La Universidad del Zulia Facultad Experimental de Ciencias Departamento de Matemtica y Computacin a o

Teor Combinatoria a

Jos Heber Nieto Said e

Maracaibo, 1996

TEORIA COMBINATORIA ISBN 980-232-573-2 autor: Jos H. Nieto e Departamento de Matemtica y Computacin a o Facultad Experimental de Ciencias La Universidad del Zulia - Apartado Postal 526 Maracaibo, Venezuela Fax: 58 61 515390 direccin electrnica: jhnieto@luz.ve o o c La Universidad del Zulia, 1996.

Indice General1 Conceptos bsicos a 1.1 Qu es la Combinatoria . e 1.2 Or genes y evolucin de la o 1.3 Los principios bsicos . . a 1.4 Ejercicios . . . . . . . . . 2 Las 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 1 1 2 4 10 13 13 15 15 16 17 19 21 21

. . . . . . . . Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

conguraciones clsicas a Arreglos . . . . . . . . . . . . Arreglos con repeticin . . . . o Permutaciones . . . . . . . . Permutaciones con repeticin o Combinaciones . . . . . . . . Combinaciones con repeticin o Algoritmos combinatorios . . Ejercicios . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

3 Coecientes binomiales y multinomiales 25 3.1 Los coecientes binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Coecientes multinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Principio de Inclusiones y Exclusiones y aplicaciones 4.1 El Principio de Inclusiones y Exclusiones . . . . . . . . . 4.2 Funciones sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Desarreglos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Aplicaciones a la teor de nmeros . . . . . . . . . . . . a u 4.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 39 39 41 42 43 45

. . . . .

. . . . .

. . . . .

5 Relaciones de recurrencia y funciones generatrices 5.1 Nmeros de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . u 5.2 Funciones generatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Relaciones de recurrencia lineales . . . . . . . . . . . 5.4 Nmeros de Catalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 5.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Permutaciones y particiones 6.1 Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Nmeros de Stirling de primera clase . . . . . . . u 6.3 Aplicacin al anlisis de algoritmos . . . . . . . . o a 6.4 Particiones, nmeros de Stirling de segunda clase u de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Teoremas de existencia 7.1 El Teorema de Ramsey . . . . . . . . 7.2 Aplicaciones a la teor de grafos . . a 7.3 Una aplicacin geomtrica . . . . . . o e 7.4 El Teorema de Graham - Rothschild 7.5 Conjuntos parcialmente ordenados . 7.6 Sistemas de representantes distintos 7.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

47 47 50 53 58 62

. . . y . .

65 . . . . . . 65 . . . . . . 69 . . . . . . 73 nmeros u . . . . . . 75 . . . . . . 82 85 . 86 . 89 . 92 . 94 . 96 . 99 . 100 103 104 107 112 114

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

8 Enumeracin bajo accin de grupos o o 8.1 Accin de un grupo sobre un conjunto o 8.2 La Accin de Polya . . . . . . . . . . . o 8.3 Enumeracin de grafos no isomorfos . o 8.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

iv

PrefacioEste libro naci a partir de las notas de varios cursos de matemtica discreo a ta y de combinatoria dictados por el autor en la Facultad de Ciencias de la Universidad del Zulia durante los ultimos diez aos, para estudiantes de ma n temtica y de computacin. Una versin parcial del texto [N1] fu utilizada a o o e por estudiantes de esos y otros cursos. En 1988 esta obra fu seleccionada e entre las ganadoras del Concurso de Textos Universitarios auspiciado por el Vice-Rectorado Acadmico de LUZ. Sin embargo, dicultades de orden e tipogrco retardaron y nalmente impidieron su oportuna publicacin. La a o presente edicin se debe a la iniciativa del profesor Gustavo Oquendo, quien o A prepar la versin en L TEX en tiempo record. o o Esta obra se beneci de los aportes y comentarios de mis alumnos y de o varios colegas del Departamento de Matemtica de la F.E.C., en particular a del profesor Genaro Gonzlez, con quien sostuve largas conversaciones sobre a temas combinatorios. Deseo expresar aqu mi agradecimiento a todos ellos, as como al profesor Gustavo Oquendo y al Instituto de Clculo Aplicado a de la Facultad de Ingenier de LUZ, en cuyas instalaciones se realiz el a o trabajo de composicin del texto. Debo aclarar sin embargo que cualquier o posible error es de mi exclusiva responsabilidad. As mismo agradezco al Vice-rectorado Acadmico de LUZ el apoyo brindado a la presente edicin. e o Jos Heber Nieto Said e Maracaibo, 14 de febrero de 1996.

vi

Introduccin oEn los ultimos aos el inters por la Combinatoria ha aumentado conside n e rablemente. En gran parte esto se debe al desarrollo de la Ciencia de la Computacin, en la cual juega un rol central el concepto de algoritmo. Para o estimar la eciencia de un algoritmo es necesario contar el nmero de veces u que se ejecutar cada paso del mismo, y esto es un t a pico problema combinatorio. Asimismo la Combinatoria tiene aplicaciones en las ciencias f sicas (ver por ejemplo la discusin del modelo de Ising en [P1]). Por otra parte o las tcnicas combinatorias son ampliamente usadas en toda la Matemtica, e a desde la Teor de Grupos hasta la Teor de Probabilidades. La demostraa a cin de Wielandt del teorema de Sylow (ver [H3]) y la teor de paseos al o a azar (ver [F1]) son dos hermosos ejemplos de lo armado. Otros ejemplos se encuentran en geometr combinatoria (ver [H1]), teor de grafos (ver [B2], a a [H2]), optimizacin combinatoria (ver [F2]), etc. o Sin embargo, no abundan las obras dedicadas a la exposicin sistemtio a ca de los principios fundamentales de la Combinatoria. Por ese motivo es frecuente encontrar, en libros dedicados a diversas ramas de la matemtia ca, estad stica y computacin, secciones ms o menos extensas en las cuales o a se desarrollan los conceptos y tcnicas combinatorias requeridos por cada e autor. Se trata sin embargo de exposiciones parciales, ms o menos circunsa criptas a ciertas necesidades espec cas. En idioma castellano, en especial, las obras de Combinatoria son muy escasas y de dif obtencin. Estas concil o sideraciones nos motivaron a preparar este trabajo, en el cual tratamos de armar la unidad de la Combinatoria desarrollndola a partir de un pequeo a n nmero de principios bsicos. No pretendemos sin embargo realizar una exu a posicin exhaustiva de los innumerables problemas, resultados y teor que o as comprende la Combinatoria, sino ms bien exponer sus fundamentos y prea sentar un buen nmero de tpicos representativos de las diversas direcciones u o que ha tomado la investigacin en el rea. La seleccin hecha inevitableo a o

mente reeja de algn modo las preferencias e intereses del autor, aunque u hemos hecho un esfuerzo por inclu un conjunto variado y equilibrado de rer sultados, que puedan ejemplicarse con aplicaciones a diferentes campos de la matemtica (algebra, geometr teor de grafos, probabilidades, teor a a, a a de nmeros, etc.) u La exposicin trata de enfatizar en todo momento el enfoque t o picamente combinatorio de los problemas tratados, aunque tambin se explican (y e utilizan cuando es necesario) otros mtodos. Los nmeros de Stirling, por e u ejemplo, se denen por su propiedad de contar el nmero de permutaciones y u particiones de determinada clase, y no de la manera usual como coecientes de ciertos cambios de base en un espacio vectorial de polinomios. Al nal de cada cap tulo se incluyen ejercicios y problemas que ilustran o ampl el material tratado y brindan al lector la oportunidad de poner an a prueba su comprensin del texto. En un Apndice se proporcionan soluo e ciones y sugerencias, pero las mismas no deber ser consultadas antes de an haber hecho un serio esfuerzo para solucionar cada problema. Este tipo de actividad es fundamental para aprovechar cabalmente este o cualquier otro libro de matemtica. a Los prerrequisitos para comprender este libro no son muchos, siendo suciente lo que suele ensearse en un curso de matemticas generales de n a nivel universitario. Las excepciones se encuentran en el Cap tulo 8, que presupone cierta familiaridad con la teor de grupos, y en algunos ejemplos a y ejercicios. El texto puede ser usado de varias maneras. Los tres primeros cap tulos son de naturaleza elemental y proporcionan una introduccin a la combinao toria adecuada para cursos universitarios de matemtica general, algebra, a probabilidad y otros que lo requieran. Los cap tulos 4, 5 y 6 contienen material algo ms sosticado y son apropiados para cursos de matemtia a ca discreta, en especial para carreras de computacin, por sus aplicaciones o al anlisis de algoritmos. Los dos ultimos cap a tulos requieren una mayor madurez matemtica, y estn dirigidos fundamentalmente a estudiantes y a a profesores de esta disciplina.

viii

Cap tulo 1

Conceptos bsicos aLa matemtica es rica en tcnica y argumentos. En esta gran a e variedad de situaciones una de las ms esenciales herramiena tas de trabajo es el conteo. Y sin embargo, aunque parezca extrao, es una de las cosas ms dif n a ciles. Al hablar de conteo, a lo que queremos referirnos es al proceso de saber en forma precisa cuntas son las posibilidades en situaciones altamente a complejas. I.N. Herstein [H3] pag. 8788.

1.1

Qu es la Combinatoria e

Si se les pregunta qu es la Combinatoria, la mayor de los matemticos e a a respondern algo as como el arte y ciencia de contar. Sin embargo esta a denicin es inadecuada, pues t o picos problemas combinatorios como el de describir todos los grafos con un cierto nmero de vrtices o el de la exisu e tencia de cuadrados latinos ortogonales, quedar fuera de su alcance. Si an bien los mtodos de recuento forman parte esencial de la Combinatoria, sta e e contempla tambin otros aspectos. Adems de contar el nmero de rboe a u a les con n vrtices, por ejemplo, interesa tambin describirlos, decir cules e e a son. En este sentido Claude Berge [B1] propone denir la Combinatoria como el estudio de las conguraciones formadas con los elementos de un conjunto nito, entendiendo por tales las aplicaciones del conjunto en otro (posiblemente provisto de cierta estructura) que satisfagan unas restricciones determinadas. Dentro de esta concepcin pueden considerarse varios o aspectos, entre ellos: el estudio de conguraciones conocidas, el estudio de

2

Jos H. Nieto e

la existencia de ciertas conguraciones, el conteo del nmero de congurau ciones de un tipo dado, la enumeracion o descripcin de conguraciones, la o optimizacin combinatoria, es decir la determinacin de las conguraciones o o que maximizan o minimizan una funcin dada, etc. o Otros autores, como Aigner [A1], distinguen dentro de la Combinatoria varias reas principales, tales como los problemas de enumeracin, el estudio a o de estructuras de orden en conjuntos nitos, los teoremas de existencia tipo Ramsey, Sperner, etc. y el estudio de conguraciones. En cualquier caso el campo abierto a la Combinatoria es amplio y fascinante, repleto de bellos resultados e interesantes problemas abiertos.

1.2

Or genes y evolucin de la Combinatoria o

En cierto sentido la combinatoria puede considerarse tan vieja como la propia Matemtica, ya que la operacion bsica de contar los elementos de un a a conjunto est ligada al origen mismo del concepto de nmero en los tiempos a u prehistricos. o Los matemticos griegos no prestaron mucha atencin a los problemas a o combinatorios, si exceptuamos el estudio de los nmeros poligonales realiu zado por los pitagricos. Segn Bourbaki [B3] la frmula n = n(n1) ya o u o 2 2 era conocida en el siglo III de nuestra era. En el siglo XII el matemtico a hind Bhaskara conoc ya la frmula general para n y Lev Ben Gerson u a o p (12881344) realiz un estudio ms detallado de las permutaciones, arreglos o a y combinaciones de un conjunto de objetos. Sin embargo sus escritos aparentemente no alcanzaron mucha difusin, y varios de sus resultados fueron o redescubiertos varias veces por los matemticos de los siglos siguientes. a Cardano (15011576) mostr que el nmero de partes de un conjunto de o u n elementos es 2n . Nicolo Fontana de Brescia, contemporneo de Cardano y a ms conocido como Tartaglia, estudi un rectngulo aritmtico equivalente a o a e al tringulo que posteriormente recibir el nombre de Pascal y que aparea a ci en su obra (en parte pstuma) Tratado general sobre el nmero y la o o u medida (15561560). Pascal y Fermat, en el curso de sus estudios sobre los juegos de azar y en particular sobre el problema de la divisin de la apuesta (planteado por el o caballero de Mer) volvieron a encontrar la frmula para n . Dichos estudio e o p constituyeron, por otra parte, el punto inicial del clculo de probabilidades a moderno. Pascal parece haber sido el primero en relacionar los nmeros n u p con el teorema del binomio (el cual en alguna forma era ya conocido por los

Teor Combinatoria a

3

a rabes en el siglo XIII y por los chinos en el siglo XIV). Public su clebre o e Tratado del tringulo aritmtico en 1665 y aunque dicho tringulo ya era a e a conocido por matemticos anteriores como Tartaglia, Stevin y Stifel, desde a entonces es conocido con su nombre. Leibniz (16461716) dedic bastante atencin a la Combinatoria, no slo o o o desde el punto de vista matemtico sino tambin desde una perspectiva a e losca. En un ensayo de juventud (De Arte Combinatoria, 1666) escribe: o . . . todo brota interiormente de la teor de las variaciones, la a cual conduce al esp ritu que a ella se conf casi por s mismo, a, a travs de la totalidad innita de los problemas, abarcando en e s la armon del universo, la estructura ms a a ntima de las cosas y toda la serie de las formas. Hacia 1676 obtuvo la frmula para los coecientes multinomiales, redescuo bierta y publicada por De Moivre veinte aos ms tarde. n a Newton extendi el teorema del binomio al caso de exponentes fraccionao rios. De Moivre (16671754) us por primera vez funciones generatrices para o resolver la relacin de recurrencia xn = xn1 + xn2 , la cual tiene su origen o en el problema de la multiplicacin de los conejos tratado por Leonardo de o Pisa (Fibonacci) en su Liber abaci hacia el ao 1202. n Bernoulli extendi la teor de combinaciones en su Ars Conjectandi o a (1713), el primer libro de importancia dedicado al clculo de probabilidaa des. Euler (17071783) hizo aportes fundamentales. Debemos destacar su solucin al problema de los siete puentes de Knigsberg usando argumentos o o combinatorios, que lo convirtieron simultneamente en el padre de la Topoa log y de la Teor de Grafos. Tambin desarroll el mtodo de las funciones a a e o e generatrices, aplicndolo al problema de las particiones (entre otros). a Cailey (18211895) atac el problema de determinar el nmero de ismeo u o ros de los hidrocarburos saturados Cn H2n+2 , para cualquier valor de n, lo cual equivale a un problema de enumeracin de cierto tipo de rboles. o a En el presente siglo F. P. Ramsey (19031930) descubri un importante o teorema combinatorio de existencia trabajando en el contexto de la lgica o matemtica. En la dcada de 1930 Paul Erds y otros matemticos hngaros a e o a u dieron un nuevo impulso a la Combinatoria. De hecho Erds ha sido, hasta o el presente, uno de los investigadores ms prol a cos en este campo. Motivado en problemas de la teor de grafos con origen en la qu a mica, como Cailey, George Polya [P2] desarroll en 1937 una poderosa tcnica o e (en parte anticipada por J. H. Redeld [R1]) para resolver problemas de

4

Jos H. Nieto e

enumeracin. Su mtodo, basado en la teor de grupos, ha tenido gran o e a inuencia en el desarrollo contemporneo de la Teor combinatoria. a a En la actualidad la Combinatoria pura evoluciona en la direccin de o buscar principios y teor unicadoras que permitan ordenar y sistematizar as el gran nmero de resultados existentes, aparentemente dispersos e inconeu xos. Ejemplo de tales teor son: el estudio combinatorio de los conjuntos as parcialmente ordenados (ver [A1]) y en particular la extensin a estos cono juntos de las funciones de Mbius y frmulas de inversin (ver [R7], [RS1] y o o o [G2]), la teor de matroides (ver [A1]), los tableaux (ver [B1] y [R4]) y la a teor de especies combinatorias (ver [M2]). Al mismo tiempo, tiene lugar a un gran desarrollo de las ramas ms ricas en aplicaciones inmediatas, tales a como la optimizacin combinatoria. o

1.3

Los principios bsicos a

Denotaremos Nn al conjunto de los nmeros naturales entre 1 y n, es deu cir Nn = {1, 2, . . . , n} = {i N : 1 i n}. Dos conjuntos A y B se dicen coordinables si existe una funcin biyectiva f : A B. En este cao so escribiremos A B. Un conjunto A es nito si es vac o si existe un o nmero natural n tal que A Nn . En este caso, si f : Nn A es biyecu tiva, poniendo ai = f (i) para i = 1, . . . , n podemos denotar el conjunto A como {a1 , a2 , . . . , an }. Los conjuntos nitos pueden caracterizarse tambin e intr nsecamente por la propiedad de no ser coordinables con ninguno de sus subconjuntos propios (ver por ejemplo [R3]). Denotaremos mediante |A| al nmero de elementos (o cardinal ) del conjunto nito A. Si A es vac u o, entonces |A| = 0, y si A Nn entonces |A| = n. En todo lo que sigue, salvo mencin expresa en sentido contrario, consio deraremos solamente conjuntos nitos. Principio de correspondencia. 1.3.1. Si A B entonces |A| = |B|. Demostracin. Si A = y A B entonces B = y |A| = |B| = 0. Si o |A| = n y f : Nn A y g : A B son biyectivas, entonces la composicin o g f : Nn B es biyectiva, lo cual prueba |B| = n = |A| El principio de correspondencia es usado muy frecuentemente en Combinatoria. A pesar de su sencillez permite resolver muchos problemas de conteo

Teor Combinatoria a

5

de manera sorprendente, como en el ejemplo siguiente: Ejemplo: En un campeonato de bisbol jugado por el sistema de eliminae torias se enfrentan n equipos. En cada ronda los equipos perdedores salen del torneo. Al formar los pares de equipos que se van a enfrentar puede eventualmente quedar un equipo sin jugar; ste descansa y pasa a la ronda e siguiente. Se desea saber cuntos juegos se realizarn durante el campeonaa a to. Aparentemente una forma de resolver este problema ser contar el nmea u ro de juegos en cada ronda y sumar. Pero este clculo se complica por la a posibilidad de tener un nmero impar de equipos en algunas rondas, y un u nmero par en otras. El caso ms simple se da cuando el nmero de equipos u a u participantes es una potencia de 2, digamos n = 2k . Entonces evidentemente habr k rondas, y el nmero total de juegos ser 2k1 + 2k2 + + 1, a u a o sea 2k 1 = n 1. Usando el principio de correspondencia podemos demostrar que, en general, el nmero de partidos ser siempre n 1. En u a efecto, al nalizar el campeonato tendremos un equipo campen y n 1 o equipos eliminados. Cada uno de ellos fue eliminado en algn partido (y u slo en uno), y en cada partido fue eliminado un equipo. Esto signica que o la correspondencia que asigna a cada partido jugado el equipo eliminado en dicho partido, es biyectiva. Por lo tanto se jugaron tantos partidos como equipos resultaron eliminados, esto es n 1. Principio de la suma. 1.3.2. Si A B = entonces |A B| = |A| + |B|. Demostracin: Este principio es obvio, pero si se desea una demostrao cin rigurosa puede procederse de la siguiente manera: sean f : Nm A y o g : Nn B ambas biyectivas. Entonces la funcin h : Nm+n A B deo nida del modo siguiente: h(i) = f (i) si i m g(i m) si m < i m + n.

es biyectiva, probando as que |A B| = m + n = |A| + |B|. El principio de la suma se enuncia a veces en los trminos siguientes: Si un e suceso A puede ocurrir de m maneras y otro suceso B puede ocurrir de n maneras, y no pueden ocurrir ambos simultneamente, entonces el suceso A a o B puede ocurrir de m+n maneras. Este enunciado puede parecer un poco impreciso, pero es posible convertirlo en una proposicin matemticamente o a

6

Jos H. Nieto e

aceptable mediante el modelo siguiente: sea X un conjunto cuyos elementos representan los posibles resultados de un cierto experimento E. Llamemos sucesos a los subconjuntos de X. Si A es un suceso y el resultado x del experimento E pertenece al conjunto A, entonces diremos que ocurri el o suceso A. Sea B otro suceso. Es claro que el suceso A o B ocurre cuando el resultado del experimento E est en A B, y decir que A y B no pueden a ocurrir simultneamente signica que A B = . Asimismo la frase A a puede ocurrir de m maneras no signica otra cosa que |A| = m. Vemos entonces que el enunciado del principio de la suma en trminos de sucesos, e bajo esta interpretacin, arma que si |A| = m, |B| = n y AB = entonces o |A B| = m + n, lo cual no es ms que el enunciado original. a Veamos algunas consecuencias del principio de la suma: Proposicin 1.3.3. Si A B entonces |A| |B|. o Demostracin: Si A B entonces B = A (B\A) y A (B\A) = , por o lo tanto |B| = |A| + |B\A| |A| Proposicin 1.3.4. Si f : A B es inyectiva entonces |A| |B|. o Demostracin. Si f es inyectiva entonces A f (A), por lo tanto |A| = o |f (A)| |B|. Proposicin 1.3.5. Si f : A B es sobre entonces |A| |B|. o Demostracin. Para cada elemento b B escojamos una preimagen suya o g(b) en A. De este modo resulta una funcin g : B A inyectiva, ya que o g(b) = g(b ) implicar b = f (g(b)) = f (g(b )) = b . Entonces por 1.3.4 a tenemos |B| |A|. Proposicin 1.3.6. Si A1 , . . . , An son disjuntos dos a dos entonces: o |A1 An | = |A1 | + + |An |. Demostracin. Esta generalizacin del principio de la suma se prueba o o fcilmente por induccin. a o (Ms adelante veremos una generalizacin an mayor de este resultado: el a o u principio de inclusiones y exclusiones) Principio del producto (versin 1) 1.3.7. |A B| = |A| |B|. o

Teor Combinatoria a

7

Demostracin. Este principio puede visualizarse disponiendo todos los o elementos del producto cartesiano A B en una tabla. Suponiendo que A = {a1 , . . . , am } y B = {b1 , . . . , bn } entonces los elementos de A B son los pares ordenados: (a1 , b1 ) (a2 , b1 ) . . . (a1 , b2 ) (a2 , b2 ) . . . ... ... . . . (a1 , bn ) (a2 , bn ) . . . (am , bn )

(am , b1 ) (am , b2 ) . . .

Se ve claramente que el cuadro tiene m las y n columnas, y por lo tanto m n = |A| |B| elementos. Una demostracin ms rigurosa podr seguir las siguientes lineas: si A o a a o B son vac entonces A B es vac y se cumple |A B| = 0 = |A| |B|. os o En caso contrario sean f : Nm A y g : Nn B biyectivas y denamos h : Nmn A B de la manera siguiente: dado i Nmn sean q y r el cociente y el resto respectivamente de la divisin entera de i 1 entre m. o Entonces, h(i) = (f (r + 1), g(q + 1)) la funcin h as denida es biyectiva: su inversa es o h1 (f (k), g(j)) = (j 1)m + k lo cual prueba que |A B| = m n. Un enunciado algo ms general del principio del producto es el siguiente: a Principio del producto (versin 2) 1.3.8. Si un primer objeto puede o escogerse entre m posibles, y despus de realizada esta seleccin puede ese o cogerse un segundo entre n posibles, entonces pueden escogerse m n pares diferentes. Demostracin. En esta versin el conjunto de objetos entre los cuales se o o puede seleccionar el segundo puede depender del primer objeto elegido. La situacin puede representarse en el cuadro: o (a1 , b11 ) (a2 , b21 ) . . . (a1 , b12 ) (a2 , b22 ) . . . ... ... . . . (a1 , b1n ) (a2 , b2n ) . . . (am , bmn )

(am , bm1 ) (am , bm2 ) . . .

8 y vemos que tambin aqu el nmero total de pares es m n. e u

Jos H. Nieto e

El principio del producto puede generalizarse fcilmente para varios faca tores: Principio del producto (versin 3) 1.3.9. o |A1 A2 An | = |A1 | |A2 | |An | Demostracin: induccin en n, basndonos en (1.3.7). o o a La generalizacin correspondiente de la segunda versin del principio o o ser la siguiente: a Principio del producto (versin 4) 1.3.10. Si un primer objeto puede o escogerse entre n1 posibles, y para cada seleccin puede escogerse un segundo o objeto entre n2 posibles, y luego un tercero entre n3 posibles, etc., hasta un k-esimo objeto que se puede escoger de nk maneras, entonces el nmero de u grupos ordenados de k objetos que pueden seleccionarse es n1 n2 nk . Demostracin: Induccin en k, basndonos en (1.3.8). o o a Ejemplo: Si en la serie armnica 1 + 1/2 + + 1/n + (que como o se sabe es divergente) se suprimen todos los trminos en cuyo denominador e aparezcan uno o ms sietes (tales como 1/7, 1/17, etc.) la serie resultante a converge o diverge?. Para responder a esta pregunta calculemos en primer lugar la cantidad de nmeros de n cifras entre cuyos d u gitos no aparece el 7. La primera cifra puede escogerse de ocho maneras, ya que no puede ser ni 7 ni 0. Cada una de las restantes puede escogerse de 9 maneras. La cantidad buscada es entonces 8 9n1 . Todos los trminos de la serie en cuestin con denominador de n e o cifras son menores que 10(n1) por lo tanto la serie se puede acotar por la serie geomtrica: e 8+8 9 10 +8 9 102

+ + 8

9 10

n1

+ = 80

por lo cual la serie propuesta es convergente. Este resultado puede parecer paradjico, pues aparentemente al quitar los trminos con 7 estamos quitano e do relativamente pocos trminos de la serie armnica. Pero es una ilusin e o o provocada por el examen de los nmeros de pocas cifras. De hecho, entre los u nmeros de n cifras la proporcin de nmeros sin sietes es (8/9)(9/10)n1 , u o u la cual tiende a cero al aumentar n.

Teor Combinatoria a

9

Ejemplo: De cuntas maneras pueden colocarse una torre blanca y a una torre negra en un tablero de ajedrez de modo que se ataquen? El tablero de ajedrez tiene 8 8 = 64 casillas, y este es el nmero de u maneras en que se puede ubicar la torre blanca. Una vez ubicada la torre blanca, la torre negra debe colocarse en una casilla de la misma columna o la ocupada por la torre blanca. Como el nmero de estas casillas es u 7 + 7 = 14 la respuesta al problema es 64 14 = 896. Observemos que si se tratase de colocar dos torres del mismo color, indistinguibles, defendindose mutuamente, entonces el nmero anterior deber e u a dividirse entre 2, resultando 448. Como otra aplicacin interesante del principio del producto demostrareo mos el siguiente resultado: Proposicin (Erds - Szekeres [ES1]) 1.3.11. Toda o o sucesin o de mn + 1 nmeros diferentes contiene una subsucesin creciente de longitud u o mayor que n o una subsucesin decreciente de longitud mayor que m. o Demostracin. Sea a1 , a2 , . . . , amn+1 la sucesin y denotemos li la longitud o o de la subsucesin decreciente ms larga que comience con ai . Anlogamente o a a sea Li la longitud de la subsucesin creciente ms larga que comience en ai . o a Supongamos por absurdo que li m y que Li n para i = 1, . . . , mn + 1. Sea f : Nmn+1 Nm Nn la aplicacin denida asi: f (i) = (li , Li ). o Esta funcin es inyectiva, ya que si i < j entonces o bien ai < aj o bien o ai > aj . En el primer caso anteponiendo el elemento ai a una subsucesin o creciente de Lj elementos que comience con aj obtenemos una subsucesin o creciente de primer elemento ai y Lj + 1 elementos, probando que Li > Lj . En el segundo caso se prueba por un razonamiento similar que li > lj , y entonces en cualquier caso se tiene que f (i) = f (j). Pero esto conduce a una contradiccin, ya que por (1.3.4) tendr o amos que |Nmn+1 | |Nm Nn |, o sea mn + 1 mn, lo cual es absurdo. El conjunto de todas las funciones de un conjunto A en otro B lo denotamos B A . Si A y B son nitos entonces el cardinal de B A viene dado por la siguiente proposicin: o Proposicin 1.3.12. |B A | = |B||A| . o Demostracin. Supongamos que |A| = n y sea f : Nn A biyectiva. Esta o funcin f nos permite denir una correspondencia T : B A B Nn poniendo o T (h) = h f para toda h B A . Esta correspondencia es biyectiva, ya que f

10

Jos H. Nieto e

lo es. Pero B Nn no es otra cosa que el producto cartesiano B B B (n factores) y entonces por (1.3.9) |B A | = |B Nn | = |B B B| = |B|n = |B||A| Proposicin 1.3.13. El conjunto de partes de un conjunto nito A tiene o |A| elementos. 2 Demostracin. A cada subconjunto X de A hagmosle corresponder su o a funcin caracter o stica fX : A {0, 1} denida as : fX (x) = 1 0 si x X en caso contrario

De este modo resulta una correspondencia entre subconjuntos de A y funciones de A en {0, 1}, y fcilmente se ve que se trata de una biyeccin. Por a o lo tanto en virtud de (1.3.12) el nmero de elementos del conjunto de partes u de A es |2A | = 2|A| Usaremos la notacin [x]n para indicar el producto de n factores decreo cientes x(x1)(x2) (xn+1), a veces llamado factorial inferior de x de orden n. Observemos que [n]n es el factorial ordinario n! = n(n1) 321. Adoptaremos adems la convencin [x]0 = 1. a o Proposicin 1.3.14. El nmero de funciones inyectivas de un conjunto A o u en otro B es [|B|]|A| . Demostracin. Sean n = |A| y m = |B|. Si n > m entonces por (1.3.4) no o hay funciones inyectivas de A en B y el producto m(m 1) (m n + 1) nos da el resultado correcto pues uno de los factores ser nulo. Supongamos a entonces que n m y sea A = {a1 , . . . , an }. Si queremos denir una funcin inyectiva de A en B, tenemos m posibilidades para elegir f (a1 ), o m 1 para f (a2 ), . . . , m n + 1 posibilidades para f (an ). Entonces, por el principio del producto, el nmero de funciones inyectivas de |A| en |B| es u m(m 1) (m n + 1) = [m]n .

1.4

Ejercicios

1. Pruebe que si A y B son conjuntos nitos entonces se cumple |A B| = |A| + |B| |A B|

Teor Combinatoria a

11

2. Sean A y B dos conjuntos nitos y f una funcin de A sobre B tal o 1 (b)| = k (constante) para todo b B. Pruebe que entonces que |f |A| = k |B| 3. (Principio de Dirichlet) Sean a1 , . . . ak enteros no negativos. Si n objetos se distribuyen en k cajas C1 , . . . , Ck y n a1 + . . . + ak k + 1 entonces para algn u i (1 i k) la caja Ci contiene al menos ai objetos. 4. En un acto deben hablar Luis, Mar Pedro, Pablo y Luisa. De a, cuntas maneras se puede confeccionar la lista de oradores con la cona dicin de que Luis hable antes que Pedro? Y si la condicin es que o o Mar hable inmediatamente despus que Luis? Y si deben alternarse a e oradores de distinto sexo? 5. De cuntas maneras se pueden seleccionar cuatro cartas de un mazo a de 52, de modo que haya una de cada palo? 6. De un mazo de 52 naipes se extraen diez al azar. Cul es la proa babilidad de no sacar ningn as? Y de sacar al menos un as? Y u exactamente uno? 7. Cul es la probabilidad de que al escoger un nmero de tres cifras al a u azar las tres cifras sean diferentes? 8. Supongamos que cada automvil se identica mediante una sucesin o o de tres letras seguidas de tres d gitos, y que las placas se otorgan en orden alfabtico-numrico comenzando con la AAA000. Las letras que e e se utilizan son las veintisis siguientes: e ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ Cuntas placas diferentes son posibles con este sistema? Cuntos a a carros se matricularon antes que el CGU735 ? 9. Cuntos pares ordenados de chas de domin pueden formarse de a o modo tal que liguen, es decir, que tengan al menos un d gito en comn? (Suponga que hay sucientes chas de todos los tipos.) u 10. De cuntas maneras pueden colocarse en un tablero de ajedrez tres a torres blancas idnticas de modo que no se ataquen? e

12

Jos H. Nieto e

11. De cuntas maneras pueden colocarse un all blanco y uno negro en a un tablero de ajedrez de modo que se ataquen mutuamente (es decir, que estn en una misma diagonal)? e 12. Pruebe que el nmero mximo de chas que se pueden colocar en un u a tablero cuadrado de n n sin que haya dos en una misma diagonal es 2n 2, y que el nmero de estas conguraciones maximales es 2n . u

Cap tulo 2

Las conguraciones clsicas acombinar tr. Unir cosas diversas, de manera que formen un compuesto o agregado. Diccionario de la Lengua espaola 20a . edicin, n o Real Academia Espaola, 1984. n

Dado un conjunto de m objetos existen ciertas formas t picas de agrupar, distribuir o seleccionar sus elementos. En este cap tulo consideraremos esas conguraciones estudiadas por la teor combinatoria clsica, indicando a a tambin el punto de vista moderno. e

2.1

Arreglos

Se llaman arreglos de m objetos tomados de n en n a las sucesiones de n trminos diferentes que pueden formarse con los m objetos. As por ejemplo e los arreglos de las letras a, b, c tomadas de dos en dos son: ab, ac, ba, bc, ca, cb. Varios trminos se han usado como sinnimos de arreglos, entre ellos: e o variaciones, disposiciones, coordinaciones, etc. Observemos que si A = {a1 , . . . , an } entonces los arreglos de los elementos de A tomados de n en n no son otra cosa que las funciones inyectivas de Nn en A. For lo tanto en vista de (1.3.14) tenemos que: Proposicin 2.1.1. El nmero de arreglos de m elementos tomados de n o u en n es [m]n = m(m 1) (m n + 1). Regla de formacin recursiva de los arreglos 2.1.2. Para formar los o arreglos de m elementos tomados de n en n, suponiendo que ya han sido

14

Jos H. Nieto e

formados los de n 1 en n 1, se colocan a la derecha de cada uno de estos ultimos, sucesivamente, los elementos que no guran en ellos. Ejemplo Sea A = {a, b, c, d}. En el cuadro siguiente se ilustra la formacin de los o arreglos segn la regla anterior: u de 1 en 1 a de 2 en 2 ab ac ad b ba bc bd c ca cb cd d da db dc de 3 en 3 abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb de 4 en 4 abcd abdc acbd acdb adbc adcb bacd badc bcad bcda bdac bdca cabd cadb cbad cbda cdab cdba dabc dacb dbac dbca dcab dcba

Es fcil probar por induccin que la regla enunciada es correcta. Si ya se a o ha formado una lista con todos los arreglos de m objetos tomados de n 1 en n 1 entonces dado cualquier arreglo de n en n, quitndole el ultimo a elemento queda un arreglo de n 1 en n 1 que debe estar en la lista. Esto garantiza la aparicin del arreglo dado al aplicar la regla. Adems o a no aparecen arreglos repetidos, ya que si en la lista son todos diferentes al

Teor Combinatoria a

15

aplicar la regla resultarn arreglos que, si no dieren en los primeros n 1 a elementos, diferirn en el ultimo. a De la regla de formacin se deduce que el nmero de arreglos de m o u objetos tomados de n en n, que denotaremos Am , satisface la relacin de o n recurrencia siguiente: Am = (m n + 1)Am n n1 ya que de cada arreglo de n 1 en n 1 se obtienen m (n 1) arreglos diferentes de n en n, agregando al nal cada uno de los m(n1) elementos que no guran en l. Puesto que obviamente Am = m esta relacin de e o 1 recurrencia nos da: Am = (m 2 + 1)Am = (m 1)m, 2 1

Am = (m 3 + 1)Am = (m 2)(m 1)m 3 2 y en general Am = (m n + 1) (m 1)m, en concordancia con nuestro n resultado anterior.

2.2

Arreglos con repeticin o

Se llaman arreglos con repeticin de m elementos tomados de n en n a o las sucesiones de n trminos que pueden formarse con los m elementos, e entendiendo que cada uno de ellos puede aparecer repetido. As por ejemplo los arreglos con repeticin de los elementos a, b y c tomados de dos en dos o son los siguientes: aa ab ac ba bb bc ca cb cc Proposicin 2.2.1. El nmero de arreglos con repeticin de m elementos o u o tomados de n en n es mn . Demostracin. Los arreglos con repeticin de m elementos a1 , a2 , . . . , am no o o son otra cosa que las funciones de Nn en el conjunto {a1 , a2 , . . . , am } y por lo tanto su nmero es mn como vimos en (1.3.12). u

2.3

Permutaciones

Los arreglos de n objetos tomados de n en n son llamados permutaciones de los n objetos. Se tiene obviamente que:

16

Jos H. Nieto e

Proposicin 2.3.1. El nmero de permutaciones de n objetos es n! o u Demostracin: En efecto, o [n]n = n(n 1) (n n + 1) = n(n 1) 2 1 = n! Regla de formacin de las permutaciones 2.3.2. o Puede particularizarse la regla de formacin de los arreglos, o seguir este o otro procedimiento: ya formadas las permutaciones de los n 1 elementos a1 , . . . , an agreguemos el elemento an a cada una de ellas, en todas las posiciones posibles. Ejemplo Formacin sucesiva de las permutaciones de {a}, {a, b} y {a, b, c}: o ab a ba bac bca cba abc acb cab

2.4

Permutaciones con repeticin o

Dados los elementos a1 , a2 , . . . , ar y nmeros naturales k1 , k2 , . . . , kr consiu deremos las sucesiones de n = k1 + k2 + + kr trminos que se pueden e formar con los ai de modo que a1 aparezca k1 veces, a2 aparezca k2 veces, . . . y ar aparezca kr veces. A estas sucesiones se les llama permutaciones con repeticin de los elementos dados (con multiplicidades k1 , . . . , kr ). Para o contar su nmero consideremos un conjunto A de n elementos, particionado u en clases disjuntas C1 , C2 , . . . , Cr tales que |Ci | = ki . Digamos que dos permutaciones f y g de los elementos de A son equivalentes si los elementos f (i) y g(i) pertenecen a la misma clase en A para i = 1, 2, . . . , n. Los elementos de Ci pueden permutarse entre si de ki ! maneras. Como esto ocurre para cada i de 1 hasta r es claro que para cada permutacin de los elementos o de A hay k1 ! k2 ! . . . kr ! permutaciones equivalentes. El nmero de clases de u equivalencia ser entonces el cociente entre el total de permutaciones de A a y este nmero k1 ! k2 ! . . . kr ! . Pero es claro que estas clases de equivalenu cia pueden ponerse en correspondencia biyectiva con las permutaciones con repeticin, por lo tanto hemos establecido que: o

Teor Combinatoria a

17

Proposicin 2.4.1. El nmero de permutaciones con repeticin de r eleo u o mentos con multiplicidades k1 , k2 , . . . , kr es: n! k1 ! k2 ! . . . k r ! siendo n = k1 + k2 + + kr . Ejemplo Determinemos cuntas palabras diferentes pueden formarse permutando a las letras de la palabra MATEMATICA. Tenemos d letras, que se reparten ez en tres A, dos M, dos T , una E una I y una C . Por lo tanto la respuesta se obtiene dividiendo 10! entre 3! 2! 2! 1! 1! 1! lo cual resulta ser 151200.

2.5

Combinaciones

Llamaremos combinaciones de m elementos a1 , a2 , . . . , am tomados de n en n a los subconjuntos de n elementos del conjunto {a1 , a2 , . . . , am }. Denotaremos el nmero de tales combinaciones mediante el s u mbolo m , notacin o n introducida por Andreas von Ettingshausen en su obra Die Combinatorische Analysi (Viena, 1826). Ejemplo Las combinaciones de los cuatro elementos a, b, c, d tomadas de dos en dos son : {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} y {c, d}. Por lo tanto 4 = 6. 2 Nota: Generalmente se escriben las combinaciones sin las llaves que se usan para denotar conjuntos. As en el ejemplo anterior tendr amos ab, ac, ad, bc, bd, cd. Sin embargo al usar esta notacin hay que tener en cuenta que o no importa el orden de los elementos dentro de cada grupo, a diferencia de lo que sucede con 1os arreglos. Para cada combinacin de m elementos tomados de a n formemos las o n! permutaciones posibles con sus elementos. De este modo se obtendrn a arreglos de m elementos tomados de a n. Es claro que todos los arreglos formados sern distintos, pues si provienen de combinaciones distintas dia eren en algn elemento, y si provienen de la misma dieren en el orden u de los elementos. Adems es evidente que se obtendrn todos los arreglos a a de los m elementos tomados de n en n. Puesto que cada una de las m n combinaciones origina n! arreglos resulta que m n! = [m]n y por lo tanto: n

18

Jos H. Nieto e

Proposicin 2.5.1. El nmero de combinaciones de m elementos tomados o u de n en n es: m n = [m]n m(m 1) (m n + 1) m! = = n! n(n 1) 3 2 1 n! (m n)!

Si ya se han escrito todas las combinaciones de m elementos tomados de n 1 en n 1, escribiendo a la derecha de cada una de ellas, sucesivamente, cada uno de los elementos que siguen a los que entran en la combinacin, se o obtienen todas las combinaciones tomadas de n en n. La comprobacin de la correccin de esta regla se deja como ejercicio. o o Nos limitaremos a ilustrarla con un ejemplo. Ejemplo Sea A = {a, b, c, d}. Las combinaciones que pueden formarse son: de 1 en 1 a de 2 en 2 ab ac ad bc bd cd de 3 en 3 abc abd acd bcd de 4 en 4 abcd

b c d

Las combinaciones pueden ser estudiadas tambin desde otro punto de e vista. Para ello introduzcamos un orden lineal estricto en el conjunto A = {a1 , a2 , . . . am } deniendo ai aj si y slo si i < j. Entonces podemos eso tablecer una correspondencia entre las funciones estrictamente crecientes de Nn en A y los subconjuntos de A con n elementos. En efecto, si f : Nn A es estrictamente creciente (es decir que i < j implica f (i) f (j)) hagmosle a corresponder su imagen Im(f ) = {f (1), f (2), . . . , f (n)}. Esta correspondencia es sobreyectiva, ya que dado un subconjunto B de A con n elementos, ordenmoslos y sean estos b1 e b2 bn . La funcin f : Nn A o denida como f (i) = bi es estrictamente creciente y se tiene obviamente Im(f ) = B. La correspondencia es tambin inyectiva pues si f y g son dos e funciones distintas de Nn en A, ambas estrictamente crecientes, sea j el menor nmero natural (entre 1 y n) tal que f (j) = g(j). Supongamos para u

Teor Combinatoria a

19

jar ideas que g(j) f (j). Entonces si 1 i < j se tiene f (i) = g(i) g(j), mientras que si j < i n entonces g(j) f (j) f (i) . En todo caso g(j) no pertenece a Im(f ) y por lo tanto Im(f ) = Im(g). La correspondencia biyectiva que se acaba de establecer nos permite armar que hay tantas funciones estrictamente crecientes de Nn en A como combinaciones de los elementos de A tomados de n en n. Ms en general a podemos substituir Nn por otro conjunto linealmente ordenado cualquiera. Adems los razonamientos hechos son vlidos tambin para funciones a a e estrictamente decrecientes. Por lo tanto podemos armar que: Proposicin 2.5.2. El nmero de funciones estrictamente crecientes o eso u trictamente decrecientes de un conjunto linealmente ordenado B de n elementos en otro A de m elementos es m . n

2.6

Combinaciones con repeticin o

Las combinaciones con repeticin de m elementos tomados de n en n son o los grupos de n elementos que pueden formarse con los m dados, sin tomar en cuenta el orden y admitiendo elementos repetidos. As por ejemplo las combinaciones con repeticin de los elementos a, b y c tomados de dos en o dos son las siguientes: aa, ab, ac, bb, bc, cc Una forma interesante de representar las combinaciones con repeticin o i1 i2 im donde el de m elementos a1 , a2 , . . . , am es en forma de monomio a1 a2 . . . am exponente de cada elemento aj indica el nmero de veces que dicho elemento u aparece en la combinacin. Es claro que de este modo se establece una coo rrespondencia biyectiva entre combinaciones con repeticin de m elementos o tomados de n en n y monomios de grado n en m variables, con coeciente unidad. Para contar el nmero de tales monomios hagamos corresponder u a cada uno de ellos una sucesin de ceros y unos, escribiendo para cada o variable una hilera de tantos unos como indique el exponente (ninguno si el exponente es cero) y usando ceros como elementos de separacin entre las o hileras de unos correspondientes a variables distintas. El resultado tendr el a siguiente aspecto: 1 1 0 1 1 0 0 1 1i1 i2 im

20

Jos H. Nieto e

Si algn exponente es nulo la hilera correspondiente de unos ser vac u a a, apareciendo por consiguiente dos o ms ceros consecutivos. En cualquier a caso habr m 1 ceros y la longitud de la sucesin ser i1 + i2 + + im + a o a m 1 = n + m 1. Veamos como ejemplo algunos monomios de sexto grado en cuatro variables a, b, c, d y las sucesiones de ceros y unos asociadas: a2 bc2 d b 4 d2 d6 a6 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0

Es claro que la correspondencia establecida es biyectiva, y por lo tanto hay tantos monomios de grado n en m variables con coeciente unidad como sucesiones de n + m 1 trminos, de los cuales n son unos y m 1 son ceros. e El nmero de tales sucesiones es obviamente n+m1 pues una vez elegidas u n las n posiciones donde se van a poner los unos los m 1 puestos restantes deben llenarse con ceros. Quedan probadas entonces las dos proposiciones siguientes: Proposicin 2.6.1. El nmero de las combinaciones con repeticin de m o u o elementos tomados de n en n es n+m1 . n Proposicin 2.6.2. El nmero de monomios de grado n en m variables o u con coeciente unidad es n+m1 . n Una forma ms moderna de tratar las combinaciones con repeticin cona o siste en ordenar el conjunto A = {a1 , . . . , am } como lo hicimos antes y considerar las funciones crecientes (en sentido amplio) de Nn en A. Con razonamientos anlogos a los hechos para las combinaciones simples y las a funciones estrictamente crecientes puede verse que existe una correspondencIa biyectiva natural entre combinaciones con repeticin de m elementos o tomados de de n en n y funciones crecientes (en sentido amplio) de un conjunto linealmente ordenado de n elementos en otro de m elementos. Estos hechos se resumen en el siguiente enunciado: Proposicin 2.6.3. El nmero de funciones crecientes (o decrecientes) en o u sentido amplio de un conjunto linealmente ordenado de n elementos en otro de m elementos es n+m1 . n

Teor Combinatoria a

21

2.7

Algoritmos combinatorios

El problema de generar permutaciones, combinaciones y otros objetos combinatorios con el computador ha dado origen a una serie de interesantes algoritmos. Como ejemplo inclu mos a continuacin uno que genera las pero mutaciones de los nmeros del 1 al n en orden lexicogrco, comenzando u a por 1, 2, . . . , n y nalizando con n, n 1, . . . , 2, 1 . Cada permutacin se o representa mediante un arreglo a[1], a[2], . . . , a[n]. Usamos la echa hacia la izquierda para denotar la asignacin de un valor a una variable. o Algoritmo generador de permutaciones 2.7.1. Paso 1 (inicializar) Para i = 1 hasta n hacer a[i] i Paso 2 Imprimir a[1], a[2], . . . , a[n] Paso 3 Hallar el mayor i tal que a[i] < a[i + 1]. Si no se encuentra tal i el algoritmo naliza (esto ocurrir necesariamente luego de imprimir la a permutacin n, n 1, . . . , 3, 2, 1) o Paso 4 Hallar el menor a[j] con j > i y tal que a[j] > a[i] Paso 5 Intercambiar los valores de a[i] y a[j] Paso 6 Invertir la sucesin a[i + 1], . . . , a[n] o Paso 7 Volver al Paso 2. Para ms detalles sobre ste y otros algoritmos combinatorios vea [K1], a e [N3] y [R2].

2.8

Ejercicios

1. Cuntas banderas con tres franjas horizontales del mismo ancho y a distintos colores pueden formarse, si se dispone de tela amarilla, azul, verde, blanca y roja? 2. En el alfabeto Morse, usado en telegraf se emplean solamente dos a, signos: el punto y la raya. Cuntas palabras distintas pueden formara se compuestas de uno, dos, tres, cuatro o cinco signos? Generalice. 3. De cuntas maneras puede formarse una ronda con diez nios? a n

22

Jos H. Nieto e 4. Con diez cuentas de vidrio de distintos colores, cuntos collares difea rentes se pueden formar? 5. Cuntos nmeros mayores que 3000 y menores que 4000 pueden fora u marse con los d gitos 2, 3, 5 y 7 a) si cada cifra puede usarse slo una vez? o b) si cada cifra puede emplearse las veces que se desee?

6. Cuntas palabras diferentes pueden formarse con las letras de la paa labra POLINOMIO? 7. Si se forman todos los nmeros que resultan de permutar las cifras de u 123579 y se ordenan en forma creciente, qu lugar ocupar el nmero e a u 537192? 8. De un grupo de seis hombres y cuatro mujeres, a)Cuntas comisiones de tres personas se pueden formar? a b)Cuntas en las que haya exactamente un hombre? a c)Cuntas en las que haya al menos un hombre? a 9. Cuntos tringulos se pueden formar que tengan como vrtices los a a e vrtices de un decgono regular? e a 10. Si n puntos distintos situados en una circunferencia se unen de todas las maneras posibles, cuntos puntos de interseccin resultan, como a o mximo? a 11. En un plano hay n puntos, k de los cuales estn alineados. A excepcin a o de ellos no hay tres en l nea recta. Cuntas l a neas rectas diferentes resultan si se unen los n puntos dos a dos? 12. En cuntos puntos se cortan n rectas, k de las cuales son paralelas a entre s ? 13. Cuntas naranjas se necesitan para formar una pirmide de base a a triangular con n naranjas en cada lado de la base? 14. De cuntas maneras se pueden comprar diez frutas, si el frutero slo a o dispone de naranjas, mangos y n speros?

Teor Combinatoria a

23

15. De cuntas maneras se pueden colocar las guras blancas (un rey, a una dama, dos alles, dos torres y dos caballos) en la primera la del tablero de ajedrez? 16. De un total de N art culos de los cuales B son buenos y los restantes, D = N B son defectuosos se escoge al azar una muestra de n art culos. Cul es la probabilidad de que en la muestra haya x art a culos buenos (y n x defectuosos)? 17. Qu dimensin tiene el espacio vectorial de los polinomios de grado e o menor o igual a n en k variables? 18. Para escribir todos los nmeros naturales desde 1 hasta 1000000, cunu a tos ceros se necesitan? 19. En un acto deben hablar n mujeres y k hombres. De cuntas maneras a se puede ordenar la lista de oradores con la condicin de que no hablen o dos hombres consecutivamente? 20. (Kaplansky) Pruebe que el nmero de subconjuntos de Nn con k eleu mentos y sin enteros consecutivos es nk+1 . k 21. (Kaplansky) Pruebe que el nmero de subconjuntos de Nn con k eleu mentos y que no contienen enteros consecutivos ni a 1 y n simultneaa mente es: n nk nk k

24

Jos H. Nieto e

Cap tulo 3

Coecientes binomiales y multinomialesLa cantidad n se denomina coeciente binomial ; estos k nmeros tienen una cantidad extraordinaria de aplicaciones. u Son quiz las cantidades ms importantes que aparecen en el a a anlisis de algoritmos y, por tanto, se recomienda al lector que a se familiarice con ellos. D.E. Knuth [K1] vol.1 The binomial coecients are virtually ubiquitous in Combinatorial Theory and it would be folly to attempt to count anything without their aid. D.I.A. Cohen [C1]

3.1

Los coecientes binomiales

En el cap tulo anterior denimos m como el nmero de subconjuntos de u n cardinal n de un conjunto de m elementos. A continuacin veremos que o estos nmeros admiten tambin interpretaciones algebraicas y geomtricas u e e y estableceremos unas cuantas de sus propiedades. Teorema del binomio 3.1.1.m

(x + y)

m

=n=0

m n mn x y n

26

Jos H. Nieto e

Demostracin: (x+y)m es el producto de m factores (x+y). Al desarrollar o el producto se obtiene una suma de monomios de grado m en las dos variables x, y. El monomio xn y mn aparece tantas veces como formas haya de escoger n de los m parntesis para seleccionar la x en ellos. Este nmero es e u m justamente n . Nota: A ra de este teorema los nmeros m se denominan coecientes z u n binomiales, nombre que se remonta a M. Stifel (14861567). Es corriente demostrar el teorema del binomio por induccin, utilizando la frmula de o o Stifel (3.1.4) para justicar el salto inductivo. Sin embargo creemos que debe preferirse esta sencilla demostracin combinatoria pues adems de su o a brevedad permite deducir la frmula para el desarrollo del binomio, mientras o que la demostracin por induccin requiere conocer la frmula de antemano. o o o

Una interpretacin geomtrica de los coecientes binomiales o e Consideremos las poligonales P0 P1 . . . Pm en el plano cartesiano cuyos vrtices cumplen la condicin siguiente: Si Pi tiene coordenadas (x, y) ene o tonces Pi+1 tiene coordenadas (x + 1, y) o (x, y + 1). En otras palabras, se trata de poligonales cada uno de cuyos segmentos Pi Pi+1 es paralelo a uno de los ejes coordenados, tiene longitud unidad y est orientado igual que el eje a al cual es paralelo. Llamaremos a estas poligonales caminos ascendentes o simplemente caminos. Proposicin 3.1.2. El nmero de caminos ascendentes de longitud m que o u parten del origen es 2m . El nmero de caminos que parten del origen y u nalizan en el punto de coordenadas (n, k) es n+k . n Demostracin. Para construir un camino de longitud m partiendo del orio gen debemos elegir primeramente P1 , que solamente puede ser (0, 1) o (1, 0). Tenemos pues dos posibilidades. Una vez elegido P1 hay dos posibilidades para escoger P2 , y as sucesivamente. Por el principio del producto resulta entonces que pueden constru 2m caminos de longitud m. Para contar los rse caminos P0 P1 . . . Pm con P0 = (0, 0) y Pm = (n, k) observemos en primer lugar que debe ser m = n + k, pues cada vrtice Pi (1 i m) tiene o bien e su abscisa o bien su ordenada una unidad mayor que la del vrtice anterior e Pi1 . Por lo tanto, para ir desde (0, 0) hasta (n, k) un camino debe tener n segmentos paralelos al eje Ox y k segmentos paralelos al eje Oy, siendo su longitud m = n + k. Ahora bien, el camino queda determinado si conocemos

Teor Combinatoria a

27

cules de sus n + k segmentos son paralelos a Ox, pues los restantes sern a a necesariamente paralelos a Oy. El problema se reduce entonces a escoger n elementos de un total de n + k, lo cual puede hacerse de n+k maneras. n A continuacin estudiaremos una serie de proposiciones relativas a los o coecientes binomiales. Para cada una de ellas se pueden seguir al menos cuatro estrategias de demostracin : o 1. Estrategia combinatoria pura: consiste en interpretar m como el n nmero de subconjuntos de n elementos de un conjunto de m eleu mentos, y usar tcnicas de conteo. e 2. Estrategia aritmtica: consiste en calcular aritmticamente a partir de e e m m! la frmula n = n! (mn)! o 3. Estrategia algebraica: consiste en interpretar m como el coeciente n de xn y mn en el desarrollo de (x+y)m y realizar clculos y operaciones a algebraicas con polinomios. 4. Estrategia geomtrica: consiste en interpretar m como el nmero e u n de caminos ascendentes desde (0, 0) hasta (m n, n) y efectuar luego razonamientos geomtrico-combinatorios. e Para algunas de las proposiciones siguientes daremos cuatro demostraciones, correspondientes a las cuatro estrategias mencionadas. En otros casos proporcionaremos slo una demostracin (generalmente la que considerao o mos ms elegante) pero sugerimos al lector que construya demostraciones a alternativas siguiendo las estrategias restantes. Simetr de los coecientes binomiales 3.1.3. a m n = m mn

Demostracin combinatoria: Sea A un conjunto de m elementos. Llao memos Fk a la familia de todos los subconjuntos de A con k elementos y denamos f : Fn Fmn haciendo corresponder a cada miembro X de Fn su complemento en A, que tendr m n elementos y estar por lo tanto en a a Fmn . En s mbolos, f (X) = A\X. Es inmediato vericar que f es biyectiva: f (X) = f (Y ) A\X = A\Y X = Y , y si Y Fmn entonces X = A\Y Fn y f (X) = A\X = A\(A\Y ) = Y . Entonces por el principio m de correspondencia tenemos que |Fn | = |Fmn |, es decir: m = mn n

28 Demostracin aritmtica: o e m mn =

Jos H. Nieto e

m! m! = = (m n)! (m (m n))! (m n)! n!

m n

Demostracin algebraica: Basta comparar el coeciente de xn y mn en o el desarrollo de (x + y)m con el de y mn xn en el desarrollo de (y + x)m . Puesto que (x + y)m = (y + x)m , estos coecientes deben ser iguales, lo cual demuestra la proposicin. o Demostracin geomtrica: La simetr respecto a la bisectriz del primer o e a cuadrante (es decir la recta y = x) establece una correspondencia biyectiva entre los caminos ascendentes que parten del origen y llegan a (m n, n) y aquellos otros que partiendo del origen alcanzan el punto simtrico (n, mn). e Pero el nmero de estos ultimos es segn (3.1.2): u u n + (m n) mn = m mn

Frmula de Stifel 3.1.4. o m n = m1 m1 + n n1

Demostracin combinatoria: Sea A = {a1 , a2 , . . . , am }. Los subconjuno tos de n elementos de A pueden dividirse en dos clases: la de aquellos que no contienen al elemento am y la de los que s lo contienen. La primera clase est constitu simplemente por los subconjuntos de n elementos de a da {a1 , a2 , . . . , am1 } y su nmero es m1 . En cuanto a los subconjuntos u n que contienen al am observemos que quitndoles este elemento resulta un a subconjunto de n 1 elementos de {a1 , . . . , am1 }. Por lo tanto su nmero u m1 es n1 . Aplicando el principio de la suma queda entonces demostrada la proposicin. o

Teor Combinatoria a Demostracin aritmtica: o e m1 m1 (m 1)! (m 1)! + = + n n1 n! (m 1 n)! (n 1)![(m 1) (n 1)]! (m 1)! (m n) + (m 1)!n (m 1)!(m n + n)! m = = = n! (m n)! n! (m n)! n

29

Demostracin algebraica: om1

(x + y)m = (x + y)m1 (x + y) =

n=0

m 1 n mn1 x y n

(x + y)

Calculando ahora el coeciente de xn y mn en esta ultima expresin resulta o m1 m1 ser justamente n1 + n Demostracin geomtrica: m es el nmero de caminos ascendentes o e u n que partiendo del origen alcanzan el punto de coordenadas (m n, n). El penltimo vrtice de cualquiera de estos caminos debe ser necesariau e mente (m n 1, n) o (m n, n 1). Esto nos permite clasicar los caminos en cuestin en dos clases disjuntas. Los caminos con penltio u mo vrtice en (m n 1, n) son (mn1)+n = m1 , mientras que los e n n que tienen el penltimo vrtice en el punto (m n, n 1) son a su vez: u e (mn)+(n1) = m1 n1 n1 El tringulo aritmtico a e La frmula (3.1.4) permite calcular los coecientes binomiales recursivameno te: conocidos los coecientes con ndice superior m 1 se pueden calcular los de ndice superior m mediante simples sumas. Si disponemos los coecientes binomiales en una tabla triangular, como se indica a continuacin, o entonces cada uno de ellos es igual a la suma de los dos que estn en la la a inmediata superior, a su izquierda y a su derecha. Esta tabla se conoce con el nombre de tringulo aritmtico o tringulo de Pascal y posee muchas a e a propiedades interesantes. Una monograf de carcter elemental sobre este a a tringulo es la de Uspensky [U1]. a Obsrvese que los lados del tringulo slo contienen unos, puesto que e a o m = m = 1, para todo m 0. 0 m

300 0 1 0 2 0 3 0 4 0 4 1 3 1 4 2 2 1 3 2 4 3 1 1 2 2 3 3 4 4

Jos H. Nieto e

En el siguiente tringulo hemos calculado efectivamente todos los coea cientes binomiales con ndice superior menor o igual a diez. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 9 45 8 36 120 7 28 84 210 6 21 56 126 252 5 15 35 70 126 210 4 10 20 35 56 84 120 3 6 10 15 21 28 36 45 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Proposicin 3.1.5. o n n n + + + 0 1 n = 2n

Demostracin aritmtica: Por el teorema del binomio (3.1.1) el miembro o e izquierdo de (3.1.5) es igual a (1 + 1)n = 2n . Demostracin combinatoria: Sea A un conjunto de n elementos. Puesto o que n es el nmero de subconjuntos de A con k elementos, es claro que el u k miembro izquierdo de la igualdad a demostrar representa la cantidad total de subconjuntos de A, que ya sabemos que es 2n por (1.3.4).

Teor Combinatoria a

31

Demostracin geomtrica: El nmero de caminos ascendentes de longio e u n (3.1.2). Estos caminos se pueden clatud n que parten del origen es 2 sicar segn el punto de llegada, que debe ser de la forma (h, k) con h, k u enteros no negativos y h + k = n. Estos puntos estn alineados, y son a (0, n), (1, n 1), (2, n 2), . . . , (n, 0). Segn (3.1.2) el nmero de caminos u u que llegan a (h, n h) es n , por lo tanto una aplicacin del principio de la o h suma completa la demostracin. o Proposicin 3.1.6. Para todo n > 0 se tiene: o n n n n + + (1)n 0 1 2 n =0

Demostracin aritmtica: El miembro izquierdo es el desarrollo de o e (1 1)n y por lo tanto debe ser 0. Demostracin combinatoria: Escribiendo (3.1.6) en la forma siguiente: o n n n + + + = 0 2 4 n n + + ... 1 3

vemos que podemos darle la siguiente interpretacin combinatoria: para o todo conjunto nito no vac el nmero de sus subconjuntos con cardinal o, u par es igual al nmero de sus subconjuntos con cardinal impar. Para probar u esto sea A = {a1 , a2 , . . . , an } y consideremos la funcin f : 2A 2A denida o as si X A entonces f (X) = X {a1 }. En otras palabras, a X le hacemos : corresponder el subconjunto de A que resulta de agregarle a1 , si no lo ten a, o de quitrselo, si lo ten Esta funcin es biyectiva, ya que obviamente es a a. o su propia inversa, y transforma conjuntos de cardinal par en conjuntos de cardinal impar y viceversa. Por lo tanto hay tantos de una clase como de la otra. Proposicin 3.1.7. o n+1 k+1 = n n1 k + + + k k k

32

Jos H. Nieto e

Demostracin: Sea A = {a1 , a2 , . . . , an+1 } un conjunto de cardinal n + 1 o y sea Ci la clase formada por los subconjuntos de k + 1 elementos de A cuyo elemento con mayor sub ndice sea el ai . Tendremos as clases Ck+1 , . . . , Cn . Es fcil ver que |Ci | = i1 y entonces (3.1.7) se sigue del principio de la a k suma. (Otra demostracin de 3.1.7 puede obtenerse aplicando la frmula de Stifel o o (3.1.4) en forma sucesiva.) Identidad de Vandermonde 3.1.8. n+m r = n 0 m n + r 1 m n + r1 2 m n + + r2 r m 0

Demostracin algebraica: n+m es el coeciente de xr en el desarrollo o r de (x + y)n+m . Pero como (x + y)n+m = (x + y)n (x + y)m , si desarrollamos por separado (x + y)n y (x + y)m y luego hacemos el producto, el coeciente de xr resulta ser justamente el miembro derecho de (3.1.8). Demostracin combinatoria: Sean A = {a1 , . . . , an } y B = {b1 , . . . , bm } o dos conjuntos de cardinales n y m respectivamente. Entonces podemos interpretar el miembro izquierdo de (3.1.8) como la cantidad de subconjuntos de r elementos de la unin A B. Pero cada uno de esos subconjuntos o estar formado por un cierto nmero j de elementos de A y r j elementos a u de B. Por el principio del producto el nmero de conjuntos que pueden u m formarse con j elementos de A y r j elementos de B es n rj y sumando j estas cantidades para j entre 0 y r resulta (3.1.8).

3.2

Coecientes multinomiales

Dados un nmero natural m y enteros n1 , n2 , . . . , nk (k 2) sean X = u {x1 , x2 , . . . , xm } e Y = {y1 , y2 , . . . , yk } dos conjuntos de m y k elementos respectivamente. Denotaremos mediante el s mbolo m n1 n2 . . . nk

Teor Combinatoria a

33

al nmero de funciones f : X Y tales que |f 1 (yi )| = ni para i = u 1, 2, . . . , k. Llamaremos a estos nmeros coecientes multinomiales. Usanu do un lenguaje ms informal podr a amos denir estos nmeros como la cantiu dad de maneras de distribuir m objetos en k cajas rotuladas y1 , . . . , yk de manera tal que la caja yi contenga exactamente ni objetos, para i = 1, 2, . . . , k. Observemos que segn nuestra denicin si no se cumplen las condiciones u o ni 0 para i = 1, 2, . . . , k y m = n1 + n2 + + nk entonces m n1 n2 . . . nk =0

Proposicin 3.2.1. Si ni 0 para i = 1, 2, . . . , k y n1 + n2 + + nk = m o entonces m n1 n2 . . . nk = m! n1 ! n2 ! . . . nk !

Demostracin: Sean X = {x1 , x2 , . . . , xm } , Y = {y1 , y2 , . . . , yk }. Para o denir una funcin f : X Y tal que |f 1 (yi )| = ni para i = 1, 2, . . . , k o seleccionemos primero los n1 elementos cuya imagen ser y1 . Esta seleccin a o m podemos realizarla de n1 maneras. Luego escojamos entre los m n1 elementos restantes de X aquellos cuya imagen ser y2 . El nmero de formas a u de hacer esta segunda seleccin es mn1 y prosiguiendo de esta manera y o n2 aplicando el principio del producto llegamos entonces a que: m n1 . . . nk m n1 n2 m n1 nk1 ... nk n3 (m n1 )! (m n1 nk1 )! m! = n1 ! (m n1 )! n2 ! (m n1 n2 )! nk ! (m n1 nk )! m! = n1 ! n2 ! . . . n k ! = m n1 m n1 n2

Es posible dar una interpretacin algebraica a estos nmeros mediante o u la siguiente generalizacin del Teorema binomial (3.1.1): o Teorema multinomial 3.2.2. (x1 + x2 + + xk )m = m xn1 xn2 . . . xnk k n1 . . . nk 1 2

n1 +n2 ++nk =m

34

Jos H. Nieto e

(la sumatoria se extiende a todos los conjuntos ordenados de k nmeros u enteros no negativos tales que su suma sea m) Demostracin: Al desarrollar (x1 + + xk )m se obtienen k m monomios o de grado m en k variables x1 , . . . , xk . El nmero de veces que aparece uno u nk n1 n2 u de estos monomios, digamos x1 x2 . . . xk es igual al nmero de maneras de escoger n1 factores (x1 + + xk ) para seleccionar x1 , n2 factores para seleccionar x2 , . . . , nk factores para seleccionar xk . Pero esto puede hacerse justamente de m n1 . . . nk maneras, por la forma en que hemos denido estos nmeros. u Nota: El teorema que acabamos de demostrar justica el nombre de coecientes multinomiales que hemos dado a los nmeros que estamos estuu diando. Proposicin 3.2.3. o m n1 . . . nk = km

n1 ++nk =m

Demostracin: Es una consecuencia inmediata del teorema multinomial o si ponemos x1 = = xk = 1. La proposicin anterior puede probarse tambin as o e : sean X = {x1 , . . . , xm } e Y = {y1 , . . . , yk } conjuntos de m y k elementos respecm tivamente. n1 n2 ... nk es por denicin el nmero de funciones f : X Y o u tales que yi tiene exactamente ni preimgenes, para i = 1, 2, . . . , k. Por a lo tanto, si sumamos estos coecientes para todos los conjuntos ordenados posibles de nmeros no negativos n1 , . . . , nk que sumen m, tendremos el u nmero total de funciones de X en Y . El resultado, k m , coincide con el que u ya hab amos obtenido en (1.3.12). Ahora bien, si restringimos la sumatoria imponiendo la condicin de que todos los ni sean estrictamente positivos, es o claro que estaremos contando solamente aquellas funciones f : X Y tales que cada yi tiene al menos una preimagen, es decir, las funciones sobreyectivas. Queda as demostrada la siguiente proposicin. o

Teor Combinatoria a

35

Proposicin 3.2.4. El nmero de funciones sobreyectivas de un conjunto o u de m elementos en otro de k elementos es: m n1 . . . nk

n1 ++nk =m ni >0

Interpretacin geomtrica de los coecientes multinomiales o e La interpretacin geomtrica que dimos a los coecientes binomiales pueo e de generalizarse a los multinomiales. Para ello consideremos las poligonales en Rk con vrtices de coordenadas enteras P0 P1 . . . Pr tales que cada vece tor Pi Pi+1 coincida con alguno de los versores de la base cannica de Rk o (en otras palabras, las coordenadas de Pi+1 son iguales a las de Pi excepto una de ellas, que es una unidad superior). Llamemos a estas poligonales m caminos ascendentes en Rk . Entonces el coeciente n1 n2 ... nk cuenta el nmero de caminos ascendentes que partiendo del origen llegan hasta el u punto (n1 , n2 , . . . , nk ). Utilizaremos esta interpretacin geomtrica para demostrar la siguiente o e generalizacin de la frmula de Stifel: o o Proposicin 3.2.5. o m n1 n2 . . . nk = m1 n1 1 n2 . . . n k + m1 + n1 n2 1 . . . nk m + n1 n2 . . . n k 1

Demostracin: Los caminos ascendentes de longitud m que parten del o origen y llegan al punto (n1 , n2 , . . . , nk ) deben tener como penltimo vrtiu e ce uno de los k puntos: (n1 1, n2 , . . . , nk ), (n1 , n2 1, n3 , . . . , nk ), . . . , (n1 , n2 , . . . , nk 1), y es claro que quedan determinados al conocer sus primeros m 1 segmentos. El segundo miembro de la igualdad que queremos probar no es ms que la suma de la cantidad de caminos ascendentes de lona gitud m 1 que parten del origen y llegan a cada uno de dichos puntos, por lo cual una aplicacin del principio de la suma concluye la demostracin. o o

3.3

Ejercicios

1. Pruebe las identidades siguientes:

36 (a) kn k

Jos H. Nieto e =nn k n1 k1

(b) (n k) (c) (d)

n1 k m1 m m m+2 n1 + 2 n + n+1 = n+1 n n n n 1 + 2 2 + 3 3 + + n n

=n

= n2n1

2. Calcule las sumas siguientes : (a) (b) (c) (d) (f)n 0 n 1 n 0 n 1

+ +

n 2 n 3 n 2 n 3

+ + + +n 2

n 4 n 5 n 4 n 5

+

+

(e) 1 2 3 4 5 + 2 3 4 5 6 + + n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)n 1

(g) (h)

n 3 n (1)k k 2 n k=1 k n 1 n k=1 k+1 k

2

+3

3. Para un valor dado de m, cual es el valor de n que hace mximo el a coeciente binomial m ? n 4. Demuestre el teorema del binomio por induccin matemtica, usando o a la frmula de Stifel. o 5. Cuntos caminos ascendentes van desde el punto de coordenadas ena teras (a, b) hasta el (c, d), en el plano? Generalice el resultado a Rn . 6. (Principio de reexin) Pruebe que si (a, b) y (c, d) son dos puntos del o plano cartesiano con coordenadas enteras situados a un mismo lado de la diagonal y = x entonces el nmero de caminos ascendentes que van u desde (a, b) hasta (c, d) tocando la diagonal y = x es igual al nmero u total de caminos ascendentes que van desde (b, a) hasta (c, d). 7. (Teorema de la votacin) Pruebe que si en una eleccin entre dos o o candidatos el ganador obtiene p votos y el perdedor q entonces la probabilidad de que al hacer el escrutinio el ganador vaya siempre pq adelante de su oponente es p+q . Sugerencia: represente cada escrutinio posible mediante un camino ascendente que parte del origen y llega hasta (p, q) y aplique luego el principio de reexin (Problema 6). o

Teor Combinatoria a

37

8. La entrada al teatro cuesta 50 Bs. Al abrir la taquilla la caja est vac a a. En una cola esperan turno para comprar su entrada n personas con un billete de 100 Bs cada una, y k personas con un billete de 50 Bs cada una. Cul es la probabilidad de que la cola avance u a damente, sin que la cajera tenga problemas para darle su vuelto a nadie? 9. Sea X = {0, 1}n . La distancia de Hamming entre dos puntos de X, a = {a1 , . . . , an } y b = {b1 , . . . , bn }, se dene como:n

d(a, b) =i=1

|ai bi |

Es claro que d(a, b) es igual al nmero de coordenadas en las cuales a u y b dieren, o bien (si a y b son interpretados como nmeros binarios u de n d gitos) el nmero de d u gitos binarios (bits) que a y b tienen diferentes. Un subconjunto W de X tal que la distancia de Hamming entre dos cualesquiera de sus puntos es mayor que 2r (para cierto natural r) se dice que es un cdigo corrector de orden r. Un tal subconjunto o W tiene la propiedad de que ningn elemento de X \ W puede estar u a distancia menor o igual que r de dos elementos diferentes de W . La utilidad de un cdigo tal consiste en que si una sucesin w W de o o n d gitos binarios es transmitida por un canal con ruido y se recibe una sucesin z W con r o menos errores, entonces es posible conoo cer cual fue el cdigo transmitido, a saber el unico elemento w W o tal que d(z, w) r. Sea M (n, r) el mximo nmero de palabras que a u puede tener un cdigo corrector W X de orden r. Pruebe que se o cumple la desigualdad siguiente: M (n, r) n 0 n 1

+

2n + +

n r

(El miembro derecho es conocido como cota de Hamming) 10. De cuntas maneras pueden distribuirse 3n objetos en 3 cajas distina tas, de modo que cada caja reciba n objetos? 11. Cul es el coeciente de x4 yw6 en el desarrollo de (x + y + z + w)11 ? a 12. (a) Cuntas palabras distintas pueden formarse con las letras de la a palabra MISSISSIPPI ?

38

Jos H. Nieto e (b) Y con la condicin adicional de que no haya dos letras I conseo cutivas?

13. Pruebe que (n!)n divide a (n2 )!

Cap tulo 4

Principio de Inclusiones y Exclusiones y aplicaciones4.1 El Principio de Inclusiones y Exclusiones

Si A y B son dos conjuntos disjuntos entonces el principio de la suma nos dice que |A B| = |A| + |B|. Sin embargo, si A y B no son disjuntos la frmula anterior deja de ser vlida porque los elementos de la interseccin o a o A B aparecen contados dos veces en la suma |A| + |B|. Esta situacin o se corrige fcilmente restando |A B|, y se obtiene as la frmula siguiente, a o vlida en todos los casos: |A B| = |A| + |B| |A B| . Una frmula similar a o puede obtenerse para tres conjuntos , a saber :|A B C| = |A| + |B| + |C| |A B| |A C| |B C| + |A B C|

En efecto, en la suma |A| + |B| + |C| los elementos de la unin A B C o que pertenecen a exactamente dos de los tres conjuntos estn contados dos a veces. Esto se corrige restando |A B|, |A C| y |B C|. Sin embargo esto deja fuera de la cuenta a los elementos que estn en los tres conjuntos, a puesto que aparecen contados tres veces y luego restados otras tres veces. Por eso se suma el trmino |A B C| equilibrando la frmula. Resulta e o bastante claro que estos razonamientos pueden generalizarse a uniones de n conjuntos. Dicha generalizacin constituye el llamado principio de incluo siones y exclusiones. Pero antes de enunciarlo y demostrarlo rigurosamente necesitamos una notacin adecuada: dados n conjuntos A1 , A2 , . . . , An y un o conjunto de ndices F Nn no vac denotaremos mediante AF a la intero seccin de los Ai tales que i F , en s o mbolos:AF = iF Ai . En particular A{i} = Ai y A{i,j} = Ai Aj . Si los conjuntos Ai estn todos contenidos en a

40

Jos H. Nieto e

un conjunto universal X y F = entonces siguiendo la convencin usual o A = X. Lema 4.1.1. Si I es un conjunto nito entonces a)F I

(1)|F | = 0

b)=F I

(1)|F | = 1

Demostracin: Si |I| = n entonces I tiene n subconjuntos de k eleo k mentos. La suma de los trminos (1)|F | correspondientes a estos sube conjuntos ser entonces (1)k n . Pero si sumamos estas expresiones para a k k = 0, 1, . . . , n el resultado es 0, como demostramos en (3.1.6) . As resulta la primera igualdad. Para obtener la segunda simplemente se pasa al segundo miembro el trmino correspondiente al conjunto vac que es (1)0 = 1. e o, Principio de inclusiones y exclusiones 4.1.2.n

|

i=1

Ai | =

=F

Nn

(1)|F | |AF |

Demostracin: Sea A = o x Ai }. Entonces se tiene: =F

n i=1 Ai .

Si x A denamos I(x) = {i Nn : (1)|F |xAF

Nn

(1)|F | |AF | =

=F

Nn

1= 1 = |A|

=

xA =F I(x)

(1)|F | =

(1) =xA xA

La justicacin de las igualdades anteriores es la siguiente: en primer o lugar substitu mos |AF | por una suma de tantos unos como elementos tenga AF . En la doble sumatoria resultante invertimos el orden de sumacin, de o modo que en la primera sumatoria x recorre A y en la segunda sumamos en aquellos conjuntos de ndices F Nn tales que F = y x AF . Pero esta ultima condicin es equivalente a decir que F I(x). Finalmente aplicamos o la segunda igualdad del Lema (4.1.1).

Teor Combinatoria a

41

Frmula de Sylvester 4.1.3. Si A1 , . . . , An son subconjuntos de un cono junto X entoncesn

|

i=1

Ai | =

F

Nn

(1)|F | |AF |

Observaciones: Ai es el complemento de Ai respecto a X, es decir X\Ai . En el miembro derecho de la igualdad F puede ser vac Segn la convencin o. u o A = X el trmino correspondiente en la sumatoria es (1)|| |A | = |X|. e Demostracin: on n n

|

i=1

Ai | = |X\

i=1

Ai | = |X| |F

i=1

Ai | =

= |X| +

=F

Nn

(1)|F | |AF | =

Nn

(1)|F | |AF |

4.2

Funciones sobreyectivas

Como aplicacin del principio de inclusiones y exclusiones calcularemos el o nmero de funciones sobreyectivas de un conjunto nito A = {a1 , . . . , an } u en otro B = {b1 , . . . , bm }. Denotaremos mediante Sobre(A, B) el conjunto de las funciones de A sobre B. Proposicin 4.2.1. Si |A| = n y |B| = m entonces om1

|Sobre(A, B)| =

(1)kk=0

m (m k)n = k

m

(1)k+mk=1

m n k k

Demostracin: Sea Gi = {f : A B\{bi }} el conjunto formado por las o funciones de A en B que no toman el valor bi . Es claro que podemos escribir Sobre(A, B) = B A \(m Gi ). Observemos tambin que si F es un conjunto e i=1 de k ndices entre 1 y m entonces iF Gi son las funciones de A en B que no toman ningn valor bi con i F . Es decir que iF Gi son las funciones de u A en B\{bi : i F }, y por lo tanto su nmero es (|B| |F |)n = (m k)n . u

42

Jos H. Nieto e

Por ultimo, recordemos que para cada k entre 0 y m hay m subconjuntos k de Nm con k elementos. Estamos ya en condiciones de aplicar (4.1.3):m

|Sobre(A, B)| =

F

Nn

(1)|F | |

iF

Gi | =

(1)kk=0

m (m k)n k

En esta ultima sumatoria podemos hacer variar el ndice k desde 0 hasta m 1, puesto que el sumando correspondiente a k = m es nulo. Para obtener la segunda expresin para |Sobre(A, B)| basta efectuar el cambio de o variable h = m k en la frmula que acabamos de demostrar, recordando o m que mh = m h

4.3

Desarreglos

Un desarreglo de los nmeros del 1 al n es una permutacin de Nn tal que u o (i) = i , i = 1, . . . , n. En otras palabras los desarreglos son las permutaciones sin puntos jos. Aplicando el principio de inclusiones y exclusiones es posible calcular fcilmente el nmero de desarreglos. a u Proposicin 4.3.1. El nmero de desarreglos de los nmeros del 1 al n es o u u Dn = n! 1 1 (1)n 1 + + 1! 2! n!

Demostracin: Sea Sn el conjunto de todas las permutaciones de los no u meros del 1 al n. Denamos Ai como el conjunto de las permutaciones que dejan jo el nmero i, es decir Ai = { Sn : (i) = i}. Es claro que |Ai | = u (n 1)! , puesto que Ai se puede identicar con las permutaciones de un conjunto de n 1 elementos, a saber {j Nn : j = i}. Si F Nn entonces iF Ai son las permutaciones de Nn que dejan jos todos los elementos de F . El nmero de tales permutaciones es (n |F |)!. Nuevamente estamos en u condiciones de aplicar (4.1.3): |{ Sn : (i) = i i = 1, . . . , n}| = |n F

iF

Ai | =n k=0

Nn

(1)|F | (n |F |)! =

(1)kk=0

n (n k)! = n! k

(1)k k!

Teor Combinatoria a

43

Observacin: De (4.3.1) se deduce que limn (Dn /n!) = e1 . Esto se puede o decir en lenguaje probabil stico as la probabilidad de que una permutacin : o de los nmeros del 1 al n escogida al azar sea un desarreglo tiende al valor u l mite e1 cuando n tiende a innito.

4.4

Aplicaciones a la teor de n meros a u

La funcin de Mbius se dene para cada nmero natural n > 1 de la o o u manera siguiente: (n) = (1)r 0 si n es producto de r primos diferentes si n es divisible por un cuadrado perfecto mayor que 1

Adems por convencin (1) = 1 . As por ejemplo tenemos que (2) = a o 1, (6) = 1, (12) = 0 y (30) = 1. Proposicin 4.4.1. Si n > 1 entonces o (d) = 0d|n

Demostracin: Es claro que los unicos divisores de n que hace falta consio derar son el 1 y los que son producto de primos diferentes ya que los dems a (es decir los que sean divisibles por un cuadrado perfecto) no contribuirn a en nada a la suma. Sean p1 , . . . , pk los divisores primos de n. Aceptando por convencin que un producto vac (sin factores) es 1 , resulta claro que: o o (d) =d|n

F

Nk

(iF

pi ) =F

Nk

(1)|F |

pero esta ultima suma es 0 en virtud de (4.1.1). Como una ultima aplicacin del principio de inclusiones y exclusiones o consideremos la siguiente cuestin: si se toman dos nmeros naturales al o u azar, cul es la probabilidad de que sean primos entre s La siguiena ?. te proposicin da un sentido preciso a esta pregunta y la correspondiente o respuesta.

44

Jos H. Nieto e

Proposicin (Lejeune Dirichlet) 4.4.2. Sea cn el nmero de pares oro u denados de nmeros naturales coprimos menores o iguales que n. Entonces u lim cn 6 = 2 2 n

n

Demostracin: La cantidad de mltiplos de un nmero natural a menoo u u res o iguales que otro natural n es la parte entera de n , que denotaremos a mediante n . En efecto, los mltiplos en cuestin son a, 2a, . . . , ta siendo t u o a el mayor entero tal que ta n, es decir que t = n . La cantidad de pares a ordenados de nmeros naturales menores o iguales que n y ambos mltiplos u u de a ser entonces, por el principio del producto, n 2 . Aplicando ahora el a a principio de inclusiones y exclusiones (4.1.3) resulta: cn = n2 Ahora bien, como n k resulta:n k=1 2

p primo

n p

2

+p 2) pueden clasicarse en dos categor disjuntas: aquellos en los cuales se pisa el escaln n 1 (y que as o son obviamente En1 ) y aquellos en los cuales se llega al escaln n2 y luego o

50

Jos H. Nieto e

se da un paso doble. Estos ultimos son evidentemente En2 . Por el principio de la suma se tiene entonces que En = En1 + En2 . Esta sucesin no es o idntica a la de Fibonacci, ya que E2 = 2 mientras que F2 = 1. Sin embargo e entre ambas existe una relacin muy estrecha, a saber: En = Fn+1 . Esta o asercin se demuestra fcilmente por induccin. En efecto, E1 = 1 = F2 y o a o E2 = 2 = F3 . Aceptando ahora que Ek = Fk+1 para todo k < n , se tiene que En = En1 + En2 = Fn + Fn1 = Fn+1 . Podemos decir entonces que Fn es el nmero de maneras de subir una escalera de n 1 escalones, con u pasos dobles o sencillos. Utilizaremos esta interpretacin combinatoria para demostrar el siguieno te resultado, del cual pueden deducirse interesantes propiedades aritmticas e de los nmeros de Fibonacci (ver problemas al nal del cap u tulo). Proposicin 5.1.3. o Fn+m = Fn+1 Fm + Fn Fm1

Demostracin: Fn+m es el nmero de maneras de subir una escalera de o u n + m 1 escalones con pasos sencillos o dobles. Pero una tal escalera se puede subir o bien pisando el escaln nmero n o bien sin pisarlo. Hay o u En modos de llegar hasta el escaln n y Em1 modos de subir los m 1 o escalones restantes. Entonces, por el principio del producto, los modos de subir pisando el escaln n son En Em1 = Fn+1 Fm . Para subir la escalera o sin pisar el escaln n hay que llegar hasta el escaln n 1 (lo cual puede o o hacerse de En1 modos), dar un paso doble para situarse en el escaln n + 1 o y luego subir los m 2 escalones restantes (lo cual puede hacerse de Em2 modos). Entonces, por el principio del producto, el nmero de maneras u de subir sin pisar el escaln n es En1 Em2 = Fn Fm1 . Por el principio o de la suma el nmero total de maneras de subir la escalera es entonces u Fn+1 Fm + Fn Fm1 .

5.2

Funciones generatrices

Existir alguna frmula que nos d el n-simo trmino de la sucesin de a o e e o Fibonacci? Esta pregunta puede parecer un tanto ociosa, por cuanto una frmula para Fn no es en denitiva ms que una expresin simblica indio a o o cativa de las operaciones que deben ser realizadas, dado n, para calcular

Teor Combinatoria a

51

Fn . Pero ya conocemos un mtodo efectivo para calcular Fn , a saber la e aplicacin sucesiva de la relacin de recurrencia partiendo de los trminos o o e iniciales F1 = F2 = 1. Sin embargo, disponer de una frmula para Fn podr o a tal vez permitirnos obtener ms informacin sobre esta sucesin. Este proa o o blema fu resuelto por A. De Moivre unos quinientos aos despus de la e n e publicacin del Liber Abaci. El mtodo que utiliz se basa en el uso de o e o las llamadas funciones generatrices y tuvo gran importancia en el desarrollo de la Combinatoria y del Clculo de Probabilidades ya que puede ser a aplicado con xito a muy diversos problemas. e Supongamos que a0 , a1 , a2 , . . . es una sucesin de nmeros reales o como u plejos y consideremos la serie de potencias an z n . Si esta serie converge n=0 en algn entorno del origen a una funcin g(z) diremos que g(z) es la funu o cin generatriz de la sucesin dada. Anlogamente, si la serie de potencias o o a (an /n!)z n converge en algn entorno del origen a una funcin h(z) u o n=0 diremos que h(z) es la funcin generatriz exponencial de la sucesin {an }. o o 1 Por ejemplo, la funcin generatriz de la sucesin constante 1, 1, 1, . . . es 1z o o z. y su funcin generatriz exponencial es e o En el caso de la sucesin de Fibonacci {Fn }, deniendo F0 = 0 (lo cual o es compatible con la relacin de recurrencia Fn = Fn2 + Fn1 y hace que o sta sea vlida para todo n > 1) tenemos que su funcin generatriz es: e a o g(z) = n=0

Fn z n = z + z 2 + 2z 3 + 3z 4 + 5z 5 + 8z 6 + 13z 7 +

(En virtud de la Proposicin (5.1.2) el radio de convergencia de esta serie es o 1 positivo, ms exactamente es ). a Proposicin 5.2.1. La funcin generatriz de la sucesin de Fibonacci es: o o o z g(z) = 1 z z2 Demostracin: o g(z) = z + z + = z + z2 + z2 n=3 n=2

Fn z = z + z + Fn z n + z 2 n=1

n

2

(Fn1 + Fn2 )z n =

n=3

Fn z n = z + zg(z) + z 2 g(z)

Despejando g(z) se obtiene el resultado deseado.

52

Jos H. Nieto e

Ya estamos en condiciones de obtener una frmula para los nmeros de o u Fibonacci: Proposicin 5.2.2. o 5 Fn = 5 1+ 5 2n

1 5 2

n

Demostracin: 1 z z 2 se factoriza como (1 z)(1 z) , siendo o = (1 + 5)/2 y = (1 5)/2. Por lo tanto la funcin generatriz de la o sucesin de Fibonacci se descompone en fracciones simples como: o A B z = + 2 1zz 1 z 1 z

para ciertas constantes A y B. La determinacin de estas constantes da o A = 5/5, B = 5/5 . Por lo tanto: 5 5 n n n n Fn z = g(z) = ( (z) (z) ) = ( n )z n 5 5n=1 n=1 n=1 n=1

de donde Fn =

5 n 5 (

n ).

A continuacin utilizaremos la funcin generatriz para establecer una o o interesante relacin entre los nmeros de Fibonacci y los coecientes binoo u miales: Proposicin 5.2.3. on 2

Fn+1 =k=0

nk k

Demostracin: o z z Fn z = =z = z n (1 + z)n = 1 z z2 1 z(1 + z) n=0 n=0 n

z

n

n=0 k=0

n n+k z =z k

n=0

n 2

k=0

nk n z k

Teor Combinatoria a

53

5.3

Relaciones de recurrencia lineales

En esta seccin trabajaremos en el campo de los nmeros complejos. Llao u maremos relacin de recurrencia lineal de orden k a una relacin de la o o forma: xn = c1 xn1 + + ck xnk + f (n) (5.1)

donde f es una funcin, c1 , . . . , ck son constantes y ck = 0 . Si no aparece o el trmino funcional f (n) diremos que la relacin es homognea. e o e Una solucin de la relacin (5.1) es cualquier sucesin numrica {zn } o o o e n=0 que satisfaga la igualdad: zn = c1 zn1 + + ck znk + f (n) para todo n k. En virtud de la Proposicin (5.1.1) cualquier conjunto o de valores iniciales z0 , . . . , zk1 determina una unica solucin {zn }. Muchos o problemas combinatorios se reducen al estudio de relaciones de recurrencia de este tipo, por lo cual su estudio tiene para nosotros especial importancia. Por otra parte estas relaciones permiten construir modelos apropiados para una gran diversidad de problemas cient cos. La teor de las relaciones de a recurrencia lineales presenta gran analog con la de las ecuaciones diferena ciales ordinarias lineales. De hecho las ecuaciones diferenciales pueden ser aproximadas por ecuaciones en diferencias (ver [L1]) cuya solucin, en el o caso ms simple, puede obtenerse por los mtodos que estudiaremos a contia e nuacin. Una monograf elemental dedicada a las relaciones de recurrencia o a lineales es [M1]. Numerosos ejemplos se encuentran en [T2]. Proposicin 5.3.1. Una progresin geomtrica {rn } de razn r es solucin o o e o o de la relacin lineal homognea de orden k : o e xn = c1 xn1 + + ck xnk si y slo si r es ra de la llamada ecuacin caracter o z o stica xk c1 xk1 ck = 0. Demostracin: Si r es ra de la ecuacin caracter o z o stica entonces: rk c1 rk1 ck = 0

54 y multiplicando por rnk se obtiene, para todo n > k : rn c1 rn1 ck rnk = 0

Jos H. Nieto e

Rec procamente, si {rn } es solucin de la relacin de recurrencia la igualo o dad anterior se verica para todo n > k y en particular para n = k con lo que resulta que r es ra de la ecuacin caracter z o stica. Proposicin 5.3.2. Si la ecuacin caracter o o stica de la relacin de recurreno cia lineal homognea de orden k: e xn = c1 xn1 + + ck xnk tiene k ra ces distintas r1 , . . . , rk entonces la solucin general de la relacin o o de recurrencia es:n n {A1 r1 + + Ak rk }

siendo A1 , . . . , Ak constantes arbitrarias. Demostracin: Es muy fcil comprobar que la sucesin {A1 rn + + o a o Ak rn } es solucin de la relacin de recurrencia para valores cualesquiera o o n de las constantes A1 , . . . , Ak . En efecto, cada sucesin {ri } lo es (por la o Proposicin precedente) y por lo tanto se tiene que : on1 nk n ri = c1 ri + + ck ri , para todo n k y todo i = 1, . . . , k

Multiplicando estas k igualdades por A1 , A2 , . . . , Ak respectivamente y luego sumando se obtiene el resultado deseado. Rec procamente, debemos demostrar que toda solucin de la relacin o o de recurrencia es una combinacin lineal de