aproximación a la probabilidad de filosofía...fica entre la realidad y la representación...

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Celso Vargas

Aproximación a la probabilidad

Abstraet. This paper presents a generaldescription of probability; this vast and fruitfulfield of mathematics and of philosophy. Herethe representational approach of reality is privi-leged. From it, as discussed, ir is clear that bothdeterministic and probabilistic representationsshare several features but also differ in essentialaspects. The paper ends briefly describing someof the interpretations of probability.

Key words: Probability, representation-al approach, deterministic and probabilisticrespresentations.

Resumen. Este artículo presenta unadescripción general de la probabilidad, estevasto y fecundo campo de las matemáticas yde la investigación filosófica. Se privilegia elenfoque conocido como "representación de larealidad". Desde esta perspectiva, como se dis-cute en el artículo, tanto las representacionesdeterminísticas como las probabilísticas com-partes varias características pero difieren tam-bién en aspectos esenciales. El artículo terminadescribiendo brevemente algunas de las princi-pales interpretaciones de la probabilidad.

Palabras clave: Probabilidad, represent-ación de la realidad, representaciones deter-minísticas y probabilísticas.

1. Contexto

Los desarrollos teóricos en probabilidad sonrelativamente recientes comparados con aquellosde las matemáticas en general. En efecto, salvolas excepciones que siempre se encuentran, losprimeros enfoques sobre probabilidad se remon-tan a la segunda mitad del siglo XVII. Adquierenun nuevo impulso en el siglo XIX con Laplace ycon el advenimiento de la mecánica estadística,y se convierte en un enfoque dominante en elsiglo XX en la investigación científica, en ase-guramiento de la calidad y en los desarrollostecnológicos, en la evaluación de las teorías cien-tíficas y en los estudios sobre el desarrollo paramencionar algunos de nuevos campos.

Davis y Hersh (1986) ubican el gran impul-so que han recibido las matemáticas en generalcomo la concreción del sueño de Descartes deconstruir un mundo de acuerdo con las mate-máticas. Si seguimos la aproximación de estosautores, podemos afirmar que los desarrollosmatemáticos que tuvieron mayor alcance pri-mero fueron referidos a aquellos ámbitos de larealidad o de la idealización matemática queson susceptibles de ser abordados desde unaaproximación determinística. Es decir, aquellosámbitos en los que dadas determinadas condicio-nes podemos predecir con certeza, el resultado

Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, XLVI (119), 39-44, Setiembre-Diciembre 2008 I ISSN: 0034-8252

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o efecto. Se tiene control de todas las variablesintervinientes.

Pero esta aproximación tiene sus límites enaquellos dominios del conocimiento en los queno se puede garantizar la necesidad de la con-clusión O de determinados efectos, a partir de lascondiciones dadas. Se conoce como modelaciónestocástica a aquellos ámbitos en los que tenemosque asignar una probabilidad a la ocurrencia deun evento, o a la conclusión obtenida.

En esta exposición seguiremos la siguienteestrategia: vemos la emergencia de los enfoquesestocásticos como el resultado del esfuerzo deextender la matematización de la "realidad" enaquellos ámbitos en los que las aproximacionesdeterminísticas encontraron limitaciones en Iamodelación. En este sentido, se impone primerouna breve caracterización de este proceso demodelación, para pasar analizar aquellos ámbitosen los que la modelación estocástica es propia,para concluir con algunas reflexiones sobre estetipo de modelación.

2. La modelación matemáticade la realidad

Uno de los aspectos más intrigantes es quemuchos aspectos de la "realidad" puedan sermodelados matemáticamente. Pero lo que es másintrigante aún es que se haya tenido tanto éxitoen esta modelación. Que cada día más ámbitossean susceptibles de ser comprendidos de mane-ra cuantitativa. El ingenio humano parece noconocer límites en este proceso. La capacidad dereducir problemas no lineales en lineales es unade las cosas más extraordinarias. El que se hayandesarrollado métodos heurísticos para aproximarproblemas complejos con un gran éxito predictivoes otra faceta del ingenio humano.

Tanto los griegos como Descartes visualiza-ron un mundo regido por las matemáticas. En eldesarrollo de la filosofía y de la ciencia moderna,sin duda, Descartes es el que ha desempeñado unpapel fundamental. Podemos expresar el sueñocartesiano como encontrar una relación isomór-fica entre la realidad y la representación mate-mática. Parafraseando a Brown (2001), podemos

expresar esto de la siguiente manera: dado D,un dominio de "entidades" matemáticas y dadoD* un dominio de "entidades" no matemáticas,entonces, una relación H: D -7 D* es isomórficasi se cumplen las siguientes condiciones:

a) D y D* son numerable sb) El dominio D (H) = Dc) Si R es una relación de orden en D, entonces,

existe una R' en D*, tal que,i. Para todo a y b que pertenecen a D y

aRb, si y solo si, H(a)R'H(b)11. H(aRb) si y solo si H(a) R'H (b)

Respecto a de esta expectativa cartesiana,dos cambios importantes son introducidos. Elprimero de ellos, es mantener una relación no deisomorfismo sino de homomorfismo. Es decir,suavizamos un poco más las condiciones ante-riormente indicadas de la siguiente manera:

a) D es numerable s y D* tiene al menos unsubconjunto numerable

b) El dominio D (H) = Dc) Si R es una relación de orden en D, entonces,

existe una R' en D*, tal que,iii. Para todo a y b que pertenecen a D y

aRb, entonces, H(a)R'H(b)IV. H(aRb) entonces, H(a) R'H (b)

La segunda modificación es el abandono dela pretensión de representar toda la "realidad"extensa en términos de una sola representación,y orientar las preferencias hacia la representaciónde algunos "segmentos de la realidad". Es decir,podemos hacer diferentes representaciones de la"realidad" no necesariamente consistentes unacon otra y, si encontramos una forma de unidas,no nos proporcionan una visión completa. Estocomenzamos a observado con claridad a partir dela segunda mitad del siglo XIX.

Directamente relacionado con lo anterior estáel hecho de que se haya recurrido a la "mediaciónde la realidad", mediante una idealización, conel fin de poder expresar sus propiedades princi-pales. El recurso a la idealización también estápresente en situaciones estocásticas, y tiene sufundamento en la búsqueda de una mayor genera-lización de los resultados. En efecto, entre mayor

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sea la descripción, menor es la prescripción,y por tanto, el poder predictivo. La búsquedade términos medios es un recurso importantepara capturar las asimetrías entre la descripcióny la prescripción. Un conjunto importante depropiedades de "medida" son utilizadas en elestablecimiento de esta relación homomórficaentre la representación matemática y la realidad.Históricamente, las más importantes han sido larelaciones de "mayor que", "menor que", e "iguala", y sus correspondientes propiedades: reflexi-bilidad, simetría, asimetría, antisimetría y tran-sitividad. Pero muchas otras relaciones puedenser derivadas o extendidas para captar aspectosde otros dominios. Por ejemplo, las relaciones de"mayor que" encuentran su contraparte cuandohay medidas de temperaturas, dureza, densidades,etc. Los homomorfismo s, pues, suponen que lasrepresentaciones matemáticas expresan propieda-des de los objetos en la realidad, o en el dominioobservacional si lo queremos-llamar así.

Ahora bien, todo el periodo que estamoscaracterizando, puede ser bien captado en tér-minos del esfuerzo de Leibniz por comprenderdiferentes ámbitos de la realidad bajo un for-malismo abstracto y utilizando el concepto detransformación o similitud, tal y como aparece ensu artículo de 1715 "Fundamentos metafísicos delas Matemáticas". En efecto, ahí Leibniz muestracómo la extensión, la duración, la posición (movi-miento) y la cantidad son todas expresiones deun formalismo abstracto (ciencia combinatoria),instanciado en términos de los pares co-contem-poraneidad- no contemporaneidad. Una serie deprincipios generales son aplicados a estos distin-tos dominios: plenitud, continuidad, composicio-nalidad y graduación lineal. Como ha señaladoLakatos (1981 versión española), se tienen buenasrazones para aceptar que esta visión acompañólos desarrollos matemáticos hasta Cauchy en1853. No es sino con Weiestrass, con la nuevafundamentación del cálculo, con el que se rompecon algunos de estos principios, en especial, conel de continuidad.

Claramente, dentro de este marco, la relacio-nes de comparación que hemos mencionado másarriba, "mayor que", "menor que", e "igual a" seaplican a los elementos, diríamos hoy, del con-junto sobre el cual las estamos aplicando, lo cual

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nos permitiría, por ejemplo, el establecimientode distintas formas de ordenar los elementos deconjunto según estas relaciones.

Así pues, el determinismo fue el que liderótanto la investigación teórica como la modelaciónmatemática de diferentes ámbitos de la realidady marcó esta primera gran etapa de las matemá-ticas. Lo anterior no significa que aspectos nodeterminísticos no fueran visualizados duranteestos desarrollos. Pero no fueron las aproximacio-nes dominantes. Encontramos ya en Descartes lautilización de "medidas de probabilidad" al estilode Popper en la valoración de la promisoriedad dealgunas hipótesis sobre la evolución de la tierray del universo sobre principios mecánicos. Sinembargo, su formulación no es explícita como síencontramos en el siglo XIX y XX. Analicemoscon algún detalle el surgimiento del no deterrni-nismo en matemática.

3. La emergencia de la probabilidad

Las investigaciones sobre la probabilidadsurgen en aquellos contextos en los que no es fácilo posible establecer las medidas de comparaciónentre los elementos de un determinado conjunto.Contextos en los que hay incertidumbres, ocu-rrencias azarosas y aleatoriedad. Es, en este senti-do, natural que los desarrollos en este campo seanrelativamente tardíos. Se requirió haber avanzadoen la modelación de aquellos dominios en losque no se presentan estos problemas o en los quees posible, mediante idealización, eliminar laaleatoriedad y otros factores que afectan la nítidarepresentación matemática.

Sin embargo, Davis and Hersh (1986), citan-do a Ian Hacking, presenta otras razones por lascuales se retrasa la aparición de teorías con unnivel importante de formalización. Algunas deestas razones de tipo religioso. Por ejemplo, antesdel siglo XIX encontramos una fuerte preocu-pación por el determinismo y el fatalismo, y laatribución de eventos fortuitos a la voluntad deDios, voluntad insondable y no susceptible, portanto, de ser investigada y menos representadamatemáticamente. Otra razón es la carencia deejemplos que permitan visualizar con claridad


Usualmente, se excluyen estos dos extremos."De manera que los valores de verdad lógicasson los extremos de la probabilidad

2. Sea E un conjunto de distribuciones de pro-babilidad sobre un conjunto de objetos, el'e2, ... , ej' Entonces, Pr (E) = Pr (el U e2 U,... , U e) = :¿¡=¡n Pr(e) = 1. Es decir, la sumade las probabilidades de todos los eventos esdel 100 %. Esta propiedad es conocida comonormalización

3. Si un evento U ocurre con certeza, entonces,Pr (U) = 1

4. La concatenación de la probabilidad de unnúmero finitos de eventos el' e2, ... , e¡, esigual al producto de sus probabilidades. Pr(e¡n e2n, ... , ne) = Pr(e¡)X Pr(e2)X ... .xPr(e)

5. Probabilidad condicional, la probabilidadde un evento e, dado E, es el producto desus probabilidades sobre la probabilidad deE, siempre que sea mayor que O. Es decir,Pr(eIE) = (Pr(e)*Pr(E))/Pr(E).

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la posibilidad de aplicar métodos matemáticos aestos ámbitos.

Al igual que en el caso del determinismo, seaplica también aquí el homomorfismo pero en unsentido bastante diferente del que hemos descrito.En el caso del determinismo, como hemos men-cionado, las distintas relaciones se establecen enlos elementos del conjunto de manera que segúnlas relaciones que cumplen sus elementos se pue-den obtener diferentes ordenarnientos. En el casode las aproximaciones por probabilidad lo queencontramos son propiedades o relaciones que seestablecen a nivel de todo el conjunto y no de suselementos. Estas propiedades son las que se esti-man en términos de ciertas distribuciones, la uniónde sus distribuciones nos proporciona el 100 %, oequivalentemente el conjunto universo. En efecto,interesa ver cuál es la distribución de ocurrencia deestos eventos o propiedades en todo ese conjunto.No se puede establecer cuáles individuos especí-ficos cumplirán determinada propiedad, pero sí -habrá un subconjunto de ellos que la cumplirán.

En este sentido, dado un conjunto D deindividuos, y dado un conjunto E de eventos, anivel matemático, se establece una correlacióncon un segundo dominio extra-matemático D* yde Eventos E*, de tal manera que la distribuciónde eventos E* en el dominio D* se correlaciona(homomórficamente) con la distribución de even-tos E en el dominio D.

Sin embargo, en la práctica es usual trabajara nivel de la modelación matemática, es decir,dando por supuesta la correspondencia con aquelsegmento de "realidad" que se está analizando.Es decir, bajo la forma de enunciados probabilís-ticos numéricos. r-

La formulación están dar del cálculo de pro-babilidades es aquella proporcionada por Kol-mogorov, en una famosa obra de 1933, tituladaFoundations of the Theory of Probability. Estacontiene una serie de leyes como las siguientes:1. Para cualquier evento x de E sobre el domi-

nio D, Os Pr(x) s 1, es decir, la probabilidadde ese evento (función de probabilidad),puede tener, cualquier rango de valores enel intervalo de los números reales com-prendido entre el O y el 1. Si toma el valorcero, significa que es falso, que no ocurre, sitoma el valor 1 significa que ocurre siempre.

Desde el punto de vista formal, se trabajacon partes de E, es decir, con el conjunto potenciaP(E), para lo cual se requiere entonces, donde Fes cada uno de los subconjuntos de E. En estarepresentación, entonces, Pr es una función de Fal intervalo de los números reales [0,1].< E, F, Pr> definen un espacio de probabilidad.

4. Interpretaciones de la probabilidad

Este enfoque presentado constituye la basemínima sobre la cual se reconstruyen y divergenlas diversas interpretaciones de la probabilidad,o como señala Hájek, A. (2007) diferentes inter-pretaciones del concepto de probabilidad. Notodas son compatibles con los axiomas o leyesmencionadas.1. La probabilidad clásica. Inicia con Pascal,

Leibniz, Bernoulli y Laplace entre otros yse aplica a dos ámbitos principales: aquellosen los que no tenemos evidencia o aquellosen los que hay evidencia simétricamentebalanceada. En el primer caso, la asigna-ción de probabilidades a la ocurrencia de


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determinados eventos es subjetiva. En elsegundo, se estima la probabilidad de cadauna de las ocurrencias tomando en consi-deración todas las posibilidades simétrica-mente posibles, o como Keyes dirá según el"principio de indiferencia"

2. La probabilidad lógica. Interpreta la pro-babilidad en términos de la evidencia queapoya uno o varios enunciados. No asumela consideración fuerte de la probabilidadclásica de que la probabilidad se aplica enaquellos casos en los que tenemos eviden-cia balanceada, sino que se puede aplicaren diferentes circunstancias. La evidenciase asocia principalmente con la confirma-ción de una hipótesis, que se expresa de lasiguiente forma: cih.e) = m(h&e)/m(e), esdecir, la confirmación de la hipótesis h sobrela evidencia e, es igual a medida de probabi-lidad de h y e sobre la medida de probabili-dad de e. Claramente el principal proponentede este enfoque es Carnap

3. Interpretaciones frecuentistas. Interpreta laprobabilidad en términos de la distribuciónde un determinado factor, atributo o eventoen un conjunto de individuos o de eventosposibles. La frecuencia de un evento relativo aun conjunto total de eventos se expresa comoel número de casos favorables entre el núme-ro total de casos + 1. Esto se aplica cuandoconsideramos la distribución de frecuenciassobre un conjunto finito de eventos o indi-viduos. Claramente, puede extenderse paraconsiderar conjuntos infinitos. En este caso,las frecuencias establecen límites (la conver-gencia de un evento a un determinado valorconforme el número de eventos totales tiendeal infinito). Son varios los proponentes deeste tipo de enfoques, se cuentan entre ellosReichenbach y von Mises. Este último autorpropone dos de los más famosos axiomas deeste enfoque: el axioma de la convergencia:"la limitación de las frecuencias relativasa cualquiera de los atributos existentes" yel axioma de la aleatoridad "la limitaciónde la frecuencia relativa de cada uno de losatributos en un colectivo O es el mismo encualquier subsecuencia infinita de O que estédeterminado por un lugar de selección".

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4 Interpretaciones de la propensión. El pro-ponente de esta posición es Popper en Lógi-ca de la Investigación Científica de 1957.Hay varias interpretación de propensiones,pero puede definir como la probabilidad deuna tendencia de producir un determinadoresultado dentro de un valor p, es decir, deuna frecuencia p. Las propensiones tienden aproducir determinadas frecuencias relativas.Tal y como Popper la presenta, las propensio-nes son susceptibles de ser falsadas al igualque cualquier otra suposición que se haga. Enefecto, éstas presuponen ciertas regularida-des objetivas, expresadas mediante determi-nadas frecuencias relativas. Este componentemetafísico de las propensiones es uno de losaspectos más debatibles de la teoría.

5. Probabilidad bayesiana. A veces tambiénconocida como probabilidad subjetiva man-tiene que en las distribuciones de probabi-lidad que se hace o en la estimación de laevidencia sobre una o más hipótesis siemprehay implícita una valoración anterior. Seprefieren determinadas hipótesis a otras,dependiendo de la concepción del científicoo de otros factores subjetivos. En este senti-do, lo que pone de manifiesto cualquier dis-tribución de probabilidad hay una función deprobabilidad previa que privilegia los juiciosde agente que está haciendo la valoración.

El debate sobre el tema de la probabilidad esun tema abierto y realmente apasionante, comoquedará de manifiesto en las exposiciones de losparticipantes en esta mesa redonda.

Deseo expresar mi agradecimiento al Dr.Luis Camacho Naranjo por la lectura de unborrador de este artículo y por sus valiosasobservaciones.

Bibliografía

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