ECOLE DES PONTS PARISTECHSUPAERO (ISAB), ENSTA PARISTECH,

TELECOM PARISTECH. MINES PAzuSTECH.MINES DE SAINT-ETIENNE, MINES DE NANCY,

TELECOM BRETAGNE, ENSAE PAzuSTECH (FILIERE MP)pcor,B POLYTECHNIQUE lrIlmnE rSt;

CONCOURS D'ADMISSION 2015pnorurEnn opnpuvE DE PHYSTeUE

Filibre PC(Dur6e de l'6preuve: 3 heures)

, L'usage de la calculatrice est autoris6Sujet mis b disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVPLes candidats sont prid.s de mentionner de fagon apparente sur Ia premi,tre page de la copie :

PHYSIQUE I - PC.

L'6,noncd de cette 4preuue compor"te 6 pages.

- Si, au cours de l'6preuve, un candidat repbre ce qui lui semble 6tre une erreur d'6nonc6, il estinvit6 i, le signaler sur sa copie et i poursuivre sa composition en expliquant les raisons desinitiatives qu'il aura 6t6 amen6 h prendre.

- Il ne faudra pas h6siter h formuler les commentaires (incluant des consid6rations num6riques)qui vous sembleront pertinents, m6me lorsque l'6nonc6 ne le demande pas explicitement. Lebarbme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualit6s de r6daction de la copie.

ASPECTS DE LA PROPULSION SPATIALEPour les applications num6riques on utilisera 3 chiffres significatifs. Les vecteurs sont surmont6sd'un chapeau s'ils sont unitaires 0" ou d'une flbche dans le cas g6n6ral uf. A I'exception de i telque i2 - -1, les grandeurs complexes sont soulign6es : z € C.

Donn6es valables dans tout le problbmeo Masse de l '6lectrorL, m.e: 9, 11 . 10-31kg;o Charge 6l6mentaire, b:1,60 . 10-1e C;o Constante de Newton de la gravitation universelle, G : 6,67. 10-11m3 . kg-l .s2 ;o Permitivit6 di6lectrique du vide, e6 : 8,85 . 10-12 F . m-t ;o Constante d'Avogadro, Nn : 6,02 - 1023 mol-r ;o Rayon de la Terre, &, : 6,37 .103 km;e Masse de la Terre , A[t :5, 97 . 1024 kg;o Intensit6 du champ de pesanteur i la surface de Ia Terre, g : 9,81 m . s-2 ;o Constante de Bol tzmann, /c: 1,38-10-23 J.K- l ;o Constante de Planck, h: 6,62.10-34 J . s;o Constante des gaz parfaitS, R: 8,31 J.K . l .mol-l ;

Aspects de Ia propulsi.on spatiale

Ce problbme s'int6resse h, la propulsion d'engins spatiaux et plus particulibrement au moteurionique, dans lequel le carburant n'est pas brul6 mais ionis6. Les ions alors lib6r6s passentpar deux grilles fortement charg6es 6lectriquement et subissent ainsi une acc6l6ration. La forced'acc6l6ration des ions cause une force de r6action de sens oppos6 : c'est Ia force de propulsiondu moteur b, ions. Les diff6rentes parties du problbme sont trbs largement ind6pendantes.

I. - G6n6ralit6sI.A. - Aspect cin6tique - Lois de vitesseA I'instant t : 0 , une fus6e de masse totale ma d6colle verticalement dansle r6f6rentiel terrestre (voir figure 1). on d6finit le d6bit de masse D,n ) 0des gaz br0l6s, par D^: -# , *(t) d6signant la masse de la fus6e h uninstant I > 0 quelconque. On note d,: -ui" avec ?r ) 0, la vitesse d'6jection

' des g^z par rapport b la fus6e. on note 6 : u(t)t " la vitesse de la fus6e dansle r6f6rentiel terrestre suppos6 galil6en. On suppose que D,n et u restentconstants et que le champ de pesanteur g reste uniforme lors du lancement.tr 1 - En prenant pour systbme la fus6e b I'instant l, exprimer sa quantit6de mouvement fy aux instants t et t + dt. D6terminer de m6me la quantit6de mouvement fn d I'instant t + dt du gaz 6ject6 pendant dt .I 2 - On rappelle que la d6riv6e temporelle d'un vecteur rJ(t) est d6finie__ --- , , , , . dd ,. , i( t + dt) - ?t(t)par la relatron

df :

JlT. --=;-. En utilisant le principe fonda-

mental de la dynamique pour I'ensemble {fus6e * gaz}, 6tablir l'6quationdiff6rentielle

^#: D^u - mg (1)FIcuRp 1 - Fus6e

tr 3 - Identifier, dans le second membre de l'6quation (1), I'intensit6 Fde la force de pouss6e. A quelle condition la fus6e d6colle.t-elle ?

tr 4 - On nomme impulsion sp6cifique 1, d'un ergol (gaz propulseur) le temps pendant lequelune masse m de cet ergol peut fournir une pouss6e 6quivalente au poids ressenti par rn d, lasurface de la terre. Exprimer 1" en fonction de u et g.

-J 5 - D6terminer I'expression de la vitesse u(l) de la fus6e i. l'instant f, en fonction de f,

m(t), g, u et de la masse de la fus6e b I'instant f :0 not6e rno.I 6 - On suppose le vaisseau extrait de l'attraction terrestre (mission interplan6taire), samasse totale est alors m; et sa vitesse i : uti".On allume b nouveau un moteur pendant unedur6e At conduisant h une variation de masse A,m : mt- mf . Adapter I'expression pr6c6dentepour obtenir la relation de Tsiolkovski donnant I'accroissement de vitesse correspondant, not6AV : uf -'t)t, en fonction de u, mi et my.L'exemple qui suit a pour objet de montrer I'int6r6t des fus6es b, plusieurs 6tages. Soit une fus6ede masse totale rnt : \34 tonnes constitu6e de deux 6tages. La masse totale du premier 6tageest tn1, : 110 tonnes dont 100 tonnes d'ergols, et celle du second est m4, - 24,0 tonnes dont20,0 tonnes d'ergols.I 7 - En consid6rant que la vitesse d'6jection des gaz u : 4,00 km . s-l est la m6me lors dela pouss6e de chaque 6tage, calculer les accroissements de vitesse apport6s successivement parchacun des 6tages de la fus6e. Comparer avec le cas d'une fus6e ne poss6dant qu'un seul 6tageet la m6me r6partition de masses, c'est-a-dire 14,0 tonnes de structure et 120 tonnes d'ergols.Les calculs seront effectu6s dans I'hypothbse d'une absence de pesanteur.

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Phgsique I, annde 2015 - f,liire PC

Une autre manibre de minimiser les d6penses en carburant est d'augmenter la vitesse d'6jection,limit6e d quelques kilombtres par seconde dans le cas d'une propulsion chimique comme nousle verrons dans la suite de ce problbme.I 8 - Pour une charge utile de masse mu :500 kg, calculer les masses nr"ret rn", decarburant(la masse initiale du vaisseau est m6 : mul*") d pr6voir pour obtenir une variation de vitesseLV :5,00km's-r , dans le cas d 'une propuls ion chimique (u : 4,00km.s- l ) et d 'unepropulsion ionique (u -- 20,0 km . s-r).I.B. - Aspect 6nerg6tique - Rendement propulsif du moteur fus6e'J 9 - Le vaisseau se d6place b une vitesse de norme u dans le r6f6rentiel d'6tude galil6en.Exprimer l'6nergie cin6tique dans ce r6f6rentiei de la masse drn du gaz 6ject6e pendant df, end6duire la puissance cin6tique P3.er contenue dans le jet de gaz issu du moteur. Exprimer dem6me la puissance regue par le vaisseau de la part de la force de pouss6e. On exprimera cesdeux termes en fonction de Drn,u et u.I 10 - On d6finit le rendement propulsif comme le rapport de la puissance cin6tique gagn6epar le vaisseau sur la puissance totale d6pens6e. En admettant une conversion parfaite del'6nergie stock6e dans le vaisseau en 6nergie cin6tique du jet et du vaisseau, montrer que lerendement propulsif peut se mettre sous la forme

2rn\x) : r + *

oir I'on pr6cisera I'expression de z en fonction des donn6es du problbme.tr 11 - Tracer la courbe 4(r), pour quelle valeur de z le rendement propulsif est-il maximal ?Pour quelles valeurs de r le rendement est il nul ? Montrer que l'on pouvait pr6voir ces r6sultatssans calcul.

En fait, bien que des moteurs h vitesse d'6jection variable soient 6tudi6s et quelquefois exploit6s,le rendement 6nerg6tique de la propulsion est souvent consid6r6 comme secondaire : l'6nergiefournie par une pile nucl6aire ou des pannearl-x solaires est presque illimit6e, ce qui n'est pas lecas des r6serves de gaz propulsif.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Limites de la propulsion chimiqueConsid6rons l'6coulement d'une tranche de fluide, comprise entre les sections ,9r et Sz i I'instanti et entre S, et S, ) l'instant t + dt . Durant le laps de temps dt cette tranche 6change uncertain travail I4l et une certaine quantit6 de chaleur Q avec I'ext6rieur. On note par ailleursW' Ie travail 6chang6 sans mettre en jeu les forces de pression.I L2 - Appliquer le premier principe de la thermodynamique i cette tranche, 6tablir, enr6gime permanent, la relation entre W', Q et les variations d'6nergie massique de la trancheconsid6r6e.

On se place dans la tuydre d'un moteur fus6e, lorsque l'6coulement est permanent et s'effectue daltitude constante sans travail autre que celui des forces de pression. Le gaz 6ject6 est consid6r6comme parfait, de masse molaire r14, d'indice adiabatique 7 - 1,4 . Il provient d'une chambrede combustion, oi ses temp6rature et pression sont not6es T" et P. . Le gaz est initialement aurepos, 'u.: 0. Par ailleurs, on considbre que le transit du gaz dans Ia tuybre est suffi.sammentrapide et les 6changes suffisamment lents pour que l'on puisse n6gliger les transferts thermiques.D 13 - Exprimer la vitesse maximale atteinte par le gaz en sortie de Ia tuybre en fonctionde 'y, ,8. T" et AI. On n6gligera la temp6rature de sortie devant 7".

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Aspects de Ia propuls'ion spati.ale

ii t4 - Les ergols utilis6s pour la propulsion sont du dihydrogbne et du dioxygbne, leurr6action stechiom6trique permet d'obtenir une temp6rature de combustion de l'ordre de T":3,0 . 103 K. Calculer la vitesse maximale d'6jection des gaz issus de la tuybre et l'impulsionsp6cifique correspondante.

FIN DE LA PARTIE II

III. - Le moteur plasma micro-ondesIII.A. - Principe de fonctionnementPour diminuer la consommation de gaz propulsif, il est n6cessaire d'acc6l6rer fortement le gaz6ject6 par apport ext6rieur d'6nergie . Cette acc6l6ration est rendue possible par I'ionisationde ce gaz (on obtient alors un plasma), les particules charg6es pouvant etre acc6l6r6es par unchamp 6lectrique.Le gaz propulsif utilis6 est par exemple du X6non, il est ionis6 par trois types de m6canismes po-tentiels, on suppose que tous les ions produits sont Xe+. Ces trois m6canismes sont repr6sent6ssur la figure 2. La premibre source potentielle d'ion est la collision entre un atome et un6lectron produit par un canon h 6lectrons (d6fini au d6but de la partie III.B). Il s'agit dela voie o. Outre I'ion produit cette voie produit deux 6lectrons lents. L'application d'une onde6lectromagn6tique micreonde permet d'acc6l6rer ces 6lectrons afin qu'ils puissent 6galementioniser d'autres atomes de X6non. Il s'agit de la voie b. Enfin, dans certaines conditions, lesphotons micro-onde sont 6galement susceptibles de photo-ioniser les atomes de X6non. Il s'agitde la voie c.Une forte densit6 du plasma est assur6e par la pr6sence d'aimants permanents. Les ions Xe+ sontfinalement acc6l6r6s par une diff6rence de potentiel dans une r6gion appel6e grille acc6l6ratrice.Des canons b 6lectrons assurent une neutralisation du gaz 6mis. L'ensemble est sch6matis6 surla figure 2.

Grillemicroonde

Grilleacc6l6ratrice Canon d 6lectrons

de neutralisationeInjection dc

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Canon d, 6lectronS

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FrcuRp 2 - Repr6sentation sch6matique du moteur ionique : les symboles @ sont des atomesde X6non, @ des ions Xe+ et " des 6lectrons.

On considbre le plasma comme un milieu 6lectriquement neutre, de permittivit6 e6 et deperm6abilit6 magn6tieue 1-lo , qui renferme n ions par unit6 de volume et autant d'6lectrons demasse m" et de charge -e. Au sein du plasma, les ions possbdent une vitesse caract6ristiquebien plus faible que celle des 6lectrons. ils peuvent ainsi 6tre consid6r6s comme immobiles.Les 6lectrons sont dits libres pour les distinguer de ceux qui restent attaches aux ions. Le

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Physique I, annie 2015 - fili,bre PC

plasma 6tudi6 ici est non-collisionnel, c)est-b,-dire que I'on n6glige I'effet des chocs entre ionset 6lectrons ou entre particules de m6me espbce. On suppose 6galement qu'il est non relati-viste ce qui signifie que la vitesse caract6ristique des 6lectrons libres est faible devant cellede la lumibre llu-"ll ( c. Afin d'assurer une ionisation la plus complbte possible, on souhaitefinalement que ce plasma soit le sibge de la propagation d'un rayonnement microonde. L'onde6lectromagn6tique correspondante est associ6e d un champ 6lectrique dont la repr6sentationcomplexe s'6crit E : Eoei('t-kr)6u.f, 15 - On suppose la propagation effective. Faire l'inventaire de toutes les forces appliqu6esh un 6lectron libre et pr6ciser lesquelles sont n6gligeables.I 16 - D6terminer, en r6gime de propagation 6tabli, la representation complexe u-" de lavitesse des 6lectrons libres et en d6duire la conductivit6 complexe o du plasma d6finie parJ:o- l t . I

-

L7 - V6rifier que dans ce r6gime de propagation la densit6 volumique de charge p estbien nulle puis 6tablir l'6quation de propagation du champ81",t1. On rappelle que tot(rotE) : g;d1di.'81 - tE, en d6duire l'6quation de dispersiondans laquelle apparait la pulsation de plasma

|J 18 - A quelle condition I'onde appliqu6e au plasma peut-elle s'y propager ? Sinon que luiarrive't-il ?

Un intense champ magn6tique statique axial E6 - 8o0,, suppos6 uniforme, est appliqu6 iI'int6rieur du plasma par des aimants permanents.J 19 - Ecrire l'6quation vectorielle qui d6crirait le mouvement de l'6lectron s'il n'6tait soumisqu'd, ce champ magn6tique. Montrer que pour une vitesse initiale de l'6lectron contenue dansle plan perpendiculaire au champ magn6tique, son mouvement serait circulaire uniforme dansce plan, et que sa p6riode de rotation serait ind6pendante de sa vitesse. Exprimer la pulsationu.Jc correspondante, appel6e pulsation cyclotron, et calculer sa valeur num6rique pour un champmagn6tique appliqu6 d'intensit6 Bo : 0,20 T.,I 20 - Montrer qualitativement que I'application du champ micro-onde (8, Ed avec u x acpermet d'acc6l6rer les 6lectrons en augmentant la norme de leur vitesse.iJ 2L - D'aprbs ce qui pr6cbde, exprimer et calculer num6riquement la densit6 particulairemaximale que l'on peut esp6rer pour un champ magn6tique appliqu6 d'intensit6 Bo : 0, 20 T.Un champ magn6tique permanent intense permet donc d'obtenir une densit6 importante deplasma et ainsi d'augmenter le courant ionique engendr6 par les grilles acc6l6ratrices. Il aidepar ailleurs h maintenir I'ionisation : les lignes de champ magn6tique << pibgent >> Ies 6lectronsen les forgant h d6crire des cercles plutot que de diffuser librement vers les parois; la probabilit6qu'un 6lectron chaud ionise une mol6cule est accrue en raison de I'augmentation de la longueurde son trajet.3 22 - L'6nergie de premibre ionisation du X6non est de l'ordre de 12,0 eV. La configurationpr6c6dente permet-elle d'envisager une r6elle contribution de la photodissociatioh (voie c). Onjustifiera sa r6ponse par un calcul.III.B. - PoussdeOn n6glige la masse m,. des 6lectrons devant celle des ions not6e pr.iJ 23 - Exprimer la relation entre l'intensit6 du courant 6lectrique .I d0 aux ions traversantIe moteur, le d6bit D^ de masse de gaz issu du vaisseau et des caract6ristiques des ions.

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Aspects d,e la propuls'ion spatiale

U 24 - On suppose que les ions ont une vitesse caract6ristique nulle i I'entr6e de la grilleacc6l6ratrice. On note V" > 0la tension pr6sente entre les deux 6lectrodes de la grille acc6l6ratrice.D6terminer la vitesse caract6ristique de sortie des ions du moteur. En d6duire l'intensit6 F dela force de pouss6e du moteur (identifi6e d la question 3) en fonction de I, pt, V" et e.X 25 - La densit6 volumique de courant dans le moteur est li6e h la tension d'acc6l6rationpar la loi de Child-Langmuir que nous admettrons

la distance d 6tant celle s6parant les deux 6lectrodes de la grille acc6l6ratrice . Exprimer F enfonction de Vo, d, es et du diamdtre D du jet de gaz.On considbre un moteur ionique utilisant du X6non, de masse molaire M : 13Ig .mol-l etposs6dant les caract6ristiques suivantes :

o tension acc6l6ratric.e Vo: 700 V ;o distance d entre les deux 6lectrodes de la grille acc6l6ratrice: d:2,50mm;o diambtre de chaque trou dans les 6lectrodes de grille d6limitant les jets 6l6mentaires

D:2,00mm;o nombre de trous en vis-d,-vis dans chaque 6lectrode : N : 2,20.103

iJ 26 - Calculer les valeurs num6riques de la pouss6e F de ce moteur, de Ia vitesse de sortiedes ions et de la masse de X6non consomm6e sur une p6riode de g0 iours de Jonctionnemert.Evaluerlapuissancecin6tiquetotaletransmiseau jet d.egazproprrl . i .dr",o & 4{^8.( L& P '

l 27 - Justifier sans calcul la n6cessit6 de neutraliser le iet d'ions issu du -0u,"u,

en lui C

fournissant des 6lectrons.

IV. - Application du moteur ionique au maintien d'unsatellite en orbite basseOn considdre un satellite terrestre de mass€rrl":250kg en orbite circulaire basse h I'altitudeh : 300 km. Cette altitude est telle que les hautes couches de I'atmosphbre le freinent.E 28 - Exprimer l'6nergie cin6tique E" du satellite en fonction de son 6nergie m6caniqueErn; en d6duire que, paradoxalement, le freinage entraine une augmentation de la vitesse.= 29 - Lorsque le moteur est 6teint, les forces de frottement font perdre au satellite unealtitude L,h:20 m d chaque r6volution. Exprimer la variation d'6nergie m6canique correspon-dante, effectuer I'application num6rique.ii 30 - Le moteur ionique 6tudi6 pr6c6demment permet-il de maintenir I'altitude de ce sa-tellite ?

FIN DE LA PARTIE IV

FIN DE L'EPREUVE

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