lados, 4 vértices e
4 ângulos internos
Outros polígonos:
Heptágono – 7 lados
Octógono – 8 lados
Eneágono – 9 lados
Decágono – 10 lados
Undecágono -11 lados
Dodecágono – 12 lados
Pentadecágono – 15 lados
Icoságono – 20 lados
Repare que, em cada polígono
apresentado, o número de lados,
vértices e ângulos internos são iguais.
Quando as medidas de todos os lados e
de todos os ângulos internos são
iguais, dizemos que o polígono é regular.
A diagonal é o segmento de reta que une 2 vértices não
consecutivos (que não são seguidos, há outro(s) vértice(s) entre
eles) e o triângulo é o único polígono que não possui
diagonais.
não polígonos – formados por linhas abertas ou linhas
que se cruzam ou que possuam parte arredondada
MATEMÁTICA – 7.° ANO 43
1 – Identifique, nas figuras apresentadas a seguir, se
elas são ou não polígonos:
__________ ____________ ____________ _____________
__________ ____________ ____________ _____________
2 – Escreva o nome de cada polígono:
____________ _______________ ______________
______________ _______________ _______________
Quanto à medida de seus ângulos, podem ser classificados em:
Triângulo retângulo
possui 1 ângulo reto
Triângulo acutângulo
possui 3 ângulos agudos
Triângulo obtusângulo
possui 1 ângulo obtuso
•
3 cm 3 cm
2 cm
4 cm
2 cm
2 3 cm
Equilátero
possui 3 lados e 3
ângulos iguais
Escaleno
possui 3 lados e 3
ângulos diferentes
Isósceles
possui 2 lados e 2
ângulos iguais
60°60°
60°
.90°
60°
30° 71° 71°
38°
Quanto à medida de seus lados, podem ser classificados em:
120º90º
3 cm3 cm
3 cm
60°60°
60°
Os triângulos são polígonos que possuem 3 lados, 3 ângulos e
3 vértices e não possuem diagonais.
A soma dos ângulos internos de um
triângulo é igual a 180°.
MATEMÁTICA – 7.° ANO 44
1 – Descubra o valor de “𝑥” nos triângulos:
2 – Agora, complete a tabela:
35°
𝑥
.
D
FE
____ ____
____
Não possuem lados paralelos.
Possuem apenas um par de lados paralelos.
retângulo losango paralelogramo quadrado
trapézio
isósceles
trapézio
retângulo
trapézio
escaleno
•
••
•
• •
• •
Paralelogramos
Possuem dois pares de lados paralelos.
Não trapézios
Trapézios
•
•
A soma dos
ângulos internos de
um quadrilátero é
igual a 360°.
São polígonos de 4 lados. Quanto aos seus lados, os quadriláteros se
dividem em: paralelogramos, trapézios e não trapézios.
TriânguloÂngulos
internos
Classificação
quanto aos
ângulos
Classificação
quanto aos
lados
a A B C 60° 60° equilátero
b D E F 35° retângulo
c G H I 30° 30°
d L M N 60° 70°
a) b)
c) d)
60° 60°
𝑥
A
B C
𝑥30°
I H
G𝑥
70°60°L M
N
____
MATEMÁTICA – 7.° ANO 45
3 – Descubra o valor de “𝓍” nos quadriláteros apresentados a seguir:
a)
80° 80°
𝓍 𝓍b)
110°
𝓍
.
91°
2 – Classifique os quadriláteros:
a) b)
• •
• •2 cm
4 cm
2 cm
4 cm
A B
C D
OBMEP – Nível 2
(A) 120°.
(B) 180°.
(C)270°.
(D)360°.
(E) 540°.
Na figura, os pontos A,B e C estão alinhados. Qual é a soma
dos ângulos marcados em cinza?
A B C
Perímetro é a medida do comprimento do
contorno de uma figura plana ou a soma do
comprimento de todos os lados.
5 cm
6 cm
2 cm
3 cm
Exemplo:
1 – D. Nilza precisa colocar um acabamento em volta de um corte de
tecido. Este corte de tecido é retangular, medindo 60 cm x 80 cm. Com
quantos metros de tecido ela fará o acabamento?
Resposta: ________________________________________________
2 – João comprou um terreno quadrado, medindo 10,6 m de lado. Ele
vai murar toda a volta do terreno. Quantos metros de muro ele terá
que construir?
Resposta: _____________________________________________
Perímetro = 5 + 2 + 3 + 6
Perímetro = 16 cm
Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.
MATEMÁTICA – 7.° ANO 46
1 – No clube, irão pintar o chão da quadra poliesportiva. A quadra mede
30 m de comprimento por 10 m de largura. Quantos metros quadrados
serão pintados?
Resposta:________________________________________
2 – Determine a área da figura:
3 – Henrique pretende construir a sua pipa na forma de um losango.
Para isso, ele precisa comprar uma quantidade de papel igual à área da
pipa desenhada abaixo. Quantos cm² de papel Henrique terá que
comprar?
Resposta:________________________________________
Vejamos algumas fórmulas de área já estudadas anteriormente:
A
B
D
C
altura
base
Área = base . altura
base
altura
A
B C
Área = 𝑏𝑎𝑠𝑒 . 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
paralelogramo
triângulo
B C
A D
lado
lado
Área = lado . ladoquadrado
B
A D
CBase maior
base menor
Área =𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟+𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 . 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2altura trapézio
A
B
C
D
Diagonal maior
diagonal menor
Área =𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 . 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
2
Área é a grandeza que corresponde à medida de uma superfície.
losango
20 cm
pixabay
B
A D
C
7 cm
5 cm
9 cm
30 cm