augusto cesar de o. morgado - analise combinatoria e probabilidade[p084-133]

5/10/2018 Augusto Cesar de O. Morgado - Analise Combinatoria e Probabilidade[p084-133] - slidepdf.com

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84 Outros Metodos de Contagem Cap.3Cap.3 . Outros Metodos de Contagem 85

Excmplo 3.14: Em um grupo de 40 pessoas, pclo menos 4 pes-

soas tern 0mesmo signo,

Soluciio: Com efeit.o, colocando cada pessoa (objeto) na gaveta

do sou signo, temos m = 40 e n = 12. Logo, pelo menos uma

gavcta contera [4~21] + 1 = 4 objetos. 0

Ha ainda outra forrnulacao possivcl:

Sejo.m n qaueias c seja 1 1 . um inieiro posiiiuo dado. G'olo-

quemos al objelo8 no. 1~ gaveta, 0.2 objetos no. if4gaveta

e ossitti sucessicamente alp an objetos no. n-esitna qaueia.

En ta o S(C a . medi« (a 1 + 0.2 - I - . . . I· · an) / n for maior que u,

uma des gavetas conterd pelo menos fL -I - 1 objeios.

Prova: Se todos os (ti fossern rnenores que Jl -I - I, teriarnos

B. E possivcl cntao, rodando 0 disco A, 0bter uma posicao n a

qual pelo menos 100 set.orcs de A tenham a mesrna cor que os

correspondentes de B.

Prova: Colo que A sobre B. Seja 0.1 0 numero de setores so-

brepostos que tern cores coincidentes, Gire A de urn setor (isto

e de 360

0

/200) mantendo B fixo. Seja ent ao /t20

numero de se-tores sobrepostos que tern cores coincidentcs, Continue com esse

processo ate obter 0.200. Entan 0mirnero total de coincidcncias c(q+ 0.2 + ... -I - a : . m o = 100 x 200.

Com efeito, fixe um setor do disco [J (preto, por exemplo).

Como A tern 100 sctores pretos, havcra 100 posicocs em que esse

setor de 13 tera a mesrna cor que 0 correspondente setor de A.

Assirn 0 mirnero total de coincidencias sera 100 vezes 0 numero

de setorcs de B.

Dai temos

((ll -I - <t2 I . . . - I (200)

200100 > 99.

Se a media {_~maior que 99, pelo menos um dos a; e tarnbern maior

que 99, ou seja, algum (ti e maier que ou ignal a 100. Em suma,

em alguma posicao 0numero de coincidcncias e maior que on igual

a 100. 0

n

o que e lima cont radicao.

Em suma, se uma media aritrnetica de mimeros for maior

que I- i entao pelo menos um dos numcros e maior que Jl. 0

Exemplo 3.15: Sao dados dois discos A e H, cada urn deles

dividido em 200 setores iguais, os quais estao pintados de branco

ou de preto. No disco A ha 100 setores brancos clOD setores

pretos, ern ordem dcsconhccida. No disco B nao sabemos quantos

setores sao brancos. Colo quemos 0 disco A sobre 0 disco B, de

modo que os setores de A fiquern exal.arnente sobre os setores de

Excrcicios

1. Em uma gaveta ha 12 rneias brancas (~12 meias pret as. Quan-

tas meias devernos retirar ao acaso para termos certeza de obter

urn par de meias da mesma cor'!

2. 6:3127 candidatos compareccrarn a lima prova do vestibular

(25 questoes de mult.ipla-cscolha com 5 altemativas por questiio).

Considers a afirmacao: "Pelo menos dois candidates responderam

de rnodo ident ico as k primeiras questoes da prova". Qual e 0



86 Outros Metodos de Contagem Cap.3 Cap.3 Outros Metodos de Contagem 87

maior valor de k para 0 qual podemos garantir que a afirrnacao

acirna e verdadeira?

12. Sejam x um mimero real en urn inteiro posit ivo. Mostre que

entre os numeros x, 2:t, 3x, ... , (n - l)x existe um cuja dist.ancia

a algum inteiro c , no maximo, lin.3. Refaca 0 problema anterior para a afirrnacao: "Pelo menos 4

candidatos responderam de modo identico as k prirneiras questoes

da prova".

4. Um ponto (x , y, z ) do R:3 e inteiro se todas suas coordenadas

sao int.eiras.

13. Urn mestre de xadrez, preparando-se para urn torneio, joga,

durante onze semanas, pelo menos uma part ida pOI' dia mas nao

mais que doze partidas por semana. Prove que existe um con-

junto de dias consecutivos durante os quais ele joga exat arnent.e

20 partidas.

a) Considere urn conjunto de nove pontos inteiros do R3.

Mestre que 0 ponto medic de algum dos segmentos que

ligarn esses pontos e inteiro.

b) De um exemplo de um conjunto de oito pontes inteiros do

R 3 tais qne nenhum dos pontes medias dos segmentos que

ligam esses pontos e inteiro,

5. Qual e a mimoro minima de pcssoas que deve haver em um

grupo para que possarnos garantir que nele haja pelo rnenos 5

pessoas nascidas no mesmo mes?

14. Seja n um inteiro impar maior que 1e seja A urna matriz n x

n sirnetrica tal que cada linha e cada coluna de A e formada pelos

mimeros {I, 2, ... ,n} escritos em alguma ordem, Mostre que cada

urn dos inteiros {I, 2, ... , n} aparecc na diagonal principal de A.

15. Prove que se 0 conjunto {1, 2, ... , 1978} e partido em 6 sub-

conjuntos, em algum desses subconjuntos existe urn elemento que

e igual a a soma de dois elementos, nao necessariamente distintos,

do mesmo subconjunto.

6. Mostro que em to do (n + 1)-subconjunto de {I, 2, ... ,2n} ha

urn par de elementos tais que urn deles divide o outro,

7. Prove que to do numero natural tem um multiple que se es-

creve, na base 10, apenas com as algarisrnos 0 e 1.

8. Prove que em qualquer conjunto de 52 inteiros existe urn par

de inteiros cuja soma au cuja diferenca e divisivel por 100.

9. Prove que dado qualquer conjunto de dez inteiros positivos

de dois digitos cada, c possivel obter dois subconjuntos disjuntos

cujos elementos tern a mesma soma.

10. Considere 1990 pont as em um plano. Prove que quaisquer

tres semiplanos, tais que cada urn deles contem mais de 1327

desses pontes, tern intersecao nao-vazia.

11. Mostre que se escolhemos 800 pontos dentro de urn cubo de

arest a 10, pela menos urn dos segmentos determinados por esses

pontes tern comprimento menor que 2.



4. Numerus BinomiaisCapA Numeros Binomials Sf)

urn subgrupo formado por P + 1 pessoas e c~t~· numcro de

modos de selccionar urn subgrupo formado {lela mulher e por p

homens e 1 x C~ = Ch e 0 mirnero de modos de selecionar urn

subgrupo de p + 1 pessoas formado so par homens c C~+l.

1

1 1

4 . 1 o Triangulo de Pascal

Chamamos de Truinqulo de Pascal a quadro

c g 1

CO

C

1 1 11 1cg ci ci 1 2 1

c g oj C:~ C~ 1 3 3 1

CO C1 C a 3

C4 1 4 6 4 1'1 4

C4 4

1

1

Fig. 4.1

Como 0 numero total de suhgrupos e a soma do nurnero

de subgrupos dos quais a mulher part icipa com a nurnero de sub-

grupos dos quais a mulher nao participa, temos

formado pelos numeros C h (chamados Numeros Binomiais,

Coeficientes Binotniais Ott ainda Niimeros Combinatoriosi. Se

contamos as linhas c colunas do Triangulo comec;:ando em zero,

o elemento da linha n e coluna p c C~.

Uma propriedade dos numeros binomiais que nos pcrmiteconstruir rapidamente 0Triangulo de Pascal i: a

Relacao de Stifel: C~+ C~+l c _ : : : c~!i.Ou seja, somando dois elementos consecutivos de uma mesma

linha oblemos 0 elemento situado abaizo da ultima parcela.

Justificativa: Consideremos urn grupo formado por uma mu-

Iher e n homens. 0 mirnero de modos de selecionar nesse grupo

Repare que no t.riangulo de Pascal a linha n corneca em C~ e tcr-

mina em c:~. Portanto eft (que est.a na linha 11 avancado em p

coluna sem relacao ao inicio da linha) e C ; : - P (que csta na linha natrasado em p colunas em rclacao ao fimda linha) sao elementos

da linha n que estao situados ern posi\.oes equidistantes dos ex-

tremos. Numeros como Cft e C : : - P sao chamarlos de Combinacoes

Comptementoves. Assim, por exernplo, a complemental" de C>12 ecg -4 =Cf2. 1

Rela~ao das Cornbinacoes Cornplcmentares: C~= C : : - p.Ou seja, em uma tnestna linha do truinqulo de Pascal. elementos

eqnidistantes dOH extremes sao (quais.

88



90 Numeros Binomiais CapA CapA Niimeros Binomiais 91

n ! n !C 11-p - ------,----:------,---..,.----,- = - Cp

'n - (n - p)![n - ( 1 1 , - p)!J (n _ p)!pl - -1]"

o

Just ificativa:

Teorema das Linhas: C~ + C1~+ C ~ + ... + C : : = 21/..

Ou sej«, a soma dos elementos da liulla n vale 21/..

Justificativa: C~ c o numcro de subeonjuntos com p elementos

do eonjunto A = {1, 2, ... , n} . Entao C~ + C,~.+ e~+ ... + c ; :e 0 numero total-de subconjuntos de A. Mas, para formal' urn

subeonj unto de A = {I, 2, ... , n} devemos marcar cada elemento

de A com 0 sinal + (indicando que 0 elemento foi cscolhido para

o subconjunto) on com 0 sinal - (indicando que 0 elemento nao

foi escolhido). Como 0 numero de modos de marcar as elementos

e, 2 x 2 x ... x 2 .t, 2 ", provamos que 0 numero de subconjuntos

de urn conjunto com 11 elementos t~

n

~C,k-1=n L . . . J 11-1

k=1

=n[C~_l + C1~-1+ e~-l + ... + e , ; , " = i J=n· 2n-1 0

Teorema das Co lunass

ot: + cp cp + cp - C~p+1p -'p+l + 'p+2 + . . . -'p+n .._ -'p+n+1·

Co + (,1 + + en 2f t. J u . ~ ~ ~ .!n== . oOu sei«, a soma dos elementos de lima colutui do triiillgulo (comecsuulono primeito (~lell1ento da coluna) (~igual ao elemento que esta

avancado uma linh« e tuna coluna sobre a t'ilthna parcela da soma.

Exemplo 4.1: Qual eo valor da soma

n

S =L k C ~k-,l

11 r

L.

- k _ __ ,-- ,- - - - ,,..,.- k !(n - k) !

1,;=1

11 !~ n.

- L . . . J (k - l) !(n - k)!k=1

~ (It - 1) 1

= L . . . J 11 . (k - 1 )1 (1 1 - k )1":=1

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 5 1

Fig. 4.2

,",'- (.1 + 2(,2 + ,)(,:3 + + en?•. .....'" -'n .), 11 . • • • n n·

Soluciio:

.Justificativa: Apliquemos a relacao de Stifel aos elementos da



02 Numeros Binomiais CapA CapA Numeros Binomiais 93

coluna p + 1:

C1'+1 = C'1'-rl - 1 - C1'p+l p "1'

C1'+1 - Cp+1 cP1'+2 - -'p+l + /p+l

(,p"';'_l (,p";'_l CF'p-1-:3 .: 'p+2 + -'p+2

Exemplo 4.3: Qual e 0 valor da soma

,',' - 1 2 + 2 2 +. . .+ n2,!

(,p+1 _ Cp+1 ('1''1'+11 -'p+1l-1 + "p+n-l

CP_;_l - - C1'+1 c:p-n+l - 'p+n + p+n'

11

Solw;iio: A soma pedida e : : ; =LJ /.k ' - - " l

o exemplo anterior nos rnosl.rou como calcular uma somana qual cada parccla e um pro duto de inteiros consecutivos, Va-

mos tent ar transforrnar 0polinornio do 2° grau /.;2 em urn polinornio

do 2° grau no qual aparecarn em vez de prociutos de inteiros iguais,

pro dutos de inteiros oonsecut.ivos, isto e , vamos tcntar obtcr uma

ident idade do tipoomando (e simplificando parcelas iguais que aparecem em

mernbros opostos) 0btemos

(,1'+1 - C1'+1 - - CP c1' - cP'p+1I+1 - 'p 1 /p + ~p---l-.l 1 ~1'+2+

I' ... + C;+n-l -j - C : : - r w

Obscrvando que Cf+l = 0, Lemos

CP~l - CF cP c:1'+11+1 - /p -1 - /p+1 - 1 - /p+2-

1 ... -1 - C:+1I

-1 -- j C ; + w 0

k2 = Ak(k + 1 ) + f-JI.; -I C.

Tcmos

1 . ; 2 = = Ak2 1 - (A + e)k -1 - C,

A = 1, A - - I - B = 0, C = 0,

isto 6,

Excmpio 4.2: Qual C0 valor da soma

A = 1, B C-.- -1, C = O.

1.;2 = = I.;(k + 1) - k

.5 - - - = 1 . 2 . 3 + 2 . :3 . 4 + 3 . 4 ·5 + ... -I - 50 . 51 . 52? Enta.o,

.50

S ' =Lk(I.: + 1 ) ( 1 . : + 2 )

k - - - - : : l

50

=L3!Ci+2

k=1

6[C:3 -I - C:3 -1 -":3 - '4 ...

n

S ' : - : : - : LI.:2

k=

Soluciio:

11.

- L [k(k 1- 1) - 1 . : 1

k=1

1( ,:31

' ,/ . 'i2

n 11

.", 2 '" 12 L...,. Ck+1 - L...,. c;k - : - : : l k---"l

'1(,:3 C2= L" 1)+2 - n+l

- - - - : - :(1 1 -1 - 2)(n + l)n (n + - l) n

6 2

' , C C O 6 c i : 3

= 1 756950. 0



94 Numeros Binomiais

= n { ' / I .+ 1 ) [ 1 1 . ; 2 _ } ]

n { n + 1 ) { 2 n + 1) 0

(j

Excmplo 4.4: Calcule 0 valor da soma

s = :2 . 12 + 5 . 22 + 8 . 32 + ... + ( 3 n - 1) . 1 1 .2 ..

SOl1U;i i .O:

I/. 11

S = I)3k - 1 )k2 = 2:)3k:

3- k

2).

. 1 . : = 1 1 . . : = 1

Seja

3 /.; :3 - k2 = = Ak(k + l) (k +2) +Bk(k + 1) + Ck + D .

Temos

donde

A = 3 , 3A -I- B = - I , 2A -I- B + C = 0 , D = O _

A z: :~, B = -10, C -r; 4, D = O.

3k :3 - k" 2 = = :3k(k + 1) ( k -I- 2) - 10k(k + 1) + 4k .

CapA Ntirneros Binomiais D5ap.4

Logo,

11.

S = L[3k(1. : -I - 1) (1 . : + 2) - 10k(k -I- 1) + 4k J

. 1 . : = 1

n

= Ll3 .: ~ ! C Z + 2 10· 2!C~+l -1 - 4 c l J1 . : = 1

n 1 1 1 1

= 18 L C Z + 2 - 20 L C t + l -I - 11 L e i1 . . : = 1 1 . : = 1 . 1 . : = 1

1'-'C1 20CJ I- 4C,2= 0 '11.+3 - "'n+2 - n+l

= 18 ( 1 1 - 1 - : 1 ) ( 1 1 -I - 2 ) ( 1 1 -I - 1 )1 1 . _ 20 ( 1 1 . + 2 ) ( 1 1 -I- l) n +24 6

(n + l) n+ 4 2

= (n+1)n [3 (n+3~(n-l-2) _10n~;2 +2]

(n -I- l)n(9n2 + 5n - 2 )o

12

Teorema das DiagOlwis:

Ou seja, a soma dos elementos de Illrm rliagowJ (isto t~, de uma

paralela it 11ipotenusa), do truuigulo de Pascal (comeceudo 110

priuieiro elemento da diagolJal) (~ignsl ao eleuiento que esta. ime-

diatamente abaixo da liltima parccla.



9fi N u meros Binom iais Cap.4 Cap.4 Numeros Binomiais 97

1C ! ( 1)! ( )

- • • • . I d r<p- 1 ep'omo '11.., p + . C 11 - P . sao POSlt lVOS , 0 sma e un - -'n e

o mesmo de 11 - 1- Zp , Logo,

(-,p+l "p 0 1 2 > 0'11 - '--,11 > Sf:' n - - p

e

Cft+l - e~ < 0 se n - 1 - '2 p < 0,

1 ou seja,

4 1

e

1 5 10 10 5 1 c: (,p-l11 > "-11 se p >

n - 1

Fig . 4 .32

D

CO +rl + (,:2 t t cP - (,n I- - (,7< + en/11 '11+1 - '11+:2 - - . .. I I+P - --'Jl - "-n+1 -'n_;_2

+ ... - t- C : : + pC,7I+l-- n+p+1

- cP-- n+p+1,

o que significa esse teorerna? Ele afirrna que n a primeira

metade de cada l inha os elementos cstao em ordem cresccnte (cada

termo c menor que 0 scguinte, eft < C~-l) e que na segunda

rnetade os elementos est.ao em ordern decrcsccnte (cada termo cmaier que 0 anterior, C~ > C~-l).

Encerrarnos est.a sP\,ao corn algumas obscrvacoes: a ex-

pressao

.1 list ifi c at iva: Torn os

usando sucessivamont« Cornbinacocs Complementares, 0 Teorema

das Co lunas c Comhinacoes Complementares. D

1 1 rn ou tro fato irn port an te e 0 scguintc

c : )n(1I-J)··· (n-p+1)

p !

Tcorornar ('P < (,p+1 ~_ < n-1 (-'P > (,p+l '. > n-l.-'n /11. se p 2 e --'11-' 11 SC P ~ .

faz sentido para qualquer n. real, desde que p seja urn inteiro posi-

t.ivo. Definircmos ent ao para qualquer n real e qualqucr p inteiro

nao-negativo 0 binomial de n sobre p por

.J ust ifica t iva: ( n ) = - _ _ n ( n - 1 ) ... (It - P + 1 ) ( n )p > 0) e 0 -- 1.p p!

' I I !C'P+ I _ (' P =__ ---,- __,-

11 J

1! ( p t - 1 )1 (n - p - 1)!

1 1 !Assim, pOI' exemplo, temos

p 1 ( n - p) !

1 I1 (n - p) - n !(p - - t - 1 )--

(p + 1) 1 (n - p ) 1

II ! ( 1 1 - 1 - 2p )

(p + ] ) ! ( n - p ) ! "

( 1 ~ 2 ) 1(~-1) (~- '2 ) 1--

16'1

( ~ 5 ) (-5)( -6)( -7){-8)= 70

4 !



98 Numeros Binomiais Cap.4 Cap.4 Nurneros Binomiais 9!)

(

3) 3 . 2 . 1 . 0 . (-1)- -0

5 - 5 ! - .

Exercicios

1. Prove, fazendo as contas, a relacao de Stifel:

E claro que se n e inteiro nao-negativo,

(n) = n (n - 1 ) ... (n - p + 1 )

p p!supondo n urn real qualquer e p inteiro nao-negativo.

c igual a C f t, numero de p-subconjuntos de urn conjunto com n

elementos. Se n nao e intciro nao-negativo, cf t nao tern sentido

2. Prove, por urn processo analogo ao usado no texto para provar

a relacao de Stifel, que

mas

(~) =

n (n - 1 ) ... (n - p + 1 )

p!

CP+2- cP + 2Cp+1 + Cp+2

11+ 2 - 11 n n

continua tendo senti do.

E interessante observar que mesmo sc n nao for urn intciro

nao-negativo continua sendo verdade a Helacao de Stifel

3. Prove, fazendo as contas, que

a ) ( n ) + ( n)= ( 1 1 + 1 )P p+l p+l '

( n + 2 ) = ( n ) + 2 ( n ) + ( n ),p+2 p p+l p+2

supondo n urn real qualquer e p inteiro nao-ncgat ivo.

4. Usando a relacao de Stifel, escreva as sete prirneiras linhas do

triangulo de Pascal.

5. Prove, usando urn argumento cornbinatorio, que C h =C;:-p.

6. Se A possui 512 subconjuntos, qual eo nurnero de elementos

de A?

e 0 Teorema das Diagonais

Enquanto que 0Tearema das Linhas

c ) (~ ) + C D + ... C ~ )= 2n,

o Teorema das Colunas

7. Determine urn conjunto que possua exatamente 48 subcon-,

juntos.

8. X e urn subconjunto proprio de A se X CAe X i= A; X e

urn subconjunto nao-trivial de A se X CAe X f A e X i= ¢.

Se A possui 5 elementos, quantos sao os sub conjuntos proprios de

A? Quantos sao os subconjuntos nao-triviais de A?

9. Tem-se n eomprimidos de subatancias distintas, sohiveis em

agua e incapazes de reagir entre si, Quantas 80111(;·.oesistintas

eo Teorema das Cornbinacoes Complernentares

nao tern sentido se n nao for urn inteiro nao-negativo.



100 Numeros Binomiais Cap.4 Cap.4 Nurneros Binomiais 101

po dern ser ob tidas dissolvendo-se urn on rnais desscs comprimidos

em um capo com agua?

10. Quantos coqueteis (misturas de duas ou mais bebidas) po-

der"n ser feitos a partir de 7 ingredientes distintos?

11. Em uma sala ha 7 lampadas. Dc quantos modos pode ser

iluminada a sala?

21. Caleulc 0 valor de

c .. ~ - C,O c: - C2 -I- ( l)PCP,~ - 1 1 . - 11 'n - ... - n'

n

12. Calcule L(k + l)C,~,

1 , ,=0

22. Tem-se uma rede de carninhos (figura 4.4). Do ponto A

partem 21000 hornens. Metade parte na dirccao l e metade na

direcao m. Ao chegar ao prirneiro cruzarnento cada grnpo se di-vide: uma metade segue na direcao I, a out ra 11a direcao m. 0

mesmo ocorre em cada cruzamento. Numcremos as linhas e os

cruzarncntos em cada linha a partir do zero; assim, A e 0 zero-

esimo cruzarnento da Iinha zero. Quantos homens chegam ao k-

esimo cruzamento cia linha 1 1 . ' 1

11

13. Calcule 0 valor de LJ..,2C~.

k= O

11 Ck

" '11a1cule 0 valor de Z:: --.k=ok-l-1

16. Prove, por inducao, 0 Tcorema das Colunas,

17. Calculc 0 valor da soma1 m

14.

15. Prove, por inducao, 0 Teorerna das Linhas,

8=50·51 j 51·52+···+100·101.

18. Calculc 0 valor da soma Fig, 4.4

23. P rove que todo poliornio P (:£) de grau P pode scr escri to na

forma

19. Calcule 0 valor de

n

8 = Lk(2k -I - 1).

k.""l

20. Calcule 0 valor da soma

24. Calcule CR~ -I - C R ; I + CR;i - I- ... + CR~.

25. Prove, usando urn argurnento combinatorio, a Formula de

Euler11.

s = L(2k - 1 ) 2 ( / i : -I - 2 ).

1 , ' - -01Co cP C 1 Cp-1 C2 C,p-2 c» CO - cP'H <h . t- m"'11 +'m "h - t- . .. . j /m "h - "m+h'



102 Numeros Binomiais CapA Cap.4 Numeros Binomiais 103

26. Prove, a partir da Formula de Euler, a Formula de Lagrange

(17:l6-1H13)

Prove que Fn ; _ _ 2 = Fn+l + Fn.

2 2 1 (Cn)2 en1 - ( C 1 J -I . .. - / n = 2n'

35. A C 0 conjunto { I, 2 , ... ,n } e p e urn natural tal que 1 <p < n.

a) Qnantos sao as p-sllhconjuntos de A nos quais 0 element a

minimo e igual a k'!

b) Form ados todos as p-sllbconjllntos de A, em cada urn deles

considcra-sc 0 clemente minimo do subconjunto. Quanto

vale a media aritrnet ica desses minimos?

27. Calcule a valor da soma

'---~ eO c,2 + (--.1

C3 I - + en-2Cn

~J .= =.I

n11 .!

11._J

n - ... ~1. ./ n·

1! :2

28. Calcul« Lk ( ~:)

k=O

29. Determine p para que e fo seja maximo.

30. Determine p para que C~l seja maximo.

3!. Resolva a cquacao e~l= e~f-l.

32. Resolva a equacao C~t_p= eir;!.p.

33. Prove que em cada coluna (exceto a coluna zero) os elernen-

Los do triangulo de Pascal estao em ordem crescente.

34. 0 mimero de Fibonacci Fn 6 definido como a soma dos ele-

mentos da n-esima "diagonal inversa" do Triangulo de Pascal:

36. Prove que

( - 1 ) U ( -n ) = (_l)k( -i. ).k-l n-l

37. Para que valor de k .

(2 ' / 1 . + I , : ) . ( 2 ' / 1 . - k ) .n n

(n dado) e maximo?

38. Calcule

Fo = 1

FJ ::= 1

F2 = 2

F 3 = 3

F4 = 5

Fs = 8

~ ( n . ) ( 1 1 - - _ k . )- (m < n ).k = - - : : O k m l:

6

10

1

4

10

39. Calcule

5

1

5~ ( ~ )( 7 ) (n ~ m).

40. Prove, par inducao, 0 Teorerna das Diagonais.

Fig. 4.5



104 Nurneros Binomiais Cap.4 Cap.4 Nurneros Binomiais 105

4.2 0 Binomiode Newton

(I: 1 - a r l =t~ ) a l , ; : l : n - I , ; - =1 , ;=0

= ( ~ ) a ° : t : 1 I + G )a 1:l:1I-1 + G )a 2; c n -2 - I- . . . + C : ) a 1lx O .

Exemplo 4.5: Olhanda para 0t.riangulo de Pascal

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Obtemos

Teorernas Se.'T e (l. sao mlmeros reais e n (~um inreiro positivo,

Observe que:

i) 0 deseuvolvimelll.o de ( . 7 : -1 a)n possui u. + 1 tennos.

ii) Os co eli cic11tes do dcscn vol vimen to de ( . 7 : 1 - a) 11 san os ele-

melltos cia lillha n. do Triengulo de Pascal.

iii) Escreventlo os tel'l110S do desenvolviuicnto nEt ordetn acima

{isto 6, ordenndos segundo as potencies decrcsccuies cle x ],

() tcnno de ordem k -I - 1 6

(x + a)o = laoxo = 1

{x + a)l = laOxl + la1xo = x -I - a

{x -I - a)2 = laox2 + 2a1xl + la2xo = x2 + 2ax + a2

{x -I - a)3 = laox3

-I - 3a1.7 :2 - 1 - 3a2x1 + la3xo

=x3 + 3ax

2 + 3a2x + a

3

(x -I - a)4 = laox4

+ 4a1x3

- I- 6a2x2

-I - 4a3x1

+ la4xo

(1 1 ) I,; /I-I,;

a:1: .J .:

o

Exemplo 4.6: Determine a coeficiente de x2 no desenvalvi-

menta de (x3 - 1/x 2)9.

Solur.iio: 0 termo generico do desenvolvimento e

Prova: Temos

Cada termo do produto e obtido escolhendo-se em cada parentescs

um ;c au urn (I e multiplicando-se as escolhidos. Para cada valor

de k ; 0 ::;_k ::;_ 1 1" se escolhermos a em k dos parentescs, .7 : sera

II id le d ' . 1 k n-kesco 11 0 ern n - J . . : r os parenteses e a pro uto sera igua a a x

(0 < k < n). lsso po de ser feito de (~) modos. Entao { : I : + a ) 1 I

e uma soma onde ha, para cada k E { O , 1, . .. , n }, G ) parcelas

iguais a ak:tn-k, isto e ,

Tk+l =(:) (:~) k (x3)9-k

( 9 ) (_l~k x27-3k

k x2k

= _ 1 ) k ( ! ) x 27-Sk.

No termci em x2 tcmos 27 - 5k = 2, k = S. 0 termo em x2 e1).

(. T + a ) 1 I z: LC,~ak:tn-k.

k=O



106 Numeros Binomiais Cap.4Cap.4 Numeros Binomiais 107

Resposta: ~ 126. otemos

Exemplo 4.7: Determine 0 termo maximo do desenvolvimento

de (1 + 1/3}65 .

P{l) =Ao + Al + A2 + ... + An-

Solueiio: 0 termo generico do desenvolvimento eEm suma, a soma dos coeficientes de urn polinornio em x eo valor

numerico do polinomio para x = 1. A resposta e , port anto

T. = (65) (!)k 16."i-k = (65) . _ ! _ ,

k+l I. : 3 h : :3 k

Tk+l > Tk (011 seja, cada termo e maior que 0 anterior) se Exemplo 4.9: Se na formula do binornio fizermos x a = 1,

obtemos

65! 65! 1--------~ > -------------

1 .: ! ( 6 5 - 1 .: ) ! 3k

(k ~ 1)!(66 - 1 .: ) 1 3k

-

1

'

que da uma outra prova do Teorema das Linhas, Sc na formula

do binomio fizerrnos x = 1, a = -1 obtemossto e,

Assim,

(66 - /.:)! k! 3k 65!

(65 - I . : ) ! > ( I . : - 1)! 3k-1 - 65!' que e resultado importante, usa.do no Apendice 1 para provar 0

Principio do. Inclusao-Exclusao. 0isto e, 66 - I .: > k· 3 . 1 , isto e , h : < 16,5. Logo, Tk+l > Tk

para k E {I, 2, ... ,16} c, analogamente, Tk+l < Ti; para k E

{17,18, ... ,65}. Logo,

Exemplo 4.10: Caleule:

(65 ) 1Segue-se, entao, que a termo maximo e T17 = 16 316'

Resposta: (~~)~. o

TJ < T2 < T:3 < ... < T1 6 < T17 > T18 > ... > T66·

Exemplo 4.8: Qual e a soma dos coeficientcs do desenvolvi-

mento de (x 3 - 2x 2)15?

Soluciio:

a) t: ) x k = (1 + x f ' . pela formula do binornio.

k=O

Soluciio: Ora, se



108 Numero$ Binomials Cap.4 Cap.4 Niimeros Binomiais 109

b)

t k ( : ) X k = t k ( ~ ) X kk=O k=l

2:

11 n(n - 1 ) ... (n - k + 1 ) k= k x

1·2··· kk=l

Exemplo 4.11: Considere 0 desenvolvimento de (x + a}n or-

denado domodo usual, isto e, segundo as potencias decrescentes

de x. Calcule a soma dos termos de ordem par desse desenvolvi-

menta.

Soluciio: Temos

2:11 ( n - 1 ) k= n x

k-1k=l

{x + a)n = Tl + T2 + T3 + T4 + .{ x - a)n =Tl - T2 + T3 - T4 + .

Daf

e{ x + a )1 I - ( x - a ) 7 l

T2 +T4 + ... = 2

que e a resposta, o

Uma solucao mais sofisticada seria

Exemplo 4.12: No desenvolvimento de { x + a ) 7 l ordenado demodo usual, temos

(n) k ll-k n - k + 1( n ) k n-ka x = a xk k k - 1

e

(n ) k-l n-k+lTk = a x .

k-l

Derivando obtemos

Daf resulta

Multiplicando ambos as membros par x obtemos

Portanto, para obter Tk+l a partir de Tk basta aumentar 0

expoente de a emuma unidade, diminuir 0expoente de x emuma

unidade e multiplicar a coeficiente de Ti; pelo expocnte de x em

Tk e dividir oproduto pelo expoente de a (em Tk) aumentado de

um unidade. Issonos permite obter rapidarnente desenvolimentos.

Por exemplo,

t k ( ~ ) X k =nx{1 +x)7l-1.

k=O

c) Fazendo x =1 em b) obtemos



110 Numeros Binomiais Cap.4 Cap.4 Numeros Binomiais 111

Os coeficientes foram obtidos assim: 3. Determine 0 termo independente de .T no desenvolvimento de

1x5 5x4 ]Ox::l 10x2 5x11 -- = 5 -- = 10' = 10; = 5;-- = 1. 0, 1 '2 ' 3 4 5

(

2 1 ) 1 0x + x3

Encerramos esta secao observando que na realidade a formu-

la do binomio 4. Determine 0 coeficiente de x3 no desenvolvimento de

e valida ainda que n nao seja urn inteiro positivo. Prova- se (veja

algum livro de Calculo que fale sobre a serie binomial) que a

formula acima e valida para todo x tal que I x l > l a l . Assim,

por exemplo,

( 1 ) 122x4 --;

5. Determine 0 coeficiente de x28 no desenvolvimento de

( )

11 n(n - 1 ) 21+ a = 1 + no. + a + ...

2 ! 6. Determine 0 coeficiente de xn no desenvolvimento de

para todo a . tal que la l < 1 e todo n real.

Exercicios 7. Para que valores de n 0 desenvolvimento de

(

1 ) nx 2 -- .

xJ1. Determine 0 termo central do desenvolvimento de

2. Determine 0 quinto termo do desenvolvimento de

possui urn termo independente de x'!

8. Calculc 0 termo maximo e 0 termo minimo do desenvolvi-

mento de (1 + 1/2) 120.

9. Determine a soma dos coeficicntes do desenvolvimento de

"'\

a) Supondo 0 desenvolvimento ordenado segundo as potencias

crescentes da prirneira parcela;

h) Supondo-o ordenado segundo as potencies decrescentes da

prirneira pareela.

10. Calcule a soma dos coefic.ientes dos t.crmos de ordem par do

desenvolvimento de (2 x2 - 3y ) H.

11. Qual e 0rnaior dos numeros a = 101,')0 e b = 10050 + 99

5°7



112 Numeros Binomiais Cap.4 Cap.4 Niimeros Binomiais 113

n

12. CalculeLC~2k.

k=O

e igualando coeficientes adequados, prove mais uma vez a Formula

de Euler

rs. Calcule tk(:) s'.k=O

14. Determine 0 coeficiente de x

6

no desenvolvimento de

Co cp C1 Cp-1 CP CO - cPm h + m h + ... + m h - m+h'

20. Prove que 4747 + 7777 e divisivel por 4 .

21. Calcule 0 valor de:

a) C1~+ C~ + C~ +.. . ;b) C~+C~+C~+""

22. Calcule 0 valor das somas5. Calcule 0 valor da soma

C1 C2 C20o 20 20 20C20 - 22-...220'

a) 81=G)+3G)+5G)+" ' ;b) 82 = 2G ) + 4 (~ ) + 6(~) + ...

23. Calcule 0 valor da soma

16. Prove que [{ 2 + J 3 ) n ] e impar para todo n natural (Obs:

[ j=parte inteira).

17. A e urn conjunto comn elementos eBe urn seu p-subconjunto.

a) Quantos sao os conjuntos X tais que B c X c A?

b) Quantos sao os pares ordenados ( Y, Z ) tais que Y C Z cA?

18. Partindo de

24. Demonstre por inducao a Formula do Binomio,

25. Qual e 0 termo maximo da sequencia de termo geral an =(2n+l}5" ?

n! .

(x + l)n. (1 +x)n = (x + 1)2n

n

26. Calcule Lk(k - 1)C~2k.

k=O

e igualando coeficientes adequados, prove mais uma vez a Formula

de Lagrange:

n

27. Calcule Lk2C~5k.

k=O

19. Partindo de



114 Numeros Binomiais

4.3. Polin6mio de Leibniz

Podemos obter uma generalizacao da formula do binornio.

Toor emas

Cap.4 Cap.4 Niimeros Binomiais 115

Soluciio:

( X Z + 2x _ 1)4 :;-.::"' 4 1 (xz) a (2:z: : t 2 (-1 )Ct3

L- eq !O'z!o:~! -

24='"' 2Ct2 ( -1 )Q3 x ZCtt +a2 ,

L- 0' 11 0 'z10 ' :3 1

onde 0 ' 1, oZ, 0':3 sao inteiros nao-negativos t ais que «i+0'2 +o' :~ _,=, 4 . I

Abaixo temos uma tabela dos valores possiveis de 0'1, ( l iZ , 0'3

e os corespondentes termos do desenvolvimento.estendetido-se o somat6rio a tadas os valores iniciros tuio-negniivos

de aI, <X2, ... ,O:p tais que eq - + 0'2 + '" + O'p =n.

Prova:

(:q 1- :1:2 + ... -l-~:I:prl = (Xl + xz +. . .+ X p ) . . .

... (X l + xz + ... + X p ) .

(1 '1 <X 2 0'3 T

4 0 0 x8

0 4 0 16x4

0 0 4 13 1 0 8x7

3 0 1 -4.r6

1 0 3 -4xz.

1 3 0 32x5

0 1 3 -8x

0 3 1 -32x:3

2 1 1 -24x5

1 2 1 -48x4

1 1 2 24x3

2 2a 24x

6

2 0 2 6x4

0 2 2 24xz

o termo generico do produto e obtido escolhendo-se em cada

parenteses urn Xi e rnultiplicando-sc os escolhidos. Ora, se em

<X 1 dos parcnteses escoIhermos Xl, em 0: 2 dos parent eses esco-

lhermos ;1;2 etc ... obteremos :l:~~1x : p . . . x ~ r (0'1, O : Z, . .. ,O:p inteiros

- . )0 aCt Ctnao-ncgativos e (q + 0:2 + ... + (\p =n. termo Xl t X z 2 ..• Xp p

aparece tantas vezes quantos SaO OS modos de escolhermos nos 11

parenteses cq deles para l)pgar~os 0 :q para fator, 0'2 dentre os

que sobraram para pegarrnos 0:1;2 como fator etc .... Mas isso po de

set" feito de

1 L· at H2 Or d I .moe os. ogo,:I; 1 X z . . . . ' " C p aparece no esenvo virnento

n !

vezes,

Exemplo 4.13: Caleule (x Z - + 2 .'" C - 1)4.

Somando e reduzindo os termos semelhantes obtemos

( . ' 1 ; 2 + 2x - 1 )4 =



116 Numeros Binomiais Cap,4 Cap.4 Numeros Binomiais 117

Exemplo 4.14: Determine 0 coeficiente de x4 no desenvolvi-

mento de (x 2 - x + 2)6 .

/J olur- i io:

i) Urn dos a e igual a 2 e os demais sao iguais a zero. Obte-

remos entao termos da foram x r (1 :::;i:::;).

ii) Dois dos a sao iguais ale os demais sao iguais a zero.

Obterernos entao termos da forma 2XiXJ (1 ::; i < j::;).Logo,

11

(X1+X2+"'+Xn)2=Lxr+ 2 L X iX j,i= 19<jS;n

°1+0:2+0:3=6

2cq + 02 =4

isto €, 0 quadrado de urn polinornio e igual a soma dos

quadrados dos seus termos mais a soma dos duplos produ-

tos dos seus terrnos. Assim, por exemplo,

Para que 0 expoente de x seja 4 devemos tel'

As solucoes sao

0'1 0'2 03 Termo

,60 x40 4 2

1 2 3 480x4

2 0 4 240x4Exercicios

1. Determine 0 coeficiente de x17 no desenvolvimento de

Somando, 0 termo em x4 do desenvolvirnento e 780x4. A resposta

e portanto, 780. 0

2. Determine a soma dos coeficientes do desenvolvirnento de

Exemplo 4.15:de urn polinornio.

S olur- i io :

Deduza uma formula para 0calculo do quadrado

3. Quantos termos possui 0 desenvolvimento de

onde 01,02, ... ,Cl'n sao inteiros nao-negat.ivos tais que Cl'1+ 0:2 +

. . .+ Q:n = 2. Hoidois tipos de solucoes para a equacao acima.

4. Deduza uma formula para 0calculo do cuba de urn polinornio .

IE



5. ProbabilidadeCap.S P robabilidade 11 9

A teoria do azar consiste em reduzir todos

os acontecimentos do mesmo genero a urn

certo numero de casos igualmente possiveis,

ou seja, tais que estejamos igualmente inse-

guros sobre sua existencia, e em determinar 0

mimero de casos favoraveis ao acontecimento

cuja probabilidade e buscada. A razao deste

mimero para 0 de todos os casos possiveis ea medida dessa probabilidade, a qual e por-

tanto uma fracao cujo numerador e 0numero

de casos favoraveis e cujo denominador e 0

mimero de todos os casos possiveis.

identicos. Os experirnentos que repetidos sob as mesmas condicoes

produzem resultados geralmente diferentes serao charnados cxperi-

mentos aleat6rios. Fenomenos aleatorios aconteeem constante-

mente em nossavida diaria, Sao frequentes perguntas tais como:

chovera amanha? Qual sera a temperatura maxima no proximo

domingo? Qual sera 0 mimero de ganhadores da Loteria Es-

portiva? Quantos habit antes tera 0 Brasil no ano 2000?

A Teoria das Probabilidades eo ramo da Matematica que

eria, desenvolve e em geral pesquisa modelos que podem ser uti-

lizados para estudar experimentos ou fenomenos aleatorios.

o modelo maternatico utilizado para est udar urn fenomeno

aleatoric particular varia em sua cornplexidade matematica, de-

pendendo do fenomeno estudado. Mas todos esses modelos tern

ingredientes basicos comuns. 0 que vamos fazer agora e estudar

uma serie de fenomenos aleat6rios relativamente simples e inte-

ressantes, e fixar uma serie de ideias e nocoes que sao totalmente

gerais.

5.2 Espaco Amostral e Probabilidades de Laplace

Pierre Simon Laplace

Ensaio filos6fico sobre as Probabilidades

Nesta secao vamos tratar de urn caso particular da situacao geral

que sera desenvolvida na secao seguinte. Este caso particular e

rnuito importantc, e a maier parte dos exemplos e exercfcios deste

capitulo sao relatives a esta secao.

A definicao de probabilidade como quociente do numero

de "cases favoraveis" sobre 0 mimero de "cases possiveis" foi

a primeira definicao formal de probabilidade, c apareceu pela

primeira vez em forma clara na obra Liber de Ludo Aleae de

Jeronimo Cardano (1501-1576). A probabilidade introduzida nesta

secao tern, como veremos, varias propriedades. Elas serao tomadas

como definicao de uma funcao de conjunto que tambem chamare-

mos probabilidade na secao seguinte.

Consideremos 0 seguinte experimento aleatoric: jogue urn

dado e observe 0mimero mostrado na face de cima,

5.1 Introducao

Uma das aplicacoes mais import antes dos resultados anteriores ena Teoria das Probabilidades.

Diremos que um experimento e deterministico quando repeti-

do em condicoes sernelhantes conduz a resultados essencialmente



120 P r oba bilidade Cap.S Cap.S P robabilidade 121

A primeira tarefa consiste em descrever todos as possiveis

resultados do experimento e calcular a seu mirnero, De outra

forma: explicitar qual Ii 0 conjunto de possiueis resultados do ex-

. perimenio e calcular 0 nsimero de elementos contidos nele. Este

conjunto e chamado Espw;o Amostral. E facil descreve-lo em nosso

exemplo:

espac;o arnostral n erarn chamados caS08 possiueis. Defina ent ao

numero de casos favoraveisprobabilidade = . . .

numero de casos possiveis

0= {1,2, ... ,6}, #(0) =6. Vamos entao resumir as consideracoes feit.as ate agora, que

permitem a utilizacao desta definicao de probabilidade.

Os elementos do espaco amostral sao chamados eventos

eletneniares. Os subconjuntos do espaco amostral serao charnados

eventos. Por exemplo, 0 subconjunto

Suponha que os experirnentos aleatorios tern as seguintes

caracteri stias:

•a) Ha urn mirnero finito (digamos n ) de eventos elementares

(casos possiveis). A uniao de todos os eventos element ares

e 0 espaco amostral 0.

b) Os event os elernentares sao igualmente provaveis.

c) Todo evento A e urn uniao de m eventos element ares onde

m ::; n.

A = {2,4,6}

e 0 evento que acontece se 0 numero mostrado na face de cima e

par.

Passamos agora a segunda etapa: a de calcular a probabili-

dade de urn evento A. Consideremos 0caso do evento A = {2, 4, 6}

de nosso exemplo, E claro intuitivamente que se repetimos 0 ex-

perimento urn grande mimero de vezes obteremos urn numero par

em aproximadamente a metade dos casas; ou seja 0 evento A vai

ocorrer mais ou menos a metade das vezes. 0 que esta por tras

dessa intuicao e 0 seguinte:

a) os event os elementares sao todos igualmente "provaveis";

b) 0 numero de elementos de A (#(A ) = 3) e justamente a

metade dos elementos de n (#(0) =6).

Estas consideracoes motiva a definicao de probabilidade de

urn evento como A, da seguinte forma

Definimos ent ao

numero de casas favoraveisProbabilidade de A = P (A ) =----------

numero de casos possiveis

#(A) m

#(n} n

Conseqiiencias irnediatas desta definicao sao as seguintes

propriedades:

. . #(A) 3 1probabilidade deA = #(f!) = '6 = 2 '

1) Para todo evento A, 0 ::; P (A ) ::; 1;

2) P(f!) = 1;

3 ) P ( 4 ) ) = 0 [porquc #(4)) = 0);

4 ) Se A n B = 4 > entao P {A U B ) = P {A ) -I- P ( l J ) .

Laplace referia-se aos elementos de A (ou event as elementa-

res que cornpoem A) como as caS08 [osiortiveis. Os elementos do

Exemplo 5.1: Tres moedas sao jogadas simultanearnente. Qual

e a probabilidadc de obter 2 caras? Qual e a probabilidade de

obter pelo rnenos 2 caras?



122 Proba bil idade Cap.5

Soluciio: Vamos indicar com H, cara e com T coroa. 0 espaco

amostral e entao

o ={(H H H), (H HT), (HT H), (HTT), (TH HJ,

(T HT), (TT H), TTT)}

Donde:# (n) = casos possiveis = 8.

Se A indica 0 evento "obter 2 caras" temos que

A = {(H HT), (HTH), (TH H)}.,I

Assim #(A) = 3 e portanto

#(A) 3P {A ) =. #(f!) = S '

Sc B denota 0evento "obter pelo menos duas caras" temos

B = {(H HT), (HTH), (TI1 H), (I J H Hn.

Resulta que #(B) =4 e P(B) =~= l o

Exemplo 5.2: Dois dados sao jogados simultaneamente. Cal-

cular a probabilidade de que a soma dos rnimeros mostrados nas

faces de cima seja 7.

Soliiciio: 0 espaco amostral f! consiste de todos os pares (i, j)

onde i e j sao inteiros positivos compreendidos entre Ie 6. A

figura 5.1 descreve 0 espaco amostral completamente.

Cap.5 Proba bilidade 123

NUmero do segundo dado

1 2 3 4 5

. g l' (1,1) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 )

cd"d 2 - ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 )

. g

e 3 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 6 )

' Cflo

4 ( 4 , 1 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 )"d

e 5 ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 )

a, =

6 ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 )Z

Fig. 5.1

o numero de eventos elementares (casos possiveis] e igual

a #(0,) = 36. Seja A 0 conjunto dos pares (i , j) tais que i+ j = 7.

Esses pares estao sombreados na figura 5.1. Temos que #(A) = 6

e portanto

P ( A ) = #(A) = ~ =~#(0) 36 6'

Na maior parte dos problemas concretos 0 Espaco Amostral nao

e descrito com tanto cuidado. Este e urn costume generalizado

(e as vezes perigoso). Nos exemplos seguintes nao descrcveremos

precisamente 0 Espaco Amostral, mas 0 leiter e aconselhado emtodos os casos a defini-Io com precisao, 0

Exemplo 5.3: Dois dados sao jogados simultaneamente. Cal-

cular a probabilidade de que 0maximo seja maior ou igual a 3.

Soluciio: Os pares tais que 0 maximo e menor que 3 sao (1,1),

(1,2), (2,1) e (2,2). Portanto 0 mimero daqueles nos quais 0

maximo e maior ou igual a 3 e 32 e a probabilidade procurada

32/36 =8/9. 0



124 P r oba bilidade Cap.5 Cap.S Probabilidade 125

Exemplo 5.4: Suponhamos que de n objetos escolhemos r ao

acaso com reposicao, Qual e a probabilidade de que nenhum ob-

jeto seja escolhido mais de uma vez?

Solur; i i .o: 0 mimero de casos possiveis e igual a n.". 0 numero de

casas favoraveis e igual a n{n -l)(n - 2 ) ... (n -1+ 1 ) ( 1 ' fatores).

A probabilidade e portanto igual a

n{n - l)(n - 2}··· (n - l' + 1)o

Exemplo 5.5: Para a Copa do Mundo 24 paises sao divididos

em seis grupos, com 4 paises cada urn. Supondo que a escolha

do grupo de cada pais e feita ao acaso, calcular a probabilidade

de que dois paises determinados A e B se encontrem no mesmo

grupo, (Na realidade a escolha nao e feita de forma completamente

alcatoriu) .

Solueiio: Vamos tornar como espaco amostral 0 conjunto de to-

das as perrnutacoes de 24 elementos; ou seja 0 nurnero de casos

possfveis e 24! Consideremos 0 diagrama cia figura 5.2, que

Uma aplicacao interessante deste result ado e a seguinte:

suponhamos que 0 aniversario de uma pessca possa cair com igual

probabilidade em qualquer dos dias do ano. Se r pessoas sao

escolhidas ao acaso, a probabilidade de que todas facarn anos em

dias diferentes e dada pela formula anterior com n = 365.

A tabela 5.1 da aproximacoes par excesso desta probabili-

dade, para diferentes valores de 1 '; pOI' exemplo, para r= 30 a

probabilidade e menor do que 0,30. Os resultados sao bastantes

surpreendentes; em urn grupo com 35 pessoas, par exemplo, a

probabilidade de duas delas tercm nascido no mesrno dia do ano,

(aniversarios no mesmo dial e maior do que 80%.

1 2 3 4 5 6

••••••••••••••••••••••••

Fig . 5 .2

7' Probabilidade ::;

5 0,98

10 0,89

15 0,75

2 0 0,59

25 0,44

30 0,30

35 0,19

40 0,11

50 0,03

60 0,006I

representa os 24 times divididos em 6 grnpos. Quantas permuta-

coes existem tais que A e B pertencem ao prirneiro grupo? A pode

ser colocado em 4 lugares; restam para B tres lugares c os times

restantes podem ser dispostos em 221 formas diferentes. Portanto

o nurnero de perrnutacoes com A e B no primeiro grupo e

4 x 3 x 22!.

A probabilidade procurada e port anto

6 ·4·3· 22! 32 - 1 1 = 2 3 > : : : l 0.13. 0

5.3 Espacos de Probabilidade

Tabela 5.1

Vamos introduzir agora a nocao geral de probabil idade e provar

varias propriedades que sao conseqiiencias mais Oil menos imedia-

ta da definicao.



126 P roba b i li d ade Cap.S Cap.S Probabilidade 127

Deflrilcao 5.1: Seja 0 urn espaco amostral (conjunto). Uma

funcao P definida para todos os subconjuntos de 0 (chamados

eventos) e chamada uma probabilidade se

1) ° ~ P{A ) < 1, para todo evento A cO;

2) P {¢) =0, P (O ) = 1;

3) Se A e B sao eventos disjuntos (tambern chamados mutua-

mente exclusivos) P {A U B ) = P {A ) + P{B ) .

Dernonstr-acaoe Sabemos que

Port anto

P (A C ) = 1 - P (A ) . D

Urn result ado mais geral esta contido na seguinte

A probabilidade que usamos ate agora e que continuare-

mas usando na maier parte deste trabalho e a que se obtem

definido P (A ) como 0 quociente do numero de elementos contidos

em A (casas Iavoraveis] pelo numero de elementos de 0 (cases

possiveis). Existem muitas probabilidades (ou seja, funcoes com

as propriedades 1,2 e 3 da definicao 5.1) que nao sao desta forma

particular. Urn exemplo simples se obtem tomando n = {O, I} e

definindo

Pr-oposicao 5.2: S e A c B en teo P {A ) = P {B) - P {B - A ) .

Demonst racaor Como B = A U (B - A), Lemos

P{B ) = P {A U (B - A ) ) = P{A ) + P {B - A ) ,

e portanto P{A ) = P {B ) - P {B - A ). D

Em geral, sejarn 0 urn conjunto com n elementos,

Corolarlo. S e A c B en tao P {A ) ~ P {B) .

Dernonstracao. Como P{A ) = P {B ) - P {B -A ) e P {B -A ) ~

o (porque P e uma probabilidade) resulta que P {A ) ~ P {B ) . 0

P (¢ ) = 0, P {O ) = 1, P{{O}) = 2/3, P{{l}) = 1/3.

Pr-oposicao 5.3: P {A U B ) = P {A ) + P {B ) - P {A n B ).

e PI, P2, ... ,Pn n numeros nao-negativos e tais que PI + P2 +...+Pn = 1; Definarnos P{ {wd) = pi, i =1,2, ... ,n e, em geral, para

A c ,0, P (A ) =soma dos P { {wd) =soma dos Pi com Wi E A (ou

seja P {A ) e a soma das probabilidades dos elementos pertencentes

a A ). A funcao Passim obtida e uma probabilidade sobre ,o . Em

geral cia e diferente da probabilidade de Laplace introduzida na

secao 5.2. Se PI = P2 = ... = Pn = l/n obtemos a probabilidade

de Laplace como caso particular.

Varias conseqiiencias simples e uteis da definicao de proba-

bilidade est ao contidas nas seguintes proposicoes,

Dernonstr-acaos Ternos que

P{A } = P {A - B) + P (A n B) ,

P{B ) = P {B - A ) + P {A n B ).

Somando:

P{A } + P{B } = P {A - B ) + P (B - A ) + P (A n B) + P (A n B) .

Portanto

Pr-oposicao 5.1: P (A C ) : _ " _ 1 - P (A ). P (A UB ) = P {A ) + P {B ) - P {A n B ). 0



128 Probabilidade Cap.5 Cap.S Probabil id ade 129

Com as mesmas tecnicas usadas para descrever e provar a

Princfpio da Inclusao-Exclusao pode-se estabelecer uma formula

para P (A 1u A2 UAn ) onde AI, A2, ... , An sao n eventos. Como,

salvo modificacocs evidentes, a demonstracao e a mesrna, enuncia-

mos 0 resultado sem apresentar uma prova,

observando neste experimento IS a mimero de earas, poderiamos

tomar eomo espaco amostral 0 conjunto n2 = {a , 1,2} correspon-

dente a observar 0 caras, 1 cara, ou 2 caras, E como definimos

P2 ? Se querernos urn modelo que "represente" 0 fenorneno real (no

sentido de que as frcqiiencias relativas "aproximem" as probabili-

dades do modelo) deveriamos definir P2 da seguinte forma

Proposlcao 5.4:

P(AI U A2 U ... U An } = P(At} + P(A2} + ... t P(An}-t--

- P{AI n A2) _ ... - P(An-l n An}+

+ P,(A1 n A2 n A3 ) + +

+ (_1)n-l PJ A1 n A2 n n Ar J

As propriedades provadas nas proposicoes anteriores sao

validas para qualquer probabilidade: ou seja, para qualquer funcao

de conjunt.os satisfazendo as condicoes da dcfinicao 5.1. Note-se

que sobre 0 mesmo espaco amostral n e possivel definir muiias

pro babilidades diferentes. Um fenomeno aleatoric e representado

matema.ticamenle por um pa: de objetos: 0 espa90 arnostral n (ou

conjunto de event os elementares) e uma proba.bilidade P definida

sobro os snb conjuntos (eventos) de H. 0 par (0, P ) e chamado

Espaco de Probabilidades.

Introduzimos a nocao de Espaco Amosl.ral como urn objeto

univocamente determinado por urn dado fonomeno aleatoric. Isso

nao e estritamente certo, como podemos ver pelo seguinte exemplo

simples: joguemos uma moeda duas vezes e observemos 0 numerode earas obtidas.

Tcmos entao dais espacos de probabilidades (,01, pt} e

(02, P2 ) que representam 0mesmo fenomeno aleatoric. Existe al-

gum motivo que determine a preferencia de urn modelo sobre urn

outro? A resposta c afirmativa: urn modelo em que os eventos ele-

mentares sejarn igualmente provavcis c mais conveniente porque

facilit.a geralmente as calculos de quase todas as probabilidades.

As tecnicas desenvolvidas nos Capitulos 2 e 3 podem ser uti1izadas

com proveito. Nos exemplos seguintes as propriedades das proba-

bilidades serao usadas na maior parte dos casos sem referencia

espccifica, A probabilidade sera quase sempre a introduzida na

secao 5.2.

Exempio 5.6: Uma recepcionista recebeu 1t chapeus, mas estes

ficaram totalmente mist urados. Decidiu, entao devolve-los a esmo.

Ca1cu1ar a probabilidade de que nenhum homem receba 0 seu, (E

interessante tentar adivinhar 0 comport amento dessa probabili-

dade quando n e grande, antes de efetuar 0 calculo.]

01- {(H,H), (H,T), (T,HI), (T,T)}

Soluciio: 0 numero de casos possiveis e igual ao das perrnutacoes

de n elementos, que e nl. 0 numero de casos favoraveis e igual ao

dos perrnutacoes caot icas de urn conjunto com n elementos. Este

numero foi calculado na secao 3.2 e e igual a

H.epresentemos como anteriorrnent.e cara e coroa com as

letras H e T. Podemos tomar como espaco amostral

e como P: a proliabilidade que faz todos os event os element ares

(pontos de Hl) igualmente provaveis. Mas, como 0 que est.amosn! [ 2 _ - 2_j. 2 _ _ . . . + (_I)n2_]

2! :1! 1! n!



130 Probabil idade Cap.S Cap.S Proba bilidade 131

_ ] _ _ 2 _ + _ ! _ _ . . . + (_l)n2_.2! 3! 4! n!

A demonstracao desta desigualdade e feita no Apendice 3.

.E interessante observar a conclusao deste resultado: [oqar tudo

Ie uma s6 vez Ii melhor do que ir jogando aos poucos. Em outras

palavras, 0jogo "frio" e melhor (porern, em geral, parece provocar

menos "satisfacao"; porque joga-se menos tempo). Esta conclusao

e valida em geral para quase todos os jogos de azar, 0

Exempio 5.8: Seis bolas diferentcs sao colocadas em tres urnasdiferentes. Qual e a probabilidade de que todas as urnas estejam

ocupadas?

A probabilidadc buscada i: igual ao quociente destes mirneros;

e portanto igual a

Esta probabilidade se estabiliza rapidamente quando n au-

menta; para n 2 " . 4 a variacao e menor que 0,01. (0 limite desta

expressao quando n ----> 00 e e-1 ~ 0,37.)

Exemplo 5.7: Uma loteria tem N numeros e so -u m prernio.

Um jogador compra n bilhetes em uma extracao, Outre eompra

so urn bilhete .ern 11 extracoes diferentes. (Ambos os jogadores

apostam portanto a mesma importancia}. Qual deles tem maior

probabilidade de ganhar 0 prernio?

,

Soluciio: A escolha da urna em que cada uma das 6 bolas e colo-

cada pode ser feita de 3 modos diferentes. Logo, pelo Principio

da Multiplicacao, 0 numero de casas possiveis e

.Solur;iio: Se todo 6 dinheiro c jogado numa unica vez a proba-

bilidade de ganhar e n] N. Para calcular a outra probabilidade

procedemos da seguinte maneira, Vamos calcular primeiro a proba-bilidade de nao ganhar. 0mimero de casos possiveis e igual aNn.

Os casos favoraveis (neste easo nao ganhar) sao (N _1)n. Portanto

a probabilidade de nao ganhar c igual a

#([2) = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 =36 .

Para contar os casas favoraveis sejam A 1 0 conjunto de

distribuicoes de bolas pelas umas que deixam vazia a prirneira

urna, A2 0conjunto das distribuicoes que deixarn vazia a segunda

uma e A3 das distribuicoes que deixam vazia a terceira,

Ternos agora:

e a de ganhar

(1 ) 1 l .

1 1N

#(Al ) = #(A2) = #(A3) = 26

#(Al n A2) = #(A] n A3) = #(A2 n A3) = 1

#(A1 n A2 n A3) = o .

Temos que cornparar agora 11/ N e 1-(1- /N) ". Afirmamos

n- > I-N- (

1 ) n1-

N

Portanto, pelo Principio de Inclusao-Exclusao,ue

ou equivalentemente,

n1-- <

N- (1 ) n

1--N

e

63

2-13

7

27

Cap.S



Cap.S Probabilidade 133

Assim, a probabilidade procurada e o espaco amostral que consiste dos quatro possiveis resultados do

experiment.o:

Exernplo 5.9: Urn mimero entre 1 e 300 e escolhido aleatoria-

mente. Ca1cular a probabilidadc de que ele seja divisivel por 3 au

par 5.

Soluciio: Sejam A e B os eventos que acontecem se 0 numero

escolhido for divisivcl par 3 c par 5 respectivamente. Temos que

calcular P (A U B ). Os numeros entre 1 e 300 divisiveis par 3 sao

·100; oS'divisiveis por 5 sao 300/5 = 60, e os divisiveis por 3 e 5

simultaneamente sao 300/15 = 20.

' U J l corrcsponde a que A ganhe 0 torneio;

' U J 2 corresponde a que B ganhe a torneio;

' U J 3 corresponde a que C ganhe 0 torneio;

' U J - 1 corresponde a que D ganhe 0 torneio.

Seja p = P ( ' U J - 1 ) ' Temos

P { ' U J : 3 ) = 3p , P ( ' U J 2 ) = 2 P{ tlJ3 ) - :: 6p ,

P{wt} = : ~ P (W 2 ) . c 18p .

Temos portanto

10 0 1

P {A ) = 30 0 = 3'60 1

P{B) = - =-30 0 5 '

20 1P (A n B) = - = -.

300 15

Como a soma das probabilidades tern que ser igual a 1,

resulta que

p -I - 3p + 6p + 18 p = 1,

01.1 seja 28 p = 1, de onde p = 2 1 .Portanto

Assim,3

P ( W 3 ) =-28'

1 1 1 7P (A U B) = P (A )·j P {B) ~ P {A n B) = " 3 + " 5 - 15 = 15' o

Exemplo 5.11: Seja Puma probabilidade sabre os eventos (sub-

conjuntos) de urn espaco arnostral Q. Sejam A e B eventos tais

qne P{A) = j e P{B) = lProve que:

Excmplo 5.10: Um torneio e disputado por 4 times A, B, C e

D. E 3 vezes mais provavel que A venca do que B, 2 vezes mais

provavel que B ven<;a'"do. que C e e 3 vezes mais provavel que C

venea do que D. Quais as probabilidades de ganhar para cada um

dos times?:I

Solu<;lio: Vamos indicar com

a ) P {A U B) :::: ~ ;

b) ~ ~ P{ A n Be) ::; ~;

c ) ~ ~ P( A n B) ::;lSoluciio:

a) P{A U 8) :2 : P{A) = j;

augusto cesar de o. morgado - analise combinatoria e probabilidade[p084-133]

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