bibliografia: j. singh semiconductor devices. basic principles, john wiley & sons c. kittel...

Bibliografia:J. Singh “Semiconductor Devices. Basic Principles”, John Wiley & Sons

C. Kittel “Introduzione alla Fisica dello Stato Solido” Ed. Boringhieri

Ashcroft N.W., Mermin N.D. – “Solid State Physics”

B.G. Streetman, S.K. Banerjee “Solid State Electronic Devices” Pearson International Edition

B. S.M. Sze “Semiconductor Devices: Phyisics and Technology” Ed. Wiley (cap1-5)

E.F. Schubert “Physical Foundations of Solid State Devices”, New York 2005

Per approfondire:

R. F. Pierret ”Semiconductor Device Fundamentals”, Ed. Addison Wesley

Sapoval, C. Hermann, “Physics of Semiconductors”, Ed Springer Verlag

J. Singh “Semiconductor Optoelectronics Physics and Technology”, Mac Graw Hill

E.F. Schubert “Physical Foundation of Solid State Devices” (cap 12-14-15)

http://people.roma2.infn.it/~demattei/Didattica/Fisica dei Dispositivi a Stato solido/

LM Fisica A.A.2013/14 Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis 1

http://people.roma2.infn.it/~demattei/Didattica/Fisica


Crisi della descrizione classica del mondo

fisicoRadiazione in cavità (Catastrofe UV) + Effetto

fotoelettrico Fotoni h (h=6.626 x 10-34J s

=1015Hz)

Radioattività

Superconduttività a bassa temperatura

Spettri atomici discreti bande nei solidi


Spettri atomici Spettri atomici (assorb e emiss) raggruppati in serie di linee

spettrali Per l’idrogeno le serie prendono il nome da Lyman, Balmer,

Paschen ecc. Differenze tra livelli energetici discreti (L m=1n, B m=2n,

P m=3n e viceversa)

2

1

nR=E yn

{hkl}

Rydberg

eV=

hπε

me=R

0

4

y 13.6054

2π22

2

hc

n

mn

m

R

mR

nR=E y

yynm

2

22

222

1122

22

mn

nm

R

hc

ynm


Ipotesi di de Broglie

Dualismo onda particella. Elettrone è descritto anche da onda.Relazione tra lunghezza d’onda e impulso

= h/p Dipende dalla scala dell’oggetto con cui interagisce

l’onda/particella Se molto più grande descrizione particella altrimenti onda

L’energia cinetica può allora essere scritta come

In presenza di energia potenziale l’energia totale della particella sarà la somma dell’energia cinetica e di quella potenziale

E=K+U

I=VR

p=λ

2π

2m

2π

2m

1

2m

2222 k=

λ=

p=K


Operatori quantistici

I=VR

tiE

zip

xip

yip

z

y

x

In meccanica quantistica gli osservabili sono operatori che agiscono sulla funzione d'onda

Calcoliamo la lunghezza d'onda associata ad una energia di 1 eV nel caso di: a) fotone; b) elettrone; c) neutrone

a)

b)

c)

μm=mx=

J

smJs=

E

hc=

ν

h=λph 1.24101.24

1.6x10

/3x106.6x10 619

834

nm=Jkg

Js=

E

h=

k=λ

e

e 1.231.6x100.91x102

6.6x10

2m

2π2/11930

34

nm=λ=m

mλ=λ e

n

een 0.028

1824

1


Equazione di Schrödinger

I=VR

Eψ=ψrV+

2

2

2m

ikxikx Be+Ae=ψ Particella libera non soggetta a potenzialeOnda piana

Eq. Schrödinger

tiEti Ae=Ae=tψ

ψE

i=tψi

/


Elettroni liberiElettroni liberi di muoversi in un potenziale uniforme (zero).Gli elettroni in un solido possono essere considerati come se fossero “liberi” sotto alcune condizioni addizionali

rEψ=r]ψV+[ 02

2

2m

rik±eV

=rψ 1 123 =rψrd

Normalizzazione

0V+k

=E2m

22

k=pkψψr

i=pψ ovvero

0m

k=v

Relazione di dispersione


Banda di energia

Le energie permesse per l'elettrone libero formano una banda continua che parte da V

0 in su

Relazione E-k o di dispersione

k=

V0

Intervallo di energie proibito

Intervallo di energie permesso

0V+k

=E2m

22

0V+k

=E2m

22


Densità degli stati DOS

DOS nulla

2/10

230 VEmEN

V0 E

DO

S (J-1 m

-3)

Densità degli stati N(E) è il numero di stati elettronici disponibile per unità di energia per unità di volume. Il numero di stati in un intervallo dE intorno al valore E è N(E)dE

32

2/10

2/3

02

π

VEm=EN

Condizioni periodiche al contorno, cubo di lato L

L3 Volume del solido

m0 massa dell'elettrone


Densità degli stati DOSLa periodicità impone che gli stati stazionari siano a valori di k discreti

I valori di k sono quindi equispaziati ed ogni stato elettronico occupa un volume nello spazio k pari a

Il numero di stati in un intervallo d3k intorno a k per unità di volume è N(k) d3k

duplicità di spin

La relazione di dispersione è isotropa rispetto a tutte le direzioni e quindi ci interessa conoscere la densità degli stati in funzione del modulo |k|.

Il numero di stati in un intervallo dE intorno al valore E è N(E)dE.

dE

π

VEm=dEEN

32

2/10

2/302

ψ ( x+L,y,z ) =ψ ( x,y,z )ψ ( x,y+L,z ) =ψ ( x,y,z )ψ ( x,y,z+L )=ψ ( x,y,z )

;

L

πn=k

nN=nL

πn=k

L

πn=k

zz

iiy

y

xx

2

02

2

3/1

LV=

L

338π2π

3

3

33

33

8π/8π

2 kd=

L

kd

V=kdkN

N ( k ) dk= 24 πk 2 dk8π3

= k 2 dk2π2

002m VE=k

dEVE

=dk0

0

2

2m


Densità degli stati DOSCalcoliamo la densità degli stati di elettroni che si muovono in un potenziale nullo con una energia di 0.1 eV.

La densità degli stati in un sistema 3D è:

Convertendo i valori di energia in eV otteniamo

che per E=0.1 eV vale

N(E)=2.15 x 1021 eV-1 cm-3

32/3563342

2/330

32

2/12/30

1.07x101.05x10

0.91x102

2

mJdEE=dEJsπ

Ekg

=dEπ

Em=dEEN

31cmeVE=EcmeVx=EN

2132

2/3

1956 6.8x1010

1.6x10

11.07x10

Valore indicativo, non ha vero senso.Bisognerebbe integrarlo su un intervallo di energie


Elettroni nell'atomo

Gli elettroni in un atomo sono soggetti al potenziale coulombiano del nucleo ed eventualmente degli altri elettroni. Ci sono due intervalli di energie di interesse.

Stati liberi Quando l'elettrone possiede un'energia cinetica sufficiente per superare l'attrazione del nucleo. Tutti i valori di energia sono permessi.

Stati legati Sono gli stati stazionari dell'atomo che abbiamo visto danno origine alle transizioni atomiche

caso dell'idrogeno

Generalmente si assume l'energia del vuoto come zero dell'energia

Gli stati legati hanno energia negativa, quelli liberi positiva

E n =E vac− R y1

n2

E vac=0


Elettroni in un solido cristallino

Gli stati a energia più bassa, stati di core, rimangono abbastanza imperturbati e simili agli stati di core dell'atomo

Gli elettroni di valenza sono quelli coinvolti nel legame molecolare. Nell’esempio del diamante ogni atomo di carbonio ha quattro legami covalenti con 4 altri posti ai vertici di un tetraedro equilatero

A bassa temperatura gli elettroni sono legati nei loro legami tetraedrici. Aumentando la temperatura questi legami possono delocalizzarsi e gli elettroni contribuire alla conduzione.


Elettroni in un solido cristallino I livelli energetici più alti, elettroni di

valenza, si allargano in bande di energie permesse.

Le bande permesse possono essere separate da intervalli energetici proibiti. Gap di energia

In un atomo, se applichiamo un campo elettrico l'elettrone non si muoverà perché soggetto al potenziale del nucleo. E' come se avesse una massa molto grande

In un cristallo l'elettrone obbedirà ad una relazione di dispersione E-k anche se questa sarà più complicata.

All'interno di ogni banda permessa l'elettrone si comporta come se fosse libero salvo che risponde con una massa inerziale differente. Massa efficace m*


Distribuzione degli elettroni negli stati

Come si distribuiscono gli elettroni nei vari stati permessi?Come si distribuiscono gli elettroni nei vari stati permessi? Gli elettroni si dispongono in accordo al principio di esclusione di Pauli (al massimo un elettrone in ogni stato disponibile)Funzione di distribuzione di Fermi-DiracProbabilità che uno stato permesso a energia E

sia occupato (all'equilibrio termico)

f(E) ≤ 1 e monotono decrescente.E

F è l'energia di Fermi e rappresenta l'energia del livello per cui si ha

probabilità di occupazione ½. (E=EF → f(E)= ½ )

Il livello di Fermi è determinato conoscendo la densità degli stati N(E) e la densità degli elettroni.

Quando (E-EF)»k

BT si ricade nella distribuzione di Boltzmann

kT

EE

e+

=EfF

1

1

kTEE

=Ef

F

B

e


Metalli Semiconduttori Isolanti

Quali stati permessi sono occupati da elettroni e quali no?Quali stati permessi sono occupati da elettroni e quali no? Gli elettroni si dispongono in accordo al principio di esclusione di Pauli (al massimo un elettrone in ogni stato disponibile) e seguendo la funzione di distribuzione di Fermi-Dirac. A T=0 gli elettroni disporranno nelle bande via via a maggiore energia. L'energia che separa gli stati occupati da quelli non occupati è l'energia E

F(T=0).

Due casi sono possibili:• Una banda permessa è completamente piena di elettroni mentre la seguente banda permessa è separata da un gap di energia E

g ed è

vuota.

La più alta banda occupata è solo parzialmente occupata.


Conduzione Quando una banda è occupata completamente, gli elettroni Quando una banda è occupata completamente, gli elettroni nella banda non possono condurre alcuna correntenella banda non possono condurre alcuna corrente Gli elettroni sono fermioni e le bande sono simmetriche per inversione spaziale. Per ogni stato k (2m

0v=hk) ce ne è un altro a

-k. In assenza di forza esterna, per un elettrone che si muove in un verso ce ne è un altro che si muove nel verso opposto.

In presenza di una forza esterna, se non ci sono stati disponibili in cui un elettrone può spostarsi rompendo la simmetria tra +k e -k, non può esserci corrente netta.Questo spiega la distinzione tra metalli (banda semipiena) e isolanti (banda piena).

Un semiconduttore è un isolante con energia di gap Eg<3eV

kdt

d=Fext


Conduzione La banda che a 0 K normalmente è piena di elettroni nei semiconduttori è detta banda di valenza mentre la banda vuota superiore è detta banda di conduzione.

I metalli hanno una conducibilità molto alta a causa del numero molto alto di elettroni che possono partecipare alla corrente di trasporto. E' difficile alterare la conducibilità dei metalli.

I semiconduttori, invece, hanno conducibilità nulla a 0 K e cmq bassa a temperatura normale, ma è possibile alterare la loro conducibilità di ordini di grandezza.

Per questo i semiconduttori possono essere usati come dispositivi attivi mentre i metalli sono relegati ad essere usati come componenti passivi come interconnessioni, contatti, etc.


Conduzione La differenza di energia tra il livello energetico di vuoto (quando l'elettrone è libero di uscire dal solido) e il livello di Fermi è detta Funzione di lavoro (Work Function e

e )

La differenza di energia tra il livello energetico di vuoto (quando l'elettrone è libero di uscire dal solido) e il fondo della banda di conduzione è detta Affinità elettronica (Electron Affinity e

e )

eee

e


Livello di Fermi Semiconduttore T=0 KBanda di valenza pienaBanda di conduzione vuota

Non c'è conduzione

Semiconduttore T>0 KBanda di valenza con qualche vuotoBanda di conduzione con qualche elettrone

Sia la banda di valenza che quella di conduzione possono concorrere al trasporto

Quanti elettroni ci sono nella banda di conduzione ?Quanti elettroni ci sono nella banda di conduzione ?

0 1E

B

F

TkEE

exp+

dEEN=n

N(E) densità degli statin numero di elettroni nella banda per unità di volume

A T=0

2/3032

2/302/1

032

2/30

03π

222EE

m=dEEE

π

m=

EdEEN=n F

F

E

Valido solo per i metalli (EF>E

0)


Livello di Fermi La situazione è più complicataLa situazione è più complicata

0E

B

F

dETkEE

eEN=n

Per i metalli dove il numero di portatori è alto l'espressione è ancora validan è la densità di elettroni di conduzione calcolata precedentemente. Questo determina l'energia di Fermi

T>0

2/32/3

20

0

2π2 Tk

m=N

Tk

EE

eN=n

Bc

b

F

c

32322 1010 cm÷A

ρNN=n e

A

Per i semiconduttori il numero di portatori è molto più basso f(E) può essere rappresentato dalla funzione di Boltzmann

πTk

EE

eTkπ

m=

=dyeTk

EE

eTkπ

m=

=dyeyTk

EE

eTkπ

m=

=dETkEE

eEEπ

m=n

b

F

B

E

xb

F

B

y

E

b

F

B

E

B

F

0

2/3

32

2/30

0

2

0

2/3

32

2/30

0

0

2/3

32

2/30

0

2/1032

2/30

2

2

2

2

Caso non-degenere

2/32

0

2

0 32m

nπ=EEF


Livello di Fermi

n=E 0

∞

N (E ) e−

E− E F

k B T dE

2/32/3

20

0

22 Bc

b

F

c

kTπ

m=N

Tk

EE

eN=n

Per i semiconduttori il numero di portatori è molto più bassof(E) può essere rappresentato dalla funzione di Boltzmann

πTk

EE

eTkπ

m=

=dyeTk

EE

eTkπ

m=

=dyeyTk

EE

eTkπ

m=

=dETkEE

eEEπ

m=n

b

F

B

E

xb

F

B

y

E

b

F

B

E

B

F

0

2/3

32

2/30

0

2

0

2/3

32

2/30

0

0

2/3

32

2/30

0

2/1032

2/30

2

2

2

2

Caso non-degenere

Caso degenereSe il numero di portatori è alto una buona approssimazione è quella di Joyce-Dixon

ccBF N

n+

N

nTk=EE

8

1ln0

bibliografia: j. singh semiconductor devices. basic principles, john wiley & sons c. kittel...

Documents