automatique representation d’´...

AUTOMATIQUE

AUTOMATIQUEREPRESENTATION D’ETAT

M. BATEMAN

Ecole de l’Air

18 novembre 2016

1 / 42

AUTOMATIQUE

1 Introduction

2 Representation d’etatFonction de transfertIntegration de l’equation d’etat

3 Pluralite des representations d’etatRepresentation modale

Integration de l’equation d’etat et analyse modaleNotions de commandabilite et d’observabilite - approche modale

Formes compagnes

4 Commandabilite - ObservabiliteCommandabiliteObservabilite

5 Representation d’etat des systemes a temps discret

2 / 42

AUTOMATIQUE

Introduction

Rappel

Modele = expression mathematique reliant les sorties auxentrees

Etablissement d’un modele

Etude de la physique du systeme (equations cinematiques,PFD, theoreme du moment cinetique...)Mise en forme dans un formalisme adapte

- equation differentielle entree/sortie →transformee de Laplace → Methodesfrequentielles

- equation d’evolution → representation d’etat →Methodes temporelles

3 / 42

AUTOMATIQUE

Introduction

Rappel

Modele = expression mathematique reliant les sorties auxentrees

Etablissement d’un modele

Etude de la physique du systeme (equations cinematiques,PFD, theoreme du moment cinetique...)Mise en forme dans un formalisme adapte

- equation differentielle entree/sortie →transformee de Laplace → Methodesfrequentielles

- equation d’evolution → representation d’etat →Methodes temporelles

3 / 42

AUTOMATIQUE

Introduction

Etablissement d’un modele - cas d’une voiture

~V~F

~z

Hypotheses

la voiture se deplace vers l’avantaccelerateur/frein : une commande ~F = U~z

seuls les frottements aerodynamiques sont consideres : −fV 2~z

Mise en equation

PFD :dV

dt=

1

mU −

f

mV 2

Cinematique :dZ

dt= V

soit XT =(

V Z)

le vecteur d’etat, U = U le vecteur de commande, vitesse

V et position Z sont mesurees, soit YT =(

Vm Zm

)

le vecteur des mesures4 / 42

AUTOMATIQUE

Introduction

Etablissement d’un modele - cas du quadrirotor (1)

ω4

motor 1 + propeller 1

motor 3+ propeller 3

motor2+propeller2

ω1

ω2

ω3

xb

yb

x (dirige vers le Nord)

y dirige vers l’Est

Mise en equation

Ixx p = kℓ(

ω24 − ω2

2

)

mVy = k(

ω22 + ω2

4

)

sinφ

mVz = mg − k(

ω22 + ω2

4

)

cosφ

φ = p

y = vyz = vz

⇒ X = f (X,U)

avec XT = (p,Vy ,Vz , φ, y , z) et UT = (ω2

4 − ω22 , ω

22 + ω2

4)5 / 42

AUTOMATIQUE

Introduction

Etablissement d’un modele - cas du quadrirotor (2)

Ce que l’on mesure (indice m) :

le roulis pm = p (gyrometre)

la longitude Longm = atan

(

y

RT

)

+ Long(O) (GPS)

la hauteur hm = −z (telemetre a ultrason)

On collecte les mesures dans un vecteur YT = (pm, Longm, hm)

6 / 42

AUTOMATIQUE

Introduction

Notion d’etat

Etat d’un systeme

L’etat energetique d’un systeme peut etre decrit par des variables physiquesappelees variables d’etat. A l’instant t, l’etat energetique depend de l’etatenergetique initial a t0 et des valeurs des entrees (commandes et perturbations)appliquees au systeme. On accede au systeme par des mesures.

Exemple : le quadrirotor

variables d’etat : vitesses lineaires, angulaires, angles d’attitude, position

commandes/perturbations : moments de roulis, poussee / rafales de vent

mesures : vitesses angulaires, hauteur, coordonnees

Definition

Vecteur d’etat X : vecteur des variables d’etat

Vecteur des entrees (commandes) U : vecteur des variables d’entree

Vecteur de mesure Y : vecteur des mesures realisees sur le systeme

7 / 42

AUTOMATIQUE

Introduction

Notion d’etat

Etat d’un systeme

Definition

7 / 42

AUTOMATIQUE

Introduction

Notion d’etat

Etat d’un systeme

Definition

7 / 42

AUTOMATIQUE

Representation d’etat

Modelisation loi d’evolution X(t) = f (X(t),U(t), t)X(0)

Dans le cas general

systeme nonlineaire{

X = f (X,U, t)Y = h(X,U, t)

le systeme n’est pas invariant

∂

∂tf (t),

∂

∂th(t) 6= 0

systemes multivariables (plusieurs commandes, plusieurssorties) systemes MIMO

8 / 42

AUTOMATIQUE

Modelisation loi d’evolution X(t) = f (X(t),U(t), t)X(0) U(t) ∀t

Dans le cas general

X = f (X,U, t)Y = h(X,U, t)

∂

∂tf (t),

∂

∂th(t) 6= 0

8 / 42

AUTOMATIQUE

Modelisation loi d’evolution X(t) = f (X(t),U(t), t)X(0) U(t) ∀t f

X(t) ∀t

Dans le cas general

X = f (X,U, t)Y = h(X,U, t)

∂

∂tf (t),

∂

∂th(t) 6= 0

8 / 42

AUTOMATIQUE

X(t) ∀t

Dans le cas general

X = f (X,U, t)Y = h(X,U, t)

∂

∂tf (t),

∂

∂th(t) 6= 0

8 / 42

AUTOMATIQUE

X(t) ∀t

Dans le cas general

X = f (X,U, t)Y = h(X,U, t)

∂

∂tf (t),

∂

∂th(t) 6= 0

8 / 42

AUTOMATIQUE

X(t) ∀t

Dans le cas general

X = f (X,U, t)Y = h(X,U, t)

∂

∂tf (t),

∂

∂th(t) 6= 0

8 / 42

AUTOMATIQUE

Dans le cadre du cours on considere de petites variations x de X etu de U autour d’un equilibre {Ue,Xe}, soit

X = Xe + x

U = Ue + u

systeme continu, nonlineaire, invariant X = f (X,U)le systeme est linearise autour de l’equilibre {Ue,Xe}

��Xe + x ≈ ✘✘✘✘✘f (Xe,Ue) +∂f

∂Xx+

∂f

∂Uu

✚✚Ye + y ≈ ✘✘✘✘✘f (Xe,Ue) +∂h

∂Xx+

∂h

∂Uu

⇔

{

x = Ax+ Bu

y = Cx+Du

commande mono entree ⇒ u(t) est scalaire9 / 42

AUTOMATIQUE

X = Xe + x

U = Ue + u

��Xe + x ≈ ✘✘✘✘✘f (Xe,Ue) +∂f

∂Xx+

∂f

∂Uu

✚✚Ye + y ≈ ✘✘✘✘✘f (Xe,Ue) +∂h

∂Xx+

∂h

∂Uu

⇔

{

x = Ax+ Bu

y = Cx+Du

AUTOMATIQUE

X = Xe + x

U = Ue + u

��Xe + x ≈ ✘✘✘✘✘f (Xe,Ue) +∂f

∂Xx+

∂f

∂Uu

✚✚Ye + y ≈ ✘✘✘✘✘f (Xe,Ue) +∂h

∂Xx+

∂h

∂Uu

⇔

{

x = Ax+ Bu

y = Cx+Du

AUTOMATIQUE

X = Xe + x

U = Ue + u

��Xe + x ≈ ✘✘✘✘✘f (Xe,Ue) +∂f

∂Xx+

∂f

∂Uu

✚✚Ye + y ≈ ✘✘✘✘✘f (Xe,Ue) +∂h

∂Xx+

∂h

∂Uu

⇔

{

x = Ax+ Bu

y = Cx+Du

AUTOMATIQUE

Pour un systeme Lineaire Invariant Continu

Representation d’etat{

x = Ax+ Bu

y = Cx+Du

n ∈ N∗ nombre de variables d’etats ( = ordre du systeme)

m ∈ N∗ nombre d’entrees (commandes + pertubations)

q ∈ N∗ nombre de variables mesurees

B∫

C

D

A

u + x x ++

+

y

10 / 42

AUTOMATIQUE

Representation d’etat - Dimension des variables

x ∈ Rn : vecteur d’etat

u ∈ Rm : vecteur d’entrees, commandes...

y ∈ Rq : vecteur de mesures, de sortie, d’observation...

A ∈ Mnn(R) : matrice dynamique, d’etat, d’evolution...B ∈ Mnm(R) : matrice de commande, d’entree...C ∈ Mqn(R) : matrice de mesure, de sortie, d’observation ...D ∈ Mqm(R) : matrice de transmission directe

11 / 42

AUTOMATIQUE

Representation d’etat : cas de la voiture

Un point d’equilibre (ici choix arbitraire) : {Ve ,Ue}

Modele linearise :

dv

dt= −

2fVe

mv +

1

mu

dz

dt= v

Equation d’etat :

(

v

z

)

=

(

−2fVe

m0

1 0

)

(

v

z

)

+

( 1

m0

)

u

Equation d’observation (on mesure tout le vecteur d’etat) :(

vmzm

)

=

(

1 00 1

)(

v

z

)

12 / 42

AUTOMATIQUE

Quadrirotor : l’equation d’etat

L’equation d’etat du modele linearise

p =2kℓωe

Ixx(ω4 − ω2)

φ = p

vz = −2kωe

m(ω4 + ω2)

vy =2kω2

e

mφ

z = vzy = vy

L’equation d’etat sous forme matricielle : x = Ax+ Bu

p

φ

vzvyz

y

=

0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

02kω2

e

m0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0

p

φ

vzvyz

y

+

2kℓωe

Ixx0

0 0

0 −2kωe

m0 00 00 0

(

ω4 − ω2

ω4 + ω2

)

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AUTOMATIQUE

Quadrirotor : l’equation d’etat

L’equation d’etat du modele linearise

p =2kℓωe

Ixx(ω4 − ω2)

φ = p

vz = −2kωe

m(ω4 + ω2)

vy =2kω2

e

mφ

z = vzy = vy

L’equation d’etat sous forme matricielle : x = Ax+ Bu

p

φ

vzvyz

y

=

0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

02kω2

e

m0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0

p

φ

vzvyz

y

+

2kℓωe

Ixx0

0 0

0 −2kωe

m0 00 00 0

(

ω4 − ω2

ω4 + ω2

)

13 / 42

AUTOMATIQUE

Quadrirotor : equation d’observation

On suppose que seuls le roulis p, la hauteur h et la longitude Long sont

mesures, ces mesures m sont parfaites soit : pm = p, hm = h, Longm = Long

On ecrit ces relations sous la forme y = Cx+Du

y =

pmhm

Longm

1 0 0 0 0 00 0 0 0 −1 0

0 0 0 0 01

RT

1+(

YeRT

)2

p

φ

vzvyz

y

+

0 00 00 0

(

ω4 − ω2

ω4 + ω2

)

14 / 42

AUTOMATIQUE

Lien avec la fonction de transfert

Soit un systeme represente par

{

x = Ax+ Bu

y = Cx+Du

Fonction de transfert y(p) = F(p)u(p)

F(p) = C(pI− A)−1B+D

Equation caracteristique ϕ(p) = det (pI− A)

Les poles du systeme sont les valeurs propres de A

15 / 42

AUTOMATIQUE

Integration de l’equation d’etat

On demontre (methode de variation de la constante) que :

Expression de x(t)

x(t) = eA(t−t0)x(t0) +

∫ t

t0

eA(t−τ)Bu(τ)dτ

On reconnaıt les regimes libre et force, un produit de convolutionpour le regime force

Calcul de eAt

methode de Sylvester exercice

eAt = L−1(pI− A)−1 exercice

16 / 42

AUTOMATIQUE

Pluralite des representations d’etat

Soit un systeme dont une representation d’etat est{

x = Ax+ Bu

y = Cx+Du

∀P ∈ GIn(R) on peut poser

Pζ = x

A = P−1AP

B = P−1B

P = CP

D = D

Le systeme est aussi represente par{

ζ = Aζ + Bu

y = Cζ + Du

17 / 42

AUTOMATIQUE

Pour un systeme donne de representation d’etat (A,B,C,D)

Resultats

∃ ! fonction de transfert

∃ ∞ representations d’etat

CB est un invariant du systeme

Selon la representation d’etat choisie

Variables d’etat peuvent avoir du sens physique

Mise en evidence de proprietes du systeme

Facilite de mise sous forme d’etat selon source deconnaissance du systeme

Commodite algorithmique

18 / 42

AUTOMATIQUE

Representation modale

Soit un systeme dont la representation d’etat s’ecrit :{

x = Ax+ Bu

y = Cx

Hypothese : les valeurs propres de A sont distinctes ⇒A estdiagonalisable. P matrice de passage formee des vecteurs propres de A.Representation modale :

{

ζ = Aζ + Bu

y = Cζ

⇔

d

dt

ζ1...ζn

=

λ1

. . .

λn

ζ1...ζn

+

β1

.

.βn

u

y =(

γ1 · · · · · · γn)

ζ1...ζn

Ici, sans perte de generalites, on a represente le cas d’un systememono-entree, mono-sortie. 19 / 42

AUTOMATIQUE

Representation modale - Schema fonctionnel

❦✲ ✲ ✲

✻

✲ γ1∫

λ1

++

β1

❦✲ ✲ ✲

✻

✲ γn∫

λn

++

βn

❦✲ ✲ ✲

✻

✲ γi∫

λi

++

βiu ❦

y

ζ1

ζi

ζn

⇔

d

dt

ζ1...ζn

=

λ1

. . .

λn

ζ1...ζn

+

β1

.

..βn

u

y =(

γ1 · · · · · · γn)

ζ1...ζn

20 / 42

AUTOMATIQUE

Forme modale - Solution de l’equation d’etatL’integration des equations d’etat dans la base modale

ζ1(t) = eλ1tζ1(t0) +

∫ t

t0

eλ1(t−τ)

β1u(τ)dτ

ζi (t) = . . .

ζn(t) = eλntζn(t0) +

∫ t

t0

eλn(t−τ)

βnu(τ)dτ

En regime libre (u=0), dans la base originelle x = Pz, avec P = (pij ou{i , j} ∈ [1, n]) la matrice des vecteurs propres

x1(t) = p11eλ1tζ1(t0) · · ·+ · · ·+ p1je

λj tζj(t0) · · ·+ · · ·+ p1neλntζn(t0)

xi (t) = pi1eλ1tζ1(t0) · · ·+ · · ·+ pije

λj tζj(t0) · · ·+ · · ·+ pineλntζn(t0)

xn(t) = pn1eλ1tζ1(t0) · · ·+ · · ·+ pnje

λj tζj(t0) · · ·+ · · ·+ pnneλntζn(t0)

Analyse modale

Les valeurs propres caracterisent les modes (ordre, stabilite, rapidite,amortissement)

Les vecteurs propres indiquent comment les modes sont distribuessur les variables d’etats

21 / 42

AUTOMATIQUE

ζ1(t) = eλ1tζ1(t0) +

∫ t

t0

eλ1(t−τ)

β1u(τ)dτ

ζi (t) = . . .

∫ t

t0

eλn(t−τ)

βnu(τ)dτ

x1(t) = p11eλ1tζ1(t0) · · ·+ · · ·+ p1je

xi (t) = pi1eλ1tζ1(t0) · · ·+ · · ·+ pije

xn(t) = pn1eλ1tζ1(t0) · · ·+ · · ·+ pnje

Analyse modale

21 / 42

AUTOMATIQUE

ζ1(t) = eλ1tζ1(t0) +

∫ t

t0

eλ1(t−τ)

β1u(τ)dτ

ζi (t) = . . .

∫ t

t0

eλn(t−τ)

βnu(τ)dτ

x1(t) = p11eλ1tζ1(t0) · · ·+ · · ·+ p1je

xi (t) = pi1eλ1tζ1(t0) · · ·+ · · ·+ pije

xn(t) = pn1eλ1tζ1(t0) · · ·+ · · ·+ pnje

Analyse modale

21 / 42

AUTOMATIQUE

Analyse des modes de la voiture

representation d’etat de la voiture :

(

v

z

)

=

(

−2fVe

m0

1 0

)

(

v

z

)

+

(

1

m0

)

u

valeurs propres {0,−2fVe

m}

vecteurs propres−→V1 =

(

01

)

,−→V2 =

(

2fVe

m−1

)

le vecteur d’etat X(t) en regime libre (u=0) :

v(t) = (0)e0tζ1(0) + (2fVe

m)e−

2fVem

tζ2(0)

z(t) = (1)e0tζ1(0) + (−1)e−2fVem

tζ2(0)

avec

(

ζ1(0)ζ2(0)

)

= P−1

(

v(0)z(0)

)

=

(

z(0) + mv(0)2fVe

mv(0)2fVe

)

22 / 42

AUTOMATIQUE

(

v

z

)

=

(

−2fVe

m0

1 0

)

(

v

z

)

+

(

1

m0

)

u

m}

(

01

)

,−→V2 =

(

2fVe

m−1

)

v(t) = (0)e0tζ1(0) + (2fVe

m)e−

2fVem

tζ2(0)

z(t) = (1)e0tζ1(0) + (−1)e−2fVem

tζ2(0)

avec

(

ζ1(0)ζ2(0)

)

= P−1

(

v(0)z(0)

)

=

(

z(0) + mv(0)2fVe

mv(0)2fVe

)

22 / 42

AUTOMATIQUE

(

v

z

)

=

(

−2fVe

m0

1 0

)

(

v

z

)

+

(

1

m0

)

u

m}

(

01

)

,−→V2 =

(

2fVe

m−1

)

v(t) = (0)e0tζ1(0) + (2fVe

m)e−

2fVem

tζ2(0)

z(t) = (1)e0tζ1(0) + (−1)e−2fVem

tζ2(0)

avec

(

ζ1(0)ζ2(0)

)

= P−1

(

v(0)z(0)

)

=

(

z(0) + mv(0)2fVe

mv(0)2fVe

)

22 / 42

AUTOMATIQUE

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

To:

Out

(1)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

To:

Out

(2)

Response to Initial Conditions

temps(s) (sec)

v(m

/s)

z

(m)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

v

z

t croissant

Les variables d’etat v et z la trajectoire d’etat dans l’espace d’etat

Dans l’espace d’etat, les vecteurs propres definissent la direction dela trajectoire d’etat, les valeurs propres sa vitesse. (Trace pourm = f = Ve = 1)

23 / 42

AUTOMATIQUE

Analyse des modes d’un airliner

Objectif : etudier le comportement d’un airliner autour de son axe deroulis en reponse a des actions sur les commandes ou a des conditionsinitiales non nulles. Soit xT =

(

β r p φ)

et uT =(

δn δℓ)

A =

−.0558 −.9968 .0802 .0415.598 −.115 −.0318 0−3.05 .388 −.4650 0

0 0.0805 1 0

B =

.00729 0−0.475 0.007750.153 0.1430 0

PPPPPPPPEtat

Poles−0.0329± 0.94i −0.5627 −0.0073

derapage β 0.22e±28i 0.0172e180i 0.0067lacet r 0.15e±120i 0.0118e180i 0.0404roulis p 0.66e±91i 0.4895e180i 0.0105gıte φ 0.69 0.8717 0.999ordre 2 1 1

Table – Poles (valeurs propres) et vecteurs propres de la matrice d’etat24 / 42

AUTOMATIQUE

Application : Analyse des modes d’un avion (2)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.5

1

To:

φ

−0.2

0

0.2

To:

p

0

0.02

0.04

0.06

To:

r

−0.05

0

0.05

To:

β

0 5 10 15 20 25 300.4

0.6

0.8

1T

o: φ

−0.2

0

0.2

To:

p

0

0.02

0.04

0.06

To:

r

−0.05

0

0.05

To:

β−0.2

0

0.2

To:

p

120°

28°

91°

25 / 42

AUTOMATIQUE

Forme modale - Notion de commandabilite/observabilite

❦✲ ✲ ✲

✻

✲ γ1∫

λ1

++

β1

❦✲ ✲ ✲

✻

✲ γn∫

λn

++

βn

❦✲ ✲ ✲

✻

✲ γi∫

λi

++

βiu ❦

y

ζ1

ζi

ζn

Figure – Representation d’etat sous forme modale : cf. slide 20

coefficient βi nul : pas d’influence de l’entree sur le mode ⇒mode ingouvernable (ou incommandable)coefficient γj nul : pas de contribution du mode a la sortie ⇒mode inobservable

26 / 42

AUTOMATIQUE

Commandabilite - Illustration

Modules des coefficients de la matrice de commande du Boeing747 dans la base modale :

❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳PolesCommande

δn δℓ

−0.0329± 0.94i 1.0994 0.0188−0.0329± 0.94i 1.0994 0.0188

−0.5627 2.1477 0.2469−0.0073 2.7555 0.2218

Table – Sensibilite des modes du Boeing 747 a la commande de directionδn et aux ailerons δℓ

Efficacite de la commande de direction pour le controle du moded’ordre deux En cas de perte de la gouverne, ce mode et parsuite l’avion risquent d’etre difficiles a controler.

27 / 42

AUTOMATIQUE

Compagnes

Formes compagnes

Matrices compagnes

0 1 0 · · · 0...

. . . 1. . .

......

. . .. . . 0

0 · · · · · · 0 1−a0 −a1 · · · −an−2 −an−1

−an−1 1 0 · · · 0

−an−2 0 1. . .

......

.... . .

. . . 0

−a1...

. . . 1−a0 0 · · · · · · 0

Rappel

On montre que leur polynome caracteristique a pour expression :

ϕ(p) = det (pI− A) = 1.pn + an−1pn−1+ ...+ a1p+ a0 =

n∑

k=0

akpk

28 / 42

AUTOMATIQUE

Compagnes

Formes compagnes

Systemes connus par leur FT ou une equation differentielle ⇒ Misesous forme compagne immediateDeux formes particulieres

Forme canonique de commandabilite : compagne horizontale

Forme canonique d’observabilite : compagne verticale

Rem : precautions a prendre seront vues plus tard...

29 / 42

AUTOMATIQUE

Compagnes

Mise sous forme compagne horizontale - commandabilite

Soit un systeme de fonction de transfert

F (p) =Y (p)

U(p)=

bmpm + bm−1p

m−1 + ...+ b0

pn + an−1pn−1 + ...+ a1p + a0avec n > m

Resultat

La forme canonique de commandabilite est

X =

0 1 0 · · · 0...

. . . 1. . .

......

. . .. . . 0

0 · · · · · · 0 1−a0 −a1 · · · −an−2 −an−1

X+

0......01

U

Y =(

b0 b1 · · · bm 0 · · · · · · 0)

X

30 / 42

AUTOMATIQUE

Compagnes

Mise sous forme compagne verticale - observabilite

Soit un systeme de fonction de transfert

F (p) =Y (p)

U(p)=

bmpm + bm−1p

m−1 + ...+ b0

pn + an−1pn−1 + ...+ a1p + a0avec n > m

Resultat

La forme canonique d’observabilite est

X =

−an−1 1 0 · · · 0

−an−2 0 1. . .

......

.... . .

. . . 0

−a1...

. . . 1−a0 0 · · · · · · 0

X+

0...bm......b0

X

X =(

1 0 · · · · · · · · · 0)

X31 / 42

AUTOMATIQUE

Commandabilite - Observabilite

Commandabilite

Definition

Dans la base modale :

Mode λi associe a l’etat ζi commandable si :∀ζi (0), ∀ζi (tf )

∃u tel que ζi (0)u ζi (tf ) avec tf < ∞

Systeme commandable si tous ses modes sont commandables

Dans la base originelle :

Critere de Kalman

Systeme (A, B) est commandable ssi rg [B,AB · · ·An−1B] = n

32 / 42

AUTOMATIQUE

Observabilite

Definition

Dans la base modale :

Mode λi associe a l’etat ζi observable sur [t0, t1] si :connaissant u(t) et y(t) ∀t ∈ [t0, t1]on peut determiner la valeur de ζi (0)

Systeme observable si tous ses modes sont observables

Dans la base originelle :

Critere de Kalman

Systeme (A, B, C, D) est observable ssi rg

C

CA...

CAn−1

= n

33 / 42

AUTOMATIQUE

Observabilite

A propos de la commandabilite et de l’observabilite

γn∫

λn

+

+βn

u y

ζ1

ζ2

ζn

observablecommandable

commandable observablenon

commandablenon observable

γ2∫

λ2

+

+β2

γ1∫

λ1

+

+β1

systeme d’ordre nsous-systeme d’ordre 1

34 / 42

AUTOMATIQUE

Observabilite

A propos de la commandabilite et de l’observabilite

La fonction de transfert y(p)u(p) ne revele pas les modes non

commandables ou/et non observables ⇒l’ordre du systemedecrit par la fonction de transfert ≤ ordre du systeme decritpar la representation d’etat (egal a la dimension du vecteurd’etat).

Les modes instables sont stabilisables ssi ils sontcommandables et observables.

35 / 42

AUTOMATIQUE

Representation d’etat des systemes a temps discret

Systemes asservis - temps continu Vs. temps discret

IHM

CNA

CAN

Ampli Systeme

Filtreanti-aliasing

data

bus

calculateurBOZ+

Capteur

consigne

retour

correcteur Ampli Systeme

Capteur

+

-consigne er

reur

commande

reponsemesure

IHM

CNAAmpli Systeme

data

bus

calculateurBOZ+

Capteur

consigne

retour

(a)

(b)

36 / 42

AUTOMATIQUE

Discretisation d’un systeme continu - Equation d’etat

L’equation d’etat du systeme a temps continu x(t) = Ax(t) + Bu(t)

admet pour solution :

x(t) = eA(t−t0)x(t0) +

∫ t

t0

eA(t−τ)

Bu(τ)dτ

Sur [k, k + 1]T du fait du bloqueur d’ordre zero (BOZ), u(t) = cte

x ((k + 1)T ) = eATx(kT ) +

∫ (k+1)T

kT

eA((k+1)T−τ)

Bdτ u(kT )

On pose v = τ − kT :

x ((k + 1)T ) = eATx(kT ) +

∫ T

0

eA(T−v)

Bdv u(kT )

que l’on ecrit :xk+1 = Fxk + Guk

Matrices d’etat et de commande discretisees

F = eAT ≈ I+ AT G =∫ T

0 eA(T−v)Bdv ≈ BT

37 / 42

AUTOMATIQUE

x(t) = eA(t−t0)x(t0) +

∫ t

t0

eA(t−τ)

Bu(τ)dτ

x ((k + 1)T ) = eATx(kT ) +

∫ (k+1)T

kT

eA((k+1)T−τ)

Bdτ u(kT )

x ((k + 1)T ) = eATx(kT ) +

∫ T

0

eA(T−v)

Bdv u(kT )

37 / 42

AUTOMATIQUE

x(t) = eA(t−t0)x(t0) +

∫ t

t0

eA(t−τ)

Bu(τ)dτ

x ((k + 1)T ) = eATx(kT ) +

∫ (k+1)T

kT

eA((k+1)T−τ)

Bdτ u(kT )

x ((k + 1)T ) = eATx(kT ) +

∫ T

0

eA(T−v)

Bdv u(kT )

37 / 42

AUTOMATIQUE

x(t) = eA(t−t0)x(t0) +

∫ t

t0

eA(t−τ)

Bu(τ)dτ

x ((k + 1)T ) = eATx(kT ) +

∫ (k+1)T

kT

eA((k+1)T−τ)

Bdτ u(kT )

x ((k + 1)T ) = eATx(kT ) +

∫ T

0

eA(T−v)

Bdv u(kT )

37 / 42

AUTOMATIQUE

x(t) = eA(t−t0)x(t0) +

∫ t

t0

eA(t−τ)

Bu(τ)dτ

x ((k + 1)T ) = eATx(kT ) +

∫ (k+1)T

kT

eA((k+1)T−τ)

Bdτ u(kT )

x ((k + 1)T ) = eATx(kT ) +

∫ T

0

eA(T−v)

Bdv u(kT )

37 / 42

AUTOMATIQUE

Discretisation d’un systemes continu - Equation de sortie

L’equation d’observation du systeme a temps continu :

y(t) = Cx(t) +Du(t)

La mesure est prelevee aux instants kT

y(kT ) = Cx(kT ) +Du(kT )

que l’on ecrit :yk = Cxk +Duk

38 / 42

AUTOMATIQUE

y(t) = Cx(t) +Du(t)

38 / 42

AUTOMATIQUE

y(t) = Cx(t) +Du(t)

38 / 42

AUTOMATIQUE

Resolution de l’equation d’etat a temps discret

L’equation d’etat du systeme a temps discret :

xk+1 = Fxk + Guk

Par iteration, il vient :

x(1) = Fx0 + Gu0x(2) = F2x0 + FGu0 + Gu1x(3) = . . .

le terme general de la suite a pour expression :

xn+1 = Fn+1x0 +n∑

i=0

Fn−iGui

On reconnaıt le regime libre et le regime force (produit deconvolution discret)

39 / 42

AUTOMATIQUE

xk+1 = Fxk + Guk

x(1) = Fx0 + Gu0x(2) = F2x0 + FGu0 + Gu1x(3) = . . .

xn+1 = Fn+1x0 +n∑

i=0

Fn−iGui

39 / 42

AUTOMATIQUE

xk+1 = Fxk + Guk

x(1) = Fx0 + Gu0x(2) = F2x0 + FGu0 + Gu1x(3) = . . .

xn+1 = Fn+1x0 +n∑

i=0

Fn−iGui

39 / 42

AUTOMATIQUE

Resolution de l’equation d’etat a temps discret - stabilite

x(1) = Fx0 + Gu0x(2) = F2x0 + FGu0 + Gu1x(3) = . . .

xn+1 = Fn+1x0 +n∑

i=0

Fn−iGui

En regime libre, ui = 0 et xn+1 = Fn+1x0. Soumis a des conditionsinitiales non nulles, le vecteur d’etat revient a 0 ssi F a toutes sesvaleurs propres λi a l’interieur du cercle unite.

Stabilite

Le systeme est stable ssi F a toutes ses valeurs propres λi al’interieur du cercle unite

40 / 42

AUTOMATIQUE

Rappel sur la Transformee en Z

La transformee en Z est la transformee de Laplace des signauxechantillonnes

x(t) : signal continu

x∗(t) =∑+∞

k=0 x(t)δ(t − kT ) : signal discretise

L [x∗(t)] = X ∗(p) =∫ +∞

0

∑+∞

k=0 x(t)δ(t − kT )e−ptdt

X ∗(p) =∑k=0

+∞x(kT )e−pkT

X ∗(p) = X (z) avec z = epT

41 / 42

AUTOMATIQUE

x∗(t) =∑+∞

L [x∗(t)] = X ∗(p) =∫ +∞

0

∑+∞

X ∗(p) =∑k=0

+∞x(kT )e−pkT

41 / 42

AUTOMATIQUE

x∗(t) =∑+∞

L [x∗(t)] = X ∗(p) =∫ +∞

0

∑+∞

X ∗(p) =∑k=0

+∞x(kT )e−pkT

41 / 42

AUTOMATIQUE

x∗(t) =∑+∞

L [x∗(t)] = X ∗(p) =∫ +∞

0

∑+∞

X ∗(p) =∑k=0

+∞x(kT )e−pkT

41 / 42

AUTOMATIQUE

x∗(t) =∑+∞

L [x∗(t)] = X ∗(p) =∫ +∞

0

∑+∞

X ∗(p) =∑k=0

+∞x(kT )e−pkT

41 / 42

AUTOMATIQUE

Carte des poles temps continu - temps discret

Avec z = epT :

−3 −2 −1 0−3

−2

−1

0

1

2

3

0.280.380.50.64

0.8

0.94

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.080.170.280.380.50.64

0.8

0.94

0.080.17

Carte des pôles (continu)

Axe Réel (seconds−1)

Axe

Imag

inai

re (

seco

nds−

1 )Carte des pôles (discret)

Axe Réel

Axe

Imag

inai

re

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.1π/T

0.2π/T

0.3π/T

0.4π/T0.5π/T

0.6π/T

0.7π/T

0.8π/T

0.9π/T

1π/T

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.1π/T

0.2π/T

0.3π/T

0.4π/T0.5π/T

0.6π/T

0.7π/T

0.8π/T

0.9π/T

1π/T

p1*

p1

p2

z2=epT

z1=epT

z1* =epT

42 / 42

automatique representation d’´...

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