E NCICLOPEDIA EINAUDI [ 1 982 ]

COMBINATORIA

Renato Betti — COMBINATORIA p ag .4

Jean Petitot — CENTRATO/ACENTRATO pag .9

Pierre Rosenstiehl — COMBINATORIA pag .40

GRAFO p ag . 7 3LABIRINTO p ag . 9 0

RETE pag . l 0 5

Combinatoria 46 47 Combinatoria

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labirinto 2 3 5 ' 3 3 3

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centrato/acentrato 3 2 4labirinto 3 4 2

combinatoria 4 5 2 3 grafo

ambiguita egoria hcom pem tenzs/esecuzione CC

Combinatoria fonetica glnc avanguardia Combgnatorgagrammatica ra R classico

concetto analogia e metafora lessico o criticaesistenza argomentazione lingua / i

„ .signi6cato l fi lologialbello/brutto

essere interpretazione li n g u a/ peroia I, simbolo l le tteratura creativitàfenomeno linguaggio maniera espressioneforma metricaastratto /concreto poetica fantasticoidea semantica i retoricadialettica l' gUStoproposizionee giudizio sens%ignificato

alfabetalidentità/differenza ascolto imitazione

traduzionemediazione gesto immaginazione anthroposuniversali/particolari

opp osizione/contraddizione lettura progetto cultura/cultureetnocentrismiquualità/quantità atti linguistici

; ', luogo comulic 1 ri roduzione/riproducibilitàtotalità sensibilità natura/cultura

dicibile/indicibile oznlc/scritta ' I discorsouno/molti comunicazione zialitàenunciazione parola I finzione spa arti'' decisione ritmo

— dsstnbuzione statistica presupposizione e allusione errore I generi artigianatoinformazionedato referente smittura / narrazione/narrativita artista acculturazione

etica voce stile attribuzionene statistica / civiltàfilosofia/filosoáe tema/motivo oggettobilità antico/moderno futuroragione lesto P l'O duzione artistica

esentazione statistica catastrofi calendario se vaggiol 'o/barbar%ivilizzatorazionale/irrazionale l,.teoria/pratica ciclo decadenzasoggetto/oggetto armonia coloreevento escatologia escrementiuguaglianza età mitiche f'

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melodia disegno/progetto fertilitàcaos/cosmo valori P eriodizzazione / / rnmlca /metrica abbigliamento visione nascita educazione

infinito genesicurve e sùperlici vero/falso tempo/tcmpoaal ità

/ // scala canto sensi generazionimacrocosmo/m'icrocosmo volontà passato/presente

geometria.o sopologin / , / suo n%umore infanzia coltivazionecolpo sessualitàmondo prro resso/reazione ltura materialeinvariante alchimia storia I tonale/atonale danza vecchiaia mortenatura astrologia atlante maschèra amore in

'lcindustria rura c

osservazione' vita/mortecabala collezione desiderio materialimoda

deduzione/prova reale elementi ocumen oto/monumento Sros' credenze ornamento prodotti

equivalenza unità esoterico/essoterico isteria clinica/ frontiera dialetto scena normalizzazionedifferemialc angoscia(colpa cura no

formalizzazione DIClnorla pulsioneenigmafunzioni castrazione e comp lesso esclusione/integrazionelogica rovi na/restaum fiàbs soma/psiche fuoco

in6nitesimalecensura farmaco/droga

possibilità/necessità analisi/sintesi cannibalismo sonn%ogno homonaaiolic identificazione e transfert follia/delirioloaala/globolo referenza/verità anticipazione funzionet a ttiCS/St f StCgl • /f/", popolare dfi inconscio mano/manufatto

sistemi di riferimento medicina/medicalizzazionericorsività ipotesi misura I divino tecnicaI l,iittfroverbi

stabilità/instabilità matematiche modello nevrosi/psicosi normale/anormalealienazione Ci'OI utensile

variazione metodo SIIUttUfs piacere salute/malattiacentrata/acentrato coscienza/autocoscienza I d«magoipa mmazioneteoria/modello Bit sintomo/diagnosi

immaginazione sociale I discriminazione magiacombinatoria demoni alimentazione

pace /repressione .Ie. messia divinazione agonismo animale

applicszionl grafo servo/signore / terrore chierico/laico millennio castacerimoniale cucinaassioma/postulato labirinto caso/probabibt' ' à /uomo tolleranza/intolleranza mito/rito donnachiesa pcrsofia festa domesticamento

continuo/discreto' rete causa/effetto utopia tortura mythos/fogosdiavolo feticcio endogamia/esogamia

I puro/impuro famedipendenza/indipendenza abaco certezza/dubbio violenza origini

I eresia religione famigliag loCO vcgetalc

divisibilità algoritmo incestocoerenza I libertino sogno/visione luttodualità approssimaziona convenzione t gorizzazione Icat cs c g libro stregoneria regalità maschile/femminile

insieme calcolo determinat%ndeterminato / matrimo 'I conoscenza I ntopeccato l'itolarazionale/algebrico/rrasamk nlc numero empiria/esperienza I Icoppie filosoliche sacro/profano parente caccia/raccolta

Zero esperimento I . disciplina/discipline Iborghesi/borghesia totemsantità dono

burocmzia economiag enciclopedia uomo/donna eccedenteformazione econom'ico-socia e'1

trasformazioni natu ' cturali / categarie à/ l' i'

. Innoinnovazione/scoperta • I classi pastoriziametafisica contadini lavoro primitivo

controllo/retroazione naturale/arti6ciale invenzione consenso/dissenso ideologia modo di produzione reciprocità/ridistribuzioncenergia operatività egemonia/dittatura IIIRSSC proprietà

anatogj~ ­pfcscfltaf tane

equilibrio/squilibrio paradigma / intellettualiricerca proletariato riproduzioneinterazione previsione e posssibilità libertà rivoluzione transizione abbondanza/scarsità

intetligenis arti~eState IIordine/disordine riduzione maggioranza/minoranza bisogno

macchino organizzazione ripetizione partiti consumoprogramma semplice/complesso scienza r politica amministrazione accumulazione impostasimula afone sistema a prendimento lusso

autoregolazione/equ' '

au or' uilibrazione comunità capitale

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e Ia democrazia/dittatura fabbrica roduzione/distribuzionecontrollo social innato/acquisito diritto gergo

norma gestione ncchezzaastronomia giUatlZISemozione/motivazione gfUPPC

istituzioni pano imperialismo scambiocosmologie marginalità

atomo e molecola impresagravitanone percez/one responsabilità polcrc opinione SPfCCO

consnservazione/inva 'rianza l potere/autorità mercatoluce quoziente iintellettua e povertà

entropia pubblico/privato mercemateria propaganda

fisica società civile ruolo/status monetacellulaspazia-tempo atmosfera forza/campo abitazione sfafo socializzazione pianificazionelitosfera adattamento differenziamentomoto evoluzioneoceani immunit'à acqua • ocictà profitto

particella ambiente renditapianeti mutazione/selezione individualità biologica spazio sociale

plasma città salariosole polimorfismo integrazione

P ropagazione clima utilitàuniverso specie invecchiamento

quanti organismo ecumene valore/plusvalorerelatività msediamento SgllColtUfaregolazione

reversibilità/irreversibilità migrazione città/campagnacatalisi avi uppo e me morfogenesi

stato fisico paesaggio coloniemacromolecole popolazione co Uncrzlometabolismo regione industriaomeostasi eredità risorse spazio economicoorganico/inorganico gene suolo sviluppo/sottosviluppoasinoslvita g enotipo/fenotipo terra

razza territoriosangue villaggio

Combinatoria

Combinatoria Ma il labirinto mitologico per eccellenza, quello di Cnosso, il piu «impal­

Centrato/acentrato, Combinatoria, Grafo, pabile e immaginario», è solo costituito da mura e percorsi. In realtà è senza in­

Labirinto, Rete croci. È il luogo in cui si materializza il mito dell'iniziazione, della discesa agliinferi, della morte e della risurrezione. È una misura della crescita dell'uomo,della sua abilità e della sua maturità. Quanto di piu lontano esiste dalla casualitàdi strade tutte uguali e tutte ugualmente percorribili.

r. Dal l a mitologia dei labirinti all'analisi combinatoria. Il labirinto che da Creta si è trasmesso a tutto il mondo, ed è rappresentatoin vari supporti di varie dimensioni, è un percorso lungo e tortuoso ma che non

Dal labirinto alla combinatoria i percorsi sono molteplici. Uno di questi è ammette alternative. Dubbi si, perché richiede coraggio. È una figura complessaun collegamento diretto, che per gli effetti che produce sarebbe meglio chiama­ ma unicursale: chi vi entra può solo seguire l'unico corridoio, neppure volgersire un corto circuito: i l +labirinto+ come intrico di vie, metafora di situazioni e tornare indietro, se non nel centro. Come spazio chiuso, delimitato verso l'e­difficili e percorsi inestricabili, si «risolve» mediante l'analisi di tutte le possibi­ sterno, ric 'ede una certa maturità in chi vi entra ; come percorso tortuoso in­

lità, l'enumerazione delle possibili uscite, il loro ordine, la conta, l'esaustione. ganna ch lo e rcorr mostrandogli ad ogni istante a portata di mano il centro, eÈ un procedimento che richiede tempo, ma è di sicuro effetto e riduce ogni pro­ ad ogni i tant a llo t anandolo; come forma complessa richiede un certo gradoblema labirintico a un problema combinatorio. di adattament ai oi corridoi. Non c'è alcuna scelta, l'esito è scontato, la mito­

In questo caso, piu che di una soluzione, si tratta di una illusione combinato­ logia dei labirinti suggerisce che il «libero arbitrio» non fa parte di questo mon­ria, che periodicamente risorge insieme al momentaneo affermarsi del caso in do, eppure permette di differenziare una persona dall'altra per mezzo della mo­tutte le situazioni di scelta, vera o apparente che sia. Questa illusione segna il dalità con cui viene percorso il labirinto. Il coraggio che dimostra, la resistenzapassaggio da un mondo orientato in un'unica direzione, imperniato intorno a alla fatica fisica (giacché il percorso è lungo), alla fatica psichica (giacché il per­un centro invariabile, verso un mondo diffuso in una pluralità d'interessi e di corso inganna), la sicurezza con cui percorre il corridoio sono i caratteri che per­collegamenti, e almeno da un certo tempo in poi ha esercitato un influsso sul­ mettono la distinzione.l'immaginazione umana. Il labirinto è un luogo chiuso, isolato dal resto del mondo, in cui chi vi en­

Il +grafo+ totale, in cui sono esibiti tutti i possibili collegamenti fra i nodi, tra affronta da solo una continua prova e quando inverte la marcia, nel centro, èè il nuovo modello. Come nei sistemi centrati, anche qui, ma per motivi diver­ passato a una forma superiore di esistenza.si, non esiste la scelta. Tutte le strade sono uguali e dunque l'unico compor­ Anche in questi termini la risoluzione combinatoria del labirinto perde com­tamento coerente è l'immobilismo, l'unica strategia di uscita dal labirinto è il pletamente significato, poiché c'è un'unica soluzione e le modalità del percorsotentativo, o forse non esiste l'uscita. Il labirinto si dissolve nella completa assen­ non si possono valutare in termini combinatori : la significazione originaria e mi­za di forme, ma il deserto è il massimo dei labirinti, come osserva Borges. tica del labirinto nori si lascia interpretare da questi metodi.

In questo modo il corto circuito fra strutture labirintiche e strutture combi­ Il significato che si è andato accumulando e che è confluito nell'idea modernanatorie altera l'idea del labirinto e limita le prospettive della combinatoria. di+labirinto+ come intrico di vie e pluralità di scelte riduce il senso della+com­

È bene ricordare che le prime rappresentazioni grafiche del labirinto come binatoria+ alla casualità, all'illusione che non occorra scegliere e decidere, pren­luogo in cui ad ogni incrocio si aprono diverse possibilità è del xvi secolo. È dere posizione e rischiare per uscire da una situazione intricata. In un caso siprobabile che il pluralismo nelle scelte che in quel tempo prese a rappresentarsi tratta del mondo della necessità, di azioni rigorosamente determinate, nell'altroin forma di labirinto faccia parte della tendenza rinascimentale verso l'acentri­ del mondo dell'attesa inevitabile del caso favorevole. Ma fra caso e necessità sismo intesa come sfida aperta dell'uomo nei confronti della natura. E non a caso svolge una tensione che è all,'origine della nascita e dell'evoluzione di ogni si­l'illusione combinatoria riceve la sua piu felice rappresentazione quando le in­ stema vivente, come ha illustrato ampiamente Monod. Allo stesso modo si è ob­venzioni e le scoperte rinascimentali, inferto il loro colpo alla vecchia metafisica, bligati a riconoscere che la ricerca sistematica di un centro, il perseguire un pro­permettono di approdare alla vittoria della scienza sperimentale e della ragione getto che fornisca un'interpretazione «vera» e una conoscenza «assoluta» deisul principio di autorità : all'Accademia di Lagado, nel racconto di Swift, la per­ fenomeni non viola il principio di oggettività della scienza moderna, se è una ri­sona piu ignorante, grazie solo a metodi combinatori, poteva scrivere libri di cerca intesa in senso locale.qualsiasi materia, senza alcuna fatica che non fosse puramente fisica. C'è lo stesso rapporto qui che lega la conservazione dell'ordine al secondo

Né la+combinatoria+, intesa come complesso di metodi che sono concreta­ principio della termodinamica. Incompatibili in un sistema macroscopico chiu­mente applicati in numerose ricerche, né la parte formale con la quale spesso so ma compatibili, si verifica in situazioni elementari, all'interno di una porzio­entra in relazione, rappresentata dalla teoria dei grafi, erano a questo punto del­ ne del sistema globale.le discipline costituite. Se labirinto e combinatoria sono ridotti a necessità e caso, si presentano co­

Sistematica locale I I 2 I I3 Combinatoria

me i poli di una contraddizione che non occorre certo cortocircuitare né sepa­ zardo, avevano tentato una formalizzazione teorica mediante le combinazioni

rare ; vincolano la ricerca del centro a un problema locale e la risoluzione del la­ possibili. Mentre i loro lavori ponevano le basi della teoria delle probabilità, allobirinto alla consistenza dei percorsi parziali. La stessa combinatoria ne uscirebbe stesso tempo mettevano in risalto i principi definitori dell'analisi combinatoriasnaturata e vedrebbe i propri metodi ridotti a quello dell'elencazione. e stabilivano quello che, da allora, è considerato il collegamento consueto fra le

Abbandonata la significazione originaria del labirinto, un percorso piu signi­ due materie.ficativo si svolge in parallelo col processo della razionalità scientifica, quando il Nel r666, la Dissertatio de arte combinatoria di Leibniz inaugurò uno svilup­coraggio e la maturità vengono sostituiti dalla riffessione e dal metodo. Labi­ po sistematico dei metodi combinatori e introdusse il termine stesso. È consuetorinto assume significato non banale a uno stadio inconscio, irrazionale. Riman­ ritenere che il lavoro di Leibniz sulla materia e quello di Jakob Bernoulli suida a immagini sfocate e impressioni, richiede il trucco e l'astuzia. Incarna l'in­ fondamenti del calcolo delle probabilità (Ars conjectandi, pubblicato postumotrico dei problemi personali e misura la conoscenza di se stessi, la propria chia­ nel ipr3 ) abbiano segnato il definitivo affermarsi come disciplina autonoma del­rezza interiore. Il labirinto è personale, è una struttura individuale; ciascuno l'analisi combinatoria. Al suo sviluppo successivo contribui in maniera sostan­

risolve il proprio, o almeno l'affronta. All'atto opposto la combinatoria è una ziale Eulero, al quale si deve anche la «riscoperta» moderna della teoria dei gra­

disciplina scientifica e, come tale, un prodotto sociale, razionale, esplicito nelle fi. Da allora il suo sviluppo fu costante, anche se non regolare, oscillante fra

proprie leggi, con un definito campo di applicazione. La combinatoria ha i suoi «ars conjectandi» e «ars combinatoria», in applicazione spesso alla teoria deimodelli e le sue teorie : formalizza in +reti+ le situazioni che studia, applica i ri­ grafi e in dipendenza da questa suscettibile di arresti e successivi progressi: insultati della teoria dei grafi e di altre teorie appositamente sviluppate; calcola problemi pratici, come nelle reti elettriche e nella loro teoria a partire dalla se­strutture e possibilità, le organizza in sistemi. conda metà dell'Ott ocento; in problemi teorici, come la ricerca di cicli, la ca­

Naturalmente non si tratta di un «prodotto finito». Come ogni disciplina ratterizzazione dei grafi planari o lo studio di altre proprietà dei grafi che am­

scientifica è sempre in evoluzione e in verifica, ed a differenza di molte di que­ mettevano una diretta applicazione a situazioni concrete; in problemi curiosi,ste non ha ancora fondamenta solide. In mancanza di assiomi e di fondamenti come quello di Eulero dei trentasei ufficiali da disporre in parata secondo certeteorici si basa su principi operativi, riceve i propri impu'si direttamenl te dalla regole; o in problemi ostinati, come quello famoso dei quattro colori, resistente

pratica e dall'osservazione. Proprio per questo, anziché affermare verità assolu­ a tutte le dimostrazioni (per lungo tempo), ma trasparenti all'intuizione, almenote, tende a segnare il passaggio da osservazioni sperimentali all'organizzazione dopo la loro formulazione.razionale. Assume come metodi anche il tentativo, la prova, e come principio Si tornerà su alcuni di questi problemi in un altro contesto. Quello chela proiezione di dati locali. s'intende qui sottolineare è la ripresa d'interesse per la combinatoria negli ulti­

Ben lungi dalla pretesa che in qualche suo passaggio sia contenuta anche mi anni, la quale è strettamente legata allo sviluppo della cibernetica e di tuttal'interpretazione, la combinatoria si manifesta ogni volta che occorre scegliere la matematica delle strutture discrete. L'alta velocità di esecuzione e la preci­

e organizzare secondo certe regole gli elementi di un insieme, solitamente finito. sione del calcolo elettronico permettono di esaminare con successo numerosi

A un primo livello gli elementi dell'insieme non sono suscettibili di ulteriori casi in breve tempo; e viceversa, si rivela che i maggiori problemi del calcolospecificazioni, non interessa la loro natura, ma il loro modo di connettersi e le automatico (dalla disposizione dei componenti su una piastra alla ricerca di al­configurazioni cui dànno luogo. Con questa estrema generalità, la combinatoria goritmi ottimali ) utilizzano ampiamente i metodi dell'analisi e della topologiaè presente con le sue nozioni fondamentali e i suoi metodi già nel linguaggio cor­ combinatoria.rente e nelle applicazioni quotidiane. Contribuisce alla comprensione dei fe­ L'illusione combinat ia r iprende forza con l'aiuto del mito delle macchine

nomeni (ad esempio con rilevamenti statistici ) e allo stesso tempo incide sulla «pensanti», che disting ono fra le possibili configurazioni quelle favorevoli Marealizzazione pratica (si pensi alla progettazione di reti di comunicazione o alla bisogna anche tener co to fat o che un problema classico come quello deiformazione e gestione di archivi di dati ). quattro colori è stato risolto p rio con l'aiuto di un calcolatore elettronico.

Le origini dell'analisi combinatoria si rintracciano nell'antico Oriente, dove L'interpretazione di questo fa o è difficile: dal rilpp si ha la sicurezza che ognisembra che fosse già nota la formula che esprime il numero di combinazioni di mappa è colorabile con quattro colori; alle numerose condizioni restrittive di

oggetti in funzione del coefficiente binomiale ed anche lo sviluppo del binomio tipo speciale a cui dovrebbe soddisfare una mappa non colorabile con quattro(oggi detto di Newton) con esponente intero. A scopo di magia venivano studiati colori si è associato un computo combinatorio dei casi rimanenti che ha richie­i «quadrati magici» del terzo ordine, cioè cuci quadrati costituiti dai primi nu­ sto numerose ore di elaborazione. Ma non è il risultato in sé che importa, né i

meri naturali e tali che la somma secondo le righe, secondo le colonne oppure se­ cartografi, né i matematici che esigono una spiegazione dalle loro dimostrazioni.

condo le diagonali fornisce sempre la stessa costante. È il metodo che solleva interrogativi di tipo nuovo.

La nascita cosciente dell'analisi combinatoria come settore della matematicamoderna risale ai lavori di Pascal e di Fermat che, occupandosi di giochi d'az­

Sistematica locale I I4 I I5 Combinatoria

è pari. Nel caso di un labirinto (visto come un grafo connesso) si pensi di rad­La soluzione del labirinto. doppiare le strade, affiancando ad ogni strada un'altra fra gli stessi incroci. Al­

lora la condizione precedente è soddisfatta e il percorso euleriano che si trovaQuella del +labirinto+ non è soltanto un'utile metafora, ma anche un test fornisce la soluzione del problema del labirinto.

effettivo che appartiene alla teoria dei grafi. La teoria dei grafi è stata «scoperta» Ma questa dimostrazione non è costruttiva; garantisce l'esistenza di una so­molte volte, e ciascuna in maniera indipendente dalle altre. Ciò testimonia della luzione ma non dice niente sul come trovarla. In quanto tale rappresenta poconaturalezza con cui molti problemi pratici sono immediatamente tradotti in dia­ piu che una speranza per un viaggiatore disperso nel labirinto. In simili circo­grammi di nodi e di archi che li congiungono. stanze si desidera avere a disposizione un algoritmo, qualcosa che permetta di

Una prima volta fu considerata da Eulero nel xvIII secolo, e in seguito, dopo pianificare in un numero finito di tentativi il proprio successo, o comunque for­che fu risolto il famoso problema dei ponti di Konigsberg ( I756), presto dimen­ nisca una risposta.ticata per rinascere un secolo piu tardi sotto la spinta dei lavori di K i rchhoff La situazione non è teoricamente diversa (ma lo è di molto nella pratica) sesulle reti elettriche e di Cayley sull'enumerazione degli isomeri organici. il viaggiatore dispone di una mappa del labirinto in cui si trova. In questo caso

Kirchhoff ( I847), allo scopo di scrivere un sistema completo di equazioni la soluzione altro non è che una pianificazione del proprio percorso, prima cheper la corrente e la tensione in una rete elettrica, la rappresentò in un grafo e il viaggio abbia effettivamente inizio. L'algoritmo fornirà allora una serie di co­pensò di trovare in questo grafo gli alberi «scheletrali», per mezzo dei quali era mandi, risolvendo a priori ogni alternativa. L'applicazione dell'algoritmo vienepossibile distinguere i circuiti l inearmente indipendenti. Cayley, partendo dal «simulata» sulla mappa, ma in ogni caso, per evitare di cadere in cicli, occorrecompito di enumerare gli isomeri dei composti organici, giunse rapidamente che il viaggiatore intervenga sul labirinto a modificare incroci e corridoi che al­

( I874) al problema di enumerare e descrivere gli alberi con assegnate proprietà. trimenti si presentano tutti uguali. Per renderli riconoscibili a una successivaL'uso del grafo aveva in ogni caso una provenienza dalla pratica, Ciò vale ispezione ricorrerà a segnali che testimonino il suo precedente passaggio in una

sia per i casi citati sia per la risoluzione di giochi e rompicapi, come nel caso data direzione. Ciò significa che deve disporre della memoria di precedenti espe­di Hamilton, il quale brevettò un gioco ( I859) che prevedeva la costruzione di rienze. È la memoria del proprio passaggio da un dato punto, reale o soltantocammini (da allora detti hamiltoniani ) su un grafo. simulato sulla mappa, che riconduce il labirinto a una struttura finita, laddove a

Nel xx secolo i problemi relativi ai grafi cominciarono a sorgere non solo in un viaggiatore che non riesce ad uscire da un ciclo sembra costituita da infinitiapplicazione ad altre discipline, ma all'interno della matematica stessa, in al­ incroci e corridoi. Anche nei classici algoritmi risolutivi di Tremaux ( I88z) e digebra, topologia, teoria dei numeri. Come si è già detto la problematica si am­ Tarry ( I895) la memoria interviene in modo decisivo (e nella stessa misura).liliò notevolmente con lo sviluppo del calcolo automatico. I grafi sono utiliz­ L'algoritmo risolutivo è costituito come un insieme di regole che assegnanozati per la rappresentazione e la formalizzazione di numerosi problemi sulle il comportamento da tenere in ogni circostanza. La soluzione effettiva prevedestrutture discrete. All'inizio del secolo risalgono i primi risultati sulla connes­ successive applicazioni, ad ogni incrocio, di questo insieme di regole, e l'algo­si<>ne, la planarità, la simmetria i quali condussero a un ampliamento della pro­ ritmo totale si fragmenta in una successione di pezzi in qualche maniera tuttiblernatica. La terminologia usata era varia e pittoresca: si parlava di «carte», uguali, poiché affrontano tutti le stesse alternative.«complessi», «diagrammi», «reti» e «labirinti». Solo dopo l'uscita del primo L'esempio del +labirinto+ e della sua risoluzione distingue a questo puntolibro sulla teoria dei grafi (Konig, I936), il quale riassumeva i risultati prece­ una soluzione complessiva centrata, che può essere fornita da un'intelligenza«lenti ed apriva una nuova fase di ricerca, si impose su tutti il termine+grafo+. esterna dotata di una conoscenza globale e immediata della situazione, in con­

Cosi fra i problemi affrontati e risolti si trova direttamente quello di un viag­ trapposizione alla so uzione costruita passo per passo dall'interno del labirintogiatore interno a un labirinto. La «soluzione» di questo problema acquista via sotto la forma di u algor' parz i a le. La soluzione «centrata» è ovviamentevia significati diversi. Al livello piu immediato significa uscire tentando tutte le quella del costrutto o 11 'ar h i tetto del labirinto(una figura che si dà usual­possibilità e applicando la massima concentrazione per non entrare in cicli o mente nella mitologia ei la irinti ). Oppure è quella derivata a un individuoin vicoli ciechi. Ma se il problema è interno alla teoria dei grafi, per la quale il interno che utilizzi una detta iata mappa dell'intrico di vie e un preciso pro­labirinto assume una rappresentazione grafica, la soluzione del labirinto consiste getto di soluzione. A mano a mano che questo fortunato viaggiatore pianifica ilnel far passare il viaggiatore esattamente due volte (in direzioni opposte) per proprio percorso, la differenza sostanziale con la posizione dell'architetto si ri­ogni strada, da un arbitrario punto di partenza a un arbitrario punto di arrivo. duce e tende a scomparire. Il vero problema si presenta per quel viaggiatore che

Che una simile soluzione sia possibile è un fatto noto almeno da quando è dotato solo di una percezione limitata della propria situazione, in quanto può( I736) Eulero diede una risposta al problema dei ponti di Konigsberg: in un vedere solo gli incroci estremi del corridoio in cui si trova, e che riduce la pro­grafo si possono percorrere tutte le strade una e una sola volta (percorso eule­ pria differenza con l'architetto in un solo momento, quando esce dal labirinto.riano) esattamente quando il numero di strade che s'intersecano in ogni incrocio La dialettica+centrat %centrato+, fra le strutture centrate e quelle acentra­

Sistematica locale tx6 I I7 Combinatoria

te, riassume un certo numero di ricerche in cui si tenta sistematicamente di so­ male, ad esempio quelli di determinare il « flusso massimo» che può passare lun­stituire un'unica spiegazione esterna con una pluralità di motivazioni parziali go gli archi. Ma piu in generale il valore associato a un arco può essere, oltre checollegate fra loro, in accordo con quanto emerge dalla pratica, di calcolo e orga­ una quantità, una funzione o anche un'informazione. Può essere una costantenizzativa, di sistemi troppo complessi per essere trattati come un'unità. o una variabile, manifestarsi sempre o solo in certe occasioni. Quella che rimane

L'esempio principale di questa situazione è dato da una arete+ di automi, invariata è la disposizione a trasformare il grafo (costante) in un grafo variabile,cioè da uno schema di interconnessione fra dispositivi elementari, in grado solo nel senso di assumere valori diversi in relazione ad archi diversi.di influire ciascuno con quelli ad esso direttamente collegati e ai quali è richiesto È per la rete che propriamente si pongono i problemi di saldatura dei datiun dato comportamento globale. Le prime schematizzazioni sono sorte dal ten­ locali in un unico dato globale. Dati che sono assegnati sul grafo sottostante. Ètativo di formalizzare il comportamento delle reti nervose, e la teoria che ne è una rete il luogo in cui assume significato ogni organizzazione acentrata e chesorta si esprime direttamente in termini di automi cellulari. attua sistematicamente il principio del confronto con i r isultati ottenuti dalle

In questi casi è piu corretto parlare di una rete e non solo di un grafo. In organizzazioni centrate e gerarchiche.entrambi i casi è consueto dire che si tratta di oggetti topologici Ma a l ivelli Non importa se la rete tratta informazioni (come nelle reti di automi ), cor­differenti. rente (come nelle reti elettriche) oppure merci (come nelle reti di trasporti ). I

Nella problematica dei grafi si possono, grosso modo, distinguere' due tipi di problemi diventano in ogni caso quelli della «sincronizzazione» delle informa­ricerche: quelle di carattere prevalentemente combinatorio e quelle piu geo­ zioni per ottenere una configurazione prefissata, o della stabilità dei rifornimentimetriche (topologiche). Rientrano nel primo tipo quelle che riguardano la nu­ di merci in un dato nodo della rete di trasporti. Oppure sono problemi di com­merazione e l'elencazione dei grafi che hanno determinate proprietà, o la loro patibilità nella distribuzione o di organizzazione nei servizi che prevedono filecostruzione. Nel secondo rientrano le ricerche sulle caratteristiche numeriche. d'attesa da regolare nel loro flusso.Un+grafo+ è costituito da nodi ed archi che li collegano. È un oggetto topolo­ La formulazione del viaggiatore nel labirinto si presta cosi a rappresenta­gico nel senso che le proprietà che si studiano non dipendono da quelle defor­ re tutta una classe di problemi: ad ogni incrocio si opera una scelta — l'algo­mazioni che, pur alterando la posizione dei nodi e degli archi, lasciano inalte­ ritmo risolutivo deve ottenersi come unione di scelte successive operate in baserata la loro relazione di appartenenza. a un (unico) algoritmo locale, valido in ogni incrocio. Come è possibile assegna­

I casi in esame sono tipicamente quelli già menzionati di Eulero e di Hamil­ re questo algoritmo locale in modo che scelte in nodi diversi siano fra loro com­ton. Le ricerche riguardano il numero di cicli, di componenti connesse, di quan­ patibili e conducano alla desiderata soluzione globale del labirinto?tità di archi la cui rimozione altera qualitativamente il grafo (ad esempio lo ren­ In altri termini, e in contesti piu generali, lo stesso problema si manifestade un albero). I problemi sono quelli della disposizione su un piano (o su una ogni volta che occorra unire fra loro dei dati parziali ma compatibili in un unicosuperficie di genere dato) in modo che due archi non s'intersechino mai al di dato globale. In geometria diventa il problema di assegnare delle funzioni («se­fuori di un nodo, oppure il classico problema della colorazione dei nodi, in zioni») sugli aperti di uno spazio topologico in modo che coincidano dove sonomodo che nodi adiacenti abbiano colori diversi (in maniera equivalente questo contemporaneamente definite, e di risalire (se è possibile) a un'unica sezionediventa il problema di colorare una mappa di modo che a regioni confinanti sia­ globale. Ma è anche il problema di coordinare differenti tattiche, intese comeno assegnati colori diversi). Tutti problemi che non dipendono dalla particolare regole di comportamento valide in situazioni particolari e il cui grado di com­maniera con cui i l grafo viene tracciato per rappresentare una determinata si­ prensione è limitato, in un'unica strategia di comportamento valida per una si­tuazione, pur di tener conto degli elementi essenziali, che sono i nodi e i loro tuazione conflittuale estesa. Cosi come è il problema di organizzare le informa­collegamenti. zioni locali provenienti da un sistema reticolare di automi e determinare un uni­

Ma una volta che i dati essenziali della situazione sono rappresentati in un co, complessivo, comportamento globale.grafo e le proprietà principali sono studiate, rimane intatta la problematica delgrafo in quanto supporto di una rete, cioè della rappresentazione di una situa­zione in cui localmente (su ogni arco del grafo) è assegnato un dato. Conclusio e.

Nelle varie situazioni in cui concretamente si presenta, sembra che il ter­mine 'rete', il piu polivalente fra quelli che sono qui esaminati, si possa ricon­ Il modello dei sis emi acentrati si manifesta in numerose occasioni ed è indurre utilmente a questa schematizzazione: una rete è un grafo in cui gli archi molti casi il pa a da analizzare e studiare. In questi modelli il punto diassumono un valore. vista slitta dalla considerazione tradizionale dei fenomeni organizzati in diversi

In termini formali, una +rete+ è definita proprio come un+grafo+ orientato livelli di complessità, in cui un salto dall'uno all'altro livello si verifica solamen­i cui archi sono svalutati» con un numero reale non negativo che rappresenta la te sotto determinate condizioni «critiche», a quella dell'evoluzione globale fra­«capacità di flusso» lungo l'arco stesso. I problemi tipici sono di carattere estre­ zionata e ridotta a operazioni elementari (locali).

Sistematica locale tt8

Se il livello « locale» viene considerato come un individuo, una «scatola ne­ra», analizzabile solo nella sua relazione di causa-effetto ma non nel suo funzio­namento interno, allora lo studio si può ricondurre a quello filosofico tradizio­nale che connette l'individuo (indivisibile) a una popolazione d'individui c einteragiscono : ossia, con termini piu consueti, did'venta la co pia «elemento/ppsistema».

Se invece il livello locale conserva una propria autonomia, ad esempio pre­supponendo una teoria dell'elemento individuale, allora questa teoria garantisceuna sorta di centro attorno al quale far ruotare le considerazioni, le cui molte­plicità e varietà di connessione spiegano il modello (acentrato) glo a e.

Ma i modelli acentrati, originati dalla problematica dei sistemi complessi(come quello nervoso) e dalle insoddisfazioni delle spiegazioni globali, lascianointatti numerosi problemi di adattabilità. Il loro sviluppo è ancora un pro emacompletamente aperto. [R. B.j.

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895 Centrato/a centrato

Centrato /acentrato La prima è essenzialmente gerarchica. Essa fa intervenire una intelligenzaesterna in possesso di una consapevolezza globale della situazione. È questa lasoluzione che ~ appena eseguito il lettore.

La seconda, anch' essa gerarchica, considera le componenti (in questo casoQuesto articolo si propone di fornire una introduzione alla problematica del­ le caselle) come individui in possesso ciascuno di una consapevolezza globale

le organizzazioni acentrate e alla loro teoria. della situazione, in grado cioè di determinare la propria posizione sulla scac­Nata dal convergere di un certo numero di ricerche (all'inizio soprattutto chiera. Un semplice protocollo che impedisca a piu individui segnati con N di

americane) e in particolare dai lavori di Neumann sugli automi cellulari, la occupare lo stesso posto permette quindi di raggiungere lo stato finale.teoria delle organizzazioni acentrate sembra, a prima vista, rientrare nell'am­ La terza soluzione è propriamente acentrata ed è quella di cui si t ratteràbito di quella pratica teorica, di calcolo e anche tecnologica, costituita dalla in questa sede. Essa consiste nel localizzare sia l'intelligenza dei componentisimulazione di sistemi complessi. Di fatto, però, il momento della sua emergen­ sia l'informazione di cui essi possono disporre. Piu precisamente, si conside­za coincide con quello di uno slittamento epistemologico e di una generale rerà ciascuna casella come un automa finito (intelligenza locale) il cui ingressorimessa in questione delle nozioni di strutture centrate e /o gerarchiche. Ciò (input) è costituito dagli stati degli automi «vicini ». Il problema consiste nelfa si che la spiegazione delle proprietà strutturali e funzionali dei sistemi acen­ sapere se è possibile trovare delle istruzioni che permettano a questi automitrati, oltre al suo valore modellizzatore intrinseco, possieda un notevole va­ «miopi» di realizzare, in un numero f inito di passi, la configurazione globalelore euristico e metaforico. In particolare essa introduce un paradigma privi­ che costituisce lo stato finale.legiato e decisorio (probatorio ) per un discorso nuovo sulla struttura sociale.

Il problema centrale che sta alla base dell'acentrismo si può porre nel modo Richiamo. Un au tomafinito o macchina sequenziale è un sistema di istru­seguente: in che misura un sistema, le cui componenti agiscono solo in funzione zioni in grado di programmare in tempo discreto la trasformazione di un si­di una informazione locale, è capace di performances globalit' L'esempio tipico stema di dati in ingresso (input) in dati in uscita (output) :di un sistema del genere è il cervello.

input ~ Q ~ output

i. Un e sempio.Esso si compone di tre insiemi: l ' insieme X degli input, l ' insieme l ' degli

Si consideri una scacchiera sulla quale si segnano a caso alcune caselle, output e l ' insieme Q degli stati interni; e d i due funzioni: la funzione diad esempio con la lettera N iniziale della parola 'nero'. Ci si ponga ora il pro­ transizione (next-state function) tI>: Q x X~Q che programma la trasformazio­blema di raggruppare tutte le caselle N sulla scacchiera, il piu in alto ed a ne degli stati in funzione degli input (se nello stato qe Q, (I.' riceve l'inputsinistra possibile, come nella figura i. Vi sono evidentemente piu soluzioni di x EX, si mette per il passaggio successivo nello stato 4 (q, x) e Q), e la funzio­questo problema: ne di uscita (output function) 8: Q x X~ Y c he programma l'uscita in fun­

zione dell'entrata e dello stato interno (se nello stato interno q @Q, Q ricevel'input x c X, segna l'output 8 (q, x) e I').

V N N N N N N N N Un automa cellulare di dimensione z è costituito da una scacchiera di cellule(con il riferimento dato per esempio in modo che ogni cellula sia individuata

iV N N N N N N N da un punto del piano a coordinate intere ), ogni cellula c essendo costituitaN N N da un esemplare 0, di un automa finito standard Q. Ogni automa Cf, è col­

legato ai suoi «vicini», la definizione dei quali può variare ma che in ge­iV N N nerale sono gli automi che occupano le quattro cellule adiacenti a c (se c è

N N dato dal punto di coordinate intere (u, v), queste quattro cellule adiacenti hannocoordinate rispettivamente (u, v+ i ), (u+ i, v ), (u, v ­ i ), (u — <, v)) (fig z)

N N Attraverso questo sistema di connessioni, la scacchiera viene trasformata inuna rete di automi, rete dove l' ingresso di 0, è costituito dagli stati interni

ol Stato iniziale. b) Stato finale. dei quattro automi adiacenti. La funzione di transizione è dunque in questoFigura t caso una funzione 4: Qs x Q~ Q. Quanto alla funzione di uscita essa s'identi­Il problema di raggruppare tutte le caselle N il piu in alto e a sinistra possibile. fica con la funzione di transizione.

Centrato/acentrato 896 897 Centrato/a centrato

i ) se il vicino Nord 0< è nello stato B (bianco o non-segnato ), 0< diventaN e (l.', diventa B;

z) se il vicino Nord Q< è nello stato segnato N, lo stato N di Cl', si sposta.lungo il verso indicato dalla propria riga, se il vicino laterale relativo(Ovest per il verso destra-sinistra, Est per quello opposto) è nello statonon-segnato B ;

3) se l'una o l'altra di queste istruzioni non sono realizzabili, perché i viciniNord e laterale sono tutti e due N, oppure morti, oppure ancora unoN e l 'altro morto, Q, r imane nello stato N;

g) se una cellula B può prendere lo stato N contemporaneamente sia lungouna colonna sia lungo una riga, è la colonna ad avere la priorità.

Gli schemi della figura 3 mostrano come queste istruzioni permettano di ri­solvere in modo acentrato, in nove unità di tempo, il nostro problema di rag­gruppare i simboli N.

Figura z.Riassumendo, una rete di automi ha la funzione di localizzare determinate

Automa cellulare di d imensione z. Le caselle contrassegnate con una croce sono procedure. Si compone di intelligenze standard elementari adattate ad un certooccupate dai quattro vicini dell 'automa Q,.problema, «intelligenze» chefunzionano tutte in parallelo fino a elaborare unostato stazionario «risolvente» il problema dato.

Un automa cellulare siffatto può d'altro canto essere esso stesso considerato L'esempio che è stato appena tracciato è troppo banale per lasciar intrav­

come un automa (non-finito ) i cui input sono dei patterns, cioè delle configu­ vedere fino a quale punto l'acentrismo sia importante nella costruzione di mo­razioni geometriche di cellule (come il quadrato 6x 6 del nostro esempio ). delli dei sistemi ed in particolare dei sistemi biologici e dei sistemi percetti­È sufFiciente a questo scopo porre le cellule esterne alla configurazione d'in­ vi. A proposito di questi ultimi, si può leggere l'interessante ed ormai classicagresso in uno stato particolare detto stato morto, che ha la proprietà d'essere in­ opera di Minsky e Papert Perceptrons [r969]. Ma, come abbiamo già notato,variabile nel corso del tempo. Soggetto ad un input di questo genere, l'automa l'esempio piu r i levante di sistema acentrato è i l sistema nervoso centrale, ilcellulare si trasforma, uno stadio dopo l 'altro, a partire dallo stato iniziale, funzionamento e le proprietà funzionali del quale (in particolare la memoria)finché due stati consecutivi siano identici. Si dirà allora che questo stato finale rimangono ancora molto al di là di una rappresentazione appena un po' fedelestazionario è l'output dell'automa cellulare. [cfr. Rose i973]. È del resto a partire da una precisa riflessione intorno al si­

stema nervoso centrale, considerato come rete, che Neumann, Rosenblatt, Mac­Torniamo ora al nostro problema. S'intende proporre una soluzione acen­ Culloch e altri hanno fondato la teoria degli automi cellulari.

trata informale (cioè espressa in lingua naturale ), soluzione dovuta a Rao Ko­ Ma l'acentrismo supera di fatto senz'altro questi modelli, per quanto ela­saraju [ i977]. Anzitutto si tracci sul nostro pattern 6x 6 una freccia da de­ borati siano. Infatti esso ricopre una nozione strategica che struttura attual­stra a sinistra per le r ighe di ordine dispari e da sinistra verso destra per mente una certa posizione discorsiva critica all'interno del dibattito contempo­quelle di ordine pari. Una simile operazione può essere compiuta, in modo raneo. Per la sua estrema capacità metaforica e malgrado gli attriti e le molte­miope, dagli automi che occupano le cellule, in base alle seguenti istruzioni: plici derive ideologiche che determina, esso si trova innalzato al rango di au­

i ) anzitutto supponiamo che ogni automa abbia etichettato i propri quattro tentico paradigma. È ad esempio questo paradigma che determina l'isotopia

vicini con Nord, Sud, Est, Ovest r ispettando una coerenza globale, maggiore della teoria del potere di un M i chel Foucault. Ma per affrontare

ottenibile per gradi per confronto; questo paradigma, è necessario ritornare brevemente al concetto di centro.

z) se il vicino Nord è nello stato morto (automa della prima riga), consi­derare il verso da destra a sinistra;

3) se il vicino Nord è in uno stato non-morto, considerare il verso opposto z. Cri t i ca della ragion radiale.al suo.

La nozione di acentrismo contribuisce alla de-limitazione di ciò che si puòUna volta attribuiti questi versi di percorrenza, introduciamo le transizioni considerare una delle radici (radice ormai «calcinata», direbbe Foucault ) del­

seguenti per un automa 0, segnato N : la tradizione occidentale. Tradizione dell'onnicosciente, dell'identico, del pro­

N N N N N N N N N N N

899 Centrato/a centratoN N N N N N N N N N

N N N N N N N prio, dell'univoco, dello scopribile e dello scoperto, del classificabile e del clas­sificato, dell'ordinabile e dell'ordinato, del gerarchico, del globale, del norma­

N N N N to, in breve, del centrato [cfr. Benoist I975 ]. Nella strategia teorica odiernasi riscontra l'avvento del non-onnicosciente, dell'equivoco, del disseminato,

N N N N N del parziale, del locale, del marginale, del decentrato, dell'ex-centrico, del­l'acentrato.

N N NUna tale de-limitazione urta contro un ostacolo considerevole nella misura

in cui il nostro linguaggio è totalmente infiltrato, e perfino saturato dalla nebu­Stato iniziale S„. Stato S,. Stato S,.

losa semantica del centro. Questa non si riduce ad un insieme organizzato ditermini. Essa opera attraverso sedimentazioni % sovradeterminazioni diverse;

N N N N N N N N N N N N N N essa deriva, diflonde, si eclissa e si riscopre a volte essa stessa. (Come evita­re per esempio di dire che la problematica dell'acentrismo sta diventando uno

N N N N N N N N N N N N N N N dei poli della riflessione contemporanea>) È dunque per un gioco metaforicoinerente alla lingua che la ragione del centro delimita la propria area. E questo

N N N N N N N N gioco è di una tale pregnanza che la nozione di centralità si è imposta alla

N N N N 8oFsr come correlato necessario della nozione generale di sistema e di organiz­zazione. ERetto di ipostasi, le cui implicazioni sono veramente disastrose. Diqui il problema.

Si «sa» che il cerchio (o la sfera) è gravido di essenze ideali. Cosi scrive peresempio Poulet [x96t ]: la forma del cerchio è «la piu costante tra quelle permezzo delle quali riusciamo a rappresentarci il luogo mentale o reale in cui ci

Stato Ss. Stato S4. Stato Ss troviamo e a collocarvi quello che ci circonda o quello di cui ci circondiamo.Semplicità, perfezione, applicazione continua e universale ne fanno la primadi quelle forme privilegiate che si r i trovano in fondo a tutte le fedi e che

N N N N N N N N N N N N N N N N servono da principio di struttura a tutti gli spiriti » (trad. it. p. 9). Come si­

N N N N N N N N N N N N N N gnificante geometrico (altri direbbero forse come archetipo ) questa figura ha inefFetti sostanzialmente influenzato le dottrine teologiche, cosmologiche, psico­

N N N N N N N N N N logiche, utopistiche, perfino urbanistiche. E ciò fa si che ogni variazione nellasua interpretazione % nella sua inscrizione sia sintomo di profonde trasforma­zioni. (La sua disgrazia a favore della forma ellittica è caratteristica ad esem­pio dell'età barocca [cfr. Sarduy r975]).

Ci si potrà dunque chiedere che cosa di questo significante — investito disignificati trascendenti — faccia una metafora, addirittura una metafora origi­naria; come venga cioè a svolgere un ruolo strutturante.

Stato S,. Stato S,. Stato S,, In quanto canonizzazione dell'unità, della regolarità e della stabilità, la fi­gura ideale del cerchio deve i propri privilegi alle sue proprietà formali e anzi­tutto alla sua simmetria. Ma la sua Idea, pietrificata dalla tradizione, si è tro­

N N N N N vata totalmente sovvertita e trasformata nel medioevo, attraverso un lavoro alsuo interno dell'in-nominabile, cioè dell'infinito. Lavoro di genere piu sottile

N N N N N di quanto non possa apparire, giacché questo sovvertimento e questa trasforma­N N zione si sono realizzati nei modi non certo del rigetto, ma di una rivelazione

progressiva di certi aspetti formali.Deus est sphaera cuj us centrum ubique, circumferentia nusquam 'Dio è una sfera

che ha il centro dovunque e la circonferenza in nessun luogo'. In questa for­Figura g. mula fondamentale (che appare per la prima volta in un manoscritto pseudo­Soluzione acentrata per il p roblemadel raggruppamento del­

le N. Lo stato Ss, stazionario, è lo stato finale.

Ss = Ss.

Centrato/acentrato 900 90I Centrato/a centrato

ermetico del xn secolo, il Liber XXIV Philosophorum), la sfera non funziona piu le indica che questo centro non si riduce ad un punto geometrico. Questo ap­come simbolo di un trascendente, ma già come ciò che Deleuze chiamerebbe proccio «infinitesimale» si trova anticipato in Proclo («Nella sua interezza«diagramma d'un'immanenza», cioè come rappresentante di quella paradossale il cerchio è centralmente presente nel centro; poiché il centro è la causa, e iloperazione per cui il trascendente, puro motore delle altezze celesti e garante as­ cerchio è ciò che viene causato da esso» [citato in Poulet i96i, trad. it. p. 36]),soluto della gerarchia, non sussiste se non attraverso la disseminazione nell'infi­ confermato da Damascio (« II centro contiene contemporaneamente tutti i suoima componente degli esseri del significante formale di cui esso è metafora. raggi, ma anteriormente alla loro separazione» [ibid.]), canonizzato da Dionigi

È ciò che in certa misura anticipa san Bonaventura: «Poiché Dio è eterno Areopagita («Nel centro tutte le linee di uno stesso cerchio diventano un'uni­e assolutamente attuale, abbraccia e compenetra tutte le porzioni di tempo, quasi ca cosa; questo punto ha in sé tutte queste linee confuse e unite non soltantoesistendo simultaneamente in tutti i loro momenti come loro centro e circonfe­ le une con le altre, ma anche con l'unico punto di partenza da cui emanano»renza. Poiché è infinitamente semplice e infinitamente grande, si trova, in tut­ [De divinis nominibus, v, 6]).ta la sua completezza, all'interno e all'esterno di tutto; ed è per questo che è Ma una struttura radiale gode della proprietà caratteristica di essere in­una sfera intelligibile che ha il centro dovunque e la circonferenza in nessun luo­ variante per omotetia. Vale a dire che in qualche misura essa è «simile» algo» [Itinerarium mentis ad Deum, v, 8 ]. E ancora: «Nessuno propugna questa proprio germe e che dunque la sua struttura globale non fa che espandere, indottrina con maggiore insistenza di Maestro Eckhart, nelle cui opere le due una perfetta «identità», la sua struttura locale. A causa di questa proprietà,celebri definizioni di Dio come monade e sfera sono costantemente rappor­ la figura del centro si è storicamente inscritta come notevole significante dellatate l'una all'altra per significare che in ogni momento e in ogni luogo Dio si semplicità non estensiva della monade. Relativizzata dapprima ad ogni luogocostituisce come centro di tutt i i momenti e di tutt i i l uoghi» [Poulet i96r, e ad ogni momento, ciascun momento e ciascun luogo divenendo, secondot rad. it. p. t7 ]. Evidentemente non si tratta di verbalismo inconsistente o di l'espressione di Henry More, «reiterazione'del centro divino», questa improntaimmagini approssimative. La trasformazione di un simbolo trascendente nella metafisica — prima di sprofondare nel sovraccarico immaginario di improbabilitraccia di un'immanenza si accompagna di fatto a uno spostamento specifico equivalenze mistiche, cosmiche, erotiche — è destinata a subire molteplici spo­degli aspetti formali desunti dal significante geometrico in causa: l'accento si stamenti, il principale dei quali è quello della sua realizzazione in punto di mistaporta di conseguenza sulla struttura radiale, e ciò per la ragione seguente. nel Rinascimento. Questo spostamento caratterizzerà. l'umanesimo. «Passando

Data una configurazione radiale, si può considerare cio che si chiama il attraverso le età, il grande emblema del centro e della sfera ha cambiato sensogerme all'origine di questa configurazione, cioè la sua struttura in un intorno in maniera singolare. Ormai non si applica piu esclusivamente a Dio, ma anche«infinitesimale» dell'origine (fig. g). (Affinché la metafora funzioni, è neces­ all'uomo. È l'uomo che, pari a Dio, scopre di essere centro e sfera infinita Piusario «discretizzare» i raggi per «singolarizzare» il centro. Altrimenti, siccome ancora è ogni momento, ogni luogo in cui si t rova l 'uomo che si costituiscei raggi esaurirebbero tutto il piano, il centro non sarebbe piu «fenomenologi­ come il centro sempre nuovo di questa infinita sfericità, perché ogni luogocamente» distinguibile. Sottolineiamo a questo proposito che se si «stabilizza» ed ogni momento oArono all'uomo un nuovo punto di v ista. Mettendocisi,una tale situazione eminentemente instabile (di un'infinità di rette concorrenti ) egli scopre ogni volta attorno a sé un universo non meno infinito di quellospostando un poco ogni retta in modo aleatorio, si ottiene come inviluppo di veduto dal luogo vicino o nel momento precedente. In conclusione, dal mo­questa infinità di rette una ipocicloide tricuspidata che si deve concepire come mento che il mondo è composto di una infinità di luoghi e di momenti, la co­una sorta di «espansione» del punto centrale, come una sorta di «punto gon­ scienza umana viene a conoscenza in ogni luogo e in ogni momento di unafiato», per usare un'espressione di Leibniz). Il germe è costituito dal centro infinità di mondi, tutti infiniti. Questa è la ricchezza che il pensiero relativista(origine ) dotato in piu di una struttura «infinitesimale», struttura locale la qua­ scopre nel cosmo. Ad esso questa ricchezza appare come la manifestazione del­

l'Essere divino. Ma basta che la figura di Dio, come accadrà un secolo piutardi, si riduca all'orizzonte del pensiero e che la varietà del mondo appaiain se stessa, priva di ogni significato teologico, perché il simbolo del centro edella sfera si riduca a un semplice schema prospettico. Nel diciottesimo secolol'uomo non abbraccerà piu con lo sguardo la sfera di Dio, ma la sfera delleconoscenze scientifiche. L'enciclia divina diverrà una semplice enciclopedia»[Poulet i96r, trad. it. pp. 27-28].

Questo trapasso supposto dall'enciclia all'enciclopedia si sarebbe dunquesvolto in tre tempi: i ) il cerchio come Idea, come rappresentazione dell'Uno­

Figura 4 Tutto trascendente la di6erenza; z ) il sovvertimento specifico e la dissemina­Germe all'origine di una configurazione radiale. zione dell'antico significante attraverso il riporto sul punto geometrico dell'im­

Centrato/acentrato 902 9o3 Centrato/a centrato

pronta del centro; 3 ) l'appropriazione e fissazione come metafora del soggetto(punto di vista) dell'effetto di senso cosi prodotto.

L'immagine del centro, derivata dall'Uno per divenire emblema, l'emblemadel dominio del soggetto e della sua puntualità geometrale, è palesemente ilresiduo di una seduzione. Quella dello sguardo dell'Altro (l'Altro, tesoro disignificanti e garante della verità, nel senso di Lacan ). Ciò fa supporre che ilfascino che esercita la sua immagine non derivi dalla sua «perfezione» formale,ma ben piuttosto da una funzione implicita alla pulsione scopica. Come se que­sto significante geometrico un po' troppo puro, un po' troppo trasparente, gio­casse di fatto come la negazione dell'opacità del desiderio.

La Ragione del Centro è anche un episodio dell'Histoire de l'(Eil.Come significante, dunque, della semplicità non estensiva della monade,

il centro «intensivo» resta un elemento formale isolato che, malgrado il sognoleibniziano [cfr. Serres i968], non possiede risorse sufficienti a sviluppare unacombinatoria e un calcolo. È perché la sua capacità simbolica è stata eclis­sata dall'avvento della scienza e si è 'arenata come il relitto di un rapporto conl'intelligibile che è diventato opaco per noi. Ma è tuttavia un'altra la ragionedell'eccezionale pregnanza del cerchio come forma: esso fornisce l'immaginedi uno schema minimale di organizzazione (fig. g).

Figura 6.

Struttura gerarchica a due livelli .

In questo senso si tratta di fatto della realizzazione geometrica di un grafo,cosa questa che rende di colpo non pertinenti le questioni speculative poc'anzievocate. Questo tipo arci-elementare di struttura discreta è passibile di unainterpretazione sistemica che, pur variando e divenendo indefinitamente piucomplessa, opera singolarmente nella rappresentazione. Si può porre a questoproposito la domanda seguente: quale tipo di rapporto instaura questo schema— secondo il quale i l f a tto d i o rganizzazione è concepito minimalmente­con la nozione di livello gerarchico? Si può constatare una certa equivalenzatra il fatto che questo schema si ripeta «identico» a se stesso di livello in livelloed il fatto che questi livelli siano gerarchizzati (fig, 6).

Questa constatazione ingenua permette di avanzare l'ipotesi che la fede nellagerarchia intesa come condizione necessaria di regolazione e di autoriproduzione

Figura 5 di un sistema complesso, è un effetto immaginario e ideologico di quella azioneSchema minimale di organizzazione. Centro: organo di decisione. Periferia: subor­ residua dell'analogia che è il vincolo d'invarianza tra i l ivelli di uno schema

dinati indiscernibili. Raggi: canali di comunicazione. di organizzazione. Le strutture gerarchiche, ripartendo i rapporti apparenti di

Centrato /ac entrato 9o4 9o5 Centrato/ac entrato

potere nelle molteplicità umane, non sarebbero che l'ossatura di una funzione enunciazione lo suppone. E nemmeno niente a che vedere con una infrastrutturareale del potere, la regolazione e la capacità di autoriproduzione del quale pro­ economica, già qualificata nella sua sostanza e definita nella sua forma e nel suocederebbero secondo tutt'altri meccanismi. In tal modo esse rivelerebbero il uso. Non si tratta certo di attribuire al diagramma un ruolo analogo a quellosupposto che assicura la concezione del potere come disconoscenza, discono­ attribuito dai marxisti all'economia: vi è là una distribuzione completamentescenza della disseminazione non totalizzabile di una funzione di potere im­ nuova, che ci rimanda alla concezione del potere e dei suoi rapporti con l'in­manente nell'ambito sociale. È almeno la tesi che sostiene Michel Foucault sieme dell'area sociale.nel suo libro Sunreiller et punir [i975], in particolare a proposito dell'analisi del «Ciò che conta in primo luogo è l'immanenza del diagramma» [DeleuzePanopticon di Jeremy Bentham. ' 975 P » ' 7 ] .

Macchina del delirio razionale utilitarista, il Panopticon è il significante ar­ Incarnazione legislatrice e ricaduta pragmatica dell'ideale, la macchina ben­chitetturale del super-vedere. Esso rivela e inscrive la verità repressiva del mec­ thamiana non è un'utopia. E un'impalcatura, il tocco architetturale di un si­canismo ottico del cerchio, di questo emblema seduttore residuo dello sguardo stema che si regge:dell'Altro. Ricordiamo il dispositivo. Una periferia composta di cellule, una

— su una demagogia, quella della teatrale messa in scena del controllo etorre centrale dalla quale il sorvegliante può vedere senza essere visto. Non della sorveglianza ;si tratta necessariamente di un cerchio, ma la configurazione deve essere ra­diale: «Non è essenziale che la forma dell'edificio sia circolare, tuttavia "tra

— su un fantasma, quello del tutto vedere;

tutte le figure... è l 'unica che assicura una visione perfetta, ed uguale, di— su una ideologia, quella dell'utilitarismo e della relativa filantropia: il

maggior bene del maggior numero;un numero indefinito di alloggi dr uguali dimensioni". I l pregio della confi­gurazione circolare consiste nel fatto che permette, in un'area già resa omo­

— su una strategia, quella del controllo esaustivo delle identità, quella per

genea dalla luce, delle partizioni identiche. Il solo punto distinguibile, l'unicocui il panoptismo raggiunge il sinoptismo. «I grandi sistemi nomencla­

"punto singolare", è il centro. Evidenza di una misura comune e di una ecce­ tivi, che estendono le loro esaurienti ramificazioni, sono le prigioni del

zione, che piega ognuno sotto il suo dominio» [Miller t975, pp. 4-5]. Non si linguaggio. È lo stesso ideale di dominio ad ispirare la teoria penitenzia­

tratta nemmeno necessariamente di prigione. Scuole, fabbriche, asili, ospedali, ria e la teoria logica di Bentham. Classificazione degli uomini, classifi­

laboratori, caserme, «ogni spazio definito di sorveglianza e di controllo» sono cazione delle parole; uno stesso occhio le domina. Gli uomini, le parole

suscettibili di regolazione tramite il dispositivo: «Il Panopticon non è una pri­— si tratta di bloccarne le fluttuazioni, di inquadrarne ogni spostamen­

gione. È un principio generale di costruzione, il dispositivo polivalente della to, di fissarle una volta per tutte in un posto o almeno di non perderle

sorveglianza, la macchina ottica universale delle concentrazioni umane» [ibid.,mai di vista nei loro movimenti, di bloccarle. Prima di essere liberale,­lo si vede bene — l'utilitarista è dispotico... Per l'utilitarista, il discorso

P 4].«Cos'è questo "panoptismo" t Non è una teoria, neanche un modello, pro­ e il reale sono reversibili, senza residui » [Miller i975, p. z9];

priamente parlando. È una macchina, che funziona, ma una macchina di tipo— su un principio, quello della sofferenza/piacere, principio che sfocia

molto speciale. Essa si definisce con una semplicefunzione, indipendentementein un calcolo. «Il calcolo dei piaceri... è il postulato necessario alla ra­

dalle configurazioni sensibili e dalle forme categoriche nelle quali questa fun­zionalizzazione della politica. È lo strumento del giudice, non dello

zione si realizza. La funzione è vedere senza essere visti. Essa si definisce con psicologo. È il simbolo di una giustizia perfetta, in grado di misurare dan­

una pura materia, indipendentemente dalle sostanze specifiche nelle quali ni e riparazioni... Ciò che nell'uomo benthamiano è originario, è l 'as­soggettamento. Il calcolo dei piaceri commenta un unico enunciato : l'uo­

questa materia entra (sostanza delinquenziale, ospedaliera, scolastica, lavora­tiva, militare, ecc. ). La materia è qualsivoglia "umana molteplicità" da rende­

mo è sottomesso; è governabile; egli è, per natura, snaturabile per mez­

re numerabile e controllabile. Una macchina cosi possiamo chiamarla macchi­ zo della sensibilità; è sufficiente, per governarlo, tenere in pugno le

na astratta. Non nel senso che sia essa stessa astratta, ideale e separata: al con­leve che muovono i suoi impulsi; ricercando il piacere, fuggendo il do­

trario essa funziona perfettamente, e dappertutto. Ma, definita come pura fun­lore, egli è una macchina elementare affidata dalla Natura al potere dei

zione e pura materia, fa essa stessa astrazione dalle forme nelle quali questedispensatori di felicità» [ibid., p. 29].

funzioni si realizzano come dalle sostanze in cui queste materie si specificano, Espressione sociale dell'identità del reale e del razionale, il diagrammaNon è un modello che possa applicarsi. È un "diagramma", dice Foucault. "È il benthamiano ha dunque lo scopo dichiarato di sottomettere a questa regoladiagramma di un meccanismo di potere... [con un] funzionamento che fa astra­ il reale politico-economico. Ciò sulla base di uno sradicamento pregiudiziale,zione da ogni ostacolo, resistenza o attrito... e che va considerato indipendente­ quello del desiderio, desiderio che si tratta, per cosi dire, di rendere «nulli­mente da ogni utilizzazione specifica" [Foucault I975, p. 207]. Niente a che ve­ voco». Con Bentham, il giuridico sistema senza residui lo spazio aperto dal­dere con un'Idea trascendente, né con una sovrastruttura ideologica, giacché ogni l'assioma per cui l'assoggettamento dell'uomo simbolico non urta contro alcun

Centrato /acentrato 906 9o7 Centrato/a centrato

ostacolo trascendente ed è dunque manipolabile ed operabile a piacere dal legi­slatore. Se infatti l 'uomo è governabile, è perché non esiste, non può esistereun contratto originario, né un diritto naturale [Bentham )787]. » t«

t, f(x, r,) = (u, p,)Da Platone a Bentham dunque, attraverso la teologia e la gnosi, la prospet­ f(x, r»)= (v, q»)

tiva rinascimentale ed il razionalismo leibniziano, la figura ideale del cerchio,f(x r') = (y s )come ogni schemaformale al quale sia stato assoggettato un reale senapa costituirne

l'oggettit)a esigenza, aderisce in fondo al dispotismo. Ma si avrebbe torto nel f(x, r,) = (z,t,)

credere chiusa l'epoca di tali operazioni. La figura del cerchio e quella, affe­ f(y, s»)= (v,q„)rente dell'albero continuano a dirigere in larga misura le rappresentazioni so­ r» s» f(y s«)= (u,P»)ciali attraverso le evidenze fallaci che hanno per funzione di oggettir)are cio che f(» s«)= (z,<a)è solo una serie di suddivisioni categoriche. f(z, t,) = (z, ta) (morta)

È tutto l 'ambito di questa ragione radiale e gerarchica che va sottoposto f(a, t,) = (z, t,) (morta)ad una de-costruzione. A ciò può essere utile la teoria delle organizzazioni p» f(u P ) = (v qt)acentrate, cioè delle reti di automi.

p» f(u,p„)= (u,p,) (morta)q»

f(v, q,)= (v, q ) (morta)

3. Sincronizzazione di una rete di automi. p«p»

Procediamo dunque ad una esposizione succinta delle reti di automi, reti in Figura 7.

cui le operazioni si effettuano con un forte parallelismo ed a partire da infor­ Rete di cinque automi a quattro «zampe».mazioni esclusivamente locali. Seguiremo perciò due vie. Innanzitutto si trat­terà di d imostrare come tali organizzazioni acentrate sono in grado di rea­lizzare prestazioni globali. L'esempio sarà quello relativo alla sincronizzazione noterà e', r e S lo stato della zampa (x, r) alla t-esima unità di tempo. L'inputmiope di una rete. S'introdurrà poi ai sistemi detti di Lindenmayer che svilup­ di un automa, poi, è costituito dagli stati delle zampe ad esso connesse. Se dun­pano una teoria sintattica di derivazioni in parallelo. Questi sistemi sono utili que f(x, r) = (y, s) e (x, r) / (y, s), e'u, rappresenta l'input della zampa (x, r) alper costituire un modello dei processi di sviluppo ed in particolare di quelli tempo t. La funzione di transizione (1) è dunque un'applicazione (I) : S" x S" ~ S"

di differenziazione e di morfogenesi. la quale associa allo stato [e' „ . .., e <} e all'input (ef( t) df(e p)} lo statoL'idea di rete di automi è abbastanza naturale. Essa consiste nel consi­ [cz+t, ..., e~+<}. Si noterà poi con (Q, G) una rete di automi 0 e di grafo G.

derare un grafo come l'infrastruttura di una rete di comunicazione tra automi Sia allora t un «problema» di grafi. Si dirà che J è calcolabile da automitutti uguali posti nei suoi vertici. Piu precisamente, sia G = (X, ll ) un grafo finiti per i grafi G di valenza inferiore a d, se è possibile trovare un automa Qnon orientato con insieme di vertici X e con insieme di spigoli II (cfr. fig. 7). di valenza d, un insieme di stati S ed una funzione di transizione (I), tutte e tre

Sia d la valenza massimale dei vertici di G e consideriamo degli automi finiti indipendenti da G e tali che a partire da uno stato iniziale, l'inizio del calcolo,

Q, tutti uguali, aventi d «zampe», che siano collegate secondo gli spigoli di G. la rete (Q, G) si trovi entro un tempo finito O (detto tempo di calcolo) in unoE ssendo gli automi identici, ne numeriamo le zampe da r a d e se xeX e stato stazionario, «soluzione» del problema J per G. Si n o terà che un talere [ ), z, ..., d } = (d), indichiamo con (x, r) la r-esima zampa dell'automa Qz, processo è totalmente acentrato, dal momento che tutti gli automi calcolano inposto nel vertice x di G. La connessione delle zampe si esprime con una in­ parallelo a partire dagli stati dei loro immediati vicini.voluzione (cioè una applicazione il cui quadrato è l'identità ) f : X x (d) ~ X X (d), Ma ecco subito un esempio trattato da Rosenstiehl [I97t] e Rosenstiehl einvoluzione nella quale i punti fissi sono per definizione le zampe morte (o non altri [ t97z]. Si tratta di risolvere con automi finiti il problema dell'esplorazioneconnesse). Se dunque f(x, r) = (y, s), essendo f involutiva, f(y, s)= (x, r). Se di un labirinto. Prendiamo dunque un labirinto, per esempio quello dei giar­

(x, r) = (y, s), la zampa (x, r) è morta per definizione, e se (x, r)~ (y, s), le dini di Hampton Court Palace, labirinto paesaggistico del regno di Guglielmo IIIzampe (x, r) e (y, s) sono connesse secondo uno spigolo di G di estremi x e y. (fig. 8). È facile associare, ad un labirinto siffatto, un grafo astratto dove i ver­Lo stato di un automa 0 è costituito dalle d-uple degli stati delle sue zampe. tici rappresentano gli incroci e i vicoli ciechi, e gli spigoli rappresentano le vieIl suo insieme di stati è dunque S~, ovvero S è l'insieme finito degli stati di una aperte. Questo grafo risulta qui possedere t6 vertici e t6 spigoli. Esso è con­

zampa. Si introduce uno stato morto (indicato con o)) per le zampe morte. nesso, planare e possiede un ciclo di 3 spigoli (fig. 9).Questo stato è invariante nel tempo. Essendo il tempo discreto per ipotesi, si Uscire dal labirinto significa trovare nel grafo un cammino che vada dal

n m 6 g f C9o9 Centrato /ac entrato

vertice I al vertice Io. La soluzione «gerarchica» — che forse viene ad esserespontaneamente usata dal lettore — presuppone una intelligenza esterna chedomini (come si dice) il problema. Ma il prigioniero del labirinto non possiedeevidentemente la risorsa di una simile visione globale. È dunque necessariorendere locale la procedura di esplorazione. «Il viaggiatore smarrito è troppoleggendario; riduciamolo ad un semplice segnale, simile al segno che si spostasu un organigramma logico a mano a mano che si svolge un calcolo; e trasfe­riamo l'intelligenza, che il viaggiatore dedicherebbe nella ricerca della via giu­sta, agli stessi incroci del labirinto, denominati per l'occasione "automi finiti" . . .Risolvere il labirinto, vorrà dire definire per l ' incrocio un automa standard,indipendentemente dalla dimensione del labirinto, in modo che [il segnale] toc­chi ogni [spigolo] una sola volta in ciascun senso. È possibile? La rispostaè aAermativa... La soluzione di un labirinto assume qui dunque un dupliceaspetto, che ha già dato a tante storielle il loro fascino. Da una parte, si trat­ta di trovare una strada in un dedalo di strade — tecnicamente si può dire unafreccia in una categoria labirinto — e poiché, come suggerisce il buon senso,

11 Q per definire via via la propria strada si deve anche saper tornare sui propriO 5 apassi (è un tragitto qualsiasi, come gli altri ), tutti i cammini saranno inver­

Figura 8. tibili — tecnicamente si avrà una freccia gruppoide —, e piu sovente addirit­Labirinto dei giardini di Hampton Court Palace.

16

b2

15

14

I 138

m

12

9

pAo

Figura 9 Figura Io.

Grafo associato al labirinto precedente. Applicazione dell'algoritmo destra/sinistra al labirinto di H a mpton Court Palace.

Centrato/acentrato 9IO

tura una parola in un linguaggio di Dyck. Dall'altra parte, si tratta di defi­ abb'cdd'egjkk'Immnpp'oo'n'Ij 'ihhff i g'eca'

nire la misura di memoria utile, le tavole di trasformazione dell'informazione, acegj lnn'I j 'ii 'g'e'c'a'in breve gli automi in grado di costruire questa freccia o questa parola, di cal­ acegj II j 'g'e'c'a'colarle, e questo sia per un automa unico funzionante secondo l'abituale modo acegjj 'g'e'c'a'centralizzato degli algoritmi classici, sia per degli automi dispersi nello stesso acegg'e'c'a'labirinto che si vuole risolvere» [Rosenstiehl I97I, pp. g-6 ]. acce'c'a'

Il problema è quindi il seguente. È possibile «localizzare» — cioè effettuareacc'a'in modo acentrato — un algoritmo che costruisca per tutto il grafo G= (X,@l)

un cammino percorrente ogni spigolo esattamente una volta in ciascun senso l aa'

Un algoritmo semplice, apparentemente possibile e storicamente conosciuto,è l'algoritmo detto destra /sinistra: andare successivamente il piu a destra epoi il piu a s inistra possibile. Ciò equivale — il grafo associato ad un la­birinto essendo necessariamente planare — a prendere un cammino «che attra­versa» ogni spigolo e procedere lungo le facce del grafo (fig. Io). Ma questoalgoritmo non è generalizzabile. Esistono dei controesempi molto semplici digrafi planari connessi nei quali esso si rivela inoperante (cfr. fig. I I ) . D 'altrocanto l'analisi dei cammini ciclici ottenuti con l'applicazione dell'algoritmo de­ a)

stra /sinistra è di capitale importanza per la comprensione della struttura al­gebrica di un grafo planare. Ma esiste un algoritmo applicabile a qualun­que grafo connesso, ed è dovuto a Trémaux (cfr, fig, Iz). Sia G = (X, %) ungrafo connesso di valenza d, grafo interpretabile come infrastruttura di unarete di automi attraverso una involuzione di connessione f: Xx (d) ~X x (d). acef'i g gj lnoo'pp'n'mm'l'kkj 'ihh fe'dd c'bb'a'Per maggior comodità, indichiamo con l le zampe non morte di questa rete, e acef 'i j lnn'I j Vfe'c'a'con A il loro insieme, A = (le X x (d) ~ f(l) /l). Le coppie (I, f(l)) di elementi

acef 'i j II j 'ife'c'a'di A sono quindi associate agli spigoli di G. Si possono allora definire perconcatenazione delle parole sull'«alfabeto» A, parole che corrispondono a cam­ acef 'i jj 'ife'c'a'

mini di G: pr ima di tutto le parole «nulle» A, con xeX ; qu indi le succes­ acef 'i 'ife'c'a'

sioni /,...ltd»t...1 dove il vertice della zampa f(lk) è quello della zampa l<+I acef 'fe'c'a'

per jc = I, . .., p — I (condizione di concatenazione). acce'c'a'

Risolvere il labirinto G è quindi trovare una parola che soddisfi la condi­ acc'a'zione seguente: ( I ) Ia parola contiene esattamente un'occorrenza di ogni let­ aa'

/

I/

II 1

b)

Figura t t. Figura rz.

Due esempi di grafi planari connessi per i quali l 'algoritmo destra/sinistra è inope­ Due parole di Trémaux e le loro riduzioni (dove si sono indicate le zampe a partirerante (grafi con numerose «diagonali »). dalla figura g e dove si è notato con l' la zampa f (I) per I e A).

Centrato/acentrato 9I2 9r3 Centrato/ac entrato

tera di A. L 'algoritmo di Trémaux permette di fatto di costruire una parola Per tutto ciò è sufficiente introdurre, oltre allo stato morto cu, gli statisoddisfacente, oltre alla condizione (r), alla seguente: (z) attraverso riduzioni seguenti :successive, la parola è riducibile a una parola nulla (dove chiamiamo riduzione — uno stato I di quiete ;l'eliminazione in una parola di una sottosuccessione del tipo lf(l)). — uno stato V di segnatura dell'albero d'ingresso (quando una zampa en­

Tale algoritmo si definisce mediante le due regole seguenti: tra nello stato V, vi r imane fino alla fine del calcolo ) ;T,) Se le A porta ad un vertice già utilizzato e sef(l) non è stato ancora — uno stato U che vuoi dire che una zampa è già stata utilizzata;

utilizzato, si esce in f(l). — due stati di t ransizione U e V i n d icanti che i segnali U e V s o noT,) Negli altri casi si dà la priorità a quelle zampe I ed tdi che l e f(l) appena arrivati ad una zampa.

non siano ancora state utilizzate.Siccome svilupperemo piu avanti un problema analogo, non espliciteremo

In generale esiste piu di una soluzione (cfr. fig. iz ). qui la trasformazione delle regole T, e T, dell'algoritmo di Trémaux in regolePer localizzare l'algoritmo di Trémaux, è necessario definire l'insieme S di transizione per l'insieme degli stati interni S= (cu, I, Z~, V, U, V). Ci limi­

degli stati interni di una zampa e le regole di transizione, di modo che, alla fine teremo a sottolineare che se il lettore ci ha seguiti fin qui, egli ha già operatodel calcolo, la rete «segni » il risultato, che è una parola di Trémaux. Per que­ — per costruire le figure iza e izb — come una rete di automi miopi. Ci si potràsto è sufficiente numerare ciclicamente le zampe di ciascun vertice; precisare dunque convincere che il problema della soluzione di un labirinto è risolvibilela regola Ta dando la priorità alla prima zampa disponibile (prima rispetto per ogni grafo G da automi finit i indipendenti da G e in un tempo di cal­all'ordine ciclico ) ; segnare il cosiddetto albero d'ingresso della parola I,...ls colo O = zm che dipende linearmente dal numero degli spigoli m di G.(dove m è il numero di spigoli di G ), vale a dire l'insieme delle lettere l„ l'estre­mo delle quali (che è l'origine di f( l t,)) non è ancora stato incontrato nella Nota. De t to c iò, non bisogna credere che tutti i problemi di grafi sianosottoparola l i...l>. È ovvio che per la parola della figura rza la rete determina comunque risolubili in modo acentrato. In particolare non esistono automi fi­l'albero della figura I3. niti che permettano di decidere circa la connessione di un grafo. Questo risul­

tato va messo in parallelo con uno dei risultati essenziali di Minsky e Papert,per sapere che il predicato di connessione non è di ordine finito (nel sensodella teoria dei perceptrons).

Trattererno adesso in modo piu dettagliato un p roblema assolutamente

I 2fondamentale(in particolare per le applicazioni in biologia) : quello della sin­cronizzazione di una rete di automi. Il problema è il seguente: trovare un al­goritmo locale capace di far si che una rete, i cui automi siano tutti al tempot=o i n s tato di qu iete, eccetto uno che inizia i l calcolo, si t rovi in un tem­po finito O in uno stato sincrono globale. Cioè al tempo t =O tutti gli automi si

3 2 mettano insieme e per la prima volta in un determinato stato.Il contrasto tra soluzione centrata e soluzione acentrata è qui particolar­

I

I mente evidente. La soluzione centrata consiste in effetti nel connettere ogni au­3 2 toma ad un automa esterno che svolge il ruolo di istanza centrale di decisione

e nell'inviare la medesima istruzione a tutti gli automi nello stesso istante. Sipuò paragonare ad un generale che con l'istruzione «Fuoco» dia inizio a tiri

I di artiglieria. Di qui del resto il nome Firinl, Squad Problem (FsP) dato a que­3 sto problema della sincronizzazione, La soluzione acentrata consiste al contra­

rio nell'effettuare questa sincronizzazione per gradi ed in modo coerente, ogniautoma operando in maniera «miope» e non avendo quindi alcuna conoscenzadella propria posizione reale nella rete.

La soluzione acentrata del Fsp è stata scoperta da Moore [i96g] e Moore eFigura I3. Langdon [i968], e sviluppata da Balzer [i966; r967], Rosenstiehl [x966], Ro­Albero d'ingresso della parola di Trémaux della figura Iaa. senstiehl e altri [z97z], Waksmann [ i966], Herman e Rozenberg [i975]. L'idea

~WI 8 ~ WI 9'5 Centrato/a centrato

~ K ~Ws Ws

è semplice: se due segnali aventi la stessa velocità vengono emessi nello stessotempo ai due estremi di un segmento, essi s'incontrano a metà linea. Succede

t = o : lo stesso se un segnale di velocità IÈ partito da un estremo e «rimbalzato» inUn automa (n. 8) diviene un K-automa quello opposto è seguito da un segnale di velocità grÈ. Un segnale propagan­ed emette W, e Ws nelle due direzioni. tesi alla velocità v lungo una catena orientata è in questo caso uno stato S' con

la seguente proprietà: un automa assume lo stato D' dopo che i l suo pre­decessore sia rimasto tl unità di tempo in tale stato S', che abbandona in questoistante. Quella che segue è una soluzione del Fsp per una catena circolare diau tomi.

Ogni automa ha la possibilità di emettere nei due sensi due segnalie 8's di velocità rispettivamente 1 e g. Un automa che abbia emesso segnalisi chiamerà K-automa (oppure, il che è lo stesso, assumerà uno stato K per­

È= 4: manente). Le regole di transizione sono le seguenti:L'automa n. 4 diventa un K-automa

(ostacolo passivo) e rinvia W I .F,) Due segnah che sl mcontrano trasformano 11 loro «punto» d Incontro

Ws è in I e y da una unità di tempo. — costituito di uno o due automi secondo la parità della catena — in unK-automa ;F„) se i segnali sono identici, questo E-automa li rinvia (ostacolo pas­

sivo),Fl») se i segnali sono differenti, questo K-automa rinvia B', e IV» nei

due sensi (ostacolo attivo), poi diviene un ostacolo passivo.Fz) Il Fir ing ha luogo per un K-automa quando i due vicini sono dei IC­

automi.

w,l) t = 6 :

Gli automi n. 2 e n. 6 divengono dei Gli schemi della figura xg illustrano appunto il caso di una catena circolare di

(i w,K-automi (ostacoli attivi ) ed emettono 8 automi.w,È'J WI e Ws nelle due direzioni. Questa soluzione del FSP per una catena circolare ci mette in grado di tro­

vare soluzioni per un grafo qualunque. Sia G = (X,%.) il grafo (connesso) inquestione. Incominciamo a considerare un albero V di G, di origine ac% etale che per ogni vertice b di G, b/a , il cammino (unico) di V che unisce acon b sia un cammino di lunghezza minimale tra tutti i cammini di G cheuniscono a con b. Considereremo ora un percorso ciclico su questo albero,percorso che passa dunque due volte per ogni vertice di G e al quale appli­

KK K

--W,

Gli automi n. I, 3, 5 e p divengono dei

2 K-automi. O--W, o

W, W„ t= I O :

Firing.

I 2 oFigura I4 . Figura 15.

Risoluzione in nove unità di tempo del Fsp per una catena circolare di otto automi. Numerazione modulo 3 dei vertici di un grafo connesso.

Centrato/acentrato 9I6 9I7 Centrato/ac entrato

cheremo il procedimento precedente. Se la scelta quindi di V da una parte Sia A = lred (1 „ = T e sia A~=(re A- ~ /,,=q — I ). Consideriamo le si­e del percorso ciclico dall'altra è una questione risolvibile da automi finiti, lo tuazioni seguenti :stesso sarà per PFsp grazie alla definizione che segue:

DEFINIzloNE. In una rete di grafo G si dice che l'automa 13 è sovrapposto al­ ( I ) e'+' =q e' = I per ogni red e A v/ @l'automa 0 se un esemplare di 13 ed un esemplare di Q occupano ogni vertice di G (2) ear = Te se per effettuare il suo (t+ I )" ' p a ssaggio 13 tiene conto non solo del suo stato e (z') er Tdi quello dei suoi vicini al tempo t, ma anche di quello di Q al tempo t+ I .

(3)Risolviamo per primo il problema di segnare un albero U di cammini mi­ (3')nimali. Dato ac X, incominciamo con l'attribuire un indice ad ogni vertice di

G mediante un numero che misura la distanza modulo o dal vertice a (fig. I5 ).Un'intelligenza locale G che esegue questa operazione può essere definita inquesto modo: l' insieme degli stati interni delle zampe dell'automa G è F = ( to, VI, o, I, z ) dove I è lo stato di quiete.

Per xe X, sia dz l'insieme dei numeri delle zampe non morte di '6 2 e sia PQ

T VT V Vla seguente situazione: (P) perround„,e' „ , = I e l ' „ , = q, q = o, I, z, dove sinota con l ' , lo s ta to al tempo t de l la zampaf(x, r). Regola di transizione: T T

(P) ~e'+I=q + I (mod g) per o gn i r e dr . T

Lo stato iniziale è dato da e~ „= o per ogni r e da; e o„= I per ogni vertice x, T V T V

x/ a e per ogni red . t = o t = I

Gli stati o, I, z sono permanenti ed è dunque il primo modo di attribuire unindice che ha la priorità. Ciò fa si che tutte le zampe con la stessa originesono segnate allo stesso modo alla fine del calcolo, con un indice che può quindi T T

essere assimilato a quello del vertice comune (fig. I6).Definiamo adesso un automa X che, sovrapposto a 8, determina un per­ V T T T V I V

I Icorso ciclico v lungo un albero V di cammini minimali. Noteremo e' „g li stati

T Idi 3C. I I

L'insieme degli stati interni è F = (co, I, T, T, T, U), T significa che la zam­V v I I

pa appartiene a v, V significa che la zampa è una zampa d' ingresso; questi due r V Tstati sono permanenti. T è uno stato transitorio di chiamata a V, T è uno stato

t = gtransitorio di attesa.

2 2 T IT V

O O T IO O O

O vO

'l' V f '2 2 O O

t = 2

Figura t7.Figura r6.Indici modulo g per l'algoritmo $ .

Costruzione di un albero di cammini minimali con la sovrapposizione di automi,K* S.

Centrato/acentrato 9IS 9 I9 Centrato /ac entrato

Regole di transizione:trata. È indispensabile, proponendosi la modellizzazione di tali sistemi empirici,selezionare per prima cosa il livello di organizzazione che si consideri perti­

I) Nell'ipotesi ( I ) nente. Un certo nuinero di argomenti depongono a favore del livello cellulare.

per rcA„ /» „. l '~T«Le seguenti ragioni possono essere usate per sostenere la scelta delle cellule

e ,„-: I~ V dove r = min A quali unità di base: I ) Le cellule sono l'unità metabolica autonoma di tutti gli

e „ : I ~ T per ogni red — A,. organismi superiori. z ) Tutte le attività metaboliche e di sintesi nella cellulasono mediate dalle molecole proteiche e di RNA che vengono prodotte in ac­

FI) Nelle ipotesi (z) e (g) cordo con porzioni particolari di DNA (i geni). g) Solo le molecole di DNA,fra tutti i costituenti cellulari, possono essere fedelmente riprodotte, cosicché

e»»'. T~ T . l'eredità dei meccanismi cellulari può avvenire praticamente solo attraverso la

FII) Nell'ipotesi (z) e non (g)trasmissione da cellula madre a cellula figlia di particolari tipi di DNA. 4) Ognicellula di uno stesso organismo discende da una singola cellula ancestrale,

e , „: T~ I . l'uovo fertilizzato, e ognuna di esse porta lo stesso complesso di DNA. 5) Partedei geni costituenti i l complesso di DNA di una cellula possono in ogni mo­

Iv) Nell'ipotesi (z'), non (g) e non (g') mento essere attivi (producendo RNA e proteine) o inattivi. 6 ) L'attivazione

e „„: T~ I . (de-repressione) o l'inattivazione (repressione) dei geni è causata da molecoleche vengono prodotte o nelle cellule stesse o che entrano nella cellula da quelle

Lo stato iniziale è definito da vicine o dall'ambiente» [Lindenmayer I974].Ma una caratteristica essenziale dei sistemi cellulari è di essere sistemi che

e~ „ = f' per o gni r ed„e = I per ogn i x g a e p er ogni r@d».

si sviluppano. Entrano qui in gioco meccanismi fondamentali quali la diffe­»p r renziazione cellulare ed i processi di morfogenesi. Ciò fa si che l'infrastruttura

Le tavole della figura ip mostrano il processo di segnatura di un alberorelazionale del sistema, la sua «geometria», evolva nel corso del tempo. Per mo­

di cammini minimali per i l grafo della figura I5.dellizzare tali sistemi a «geometria variabile», è necessario dunque generaliz­

Quanto al percorso ciclico v = l,...l,„ (dove n è ig ' p'g1 numero de li s i ol i d i zare in maniera conseguente la nozione di rete di automi.

V, n = ~X, I ) si costruisce nel modo seguente: l, è una zampa di origine aTuttavia i sistemi formali prodotti attraverso una tale generalizzazione non

segnata T sef (I» ) = (x, r) allora li. è la prima zampa di x in d d opo f( I.,) saranno pertinenti come modelli di algoritmi di sviluppi programmati prima

e segnata T o V. Questo percorso v non può iniziare che al tempo t = z. che venga stabilita la validità di una simulazione discreta. L'ipotesi della validità

Sia allora P l 'automa del FsP circolare. Questa nostra esposizione mostradi un'approssimazione digitale di un sistema cellulare solleva numerosi pro­

che l'automa complessoP e X e'G (sovrapposizione iC di $ su X e '61 risolve il blemi. Certi argomenti depongono però a suo favore. «Gli stati di cellule trat­

Fsp per un grafo connesso qualunque.tate come automi sono interpretabili in termini di presenza o assenza di co­

Il r ocesso si sviluppa in modo del tutto parallelo in quanto gli automistituenti chimici cellulari (relativamente a concentrazioni di soglia ), e/o in

complessi elaborano progressivamente e contestualmente la costruzione del­termini di combinazioni di geni attivi ed inattivi. Gli input cellulari sono rap­

l 'albero U, quella della catena circolare v e quella dei segnali 8' i e 8 ' i ungo presentati dai composti che entrano nella cellula durante un certo intervallodi tempo, o dalle eccitazioni di membrana che essa riceve. Similmente i loro

questa catena. output sono composti che hanno lasciato la cellula, o eccitazioni da essa ori­ginate. La funzione di transizione è in parte una espressione degli effetti delle

Sistemi di Lindenmayer.interrelazioni dei geni, nel senso della repressione o de-repressione di geniattraverso i prodotti di a l tr i geni, ed in parte una espressione di effetti di

Abbiamo appena tratteggiato, nella parte che precede, la problematica re­controllo tra le molecole RNA ed enzimatiche all'interno del citoplasma...

lativa alle reti di automi. Esse, per la loro capacità di localizzare algoritmi già«In secondo luogo si assume che gli stati e gli input siano entità discrete,

esistenti, si riferiscono al livello logistico delle organizzazioni e la loro teoria èe debbano esservene un numero finito. Esiste naturalmente un numero defi­

una branca della teoria generale del calcolo.nito (poche migliaia) di geni discreti ; ciascuno presente in poche copie per ogni

Ma queste reti di automi assumono anche un'importanza enorme per quelcellula. Perciò, se fosse sufficiente considerare, nelle regolazioni relative allo

che riguarda la modellizzazione di sistemi complessi, in particolare dei sistemisviluppo, solo le combinazioni dei geni attivi che sono presenti ad un dato

biologici che è evidente a priori, si sviluppano e funzionano in maniera acen­bio ogici, c e, e evi en e a pristante in una cellula, ogni gene attivo originando un composto in qualche

Centrato /acentrato 920 92I Centrato/ac entrato

maniera importante per la crescita e la morfogenesi, allora lo stato (cosi come automi, si determinano, per 2 ( i < n — t, delle regole di transizione del tipol 'input e l 'output ) di ogni cellula sarebbe naturalmente un'entità discreta... cF ' yrr;cs,+, ~ 'r,- che significano che, se l a cellula c, si trova all'istante t nello

«Vi è tuttavia un'ulteriore complicazione nel fatto che non è possibile stato o, e se i suoi vicini c, , e c„+, si trovano, nello stesso istante t, negli sta­guardare semplicemente allo sviluppo come ad un processo nel quale un certo ti rispettivamente cr;, e at + ,, questa cellula c, si troverà all'istante t +t nel­numero di geni viene inserito o disinserito in diverse cellule in momenti di­ lo stato ~,. In p iu s i dànno delle regole per gli estremi della catena, del tipoversi. Evidentemente i vari componenti del citoplasma possono variare con con­ gcs,cr,~~, e o„, o „ g ~ r , d o ve g è un simbolo che rappresenta l'ambiente. Matinuità le loro concentrazioni e si conoscono molti effetti di controllo tra que­ se si vuole potersi rendere conto dello sviluppo di questo filamento, si devono

sti componenti, quali feedback e inibizione allosterica degli enzimi, inibizione dare regole di transizione del tipo vt r (7'Gt„y~w; dove in questo caso z.; nono stimolazione delle velocità di sintesi degli enzimi a livello di a+A, di&usio­ rappresenta piu una lettera dell'alfabeto Z ma una parola di Z~, v; = ctgne di metaboliti, ecc. una simile regola significa che se la cellula c; si trova nell'istante t nello stato cz,

«Le possibilità che il citoplasma influenzi il corso dello sviluppo sono in­ e se i suoi vicini ct r e c,+, si t rovano, nello stesso istante t, negli stati r i­cre i i mend'bilmente numerose e complesse. È anche evidente tuttavia che la maggior spettivamente o; , e o ; + „ qu esta cellula c.; avrà originato, all'istante t+x, Aparte dei processi metabolici e sintetici sono regolati per mantenersi a ive o cellule c;y C'e d i s tati r ispettivamente ~n . T'/,. È verso una simile ge­di stati stazionari e che g!i eventi relativi allo sviluppo, come la differenzia­ neralizzazione delle reti l ineari che mira la nozione di L-sistema.zione, hanno luogo quando avvengono repentini cambiamenti da uno stato Piu precisamente un (r., t)-sistema è costituito (definizione per ora tempo­stazionario ad un altro in numerosi iter biochimici. Sebbene continue trasfor­ ranea) da:mazioni citoplasmatiche, importanti per lo sviluppo, non possano essere escluse,non è cosa troppo azzardata assumere che nella maggioranza dei casi gli eventi

t ) un alfabeto Z (insieme finito e non vuoto degli stati interni );relativi al citoplasma possano essere considerati eventi discreti.

2) un simbolo g < Z che indica gli estremi del filamento e che assume il ruo­

«Un terzo parametro che viene considerato discreto nel nostro sistema è illo di ambiente;

tempo. Il calcolo dei nuovi stati cellulari, basato sugli stati e gli input prece­g) regole di transizione dette anche produzioni del tipo

denti, avviene rispetto a cert i i n tervalli. Poiché ogni in tervallo può essere G~C70r ~ T

scelto piccolo a piacere, quest'assunto non sembra rappresentare una grave li­ gCJGr~ wmitazione. Nondimeno, costituisce un problema il fatto che piu piccolo è l'in­tervallo di tempo, maggiore è il numero di stati necessari per cicli diversi di

G'~(Yg ~ V

misurazione. Ovviamente, bisogna trovare un compromesso tra descrizioni dove w è una parola di Z~, cosa che implica d'altra parte che z puòmolto dettagliate e descrizioni decisamente grossolane. Il r iconoscere che la essere la parola vuota che si interpreta come morte della cellula dimaggior parte dei processi cellulari sono altamente stabili, con occasionali spo­ stato cz nel contesto (cr„a;.) o (g, o.„) o ancora (a„ g ) . Supponiamostamenti in altre aree di stabilità, rende possibile una descrizione dei processi anche che l'insieme delle produzioni sia completo, cioè che per ognidi sviluppo che sia realistica, benché senza intervalli di tempo eccessivamente terna (o,, oy Gr)~ (g~(7y or )y (Ggy (Ty g) esista una produzione che am­piccoli» [Lindenmayer t97g]. mette questa terna come primo membro.

Una volta ammessa, almeno a titolo d'ipotesi, la validità delle descrizionidiscrete, ci si trova dunque di fronte al problema seguente: definire delle reti Essendo dato un (r, t ) -sistema G = (Z, P, g) dove P è l ' i nsieme delledi automi dove le regole di transizione includano trasformazioni della geometria produzioni, si può derivare da ogni parola x= a , . . .a di Z~ un'altra parola

sottostante. I sistemi di Lindenmayer, detti anche L-sistemi, sono i piu sempli­ P applicando contemporaneamente ad a,...a le produzioni adeguate. Se dun­

ci i ques o ipo.d' to tipo. Sono delle reti lineari che hanno dunque la funzione di mo­ que esistono in P le produzioni gara, ~„ a , aaas w„ . . ., ayg Qa„,a „ v „ , , e

dellizzare lo sviluppo di strutture filamentose. L'ipotesi di linearità semp i califica a„,a~g~r», [ l è la parola ~,...~„ottenuta per concatenazione dei w;. Si dice

considerevolmente il problema, nella misura in cui diviene possibile identificare allora che [l deriva direttamente da x in G. Generalizzando, si dirà che una parola

la geometria della rete con un'operazione algebrica semplice, la concatenazione. y di Z~ deriva da cc in G (cosa questa che si noterà u,~ y ) se esiste unaG

Se in effetti si considera un filamento di n cellule c„c „ . . . , c„, la cellula c, es­ successione P~, [I„. .., Pt. di origine )~ = x e di estremo )t. ­— y tale che, persendo supposta nello stato a,eZ (dove Z è l' insieme finito degli stati interni i = r, ..., k, ); deriva direttamente da P;, in G. La derivazione è dunque ladi ogni cellula ), lo stato del filamento sarà descritto dalla sequenza o,o,...o;,. chiusura transitiva della derivazione diretta. È evidente che se si consideraQuesta sequenza è una parola sull'alfabeto Z, cioè un elemento del monoide una parola coca~, è possibile per derivazione generare un sottoinsieme L (G)libero Z~ generato da Z. di Z~, quello delle parole y derivanti da u in G. Da qui la definizione (defi­

Quando si considera una tale struttura filamentosa come una rete lineare di nitiva) :

Centrato /acentrato 922 923 Centrato /acentrato

DEFINIzIoNE. U n (I, I )-sistema è una qu a terna G = (Z, P, g, oi ) dove La gerarchia chomskyana attesta l'inclusione stretta delle seguenti quattrooieZ~ è detto l'assioma del sistema. classi di linguaggi:

L(G) = {yeX~ ~ io ~ y) viene chiamato il linguaggio generato da G. Z(RE) classe dei linguaggi ricorsivamente numerabili. Sono quelli gene­G

Queste definizioni, tutto sommato molto naturali, hanno tuttavia trasfor­rabili con una grammatica. Esattamente, sono anche quelli accet­

mato completamente la nostra problematica iniziale. Se era di fatto naturale tati dalle macchine di Turing.

supporre per una struttura filamentosa I ) che l'insieme Z degli stati interni 2(CS) classe dei linguaggi context sensitive. Sono quelli generabili con le

è dato e fisso, 2) che l'insieme P delle produzioni è anch' esso dato e fisso per grammatiche context sensitive, cioè le grammatiche dove per ogni

quanto si tenti d i creare modelli di sviluppi programmati (geneticamente), produzione x~ P si ha la diseguaglianza ~x~ ( ~P~ (dove si nota con

queste due supposizioni ci hanno condotto alla definizione dei linguaggi L(G) ~x) la lunghezza della parola x ).generati dagli ( I, I )-sistemi. Dobbiamo dunque porci adesso la questione in­ 2(CF) classe dei l inguaggi context free. Sono quelli generabili con le

versa: dato un linguaggio M su un alfabeto Z (cioè un sottoinsieme del mo­ grammatiche context free, vale a d i re le g rammatiche dove per

noide Z"), esiste un ( I, I )-sistema G tale che L (G) = M? Se la risposta è ogni produzione x~p, )x( = I e ~p~ )i (~x~= I ~ x e V ).positiva si dice che i l l i nguaggio M è u n ( I , I ) - l inguaggio. Ne deriva il 2(RG) classe dei linguaggi regolari. Sono quelli generabili con le gram­

problema — puramente teorico — di caratterizzare in modo formale questa classe matiche in cui tutte le produzioni sono della forma A ~aB o A ~a

di linguaggi. Partiti da un problema di modellizzazione, stiamo approdando ad dove A, Be Uzv e ae Vz. Essi sono anche precisamente quelli ac­

un problema di teoria dei linguaggi. Il carattere fondamentale della teoria degli cettati dagli automi fini t i .

L-sistemi è connettere la modellizzazione di certe strutture cellulari empiriche alla Torniamo dopo questo breve richiamo agli L-sistemi. I piu semplici di essiteoria astratta dei linguaggi formali e quindi alla teoria del generativismo sintat­ sono i sistemi contextfree che riproducono modelli di sistemi concreti l'evolu­tico. Si tratta di una profonda trasformazione del punto di vista che estende zione dei quali è non-contestuale, lo stato di una cellula non dipendendo cheall'analisi dei sistemi biologici l' incidenza della rivoluzione chomskyana. Non dalla propria storia e non dagli stati delle cellule vicine (sviluppo a mosai­si tratterà piu, infatti, di simulare i dati sperimentali per mezzo di artefatti teo­ co). Vengono chiamati OL-sistemi.rici piu o meno ad hoc, ma di interpretarli in quanto manifestanti determi­nate proprietà strutturali di certe classi di linguaggi. DEFINIzIQNE. Un OL-sistema è una terna (Z, P, oi) dove Pè un sistema com­

In poche parole, la teoria degli L-sistemi è l'esplorazione matematica siste­ pleto di produzioni tutte del tipo a ~ x con a E Z.

matica delle capacità generative di certi processi di derivazione, processi la cui Se non vi sono in P delle regole di cancellazione a~X (A parola vuota ),caratteristica maggiore — che li contrappone alle grammatiche chomskyane — è il il sistema viene detto propagativo. Se per ogni a di Z non esiste in P che un soloparallelismo. In una derivazione x ~ ), tutte le lettere di x vengono in effetti

G prodotto a~x d i o r igine a, i l sistema viene detto determinista.simultaneamente sostituite con le parole programmate dalle produzioni. Tut­ La classe X(OL) di questi l inguaggi di base che sono gli OL- l inguaggito questo ci spinge ad esaminare, prima di dare qualche esempio applicati­ (linguaggi generati dagli OL-sistemi ) è assai «limitata». Si può in effetti pro­vo, le capacità generative delle principali classi di L-sistemi confrontandole alla vare il seguente

gerarchia chomskyana (malgrado che abbiano l'andamento di una cascata abba­ TEQREMA. Il problema dell'appartenenza, per la classe degli OL-sistemi, è de­stanza fastidiosa di definizioni e di r i sultati affermati senza dimostrazione). cidibile.

Per prima cosa dunque rammentiamo brevemente la gerarchia chomskyana.Una grammatica G è una quaterna G = (VA,, Uz, P, S) dove V> è l'alfabeto Questo significa che esiste una procedura effettiva, un algoritmo, che per­

ausiliario (non terminale ) ; Vz è l 'alfabeto terminale, V»z e Vz essendo di­ mette, dato un OL-sistema G= (Z, P, o i) ed una sequenza qualunque xe'~ ,sgiunti (V = VA U Vz) ; P è l'insieme finito delle produzioni x~ p dove xe U+ di decidere se xeL (G) oppure x4L(G).e Pe V (V+ = V — X, X parola vuota) ; Sc V> è l'assioma. Ma questa classe l' (OL) non è tuttavia troppo ristretta, cosf come mostra il

Data una grammatica G, si dice che )e V~ deriva direttamente da xe V~ TEQREMA. Il problema dell'equivalenza è indecidibile per la classe degli OL­in G se si può scrivere x =yx'8 e $ =y )'8 con x'~ P'EP. Si definisce ovvia­ sistemi.mente la derivazione x~ y c ome chiusura transitiva della derivazione diretta,

Ge si definisce il linguaggio L (G) generato da G come insieme delle parole sul Questo significa che non esiste alcuna procedura effettiva che permetta,

vocabolario terminale che sono derivabili dall'assiomadati due OL-sistemi qualunque G e H, di decidere se, si o no, sono tra loroequivalenti, cioè se, si o no, L (G) = L(H). Quest'ultimo risultato è immediataconseguenza dell'indecidibilità del problema di Post: se Z è un alfabeto com­

Centrato /acentrato 9z4 9z5 Centrato/ac entrato

posto di almeno due lettere, non esiste alcun algoritmo che permetta di de­ «Iv) La famiglia degli EOL-linguaggi coincide esattamente con quei lin­cidere, date due sequenze di X", se, si o no, queste due sequenze possiedo­ guaggi che possono essere descritti con sistemi ricorrenti.no una sottosequenza non vuota comune. «ù) La famiglia degli EOL-linguaggi costituisce una estensione naturale

Siccome gli OL-sistemi sono gli L-sistemi contextfree, viene naturale chie­ della famiglia dei linguaggi contextfree in due modi distinti» [ 1975, p. 98].dersi quali rapporti essi abbiano con i l inguaggi contextfree della gerarchiachomskyana. Si può a questo proposito mostrare come le classi P (OL) e $(CF) Nota. I s i s temi detti ricorrenti (si veda il punto Iv sopra citato) sono statisono non-comparabili. Ciò significa che, benché non disgiunte, non esistono introdotti allo scopo di modellizzare la situazione molto frequente per cui un or­rapporti di inclusione fra queste classi. ganismo si sviluppa seguendo delle regole di ricorrenza definite su alcune sue

Non esistono nemmeno sottoclassi naturali comuni alle classi 2 (OL) ed componenti. «Strutture prodotte tramite concatenazioni ripetute di stati prece­2(CF). Si r iesce in effetti a d imostrare che né la c lasse X(RG) dei lin­ denti sono conosciute in biologia come strutture composite, proprio come foglieguaggi regolari, né la classe Z (F) dei linguaggi finiti sono incluse nella classe composite costituite da foglioline, inf iorescenz costituite da fiori, ecc. Il ricor­2(OL) degli OL-linguaggi. È tuttavia possibile dimostrare il seguente notevole rere, ripetuto e sovrapposto, di componenti sempre piu grandi in tali strutture èrisultato. Dato un OL-sistema G = (Z, P, oi), si può far si che certe sequenze dovuto ai simboli che si ripetono ciclicamente nelle derivazioni. La significa­derivate in G dal l 'assioma oi siano stazionarie, cioè non possano derivare che tività sul piano biologico di queste specie di modelli sta nel riconoscere che lese stesse in G. Chiamiamo allora linguaggio adulto di G l ' i nsieme di queste strutture composite possono essere il risultato di cicli semplici di stati cellulari...s equenze stazionarie. Non esiste alcuna ragione a priori secondo cui i l l i n­ I sistemi ricorrenti sono insiemi di formule che determinano (attraverso regoleguaggio adulto di un OL-sistema sia un OL-linguaggio. di concatenazione) tutte le stringhe di una OL-successione data. Un sistema

TEQREMA (Walker), La c lasse dei linguaggi adulti degli OL-sistemi è esatta­ localmente concatenato è un sistema ricorrente con un 'unica formula. Ogni

mente quella dei linguaggi context free, OL-sistema, cosi come ogni EOL-sistema, ha la proprietà di ricorrenza. Questecaratteristiche delle strutture che si sviluppano senza interazioni sono piu dif­

Questo risultato chiarisce in modo eccellente il rapporto che intercorre tra ficili da riconoscere in natura e, per quanto ne so, non hanno ancora un nomele capacità generative, rispettivamente, dei sistemi sequenziali e dei sistemi in biologia. Il che non significa che non possano in futuro essere utili per carat­paralleli. terizzare un'importante classe di processi di sviluppo, quelli cioè nei quali vi

La prima conseguente generalizzazione degli OL-sistemi è quella detta sono cicli interconnessi di stati cellulari» [Lindenmayer i974 ]. Il fatto che ladelle estensioni degli OL-sistemi, abbreviata in EOL-sistemi. classe degli EOL-linguaggi coincida con quella dei linguaggi ricorrenti assume

DEFINlzIoNE. Un E O L -s istema è una quaterna G = (Z, P, w, A) dove G = notevole interesse per la seguente ragione. «Esso mostra l'equivalenza di due= (Z, P, oi) è un OL-sistema e dove Ac:Z è un sottoalfabeto di Z. Il linguaggio differenti meccanismi per la definizione del linguaggio. Una derivazione in unL(G) di un EOL-sistema è per def inizione i sottoinsieme di A~, L (G) = L(G) A A~. EOL-sistema è solo un'applicazione ripetuta della stessa sostituzione finita.

In altre parole, gli insiemi che si sostituiscono rimangono gli stessi, ma leL'interesse di questi EOL-sistemi è cosi sottolineato da Herman e Rozen­ stringhe nelle quali si opera la sostituzione variano di volta in volta. Esiste

berg : «Esistono numerose ragioni per studiare la famiglia degli EOL-linguaggi. una situazione duale in un sistema ricorrente. In esso le stringhe in cui si ope­«I) L'estensione di una famiglia di linguaggi $ ottenuta considerando tutti ra la sostituzione rimangono le stesse (sono queste le formule di r icorren­

i linguaggi che possono essere ottenuti prendendo un elemento di P ed interse­ za), ma gli insiemi che si sostituiscono variano da uno stadio all'altro. [Il teo­candolo con Z~, per un certo alfabeto Z, è un processo standard nella teoria rema di equivalenza] enuncia che di fatto questi due approcci sono equivalen­del linguaggio formale. Tutte e quattro le famiglie nella gerarchia di Chomsky ti fintantoché si considera il loro potere generativo» [Herman e Rozenbergsono definite in questo modo. I975, p. I83 ].

«II ) Lo studio della famiglia degli EOL-linguaggi isola gli effetti del pa­rallelismo nelle derivazioni. Mentre gli OL-sistemi differiscono dalle gramma­ Torniamo ora alla classe 2 (EOL) degli EOL-linguaggi. Essa è strettamentetiche CF, sia perché non hanno "terminali" sia perché sono derivati in ma­ piu grande della 2(OL) degli OL-l inguaggi. Si può far vedere in effetti cheniera parallela, gli EOL-sistemi differiscono dalle grammatiche CF solo a cau­ ogni linguaggio finito è un EOL-linguaggio, mentre abbiamo già notato che esi­sa del parallelismo nelle derivazioni. stono linguaggi finiti che non sono OL-linguaggi. Per quanto concerne i ri­

«III ) Sebbene l'uso di simboli ausiliari appaia ingiustificabile dal punto sultati relativi alla decidibilità dei problemi di appartenenza e di equivalenza,di vista biologico, risulta che le capacità addizionali, ottenute in questo modo, essi sono identici a quelli già evidenziati riguardo agli OL-sisteini. Ciò mostrasono atte a tener conto di situazioni che si originano spesso nell'effettiva mo­ che la classe X (EOL) è ancora abbastanza ristretta. Si può però dimostrare ildellizzazione biologica. seguente risultato :

Centrato/acentrato 9z6 9z7 Centrato /acentrato

TEOREMA. 2 (CF) < 2(EOL). La classe dei linguaggi context free è stretta­ un altro, applicazione estesa per concatenazione ad un'applicazione del monoidemente inclusa in quella degli EOL-linguaggi. Z~ nel monoide h,~. Da ciò:

Questa inclusione stretta misura la differenza di capacità generativa che DEFINIzIQNE. Un OL-s istema con codificazione, o COL-sistema, è una cin­

intercorre tra processi sequenziali e processi paralleli e mostra che la capacità quina G = (Z, P,oI, h,, h) ove G=( Z , P, m) è un OL-sistema e h : Z~A una

generativa dei processi paralleli è strettamente superiore. Tuttavia: codificazione. Il linguaggio di G è per definizione il sottoinsieme di A~ L (G) =

= h(L(G))TEQREMA. 2 (EOL) Q 2(CS). La classe degli EOL-linguaggi è strettamente

inclusa nella classe dei linguaggi contestuali. Ma i COL-sistemi non costituiscono una nuova generalizzazione degli OL­sistemi. Si può infatti dimostrare che la classe 2 (COL) dei COL-l inguaggi

Questo rimarchevole risultato mostra che l'eccedenza di capacità generativa coincide con la classe X (EOL) degli EOL-linguaggi. Ma gli OL-linguaggi condei processi paralleli context free può venire «riassorbita» in quella dei pro­ codificazione non ne divengono certo meno interessanti poiché forniscono unacessi sequenziali alla condizione di introdurre produzioni contestuali. Ciò esprime descrizione alternativa dell'eccedenza della capacità generativa ottenibile conil fatto che la contrapposizione context free / context sensitive è meno banale di l'introduzione di un vocabolario terminale.quanto si possa supporre. In tal modo, la classe piu generale degli L-sistemi contextfree o L-sistemi

Una seconda generalizzazione degli OL-sistemi è quella detta degli OL­ senza interazioni è composta da estensioni di OL-sistemi con tavole, abbre­sistemi con tavole, abbreviata in TOL-sistemi. Essi sono stati introdotti per po­ viando ETOL-sistemi. La classe 2 (ETOL) (che contiene evidentemente cometer tenere in conto l 'azione dell'ambiente sugli organismi. «È notorio che il sottoclassi le classi non comparabili 2 (EOL) e 2(TOL)) risulta assai ristrettacomportamento di numerosi organismi in rapporto allo sviluppo dipende dalle dal momento che si può dimostrare che il problema dell'appartenenza restacondizioni ambientali (come buio, luce, caldo, freddo, ecc.). Per descrivere lo decidibile. Ma essa è tuttavia abbastanza vasta per essere chiusa nei confronti disviluppo di un organismo siffatto è necessario considerare diversi insiemi di re­ operazioni standard definibili sulle famiglie di linguaggi (operazioni di unione,gole di sviluppo, corrispondenti alle diverse condizioni ambientali, alla condi­ di prodotto, di chiusura di Kleene, di omomorfismo, di intersezione con unzione che a ogni istante uno solo di questi insiemi venga preso in conside­ linguaggio regolare e di sostituzioni iterate ). Si può anche far vedere che larazione» [Herman e Rozenberg I975, p. I I z ]. classe g(ETOL) degli ETOL-linguaggi è la piu piccola famiglia di linguaggi

DEFINIzIQNE. Un TO L - s istema è una terna G = (Z, t, oI) dove J è un insieme contenente i linguaggi finiti e che possiede tutte le proprietà di chiusura (lafinito di tavole tali che, per ogni tavola Ps J, Gi, ­— (X, P, oI) sia un OL-sistema. classe degli OL-linguaggi non possedendone alcuna). Di fatto la classe 2(ETOL)In un TOL-sistema le derivazioni si effettuano scegliendo ad ogni tappa una delle degli ETOL-linguaggi coincide [Downey I97g] con quella dei linguaggi definibilitavole e utilizzando soltanto le produzioni di questa tavola. I TOL-sistemi sono in modo ricorsivo. Tale risultato ha un particolare interesse per i problemi con­dunque OL-sistemi muniti di un sistema di controllo delle produzioni. cernenti la teoria dell'informazione. È infatti noto che la classe dei linguaggi

di tipo Algol definiti ricorsivamente coincide con quella dei linguaggi contextRiguardo a questi sistemi si può dimostrare il seguente free. Ma questa classe si rivela troppo limitata per includere il l inguaggio di

TEOREMA. tutti i programmi sintatticamente corretti del l inguaggio di programmazione

I) 2(OL) g 2(TOL) g 2(CS).Algol 6o. Per contro la classe degli ETOL-linguaggi possiede questa capacità;

II ) 2(TOL) e 2 ( E O L) sono non-comparabili (ma evidentemente non di­ed è altresi in questo senso che gli ETOL-linguaggi generalizzano i linguaggi

sgiunti). context free [Herman I973].III ) 2(TOL) ed 2 ( C F) sono non-comparabili (ma evidentemente non di­

Passiamo adesso agli L-sistemi contestuali, detti anche L-sistemi con inte­razioni, abbreviato in IL -s istemi. E attraverso di essi che abbiamo iniziatosgiunti ) . questa sezione definendo gli ( I, I )-sistemi. Con una banale generalizzazione,

Questo teorema mostra che i TOL-sistemi costituiscono un'altra generaliz­ si potranno definire i (k, l)-sistemi, k ed l essendo due interi positivi o nulli.zazione degli OL-sistemi, come gli EOL-sistemi. In un (k, l)-sistema la trasformazione di stato di una cellula dipende dagli stati

Una terza generalizzazione, infine, degli OL-sistemi tiene conto della si­ delle k cellule vicine a sinistra e delle I cellule vicine di destra.tuazione seguente. Per descrivere lo sviluppo di un organismo con un L-sistema, Si definisce cosi una nuova classe di linguaggi, la classe 2 (IL) degli IL­spesso è necessario introdurre piu stati cellulari di quanti sia possibile osser­ linguaggi generabili con gli IL-sistemi. Questa classe che è dunque quella de­varne. Le sequenze generate dall'L-sistema scelto come modello costituiscono gli L-linguaggi context sensitive è strettamente piu «complessa» di quella degli

quindi una codificazione del linguaggio «reale» dell'organismo modellizzato. L-linguaggi contextfree dal momento che si può dimostrare a questo propo­Per codificazione intendiamo qui un'applicazione h : Z~h, di un a lfabeto in sito il

Centrato/acentrato 9z9 Centrato/a centrato

TEQREMA. Il problema dell'appartenenza è indecidibile per la classe degli IL­ A((br)) = 2(EIL) = Z(RE)sistemi.

Le diverse classi 2 ((k, l)) dei (k, l)- l inguaggi instaurano fra loro, al variaredi k e di l, un certo numero di rapporti gerarchici nei quali le differenze sonocostituite non tanto dalla distribuzione sinistra/destra del contesto quanto dalsuo valore globale. Un tipico risultato a questo proposito è il 2(CS)

TEQREMA. Per ogni k ) x e ogni l) x si h a: 2 ((k, l)) = X((x, k+l — x)) =

= 2((k+l — x, x)).Per quanto riguarda il rapporto che gli IL-linguaggi hanno con la gerarchia 2(ETOL)

chomskyana, ritroviamo la contrapposizione tra processi paralleli e processisequenziali. Si può infatti far vedere che la classe 2 (IL) degli IL- l inguaggi equella 2(CS) dei l inguaggi context sensitive non sono comparabili. In parti­colare, l'eccedenza di capacità generativa degli L-sistemi contextfree ottenuta Z(EOL)

per generalizzazione degli OL-sistemi non è riassorbibile attraverso l'introdu­ 2(IL)zione di produzioni contestuali se ci si limita a processi paralleli privi di alfabetoterminale. Le classi 2 (IL) ed X(ETOL) sono infatti anch' esse disgiunte. Z(TOL)

Si può essere piu precisi: A (OI,) =— L'(CF)

TEQREMA (Walker).I) La classe A (( I, I )P) dei linguaggi adulti degli (I, x)-sistemi propagativi g(RG)

coincide con quella dei linguaggi context sensitive non contenendo la parola ~ (OL)vuota. Figura r8.

Il ) La classe A (( I, I )) dei linguaggi adulti degli (I , I) - s istemi coincide con Rete delle principali classi di linguaggi. Le frecce rappresentano l'inclusione strettaquella X(RF) dei linguaggi ricorsivamente numerabili. e l'assenza di frecce la non-comparabilità.

Richiamandoci al fatto che la classe A (OL) dei l inguaggi adulti degli OL­sistemi coincide con quella dei linguaggi context free, notiamo che il teoremadi Walker frrnisce una nuova caratterizzazione, attraverso grammatiche total­mente parallele, delle tre fondamentali famiglie della gerarchia chomskyana.Questo notevole risultato permette l'applicazione della teoria esistente dei lin­guaggi formali alla realizzazione di modelli biologici.

Si definiscono allora facilmente le estensioni di IL -s istemi (abbreviandoEIL-sistemi) :

DEFINIzloNE. Un EIL -sistema è una cinquina G = (Z, P, g, xo, A) doveG = (Z, P, g, w) è un IL-sistema e 6c:Z un sottoalfabeto di Z. Il l inguaggiogenerato da G è per definizione il sottoinsieme di 5a, L (G) = L(G)A/t s.

TEoREMA. La classe 2(EIL) degli EIL-linguaggi coincide con la classe S(RE)dei linguaggi ricorsivamente numerabili.

Gli EIL-l inguaggi non sono quindi altro che i l inguaggi accettati da unamacchina di Turing o anche generabili da una grammatica. Si ottiene in defi­nitiva la gerarchia di linguaggi presentata nella figura xg.

Dopo questa (troppo) rapida panoramica sulle principali definizioni, diamo Figura rg.qualche esempio. E per prima cosa un esempio di OL-sistema. «L'utilità degli Grafo di produzioni con cicli, comportante solo bipartizioni.

d eCentrato/acentrato 930 k kOL-sistemi per quel che riguarda i problemi biologici consiste nell'ottenere d einformazioni circa la capacità morfogenetica delle linee ereditarie cellulari. Si in­tende con cio il riconoscimento dei tipi di strutture che possono sorgere da cellu­ O (Q c k kle a programmazione autonoma, il comportamento delle quali è controllato solo k k

dalla loro linea ereditaria (la loro ancestralità). Ogni cellula può 'ripetutamente Si S, S4 Sb

variare il proprio stato, oppure dividersi in parti (uguali o no), oppure morire, b c

ma senza che fra di esse intercorra alcuna interazione. La complessità delle fe dstrutture che cosi possono venir generate è decisamente sorprendente, e può d e k k

essere istruttiva per il biologo che cerca meccanismi atti a descrivere certi k

tipi di sviluppo. È del tutto possibile che in molti casi nei quali gli sperimen­talisti postulano l'esistenza di un meccanismo interattivo, sia invece sufficiente

k kla presenza di uno non interattivo. L'ereditarietà cellulare, come ovvio, è stata b c h h e i dampiamente e lungamente studiata dai biologi e, nei casi in cui un tale sforzo è g f k k b

k kstato coronato dal successo, possiamo essere quasi certi che si tratta di m ecca­ ' fnismi non interattivi (essenzialmente OL-sistemi)» [Lindenmayer I97y]. Qui kripetiamo un'analisi di Lindenmayer inerente allo sviluppo di una foglia. Dal

dmomento che in una foglia le cellule si sviluppano a partire dal bordo, è su%­ciente, per determinarne la forma, programmare questa linea marginale dicellule, D'altra parte poiché come struttura composita, una foglia è riducibilea una successione di lobi, si dovranno distinguere almeno due differenti statuti

S, S, Ssgeometrici, quello relativo alle cellule marginali dei lobi, e quello delle celluledi separazione fra questi lobi (cellule che chiameremo k-cellule ). Consideriamo d e

quindi l'OL-sistema determinista G= (Z, P, ob) in cui k k

Z = ( a,b,c,d,e f g,h , i , k ) h hco = aP = (a~be, b~kd, c~ek, d~gb, e~cf, C

k k gf~ih, g~hi, h~de, i~k, k~k ) k k

binsieme delle produzioni corrispondente al grafo della figura x9. Notiamo chequesto grafo comporta dei cicli. Per esempio e~~c ed e~f~ h ~e. Derivandoin G a partire dall'assioma a, si ottiene la seguente serie di sequenze S„:

k ka S,bc S, k

kdek S,

kgbcfk $4

f g

k fkhikdekihk Ss k k

e de6

kgbcfk kkikdekckk kgbcfk S,

S,kdekkgbcfkkdek kgbcfkkkikdekckkkgbcfk kdekkgbcfkkdek Se Figura ao.

Sviluppo programmato con l'OL-sistema G.ecc.

Centrato/acentrato 93z 933 Centrato/ac entratoSerie associata allo sviluppo illustrato nella figura zo. Si nota immediata­

mente che la serie delle sequenze S„è localmente concatenata cioè soddisfa

(per n ) 6) a una formula di ricorrenza, ossia: S = S„a S „ , S „ a . Q u esta for­mula significa che alla n-esima tappa la foglia, della quale qui facciamo il mo­dello, è composta di un lobo destro e di uno sinistro identici all'insieme dellafoglia al tempo n — 3, e di un lobo mediano identico all'insieme della foglia altempo n — z. Questa ricorsività è dovuta all'esistenza di cicli nel grafo delle pro­duzioni del sistema generatore.

Se si considerano adesso — per ragioni di simmetria — delle produzioni che Figura zi .

dànno luogo non solo a bipartizioni, ma a tr ipartizioni cellulari, è possibile Grafo di produzioni con tr ipartizione.

semplificare considerevolmente il sistema precedente sostituendolo con l 'OL­sistema H = (Z, P, co) dove fissa l'attenzione, relativamente alla fenomenologia del processo, solo sulla dif­

Z = t ra, b, c, d, k)ferenza di statuto geometrico tra le k-cellule e le cellule marginali dei lobi(diciamo l-cellule ) allora si considera la seguente codificazione:

co= a

P = (a~che, b~dad, c~k, h : Z ~ A = fl, k)d~a, A~A) k~k

insieme delle produzioni corrispondente al grafo della figura z i. Derivando inta, b, c, d, e f g , h,i)~ l .

G a partire dall'assioma a, si ottiene la serie di sequenze S„: In secondo luogo esse generano delle serie inf inite di sequenze. Ora un

S,processo di crescita comporta un momento di arresto, arresto esso stesso pro­grammato. Sarà dunque necessario applicare al sistema un meccanismo di con­

cbc S, trollo (cfr. oltre ).kdadk Infine ci si può chiedere se è naturale interpretare la differenza puramente

geometrica tra A-cellule ed I-cellule in termini di stati cellulari interni.k a cbc a k $4 Ma quali che siano i loro l imit i estrinseci od intr inseci, questi modelli

k cbc kdadk cbc k Sa hanno il vantaggio di promuovere un nuovo stile di approccio ai problemi di

k kdadA kacbcak kdadk kmodellizzazione biologica.

S, Come primo esempio di TOL-sistema, continueremo ad operare sullo svi­k kacbcak kcbckdadkcbck kacbcak k $ , luppo di una struttura composita come quella della foglia supponendo, per

ecc. variare un po' la questione, che i lobi possano in questo caso ammettere dellepunte (stato m). Vedremo come, considerando semplicemente due tavole, si pos­

Serie che soddisfa alla formula di ricorrenza (per n o y) S„ = AS„aS„aS„ ak, sa raggiungere un controllo della crescita.ovvero anche al sistema di formule In effetti, sia G= (Z, cc, co) il seguente TOL-sistema:

a a Z = ( a,b,c,d,k j , m )K„ = K „ , . co= a

Questi modelli — che mostrano come strutture composite e ricorrenti pos­ J = ( V, F), dovesano essere generate da processi privi di in terazioni cellulari ma contenenti

V = (a~kbk, b~cdc, c~e, d~kek,tra le loro produzioni dei cicli — urtano tuttavia contro alcune di%coltà.Per prima cosa essi non sono falsificabili nella misura in cui è mol to

e~jje,j ~j, k~k, m~m)delicato interpretare gli stati del sistema generatore come stati effett ivi d i

F = (a~kmk, b~e, c~j, d~k mk,

cellule. Ora, è necessario introdurre piu stati di quanti è possibile osservare e~jmj,j ~j , k k, m ~ m )per poter disporre di cicli nei grafi di produzione. Il sistema reale sarà dunque insiemi di produzioni di grafi Gz e Gz rispettivamente (fig. zz). La deriva­ottenuto per codificazione a partire dal sistema formale. Se per esempio si zione in G a partire dall'assioma a dà luogo ai seguenti casi:

Centrato /acentrato 934 935 Centrato/acentrato

d) Se si applica successivamente piu di due volte la tavola V una sola l 'app icazione della F conduce ad uno stato stazionario com e esemp116cato daC y quanto segue :

d,) akbk V

~ ki

kcdck Vkjkmkjk F

d,) akbk

kcdckkekekek

V V V

kjmjkjmjkjmjk F

Gr Ge(non connesso')

j jFigura zz.

Grafi di produzioni per un TOL-sistema.

a) Se si incomincia applicando la tavola F, si arriva subito allo stato sta­ j k kzionario kmk.

b) Se si applica una volta sola la tavola V, due applicazioni successive della a) cs)tavola F conducono a uno stato stazionario

akbk Vkek F j j

Ajmjk F

c) Se, dopo la sequenza iniziale VF, si applica piu volte la tavola V, unasola applicazione della F conduce ad uno stato stazionario:

c,) akbk V j mAek

kjejk F V Fjkjjmjjk j j

k kG2) k ha

Abk Vkek F d,) d') ds)kjejk Vkjjejjk V Figura zs.

kjjjmjjjk F Sequenze stazionarie derivabili in G.

Centrato/acentrato 936 937 Centrato/a centrato

d,) a esprimere le loro ramificazioni con una struttura parentetica, l'inizio di un ramokhk V secondario essendo segnato con una parentesi sinistra e la sua estremità con

kcdck U una parentesi destra. Per esempio la struttura ramificata presentata nella figurakekekek V zg sarà codificata dalla sequenza

kjejkjejkjejk Vkjj mjj kjj mjj kjj mjj k F ecc [cc [ccc [c]c]cc [ecc]cc [c]c]ccc [cc [ccc]ccc [c]c]

cccc[ecc [cc]cc]ecc [ecc[c]]ecc [c]ccc.Si veda la figura 23. dove c è il simbolo per cellula.Il linguaggio adulto del TOL-sistema G è costituito dunque dall'insieme

A (G) cZ*,

A(G) = ltkjkmkjk ]g[kj~j nk ~ n>o ) U [k>'nmjnkj mjnkj~jak ( n) r

Nota. Qu esto linguaggio non può essere quello adulto di un OL-sistemapoiché si può dimostrare che non è contextfree. Per contro esso può essere ge­nerato non solo da un TOL-sistema ma anche da un IL-sistema Ciò fa si che,se si ammette la validità di tali descrizioni sintattiche, si può concludere che i 6 ~ ~)processi generativi di stati adulti comportanti almeno tre lobi, rendono neces­ cvsarie sia delle interazioni cellulari, sia un controllo globale da parte dell'am­biente. 7 ~ 8 A B C

,MQUn'altra sempliceapplicazione dei TOL-sistemi viene fornita dal caso dello

sviluppo di una eSorescenza, sottoposta ai due controlli globali che sono lo sta­to vegetativo e lo stato riproduttivo. Ma queste efiiorescenze non sono morfo­logicamente delle strutture lineari. Sono delle strutture ramificate. Tali mor­fologie sono tuttavia descrivibili nel quadro degli L-sistemi a condizione di

A B

G7t4 8 7

~ 76

Figura z4. Figura zg.

EfRorescenza prodotta da un L-sistema. Grafi di produzioni del TOL-sistema che produce l'arborescenza della figura z6.

Centrato/acentrato 938 939 Centrato/acentrato

Sia allora il TOL-sistema G = (Z, t, Ip) [Herman e Rozenberg I975, p. SIg 77(765432I)77(5432I)77(432I)77(32I)77( ZI )77(I )765432I32] dove SIg 77(77(I)765432I)77(765432I)77(5432I)77(432I )77(32I )77(2I )77

Z ] I >2>3 • 4 >5>6>7>8>(>)>A>B> C } ( I )765432I

dove l, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 rappresentano degli stati di sequenze cellu­ SI4 77(77(2I)77(I)765432I)77(77( I )765432I )77(765432I)77(5432I)lari prive di fiori e A, B, C rappresentano le tre principali fasi della

77(432I )77(32 I )77 (2I )77 (I )765432 Ifioritura: A, pre-fioritura (bocciolo) ; B, fioritura (fiore); C, post-fiori­tura (frutto ) ; SI» 77(77(6A)77(A)7767(I )86A)77(77(A)7767(I)86A)77(7767(I)86A)

77(67(I )86A)77(7(I)86A)77(86A)77(6A)77(A)7767(I)86A4P = I

S„ 77 (77 (7B)77(B)7777 (A )7 (A )7B)77 (77 (B)7777 (A )7 (A )7B)77e = (V, R}(7777(A)7(A)7B)77 (77 (A)7(A)7B)77(7(A)7(A)7B)77(7(A)7B)

V R 77 (7B)77 (B)7777 (A)7 (A)7B(vegetativo) (riproduttivo )

SIq 77(77(7C)77(C)7777(B)7(B)7C)77(77(C)7777(B)7(B)7C)77I ~ Z I I ~ A(7777(B)7(B)7C)77(77(B)7(B)7C)77 (7 (B)7(B)7C)77(7(B)7C)2 3 2~6

3 4 3~8 77(7C)77(C)7777 (B)7(B)7C4 5 4-7 ( I ) S„ 7 7 (77 (7C)77 (C)7777 (C)7 (C)7C)77 (77 (C)7777 (C)7(C)7C)775 ~76 5~6 (7777(C)7 (C) 7C) 77 (77 (C) 7 (C)7C) 77 (7 (C)7 (C) 7C)77 (7 (C)7C)6~7(I) 6~7 77(7C)77(C)7777 (C)7 (C)7C7 7 7 7 stazionaria.8~7(A) produzioni 8 ~ 7(A )

A~B inutilizzabili A ~ BB~C a partire B ~ C Questo processo ricorrente manifesta una notevole ripetitività morfologica.C~C da I C~C La sua formula di ricorrenza è S„=77 (S„«)S„ , . Sottolineiamo inoltre che,(-( (-( al momento del cambiamento di tavola, il passaggio dalle istruzioni 5~76 e) ) )-) 6~7( I ) alle istruzioni 5~6 e 6~7 induce l'esistenza di zone costituite da tre

Tavole di grafi rispettivamente GI, e GII (fig. 25). La derivazione in G a partire «cellule» consecutive prive di ramificazioni. Queste zone di transizione sonodall'assioma I, applicando prima la tavola V e poi la tavola R dà luogo per ben conosciute dai botanici.

esempio alla seguente serie di sequenze (dove la freccia indica il cambiamento La sequenza S,g è rappresentata nella figura 26.

di tavola): Non daremo qui esempi conseguenti relativi all 'applicazione degli I L­sistemi. Questi sono difatti troppo complicati. Ci l imiteremo, per portare a

S, I compimento, seppur parzialmente, il nostro discorso, a segnalare che gli IL­

S, ZI sistemi permettono di r isolvere il Fi r ing Squad Problem (problema fonda­mentale, lo rammentiamo, di sincronizzazione ) per una rete lineare in sviluppo.Sg 32I Il lettore ne troverà una esposizione nell'opera di Herman e Rozenberg [ I975]

S4 432I già piu volte citata. Nella stessa opera si può trovare la soluzione di un altroSg 5432I problema fondamentale detto del French Flag, problema che riflette un feno­

Sg 765432Imeno biologico generale. «In parole povere il problema è creare un mec­canismo per cui un filamento di cellule inizialmente identiche si trasformi in

S~ 77( I)765432I una "bandiera francese" (un terzo rosso, un terzo bianco, un terzo blu ) e ri­Sg 77(2I)77( I )765432I stabilisca questo modello malgrado forti interferenze esterne, quali, ad esem­

Sg 77 (32I )77 (ZI )77 (I )765432I pio, la rottura del filamento in due o piu parti» [Herman e Rozenberg I975,p. 3 I3 ; cfr. anche Herman e Liu I973, Herman e altri I974, Wolpert I968 ].

SIp 77(432I)77(32I)77(Z I )77(I)765432I La programmazione di questi due processi, descritti con IL-sistemi, è stata si­Sn 77(5432I )77 (432I )77 (32I )77 (2I )77 (I )765432 I mulata sul calcolatore utilizzando un programma Fortran (Formula Transla­

Centrato/acentrato 940 94r Centrato/acentrato

i k

B

Figura z7.

Grafo di produzioni generanti la sequenza della figura z8.

l'er meglio esprimere queste produzioni e le proprietà di ricorrenza osservate,Lindenmayer introdusse l'OL-sistema G= (Z, P, co) in cui

Z = [a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m)ro = a

Figura z6. P = (a~bLc, b~aRi, c~d, d~eRg,Arborescenza prodotta dal TOL-sistema della figura zg. e~f,f~hLh, g~g, h~m,i~j ,

j ~ kLg, k ~ lRI, l ~j, m ~ f Rg)tion) detto Celia, iniziali di Cellular Linear Iterative Array. Il programma insieme completo di produzioni il grafo delle quali è quello della figura z7.Celia ha già permesso di simulare altri processi e di verificare determinate ipo­ Questi dati sono «geometrici » nella misura in cui si consideri che le lettere ditesi; per esempio l'attività ghiandolare che dà luogo ai patterns della pig­ Z rappresentino dei rettangoli e che le produzioni x~yLz (risp. x~yRz) rap­mentazione nelle conchiglie e nei serpenti [Baker e Herman r97z; Herman presentino le divisionie Liu r973], sviluppo delle alghe e formazione di eterociti, regolazione e rige­nerazione dell'Idra.

Per concludere, indicheremo come la teoria degli L-sistemi possa in certi (risp.casi estendersi allo studio di strutture multidimensionali.

Un esempio semplice, dovuto a Lindenmayer, riprende una descrizione pio­nieristica, quella ad opera di Nageli nel r845, relativa allo sviluppo delle foglie La derivazione in G a partire dall'assioma a dà la serie della figura z8, seriedi Phuscum cuspidatum. Nageli distinse tre tipi di cellule: I ) la cellula pri­ che soddisfa alle formule di r icorrenza:maria alla sommità della foglia; II ) le cellule secondarie o marginali; I I I ) lecellule terziarie o interne. Egli aveva poi individuato inoltre le produzioni se­guenti :

I ~ I + I II I~ I I + I III~ II+III

I II ~ II I

Centrato/acentrato 94z 943 Centrato/acentrato

Per programmare tale scelta ci si darà quello che si chiama un linguaggio diM„ s controllo C, cioè un linguaggio sull'alfabeto degli U;, D;, Lk, R,. Il l i nguag­

gio generato dal sistema sarà allora per definizione l'insieme delle configurazioniM,, derivabili dell'assioma, attraverso l'applicazione di una sequenza di tavole ap­

G,, partenenti al linguaggio di controllo C. Nel caso trattato dai Siromoney, l'al­fabeto Z è un alfabeto a due simboli, Z = ( •, X) dove • è lo stato non-segnato

b

a ~ ~ i ~ e j

bC

e j

hG„ Gn-i

dove A =ga» M =+m j =+j e G

bc

e jL'esempio precedente è solo apparentemente bidimensionale, ed è perquesto che si forniranno adesso alcuni esempi realmente bidimensionali [cfr. l

hSiromoney r974]. In questi modelli le cellule sono le caselle di una scacchiera d l

ékquadrata (automi cellulari di dimensione z) e le sequenze sono sostituite daconfigurazioni che supporremo rettangolari. Questa ipotesi permette di parlare é jsenza ambiguità dei loro bordi, superiore, inferiore, sinistro e destro. Si con­ hsideri un alfabeto Z ed un assioma o configurazione iniziale to. Quanto alle I J ~ f éproduzioni, esse devono essere subito distinte in quattro tipi r ispettivamente lsuperiore, inferiore, sinistro e destro (notati U, D, L e R). Una produzione I

di un dato tipo non può essere applicata che ad un bordo dello stesso tipo di t

configurazione. Ma affinché una configurazione rimanga rettangolare al mo­mento del suo sviluppo è necessario che le produzioni applicate alle celluledi uno dei suoi bordi ad un dato stadio risultino tutte della stessa lunghezza. Siraggrupperanno quindi le produzioni in tavole che soddisfino a questa condi­zione. Noteremo queste tavole U,~ • > U~ Di > • • D~~ Li> Lp R i > > R q

relativamente al loro tipo. Ma in un simile sistema è necessario scegliere ad Figura zg.

ogni stadio il bordo che si sottopone alla derivazione. Sequenza prodotta dall'OL-sistema della figura zq.

Centrato/acentrato 944 945 Centrato/ac entrato

e X lo stato segnato. Questi casi forniscono l'analisi di forme generabili attra­ X X Xverso processi paralleli. o) = X • X

Il primo esempio è quello dei quadrati nei quali le cellule marginali sono • • Xnello stato segnato e le cellule interne nello stato non-segnato. Questo insieme

g simbolo dell'ambientecostituisce il linguaggio di un OL-sistema in cui il controllo è un linguaggioregolare. J = (R„Rs, L ,, L„U „ U „ D„ D, }, dove

R, = (X~X. } > R, = ( • X} , L , = (X~ X, • ~ • • }) Ls = ( • ~X.},

J = (R„Rs, U„ U „ L , D }, dove U, = gX t g . , • t, X X t • X, X X X t X X ,X X t X •, . Xgt g

R, = ) • " ) , U , =( t ),R, = ) Xj, U, =(.>,Xt ),• 1 X X > U, = Xt

c =t • X , X XX ), D (.L=S,Xi~)X'j D, = )xe , x..gx • , • • • ) • • ,• .xg • x, x.x[x x (,X

XX X X 1

C = ((R,U,)"R,U,LD ~ n) o }.C = t)(R,R,L)L U,U,D,D,)" ~ n > x } regolare.

a) n = o:

R, U, X X L XX X D X X XPer n=x si ott iene per esempio la derivazione seguente:

• X X • XX X X

XX X R X X X R XX X • X L • X XX X L2X • X X • X • ~X • X • X~ • X • X • X ~

b) n = x :• • X • • X • • • X • X • • • X • X

X X X X X X X X X X XR, U, R, . X U X X X L XX X X D

• ~ • • ~ X X X I,,X • XX X • X U X X X X U• • ~X • X • X • X X • XX X • X

X X X X X • • • X • X X • X • X • XX • • • X • X

ecc.Il secondo esempio è quello dei quadrati ove ogni cellula è nello stato se­ X X X X X XX X X X X X X

gnato. X • • • •

• • • • •

Dx X X X X • X D ~• X XX • X• X • X • X

J = (R, D} doveX • X • X • X

X • • • X • XX • • • X • X

R = )x x x ) , D=(x@j XX X X • XXX X X X • X

• • • • •

C = ( (RD)" ( n) x}. Questi esempi, che rimangono molto limitati nella misura in cui le tavoleXX sono costruite ad hoc in funzione di un r isultato scontato, hanno nondimeno

Ma se si parte dall'assioma to =XX e se ci si limita al controllo C= Xt(RD)s" ~ il vantaggio di proporre dei casi semplici di applicazione della nozione impor­n) x } che è context sensitive, si genera in questo modo l'insieme dei quadrati tante di linguaggio di controllo.di lato z'. Ma la vera generalizzazione degli L-sistemi è quella, si può dire, dei GL­

Si può mettere in evidenza che questo linguaggio non è generabile con un sistemi, nei quali l ' infrastruttura geometrica non è piu una catena lineare, nélinguaggio di controllo contextfree. tantomeno una scacchiera, ma un grafo astratto qualunque. Questi GL-sistemi

Il terzo esempio è quello di una estensione bidimensionale di IL-sistemi sono dunque delle reti di automi in sviluppo. Ad ogni tappa del processo, ogniche permettano di generare delle spirali quadrate. G= (Z, J, g, a>, C) vertice darà origine, seguendo le regole di transizione, a un grafo, questi grafi

Centrato/acentrato 946 Centrato /ac entrato947

connettendosi fra loro in modo compatibile alla struttura globale della rete con un simbolo t (target 'bersaglio'). Questi contrassegni bipartiscono l'in­nella tappa precedente. Risultati in questo senso sono stati ottenuti da Linden­ sieme dei vertici di y e permettono di definire il grafo sorgente y, ed il grafomayer e Culik [r974]. Essi considerano grafi etichettati, orientati, semplici e bersaglio Y, (fig. z9). I dat i r iguardanti un certo numero di stencil fannosenza cicli chiusi. L'etichetta di un vertice controlla il sottografo prodotto' da parte dell'insieme dei dati relativi al sistema. Essi permettono di risolvere laquel vertice. Le etichette degli spigoli controllano le connessioni tra questi questione della connessione tra ct e [i attraverso le regole seguenti:sottografi. Queste ultime intervengono nei sistemi in cui le cellule sono mu­nite di meccanismi che permettono loro di distinguere fra diversi tipi di interni. S,) Il grafo sorgente y, di y deve essere un sottografo di ot ed il grafo

Sia dunque G = (X, ll ) un grafo, Z l'alfabeto delle etichette dei vertici e 5 bersaglio y, un sottografo di P.quello relativo agli spigoli. Si ha una partizione X = p X d e l l ' insieme X

ae Z

dei vertici ed una partizione 1l = g Us dell'insieme% degli spigoli. Sia datoòcA

in piu un vertice g per rappresentare l'ambiente. Gli spigoli di G connessi a gverranno detti esterni, gli altri interni. Chiamiamo g-grafo un grafo di questo

genere. Essendo dato un g-grafo e a ~b un o d i q uesti spigoli interni, a e bsono in grado di generare nella tappa successiva due g-grafi x e P nei qualila connessione deve essere programmata. Come viene operata una tale pro­grammazione? Essa poggia sulla nozione di stencil definita da Lindenmayer eCulik. Uno stencil Y è semplicemente un g-grafo bipartito, vale a dire ung-grafo in cui ogni vertice è segnato con un simbolo s (source 'sorgente') o

g-grafo a g-grafo il

St g

Yt

Yg-grafo u~ P

Figura 29. Figura go.Uno sterrcil Y e i suoi grafi sorgente e bersaglio Y,, e ;.',. Connessione dei g-grafi tc e p attraverso lo stencil Y della figura zg.

Centrato/acentrato 949 Centrato/ac entrato

S,) Per ogni spigolo di y, a,'~b,', contrassegnato 8 si deve avere t) uno il suo impatto nella critica contemporanea della ragione del centro, del potere.spigolo esterno a„'~g d i u . contrassegnato 8 che vada dal vertice a„' Come ogni produzione discorsiva, la critica contemporanea del potere de­

corrispondente ad a' in u al vertice dell'ambiente g; tr) uno spigolo nunzia un certo numero di metafore, mentre al tempo stesso ne attualizza e ne

esterno g~ b> di P contrassegnato 8 che vada da g al vertice b> corri­ ordisce delle altre. Ciò per delle ragioni strutturali che sarebbe fuor di luogo

spondente a b' in P. affrontare qui. Ora, l'analisi piu superficiale di questa trama vi discerne dueisotopie principali, che vi sono intrecciate al punto di divenire indiscernibili.

In queste ipotesi, si connettono allora c«e P aggiungendo le connessioni Da una parte un'isotopia acentrista: reti, delocalizzazioni, decentramento, dis­a'~ g ~ b> , vale a dire gli spigoli di y. Indichiamo con u, ~P il risultato della seminazione, dispersione, ecc. Dall'altra un'isotopia fondata sul singolo even­connessione. Ogni volta che y è il grafo vuoto X, queste ipotesi S, ed S» sono to: discontinuità, rottura, frattura, taglio, faglia, deiscenza, sfaldatura, ecc.verificate automaticamente e z~ P non rappresenta che la somma disgiunta Di qui due questioni:di z e di P, disgiunzione che esprime l'interruzione della connessione iniziale r) quale è la validità operativa di questo duplice paradigma?a~ b (f ig. go). Si può allora definire naturalmente un GOL-sistema G come z) la complicità d'isotopie che lo congegnano è reale?costituito da:

Si tratterà qui essenzialmente della prima. Sono possibili due atteggiamenti :— due alfabeti Z e A ; si può considerare da una parte che il paradigma acentrista sviluppi come— un g-grafo non vuoto S su (Z, A): assioma; tale una nuova ideologia, prodotta dalla trasformazione infrastrutturale delle— un insieme finito completo di produzioni o ~x dove <zeZ ed x è un società «informatizzate»; dall'altra che palesando dei meccanismi immanenti,g-grafo su (Z, A) ; questo paradigma permetta di rompere con una razionalità alla quale aderisce— un insieme finito di regole di connessione 8~y dove 8ek e dove y è

ancora il concetto stesso d'infrastruttura.uno stenciL La risposta non è evidente, in quanto ciò che essa coinvolge è esattamenteIn modo parimenti naturale, si definisce, a partire dall'operazione @~ P, la lo statuto di obiettività delle strutture sociali.

derivazione in G. Il l inguaggio di G è l' insieme dei g-grafi derivabili in G dal­ Sebbene le strutture sociali pongano in ri lievo processi diversi di controllol'assioma S. e di regolazione che ne assicurano la riproduzione e la stabilità; sebbene que­

A partire da ciò è possibile riconsiderare tutta la teoria degli L-sistemi, sti processi regolino sistemi ipercomplessi di codici e di ideologie, di stratiesaminando le diverse capacità generative dei GL-sistemi. Questi sistemi sono infrastrutturali e di strati simbolici, di economie materiali e di economie pul­per costruzione adatti all'analisi delle proprietà combinatorie delle organizzazioni sionali, sebbene queste economie, questi strati, questi sistemi siano analizzabilimultidimensionali programmate e soggette ad una azione dell'ambiente. Ben­ a partire da principi e da metodi legittimi, non ne segue per questo con mi­ché essi non siano applicabili se non sotto ipotesi decisamente forti, tuttavia nore evidenza che la struttura non è qui (contrariamente ai sistemi informa­promuovono una trasformazione, che possiamo definire radicale, dello statuto tici e biologici ) un dato, ma uno schema, che si impone al sistema per assu­della modellazione. Sviluppando ampiamente un neomeccanicismo ed oppo­ merlo. L'analisi strutturale delle società capitaliste non è semplicemente unnendosi strenuamente al risorgere di diversi neovitalismi, essi portano ad un atto di descrizione e di modellizzazione, è anche un atto normativo avente perculmine la nozione di acentrismo e — mettendo in luce nei sistemi biologici fine di oggettivare l'imposizione di una'metafora. Imposizione teorica che vieneciò che è importante della teoria unificata delle reti e dei linguaggi — rendono a colmare il buco che produce in queste società ciò che Deleuze ha chiamatoautonomo quello che si può chiamare un livello sintattico delle organizzazioni la decodificazione assoluta, ossia il dileguarsi degli scambi simbolici.complesse, livello la cui pregnanza ed efficacia erano finora insospettate. Questo svuotamento sociale del simbolico (che ha come correlato quella

sua riconquista di territorio nella soggettività privata che è l ' inconscio freu­

5. Conclusione. diano) fa si che la struttura — come infrastruttura simbolica — non vi sia checome parvenza, come mimesi. Ma mimesi di nulla, mimesi, come dice Derrida,

E opportuno, per concludere, fare qualche osservazione sul modo in cui il senza imitazione, senza ripetizione, senza significato, mimesi che è tuttavia laparadigma acentrista opera nel pensiero contemporaneo. sola oggettività della struttura. Proprio per questo si potrebbe dire che, per

Come si è visto, la nozione di acentrismo tenta d'indagare la situazione noi, la struttura è l ' i l lusione trascendentale del suo reale. Proprio per questo,seguente: in che modo elementi interconnessi, i quali tuttavia non possiedono inoltre, definire la struttura è anche produrla analogicamente nella discorsivitàdelle rappresentazioni globali delle loro connessioni, possono ciò nonostante che la circonda. Proprio per questo, infine, le metafore che ordiscono questaagire in accordo con questa struttura. discorsività non sono ideologiche: rappresentano l'allucinazione del reale come

La pregnanza immaginaria di questa situazione è evidente e spiega, in parte, traccia del simbolico.

Centrato/acentrato 95o 95i Centrato/a centratoIn breve, nel concetto di struttura sociale applicato alle economie capitali­ permette di supporre,.a cose fatte, che nel momento in cui, al livello del dire,

stiche contemporanee, il termine 'struttura' entra in gioco al tempo stesso co­ l 'immaginario al potere era quello dell'arborescenza gerarchica, non era lome causa e come presupposto. Il suo modo di apprendimento è di conseguenza stesso al livello del fare poiché l'esercizio reale del potere era in effetti ga­necessariamente quello di una realizzazione nel duplice senso di una presa di rantito da un'istanza completamente diversa, questa volta disseminata, retico­coscienza e di una messa in atto : presa di coscienza di un eterogeneo sempre lata. Tale è in parte la tesi di Foucault in Surneiller et punir [i 975]. L'immanenzagià opaco ma creduto infine reso alla propria efficacia; messa in atto di un propria delle società disciplinari (quelle della castrazione penale) disseminaesercizio pratico-teorico che è anche una determinazione politica. Si potrebbe ovunque le relazioni del potere. Esse le fanno giocare «non al di sopra, ma nelsenz'altro dire che il concetto di struttura sociale ha per noi lo statuto di un tessuto stesso della molteplicità» [Deleuze i975]. Si interpreta dunque il realeperformativo(come la coscienza per Descartes). immanente delle società disciplinari come mimesi (diagramma) del paradigma

Di qui i l paralogismo di una causa che non sarebbe solamente formale. della rete, supposto qui causa.Poiché piu questa causa si manifesta come causa, piu essa si manifesta anche, L'ambiguità di questo metodo consiste nel fatto che in un secondo tempoed in ultima istanza, come presupposto, come «internalizzazione» operata dal diviene necessario criticare tale paradigma come tale, come prodotto eventua­sistema di una metafora assiomatica. E dunque a causa di una illusione struttu­ le dei rovesciamenti infrastrutturali e tecnologici del capitalismo contempo­ralmente necessaria che la struttura assicura la sua oggettività. La sua evidenza raneo.non proviene dal suo essere. Essa dipende da una istanza estrinseca specifica, Diviene di conseguenza indecidibile sapere se si tratta di una proiezioneche è quella del potere. retrospettiva sul fatto storico delle società borghesi del paradigma acentrista,

Ciò che è certo è che il potere produce: produce del reale, lo produce rea­ supposto contro il loro proprio dire e contro il loro proprio fare, o se viceversa silizzandone l'evidenza, E non solo come ideologia. tratta del palesarsi di un acentrismo realmente causa, sempre contro il loro pro­

Ciò che occorre comprendere, è che uno dei tratti piu specifici della sensi­ prio dire, ma non piu contro il loro proprio fare. Questo indecidibile si esprimebilità teorica contemporanea è che l'istanza stessa del potere come produttore dicendo che «un diagramma non funziona mai per rappresentare un mondo obiet­del reale non è piu da pensare, ma da interpretare, come un sintomo. E pro­ tivo; al contrario esso organizza un nuovo tipo di realtà. Il diagramma non èprio in quanto si considera teoricamente il potere come qualcosa da interpreta­ una scienza, è sempre una questione di politica. Non è un soggetto della sto­re, si può sostenere la tesi che esso è produttore del reale, disseminando in ria, né si erge al di sopra della storia. Esso fa storia».diagramma immanente il significante formale la cui struttura è metafora. L'indecidibile è l'effetto di ciò che il potere è giunto ad interpretare per noi,

Si può in un primo tempo utilizzare per fini critici — anche se in modo non è un segno del fatto che la sua idea ormai non nasconde piu i l suo funzio­critico — il paradigma della rete, opponendolo a quello dell'albero. Quest'ulti­ namento. Se il potere è fallito (l'interpretazione supplisce a questo fallimento )mo, oggettivandosi per differenza come gerarchico, può essere pensato come è perché l'idea del potere non corrisponde piu a dei poteri empirici che essamatrice immaginaria e simbolica della ragione teoretico-politica occidentale. rappresenterebbe, è perché essa viene meno ai suoi compiti. Proprio per que­Si vede perché: l'albero è la derivazione dicotomica, la canonizzazione di «di sto si richiede ora un'interpretazione. Proprio questa è la cosiddetta crisi del­due cose l'una», il metodo stesso. Come ironizzano Deleuze e Guattari [i976, l'autorità. Crisi che trova la sua articolazione nella sparizione degli scambitrad. it. p. 5o ], «è strano come l'albero abbia dominato la realtà occidentale simbolici, cioè nell'azione di decodificazione e nel passaggio ad un regimee tutto il pensiero occidentale, dalla botanica alla biologia, l'anatomia ma an­ astratto delle economie occidentali.che la gnoseologia, la teologia, l'ontologia, tutta la filosofia...: il fondamento­ Questa problematica non è priva d'incidenza strategica poiché, come la rias­radice, Grund, roots efoundations». Grafo migratore e schema invariante, spa­ sume Deleuze [ i975], la microfisica foucaultiana ha come correlato una ri­zio preliminare alla vita e nervatura delle tassonomie, esaustività enciclopedica messa in causa delle tesi centrali del marxismo:e soprattutto mancanza di mancanza, la figura dell'albero — genealogico, topo­logico, logico — occuperebbe dunque lo spazio imperialista del fallogocentrismo. i ) tesi della proprietà: i l potere sarebbe la proprietà di una classe che

La disposizione dell'opposizione dei paradigmi centrato /acentrato su al­ l'avrebbe conquistato ;bero/rete permette allora di raddoppiare cosi — ossia di «specializzare» — la z) tesi della localizzazione: il potere sarebbe potere di Stato;topica del reale, del simbolico e dell'immaginario: 3) tesi della subordinazione : il potere incarnato nell'apparato dello Stato

sarebbe subordinato ad un modo di produzione come ad una infra­

albero rete struttura;4) tesi del modo d'azione: il potere agirebbe per mezzo della repressione o

simbolico, reale della ideologia ;immaginario 5) tesi della legalità: il potere dello Stato si esprimerebbe nella legge.

Centrato/acentrato 95z 953 Centrato/a centrato

A ciò Foucault risponde rispettivamente: Herman, G. T ,1973 A bzologzcally motzvated extensron of A lgol lzhe languages rn «In formatron and Con

I ) il potere è meno una proprietà che non una strategia; trol », XXH, pp, 487-5oz,

z) la localizzazione non è che la risultante di una tecnologia del potere, Herman, G. T. , e Lru, W. H.

della sua microfisica; 1973 The daughter of Celia, the French flag andfiring squad, in «Simulation», XXI p p. 33-4.1.l

3) il potere è strettamente immanente, è uno spazio seriale; Herman, G. T. , e Rozenberg, G.

4) il potere non agisce per repressione o ideologia, esso produce del reale, 1975 Developmental Systems and Languages, North-Ho l land, New Yo rk.

quello della normalizzazione ; Herman, G. T. ; L iu , W. H . ; Rowland, S.; e Walker, A.

5) la legge non è in effetti che una gestione ben temperata delle diverse 1974 Synchronization of groreing cellular arrays, in « Information and Control », XXV, pp.

illegalità, il potere dello Stato non si esprime in essa.1 03-2 1 .

Lindenmayer, A.

In breve, ciò cui pone termine Surveiller et punir è una complicità (anche 1974 L-Systemsin their biological context, in Proceedings of the z974 Conference on Biologically

marxista) attorno allo Stato, e questa rottura non può effettuarsi che medianteMotivated Automata, IEEE, McLean Va.

l'equivoco significante del paradigma acentrista, il quale permette di scrivereL indenmayer, A., e Culik H, K .

1974 Parallel retori ting on graphs and multidimensional development, University of Water!oo,e qualificare l'immanenza del diagramma. Si è detto «equivoco significante»: aterloo O n t a r io .

i l fatto è che in effetti la figura stessa della disseminazione è un effetto di su­ Miller, J. A,

perficie dell'informatizzazione delle infrastrutture. Si può dunque fare l'ipotesi 1975 La machine panoptique de geremy Bentham, in «Ornicar» n. 3 pp

che la critica foucaultiana del marxismo non faccia altro che interpretare il Minsky, M. L . , e Papert, S,

potere storico borghese allucinando il suo reale a partire da una figura del 1 969 Pe r ceptrons An l n t r o ductron to Computatzonal Geometry, Mrt P resa, Cambndge Mass

capitalismo astratto contemporaneo, figura de-localizzata della sua causa reale Moore, F. R.

per mimare e/o realizzare la causa supposta della struttura che la precede. 1964 The Fir ing Squad Synchronization problem, in E. F. Mo ore (a cura di), SequentialMachines. Selected Papers, Addison-Wesley, Reading Mass.

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La teoria delle organizzazioni acentrate rientra in parte nell'ambito di quelle atti­vità di calcolo e tecnologiche che costituiscono le simulazioni dei sistemi complessi(cfr. simulazione, sistema). Tuttavia, l'esplicitazione delle proprietà dei sistemi acen­trati, oltre ad avere un intr inseco valore modellizzatore (cfr. modello) fornisce anchela possibilità di affrontare in modo nuovo i problemi della struttura sociale, formaliz­zando rapporti e comportamenti, certo ridotti al l ivello individuale. Restando in campiin cui l'applicazione del paradigma acentrista rischia meno di essere controversa, si puòvedere, trattando delle reti di automi (cfr. rete, automa, grafo), come sia possibile lo­calizzare (cfr. locale/globale) sia l'intelligenza delle componenti di un sistema, sia l'in­formazione di cui esse dispongono, il che consente di affrontare in modo nuovo proble­mi classici (cfr. combinatoria, labirinto).

436

luogo restano tut­ Combinatoriacontemperare lestinazione del

ino a tempi".lima, la

cono a Introduzione.'ro il

i.i . Un tentativo di definizione.

Il talento combinatorio si manifesta quando si tenta di combinare in tutti imodi possibili degli elementi semplici dati in numero finito secondo una regoladi combinazione. Cosi il giocatore di bridge che immagina tutte le distribuzionipossibili delle carte degli avversari compatibili con le dichiarazioni fatte; il chi­mico che esamina tutte le combinazioni di atomi di carbonio, d'idrogeno e di ossi­geno conformi alle leggi della valenza ; il legislatore che elabora una legge eletto­rale che permetta di fare lo spoglio non solo della prossima consultazione elet­torale, ma di tutti gli scrutini analoghi ; l'informatico che deve trasferire un pac­chetto di informazioni da certe memorie ad altre senza distruggere questa oquella informazione (egli sceglie tra i cammini possibili uno di quelli che megliogarantiscono il trasferimento delle informazioni da proteggere) ; il capo cantiereche organizza l'attività delle maestranze (egli immagina i calendari di lavoro cherispettano l'ordine della costruzione ed i vincoli di carico e di ingombro del can­tiere) sono altrettante manifestazioni del talento combinatorio. Ma la combina­toria propriamente detta.,comincia allorché il talento combinatorio mette inopera (piu o meno completamente) i principi che seguono.

Il primo principio consiste nell'enumerare ; stabilire una lista esaustiva e sen­za ripetizioni della famiglia combinatoria considerata: oggetti definiti medianteelementi semplici ed una regola di combinazione (problemi dell'ordine di nu­merazione, del costo per il conseguimento del prossimo oggetto della lista te­nuto conto del fatto che i precedenti sono acquistati, della codificazione econo­mica degli oggetti, ecc.). Un caso particolarmente intricato è quello ben notodel catalogo dei nodi topologicamente distinti, che non si sa stabilire sistemati­camente a partire da una certa complessità.

Il secondo principio consiste nel computare : trovare l'effettivo di una fami­glia combinatoria (o si suppone fatto l'inventario raccomandato dal primo prin­cipio e si contrassegna con dei numeri, o si stabilisce per ricorrenza una formuladi effettivo, che sia funzione del numero di elementi semplici, o ancora si co­struisce una funzione generatrice che assuma in un punto il valore dell'effettivocercato). Coloro che si dilettano di giochi informativi (come il master rnind) po­tranno constatare eseguendo essi stessi il calcolo la difficoltà d'introdurre unpo' di metodo nel computo delle sistemazioni distinte di p palle identiche ri­partite in modo dato tra q colori in r scatole identiche ripartite in modo datotra s colori (per esempio: gettare due palle rosse e tre blu in una scatola bianca,due scatole gialle e tre scatole verdi ; risposta : x 36).

Il terzo principio consiste nell'organizzare: valorizzare le relazioni naturaliinterne alla famiglia combinatoria considerata (si definisce un intorno, o una

Combinatoria 439 Combinatoria

relazione d'ordine tra gli oggetti, o ancora una trasformazione che a partire da sorge dal disaccordo fondamentale degli attori: nel caso della strategia del ter­un oggetto ne generi altri ). L'esempio delle grammatiche generative è appunto rore reciproco, sviluppata negli anni '6o negli Usa, una scomposizione dell'azionequello di una organizzazione data di primo acchito per un lessico combinatorio in elementi semplici ha preso il nome di «risposta Hessibile» : gli strateghi ame­artificiale. ricani tentano di definire le tappe di una escalation in base alla quale sarebbe pos­

Infine il quarto principio consiste nello studiare la dualità della regola e della sibile applicare la combinatoria della teoria dei giochi all'affrontamento delle duecombinazione: considerare alternativamente le combinazioni conformi ad una potenze nucleari. La scelta delle tappe non va da sé : perché gli avversari dovreb­regola data e le regole che formano una combinazione data (cambiare la regola bero intendersi sugli elementi semplici preliminari? Gli strateghi sovietici par­— un po' s'intende — non è il modo migliore per sentire come essa operi> A con­ lano da parte loro di «ritorsione massiccia» (una sola tappa, una sola risposta piudizione di saper definire il «piccolo cambiamento» nella regola). Nella organiz­ o meno probabile, piu o meno istantanea!) Come si vede, la combinatoria razio­zazione dei compiti, per esempio, si cerca di restringere progressivamente i vin­ nale del gioco del terrore delle due superpotenze è compromessa sin dall'inizio,coli di anteriorità e di carico senza rendere impossibile un calendario di lavoro per mancanza di combinazioni comuni. La lezione di questo scacco è infatti dipossibile scelto in un primo calcolo. portata molto generale: non tutti i campi delle scienze umane sono suscettibili

La combinatoria, in mancanza d'assiomi e di fondamenti teorici, non è su­ di una discretizzazione operatoria.scettibile di definizione; tuttavia i quattro principi enunciati le conferiscono un Viceversa, un campo ideale per l'osservazione combinatoria è quello delleobiettivo ambizioso di sapere generale, che la differenzia definitivarnente da una lingue naturali. Si può citare, come buon esempio di osservazione statistica, quel­raccolta d'indovinelli. lo degli hapax, da cui si ricava una legge empirica sorprendente, senza teoria

esplicativa. Alcuni eruditi hanno richiamato l'attenzione sulla grande quantità

r.z, Combinatoria e prassi. di parole che compaiono una sola volta, o hapax, nell'opera di Omero e di Dante.È legittimo chiedersi se la proporzione degli hapax nel vocabolario aumenti o di­

Per quanto generale sia il metodo dell'ars combinatoria moderna, esso non minuisca con la lunghezza del testo. Di fatto, essa rimane stabile, e spesso vicinaavrebbe riportato tanti successi nel corso degli ultimi duecento anni se avesse alla metà del vocabolario utilizzato nell'opera. Al punto in cui si è con lo spo­girato a vuoto, se le sue finalità non fossero state buone. Gli antichi avrebbero glio automatico dei testi (per esempio : il Trésor de la languefranfaise, Nancy),potuto scrivere una buona parte della combinatoria degli anni 'po, ma erano privi si può affermare: per quanto lungo sia il testo, esso non esaurisce il vocabo­di problemi pratici e profondi, costituenti una posta immediata per gli uomini (il lario.problema di Pascal e del cavalier di Méré è un'eccezione). Di qui i l loro scivo­ Negli anni 'zo apparvero grandi problemi combinatori con la pianificazionelare verso temi assoluti ed incontrollabili, come la ricerca di Mersenne di tutte le degli esperimenti in biologia e agronomia. Si trattava di effettuare test tra piu se­combinazioni possibili delle note musicali e quella di Leibniz dell'alfabeto dei menti in terreni e condizioni diversi. E poiché il numero di situazioni possibili èpensieri umani: come se la combinatoria contenesse, in qualche teorema, il pas­ immenso, ci si propose di costruire un piano economico comprendente un pic­saggio dalla nota alla sinfonia, dai colori elementari ai quadri d'autore, dagli colo numero di test ben distribuiti : è lo sviluppo delle configurazioni equilibrateideogrammi ai saggi metafisici. Si tornerà su questo scivolamento che fonda una (Fisher e Yates). I metodi adottati trovarono in seguito applicazione nella co­speranza di natura semantica su una combinatoria dei segni. Esso costituisce un struzione dei codici, altri gioielli della combinatoria (la guerra del r9rg non fupericolo parascientifico sempre ricorrente, e che si denunzia qui come illusione anche una guerra di codici, vinta dai crittografi francesi?)combinatoria. (Il metodo strutturalista di Lévi-Strauss è completamente oppo­ Negli anni '4o e '5o le esigenze pratiche hanno molto stimolato la ricercasto : a partire da dati antropologici minuziosamente raccolti si sviluppa una logica combinatoria. L'analisi operazionale delle grandi imprese, il rifornimento delledel sensibile che autorizza entro certi limiti di interpretazione delle esplorazioni basi militari, la gestione delle scorte, l'organizzazione del trasporto delle merci,combinatorie). la gestione economica delle riserve energetiche pongono nuove questioni mate­

Oggi la combinatoria è sempre piu presente nel linguaggio corrente, dal mo­ matiche. Si avevano le lezioni di Monge alla Ecole du Génie su «sterri e terra­mento che contribuisce tanto alla comprensione del reale (il codice genetico, i pieni », ma in termini geometrici troppo lontani dai calcoli reali. Ora i calcoli di­sondaggi d'opinione), quanto alla costruzione di opere (le reti di comunicazione, vengono imperativi nel nuovo contesto economico. Si rilancia lo studio dei polie­le banche di dati ). dri, si elabora la teoria della programmazione economica in numeri interi, e la

I problemi combinatori nascono là dove si definiscono convenientemente de­ teoria dei grafi, nata nel r736 con Eulero e un po' trascurata dopo Konig (I936),gli elementi semplici in numero finito. Non ci sono difficoltà con gli atomi che si riprende slancio.concatenano in molecole e le molecole che costituiscono un gas, né con i vagoni Negli anni '6o e 'qo è la gestione delle informazioni — o informatica — che co­che formano un treno nelle stazioni di smistamento. stituisce il campo della combinatoria. Si organizzano i dati, si immagazzinano

Al contrario nelle applicazioni della teoria dei giochi strategici la difFicoltà e trasportano, si decompone ogni calcolo in passi elementari che si ordinano nel

Combinatoria 440 44I Combinatoria

calcolatore. Per assegnare dei comandi agli automi si creano linguaggi artificiali, zioni del piano e la combinatoria dei poliedri regolari di Eulero, Poinsot, Cauchy

che suggeriscono una sempre piu grande varietà di modi per realizzare uno stesso e Coxeter. Xénakis, per scrivere la sua musica, utilizza la combinatoria dei giochi

calcolo. Si ottimizzano il tempo di calcolo, lo sforzo umano, i rischi di errori, le di Neumann e i processi aleatori di Poisson. Queneau scortica combinatoria­

condizioni di controllo. mente i testi per rivelarne un nuovo sapore, racconta nella lingua delle macchi­

Gli anni '8o saranno probabilmente per la combinatoria quelli della gestione ne, dispiega un «meccano» del «francese matriciale», e fonda su dieci sonetti

delle collettività, cioè dell'analisi operazionale del funzionamento di un gran regolari l'immenso edificio di «centomila miliardi di poemi ». Perec, privandosi

numero di unità cooperative gelose della loro libertà di iniziativa, ove la coerenza della lettera «e» per tutto il romanzo intitolato La Disparition, impone alla lin­

d'insieme procede dalla aggregazione di tutte e non dal rapporto di ciascuna con gua francese una costrizione che scuote la linguistica. Poi costringendo la lingua

un centro. Le organizzazioni sociali, come gli organismi viventi, saranno piu al parossismo permuta poeticamente le sue Ulcérations in 399 modi di cui ecco i

preoccupate del consenso delle loro parti che dell'assoggettamento di queste ad primi diciannove :

una regola comune prestabilita. Si parlerà meno dell'adattamento di un organismo 000 U L CERATIONS Ulcérationsall'ambiente e piu dell'evoluzione dell'organismo per mantenere l'armonia delle

00 I C (EURALINSTsue parti. In questo contesto emergeranno nuove questioni sulla combinazione 002 I N CTSAOULRE Cceur à l'instinct saou]delle inf!uenze locali dei molteplici agenti di decisione, sul gioco combinatorio 003 cLUsATRQNEI reclus à trone inutiledegli scambi fino allo stadio di una coscienza collettiva. La combinatoria sarà 004 NUTILEcoRsA Corsaire coulant secourantsempre in primo piano tra gli sforzi per razionalizzare. Anche per analizzare le 005 IRECOULANTS l'isolé,crisi, le esplosioni, le fusioni, o altre «catastrofi » (nel senso matematico di Thom ), 006 ECOURANTLIS tu crains la course intruse?la combinatoria tenterà di trovare le configurazioni critiche di un sistema sociale 007 OLETUCRAINSacentrato. Nello stesso tempo si svilupperà con lo stesso spirito l 'analisi dei 008 LACOURSEINT Calotin nul, ta sorcièredati qualitativi, poiché si tratterà non piu di ridurre delle osservazioni a criteri 009 RUSECALOTIN t'inocula son lucre si taciteeconomici centrali, ma di conciliare o aggregare qualità molteplici, come già OI O NULTASORCIE (l'ours naturel, Cain solaire,preconizzava Condorcet nei suoi lavori matematici sulla democrazia. Lo scopo O I I RE TINOCULAS scout nanti, ruse collante,sarà quello di liberare una corrente latente progressiva, o di elaborare un'armo­ OI 2 ONLUCRESITA sourcier, cousin...)nizzazione delle azioni individuali. O I 3 CITELOURSNA La trace luit.

Ma possono allora sorgere due antinomie di natura combinatoria. Prima an­ OI4 TURELcAINsotinomia: piu l 'elaborazione del consenso tiene conto delle opinioni e delle ini­ OI 5 LAIREscoUTNziative di ciascuno, piu lo sguardo individuale sull'insieme diviene combinatoria­ O I 6 ANTIRUsEcoLmente complesso. Ora, la libertà individuale è instabile se l'accesso individuale al­ O I 7 LANTESOURCIl'informazione è difficile e se la comprensione dei meccanismi del consenso e del O I 8 ERCOUSINLATruolo individuale non è immediata. Seconda antinomia : l'istinto ludico ha portato O I 9 RACELUITgli uomini a darsi un quadro di vita (la metropoli) e di attività (la multinazionale)di un certo livello di complessità; e la complessità combinatoria è suscettibiledi crescere su se stessa. Ora l'eccesso di complessità sommerge lo spirito umano Lo spazio, la musica, la lingua offrono delle occasioni privilegiate al quartoe soffoca il piacere. principio sul gioco dei vincoli: quando canta la dualità dell'oggetto e della re­

gola, sgorga allora l'emozione artistica!I.3. Arte e combinatoria.

C'è anche l'aspetto estetico della combinatoria. Il medioevo congiungeva in I.4. I l terreno della combinatoria astratta (o matematica).una stessa facoltà lo studio della musica e della matematica. Oggi l'arte e la com­binatoria realizzano una sintesi che noncomportaobblighi di fedeltà né in un sen­ Da un lato la spinta della pratica, dall'altro l'organizzazione della razionalità.

so né nell'altro. Degli artisti guardano alla scienza di cui hanno una conoscenza Cosi s'è costituita la combinatoria astratta, divenuta uno dei grandi capitoli della

profonda e particolareggiata. Per Le Corbusier il rapporto aureo e il Modulor matematica. Essa raccoglie i problemi matematici del finito, non classificati an­

non sono dei gadgets, ma dei concetti universali dello spirito umano che regolano cora in una teoria costituita. Non vi si troverà dunque lo studio dei gruppi finiti,

una combinatoria dello spazio abitativo. Vasarely con i suoi trompe-l'ceil dai vo­ che godono delle proprietà generali dei gruppi, né il calcolo delle trecce, ricon­

lumi oscillanti e Perry con gli inscatolamenti simmetrici, esauriscono le reticola­ ducibile a manipolazioni sui gruppi finiti. L'insieme dei sottoinsiemi di un insie­

CombinatoriaCombinatoria 44z 443

me era un tema combinatorio per Cardano, ma si sa oggi che esso è organizzato in binatorio. Per questo nel presente articolo si presentano dapprima sette esempireticolo, in gruppo ed in algebra di Boole. Per converso, si può chiamare sistema celebri, di facile lettura, per mostrare come si sviluppi e si approfondisca un pro­combinatorio una famiglia di sottoinsiemi tale che nessuno di essi sia contenuto blema combinatorio, generandone altri e richiedendo il ricorso a metodi diiFe­in un altro: il terzo principio, vale a dire l'organizzazione dei sistemi combina­ renti. Essi sono:tori, non propone delle strutture algebriche classiche che esaurirebbero l'argo­mento. z.i. I l catalogo della Biblioteca di Babele

La combinatoria è invero uno strano corpo di conoscenze, i cui soggetti ten­ (o l'illusione combinatoria dello scritto).

dono ad evolvere per separarsene. Cosi, nel xix secolo, la scuola tedesca intraprese z.z. I ponti di Konigsbergun'analisi combinatoria del simbolismo matematico, ed efFettuò un enorme lavoro (o il tema della ricerca e dell'esplorazione).di tabulazione, in seguito al quale Boole e la scuola inglese dominarono l'argomen­ z.3. La regola delle partito mediante la logica algebrica. Un altro esempio famoso è quello del calcolo delle (o i problemi combinatori di reticolazione).probabilità : la probabilità fu a lungo intesa come un rapporto d'un numero di casi z.4. Tutti gli alberi tra n puntifavorevoli rispetto ad un numero di casi possibili di una esperienza su elementi (o la codificazione delle configurazioni).semplici, fino alla assiomatica di Kolmogorov degli anni '3o, che costituisce una z.g. Sulla disposizione dei punti d'intersezione di una curva chiusa nel pianogrande semplificazione facendo della probabilità una misura di avvenimenti re­golata da assiomi. Divenne possibile dire che una opinione misura o,83 o r/ir

(o un problema di analysis situs).

senza che entrino in gioco elementi semplici equiprobabili né alcun concetto di z.6. Le configurazioni dell'amicizia

osservazione ripetuta. Il calcolo delle probabilità fu allora liberato dai suoi fon­ (o la ricerca della regolarità).

damenti combinatori. z.p. I matrimoni e le affinità elettiveMa un tema può abbandonare la combinatoria e generare nuovi temi combi­ (o una dualità combinatoria).

natori: la scuola ungherese ha sviluppato un approccio probabilistico delle com­binazioni o configurazioni ove ogni elemento semplice è estratto a sorte. Cosi un Di ciascuno dei sette esempi storici si tenta di mettere in evidenza la moder­grafo aleatorio tra n punti ha n(n — i)/z spigoli possibili ciascuno estratto a sorte nità. In seguito si sono recensiti i risultati ed i problemi aperti della combinatoria,con la probabilità p ; si può porre per esempio la questione della sua connessione, secondo sei metodi che tendono attualmente a unificare delle parti del corpus.in probabilità. Visto il movimento attuale dei temi trattati, questa seconda parte si presenta in

Lo studio dei reticoli (o grafi) è il punto di partenza di numerosi studi combi­ uno stile molto tecnico ; vi si propone in qualche modo un'istantanea del settorenatori alcuni dei quali si sono ricollegati alla teoria dei moduli. Uno dei problemi della matematica, la cui eiFervescenza ha generato una decina di riviste interna­combinatori sui grafi, celebre tra i matematici, è la congettura dei quattro colori : zionali di alto livello. Essi sono:esso fu posto nel r8gz nella classe di matematica del professor De Morgan alUniversity College di Londra. Come riferirà Hamilton, disorientato per la diffi­ 3.r. Statistiche sull'esponenziazione degli insiemi finiti

coltà, lo studente Guthrie propose di colorare una carta qualsiasi con quattro co­ (o una raccolta ragionata di formule di calcolo).

lori, in modo che due territori limitrofi fossero sempre di colore diiferente. La 3.2. Sul gruppo delle permutazionicongettura ha provocato numerose scoperte in teoria dei grafi, soprattutto sotto (o i fondamenti dell'ordinamento).l'influenza di Kernpe, poi in settori molto diversi della matematica. Ora, proprio 3.3. Famiglie di insiemi con vincoli di intersezionementre si redigeva il presente articolo, i combinatoristi informatici Appel, Haken (o nuovi sistemi combinatori).e Koch dell'Università dell'Ill inois hanno potuto proclamare « four colors suffice». 3.4. Le configurazioniPer la dimostrazione sono state necessarie i zoo ore di calcoli mediante elabora­ (o il tema centrale).tore. In un certo modo la combinatoria è venuta a capo del problema, se tuttavia 3.5. Complessità degli algoritmi combinatorilo spirito umano accetta come evidente un'asserzione separata dalle sue premesse (o rifiessioni sui calcoli possibili ed impossibili).da dieci miliardi di operazioni!

La combinatoria va considerata come un terreno fertile, dal quale nascono 3,6. Metodo di separazione e valutazione progressiva

problemi fondamentali, che vi permangono o emigrano se rivelano delle strutture (o un ripiego per i calcoli che occorre fare ad ogni costo).

generalizzabili. Per la combinatoria niente strutture specifiche, soltanto un luogo,una sorgente di problemi, e un modus vivendi.

Per riassumere, è audace intraprendere un'organizzazione del corpus com­

Combinatoria Combinatoria445

TEQREMA. Il catalogo della Biblioteca uni oersale è una copia integrale della Bi­z. Pr o b lemi secolari e sempre aperti.blioteca.

Si considerino, in effetti, un libro L e uno dei suoi spazi e. Il catalogo deve, perz.x. Il catalogo della Biblioteca di Babele.definizione distinguere L da tutti gli altri libri, in particolare da un libro che dif­ferisca da L solo per il contenuto dello spazio e. Ne consegue che il contenutoUn mito molto antico e ben presente delle società contemporanee permetterà

di denunziare subito le illusioni del buon senso combinatorio. dello spazio e in L deve figurare nel catalogo nel luogo della descrizione di L,dunque L deve figurare integralmente nel catalogo, e dunque tutta la Biblioteca.Si chiama Biblioteca universale la biblioteca che contiene un esemplare di

tutti i libri possibili, di formato comune, scritti con la serie completa dei caratteri c. V. D.In altri termini, nessuna organizzazione, nessun ordine lessicografico, nes­usuali. Si conviene, per esempio, che ci voglia un milione di spazi da riempire in

sun sistema di codificazione (la Biblioteca è il suo proprio codice) risparmierà almodo combinatorio per fare un «libro», indipendentemente dalla lingua e dalpovero bibliotecario, che cerca un libro particolare che sa riconoscere tra tutti,significato, con un centinaio di caratteri (comprendenti naturalmente anche lo

spazio bianco). senza peraltro saperlo compitare, un inventario, in media, della metà della Bi­blioteca! Questa situazione, di saper riconoscere ma di non saper descrivereLa Biblioteca contiene tutti i libri ; in particolare vi si trova il libro bianco e lacompletamente l'oggetto cercato, è usuale in un calcolo economico in cui unpresente enciclopedia divisa in libri secondo il formato di rigore ; ma questo non è 't '

ermette di decidere se un oggetto presentato è l'ottimo. Certo, se il bi­di alcun aiuto per il laborioso redattore che qui scrive, tanto piu che la Biblioteca cri erio pbliotecario sapesse leggere lettera per lettera il libro cercato, si trovere e ne a

contiene una tesi falsa secondo la quale tutte le congetture matematiche qui po­situazione banale di una consultazione di dizionario per la quale esiste una pro­ste sono false.cedura molto semplice (a patto che i libri siano ordinati secondo un ordine lessi­La Biblioteca è enorme, e tuttavia finita. Una delle prime affermazioni sullacografico) : il libro appartiene alla prima o alla seconda metà della Biblioteca, poisua dimensione è quella di Lasswitz [i9oz] il quale, in risposta a un problema a quale metà della metà considerata, ecc...?posto dallo psicologo Fechner, sostiene di non pretendere che sia possibile usare

Il numero delle operazioni è ridivenuto «umano», perché è dell'ordine del lo­la Biblioteca universale, ma soltanto dire esattamente quanti volumi sarebberogaritmo del numero dei libri, cioè dell'ordine dell'esponente del numero espo­necessari per una Biblioteca universale contenente tutta la possibile letteratura.nenziale che esprime la dimensione della Biblioteca, cioè il milione.Il numero dei volumi è, per le ipotesi di dimensione fatte nella definizione pre­

cedente, cento moltiplicato un milione di volte per se stesso (cfr. $ g.z), poiché Commenti. La m aggior parte dei trattamenti automatici dell'informazioneogni spazio offre cento possibilità. riguarda oggi la gestione di schedari o banche di dati. Ben concepiti, gli schedari

Per avere un'idea di questo numero, Gamow [ t947j si limita al numero di non sono p ''sono semplici ammassi d'informazioni, ma sistemi organizzati in modo tale

tutte le righe possibili di 65 battute con una serie di 5o caratteri: per rendersi che sia comodo procedere all'inserimento di nuove voci, alla ricerca di un e e­l ­conto dell'immensità di questo numero, basta pensare che ogni atomo nell'uni­ mento desiderato e alla selezione secondo criteri diversi prestabiliti. I lavori com­verso rappresenti una diversa macchina da stampa, cosi che si abbiano tre volte binatori sul gruppo simmetrico e gli ordini totali (cfr. ) 3.z) sono alla base deglito'4 macchine che lavorano simultaneamente ; inoltre che ognuna di queste mac­ studi sui numerosissimi procedimenti di ricerca e di selezione informatica. Re­chine abbia lavorato continuamente dalla creazione dell'universo, cioè per un centemente ad essi sono venuti ad aggiungersi i lavori combinatori sugli ordiniperiodo di gooo milioni di anni o ro'~ secondi, stampando al ritmo delle vibra­ parziali e sui reticoli.zioni atomiche, cioè xo' righe al secondo. Fino ad ora esse avrebbero stampato La pratica matematica contemporanea, al fine di r ispondere alla preoccu­3 volte to' ~ righe, che è solo circa un trentesimo dell'i per cento del numero to­ pazione di razionalizzazione delle imprese umane e all'ottimizzazione dei com­tale richiesto. portamenti, tiene in gran conto il concetto di «programma economico». Si tratta

Il mito vertiginoso raggiunge la perfezione nel racconto di Borges La Biblio­ di una variabile o di un vettore o di ogni altro oggetto matematico che descrivonoteca di Babele; «So d'una regione barbarica i cui bibliotecari ripudiano la super­ un piano d'azione e appartengono ad una certa famiglia di possibili ; un criteriostiziosa e vana abitudine di cercare un senso nei libri, e la paragonano a quella di economico permette di confrontare due programmi della famiglia, Si tenta ilcercare un senso nei sogni o nelle linee caotiche della mano... Ogni esemplare è calcolo del miglior programma. Spesso si è ricorsi ad un procedimento di ricercaunico, insostituibile, ma (poiché la Biblioteca è totale) restano sempre varie cen­ che conduce a considerare una catena di programmi possibili. In certi casi par­tinaia di migliaia di facsimili imperfetti, cioè di opere che non differiscono che ticolari, favorevoli, in cui lo spazio dei programmi è ben strutturato — è questo ilper una lettera o per una virgola». caso della programmazione lineare —, la catena dei possibili considerati è relati­

PRoat.E~. È possibile consultare un catalogo della Biblioteca universale? vamente corta. In altri casi, la lunghezza della catena è problematica. Il disordinecombinatorio della famiglia dei possibili nei casi d'ordinamento in cui inter­

Combinatoria Combinatoria447

vengono ruoli esclusivi non è facile da analizzare; conviene tuttavia individuare frontati da tre punti di vista: I ) esiste una soluzione? Z) se esiste, quali mezzi siil livello di «complessità» del calcolo che vi si svolge. adottano per calcolarla? 3) se c'è piu di una soluzione, come è possibile organiz­

Gli algoritmi della combinatoria, come si vedrà nel $ 3.5, si classificano se­ zarla?condo la natura della loro funzione tempo di calcolo, funzione dei parametri di I punti di vista z) e 3) sono esclusivamente moderni. Il punto di vista I) ap­dimensione della famiglia in cui si svolge il calcolo. Per esempio, si dirà che la pare forse per la prima volta in Eulero.ricerca di un libro particolare a n spazi, depositato nella Biblioteca, richiede un

IL PRQBLEMA DI EULERQ. Nella città di Konigsberg, nel I736, sette ponti sulnumero di operazioni che è una funzione esponenziale di n, risultato «cattivo» Pregel congiungono le regioni nord (N), sud (S) ed est (E) all'isola di Kneiphofrispetto all'invecchiamento «lineare» dell'uomo. Si ammette che un calcolo è

(I), come mostra la figura I. La leggenda dice che, quell'anno, i pedoni ricerca­considerato praticabile se richiede un numero di operazioni limitato da un poli­ vano un cammino chiuso su se stesso, che permettesse loro di percorrere ogninomio in n; se ci si trova nel caso quasi disperato in cui la lunghezza del calcolo è ponte una e una sola volta, e che Eulero dimostrò come il problema fosse senza so­esponenziale, è utile saperlo! Ed è per questo che numerosi lavori consistono luzione.nell'esplorare la classe dei problemi combinatori utili che non sfuggono a questofenomeno fondamentale. soLUzIQNE-TEoREMA. Non esiste alcun cammino chiuso che consenta di percorre­

Per i problemi di questa classe, se l'oggetto ricercato ha tuttavia certe pro­ re una e una sola volta tutti i tratti di collegamento fra n punti, se su uno dei punti in­

prietà, e se il criterio economico che lo particolarizza è suscettibile di approssi­ cide un numero dispari di tratti di collegamento.

mazione, dei metodi arborescenti (esposti nel $ 3.6) permettono qualche econo­ In effetti, un cammino chiuso richiede, per pervenire ad un punto, tanti trattimia di calcolo. La ricerca matematica su questi problemi di grande attualità con­ di collegamento quanti ne occorrono per uscirne, e dunque sottrae al totale unsiste nell'evitare due vie fatali: l ' inventario esaustivo e il tirare a sorte. numero pari di tratti di collegamento incidenti in quel punto. Nella figura z ri­

Il tirare a sorte ha i suoi fautori in tutte le epoche. Quando Gulliver fu am­ sulta sfortunatamente che ciascun punto è un ostacolo alla soluzione desiderata,messo a visitare l'Accademia di Lagado, vide nella sezione delle scienze specula­ Il teorema affermativo del cammino euleriano si enuncia, in linguaggio piutive un professore che voleva far progredire le scienze grazie ad operazioni mec­ attuale, come segue:caniche : un ingegnoso sistema di manovelle che mette in movimento dei cubi

TEQREMA. Un grafo connesso ammette un ciclo in cui ogni lato figura una ed unasu cui sono scritte le parole del dizionario — spiega Swift — permette di formare sola volta, se e solo se il grado di tutti i vertici è pan.delle frasi : «Con l'invenzione sua, il piu ignorante degli uomini sarebbe stato benpresto in grado di scrivere trattati di filosofia, poemi, libri di politica, legislazione, Fleury avrebbe dato l'algoritmo di costruzione del ciclo euleriano:matematica e teologia, solo con una spesa modestissima e uno sforzo muscolare I) Partire da un vertice qualunque. Ogni volta che si percorre un lato, can­assai lieve, senza bisogno d'ingegno né di cultura». cellarlo. Andare avanti finché è possibile.

Ingenuità, si penserà, le numerazioni esaustive o questo pescare a caso delle PI) Percorrere un lato, che sia istmo del grafo non cancellato, solo se non cigocce nel mare! Eppure è un'ingenuità divenuta comune. Regolarmente su que­ sono altre possibilità. (Un istmo congiunge due punti che non possonosto pianeta si manifesta un potere politico che, forte dei suoi calcolatori, si mette a essere collegati al di fuori dell'istmo stesso).schedare il pensiero di tutti i suoi amministrati ; ovvero a simulare a caso le bat­taglie che potrebbe intraprendere al fine di concepire la migliore strategia. Questidue sgorbi informatici derivano sia da una tendenza maniaca per l'arbitrario, sia NNda un'illusione di potere: il controllo della Biblioteca universale.

z.z. «I ponti di Konigsberg» e l'esplorazione completa dei reticoli.

Un reticolo è costituito da punti e linee finite tra questi punti, dati astratta­mente o inseriti in uno spazio qualunque. Per esempio : le linee aeree disegnate 4 5sul globo terrestre. Numerosi problemi consistono nell'esplorare esaustivamentei reticoli : scoperta di un labirinto di riferimenti ad autori diversi, controllo di unorganigramma logico di calcolo automatico, distribuzione di una merce, creazio­ne di una routine d'informazione di servizio in una rete di comunicazione auto­gestita. Talvolta si tratta di esplorare i punti, talvolta le linee, o le linee in ciascun Figure x-z.senso. Talvolta si vietano le ridondanze. Oggi i problemi di esplorazione sono af­ Il problema di Eulero dei sette ponti sul Pregel a Konigsberg.

Combinatoria 449 Combinatoria

Non sembra che il problema presenti particolari difficoltà. Se poi i ponti fos­sero a senso unico, se cioè il grafo fosse costituito da archi orientati, allora la z.3. La regola delle parti ed altri problemi di reticolazione.condizione di esistenza di un «circuito euleriano» sarebbe che in ogni vertice vi La reticolazione del piano è un campo di calcoli combinatori inesauribile. Èsiano tanti archi entranti quanti uscenti. pratica corrente rappresentarvi un processo reale che si sviluppa secondo due di­

Che l'esempio storico di Konigsberg sia un grafo piano può sembrare fallace. mensioni, due beni, due criteri per uno stesso bene, o ancora due giocatori a fac­Infatti i due teoremi enunciati sono estranei alle proprietà del piano. Si può al­ cia a faccia. Cosi è nato il calcolo delle probabilità, in occasione di un problematrettanto bene immaginare un reticolo di riferimenti bibliografici. di spartizione.

Ma torniamo al punto di vista z ). Se l'algoritmo di Fleury è logicamente con­PRQBLBlvlA. Si tratta di due giocatori impegnati in una partita di testa o croceveniente per dimostrare il secondo teorema in un modo costruttivo, per quel che

riguarda il calcolo scritto esso non è accettabile : ricorre in effetti ad un test d'i­ in n tiri, che vogliono lasciarsi prima della fine del gioco, e dunque dividere posteuguali che hanno messo sul tavolo all'inizio della partita. In che modo terrannostmo che, semplice a prima vista, si rivela alla scrittura complicato quanto il pro­

blema complessivo che l'algoritmo pretende di risolvere! È sufficiente per ren­ conto del punteggio al momento della divisione>

dersene conto imporsi un po' di miopia. Un altro algoritmo (Rosenstiehl) di cui Il problema è stato posto da Méré, il quale, secondo Pascal, non è mai riuscitosi analizza facilmente il numero di operazioni richieste è il seguente: a trovare il giusto valore delle parti, né il modo per arrivarci.

i) Partire da un vertice qualunque. Percorrere ogni lato una volta al mas­ Fermat propose la soluzione indicata in seguito. Pascal, nella sua lettera a

simo in ciascun senso. Avanzare, finché possibile, rispettando la condi­ Fermat del z9 luglio r654, gli spiega che tale soluzione è giusta ma maldestra, e

zione seguente: Percorrere un lato in secondo passaggio solo se non è pubblica l'anno stesso una soluzione magistrale nel suo Traité du triangle arith­

possibile percorrerne un altro in primo passaggio, e percorrere allora solo métique, sotto il titolo: «Uso del triangolo aritmetico per determinare le parti

il lato preso per ultimo in primo passaggio. che si devono fare tra due giocatori che giocano in piu partite».

n) Ritenere del cammino (due volte troppo lungo) solo i lati percorsi in se­ Poco dopo Leibniz, allora a Parigi, venuto a conoscenza del problema, tentò

condo passaggio nell'ordine in cui sono stati percorsi. di elaborare piu soluzioni che dichiarò tutte insoddisfacenti.Solurioni. La soluzione di Fermat fa ricorso a quelli che si chiameranno i

Considerando il punto di vista 3), De Bruijn ha calcolato i circuiti euleriani «cammini crescenti» (fig. 3) : sia data una reticolazione a coordinate intere (x, y)di un grafo orientato, e Schiitzenberger, considerandoli come permutazioni di con x = o, x, ..., e y = o, r, ... ; a partire dal punto (o, o) si consideri una succes­archi, ha provato questo strano risultato : Per un numero di archi superiore al dop­ sione di punti aumentando ad ogni passo una delle due coordinate di una unità.pio del numero dei vertici, esistono tante permutazioni euleriane con numerod'inversioni pari, quante permutazioni euleriane con numero d'inversioni dispari Si nota ( il numero dei cammini crescenti dal punto (o, o) al punto (k, n — k),(cfr. $ 3.z).

Commenti. L' i d ea di cammino completo in un grafo può apparire sottoenunciati molto piu difficili. Quello del «postino cinese» consiste, in un grafoconnesso qualunque, nel trovare il cammino chiuso che percorre ogni lato al­meno una volta, e con un numero totale di ridondanze minimo. Il problema èstato risolto recentemente da Edmonds e Johnson [x973].

Un problema piu arduo è attribuito a Hamilton : trovare un cammino chiusoin un grafo connesso che passi una e una solta volta per ogni vertice. Una soluzio­ne evidente esiste nel cubo e nell'ipercubo, nel dodecaedro considerato da Ha­milton, ma la caratterizzazione dei grafi che ammettono un cammino hamilto­niano resta un problema aperto reputato difficile. (Il calcolo del piu breve cam­mino hamiltoniano in un grafo valutato è studiato nel ( 3.6).

Il carattere generale dei problemi citati sopra è il seguente : in quali condizioniesiste in un dato combinatorio un oggetto avente certe proprietà, e nel caso in cui super B xx per A

esista, come costruirne un esemplare, ed a quale prezzo> Poi, se ne esiste piu di 6)I" tgul a 3 •

uno, computarli o, ancora meglio, organizzarli. l'ini di partita possibili (u) c divisione di sedici pistole tra A e B (b) quando mancanoad A due punti per vincere e a B tre punti per vincere.

Combinatoria 45o 45' Combinatoria

/ohche comportano cioè n passi di cui k a vantaggio di x (k<n). Si pone ( )= r La soluzione del problema di divisione delle poste è, per Ferxnat, la seguente :

TEQREMA. Se due giocatori A e B giocano una partita di testa o croce tale che ile si ha per n )o , = = l .

primo che ottiene un numero di punti convenuto guadagna le due poste (uguali); en t n - i h n — 1 se essi decidono di sospendere la partita allorché mancano ad A a punti per vincere,TEQREMA. Per n) i e o< k < n , si ha:)

= ) +k) k ) k — 1 ed a B b punti per vincere, il totale delle poste deve essere diviso tra loro proporzio­nalmente alle somme seguenti:Infatti, si può giungere al punto di coordinate (k, n — k) solo a partire dai due

punti (k, n — k — 1) e (k — r, n — k). c. v. D.I;( ) perA l' ( ) p erB

Cosi i numeri( )

sono quelli immediatamente generati da somme succes­/n'l

sive a due termini. Si dispongono secondo il celebre triangolo attribuito a Pascal nelle quali n = a+b+ r e ( ) designa un numero del triangolo.(k)ed a Fermat, ma già conosciuto dall'aritmetico indiano Bhaskara Acarya (xn se­

colo), dal filosofo persiano Nasir ad-din at-Tusi (xiii secolo ) e probabilmente In effetti, per giocare in p colpi vincenti si può immaginare che la moneta siada un altro persiano, due secoli prima. gettata zp — i volte; uno solo dei due giocatori è allora vincente.

Allorché manchino ad A a punti per essere vincente, ed a B b punti, resta dagettare la moneta a+b — 1 volte. E le due somme riportate rappresentano, sui

Tabella I . lanci che restano da fare, il numero di cammini crescenti che conducono rispet­Inizio del triangolo di Pascal. tivamente alla vittoria di A o a quella di B. (Un esempio è dato nella figura 5b).

Commenti. In effetti, il contributo di Pascal non consiste tanto nella costru­Il o 1 2 3 4 5 IO zione del triangolo, qùanto in un metodo ben diverso da quello di Fermat, che pro­

cede per ricorrenza per dividere le poste a partire dai punti guadagnati (x = p e0 I y <p, oppure x<p e y =p ) risalendo nella reticolazione in senso inverso del cal­I I I . /nh )

2 I 2 colo di ( ) .Questo metodo prefigurava soprattutto 1 operatore lineare «speranza(k)

3 1 3 3 matematica» fondamento del calcolo delle probabilità. Il calcolo delle probabi­x 4 6 4 I

lità nasceva in un contesto combinatorio ma la generalità evidenziata da Pascal5 I 5 Io Io 5 I nell'operatore speranza gli permetterà piu tardi di sottrarvisi.6 I 6 xS 20 IS 6 n i

7 I 7 21 35 35 7 I )rappresenta il numero delle parti a k elementi in un insieme a n elementi.

8 I 8 z8 56 70 56 28 8 Molteplici problemi trovano soluzione a partire da questi numeri. Se ne coglie9 I 9 36 84 I z6 I z6 84 36 l'idea, considerando l'esempio delle mani di cinque carte (su trentadue) al gioco

Io I I o 45 1 20 2 10 252 210 120 del poker, che si stabilisce senza difficoltà in funzione dei numeri del triangolo :45 Io

I I I 55 165 330 46z 462 330 x65 55 Il

Iz I xz 66 Una coppia 107 520220 495 792 924 792 4.95 220 66Nulla13 78 z86 7xS I 287 I 716 I 716 I z87 715 z86 53 040

24 19214 I 14 91 364 1001 2 002 Doppia coppia3 003 3 432 3 003 2 002 I 00 1TI1 a Io 752

15 I 15 10 5 455 1365 3 003 5 005 6 435 6 435 5 005 3 003 Scala 4o8o16 I 16 120 56o 182o 4 368 8 oo8 I l 440 12 870 I I 4.40 8 oo8 Full 134417 I 17 13 6 68o 238o 6 188 12 376 19 448 24 310 24 310 19 448 Poker 22418 I 18 15 3 Sx6 3 o6o 8 5 6 8 x8 564 3x 824 43 758 48 6zo 43 758 Colore zo819 I 19 17 1 969 3 876 l x 6 2 8 27 132 So 388 75 582 9z 378 9z 378 Scala reale x6

20 I 20 19O 1 140 4845 1 5 504 3 8 7 6 0 77 520 125 970 16 7 960 184 756 Totale 201 376

Combinatoria 453 Combinatoria452

TEOREMA. Su un insieme a n elementi esistono n" a l b e r i .. (nh .La distribuzione dei numeri( ) in funzione di h prefigura, per n grande, la(h) La formula sembra familiare: n" z è anche il numero delle parole di lun­

curva di Laplace-Gauss e la legge dei grandi numeri. Le applicazioni alla stati­ ghezza n — 2 in un alfabeto di n lettere (cfr. $ 3.t). Allora perché questo cardi­stica sono numerosissime. nale? Che rapporto vi è tra queste parole e la famiglia di alberi considerata?

Gnedenko ha costruito un ingegnoso test statistico che fa ricorso ai cammini Priifer stabilisce la corrispondenza:crescenti ; egli vuole verificare se due campioni di misure operate su p individuiprovenienti da una stessa popolazione in due date distinte possono attestare una TEOREMA. Esiste una biiezione canonica tra gli alberi su un insieme ordinato a

instabilità della popolazione stessa. n elementi, e le parole di lunghezza n — 2 in questo insieme.

I due campioni sono supposti della stessa taglia p. Vengono mescolati, poi Per l'insieme ta, b, c, d) = E, ordinato alfabeticamente, la corrispondenza èordinati per ordine crescente di misure osservate. Si conserva solo la connessione data nella figura 4.dei campioni : da quel dato campione proviene la prima misura, la seconda, ecc..., Si spiega ora come costruire l'albero di una parola, per esempio l'albero dellatutte le misure essendo supposte distinte. Alla connessione corrisponde un cam­ parola 'da'.mino crescente nella reticolazione che va da (o, o) a (p, p). Una connessione raf­figurata da un cammino che raggiunga una retta di equazione y = x +b nella re­ t ) In testa alla parola si aggiunge la prima lettera dell'insieme ordinato, cioè

la lettera a: 'da' diventa 'ada'.ticolazione mette in dubbio la popolazione: un campione è superiore di troppipunti rispetto all'altro. 2) Si taglia 'ada' prima della prima ripetizione: si ottiene 'ad' e resta 'a'.

La famiglia dei cammini crescenti nella reticolazione è tipica delle famiglie 3) Ad 'ad' si aggiunge la prima nell'ordine alfabetico delle lettere mancanti

combinatorie elementari, le formule delle quali intervengono in numerosi altri in 'ada', cioè b: si ottiene 'adb' che forma un primo ramo di un albero.

problemi di computo (cfr. ) 3.t), Tuttavia, cambiando leggermente le condizioni 4) Si considera il resto 'a' della parola 'ada'. Ad 'a' si aggiunge la secondadi cammino, si può rapidamente accedere a problemi inestricabili. Ne è un esem­ lettera mancante in 'ada', cioè c: si ottiene 'ac' che forma un secondo

pio il problema seguente, posto dalla fisica delle particelle: Nella reticolazione ramo innestato in a su 'adb', per costituire l'albero cercato. Si generalizza.

si immaginino le quattro direzioni sempre possibili ; si chiede di calcolare, tra icammini di n passi, il numero di quelli che non ripassano due volte per lo stessopunto. Questo problema resta senza soluzione generale.

2.4. Tutti gl i alberi tra n punti. VGli alberi sono delle configurazioni privilegiate. Nella distribuzione del gas o

del telefono essi corrispondono al tracciato minimo congiungente un punto aogni altro. Nei circuiti elettrici essi sono lo schema degli equipotenziali. Infine,un processo discreto in cui le scelte successive conducano a risultati tutti distintipuò essere rappresentato con un albero ; i procedimenti di esplorazioni arbore­ Schema graficoscenti dell'informatica consistono nel non seguire che una scelta alla volta, de­scrivere dunque un albero fino ad un'estremità del ramo, poi nel ritornare sui pro­pri passi il meno possibile fino ad una scelta tralasciata, e descrivere cosf esausti­ aa ab ac ad ca cb cc cdvamente tutte le scelte. Nella teoria vettoriale dei grafi gli alberi corrispondonoa basi di uno spazio vettoriale, considerate a una a una nella soluzione del pro­blema di ottimizzazione dei trasporti. Non stupirà dunque che i problemi elemen­tari degli alberi, in particolare quelli di computo, presentino un estremo interesse. ba bb bc bd da db dc dd

PROBLEMA. Dato un insieme E a n elementi, si chiama albero su E ogni insie­me di n — x coppie di elementi di E, dette lati, non costituenti ciclo. Si dimostrache un albero di E collega ogni elemento di E a tutti gli altri con un'unica suc­ Schema codificato (le caselle di ugusl posizione nei due schemi sono corrispondenti ).cessione di lati (fig. 4). I l problema posto è quello del computo degli alberi Figurapossibili su E.

Soluzione. È stata data nel t889 da Cayley.I sedici alberi possibili che congiungono quattro punti a, b, c, d.

Combinatoria 455 Combinatoria

Per una parola o, si chiama fattore sinistro di c una parola ottenuta cancel­ difficoltà : la difficoltà della disposizione relativa delle unità del piano in modo dalando in o le ultime k lettere (k ) o), e fattore destro di cr una parola ottenuta can­ ridurre l'intrico — in particolare ridurre le intersezioni delle connessioni non de­cellando in a le prime k lettere (k) o). siderate — ; e la difficoltà della disposizione a grandezza naturale degli elementi

Algoritmo di decodificazione : sia o una parola a n — 2 occorrenze nell'insieme del piano. I problemi del primo tipo non fanno appello ad una metrica, ma adordinato E = (a, b, c, ...) a n elementi. una geometria delle disposizioni nel piano chiamata da Poincaré analysis situs.

r) Sia x i il fattore sinistro di ars, massimale senza ripetizione di lettera. Sia Si conoscono un certo numero di problemi e di soluzioni di base, di cui uno fuformulato da Gauss. Essi costituiscono ciò che occorre comunicare al calcolatoreei la prima lettera di E assente da acr. x,ei è il pr imo ramo.

2) Sia cr; il fattore destro di ao non ancora utilizzato. Sia x; il fattore sinistro per sviluppare il suo «senso» del piano.

di cr;, massimale senza che alcuna altra lettera, a parte la prima, figuri an­teriormente in ac<. Sia e, la prima lettera di E assente da cr e dai rami scritti. Il problema di (<analysis situs>) di Gauss. Una curva chiusa C tracciata nel

x,e; è l'i-esimo ramo. piano si autointerseca un certo numero di volte (cinque volte nel caso della curva

3) Se cs ha ancora un fattore destro non utilizzato, passare a 2), altrimenti in­ tracciata nella figura 5, di cui si sono chiamati a, b, c, d, e i punti d'intersezione).nestare nell'ordine i rami scritti, con la loro prima lettera. Si descrive C completamente e si nota la successione S dei punti d'intersezione

nell'ordine in cui sono incontrati (S = abcdbaeedc). Naturalmente ogni punto èSi verifica facilmente che qualsiasi altra lettera, a parte la prima, appare una incontrato due volte; si dice ancora che S è una permutazione circolare a doppie

e una sola volta nei rami senza essere punto di innesto, e dunque che si è co­ ricorrenze. È facile gedurre a partire da S, senza guardare la figura, le tg altrestruito un albero. descrizioni di C, cambiando i punti di partenza e per ciascuno cominciando con

Si verifica che ogni albero è generato da una parola. Inoltre che due parole una delle quattro direzioni possibili. Ma non è qui la difficoltà. Le successioni chedistinte generano due alberi distinti; donde segue in definitiva la biiezione. descrivono delle curve nel piano con cinque punti d'intersezione non sono arbi­

trarie permutazioni a doppie ricorrenze di cinque lettere. Gauss, verso il r84o,Commenti. I l problema presentato comporta non solamente un computo ma pose precisamente il seguente

anche una codificazione di una famiglia di oggetti combinatori nel senso seguente :FRQBLEMA. Quali sono le proprietà caratteristiche delle permutazioni a dop­

Si definisce un certo insieme finito H di parole scritte mediante un alfabeto finito pie ricorrenze di n lettere realizzabili da una curva chiusa nel piano< (nel sensoE, e si propone una biiezione canonica su H della famiglia combinatoria studia­ precedente).ta. Qui sopra il codice H è semplicemente definito dalla lunghezza delle parole.

Per esempio, S' = abacbcddee non è realizzabile sul piano, come si verificherà;

2.5. Sulla disposizione dei punti d'intersezione di una curva chiusa nel pia­ essa lo è viceversa su un toro ove si realizzerà facilmente abacbce, dunque S'.

no, problema tipo di analysis situs. Ecco una proposizione tipica di analysis situs. Su una curva chiusa due puntid'intersezione possono presentarsi in due posizioni relative possibili ; si ha sia il

Il tracciamento automatico dei piani, cioè la loro concezione e disegno su fo­ caso di a e di b in S' ove, quando si passa per l'uno, prima di ritornarvi si passagli rettangolari, è una delle grandi battaglie ingaggiate oggi dall'industria per la una volta peri'altro e si dice che a e b sono intrecciati, sia il caso di a ed e in S'razionalizzazione. Nei piani urbanistici e architettonici si tratta dell'intrecciarsi,tra le unità abitative, dei legami di trasporti e di comunicazione (pedoni, automo­bili, elettricità, gas, acqua, rifiuti, telefoni, cavi televisivi ).

Nei piani di reti elettroniche si tratta dell'intrico delle arborescenze equipo­tenziali tra le «zampe» delle unità logiche ; la dimensione delle reti attualmenteprogettate è tale che accade che il loro disegno su carta in bobina richieda, nellaboratorio ove vengono concepite, l'affissione lungo tutto un corridoio e nellestanze adiacenti, questo mentre l'oggetto fisico finale è integrato in minuscolicristalli. Infine, nei diagrammi di programmazione dei cantieri e negli organi­grammi del calcolo automatico, l'intrico è quello delle linee di p rogrammazionedelle operazioni delle quali si desidera un tracciato ben leggibile. Per ragioni siadi gigantismo sia di urgenza, si è tentati di affidare sempre piu al calcolatore iltracciamento autoinatico dei piani. Bisogna tuttavia che questo possa acquistare l'1gUI'a 5.

un certo «senso» del progetto. Si può dire che si affrontano allora due ordini di Una curva chiusa nel piano, che si autointerseca cinque volt«.

Combinatoria 456 457 Combinatoria

ove quando si passa per l'uno, vi si ritorna prima di passare per l'altro, e si diceche a ed e sono non-intrecciati.

Si dimostra che la condizione 1) non è sufficiente perché una permutazionea doppie ricorrenze sia realizzabile nel piano.

Gauss nota che per le curve chiuse nel piano ogni punto d'intersezione è in­ Gauss mostra, per numerazione completa, che 1) è una proprietà caratteristi­trecciato con un numero pari di altri punti d'intersezione. Se, per una permuta­ ca delle successioni d'intersezioni delle tre curve a tre punti d'intersezione, ed an­zione a doppie ricorrenze S su un insieme finito E, si nota S' l'insieme degli ele­menti di E che hanno una ricorrenza esattamente tra le due ricorrenze di e in S,

che delle cinque curve a quattro punti d'intersezione (fig. 6) ; ma che ciò non vale

allora la condizione di Gauss diviene:per le quindici curve con cinque punti d' intersezione, poiché la permutazione1 z 3 4 5 3 4 1 z 5 soddisfa la condizione 1) e non è realizzata da alcuna di esse.

i ) Per ogni elemento e, S' è pari (cioè di cardinale pari). Nel iq76 si aggiunge a i ) la seconda condizione (Lovasz e Marx ) :z) Per ogni coppia (e, f) di elementi non intrecciati, S'Ci S~ è pari,

1 2

ma i ) e z) sono ancora insufficienti. Infine una terza condizione (Rosenstiehl)3 viene a completare la caratterizzazione:

3) Le coppie tre, f ) di elementi intrecciati, per le quali S" Ci S~ è pari, sepa­rano E in due classi, tra le quali non vi sono altre coppie di elementi in­trecciati.

3La dimostrazione della sufficienza di t ), z) e 3), che è molto lunga, fa inter­

venire la seguente corrispondenza : Una curva chiusa C definisce delle regioni del1 4 piano colorabili in due colori, due regioni adiacenti essendo sempre di colori di­

versi. Ai due colori si fanno corrispondere i grafi planari G (C) e Gs(C), duali, icui vertici sono le regioni e i cui lati indicano i punti di contatto delle regioni diuno stesso colore (fig. 7). Per G(C) e Gs (C), C è una diagonale geometrica : essaè costituita da elementi di curve, diagonali dei quadrilateri formati dai due grafiduali.

Si può anche, e il risultato è lo stesso, costruire C come un poligono di Pé­

I 21 3

trie di G (C), ben noto agli specialisti di politopi, cioè costeggiando i suoi lati e2 5 3 34 45

traversandoli sempre nel mezzo per cambiare faccia (cfr. fig. 7).12

2 12

1 6t = =d

5 Xb2 33 5

54

IO

2 13

Qi 5

6 2 3 43

612 13 14 15

Figura 7.

Figura 6. Regioni del piano definite dalla curva C della figura 5, e colorate s due colori cui cor­

Curve chiuse nel piano a 3, 4, 5 punti d ' in tersezione.rispondono i grafi G(C) (linee marcate e punti rotondi) e G~ (C ) (linee tratteggiate e puntiquadrati).

Combinatoria 458 459 Combinatoria

L'elemento algebrico della dimostrazione si situa nell'utilizzazione dell'ope­ La dimostrazione attraverso l'analisi spettrale (Wilf), richiamata in seguito,

ratore bordo costruito sul corpo GF(2) : l'insieme S' del teorema costituisce siaha permesso di risolvere il problema per p. qualunque (Bose e Shrikhande).

il «ciclo principale» sia il «cociclo principale» del lato e di G(C ), i quali sono dei Per p. = 2, oltre al grafo completo a quattro vertici, si trovano due grafi rego­lari (fig. 8).prodotti dell'algebra.

Per p, = g, oltre al grafo completo a cinque vertici, si trova il grafo di adiacenza

Commenti. Il p r ob lema appena discusso consiste nel caratterizzare in una dei 45 triangoli che determinano le 27 rette situate sulla super6cie cubica gene­

famiglia finita di oggetti F una sottofamiglia interessante H, dando delle proprietàrale.

brevi quanto possibile, veri6cate dagli elementi di H e non verificate dagli ele­ La dimostrazione è la seguente. Si nota dapprima nel caso in cui p.) 2 con­

menti di F — H.tando le amicizie tra gli amici di x e gli amici diy, che x edy (due persone qualun­

La brevità di una proprietà caratteristica può significare in particolare che la que), amici o no, hanno ciascuno r amici (grafo regolare). Ne consegue che il nu­

verifica se questa è o meno soddisfatta da un elemento dato di F è rapida. In ef­mero b di persone della popolazione, il numero r di amici di ciascuno, e il numero

fetti, la specificità di una caratterizzazione dipende essenzialmente dai concetti li. di amici comuni di due persone, sono legati dalla relazione b = i+r (r — i)/p..

che essa mette in gioco (qui S') e dalla constatazione del loro ruolo privilegiato. Per p. = i si pone la regolarità per ipotesi.

Dal caso studiato, risulta che il concetto di intreccio di due lettere a doppieOra lo studio degli autovalori della «matrice d'amicizia» A di dimensioni

ricorrenze in una successione è sufficiente ad un calcolatore perché disponga nelb x b, nella quale l'elemento (x, y) prende il valore i se x~y e sex edy sono amici,

piano una curva chiusa.e o altrimenti, conduce ad una relazione supplementare tra r e p..

In d' , (x, y) prende il valore p. se x +y, ed r altrimenti. Gli autovalori di Asono r con la molteplicità i, ~r — p. con la molteplicità (intera) <x e — ~r — p.

2.6. Le configurazioni dell'amicizia. con la molteplicità (intera) P. La nullità della traccia e la regolarità di A im­plicano che r = n ~r — p. e p, = m ~r — p,, n ed m essendo due numeri interi tali

pRQBLEMA. Immaginare una popolazione nella quale ciascun individuo sia o che (n — r) n (n+ i)/m sia pari. Da ciò risulta che per p. = i il solo grafo regolare

non sia amico con ciascuno degli individui della popolazione, e in cui due indivi­ che conviene è il triangolo, e per li, = 2, oltre al quadrato ed alle sue diagonali,

vidui hanno sempre uno ed un solo amico comune. convengono solo i due grafi della figura 8.

Si può provare a tracciare un grafo : i vertici sono gl'individui e i lati simboliz­zano l'amicizia. Il triangolo è conveniente, ed anche parecchi triangoli aventi in

Commenti. La soluzione di quest'ultimo problema rivela la forte dipenden­

comune solo un vertice. Quest'ultima con6gurazione è fortemente centrata; siza della combinatoria dai concetti piu diversi della matematica. Un semplice pro­

troverà una configurazione in cui tutti gli individui svolgano ruoli identici!blema di adiacenza di vertici, problema finito per eccellenza, non si può ben

Si può generalizzare il problema a p. amici comuni per ogni coppia di per­dominare se non attraverso lo studio degli autovalori reali della matrice asso­ciata.

sone. Anche in questo caso il grafo completo con li,+2 vertici, cioè in cui cia­scuno è amico di tutti, risponde alla domanda, ma ne esistono altri piu equili­brati? 2.7. I matrimoni e le affinità elettive.

Nel gergo degli statistici sperimentali s'intende spesso per configurazione unaconfigurazione con interessanti proprietà di regolarità, come capita per la botanica Un altro procedimento della combinatoria consiste nel cercare in un dato

e le geometrie finite. Piu precisamente parecchie cellule, o punti, o linee, o bloc­ senza regolarità — una tavola di corrispondenze per esempio — delle sottoconfi­

chi — non importa il termine — occupano posizioni simili in rapporto a tutte le al­ gurazioni. Queste sottoconfigurazioni dipendono da un parametro intero che è

tre. Le configurazioni dell'amicizia ne sono un semplice esempio. facile annullare e difficile massimizzare o, viceversa, minimizzare. L'esempio

La ricerca generale delle con6gurazioni in tabelle rettangolari soggette a certi dell'accoppiamento, esposto qui di seguito, mostra configurazioni dei due tipi

vincoli di cardinali per intersezioni di file dà luogo a numerosissimi lavori, se­ con l'uguaglianza notevole del parametro massimo e del parametro minimo. La

condo metodi molteplici, e solleva molti interrogativi, Essa è al cuore della com­ celebre uguaglianza fu la fonte essenziale della teoria matematica dell'ottimizza­

binatoria e per questo le si dedicherà un importante capitolo (cfr. ( g.4). zione dei problemi economici.

Soluzioni. Il problema è sconcertante per p,= i, ma piu fecondo per p,) i . pRQBLEMA. Di un gruppo di ragazze e di un gruppo di ragazzi si conosconoErdos, Renyi e Sás hanno dimostrato: tutte le coppie che possono formarsi, cioè le affinità. Un insieme di matrimoni

TEQREMA. Se in una popolazione due persone qualunque hanno uno ed un solosimultanei possibili è chiamato accoppiamento, e comporta? coppie. Si cerca

amico comune, allora esiste nella popolazione una persona amica di tutti. un accoppiamento di cardinale X massimo, cioè X. D'altra parte, un insieme di

Combinatoria g6o g61 Combinatoria

persone (ragazzi e ragazze) in cui le affinità individuali confermino tutte le af­finità tra le due popolazioni è chiamato supporto, e comporta p. persone. Si cercaun supporto di cardinale p. minimo, cioè j,.

La ploprictà Ilotcvolc À = p, fu scopclta da Konlg [1936] ; il suo studio com­portò ben presto un triplice aspetto: innanzitutto la dimostrazione di un modooriginale, l'algoritmo per costruire soluzioni, e soprattutto la ricerca dei problemiequivalenti. Questi sono assai numerosi e d'aspetti molto diversi, il che apparvechiaramente solo con il lavoro di Ford e Fulkerson [196z]. Il teorema di Kònigè allora dimostrato equivalente al teorema scoperto quasi contemporaneamenteda Philip Hall [1935] e c!.e può esprimersi nel medesimo contesto:

TEoREMA. È possibile maritare tutte le ragazze se e soltanto se la condizione se­guente è soddisfatta: Per ogni sottoinsieme di ragazze, i ragazzi che hanno un'ag­nità con almeno una di esse sono almeno altrettanto numerosi.

Soluzioni. Per dimostrare il teorema di Konig conviene sottolineare innanzi­tutto che due delle À, afFinità che rappresentano un accoppiamento non possonoessere attinenti alla medesima persona, e dunque che per tutti gli accoppiamentie tutti i supporti si ha À<p.; quindi À<À< j < p . .

A questo punto, Kònig suppone realizzato un accoppiamento massimo di Àcoppie, e costruisce, con il metodo che si dirà, un supporto di p. = À persone, ilche implicherà À =p.. Oltre alle À coppie maritate, certe ragazze e certi ragazziresteranno non-maritati. Un ragazzo non-maritato prende una ragazza maritatache gli conviene, e il di lei ex marito prende una ragazza maritata che gli conviene,ecc. Si immaginano cosi tutte le conseguenze possibili, a catena, che può occa­sionare l'entrata in gioco di un ragazzo non-maritato, e si ripete l'operazione sul­l'accoppiamento massimo considerato all'inizio, con ciascuno dei ragazzi esclusidall'accoppiamento. Allora, dopo tutta questa agitazione, l'insieme dei ragazziche non hanno cambiato coppia e delle ragazze che hanno cambiato almeno unavolta, evidentemente di cardinale À, costituisce un supporto; infatti è impossi­bile che esista un'affinità tra un ragazzo che abbia cambiato di coppia e una ra­gazza che non ha cambiato, altrimenti quest'ultima avrebbe dovuto essere presauna volta dal primo se fosse stata maritata e, in caso contrario, avrebbe potuto co­stituire una (À+1)-esima coppia, che è contro l'ipotesi. c. v. D.

Una semplice osservazione implica anche il teorema di Hall. Le ragazze non­maritate e quelle che non hanno cambiato coppia sono quelle che hanno affinitàsolo con i ragazzi che non hanno cambiato coppia.

Se dunque, una volta costituito l'accoppiamento massimo, resta almeno unaragazza non-maritata, i ragazzi aventi affinità con almeno una delle ragazze non­maritate o che non hanno cambiato coppia sono meno numerosi di esse : la condi­zione di Hall non è soddisfatta. Per contro, se non resta alcuna ragazza non-ma­ritata, ogni sottoinsieme di k ragazze ha tra le sue afFinità almeno i k ragazzi ai

l 'lgura 8. quali esse sono maritate: la condizione di Hall è soddisfatta. c. v. D.

Il racconto di Poly. I due grafi d'amicizia a piu di quattro vertici per i quali due per­ In origine, i due teoremi sono dati in un altro linguaggio.sone qualunque hanno esattamente due amici comuni. In termini di matrici di zeri e di uni, dove allineamento significa indifferente­

Combinatoria g6z g63 Combinatoria

mente riga o colonna (qui sopra «individuo»), la proposizione di Kánig diventail seguente teorema : Estensione del p rob lema dei rappresentant i d i s t i n t i . L a p roble­

TEOREMA. Se gli elementi di una matrice rettangolare sono zeri e uni, il numeromatica dei rappresentanti distinti ha portato a una quantità di risultati. Si cita

massimo X di uni che possono essere scelti senza che due appartengano al medesimo ad esempio (Hoffman e Kuhn ) : sia Mc:$; la famiglia $„ $ „ .. . , S„ dei sotto­

allineamento, è uguale al numero minimo j. di allineamenti contenenti tutti g i uni insiemi di $ ha un sistema di rappresentanti distinti contenenti M se e soltanto

della matrice. se, per ogni Ic: (r, z, ..., n), si ha Iu S I )III e I u (S,gM)l ) I I I plMI — n.ics i c I

Per una sequenza i par id' t' S $ ... S non n ecessariamente tutte distinte Si cita anche(Ford e Fulkerson) : le famiglie $„$ 2, ..., S„e T„T 2 , ..., T„deidi un insieme finito S, si chiama sistema di rappresentanti distinti una sequenza sottoinsiemi del medesimo insieme $ hanno un sistema di rappresentanti distinti

r r ... r dove ri e S; per i = i, z, ..., n, e ri+r i per i ~ j .1> 2» " ' n icomuniseesoltantosepe ogniIc: ( i, z, ..., n) sihal u S;A u T; I olII+gl — n.

In questo linguaggio la proposizione di Philip Hall diven a:nt : i ci tc 'Si è allargata (Mirsky e Brualdi ) la problematica ai sistemi di rappresentanti

TEOREMA. Gli insiemi Si, S„ . .., S„possiedono un sistema di rappresentanti di­ non necessariamente distinti, e si è data una condizione perché ogni elemento distinti se e soltanto se per ogni k (n, ogni riunione di k insiemi, presi tra gli n, contiene S apparisse in un sistema di rappresentanti con una frequenza limitata inferior­almeno k elementi. mente e superiormente, il che in altri termini è un problema di ripartizione di fun­

zioni di delegati di comitati.Commenti. Es istono altre dimostrazioni dei teoremi enunciati. Q. Quella di Ko­

ni è i l punto di partenza della teoria delle catene alternate (Berge). Essa portaanche in germe il celebre metodo di accrescimento di un flusso per mezzo di una 3. Vie di sviluppo della combinatoria.catena che è uno dei punti di partenza della programmazione lineare. Kuhn(i gg) rese omaggio ai precursori della programmazione lineare chiamando «me­todo ungherese» il suo algoritmo di risoluzione del «problema dell'assegnazio­

Si presenta ora una certa organizzazione attuale dei temi dominanti della com­binatoria astratta.

ne» dove i due problemi duali sono risolti simultaneamente, e ne estese il prin­cipio alla risoluzione dei problemi di trasporto.

In cambio i teoremi della programmazione lineare (p er la classe delle matrici 3.i. Statistiche sull'esponenziazione degli insiemi finiti.unimodulari ) generano una magistrale unificazio e (' n (Hoffman) di un gran nu­mero di teoremi combinatori di tipo «minimax». Nei problemi classici dove si computano i modi possibili di scegliere n og­

Esiste dunque spesso un modo di completare e dominare una famiglia di ri­ getti tra m oggetti, si considera, a seconda dei casi, che gli oggetti scelti devono

sultati combinatori immergendoli in un problema piu vasto appartenente ad unao no essere distinti e, a seconda dei casi, che gli oggetti scelti sono o no ordinati.

teoria matematica. Resta nondimeno il fatto che gli enunciati combinatori ele­ Il linguaggio degli insiemi finiti ha permesso una riorganizzazione del tema.

mentari hanno una fecondità sempre sorprendente, come si illustra qui di se­ Un insieme è costituito da elementi che gli appartengono. Si definisce nu­

guito.merazione degli elementi di un insieme X l'indiciatura degli elementi di X me­diante gli interi i, z, ..., n, in modo tale che si abbia una successione di elemen­

Appl icaz ione del l ' accopp iamento a l le permu t az ioni . Il t eorema ti x„x2, ..., x„appartenenti a X, tale che x; pxj per i pj, e tale che ogni elemen­

di Birkhoff — Neumann sulle matrici bistocastiche — cioè le matrici quadrate a ele­ to di Xè uno degli x;. Gli insiemi finiti sono quelli che possiedono una nume­

menti non-negativi, in cui la somma degli elementi a '' ' gllineati è u uale all'unità­ razione.

considera, nello spazio reale affine di dimensione n, il convesso D di tutte le Il numero intero n che interviene nella numerazione di X si chiama il cardi­

matrici bistocastiche n x n. Tra queste figurano le matrici di permutazioni, i cui nale di X, e si scrive n = IXI ; esso infatti non dipende dalla numerazione scelta,elementi sono uguali a zero o ad uno. Queste son p

' ( 'o unti estremali di D (cioè non Si considera una successione di formule sui cardinali che accompagnano le pri­

o combinazione convessa di altre matrici bistocastic e).' h ). Le matrici di per­ me definizioni del linguaggio degli insiemi.

mutazione sono i soli punti estremali del convesso

TEOREMA. Ogni matrice bistocastica e combinazione conve' ' ' ' p

'l ssa di matrici di per­Formula della somma. Se X e Y sono due insiemi finiti, disgiunti, l'insieme

unione X u Y è finito e si ha :mutazione.

(i ) Ix u Yl = lxl+IYILa dimostrazione consiste nell applicare il teorema i

" 'g­d' Koni -Hall alla rela­

zione definita dagli elementi non nulli della matrice bistocastica. In generale Ixiux»u...val = IX if+IX21+" +IX»l se X»AXj = g perii.

Combinatoria 464 46g Combinatoria

Formula dei prodotti. Se X e Y sono due insiemi finiti, il prodotto carte­ Formula delle iniezioni. Si ano gli insiemi X ed Y di cardinale rispettivamen­

siano X x Y è finito e si ha: te k ed n, con k(n . Si considerano, tra le applicazioni di X in Y, tut te le inie­zioni: due elementi distinti di X hanno in Y immagini distinte. Sia A (n, k) il

(z) IX x Y l= IXI ' IYI. loro numero. Si ha:

Piu in genera!~ I Xi x X, x ... x Xkl = I Xil I X~l (6) A(n, k) = n(n — i)...(n — képi).Si ricordi che un elemento di Xx Y è una coppia (a, b), con a eX e be Y;

ed un elemento di Xi x Xs x ... X Xk è una k-upla (a„a~, ..., ak) con ai c Xi, Formula del/e biiezioni. ~' prende nel caso precedente I = X. Una biiezionea>EX>, ..., akF-Xk. di X su Xè detta permutazione. Il numero delle permutazioni di Xè n!, dove n!,

Il numero di «scelta» di una k-upla è uguale al prodotto dei numeri delle scel­ che si legge «n fattoriale», significa n (n — i) ... zte di ciascuna delle sue k componenti. n!

In particolare, moltiplicando k volte per se stesso l'insieme X, si ottiene: A(n, k) =

(n — k)!(3) IX ' I= I Xl' Formula dei sottoinsiemi di cardinale k. Per costruire una iniezione di X di

Si riassumono le formule ( i ) e (z) in termini di scelta con due regole: cardinale k, in Y di cardinale n, si può scegliere dapprima un sottoinsieme A di

i) regola della somma: Le scelte possibili esclusive si sommano; !

z) regola del prodotto : Le scelte possibili successive ed indipendenti si mol­ dei sottoinsiemi di cardinale k, in un insieme di cardinale n :Y di cardinale k, poi definire una biiezione di X su A. Da cui il numero (

tiplicano.(7)

Principio di inclusione e di esclusione. La formula dell'unione è kg (n — k)! k!Si ritrovano i numeri del triangolo di Pascal (studiati nel ) z.3) cioè il nume­

(4) lx u Yl = ixl+IYI — Ixn Yl. ro di cammini tra due punti di una reticolazione orientata parallelamente agli assi.

Sotto forma piu generale IX,UX, U . . .UX k l =g IX;I — g IX;,nX;,I+...+ Questi numeri si ritrovano anche sviluppando la potenza n-esima di unais<sg somma in un qualunque anello commutativo

+( — i)"-' g l x ,, n x , ,n...nx,,l+...+( ­i )'-'lx,nx,n...nx,l. k = n

4 <ip <... (sp (8) (x y y)n g ) xkv n — k

k ~ k gFormule di esponenziazione. Si denota con Y+ l'insieme di tutte le applica­ che si chiama il binomio di Newton. Dalla formula (8) o dal teorema di p. 464 e

zioni di X in Y . Si ha: dalla (p), si deduce:

(g) I Y%l I Yl lxl

Si ricorda che un'applicazione fe Y+ associa, ad ogni elemento di X, un ele­mento di Y chiamato la sua immagine. La formula (8) si generalizza a piu variabili in un qualunque anello commu­

Nel caso particolare in cui Y = (o, i) ogni applicazione di X in Y corrisponde tativo

biiettivainente a un sottoinsieme di X: gli elementi di X immagine di i. Ne con­ (xi +xs+... +x )" = P ( )x",ix~~ ...x"n

segue il teorema: (nn n~, ..., np/

TEQREMA. Un insieme a n elementi ha z" sottoinsiemi. dove il segno di sommatoria è esteso a tutte le p-uple di interi positivi o nulli

Le formule da ( i ) a (g) sopra enunciate possono essere dimostrate secondo il n„ns, ..., n~, tali che n,+n,+. . .+n ~ =n, e dove

medesimo schema. Si dà una numerazione degli insiemi finiti dati (X, Y, ecc,)e si stabilisce una numerazione dell'insieme composto, il rango dell'ultimo ele­mento della quale mostra la formula cercata. È vantaggioso ricorrere alla proprietàevidente: Due insiemi X e Y f initi hanno lo stesso cardinale se e solo se esiste una è il numero di cammini crescenti dal punto (o, o, ..., o) al punto (ni, n„ . .., n„)biiezione di X su Y. nello spazio orientato a p-dimensioni, che passano sempre da un punto di com­

Combinatoria 466 Combinatoria

ponenti intere ad un punto vicino corrispondente all'accrescimento di una uni­ ta anche il nome di principio dei cassetti di Dirichlet. Formalmente, se per duetà di una sola componente. Si ha insiemi X e Y si ha (X() ~Y~, allora per ogni applicazionef di X in Y, esistono

p„p, e X (due piccioni) tali chef (p,) = f(pz) (nel medesimo alveolo). La semplicenumerazione di X e Y prova la proposizione. Altri enunciati : su una popolazionedi tredici persone, due hanno " .compleanno nello stesso mese. Se un cofanetto

con n = nr+nz+.. .+n„ . contiene sei paia di guanti è sufficiente prendere sette guanti per avere due guantiappaiati. Esistono due parigini che hanno il medesimo numero di capelli sulla

Formula delle applicazioni crescenti da Xin Y. Si ponga X = (x, z, ..., k} e testa. Un uomo ha nove alberi da piantare in sette giorni; egli vuole piantareY = (r, z, ..., n}. Un'applicazione di X in Y è detta crescente se. per ogni i, j almeno un albero al giorno ; allora certamente egli dovrà in uno o piu giorni con­appartenenti a X, con i< j , si haf(i) < f( j). Il loro numero B(n, k) è secutivi piantare esattamente quattro alberi. Infatti, alla fine dell'i-esimo giorno

egli avrà piantato, diciamo, a; alberi; nella successione crescente a„az, ..., az

B(n, k) = tutti i numeri sono distinti e r <a,<g, nella successione crescente ar +4, a,+4,..., az+4, tutti i numeri sono distinti e r <a; +4< rg. Le due successioni riunite

Si nota che la condizione di crescenza associa una delle applicazioni scrittecomportano quattordici numeri, quindi due numeri uguali, uno proveniente dal­

sopra, unica, a tutte le parole di k lettere scritte nell'alfabeto di n lettere che dif­la prima successione, l'altro dalla seconda (la disuguaglianza utile è: due volte

feriscono solo per l'ordine delle lettere.il numero dei giorni, maggiore del numero degli alberi da piantare, piu il numeromagico di alberi piantati in piu giorni consecutivi ).

Formula delle suriezioni e delle partizioni. Un a suriezione di X di cardinaleUna forma piu raffinata ancora del medesimo principio si trova in un famoso

k su Y di cardinale n (con n < k) è un'applicazione in cui ogni elemento di Y è teorema di Erdos e Szekeres (r935) :immagine di un elemento di X. TEOREMA. In una successione di n'+ x interi distintiè possibile cancellarne in mo­

Sia D(n, k) il loro numero. do da lasciare una successione di n + r interi in successione crescente o decrescente.Una partizione di X in k classi ( k) o) è un insieme di sottoinsiemi (A„A z , Si pone n + r = r. Si suppone che la successione di numeri distinti ar, az,

. .., A>} di X, che soddisfano le condizioni A;p g per i = r , z, ..., k; A;AA ; = 8 ..., a„non comporti sottosuccessioni crescenti di n+ r numeri. Al numero a; siper i + j ; e A, U A, U ... U Ar. = X. associa il numero á;, lunghezza della piu lunga sottosuccessione crescente che

Sia S(n, k) il numero di partizioni a k classi di un insieme di n elementi. Per comincia per a; (r <i<r ) ; siccome per ipotesi r <b;<n, esistono almeno n + rdefinire una suriezione di X su Y, si può definire dapprima una partizione di X in numeri b; uguali, di cui gli a; corrispondenti formano la successione decrescen­k classi, poi una biiezione di k classi su Y che ha k elementi. Da cui D(n, k) =

te cercata.= S(n, k)k! Frasnay (rg63) ha generalizzato l'ultimo enunciato formulato per due or­

I numeri $ (n, k) sono chiamati numeri di Stirling di seconda specie. Essi dini inversi, su una successione di n (n+r) interi, ad una successione di n„soddisfano le relazioni seguenti: n, ...n~,(n~+ x) interi con p ordini totali or, o„. . ., o„ tali che ogni coppia di

S(n, r )= S(n, n) = r interi della successione sia in una delle relazioni o,. Allora esistono un ordine

S(n+ r, k)= S(n, k — r)+kS(n, k).totale or. e k interi della successione il cui ordine in essa è compatibile con oz.La stessa dimostrazione esposta piu sopra per il caso p = z può essere fatta con­

Le formule enunciate sono un po' austere, ma l'organizzazione del tema at­ siderando al posto di b; una p-upla di interi la cui componente j, bt, sia la piu

torno all'esponenziazione di insiemi dà una chiara idea delle vie piu facili che lunga sottosuccessione crescente in o; cominciante per a„.

sono già state percorse e delle vie meno facili che possono ancora essere esplo­ Ancora due esempi : r) tra sei persone, o tre di esse sono amiche a due a due,rate. oppure tre di esse sono non-amiche a due a due; z) si enumerano i vertici di un

Si può citare un calcolo meno facile : Qual è il numero di schemi colorati di­ grafo completo a n vertici, in un ordine arbitrario; esiste allora una catena di

stinti possibili, quando si mettano, per esempio, sette palle di cui quattro bian­ n — r lati i cui numeri costituiscono una successione crescente.

che, due nere e una grigia, in cinque scatole di cui tre rosse e due blu, una sca­ Gli enunciati che precedono sono detti del tipo Ramsey, per celebrare il teo­

tola in particolare potendo restare vuota? rema seguente :

TEQREMA(Ramsey, rggo). Per ogni terna diinterip, q, r, conp)r, q) r , r) x ,I teoremi di e tipo Ramsey». «Se in una piccionaia vi sono piu piccioni che esiste un interof init n(p, q, r ) tale che ogni insieme E di cardinale superiore od uguale

alveoli, allora due piccioni occupano lo stesso alveolo». Questa proposizione por­ a questo numero ha la proprietà seguente per ogni partizionein duefamiglie Fr e F,

468 69 CombinatoriaCombinatoria

dei sottoinsiemi di E a r elementi : o esistono p elementi di E di cui tutti i gruppi di r ele­di cui si puo riordinare la tavola per fare apparire gli elementi della prima linea in

menti sono di F„o esistono q elementi di E di cui tutti i gruppi di r elementi sono di F»ordine crescente, ma non è necessario.

Perii [x,n], sichiamaciclod:i lasuccessioneciclica... cs s(i) cr '(i) cr(i) a'(i)...Risultati attualmente conosciuti : Sia l il numero di elementi distinti di un ciclo ( t < l <n ) ; se l = n, o è una per­

n(3,3,z) = 6 mutazione circolare (un solo ciclo ). Si può rappresentare cr attraverso la descri­

n(3,4, z) = 9zione dei suoi cicli in un ordine qualunque. Esempio:

n(3,),z) = z4 /r z 3 4 5 6)cr=

n(3,6, z) = r8 • 46S)) = (' 3 z) (4) (g 6).

n(3,7, z) = z3 Nella numerazione dei cicli si possono omettere quelli di lunghezza z ; essin (4, 4, z) = z 8. vengono ricostruiti per complementazione.

Due punti di vista combinatori dominanti sono emersi sulle permutazioni :

3.z. Sul gruppo delle permutazioni. r) L'analisi di una permutazione : lo studio dei suoi cicli, forme di crescita edecrescita della sua tavola cr(r) cr (z) ... e(n), la sua decomposizione in permuta­

Definizioni. Si denoti con [z, n) l'insieme degli interi da z a n ( n)o ). Si zioni piu semplici, e le statistiche corrispondenti alle dette proprietà sulla popo­chiama permutazione di grado n una biiezione cs di [r, n] su [ t, nj. Si può rappre­ lazione totale S„o un sottogruppo di S„.sentare cr attraverso la sua tavola z) Il ruolo di un sottogruppo di S„quando opera su un insieme E di cardinale

n, in rapporto con certe relazioni verificate dagli elementi di E: gli n oggetticon a; = cr(i) sono etichettati x, z, ..., n e si permutano in modo che appaiono gli automor­

an! fismi della struttura definita attraverso le loro relazioni, Se una relazione è una

(a„a» ..., a„} = [r, n]; semplice partizione, le sue classi sono chiamate «colori», e il sottogruppo inte­ressante è quello delle permutazioni cr dove i e cr(i) sono dello stesso colore.

oppure semplicemente attraverso la lista ordinata delle immagini:

cr(z) cr(z) ... cr(n) = a,a,...a„. I cicli e le orbite. Una permutazione di grado n ha da r a n cicli di lunghezzada t a n. Per k<n, si denota Xs il numero dei cicli di lunghezza k in una per­

Esistono n! permutazioni distinte di grado n. Congettura (Fran kl e Deza mutazione cs' S„. Si dice che cr è del tipo x'> z '­... k4; e si denota con k (X» À»r976) : Se J è una famiglia di permutazioni di grado n tale che i membri di J' ..., Xt) il numero delle permutazioni di grado n di questo tipo. Si ha la formula diabbiano a due a due almeno p, interi posti nelle medesime posizioni, allora ~ J ~ < Cauchy:<(n — p.)! (n) ls,) o). Osservazione : La congettura è provata per il caso p.

= o, r.

e p. = z n =q; p.= 3, n = q+ r (q è la potenza di un numero primo).ep. — z,n — q,L'insieme delle permutazioni di grado n, dotato della legge di composizione

usuale delle applicazioni, costituisce il gruppo S„, chiamato gruppo simmetrico Sia G un sottogruppo di S„. Per i, jr [r, n], si pone i j s e e solo se esistea n v ariabili, S„non è commutativo per n)3 . cs@ G tale che j = o.(i). è u n a relazione di equivalenza. Un'orbita di G è una

Dati cr, ~e S„, cr ~ è la permutazione p di grado n tale che p(i) = cr(~(i)), per classe della relazione di equivalenza definita su [r, n]. Si ha la formula dii c [r, n]. Esempi Burnside: il numero di orbite di un sottogruppo G di S„è

g ),(cr)a@G

dove X,(cr) è il numero dei cicli di lunghezza i di o,

L'elemento neutro di S„ è l ' applicazione identica e, per la quale e(r) = r per A'umerazione di schemi in rapporto a un gruppo di permutazioni. Si chiama­ia [r n]. La permutazione cr ', inversa di cr, è la biiezione inversa di or> n . no colori gli elementi di un insieme C = (Cr Cp C~} e colorazione un'appli­

(l 2­ ) cazione cp di [x, mj in C.

cp (i) è il colore dell'elemento i. Per un sottogruppo dato G di S„si dice che

Combinatoria 47o 47r Combinatoria

due colorazioni q>, e p, appartengono allo stesso schema se esiste tre G tale cheL'ultima formula diventa, per x reale con n) r

<pt o = q>z. Si chiama indicatore dei cicli del gruppo G il polinomio

P(G x x . . . x ) = — <~ x 4 i o ' x ~s'o' . . . x " s ' o 'I

aeo Eulero e Laplace hanno sviluppato il metodo delle funzioni generatrici ; in questocaso Eulero studia

dove A>(a) è il numero dei cicli di lunghezza k nella permutazione a.

TEoREMA (Pòlya, rci37). Il numero di schemi associati ad un sottogruppo G diS„è P(G; m, m, • .., m) •

Pòlya numera ugualmente il numero di schemi associati ad un sottogruppo G g(-.-) =z (") -.- (..= (* - )(a — nz

di S„con ott elementi di colore C; (i = r, z, ..., m). De Bruijn definisce per ogni

elemento di colore C; un peso to(c;) ) o. Denotando con p lo schema della colo­ e ne deduce medie e varianze di variabili intere legate alle successioni crescenti ;

razione p relativa ad un sottogruppo G di S„, egli definisce il peso dello schema rp queste funzioni si rivelano molto utili oggi per la stima dell'efficacia di procedi­

mediante to(<p)= w (c,)" i to(c,) s ... zo(crs)"m, se nello schema r, elementi sono di co­ menti di selezione. Schutzenberger ha esteso il campo alla decomposizione di

lore Ct rs di colore Cz, ecc. Egli calcola il numero di schemi invarianti in una una permutazione o. in una sequenza di successioni alternate di successioni cre­

permutazione di colori, o piu generalmente la somma dei loro pesi. Dalle formule scenti e decrescenti, o forma di ct.

di Pòlya e di De Bruijn si deduce la numerazione degli schemi di colorazione diun gran numero di configurazioni combinatorie. Prodotto di trasposizioni. Cramer [r75o] ha definito con i determinanti il

concetto di inversione: Se in una permutazione o=a a ... „ d ' d, • ..a„ i g ra o n, perForma di una permutazione. Per una permutazione an as, ..., a„si chiama i, je [r, n] con i( j , s i ha a;)a ro allora(a;, a;) è un'inversione di a.

successione crescente ogni successione a,, a,+„• .., a,+„ tale che a;(a;+, (. • . ( a;+„.I (o) è il numero d'inversioni di cr, e la parità di I (o) è la parità di cr (segnatura).

Ogni permutazione ammette una decomposizione unica in successioni crescenti i chiama trasposizione t = (ij) o t = ( ji) la permutazione di grado n che scambia

massimali, da r a n in numero. Il concetto è di fondamentale importanza per i i e j e lascia invarianti tutti gli altri elementi. t è l'inversa di se stessa. La tras o­. /n~ sizione (i i+ r) è dispari, e la trasposizione (ij) ha ~ j — i~ inversioni.

procedimenti di selezione di liste di dati (Knuth ). I numeri ( ),di permutazio­TEQREMA. Sia data una p ermutazione ct di grado n, ed r trasposizioni t„ t „ . . . ,

ni di grado n ed a k successioni crescenti, furono studiati da Eulero [r755]. Si f ( + ) ! i che t „ tr r . . . t , . ts =e, allora laParità di rrè quella di r,

h a, con r <k< n : ed il oalore minimo di r è I (cr).

=k + (n — k+r) coRor.i.ARio. In un sottogruppo di permutazioni Gc: S„, o tutte le permuta­zioni sono pari, o il numero delle permutazioni pari è uguale a quello delle per­mutazioni dispari.

(')=(..'-.)Supponendo che la permutazione di grado zero sia una successione crescente,

si ha la notevole formula:

n) o, che può essere dimostrata operando una selezione: si considerino le m"sequenze ara ..a„di interi con r ( a, < m ; ciascuna è rimessa nell'ordine non de­crescente che rispetta, per le a; uguali, l'ordine della sequenza considerata, il che

/m+n-k ldefinisce m" permutazioni di grado n ; ( )di queste permutazioni hanno Figura 9.

nk successioni crescenti. Inversioni raPPresentate Per mezzo di incroci di l inee

Combinatoria 472 473 Combinatoria

coRQLLARIo. La parità di una permutazione è que!! la del numero di cicli ar i*p ha chiamato permutoedro, e di cui ha studiato le relazioni con la teoria del T di

che essa comporta.Kendall, per algebrizzare i lavori di Condorcet sull'analisi degli scrutini ; i com­

La tavola di inversione b,b, b„della permutazione a= a,az...a„è definita po­promessi tra piu permutazioni sono studiati sulla base della seguente proprietà :La chiusura transitiva del grafo It„è un reticolo (Rosenstiehl). Si osserva che

nen od b uguale al numero d'inversioni di o. del tiPo (a„a j) (con i( j se con ola definizione). In altri termini b; è il numero di elementi i in feriori a jf riori a l a cu i

il permutoedro P„permette di reticolare lo spazio R" I (Voronoi, r9o8).immagine cs(i) è superiore a ts(j). Nella figura 9, b; appare come il numero

Una famiglia T di trasposizioni (ij) costituisce un grafo a n vertici ke (i, n),di spigoli (ij).

d'intersezioni del segmento jj con un segmento "ii che lo interseca da destra a

sinistra. Esempio: la tavola d inversione di 4 z 5« 6 è I z o o o. È chiaro TEQREMA. Un insieme T di n — r trasposizioni genera il gruppo simmetrico S„

se e solo se T costituisce un albero.c e o ; n­h o(b (n — j e che i b sono indipendenti fra loro.j

TEQREMA(Hall). Una tavola di inversione b„b„. . . , b„, dove o ;

' pove o<b <n — i per TEQREMA (Denès, 1959). Il prodotto di n — r trasposizioni è una permutazione

ic [I, n], determina in modo unico una permutazione di grado n. circolare di grado n se e solo se le n — r trasposizioni costituiscono un albero.

Si chiama It„ il grafo i cui vertici sono le n! permutazioni di grado n, ed i cui Poiché esistono (n' — x)! permutazioni circolari ed n" alberi a n vertici (Cay­archi orientati corrispondono alle coppie di permutazioni cs, v tali che per una ley), esistono dunque n" ' modi di scrivere una permutazione circolare di gradotrasposizione (i i+ I) si abbia II (i i+ I ) = T con w (i) >T (i+ I ) (c r. g. Io .

It„è lo scheletro (vertici, spigoli) di un poliedro convesso Pa,P che Guilbaudn come prodotto di n — r trasposizioni. Una successione di n — x trasposizionicostituente un albero può essere permutata e dare come prodotto ancora la stessapermutazione circolare (condizione delle sottoparole di Eden e Schutzenberger).

cadb Si chiama indice della permutazione ataz...a„ la somma degli ic [z, n] taliche a;>a;+I. Per esempio, l'indice di 5 9 r 8 2 64 7 3 e 2 +4+6+8 = zo,

c abd g cda b acdb TEOREMA (MacMahon, z9I3 ). Il numero di permutazioni di indice k è uguale4'c al numero di permutazioni aventi k inversioni.

o»acbdgQ Tavole di Young. Una tavola di grado n di formato (n„n„ . . . , n ) dove

cbadg cdba nI>n,> . . . > n ~ > o ed n =n,+n , + . . .+n è d a ta: I) da una parte della retico­

adcb lazione a due dimensioni costituita da n, caselle consecutive di ordinata r e di

cbda

dcab »r»­

dacb (

ascisse da r ad n„da n, caselle di ordinata z e di ascisse da r a n„... ; z) da un or­dine totale delle n caselle date compatibile con l'ordine delle ascisse e quello delleordinate.

abcddcba

Alfred Young (r9oo) ha introdotto tavole di questo tipo per lo studio di rap­presentazioni di gruppi di permutazioni. Un esempio di tavola di grado I5, di

bcad o" formato (6, 4, 4, I ) è dato nella figura Ir.adbc

bcda bacd l»»abdc dabc IO Iz 13

dbcaQ o"0 I4

'b~ac

bdca badcdbac I5

ar0

bdacFigura Io. l 'igura I I .R re s entazioni del grafo delle permutazioni i . . . pi di a b c d er me zzo di un poliedroappresen

convesso (» permutoedro»!.' l'avola di Young di grado I5 e formato 6, 4, 4, I .

Combinatoria475Combinatoria

TEQREMA. Esiste una corrispondenza biunivoca tra S„e l' insieme delle coppieIl loro numero, n!/n,! n2! ... n~!, fu studiato già da Prestet ( t675) e Wallis

(P, Q) di tavole di grado n e del medesimoformato. (Si vedano le costruzioni di (r685), il che dimostra l'antico interesse per il tema degli oggetti indiscernibili.Foata (r965) ha definito il prodotto d'intercalazione di due permutazioni con ri­

Schensted e Schutzenberger, I950). petizione, il che gli ha permesso di generalizzare i problemi affrontati da MacMa­

(P Q) ( Q P) co p p ie di tavole dello stesso formato, corrispondono a per­ hon (r9r5).mutazioni inverse. Donde il teorema:

TEoRRMA. Esiste una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delleinvoluzioni di 3.3. Famiglie di insiemi con vincoli di intersezione'.

grado n e l'insieme delle tavole di grado n. Le intersezioni a due a due non vuote. Un a delle problematiche attuali della

Il numero totale delle tavole di grado n è infatti conosciuto sin dal r8oo me­ combinatoria consiste nel dare delle valutazioni di cardinalità di famiglie di in­

diante la formula di Rothe t„ = ta r (n — r) t„2, la cui funzione generatrice nel siemi soggette a vincoli di intersezione a due a due. Generalmente si ricerca la

senso di Laplace ed Eulero è gt„z " (n! = e'+" migliore delle limitazioni superiori del cardinale della famiglia. Per esempio, siaX un insieme di cardinalità n ; se 6 è una famiglia di sottoinsiemi di X, i cui ele­

Si presentano allora due problemi di numerazione elementare: quello dein

menti hanno a due a due una intersezione non vuota, allora ~ S~ (2" '.formati e quello degli ordini. D imostrazione: Si possono suddividere tutt i i sottoinsiemi di X i n z "

Il formato di una tavola di Young è chiamato anche partizione dell'intero n classi contenenti ciascuna un sottoinsieme ed il suo complementare. La condizio­in m parti. Scambiando ascisse ed ordinate si ottiene la partizione coniugata. ne su S implica che @ contenga al piu un sottoinsieme di ciascuna classe, da cui il

TEQREMA. Il numero dellepartizioni di n aventi k comepartepiu grande è uguale risultato. Considerando tutti i sottoinsiemi contenenti un elemento particolare

al numero di partizioni di nin k parti. Le partizioni di nidentiche alle loro coniugate x, si verifica che la valutazione precedente è la migliore possibile.

sono altrettanto numerose che le partizioni di n in parti tutte disuguali e dispari. Le Una congettura posta da Chvatal è la seguente: Si suppone che Fo sia unafami­

partizioni di n in parti tutte disuguali sono altrettanto numerose che le partizioni di n glia di sottoinsiemi di X, tale che se Eeà e FaE, allora Fe%; d(x) per xeXindica il numero di elementi di K che contengono x; se l' è una sottofamiglia di Scon parti tutte dispari.tale che i suoi elementi abbiano intersezioni a due a due non vuote, allora si ha

Diverse funzioni generatrici permettono di sviluppare l'argomento.Quanto alla numerazione degli ordini totali che su un formato dato costitui­

~$~ (max d (x).zeX

scono una tavola, essa è risolta dal beli'enunciato (bello ma misterioso) del teo­ Nel seguito, X sarà sempre un insieme finito di cardinalità n. E si chiama

rema della squadra (Frame, Robinson, Throll) : k-sottoinsieme di X (k(n) un sottoinsieme di cardinale k di X

TEOREMA. Se la squadra di una casella di una tavola designa l'insieme costituito Le intersezioni a due a due limitate inferiormente. Il t eorema di Katona ge­da questa casella, e da quelle della tavola della stessa ascissa e di piu grande ordinata,e da quelle della medesima ordinata e di piu grande ascissa; se la lunghezza di una

neralizza la proposizione che precede nella forma seguente:

squad d g a i l numero delle sue caselle allora il numero delle tavole di grado nTEQREMA. Se @ è una famiglia di sottoinsiemi di X tale che I intersezione di due

l

di un formato dato è uguale ad n! diviso per il prodotto delle lunghezze de e squa reelementi di 5 sia di cardinalità superiore o uguale a r (r) r) , allora: se n+r è parisi ha

delle sue n caselle.

Per finire si farà brevemente menzione di due generalizzazioni delle permu­ Isll — Z (,)tazioni : le trasformazioni e le permutazioni con ripetizione. Una trasformazionedi grado n è un'applicazione qualunque y di [r, n] in [r, n]. L'insieme F„delle

2

trasformazioni di grado n include S„, il suo cardinale è n". Denès generalizza al­e se n+r è dispari si ha n — r

le trasformazioni alcuni problemi delle permutazioni, ed in particolare la formu­ ~K~~ g . + n+ r+ rla di Cauchy per cui At, diventa il numero di componenti connesse composte da

n+r+l2

archi (i, q (i)),Egli propone anche d'imporre che l'unione di due sottoinsiemi sia diversa

Le permutazioni con ripetizioni. Nell'insieme [r, n] si considera una partizio­ da X; il problema è risolto per r = r (Daykin e Lovasz, I974), e per r) r (Frankl,

ne le cui classi sono di cardinali n„n „ . . . , n„,. In una permutazione o. di grado r 975)n rimpiazzando le immagini a„a „ . . . , a„con le loro classi, si ottiene una permu­tazione con ripetizioni di grado n e di partizione n„n2, ..., n~. s Questo paragrafo è stato scritto in collaborazione con Peter Frankk

Combinatoria 476 477 Combinatoria

Erdos e Frankl hanno fatto la seguente congettura: Se S è una famiglia di

Senza inclusione. Una condizione di in tersezione d'insiemi può essere sottoinsiemi di X tale che gli elementi di X si intersecano a k a k in almeno r

espressa sotto forma di non-inclusione. L'enunciato seguente risale al rciz8; di punti, allora j @j(max j@aj. Per k = z, la congettura è risolta a p. 475. Franklh

esso esiste una dimostrazione molto elegante (Lubell, rtJ66). ha dimostrato che la congettura è vera se

TEQREMA (Sperner). Se S è una famiglia di sottoinsiemi di X tale che non esi­ zh kstono due elementi di S contenuti l'uno nell'altro, allora r<

8o log,k

Le intersezioni a due a due costanti. Si d ice che gli insiemi E1, E„. . ., Eh for­mano un A-sistema se per i/ j s i ha EiAE ; = E,AE, .

TEQREMA (Erdos e Rado, 11J6o). Se Cn è unafamiglia di k-sottoinsiemi di X che([x] denota la parte intera di x per difetto). non contengono un 5-sistema di r elementi (r) g) al lora

L'uguaglianza è realizzata prendendo tutti i sottoinsiemi di X di cardinalità h — 1

jKj(k!(r — 1)h r ­ P[n/z] 1=1 (t+ 1)' (r — 1)'(

Teorema(Erdos, Ko e Rado, rg6r) sui k-sottoinsiemi. Se 5 è una famiglia di Essi congetturano l'esistenza di costanti C„ tali che le condizioni del teorema

k-sottoinsiemi di X le cui intersezioni a due a due sono di cardinalità maggiore implichino j@j(C„ .

n — rod uguale ad r ( r) r) , allora per n) n e (k, r) si ha j%j) . Per i l casok — r ' Generahzzazione del teorema sui k-sottoinsiemi (Deza e Erdos), Un i n s ie­

me di interi L = (l„ lz, ..., l,) è tale che o <l, <l,< . .. (l „e S è una famiglia dir = r, no(k, x)= zk, è questa la limitazione migliore, nel senso che per n (z k , k-sottoinsiemi di X tale che la cardinalità dell'intersezione di due elementi di toj Sj non è piu maggiorato come in precedenza. Per r ) z, la migliore delle limita­ appartiene ad L. Allora esiste una cos'ante C tale che jSj ) C„' 1 implicazioni no(k, r) non è nota.

L'uguaglianza su j Sj è realizzata in tutti i casi prendendo tutti i k-sottoinsiemidi X che comprendono r elementi fissati. j'j­ H k i

Il numero di intersezioni vuote superiormente limitato. Un'altra generalizza­ e (1,— l,)/(ls — lz)/.../(I,— l,,)/(k — 1,). (La notazione II significa prodotto). Si ri­

zione della situazione precedente è data da Kleitman: Sia r un intero, r) z ed trova il teorema di Erdos, Ko e Rado per L = ftr, r+ l, ..., k — l).r divida n+ r (la qual cosa si denota : r /n+ 1). Se K è una famiglia di insiemi taleche non esistono r elementi di 5 a due a due disgiunti allora: 3.4. Le configurazioni".

Condizioni di regolarità. Un a configurazione è un sistema di sottoinsiemi che

possiedonocerte regolarità. Un sistema di sottoinsiemi S = (X, $) consiste inun insieme finito X e in una famiglia finita K di sottoinsiemi di X. Secondo ilcontesto (geometria, grafo, statistica) gli elementi di X sono chiamati punti,

n+ t lPrendendo 5 = (E c:X jEj ) ) si verifica che la valutazione è la migliore vertici o varietà e gli elementi di 5 sono chiamati rette, lati o blocchi. Si parla

r qui di elementi e di lati.possibile. Kleitman ha anche ottenuto le migliori valutazioni possibili per il caso Si definiscono due tipi di condizioni di regolarità per un sistema di sotto­in cui r divide n, ma in tutti gli altri casi il problema non è stato ancora ri­ insiemi :solto. r) Proprietà R; : Il cardinale dell'intersezione di i spigoli di 5 è una costan­

Leintersezioni a k a k limitate inferiormente. Si possono considerare anche le te v, (si considerano solo i casi vs~o ).intersezioni a g a g, a 4 a 4, ecc. Siano k, h, r degli interi positivi, k)z , e sia Vh z) Proprietà R~f : Ogni insieme di i elementi di X è incluso in un numero

un sottoinsieme fissato di X di cardinalità bk+r. Si definisce costante di spigoli b; (si considerano solo i casi b; zèo).

gg= (E c X j jE g l'h j o (h — x) k+r ). " Questo paragrafo è stato scritto in collaborazione con Jean-Claude Bermond.

Combinatoria 478 479 Combinatoria

Osservazione: La definizione di cui sopra e la tradizione hanno sempre at­ Esempio x.tribuito disgraziatamente un ruolo diverso agli elementi e ai lati. Infatti, una con­ L'insieme di tutti i sottoinsiemi a k elementi di X (k(v) verifica R, ed anchefigurazione è un sistema di incidenza (X, 5, D') dove X ed 5 sono due insiemi R~ per i(k ; si ha in particolarefiniti e 8 una relazione di incidenza: un elemento e un lato sono incidenti se,secondo la prima definizione, l'elemento appartiene al lato, o ancora se il latocontiene l'elemento. La proprietà R.; è per 5 x X quello che la proprietà R~s èper X x h ; da qui la scelta dello stesso indicei. Ed ogni teorema enunciato nel se­guito ammette il teorema duale, scambiando lati ed elementi e scambiando il ruo­lo di proprietà di tipo R e il ruolo di proprietà di tipo R~.

Ad un sistema (X, $) si può associare una matrice a v linee (rappresentantigli elementi di X ) e b colonne (rappresentanti i lati di K ) a coefficienti a>q ­— o op­pure z, a seconda che l'elemento p appartenga o no allo spigolo E.

Se k(v — z, tale insieme non verifica R,.

Esempi e notazioni. Le notazioni tradizionali sono le seguenti:Esempio z.

Numero totale di elementi ~X~= v ('v' come varietà o vertice). Il piano proiettivo di ordine z ha gli elementi (o punti) denotati con x,Numero totale di lati ~ K~= b ('b' come blocco). 2, 3, 4, 5, 6, 7, e i lati (o rette) seguenti:Allorché S verifica rispettivamente R„R„ R ~x, R~a in luogo di utilizzare le

Ex = ( 4} s ­— ( 3 5} a ­— (34 } 4 ­— (457}notazioni v„va, b„b» si pone usualmente:E,= {x) 5> 6} Ee (z ) o) 7} E7 zz) 3> 7}.

k i l numero di elementi per latoil numero degli elementi comuni a due lati dati La rappresentazione geometrica è data nella figura z z, dove il lato Es è rappre­

r il n u m ero di lati contenenti un elemento dato sentato con un seinicerchio, e gli altri con segmenti di retta. La configurazio­À. il numero dei lati contenenti due elementi dati. ne verifica Ri con k = 3, Rt con P. = z, R~x con r = 3, R~s con X = x. Essa è auto­

duale.La proprietà R, significa che gli spigoli hanno tutti lo stesso cardinale k;

la configurazione è detta allora uniforme. Esempio 3.La proprietà R~x significa che ogni elemento appartiene allo stesso numero

r di spigoli; la configurazione è detta allora regolare. Il piano affine di ordine 3 a 9 elementi e iz lati, dato dalla matrice della ta­Una configurazione che verifica Ra è un A-sistema (cfr. soPra). bella z, e rappresentato geometricamente nella figura z3, verifica R i con k = 3,

Ri con r = 4, Rs con X = z, ma non Ra.

Esempio 4.

Sia X = Z/xxZ il gruppo additivo degli interi modulo zz e 5 = (E }, q = o,x, ..., xo dove E = (x+>i) 3+>l> 4+ )i> 5+ri> 9+ )i}.

Questa configurazione verifica R, con k = 5, R~x con r = 5, Ra con p,= z eRs coil X = z.

Tipologia. Si prendono in considerazione sistemi che verificano il maggiornumero possibile di regolarità ; ma piu s'impongono condizioni, meno configu­razioni esistono.

TEQREMA (Dembowski, z96z). Se un sistema S di sottoinsiemi verifica le pro­prietà Ri, Ra, R~x, R~s, ed un'altra proprietà R; o R~t (per i) 3), allora S è o il

Figura rz. sistemaformato da sottoinsiemi identici a X, o il sistemaformato da sottoinsiemi aPiano proiettivo di ordine z. v — z elementi dell'insieme X a v elementi.

Combinatoria 48o 48I Combinatoria

Le configurazioni «piu regolari» non banali sono dunque:

I ) quelle che v erificano R„non R, e R~I per I <i< t (con t)2 ), chiamate Lsistenza delle t-configurazioni. Il p roblema fondamentale della teoria dellet-configurazioni (o loro duali) ; t-configurazioni è di sapere per quali valori dei parametri v, k, b, esiste una

2) quelle che verificano R„ R „ R ~I , ed R~a, chiamate configurazioni sim­ (v, k, b,) t-configurazione. Poiché i numeri b e b„(I <i< t ) c a lcolati nel para­metriche. grafo precedente devono essere interi, si hanno le t condizioni necessarie:

I parametri delle t-configurazioni. b, .

­= o modFRoposIzIQNE. Una (v, k, b,) t-configurazione è un insieme di sottoinsiemi

(X, $) che verificano le proprietà R i ed R~i, cioè I ) fE«f= k per tutti gli spigoli Si mostra che se b, è abbastanza grande, allora le condizioni necessarie di cuiE di 5; 2) ogni sottoinsieme a t elementi di X appartiene ad un numero co­ sopra sono sufficienti (Wilson, I97~).stante b, di spigoli di S. Nel caso in cui b,= I e t ) 4, si conoscono attualmente solo 4 t-configurazioni

Per mostrare che un sistema che verifica RI e R~i verifica anche R~I per (Witt, I937) :i (i ( t — cioè che ogni sottoinsieme I di X a i elementi appartiene ad un numero V = I I > k =g , t = 4

V = I 2 > k = 6, t = gcostante di spigoli, sia b; = b,( .) / ( .) —.Il principio del calcolo consiste nel

t — I t — I v = 2 3) k = 7, t = 4valutare in due modi differenti per Ic E dato con !I! = i< t il numero A di coppie v = 24 ) k = 8, t= >i (ricorrendo ai gruppi di Mathieu ).

V — z(T, E) con Ec@,!T!=t, ed Ic Tc E : ci sono . sottoinsiemi Tche conten­

t — i lt.cccnteniente si sono trovate nuove t-configurazioni con b,= I e t = 4 (Dcn­h — i tgono I e ciascun sottoinsieme T appartiene a b, spigoli di S ; da cui A = b,[ .) ;' lt-) ' ninston).

ci sono anche br spigoli che contengono I e ciascuno di questi spigoli contiene

(k — i)1 ik — iht — I '(t-).) sottoinsiemi TwI, da cui A = bi( .). Dunque, bz non dipende che r

r

l/

Analogamente, contando in due modi diversi il numero di coppie (T, E) con z /

/

Ec S, !T! =t e Tc:E, si ottiene che il numero totale di spigoli èt I

Tabella z. / r')).5

Matrice del piano affine di ordine 3 a nove elementi e dodici lati.

El E ) E ) EI E I E ) > E> E>> E)> E>P E> I E > z

3 I 8%

4 5 6 I I

7 8l' >gol" I 1 3.lt:>ppresentazione geometrica del piano della tabella z.

Combinatoria 48z 483 Combinatoria

Per b,= t, il piu piccolo valore di v, per cui si ignora se le condizioni neces­ ficano solamente R~a e tali che v) max ~EJ. Enunciato sotto la forma dualesarie di cui sopra sono sufficienti, è v = i 7 con k = 5 e t = 4. si ha:

Nel caso t = 3 e k = 4, le tre condizioni necessarie di cui sopra sono suf­ TEOREMA (Ryser e Woodall, r968). Sia (X, 5) un sistema di sottoinsiemi cheficienti (Hanani, i96o). vertficano Rz, cioè tale che (E<q p Eq.[= p. per ogni coppia di spigoli di @. Allora se

Il caso t = z è oggetto di numerose ricerche. p.(min ]E»f, v)b,

Il caso t = z: le (v, k, A)-configurazioni. L e (v, k, À) z-configurazioni, deno­ Di piu, se v = b, il sistema è o r ) una (v, k, p.)-configurazione simmetrica, otate piu semplicemente (v, k, À)-con6gurazioni, sono conosciute sotto il nome di z) tale che ogni elemento appartiene a r, o rs spigoli con r i +ra = v — i.piani di esperienza incompleti equilibrati (balanced incomplete block designs). Nel caso p.= r, si ritrova un teorema di Erdos e De Bruijn ( i948) i quali han­Esse sono state introdotte in statistica per osservare gli effetti di diversi tratta­ no mostrato inoltre che esiste una sola configurazione di tipo z ) : X = (r, ..., v },menti applicati a particelle sperimentali, che non coprono tutti i casi possibili (in­ con E = (r, q+ i } Per q = i , . . . , v — i e E r = (z, 3, ..., v} (fig. r4).completi ) ma nel modo il piu ripartito e regolare possibile (equilibrati ). Se (X, $) è una (v, k, À)-configurazione simmetrica, allora il sistema S =

a geometria proiettiva di ordine z (esempio z a p. 479) è una (7, 3, i)-con­ = (X, 5) dove Fi = E, ed Fq= (E» — Ei) U (Ei — E») è una con6gurazione di tiPo6gurazione. La geometria affine data dall'esempio 3 è una (9, 3, i )-configura­ z) per p,= k — À. Si congettura che le configurazioni di tipo z ) siano tutte ottenutezione e l'esempio 4 dello stesso paragrafo una ( ir, 4, z )-configurazione. cosf. Il che è già stato provato per l). (9 (Bridges e Kramer, I97o ) e per p, primo

Le condizioni necessarie del paragrafo precedente si scrivono: (Singhi e Shrikhande, i975 )TEoREMA, Se esiste una (v, k, À)-configurazione, allora Àv(v — r)= o (mod Il problema seguente (Erdos e Lovasz) è risolto (Deza, I973) : determinare

k(k — r)) e À(v — i) ­= o (mod (k ­ i )). la migliore funzionef tale che per b ) f (max ~ E ~) ogni con6gurazione che verificaRq ~ Eq A Eq< ~ p, sia una «stella», cioè tale che Eq ­— A + Eq con ( A ~= p. ed

Reintroducendo i parametri b=Àv (v — t) /k(k — i) e r = À(v — t)/(k — r), si EqAEq ­— P (in questo caso b(v — p.+ i ).ottengono le relazioni bk = rv e À(v — r)=r (k — i). Si mostra anche (Deza, Singhi) che se una configurazione veri6ca R,:

iE;~= k e ~E;AE;~= p. oppure 0, allora o v) b, o i). divide k.Disuguaglianze di Fisher e configura ioni che verificano Rz. U n ' a l tra condi­ Osservazione: La determinazione delle configurazioni che verificano Rs è

zione necessaria di esistenza nel caso t = z è il teorema di Fisher ( t94o) : collegata al problema dell'amicizia (cfr. ) z.6). In effetti, se si indica con E„ l'in­sieme dei vertici adiacenti al vertice x, dire che due vertici hanno uno e uno solo

TEOREMA. Sia data una (v, k, A)-configurazione; se v)k, a l lora b)v . vicino in comune significa dire che ~ E A E» i = i .

Conseguenza: non esistono, per esempio, delle (r6, 6, i)-configurazioni per­ La configurazione deve verificare inoltre: se x„e E, allora x»c E . Una ge­ché allora b = t 6 - i 5/6 5 = 8 e b-=v. neralizzazione possibile (Sos, I973) è determinare le configurazioni che verifi­

In effetti la disuguaglianza b)v è valida per delle configurazioni che veri­ cano Rs e risolvere il problema dell'amicizia corrispondente, ossia determinareun sistema di terne S = (X, T) tale che per ogni terna a, b, c esista uno ed un soloXE' X tale che (x, a, b}, fa, x, c}, (x, b, c} c T.

Generalizzazione della disuguaglianza di Fisher.

TEOREMA (Ray-Chaudhuri e Wilson, 197I ). Consideriamo una(v, k, b,) t-con­(v3

figurazione con t = zs e v) k +s, allora b) (sPer s) z s i conoscono solo z s-configurazioni che verificano b = , ot­

tenute per s = z .

Non ne esistono altre per s= z (Ito, I975), e per k fissato, ne esistono al piuun numero finito (Deza, I975). L'esistenza di tali configurazioni è collegata conquella dei codici perfetti (Delsarte, r973).

Figura i4. Sommariamente, un codice che corregge e errori è un sistema (X, @) tale cheConfigurazione di t ipo z ) unica corrispondente a p. = i . ~E» A E»,j o ze+ r (ove A è l'operazione di differenza simmetrica di insiemi ). Si

Combinatoria Combinatoria

e v = b, «R, ed R2» implicano R~i ed R f e reciprocamente. In particolare, unadimostra che, per un codice, b(2" g, ; e un codice è detto perfetto se vi è

i (v, k, À)-configurazione simmetrica verifica R,.i =O

uguaglianza. Il difficile problema della caratterizzazione dei codici perfetti è sta­ Per esempio : una matrice di Hadamard di ordine m è una matrice H, con coef­

to recentemente risolto (Van Lint, I974). ficienti + x e — x, tali che HH' = mI (H' è la trasposta di H, ed I la matrice unitàdi ordine m). Non esistono matrici di Hadamard salvo che per m= 2 e m = 4. Per

Le (v, k, A)-configurazioni note. Il pr imo r isultato ottenuto concerne le i multipli di quattro, il primo valore non deciso è m = x 88. Si dimostra che si può

(v, 3, x)-configurazioni, ovvero le celebri terne di Steiner (congettura di Steiner, associare a una matrice di Hadamard di ordine 4 una configurazione simmetrica

I853). (4n — x, zn — x, n — x).

TEQREMA(Kirkman, I847; Reiss, I859). Una (v, 3, I )-configurazioneesiste se Condizioni necessarie di esistenza di una configurazione simmetrica.e solo se v = x o 3 (mod 6).

TEOREMA(Bruck, Chowla, Ryser, Shrikhande e Schiitzenberger). SeesisteunaPer valori piccoli di k, si ha: (v, k, À)-configurazione simmetrica, allora x) se v è pari, k — À è un quadrato, 2)TEQREMA (Hanani, I960, I973 ). Le condizioni necessarie, cioè Av(v — x)=— o se vè dispari l'equazionex = (k — À)y'+ ( — x)" —" Àz ammette unasolu~ione con

(mod k (A — x)) e À (v — x) ­= o (mod (k — x)) di esistenza di una (v, k, A)-configurazio­ interi x, y, z non tutti nulli.

ne sono sufficienti per k = 3, 4, 5 e ogni À eccetto v = x 5, k = 5, A = 2 e per k = 6, À ) 2 Esempi di applicazioni: Secondo I ), non esistono (22, 7, 2)-configurazioni,eccetto v = zx, A = 6, À = 2 . poiché k — À= 5. Secondo 2), non esistono (43, 7, I)-configurazioni, poiché l'e­

Nel caso À = x, se k è primo, le condizioni necessarie si riducono a v­= x quazione x2 = 6y2 — z2 non ha soluzioni intere non nulle. Ora, i parametri di que­

o k (mod k(k — x)). ste configurazioni verificàno le condizioni necessarie di p. 482. Attualmente, non

Se k non è primo, si hanno altre congruenze possibili, per esempio per k = 6, si conoscono delle terne (v, k, À) che soddisfino le condizioni del teorema e per lev=— x6 o zx (mod 30). quali non esistano delle configurazioni simmetriche!

Si era congetturato che per k e À fissati, eccetto che per un numero finito divalori di v, le condizioni necessarie di p. 482 fossero sufficienti. Al contrario si

Piani proiettivi. Un a classe importante di configurazioni simmetriche è for­

era congetturato che per À = x non esistessero delle (v, k, À)-configurazioni che nita dai piani proiettivi. Un piano proiettivo è un sistema di sottoinsiemi (gli ele­

per v = x o k (mod k(k — x)). Ora,menti sono chiamati punti e gli spigoli rette) che verifica gli assiomi seguenti:

TEQREMA (Wilson, I974). Per k e À fissati, se v è abbastanza grande, v ) f (k, À) A,) Per due punti passa una ed una sola retta (R~2 con À = x).una(v,k,À)-configurazioneesisteseesoloseÀv(v — x) = o(modk(k — x)) eÀ(v — x)= A2) Due rette si intersecano in uno ed in un sol punto (R, con p. = I ).

As) Esistono quattro punti tali che tre qualsiasi di essi non sono allineati.­= o (mod (A ­ I )).Ed è stato possibile esibire una (xo6, 6, I )-configurazione (Mills, I975). Un piano proiettivo è detto di ordine n se una sua retta contiene n+ I punti.

Si dimostra allora che ogni retta contiene n+ I punti, e, per dualità, che ogni

Tavole delle(v, k, À)-configurazioni. Delle tavole dànno i valori dei parame­ punto appartiene a n+ x rette. Un tale piano contiene n' + n+ I punti e ns+n+ I

tri delle (v, k, A)-configurazioni conosciute, ordinate secondo i valori crescenti dirette, da cui

r = À(v — x) /(k — I). La prima, dovuta a Fisher e Yates (I943), dava le soluzioni TEoREMA. Un piano proiettivo di ordine nè una (ns+ n+ I, n+ I, x)-configura­conosciute per r(x o . La piu recente, dovuta a Di Paola, J. S. e W. D. Wallis zione simmetrica. La (7, 3, I )-configurazione data come esempio 2 a p. 479 è un piano

( I974) dà le soluzioni conosciute per r ( 3o. Nella prima tavola, dodici valori non proiettivo di ordine z.erano ancora decisi; attualmente, per r( x o , si c ontinua a non sapere se le(46, 6, I ) e (56, 6, x)-configurazioni (per le quali r = 9 e Io rispettivamente) esi­ L'esistenza di un corpo finito con n elementi per n = p, p primo, implica fa­

cilmente :stano o no.

TEQREMA. Se n =p", con p primo, esiste un piano proiettivo di ordine n,Le configurazioni simmetriche. Le configurazioni che verifican R„R 2, R~i

R sono dette configurazioni simmetriche(symmetric block dè~~s) perché la lo­ Inoltre la condizione 2) del teorema di Bruck e altri presentato sopra dà:2

ro matrice è quadrata: b = v. TEQREMA (Bruck e Ryser, I949). Se esiste un piano proiettivo di ordine n conIn effetti, in virtu della disuguaglianza di Fisher (cfr. sopra), R, e R~2 impli­ n = I o 2 (mod 4) allora esistono degli interi x ed y tali che n= x +y, il che implica

cano b) v, e R~x ed R, implicano b(v. Si mostra anche che per un sistema in cui la non-esistenza di piani proiettivi di ordine 6, I4, 2I, 22...

Combinatoria 486 487 Combinatoria

Il primo valore di n non «deciso» per l'esistenza di un piano proiettivo è io. TEQREMA. Se n =p", p primo, esiste un piano a+ ne di ordine n.

L'esistenza di un tale piano sarebbe stata implicata dalla verità della congettura Dimostrazione: Sia K il corpo finito con n elementi. Si prendono come puntidi Eulero (cfr. p. 48x)), ma questa si è rivelata falsa! le n coppie (x, y) di K x K e come rette, per ce K, le rette D, = ((x, y) ~ x= c)

Piani a+ni. A p art ire da una(e, k, À.)-configurazione simmetrica, si ottienee per (a, b) eKxK le rette D, »= ((x,y) ~ y = ax+b) (si ritrova il procedimento

sopprimendo uno spigolo e tutti gli elementi che esso contiene una (v — k, k — X,di costruzione della geometria affine in R' ). Si può notare che si hanno n+ i fasci

X)-configurazione chiamata configurazione residuale. Per ) = i, z ogni (e — k, di n rette parallele, i fasci essendo C = (D, ~ ce K) e C, = (D, » ~ bc K) for­

k — X, A)-configurazione può essere ottenuta cosi (Hall e Connor, 1953) ma que­mato dalle rette di pendenza a. Si esprime questa proprietà dicendo che la (na,n, i )-configurazione è risolubile (cfr. p. 4!)x).

sto non è vero per ),o 3 (Bhattacharya, x!)44).La configurazione residuale ottenuta a partire da una (na+n+x, n+ i , i )­ A partire da una geometria affine di ordine n si costruisce facilmente una geo­

con6gurazione simmetrica è una (n', n, i)-configurazione chiamata piano affinemetria proiettiva di ordine n, aggiungendo n + x punti (detti i punti all'infinito )corrispondenti agli n-r i fasci(o direzioni ) delle rette, e una retta (detta rettadi ordine n. Lo si può de6nire assiomaticamente: all'in6nito ) contenente questi n+ i punt i .

A,) Per due punti passa una ed una sola retta (Ras con ) = i ). Per esempio : la geometria affine di ordine 3 data alle pp. 48o-8i, a partire da

Aa) Sia x un punto ed E una retta non contenente x, allora per x passacui si costruisce una geometria proiettiva di ordine 3 o ( i3, 4, i)-configurazione

una ed una sola parallela ad E (due rette E ed E' sono parallele se simmetrica (6g. i5).E«nE,' = 8). Si può generalizzare la nozione di piano proiettivo (piano affine) a quella di

Aa) Esistono almeno tre punti non appartenenti ad una stessa retta. geometria proiettiva (geometria affine) di dimensione s e di ordine n. (Il casos = z corrisponde al piano).

Un piano affine è detto di ordine n se una retta contiene n punti, il che implica Una geometria proiettiva di.dimensione s e di ordine r corrisponde a unache ogni retta contiene n punti, ogni punto appartiene a n+ i rette ; un tale pianocontiene na punti e n (n+ i ) rette. (ns+' — i ns — x ns x­

) ­configurazione simmetrica.n — i n — i

' n — i )Quadrati latini. Un q u adrato latino di ordine n è una matrice quadrata

r / l = (a;;, i < i j <n ) i cui coefficienti a;, sono i, z, ..., n e tale che ogni riga ed ogni

/~ cos colonna di /I è una permutazione degli elementi i, z, ..., n (si può anche dire che/ 1 ogni intero i ( i <i <n ) appare una volta in ogni riga e in ogni colonna). Nella fi­

/ I/ gura x6, a ) e b) sono due quadrati latini di ordine 3.( , ) ' i (» ) Per ogni n, esiste almeno un quadrato latino di ordine n, tavola di moltipli­

I l 1 cazione di un quasi-gruppo.La determinazione del numero T (n) dei quadrati latini di cui la prima riga e

la prima colonna si scrivono (i, z, ..., n) è un problema difficile. Eulero(x77x)) ha

(o, x), i' (x x) i, (» x) mostrato che T (z) = T(3) = i, T (4) = 4, T(5) = 56.OOO l r

r

(o,o)i (x o) ] (a o)

a) b)cos

Figura x6.l"'igura x5

Quadrati latini di ordine g.Piano afline e piano proiettivo di ordine Z.

Combinatoria 48ci Combinatoria

Inoltre, si è riusciti, con l 'aiuto del calcolatore, a determinare T(n) pern(g, nel ig75 ; l'ultimo è : T (zi) = g77 597 57o tI64 z58 8z6.

Quadrati latini ortogonali e tabelle ortogonali.

nEFmiziotxE. Due quadrati latini di ordine n sono detti ortogonali se le n cop­

pie (a;,, b;;) sono distinte. In maniera immaginosa si puo dire che, sovrapponendoi due quadrati latini, si o t t iene un quadrato contenente tutte le coppie (i, j):z <i, j<n. lgunl I g

Un;i (u, 4, 3, z)-tabella ortogonale.

I due quadrati latini a ) e b) della figura z6 sono ortogonali (fig. z7).t quadrati latini sono reciprocamente ortogonali se sono a due a due ortogo­

nali. Sia N(n) il numero massimo di quadrati latini di ordine n, reciprocamente coRQLLARIo. Se n =p", p primo, allora N(n) =n — z.

ortogonali ; si ha N (n) < n — z.L'esistenza di (n — z) quadrati latini ortogonali di ordine n è equivalente alla Nel caso in cui n~p", p primo, si ha il molto utile risultato seguente:

esistenza di un piano proiettivo di ordine n. La dimostrazione di questo teorema TEoREMA (MacNeish, xzlzz). N(n, x n,) >min (N(nz), N(n,)),si può fare utilizzando la nozione di tabella ortogonale introdotta da Rao nel ztl47e utilizzata in statistica ed in teoria dell'informazione. coRQLLARlo. Se n =p,"p s...pr", con i p; primi, pi +p,, allora

Una (N, k, n, t)-tabella ortogonale è una matrice a k righe ed N colonne icui elementi appartengono ad un insieme X di cardinale n e tale che ogni sotto­ N(n)>min(pz' — x p" — x, ... p" — x).

matrice a t linee e N colonne contiene tutte le t-uple possibili di X esattamente coRQLLARIo, Se n @ z(mod 4) esistono almeno due quadrati latini ortogonaliX volte come vettori colonna. di ordine n.

Si ha N = An'. Nel caso ? = z, t = z, l'esistenza di una (n, k, n, z)-tabellaortogonale è equivalente all'esistenza di (k — z) quadrati latini ortogonali di or­ Il caso n— = z (mod 4) è quello della sfortunata congettura di Eulero.dine n. Si ha un esempio nella figura x8.

Riassunto dei paragrafi sui piani proiettivi e afFini e su quadrati latini e tabelle Fine della congettura di Eulero. Eu lero propose nel z78z un problema ricrea­ortogonali : tivo : si possono disporre g6 ufficiali di 6 gradi e di 6 reggimenti diversi in una

formazione quadrata in modo che ogni riga ed ogni colonna di questa formazioneTEQREMA. C'è equivalenzatra l'esistenza contenga uno e un solo ufficiale di ogni grado e uno e un solo ufficiale di ogni reg­a) di (n — x) quadrati latini ortogonali di ordine n gimento? Se si numerano i gradi ed i reggimenti da x a 6, si può associare adb) di una (ns, n+ z, n, z)-tabella ortogonale ogni ufficiale una coppia (i, j) ove i è il numero del suo grado e j quello del suoc) di un piano proiettitio di ordine n reggimento, da cui g6 coppie distinte. Si è allora condotti a costruire due quadratid) di una (n'+n+ z, n+ z, z)-configurazione simmetrica latini ortogonali di ordine 6.e) di un piano affine di ordine n Eulero congettura che una tale configurazione è impossibile, e che, piu in ge­

f) di u. ia (n', n, I)-configurazione. nerale, se n = z (mod 4) non esistono due quadrati latini ortogonali di ordine n.Tarry nel Igloo verificò (enumerando tutti i casi possibili ) che non esistono duequadrati latini ortogonali di ordine 6. Ma in seguito, nel zzi6o, Bose, Shrikhandee Parker hanno mostrato che la congettura di Eulero è, eccetto che per n =6,

z/z falsa.

S/z i/z TEQREMA. Se n p z o 6, esistono z quadrati lat ini ortogonali di ordine n.(N(n) > z).

Per esempio: nella figura xe si ha la sovrapposizione di due quadrati latini diFigura i7. ordine zo ortogonali (il primo scritto con lettere latine, il secondo con lettere

Sovrapposizione dei due quadrati latini ortogonali della figura r6. greche). Si ha N(n) > g per n>47; N(n) >4 per n>5z ; N(n) >g per n>6z ;

Combinatoria 49o 49x Combinatoria

hv, fy (o, 1) (4 S) (6, 7) (» 3)

bP ja ay (o, z) (4 6)

ia ey g0 (S, 6) (1, z) (4, 7)

.0 hy cs (o, 4) (z, 6) (' 5)

ly fx (3 6) (» 7)

gX .0 by (z 4) (o, 6)

d0 ax JY cg (1, 6) (S, 4) (z, S)

ha gY ag h0 haFigura zo.

dy j0 Configurazione di Room.

gC

L'altro caso estremo, s = zn — x, ha dato luogo a numerosi lavori sotto il nome

Figura 19. di configurazione di Room (Room squares), che ha introdotto queste configura­Sovrapposizione di due quadrati l itini ortogonali di ordine to.

zioni nel x955 senza conoscere i lavori di Howell. Si può dimostrare allora cheogni coppia di elementi compare esattamente una volta,

Per zn = 4 o 6, non esistono tali configurazioni. Si dà una configurazione diN(n))6 per n) 9 o e per n abbastanza grande N(n))n ' ' (Guérin, Hanai, Room per zn = 8 (s= zn — x = 7) (cfr. f ig. zo ).Wilson). Infine si ha il

Configurazione di Hotoell e Room. Siano n ed s due interi con n(s<z n — x. TEQREMA(Horton, Mullin, Stanton, Wallis, x974 ). Per ogni n)4 , esiste unaUna configurazione di Howell è una tabella quadrata ad s linee ed s colonne, le configurazione di Room di ordine n.cui caselle sono o vuote, o coppie di elementi di x, z, ..., zn, e tali che: x ) ognicoppia di interi di x, z, ..., zn appare al piu una volta nella tabella ; z) ogni intero Configurazioni risolubili. U na (v, k, A)-configurazione (X, 5) è detta risolu­tra x e zn appare una e una sola volta in ogni riga e in ogni colonna. bile se si può suddividere l'insieme 5 degli spigoli in r classi, tali che gli spigoli di

Queste configurazioni sono state concepite dapprima per organizzare i tor­ ogni classe formino una partizione di X.nei di bridge (Howell, x9oo) ; le righe rappresentano le partite e le colonne i giochi ; Esempio : l'insieme 3 di p. 479 (geometria affine di ordine 3) è una (9, 3, x)­se la coppia (a, b) appare nella p-esima riga e nella q-esima colonna, ciò significa configurazione risolubile. La prima classe comprende gli spigoli E„E „ E s ; lache la squadra A ha giocato nella p-esima partita contro la squadra B con il seconda gli sPigoli E„Es, Es; la terza gli sPigoli E„E 8 Eg e la quarta gli sPi­gioco q. goli E,g, E„, E». Si mostra che ogni (n, n, x)-configurazione è risolubile, con le

Nel caso in cui si abbia s = n, sovrapponendo due quadrati latini costruiti ri­ classi corrispondenti alle direzioni della geometria affine.spettivamente sugli elementi x, z, ..., n e n+ x, ..., zn+ x, si ottiene una solu­ Una delle motivazioni per lo studio di queste configurazioni è stato il problemazione. di Kirkman (x85o), che congetturò l'esistenza di una (v, 3, x)-configurazione ri­

Inoltre si può trovare una soluzione per n = 6. In questo esempio zn = 6 e solubile per v = 3 (xnod 6) ; in particolare egli presentò il problema per v = x5 neis =3: termini rioreativi seguenti. Si vogliono organizzare 7 passeggiate di x5 scolari,

in fila per 3, durante i sette giorni della settimana, di modo che ogni scolaro marci(x, 4) (z 5) (3 6) con ciascuno degli altri una e una sola volta nella stessa fila. Ciò corrisponde pro­

(z, 6) (3, 4) (' 5) prio all'esistenza di una (v, 3, x)-configurazione risolubile, gli scolari essendo gli

(3, S) (x, 6) (z, 4)elementi di X, le file gli spigoli e le classi parallele i giorni della settimana. Unasoluzion<, è la seguente:

18

Combinatoria 492493 Combinatoria

Lune di (1 2 4 ) (5» 3) (3> 9> ) ( ) ) ) ( 7 ) '4 ) ' 5 ) Sia G un gruppo abeliano avente v = k (k — x) h+ 1. Una «(v, k, A)-famiglia diMartedi (23 5) ( , 9, 4) (4, o, 3) (7 , ) ( » 5) differenze» è una famiglia di sottoinsiemi di k elementi di G: E E ... E Ii> Q) ) n ta eMercoledi (3 4 6) (7 Io 8 ) (5 11 x4 ) ( 1 iz 1 3) ( 2 9 15) che ogni elemento non nullo appaia esattamente una volta come differenza di 2

Giovedi (45 7) (1, Ix, g ) (6, 12, 8 ) ( 2, 13, 14) (3, Io, 15) elementi di un E .

Venerdi (5, 6, 1) (2, 12, Io ) (7> 13) 9) (3> 14) 8 ) (4, 11, 1 5) Per esempio E, = ( I, 3, 9 } e E~= (2, 6, 5} costituiscono una (13, 3, x)-fa­

Sabato (6, 7, 2) (3, 13, II ) ( I, 14, Io ) (4, 8, 9) (5, Iz, 15) miglia di differenze.

DomenicaSe gli E«(q= i, 2, . . ., h) formano una (v, k, X)-famiglia di differenze, i sotto­

(7, 1 3) (4> 14> 12) (2 ) 8 ) I I ) (5> 9) Io) (6 > 13> 15)insiemi E +g (q = I, 2, ..., h; gc-G) formano una (v, k, A)-configurazione, con

TEQREMA (Ray-Chaudhuri e Wilson, 197o). Se v =— 3 (mod 6), esiste una (v, 3, E,+g = (x,+g, ...,xi+g} se E,= (x„ . ..) x„ }.1)-configurazione risolubile; e (con Hanani, 1972) : Se v­= 4 (mod Iz) esiste una Cosi gli spigoli ( I+g, 3+g, g+g), (z+g, 6+g, 5+g) ove 1<q<13 e ove i

(v, 4, 1)-configurazione risolubile.numeri sono presi modulo 13, formano una ( 13, 3, 1)-configurazione.

Una generalizzazione interessante della nozione di (v, k, A)-configurazione TEoREMA. L'esistenza di una (v, k, ) )-famiglia di differenze implica l'esistenzarisolubile è la seguente: una (v, k, A) t-conf igurazione è detta i-risolubile se si di una (v, k, A)-configurazione.

(v — ii //k — i~possono ripartire gli spigoli in bi classi, b„= f .)/ ( ) di modo che ogni' ' !.t­ )(l t­ ) I metodi di composizione consistono nel costruire una con6gurazione a par­

classe sia una (v, k, x) i-configurazione. tire da con6gurazioni costruite su insiemi aventi meno elementi. A titolo di esem­

Un caso particolare interessante è l'esistenza di (v, k, 1)-configurazioni che pio si cita il seguentesiano i-risolubili. O ancora per quali valori di v si possono colorare i sottoinsiemi

l'v — l'i TEOREMA. Se esistono una(v„k, 1)-configurazione ed una(v„k, x)-configura­

con k elementi di un insieme di v elementi in ( .) colori di modo che per ogni. , lv - i h (k ;) zione e k — 2 quadrati latini ortogonali di ordine vx, allora esiste una (v, v„k, 1)­

configurazione.sottoinsieme di i elementi i ( .) sottoinsiemi che lo contengono abbiano colori

[k ; )diversi> coRQLLARIo (Moore, x893). L 'esistenza di una (vi, 3, 1)-configurazione e di

Nel caso i = I, si può formulare il problema come segue: per quali valori di una (v„3, 1)-configurazione implica l'esistenza di una (v,v~, 3, x)-configura­v si possono suddividere i sottoinsiemi di k elementi di un insieme X di v ele­ zione.

menti in classi, ogni classe essendo essa stessa formata di spigoli che suddivi­ I metodi di composizione hanno permesso di ottenere i risultati presentatidono X?

Risposta: la condizione necessaria, k divide v, è anche sufficiente (Baranyai, nei paragrafi sulle (v, k, X)-configurazioni, sulla congettura di Eulero e sulle con­figurazioni risolubili.

'975). Di fatto, si applica questo metodo su configurazioni piu generali (pairreiseTEQREMA. La (v, k, 1) k-configurazione è I-risolubile. balanced design), che verificano Rf ma non Ri: gli spigoli non hanno piu una

L'esistenza di (v, k, 1) k-con6gurazioni 2-risolubili è un problema aperto.cardinalità costante, ma una cardinalità appartenente ad un insieme K di in­teri.

Nel caso k = 3, ciò corrisponde alla esistenza di (v — 2) sistemi di terne di Steiner

senza terne in comune. Se ne congettura l'esistenza per v ­= 1 o 3 (mod 6), v) g Generalizzazioni. Lo s t ud io delle con6gurazioni verificanti solamente Ri(Doyen). e R~ ha "ae i a dato luogo a numerose ricerche. Una classe importante corrisponde agli

Si dimostra che la esistenza di (v, k, 1) t-configurazioni è legata alla determi­ schemi di associazione (partially balanced incomplete block designs) (Bose).nazione del numero di stabilità (numero massimo di vertici non collegati ) del Uno schema d'associazione è definito dall'assegnare m classi C;, x <i<m, chegrafo seguente: i vertici rappresentano i sottoinsiemi con k elementi di X, due suddividono l'insieme delle coppie di elementi di X e che verificano le proprietàvertici essendo collegati se i sottoinsiemi s'intersecano in almeno t elementi. E seguenti: due elementi x ed y essendo chiamati i-associati, se la coppia (x, y}l'esistenza di una (v, k, 1) k-configurazione t-risolubile è collegata alla determi­ ippartiene alla classe C.;, si deve avere : 1) ogni elemento x possiede n; i-associatinazione del numero cromatico di questo grafo (Bermond e Meyer, 1975). (n; essendo indipendente da x) ; 2) se due elementi x ed y sono i-associati, il nu­

Metodi di costruzione. Si possono classificare in due tipi. i l metodo delleincro di elementi j-associati di x e k-associati di y è n,'x (indipendente dalla sceltaili x e di y come i-associati ).

differenze introdotto da Bose, che è un metodo di costruzione diretta molto utile I a configurazione ottenuta a partire da un tale schema verifica Ri, Ri e laper valori piccoli di k e v; e i l metodo di composizione. pniprietà: due elementi i-associati appaiono insieme in esattamente 7 ; spigoli.

Combinatoria 494 495 Combinatoria

L'esistenza di schemi di associazione a due classi è equivalente all'esistenzadi grafi «fortemente regolari» ove ciascun vertice ha un numero costante n divertici vicini e ove ogni coppia di vertici adiacenti ha un numero costante ni i

1 3 5 Complessita degli algoritmi combtnaton

di vicini comuni ed ogni coppia di vertici non adiacenti ha un numero costante La congettura dei problemi <r' esponenziali » e dei problemi «polinomiali ». Qua­na di v icini comuni (i grafi dell'amicizia (cfr. ) z.6) sono casi particolari ove1,1 lunque sia la definizione formale che si dà di un algoritmo, non è difficile essere

1 .1 1, 1 ) . d' accordo su ciò che è una operazione elementare di calcolo, indipendente dallaUn'altra generalizzazione è quella delle G-configurazioni (ove G designa un dimensione del problema risolto. Il problema della complessità degli algoritmi,

grafo). Si indica con K„ il grafo completo a v vertici ove due vertici qualsiasi so­no sempre adiacenti. Una (v, k, 1)-configurazione non è altro che una partizio­

qui considerato, consiste nel calcolare un limite superiore per il numero di ope­razioni elementari richieste nella risoluzione di un problema combinatorio.

ne dei lati di K„ in grafi completi a k vertici K>, poiché ogni coppia di verticiappare in un solo «blocco». Se Xk, indica il multigrafo completo ove due verti­

Hopcroft e Tarjan hanno dimostrato che si può decidere se un grafo dato èplanare o no in un tempo dell'ordine di n log n, cioè secondo un calcolo che

ci qualsiasi sono congiunti con ) lati, e G un grafo a k vertici, si chiama (v, k, A)G-configurazione una partizione degli spigoli di Xk, in sottografi isomorfi a G.

comporta un numero di operazioni elementari dipendenti in modo pressoché li­

Proposizione: Se esiste una (v, k, X) G-configurazione, allora 1) v (v — 1)fz èneare dalla dimensione del problema, nel caso dal numero dei vertici del grafo.Ho

divisibile per il numero degli spigoli di G; z) (v ­ i ) è divisibile per il massimoopcroft e Karp hanno dimostrato che un accoppiamento massimo del problema

di Kònig (cfr. ) z.p) è calcolabile in un tempo O (n '). E, se l'accoppiamen­comun divisore dei gradi dei vertici di G.

Il problema dell'esistenza è stato risolto completamente nel caso in cui G èto è ricercato in un grafo qualunque, e non bipartito, allora il tempo di calcoloè O(na).

una catena con k vertici (Huang). Se v è abbastanza grande, le condizioni neces­ I problemi di calcolo della combinatoria possono essere divisi in due gruppi:sarie precedenti sono anche sufficienti (Wilson, 1976). i problemi risolti da un «buon» algoritmo e i problemi inestricabili [cfr, Edmonds

La generalizzazione nel caso in cui G è orientato consiste nel ricercare per 1965]. I primi necessitano di un tempo di calcolo esprimibile da un polinomio inquali valori di v esista una partizione degli archi di K 4»4(grafo completo orientatosimmetrico ove due vertici x ed y sono congiunti mediante un arco (x, y) ed un

n ; i secondi sembrano necessitare di un tempo di calcolo di ordine esponenziale,cioè non sono riconosciuti (ancora) come del primo gruppo.

arco (y, x) in sottografi isomorfi a G). Si dà un esempio nella figura zi. Cobham, Edmonds, Rabin e Karp hanno sviluppato la teoria di questa classi­

TEoREMA (Bermond, Bruck e Mendelsohn, 1971). Se v +6, v­= o oppure 1 ficazione da cui risulta in breve che tutti i problemi di natura esponenziale — e

(mod 3), gli spigoli di K 4»t possono essere suddivisi in circuiti di lunghezza 3. se ne identificano sempre piu — sono dimostrati algoritmicamente equivalenti, nel

Si congettura che gli spigoli di Ka,+t possano essere suddivisi in zv + 1 sotto­senso seguente : o essi sono tutti calcolabili in un tempo polinomiale, oppure nes­

grafi tutti isomorfi ad un albero dato avente n spigoli (Ringel), e che gli archi disuno lo è. La congettura che questa classe di problemi (detti «completi») non

K4t possano essere suddivisi in circuiti hamiltoniani per v ) p (Bermond e Faber).ammetta tempi di calcolo polinomiale è una delle piu sconvolgenti degli ultimi

V anni ; eppure sembra fondata.

Lista di Karp dei problemi completi. Dopo aver definito in termini di l in­guaggio formale l'equivalenza dei problemi di decisione combinatoria, Karp hadimostrato che la classe dei problemi completi equivalenti comporta:

1) decidere se esista un grafo completo a k vertici in un grafo dato a n vertici7

z) decidere se in una famiglia di insiemi ne esistano k disgiunti a due a due4

3) decidere per un grafo dato se esistano al piu k punti incidenti a tutti glispigoli ;

4) decidere se in una famiglia di insiemi di unione E esistano al piu k insiemila cui riunione è E;

5) decidere se in un grafo orientato esistano al piu k vertici tali che ogniFigura 21 • circuito contenga almeno uno di essi ;P artizione dei lati di K a4 in circuiti di lunghezza 3. 6) decidere se in un grafo orientato esistano al piu k archi tali che ogni cir­

cuito contenga almeno uno di essi ;7) decidere se un grafo orientato abbia un circuito hamiltoniano;

497' CombinatoriaCombinatoria 496

mercio. D'altra parte non occorre sperare di trovare facilmente, per gli spazi di8) decidere se un grafo non orientato abbia un ciclo hamiltoniano; soluzioni dei problemi pretesi, esponenziali delle proprietà operatorie di tipo usua­9) decidere se con k colori si possano colorare i vertici di un grafo ato in le, per la semplice ragione che esse autorizzano un calcolo piu economico (a meno

modo che due vertici vicini siano di colori diversi; che i problemi esponenziali non siano che un'illusione della nostra ignoranza).xo) deci ere se un gra od d f dato possa essere decomposto tutt' al piu nella riu­

nione di k grafi completi;x x) decidere se esista in una famiglia di sottoinsiemi di un insieme E una sot­

3.6. Metodo di separazione e valutazione progressiva (branch and áound).tofamiglia che sia una partizione di E; Il problema del commesso viaggiatore (Gomory). Ha suscitato ricerche algo­

xz) decidere se esista, per una data famiglia di insiemi, un insieme che in­ ritmiche di portata molto generale, a proposito delle economie di calcolo possi­contra ognuno esattamente in un elemento ; bili in una situazione esponenziale. Il celebre businessman cerca di viaggiare al

x3) dato un gra o con spigf igoli valutati positivamente, e un sottoinsieme R minimo costo: vuole passare per n città in un ordine qualunque e tornare alladi vertici, decidere se esista un albero parziale del grafo passante per i prima, ossia percorrere un circuito hamiltoniano del grafo completo a n vertici overtici di R e di valore totale dato k; tournée. Quando va dalla città i alla città j, il costo è c,;. Egli cerca la tournée cheT d

' ' finito di cardinale n e Uc:Tx Tx T, decidere se minimizzi il costo totale. Si è dimostrato che il numero di operazioni elementariesistano n elementi di U, distinti a due a due su ognuna delle loro tre per calcolare la tournée minima può, con molta ingegnosità, essere maggiorato dacomponenti ; Cn z", ove C è una costante (il che è già meglio di (n!)!)

x5) dati degli interi re ativi a„a2, . . . ,d d l' ' ' 1 t' ' a a ... a b stabilire se esista un vettore (x„n

Separare e minorare. Per r icercare in un vasto insieme E di soluzioni di unX2» X> >)) con componenti o od x, tale che g a;x;= b;

1 problema, ove ogni soluzione e ha un valore economico f (e), una delle soluzionix6) data una famiglia di interi relativi distinti o meno, stabilire se sia possi­ minime e~, si costruisce progressivamente una partizione di E, sempre piu fine,

bile dividerla in due parti in modo che le somme siano uguali nelle due tale che si sappia, per ogni classe, calcolare un buon minorante dei valori delle

parti; soluzioni della classe. Si nota che se una classe A di m inorante a contiene

x7) dati un grafo con spigoli valutati negli interi relativi, ed un numero k una classe B di minorante b allora a(b . Sia allora una proprietà pl che separi, d 'd re se esista un sottoinsieme di vertici R tale che la somma E in E, e nel suo complementare E, a seconda che e soddisfi o meno p,. Si

dei valori degli spigoli incidenti ad un solo vertice di R sia maggiore o suppone che una prima limitazione inferiore dei valori economici f(e) per eeE1 k . (S ' t' he il problema della somma inferiore od uguale a sia stata calcolata, cioè a«, e analogamente che siano calcolate delle limitazioni in­

è risolto in un tempo polinomiale dalla teoria dei flussi di Ford e u er­Fulker­ feriori a, per es E, e a,' per eeEx. Beninteso, a„(a „ a »< a x .

son). Si supponga che E, abbia, tra E, ed E„u na l imitazione inferiore minima

I x7 problemi qui sopra sono dimostrati equivalenti al problema della com­a,(al . Cioè una proprietà p, che separi E in E2 ed E, e in particolare E, inEl Q E2 e E, AE2 . Si suppone che delle limitazioni inferiori a, per es El Q E2,patibilità :

(o) Dato un insieme i n varid' variabili booleane x con le loro negazioni x;;ed a2 per e e El Cl E2 siano calcolate ; naturalmente a, ( a, e a, ( a2. A questo puntola partizione di E ottenuta è (E, g E2, E, gE„E, ). Su una delle classi di limita­

U — t,

... x . . . x , e p clausole C„C2 Cp ossia dei sot­tX1> X2» "• n> X i> 2 » " n) zione inferiore minima tra le classi della partizione ottenuta, si opera una nuova

toinsiemi di U, stabilire se esiste una clausola Sc: U tale che S abbia unaintersezione non vuota con ciascuna delle p clausole, e non contenga

separazione con una proprietà p2, e cosi via. Dopo un numero finito di separazioniappare necessa ialnente una classe di limite inferiore a~ minimo tra le classi

contemporaneamente una variabile e la sua negazione. dell'ultima partizione ottenuta e contenente solo una soluzione e~; allora a~=

La lista di cui sopra è probabilmente destinata ad allungarsi nei prossimi anni= f(e~) (poiché questo è evidentemente il metodo di calcolo degli estremi infe­

con numerosi problemi fondamentali. Basti citare un caso in cui non è decisa 'ap­ riori) ; e~ è dunque la soluzione minima di E ricercata. Il metodo semplice di cui

partenenza alla classe «polinomiale» o alla classe «completa»: due gra ati sono sopra si basa sulla scelta appropriata delle proposizioni p„p„ . . . e delle limitazioni

o meno isomorfi? inferiori a<„a„ax, a2, a2, ... Primi tentativi di questo tipo di calcolo sono statieffettuati nel x96x da Malgrange e Faure. Il metodo ha preso il nome di metodo

Avvertenza. Il risultato che precede è carico di conseguenze pratiche. Se in branch and bound(Little, Murty, Sweeney e Karel, x963), e «metodo di separazio­effetti si pretende di risolvere — imperativamente come talvolta accade — uno ei ne e valutazione progressiva» [Bertier e Roy x965].problemi di cui sopra per una dimensione n che superi go o xoo, è indispensabileelaborare un metodo approssimato che tenda a fornire soluzioni abbastanza buo­ne o ancora un metodo del tipo proposto in seguito per il viaggiatore di com­

X, X, X, X, X, X , X ,X, 499 Combinatoria

X,

X, X, Xs Un esempio di commesso viaggiatore tra sette città. Si applica qui il metodo diLittle al problema del commesso viaggiatore tra sette città XI «XZ, ..., X7 di cui

X, si ha la tabella chilometrica delle c;f (fig. 22). Si comincia col sottrarre a ciascuna

X«delle caselle di una medesima riga della tabella delle c;; la casella di minor valore ;poi si ricomincia cosf per tutte le righe. La somma dei numeri sottratti da ogni riga

X,Xs

costituisce evidentemente un valore per ao. Poi si prende per p I (e generalmenteper p,) le tournée che passano per l'arco (k, r), scelte nel modo seguente : per una

X, casella (i, j) di valore nullo nell'ultima tabella ottenuta, si cerca il minimo dellasomma di una casella della linea i diversa da(i, j) e di una casella della colonna j

X« X, 16 diversa da(i, j), ossia x(i, j) ; (k, r) è una casella di valore nullo di x (i, j) massimo.La somma ao+o«(k, I ) costituisce evidentemente un valore per b,', poiché essa

Figura zz. minora i valori delle tournée non passanti per (k, I ), e dunque passanti per unaViaggiatore di commercio tra sette città. 15 casella della riga k ed una casella della colonna 1 diversa da (k, r). bt è calcolato

1 come ao sulla tabella dedotta dall'ultima tabella considerata sopprimendo la rigak e la colonna I, e aumentando all'infinito i valori delle caselle incompatibili con(k, r) su una stessa tournée.

19 17 Si trova nella figura 23 l'arborescenza delle separazioni successive che risol­2 2Err Err vono il problema posto : la decima separazione genera una classe con un solo ele­

mento, I g 4 6 2 7 3 I, di cui il valore zo è il limite inferiore minimo delle classipendenti della arborescenza, cioè la partizione piu fine ottenuta. Con un piccolo

5 15' '19 3 21 3 18

sforzo si ottengono le altre tournée minime uguali.E„n E„ E„n E„ E„n E„ E„n E ts L'esempio può sembrare rassicurante. Ma attenzione alle illusioni! Allo stato

attuale delle conoscenze il tempo medio del calcolo dei problemi completi è espo­6 I 6' 2o 4 zz 4' 20 nenziale. [p. R.].

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Pur risalendo a tempi antichi, solo recentemente la problematica combinatoria si èconfigurata autonomamente. La sua importanza è cresciuta con il sorgere dell' informatica(cfr. comunicazione, informazione) e i suoi attuali sviluppi sono legati al sempremaggior rilievo che va assumendo, nei campi piu diversi, il problema della descrizionedella dinamica di un gran numero di un ità cooperanti, seppur individualmente libere(cfr. centrato/acentrato, locale /globale, distribuzione statistica e, piu in generale,insieme, sistema). La combinatoria non è tuttavia un corpo di dottrina ordinato e sta­bile: mentre alcune parti originariamente comprese in essa, come la logica algebrica(cfr. strutture matematiche) e il calcolo delle probabilità (cfr. calcolo, probabilità),hanno dato origine a sviluppi autonomi, nuovi problemi si sono posti al suo interno. Segrande è nella combinatoria l'importanza della teoria dei grafi (cfr. grafo) resta difficilesuddividerla in parti ben distinte. Nell'articolo che precede si è pertanto scelto di fornireuna serie di esempi commentati della problematica combinatoria e dei suoi possibili svi­luppi (cfr. anche algoritmo, curve/super6ci, labirinto, rete).

86y

Grafoit. Giappichelli,

PP 5->7 iio xg66, Un grafo G = (X,E) è un oggetto astratto costituito da un insieme X d i

punti (senza proprietà) e da un insieme E di linee che congiungono tali punti(la sola proprietà di una linea è quella di essere incidente a due punti, distintio coincidenti ). Se si vogliono ordinare le due incidenze o, come anche si dice,orientare la linea, allora il grafo è una «doppia applicazione» delle linee neipunti: un'applicazione per designare la prima incidenza (o incidenza iniziale)della linea, l'altra applicazione per designare la seconda (terminale) della linea.Gli specialisti di grafi dicono vertice o nodo invece di punto, spigolo invece dilinea e arco invece di l inea orientata.

I grafi finiti dànno luogo attualmente ad attive ricerche, anzitutto perché ilcammino del pensiero contemporaneo è forse piu simile a una rete che a unalinea retta; poi perché la nostra analisi dei sistemi naturali e l'elaborazione disistemi artificiali dànno vita a molteplici reti e labirinti. Ma la ragione essenzialedel progresso attuale dello studio dei grafi è legata ai successi matematici pro­priamente detti, successi relativamente recenti. Dapprima è occorso molto tem­po perché potessero emergere i concetti semplici e costruttivi per i ragionamentipiu combinatori che sono specifici dei grafi (( z) ; è occorsa poi una lunga ma­turazione perché potessero essere stabiliti i 'rapporti di questi oggetti molto ele­mentari — i grafi — con diversi settori della matematica, come le geometrie com­binatorie, l'algebra lineare, la programmazione intera, la topologia () $ 3-6). Nelseguito si esporranno dunque varie teorie dei grafi piuttosto che una sola teo­ria: non si riesce infatti a intravedere una teoria unitaria, anche se, beninteso,va riconosciuta l'onnipresenza degli oggetti fondamentali: cicli, cocicli e alberi.

I grafi si sono guadagnato il loro posto nella nomenclatura delle Mathemati­cal Revieres soprattutto per il fatto che da qualche anno è stata loro dedicatanel mondo una decina di riviste specializzate e di alto livello. Ma i l concetto èancora assente dai dizionari di matematica e i teoremi sui grafi, ritenuti piutto­sto delicati, figurano solo negli insegnamenti piu avanzati della ricerca. In brevesi può dire che oggi si combatte una autentica battaglia per riconoscere uno sta­tus istituzionale alla teoria dei grafi nell'edificio delle matematiche. Questo ar­ticolo, dunque, tratta proprio, in un certo senso, dello status matematico dellateoria dei grafi, mentre rimanda per le applicazioni ad altri articoli di questastessa Enciclopedia. Ma prima di svolgere la teoria è parso opportuno presen­tare un erbario dei grafi piu notevoli.

x. Er b ario.

Un grafo è detto semplice se non ha due spigoli con le stesse incidenze. Ilgrafo completo L'„è i l grafo a n vertici ogni coppia dei quali è incidente a unospigolo (fig. x). Il grafo bipartito completo K> ~ è il grafo a p+q vertici divisiin due classi di p e q vertici dove ogni coppia di vertici costituita da un vertice

Grafo 866 86p Grafo

della prima classe e da un vertice della seconda è incidente a uno spigolo (fig. 2).L'orientamento di un grafo completo genera un torneo (fig. g). Tra i tornei a nvertici uno è transitivo e definisce un ordine totale dei vertici.

Si dà la lista di tutti i grafi — non isomorfi — a quattro vertici (fig. 4) e quelladi tutti i grafi connessi — non isomorfi — a quattro spigoli (fig. g) ; le enumera­

K, Ka Ks K, zioni sono fastidiose perché ricorrono costantemente a confronti di grafi: dueFigura i . grafi sono o no isomorfi? Non si conosce alcun algoritmo polinomiale che ri­I primi cinque grafi completi. sponda a questa domanda. Per esempio nella figura rg si trovano due tracciati

del grafo di Petersen. Casi estremi sono, da una parte, i grafi semplici connessisenza cicli (o alberi) (fig. 6) ; e, dall'altra, i grafi semplici formati da un ciclo (opoligoni) (fig. 7). Ogni grafo connesso può essere considerato come un albero,nel quale sono inoltre presenti altri spigoli ciascuno dei quali forma con l'albero

K,, K,, K i , K... K, ,

Figura z,

I primi c inque grafi bipartit i

Figura s.

Tornei a quattro vertici

Figura 6.

I ventitré alben a o t to vert ic i

z zI IFigura 7.

Figura y. I primi sei poligoniTutt i i gr afi no n- isomorfi a q u a t t ro ve r t ic i

Figura 8.

Ogni grafo connesso è costituito da un a lbero e da spigoli formanti con l'a lbero

I cinque grafi connessi non-isomorfi a quattro spigoli. dei poligoni.

Grafo 868 86xl Grafo

un poligono (fig. 8); gli spigoli aggiunti all'albero costituiscono un coalbero.Un altro tentativo di scomposizione di un grafo consiste nel considerarlo L'icientxfxcazione attraverso x' vicini. Du e vertici incidenti a uno stesso spi­

come un poligono inscritto nel grafo stesso, un poligono cioè passante per tutti golo sono detti adiacenti. Si consideri per un grafo semplice G a n vertici non­i vertici del grafo, mentre ai vertici sono inoltre incidenti altri spigoli, che for­ eticlxettati la famiglia degli n insiemi di vertici adiacenti a uno stesso verticemano delle corde del poligono. In realtà questa scomposizione non è sempre e ci si proponga di ritrovare G. O meglio: assegnata una famiglia di insiemi, sipossibile e quando è possibile il grafo è detto hamiltoniano. Il grafo del dode­ cerchino le condizioni affinché esista un grafo che ammette questa famiglia co­caedro è hamiltoniano (fig. xl). Tait aveva congetturato che ogni grafo cubico me famiglia dei vertici adiacenti a un medesimo vertice. I due problemi sono(in cui cioè ogni vertice ha grado g, ossia ha tre spigoli incidenti ), planare (che ancora senza soluzione.può cioè essere tracciato sul piano senza intersezione degli spigoli ), 3-connesso(cioè che non può essere separato in due togliendo soltanto due vertici ) fosse Problema di ricostruzione. Un a l t ro celebre problema è quello della rico­hamiltoniano; Tutte ha esibito un controesempio (fig. xo). Si conoscono nu­ struzione.merose condizioni sufficienti perché un grafo sia hamiltoniano, ma non ancora Per un grafo G connesso a n vertici si assegnino gli n sottografi che si pos­delle condizioni necessarie e sufficienti. In un grafo orientato si può ricercare sono ottenere sopprimendo un vertice (e gli spigoli a esso incidenti ) (fig. x x).un poligono inscritto orientato, o circuito hamiltoniano. Kelly e Ulam (xg4x) hanno formulato la seguente congettura: se C è fin i to,

semplice e non-orientato con n vertici (n)g) , al lora gli n sottograft ottenuti20 con la soppressione di un vertice permettono da soli di r icostruire univoca­

mente G.Due spigoli di G sono chiamati adiacenti se sono incidenti a uno stesso

vertice. Il grafo commutato di G, indicato con L (G), ha per vertici gli spigoli8

x9 9 x6 di G, vertici adiacenti corrispondendo a spigoli adiacenti. L (Ks) non è altro7 3 *5

che il grafo di Petersen (fig. xz). Affinché un grafo H sia il grafo commutatodi un grafo G è necessario che H non contenga nessuno dei nove sottografi

xo x4 vietati indicati nella figura x8,5

x, xz '3 Grafo regolare. E un grafo in cui tutti i vertici hanno lo stesso grado(fig.x8). Un k-fattore di un grafo G è un grafo regolare di grado k inscritto in G,

x8 x7 cioè un grafo che ha gli stessi vertici di G e un insieme di spigoli incluso inFigura 9. quello di G. Il grafo è k-fattorizzabile se è la somma esatta di k-fattori disgiunti.Grafo del dodecaedro di Wil l iam Hamilton (x859) e suo poligono inscritto. Ks è z-fattorizzabile (fig. x5) e il grafo di Petersen (fig. x3), benché cubico (re­

golare di grado g) non è t-fattorizzabile. Si studiano poi altre scomposizioni diun grafo, per esempio la scomposizione in una somma di grafi completi.

Crac perfetti. Pe r un grafo semplice G si indica con cx(G) il massimo nu­mero di vertici tale che due di essi non siano mai adiacenti; con S (G) il nu­mero minimo di grafi completi che operano una partizione nell'insieme dei ver­tici di G; con y(G) il numero cromatico o numero minimo di colori per colo­rare i vertici in modo che due vertici adiacenti siano di colori differenti; infinexo(G) indica il numero massimo di vertici di un sottografo completo di G. Ri­sulta che st (G) (8 (G) e ox(G)<y (G). G è detto u.-perfetto se ot (G) = &(G).G è detto y-perfetto se ox(G) = y (G). Un grafo bipartito (grafo senza poligonodispari) è x-perfetto e y-perfetto. Berge, servendosi di queste definizioni, haformulato nel xx16x l'ex-Congettura debole dei grafi perfetti: un grafo è cx-per­

Figura xo. fetto se e solo se è y-perfetto, che è stata dimostrata nel tx17x da Lovász. Di quiIl grafo di Tutte : cubico, 3-connesso, planare e non-hamiltoniano. la nuova congettura

87i Grafo

cotxcETTvRA nEi GRAFl FERFETTl (Berge). 'G è a.-perfetto' è equivalente aG G, G, G4 Gs 'Gè y-perfetto', ed è equivalente ugualmente a 'Ogni sottografo G>, indotto da

Figura xx. un insieme di vertice A, e il suo complementare G< nel grafo completo, non sonoG è ricostruibile a partire da G„ G „ G„ G4, G,. poligoni di lunghezza dispari superiore a Z e senza corde'.

Un grafo semplice non-orientato, che può essere orientato in modo che l'in­sieme degli archi sia transitivo, è chiamato grafo di confrontabilità. La figura x6fornisce l'esempio di un grafo che non è un grafo di confrontabilità. I grafidi confrontabilità sono st-perfetti e y-perfetti. Un grafo triangolato (ogni poli­gono di lunghezza superiore a g ammette una corda) è u.-perfetto e y-perfetto.Un esempio di grafo triangolato è il grafo delle intersezioni di una famigliadi intervalli della retta. Ma non ogni grafo triangolato è un grafo di intervalli

Figura xz. (fig x7)K, e i l suo grafo d'adiacenza degli spigoli.

Grafi planari. Un grafo è planare se è il grafo astratto associato a un grafopiano in cui due spigoli non si tagliano eccetto che in una incidenza comune(fig. x8). Sussiste il

TEQREMA (Kuratowski ). Un grafo è planare se e solo se non contiene alcunasuddivisione di Ks e di K3 3.

Figura x3. Figura x6.

I nove sottografi vietati dei grafi commutati. Grafo che non può essere orientato transitivamente.

b, b,

bxaxFlgula x 7.

Figura x~ Grafo triangolato che non può rappresentare una famiglia d' intervalli.

Due rappresentazioni del grafo di Petersen: cubico, non fattorizzabile in x-fattori.

Figura xg.

Grafi dei solidi platonici: tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro, icosaedro.

Figura xg.

Kx è fattorizzabile in z-fattori.

Grafo 87z 873 Grafo

(Suddividere un grafo consiste nell'aggiungergli un vertice su uno dei suoispigoli). Il grafo duale G' di un grafo piano G è il grafo di adiacenza delle facce Connessione.del grafo piano. Le facce di G sono colorabili con z colori se e solo se G hatutti i suoi gradi pari (figg. itI e zo ). Se in un grafo esiste una catena di spigoli tra ogni coppia di vertici, si dice

Il grafo di Grotzsch (fig. zi) è il piu piccolo grafo semplice di numero cro­ che il grafo è connesso. Definendo convenientemente una certa densità di ca­matico y che ha come poligono piu corto un poligono di lunghezza y. tene in un grafo, si elabora una teoria combinatoria della connessione, che ri­

sponde in particolare a numerose questioni poste dallo studio delle reti di co­municazione naturali e artificiali : problemi di carico di funzionamento, problemidi sopravvivenza alla soppressione di vertici o di spigoli.

z.i. La connessione semplice.

Per grafo G = (X, L<') s'intenderà qui un grafo non-orientato, senza cappi néspigoli multipli, con un numero finito di vertici. Una catena di G è una successioneX = [xp xi ... xt ] di vertici di G tale che l ) i, e tale che ogni coPPia(X;, xi+$costituisce uno spigolo di G; una tale coppia è detta spigolo della catena X di

Figura rg. lunghezza I. Se xp, x„..., X< sono a due a due distinti, la catena è detta elemen­Il grafo duale di un g r a fo 4 - regolare è b ipart i to: co lorazione delle facce in due tare. Se X< — xp e se uno spigolo non compare due volte nella catena, la ca­

colori. tena è un ciclo ; e se xp x i ,. xl i sono a due a due distinti il ciclo è elementare(e si chiama anche poligono), Risulta che se fra due vertici x e y esiste unacatena À., tra x e y esiste una catena elementare costituita di vertici e di spigolidi ), e che ciascuno spigolo di un ciclo y appartiene a un ciclo elementare co­stituito di vertici e di spigoli di y. Cosi un «otto» è scomponibile in due po­ligoni.

La relazione binaria definita sui vertici di G dall'esistenza di una catena fradue vertici è evidentemente una relazione di equivalenza nell'insieme dei verti­ci ; se essa ha solo una classe, G è connesso, se ha piu classi, ciascuna di esse è unacomponente connessa di G. Cosi un grafo connesso può, per soppressione dispigoli, divenire un grafo a piu componenti connesse e al limite, per soppres­sione di tutti gli spigoli, puo divenire un grafo a tante componenti quanti sonoi suoi vertici ; inversamente, k grafi connessi considerati insieme costituiscono

Figura zo.un grafo a k componenti connesse. È evidente che uno spigolo ha le sue due

Colorazione in due colori delle facce definite da linee rette. estremità nella stessa componente connessa. Di piu, risulta che G è connessose e solo se per ogni partizione dei vertici in due classi non vuote A e B esisteuno spigolo che ha un'estremità in A e l'altra in B. L' insieme degli spigoli chehanno un'estremità in A e l 'altra in B è detto cociclo di G. Se si sopprimonodegli spigoli di un grafo connesso mantenendo la proprietà di connessione, ov­viamente finché è possibile, si dice che l'insieme degli spigoli restanti è un al­bero di G e l'insieme degli spigoli soppressi un coalbero di G. Se G non ha coal­beri, G è un albero. Un albero è dunque per definizione un grafo connesso mi­nimale rispetto agli spigoli, nel senso che la soppressione di un qualunque spi­golo lo priva della proprietà di connessione. Un grafo costituito da una solacatena o da catene che escono da uno stesso vertice (stella) è un albero.

Figura zr. In un albero ci sono necessariamente punti terminali di rami, il che vieneGrafo di Grátzsch. espresso dalla proposizione seguente: Un albero non ridotto a un vertice pos­

Grafo 874 875 Grafo

siede almeno due vertici di grado r. Per dimostrarla è sufficiente considerare può essere sufficiente per assicurare la connessione? Si tratta di una delle que­una catena elementare massimale. Sopprimendo in un albero un vertice di gra­ stioni piu significative per il funzionamento dei sistemi in cui gli operatori so­do r e lo spigolo che gli è incidente, si ottiene ancora un albero. Da cui, reci­ no dispersi e operano localmente, dei sistemi, cioè, che vengono detti acentratiprocamente, si ha la costruzione degli alberi per innesto : Ogni albero può essere (si veda del resto l'articolo «Centrat%centrato» di questa stessa Enciclopedia).ottenuto a partire da un vertice ripetendo la seguente operazione: innestare un La risposta è positiva, tuttavia non si conoscono criteri locali ottimali di con­nuovo spigolo avente per estremi un vertice già esistente e un nuovo vertice. nessione. Un evidente criterio di connessione per un grafo a n vertici è il seguen­La costruzione fa comparire, coli'esclusione di un vertice incidente al primo spi­ te: ogni vertice è di grado (n — i). Il grafo è allora completo e dunque connessogolo, una biiezione spigoli-vertici assai utile per stabilire diverse proprietà ca­ (si ricordi che non ci sono spigoli multipli). Il criterio è tuttavia troppo restrit­ratteristiche degli alberi, quali le seguenti (fig. zz). tivo. Esso viene migliorato considerando una successione di vertici dai gradi

non decrescenti :TEQREMA. In un grafo G il cui numero di vertici n è maggiore di uno, le pro­

prietà seguenti sono equivalenti: TEoREMA. Si indichino i gradi degli n vertici di un grafo G con d,<da<. . .<<da = d. Se di,) k per ogni k<n — d — i, allora G è connesso.

r) G è connesso e massimale rispetto a tale proprietà;z) G è connesso senza cicli;

z.z. La z-connessione.3) G è senza cicli e ha n — r spigoli;4) G è connesso e ha n — r spigoli; Benché connesso, un grafo puo avere dei punti in cui è facile rompere la5) G è senza cicli e l'aggiunta di un nuovo spigolo senza nuovi vertici crea un connessione. In un grafo qualunque si chiama vertice di articolazione ogni ver­

ciclo (unico) ; tice la cui soppressione aumenta strettamente il numero di componenti con­6) due vertici di G sono collegati da una e una sola catena elementare; nesse. Per esempio, in un albero ogni vertice che non è di grado i è un vertice7) ogni insieme F di spigoli di G induce una partizione (unica) di X in due di articolazione. Un grafo con almeno tre vertici è detto z-connesso se è con­

classi /l e B tali che F risulta l'insieme degli spigoli che hanno un estremo nesso e privo di vertici di articolazione. Esempio : un poligono a tre o piu ver­in A e l 'a l tro in B. tici è z-connesso. Whitney ha chiamato manico di un grafo una catena elemen­

tare i cui vertici sono tutti di grado z eccetto gli estremi che sono di grado mag­Un grafo G è dunque connesso se e solo se ammette un grafo parziale chegiore di due.sia un albero: tale grafo parziale si chiama albero di G o albero inscritto in G.

Ne deriva una costruzione di tutti i grafi connessi: qualunque grafo connesso TEQREMA. Un grafo z-connesso che non sia un poligono ammette due manici.può essere ottenuto a partire da un vertice ripetendo le seguenti operazioni: Ne deriva una costruzione di tutti i grafi z-connessi a partire da un poligonoa) aggiunta di un nuovo spigolo che ha per estremi un nuovo vertice e un ver­ per incollamentc di catene elementari per i loro estremi (cfr. fig, z3). Un ma­tice già esistente; b) aggiunta di un nuovo spigolo che ha per estremi due vertici nico infatti non è altro che una porzione di poligono: esso viene richiuso ingià esistenti. Ne deriva per ogni grafo a n vertici, m spigoli e c componenti modi diversi entro il grafo al quale è stato incollato (cfr. fig. z3). Ed è proprioconnesse la disuguaglianza numerica: m)n — c.

la presenza di poligoni che caratterizza i grafi z-connessi:La connessione è, apparentemente, una proprietà globale del grafo; puo

pero essere indotta da proprietà locali> Per esempio, una proprietà dei gradi

Manico z

1/' Manico g

Manico i Pobgonoiniziale

Figura zz Figura z3.Due costruzioni dello stesso albero per innesti successivi. Costruzione di un grafo z-connesso per incollamenti successivi di manici.

Grafo 876 877 Grafo

TEQREMA. Per un grafo G con almeno tre vertici sono equivalenti le seguenti un blocco. Due blocchi di G hanno al piu un vertice comune che risulta verticeproprietà : di articolazione di G e nel caso in cui ne abbiano uno sono detti adiacenti. Il

grafo di adiacenza dei blocchi di un grafo è un albero. Per questo si dice che ir) G è z-connesso; blocchi sono innestati gli uni agli altri come gli spigoli di un albero ai vertici diz) per due vertici qualunque di G passa un poligono; articolazione. Si osserva infine che la scomposizione in blocchi definisce una3) per un vertice e uno spigolo qualunque di G passa un poligono; partizione degli spigoli del grafo.4) per due spigoli qualunque di G passa un poligono; Un poligono z-connesso ha un solo blocco, se stesso. In un albero, al con­5) per due spigoli adiacenti qualunque di G passa un poligono. trario, ogni spigolo costituisce un blocco e l'albero dei blocchi è il grafo com­

Dirac e Plumner hanno costruito i grafi z-connessi minimali rispetto agli mutato. Un qualsiasi grafo connesso può venir costruito innestando gli uni su­

spigoli, cioè tali che la soppressione di uno qualunque dei loro spigoli sopprime gli altri spigoli e grafi z-connessi (fig. z4).la z-connessione. In un grafo z-connesso minimale i manici sono evidentementedelle catene di almeno due spigoli. Piu precisamente, chiamando corda di un 2.3. La h-connessione.poligono uno spigolo che congiunge due vertici non consecutivi del poligonostesso, si ha: Si può generalizzare la nozione di vertice di articolazione chiamando in­

sieme di separazione di un grafo connesso ogni insieme di vertici la cui soppres­TEoREMA. Un grafo z-connesso è z-connesso minimale se e solo se tutti i suoi sione rende il grafo non-connesso o lo riduce a un solo vertice. Si dice che un

poligoni sono privi di corde. grafo G connesso è h-connesso, dove h è un intero maggiore o uguale a r, se G

In un grafo z-connesso minimale risulta che ogni ciclo ha almeno due ver­ ha almeno h+ r vertici e se ogni insieme di separazione di G contiene almeno

tici di grado z, i quali sono in tutto almeno tre. Un grafo z-connesso ha d'al­ h vertici. Dunque la h-connessione di G non presuppone che h vertici siano

tronde un numero di spigoli al massimo uguale a zn — 4 per n vertici. sufficienti a rendere G non-connesso ; analogamente la z-connessione di G nonpresuppone che due vertici siano sufficienti a rendere G non-connesso, ma sol­tanto che un vertice non è sufficiente (non vi sono vertici di articolazione). Il

La scomposi~ione in blocchi. Si chiama blocco di un grafo G un sottografografo completo a n vertici è (n — r)-connesso. Proprio perché «chi può di piu

Gz connesso, senza vertici di articolazione, massimale rispetto a questa pro­ può di meno», la h-connessione di G implica sia la h-connessione di G perprietà (se B include propriamente A, GR non gode di tale proprietà). Se A ha k(h sia la h-connessione dei grafi ottenuti a partire da G con l 'aggiunta dialmeno tre vertici, il blocco Gz è un grafo z-connesso. Se A ha due vertici il spigoli e la (h — x)-connessione dei grafi ottenuti a partire da G per soppres­blocco G~ si riduce a uno spigolo, chiamato istmo di G. Se A non ha che un sione di uno spigolo, o di un vertice, e questo per h>.z.vertice, si tratta di un punto isolato di G. Ogni vertice di G è vertice di almeno La h-connessione, proprio come la z-connessione, è legata intimamente ai

gradi dei vertici. In primo luogo ogni vertice x di un grafo h-connesso è eviden­/

temente di grado superiore o uguale a h. Ciò implica che un grafo connesso a n/

/ vertici e m spigoli è al massimo [zm/n]-connesso; esiste sempre un grafo che/

// raggiunge tale limite (Harary). Bondy e Las Vergnas hanno generalizzato il

/ r/

/ s I criterio dei gradi ordinati per la h-connessione. Ne è risultato un criterio perI /

// / un limite inferiore uniforme per tutti i gradi:

rI / r/ TEQREMA (Chartrand e Harary ). Siano dati un grafo G a n vertici con n)z

/ Vi r e un intero h tale che r <h<n — r. Se tutti i vertici di G hanno grado maggiore o

/ r/

/ ) uguale a [(n+h)/z] — r allora G è h-connesso e questo limite è il migliore possibile/c

I / /fra i l imiti uniformi.r

r

I I I I I

I La h-connessione presuppone una certa densità di catene e di poligoni nelgrafo. Menger fin dal rqz6 ha enunciato il suo teorema delle catene disgiunte:

I lI I I I

TEQREMA. Una condizione necessaria e sufficiente perché un grafo sia h-con­Figura z4 nesso è che si possano unire due vertici a e b distinti con h catene elementari disgiunte

che hanno a due a due in comune soltanto i vertici a e b.I blocchi d i un g r afo connesso.

Grafo 878 8pg Grafo

Ne segue, come corollario, il seguente TEOREMA. Sia G un grafo orientato. Il grafo dedotto da G mediante contrazio­ne in un vertice di ognuna delle componenti fortemente connesse è un grafo senza

TEQREMA. Sia G un grafo h-connesso con h) z; per due spigoli e, ed e, e per circuiti.h — z vertici qualsiasi a,, az, ..., an s passa un poligono di G e per h vertici qual­siasi passa un poligono di G. I grafi orientati si rivelano particolarmente utili per l'analisi dei processi di­

screti e degli automatismi sequenziali. Per esempio, il difficile problema del son­Infine Erdos e Chvátal hanno precisato in che modo la h-connessione puo daggio di un circuito logico allo scopo di individuarne le cause di disfunziona­

generare l'esistenza di un poligono hamiltoniano utilizzando il numero Iz (G) mento fa intervenire la nozione di cammino sensibile, cioè di cammino lung/?'ilintrodotto a p 86/i . quale è stato veicolato un errore. Il grafo delle componenti contratte può p/er­

TEoREMA. In un grafo G h-connesso tale che Iz(G)(h esiste un poligono ha­mettere di isolare le parti sane del circuito logico.

miltoniano.I teoremi di connessione sono spesso estesi ai grafi orientati, ma, general­

mente, è il caso non orientato che viene trattato per primo.Quali strutture matematiche classiche sottendono le analisi di connessione?

z.4. La connessione forte. La questione è importante se si vuole prevedere in che direzione si svilupperàla teoria. Tutte le proprietà citate sono infatti stabilite con ragionamenti com­

Considerando non piu catene ma cammini, e non piu poligoni ma circuiti, binatori autonomi ed è per questo motivo che sono state collocate all'iniziosi generalizza la connessione dei grafi non-orientati alla connessione forte dei dell'articolo rinviando alle pagine successive le ricerche piu strutturate. Es­

grafi orientati. I l grafo è fortemente connesso se da ogni vertice a ogni altro senzialmente sono dunque le domande della pratica e il buon senso dei teoriciesiste un cammino. E quindi : che orienteranno i prossimi affinamenti nello studio del tessuto delle catene

e dei cammini di un grafo. I legami della proprietà di essere un grafo hamil­TEQREMA. Vn grafo connesso èfortemente connesso se e solo se per ogni arco toniano con altre proprietà costituiscono ancora una sfida per gli studiosi di

passa un circuito. combinatoria. Bisogna però far menzione di alcuni felici tentativi di struttu­

Si chiama componente fortemente connessa di un grafo orientato ogni sot­ razione della connessione in questioni particolari; infatti sono proprio alcuni

tografo fortemente connesso massimale. Le componenti fortemente connesse in­ problemi di calcolo ad averne manifestato la necessità in tre casi. Prima di tutto

ducono una partizione dei vertici del grafo. Per quanto riguarda gli archi non c'è il caso dei problemi di labirinto e degli algoritmi di cammino miope che so­

appartenenti alle componenti fortemente connesse vale il seguente risultato no trattati dalla struttura delle parole di Dyck. C'è poi il caso delle enumerazio­

(fig. z5): ni di catene e cammini trattati anche nella struttura di monoide da Pair e Der­miane con il ricorso ad automi a pila. Infine vi sono i problemi di ottimizzazionedi cammini e catene, trattati con una grande generalità da Gondrant in una

II struttura matriciale appropriata.III

III Grafi e geometrie combinatorie.

/

Dato un grafo connesso qualunque, dato cioè un certo disordine, ha un cer­to interesse cercare di reperirvi dell'ordine: trovare cioè famiglie di oggetti chehanno proprietà forti e sono nello stesso tempo suscettibili di rispondere a pro­blemi concreti. Si è capito che a questo scopo occorreva considerare, piuttostoche i vertici, insiemi particolari di spigoli e, piu precisamente, i cicli elementari

I 1I I o poligoni, gli alberi, ma anche i coalberi che sono i complementi degli alberiIIf nell'insieme degli spigoli, e infine i cocicli elementari (nozioni queste che sonoI state tutte definite nel $ z.r) ; ed è emerso che occorreva studiare i rapporti daII

famiglia a famiglia e non da oggetto a oggetto. Il gioco delle intersezioni e delledisgiunzioni ha generato una teoria elementare della trasversalità e il gioco del­

Figura z5 la dipendenza e dell'indipendenza l'ha poi estesa alle geometrie combinatorie

Organizzazione delle componenti fortemente connesse di un grafo or ientato. (come si vedrà in due diverse riprese).

GrafoGrafo 88o 88I

Assegnare un ordine totale sull'insieme di base E permette di stabilire il piu

3.I. I sistemi di trasversali minimali. semplice dei teoremi di minimo della matematica (o teorema del punto di sella).

TEQREMA. Sia dato un s.t.m. (A, $) su un insieme E totalmente ordinato;Dato un insieme E finito (per esempio quello costituito dagli spigoli di un esiste un elemento c di E detto punto di sella del s.t.m. definito da

grafo), si chiama famiglia su E ogni famiglia di insiemi di elementi di E; se min max (x) = max min x = c.nessun insieme della famiglia è incluso in un altro, allora si parla di una famiglia Aek AA B eS xc Bdi minimali (o famiglia semplice o di Sperner ). Se Jl, è una famiglia di mini­mali, un minimale, o elemento di A, è indicato AeA. La famiglia dei com­ A ogni s.t.m. (A, $) si può associare il s.t.m. (P, $) in cui S

= Co($) e i

plementi in E dei minimali di dl, cioè degli insiemi E/A, viene indicata con due s.t.m. sono detti duali l'uno dell'altro. George Minty, per mettere in rela­

Co(dl) ; è evidentemente una famiglia di minimali. Se un insieme BcE ha in­ zione questi due s.t.m., ebbe l'idea di isolare un elemento di E prima di fare latersezione non-vuota con tutti i minimali A di una famiglia dl, B è detto un bipartizione :trasversale di A, e B è trasversale minimale di dl, se ogni insieme incluso pro­ LEMMA DELLA TRIPARTIXIQNE. Siano (Al,, $) e (C, J)) due s.t.m. su E conpriamente in B non è a sua volta trasversale di A, o ancora, se per ogni elemento Z = Co(JS) e sia g@E. Per ogni tripartizione della forma E = E,+g+Es (conbeB, esiste un Ac% la cui intersezione con B è proprio (b}. La famiglia dei E, o E, eventualmente vuoti) esiste un Aedi, contenente g e disgiunto da Es, op­trasversali minirnali di A, indicata con Tr (A) è una famiglia di minimali. pure esiste un Ce C contenente g e disgiunto da E,.

TEOREMA. Tr (Tr(A)) = A. Possono esistere entrambi.Per insistere sulla reciprocità si chiama allora sistema di trasversali minimali

(A, $), o s.t.m., una coppia di famiglie di minimali sullo stesso insieme E, 3.2. I grafi e i s,t.m.tali che Tr/ = S (e TrS = A). Gli A eA sono trasversali dei Bc$ e reciproca­mente. Esempio : se A rappresenta le terne di spigoli dei triedri di un tetraedro, Su un grafo G connesso i cui spigoli formano l'insieme E (sono ammessi$ rappresenta le stesse terne piu le coppie di spigoli opposti. Il teorema di re­ cappi e spigoli multipli tra due vertici), si possono definire quattro famiglie diciprocità è un corollario del seguente enunciato perfettamente simmetrico: insiemi di spigoli; la famiglia A dei cocicli minimali y, la famiglia S degli al­

beri T, la famiglia C dei cicli minimali (o poligoni) y e la famiglia S dei coalberiTEQREMA DELLE BIPARTIzIQNI. Un a coppia (dl,, $) di famiglie di minimali su S (cfr. la definizione nel ( z. I e la fig. z6). È chiaro Per definizione che J)

= Co(J3).E è un sistema di trasversali minimali se e solo se, per ogni bipartizione E = Et +E, Si riesce a stabilire, inoltre, che (A, J3) da una parte e (8, J)) dall'altra sono dei(cioè E = EIUEa, E, ed Es disgiunti, eventualmente vuoti), esiste un A eAincluso s.t.m. La dualità ciclo-cociclo in un grafo è dunque riassunta dalla formulain E,, oppure un Be.J3 incluso in E„m a non entrambi. (cfr. fig. zp)

Si osservi la forma esclusiva dell'enunciato, che infatti è tra i piu semplici e = Tr (<. («(>)))enunciati di esclusione della matematica, viste le poche definizioni che lo pre­ Assegnare una qualunque delle quattro famiglie df,, S, C, J) permette dicedono. La dimostrazione, che contiene argomenti tipici della tematica della dedurre le altre tre. Inoltre ogni enunciato può essere trasformato per recipro­trasversalità e delle geometrie finite, si articola in due parti. Si dimostra dappri­

cità e per dualità. La trasversalità garantisce che per uno spigolo di un cocicloma che un s.t.m. (dl, $) soddisfa la proprietà esclusiva per una bipartizione qua­lunque Es+Es ­— E; innanzitutto non possono esistere un Ac E , e un B c E ,poiché A e B sono sempre trasversi ; e se non esistono per esempio degli A c E„

Iallora ogni A interseca E„che risulta dunque trasversale di el, e quindi contiene f

I I I I iI l

un trasversale minimale di A, un B; dunque BcE , . Reciprocamente, se una lI

famiglia (dl, $) di minimali su E soddisfa la proprietà di esclusione delle bipar­ If lI s I

tizioni, allora $ = Tr (A). Si consideri, infatti un B e J3 e si ponga E, = B ; Il

la proprietà comporta che nessun A è incluso in E„poiché B cEa, cioè che tut­ r Ir

ti gli A intersecano Es o ancora che B è un trasversale di dI; B inc lude dun­ bbque un trasversale minimale Ce Tr (A). Si ponga allora Es= C; la proprietà Cociclo minimale A lbero e coalbero Cic l onnnrmale o pobgono

comporta che nessun A è incluso in E„ po iché C è trasversale di dl, cioè che Cinclude un B'c J3; ma B' = B perché B è un minimale; di qui l ' identificazione Figura a6.

delle due famiglie S e Tr (el). Quattro oggetti fondamentali costituiti d i spigoli.

30

Grafo 88z 88g Grafo

minimale passa un albero che lo incontra solamente in quello spigolo e che,dualmente, da uno spigolo di un poligono passa un coalbero che lo incontrasoltanto in quello spigolo. In particolare gli enunciati reciproci dei precedenti

g.q. Le geometrie combinatorie (o matroidi ).sono migliorati con una proprietà di unicità: il cociclo T che incontra lo spigolo Una geometria combinatoria (A, S, C, S) è definita, secondo Minty, asse­u dell'albero T esattamente in u è unico, il poligono S" che incontra lo spigo­ gnando su E due s.t.m. (g, $) e (C, $) tali che %= Co($) e che soddisfinolo v del coalbero S esattamente in e è unico. T" è un cociclo fondamentale as­ il lemma della tripartizione esclusivo (cfr. ( g.z). L'esempio dei grafi è statosociato a T, S" un poligono fondamentale associato a S. presentato poco sopra. Si enunceranno ora alcune proprietà generali delle geo­

Il teorema delle bipartizioni permette, per esempio, di asserire che, se metrie combinatorie. Due sottoinsiemi di E sono ortogonali se non hanno inEi c E non include cocicli, esiste un albero disgiunto da E,; se Eac:E non in­ comune un unico spigolo ; per ogni famiglia di minimali A si costruisce una fa­clude alberi esiste un cociclo disgiunto da Es. Lo stesso accade dualmente per i miglia di minimali ortogonali a A. Si dimostra la seguente relazione fra A e Cpoligoni e i coalberi. (fig. z8):

Il lemma della tripartizione per i grafi ha la particolarità di essere di esclu­sione: per ogni ge E e per ogni tripartizione E = Et+g+Es esiste un cociclo TEQREMA. In una geometria combinatoria (A, S, P, $) le famiglie dl e P sonoelementare che passa per g disgiunto da Es, oppure un poligono che passa per g ortogonali l'una all 'altra.

disgiunto da E„ma non entrambi. Ci s'imbatte in risultati geometrici interes­santi prendendo per E„ n e l l 'ordine, l'insieme vuoto, uno spigolo, un cociclo

L'assiomatica delle geometrie combinatorie appena data è autoduale. Nelle

minimale, un poligono, un albero, un coalbero: g è un istmo se e solo se per g prime assiomatiche Whitney (rcigg) si accontentava di fatto di una proprietà

non passano poligoni. g è un cappio se e solo se per g non passano cocicli. Unodefinita su una sola famiglia:

spigolo che non è istmo costituisce con un altro spigolo un cociclo minimale se TEOREMA. Una famiglia di minimali A su E definisce una geometria combina­e solo se ogni ciclo che passa per l'uno passa anche per l'altro. Uno spigolo che toria se e solo se per ogni coppia di minimali A, e Asck, per ogni aa E comunenon è un cappio, costituisce con un altro spigolo un poligono se e solo se ogni a A, e As, e per ogni be A t/As esiste un Asek che passa per b e non per a.cociclo che passa per l'uno passa anche per l'altro. Lo spigolo g è corda di unpoligono y se e solo se ogni cociclo che passa per g incontra y; l'enunciato duale O ancora:

definisce una corda di un cociclo co come un arco geco tale che esiste ùn co­ TEOREMA. Una famiglia di minimali S su E definisce una geometria combina­ciclo co' che passa per g ed i cui altri elementi sono inclusi in oo. Siano ora toria se e solo se per ogni coppia di minimali B,,Bs e S e per ogni b, c B„esiste undati un poligono yo e uno spigolo g4 po: allora esiste un poligono che passa per bs@Bstale che B,gb i+bs E S.g disgiunto da yo, oppure un cociclo che contiene g ed i cui altri elementi sonocontenuti in yo, ma non entrambi. Vale anche la proprietà duale. Siano dati Nelle due definizioni di Whitney con un assioma di scambio dai minimaliun albero To e un arco ge To; allora esiste un poligono che incontra To esat­ di una famiglia si possono dedurre le tre altre famiglie, come è indicato sullotamente in g, oPPure un cociclo che Passa Per g ed è incluso in To, ma non schema relazionale della figura z8. In origine Van der Waerden si proponeva dientrambi. sviluppare con le geometrie combinatorie una teoria dell'indipendenza lineare:

La proprietà di esclusione del lemma della tripartizione conferisce a A, S, ogni parte di un Te S è un insieme indipendente e i T (gli alberi) sono gli in­C, S qualcosa di piu di una struttura di trasversalità: essa conferisce loro una siemi indipendenti massimali ; ogni altra parte è dipendente e i dipendenti mi­struttura di geometria combinatoria. nima!i sono i poligoni p c'. Il rango di Fc:E è i l numero cardinale del pitt

grande insieme indipendente contenuto in F.

SCocicli Alberi Trasversalità

C,Ortogonalità Complementarità

Tf

Poligoni Coalberi C STrasversalità

Figura z't. Figura zg.Quattro famiglie collegate nella trasversalità. Quattro relazioni reciproche in un a m a t to ide.

Grafo 88g 88g Grafo

In particolare tutti gli alberi di un grafo hanno la stessa cardinalità e que­ combinatoria un grafo è un complesso simpliciale di dimensione uno. È dunquesta costituisce il rango della matroide associata. naturale l'idea di studiare un grafo qualunque associando ai suoi vertici e ai suoi

Tutte ( Iqg8) ha rivelato l'importanza delle geometrie combinatorie carat­ spigoli dei numeri: prima di tutto o e I, poi degli interi relativi e infine dei nu­

terizzandole come rappresentabili coi poligoni di un grafo. Per introdurre que­ meri reali (cfr. il $ g.g dell'articolo «Geometria e topologia» in questa stessas to enunciato occorre anzitutto definire i m i n or i d i u n a matroide. Siano Enciclopedia). Ne risultano proprietà combinatorie molto eleganti, che esten­(A,,/3, P, $) una matroide su E, definita semplicemente da C, e sia Sc:E. Si dono i risultati delle geometrie combinatorie (cfr. ) g), nonché la risoluzione dichiama contrazione C. S di 8 a S la famiglia di minimali che sono interse­ molteplici problemi lineari di esistenza e di ottimizzazione di reti concernenti

zione di S e di un insieme della famiglia C; si chiama restrizione C x S, di tanto i flussi di corrente elettrica quanto i flussi di merci e di informazione. Ma

C a S la famiglia degli insiemi di P inclusi in S. Una matroide ottenuta da C inversamente anche i sottomoduli regolari di Ghouila-Houri e le caratterizza­

mediante una successione di restrizioni e di contrazioni viene detta minore della zioni delle matrici unimodulari di Camion rappresentano degli apporti originalimatroide definita da A. Una matroide (Al, S, 8, g) è binaria se % è l'insieme dei grafi all'algebra lineare.dei supporti minimali di un sottospazio di z+ (cfr. oltre, ) g.i).

TEQREMA (Tutte ). Una matroide binaria P è grafica (matroide dei poligoni di 4.I. Spazio vettoriale su GF (z) e proprietà di parità.un grafo) se e solo se P non ammette minori che siano la geometria di Fano, la suaduale o la famiglia dei cocicli minimali di Ks o di K 3

Sia G = (X, E) un grafo non orientato dotato eventualmente di cappi e dispigoli multipli. Si consideri S = zE, spazio vettoriale su GF (z), corpo di Ga­

Cocicli, alberi, poligoni e coalberi di un grafo definiscono una matroide che lois con due elementi, avente per base canonica gli elementi es E. Ogni insieme

è innanzitutto una matroide binaria, nella quale dunque domina l'algebra della A c:E è rappresentato da un vettore A (per abuso di notazione) in cui la com­differenza simmetrica: negli assiomi di scambio non c'è piu esistenza, ma uni­ ponente e, A„va le r se es A e o nel caso contrario. e designa altrettanto benecità. Uno spazio vettoriale qualunque sugli spigoli genera interessanti risultati, (abuso di notazione) un elemento di E, il sottoinsieme (e) c: E e un vettore dellacome sarà descritto nel ) y. base canonica di 5. Si ha e +e = o e piu generalmente A+A = o per ogni

Ae g. La somma AgB corrisponde alla differenza simmetrica degli insiemiL'albero minimo e l'albero massimo. Choquet in uno spazio metrico, Krus­ A e B. I l p rodotto scalare in S è definito per A,Bc 5 da

hal in un grafo astratto hanno definito l'albero piu corto o piu lungo di un grafovalutato. L'idea si generalizza alle matroidi su un insieme E sul quale sia defi­ (A,B) =g A ,B„

eeEnito un ordine totale.

TEQREMA (Rosenstiehl). L'ordine parziale dellafamiglia S delle basi di unaove la moltiplicazione e la somma sono quelle di. GF (z).

matroide defsnita scrivendo ogni base secondo una r-pia di elementi crescenti, am­S i dice che A è p ar i s e (A, A) = o, che A e B son o o r togonali se

mette un minimo detto albero minimo B~ della matroide e un massimo detto albero(A,B) = o. Se A e B sono ortogonali la loro intersezione insiemistica è pari,cioè la sua cardinalità è un numero pari.

massimo B~ della matroide e caratterizzati nel modo seguente: B~ passa per il piu Se S è un sottospazio di F~, il sottospazio ortogonale di S è:piccolo elemento di ogni A eA (i cocicli) e non passa per il piu grande elemento diogni Ce 8 (i cicli), B~ passa per il piu grande elemento di ogni A e% e non passa S-t = /IBc 5 ~(A,B) = o per ogni A e%).per il piu piccolo elemento di ogni Ce 8. Si ha (S~) t = S e dim J)+dimSt = cardE Si definisce anche 'K = z+.

La relazione di incidenza spigoli-vertici di (X, E) induce due applicazioniGrafi e algebra. l ineari, una di @ in K , l ' altra di K i n S :

Il bordo di uno spigolo e è la somma dei vertici incidenti a e e l'applicazione li­Lo studio dei grafi ha tratto molto dalla teoria dei gruppi e dall'algebra li­ neare bordo ò :@~K è estesa a 5 per linearità o(A) =g òe.

neare. Per quanto concerne i gruppi si tratta dello studio dei gruppi di auto­ eeA

morfismi di un grafo, sviluppato particolarmente sui grafi regolari; cosi tuttiIl cobordo 8x di un vertice x è la somma degli spigoli incidenti a x e l'applica­

i gruppi finiti sono presi in considerazione per il momento senza distinzionezione lineare cobordo 8 : K~S è estesa a K per l inearità 8s=g 8x.

xcSforte (Frucht e Sabidussi) e l'apporto alla teoria dei gruppi di risultati specifici Siccome la relazione d'incidenza tra lo spigolo e e il vertice x è reciproca, sidei grafi, cosi come sono abbozzati nei paragrafi precedenti, deve ancora essere ha (e, Bx) = (òe, x) e piu generalmente (A, 8s) = (òA, s) ; di qui risulta cherealizzato. Al contrario, i rapporti fra grafi e algebra lineare sono stati estre­ se il bordo di A è nullo, A è ortogonale a ogni cobordo. Gli elementi di Keròmamente fecondi per entrambi i domini. Dal punto di v ista della topologia elementi di bordo nullo sono chiamati i cicli (algebrici) di G, essi consistono di

Grafo 88p Grafo

una somma di poligoni disgiunti; gli elementi di Im8 sono i bordi o cocicli Tripartizione degli spigoli. Se S è un sottospazio vettoriale di 5 s i ha(algebrici) di G (già definiti al ( z) . L 'algebra di GE(z) comporta in modonaturale che la differenza simmetrica di due cicli è un ciclo e di due cocicli un dei bicicli, oggetti che sono nello stesso tempo cicli e cocicli. Dunque ognicociclo cosi come comporta la proprietà seguente: un ciclo e un cociclo hanno insieme ortogonale a ogni biciclo è la somma di un ciclo e di un cociclo. In par­in comune un numero pari di spigoli. O meglio, sussiste il ticolare, poiché ogni biciclo è pari, in questo caso sussiste il

TEOREMA. (Ker ò)< = Im 8. TEoREMA. Gli spigoli di un grafo si ripartiscono in un ciclo e in un cociclo.

Un albero è un grafo connesso tale che Kerò = (o}, da cui Im8 = K, cioè E se ogni spigolo non appartiene ad alcun biciclo sussiste il

tale che ogni insieme di spigoli è cociclo di un albero, proprietà che non è altroche l'estensione lineare a S della proprietà: ogni spigolo di un albero è un istmo.

TEOREMA (Rosenstiehl ). Ogni spigolo e di un grafo appartiene a una delle tre

Un trasversale minimale Y dei cocicli è un albero di G ( ) 3) e i l cocicloclassi P, O, R seguent~: r ) e appartiene a un ciclo clie per soppressione diventa co­

Y' che incontra Y esattamente in e è detto cociclo fondamentale associato a Y'.ciclo, n ) e appartiene a un cociclo che per soppressione diventa ciclo, nr ) e appar­tiene a un biciclo,

Se G non è connesso, allora Y non è formato dagli spigoli di un albero, ma diun grafo senza cicli. In un grafo senza bicicli R è vuota e ogni spigolo e si decompone univoca­

TEQREMA. I cocicli fondamentali associati a un albero costituiscono una base dimente in una somma di cicli e cocicli : e = y(e)+u(e). P è allora un ciclo e P

Kerò. Ia t raccia su Y dei cocicli è un isomorfismo di Kerò su zY un cociclo. P è ortogonale a tutti i cicli pari e O è ortogonale a tutti i cocicli pari.

Ne seguono interessanti teoremi di parità.

Un trasversale minimale Z dei cicli è un coalbero () 3) complementare di TEQREMA (Chen), Il numero di alberi di un grafo connesso è dispari se e soloun albero (Z+ Y =E ) e il c iclo Z' che incontra Z esattamente in e è detto se il grafo è senza bicicli.ciclo fondamentale. TEOREMA (Shank, Fraysseix). Gli spigoli di un grafo G che appartengono a

TEQREMA. I cicli fondamentali associati a un coalbero Z costituiscono una baseun numero dispari di alberi costituiscono P se G è senza bicicli, R se G ha un solo

di Im8. La traccia su Z dei cicli è un isomorfismo di Im8 su zz.biciclo, O se il grafo ha piu di un biciclo.

Ne segue una notevole relazione geometrica fra i cicli e i cocicli fondamen­Si chiama grafo pari un grafo senza cocicli dispari e si chiama grafo bipar­

tito un grafo senza cicli dispari.tali quando Y+ Z = E :

TEQREMA. Il c iclo fondamentale Z' associato allo spigolo e del coalbero Z èTEQREMA (Fraysseix). Gli spazi vettoriali dei cocicli e dei bicicli di un gra­

costituito da e e da tutti gli spigoli f dell'albero Y' tali che il cociclo fondamentale fo pari hanno stessa parità. Gli spazi vettoriali dei cicli e dei bicicli di un grafobipartito hanno stessa parità.Yt passi per e. E dualmente, scambiando ciclo e cociclo.

In un grafo planare tracciato sul piano (o sulla sfera) Shank ha rivelato l'in­Si ponga cardX =n, cardE = m e si indichi con p il numero di componen­ teresse dei cammini «prima a sinistra, prima a destra».

t i connesse. Allora dimIm8 = n — p, dimKerò =m — n+p, d imImò = n — p e

dim Ker8 = p. Se G è connesso e planare, le sue facce diverse dalla faccia ester­TEOREMA (Shank). In un grafo planare senza bicicli tracciato sul piano si con­

na sono m — n+ r e costituiscono una base dello spazio vettoriale dei cicli. Ognisideri un cammino «prima a sinistra, prima a destra» completo. Ogni spigolo è

spigolo appartiene evidentemente a due facce.percorso due volte. Ogni spigolo e percorso due volte nello stesso senso app t 'o appar ienea e g i spigoli percorsi una sola volta tra due passaggi in e del cammino costitui­

TEQREMA (MacLane). G è planare se e solo se ammette una base dei cicli tale scono, con e, y (e), Uno spigolo e percorso una volta in ogni senso appartiene a Qche ogni spigolo appartenga al massimo a due cicli della base. e gli spigoli percorsi una sola volta tra due passaggi in e del cammino cost 'to cos t uiscono~

Il grafo di adiacenza delle facce di un grafo planare G è detto duale G»con e, m(e).

di G. G" è evidentemente planare. Gli spigoli di G e G» sono canonicamente Reciprocamente si definisce per un grafo senza bicicli la diagonale come unassociati a due a due e cosi pure i cicli dell'uno e i cocicli dell'altro, Dal punto cammino passante due volte per ogni spigolo, tale che per ogni spigolo e, l idi vista astratto si dice che due grafi G e G» sono duali se esiste una biiezione spigoli percorsi esattamente una volta tra due passaggi in e costituiscano, con e,

di E(G) su E(G») detta dualità tale che r) ogni cociclo di vertice di G abbia y (e) se es P e ro (e) se e< g.per duale un ciclo di G», e it) ogni poligono di G» sia il duale di un cociclo di G. TEQREMA (Rosenstiehl). Un grafo senza bicicli è planare se e solo se ammette

TEoREMA (Whitney). Un grafo è planare se e solo se ammette un duale. una diagonale algebrica.

Grafo 888 88g Grafo

Dati due vettori x, x' c ZE, si dice che x è conforme a x' se per ogni arco eper il quale xe+o allora x, xe')o .

y.z. Grafi e Inoduli. TEQREMA (Ghouila-Houri ). Ogni flusso cp non nullo è combinazione lineare aGli elettrotecnici iniziarono la teoria algebrica dei grafi associando nu­ coefficienti positivi di flussi primitivi conformi a p. Se G è senza cocircuiti, allora

meri reali agli spigoli e agli archi di un grafo orientato ; con la ricerca operativa Kerò ammette per base una famiglia di flussi primitivi aventi per componenti solodegli anni 'go viene rilanciata l'algebrizzazione dei grafi associando interi rela­ o e + I, cioè di circuiti.

tivi ai vertici e agli archi di una rete di trasporti. L'operazione è semplice: se siassocia all'arco e il carico u, si associa congiuntamente +u al vertice terminale Compatibilità. Un d a to grafo G ammette sempre almeno un flusso e una

di e e — u al vertice iniziale di e; ciò costituisce lo svuotamento e il r iempi­tensione, lo zero dello spazio vettoriale corrispondente. Al contrario, si pone un

mento operato dall'arco e caricato della quantità u o bordo di u.e. Se si asso­problema di esistenza per un flusso q inquadrato, cioè tale che ae(pe<be per

cia al vertice x il potenziale v, si associa congiuntamente p v a ogni arco di cui ogni es E.

x è estremità iniziale e — v a ogni arco di cui x è estremità terminale ; ciò co­ TEOREMA (Hoffman, Ghouila-Houri ). Dati x, p c Z, G am mette unflussostituisce il cobordo di v.x. Si giunge a una semplice generalizzazione di cio

' 'I

q>cKerò con x(a p<p se e solo se per ogni cociclo elementare Io di G si ha

che è stato fatto con GF (z) nel ( g. I . /ac — g e P ae ­/be.Per un grafo orientato G = (X, E) si consideri il modulo Z+ avente per base eco)+ ecco ­ ecc) — ec u +

canonica gli elementi eeE. Ogni vettore xcZ s i s cr ive x= Z x, e. Il prodot­

to scalare (x, x') = 5' x,.x,'. A ogni sottomodulo S di Z si associa il modu­La proposizione duale è vera per le tensioni.

eeglo ortogonale S~. Le stesse definizioni valgono per Z . L applicazione bordoX I.EMMA DEOI.I ARcIII cor,oRATI (Minty). Sia data una colorazione, blu, bian­

ca e rossa degli archi di un grafo orientato: E =Er+E»+E» con E» non-vuoto.ò : ZE~Z+ è l 'applicazione lineare definita sulla base canonica da ò(e) =y — x

Allora per ogni g e E, esistono: I ) un poligono oI c E, + E, con g c oI+ e oI E,coI+;(x è il vertice iniziale di e, y i l v er t ice terminale). L'applicazione cobordo8:Z ~Z @ è l 'aPPlicazione lineare definita da (8x)e= x y — x~. Kerà è i l z) un cociclo minimale ycE,+E , con gay+ e y.E»cg+; ma non entrambi.

modulo dei flussi di G, Ker8 il modulo delle tensioni. Si ritrova l'ortogonalità La dimostrazione si esegue per induzione sul numero di archi bianchi. Per(Kerò) I. = Im8. I cicli e i cocicli fondamentali associati a un albero Y e al suo valori particolari di E„E, ed E» il lemma diventa : I ) passa per g un cocircuitocoalbero Z permettono di costituire una base dei flussi e una base delle tensioni : tutto bianco, z ) passa per g un poligono rosso e bianco di cui tutti gli archiper ec Z si percorre il poligono fondamentale Z' in un senso arbitrario e questo bianchi sono orientati nello stesso senso, ma non entrambi ; oppure ancora:

permette di separare gli archi che sono nel senso del percorso Z'+ dagli archi I ) passa per g un cocircuito, oppure z ) passa per g un circuito, ma non entrambi.in senso contrario Z' ; s i costruisce pe ponendo q>'„ = I se uc Z ' + , cp„' = — I se

u E Z' e ~r ' =o se u <Z'. Nello stesso modo per ee V si consideri ScX t a leVuche 8(S) = Y'; si separino allora in Y'' gli archi orientati da S verso X +S, Ipergrafi e programmazione intera.siano Ye+, e gli archi orientati in senso contrario; se ne deduce fle, Le dimen­sioni di Kerà e di Im8 sono dunque quelle già ottenute per il corpo di due ele­ Un grafo può essere considerato come una famigha di coppie di vertici, dettementi GF (z). Si chiama supporto S(x) di un vettore xc Z l ' insieme degli archi spigoli. Si generalizza in questo modo il concetto di spigolo considerando in­e tali che x,go. Si chiama flusso primitivo qP associato al poligono y = y+ +y siemi di vertici di cardinalità qualunque. Si ottiene cosi una famiglia di insiemi(di cui si sono raggruppati gli archi che sono nello stesso senso sul poligono ), chiamata ipergrafo per indicare che si studieranno proprietà di cicli, di colora­un flusso di supporto y con componenti o, I e — I costruito come sopra con zione, ecc. le cui problematiche sono quelle tracciate dalla teoria dei grafi.

+ I suy +e — I s u y . DEFINIzIoNE. Vn ipergrafo H è una famiglia di insiemi non vuoti E I, E», . . . ,

TEQREMA. Se un flusso rp ha un supporto minimale, allora ha per supporto un E ~ detti spigoli di H . U E ;= X = (x» x», ..., x„) è l ' insieme dei vertici di H.

poligono y ed esiste un ke Z tale che q>= k p'r(Kerò è un sottomodulo regolare). E; e x, sono incidenti l'uno all'altro se x;e E;. Due spigoli E, e E» sono adiacentiTEQREMA. Ogni flusso qI è una somma di flussi primitivi di supporto incluso nel se esiste un xe EIAE~.

supporto di qI. La prima idea che venne in mente a Berge nel Ig68 fu di estendere agli spi­

Gli stessi risultati valgono dualmente per le tensioni. goli degli ipergrafi le proprietà degli spigoli dei grafi bipartiti come per esempio

I teoremi di isomorfismo sull'albero e sul coalbero enunciati per GF (z) la proprietà di Konig (per cui si veda il $ z.y dell'articolo «Combinatoria» in

si generalizzano a Z. questa stessa Enciclopedia). Vi sono state numerose estensioni in particolare

8t) i Grafo

per.le uguaglianze di invarianti (( 5. i ). La fecondità del metodo di estensioneè emersa in pieno coi recentissimi risultati concernenti la programmazione li­neare intera ($ g.z).

• •

V us)5.r. Tipologia degli ipergrafi.

a) Senza cicls' b) Senza ciclo dispari c) Iperalbero

Per maggior chiarezza si considerino degli ipergrafi semplici, cioè tali chenessuno spigolo sia incluso in un altro. Un ciclo è una sequenza(x;,, E;,, x;,, E;,,..., E;„, x;,), con h) z, formata alternativamente di vertici e di spigoli, con ognispigolo incidente ai due vertici che lo racchiudono, con gli spigoli tutti differenti

o • • • a • • • • • e con i vertici tutti differenti eccetto il primo e l'ultimo (fig. zt) a e b). Il numeroh degli spigoli della sequenza è la lunghezza del ciclo. Un ipergrafo è connesso

(ipergrafo d' intervallo)se esiste tra ogni coppia di vertici una sequenza di spigoli via via adiacenti.

La matrice di incidenza A di un ipergrafo H a n vertici e m spigoli è la ma­d) Unimodulare e) Equi librato trice (a','.) con n linee e m colonne con as = i o o a seconda che il vertice x; sia in­

cidente o no allo spigolo E;. All'ipergrafo duale Hu di H corrisponde come ma­trice di incidenza la trasposta di A. Un ipergrafo è unimodulare se tutte le sotto­matrici quadrate della sua matrice d'incidenza hanno determinante uguale ao, i o — r. Se H è unimodulare, evidentemente anche Hu è unimodulare. Gliipergrafi d'intervalli, o famiglie di insiemi di interi consecutivi, sono unimodu­lari (fig. zt)d).

TEQREMA (Ghouila-Houri). Hè un ipergrafo unimodulare se e solo se ogni sot­toipergrafo HT- ammette una bicolorazione equa, cioè una bipartizione (Y„Y,)

Ka di Y' tale che — r» IEi~ Yi l I '> Yzl» P ' 2f) Normale g) Con proprietà degli spigoli colorati

Per sottoipergrafo H> di H associato all'insieme di vertici Yc:X, s ' intendela famiglia delle intersezioni non-vuote degli spigoli di H con Y; Un ipergrafoè equilibrato se ogni ciclo dispari ammette uno spigolo che contiene tre deivertici del ciclo. L'ipergrafo della figura zt)e è equilibrato perché per il suo ciclodi lunghezza 7 esiste lo spigolo di cardinalità y che contiene g dei suoi vertici ;non è però unimodulare perché non si può giungere ad applicargli una bicolo­

(Ks) razione equa.h) Con proprietà di Helly i) Con proprietà di Erdos, Ko e Rado Si indica con v (H) il piu grande numero di spigoli di H a due a due disgiunti

e con ~(H) la cardinalità del piu piccolo trasversale Tc:X degli spigoli di H.Evidentemente v (H) (z (H). Per un grafo bipartito G, v(G ) = v(G) non è altroche il teorema di Konig (cfr. il ) z.7 dell'articolo «Combinatoria» in questastessa Enciclopedia). Per questo si dice che un ipergrafo H verifica la proprietàdi Konig se v (H) = w(H). H è poi detto normale se ogni ipergrafo parziale diH verifica la proprietà di Konig (per ipergrafo parziale associato a una sotto­famiglia H' degli spigoli di H s' intende, beninteso, l'ipergrafo di spigoli H' )(cfr. fig. zt)f).

Si indica con h.(H) il grado massimo di H, cioè il numero massimo d'inci­I) Pseudoequilibrato k) Bicolorabile • denze di un vertice e con q(H) l'indice cromatico, cioè il piu piccolo numero di

colori necessari per colorare gli spigoli di H in modo che due spigoli adiacentiFigura zti. abbiano colori differenti. Evidentemente q(H) o6 (H). Se q(H) = b (H) si diceEsempi di ipergrafi.

Grafo 89z 89g Grafo

che l'ipergrafo H verifica la proprietà degli spigoli colorati. Il grafo completo Si dice che H è bicolorabile se si possono colorare i vertici di H con due

Kz~ ha la proprietà degli spigoli colorati (Lucas) ma non è normale perché colori senza che nessuno spigolo di cardinalità superiore a i sia monocromatico

ammette un ciclo di lunghezza g (fig. 29g). (fig. z9k).Si chiama fascio una famiglia H'c:H di spigoli a due a due adiacenti. Si Si dice che H è un iperalbero, se H è semplice e se ogni ciclo di lunghezza

dice che H verifica la proprietà di Helly se gli spigoli di ogni fascio di H hanno superiore a z contiene uno spigolo contenente (a sua volta) tre vertici del ciclo.una intersezione comune non-vuota. Las Vergnas ha mostrato che un iperalbero ha due vertici di grado i (fig. 29c).

Un grafo verifica la proprietà di Helly se e solo se non contiene triangoli. I principali teoremi attuali sugli ipergrafi sono i teoremi di inclusione delle

Un ipergrafo di intervalli di N o di un reticolo soddisfa la proprietà di Helly diverse famiglie definite piu sopra e che si sono riunite in un diagramma (cfr.e ugualmente il suo duale (fig. z9 d e k). Si dice che H verifica la proprietà di fig. go).Erdos, Ko e Rado se il cardinale massimo di un fascio è uguale al grado massi­mo 5(H) (fig. z9i). g.z. Programmi a punti estremi nel cubo unità.

La programmazione lineare intera prende in considerazione i punti a coor­Ipergrafi senza ciclo dinate intere di un poliedro di R". È noto che nel caso generale della program­

mazione lineare le soluzioni ottimali corrispondono ai vertici del poliedro; sequesti sono tutti a coordinate intere allora il programma può essere risolto ope­rando con interi attraverso algoritmi standard e il risultato finale è sicuramente

Ipergrafi senza cicli dispari un intero. I teoremi che seguono caratterizzano famiglie di programmi su ma­trice con elementi o e i, di cui tutti i punti estremi sono vertici del cubo unità.

TEQREMA (Lovász). Sia H un ipergrafo con n vertici e m spigoli, con matricedi incidenza A; allora i punti estremi del poliedro 9 = ( s ~ seR~, s) o, As( i }

Ipergrafi unimodulari I peralberi sono tutti a coordinate o o i se e solo se H è un ipergrafo normale.

Un teorema duale tratta il caso delle disuguaglianze «) » sempre in ter­mini di ipergrafo, in questo caso equilibrato.

Ipergrafi equilibrati TEQREMA (Berge e Hoffmann ). Sia H un ipergrafo a n vertici e m spigoli econ matrice dincidenza A; allora per ogni qe (o, i } i punti estremi del poliedroJ« ­— (t ~ t E-R", t~o, tA )q } sono tutti a coordinate o o i se e solo se H è uniper­grafo equilibrato.

Ipergrafi normali Poiché da una parte la proprietà di essere unimodulare è propria di un iper­grafo e nello stesso tempo del suo duale e poiché d'altra parte essa è piu fortedella proprietà degli ipergrafi di essere equilibrau e normali, si può avanzare laseguente

IpergrafiIpergrafi Ipergrafi

con la proprietà GQNGETTURA (Berge). Sia H un ipergrafo con n vertici e m spigoli e con ma­pseudoequilibrati con proprietà di Hellydegli spigoli colorati trice d'incidenza A; allora per ogni pc N" e qe N" i punti estremi dei poliedri

9„ = (s ~ s@R,s)o, As<p } e J = (t ~ t eR", t)o , tA> q } sono tutti a coordi­nate intere se e solo se H è un ipergrafo unimodulare.

Ipergrafi Ipergrafibicolorabili con proprietà di Erdos, Ko e Rado 6. G rafi e topologia.

La rappresentazione dei grafi sulle superfici è un argomento ricco di sfide

Figura 3o. e di scoperte storiche sia per gli specialisti di grafi sia per gli specialisti di to­

Diagrammid'inclusione dei tipi di ipergrafo. pologia. La famosa congettura di Heawood è stata risolta. Una problematica

Grafo 894 895 Grafo

strettamente collegata è quella della colorazione dei grafi e delle carte: la ribelle carta di S vuoi dire colorare le facce di un grafo G rappresentato in S in modocongettura dei quattro colori del piano probabilmente è ormai risolta, tuttavia che due qualsiasi facce adiacenti abbiano colore diverso ; analoga è la colorazioneessa si prolunga ancora nella appassionante congettura di Hadwiger. del grafo duale di G. Il numero cromatico di S è il limite superiore dei numeri

cromatici K (G) dei grafi senza cappi rappresentabili in S. X (S) rappresenta6.l. Rappresentazione di un grafo in uno spazio topologico. dunque il numero di colori sempre sufficienti e forse necessari per colorare ogni

carta di S.Le superfici chiuse possono essere rappresentate come una sfera con p «ma­

nici» nel caso che siano superfici orientabili di genere p) o (cfr. il $ 4.3 dell'ar­ Proprietà dei quattro colori. Di m o strata molto probabilmente da Appel eticolo «Geometria e topologia» in questa stessa Enciclopedia, ove peraltro la Haken (l977) : X(T») = 4. Che certi grafi necessitino di quattro colori è evi­caratteristica c è indicata con y ), e sono indicate con T„. Le sfere con q «ca­ dente; ma quattro colori possono sempre essere sufficienti nel piano> La dimo­lotte incrociate» rappresentano le superfici non-orientabili di genere q) i , e so­ strazione ha richiesto un grandissimo numero di enumerazioni effettuate colno indicate con Vq. Una superficie S ha una caratteristica c, con c = z — zp se calcolatore.S = T„e c = z — q se S= V. Per la sfera p=o, da cui c=z . Una rappresenta­zione di un grafo G nella superficie S è cellulare se le sue facce sono degli aperti l v+vr+ppl

(po i)omeomorfi a un disco piano; in questo caso il bordo di ogni faccia definisce un TEOREMA Dl HEAWOOD. K (T ) = ["= l.poligono di G detto per estensione faccia. G è detto rappresentabile in modocellulare su S se ammette una rappresentazione cellulare su S, Risulta che se un 7+ i+z4qgrafo G è rappresentabile su una superficie S di caratteristica c, G è rappresen­ (q) i, qPz )tabile su ogni superficie S', non-orientabile se S è non-orientabile, di carat­t eristica c'( c , K(V,) = 6

TEOREMA (Eulero). Sia data una rappresentazione cellulare di un grafo Gsu una superficie S. Se n è il numero di vertici di G, m il numero degli spigoli,f ilnumero dellefacce della rappresentazione, c la caratteristica di S, si ha la relazionen — m+f — c= o. • • •

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• , • , " • • • •

• • •

Una rappresentazione cellulare di G in S è tr iangolare se tutte le sue facce • , ' ' ,

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sono di lunghezza 3. • • •

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i'EoREMA. Se un grafo G senza cappi né spigoli multipli con m) l è rappre­ • •

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sentabile su S di caratteristica c allora m(3n — 3c, dove l'uguaglianza vale se e • •

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solo se G è rappresentabile triangolarmente.• •

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• •

I grafi rappresentabili sulla sfera Ta (o piano euclideo) sono detti planari. Il • • •

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• •

grafo completo a cinque vertici Ks non è planare perché io) (3 x 5) — (3 x2). 5 t

Il genere y(G) di un grafo G è il piu piccolo intero p aotale che G sia rappre­ • •

sentabile su T~. Il genere non-orientabile p.(G) di G è i l piu p iccolo intero• •

• •

• •

• •

q) i tale che G sia rappresentabile su Vq. G è rappresentabile in T„se e solo • •

• •

se pop(G), su Vq se e solo se qop. (G).• •

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,, • • • • 36.z. k-coloramento. • O • • •

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Si consideri un grafo senza cappi. G è detto k-colorabile (k intero) se esisteun'applicazione dell'insieme dei suoi vertici in un insieme di k elementi taleche due vertici adiacenti qualunque non abbiano la stessa immagine (contrastodi colore). Il numero cromatico di G, K (G), è il piu piccolo intero tale che esi­ Figura 3t .

sta un k-coloramento. G è k-colorabile se e solo se k) 9" (G). Colorare una Carta a sette regioni vicine sul toro (K, raggiunge il limite cromatico).

Grafo 896

([r] designa la parte intera di r). Heawood definisce dunque per tutte le su­perfici — salvo la sfera — dei limiti cromatici e congettura che essi sono rag­giunti da almeno un grafo; risulterà che essi sono raggiunti da grafi completi(nella figura 3I. si trova su un toro un grafo completo a sette vertici che rag­giunge il limite K (T I) = 7, con la forma di una carta a sette regioni a due adue vicine).

TEOREMA. Siano G un grafo e k un intero. 8(G) designa il grado del verticedi grado piu piccolo. Se per ogni sottografo G' di G si ha 8( G ' ) ( k , al l oraK(G)<k+ I .

L'ex congettura di Heawood è infatti equivalente al

TEOREMA DEL GENERE DEL GRAFO COMPLETO (Ringel e Youngs, 1968).( 3 ) ( 4)

V(Kr) = S

([r]+ denota il piu piccolo intero ) r ) . Hadwiger tenta di collegare unicamen­te il numero cromatico K (G) e il numero di vertici g(G) del piu grande deigrafi completi contratto di G (per contrazione di spigoli ).

coNGETTURA DI HADwIGER. Per ogni grafo connesso G si ha X (G)(( (G).

Se G non è (n — I )-colorabile allora G ammette secondo la congettura K„come (grafo) contratto. Per n = 5, ciò implica il teorema dei quattro colori: in­fatti se un grafo non - 4-colorabile ammette Ks come (grafo) contratto, non èplanare perché anche Ks non lo è. Pertanto, come osserva Fournier, l' ipotesidi essere planare fatta nel teorema dei quattro colori non è la migliore, poichéin effetti i l grafo completo K, è l 'unico ostacolo (obstruction) al «4-cromati­smo». [p. R,].

Sui grali, in particolare sui grafi finit i, vi sono attualmente attive ricerche, forse per­ché il procedere del pensiero contemporaneo è certo piu simile a una rete che a una li­nea retta (cfr. centrato/acentrato, labirinto, rete).

Ma le ragioni di tali ricerche si connettono anche ai successi matematici veri e propri(cfr. strutture matematiche) e allo stabilirsi di relazioni importanti tra la teoria deigrafi e importanti settori della matematica, quali la geometria combinatoria (cfr. com ­binatoria, geometria e topologia), l'algebra (cfr. razionale/algebrico/trascendente,trasformazioni naturali / categorie) o la programmazione (cfr. calcolo, macchina).

Si ha dunque, da un lato, un sempre piu vasto applicarsi della teoria a situazioni di­sparate; dall'altro, un approfondirsi di essa in relazione a queste esperienze (cfr. teoria/pratica, dialettica).

Labirinto

I labirinti rappresentano un vero e proprio successo popolare. Ogni indivi­duo di ogni epoca ha fatto del primo labirinto incontrato una questione perso­nale, come se si trattasse di un'immagine del proprio cervello. Chi sulle moda­lità del gioco presentato, chi sulle modalità della ricerca metafisica supposta,ognuno ha tentato di misurare in qualche labirinto il proprio grado di avanza­mento.

Il piu immaginario e piu impalpabile fra i labirinti, cioè quello cretese, fucertamente il piu ricco di suggestioni per il pensiero universale; ciò è forse do­vuto al fatto che la leggenda lo descrive (fig. x) in modo quasi astratto, espo­nendolo cosi maggiormente alla metafora. Oggi, qual è il senso forte di labirintonel contesto della scienza attuale> Come dunque occorre procedere affinché ilsenso del labirinto non si di luisca in una immagine evanescente e senza forme,simboleggiamento di ogni fallacia — errori o confusioni —, né venga pietrificatonei simboli degli enigmi > Una modalità di procedere che verrà qui adottata èquella di incalzare la ragiotte prasseologica che governa il «viaggiatore» che siaccosta al labirinto di ogni leggenda, di ogni metafora; quel viaggiatore che,senza mappa, esplora ttttto per ritrovarsi all;t f i n al punto tli partenza. E allora

a)

QQ )c)

Flgofa I .

Rovesci di monete di Cnosso.

I Ablrinto Labirinto

Ia utodcrnità (o l'eternità ) dell'argomento è disvelata: si scopre che il labirintoè una grammatica, che lo stratagemma che Dedalo suggeriva ad Arianna persalvare Teseo è un linguaggio context­free;che il labirinto è il luogo per eccel­lenza ove si definisce la miopia degli algoritmi, cioè del calcolo a passo a passosenza memoria ; e infine, si scopre che il labirinto, ove tutto si decide localmentee per ogni luogo, è il sostrato dei sistemi reticolati acentrati. 1n una parola, latesi sarà: la problematica di Teseo che risolve il suo labirinto figura nei prolego­meni delle sfide future della scienza delle organizzazioni naturali e artificiali.

r. Leggende e metafore.

r.r. Il viaggiatore e l'architetto.

Seguiamo il viaggiatore del labirinto. Egli passa da incrocio a incrocio attra­verso corridoi ciechi (fig. z). Ciascun corridoio non ha altra funzione che quel­la di portare all'incrocio successivo. L'incrocio è il luogo ove il corridoio finisce

Scale

AFigura a Figura s.Grotta-labirinto di Gortina, nell'isola di Creta. Un incrocio secondo Escher.

Labirinto

(forse un corridoio senza uscita — stupido incrocio allora —, oppure un corridoioche sbocca su altri corridoi). Alcuni corridoi possono comportare scale che sal­gono o che scendono e tutte le specie di curve che generano un aggrovigliamen­to che il viaggiatore non può essere in grado di ricordare (fig. g). Il viaggiatorepuò visitare incroci già visti oppure altri che sono la riproduzione identica diincroci già visitati. Tutto ciò provoca nel viaggiatore sorpresa, confusione, anzistupore (in inglese labyrinth ha come sinonimo mare, oggetto di stupefazione).Corridoi e incroci alternati sono per il viaggiatore la sola certezza che si ripetedi volta in volta. Tutto gli appare infinito, tanto è sconcertante l'illusione dellesimilitudini (il viaggiatore ha infatti l'intuizione del potere senza limiti dell'uni­formità). Egli muove i suoi passi in fastidiose ripetizioni degli stessi incroci etali ripetizioni gli sembrano vane quando deve ritornare indietro, inattese quan­do egli ricade, attraverso giravolte, in un incrocio già visitato (in tedesco Laby­rinth ha come sinonimo Irrmeg, o cammino di errori e di confusione).

Ma se il viaggiatore errante prova la sensazione dell'infinito nel labirinto,l'architetto lo conosce come finito. L' ingegnosità di quest'ultimo ha equilibra­to l'effetto di inganno e l'effetto di seduzione negli aggrovigliamenti, nelle ramifi­cazioni, nelle giravolte e nei ritorni (fig. 4). Il viaggiatore è assorto nella sua ri­cerca; e, nel suo spirito, lo smarrimento che si è impossessato di lui deve dis­siparsi grazie a una esplorazione piu profonda. Il labirinto è umano.

È questo anche il parere del piu grande labirintologo contemporaneo, cheparla con la voce del suo eroe Joseph Cartaphilus (l'immortale nell'Aleph diBorges), votato, all'avvicinarsi della sua fine, a valersi delle parole dei poeti del­l'errare ; Cartaphilus oppone i labirinti con cui ha grande familiarità alla «Città

O degl'Immortali», in cui ha t rovato soltanto un caos detestabile, finestre inac­cessibili e scale rovesciate, un'architettura irrazionale privata di ogni intenzio­

OV nalità: un completo non senso. Il geometra errante trova i labirinti come fatti,

al contrario, per i vivi, e dice per l'appunto che «un labirinto è un edificio co­struito per confondere gli uomini; la sua architettura, ricca di simmetrie, è su­

QE bordinata a tale fine» [Borges I952, trad. it. p. z8J.

Lasciamo per il momento gli architetti; si r i tornerà sulle furberie che essiV esercitano sugli umani quando si classificheranno piu avanti le strutture labi­

rintiche — la qual cosa potrà essere considerata secondaria, fuori tema — vistoche appare ora che è proprio il viaggiatore a « fare» il labirinto e non l'architetto!Il labirinto non è un'architettura, un reticolo nel senso di chi lo progetta e con­cepisce, ma lo spazio che si sviluppa davanti al viaggiatore che procede senzamappa nel reticolo stesso.

O Ecco perché un celebre numero del mimo Marcel Marceau riusci a rivelare,nello spazio nudo, un labirinto immaginario fra i piu temibili.

a cl Similmente accade nella leggenda secondo cui l'architetto Dedalo è getta­to nel palazzo-prigione che ha costruito per il Minotauro: l'opera, di cui si di­

O V M citce che Dedalo avesse distrutto la mappa, diviene — per il suo artefice — un la­birinto.

O Dunque, come fondamento alla nostra tesi, prima di continuare ci si soffer­Z merà su tre tratti distintivi del /abirinto, che contrappongono radicalmente la

Labirinto

condizione del viaggiatore rispetto a quella dell'architetto in tutti i labirinti, vi­sibili, immaginari, personali o universali.

Il primo tratto è costituito dal fascino che emana il labirinto per il suo ri­chiamo all'esplorazione. Secondo Cornelius Castoriadis, «pensare è entrare nellabirinto, piu esattamente è far essere e apparire un labirinto, quando si sarebbepotuti restare adagiati tra i fiori, giacendo di fronte al cielo» (fig. g). Il Minotau­ro, come centro puntuale di attrazione, non è indispensabile, ma è evocatore. In­fatti, per l'ignaro viaggiatore, il centro si trova ovunque ; dunque si può imma­ginare che non sia in nessun luogo. Il richiamo di Teseo e di tutti i viaggiatoridei labirinti invita a entrare, a esaurire la vastità dei luoghi, a ritornare al puntodi partenza, cioè a garantire l'evasione. Il labirinto risponde a una brama di sco­perta; la sua esplorazione è l'archetipo dello spirito che ricerca. Ma attenzione,occorrerà uscirne indenni, e quindi non perdersi!

Il secondo tratto è costituito dall'umile condizione del viaggiatore ridotto aesplorare senza mappa e a vista d'occhio. Egli non ha né pianta, né bussola e nulla Figura 6.gli consente di prevedere la geometria dei luoghi (fig. 6). E neppure egli può Un labirinto non è sempre piano.intravedere dall'inizio di un corridoio la sua fine : da un incrocio non si possonovedere altri incroci. Si può dire che il viaggiatore è miope. Egli deve limitarsi,a ogni incrocio, a leggere sul suolo i segni che ha potuto lasciare in occasionedei passaggi precedenti. Tale viaggiatore sprovveduto non è topografo : egli nonrileva quindi la carta del labirinto (Cartaphilus non piu degli altri! ) ma lo per­corre, lo ricopre coi suoi cammini.

Il terzo tratto è costituito dall'astuta intelligenza che il viaggiatore esercitaper portare i suoi passi fino alla fine, senza cadere nelle trappole delle infinitecirconvoluzioni. Può sembrare che egli erri soltanto, ma di fatto egli si applicae anche usa astuzia : si vedrà (fig. q) come egli ricopra esaustivamente il labirinto

p­®

Figura g. Figura 7.Labirinto di giardino a Chantil ly. Ai bivi «i l fi lo» è uti le.

Liihl ri ntoIO Labirinto

sc>>x<> !>cl <I«<'visi. I ; ! >< < l;<Ic <»<>i i v<> chc il s«<> «i <»< ut<> ;q>!>are in certi contestidi Egeo, re di Atene, e facente parte del gruppo delle vittime, si presenta allac<>111«', II> I itu;i!c inizia<ic<>. l,ungi dall'affidarsi al c;is<>, il viaggiatore calcola in

<>gni incr<>cio, applicando, con pazienza e coi mezzi limitati di cui si è prima porta del Labirinto. Arianna s'invaghisce dell'eroe e si prova a guidare i suoi

detto, una regola infallibile, di cui si vedrà la sottigliezza piu avanti. L'aporia passi nel Labirinto affidandogli un filo di cui ella tiene il capo: egli ha cosi la

sarà dissolta. Il terzo tratto menzionato s'incarna leggendariamente in Arian­ garanzia di ritornare al punto di partenza se sarà capace di vincere il Minotauro.

na, l'ispiratrice della vittoria di Teseo : è la!>%jr<<; [cfr. Detienne e Vernant r<lpg]Secondo una tradizione — occorre dire di natura quanto mai maschile (uomo­

dei Greci. Dalla pi!vi<; è nata la labirintologia matematica. !i,pv'<, -e donna-charme) — sarebbe stato Dedalo a suggerire l'espediente e a for­nire ad Arianna il gomitolo di f i lo.

Teseo il valoroso esce vincitore da questo duplice pericolo, fugge con Arian­r.z. Il fi lo, la gru e la matita. na, ma abbandona presto quella che fu la guida troppo magica della sua spedi­

Arianna è figlia di Minosse e di Pasifae, potenti sovrani circondati da una zione. Arianna si ritroverà davanti a Dioniso che le dirà con tutta semplicità,secondo Nietzsche, «Io sono il tuo labirinto».corte smagliante; essi risiedono in un vasto palazzo non fortificato, dalla geo­

metria complessa — tutti questi dettagli hanno la loro importanza — a Cnosso. Quando Minosse scopre la complicità di Dedalo nella vita e nella morte del

Cnosso è il centro della fiorente civiltà sbocciata a Creta fra il zoo e il igloo a. C.,Minotauro, lo getta con suo figlio Icaro nel Labirinto. Ed ecco il nuovo colpo

una civiltà in grado di mandare le sue navi per tutto il Mediterraneo. di genio di Dedalo: l'invoqo. Minosse insegue Dedalo. Per ritrovarne le tracce

Le fonti storiche e archeologiche sono cosi tenui che è difficile stabilire una lancia ovunque una sfida: far passare un filo attraverso la conchiglia d'una li­

linea di demarcazione fra storia e leggenda; questo tuttavia ha poca importanza torina! A Camico, da Cocalo, il problema viene risolto: Dedalo è infatti là, na­

per la nostra tesi. Né a Cnosso, né sui libri si trova la piu piccola traccia di un scosto, pratica un foro alla sommità della conchiglia e v'introduce una formica

labirinto concreto! Purtroppo la leggenda stessa è molto impoverita per il fatto attaccata a un filo. Dedalo è scovato, con la sua ingegnosità rivelatrice ha rischia­

che tutte le opere drammatiche che l'hanno sviluppata sono scomparse: per­ to di essere perduto, ma si conosce la fine della storia.

duti i Dedalo di Sofocle, di Aristofane, di Platone il Comico, di Fil ippo e di A Delo, dove Teseo ha fatto scalo, il filo di Arianna prende un'altra forma

Eubulo; perduti il Minosse di Aristofane e di A!essi, la Pasifae di Alceo, il Teseorituale: la danza chiamata gap<><voi o movimento della gru (il trampoliere che

e i Cretesi di Euripide ; perduto il Cocalo di Aristofane. Questi titoli che ci sono presta il suo nome alla danza è un eccellente navigatore : per orientarsi nell'im­

pervenuti e le allusioni di Platone lasciano immaginare la popolarità di cui go­ mensità del cielo, ogni membro di uno stormo porta una pietra che farà cadere

dette la leggenda di Dedalo nell'antichità. Fortunatamente Apollodoro, gram­ al suo turno per individuare col rumore il mare e la terra ). Una catena di dan­

matico ateniese, rgo a. C., fa opera di mitografo:egli scrive la storia degli dèizatori che si tengono per i polsi è diretta dai due estremi, che rappresentano

e degli eroi. Teseo e Arianna; la catena ondeggia, si ripiega e serpeggia sapientemente; tutte

L'avvenimento fondamentale è la presenza alla corte di Minosse del famoso le giravolte del labirinto sono cosi simulate e accompagnate da muggii fino alla

Dedalo, che era dovuto fuggire da Atene dopo l'assassinio sull'Acropoli del suo vittoria, quando i due conduttori del balletto si ricongiungono.

allievo Talo di cui cominciava ad essere invidioso. Entrambi artisti-artigiani, Perciò diventa consueto tracciare sul suolo delle figure per guidare i yspo<voc.I lastricati e i terreni di gioco dei bimbi si popolano di «labirinti». Piu tardi lecostruttori e scultori, essi hanno inventato numerosi attrezzi come la sega, la

colla di pesce e il filo a piombo! Dedalo diviene il protetto dei potenti: dapprima chiese cristiane sfoggiano a loro volta dei pavimenti a labirinto in omaggio al

Minosse a Creta, poi Cocalo in Sicilia. Dedalo impiegherà la sua ingegnosità grande patrono dei maestri di bottega: Dedalo.

non soltanto nello scolpire e nel costruire palazzi, ma anche nel giocar d'astuzia La mitica architettura dedaliana in corridoi è divenuta danze, poi pavimenti

coi suoi protettori. Egli finirà con l'uccidere Minosse nel palazzo stesso di Co­ e sigilli, talvolta fantasie di giardini, infine opera delle matite. I labirinti delle

calo truccando il sistema idraulico dell'acqua calda della vasca per il bagno. È matite di oggi, nei nostri libri e nei nostri giornali, anche minuscoli, corrobo­

nell'opposizione violenta [Frontisi-Ducroux 1975] fra la p.q~u; dell'artista crea­rano la nostra scelta dei tre tratti caratteristici dell'aporia del labirinto; benchél'occhio possa abbracciare questi labirinti disegnati nel loro insieme, l'illusione

tore condannato socialmente a restare nell'ombra e il potere temporale del mo­narca insediato, che occorre situare la vicenda che qui interessa: Arianna, Teseo di aggrovigliamento inestricabile è generalmente totale; i loro tracciati eccitano

e il labirinto. lo spirito ludico, E solo la punta della matita spinta a poco a poco giunge alla

Il Minotauro, mostro mezzo uomo e mezzo toro, è, come sembra, lo scan­ fine : cercando di vedere troppo lontano, ci si smarrisce. Ma secondo quale rego­

dalo della corte. Minosse fa costruire da Dedalo una dimora per il Minotauro la, esattamente, la punta della matita trova a colpo sicuro la via d'uscita?

che si chiama il Labirinto; poi, avendo vinto gli Ateniesi, impone loro un tri­buto regolare di sette giovani uomini e di sette giovani donne destinati ad esseredati in preda al Minotauro. Questo fino al giorno in cui il valoroso Teseo, figlio

I,»hl r I»l <>Z2 r3 Labirinto

I >I»>I» l'>>I >I<'II<'.>trutture labirintiche. percorrendo il corridoio fino alla fine e ritornando. Per l'architetto, la partico­larità del labirinto unicursale non può consistere altro che nelle circonvoluzioni

> il<>rn;rrc al colpo d'occhio globale dell'architetto al fine di classifi­ della linea, per esempio, nel suo arrotolamento sul piano come un serpente; inI< s(> »ll�>r>c labirintiche, secondo i concetti della topologia combinatoria. questo caso è allora possibile che i punti che sono piu vicini per l 'architetto

«>n <lu;rlc classe di strutture avrà a che fare.N<u> si l>«> <br <li vista il fatto che il viaggiatore, in generale, non sa in anticipo siano i piu lontani per il viaggiatore. Se si tratta di una fila di danzatori, il ripie­

gamento consente un felice effetto di movimenti contrari dei danzatori della stes­sa fila.

2.r. Serpente arrotolato e albero piegato. In uno schema classico (fig. 8) l'architetto equilibra la curva sul piano ingiri completi prima in un senso e poi nell'altro, e a ogni ripiegamento sceglie

pii b'! abirinto piu semplice è unicursale, cioè costituito di una sola linea, in un da una parte tra arrotolare verso l'interno o verso l'esterno e dall'altra tra avvi­certo senso di un solo corridoio e di un incrocio cui-de-sac a ogni estremo. Per cinarsi all'equilibrio precedente oppure di stanziarsi; tutto ciò apre un gran nu­il viaggiatore il labirinto unicursale è unico: un solo modo di percorrerlo, cioè mero di possibilità. Nel caso in cui il corridoio si ripieghi chiudendosi contro

se stesso, nel disegno di contorno del corridoio appare uno spigolo vivo e ciò

$P,P, f3 //y 7~ V++i~C.f W8)7 W

u)

'>'f P

b)Figura 8.

un pi astro della Casa di Lucrezio; b) in India, a Mogor, scolpito nella pietra; c) in Ger­Labirinto unicursale trasmesso da Creta al mondo intero: a

) in Italia, a Pompei, sumania, a Ratisbona, su un manoscritto del xrrr secolo; d

) in Francia, a St-Come-et-Ma­ruéjo s ( ard), in mosaico; e) nelle isole Scilly (Cornovaglia), costruito con ciottoli.

e)

l.i)l)l rlr)t))r5 Labirinto

~>«<> pen»cttcic di distinguere due arrotolamenti. È aAascinante constatare l'i­dentità fra i cinque arrotolamenti della figura 8, trovati ai quattro venti, e quel­lo della moneta «Apollon» di Cnosso (fig. rc).

Questi labirinti possono essere considerati senza bivi, dunque senza possi­bilità di scelta per il viaggiatore, come delle immagini ingannatrici, come delleevocazioni di circonvoluzioni labirintiche; ma essi non sono labirinti propria­mente detti perché negano il filo di Arianna. Il filo di Arianna acquista senso nelmomento in cui esistono ramificazioni, cioè un incrocio che apre almeno tre cor­ridoi (fig. 7).

A un labirinto si associa un grafo (fig. ry) costituito di punti (gli incroci) edi linee (i corridoi ) incidenti ai punti in modo naturale (si vedano 1e figure 8 e 9deII'articolo «Centrato,'acentrato» in questa stessa Enciclopedia

). Fatta questaassociazione, scompaiono molte illusioni ottiche. Il ruolo dei cicli diviene chiaro,

Si dice che un labirinto connesso ha una topologia ad albero se non com­porta cicli Un ciclo è composto di corridoi successivi che, presi una sola volta,permettono al viaggiatore di ritrovare i suoi passi. Il labirinto unicursaIe è unesempio estremo di albero. Il tappeto indiano della figura 9 comporta un soIobivio, nel punto di collegamento dei due labirinti deI tipo unicursale che si tro­

Figura to.va piu avanti (fig. ria> b).

I labirinti-gioco dei fanciulli sono spesso concepiti come alberi piegati, abil­ Gioco dei fagioli «cancellati >.

mente costretti sul piano ; cosf, il giocatore si smarrisce nei cal-de-sacs de11'albe­ro, cioè negli estremi dei rami di cui uno soltanto è considerato come la «casellavincente»; il giocatore metodico completa l'espIorazione e finisce alla «casella di T&K W~o T IMES

Figura y.Figura i t .

Tappeto indiano d'America.Quadrettatura del piano delicatamente raschiata per costituire un labirinto.

I,al>lt lttl<>t6 t7 Labirinto

l Ju<»l > li>l>«i«li «<»><lic<ntisi possono essere costruiti «con Ja gomma>l>«>««< II>»< > (l<g, «>) <> «c<>l raschietto» (fig. rx, escluso un piccolo circuito! )

è, come propone Plinio, il tempio che if faraone Amenemhet III eresse a Kro­

S«»< ll > 'l'< s<» n< II'«;>ll>«ro». Partito dalla caseffa di Arianna, egli vuole ri­ kodipolis in Egitto nello stesso periodo in cui venne realizzato il lago artificiale

<�>«u«v<(< :><»»<in<> cl>iuso). Teseo perciò non percorre nessun corridoio una solaMoeris, nel r8oo a. C. circa. Erodoto (4>o a. C.) vi descrive tremila sale su due

v(>fl:>. l Iu< sl;< i. una proprietà caratteristica degli alberi: piani con passaggi aggrovigliati, inclinati, spesso ciechi. Recentemente, gli ar­cheologi Petrie e Canina hanno ricostruito una mappa di una architettura di

Tno<tEMA t. Ogni cammino chiuso in un albero che passa in un corridoio una 27o su zoo metri! (fig. tz). Il suo numero ciclomatico è di parecchie centinaia,l>r ma volta, passa una seconda volta nel senso opposto e, in totale, passa un numero visto che ogni colonna conta già per un punto. È l ' intreccio assai fitto di talepari di volte alternando l'uno e l'altro senso. architettura quasi regolare a dotarla di un disordine solo apparentemente com­

pIesso e a conferirle la sua reputazione di labirinto. Quando I'intreccio è moltoForte di questo teorema, Teseo cerca di prendere ogni corridoio due volte,

Jn ragione di una volta in ogni senso, essendo questa la sola possibilità per luiirregolare, come nella pianta di Tokyo, l'effetto di disordine aumenta.

di percorrere tutto in modo sicuro. Si guardi un incrocio qualunque in cui Te­seo arriva; vi si distingue un corridoio in particolare: quello attraverso cui Teseoè giunto a scoprire l'incrocio per Ia prima volta e che è inoltre l'unico a cornpor­

sun filo Di qui latare soltanto un filo ; gfi altri comportano due fili

(andata e ritorno) oppure nes­ i ~ r @r ~

REGoLA DI TEsEO. In un incrocio, prendere preferibilmcnte un corridoio li­bero, e come uftima risorsa prendere il corridoio di scoperta dell'incrocio, attra­

• • • • • • • 1 • • • \• • • • ' • P

• • P • • P• •

• • • • • •• •verso il quale si abbandonerà definitivamente l'incrocio stesso, • •

• •• • • • • ' •

• • • •

• • • • • •• • • •

• •

• • • • • •• • • •

• •

• •

In virtu del teorema t, in un incrocio ove Teseo prende un corridoio libero,• • • P

• • • • P •• •

• • • •• • • •

• •

egli tornerà attraverso lo stesso corridoio. Egli ha dunque b garanzia di copriretutto il labirinto, in definitiva è aIIa casella di partenza chc Teseo sarà bloccato.

• • • • • •• • • •

• •

A questo punto si ricordi una proprietà degli alber. Pcr Teseo, che ha percorso

• • • P • •• • • •

• •

il labirinto-albero, ogni corridoio preso per la prima volta è corridoio di sco­perta di un incrocio ; ora, soJtanto l'incrocio di partenza non è scoperto, e quindi : J

• •• • P •

• •

' •

TEoREMA 2. U>t albero ha un corridoio in piu degli incroci.

P • • •• •2,2. Il disordine cicfomatico.

Una città (oppure un'altra rete di circolazione) non è generalmente un al­L

• • • •• •

bero ma piuttosto una struttura gravata di cicli e che può essere rappresentata • • • •• •

'I P

come un albero al quale si aggiungono dei corridoi di affacciamento. Il numerodei corridoi di allacciamento, o numero di corridoi da togliere per trasformare • • • •

• • • •

• • • P• •un labirinto connesso in albero, è il suo numero ciclomatico; numero uguale, • ' •

• • • •• • • •

• • • •• •

in virtu del teorema z, all'eccesso di corridoi rispetto al numero degli incroci,• P

• • • • • •• • • •

• • • • • •• • • •

piu una unità. Per esempio, if r>umero cicfomatico del famoso labirinto di Hamp­ • • • • • •• • • •

• •• • • •

• • • •

ton Court (Inghilterra) è uno; queJlo della caverna cretese di Gortina(fig. z)

P P

è sette, numero che oltrepassa di moltoil dedalo di un appartamento moderno.Invece il magnifico palazzo di Cnosso con le sue numerose comunicazioni haun numero ciclomatico di parecchie decine, e per taf motivo si presta a far smar­rire il visitatore.(Questo palazzo, che forse è proprio iI labirinto di Dedalo, por­tava if sacro segno deJIa doppia scure, che viene detta P,<><

)pt><-„da cui, forse,deriva la parola 'fabirinto'). )afa if massimo labirinto architetturale della storiaFigura xz.

Mappa del a labirinto d'Egitto» {tempio di Amenemhet, tgoo a. C.) stesa da Canina.

t9 Labirinto

Nella figura ry viene dato, per alcuni dei labirinti incontrati, lo schema ingrafo, in cui appaiono chiaramente i cicli. (Ogni incrocio diventa un punto,ogni corridoio una linea e ogni ciclo un poligono). Il lettore potrà tracciare dasolo il grafo della figura zr, «The Times l.

Per il viaggiatore, i cicli significano l'eventualità di un ritorno in un incrociogià visitato, attraverso un corridoio che non sia stato ancora percorso in senso

I « t ' o — o lCorridoio

Figura zg, Figura rg.

Veduta aerea della città di Lucca. Grafi e labirinti : o) labirinto unicurs;t!e; à) il tappeto della figura tt; c) labirinto diHampton Court ; d ) grotta di Gor t ina.

20 2I LabirintoLabirinto

inverso cioè a partire dall'i ncrocio: in questo momento c'è un allacciamento. del viaggiatore del grafo prende contatto col bordo di una regione (la mano sini­

Allora, per seguire il consiglio di Trémaux (i88z ), il viaggiatore può in questaI stra con il bordo di un'altra regione) e camminare secondo una «prima a de­

eventualità ritornare indietro, trattando l' incrocio già visitato come un cui-de­stra» (o «prima a sinistra») vuoi dire girare in tondo, percorrendo soltanto i

sac di un albero ; il viaggiatore finge allora di spostarsi in un labirinto ad alberocorridoi che delimitano una regione ; questi corridoi costituiscono un ciclo-faccia

e si riporta, come si dice, al caso precedente. Nulla gli può sfuggire.del labirinto piano. Il viaggiatore troverà la porta della città soltanto se è ab­

S'insista ancora: i corridoi di allacciamento di Trémaux sono quegli stessibandonato in un luogo ove la sua mano destra ha contatto con la regione este­

che, quando li si percorre una prima volta, non costituiscono corridoi di sco­riore della città.

perta di un incrocio ; l'albero simulato è ottenuto scollegandoli fittiziamente perI sostenitori della regola del contatto potrebbero ribattere che dentro il pa­

fame quindi corridoi di scoperta di incroci fittizi.lazzo di Krokodipolis, come dentro le nostre stesse case, è possibile tenere la

Tutto sembra risolto, se non fosse che la matematica si applica a tutte le so­destra e arrivare cosi sempre da qualche parte. È allora facile immaginare un

luzioni possibili e alle loro proprietà. Ora, questa «ritirata alla Trémaux» nonappartamento su due piani con due scale agli estremi, in modo che la regola del

è una necessità e non piace affatto a quegli avventurosi che avrebbero preferito,contatto conduca sempre a salire l'una ed a scendere l'altra, a percorrere al pri­

al momento, prendere un corridoio libero piuttosto che ritornare indietro. Tarrymo piano le parti disposte a sud e al secondo piano quelle disposte a nord, cosi

darà la risposta. I cicli, come suggerisce l intuizione, offron ( da mancare eventualmente «la porta» o «l'oggetto amato».

paragrafo seguente) numerose possibilità di varianti alla regola.Per esplorare un grafo piano si potrà alternare : «prima a destra, prima a si­

Il ruolo psicologico del ciclo nel labirinto è importante. Socialmente, il ciclonistra, ecc... »; nel caso in cui il grafo non comporti cicli-cocicli, ogni corridoio

amalgama la circolazione di un luogo pubblico o di un a rete di scambio laddovesarà cosi percorso due volte, poiché allora è descritta la «diagonale» del grafo

le parti arborescenti della rete stessa creano la segregazione.. Nei film i l labi­ piano.

rinto, che comunica l'affanno della ricerca continua, è un ingrediente essenzialedi suspense. Per Hitchcock come per Fellini è molto differente l'effetto

ra 'in­ 3.2. La regola minimale che risolve tutti i labirinti.

crociare i propri passi (ciclo) e il ritornare sui propri passi (albero).

Si sono classificati i labirinti in unicursali, arborescenti, di numero cicloma­Ma quale regola occorre conoscere per risolvere un labirinto qualsiasi>

tico A, lasciando intendere che la complessità del dedalo cresce con k. Il labi­Risolvere un labirinto connesso significa percorrere, a partire da un incrocio

rinto piu inestricabile è allora quello in cui i cicli crescono senza limite, quellodi partenza, tutti i corridoi una volta in ogni senso, secondo una regola comune

stesso in cui il re degli Arabi abbandonò il re di Babilonia, che si era preso giocoa tutti gl'incroci, non facendo uso che di segni di passaggio nell'incrocio consi­

di lui facendolo prima smarrire in un dedalo architetturale di grande lusso ; egliderato. Si potrebbe pretendere di coprire il labirinto percorrendo certi corridoi

lo portò in pieno deserto : «Oh, re del tempo...! In Babilonia mi volesti perde­una sola volta; ciò non potrebbe essere chc a profitto di certi cicli, poiché si è

re in un labirinto di bronzo con molte scale, porte e ; ,

'

'pe muri. ora l 'Onnipotente appreso nel $ z.i che il labirinto-albero non autorizzava tali economie; ora, su

ha voluto ch' io ti mostrassi il mio dove non ci sono scale da salire, né porteun ciclo, ciò significherebbe una certa memoria del viaggiatore, accertantesi che

da forzare, né faticosi corridoi da percorrere, né muri c he ti vietano il passo»il ritorno sul ciclo non è indispensabile per esplorare corridoi liberi che vi sa­

[Borges rrl5z, trad. it. p. r84]. E!o abbandonò nel cuore del deserto.rebbero incidenti. In questo modo ci si allontana dallo spirito labirintico pertenere in considerazione soltanto «certe» eventualità. Dunque verrà impostoil doppio percorso di ogni corridoio : un senso avanti che si chiama «esplorazio­

L'evasione matematica dal labirinto.ne» e un senso indietro che si chiama «ritirata». Al i8gg risale il

TEQREMA (regola di risoluzione dei labirinti di Tarry ). A un incrocio prende­

3.i. Le insufficienze della svolta a destra.re il corridoio di scoPerta dell'incrocio stesso soltanto come ultima Possibilità.

Si racconta che è possibile uscire da un labirinto tenendo la mano destraIl corridoio di scoperta dell'incrocio x è stato preso per definizione dapprima

continuamente in contatto con la parete dei corridoi e degli incroci: prenderenel senso «verso x»: sarà preso nel senso di «a partire da x» soltanto se tutti gli

sempre il primo corridoio a destra. La regola suppone due cose. Prima di tuttoaltri corridoi a partire da x sono già stati percorsi.

che il viaggiatore sia in un labirinto dove la destra e la sinistra abbiano sensoPrima di tutto si nota che la regola di Teseo dell'albero include proprio la

(e questo non è il caso per esempio della figura 6) : deve trattarsi cioè di un la­ regola di Tarry e che una cosa simile accade per la regola di Trémaux. Perciò

birinto tracciato in un piano senza ponti né tunnel, o su un1 su una sfera senza manici. infrangere la regola di Tarry vorrà dire fallire nei labirinti-alberi; essa è quindi

Poi, la regola suppone che il viaggiatore sia già sul ciclo-faccia che comportanecessaria. È anche sufFiciente> Si, e per tre ragioni: i ) il viaggiatore non può

l'uscita! Un grafo piano divide infatti il piano in due regioni, e la mano destraritrovarsi bloccato che all'incrocio di partenza, poiché in ogni altro incrocio in

Labirinto 23 Labirinto

cui si trovi, egli è arrivato una volta in piu del numero di partenze; dunque al A un labirinto L si associa un linguaggio 2 costituito da : parole vuote, A„,viaggiatore resta una via d'uscita ; z) tutti i corridoi incidenti all'incrocio di par­ de6nite per ogni incrocio v; parole di una lettera, I, definite per ogni percorsotenza sono saturati (percorsi cioè nei due sensi) poiché il viaggiatore vi è bloc­ 1 di corridoio; e parole a k lettere (percorsi di k corridoi ) lil» • l' l g ove l;eAcato ; e similmente per ogni corridoio incidente a un incrocio x visitato, poiché c à+l, = ò l;+, per i = i, z, . . ., k — i. Si estende l'operazione di inversione a 2x è collegato all'incrocio di partenza da una catena di corridoi di scoperta che ponendo (A„)' = A ( l il» l ' l t ) = li, l ' l »l i .sono, con un ragionamento progressivo a partire dall'incrocio di partenza, tutti Allo stesso modo si estendono ò+ e ò ponendo à+A„=v, e ò+(l,l,...l<) =

saturati; 3 ) non potrebbe esistere un incrocio non visitato, vicino a un incrocio = à+le, e per o.e2, à a = à+ri'. Se à+~i = ò a, a è detta ciclica.nel quale tutti i corridoi incidenti sono saturati; dunque tutti gli incroci sono Si ottiene pertanto in 2 un'operazione i; terna di concatenazione non ovunquevisitati. Per le tre ragioni enunciate, il labirinto è risolto dalla regola di Tarry. cle6nita : se o, e o., sono in k, cr,a, è in 2 se e solo se ò+o., = ò — cz~. In particolare,

Le altre regole non fanno altro che sfruttare in modo particolare la libertà di se o è in 2, cr+' (si è ripiegato completamente il filo o. su se stesso) è in 2, eciclica.scelta in un incrocio lasciata dalla regola di Tarry. A questo scopo sarà utile un Per il labirinto della figura rg si hanno le parole A, fd, fde'e, fde'c'a, ecc.;po' di terminologia relativa alla struttura di monoide. a'ced'f fbb'de'c'a è una parola di Tarry e aff'ced'bb'd'e'c'a non lo è. Il linguaggio 2

associato al labirinto L è un linguaggio context­free di Chomsky e Schiitzenber­ger (si veda l'articolo «Automa» in questa stessa Enciclopedia ) poiché è genera­

Il labirinto è una grammatica. to da regole grammaticali formulate indipendentemente da ogni contesto, cioèda quanto, in una parola trasformata, è lontano dal punto d i t rasformazio­

La struttura matematica in cui si collocano gli oggetti prima considerati (cor­ ne. Infatti, si prenda A come alfabeto terminale, V come alfabeto ausiliario, e si

ridoi, cammini, fili, catene) è la struttura di monoide. I cammini sono delle pa­ dia la scelta delle seguenti regole contextfree per ogni ve V: v~A „ v ~ l ò+(l),role che possono essere messe una dopo l'altra, si dice concatenate, sotto certe

per ogni leA tale che v = ò (l) (in particolare l'), con gli incroci v come as­

condizioni grammaticali evidenti. La labirintologia s'interessa alle particolari pa­ siomi di partenza.

role che ora verranno descritte.Per il labirinto della figura i4, si vede che è possibile generare con le sue

regole per esempio la successione di parole: P~ fR~ fdS ode'T~ fde'eS~fde'edi cui l'ultima è del linguaggio 2.

4.L L inguaggio context-free del cammino. Si può dire che il labirinto L è una grammatica context­free che genera un

Si chiama labirinto una quaterna L = (V, A, à+, à ) dove V è un insieme 6nito linguaggio context­free X: tutti i percorsi possibili del labirinto.

(gli incroci) ; dl è un insieme finito di cardinalità pari, detto bialfabeto, i cuielementi — o lettere — sono accoppiati a due a due (i due percorsi di un corridoio), 4.z. Parole nette, parole nulle.due lettere accoppiate l e k essendo dette inverse, la qual cosa si indica conl ' =k e l = k' i ò+ è un'applicazione qualunque di A in V (ò+(l) è l'incrocio alla Si consideri un labirinto connesso L. Si chiama parola netta una parola del

fine del percorso l ) che definisce tutte le incidenze del labirinto; e ò — si deduce suo linguaggio X tale che ogni lettera del suo bialfabeto A abbia una occorrenza

da ò+ mediante ò (l) = à+(l') per ogni lettera l di A. esattamente (percorso di tutti i corridoi una volta in ogni senso ). Risolvere unlabirinto consiste nel cercarne una parola netta, secondo una regola locale (difatto non context­free), poiché il filo «tratta» nella regola le sue intersezioni col

Q suo passato.

TEQREMA. Una parola netta di labirinto è ciclica.

Infatti, ogni incrocio di L è tante volte immagine secondo ò+ quante secon­do ò delle lettere dell'alfabeto, dunque delle lettere di una parola netta <z. Orain ct la coppia l,l;+i identifica l'immagine ò+l, e l'immagine ò l;+„da cui la ne­cessità di identificare ò a e ò+a per garantire la parità.

Si chiama parola nulla ct di 2 una parola tale che possa generare una parolavuota A„per applicazione della regola grammaticale ci,ll'o,~a,cz, per lqualun­q ue. Evidentemente, una parola nulla è ciclica e à+c= à o = v .

Figura i g. Una parola nulla è senza nodo : Teseo ritornato dà il suo 61o ad Arianna cheLabirinto-grammatica. tiene già l'altra estremità del filo; ella tira insieme le due estremità; allora viene

I nhirinio 24 LabirintoIut t<> il !ilo, sc tutto il fi lo (parola nulla) svolto da Teseo era effettivamente una parte anche dell'ordine dell'alternativa fra la creazione e l'analisi che si trovapaia>la nulla. Altrimenti ha un nodo. In generale una parola di Tarry ha qualche in ogni individuo. E forse è proprio l'equilibrio che si realizza tra questi duenodo in questo senso. Una parola netta nulla del labirinto si chiama soluzione termini dell'opposizione — ci sono nel labirinto tanti passi di esplorazione quan­di Arianna: essa risolve il labirinto, e si disfa quando la si tira contemporanea­ ti sono i passi di ritirata, e ciò evidentemente già nel labirinto unicursale — chemente dalle due estremità. Non è forse in questo modo che si immagina «il ha sempre tenuto gli psicanalisti lontani dal vocabolo 'labirinto'. Ecco perchémovimento della gru» da cui deriva la visione del filo? forse, povera Arianna, Freud non pronunzia mai il tuo nome!

In tal modo funziona pure la struttura delle parentesi del linguaggio quoti­ Dunque, in caso di scelta, Arianna-folle è quella che preferisce l'esplora­diano ; si apre una parentesi per chiuderla in seguito ; e se si apre una parentesi zione subito. Allora l'abc può essere ripreso in una breve regola il cui enun­2 nella parentesi I, si chiude 2 prima di chiudere I ; e se si aprono molte paren­ ciato piacerà al valoroso Teseo:tesi — in ogni momento della frase ciò è consentito — è conveniente, per chiuder­le, chiudere l'ultima parentesi aperta non ancora chiusa. Cosi parlava fra sé e sé REGoLA DI ARIANNA-FQLLE. Va' sempre ad esplorare nuovi cor r idoi svol­

Teseo, che vedeva in ogni corridoio una parentesi da aprire e da chiudere. La gendo il filo, e in un incrocio ove non puoi esplorare piu nulla, riavvolgi il filoparola nulla che ci si attende da lui è una parola parentetica. nel tuo corridoio.

Per «tuo corridoio» Arianna intende quello in cui il filo si lascia riavvolgere.

t.a soluzione parentetica di Arianna.5.2. Arianna-saggia.

Si supponga che Teseo si senta in dovere di percorrere il labirinto nella sua In caso di scelta, Arianna-saggia preferisce la ritirata. Se c'è scelta, vuoi diretotalità, cioè ogni corridoio nei due sensi, Ma un filo lungo due volte la somma che l'incrocio considerato era stato precedentemente scoperto e che Teseo videi corridoi del labirinto è ragionevole da pensare> Un aspo di cinquanta chi­ incrocia i suoi stessi passi. La ritirata non compromette nulla, poiché in questolometri di lino per Krokodipolis! E infatti la magia di Arianna trasmette a Teseo incrocio Teseo ritornerà attraverso il corridoio che resta libero per la rit irata.l'arte di svolgere e riavvolgere:

Arianna-saggia si ritrova esattamente in Trémaux, i cui consigli molto giudi­a) Teseo, svolgi quando esplori un nuovo corridoio, riavvolgi quando pren­ ziosi proponevano di simulare il percorso in un albero (cfr. ) 2.2), visto che

di un corridoio di ritirata (cioè una seconda volta nel senso del ritorno) ; è vero che in un albero ogni parola netta è nulla. Allora l'abc di Arianna puòb) Teseo, quando batti in ritirata, prendi l'ultimo corridoio esplorato non an­ essere ripreso nel seguente enunciato:

cora preso in ritirata (cioè quello per cui si riavvolge), REGQLA DI ARIANNA-sAGGIA. Va' per i l t u o cammino, e se capiti in un in­c) Teseo, non battere in rit irata per il corridoio di scoperta di un incrocio crocio già scoperto, oppure se non hai piu corridoi da esplorare, allora in questi

se ti resta ancora in questo incrocio un corridoio da esplorare. due casi, e solo in essi, riavvolgi il filo nel tuo corridoio.E Teseo non ha che da svolgere la sua parola (cfr. ) 4), che sarà parola netta È possibile risolvere il labirinto scegliendo a ogni incrocio sia Arianna-sag­in virtu di c ), che sarà parola nulla in virtu di b), che sarà costantemente ridotta gia sia Arianna-folle, in tal modo appaiono tutte le regole possibili per le pa­(ll'~A) , e finalmente ridotta alla parola vuota — tutto il filo riavvolto — in virtu role nette nulle di labirinto. Ma la classe particolare delle parole di Arianna­di a) quando Teseo si presenterà vittorioso davanti ad Arianna. folle ha le sue proprietà e la classe delle parole di Arianna-saggia ne ha altre.L'abc di Arianna include la regola di Tarry (cfr. ) g.z) per il punto c) e,benché piu rigido di questa, lascia tuttavia una certa libertà. Quando Teseogiunge, svolgendo il filo, in un incrocio già conosciuto, può scegliere tra svol­ 6. Il la b ir into è l'algoritmo miope.gere ancora il filo prendendo un corridoio non ancora esplorato oppure riavvol­gerlo. In questo sta appunto la libertà lasciata dalla regola; in questo appaiono Guai a te Teseo se rompi il fi lo, tu perderesti le tracce! E ciò che accaddedue Arianne, due generi estremi di parole nette nulle di labirinto. a Pollicino quando segnò il suo cammino con grani di semola invece che con

cenere (leggenda popolare), con delle briciole di pane invece che con dei sasso­!>.i. Arianna-folle. lini (racconti di Perrault ). E pensa che questo filo non è semplicemente una

garanzia di ritorno diretto verso l'uscita, ma uno strumento per avanzare. Con­Si associno l'attrattiva dell'inesplorato, la sete della scoperta, alla follia, e viene inoltre aggiungere, al filo esploratore, un segno per distinguere un corri­il ritorno sui propri passi alla saggezza. Si puo dire che questa opposizione fra doio percorso due volte da uno non esplorato, poiché entrambi sono privi di filo.l 'esplorazione e la ritirata, fra la proiezione in avanti e i l r i torno su di sé, fa

Labirinto z6 Labirinto

Si potrebbe forse domandare a Teseo di percorrere il labirinto attraversan­

6.t. L'economia delle tracce.<I<> ogni incrocio esattamente una volta? Certamente no. Anche se il labirinto«i prestasse a tale cammino (e si dice allora che il suo grafo è «hamiltoniano»

Per misurare le tracce necessarie al viaggiatore, la cosa migliore resta anco­ <> cosi pure il cammino stesso), Teseo di primo acchito non vi riuscirebbe sen­ra quella di sopprimere il filo e di tracciare in ogni incrocio tutte le tracce ne­ a'altro. Si potrebbe domandargli di analizzare se il labirinto è hamiltoniano rnacessarie; infatti proprio in ogni incidenza di corridoio occorre disporre dei segni. <!»csto gli costerebbe numerose andate e ritorni. I problemi hamiltoniani de­

La regola di Tarry ha bisogno di tre segni per i corridoi incidenti ad ogni rivano dalla pianta e dalle considerazioni globali piu che da quelle locali. No­incrocio: il segno del corridoio non esplorato (o assenza di segno), il segno del <><>stante ciò uno di questi problemi, e fra i piu celebri, sembra risolto in modocorridoio esplorato, il segno del corridoio di scoperta. >niope. Si tratta del movimento del cavallo sulla scacchiera, studiato da Eulero:

La regola di Arianna-saggia ha bisogno degli stessi tre segni. Quanto alla il cavallo deve essere spostato secondo la sua regola e in modo tale che nel suoregola di Arianna-folle, il riavvolgimento pone delle difficoltà: dei segni sono >u<>vimento esso passi una e una sola volta per ognuna delle caselle della scac­necessari per indicare in un incrocio da quale corridoio a quale altro passa il chiera. Si vede bene il labirinto del cavallo: gli incroci corrispondono alle ca­filo al fine di riavvolgere in seguito appropriatamente; di qui la necessità dovuta s<>lle e i corridoi agli otto salti (possibili entro i bordi ) che il cavallo può fare aall'incidenza dei corridoi, di d segni se l'incrocio è incidente a d corridoi; dove partire da una casella. Il percorso hamiltoniano del cavallo è stato trattato daogni segno designa un corridoio, il segno dell'incrocio stesso è riservato per numerosi matematici come un problema globale. Tuttavia la regola seguenteindicare «corridoio di scoperta», il segno di un altro corridoio può notare «da genera in modo sperimentaledelle soluzioni:dove viene il filo»; infine è ancora necessario un segno supplementare per in­ REGQLA Collocare ogni volta il cavallo nella casella da cui domina il piudicare «corridoio non esplorato». 1>iccolo numero di caselle non ancora visitate.

Quello che si è sollevato è un problema di teoria dell'informazione combi­natoria: poiché Arianna-folle si esprime con d+ i segni (cioè cinque in un qua­ La teoria non ha giustificato ancora questa regola; e perciò non si ha ladrivio) mentre Arianna-saggia si esprime con tre segni soltanto, ciò significa garanzia che la regola funzioni per le scacchiere di tutte le misure. Ma è inte­forse che quest'ultima costruisce delle parole meno ricche di proprietà di quan­ ressante osservare che la regola appena data rende il problema, per la scacchie­to faccia la prima? Campo di ricerca inesplorato sulla forza del numero dei se­ ra ordinaria, un problema labirintico; la regola enunciata è infatti miope: essagni: si sbocca in tal modo in un altro «labirinto». utilizza l'informazione locale di un incrocio e di tutti i suoi incroci adiacenti;

miopia in modo certamente meno stretto di quella delle parole di Tarry, che

6.z. Problemi labirintici. si limitano, da parte loro, all'informazione di un incrocio.Emerge una classe generale di «problemi labirintici». Si tratta dei problemi

Le parole di Tarry e di Arianna comportano dei risultati come sottoprodot­ di rete risolubili con miopia. Per formalizzare questo modo di calcolo convieneti. Se ne citano tre, che mettono in luce il fatto che il cammino labirintico è definire teoricamente un algoritmo miope. Per questo si colloca in ogni incro­nello stesso tempo un modo di analisi dei grafi con calcolo miope e una ricerca­ cio un automa finito che assume degli stati e che comunica con le sue zampeevasione. A prima vista i corridoi di scoperta di ogni parola di Tarry di un grafo, (corridoi) con gli automi (incroci) vicini. Ecco che cosa rimane di Teseo, meta­costituiscono un albero del grafo; se li si orienta nella direzione dell'incrocio forizzato in una pluralità di automi-incroci (fig. t6) che si scambiano dei se­scoperto, l'albero diventa un'arborescenza orientata a partire dall' incrocio di gnali e che mettono in pratica la regola di Tarry o le regole di Arianna o altrepartenza, cosi come una rete di distribuzione di gas di città si dispiega a parti­ ancora. Una rete dotata cosi in ogni punto di mezzi di calcolo — che convienere da un impianto a gas. Si consideri ora una parola di Trémaux (Arianna-sag­ minimizzare per un problema dato — è un sistema acentrato. Ben lontani sonogia) in un grafo senza istmi, allora l'orientamento di ogni corridoio nel senso <>rmai il Minotauro, o la casella del Tesoro, o i l centro magnetico o misticodel percorso di esplorazione (opposto a quello del percorso di rit irata) osti­ (che non si sentiva nel dedalo — degli spiriti volgari hanno detto che si sentiva iltuisce una «circolazione», cioè un orientamento che permette di viaggiare da puzzo del Minotauro da molto lontano!) Il labirinto è la problematica delloogni incrocio a ogni altro rispettando il «senso» dei corridoi; in tal modo pos­ scambio locale dei segnali che sono sufficienti a dare coerenza a un tutto. Si èsono essere fissati i sensi unici di una città. Si consideri infine una parola di trascinati verso le forme naturali acentrate, i rizomi [Deleuze e Guattari t976],Arianna-folle in un grafo ove ogni incrocio è incidente a un numero pari di cor­ il sistema nervoso centrale, i formicai e le società umane spontanee.ridoi. Le lettere di ritirata, considerate sole e nel loro ordine di apparizione, co­stituiscono un cammino ciclico che percorre ogni corridoio esattamente una vol­ta (risoluzione del problema di Eulero dei «ponti di Konigsberg»: si veda l'ar­ticolo «Combinatoria» in questa stessa Enciclopedia).

Labirinto

7. C onclusione.

Il labirinto è risolto, la metafora resta intatta. Si può dire che si è forzatala metafora del labirinto in un senso ristretto, facendole sostenere una costru­zione ricca di concetti matematici attualmente in sviluppo ; si può dire ancorache si è fatto ben poco per sciogliere le contraddizioni della mitologia, dellesue analisi e dei suoi molteplici recuperi nel corso dei secoli; si può dire infineche si è disprezzata tutta la potenza simbolica e magica del labirinto. Per questooccorrerà ritornare sull'inesauribile mito. Di quest'ultimo si erano presi in con­siderazione soltanto tre tratti caratteristici: il r ichiamo all'esplorazione, il per­corso miope, la p.ring che il viaggiatore esercita per sfuggire a infinite deambu­lazioni. Ascoltando il mito appariranno altri tratti che in altre epoche sarannoin risonanza con problematiche nascenti e ancora mal formulate e per le qualila metafora del labirinto costituirà di nuovo una specie di trampolino di lancioper la teoria. Dedalo adora tornare alla ribalta. S'immagini per esempio — sepuò avere un senso abbandonarsi a una tale prospettiva — che ci si interessi ungiorno ai modi in cui il filosofo «erra» in mezzo agli errori ; o ancora all'aspettodell'antinomia fra cammino annodato (la tessitura) e cammino snodato (la dan­za yápctvoc) ; o ancora all'aspetto dell'illusione geometrica (le simmetrie di Cail­lois) che è generata dalla furberia di Dedalo per confondere i tentativi di ap­prendimento dei «cartofili»; o ancora all'aspetto di suspense; o all'aspetto del­l'originalità garantita dai cammini individuali che sono numerosi quanto i pos­

h sibili viaggiatori dello stesso labirinto, dello stesso universo ; ecc. La teoria tor­g+//'

na ad attingere a buone fonti i temi antropomorfici, per poi astrarli. La teoriarecupera costantemente. Il labirinto è una buona fonte.

Tutte le problematiche evocate sopra restano nell'ordine di una prasseologiarazionale: fissato un obiettivo, si discute del modo di raggiungerlo. La metaforarlel labirinto evoca al contrario, per alcuni, la situazione inestricabile, l'aporiadei significati multipli contro cui cozzano spiriti diversi, ciascuno dei quali sirivela nel suo modo di interrogare, di agire o di non agire. I due prigionieri diAlexandre Dumas, interpretati dallo spirito labirintico di Italo Calvino, rinchiu­si nella fortezza di If, oBrono come esempio due tipi di spirito: l 'abate Fariascava gallerie come una talpa, sbocca in altre celle di prigionieri, a piu riprese,tenta tutte le direzioni, tutte le possibilità : egli smonta la fortezza pezzo per pez­zo, convinto che il risultato debba essere l'evasione: credulo, attivista, egli nonsmette di agire! Edmond Dantès, detenuto con lui, resta invece immobile, pen­sando di vedere lontano grazie all'attività del suo spirito; egli suppone che lafortezza sia perfetta; dai rumori della zappa di Faria e dai passi dei guardianiegli deduce le caratteristiche dello spazio attorno a lui, rimonta la fortezza con­getturando che sia semplice e senza pecche, poi mette la fortezza che ha pensatoalla prova della fortezza vera; cerca invano l'errore e deve rinviare qualunqueillusione di evadere a un'algebra degli itinerari tra il «dentro» e il «fuori» e a

Figura r6. un'incursione nel suo intimo; si compiace nell'elaborazione di teorie delle ar­

Società reticolata e acentrata. chitetture perfette, nelle quali non sono escluse dilatazioni e contrazioni con­

Labirinto 30

tinue dello spazio carceriale universale; teorico, sognatore, egli non smette dipensare!

Il labirinto, in questo tipo di racconto, presenta l'uomo di fronte al suo mi­stero. E questo incontro faccia a faccia non vale piu di qualunque conclusione>È proprio quello che pensava Dunraven, il poeta londinese esperto in romanzipolizieschi, mentre ascoltava dal suo amico Unwin, matematico, una spiegazio­ne molto lineare del triplo crimine del labirinto di Cornwall, fatto costruire dalre Abenjacàn il Bojari; il poeta, dunque, pensava per l'appunto che «la soluzio­ne del mistero è sempre inferiore al mistero. Questo partecipa del soprannatu­rale e finanche del divino; la soluzione, del gioco di prestigio» [Borges I952,trad. it. p. t76 ]. [p. R.].

Borges, J. L.1952 El Aleph, Editorisl Lossds, Buenos Aires 1952 ( t rad. i t. Feltrinelli, Mi lano 1959).

Deleuze, G., e Gusttari, F.1976 Rhizomc, Mulu l t , Par is ( ttsd. It . P l s t l che Ed l t r l ce, Palma 1977).

Detienne, M., e Vernant, J.-P.1974 L«s Rns«t de l'intclligence. La «métis» det Gr«cs, Flsmmsrion, Paris (trad, it. Lsterza,

Bari 1978).Frontisi-Ducroux, F.

1975 Dédale. Mythologie de l'arti»an en Grèce ancienne, Ms«pero, Paris.

Il labirinto rappresenta l'essenza dei sistemi reticolari acentrati (cfr. centrato/acen­trato, rete, sistema) nei quali ogni decisione viene presa localmente. Il problema al­lora è quello d i capire in che misura un «viaggiatore» interno al labir into, dotato solodi percezione locale, sia capace di un'azione globale che gli eviti infiniti percorsi (cfr.locale/globale, calcolo, algoritmo, automa).

Dal punto di vista esterno dell'«architetto» del labirinto è possibile una classifica­zione secondo i metodi della topologia combinatoria (cfr. geometria e topologia). Ingenerale dal punto di v is ta formale «risolvere» il labirinto significa esplorarlo tutto eritrovarsi al punto di partenza. A ciò ben si adattano i metodi combinatori della teoriadei grafi e delle reti (cfr. combinatoria, grafo, ma anche grammatica, per i l f a t toche ad ogni labir into è possibile associare una grammatica generativa del t ipo context­

free).Ma, risolto il labirinto, rimane la metafora (cfr. metafora/metonimia) per cui ogni

persona tende a misurare il proprio progresso con l 'avanzamento in qualche labirinto;rimangono cosi le contraddizioni e le simbolizzazioni della mitologia, rimane intatta lapotenza magica del labirinto (cfr. immagine, magia, mito/rito, simbolo).

I026

Rete85-96.

philo­

La nostra epoca sarà segnata dal «fenomeno rete». Come ogni fenomenomorfologico profondo, a carattere universale, il fenomeno rete appartiene nonsoltanto alla scienza ma anche alla vita sociale. Ciascuno di noi si sposta in reti,infatti ogni rete corrisponde a un certo tipo di comunicazione, di frequentazio­ne, di associazione simbolica. Quando nel futuro si elencheranno le astrazioni

('3Pd.Cy59)

Nord

02 6Ardn MetMI

Aisne Mense B Rhf

Calv Oise 77 52M~me VosI

61 10

68)90Eure Regione Se)M HM HRh22 50 Orn 28 par lgIna 8g Aube 70 Belf

I I I5 21

(72 25CduN Man EetL Yon

I IHSaone )

Fin 5 IetVá 53 S 41 Loiret 58 Cdo DoubsI I

37Mor 71 01May LetCh Nièvre Jura

49 6LA IetL Cher 03 SetL 6g rn

86 23 42 73MetL Indre Allier Rhone HSavI I

79 87 63Vend Vienne Creuse Loire 38 Sav1

16 43 z6 )S HV PdeD IsèreI

17 2 4 15 07 04Char Corr HL Drome

CBM Dord 48Cant Ard 84

47 12

BA )Gir Lot Loz 30 Vau AM

I82 3 13LetG Avey Gard Var

I32 81TetG Hér BduRh

Gers Tarn65 HG 09

')Aude

P Ar ,.)Figura I .

Rete di limitrofia dei dipartimenti francesi.

//

I 029 Rete

che hanno maggiormente segnato nel corso di questa seconda metà del secolo la/ / mente umana, si avrà sicuramente la «cifra logica» (la scelta binaria, o il foro nel­

la scheda che si combina con altri fori ), ma anche, quasi altrettanto importante'FP/P a)

/////' di quella, si avrà l'oggetto «rete».

/ Si tratta di un oggetto topologico. Da sempre si sanno leggere carte geogra­fiche che, cariche di convenzioni, offrono una grande ricchezza di dettagli lungo

'/////p/y il tragitto percorso. Tuttavia l'uomo-rete risparmia i dettagli inutili, egli non

prende in considerazione che alcune connessioni, la rete delle connessioni utilial suo problema; egli gioca con le alternative di cammino, con la commutazione,

z Y OPPA

/ /

b)

/É//

Y

/É//

Figura z.

Il problema del percorso del cavallo. Da duemila anni vengono collezionate le manie­re piu eleganti di spostare un cavallo sulla scacchiera in modo tale che esso visiti esatta­ OOOH 0000 0mente una volta ciascuna delle 64 caselle. Il percorso è detto chiuso se il cavallo, alla finedell'it inerario, rientra alla casella di partenza con un salto.

a) Eulero impone al cavallo di percorrere di seguito due metà rettangolari della scac­ Figura 3.

chiera. b) S'impone al cavallo di percorrere di seguito due metà connesse simmetriche Circuito logico. I rettangoli posti all' interno oppure alla periferia costituiscono i nodi ;l'una all'altra della scacchiera. c ) Si ricercano i doppi salti in l inea retta; ma senza triplo le linee arborescenti, o equipotenziali, costituiscono i collegamenti della rete.salto in linea retta; se ne posson fare dieci in percorso chiuso e dodici in percorso aperto.

Rete I 030 IO3I Rete

R, come dicono i telefonisti. E può ignorare tranquillamente che un volo Parigi­

+ Algeri sorvola il Mediterraneo.R,— C — C — R, 45 Una rete è costituita prima di tutto da nodi, che sono oggetti qualunque :

R luoghi, memorie, centri di smistamento o di corrispondenza, macchine per l'in­R, R , R 3 2

formazione; poi collegamenti a due a due: un collegamento è incidente a dueR3 R4 nodi, e a seconda dei casi è orientato o meno da un nodo all'altro. Ai nodi e ai

+ I + collegamenti sono, secondo i casi, associate delle variabili : lunghezza, somiglian­R , — C — C — R 4 R — C — C — R

l 3 35 za, durata, capacità, costo, perdita, moltiplicatore, per quel che riguarda i colle­

I I R, gamenti ; stato, potenziale, carica, data, per quel che riguarda i nodi. Infine perR 3 R s R, R, ogni tipo di rete leggi specifiche collegano le variabili di ogni nodo e dei collega­

12 R, R, menti che gli sono incidenti.

+ Se due nodi non hanno un collegamento incidente comune possono tuttaviaR — C — C — R

l 4 essere dipendenti per il tramite di altri nodi. La rete è lo schema tipico le cui tra­

R, sformazioni d'insieme sono descritte da trasformazioni locali (si veda l'articoloR, R , «Locale/globale» in questa stessa Enciclopedia).

La figura I è la rete di limitrofia dei dipartimenti francesi. Avendo ogni di­a) partimento il piu delle volte sei vicini (il che non deve stupire in una suddivisio­

ne del piano), la rete pavimenta il piano come gli alveari di cera delle api, con15 delle irregolarità che meritano attenzione.

12 La figura z tratta della rete del cavallo degli scacchi : i nodi sono le 64 caselle34

/ 3 e i collegamenti non tracciati sono i salti fatti dal cavallo che si conoscono. Salvo13 Peffetto al margine, ogni nodo è incidente a otto collegamenti. È un problema

45 — 13

/ , , 25 molto antico quello di far circolare il cavallo in tutte le caselle della scacchiera23

35 senza ripassare due volte per la stessa. Questo problema evoca i problemi di di­12 — 34

14 35 stribuzione delle merci.25 La figura 3 è un circuito logico stampato. I nodi sono scatole rettangolari i

35 — 24 '3 — 45 13 cui terminali sono negli stati o oppure i. Ogni scatola o componente ha delle en­24 trate e delle uscite. Per un dato stato delle entrate, lo stato delle uscite è determi­

3412 nato dalla natura del componente. Quando un'uscita deve imporre il proprio sta­

4515

to ad alcune entrate di altri componenti, una connessione equipotenziale parteda quella verso ciascuna di queste o piu semplicemente un albero-connessione,generato dall'uscita, congiunge le entrate considerate secondo un tracciato di li­

12

/3 nee a due direzioni il piu possibile economico. Il problema classico è quello di

tracciare tutti gli alberi-connessioni metallizzati tenendo le linee a una distanza

45 assegnata. Linee perpendicolari si possono incrociare usando un tracciato di34 25 14 35 connessioni metallizzate sulle due facce del supporto. Un altro problema, quello

12 — 34 del montaggio, consiste nel posizionare i componenti sul supporto in modo daassicurare il migliore impilamento del circuito stampato (soltanto le posizioni

23 1335 24­ delle file sono imposte, e come è ovvio i nodi periferici ).

L „ I tre esempi qui citati corrispondono a reti concrete, visibili. Tuttavia le reti15

piu frequenti sono quelle astratte, che rappresentano un'organizzazione retico­c) lare di nodi.

Figura 4.La figura 4a rappresenta le reazioni possibili su un corpo chimico costituito da

Grafi di reazioni chimiche attorno a una coppia di atomi di carbonio, di cui uno hacarica positiva. a ) L'arborescenza delle reazioni possibili; b) il grafo di Desargues-Levi; cinque radicali Ri, R„ Rs, R4, Rs collegati a due atomi di carbonio vicini, di cui

c) il grafo di Petersen. uno ha carica positiva, che, come i radicali, può spostarsi da un atomo all'altro. Si

V4Xt

ReteV Pl I0334

corpo ottenuto dando nell ordine crescenteV A IXt

V At U Pl 1 ' l ' ' h' " ' ' ' ' M

r onio c e porta la carica o '''c positiva, marcati con una b arra

A"X A ne caso in cui quest'ata orno sia quello di destra. Si ottieneA a gura 4 , ch iamata ancheV

0' 11 d 11a rete rappresenta una reazione c ' imicamente possibile

IùA V V A

ne ' uno o nell altro senso. Nelso. e c aso in cui i due atomi di carbonio siano indisc' assenza i marca isoto ica che l'ica c e i i s t ingua, la nozione d'

Aice. a rete di reazioni diventa l­V A 4 «destra» non ha signifi t' ca o, né a arra del codice. La

V lora quella indicata nei d gura gc, che altro non è ch i l grafo diA

V XXXX A Xt4 La figura 5 rappresenta la rete delle commutazioni di

A V V A V U 4

na commutazione consiste nello vi­A U Ixj IXl

U

A

A Vd 11 . 1 cls enso e o scambio che si o o

A V f i ' 'd l 1 1o e co egamento che sulla f gura corrisponde al senso

U IùA 4 V

IXI «verso il basso». Questo ti o di ' pro lemi di scrutinio e per leIXI

o ipo i rete è utilizzato nei roA

V A A U decisioni collettive in generale.U V

La fi urag ra 6 rappresenta una rete di trasforme i t ras ormazioni orientate, definita da due4 V A tipi di regole:

i ) Regola locale: da ogni nodo parte un colle amento or'4 V V A

V

lli 11Il 'entato a linea sottile chia­A tù

ore e un collegamento ori• X4 mato operatore x. In on ogni nodo arrivano un colle aco egamento orientato a li­

VlA V

IXIA

V Xj nea marcata chiamato' ma o operatore p ' per il nodo consideU

A l' '1ea so i e c iamato operatore x ' per il nodo conside­D Ijj A V Xt

VA rato. Ne segue che un nodo s' fno o si trasforma in un altro n o o lungo u cam

4D Xt

VA U onen o a estra il nodo di a r tenza t

1 l 'AV

A VU A

I

Alù

A IXIV z) Regola globale : si pone inoltre p' = i e x — ' = x

h de a un no o non conduce a nodiV A

U

A

AV

V lù

1 1 f 1 h 4­e c e x = p x p , p o i x = x dacff ' h (1' cl'i no i i s t i n t i . Se uno di essi è etichet' è e ic ettato con « i » una eti­

chetta per ciascuno de li aleg i a tri viene dedotta imme ime iatamente lungo i cam­

A A V IXI

XjV A IXl D' mini uscenti dal nodo i. Lo o i. e e t i chette equivalenti ab

' ione del gruppo d'ordine4 V U V A V O

sen a o è quello della descrizione dezi con due generatori d f i 'r i e x , e ni t o d a » = i ee pxp = x, la cui rete è ilgrafo di Cayley

A V IXI P Questi ochi esem ' '

pi introduttivi valorizzano il fat g '

D 4 E E rientato. cco perché o ni th ' ' ' ' ' ' fi opo ogici ondamentali nella te

D V d 1'

1 G fo» i q esta stessa Enciclo edia . Un4 XX ematica, e a fisica della b'V

ggiore di settori dell m t t ' fi 'A Xt h ' 1 (l'rego e i u n z ionamento a r t icolari

A 4 V A V cle fil d f i i ioM o bi to i 1m inatorie elementari (catene, cicli, cocicli alberi ecc.

Rete IQ34 to35 Rete

ostacoli che derivano dalla topologia di rete (ed egli congiunge in tal caso la teo­ria unificatrice dei grafi e delle geometrie combinatorie) e gli ostacoli che deriva­no dalla geometria proiettiva (geometria spaziale senza angoli, parallelismo e di­stanze).

b) Reti di trasporto. Un tipo di merce unica circola nella rete, ed ogni col­legamento ha in ogni direzione una portata massima, o capacità (se si conside­ra per semplificare una sola operazione di collegamento). Ogni nodo ha inizial­mente un'eccedenza o una mancanza di merce fissata, il totale delle eccedenzecorrispondendo al totale delle mancanze. La circolazione della merce deve sod­disfare le mancanze grazie alle eccedenze. La regola locale è l'equazione di equi­librio di Kirchhoff.

c) Reti di commutazione di messaggi. Generalizzano le reti di trasporto nelsenso che ogni unità di merce (chiamata messaggio) è ora distinta dalle altre, colsuo nodo di partenza e il suo nodo di arrivo. I messaggi che derivano da unostesso collegamento sono in competizione rispetto alla capacità del collegamento.

~ Oper atore p La commutazione consiste nell'instradare un messaggio al suo punto di arrivoOperatore x attraverso una via libera, se ve ne è una.

Figura 6. d) Reti di file d'attesa. Sono reti di comunicazione di messaggi o di camminoRete di Cayley del gruppo pr= i , pxp- r= x a. di veicoli, che comportano in ogni nodo una stazione di servizio dove gli oggetti

instradati subiscono un trattamento di durata determinata o aleatoria in seguitoalla quale sono spediti secondo la loro natura su uno dei collegamenti uscenti.

e vi attingono i teoremi di topologia combinatoria utili. Epistemologicamente Un tale servizio genera una fila di attesa di lunghezza aleatoria. Una situazionequesta unificazione che sta per essere attuata può avere un'incidenza sociale non di questo tipo si presenta in telefonia, quando un canale di grande capacità si ra­trascurabile nella misura in cui la teoria unificatrice valorizza tutta la libertà del mifica in piccoli canali con distribuzione di capacità debole. Ci s'interessa allosoggetto : infatti in un contesto particolare, come ad esempio nella concezione del studio probabilistico del tempo di passaggio di un oggetto da un nodo di rete aprogetto di case o di città, costrizioni arbitrarie (di segregazione, di organizza­ un altro. Se si tratta di una parte di una banca di dati comunicata tra due ordina­zione arborescente, per esempio ) possono essere nascoste in linguaggi tecnologi­ tori di una rete, converrà rimetterla presto al suo posto nella banca di arrivo. Ilci o tecnocratici oscuri. È questo aspetto unificatore che verrà illustrato in segui­ problema della sincronizzazione è particolarmente cruciale nella telefonia perto, poiché è promettente anche di un interesse piu universale che non gli svilup­ pacchetti di voce digitalizzata, in cui sillabe differenti di una stessa frase, dopopi sul funzionamento di reti particolari quali le classicissime reti elettriche che ne aver seguito instradamenti diversi, devono essere ricollegate nel loro buon or­costituiscono la classe piu antica. E ancora, le reti elettriche e le reti elettroniche dine.derivano certo dalla teoria dei grafi risultati sugli alberi, sulla connessione forte, e) Reti elettroniche logiche (o digitali). Già se n'è data un'idea nella figura 3.ecc., ma ciascuna delle due teorie ha anche gli sviluppi molto specifici di una I componenti elementari sono del tipo molto elementare di «e» oppure «o» lo­tecnologia. gici, o ancora di giganteschi microprocessori. Grazie ai progressi della fabbrica­

zione quasi automatica dei circuiti integrati nei cristalli di silicio attraverso pro­cedimenti a mascherine, infiltrazione di gas e cottura, c'è la tendenza a integrare

t. l.e teorie delle reti. componenti sempre piu grandi. Inoltre i componenti identici sono spesso rag­gruppati sullo stesso cristallo. Una rete logica diviene allora un cablaggio ade­

E necessario enumerare le teorie delle reti che, al pari di quelle delle reti elet­ guato di equipotenziali in albero tra i terminali di contenitori diversi di compo­triche, possiedono delle regole di funzionamento molto specifiche, studiate ne­ nenti identici disposti in un supporto, A tutti i livelli il funzionamento è lo stes­cessariamente in modo separato. so : entrate messe allo stato o oppure i implicano lo stato o oppure t delle uscite

a) Reti di strutture architetturali rigide. Sono costruite nello spazio a tre di­ secondo una legge determinata. Beninteso, a un livello elettronico piu fine si hamensioni. I problemi aperti abbondano con l'invenzione di nuovi materiali di cura del termine di installazione dei terminali di arrivo nel loro nuovo stato, macollegamento(rivista «Topologie Structurale» della Ecole d'architecture de l'U­ ciò non fa parte della logica di funzionamento della rete.niversité de Montréal). Crapo divide gli ostacoli alla rigidità in due classi: gli f) Reti di automi. Si tratta di microprocessori o di automi astratti identici (i

ReteRete I036 I037

i) Reti di Petri. Rete a due tipi di nodo : i nodi chiamati «posti » (i tondi p del­nodi della rete) che hanno le loro entrate (i collegamenti della rete) le une sullealtre. I nodi sono sincronici : cambiano di stato nello stesso tempo. La rete di au­ la figura 7), che contengono oppure non contengono un gettone (disco nero), cioè

di fatto delle memorie a due stati ; e i nodi chiamati « trasformazioni » (i segmentitomi è dunque un modello di calcoli paralleli.Se la topologia della rete è arbitraria, si tratta di un sistema acentrato (cfr. t, sulla figura), che sono suscettibili di modificare lo stato dei posti. I collega­

menti sono orientati e situati sia da un posto verso una trasformazione, sia da unal'articolo «Centrat%centrato» in questa stessa Enciclopedia ) che cerca risultati, trasformazione verso un posto. La regola di funzionamento di una rete di Petrisu se stesso per esempio, con una potenza di calcolo e una memoria limitata aè la seguente: una trasformazione t è suscettibile di operare quando tutti i col­ogni nodo, ma con un numero di nodi di calcolo che può essere molto grande.legamenti che vi fanno capo sono generati da posti che contengono ciascuno unSe la topologia della rete è regolare, si parla di tessalazione o di «macchina cellu­

lare», o ancora di «sistema omogeneo». È con l'aiuto di una rete d'automi che gettone, e la trasformazione consiste nel sopprimere i gettoni considerati e nelsituare (se non vi è già) un gettone in ogni posto ove confluisce un collegamentoNeumann ha provato l'esistenza di macchine «auto-riproducentisi».generato dalla trasformazione tt (cfr. fig. 7). Si conviene che due trasformazioniLe reti seguenti sono relazionali, senza esistenza tecnologica.possibili non operino nello stesso tempo e dunque che possa esservi conflitto,g) Reti di Markov. Rete dai collegamenti orientati, ogni nodo della quale è nella misura in cui l'esecuzione di una trasformazione può renderne un'altra im­chiamato stato del sistema S. I collegamenti generati da uno stesso nodo sonopossibile grazie al gioco di cancellazione di gettoni necessari comuni. E in que­pesati prendendo come unità la somma dei loro pesi. La marca unica S si spostasto senso che una rete di Petri è un modello dei sistemi a trasformazioni multi­nella rete di nodo in nodo lasciando ogni nodo attraverso un collegamento diple asincrone e parallele.uscita sorteggiato secondo la ripartizione dei pesi tra tutti i collegamenti di usci­

Una generalizzazione immediata consiste nell'autorizzare in ogni posto unta del nodo. Il futuro del cammino di S è evidentemente indipendente dal cam­numero qualunque non negativo di gettoni. Una trasformazione è allora auto­mino passato: si dice che il processo di evoluzione del sistema S è senza memo­ rizzata dal momento che ciascun posto che la precede nel collegamento può con­ria. La marca S può finire in un nodo, o andare su e giu in modo stazionario tratribuirvi attraverso un gettone, e il suo risultato è quello di aggiungere un getto­parecchi nodi. ne a ciascun posto che segue la trasformazione nella rete.

h) Diagrammi di flusso o jiow chart. L'esecuzione di ogni algoritmo fa inter­ Un'altra generalizzazione, chiamata «rete coordinata», aggiunge i vincoli se­venire un diagramma di flusso. I nodi sono sia delle istruzioni che contribuisco­

guenti : per una famiglia di sottoinsiemi disgiunti dei posti della rete, due postino al calcolo C (e il loro collegamento di uscita è allora unico), sia test che orien­dello stesso sottoinsieme non possono avere nello stesso tempo un numero nontano il calcolo C verso uno dei due collegamenti di uscita secondo lo stato delnullo di gettoni. Le reti di Petri si sono rivelate utili per la costruzione di opera­calcolo C. La marca unica C si sposta nella rete. I diagrammi di flusso sono dei tori logici, di sistemi operativi di calcolatori e per la gestione di reti di calcolatori.modelli per lo studio della programmazione dei calcolatori, quali la segmenta­

j) Reti di transfert, o di flusso, o pioto graph. Si tratta della rappresentazionezione, l'ottimizzazione, la previsione del tempo di esecuzione, la localizzazionedi un sistema di equazioni lineari omogenee, con un numero di variabili supe­degli errori.riore o uguale al numero di equazioni. Ogni nodo j della rete rappresenta una va­riabile x.. L'equazione x = P a<xt è rappresentata da collegamenti l da j ai, che

l

portano la costante at. Questa rete, con le sue proprietà topologiche, può per­rnettere di semplificare lo studio del sistema lineare. È questo il caso della for­malizzazione del sistema di scambi economici interregionali e interindustriali,come ha mostrato Ponsard in riferimento ad alcune analisi di tipo Leontief.

A) Reti di potenziali. Ogni nodo i della rete rappresenta una variabile x; o po­tenziale. Ogni collegamento orientato (i, j) della rete a cui è associata la costantea,, rappresenta la disuguaglianza xt — x,) a,, La rete è utilizzata nella discussio­ne di grandi sistemi di disuguaglianze del tipo prima descritto. I circuiti vi svol­gono un ruolo privilegiato. È essenzialmente nell'ambito della programmazionedei compiti che si è sviluppata la teoria delle reti di potenziali.

Pea)

Si tenterà nel seguito, con intento unificatore, di trattare argomenti che ri­Figura guardano tutte le teorie delle reti. Di fatto si tratta di argomenti non trattati nel­Rete di Petri. a ) Un primo stato della rete con tre gettoni ; b) stato seguente con quat­ l'articolo di questa stessa Enciclopedia sulla teoria dei grafi. Gli argomenti trattati

tro gettoni dopo esecuzione della trasformazione t,.

35

Rete ro38 I 039 Rete

sono : segmentazione, centralità e scheletro, strozzature, caratterizzazione e sin­ che hanno un'incidenza esattamente coi nodi x, ..., i e cosi via per i = z, , n — r.tesi di reti. Un problema elementare di fisiologia consiste nello studiare se una popola­

La maggior parte degli esempi sarà derivata dalle scienze sociali che 6n qui zione, a proposito della quale si hanno delle informazioni, riguardo alla parente­sono state appunto ricordate come grandi fruitrici di reti. In effetti le reti delle la, del tipo «a e b hanno generato insieme un figlio», sia segmentabile in due ses­scienze sociali sono sufficientemente semplici o generali per potervi applicare si, nel senso per cui un 6glio sarà sempre generato da un membro di ciascunoteorie e algoritmi classici. Esse hanno raramente un funzionamento specifico che dei due sessi. Si consideri allora la rete di accoppiamento dove a e b sono con­generi una teoria particolare, al contrario delle reti che sono state descritte fino giunti da un collegamento se essi hanno generato un figlio. Risulta molto sem­a questo punto. È tuttavia del tutto plausibile affermare che le analisi di rete ren­dono ormai dei servizi sempre piu importanti alle scienze sociali. A tal punto cheuna nuova rivista scientifica ha preso il nome di «Social Networks».

z. Se gmentazione di reti. /

/

La segmentazione di una rete consiste nel ripartire i suoi nodi in un certo cf

numero di classi, per esempio aventi numero di nodi circa uguale, e nell'interes­sarsi sotto differenti punti di vista ai due tipi di collegamento : collegamenti in­traclassi, collegamenti interclassi.

Un caso estremo è quello dell'accoppiamento dei transistor di uno stesso lot­to di fabbricazione, Un transistor è caratterizzato da cinque variabili fisse con uncerto margine di tolleranza. Per ragioni tecniche dovute alla loro utilizzazione,si raggruppano i transistor a due a due, due transistor di uno stesso paio devonoessere vicini in riferimento alle cinque variabili. Si definisce una soglia al di sottodella quale deve essere situata la somma dei quadrati delle differenze di varia­bili di due transistor raffrontati, perché essi siano dichiarati vicini e dunque su­scettibili di essere accoppiati. Nella rete di intorni cosi definita, restano da stabi­lire classi di due transistor vicini, in modo tale da costituire il massimo di classi.Si tratta di un problema classico, detto di accoppiamento.

Nella programmazione ci si preoccupa di suddividere un diagramma di flus­so in pagine: i nodi hanno dei pesi che traducono il loro ingombro, i collegamen­ti hanno dei pesi che traducono il loro tasso d'uso. Si cerca una partizione deinodi del diagramma di flusso in modo che ogni classe abbia in totale un peso in­feriore a una soglia 6ssata dalla pagina, minimizzando il totale dei pesi dei colle­gamenti interpagine.

Nell'impianto di circuiti logici su una carta (cfr. fig. 3) occorre raggrupparei contenitori in file, e poiché i collegamenti tra 61e sono i piu ingombranti, si ri­trova un problema analogo. Per mettere in ordine le file si puo procedere a seg­mentazioni in due classi, che si ripetono fino a raggiungere la dimensione ade­guata di una fila. /

Le linee intraclassi sono incidenti alle scatole di una stessa fila. In tal caso /

si può ottimizzare scegliendo il migliore ordine totale delle scatole nella stessa/

/

61a: si ricerca l'ordine che minimizza la «larghezza» della rete-fila nel sensoseguente. Si chiama larghezza di una rete i cui n nodi sono ordinati da r a n i l Figura 8.piu grande numero di collegamenti delle n — i classi seguenti di collegamento : i Rete di commutazione a quattro tappe regolari, in cui l 'a lgoritmo di instradamentocollegamenti che hanno un'incidenza esattamente col nodo r, i co l legamenti verso un nodo di uscita è indipendente dal nodo di entrata scelto.

Rete I040 ReteI04I

plicemente che l'ipotesi dei due sessi non è contraddetta se la rete non ha cicli è costituito da un numero importante di comunità ben separate, in modo da ac­di lunghezza dispari. Può essere concepita una rete in modo che essa resista alla centuare l'identità delle comunità esistenti attraverso la segregazione ; le comu­partizione. L'obiettivo è chiaro nelle reti di comunicazione militare dove si vuo­ nità costituiscono in se stesse delle unità indipendenti dotate di parchi, negozi,le lottare contro il sabotaggio. La questione è allora quella di tenere al di sopra scuole. La città è concepita come un albero, non ci sono comunità che si sovrap­di una certa soglia il numero minimo di collegamenti da distruggere per disgiun­ pongono. Poi egli porta come esempio di rete sovrabbondante, umanamentegere certe paia di nodi. soddisfacente, l'analisi degli equilibri estetici di un quadro di Nichelson (fig.

Il grafo di commutazione della figura 8 ha un tipo di resistenza alla segmen­ 9). Il fascino esercitato dal quadro sta nel fatto che, benché costruito in base adtazione spinta fino all'identità di alcune delle sue parti. Si tratta infatti in questo un piccolo numero di elementi triangolari semplici, tali elementi si uniscono ingrafo orientato da sinistra a destra di poter raggiungere un nodo indicato dalla modi molto diversi per costituire le unità maggiori del quadro. Se si isolano glicolonna di destra a partire da uno qualunque dei nodi entrata della colonna di insiemi di triangoli che hanno l'aspetto di forti unità figurative, si ottiene il re­sinistra, e questo in quattro commutazioni successive e identiche qualunque sia ticolo della figura 9.il punto di partenza. (Ad esempio, per raggiungere l'uscita inferiore, prenderea partire da ogni entrata Io a destra, Io a destra, I a destra).

Una rete banalmente segmentabile a piacere è la rete ad albero. Un tessuto 3. Centralità e scheletri.sociologico denso di relazioni si allontana al contrario dalla struttura ad albero eresiste alla segmentazione, alla segregazione. Questa osservazione è alla base del­ Gli psicosociologi hanno definito in modi diversi il diametro, il raggio, il cen­la polemica attivata dall'urbanista Christopher Alexander con la frase «Una città tro o i centri di un grafo orientato o non orientato. Si consideri lo studio di Pittsnon è un albero». Tra gli elementi di testimonianza l'autore oppone due impianti sulla centralità di Mosca nella rete delle vie commerciali nella Russia del xil epiani. Dapprima il progetto della Grande Londra ( I943) di Abercrombie: esso XIII secolo (fig. Io). Le vie del commercio sono infatti nel medioevo i fiumi, na­

vigabili durante l'estate, piste di slitte in inverno. Due misure di centralità sonoconsiderate, entrambe dànno il primato a Mosca. La prima misura è una misura

1234567 d'intermediarietà: il tasso di occorrenza della città considerata sulle strade piucorte che congiungono tutte le coppie di altre città. La seconda misura è una mi­sura di accessibilità: la somma di tutti i cammini piu corti fra la città considerata

r23456 134567 234567 e tutte le altre città. Nella rete presa in considerazione Mosca ha la piu grandemisura di intermediarietà e la piu debole misura di accessibilità.

Un'analisi classica ricorre ad analizzare confronti a coppie di un insieme di'z345 '345 soggetti. Si tratta infatti di quelle coppie di cui si dà un indice di distanza o di

similarità. Uno scheletro interessante della rete è allora costituito dall'albero mi­nimo (nel caso della distanza) o dall'albero massimo (nel caso della similarità ).

I235 z345 Questi due alberi estremi esistono visto che i collegamenti della rete sono total­mente ordinati. Se vi sono uguaglianze possono presentarsi piu scheletri. L'alberominimo può essere costruito nel modo seguente : prendere il piu piccolo collega­

6 j 23 i 34~235 i56 345 25 456 3i7mento della rete, poi il secondo piu piccolo se non costituisce un ciclo con il pri­mo già preso..., poi prendere l'i-esimo piu piccolo se non costituisce un ciclo con

12 I 15 23 24,34 25 35 36 4 4&56 17 47 67 collegamenti già presi, ecc. Una proprietà caratteristica dell'albero minimo nelcaso di un ordine totale dei collegamenti è la seguente : lo spigolo piu grande diogni ciclo non appartiene all'albero minimo, ogni altro spigolo gli appartiene.

r 2 3 4 5 6Strozzature.

Figura g. In una rete dai collegamenti totalmente ordinati l'albero minimo è di fatto

Quadro di Nichelson, numerazione e rete di inclusione degli insiemi che costituiscono un legame di strozzature nel senso che esso è il supporto di catene minimax traforti unità figurative, secondo Christopher Alexander. ogni coppia di nodi. Si chiama catena minimax tra due nodi una catena per cui

Rete I042I043 Rete

8 124

LL L+L d• +L J aroslavl' o. o IO i8

Visnij-Votoèek ~gh p o 9D a e h

• Ksjatyn L/ g Ro stov 2 3o 355 Fs • LLL 4• f 5 8 á zi

L~L

• BolgarI4 25

F igura i i .LL Esempio di rete di programmazione. I nodi partono da potenziali o date. I collega­

Smolensk Do>ogob + Z"Tula LL+~~LL P Isad'- Rjazan' L L LL L L• L menti sono dei vincoli e i collegamenti a tratto marcato costituiscono il grafo o camminoLLLLL critico del planning.

L

L

il piu grande collegamento è anche il piu piccolo possibile. Se si aumenta il valo­LLs re di un collegamento dell'albero minimo, allora una delle catene minimax della

+ Novgorod-Severskij rete vede il suo massimo aumentare.' Kursk Un'altra nozione di strozzatura compare nelle reti di potenziale. Si tratta,

nella rete orientata con collegamenti valutati, di considerare per ogni nodo x lapiu lunga catena che entra in x, essendo il potenziale minimale di x fissato dallalunghezza corrispondente (in termini di programmazione dei compiti: quando

o zoo km «al piu presto» accadrà l'evento x). L'insieme dei collegamenti che partecipano aicammini piu lunghi costituisce la rete critica o strozzatura. Infatti l'allungamentodi uno qualunque dei collegamenti del grafo critico ritarda di altrettanto tutte ledate «al piu presto» situate sulla rete critica a valle di questo collegamento (fig. I I ).

Infine, un'altra strozzatura è caratteristica delle reti di trasporto non orien­tate nel caso in cui la merce instradata passi da un solo punto A verso un solopunto B attraverso la rete i cui collegamenti sono muniti di capacità. Il celebreteorema di flusso di Ford e Fulkerson afferma che la piu grande quantità di mer­ce che può passare da A in B, compatibile con le capacità, è uguale alla minore

25 capacità della sezione che separa A e B. Una sezione che separa A e B è un insie­me di collegamenti che sconnette A e B, e la capacità della sezione è la sommadelle capacità dei suoi collegamenti. Poiché il flusso massimo da A in B satura lasezione di capacità minima, ogni diminuzione della capacità di uno qualunquedei collegamenti di quest'ultima agisce sul flusso massimo.

Caratterizzazioni e sintesi delle reti.

Un metodo classico di analisi di dati su rete consiste nel controllare se unarete osservata ha le caratteristiche di una classe specifica di reti.

Per esempio, gli ecologi s'interessano alla sovrapposizione delle specie nei4 • termini seguenti. Si considerino n variabili relative agli ambienti ecologici, e per

ogni specie un intervallo d'accettabilità per ogni variabile : a ogni specie è asso­Figura io

ciato un rettangolo n-dimensionale. Dato un insieme di specie, ad esso corrispon­Rete delle vie commerciali in Russia nel xn e xin secolo e suo grafo. de una rete di intersezioni dei corrispondenti rettangoli. Inversamente, data una

Rete I044 r045 Rete

rete R, ci si può domandare se essa è rete d'intersezione di rettangoli n-dimen­ x Volta vegetale — foglie, frutti, IO8 7

sionali (la risposta è sempre positiva per n abbastanza grande) ; e ci si può do­ fiori 2 3

mandare anche quale sia la dimensione minima n dello spazio per cui la rete R è 2 Animali della volta vegetale­

rete d'intersezioni di rettangoli: n è allora chiamata la «boxicità» della rete R.uccelli, pipistrelli frugivori e al­tri mammifen

Nel caso in cui n = i, una tale rete è chiamata rete d'intervalli. Nella figura i z 3 Animali degli strati aerei supe­ 4si mostra che la boxicità del quadrilatero e di K (g, g) è uguale a due. Nella f i­ riori — uccelli e pipistrelli, inset­

gura ig sono rappresentate due reti: per entrambe i nodi corrispondono a una tivori

famiglia di specie considerate. Per la prima rete un collegamento da ar a y signi­ 4 Insetti

fica che x fa preda di y. Per la seconda rete, un collegamento tra x e y significa 3 Animali terricoli di grossa taglia a)che x e y hanno una preda comune. La seconda rete è rete di concorrenza. La

— grandi mammiferi e uccelli6 Tronchi, frutti, fiori

boxicità della rete di concorrenza è, secondo Cohen, di grande importanza, essapuò contribuire allo studio delle perturbazioni dell'ecosistema. Sembra che le

7 Animali rampicanti della zonaintermedia — mammiferi sia al

reti di concorrenza siano di boxicità debole e che spesso siano reti di intervallo. suolo sia sotto la volta vegetale

In altri termini esiste allora una dimensione (combinazione delle variabili co­ 8 Animali volanti della zona in­

nosciute) secondo la quale ogni specie può essere raffigurata da un intervallo, in termedia — uccelli e pipistrelli IO

modo che la rete d'intersezione di questi intervalli dia la rete delle concorrenze insettivori

osservata. Per altre caratterizzazioni di rete, reti piane in particolare, si rinvia al 9 Suolo — radici, frutti caduti, fo­glie e tronchi

già citato articolo «Grafo». Infine si chiama sintesi della rete la realizzazione di una xo Animali terricoli di piccola ta­rete particolare che ha delle proprietà fissate in anticipo. Questa nozione molto glia — uccelli e piccoli mammi­ b)classica nella teoria delle reti elettriche è stata estesa alle reti elettroniche, alla ri­ feri • • •

6cerca di reti telefoniche piu affidabili e d'investimento minimo, e infine alle reti Funghi

di trasporto.Figura x3.

Rete alimentare (a) e grafo di sovrapposizione delle nicchie (b) per la foresta pluvialeB(a) malese.

a) B(d) B(b) 6. Co n clusione.

Nell'analisi delle reti di una disciplina particolare è sempre piu importanteB(c) separare i problemi relativi alla topologia combinatoria della rete da quelli rela­

tivi alla tecnologia particolare della disciplina. I problemi topologici traggonovantaggio dall'essere considerati in un quadro unificato, con strumenti potenti.Inoltre se una famiglia di problemi su rete non introduce regole tecnologiche dalfunzionamento molto particolare, non è il caso d'impegnarsi in una teoria delle

B(if) reti particolare: gli strumenti generali ne tengono conto. Ci si può dunque at­tendere sia la comparsa di nuove teorie delle reti sotto Peffetto di nuove tecnolo­

bgie, sia la semplificazione delle teorie esistenti grazie ai concetti unificatori e alle

B(e)b) teorie generali della topologia combinatoria. [p. R.].

B(f)Dal punto di vista delle matematiche ogni rete — come schema concettuale astratto

che permette di modellizzare (cfr. modello) un'amplissima gamma di situazioni concreteB(a) B(b) B(c) valorizzando certi aspetti e prescindendo da altri (e tale articolazione dell'opposizione

Figura astratto/concreto è tipica della ricerca) — è un grafo orientato o non orientato. ogniLa boxicità del quadrilatero è 2, quella di K (3, 3) è 2.

teoria particolare delle reti cercherà dunque i suoi teoremi fondamentali nella teoria gene­

Rete toy6

raie dei grafi, che ne studia gli aspetti combinatori (cfr. combinatoria) e topologici (cfr.geometria e topologia ; e, per altri aspetti, strutture matematiche). Nata dall'analisidi un tipo particolare di reti (le reti elettriche, cui altre si sono via via aggiunte: reti ditrasporti, reti elettroniche, ecc.) la teoria non solo si dimostra di notevole fertilità in ap­plicazioni di carattere tecnico (cfr. tecnica, macchina), ma rivela sempre piu un aspettounificatore che la rende particolarmente rilevante da una parte nello studio dei problemigenerali dell'informazione e della comunicazione, nella teoria degli automi (cfr. au­toma ma anche centrato/acentrato, labirinto), nella programmazione (cfr. calcolo,decisione), ecc., dall'altra nella stessa modellizzazione dei fenomeni sociali a partire dallinguaggio fino all'organizzazione dello stesso spazio sociale (cfr. società) e all'analisistessa delle articolazioni del potere (cfr. anche potere/autorità, stato). La ragione ditutto ciò sta probabilmente nel fatto che i l « fenomeno rete» è un fenomeno morfologicoprofondo, a carattere universale : un tratto distintivo di qualunque sistema che riveli unastruttura sufficientemente complessa (cfr. semplice/complesso). Perciò è anche unsimbolo della condizione dell'uomo, un'immag ine della sua cultura (cfr. cultura/cul­ture), un'allusione, infine, alla struttura di questa stessa enciclopedia.