apuntesgeometrÍa analÍtica

8/13/2019 apuntesGEOMETRA ANALTICA

1/130

GEOMETRA ANALTICA


2/130

C O N T E N I D O

Capitulo I lgebra Lineal

1.1 VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

I.1.1 Sistema cartesiano para los espacios de dos y tres dimensiones.I.1. Simetr!a de puntos .I.1." Se#mento diri#ido.I.1.$ Componentes escalares de un se#mento diri#ido so%re los e&es coordenados.I.1.' Vector de posici(n .I.1.) *(dulo de un +ector.I.1., El +ector como con&unto ordenado de nn-meros reales.

1. OPERACIONES CON VECTORES

I..1 I#ualdad de +ectores.I.. Adici(n de +ectores propiedades.I.." *ultiplicaci(n por un escalar.I..$ Vector nulo y +ectores unitarios.I..' Sustracci(n de +ectores.I..) /istancia entre dos puntos como el modulo de la di0erencia de dos +ectores.

1." PRO/CTO ESCALAR /E /OS VECTORES

I.".1 /e0inici(n y propiedades.I.". Orto#onalidad.I."." Componente +ectorial y escalar de un +ector so%re otro.I.".$ An#ulo entre dos +ectores.I.".' Vectores unitarios i, j, k y 0orma trin(mica de un +ector.I.".) 2n#ulos y cosenos directores de un +ector.

1.$ PRO/CTO VECTORIAL /E /OS VECTORES

I.$.1 /e0inici(n y propiedades.I.$. Paralelismo.I.$." 2rea de un paralelo#ramo.I.$.$ Producto mi3to. Propiedades.I.$.' Volumen de un paralelep!pedo.I.$.) /o%le producto +ectorial.


3/130

Capitulo II La recta y el plano en el espacio

II.1 LA RECTA

II.1.1 Ecuaci(n +ectorial de la recta. II.1. Ecuaciones param4tricas y en 0orma sim4trica de la recta. II.1." /istancia de un punto a una recta. II.1.$ An#ulo entre dos rectas. II.1.' Perpendicularidad paralelismo y coincidencia. II.1.) /istancia entre dos rectas. II.1., Intersecci(n de dos rectas. II.1.5 6amilias de rectas.

II. EL PLANO

II..1 Ecuaci(n +ectorial del plano y ecuaciones param4tricas. II.. Vector normal y ecuaci(n normal del plano. II.." Ecuaci(n cartesiana del plano. II..$ /istancia de un punto a un plano. II..' An#ulo entre dos planos II..) Perpendicularidad paralelismo y coincidencia. II.., /istancia entre dos planos. II..5 Intersecci(n de dos planos.

II..7 Planos proyectantes de una recta. II..18 6amilias de planos.

II." RELACIONES ENTRE PLANOS Y RECTA

II.".1 An#ulo entre una recta y un plano. II.". Paralelismo y perpendicularidad de un plano y una recta. II."." Intersecci(n de un plano y una recta.

Capitulo III Ecuaciones paramtricas y ecuaciones en coor!ena!as

III.1 ECACIONES /E CRVAS PLANAS

III.1.1 Ecuaciones +ectorial de una cur+a. III.1. Ecuaciones param4tricas. III.1." Inter+alo param4trico III.1.$ Ecuaci(n cartesiana de una cur+a III.1.' Cur+as c(nicas.

"


4/130

III.1.) Ecuaciones param4tricas y +ectoriales de las c(nicas

III. ECACIONES EN COOR/ENA/AS POLARES

III..1 Sistema de re0erencia en coordenadas polares. III.. Trans0ormaci(n de ecuaciones cartesianas a polares y +ice+ersa.

III.." Ecuaciones en coordenadas polares de la recta y las c(nicas. III..$ /iscusiones param4tricas y +ectoriales de las c(nicas.

III." COOR/ENA/AS CIL9N/RICAS Y ES6:RICAS

III.".1 Sistema de re0erencia en coordenadas cil!ndricas y ecuaciones de trans0ormaci(n. III.". Sistema de Re0erencia en coordenadas es04ricas y ecuaciones de trans0ormaci(n.

;i%lio#ra0!a.

$


5/130

Capitulo I lgebra Lineal

La representaci(n de o%&etos #eom4tricos para el espacio de tres dimensiones se simpli0ica #randemente si

se utili como apoyo para determinar las condiciones especiales ?uede%er@n satis0acer los puntos ?ue permanecen a dico o%&eto.

/ado ?ue la 0inalidad de estas notas es el tratamiento de al#unos elementos de la #eometr!a anal!tica desdeun punto de +ista +ectorialB en los espacios de dos y tres dimensiones principalmente.

1.1 VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

I.1.1 Sistema cartesiano para los espacios de dos y tres dimensiones.

En un espacio de dos dimensiones los puntos est@n de0inidos por una pare&a ordenada de n-meros realesBtienen dos coordenadas. Pueden representarse #eom4tricamente en un plano determinado por dos e&esperpendiculares llamados coor!ena!as ?ue se cortan en un ori#en com-n. Por 0acilidad se acostum%re adi%u&ar los e&es con direcciones ori.

La a%scisa es positi+a cuando el punto est@ a la dereca del e&e Y y ne#ati+a cuando est@ a la i


6/130

En un espacio de tres dimensiones los puntos est@n de0inidos por una terna ordenada de n-meros realesBtienen tres coordenadas. En este caso suele utili ?ue se cortan en un ori#en com-n. A este sistema se le conoce como sistema cartesiano en elespacio !e tres !imensiones. Los e&es se llaman coordenados y se desi#nan normalmente con las letrasX,Yy


7/130

Para espacios de m@s de tres dimensiones los puntos no pueden representarse #eom4tricamente.

I.1. Simetra de puntos

Para esta%lecer la simetr!a de puntos en el espacio de tres dimensiones es necesario re+isar al#unosconceptos #eom4tricos.

/E6INICIGN 1. /os puntos P y P1son sim4tricos con respecto a un tercero 8 si 4stees un punto medio del se#mento PP1

6i#. ) Simetr!a con respecto a un punto

/E6INICIGN . /os puntos P y P1son sim4tricos con respecto a una recta L si 4sta esmediatri< del se#mento PP1

6i#. , Simetr!a con respecto a una recta

/E6INICIGN ". /os puntos P y P1son sim4tricos con respecto a un plano H si 4ste esnormal %isector del se#mento PP1

,

6i#. ' Representaci(n de puntos en el espacio

"

"

F

Y

P

P P1

OPO = OP1

P* *P1

P

P1

* L

78J


8/130

6i#. 5 Simetr!a con respecto a un plano

Con %ase en la de0inici(n uno a todo punto P = 3 y < > del espacio de tres dimensiones le corresponde unsim4trico P1 =3 y con respecto al ori#en =0i#ura 7>

Como consecuencia inmediata de la de0inici(n dos a todo punto P=3 y del espacio de tres dimensionesle corresponde un sim4trico P1=3 y con respecto al e&e =0i#ura 18>

Los P =3 y y P1=3 y son sim4tricos con respecto al e&e 3 pues este e&e es mediatri< del se#mentoPP1. tam%i4n el punto P =3 y tiene sus sim4tricos respecto a los e&es Y y F ?ue son P =3 y y P"=3 y .

Asimismo como consecuencia de la de0inici(n tres a todo punto P =3 y del espacio de tres dimensionesle corresponde un sim4trico P1=3 y con respecto al plano coordenado Y =0i#ura 11>.

5

P* *P178J*

P

P1

H

F

Y

P1 =3 y

P=3 y

6i#. 7 simetr!a con respecto al ori#en

6i#. 18 Simetr!a con respecto al e&e

F

Y

P=3 y

P1 =3 y

78J

F

Y

P=3 y

P1=3 y

78J

6i#. 11 Simetr!a con respecto al plano Y


9/130

Los puntos P=3 y y P1=3 y son sim4tricos con respecto al plano Y pues este plano es normal%isector del se#mento PP1. Adem@s el punto P =3 y tiene sus sim4tricos respecto a los planos YF y F ?ueson P =3 y y P"=3 y respecti+amente.

E&emplo 1

/ado el punto D =1 $ > encontrar sus sim4tricos respecto al ori#en e&es y planos del sistema de

re0erencia.Soluci(n K

I.1. " Segmento dirigido

En in#enier!a es 0recuente encontrarse con cantidades ?ue poseen ma#nitud y direcci(nB entre 4stas se tienenla 0uerRespecto al e&e F D$=1 $ >Respecto al plano Y D'=1 $ >Respecto al plano YF D)=1 $ >Respecto al plano F DM=1 $ >

P =ori#en >

D =e3tremo>P D6i#. 1 Se#mento diri#ido

%6i#. 1" %


10/130

;a&o la consideraci(n anterior el ori#en de cual?uier +ector se puede acer coincidir con elcorrespondiente de un sistema coordenado rectan#ular con lo ?ue es 0acti%le esta%lecer una descripci(n de un+ector en 0orma e3clusi+amente num4rica como se presenta a continuaci(nK

I.1.$ Componentes escalares de un segmento dirigido sobre los ejes coordenados

Consid4rese un +ector representado #r@0icamente por un se#mento diri#ido cuyo punto inicial es el ori#endel sistema y con punto 0inal A =a1 a a"> +4ase 0i#ura 1$

A los tres n-meros reales a1 ay a"se les denomina las componentes escalares del se#mento diri#ido so%re los e&es coordenadosB y dado ?ue representa #r@0icamente al +ector se dice ?ue estos n-meros son lascomponentes de dico +ector y en esta 0orma el +ector se e3presa comoK =a 1 a a"> donde a1 es lacomponente a es la componente Y y a"es la componente F. Si se considera aora a un +ector % representado#eom4tricamente por el se#mento diri#ido RS las coordenadas de R y S son respecti+amente =r1 r r"> y =s1s s"> entonces se dice ?ue dico +ector tiene por componente a. % =s1r1 sr s" y">. Como se puedeo%ser+ar en la 0i#ura 1$ los +ectores y % tienen la misma ma#nitud y direcci(n por lo ?ue son i#uales y porotra parte de la misma 0i#ura se tiene ?ueK

a1 s1 r1 a s r a" s" r"

En esta 0orma se puede esta%lecer ?ue si dos +ectores cuales?uiera son i#uales tienen las mismascomponentesB e in+ersamente dos +ectores con las mismas componentes son necesariamente i#uales enma#nitud y direcci(n. Asimismo se concluye ?ue un +ector ?ueda completamente determinado especi0icando en0orma ordenada los tres n-meros reales ?ue constituyen sus componentes.

na ecuaci(n +ectorial % donde =a 1 a a"> y % =%1 % %"> es una 0orma %re+e de representar lassi#uientes tres i#ualdades entre n-meros realesK

a1 %1 a % a" %"

Para el caso de +ectores de0inidos en el plano 4stos tienen dos componentes. As! por e&emplo en el +ectorc =c1 c>B c1es la primera componente o componente y ces la se#unda o componente Y 0i#ura 1'.

I.1.' Vector de posicin

18

6i#. 1$ Componentes de un se#mento diri#ido

6i#. 1' Vectores en el plano

C

C1

Y

C


11/130

/E6INICIGN. Sea el punto a en el espacio de tres dimensiones cuyas coordenadas son =a1 a a">Bse llama +ector de posici(n de este punto al representado por el se#mento diri#ido ?ue+a del ori#en del sistema a dico punto.

/esi#nado por al +ector de posici(n del punto A sus componentes sonK =a 1 8 a8 a" 8> =a1 a a">B entonces como se +e las componentes del +ector de posici(n son siempre i#uales a las coordenadasdel punto como se ilustra en la 0i#ura 1).

Entonces puede esta%lecerse una relaci(n de correspondencia uno a uno entre el con&unto de puntos en el

espacio de tres dimensiones y el con&unto de +ectores de posici(n en el mismo espacio. Es decir a cada puntodel espacio de tres dimensiones le corresponde uno y s(lo un +ector de posici(n y +ice+ersa. Esta mismasituaci(n se presenta para los con&untos de puntos y +ectores de posici(n en el plano. En #eneral estacorrespondencia e3iste cual?uiera ?ue sea la dimensi(n del espacio en ?ue se tra%a&e.

Es importante mencionar ?ue en el espacio de tres dimensiones tanto los puntos como los +ectores est@ndados por una terna ordenada de n-meros reales. Sin em%ar#o la terna de n-meros reales ?ue representa a unpunto determina la posici(n del punto en el sistema de re0erencia. Por otra parte la terna ordenada de n-merosreales ?ue presenta un +ector son sus componentes es decir las proyecciones diri#idas del +ector so%re los e&escoordenados del sistema de re0erencia.

I.1.) Mdulo de un vector

El m(dulo de un +ector es la ma#nitud del mismo. El s!m%olo QQ s utili

YY

FY

8Y

6i#. 1) Vector de posici(n del punto A

6i#. 1, *(dulo de un +ector

A

YY

FY

8Y

a"

a1

a N

*


12/130

ON O* *N a1 a

/el tri@n#ulo rect@n#ulo OAN por el teorema de Pit@#orasK

QQ OA ON NA a1 a a"

Por lo tanto el m(dulo del +ector esK

Q Q a1 a a"

Para el caso de +ectores de0inidos en el plano como se o%ser+a de la 0i#ura 15 aplicando el teorema dePit@#oras el m(dulo del +ector c esK

Q c Q c1 c

E&emplo

/eterminar el m(dulo de los si#uientes +ectoresK =1 '> % =1 ) > c =7 8 8>

Soluci(n KQ Q =1>= '> )

Q % Q =1> =)> => $1

Q c Q =7> =8> =8> 7

E&emplo "

/emostrar ?ue los puntos A=, '> ;= "> C=) ,> son los +4rtices de un tri@n#ulo rect@n#ulo 0i#ura 17.

Soluci(n K

/e0iniendo los si#uientes +ectores so%re los lados del tri@n#uloK

A; ; A = "> =, '> =' >

% ;C C ; =) ,> = "> =$ 18>

c CA A ; =, '> =) ,> =1 1>

1

c1c

Q c Q

c

c1

Q c Q

Y

6i#. 15 *(dulo de un +ector en el plano

Y

;

A

C

6i#. 17


13/130

Los m(dulos de estos +ectores o lon#itudes de los lados del tri@n#ulo sonK

Q Q ='> => 7

Q % Q =$> =18> 11)

Q c Q =1> =1> 1$'

Como se cumple ?ueK= QcQ > = QaQ > = Q %Q > ( 1$' 7 11)

Entonces de acuerdo con el teorema de Pit@#oras es un tri@n#ulo rect@n#ulo.

I. 1. , l vector como conjunto ordenado de n n!meros reales

El concepto de +ector puede e3tenderse a espacios con m@s de tres dimensiones no as! su representaci(n#eom4trica. En el espacio de n dimensiones un +ector se de0ine como si#ueK

/E6INICIGN. n +ector en el espacio de n dimensiones se de0ine como una nada den-meros reales =a1 a .......an>. Al i4simo n-mero de este arre#lo se llama lai4sima componente del +ector.

Al Con&unto de todos los +ectores de n dimensiones se le llama espacio de n dimensiones osimplemente espacio n. O%s4r+ese ?ue la de0inici(n dada es consistente con la descripci(n #eom4tricamencionada pre+iamente para los +ectores en los espacios de dos y tres dimensiones.

Asimismo el concepto de m(dulo de un +ector ?ue es la lon#itud p ma#nitud del mismo se puede acere3tensi+o para +ectores de0inidos en espacios mayores de tres dimensiones. En #eneral el m(dulo de un +ector en

el espacio de n dimensiones QQ se o%tiene comoKQQ a1 a ...........an

Por e&emplo sup(n#ase ?ue tenemos un +ector en el espacio de seis dimensiones.

= 1 " $>

El m(dulo del +ector est@ dado por la e3presi(nK

QQ => =1> ="> => => =$>

$ 1 7 $ $ 1) "5

QQ "5

En espacios mayores de tres dimensiones los +ectores y sus caracter!sticas no tienen interpretaci(n#eom4trica.

1. OPERACIONES CON VECTORES

1"


14/130

En esta parte se tratar@n solamente la suma de +ectores y la multiplicaci(n de un +ector por un escalar. Ensu%temas posteriores se anali ; =$ )> C =1 )> / =) " $>

Soluci(nK

A; =$ )> =1 " $> =' 1 >

% C/ =) " $> =1 )> =' 1 >

Como las componentes correspondientes de los +ectores y % son i#uales entonces se satis0ace la de0inici(nde i#ualdad entre +ectores.

I.. #dicin de vectores , propiedades

/E6INICIGN. /ados dos +ectores en el espacio de n dimensiones =a1 a .........an> y % =%1% ......%n> la suma % es el +ector ?ue se o%tiene sumando sus componentescorrespondientes. As! se tieneK

% =a1 %1 a %... y an %n>

N(tese ?ue en esta de0inici(n se llama suma al +ector ?ue resulta de aplicar la operaci(n de adici(n entre los+ectores y %B esto es ?ue la adici(n de +ectores es la operaci(n descrita en la de0inici(n y la suma de +ectoreses el resultado de esta operaci(n.

Propiedades de la adici(n de +ectores.

1> Cerradura. Si y % son dos +ectores del espacio de n dimensiones entonces % tam%i4n es un +ectordel espacio de n dimensiones.

> Asociati+idad. Se cumple ?ueK =% c> = %> c

1$


15/130

"> E3istencia del elemento id4ntico. Para la adici(n de +ectores e3iste un elemento id4ntico ?ue es el+ector cero. En este +ector desi#nado por 8 todas sus componentes son i#uales a cero. As! 8 =oo ..... o> y tiene la propiedad ?ueK

8 8 para todo +ector

$> E3istencia de los in+ersos. Si se tiene un +ector el ne#ati+o es un +ector tal ?ueK

=a1 a .....an>

Entonces siempre se cumple ?ueK => => => 8

O sea ?ue para cada +ector siempre e3iste su in+erso tal ?ue al sumarlos el resultado es el +ector cero=elemento id4ntico>.

'> Conmutati+idad. Se cumpleK % %

La adici(n de +ectores en el espacio de tres dimensiones se puede interpretar #eom4tricamente a partir delsi#uiente ra


16/130

En la 0i#ura anterior se o%ser+a ?ue la resultante de la suma d los +ectores y % es el +ector r. Asimismo setiene ?ue las componentes del +ector r tam%i4n alo&ado en el plano Y sonK

r =a1 %1 a % 8> =a1 a 8> =%1 % 8> %

/e donde se concluye ?ue independientemente ?ue se e0ect-e la suma de +ectores en 0orma #eom4trica oanal!tica se o%tiene el mismo resultado.

I.." Multiplicar por escalar

/E6INICIGN. Si es un n-mero real =llamado com-nmente escalar> y =a1 a ....an> es un+ector en el espacio de n dimensiones el producto es el +ector o%tenidomultiplicando cada componente de por es decirK

=a1 a ......an>

Es importante seUalar ?ue al multiplicar un +ector por un escalar da como resultado un +ector del mismoespacio es decir se cumple la propiedad de cerradura.

Propiedades de la multiplicaci(n por un escalar.

Se puede +eri0icar 0@cilmente ?ue s! 1y son escalares y y % son +ectores del mismo espacio se cumplenlas si#uientes propiedadesK

1> 1= %> 1 %> =1 > 1 "> =1 > 1= >$> Q Q QQ QQ'> 8 8 1 =1> 8 8

Si el escalar es mayor ?ue uno el resultado de la multiplicaci(n ser@ un +ector con la misma direcci(n de pero con m(dulo mayor ?ue el de .

Si el escalar es mayor ?ue cero pero menor ?ue uno el resultado ser@ un +ector con la misma direcci(n de pero con m(dulo menor.

Cuando el escalar es mayor ?ue menos uno pero menor ?ue cero se o%tendr@ un +ector paralelo al +ector pero con direcci(n opuesta y m(dulo menor. 6inalmente si el escalar es menor ?ue menos uno el resultado ser@ un +ector paralelo al +ector pero condirecci(n opuesta y m(dulo mayor.

Lo anterior lo podemos representar #eom4tricamente como se muestra en la 0i#ura .

1)

6i#. 1 Adici(n de +ectores

1=a>

8 W W 1=%>

1 W W 8

=c>

W 1

=d>


17/130

E&emplo '

/ados los puntos A = 1> y ; =8 ' $> y los +ectores p = 1> y ? = 8 "> encontrar el +ectorK"p ? ';A "% siendo y % los +ectores de posici(n de los puntos A y ; respecti+amente.

Soluci(nK

/e acuerdo con la de0inici(n de la multiplicaci(n de un +ector por un escalarK

"p "= 1> =) ) ">

? = 8 "> =$ 8 )>

;A = 1 "> =8 ' $> = $ ,>Por lo tantoK

';A '= $ ,> =18 8 "'>

"% "=8 ' $> =8 1' 1>

= 1 "> =$ )>

Entonces por la de0inici(n de suma de +ectoresK

"p ? ';A "% =) ) "> =$ 8 )> =18 8 "'> =8 1' 1> =$ )>

=) $ 18 8 $ ) 8 8 1' " ) "' 1 )>

=1) 1" 5>E&emplo )

/ados tres puntos colineales en el espacio de tres dimensiones P 1= 1 "> P=1 $ 8> y P" = ' 1>./eterminar el escalar ?ue cumpla con la si#uiente condici(nK

P1P P1P"Soluci(nK

Los se#mentos diri#idos P1P y P1P"est@n de0inidos porK

P1P =1 $ 8> = 1 "> =" " ">

P1P" = ' 1> = 1 "> =$ $ $>

La condici(n ?ue se %usca esK

P1P P1P" ( =" " "> =$ $ $> Aplicando la de0inici(n de producto de un +ector por un escalar se tieneK

=" " "> =$ $ $>

Para ?ue dos +ectores sean i#uales es necesario ?ue sus componentes sean i#uales es decirK

1,

6i#. *ultiplicaci(n por un escalar


18/130

" $ de dondeK $M"E&emplo ,

/ado los +ectores =1 "> y % =$ > o%tener % #r@0icamente.

Soluci(nK

Aplicando la ley del paralelo#ramo.

I..$ Vector nulo y vectores unitarios

En el inciso I.. para la tercera propiedad de la adici(n de +ectores se mencion( la e3istencia de unelemento id4ntico para la adici(n de +ectores desi#nado por 8 y ?ue es un +ector cuyas componentes soni#uales a ceroB esto es ?ue 8 =o o o ....o>.

Este +ector tiene m(dulo cero por lo ?ue se le llama +ector nuloB pero no se le asi#na nin#una direcci(nparticular.

Xeom4tricamente el +ector nulo puede ser considerado como un se#mento diri#ido para el cual el ori#en y ele3tremo son coincidentes es decir son lo mismo punto. Se puede o%ser+ar ?ue todo +ector di0erente del +ectornulo tiene un m(dulo positi+o esto es QQ 8 si 8.

Vectores unitarios. Se dice ?ue un +ector es unitario cuando su modulo es i#ual a la unidad. Paracual?uier +ector 8 siempre es posi%le de terminar el +ector unitario en su misma direcci(n.

Por e&emplo lo dado un +ector en el espacio de tres dimensiones =a1 a a"> el +ector unitario en la misma

direcci(n est@ dado porK

u a1 a a" 1 =a1 a a"> QQ QQ QQ QQ

u tiene la misma direcci(n de ya ?ueK

u 1 y 1 es un escalar mayor ?ue cero. QQ QQ

Por otra parte determinando el m(dulo de QuQ se tieneK

QuQ a1 a a"

QQ QQ QQ

PeroK a1 a a" a1 a a" a1 a a"

15

% =' '>

%

Y

8

%

6i#. "


19/130

QQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ

Q Q 1 Q Q

Con lo ?ue ?ueda demostrado ?ueKQ uQ a1 a a"

QQ QQ QQEs un +ector unitario en la misma direcci(n de =a1 a a">.

E&emplo 5

Encontrar el +ector unitario en la misma direcci(n del +ector.

= " ,>

Soluci(nK

QQ => ="> =,> $ 7 $7 )

Por lo tanto el +ector unitario esK u " ,

) ) )

E&emplo 7

/eterminar un +ector ? con la misma ma#nitud del +ector p " % c y en direcci(n opuesta a laresultante de los +ectores d y = 1 "> % =1 1 1> c =" $> d =1 5> y = 1 ">

Soluci(nK

El +ector p esK p " % c " = 1 "> =1 1 1> =" $>

p =11 " ">

La ma#nitud de p esK Q p Q =11> ="> ="> 1"7

La resultante de d y esK d =1 5> = 1 "> =" " 11>

El +ector unitario en la direcci(n de d y K Q d e Q ="> ="> =11> 1"7

=d >u " " 11 1"7 1"7 1"7

por lo tanto el +ector unitario en la direcci(n opuesta esK

=d >u " " 11 1"7 1"7 1"7

y 0inalmente ? Q p Q =d > u 1"7 " " 11 1"7 1"7 1"7

? =" " 11>

17


20/130

E&emplo 18

na part!cula se mue+e con una rapide< de mMse#. en la direcci(n del +ector =' " >. /eterminar lascomponentes del +ector +elocidad V.

Soluci(nK

El +ector V est@ dado por V u u = ' " > =' " > ' " ='> ="> => "5 "5 "5 "5Por lo tantoK V ' "

"5 "5 "5

V 18 ) $"5 "5 "5

I..'. Sustraccin de vectores

/e0inici(n. La sustracci(n de +ectores % se puede de0inir a partir de la adici(n comoK

% % =a1 a.... an> =%1 % ... %n>

% =a1 %1 a %... y an %n>

Al +ector ?ue resulta de la sustracci(n de dos +ectores se le conoce como la di0erencia de los +ectores y %.

La interpretaci(n #eom4trica de la sustracci(n de dos +ectores y % se muestra en la 0i#ura $ en dondecomo se o%ser+a los +ectores y % se consideran con ori#en com-n y la di0erencia % es el +ector ?ue +a del

e3tremo de % al de . Es decir se ace la adici(n % = %> .

I..) $istancia entre dos puntos como mdulo de la di%erencia de dos vectores

/ado dos puntos en el espacio de tres dimensiones cuyas coordenadas sonK A =a 1 a a"> y ; =%1 % %">.Sus +ectores de posici(n son respecti+amente =a1 a a"> y % =%1 % %">. El +ector % es el ?ue +a del

8

6i#. $ Sustracci(n de +ectores

F

Y

%

%


21/130

e3tremo de % al de y su m(dulo Q %Q ser@ i#ual a la distancia entre A y ; como se puede apreciarse en la0i#ura '

Es decirK dA; d;A Q % Q

/esarrollando la e3presi(n anteriorKdA; =a1 %1> =a %> =a" %">

Como se o%ser+a esta e3presi(n es la misma 0(rmula ?ue se o%tiene a tra+4s del teorema de Pit@#oras.

E&emplo 11

/emostrar ?ue los puntos P =" 8 "> D =" 8 "> y R ="" 8 ""> son +4rtices de un tri@n#ulo e?uil@tero.

Soluci(nK

dPD Qp ?Q p ? =" 8 "> =" 8 "> =) 8 )>

dPD ) 8 ) ,

dPR Qp rQ p r =" 8 "> ="" 8 ""> =" "" 8 " " ">

dPR =" ""> 8 =" " "> 7 15" , 8 7 15" ,

dPR ,

dDR Q? r Q ? r =" 8 "> ="" 8 ""> =" "" 8 " " ">

dDR =" ""> 8 =" " "> 7 15 " , 7 15" ,

dDR ,

d PD dPR dDR con lo ?ue el tri@n#ulo PDR es e?uil@tero.

I." PRO/CTO ESCALAR /E /OS VECTORES

I.".1 $e%inicin y propiedades

1

6i#. ' /istancia entre dos puntos

F

Y

%

%A ;

dA; d;A Q % Q


22/130

/e0inici(n. El producto escalar de dos +ectores en el espacio de n dimensiones =a 1 a.... an> y% =%1 % ... %n> denotado por Z % ?ue se lee punto % se de0ine comoK

n Z % [ a\%\ a1%1 a% ..... an%n

\ 1

El resultado del producto escalar de dos +ectores es precisamente un escalar =n-mero real> y no un +ector.

Al producto escalar tam%i4n se le conoce comoproducto interno oproducto punto.

Propiedades del producto escalar de dos +ectores.

/ados los +ectores % c en el espacio de n dimensiones y el escalar el producto escalar tiene lassi#uientes propiedadesK

1> Z % % Z =propiedad conmutati+a>

> Z =% c> Z % Z c =propiedad distri%uti+a respecto a la suma de +ectores>

"> => Z % = Z %> ] R

$> Z 8 si 8

/emostracionesK

Sean =a1 a.... an> % =%1 % ... %n> y c =c1 c ... cn>

1> Z % % Z n

Z % =a1 a.... an > Z =%1 % ... %n> [ a\%\ a1%1 a% ..... an%n\ 1

/ado ?ue la multiplicaci(n es conmutati+a para los n-meros reales tenemos ?ueK n a1%1 a% ..... an%n %1a1 %a ..... %nan> [ %\a\ % Z a \ 1

Z % %

> Z =% c> Z % Z c

E3presando los +ectores en 0unciones de sus componentesK

Z =% c> =a1 a.... an > Z _=%1 % ... %n> =c1 c ... cn>`

=a1 a.... an > Z =%1 c1 % c ... %n cn> a1=%1 c1> a = % c> .... an =%n cn>

a1%1 a1c1 a% a c an%n an cn =a1%1 a% ... an%n > =a1c1 a c ... an cn > n n [ a\%\ [ a\c\ = Z %> = Z c>

\ 1 \ 1

Z =% c> = Z %> = Z c>

"> => Z % = Z %> ] R

=> Z % _ =a1 a.... an>` Z =%1 % ... %n> = a1 a.... an> Z =%1 % ... %n> a1%1 a% ... an%n n


23/130

_a1%1 a% ... an%n` [ a\%\ = Z %>\ 1

=> Z % = Z %>

$> Z 8 si ^ 8 n n Z [ a\a\ [ =a\> a1 a.... an

\ 1 \ 1

/ado ?ue ^ 8 al menos una de las componentes de es di0erente de ceroB por lo ?ueK n [ =a\> ^ 8 y como =a\> 8 V ] R \ 1Se tiene ?ue K

n

[ =a\> 8\ 1

Z 8 si ^ 8

E&emplo 1

Sean los +ectores = 1 1> % =" 1 > y c =1 $ '>

EncontrarK

a> Z %

%> Z c

c> c Z d> "% Z c

Soluci(nK

a> Z % = 1 1> Z =" 1 > ) 1 "

%> Z c = 1 1> Z =1 $ '> $ ' ,

c> c Z =1 $ '> Z = 1 1> $ ' ,

d> "% Z c "=" 1 > Z =1 $ '>

=7 " )> Z = 5 18> 15 $ )8 18

I.". &rtogonalidad

Proposici(n. /os +ectores y % son orto#onales si y s(lo si Z % 8

"


24/130

Compro%aci(nK

Sean dos +ectores y % ?ue 0orman los catetos de un tri@n#ulo rect@n#ulo como se o%ser+a en la 0i#ura ).

Xeom4tricamente se puede esta%lecer ?ue y % son orto#onales si y s(lo si en el tri@n#ulo descrito se cumple?ueK

QQ Q%Q Q %Q

Sustituyendo a los +ectores por sus componentes se tieneK

a1 a a" %1 %%" =a1 %1> =a %> =a" %">

/esarrollando los %inomiosK

a1 a a" %1 %%" a1 a1%1 %1 a a% % a" a"%" %"

Cancelando t4rminos i#uales en am%os miem%rosK 8 a1%1a%a"%"

Es decirK a1%1a%a"%" 8

/i+idiendo entre K a1%1 a% a"%" 8

El primer miem%ro de la e3presi(n anterior es precisamente % por lo ?ue se puede escri%irK

% 8

Con lo ?ue ?ueda demostrada la proposici(n.

En el caso de ?ue los +ectores o % ( am%os sean i#ual al 8 entonces necesariamente se cumple ?ue

% 8. En esta situaci(n como se mencion( anteriormente el +ector 8 no tiene una direcci(n de0inidaK sin

em%ar#o se a adoptado por con+enci(n ?ue el vector nulo es ortogonala todo vector.

E&emplo 1"

/eterminar cu@les de los si#uientes pares de +ectores son orto#onalesK

= ) $> % =" b 1>

= ' 1> % =" 8 )>

=" 1> % =$ 1>

Soluci(nKa> % = ) $> =" b 1> ) " $ 1 ^ 8

no e3iste orto#onalidad

%> % = ' 1> =" 8 )> ) 8 ) 8

%

c> % =" 1> =$ 1> 1 1 $ ^ 8

no e3iste orto#onalidad

$

%

%

6i#. ) Orto#onalidad de +ectores


25/130

E&emplo 1$

Encontrar el +alor de m de manera ?ue los +ectores =" 1 > y % = m 1> sean orto#anales.

Soluci(nK

d =" 1 > = m 1> ) m m $

Para ?ue y d sea orto#onales se de%e cumplir ?ueK % 8 de dondeK* $ 8 ( m $

E&emplo 1'

/emostrar ?ue un @n#ulo inscrito en un semic!rculo es recto.

Soluci(nK

Para ?ue el @n#ulo A;A sea recto se de%e cumplir ?ueK c d 8

/e la 0i#ura , y de acuerdo a la sustracci(n de +ectoresK c %

y por lo mismo d % => %

Por lo tantoK c d = % > = % >

Por las propiedades del producto escalar de dos +ectoresK

c d =% %> =% > = %> = >

c d =% %> = >

PeroK % % %1%1 %% =Q%Q> y =QQ>

Sustituyendo K c d = Q%Q > = QQ >

Pero como de la 0i#ura se o%ser+a ?ue los +ectores y % tienen la misma ma#nitud ?ue es la correspondienteal radio de la circun0erenciaK

Q%Q QQ

Por lo ?ue K c d = QQ > = QQ > 8

Con lo cual ?ueda demostrado ?ue un @n#ulo inscrito en un semic!rculo es recto.

I."." Componente vectorial y componente escalar de un vector sobre otro

'

A A

;

C

c%d6i#. , An#ulo A;A recto


26/130

Sean dos +ectores cuales?uiera y % en un espacio de tres dimensiones. A partir de 4stos se pueden de0inirlos si#uientes elementosK

n +ector unitario %uen la direcci(n de %.

n escalar tal ?ue el +ector %ues orto#onal a %.

La relaci(n #eom4trica entre los elementos mencionados se presenta en la si#uiente 0i#uraK

/E6INICIGN. La componente +ertical de un +ector so%re otro +ector % la cual se sim%oli =%u %> 8despe&ando a K %f

%u %

peroK %u % fQ%Q

por lo ?ueK % f

1 = %> Q%Q

de dondeK %f1 Q%QQ%Q

o seaK Comp. Esc. % %Q%Q

)

6i#. 5 Componentes de un +ector so%re otro78J

g

%%

u

%u

%u


27/130

y dado ?ue la componente +ectorial de so%re % es i#ual a %u se tiene 0inalmenteK

Comp. Vec. % % %Q%Q Q%Q

con lo ?ue se completa la comparaci(n.

Re#resando a la 0i#ura 5 en el tri@n#ulo rect@n#ulo se tiene ?ueK Cos g Q%Q QQ

Sustituyendo el +alor de se tieneK % Q%Q Cos g Q%Q %f

QQ Q%Q

de dondeK % QQ Q%Q cos g B 8J g 158J

Esto si#ni0ica ?ue el producto escalar de dos +ectores di0erentes del +ector nulo es i#ual al producto delm(dulo de por el modulo de % por el coseno del @n#ulo entre y %. Los m(dulos de y % son no ne#ati+os

pero cos g puede ser positi+o ne#ati+o o cero. Por lo tanto el producto escalar % es ne#ati+o -nicamentecuando cos g es ne#ati+o es decir -nicamente cuando 78J W g 158J.

Tam%i4n se de%e notar ?ue cuando y % son ortogonales =g 78J> se tiene ?ue cos g 8 y por lotanto % 8. Esto coincide con la proposici(n enunciada pre+iamente acerca de la ortogonali!a!de dos+ectores.

E&emplo 1)

En cada uno de los casos si#uientes calcular Comp. Esc. % y Comp. Vec. %

a> =' 5> % =1 1> %> =1 "> % =8 8 1>

Soluci(nK

a> Comp. Esc. % % =' 5> =1 1> ' 5 " f Q % Q 1 1

Comp. Vec. % % % " =1 1> " =11> ="M "M> Q % Q Q%Q

%> Comp. Esc. % % =1 "> =8 8 1> 8 8 " "Q % Q 8 8 1 1

Comp. Vec. % % % " =8 8 1> " =8 8 1> =8 8 "> Q % Q Q%Q 1

E&emplo 1,

El @n#ulo entre los +ectores y % es 18J. Si QQ " y Q%Q $ calcularK

a> % %> c> % %

Soluci(nK

,


28/130

a> % QQ Q%Q cos g " 3 $ cos 18J ="> =$> = b > )

%> QQ QQ cos g " 3 " cos 8J ="> ="> =1> 7

c> % % Q%Q Q%Q cos g $ 3 $ cos 8J =$> =$> =1> 1)

I.".$ #ngulo entre dos vectores En el inciso anterior se lle#o a determinar la e3presi(nK % QQ Q%Q cos g B 8J g 158J

En la cual el @n#ulo g es el @n#ulo ?ue 0orma los +ectores y % al considerarlos en un ori#en com-n 0i#ura7

Si se despe&a de la e3presi(n anterior a cos g se tieneK cos g % f

QQ Q%Q Es decir ?ueK g an# cos % fQQ Q%Q

La e3presi(n anterior nos permite calcular el @n#ulo ?ue 0orman dos +ectores al considerarlos en un ori#encom-n.

E&emplo 15

Calcular el @n#ulo ?ue 0orman los +ectoresK =" 8 1> y % =) 8>

Soluci(nK

cos g

% = " 8 1 >

= ) 8 > 15 15 15 7 QQ Q%Q " 8 =1> ) => 8 18 $8 $88 8 18

g an# cos 7 18

I. ". ' Vectores unitarios i, j, k y %orma trinmica de un vector

En al#unas ocasiones es con+eniente e3presar un +ector =a 1 a a"> en t4rminos de los +ectores unitariosi & \ ?ue se muestran en la 0i#ura "8B estos +ectores tiene la direcci(n de los e&es coordenados y su m(dulo es

i#ual a 1.

A los +ectores unitarios no se acostum%ra testarlos.

5

6i#. 7 n#ulo entre dos +ectores

g

%%

6i#. "8 Vectores unitarios i & \

\

i

&

F

Y


29/130

En t4rminos de sus componentes los +ectores unitarios ?uedan e3presados comoK

i =1 8 8>& =8 1 8>\ =8 8 1>

Aora %ien el +ector =a

1

a

a"

> puede e3presarse comoK =a1 a a"> =a1 8 8> =8a 8> =8 8 a">

a1=1 8 8> a=8 1 8> a"=8 8 1> ( a1i a& a"\

Esta e3presi(n de0ine al +ector en la llamada 0orma trin(mica. As! por e&emplo la $orma trin%micade los +ectores p =18> ? =$ 18 7> son respecti+amente p i & ? $i 18& 7\. /e a?u! enadelante se e3presar@ indistintamente a un +ector cual?uiera r como r =r1 r r"> o %ien r r1i r& r"\.Am%as notaciones son e?ui+alentes.

I.".) 'ngulos y cosenos directores de un vector

Para descri%ir la direcci(n de un +ector =a1 a a"> usualmente se ace considerando tres @n#ulos h y jcon0orme a la si#uienteK

/E6INICIGN. Los @n#ulos directores de un +ector son los @n#ulos h y j ?ue respecti+amente0orma el +ector con los +ectores unitarios i & y \.

Las e3presiones para calcular los @n#ulos directores de un +ector se pueden o%tener a partir de la e3presi(nplanteada en el inciso I.".$ para el @n#ulo entre +ectores esto esK

h an# cos i o sea h an# cos a1QQ QiQ QQ

an# cos & o sea an# cos aQQ Q&Q QQ

j an# cos \ o sea j an# cos a"

QQ Q\Q QQ 6recuente mente es m@s con+eniente tra%a&ar con los cosenos de estos @n#ulosB a dicos cosenos se les llamacosenos !irectoresdel +ector los cuales est@n dados por las si#uientes e3presionesK

cos h a1B cos aB cos j a"QQ QQ QQ

Los cosenos directores de un +ector no pueden ser ar%itrariosB y su relaci(n se puede esta%lecer como si#ueK

7

6i#. "1 2n#ulos directores de un +ector

&

i

\

j

h


30/130

cos h a1 B cos a B cos j a" .QQ QQ QQ

Sumando se tieneK cos h cos cos j a1 a a" ( QQ QQ QQ

cos

h cos

cos

j a1

a

a"

QQ

QQ QQ

de dondeK cos h cos cos j 1

Due es la e3presi(n ?ue relaciona a los cosenos directores del +ector .

E&emplo 17

Encontrar los @n#ulos y los cosenos directores de los si#uientes +ectoresK

a> =) ">%> % =" 8 8>

Soluci(nK

a> El m(dulo del +ector esK =)> => ="> ,

Por lo tanto sus cosenos directores sonK cos h ) cos cos j " , , ,

Y sus @n#ulos directoresK h an# cos = ) > 1$7J an# cos ,"J$ y an# cos " )$J", , , ,

h 1$7J ,"J$ )$J",

%> El m(dulo del +ector % es Q%Q =">

8

8

"Por lo tanto sus cosenos directores sonK cos h " 1 cos 8 8 cos j 8 8

" , "

Y sus @n#ulos directoresK h an# cos = 1 > 8J an# cos = 8 > 78J y an# cos = 8 > 78J

h 8J 78J 78J

Due donde se o%ser+a ?ue el +ector % es paralelo al +ector i lo cual coincide con los +alores de lascomponentes del +ector siendo la primera la -nica di0erente de 8.

E&emplo 8

kallar las componentes de un +ector con m(dulo i#ual a " y cuyos @n#ulos directores son i#uales.

Soluci(nK h

" cos h 1 cos h

/e dondeK cos h 1 cos cos j

"8


31/130

"

Lo ?ue indica ?ue ay dos direcciones de +ectores ?ue satis0acen la condici(n de ?ue sus @n#ulos directoresson i#uales.

TomandoK cos h cos cos j 1f "

Entonces las componentes del +ector sonK

a1 QQ cos h " 1 " "

a QQ cos " 1 " "

a" QQ cos j " 1 " "

/e dondeK = " " " >

I.$ PRO/CTO VECTORIAL /E /OS VECTORES

I. $. 1 $e%inicin y propiedades

Otra operaci(n entre +ectores es la conocida como producto +ectorial o producto cru est@ de0inido por el +ectorK

3 % =a%" a"%>i =a"%1 a1%">& =a1% a%1>\

na representaci(n m@s 0@cil de recordar del producto +ectorial 3 % es por medio de un determinante detercer ordenK

A?u! no se discutir@ m@s so%re los determinantes ya ?ue el -nico prop(sito es contar con un dispositi+o -tilpara escri%ir ciertas 0(rmulas en 0orma resumida.

i & \ 3 % a1 a a" =a%" a"%>i =a"%1 a1%">& =a1% a%1>\ %1 % %"

En el producto +ectorial 3 % si ( % o am%os son i#uales al +ector 8 =o o o> entoncesK

3 % 8i 8& 8\ =o o o> 8

Propiedades del producto +ectorial.

"1


32/130

Si es un escalar y y % son dos +ectores en el espacio de tres dimensiones entonces se cumple ?ueK

1> 3 % = % 3 > =Anticonmutati+idad> > 3 =% c> = 3 %> = 3 c> =Ley distri%uti+a i


33/130

INTERPRETACIGN XEO*:TRICA /EL PRO/CTO VECTORIAL

Como ya se menciono pre+iamente 3 % es un +ector perpendicular tanto a como a % y su m(dulo esi#ual a QQ Q%Q sen g. Entonces aparentemente ay dos se#mentos diri#idos con la direcci(n opuesta ?uerepresenta al +ector 3 %. Sin em%ar#o la de0inici(n presentada del producto +ectorial est@ %asada en la regla!e la mano !erec&a ?ue diceK

Cuando es #irado acia % de tal manera ?ue los dedos de la mano dereca #iran en la direcci(n de larotaci(n entonces el dedo pul#ar indica la direcci(n del +ector 3 % 0i#ura ".

Con esto ?ueda de0inido totalmente el +ector 3 % desde el punto de +ista #eom4trico.

E&emplo 1

n +ector c tiene como m(dulo ' y es perpendicular com-n a los +ectores $i "& y % $i )& \

/eterminar sus componentes.

Soluci(nK

3 % i & \ "i $& 1\ $ " 8 $ ) 1

n +ector unitario en la direcci(n de 3 % esK = 3 %>u 3 % f Q 3 %Q

Q 3 %Q ="> =$> =1> 1)7 1"

= 3 %> u "i $& 1\ f " i f $ & 1 \ 1" 1" 1" 1"

y entoncesK c " ='> i f $ ='> & 1 ='> \ 1" 1" 1"

c 1i 1) & $5 \

La soluci(n tam%i4n puede ser c 1i 1)& $5\ ya ?ue es perpendicular a y a % y su m(dulo es '.

""

3 %

%

6i#. Producto +ectorial

3 %


34/130

E&emplo

Calcular las componentes de un +ector tal ?ue sea perpendicular a los +ectores % =1 8 > yc =8 > y ?ue d 1 donde d =8 1 1>.

Soluci(nK QQ u

u =% 3 c>u % 3 cf Q% 3 cQ

Q% 3 cQ i & \ $ i & \ 1 8 8

Q% 3 cQ =$> => => $

u f $ i & \ $ $ $

Por otra parte d 1 ( QQ u d 1QQ $ i & \ =8i & \> QQ f

$ $ $ $ $

QQ $ por lo tantoK $

QQ $ f $ i & \ $ $ $ $

i b & b \

I. $. (aralelismo

La primera aplicaci(n del producto +ectorial ?ue se estudiar@ es la ?ue se re0iere al paralelismo entre+ectores para lo cual se plantea la si#uiente condici(nK

/os +ectores y % en un espacio tridimensional di0erentes del +ector nulo son paralelos sis(lo si su producto +ectorial es i#ual a 8 o sea Q 3 %Q 8

Esta a0irmaci(n se %asa en ?ue si en la e3presi(n Q 3 %Q QQ Q%Q sen g los +ectores y % no son nulos para

?ue Q 3 %Q resultante cero la -nica posi%ilidad es ?ue sen g sea i#ual a 8B o sea g i#ual a 8J ( 158J. En am%oscasos los +ectores y % son paralelos s(lo ?ue cuando g 8J los +ectores tienen la misma direcci(n y cuandog 158J tienen la direcci(n opuesta.

/e lo anterior tam%i4n se deduce lo si#uienteK

El producto +ectorial de cual?uier +ector =a1 a a"> por s! mismo es i#ual a 8B 3 8

"$


35/130

E&emplo "

sando el producto +ectorial demostrar ?ue los +ectoresK "i & \ y % 7i "& )\ sonparalelos.

Soluci(nK

Si Q 3 %Q 8 los +ectores y % son paralelos. % 3 i & \ 8i 8& 8\ " 1 7 " )

por lo tanto y % son paralelos.

E&emplo $

/emostrar ?ue siK % c 8 entoncesK

3 % % 3 c c 3

Soluci(nK

Por la propiedad de anticomutati+idad del producto +ectorialK 3 % % 3

ComoK % c 8

EntoncesK % c

Sustituyendo en el se#undo miem%ro de la e3presi(n anteriorK 3 % % 3 = % c> Por la ley distri%uti+a i'(uier!aK 3 % = % 3 %> = % 3 c>

Pero se tiene ?ueK = %> 3 = %> 8 y % 3 c % 3 c

Por lo tanto sustituyendo se tiene ?ueK 3 % % 3 c

Por otro lado deK % c 8

EntoncesK % c

Sustituyendo enK 3 % % 3

Se tiene ?ueK 3 % = c> 3 = c> 3

Por la ley distri%uti+a !erec&aK 3 % = 3 > =c 3 >

Pero se tiene ?ueK 3 8

Por lo tantoK 3 % c 3

Con lo ?ue ?ueda demostrado ?ueK 3 % % 3 c c 3

"'

%

c

6i#. "" % c 8


36/130

I. $. " 'rea de un paralelogramo

Por medio del producto +ectorial se puede calcular el @rea de un paralelo#ramo a partir del si#uientera % AC =1 1> =1 1 > = " 1>EntoncesK 3 % i & \ 1i 1& 1\ " ) 7 " 1

/e dondeK Q 3 % Q 1 1 1 "=1> 1 "

Como el @rea del trian#ulo es i#ual a la mitad del @rea del paralelo#ramoK

2rea tri@n#ulo A;C 1 " unidades cuadradas.

I. $. $ (roducto mi)to, propiedades

/E6INICIGN. /ados tres +ectores cuales?uiera =a1 a a"> % =%1 % %"> y c =c1 c c">se llama producto mi3to de los tres +ectores a % c al escalar =% 3 c>.

N(tese ?ue al calcular el producto mi3to primero se de%e e0ectuar el producto % 3 c ya ?ue si se asocia= %> 3 c la e3presi(n no tiene si#ni0icado al#uno dado ?ue % es un escalar y el producto +ectorial est@de0inido para dos +ectores.

El producto mi3to denominado tam%i4n como triple producto escalar puede e3presarse en t4rminos de undeterminante de tercer orden. En e0ectoK

")

6i#. "$ @rea de un paralelo#ramo @rea QQ Q%Q sen g Q%Q sen g

%

*


37/130

% 3 c =a1 a a"> =%c" %"c %"c1 %1c" %1c %c1>

% %" %1 %" %1 % % 3 c a1 a a"

c c" c1 c" c1 c

% 3 c a1 a a"

%1 % %" c1 c c"

*ediante el c@lculo directo se puede demostrar ?ueK % 3 c % c 3 c 3 %

En e0ecto si en el determinante se intercam%ian dos +eces sus ren#lones se o%tiene el mismo resultadoBtam%i4n se o%tiene i#ual resultado al intercam%iar dos +eces m@s los ren#lones para calcular c 3 %. Estosi#ni0ica ?ue el resultado del producto mi3to no se altera al cam%iar c!clicamente el orden de los +ectores.

Aora %ien como el producto escalar es conmutati+o se puede escri%irK % 3 c % c 3

Cam%iando c!clicamente el orden de los +ectoresK % 3 c c 3 % 3 c %

Por lo ?ue se tiene ?ueK % 3 c 3 % c

Es decir en el producto mi3to se pueden intercam%iar el punto y la cru


38/130

Volumen + rea de la base ) altura + - ) b - - c - cos Pero como se +io en el inciso I.".1 ?ue el producto escalar entre dos +ectores es i#ual al producto de susm(dulos multiplicado por el coseno del @n#ulo ?ue 0orma se tiene ?ueK

Volumen = 3 %> c % 3 c _ % c `

En otras pala%ras el resultado del producto mi3to _ % c ` es i#ual al +olumen del paralelep!pedo en tres decuyas aristas concurrentes se alo&an los +ectores % c. Cuando el @n#ulo entre 3 % y c denominado estal ?ue 78J W 158J el producto _ % c ` es el ne#ati+o del +olumen del paralelep!pedo.

La interpretaci(n #eom4trica anterior conduce a la conclusi(n de ?ue la condici(n necesaria y su0iciente para?ue tres +ectores lle+ados a un ori#en com-n est4n en un mismo plano es ?ue su producto mi3to sea i#ual acero.

E&emplo )

/ados los puntos A =1 1 > ; =8 "> C =1 1 1> y / =1 " "> si tres de las aristas de un paralelep!pedo

son A; AC y A/ encontrar su +olumen.Soluci(nK

kaciendoK A; =8 "> =1 1 > =1 1 1> % AC =1 1 1> =1 1 > = 8 1> c A/ =1 " "> =1 1 > =8 1>

Por lo tantoK V % 3 c 1 1 1 8 $ 8 8 $ 8 1 8 1

V $ unidades c-%icas.

E&emplo ,

Calcular el +olumen del prisma trian#ular en tres de cuyas aristas concurrentes se alo&an los +ectores i & % "i & \ y c i "& $\

Soluci(nK

El +olumen del prima trian#ular es i#ual a la mitad del +olumen del paralelep!pedo ?ue tiene las mismasaristas concurrentes por lo ?ue se puede escri%irK

V b = % 3 c > b 1 8 b = 1) 8 8 1 ) > 1 " 1 " $

V 1 unidades c-%icas.

E&emplo 5

Calcular el +olumen del tetraedro de +4rtices A =1 1 8> ; =" 1> C = 1 1> y / = 1 8>

"5


39/130

Soluci(nK

Como el +olumen del tetraedro cuyas aristas concurrentes son A; AC y A/ es i#ual a la se3ta parte del+olumen del paralelep!pedo ?ue tiene las mismas aristas aciendoK

A; =" 1> =1 1 8> = 1 1>

% AC = 1 1> =1 1 8> =" 8 1> c A/ = 1 8> =1 1 8> =1 8>

Por lo tantoK V 1M) = % 3 c > 1M) 1 1 1M) = 8 1 ) 8 8 $ > 1M)" 8 1

1 8

V 1M)unidades c-%icas.

E&emplo 7

/emostrar ?ue los puntos A = 1 "> ; =" ' 1> C =) , 7> y / = $ "> son coplanares.

Soluci(nK

kaciendoK A; =" ' 1> = 1 "> =1 ) $> % AC =) , 7> = 1 "> =5 ) 1> c A/ = $ "> = 1 "> =$ " )>

Por lo tantoK % 3 c 1 ) $ ") 55 7) 7) 55 ") 8 5 ) 1 $ " )

Por lo tanto los puntos A ; C y / son coplanares.

I. $. ) $oble producto vectorial

Considerando los +ectores =a1 a a"> % =%1 % %"> y c =c1 c c">. Se puede 0ormar el producto 3 =% 3 c>. Es importante acer notar ?ue el resultado en #eneral no es el mismo ?ue si se considera el producto= 3 %> 3 c.

Calculando el do%le producto +ectorialK 3 =% 3 c> se tieneK % 3 c =% c" %"c> i =%"c1 %1c"> & =%1c %c1> \

EntoncesK i & \

3 =% 3 c> a1 a a"%c" %"c %"c1 %1c" %1c %c1

/esarrollandoK

3 =% 3 c> _a=%1c %c1> a"=%"c1 %1c">` i _a"=%c" %"c> a1=%1c %c1>` & _a1=%"c1 %1c"> a=%c" %"c>` \

3 =% 3 c> =a%1c a%c1 a"%"c1 a"%1c"> i =a"%c" a"%"c a1%1c a1%c1> & =a1%"c1 a1%1c" a%c" a%"c> \

Sumando y restando a la primera componente a1%1c1 a la se#unda a%c y a la tercera a"%"c"K

"7


40/130

3 =% 3 c> =a1%1c1 a%1c a%c1 a"%"c1 a"%1c" a1%1c1> i

=a%c a"%c" a"%"c a1%1c a1%c1 a%c> &

=a"%"c" a1%"c1 a1%1c" a%c" a%"c a"%"c"> \

6actori _=a1c1 ac a"c">%1 =a1%1 a% a"%">c1` i _=a1c1 ac a"c">% =a1%1 a% a"%">c>` &

_=a1c1 ac a"c">%" =a1%1 a% a"%">c">` \

Reacomodando t4rminosK 3 =% 3 c> =a1c1 ac a"c"> =%1i %& %"\> =a1%1 a% a"%"> =c1i c& c\>

O %ienK 3 =% 3 c> = c>% = %> c

/e manera similar se puede demostrar ?ueK = 3 %> 3 c = c>% =% c>

E&emplo "8

Si = 1 "> % =1 8 > y c =" 1>

CalcularK a> 3 =% 3 c> y %> = 3 %> 3 c

Soluci(nK a> 3 =% 3 c> = Z c>% = %> c

c = 1 "> Z=" 1> ) " 11.

= Zc> % 11=1 8 > =11 8 >

% = 1 "> Z=1 8 > 8 ) $

= %> c $ =" 1> =1 5 $>Por lo tantoK 3 =% 3 c> =11 8 > =1 5 $> =" 5 15>

3 =% 3 c> =" 5 15>

%> = 3 %> 3 c = Z c>% =% c>

= Zc>% =11 8 >

% c =1 8 > Z=" 1> " 8 1 =% c> 1= 1 "> = 1 ">

Por lo tantoK = 3 %> 3 c =11 8 > = 1 "> =7 1 '> = 3 %> 3 c =7 1 '>

$8


41/130

Capitulo II La recta y el plano en el espacio

En el cap!tulo anterior se estudiaron los aspectos %@sicos del @l#e%ra +ectorial es decir desde el concepto de+ector asta las operaciones ?ue se pueden e0ectuar con los +ectores.

En este cap!tulo se representa la aplicaci(n del @l#e%ra +ectorial para la de0inici(n de la recta y el plano en elespacio de tres dimensiones as! como las relaciones entre rectas y planos.

II.1 LA RECTA

II.1.1 cuacin vectorial de la recta.

La primera aplicaci(n del @l#e%ra +ectorial en este tema ser@ para el estudio de la recta en el espacio de tres

dimensiones. Sea un punto dado P8=38 y8 y sea =a % c> un +ector dado tal ?ue 8.

/E6INICIGN. na recta es el con&unto de puntos P =3 y tales ?ue el +ector de posici(n p decual?uiera de ellos se puede e3presar como la suma del +ector de posici(n p 8 delpunto p8m@s un +ector paralelo al +ector .

Si el +ector p p8es paralelo a entonces por la condici(n de paralelismo entre +ectores e3iste un escalart ] IRtal ?ue p p8 t. 6i#ura. II.1

Si p p8 t

EntoncesK p p8 t

Considerando ?ue p8y est@n 0i&os y ?ue el escalar t al ?ue se llamar@ par@metro puede tomar todos los+alores de IRB entonces se dice ?ue la recta ?ue contiene a p8 y es paralela al +ector es el con&unto de todoslos puntos p para los cuales sus respecti+os +ectores de posici(n p satis0acen la e3presi(n P P 8 t. Estae3presi(n es una ecuaci(n param4trica +ectorial o simplemente una ecuaci%n )ectorialde la recta LB 0i#uraII.1.

$1

p p8

p8

p8

p

p

Y

F L

6i#.II.1


42/130

La condici(n para ?ue un punto p permane determina la direcci(n de la recta por lo ?ue sus componentes a % c se les llaman-meros directores de la recta. Cual?uier +ector paralelo a determinar!a tam%i4n la direcci(n de la recta ypodr!a utili es paralelo a+ =c d e> si y s(lo si a c % d c e en donde ] IR. Se concluye ?ue cual?uier terna de n-merosproporcionales a % c tam%i4n pueden utili kallar la ecuaci(n +ectorial de la recta ?ue contiene el punto Po = 1 > y cuyos +ector director es =" 1 >.

;> O%tener dos con&untos de n-meros reales ?ue sean n-meros directores de esta recta.

Soluci(nK

A> P = 1 > t =" 1 >P = "t 1 t t>

;>N-meros directores dados _" 1 ` otros n-meros directores _1 ` ( _) $`

E&emplo .

/eterminar si el punto P1=" , ,> pertenece a la recta cuya ecuaci(n +ectorial es P =' t 1 "t " t>.

Soluci(nK

El +ector de posici(n de P1 =" , ,> el cual de%e satis0acer la ecuaci(n de la recta= " , ,> =' t 1 "t " t>

Por la condici(n de i#ualdad entre +ectores se tiene K " ' tB , 1 "tB , " t

Las tres condiciones se cumplen para t entonces p1satis0ace la ecuaci(n +ectorial de la recta.

P1 pertenece a la recta

ECACIGN VECTORIAL /E LA RECTA DE CONTIENE A /OS PNTOS /A/OS

no de los postulados de la #eometr!a eucl!dea esta%lece ?ueK

Por dos puntos dados cuales?uiera puede acerse pasar una recta y s(lo una. El cual tiene comoconsecuencia al corolario. /os puntos determina una recta.

Sup(n#ase ?ue a partir de los puntos 0i&os Po =38 y8 y P1=31 y1 se ?uiere determinar la ecuaci(n+ectorial de la recta ?ue contiene a am%os puntos. 6i#ura II..

$


43/130

Se de%e o%tener una ecuaci(n de la 0ormaK p p8 tu

Para este caso el +ector de posici(n P8ya est@ de0inidoB 0alta por de0inir al +ector ?ue determine ladirecci(n de la recta L para lo cual se puede tomar al +ector P 1 P8como +ector en donde P1y P8son loscorrespondientes +ectores de posici(n de los puntos P1y P8respecti+amente.

;a&o estas condiciones la ecuaci(n ?uedaK P P8 t =P1 P8>

La e3presi(n anterior es la +ectorial de la recta ?ue contiene a los puntos P1y P8. en esta ecuaci(n el +alor t 8 corresponde al punto P8 y el +alor T 1 corresponde al punto P 1B cuando t toma todos los +alores en elinter+alo _8 1` el punto p descri%e al se#mento de recta ?ue une P8 y P1. Para +alores de t menores ?ue cero omayores ?ue uno se o%tienen los dem@s puntos de la recta.

E&emplo ."

/eterminar la ecuaci(n +ectorial de la recta ?ue contiene a los puntos P8= 1 1> y P1 =8 1 >.

Soluci(nK P P8 t =P1 P8>

P = 1 1> t _=8 1 > = 1 1>`

P = 1 1> t = ">

P = t 1 t 1 "t>

II. 1. cuaciones param/tricas y en %orma sim/trica de la recta

Sea P P8 t

La ecuaci(n +ectorial de una recta ?ue contiene al punto Po =3 8 y8 y cuyo +ector director es =a % c>

y sean P y P8los +ectores de posici(n de los puntos P =3 y y P8 respecti+amente. Si en la ecuaci(n se sustituyen los +ectores por sus respecti+as componentes se tieneK

=3 y =3o yo t =a % c> =3o yo =ta t% tc> =3o ta yo t%

/e dondeK 3 =3o ta yo t%

Por i#ualdad de +ectores se tiene ?ueK 3 3o ta y yo t% <

$"

Po

Po

PP

1

P

P1

L

F

Y

6i#. II.


44/130

Estas ecuaciones son las llamadas ecuaciones param4tricas de la recta ?ue contiene al punto Po y cuyo

+ector director es . La recta es el con&unto de puntos cuyas coordenadas =3 y se determinan respecti+amente por lasecuaciones param4tricas cuando t toma todos los +alores reales.

Aora %ien si nin#una de las componentes a % c es cero se puede despe&ar a t de las ecuacionesparam4tricas o%teniendoK

t 3 3o t y yo t < y yo t =y1 yo> <

?ue son las ecuaciones param4tricas de la recta ?ue tiene a los puntos P 8y P1.

Si 3138 y1yo y


45/130

t 31 38 t y1 yo t =1 t $t " "t>

p = 1 t $t " "t> +ectorial

%> =3 y = 1 t $t " "t>

3 1 t y $t < " "t param4tricas

c> /espe&ando a tK t 3 1B t y B t < ". $ "

3 1B y B < " 0orma sim4trica $ "

E&emplo . '

/eterminar las ecuaciones en 0orma sim4trica de la recta ?ue contiene al punto P8=' 8 "> y esparalela al +ector "& '\

Soluci(nK Las ecuaciones son de la 0ormaK 3 38 y yo < =' 8 ,>` =' 8 ,> t =8 " $> =' "t , $t>

p =' "t , $t> +ectorial

%> =3 y =' "t , $t>

3 ' y "t < , $t param4tricas

$'


46/130

c> 3 ' t y t < ,. " $

3 ' y < , 0orma sim4trica " $

Si aora se toma P8=' " 11> y P1=' 8 ,> otro con&unto de ecuaciones en 0orma sim4trica de la misma

recta ser@K 3 ' y " < 11

" $E&emplo . ,

kallar las componentes de un +ector ?ue es paralelo a la recta de ecuacionesK

3 "t y , t < "t"

Soluci(nK

Las ecuaciones de la recta est@n dadas en 0orma param4trica

3 38 ta y y8 t% <

II. 1. " $istancia de un punto a una recta

Sea L una recta ?ue contiene al punto P8y es paralela a y sea D un punto 0i&o dado ?ue no pertenece a L.

La distancia del punto D a la recta L es i#ual a la lon#itud del se#mento diri#ido ?ue es perpendicular a L y?ue tiene como punto inicial a D y como punto 0inal un punto so%re la recta L. 6i#ura II."

Para calcular el +alor de la distancia d se puede acer por distintos procedimientos por e&emploconsid4rese la 0i#ura II. $

$)

d distancia de D a L

6i#. II." /istancia de un punto a una recta

D

d

Y

F

L

P

8

? P8

D

d L

P8

Y

F

P8

P1?


47/130

En el tri@n#ulo rect@n#ulo P8 P1D se tiene ?ueK sen d . Q? p8Q

en donde ? y p8son los +ectores de posici(n de los puntos ? p8 respecti+amente. /espe&ando a d se tiene d Q? p8Q sen

El @n#ulo lo 0orman la recta y el se#mento P8D y es el mismo ?ue 0orma el +ector ? p 8 con el +ector .Como se +io en el tema I el @n#ulo entre dos +ectores esta dado porK

an# sen = ? p8> 3 . Q? p8Q QQde dondeK sen = ? p8> 3 . Q? p8Q QQ

Sustituyendo en la e3presi(n ?ue se o%tu+o para dK d Q? p8Q = ? p8> 3 . Q? p8Q QQ

La cual se reduce 0inalmente aK d = ? p8> 3 . QQ

Esta e3presi(n permite calcular la distancia de un punto 0i&o D a una recta ?ue pasa por el punto P 8y esparalela a aplicando el producto +ectorial.

Otro procedimiento para calcular d ser!a aplicando el teorema de Pit@#oras en el tri@n#ulo rect@n#ulo P 8 P1D de la 0i#ura II.$.

Esto es ?ueK Q P8D Q QP8P1Q Q DP1Q

Pero el se#mento P8D es representaci(n del +ector ? p8 el m(dulo DP1es la distancia ?ue se re?uierecalcular y QP8P1Q es la componente del se#mento P8D so%re la recta L ?ue es e?ui+alente a la componenteescalar de ? p8so%re .

En el tema I se +io ?ue esta componente se puede calcular porK

Com. Esc. = ? p8> = ? p8>

Por lo anterior para el tri@n#ulo P8 P1 D se tieneK Q? p8Q = ? p8> =d>

de dondeK d Q? p8Q f = ? p8>

Con esta e3presi(n se puede calcular la distancia del punto D a la recta L ?ue contiene a P 8y cuyo +ectordirector es aplicando el producto escalar.

E&emplo . 5

Calcular la distancia ?ue e3iste entre el punto D = 1 > y la recta cuyas ecuaciones sonK

$,

6i#. II.$


48/130

3 " < B y 1 "Soluci(nK

Primer procedimientoK

/e las primeras ecuaciones de la recta se o%tiene directamente un punto de ellas P 8 =" 1 > y un

+ector paralelo = 8 "> por lo ?ue la distancia de pedida est@ dada porK d Q = ? p8> 3 Q QQ

en dondeK ? = 1 > P8 =" 1 > y = 8 ">

? p8 =1 8 $>

i & \ = ? p8> 3 1 8 $ ' 8 "

Q '& Q '

=> ="> 1"

d ' . 1"

Se#undo procedimientoK d Q? p8Q f = ? p8>

Q? p8Q =1> =8> = $> 1,

= ? p8> =1 8 $> = 8 "> 8 1 1$

d 1, f 1$ 1, f 17) ' . 1" 1" 1"

d ' .

1" d ' . 1"

II. 1. $ 'ngulo entre dos rectas

Sea L1una recta ?ue contiene al punto P 81 y es paralela a 1 y sea Luna recta ?ue contiene al punto P 8 yes paralela a . Ver 0i#ura II.'.

$5

P81

P8

L1

L

F

Y

g

1

6i#. II. ' 2n#ulo entre dos rectas


49/130

/E6INICIGN. El @n#ulo g ?ue 0orma dos rectas L1 y Len el espacio de tres dimensiones es el@n#ulo ?ue 0orma sus respecti+os +ectores paralelos 1y .

/e acuerdo a la de0inici(n anterior y a la de0inici(n +ista en el tema I so%re @n#ulo entre +ectores g estar@dado por las e3presionesK

g an# cos 1 . Q1Q QQ

E&emplo . 7

/eterminar el @n#ulo ?ue 0orman las rectas L1 y L sa%iendo ?ue L1 es paralela al +ector.

1 i 1 & 1 \ " " "

y Les paralela al +ector % 1 ' 1 . " " " " " "

Soluci(nK g an# cos % QQ Q% Q

% 1 1 1 1 ' 1 1 ' 1 1. " " " " " " " " " 7 7 7 "

Q Q 1 1 1 1 Q % Q 1 ' 1 1 " " " , , ,

g an# cos an# cos f 1 1 3 1 "

II. 1. ' (erpendicularidad, paralelismo y coincidencia

Sean las rectas L1 y L paralelas a los +ectores 1 y respecti+amente.

(erpendicularidad. En el inciso anterior se de0ini( el @n#ulo ?ue 0orman dos rectas como el @n#ulo entresus +ectores directores. Si se dice ?ue dos rectas son perpendiculares se est@ re0iriendo al caso particular de ?ueel @n#ulo ?ue 0orman es de 78J esto es ?ue L 1es perpendicular a Lsi s(lo si el @n#ulo g ?ue 0orman 1 y esi#ual a 78J.

Esto lle+a a ?ue si la e3presi(nK cos g 1 .

Q1Q QQconsideramos a g 78J entonces cos g 8 de dondeK

8 1 .Q1Q QQ

1 8

/e a?u! la si#uiente condici(nK

$7

1


50/130

/os rectas L1 y L son perpendiculares si s(lo si el producto escalar entre sus respecti+os +ectores directoreses i#ual a cero. 1 8

(aralelismo. Si L1 es paralela a 1 y L es paralela a y a su +e< L1 es paralela a L entonces 1 y son +ectores paralelos de donde el @n#ulo entre 1 y es i#ual a 8J ( 158J.

Si la e3presi(nK sen g Q1 3 Q .Q1Q QQ

Se considera ?ue g 8J ( 158J entonces sen g 8 por lo ?ueK 8 Q1 3 Q .Q1Q QQ

Q1 3 Q 8

de dondeK 1 3 8

/os rectas L1 y L son paralelas si y s(lo si el producto +ectorial entre sus respecti+os +ectores directores esi#ual al +ector cero. 1 3 8

Si se considera ?ue 1 =a1 %1 c1> y =a % c> entoncesK

i & \ 1 3 a1 %1 c1 8i 8& 8\ a % c

na de la propiedades elementales de los determinantes es ?ue si dos ren#lones o dos columnas de undeterminante son i#uales o proporcionales el determinante es nulo.

/e%ido a esto precisamente es por lo ?ue el producto +ectorial entre dos +ectores paralelos da por resultadoal +ector nulo ya ?ue como se +io en el tema I dos +ectores son paralelos si sus componentes respecti+as sonproporcionales. Esto se e3presa comoK

1 Q Q W ] IR Q 1

lo ?ue da por resultado ?ueK a1 a %1 % c1 c.

Aplicando esto a la condici(n de paralelismo entre rectas se puede a0irmar tam%i4n ?ue la recta L 1 esparalela a la recta L si las componentes de sus respecti+os +ectores directores son proporcionales.

Coincidencia. Si para las rectas L1 y L se satis0ace la condici(n de paralelismo y adem@s un puntocual?uiera P=3 y de L1 pertenece tam%i4n a L entonces las rectas son coincidentes. 6i#ura II. ).

E&emploK . 18

'8

P8

L1L

F

Y

6i#. II. ) Rectas coincidentes

L1 Q Q LP8 L1

P8 L


51/130

kallar la ecuaci(n de la recta L ?ue contiene al ori#en y es perpendicular a las rectas L 1 y L en donde L esparalelas a 1 =$ 1> y L tiene la ecuaci(nK 3 y < "

" 1Soluci(nK

Si la recta %uscada es perpendicular a L1 y L entonces ser@ paralela a un +ector perpendicular a am%as

rectas. i & \ L Q Q 1 3 $ 1 = >i =$ ">& =5 )>\ " 1 $ i ,& \ "

L es paralela a " = $ , >

Si adem@s contiene a 8 =8 8 8> entonces su ecuaci(n +ectorial esK

P =8 8 8> t =$ , >

P =$t ,t t> Ecuaci(n +ectorial de la recta ?ue contiene

al ori#en y es perpendicular a L1 y L.

Compro%aci(nK

Si L es perpendicular a L1 y L entonces "de%e ser perpendicular a 1y a .

"1 " 8

=$ , > =$ 1> 1) 1$ 8

=$ , > =" 1> 1 1$ 8E&emplo . 11

/emostrar ?ue las rectas L1 y Lson paralelas.

L1K 3 y 5 =,.' 18 18>

i & \ 1 3 " $ $ =$8 $8>i ="8 "8>& ="8 "8 >\

,.' 18 18 8 i 8& 8\ 8

L1 y Lson paralelas

E&emplo . 1

/emostrar ?ue las rectas L1 y Lson coincidentes.

L1K 3 y < 5" $ $

LK 3 1 y ) < 1 1 $ $

'1


52/130

" "

Soluci(n K

(rimerose de%er@ cumplir la condici(n de paralelismo.

1 3 8 1 =" $ $> =1 $ $ > " "

1

3

i & \ =1)M" 1)M"> i =$ $> & =$ $> \" $ $1 $ $ 8 i 8& 8\ 8

" "

/e donde se comprue%a ?ue L1 y Lcumplen con la condici(n de paralelismo.

Segundo. n punto cual?uier de una de las rectas de%er@ pertenecer a la otra recta. Esto es e?ui+alente a?ue un punto de una de las rectas satis0a#a las ecuaciones de la otra recta.

n punto de L1 es P= 5>

Este punto P de%e satis0acer las ecuaciones de L.

1 ) 5 1 1 $ $

" "

" " "

La ecuaci(n se satis0aceK L1 y Lson coincidentes

II. 1. ) $istancia entre dos rectas

Sea L1una recta ?ue contiene al punto P81y es paralela al +ector 1 y sea Luna recta ?ue contiene a P8yes paralela a . Ver 0i#ura II.,.

/E6INICIGN. La distancia entre dos rectas en el espacio de tres dimensiones es la m!nimalon#itud ?ue e3iste entre am%as medida so%re una perpendicular com-n.

'

P8

Y

F

d

L

P81

C

C1

L1

L

1

d distancia entre L1y Lp perpendicular com-n a L1y L6i#. II., /istancia entre dos rectas


53/130

Si L es perpendicular a L1y L entonces un +ector director de L ?ue la 0i#ura aparece como es tam%i4nperpendicular a 1 y de donde K

1 3 Consid4rese el +ector =P8 P81> en donde P81y P8 son los +ectores de posici(n respecti+amente de los

puntos conocidos de L1y L.

El +ector =P8 P81> se traslada paralelamente de tal 0orma ?ue su punto inicial coincida con el punto C 1=intersecci(n de L con L1>. Ver 0i#ura II.5.

Entonces resulta ?ue la distancia d es i#ual al +alor a%soluto de la componente escalar del +ector =P 8 P81>so%re la direcci(n de L lo ?ue es e?ui+alente aK

d Q Comp. Esc. =P8 P81> Q

Q Comp. Esc. 1 =P8 P81> Q/e dondeK

d Q=P8 P81> =1 3 > Q Q 1 3 Q

Esta e3presi(n permite calcular la distancia entre dos rectas ?ue se cru y un +ector paralelo es 1 = 1 "> n punto de Les P8=5 " 5> y un +ector paralelo es =1 ">

1 3 i & \ =" )> i =) "> & =$ 1> \ 1 "

'"

P8

F

d

L

P81

C

C1

L

13

YL

1

1

P8P

8P

81

P81

6i#. II.5


54/130

1 " 7 i "& '\

1 3 8 por lo tanto las rectas no son paralelas.

=P8 P81> =5 " 5> =1 1 8> =7 5>

d Q=P8 P81> =1 3 > Q = 7 5> =7 " '> Q 51 ) $8 Q 11' 11'

Q 1 3 Q =7>

=">

='>

51 7 ' 11' d 11' E&emplo . 1$

/eterminar la distancia ?ue ay entre la recta L1?ue contiene al punto P81= 1 > y es paralela al +ector =1 1> y la recta Lcuyas ecuaciones sonK

3 " y 7 < "

Soluci(nK

/e L1 se tiene ?ue P81= 1 > y 1 =1 1>

/e L se o%tiene P8=" 7 "> y = >

i & \1 3 1 1 =$ > i = > & = $> \

)i )\

1 3 8 por lo tanto L1 y L no son paralelas.

=P8 P81> =" 7 "> = 1 > =1 5 1>

d Q =1 5 1> = ) 8 )> Q ) ) 8= )> =)> ,

Si d 8 las rectas L1 y L se intersectanE&emplo . 1'

/eterminar la distancia ?ue ay entre las rectas L1 y L cuyas ecuaciones son respecti+amenteK

3 y 1 < " "3 y 1 1 = 1 ">

/e L P8= 1 8> =) " 7>

Las componentes de 1 y son proporcionales ya ?ue " =1>.

Por lo ?ue se concluye ?ue 1es paralelo a y en este caso la e3presi(n para calcular la distancia no tendr!asoluci(n.

Pero en este caso se puede determinar la distancia entre las rectas como la distancia de un punto cual?uierade una de ellas a la otra recta.

'$


55/130

Se toma P81= 8 1 "> y se calcula la distancia a L. Esta distancia est@ dada porK

d Q =P81 P8> 3 Q Q Q

=P8 P81> =8 1 "> = 1 8> = ">

=P81 P8> 3 i & \ =15 7>i =15 15>& =) 1>\ "

) " 7 ,i ")& )\

Q =P81 P8> 3 Q =,> =")> =)> 8)1

Q Q =)> ="> =7> 1)

d 8)1 d 7 1) 1$

d $.8$ u

NotaK En este caso si la distancia 0uera i#ual a cero las dos rectas ser!an coincidentes.

II. 1. , "nterseccin entre dos rectas

En el e&emplo . 1$ al calcular la distancia entre dos rectas dadas se lle#a al c@lculo de una distancia i#ual acero y dado ?ue las rectas no son paralelas se concluye ?ue se intersectan es decir ?ue tienen un punto encom-n.

En el caso de ?ue sean paralelas y la distancia entre ellas sea i#ual a cero entonces todos sus puntos son

comunes es decir las rectas son coincidentes.

Aora %ien cuando se sa%e ?ue dos rectas se intersectan se puede determinar el punto de intersecci(n. Noe3iste una e3presi(n #eneral para allar este punto sin em%ar#o a continuaci(n se descri%e un m4todo paradeterminarlo.

Sean las rectasK 3 31 t1 a1 3 3 ta

L1K y y1 t1 %1 B LK y y t%<


56/130

Si se resuel+e para dos de las ecuaciones y los +alores de t 1y tsatis0acen la tercera ecuaci(n entonces esos+alores de t1y tson la soluci(n al sistema. Si no se satis0ace la tercera ecuaci(n entonces el sistema no tienesoluci(n y en consecuencia las rectas no se intersectan.

Si e3iste la soluci(n entonces al sustituir el +alor de t1 en las ecuaci(n de L1K o el de ten las ecuaciones deL se o%tendr@n los +alores de 3 y < correspondientes a las coordenadas del punto de intersecci(n.

E&emplo . 1)

O%tener el punto de intersecci(n de las rectas del e&emplo . 1$

Soluci(nK

L1 contiene a P81= 1 > y es paralela a 1 =1 1>

LK 3 " y 7 < "

Se o%tienen las ecuaciones param4tricasK

L1K =3 y = 1 > t1=1 1>

= t1 1 t1 t1> 3 t1 y 1 t1 < t1

LK 3 " t y 7 t < " t

3 " t y 7 t < " tI#ualandoK

t1 " t1 t1 7 t

t1 " t

Se toma la se#unda y tercera ecuaci(nK

1 t1 7 t 8 t1 " t 8

kaciendo operaciones y multiplicando la se#unda por =1>

t1 t 5 8 t1 t 1 8

SumandoK "t1 7 8 t1 "

Sustituyendo t1 " en la terceraK " t 1 8 t 1

Los +alores de t1 " y t 1 de%en satis0acer la primera ecuaci(nK

="> " =1>

' ' S! se satis0ace por lo ?ue el sistema tiene soluci(n. Para o%tener las coordenadas del punto de intersecci(nse sustituye t1 y t en las ecuaciones de L1 y L respecti+amente.

Se toma t1 "

Si 3 t1 y 1 t1 < t1

EntoncesK 3 " y 1 ) < "

')


57/130

Por lo tanto el punto de intersecci(n esK

P=' , '>

Compro%aci(nK

Se tomaK t 1 en las ecuaciones de LK 3 " t y 7 t < " t. 3 " y 7 < "

/e dondeK 3 ' y , < '

P=' , '>

II. 1. 5 0amilia de rectas

En los incisos anteriores se a +isto ?ue una recta ?ueda de0inida si se conocen su direcci(n y un punto deella. Incluso si se conocen dos puntos de la recta am%os puntos determinan su direcci(n e independientemente

cual?uiera de los dos se utili


58/130


59/130


60/130

Si en la ecuaci(n +ectorial del plano p p8 r1 s se sustituyen los +ectores por sus respecti+ascomponentes se tieneK

=3 y =38 y8 r =a1 %1 c1> s =a % c> =38 y8 =ra1 r%1 rc1> =sa s% sc>

=38 ra1 sa y8 r%1 s%

=3 y =38 ra1 sa y8 r%1 s%

Por i#ualdad de +ectores se tieneK 3 38 ra1 sa y y8 r%1 s% r s ] IR <

/e dondeK =3 y =1 s r s 1 r s>

Por la condici(n de i#ualdad de +ectores se tieneK

3 1 s K y r s Ecuaciones param4tricas

< 1 r sE&emplo ."

Veri0icar si el punto P1=" ) 1> pertenece al plano cuyas ecuaciones param4tricas sonK

3 1 s K y r s

< 1 r sSoluci(nK

Si el punto P1pertenece al plano entonces sus coordenadas de%er@n satis0acer las ecuaciones de K

" 1 s ) r s

1 1 r s

/e la primera ecuaci(n se tiene ?ue s sustituyendo en la se#unda ?ueda r 1 y sustituyendo am%os+alores en la terceraK

1 1 =1> =>1 1 $

1 1

Las coordenadas del punto satis0acen las ecuaciones del plano por lo ?ue se concluyeK

P1=" ) 1> pertenece al plano

)8


61/130

Plano de0inido por dos rectas ?ue se intersectan. Cuando en la ecuaci(n +ectorial del planop p8 r1 s s toma el +alor cero entonces la ecuaci(n se reduce a p p8 r1 ?ue es la ecuaci(n de unarecta ?ue contiene a P8 es paralela 1y est@ contenida en el plano. Si aora r es el ?ue se anula entonces ?uedap p8 s ?ue es la ecuaci(n de una recta ?ue contiene a P8 es paralela a y tam%i4n est@ contenida en elplano. 6i#ura II.11

En este caso se an de0inido dos rectas ?ue est@n contenidas en el plano ?ue se intersectan en P8 y cuyos+ectores directores son respecti+amente los +ectores ?ue #eneran al plano.

Contrariamente dos recta no coincidentes ?ue se intersectan en un punto de0inen a un plano cuyos +ectores#eneradores son respecti+amente los +ectores directores de las rectas.

E&emplo II.$

/eterminar la ecuaci(n +ectorial y las ecuaciones param4tricas de un plano de0inido por las rectas cuyasecuaciones sonK L1K 3 y < 1

"

LK 3 y < 1 $

Soluci(nK

/e la ecuaci(n de L1 se tiene ?ue P81= 8 1> y 1 =" 1>

/e la ecuaci(n de L P8 = 8 1> y = 1 $>

Por lo ?ue las rectas se intersectan en P8= 8 1> ?ue es un punto tam%i4n del plano .

Los +ectores 1y son dos +ectores ?ue #eneran a por lo ?ue la ecuaci(n +ectorial del plano esK

p = 8 1> r =" 1> s = 1 $> = 8 1> ="r r r> =s s $s>

= "r s r s 1 r $s>

p = "r s r s 1 r $s>

Las ecuaciones param4tricas sonK 3 "r s

y r s< 1 r $s

)1

6i#. II.11

Y

F 1

P8

P8

p p8 r

1

p p8 s


62/130


63/130

/e dondeK d p1 % p 1 ad %c ad %c

En 0orma similar se o%tieneK d p1 % p %c ad %c ad

Esto implica ?ue la ecuaci(n +ectorial de Hse puede e3presarK H1K p rd sc p1 f r% sa p ad %c %c ad ad %c %c ad

Lo ?ue implica ?ue cual?uier punto de Hse puede de0inir a partir de los +ectores #eneradores de H 1 por lo?ue se concluye H est@ contenidos en el plano H1.

6inalmente H1 c H y H c H1 W H1 H

Con lo ?ue se completa la demostraci(n.

Para o%tener la ecuaci(n +ectorial de un plano de0inido por tres puntos los +ectores #eneradores se pueden

determinar restando los respecti+os +ectores de posici(n de los tres puntos por e&emploK

1 p1 p8B p p8

con los cuales la ecuaci(n +ectorial del plano ?uedaK

p p8 r = p1 p8 > s = p p8>

E&emplo .'

/eterminar la ecuaci(n +ectorial y las ecuaciones param4tricas del plano de0inido por los puntos

P8=18 > P1=1 8> y P=1 ">Soluci(nK

p =1 8 > r _=1 8> =1 8 >` s _=1 "> =1 8 >`

=1 8 > r =8 > s = '> =1 s r s r 's>

p =1 s r s r 's> Ecuaci(n +ectorial

3 1 sy r s Ecuaciones param4tricas

< r 's

II.. Vector normal y ecuacin normal del plano.

)"


64/130

/E6INICIGN. Sea p p8 r1 s un plano de H ?ue contiene al punto P8 y es #enerado por1 y . n +ector N ?ue es orto#onal simult@neamente a 1 y es tam%i4norto#onal al plano HB a este +ector N se le llama +ector normal al plano H. 6i#uraII.1"

Recu4rdese ?ue en el tema I se +io ?ue el producto +ectorial entre dos +ectores da por resultado un +ectororto#onal a los +ectores ?ue se est@n operando. La aplicaci(n de esto lle+a a ?ue se pueda o%tener un +ector Nnormal al plano H comoK

N 1 3

Por de0inici(n 1y son +ectores no paralelos lo ?ue #aranti N 8

/emostraci(nK 1 =a1 %1 c1> =a% c>

N 1 3 _=%1c %c> =ac1 a1c> =a1% a%1>`

/e la ecuaci(n +ectorial del plano se tieneKp p8 r1 s

/e dondeK p p8 r1 s =ra1 sa r%1 s% rc1 sc>

=p p8> N =r1 s> =13 >

ra1%1c ra1%c1 sa%1c sa%c1 ra1%1c1 ra1%1c

sa%c1 sa1%c ra1%c1 ra%1c1 sa1%c sa%1c 8

)$

Y

F

N

1

78J

78J

78J

8H

P8

6i#. II. 1" +ector normal a un plano


65/130

A la ecuaci(nK =p p8> N 8

se le llama Ecuaci%n normaldel plano ?ue contiene al punto P8y cuyo +ector normal es N.

Si el plano est@ de0inido por dos rectas L1y Lcuyos +ectores paralelos son respecti+amente 1y y ?ue seintersectan en el punto P8 la ecuaci(n normal del plano estar@ dada porK

=p p8> =1 3 > 8

6inalmente si el plano est@ de0inido por tres puntos P8 P1 P no colineales la ecuaci(n normal del plano seo%tiene comoK =p p8> ==p1 p8> 3 =p p8>> 8

II.." cuacin cartesiana del plano

Sea un plano H ?ue contiene al punto P8=38 y8 y cuyo +ector normal es N =A ; C>.

La ecuaci(n normal del plano H es de la 0ormaK =p p8> N 8

en donde p es el +ector de posici(n de un punto cual?uiera P =3 y ?ue pertenece al plano H.

Por las propiedades del producto escalar la ecuaci(n normal se puede e3presarK

( p N p8 N 8

N p N p8 8

Sustituyendo a los +ectores por sus respecti+as componentes se tieneK

=A ; C> =3 y =A ; C> =38 y8 8

E0ectuando los productosK A3 ;y C< =A38 ;y8 C 8

Si se aceK / =A38 ;y8 C

DuedaK A3 ;y C< / 8

?ue es la ecuaci(n cartesiana dada en 0orma #eneral del plano H.

E&emplo .1)

kallar la ecuaci(n del plano ?ue contiene al punto P8 = 1 "> y es normal al +ector i "& \

a> En 0orma normal.%> En 0orma cartesiana.

Soluci(nK

a> N = " >

= p = 1 "> > = " > 8

)'


66/130

%> = =3 y = 1 "> > = " > 8

3 "y < =$ " )> 8

3 "y < ' 8

E&emplo .,

/eterminar la ecuaci(n cartesiana del plano ?ue est@ de0inido por las rectasL1K 3 1 y " > = = " 1> 3 =" "> > 8

= 3 ' y $ < 1> = " 1> 3 =" "> 8

Se trata de un producto mi3toK 3 ' y $ < 1

=3 '> 11 =y $> " =< 1> 1" " 1

" " 11 3 "y 1"< ') 8

11 3 "y 1"< ') 8E&emplo .5

O%tener la ecuaci(n cartesiana del plano ?ue contiene a los tres puntos no colineales L = 1>* =" " "> y D =1 8 >.

Soluci(nK =p p8> (=p1 p8> 3 =p p8>) 8

Se toma D como P8entonces p8 =1 8 >

a L como P1entonces p1 = 1>

y a * como Pentonces p =" " ">

P tiene las coordenadas =3 y

(=3 y =1 8 > ) ((= 1> =1 8 > ) 3 (=" " "> =1 8 >)) 8

(=3 y =1 8 >) =1 1> 3 = " 1> 8

3 1 y < =3 1> ' "y =< > = 1> 8 1 1

" 1 '3 "y < " 8

'3 "y < " 8

))


67/130

II..$ $istancia de un punto a un plano

Sea un plano ?ue contiene al punto P8y cuyo +ector normal es N y sea D un punto ?ue no pertenece alplano.

/E6INICIGN. La distancia de un plano a un punto D es la lon#itud del se#mento diri#idoorto#onal al plano y cuyo punto inicial es un punto del plano y un punto 0inal es D.

Xr@0icamente se representa en la 0i#ura II.1$.

Es claro ?ue la distancia d es i#ual al +alor a%soluto de la componente escalar del +ector ? p8 so%re el+ector N o sea

d Q Comp. Esc. N? p8Q

/e dondeK d Q =? p8> N QQNQ

E&emplo .7

Si un plano contiene al punto P 8=1 1 8> y su +ector normal es N =) $ 5>. Calcular la distanciadel plano D =1 1$>.

Soluci(nK K d Q = =1 1$> =1 1 8> > =) $ 5> Q=)> =$> =5>

Q =11 " 1$> =) $ 5> Q ) ),) )

d 1 u

E&emplo ."8

Si la ecuaci(n de un plano es )3 $y 5< ,5 8. Cu@l ser@ la distancia del plano al punto D =) 5 $>Soluci(nK

Para aplicar directamente la e3presi(n de distancia de un punto a un plano 0alta determinar un punto delplano lo cual se puede acer 0i&ando el +alor de dos de las +aria%les de la ecuaci(n del plano y calcular el +alorde la tercera +aria%le.

Pero tam%i4n se puede proceder de la si#uiente maneraK

),

P8

P8

P1

? p8 D

Y

F

d

?

N

d distancia de a Dd QP1DQ B P1D normal a

6i#. II.1$ /istancia de un punto a un plano


68/130

El numerador de la ecuaci(n para calcular la distancia esK

Q =? p8> N Q

El cual se puede e3presar comoKQ N ? N p8Q

Recu4rdese ?ue en el inciso II.." se esta%leci( ?ue la / de la ecuaci(n cartesiana del plano es/ =N p8> ?ue para este caso +ale ,5.

Por otra parte = N ? > A?1 ;? C?" ?ue para este caso ?ueda N ? ) = )> $ = 5> 5 =$> dedondeK

d Q )= )> $ = 5> 5=$> ,5 Q ""5 =)> =$> =5> )

d 1" u

Se anali N Q Q =p8 N > QQ N Q Q N Q

Recu4rdese nue+amente ?ue =p8 N> / lo ?ue implica ?ue si el plano est@ dado por su ecuaci(ncartesiana entonces la distancia del ori#en al plano est@ dada porK

d Q / QQ N Q

Aora %ien si el plano contiene al ori#en entonces esta distancia +ale cero o sea ?ueK

8 Q / QQ N Q

Esta e3presi(n se cumple s(lo cuando / 8.

/e donde se concluye ?ue si en la ecuaci(n cartesiana de un planoK

A3 ;y C< / 8

el termino / es nulo entonces el plano contiene al ori#en del sistema re0erencia.

II.. ' #ngulo entre dos planos

)5


69/130

Sea P81y N1el punto y el +ector normal ?ue de0ine a un plano 1y sea P8y Nel punto y el +ector normal?ue de0ine a otro plano .

/E6INICIGN. El @n#ulo entre los planos 1 y es el @n#ulo ?ue 0orman sus respecti+os

+ectores normales N1y N.

Por la e3presi(n para calcular el @n#ulo entre dos +ectores +ista en el tema I tenemos ?ue el @n#ulo entre elplano 1y el plano est@ dado porK

g an# cos N1 NQ N1Q Q NQ

E&emplo ."1

Calcular el @n#ulo ?ue 0orman los planos

H1K "3 'y )< 1'

HK 3 "y '<

Soluci(nK

N1 =" ' )> N =1 " '>

g an# cos =" ' )> =1 " '> f " 1' "8f ="> ='> =)> =1> ="> ='> ,8 "'

g an# cos $f an# cos $f $'8 , '8

g 1$5. 8'J

II..) (erpendicularidad, (aralelismo y coincidencia

)7

1

N1

N

g

78J 78J

6i#. II.1' An#ulo entre dos planos


70/130

Sea el plano H1 de0inido por el punto P81y por el +ector normal N1 sea tam%i4n el plano Hde0inido por el punto P8ypor el +ector normal N.

PERPEN/ICLARI/A/

/E6INICIGN. /os planos H1 y H son perpendiculares si y s(lo si sus respecti+os +ectores

normales N1y Nson orto#onales. /e esta de0inici(n se si#ue ?ue dos planos H1y H son perpendiculares si y s(lo si sus respecti+os +ectoresnormales N1y N0orman un @n#ulo i#ual a 78J.

/e la e3presi(n de @n#ulo entre planos estudiada en el inciso anterior se tieneK

an# cos N1 N 78J Q N1Q Q NQo seaK cos 78J N1 N 8 Q N1Q Q NQ

N1 N 8

/e donde la si#uiente condici(nK

/os planos H1y H son perpendiculares si y s(lo si para sus respecti+os +ectores normales N1 y Nsecumple ?ueK

N1 N 8

La interpretaci(n #ra0ica de la perpendicularidad entre planos est@ en la si#uiente 0i#uraK

E&emplo ."

/eterminar la ecuaci(n cartesiana del plano H1?ue es perpendicular simult@neamente a los planos

HK 3 y "< 1 8 H"K P8"=1 1 1> N" =1 8 >Y ?ue contiene al punto P81=8 8 >

Soluci(nK

,8

g

* 78J

H

H1

N N1

6i#. II.1) Planos perpendiculares


71/130

Si H1tienen ?ue ser perpendicular a H1y H simult@neamente entonces su

apuntesgeometrÍa analÍtica

Documents