UNIDAD DIDÁCTICA 2

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: lo que tienes que dominar.

1. El concepto de la MEDIDA INDIRECTA.

2. Los números irracionales: CONCEPTO.

3. La CLASIFICACIÓN de los números reales.

4. LA RECTA REAL: coordenadas de un punto.

5. Cifras significativas: PRECISIÓN.

6. Aproximaciones por redondeo: CÁLCULO DE ERRORES.

http://matematica.50webs.com/http://www.youtube.com/watch?v=lBqQkCssbPchttp://www.ceibal.edu.uy/userfiles/P0001/CazaDelTesoro/HTML/Numeros%20locos_Silvana%20Realini.elp/index.html

http://diccio-mates.blogspot.com.es/ http://laverdaderamagnitud.wordpress.com/geometria-descriptiva/

NÚMEROS REALES: mapa conceptual del tema.

CONJUNTOS NUMÉRICOSCONJUNTOS NUMÉRICOS

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LOS NÚMEROS

aparecen en procesos como los siguientes

MEDIRcantidades de magnitud

CONTARelementos de conjuntos

CONTABILIZARhaberes y debes

que puede hacerse de manera

DIRECTAmediante la utilización de

APARATOS DE MEDIDA[CIFRAS SIGNIFICATIVAS]

INDIRECTAmediante el uso de

FÓRMULAS[APROXIMACIONES]

NNATURALES

ZENTEROS

QRACIONALES

RREALES

En mis años de reportera de

guerra he vivido muchos momentos excitantes, pero sin duda uno de los más emocionantes fue mi

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0 1

LOS NÚMEROS

aparecen en procesos como los siguientes

MEDIRcantidades de magnitud

CONTARelementos de conjuntos

CONTABILIZARhaberes y debes

que puede ser de manera

DIRECTA

mediante la utilización deAPARATOS DE MEDIDA

INDIRECTA

mediante el uso deFÓRMULAS

NNATURALES

ZENTEROS

QRACIONALES

RREALES

OBJETIVOS

Leerlos Escribirlos: SND Ordenarlos OPERAR con

ellos DIVISIBILIDAD

Múltiplos Divisores MCM MCD

Clasificarlos Descomponerlos

en factores primos

OBJETIVOS

Conceptualizarlos Leerlos Escribirlos Ordenarlos OPERAR con ellos

Suma Resta Multiplicación División Potenciación

OPUESTO

Valor absoluto

OBJETIVOS

IDENTIFICARLOS con las FRACCIONES

Leerlos Escribirlos Ordenarlos INVERSO OPERAR con ellos Calcular su

expresión decimal Representarlos en

la recta real CALCULAR SUS

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

OBJETIVOS

Leerlos Escribirlos Ordenarlos OPERAR con ellos Calcular su

expresión decimal Representarlos en la

recta real

APROXIMARLOSTruncamientoRedondeo

CÁLCULO DE ERRORES

LA RECTA REAL: Representación gráfica de los números reales.

Cada número un punto, cada punto un número (su abscisa) Infinitos puntos (la potencia del continuo), infinitos números (no numerables) de los que distinguimos algunos subconjuntos: N, Z, Q, IN, Z, Q, I.

visita al país de los números reales. Parece que ha pasado un siglo desde que estuve ahí sin embargo recuerdo a la perfección cada instante, cada momento de esa inolvidable experiencia. El país estaba en guerra, una guerra que dura y perdurará hasta la eternidad. Las dos grandes familias de los números reales siempre enfrentadas mantenían una cruenta lucha por conseguir el poder y el control de la nación. Como ya os podréis imaginar se trataba, se trata, de los números racionales e irracionales.Cuando pisé por primera vez las tierras reales, me encontré con un país dividido en dos frentes opuestos. Decidida a conseguir el reportaje de mi vida sobre el conflicto me encaminé hacia la zona de ocupación racional. Los racionales eran, sin duda, un pueblo muy bien jerarquizado y organizado; al mando de las tropas, un único general, el 0, un numerito rechoncho y de apariencia insignificante que controlaba a la perfección a los racionales y que con sus estrategias conseguía anular cualquier avance irracional. Lo cierto es que nada de esto podría ser posible sin esa  organización: La base de todos eran los números enteros, ellos se encargaban de la administración y suministros del bando racional. Los enteros eran dos castas, los naturales (descendientes de los primeros pobladores de las tierras reales) y los negativos (colonizadores que fueron alcanzando cada vez mayor relevancia en el país). El ejército estaba constituido por los números fraccionarios, decimales exactos (ejército de tierra), periódicos puros (ejército de aire) y periódicos mixtos (ejército de mar). Mientras que los decimales exactos se caracterizaban por su ataque rápido y efectivo; los decimales periódicos tanto mixtos como puros conseguían desgastar a su enemigo con tácticas tan repetitivas que parecían infinitas.

Me fue imposible conseguir una entrevista personal con el general 0, y tuve que conformarme con sacarle alguna información a algún

mandamás fraccionario. Me dirigí, entonces, un poco desilusionada, a la zona irracional. El bando irracional era todo lo contrario a su enemigo, ya que no existían clases. Todos los irracionales obedecían sin rechistar las órdenes de los cinco grandes jerarcas. Conocidos más allá del mundo complejo, estos irracionales eran famosos por su sabiduría y también por sus peleas que podían durar meses.Y había perdido una oportunidad, por lo que no estaba dispuesta a desaprovechar otra nuevamente, sino que mi reportaje sería un fracaso.  Tuve que sobornar a un consejero irracional, quien me consiguió unos pocos minutos con los cinco grandes. Después de recorrer interminables pasillos llegué a la gran sala, donde me esperaban con su arrogancia y superioridad habituales, la verdad es que estaba un poco nerviosa. Os preguntaréis quiénes eran los cinco jefes irracionales: El número aúreo, el número , el número e, 2 y 3. El primero al que saludé fue al número de oro, resplandeciente y altivo, para muchos era la perfección elevada al máximo exponente. Su fama había llegado a los lugares más remotos y era adorado y aclamado por sus inmensas cualidades. El número  era el divertido del grupo, su sentido del humor y buen carácter le granjearon las simpatías del pueblo irracional.

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Serio y extremadamente inteligente era el número e, ninguna de mis preguntas consiguió descolocarle y así comprendí que él era el cerebro del grupo.  Los otros dos, 2 y 3, eran guerreros que no procedían de ningún linaje sino del común de los irracionales y que habían alcanzado grandes méritos en campañas militares, así que eran los encargados de poner en práctica y planear las distintas estrategias.

La entrevista acabó enseguida, y los dejé ahí en su gran salón, discutiendo sobre quién era el responsable de la última derrota. Tuve

que abandonar el país antes de tiempo por la inestabilidad del conflicto, y aunque no pude profundizar todo lo que hubiese deseado, mi trabajo fue reconocido ya que no son muchos los que han conseguido llegar hasta tan lejos. Mis últimas  noticias son que el conflicto continúa, sin embargo, los dos bandos están acercando sus posiciones en la defensa de su país, ante la más que posible invasión del país vecino, el de los números imaginarios. Seguiremos informando...

1. EL CONCEPTO DE LA MEDIDA INDIRECTA

PRIMERA CUESTIÓN: Reconocer, describir, comprobar, medir, calcular y aproximar.

¿Qué es esto? ¿Cuánto mide?

Esto es una pista.

SEGUNDA CUESTIÓN:

¿Cómo CALCULARÍAS la altura del árbol?

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TERCERA CUESTIÓN:

¿Cómo CALCULARÍAS el área de esta figura?

La MEDIDA INDIRECTA hace referencia a la utilización de fórmulas para el CÁLCULO de cantidades de magnitud.

Desde la antigüedad clásica (Grecia), ya se conocían al menos dos fórmulas para el cálculo de longitudes: el TEOREMA DE TALES y el TEOREMA DE PITÁGORAS:

Historia de los números irracionales: La muerte de Hipaso.

La historia que vamos a contar se desarrolla en torno al siglo V a. C. en la antigua Grecia y los protagonistas son los pitagóricos. Esta secta de matemáticos/filósofos (huelga decir que en aquella época matemático y filósofo era prácticamente lo mismo) era muy peculiar, tanto en lo que se refiere a sus creencias como en lo que se refiere a sus costumbres. Podemos decir que su figura principal es Pitágoras, aunque en realidad no se sabe a ciencia cierta si este personaje existió en realidad.

Hemos dicho que los protagonistas de la historia que nos ocupa son los pitagóricos, pero en realidad el protagonista principal es, por razones que veremos más adelante, uno de ellos: Hipaso de Metaponto.Los pitagóricos tenían la firme creencia que todo el Universo podía ser explicado con números. Pero, ¿con qué números? Pues con números naturales, esto es, 1, 2, 3, 4, 5… y con las

fracciones que pueden formarse con ellos, es decir, , , , … En cierto modo puede ser una

creencia lícita y hasta cierto punto razonable (recordemos que estamos en la antigua Grecia), pero que a la postre les salió rana.

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CONCEPTOS

Y, según cuenta la leyenda, Hipaso fue el culpable (si se me permite utilizar este calificativo) de ello. Al parecer Hipaso se planteó el problema de medir la diagonal de un cuadrado utilizando el lado como unidad de medida. Por plantear el problema de la forma más simple posible, tomemos un cuadrado de lado 1. En esta situación la pregunta que según parece se realizó Hipaso fue: ¿cuánto mide la diagonal de este cuadrado?

Teniendo en cuenta la condición de pitagórico de Hipaso, es posible que él mismo esperara que la medida de esta diagonal pudiera expresarse como un número natural o una fracción… pero en realidad no fue así. Hipaso se dio cuenta de que esta medida no podía expresarse ni como un número natural ni como una fracción formada por números naturales. Ahora sabemos que esta diagonal mide , y que es un número de los conocidos como irracionales. En la imagen de la izquierda podéis ver una aproximación de con quince decimales.Al menos esto cuenta la leyenda, esto es, que Hipaso fue el

descubridor de este hecho. Lo que parece más cercano a la realidad fue que el propio Hipaso comunicó este descubrimiento fuera de la comunidad pitagórica… y esto fue lo que significó el final de Hipaso. Según algunas fuentes, los pitagóricos lo arrojaron al mar por revelar fuera de la secta esta catástrofe pitagórica, aunque otras aseguran que lo que hicieron los pitagóricos fue organizar un simulacro de funeral, con tumba incluida, que simbolizaba que para ellos Hipaso pasaba a estar muerto. Hasta se comenta que Hipaso podría haberse suicidado (hecho que podría cuadrar con la hipótesis del funeral simulado). Sea como fuere, la raíz de la muerte de Hipaso para lo pitagóricos, ya fuera ideológica o real, fue esa diagonal del cuadrado, ese número irracional, esa hecatombe pitagórica (¿cómo se iba a poder explicar el Universo con números naturales y fracciones si ni siquiera puede medirse la diagonal de un cuadrado con ellos?) que fue .

¿Cuadrado, Pentágono o Círculo?

No estamos seguros de cuál fue el primer número irracional descubierto en la historia de la humanidad. Pero todo parece indicar que los irracionales se descubrieron en las diagonales de los polígonos regulares.

Evidentemente no pudo tardarse mucho en hacerse las siguientes preguntas (aunque no sepamos en qué orden se hicieron):

¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de lado uno?

El Teorema de Pitágoras te ayuda a encontrar la respuesta:

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1

d

Pero, ¿qué es ? Es un número que multiplicado consigo mismo da 2.

O, ¿cuánto mide la diagonal de un pentágono de lado uno?

El Teorema de Tales te ayuda a encontrar la respuesta: Ф

Pero, ¿qué es Ф? Se trata del Número de Oro, la Divina Proporción o la Sección Áurea.

Hay otra pregunta pendiente, ¿cuál es la longitud de una circunferencia de diámetro uno?

Esta vez se trata de π = 3,14159…………

Pero, ¿qué es π? Se trata de una razón, π cuenta cuántas veces cabe el diámetro en la longitud de su circunferencia.

Espiral de Teodoro de Cirene

Utilizando el teorema de Pitágoras podemos representar las raíces de los números naturales, formando una espiral conocida como "Espiral de Teodoro"

Uno de los catetos de cada uno de los triángulos rectángulos consecutivos que forman la espiral, mide la unidad, el otro es y la hipotenusa es

Teodoro de Cirene (actualmente Shahhat en Libia) vivió en el siglo IV a.C. Fue maestro de Platón. Según su discípulo, fue el primero en demostrar que las raíces cuadradas de los números naturales (no cuadrados) desde el 3 al 17, son números irracionales.

El Hombre de Vitruvio

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11

Φ

El Hombre de Vitruvio es un famoso dibujo acompañado de notas anatómicas de Leonardoda Vinci realizado alrededor del año 1490 en uno de sus diarios. Representa una figura masculina desnuda en dos posiciones sobreimpresas de brazos y piernas e inscrita en un círculo (π) y en un cuadrado ( )

Repleta de ¡Un bello símbolo de los IRRACIONALES!

2. LOS NÚMEROS IRRACIONALES: CONCEPTO

¿Qué clase de número es ? Vemos que no es entero.

En efecto, si vamos calculando las aproximaciones sucesivas tenemos que:

Y podemos demostrar que no es una fracción.

Los números reales Página 9 de 31La demostraciónMÁS HERMOSA

¿Cuál fue el primer irracional descubierto de la historia?

Luego es una nueva clase de número: les llamaremos IRRACIONALES.

Se CARACTERIZAN porque tienen una expresión decimal infinita no periódica.3. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

Clasificación de números

Complejos 

Reales

Racionales

Enteros

NaturalesNaturales primosNaturales compuestos

CeroEnteros negativos

FraccionariosFracción propiaFracción impropia

IrracionalesIrracionales algebraicosTrascendentes

Imaginarios puros

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ACLARACIONES

ENTEROS: los múltiplos de la unidad.

RACIONALES: los múltiplos de los submúltiplos de la unidad.

ALGEBRAICOS: son aquellos que provienen de la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados. Por ejemplo:

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ZN

Tienen una CORRESPONDENCIAcon los puntos de la

RECTA REAL

REALES

RACIONALES

IRRACIONALES

ENTEROS

FRACCIONARIOSS

ALGEBRAICOS

TRASCENDENTES

NATURALES

EUCLIDEANOS

0 1

TIENEN UNAEXPRESIÓN DECIMAL

FINITAó

PERIÓDICA

TIENEN UNAEXPRESIÓN DECIMAL

INFINITANO PERIÓDICA

Son CONSTRUIBLEScon REGLA y COMPÁS

, , ….

… -3,-2,-1, 0,+1,+2,+3 …

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…

{ p/q / p є Z, q є N, q ‡1, m.c.d.(p, q)=1 }

Q

I Ej: Número de Oro

PRIMOSCOMPUESTOS

NEGATIVOS POSITIVOS

En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos.

EUCLIDIANOS: Son los números algebraicos que se pueden construir con regla y compás.

TRASCENDENTES: no pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El número Pi (π) y Euler (e) son irracionales

trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales. Los irracionales trascendentes también surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido.

Por ejemplo: 0,1234567891011121314151617181920212223...,0,1001000100001000001000000100000001...

El podium de los irracionales

Pi es una constante de proporcionalidad (una razón), el número irracional más famoso de la historia.

DEFINICIÓN:

π = 3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso, está relacionado con problemas de interés.

DEFINICIÓN:

e = 2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

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Fi es el número de oro, el número irracional de la belleza; un canon que produce autosemejanza.

DEFINICIÓN: Ф2 = Ф + 1

Ф = 1.61803398874989484820... (y más...)

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Si visitas al Oráculo de Delfos, puede proponerte que calcules alguna.

DEFINICIÓN:

= 1.7320508075688772935274463415059 (etc)Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

CUESTIONES PARA ACLARARSE: ARGUMENTA.

¿Podemos calcular de manera exacta con números que tienen una expresión decimal infinita? ¿Cuándo sí y cuándo no? Por ejemplo, ¿podemos sumar dos números con expresiones decimales infinitas con total precisión, es decir, sin perder ningún decimal en el cálculo?

¿Podemos hacer cálculos exactos (por ejemplo, sumas, restas, productos…) cuando están involucrados números irracionales? ¿Cuándo sí? ¿Cuándo no?

Cuando no podemos hacer cálculos exactos con números irracionales, ¿qué hacemos? ¿Podemos quedarnos sin hacer nada?

¿El producto de dos números irracionales, siempre es irracional? ¿Y la suma?

¿Podemos descomponer un número irracional en suma de dos racionales? ¿Por qué?

Dos personas parten juntas del vértice de un cuadrado andando las dos a la misma velocidad. La una camina sobre la diagonal, ida y vuelta sin parar. La otra camina sobre el perímetro, dando vueltas también sin parar. ¿Volverán a encontrarse alguna vez? ¿Por qué?

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Si la longitud de una circunferencia es un número natural, ¿a que conjunto pertenece el valor de la medida de su diámetro?

Suponiendo que tienes una cuerda que cubre todo el ecuador terrestre, ¿cuál es el tamaño de la cuerda que tienes que añadir para que pudieras abarcar el ecuador de otro planeta que tuviese un radio un metro más de largo que el de nuestro planeta?

¿Qué error cometes al calcular la longitud de una circunferencia del tamaño de la órbita de la Tierra al utilizar π con una aproximación hasta las diezmilésimas? ¿Y el error relativo?

La suma de un número racional y un irracional, ¿qué clase de número es? ¿Y el doble de un número irracional?

¿Qué número es igual al doble de su inverso?

¿Qué número es aquel que para calcular su cuadrado sólo tienes que sumarle uno?

¿Hay algún número que tenga la misma parte decimal que π? ¿Cuántos?

¿Qué número tiene la misma parte decimal que su cuadrado y que su inverso?

RESPUESTAS

Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones decimales infinitas con total precisión siempre que sean periódicas. Por ejemplo:

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división no son operaciones bien definidas en los números irracionales, dados dos números irracionales no siempre la suma, resta, multiplicación o división de dichos números resulta un número irracional En cuanto a las operaciones con números irracionales es necesario tener en cuenta lo siguiente:

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Sin embargo y a pesar de su extraño comportamiento tenemos dos afirmaciones que siempre son válidas:

1. Si a es racional y b es irracional entonces la suma a + b siempre es irracional.

2. Si a ≠ 0 es racional y b es irracional entonces el producto a · b siempre es irracional.

En virtud de estas afirmaciones podemos decir que: 1. 2 + √3 es irracional.2. 2 · √5 es irracional.

Hay infinitos números irracionales que tienen los mismos decimales que π

{ n + π / n є Z }

Se trata del número Ф ya que 1/Ф = Ф – 1 y Ф2 = Ф + 1

4. LA RECTA REAL: ORDENADA DE UN PUNTO.

Dada una línea recta, si escogemos un punto cualquiera como origen O y una unidad de medida 1, así: 0 1

podemos demostrar que a cada punto de la recta le corresponde un número real (y sólo uno) llamado ordenada del punto y viceversa (a cada número real le corresponde un punto en la recta -y sólo uno-)

Representar un número con infinitas cifras decimales no periódicas es imposible y por lo tanto nos tendríamos que conformar con una aproximación. De todas maneras, hay métodos geométricos (regla y compás) que permiten representar algunos números irracionales en la recta numérica.

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Los números irracionales π y e por citar algunos, se representan usando su expansión decimal ubicando en la recta aproximadamente su lugar (respetando el orden). En el caso de algunos números irracionales como ± √2, ± √3, ± √5±,… pueden representarse exactamente en la recta mediante el uso de una regla y compás. Por ejemplo, para representar ± √2 consideramos un triángulo rectángulo equilátero de catetos 1, con uno de sus vértices en el origen de la recta (ver figura 1). Luego con un compás trazamos una circunferencia de radio la hipotenusa de dicho triángulo (que es √2). La intersección de esta circunferencia con la recta real es el número √2 a la derecha, y -√2 a la izquierda (ver figura 1). De manera análoga se puede representar ± √5. En este caso, se toma un triángulo rectángulo de catetos 1 y 2, tal como se muestra en la figura.

Así, pues, ésta es una imagen mental muy potente: equiparamos los números reales con los puntos de una recta (o con las distancias al origen de coordenadas) y de esta forma podemos visualizar muchas de sus propiedades:

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ES ORDENADO

Si x1 está a la izquierda de x2, entonces x1 < x2

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ES DENSO

Esto quiere decir que entre dos números reales x1 y x2 hay infinitos números reales. En efecto, por ejemplo su semisuma es el punto medio entre los dos.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos x1 y x2 se define como |x2 – x1|

SUBCONJUNTOS DE LOS NÚMEROS REALES: intervalos, entornos y semirrectas.

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Intervalo cerrado: Un segmento en el eje numérico con extremos a y b, con a < b, se denomina intervalo. Si los puntos extremos, a y b, están incluidos en el intervalo, se dice que el intervalo es cerrado, y se denota por [a,b]. [a,b] = { x perteneciente a R / a <= x <= b }

El intervalo cerrado [a,b] consiste de los puntos x para los cuales a <= x <= b.

Intervalo abiertoSi los puntos extremos se excluyen, el intervalo se llama abierto, y se denota por (a,b).

(a,b) = { x perteneciente a R / a < x < b }El intervalo abierto (a,b) consiste de aquellos puntos x para los cuales a < x < b.

Entorno del punto a de radio δEs el intervalo abierto (a - δ,a + δ), esto es, consiste de los valores x para los cuales a - δ < x < a + δ. Ea,δ = { x perteneciente a R / |x - a| < δ }

Son los puntos x cuya distancia al punto a es menor que δ.

SemirrectasSon una clase especial de intervalos.

x > a

x < a

x <= a

x >= a

5. CIFRAS SIGNIFICATIVAS: PRECISIÓN.

ACTIVIDAD

¿Qué es esto?

¿Qué propiedad medible tiene? Da la medida de su LONGITUD.

TERMINOLOGÍA

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Cantidad de longitud

12.54 cm Valor de Unidad de

la medida medida

Fíjate bien: el valor de la medida es siempre un número decimal que depende de la unidad de medida. Tienes que aprender a expresar la misma cantidad en distintas unidades. Por ejemplo, pasar de m. a cm.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS: PRECISIÓN

Las cifras significativas o dígitos significativos en una medida experimental incluyen todos los números que pueden ser leídos de la escala (PRECISIÓN DEL

INSTRUMENTO DE MEDIDA) más otra cifra más que es estimada. Por ejemplo: si utilizamos una regla para medir la longitud del segmento de línea recta dado arriba podemos decir que su medida es 12.54 cm. Los primeros tres dígitos (12.5) a la izquierda fueron leídos en la escala de la regla (que está graduada hasta los milímetros, lo que implica una incertidumbre de 0,5 mm). Y la última cifra dada (4) es la estimada (es decir, el valor de la medida está entre 12.5 y 12.6). El valor de su medida tiene, pues, cuatro cifras significativas (4 c. s.) con un error de + 0.05 cm.

EJEMPLO: Recuerda que el último dígito del valor de una medida es incierto, por ejemplo, al determinar el volumen de un líquido con una probeta cuya precisión es de 1 ml, implica una escala de incertidumbre de 0,5 ml. Así se puede decir que el volumen de 7 ml será realmente de 6,5 ml a 7,4 ml. El volumen anterior se representará entonces como (7,0 ± 0,5) ml. En caso de determinar valores más próximos se tendrían que utilizar

otros instrumentos de mayor precisión, por ejemplo, una probeta de divisiones más finas y así obtener (7,0 ± 0,1) ml o algo más satisfactorio según la precisión requerida.

Hay que ser muy cuidadoso al dar el valor de una medida con el número adecuado de cifras significativas, y la decisión se toma en base a la precisión del instrumento de medida. En otras palabras: el número de cifras significativas del valor de una medida está siempre determinado por la precisión del instrumento utilizado (hasta los mm) más una más que es estimada (las dmm)

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El número de cifras significativas incluidas en un resultado se puede determinar de la siguiente manera:1. El dígito más a la izquierda, distinto de cero, es el más significativo. Por ejemplo: el uno en

106.9 y el siete en 0.0073 son los más significativos.2. Si no hay punto decimal, el dígito distinto de cero más a la derecha, es el menos

significativo. Por ejemplo el cuatro en 240 es el menos significativo.3. Si hay un punto decimal, el dígito más a la derecha aun cuando sea cero es el menos

significativo.4. Todos los dígitos entre el más significativo y el menos significativo, se consideran

significativos.

Los dígitos distintos de cero siempre son significativos. Ejemplos: 123,456 = 6 c.s. 0.5295 = 4 c.s Todo cero al final y a la derecha del punto decimal es significativo. Ejemplos: 0.789000 = 6 c.s. 19.451000 = 8 c.s.

Los ceros entre dos dígitos significativos son también significativos. Ejemplos: 10,203,040,506 = 11 c.s.

Los ceros usados sólo para localizar el punto decimal no son significativos. Ejemplos: 0.000 789 = 3 c.s.

Los números que no están expresados en notación científica y terminan en cero (900 o 100,000, ej.) son ambiguos porque no se puede determinar el grado de precisión usado. Si se expresan como 9.00 x 10² (3 c.s.) 1.0 x 105 (2cs )  Reglas para el CÁLCULO con cifras significativas: SUMA.

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Ejercicio: Da, con el número

adecuado de cifras significativas, la

coordenada del punto rojo en cada uno de

los casos.

Reglas para el CÁLCULO con cifras significativas: PRODUCTO.

Cuenta el número de cifras significativas en los términos originales de la expresión del producto: 3,432 tiene cuatro cifras significativas, mientras que el 12 tiene dos cifras significativas. Entonces, el resultado tiene el mismo número de cifras significativas que factor con menos cifras significativas del producto. Es decir; la expresión 3,432 x 12 = 41,184 se convierte en 41.

EJERCICIO: Cifras significativas y cotas de error de una medida.

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6. APROXIMACIONES POR REDONDEO: ERRORES.

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Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil recordarlo y operar con él. Por eso lo solemos sustituir por otro más manejable de valor similar, prescindiendo de sus últimas cifras, que sustituimos por ceros. Ese otro número más sencillo decimos que es una aproximación del número de partida.

Cuando aproximamos un número, nos quedamos con sus primeras cifras y completamos con ceros. Esas cifras, con las que nos quedamos, se llaman cifras significativas.

Llamamos orden de la aproximación, a la posición hasta la que nos quedamos con cifras significativas.

Se puede aproximar por defecto si el número utilizado es menor que el de partida, o por exceso si el número utilizado es mayor que el de partida.

Para redondear un número a un determinado orden de unidades:Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho ordenSi la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco se suma una unidad a la cifra anterior

Ejemplo: Redondea

A las diezmilésimas estos irracionales: π, , , Ф, e.

A las centésimas estos racionales:

Ejemplo: Redondea

Una montaña mide 2475 m. Redondea la altura a las centenas y halla el error absoluto cometido:

Para truncar un número a un determinado orden de unidades se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.

Ejemplo: Trunca

Una montaña mide 2475 m. Trunca la altura a las centenas y halla el error relativo cometido:Errores

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Cuando damos una cantidad de forma aproximada, cometemos un error. Distinguiremos los siguientes tipos de errores:

Error absolutoEl error absoluto es la diferencia entre el valor real y el aproximado, en valor absoluto, es decir, siempre con signo positivo.

Error relativoEl error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto.

Ejercicio: Estima, con el adecuado número de cifras significativas, las coordenadas del punto rojo en cada uno de los casos. Da cotas del error cometido.

Ejercicio: Si te fijas bien en la figura, aparte de muchas fórmulas donde aparece π, hay dos aproximaciones de este número irracional mediante racionales. Calcula las cotas del error cometido al utilizarlas en un cálculo.

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METROLOGÍAMedir es comparar cierta cantidad de una magnitud, con otra cantidad de la misma que se ha elegido como unidad patrón. Por ejemplo, para medir longitudes las comparamos con su unidad patrón, el metro.

Magnitud es cualquier propiedad de un cuerpo que puede ser medida.

Cualquier medida debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida, y a continuación, las unidades empleadas. Por ejemplo, al medir un cierto volumen hemos obtenido 297±2 ml.

Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. Únicamente, en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó 0). Así, es incorrecto expresar 24567±2928 ml.

La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error, expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas). Así, es incorrecto expresar 43±0.06 ml

Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos:

Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.

Las reglas que vamos a adoptar en el cálculo con datos experimentales son las siguientes:

Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar el error accidental.

Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple de los resultados.

El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y ese valor tomado como exacto (la media aritmética).

El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el valor tomado como exacto (la media aritmética).

Ejemplo 1. Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s

Valor que se considera exacto:

Ejercicios de cálculo de errores:

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1. Queremos determinar la distancia que hay entre dos columnas con una cinta métrica que aprecia milímetros. Realizamos cinco medidas y obtenemos los siguientes valores:

80,3 cm; 79,4 cm; 80,2 cm; 79,7 cm; y 80,0 cm.

¿Cuál es el resultado de ésta medida? ¿Cuál es el error absoluto y relativo de ésta medida?

2. Para determinar la longitud de una mesa se han realizado cuatro mediciones con una cinta métrica. Los valores obtenidos son los siguientes:

75,2 cm; 74,8 cm; 75,1 cm; y 74,9 cm.

Expresa el resultado de la medida aconmpañado del error absoluto. ¿Entre qué márgenes se encuentra el valor real de la longitud de la mesa?

3. Completa la siguiente tabla:

Número exacto Aproximación décimas Error absoluto Error relativo11/3 3,75/11 0,53,24 3,22,888888…. 2,97/13 0,54/3 1,32,93333… 2,94,66666 4,713/6 2,24,11111… 4,115,2377945 15,2

4. En la medida de 1 m se ha cometido un error de 1 mm, y en 300 Km, 300 m. ¿Qué error relativo es mayor?

5. Como medida de un radio de 7 dm hemos obtenido 70.7 cm. Calcula el error absoluto y el relativo.

SOLUCIONES

Número exacto Aproximación décimas Error absoluto Error relativo11/3 3,7 1/30 0,009 (0,9 %)5/11 0,5 0,045454 0,1 (10 %)3,24 3,2 0,04 0,01234 (1,23 %)

2,888888…. 2,9 1/90 0,003846 (0,384 %)7/13 0,5 1/26 0,071428 (7,14 %)4/3 1,3 1/30 0,025 (2,5 %)

2,93333… 2,9 1/30 0,011363 (1,13 %)4,66666 4,7 1/15 0,014285 (1,428 %)

13/6 2,2 1/30 0,015384 (1,538 %)4,11111… 4,1 1/90 0,002702 (0,27 %)

15,2377945 15,2 0,0377945 0,00248 (0,248 %)

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Ejercicios resueltos:

3. Construye, con regla y compás, los siguientes números: , , ,

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Ejercicio nº 4.-

a) Indica cuáles de los siguientes números b) Representa estos números sobre la recta:son naturales, cuáles son enteros, cuáles racionales y cuáles irracionales:

Solución:

Ejercicio nº 5.-

a) Efectúa y simplifica: b) Simplifica la siguiente expresión:

13 1 3 1 3 11,83 :4 2 2 2 4 3

25 2 13 3

3

Solución:

a) Expresamos N 1,83 en forma de fracción:

100 N 183,33310 N 18,333

165 1190 N 165 N90 6

Operamos y simplificamos:13 1 3 11 1 3 1 3 1 2 11 1 9 3 2 11 11:

4 2 2 6 2 4 3 4 2 3 6 2 4 4 6 6 49 4 22 33 16 4

12 12 12 12 12 3

Ejercicio nº 6.-

Calcula:

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a) Naturales 1008

Enteros ; 1002

3 8Racionales ; ; 100; 3,25 ; 2,5

4 2Irracionales 12

74; ; 1,33

;3 8; ; 100; 12 3,25; 2,54 2

25 2 5 2 2 51b) 3 3 3 3 3 3 243

3

Intervalos y semirrectas

Cálculo con radicalesLa suma algebraica de términos que contengan radicales puede reducirse aun monomio siempre que se trate de términos semejantes

Ejercicios

Si el denominador fuese de forma a-b se racionalizaran entonces multiplicando por la suma a+b

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