boris podobnik - fizika

FIZIKABoris Podobnik March 26, 2007

Contents1 Uvod 1.1 Fizikalne veliine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 1.2 Sile u prirodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Atomi, molekule 2.1 Struktura atoma . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Molekule . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Kemijske veze . . . . . . . . . . 2.1.3 Atomska struktura tvrdih tijela 2.1.4 Kristalni sustavi . . . . . . . . 2.1.5 Sile vezanja u tvrdim tijelima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 9 9 9 10 10 11 11

3 Elastinost c 13 3.1 Naprezanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.1 Hookov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Torzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4 Statika uida 4.1 Uvod . . . . . . . . . . . 4.1.1 Hidrostatski tlak 4.2 Povrinska napetost . . . s 4.2.1 Osnovni pojmovi 4.2.2 Kapilarnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 17 17 19 19 20

5 Titranje 23 5.1 Harmonijsko titranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.1.1 Elastina sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 c 1

2

CONTENTS 5.1.2 Jednadba harmonijskog titranja . . . . . . . . . 24 z Prigueno titranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 s Prisilno titranje: rezonancije . . . . . . . . . . . . . . . . 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 30 31 32 32 34

5.2 5.3

6 Valovi 6.1 Sirenje valova u prostoru . . . . . 6.2 Brzina irenja tranzverzalnog vala s 6.3 Valovi . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Energija valova . . . . . . . . . . 6.4.1 Valna jednadba . . . . . z 6.5 Zvuk . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Prijenosne pojave 37 7.1 Toplinska vodljivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7.2 Difuzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 8 Toplina 8.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Temperatura . . . . . . . . . . 8.3 Koecijent linearnog rastezanja 8.3.1 Jednadba stanja . . . . z 8.4 Toplina i rad . . . . . . . . . . 8.5 Prvi zakon termodinamike . . . 8.6 Carnotov proces . . . . . . . . . 8.7 Drugi zakon termodinamike . . 8.8 Trei zakon termodinamike . . . c 8.9 Funkcija stanja . . . . . . . . . 8.10 Stefan-Boltzmannov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 41 42 42 43 44 45 46 48 49 50 51

9 Radioaktivnost 55 9.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 9.2 Aktivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 9.3 Eksponencijalni raspad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 10 Statika elektrina i magnetska polja c c 59 10.1 Statika elektrina i magnetska polja . . . . . . . . . . . 59 c c 10.1.1 Jednadba za potencijal . . . . . . . . . . . . . . 60 z

CONTENTS

3

10.2 Elekrine struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 c 11 Elektrodinamika 63 11.1 Maxwellove jednadbe u vakuumu . . . . . . . . . . . . . 63 z 11.2 Elektromagnetski valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 11.3 Oblak elektrinog naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 c 12 Medjumolekularne sile 12.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Ionsko vezanje . . . . . . . . 12.1.2 Vodikovo vezanje . . . . . . 12.1.3 Dipol-dipol medjudjelovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 69 69 70 70

4

CONTENTS

Chapter 1 Uvod1.1 Fizikalne veliine c

Pojave poznajemo ukoliko ih moemo izraziti brojkama. Ova izreka z lorda Kelvina svjedoi o znaenju mjerenja u zici. Temelj svake spozc c naje je eksperiment, a rezultat eksperimenta je odrediti neke brojke koje mjere odredjenu zikalnu veliinu. Nakon deniranja zikalnih c veliina slijedei je korak odredjivanje njihovih jedinica. Tako je temc c peratura mjera zagrijanosti, a mjerimo je u Kelvinima ili Celziusima. Daljnji korak u znanstvenoj spoznaji je u iznalaenju zikalnih zakona z koji uspostavljaju veze medju razliitim veliinama, kao to je F = ma c c s veza izmedju sile, mase i akceleracije. Jasno je da upravo zbog postojanja zikalnih zakona nisu sve zikalne veliine neovisne i stoga se postavlja pitanje koje medju c njima smatrati osnovnima. Pokazuje se kako se zikalne pojave daju izvesti pomou slijedeih osnovnih zikalnih veliina, koje odgovaraju c c c razliitim podrujima zike. Internacionalni sustav mjernih jedinica c c upotrebljava kao osnovne jedinice tri mehanike, i po jednu elektrinu, c c termiku, fotometrijsku i atomistiku jedinicu. c c U mehanici zapoinjemo s geometrijskim mjerenjima poloaja i c z prirodno je kao jednu osnovnu veliinu izabrati duljinu. Slijedea osc c novna veliina denirana je u kinematici. Naime uz duljinu mjerimo i c vrijeme, jer se procesi odvijaju u vremenu. Jasno da je uz izbor duljine i vremena kao osnovnih veliina brzina izvedena veliina iz njih dviju. c c 5

6

CHAPTER 1. UVOD

Kao treu osnovnu veliinu u dinamici uvodimo masu ili energiju kao c c njen ekvivalent. U elektrinim mjerenjima pojavljuje se kao etvrta veliina jakost c c c struje. U podruju termodinamike uvedena je kao osnovna veliina temc c peratura. U podruju fotometrije svjetlosni tok uveden je kao osnovna c veliina, a u atomskoj zici koliina materije. Odlukom niza medjunarc c odnih konferencija za mjere i utege od 1954. g. do danas prihvaene su c slijedee jedinice koje tvore Medjunarodni sustav (SI): c za duljinu metar (m) za masu kilogram (kg) za vrijeme sekunda (s) za jakost elektrine struje c amper (A) za temperaturu kelvin (K) za jakost svjetlosti kandela (cd) za koliinu materije c mol (mol)

1.2

Sile u prirodi

Od svih sila s kojima se susreemo u prirodi i svakodnevnom ivotu c z najoitija je teina. Svako tijelo na Zemlji ima teinu, i svako tijelo c z z preputeno samo sebi pada ubrzano po trajektoriji okomito na Zemljinu s povrinu. Newton je pokazao da su teina i gibanje nebeskih tijela s z dvije povezane pojave i da predstavljaju razliite izraze istog zikalnog c nedjudjelovanja gravitacijske sile. Izmedju dviju masa mi , koje se nalaze na udaljenosti r, djeluje sila m1 m2 F =G 2 , (1.1) r gdje je G univerzalna konstanta jednaka za sve planete i iznosi 6, 67 1011 N m2 /kg 2 . Tijela dakle po Newtonu mogu djelovati na daljinu, bez materijalnog kontakta medju njima. Utvrdjivanjem strukture atoma postalo je jasno da pored mase postoje i druga temeljna svojstva elementarnih estica. Atom je sastavljen c od jezgre i elektrona. Za jezgru danas znamo da se osim protona sastoji i od neutrona te da su protoni pozitivno nabijeni, a neutroni neutralne estice. c

1.2. SILE U PRIRODI

7

Suprotno od mase gdje postoji samo jedan predznak, postoje dva oblika elektrinog naboja pozitivni i negativni elektrini naboj. c c Coulomb je naao silu izmedju dvaju tokastih naboja. Tokasti naboj s c c q1 djeluje na tokasti naboj q2 silom koja je po modulu jednaka c F =k q1 q2 , r2 (1.2)

gdje je r udaljenost medju nabojima, a k je konstanta koja u SI sustavu iznosi 8.99 109 N m2 /C 2 . Uoimo da je Coulombova sila matematiki ekc c vivalentna gravitacijskoj. Jasno, Coulombova djeluje medju nabojima, a gravitacijska medju masama. Razlika je to su sile medju masama s iskljuivo privlane, dok su sile medju nabojima privlane ili negativne. c c c Pokusima je utvrdjeno da se raznoimeni naboji privlae, a istoimeni c odbijaju. Atomi tako sadre jednak broj elektrona i protona i stoga z su elektiki neutralni prema vani. Ukoliko se atomu otrgne ili doda c jedan ili vie elektrona, atom izgubi neutralnost, a takav atom nazis vamo ionom.

8

CHAPTER 1. UVOD

Chapter 2 Atomi, molekule2.1 Struktura atoma

Atom je najmanji dio kemijskog elementa koji direktno odredjuje njegova svojstva. 1898 J.J. Thomson predlae prvi model atoma u kojem z je atom homogena kugla nainjena od pozitivno nabijene supstancije c u kojoj su umetnuti elektroni. Pretpostavio je neutralnost atoma i da je masa atoma koncentrirana tamo gdje je pozitivan naboj. Trinaest godina nakon pojave Thomsonova modela Rutherford predlae model z atoma u kojem atom ima jezgru u sredinjem dijelu u kojem je skons centrirana veina mase atoma i njen pozitivan naboj. c

2.1.1

Molekule

Molekula je stabilna konguracija dvaju ili vie atoma. Atomi su uns utar molekule povezani kemijskim silama. Molekula je temeljna jedinka niza supstancija. Molekula vode tako izgradjuje vodu i led, a molekula natrijeva klorida tvori kuhinjsku sol. Kemijske formule molekula govore o njihovu sastavu. Formula za molekulu vode H2 O sugerira da je sastavljena od dva atoma vodika i jednog atoma kisika. Sami atomi se unutar molekula dre silama koje jo nazivamo i z s kemijskim vezama. Bez tih sila molekule bi se raspale na sastavne atome. Ove sile nisu fundamentalne poput elektrine ili gravitacic jske sile. Vezanje slikovno prikazujemo na nain da svakom atomu c pridruimo valenciju koja se u strukturnim formulama prikazuje vaz 9

10

CHAPTER 2. ATOMI, MOLEKULE

lentnom crticom. Od valencije atoma ovisi koliko atoma pojedini atom daje u molekuli. Tako je na primjer kisik dvovalentan, a vodik jednovalentan. U kemijskim vezanjima vanu osobinu imaju energija veze i duljina z vezanja. Energija veze molekule najnia je energija potrebna za razdvaz janje molekule na atome. Doseg vezanja je udaljenost medju atomima pri kojem se jo efektivno osjea medjudjelovanje. s c

2.1.2

Kemijske veze

Premda elektriki neutralni, atomi medjudjeluju i stapaju se u c molekule. Razmotrimo neka najosnovnija vezanja: 1) Kovalentna veza nastaje kad se jedan ili vie parova elektrona dijeli s izmedju dvaju atoma. Takvi elektroni dakle cirkuliraju izmedju razliitih atoma i upravo te cirkulacije ostvaruju kovalentnu vezu. Takvo c vezanje ostvaruje se u molekuli vode H2 O. 2) Ionska veza ostvaruje se na nain da jedan ili vie elektrona predju s c s jednog atoma na drugi pri emu od neutralnih atoma nastaju nabijeni, c pozitivni i negativni ioni. Poznati je primjer ovakvog vezanja N aCl. 3) Van der Waalsova sila na manjim udaljenostima demonstrira se kao odbojna, a na veim kao privlana sila medju atomima. c c

2.1.3

Atomska struktura tvrdih tijela

Svi su materijali sastavljeni od atoma i molekula. Tvrda tijela pri tome imaju posebnu vanost u gradjevinarstvu. Ono to u bitnome odredz s juje njihova zikalna svojstva jest da imaju gui razmjetaj atoma od sc s plinova. Kemijske veze izmedju atoma (molekula) u tvrdim tijelima mogu se podijeliti na ionsku, kovalentnu, van der Waalsovu, vodikovu i metalnu. Sva su ova vezanja elektromagnetskoga porijekla, a razlika medju njima postoji prema razliitoj raspodjeli vanjskih elektrona. Prema c poloajima estica dijelimo tvrda tijela na amorfna i kristalna. z c Amorfna tijela su ona tvrda tijela kod kojih nema pravilnog rasporeda estica. Ona imaju raspored estica slian tekuinama. Na c c c c veim udaljenostima poloaji estica ne slijede nikakvu pravilnu strukc z c tutu. Za razliku od tekuina estice u amorfnim tijelima ne udaljavaju c c

2.1. STRUKTURA ATOMA

11

se znatno od svojih poloaja ravnotee. Ipak, oko poloaja ravotee z z z z estice titraju. Takve materijale karakterizira i da nemaju strogo denic ranu temperaturu taljenja. Kristale deniramo kao ona tvrda tijela koja imaju pravilnu periodinu raspodjelu estica u prostoru. Periodinost podrazumjeva da c c c se cijeli kristal moe formirati uzastopnim ponavljanjem jednakih osz novnih elemenata. Taj se osnovni uzorak od kojeg moemo izgraditi z cijeli kristal naziva elementarna elija. Simetriju kristala opisujemo c esto i pojmom kristalne reetke. Toke prostora u kojima su smjetene c s c s atomske jezgre nazivaju se vorovi reetke. c s

2.1.4

Kristalni sustavi

Posebno vane reetke su takozvane Bravaisove reetke. Postoje z s s 14 moguih tipova Bravaisovih reetki, u sedam kristalnih sustava: c s kubini, tetragonalni, rombini, monoklinski, triklinski, romboedarski i c c heksagonalni.

2.1.5

Sile vezanja u tvrdim tijelima

Ionske veze u kristalima i molekulama potpuno su iste. Sile privlaenja c izmedju raznoimenih iona dominiraju nad silama odbijanja izmedju istovrsnih iona. Primjer takvog kristala je N aCl. U kovalentnim kristalima sile koje dre atome nastaju kao rezultat gibanja elektrona izmedju z susjednih atoma. Svaki atom koji sudjeluje u kovalentnoj vezi daje jedan elektron za formiranje veze gdje elektroni postaju zajedniki za c oba atoma koji ih daju. Primjer takvog kristala je dijamant. Od svih jednostavnih supstancija dijamant ima maksimalan broj atoma po jedinici volumena. Kod kristala s van der Waalsovom silom molekule se sastoje od relativno tekih jezgara pozitivnog naboja i elektrona. s Teita elektrona i pozitivnoga naboja ne moraju se podudarati to zs s ostvaruje polarne molekule. One imaju tzv. permanentne dipole pa je medjudjelovanje izmedju molekula uzrokovano privlaenjem elektrinih c c dipola. Van der Waalsove sile su slabije od ionskih i kovalentnih.

12

CHAPTER 2. ATOMI, MOLEKULE

Chapter 3 Elastinost c3.1 Naprezanje

Svako tijelo podvrgnuto djelovanju vanjskih sila mijenja osim poloaja i z oblik. Veliina te promjene ovisi o unutarnjim svojstvima tijela, gdje pri c tome razlikujemo dva ekstremna sluaja: savreno elastina tijela, tj. c s c tijela koja se u cijelosti vraaju u svoj prvotni oblik nakon prestanka c vanjske sile i savreno plastina tijela, koja zadre deformirani oblik s c z i nakon prestanka deformacije. Realna tijela su izmedju ta dva ek c strema. Celino tijelo je blisko savrenoj elastinosti, a plastelin je s c blizu savrenoj plastinosti. Budui da razmatramo tijela koja se daju s c c deformirati neemo upotrebljavati izraz kruta tijela ve vrsta tijela. c c c Pritisak vanjskih sila na povrinu vrstog tijela izaziva poremeaje s c c u tijelu, koji se oituju u promjeni udaljenosti izmedju estica. Kad se c c dva tijela dodiruju, kontaktne sile koje djeluju medju njima u pravilu ne djeluje samo u jednoj toki, nego po itavoj konanoj dodirnoj povrini. c c c s Omjer iznosa sile i povrine na koju sila djeluje nazvat emo naprezanje: s c = F . S (3.1)

3.1.1

Hookov zakon

Cvrsti predmet na ije strane vrimo pritisak u pravilu se pod tim c s djelovanjem deformira. Djelovanje sila i deformacije koje se javljaju 13

14

CHAPTER 3. ELASTICNOST

kao posljedice tog djelovanja u vrstom se tijelu oituju pojavom dec c formacija. Ako je sila mala, relativna deformacija u materijalu je proporcionalna sili, to je karakteristika elastinog ponaanja. s c s Pretpostavimo da se tap s dimenzijama L, H i W nalazi pod djelos vanjem vlanih sila gdje je dimenzija L znatno vea od preostalih. Neka c c se sila ostvaruje u smjeru dimenzije duljine L. Pretpostavljamo i da je promjena u duljini malena u usporedbi s duljinom prije rastezanja. Ta pretpostavka za elik ili drvo je i razumljiva jer ti materijali pucaju kad c je deformacija vea od nekoliko postotaka. Za velik broj materijala, c eksperimenti pokazuju da je sila za male deformacije proporcionalna samoj deformaciji, tj. da vrijedi F L. (3.2)

Samo produljenje L ovisi o duljini tapa. Ukoliko se pod djelovanjem s sile F tap duljine L produlji za L, zvui razumno da bi se pod s c djelovanjem jednake sile tap dvostruke duljine deformirao dvostruko. s Stoga je razumno za pretpostaviti kako je sila proporcionalna relativnoj deformaciji, tj. vrijedi F L . L Vrijedi takodjer i da rastezanje u smjeru djelovanja sile uvijek prati i stezanje u smjerovima okomitim na smjer djelovanja sile. Dakle, pod djelovanjem vlanih sila dimenzije tapa postaju L + L, W + W i c s H+H, pri emu su promjene linearnih dimenzija L, W i H. Kao c relativnu longitudinalnu deformaciju deniramo omjer L/L. Omjere H/H i W/W nazvat emo relativne tranzverzalne deformacije. Za c tranzverzalne kontrakcije vrijede slijedee relacije c H L W = = , W H L (3.3)

gdje je konstanta Poissonov omjer specian za svaki materijal. Kako c je vlana sila u smjeru dimenzije L, omjer L/L u naem je sluaju c s c pozitivan, a omjeri W/W i H/H negativni. Slino transverzalnoj i longitudinalnoj deformaciji moemo denic z rati i deformaciju posmika do koje dolazi pri djelovanju sila paralelno s povrinom tijela. Pripadna deformacija karakterizirana je kutom , s za koji se povrina posmikla. Deformacijom posmika nazivamo tangens s kuta , to je za male kutove jednako kutu . Vrijedi dakle: s

3.2. TORZIJA

15

def ormacija posmika = tan . Omjer promjene naprezanja i odgovarajue deformacije u materijalu c nazivamo elastini modul. Za vlane sile elastini modul se jo naziva c c c s i Youngov model elastinosti i biljei se s E. Prema Hookovom zakonu, c z izmedju sile pritiska F i relativne promjene deformacije, l/L, vrijedi relacija: F l =E . (3.4) S L Slino deniramo i modul posmika ili modul torzije, G, kao omjer c promjene naprezanja i pripadne posmike deformacije: c F = G tan G S Ova denicija jasno vrijedi za male kutove deformacija. (3.5)

M AT ERIJAL aluminij chelik bakar zeljezo

Y OU N GOV M ODEL 7 1010 19 21 10 12 8 10

Table 1 ELASTICNE KONSTANTE CVRSTIH MATERIJALA

3.2

Torzija

Do torzije dolazi na primjer uslijed djelovanja tangencijalne sile na elinu ipku. Uslijed djelovanja tangencijalne sile na jednom kraju c c s ipka se uvija i uzrokuje torziju. Izraunat emo moment sile koji s c c uzrokuje torziju na valjkastu ipku duljine L i polumjera poprenog s c krunog presjeka R. Neka tangencijalna sila djeluje du tankog sloja z z tapa oblika krunog vijenca polumjera r i debljine dr. Pri torziji neka s z se kraj na koji djeluje sila zakrene za r relativno na drugi kraj. Relativna tranzverzalna deformacija iznosi r/L. Neka je dF sila koja uzrokuje posmik. Kako je povrina presjeka 2rdr, prema deniciji s modula torzije dobijemo:

16

CHAPTER 3. ELASTICNOST 2G 2 r = r dr. L L Pripadni moment sile jednak je: dF = G(2rdr) dM = rdF =

(3.6)

2G 3 r dr. (3.7) L Integracijom lako izraunamo ukupni moment tangencijalne sile du cic z jelog poprenog presjeka potreban da se itava ipka posmakne za kut c c s : M= 2G 3 G 4 r dr = R . L 2L (3.8)

Chapter 4 Statika uida4.1 Uvod

Pod pojmom uida podrazumjevamo svaku tvar koja moe tei. Dakle, z c i tekuine i plinovi spadaju u uide. Osnovno je svojstvo uida da mu se c molekule mogu micati jedne prema drugima. Idealni uid podrazumjeva da se molekule slobodno gibaju jedne prema drugima. Fluid u ravnotei, podrazumjeva da svaki mali element volumena uida miruje. z Proizilazi da svaka toka uida u ravnotei mora biti podvrgnuta jedc z nakoj sili. U suprotnom, dijelovi uida u kojima bi djelovala vea sila c ubrzavali bi se naspram ostalih, to nije sluaj u ravnotei. s c z

4.1.1

Hidrostatski tlak

Zanima nas koliki je tlak na odredjenoj dubini h od povrine uida. s Tlak u odredjenoj toki jasno mora biti jednak u svakom smjeru. Proc motrimo element uida u obliku paralelopipeda visine dz i baze S. Oznaimo li s gustou uida, tada je masa danog elementa uida c c Sdz, a teina gSdz. Neka je z os u smjeru sile tee. Promotrimo sile z z koje djeluju na element uida. Jasno, sile se u horizontalnom smjeru ponitavaju. Prema gore na donjoj bazi djeluje sila s P S, a prema dolje na gornjoj bazi sile (P + dP )S 17 i gSdz. (4.2) (4.1)

18

CHAPTER 4. STATIKA FLUIDA

Kako je element na miru, sile se ponitavaju, dakle, s dP = g. dz (4.3)

Relacija omoguuje da izraunamo tlak na nekoj dubini. Integracijom c c dobijemo P2 P1 = g(z2 z1 ). (4.4) Uzmemo li toku 2 na povrini, a toku 1 negdje na dubini h dobijemo c s c P = Pat + gh, (4.5)

to predstavlja izraz za veliinu hidrostatikog tlaka u uidu. s c c . ZADATAK: Napunimo au do vrha s vodom i prekrijemo listom pac s pira. Jednom rukom drimo au, a drugom lagano pritisnimo papir. z c s Preokrenimo au i pustimo papir. On ostaje i dalje priljubljen uz c s otvor ae, a voda ostaje u ai. Taj pokus se objanjava postojanjem c s c s s atmosferskog tlaka. On je uzrok da je voda u ai i nakon okretanja. c s Objasnite rezultat. Papir je bitan jer denira graninu povrinu za usrednjavanje sila c s koje potjeu od djelovanja estica zraka i djelovanja teine estica zraka. c c z c Tako na papir djeluje rezultantna sila: F = (pat + 0 gh)S i ona je usmjerena prema gore. Zato papir ne pada, a voda ostaje u ai. c s . ZADATAK: Ukupna masa balona napunjena helijem iznosi m = 50 kg, a volumen V = 100 m3 . a) Kolika je sila koja die balon s povrine Zemlje ako je gustoa zraka z s c 3 pri povrini 0 = 1.29 kg m ? s b) Kolika je gustoa sloja zraka u kojem e balon lebdjeti? c c a) F = mg 0 gV = 775 N

4.2. POVRSINSKA NAPETOST b) mg gV = 0 = 0.5 kg m3

19

. ZADATAK: U kocki brida L = 1 m s otvorenom gornjom stranicom nalazi se voda. Kolika sila djeluje na pojedine unutranje stranice s kocke? na donjoj povrini: s p = p0 + 0 gh, gdje je 0 atmosferski tlak F = (p0 + 0 gh)S = (p0 + 0 gh)L2 = 1, 1 105 N na bonoj stranici tlak ovisi o visini: c dF = (p0 + 0 g(L x))Ldx F = dF = p0 L2 + gL3 1/2gL3 = 1, 06 105 N

4.24.2.1

Povrinska napetost sOsnovni pojmovi

Cesta je pojava da predmeti tei od vode plutaju na vodenoj povrini. z s Lagani metalni novii, aluminijske ploice plivaju po povrini vode, cc c s iako bi po Arhimedovom zakonu trebale tonuti. Slobodna se povrina s ponaa kao da se na njoj nalazi napeta opna koja spreava da teka s c s tijela propadnu u vodu i potonu. Ta se opna nalazi na samoj povrini s i kad je tijelo jednom probije, nastavi tonuti u skladu s Arhimedovim zakonom. Te pojave nedvosmisleno potvrdjuju da se slobodna povrina s tekuine nalazi u stanju napetosti. Uronimo li kruni prsten u vodu c z i podignemo li ga do povrine vode, teini prstena pridruit e se i sila s z z c kojom ga povrina privlai. Ta je sila i razlog zato je prsten tee izs c s z vaditi iz vode. Objanjenje za te privlane sile nalazimo u privlanim s c c silama kojima molekule u tekuini djeluju na okolne molekule. Unutar c vode na odredjenu molekulu prstena djeluju molekule tekuine u svim c smjerovima. S druge strane na molekule na povrini tekuine djeluju s c samo privlane sile molekula u tekuini. Za razliku od horizontalnih c c

20


komponenti koje se ponitavaju, okomite komponente se zbrajaju, to s s za svaku molekulu na povrini daje rezultantnu silu prema tekuini, s c odgovornu za napetost slobodne povrine. Jasno, pod tom povrinom s s podrazumjevamo granicu izmedju tekuine i plina (zraka). c Silu povrinske napetosti odredimo na slijedei nain. Neka okvir s c c od ice, u kojem je razapet mjehur od sapunice, ima jednu pominu z c stranicu. Tu e stranicu napetost povrine opne nastojati povui prema c s c gore. Ta e sila, f , biti proporcionalna duljini pomine ice l. Ako s c c z oznaimo konstantu proporcionalnosti, vrijedi c f = 2 l. (4.6)

Konstantu nazivamo i koecijentom povrinske napetosti. s Koecijent povrinske napetosti moemo jo denirati i preko s z s pojma povrinske energije. Da bismo raniju icu pomakli za s u s z smjeru suprotnom djelovanju povrinskih sila, moramo utroiti rad: s s W = f s = 2S (4.7)

gdje je S promjena povrine opne od sapunice. Rad koji je potrebno s utroiti da se slobodna povrina tekuine povea za jedinicu iznosi: s s c c = W . 2S (4.8)

Dakle, napetost povrine je posljedica dodatne energije koju ima s povrina tekuine uslijed postojanja medjumolekularnih sila. Kako s c u prirodi sve tei stanju minimalne energije, to i slobodna povrina z s tekuine odredjena volumena nastoji zauzeti im manju povrinu. S c c s tog razloga, kapljice vode zauzimaju oblik kugle, jer kuglu karakterizira da za dani volumen ima najmanje oploje. s

4.2.2

Kapilarnost

Eksperimentalno je potvrdjeno da je razina nekih tekuina na stijenki c posude nia nego sredina posude (kod ive recimo), a kod drugih je ta z z razina via (kod vode na primjer). Ove razlike dolaze uslijed djelovanja s sila koje vladaju izmedju molekula stijenke posude i tekuine, tzv. sila c

4.2. POVRSINSKA NAPETOST

21

adhezije. Oblik povrine odredjen je hidrostatskim zakonima po kos jima slobodna povrina zauzima oblik povrine okomit na rezultantu s s djelovanja svih sila. Uronimo li tanku cijev u tekuinu, tekuina e se u cijevi podii ili c c c c spustiti. Uroni li se cijev u ivu, razina se spusti; uroni li se voda, razina z u tekuini se podigne. Ta dva sluaja nazivamo kapilarna depresija i c c kapilarna elevacija. Kapilarnost objanjavamo napetou povrine. Kapilarni stupac s sc s vode visine h dran je napetou povrine koja djeluje du granine z sc s z c linije izmedju vode i zraka duljine 2r. Kako smo ranije denirali koecijent kao silu na jedinicu duljine, ukupna sila koja djeluje na stupac du opsega kruga iznosi: z F = 2r. (4.9) Ta je sila u ravnotei s teinom stupca tekuine, pa vrijedi z z c 2r cos = r 2 hg, (4.10)

gdje je gustoa vode, g akceleracija sile tee, a je granini kut. Iz ove c z c jednadbe, mjerenjem kuta , lako izraunamo koecijent povrinske z c s napetosti rhg . (4.11) = 2 cos

22


Chapter 5 Titranje5.1 Harmonijsko titranje

Kad se tijelo nasumino giba gore-dolje, lijevo-desno, oko nekog c poloaja ravnotee kaemo da titra ili oscilira. Poseban oblik titranja je z z z harmonijsko titranje, opisano zakonom sinusa. Jednostavan oblik harmonijskog gibanja je gibanje njihala, koje u praksi dobijemo kad teki s objekt objesimo o nit i zatitramo. Harmonijsko gibanje se ne pojavljuje samo kao mehaniko gibanje. Osim titranja ice na gitari ili titranja c z plohe na bubnju, harmonijski titraju i atomi u reetki vrstog tijela kao s c i elektrino i magnetsko polje kod svjetlosnih valova. c Najprije denirajmo osnovne pojmove koje koristimo u procesima titranja. Titranje karakterizira odmak od poloaja ravnotee koji se z z naziva elongacija. Najvea elongacija naziva se amplituda titranja. Ako c je titranje periodino, tj. ponavlja se u pravilnim razmacima, onda vric jeme jedne oscilacije nazivamo period. Broj oscilacija u jednoj sekundi zove se frekvencija titranja. Oznaimo li period s T , a uestalost s , c c tada je oito c 1 = . (5.1) T

5.1.1

Elastina sila c

Harmonijsko gibanje je ubrzano gibanje jer se i smjer i iznos brzine stalno mjenjaju. Kako brzina nije konstantna, oita je prisutnost neke c 23

24

CHAPTER 5. TITRANJE

sile koja izvodi harmonijske oscilacije. Razmotrimo svojstvo te sile. Ako pomaknemo tijelo koje izvodi titanje u desno (prema pozitivnim vrijednostima elongacije x) i otpustimo iz stanja mirovanja, tijelo e c ubrzavati u lijevo. Dakle, ubrzanje, a samim time i sila, postoji u lijevo. Da smo tijelo povukli u lijevo (s negativnom elongacijom) i otpustili iz stanja mirovanja, ubrzanje i sila djelovali bi u desno. Dakle, sila i pomak od ravnotee su sa suprotnim predznacima. Tonija analiza bi z c pokazala da sila ima oblik: F = kx, (5.2)

gdje je k pozitivna konstanta koja ima dimenziju sile po jedininoj c duljini. Takva se sila zove elastina sila. Upravo takve sile izazivaju c harmonijske oscilacije.

5.1.2

Jednadba harmonijskog titranja z

Pokaimo da je elastina sila odgovorna za harmonijsko titranje. Neka z c tijelo mase m zbog jednostavnosti titra samo u smjeru osi x. Titranje je specini oblik gibanja, pa prema tome vrijedi 2. Newtonov zakon. c Dakle, d2 x F = kx = ma = m 2 , (5.3) dt ili d2 x 2 + 0 x = 0. (5.4) dt2k 2 Pri tome smo uveli novu konstantu, krunu frekvenciju 0 = m . Dakle, z rjeenje jednadbe mora biti funkcija vremena koja je proporcionalna s z svojoj drugoj derivaciji sa suprotnim predznakom. Takvo svojstvo zadovoljava sinusna funkcija

x = A sin(0 t + 0 ), gdje je A amplituda titranja, a 0 je poetna faza. c Ta funkcija opisuje periodiko gibanje za iji period dobijemo c c T = 2,

(5.5)

(5.6)

5.2. PRIGUSENO TITRANJE odnosno

25

m . (5.7) k Svako tijelo koje titra po gornjem zakonu zove se harmonijski oscilator. Vidimo da jednadba gibanja ne odredjuje amplitudu gibanja A z koja je odredjena poetnim uvjetima (kako razvuemo tijelo iz poloaja c c z ravnotee). Vidimo i da period titranja ne ovisi o poetnim uvjetima z c (A i 0 ) dok je sila koja izvodi titranje elastina. c T = 2

5.2

Prigueno titranje s

Do sada smo titranje promatrali u idealnim uvjetima, tj. kada nema nikakvih vanjskih sila. U praksi su vanjske sile uvijek prisutne. Pomaknemo li njihalo iz poloaja ravnotee, titranje se nee izvoditi z z c beskonano dugo. Ono to bismo primjetili je da bi s vremenom titranje c s bilo karakterizirano sa sve manjom i manjom amplitudom. Na kraju bi titranje i potpuno zamrlo. Titranje kod kojeg amplituda titranja postupno opada zove se prigueno titranje. Sila koja izaziva takvo titranje s matematiki se uvodi preko lana ft koji ovisi proporcionalno o brzini c c gibanja v i djeluje u suprotnom smjeru od brzine: gdje je r konstanta. Sila takva svojstva odgovorna je i to padobranac s u zadnjoj fazi neposredno prije udara o povrinu Zemlje pada s kons stantnom brzinom. Bez te sile brzina padobranca konstantno bi rasla uslijed djelovanja sile tee. Uvedemo li silu guenja u jednadbu gibanja z s z dobivamo: d2 x dx m 2 +r + kx = 0. (5.9) dt dt Ne ulazei u matematike detalje c c posebno je zanimljivo rjeenje koje s vrijedi za maleno priguenje (r < 4km). U tom sluaju tijelo titra s s c poneto poveanim periodom, pri emu se amplituda neprestano smans c c juje po eksponencijalnom zakonu: x(t) = Aeat sin(t + ), gdje je a = r/(2m), = titranja 0 = k/m. (5.10)2 0 a2 , a 0 frekvencija nepriguenog s

ft = rv,

(5.8)

26

CHAPTER 5. TITRANJE

5.3

Prisilno titranje: rezonancije

Sada emo promatrati prisilno harmonijsko titranje, tj. titranje kod c kojega osim elastine sile postoji i neka vanjska sila. Primjenjeno u c praksi, svaki most titra nekom svojom vlastitom frekvencijom. Takve oscilacije most izvodi ako recimo neki kamion predje preko mosta i tako svojom teinom izbaci most iz poloaja ravnotee. Druga situacija z z z nastupa ako na most konstantno djeluje vjetar ija sila recimo pue s c s konstantnim periodom. Pretpostavimo da sila F (t) ima proizvoljnu ovisnost o vremenu. Jednadbu takvog titranja moemo prikazati kao: z z m d2 x + kx = F (t). dt2 (5.11)

Posebno je jednostavna situacija ako sila ima oscilatorni karakter, tj. mijenja se po zakonu sinusa: F (t) = F0 cos(t), (5.12)

gdje je kruna frekvencija openito razliita od prirodne frekvencije z c c 0 . Pretpostavimo li da rijeenje jednadbe ima istu silu kao vanjska s z sila: x(t) = A cos(t), (5.13) nakon uvrtenja u jednadbu dobijemo s z2 m 2 A cos(t) = m0 A cos(t) + F0 cos(t).

(5.14)

Jednadba je identiki zadovoljena, ako je vrijednost konstante A: z c A=2 m(0

F0 . 2)

(5.15)

Dakle, pod utjecajem vanjske sile oscilator titra istom frekvencijom kojom se mijenja i vanjska sila. Posebno je zanimljiva situacija kad je vlastita kruna frekvencija priblino jednaka krunoj frekvenciji sile z z z F (t). Za 0 amplituda postaje beskonana i ta se pojava zove rezoc nancija. U graditeljstvu se mora paziti da prirodna kruna frekvencija z 0 ne bude bliska krunim frekvencijama lokalnih vjetrova. z

5.3. PRISILNO TITRANJE: REZONANCIJE

27

U praksi se beskonane amplitude jasno ne dogadjaju. One se c matematiki izbjegavaju ako se u jednadbu gibanja uvede i sila trenja. c z Tada u sluaju rezonancije amplituda postaje velika, ali konana vric c jednost.

28

CHAPTER 5. TITRANJE

Chapter 6 Valovi6.1 Sirenje valova u prostoru

Valovi su jedna od najrairenijih pojava u prirodi. Ponekad je valna s priroda pojave oita, kao u sluaju gibanja valova na povrini vode. c c s Katkada je priroda valne prirode pojave manje oita, kao primjerice u c sluaju zvuka ili svjetlosti. c Osnovno je svojstvo vala da se iri u prostoru. Sirenje vala nije s identino s gibanjem estica u mediju po kojem se val iri. Naime, c c s kod vala se estice materije vrlo malo pomiu od svojih ravnotenih c c z poloaja. Ako se kod vala estice bitno ne gibaju, a to se to onda z c s giba? Da bismo odgovorili na to pitanje razmotrimo sluaj biljarskih c kuglica. Poredajmo ih desetak u nizu i zatim udarimo krajnju elno s c novom kuglicom. Iz iskustva znamo da e se brzo po udarcu kuglica c na drugom kraju odvojiti s brzinom kojom je upadna kuglica udarila eonu. Kuglice u nizu su pri tome u principu mirovale. Neto se ipak pri c s tim srazovima irilo. Kaemo da se u sustavu kuglica irio poremeaj. s z s c Poremeaj to se nekim sredstvom iri u stalnim vremenskim c s s razmacima nazivamo valom. Pri tome poremeaj ne mora biti c pravilan kao to i nije u sluaju irenja valova na povrini vode. s c s s Razmotrimo sada mehanizam irenja valova uporabom vrlo jeds nostavnog modela. U mediju u kojem se iri val, molekule s su povezane odredjenim vezanim silama. Zamiljamo te sile s kao elastine opruge. Pomaknemo li pri tome jednu jedinu c 29

30

CHAPTER 6. VALOVI

molekulu iz poloaja ravnotee, tada se opruge koje povezuju z z susjedne molekule stegnu ili rastegnu. Taj poremeaj prenosi c se dalje na okolne molekule i na taj nain poremeaj se iri po c c s mediju. Tako objanjavamo irenje valova. s s Veimo icu na jednom kraju, a drugi kraj zamahnimo. z z Primjeujemo kako se poremeaj iri od jednog kraja prema drugom, c c s pri emu estice titraju okomito na smjer irenja poremeaja. Takvu c c s c valnu pojavu zovemo tranzverzalnim valom. Postoji i drugi nain prenoenja poremeaja. Ispunimo cijev nekim c s c plinom na primjer. Neka je cijev s jedne strane zatvorena, a neka je na drugoj strani pomini klip. Pomaknemo li klip, poremeaj e se c c c poeti iriti du plina. Pritiskivanjem plina u smjeru cijevi molekule c s z najblie klipu pomiu se dublje prema unutranjosti cijevi. Elastinim z c s c silama molekule se pri tome odguruju. Kod ovakvih pojava poremeaj c se prostire u smjeru pomicanja estica. Takvi poremeaji kod kojih se c c smjer irenja poremeaja nalazi na pravcu pomicanja estica zovu se s c c longitudinalni poremeaji. c

6.2

Brzina irenja tranzverzalnog vala s

Razmotrimo elastino ue linearne gustoe koje je podvrgnuto c z c napetosti N . U trenutku t = 0 udarimo lijevi kraj ueta tako da se z pone gibati brzinom v. Nakon vremena t poremeaj se proirio brzic c s nom u do toke P na uetu. Zadatak nam je odrediti brzinu irenja c z s vala u. Primjenom klasine mehanike moemo odrediti tranzverzalnu c z promjenu impulsa. Kako je tranzverzalna komponenta sile N sin , a za male kutove vrijedi sin tan = v vt = . ut u (6.1)

Dakle, tranzverzalna promjena impulsa iznosi v N sin()t = N t. u (6.2)

Promjena impulsa u tranzverzalnom smjeru jednaka je produktu mase koja se pokrenula i brzine koju smo dali uetu u tranzverzalnom z

6.3. VALOVI

31

smjeru. Masa koja se tranzverzalno pomakla u vremenu t iznosi ut. Prema tome, promjena impulsa mora biti jednaka (ut)v. Dakle, konano dobijemo c v N t = (ut)v u odnosno, u= N . (6.5) (6.4) (6.3)

Time smo dobili da brzina irenja tranzverzalnih poremeaja ne s c ovisi o tranzverzalnoj brzini kojom smo pomakli estice. c U sluaju longitudinalnih valova koji se iri na primjer vrstom c s c tvari, tapom izradjenim od materijala gustoe i Youngovog modula s c elatinosti E, za brzinu longitudinalnih poremeaja dobijemo c c u= E . (6.6)

PRIMJER: cna ica mase 70 g duga 7m napeta je silom iznosa 100N . Kolika Celi z je brzina irenja tranzverzalnog vala u ici? s z u = N = 100m/s.

6.3

Valovi

Periodiki poremaaji u sredstvu koji se pojavljuju u pravilnim razc c macima zovu se valovi. Razlikujemo longitudinalne i tranzverzalne valove. Primjer tranzverzalnih valova su valovi na uetu i svjetlosni z valovi. Zvuk je primjer longitudinalnih valova. Promotrimo valove sinusoidalnog oblika, dakle kad svaka estica titra harmonijski po sic nusnoj vremenskoj funkciji. Valovi se ponavljaju u pravilnim vremenskim intervalima T s frekvencijom = 1/T . Udaljenost izmedju dva uzastopna maksimuma ili minimuma nazivamo valnom duljinom . U

32

CHAPTER 6. VALOVI

vremenskom intervalu T val se proiri za put , pri emu je brzina dana s c relacijom (6.7) u= , T i ona vrijedi za svako valno gibanje.

6.4

Energija valova

c Sirei se val nosi energiju. Sjetimo se samo kakvu razornu snagu imaju valovi pobjenjelog mora. Proraunajmo stoga koliku energiju nose s c valovi u irenju. Znamo iz teorije o titranju da svaka estica kojom s c titra harmoniki val mjenja poloaj naspram ravnotee po zakonu: c z z x = A sin(t), pri emu se brzina mjenja po zakonu c v = x = A cos(t). (6.9) (6.8)

U trenutku maksimalne brzine, sva je energija skoncentrirana u kinetikoj energiji, pa vrijedi: c2 mvmaks (A)2 m E= = . 2 2

(6.10)

Ovaj izraz koji vrijedi za materijalnu toku mase m proirimo na c s tap mase m i duine L kojime se iri val. Energija vala po jedinici s z s duljine iznosi: E = 2 2 2 A2 , (6.11) L gdje smo koristili relaciju izmedju frekvencije i krune brzine = 2. z

6.4.1

Valna jednadba z

Promotrimo sinusoidalni val koji se giba u smjeru osi x u beskonanom c sredstvu. Pomak estice obiljeimo s y. Kako se val iri, u svakom c z s trenutku pomak y ovisi o poloaju x i vremenu t. Kako bi predoili z c

6.4. ENERGIJA VALOVA

33

na primjer tranzverzalno irenje, neka u proizvoljnom trenutku, recimo s t = 0, pomak estice moemo predoiti harmonijskom funkcijom: c z c y = A cos 2x . (6.12)

Kakvo je znaenje ovog izraza. Slikamo li recimo povrinu mora c s kojim se iri val, pomak se mjenja od toke do toke, odnosno kako s c c se mijenja koordinata x. Slino i svaka estica na ksnom poloaju c c z x izvodi u vremenu harmonijsko titranje. U proizvoljnoj toki x, recc imo x = 0, tranzverzalni pomak je dan izrazom slinim gornjem, ali s c varijabilnim vremenom: 2t . (6.13) T Pomak y dakle ovisi o dvije koordinate, poloaju du osi x i vremenu z z t. Openito, funkcija pomaka za proizvoljan x i t mora se svoditi na c gornja dva izraza. Takva je funkcija: y = A cos t x ), (6.14) T u to se je lako uvjeriti ako postavimo x = 0 ili t = 0. s Gornji izraz pokazuje kako se val giba. Izraz lako preinaimo u c y = A cos 2( y = A cos 2 (x ut), (6.15)

gdje smo s u = /T oznaili brzinu irenja vala. Sirenje vala moemo c s z pratiti preko promatranja recimo gibanja krijeste vala, odnosno maksimuma vala na vodi. Maksimum vala deniran je nekom fazom, pa se gibanje maksimuma svodi na promatranje gibanja faze koja odredjuje maksimum vala: 2 (x ut) = const, to je ekvivalentno promatranju s (x ut) = const. (6.16)

(6.17)

34

CHAPTER 6. VALOVI

Vidimo da se maksimum, ali i bilo koja ksna faza, gibaju konstantnom brzinom u, gdje je u brzina irenja vala. s PRIMJER: Transverzalni sinusoidalni val amplitude A = 10cm i valne duljine = 500cm kree se slijeva nadesno brzinom od 500 cm/s du dugake c z c vodoravne napete ice. U asu t = 0 lijevi se kraj ice nalazi u ishoditu z c z s koordinatnog poetka i giba u smjeru prema dolje. c a) Kolika je frekvencija vala? = u/ = 500cm/s/500cm = 1s1 . b) Nadji jednadbu koja opisuje gibanje vala! z y = A sin 2/(x ut) = 10 sin 2/500(x 500t). c) Kolika je maksimalna tranzverzalna brzina proizvoljne toke na c ici? z v = 20 cos 2/500(x 500t). Iz ega slijedi vmax = 20. c

6.5

Zvuk

Povezanost izmedju osjeta zvuka i titranja ice i membrane uoili su z c jo stari Grci. Oni su ustanovili da ica proizvodi vii ton ako bre s z s z titra. Grci su uoili i da se titranje ica dalje prenosi na zrak i dalje na c z nae uho. Uoimo mehanizam stvaranja zvuka. Kad akom udaramo s c s po napetoj membrani bubnja, membrana se periodiki udubljuje i isc pupuje. To izaziva da se i zrak ispod membrane zgunjuje i razrjedjuje, c s a te se deformacije zraka dalje prenose do naega uha. Vanjska titranja s pobudjuju u naem uhu titranja one frekvencije kojom titra i vanjski s izvor. Svaka sluna nit u uhu je u biti rezonator, koji zatitra odreds jenom frekvencijom. Titranje zraka oituje se dakle kao zvuk. To je titranje longitudic nalne prirode, jer se zgunjavanja i razrjedjivanja odvijaju u smjeru s irenja zvuka. Titranje zraka, odnosno razrjedjivanje i zgunjavanje s s prenosi se zrakom uslijed elastinosti zraka. Longitudinalna titranja c

6.5. ZVUK

35

ostvaruju se i u tekuinama i vrstim tijelima. Mehaniko longituc c c dinalno titranje sredstva s frekvencijom izmedju priblino, 20 Hz i z 20, 000 Hz nazivamo zvuk. Frekvencije vee od 20, 000 Hz nazivamo c ultrazvuk.

36

CHAPTER 6. VALOVI

Chapter 7 Prijenosne pojaveRazmatrajui termodinamike sustave, zakljuili smo da termodic c c namika ravnotea podrazumjeva konstantnost temperature. Zamisc z limo tijelo kojem je temperatura na jednom kraju vea nego na drugom. c Molekule se gibaju na nain da se toplinska energija prenosi s podruja c c vie temparature u podruje nie temperature dok se temperature ne s c z izjednae. c U sutini jednaka se pojava dogadja i ako postoje podruja ne s c razliitih temperatura ve razliitih koncentracija. Sve te procese c c c obuhvaamo u jednu skupinu i nazivamo ih prijenosnim pojavama. c Takve se pojave opisuju jednadbom: z Jx = L , x (7.1)

gdje je Jx gustoa struje u smjeru x osi, L koecijent prijenosa, a c poopeni potencijal. c Izraunajmo kako termiko gibanje molekula prenosi u plinu neku c c veliinu koja je funkcija koordinate x. Promatrajmo tok veliine c c kroz plohu jedinine povrine postavljene okomito na os x. Pretc s postavimo da se sve molekule gibaju jednakom brzinom < v >. Kako su osi x, y i z ravnopravne ukljuujui pozitivni i negativni smjer to c c znai da u svakom smjeru giba n/6 molekula. Broj estica koje u jedc c noj sekundi prolaze kroz jedininu plohu dobiva se mnoenjem koncenc z tracije i brzine. Stoga je broj molekula koje u sekundi prostruje kroz 37

38 promatranu plohu:

CHAPTER 7. PRIJENOSNE POJAVE

n . (7.2) 6 Pretpostavimo da molekule doivljavaju sudare na plohama razz maknutim za l, predajui veliinu G. Molekule koje nalaze s lijeva nose c c veliinu G(x l), s desne nose veliinu G(x + l), gdje je l srednji sloc c bodni put molekule. Ukupna gustoa struje je jednaka razlici gustoa c c s lijeve i desne strane (suprotnih su smjerova). n = J = J1 J2 = nl < v > dG n [G(x l) G(x + l)] = (7.3) 6 3 dx

gdje smo koristili razvoj G(x l) = G(x) ldG/dx. Struja veliine c G proporcionalna je prostornoj promjeni te veliine. Ona je proc porcionalna koncentraciji, srednjoj brzini i srednjem slobodnom putu. Primjenimo gornji izraz za difuziju i toplinsku vodljivost.

7.1

Toplinska vodljivost

Iz termodinamike znamo da je toplina preneena termika energija. s c Toplina se moe prenositi recimo stavljanjem u kontakt dvaju tijela na z razliitim temperaturama. Iz eksperimenata dobivamo da tok topline c ide u smjeru opadanja temperature, od toplijeg prema hladnijem tijelu. Uvrtavajui u relaciju (7.3) s c G =< E(x) > (7.4)

gdje je < E(x) > srednja termika energija molekula u okolici toke x, c c preko transformacije d < E > dT d = dx dT dx l < v > dn < E > dT . 3 dT dx Kako n < E > predstavlja gustou energije c J = U = n < E >, lako se dobije (7.5)

(7.6)

(7.7)

7.2. DIFUZIJA

39

a iz termodinamike znamo da je njena derivacija jednaka toplinskom kapacitetu dU (7.8) CV = dT lako relaciju 38 transformiramo u j = dT , dx (7.9)

gdje je koecijent toplinske vodljivosti. = l < v > CV . 3 (7.10)

Toplinska struja proporcionalna je prostornoj promjeni temperature, pri emu negativni predznak oznaava da struja ide od vie prema c c s nioj temperaturi, dakle u smjeru sniavanja temperature. z z

7.2

Difuzija

Neka u smjesi plina, u kojoj su tlak i temperatura svugdje jednaki, koncentracija pojedinih komponenata ovisi o koordinatama. Kao posljedica termikog gibanja molekula poetna razlika u koncentracijama s vrec c menom e se smanjivati prema stanju u kojem koncentracija ne ovisi o c poloaju. Ta se pojava zove difuzija. z Zbog jednostavnosti promotrimo plin koji sadri samo dvije vrste z molekula. Njihove koncentracije obiljeimo s n1 i n2 . Promotrimo z sluaj kada se parcijalne koncentracije mijenjaju samo u smjeru osi x c a zbroj im je konstantan: n = n1 (x) + n2 (x) = const 1 G1 = dobijemo (7.11)

Lako za gustou struje koja prenosi relativnu koncentraciju molekule c n1 , n (7.12)

l < v > dn1 dn1 = D , 3 dx dx gdje smo s D oznaili koecijent difuzije. c J1 =

(7.13)

40

CHAPTER 7. PRIJENOSNE POJAVE

Chapter 8 Toplina8.1 Uvod

U mehanici koja recimo opisuje gibanje kamena u polju sile tee, kaemo z z da nam je poznat sustav razmatranja ako u svakom trenutku poznamo poloaj i brzinu kamena. U sluaju plina sastavljenog od ogromnog z c broja mikroskopskih estica (> 1020 ) molekula takav pristup bio c bi besmislen, jer nas poloaji i brzine svih molekula u svakom trenutku z jednostavno ne zanimaju. Stoga se u opisu plina i openito u termodic namikim razmatranjima osobine plina razmatraju nizom veliina (red c c veliine desetak) kao to su volumen V , tlak P , temperatura T , unc s utranja energija U , entropija S, itd. Nazivamo ih veliinama stanja, s c a dijelimo ih na intenzivne i ekstenzivne. Ekstenzivne veliine su na c primjer unutranja energija i volumen, a karakteriziraju ih postojanje s linearnosti izmedju koliine materije i iznosa te veliine. Ukoliko dvac c put poveamo koliinu materije, za toliko se povea i odgovarajua ekc c c c stenzivna veliina. Suprotno ekstenzivnim veliinama, kod intenzivnih c c veliina iznos ne ovisi o koliini materije. Ako u posudu s litrom vode c c na temperaturi T dodamo jo jednu litru iste temperature, ukupna s temperatura se ne mijenja, dakle ostaje T . 41

42

CHAPTER 8. TOPLINA

8.2

Temperatura

Cesto dodirom tijela ispitujemo je li neko tijelo hladnije ili toplije od drugog tijela. Temperatura je zikalna veliina koja karakterc izira stupanj zagrijanosti nekog tijela. Eksperimentalna je injenica c da dovedemo li dva tijela u kontakt, estice s veom kinetikom energic c c jom u sudarima predaju energiju onim esticama s manjom energijom. c Proces prelaenja energije odvija se dok im se temperature ne izjednae. z c To novo krajnje stanje zovemo stanjem toplinske ravnotee. z U zici se temperatura mjeri u kelvinima, temperatura od 0 K zove se apsolutna nula i odgovara Celsiusovoj temperaturi od -273.15 C. Treba naglasiti da je temperaturni interval u kelvinima jednak intervalu u Celsiusima.

8.3

Koecijent linearnog rastezanja

Veinu tijela krakterizira da se prilikom zagrijavanja rasteu. Eksperc z imentom je pokazano da se prilikom zagrijavanja duina tijela mijenja z po slijedeem zakonu c l = l0 (1 + ), (8.1)

gdje je l0 duljina tijela pri 0C, l je duljina pri temperaturi , je koecijent linearnog rastezanja tijela. Premda se i sam koecijent mijenja s temperaturom, u praksi se uzima konstantnim. Slina zakonitost vric jedi i u sluaju volumnog irenja c s V = V0 (1 + ), (8.2)

pri emu nazivamo volumnim koecijentom rastezanja. Priblino c z vrijedi slijedea veza c = 3. (8.3)

Uoimo da se u gornjim zakonima temperatura mjeri u Celsiusima, a c ne u Kelvinima, ali to je specinost gornjih formula. c

8.3. KOEFICIJENT LINEARNOG RASTEZANJA

43

8.3.1

Jednadba stanja z

Kao to je ranije reeno, stanje sustava u termodinamikoj ravnotei s c c z odredjeno je nizom termodinamikih parametera (temperatura, c tlak,...). Te parametre ne moemo smatrati neovisnima. Vezu izmedju z volumena, tlaka i temperature nazivamo jednadbom stanja. Pri z prouavanju plinova posluit emo se modelom idealnih plinova jer u c z c tom modelu medjumolekularne sile moemo zanemariti pa se molekule z smaraju slobodnim esticama. Veina se idealnih plinova moe dobro c c z aproksimirati ovim modelom pri normalnim tlakovima i temperaturama. Kao i u mehanici koja opisuje makroskopske estice, i u plinovima c tlak deniramo kao odnos komponente sile okomite na povrinu i same s povrine s F P = . (8.4) S SI jedinica za tlak je Pascal, pri emu je 1P a = N/M 2 . c Jednadba stanja plina je funkcijska veza izmedju temperature, z tlaka, volumena i mase plina. Poznajemo li tri od njih, etvrta se c odredi kao funkcija ostalih. Takva jednadba je oblika z PV = nR, T (8.5)

gdje je R univerzalna plinska konstanta, R = 8.31J/(molK), a n oznaava koliinu materije izraenu u molovima, gdje jedan mol sadri c c z z Avogardov broj molekula (NA = 6, 022 1023 mol1 ). Kako je Avogardova konstanta povezana s Boltzmnnovom konstantom k preko relacije k = R/NA , jednadbu stanja plina moemo prikazati i kao z z PV = N k, T (8.6)

gdje N oznaava broj estica u plinu. Uoimo da vrijedi n = N/NA = c c c m/M , shodno deniciji broja molova n pri kojoj 2 mola podrazumjeva da je broj molekula N = 2NA . M je molarna masa (masa Avogardovog broja molekula).

44

CHAPTER 8. TOPLINA

8.4

Toplina i rad

Iz svakodnevnog iskustva znamo da se kod pojava gdje se pri mehanikom gibanju troi kinetika energija pojavljuje toplina. U to c s c se lako uvjerimo u pokusima pri trljanju ruke o ruku ili recimo trenjem drveta o drvo. Eksperimentalna je injenica da je za dobivanje odredjene koliine c c topline potrebno uvijek izvriti isti rad, i to tako da je omjer izvenog s s rada i nastale topline stalan. Drugim rijeima, rad se pretvara u toplinu, c i to u stalnom omjeru, a taj se omjer zove mehaniki ekvivalent topline c I. Stvorena koliina topline Q vezana je uz utroeni mehaniki rad W c s c relacijom W = IQ. U procesima gdje se zagrijavaju tijela dolazi u pravilu do izmjene topline, a pri tome se razvijaju i sile koje mogu izvriti i stanoviti s rad. Takodjer znamo da izmedju topline i mehanikog rada postoje c odredjene relacije. Kombinacija tih spoznaja ini zakon o sauvanju c c energije, poznat pod imenom prvi zakon termodinamike. Danas znamo da su toplina i mehaniki rad samo razliiti oblici c c energije. Prvi zakon termodinamike podrazumjeva da se u procesima jedan oblik energije transformira u drugi, ali tako da ukupna energija ostaje konstantna. Zakon o sauvanju energije upoznali smo u c mehanici, gdje je zbroj kinetike i potencijalne energije bio konstantan. c Dodajui izmjenu topline radu, proirili smo zakon o sauvanju energije c s c i primjenili ga na temodinamike procese. c Zakon o sauvanju energije moemo formulirati i ovako: c z Kada kod nekog procesa nastane odredjena koliina energije c jednog tipa, to je uvijek praeno nestankom ekvivalentne c koliine energije drugog tipa. Pri tome je zbroj svih oblika c energije u zatvorenom sustavu konstantan. U ravnotenom stanju sustav se sastoji od odredjene koliine tvari z c unutar nekog izoliranog sustava. U ravnotei je u cijelom sustavu jedz naka temperatura i tlak. Pod termodinamikim procesom podrazumjec vamo prijelaz iz jednog termodinamikog stanja u drugo. Posebno su u c praksi vani kruni procesi, jer se u njima sustav vraa u poetno stanje. z z c c Pri tome razlikujemo povratne (reverzibilne) i nepovratne (ireverzibilne) procese. Proces je povratan ako sustav cijelo vrijeme prolazi

8.5. PRVI ZAKON TERMODINAMIKE

45

kroz niz ravnotenih stanja. Tada se proces moe odvijati i u suprotz z nom smjeru, vraajui se kroz ista ravnotena stanja u poetno stanje. c c z c Stvarni procesi su manje vie nepovratni, odnosno samo su priblino s z povratni. Dovodjenjem topline tijelu u pravilu se povisi temperatura. Temperatura se denira kao mjera kinetike energije molekula u plinu. c Dakle, via temperatura podrazumjeva bre molekule. U svakom ters z modinamikom sustavu mogui su slijedei oblici energije: c c c 1. kinetika energija mehanikog gibanja sustava kao cjeline, Ek c c 2. potencijalna energija sustava u vanjskom (npr, gravitacijskom) polju, Ep 3. unutranja energija, U . Ona je suma kinetike energije kaotinog s c c gibanja estica tog sustava i potencijalne energije medjudjelovanja c estica. c Mi emo promatrati plinove (tijela) nepomine u odnosu na druge c c plinove (tijela), pri emu je iskljueno i medjudjelovanje. Na taj nain c c c ukupna energija postaje jednaka unutranjoj energiji, U . Dakle, ako s imamo 2 plina (sustava), estice izmedju razliitih plinova ne medjudc c jeluju, ali je dozvoljeno da medjudjeluju estice unutar istog plina. c

8.5

Prvi zakon termodinamike

Pri prijenosu energije u procesu rada jedno tijelo djeluje silom na drugo, pomie ga i pri tome prenosi i energiju, gdje koliinu energije koju preda c c mjerimo radom. U prijenosu topline, energija se prenosi na mikroskopskom nivou sudarima estica. c Promatranjem lonca na tednjaku primjeujemo da dodavanjem s c topline vodi u loncu dio topline se utroi na zagrijavanje vode u loncu (a s time i poveanje njene unutranje energije), a dio se utroi na izvren c s s s rad, to primjeujemo kroz titranje poklopca. Matematiki gledano, s c c kada sustavu dovodimo malu koliinu topline Q, tada se dio moe c z utroiti na poveanje unutranje energije U , a dio se pretvara u mali s c s izvreni rad W koji sustav predaje okolici. Primjetimo da se mali s putovi u zici obiljeavaju s s, a slina simbolika vrijedi i za male z c radove, unutranje energije,... Iz zakona o sauvanju energije slijedi s c Q = U + W, (8.7)

46

CHAPTER 8. TOPLINA

jer se u procesu u izoliranom sustavu samo jedan oblik energije transformira u drugi, ili se zbroj vie oblika energije transformira u zbroj s vie drugih oblika energije, kao u gornjem sluaju (jedan u dva). s c Lako je pokazati da se mali rad plina izraava i na slijedei nain z c c W = P V, (8.8)

gdje je P tlak, a V promjena volumena plina. Rad je pozitivan ako plin vri rad (pri ekspanziji ili poveanju volumena), a negativan ako s c se nad njim vri rad (pri kompresiji). s Najznaajniji termodinamiki procesi su: izobarni koji se odvija pri c c konstantnom tlaku, izohorni koji se odvija pri konstantnom volumenu, i izotermni kod kojeg je konstantna temperatura. Vaan je i adijabatski z proces kod kojeg nema izmjene topline, Q = 0.

8.6

Carnotov proces

Po prvom zakonu termodinamike toplina je energija i moe se pretvoriti z u rad. Ako neko tijelo pustimo s trenjem padati u vodu, voda se zagrije. Rad to ga je tijelo izvrilo, jednak je razvijenoj toplini. Ipak, iskustvo s s nas ui da se voda nee ohladiti i podii tijelo u vis. Dakle, proces u c c c suprotnom smjeru nije uvijek mogu, to bi bilo mogue prema prvom c s c zakonu termodinamike. Oito postoje neka ogranienja koja brane da c c se proces odvija u bilo kojem smjeru makar je prvi zakon ispunjen. Da se vidjeti da drugi zakon termodinamike daje ogranienja za odvijanje c procesa u prirodi. Carnot je razmatrao kruni proces pri kojem plin izvri rad i vrati z s se u poetno stanje. Kruni proces izgradio je od dva izotermna i c z dva adijabatska procesa. Izotermni procesi odvijaju se dok je tijelo u kontaktu s toplijim ili hladnijim spremnikom. U svakom trenutku stanje plina denirano je s dvije varijable: tlakom i volumenom. Rad to ga plin izvri kad se volumen promijeni od V1 do V2 jednak je: s s W =V2 V1

P dV.

(8.9)

Kad se tijelo iri u kontaktu s toplijim spremnikom od volumena V1 s

8.6. CARNOTOV PROCES do volumena V2 izvri se rad: s2 2

47

W =

1

P dV =

1

V2 RT dV = RT log , V V1

(8.10)

pri emu smo iskoristili jednadbu stanja jednog mola idealnog plina c z P V = RT . Za rad izvren pri adijabatskom procesu od volumena V2 s do volumena V3 dobivamo:3 3

W =

2

P dV = C

2

gdje smo koristili izraz za jednadbu stanja koja vrijedi za adijaz batski proces P V = C. (8.12)

1 dV = (P3 V3 P2 V2 ), V 1

(8.11)

Kako je Carnotov proces kruni, od poetnog stanja 1 do stanja 2 z c vrijedi izotermni proces koji se odvija u kontaktu s toplijim spremnikom na temperaturi T . Od stanja 2 do 3 odvija se adijabatski proces, a zatim se ponovno odvija izotermni proces, 3 4. Na kraju se odvija ponovno adijabatski proces od stanja 4 do poetnog stanja 1, ime se proces c c zatvara. Sumiranjem svih radova, kao to su dani u formulama (8.10) s i (8.11) konano dobijemo: c T ), (8.13) T gdje smo s Q obiljeili toplinu predanu plinu od toplijeg spremnika, to z s je ujedno i rad izvren pri izotermnom procesu 1 2. Uoimo da je s c toplina predana hladnijem spremniku, Q , jednaka W = Q(1 T . (8.14) T Da se vidjeti da se radovi na dvjema adijabatama (23 i 41) uzajamno ponitavaju, ime preostaju samo radovi na izotermama (1 2 i 3 4) s c . Dakle, toplina preuzeta od toplijeg spremnika je pozitivna, a toplina predana hladnijem spremniku je negativna. To se stoga to je (znanje iz matematike) prvi izraz dobiven ekspanzijom s (12) pa se integrira u pozitivnom smjeru, dok se druga toplina dobiva pri kompresiji (3 4), dakle pri integriranju u negativnom smjeru. Q = Q

48

CHAPTER 8. TOPLINA

8.7

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike govori o uvjetima u kojima se iz topline moe dobiti rad. z Prema drugom zakonu termodinamike nemogu je proces pri kojem bi toplina spontano prela s hladc s nijeg na topliji spremnik. Na primjer, udjemo li u kadu s toplom vodom, s vremenom e se uslijed kontakta naeg tijela i vode, voda ohlac s diti, a nae tijelo zagrijati. Dakle, energija je prela s toplijeg sustava s s (voda) na hladniji sustav (nae tijelo). Drugi zakon termodinamike s svoje je objanjenje naao u statistikoj zici na nain da sustavi u s s c c prirodi spontano idu od stanja manje vjerojatnosti prema stanju vee c vjerojatnosti. Zamislimo da smo tijelo preveli iz poetnog u krajnje stanje jedanc put po reverzibilnom a drugi put po ireverzibilnom putu. Integral po reverzibilnom putu je vei c2 1

(

dQ )rev > T

2 1

(

dQ )irev T

(8.15)

to lako ustanovimo ako oba izraza prebacimo na istu stranu, pa s izgradimo zatvoreni proces od reverzibilnog i ireverzibilnog procesa. Gornji izraz govori nam da su gubici, odnosno, preneene topline hlads nijim spremnicima vei u ireverzibilnim procesima. Jasno, dobiveni je c proces ireverzibilan jer je jedan dio ireverzibilan1 1

(

dQ )irev < 0 T

(8.16)

Time smo dobili Clausiusovu nejednakost:1 1

dQ 0. T

(8.17) sastavlintegral diferennamee c

Jednakost vrijedi ako je zatvoreni proces reverzibilan, dakle jen od reverzibilnih dijelova. Za reverzibilni proces zatvoreni iezava po zatvorenoj stazi. Jasno, poznato je i da totalni sc cijal iezava ako se integrira po zatvorenom putu. Time se sc uvodjenje nove funkcije stanja, entropije S. Dakle,

8.8. TRECI ZAKON TERMODINAMIKE

49

dQ = dS. (8.18) T Da bismo razumjeli izraz (8.17) prisjetimo se reverzibilnog Carnotovog procesa, sastavljenog od dvije adijabate i dvije izoterme. Integrali na adijabatama iezavaju jer nema izmjene topline. Integrali sc na izotermama daju Q Q + = 0. (8.19) T T Prvi je integral pozitivan i predstavlja toplinu preuzetu od toplijeg spremnika, dok je drugi integral negativan i predstavlja toplinu predanu hladnijem spremniku. U sluaju ireverzibilnog procesa u gornjem c izrazu drugi je izraz za toplinu negativniji nego u sluaju reverzibilnog c procesa ( vei u apsolutnom smislu), jer je za ireverzibilni proces toplina c predana hladnijem spremniku vea nego za reverzibilni proces. c Kako izraz u (8.15) vrijedi za bilo koje granice vrijedi i za podintegralnu funkciju: Q (8.20) dS > ( )irev . T Ukoliko je sustav termiki zatvoren, nema izmjene topline pa vrijedi: c dS > 0. (8.21)

U zatvorenom sustavu sve promjene teku u smjeru poveanja enc tropije. Drugi zakon termodinamike tvrdi da se cjelokupna entropija u prirodi poveava. c

8.8

Trei zakon termodinamike c

Trei zakon termodinamike formulirao je Nerst. Za razliku od prvog i c drugog zakona termodinamike koji uvode nove termodinamike veliine c c u deniciji zakona, unutranju energiju, odnosno entropiju, trei zakon s c ne uvodi neku novu veliinu. U usporedbi s drugim termodinamikim c c zakonom koji entropiju denira do na konstantu, trei zakon termodic namike govori o iznosu entropije na temperaturi apsolutne nule.

50

CHAPTER 8. TOPLINA

Iz treeg zakona termodinamike moemo nauiti o ponaanju toplinc z c s skog kapaciteta na apsolutnoj nuli. Kombinirajui deniciju toplinskog c kapaciteta: dQ , (8.22) C(T ) = dT i entropije S(A) = nalazimo dT , (8.24) T P Vidimo da je nuan uvjet da entropija ostane konana na apsolutz c noj nuli da toplinski kapacitet tei ka nuli na apsolutnoj nuli. Dakle, z entropija ne divergira ako vrijedi: S(A) =A A P

dQ , T

(8.23)

C(T )

limT 0 C(T ) = 0,

(8.25)

8.9

Funkcija stanja

Proizvoljna funkcija stanja f karakteizirana je svojstvom da je df potpuni diferencijal. Ako uzmemo da je f funkcija samo dviju varijabli x i y, tada je njezin diferencijal f f dx + dy. x y Potpuni dferencijal podrazumjeva da vrijedi: df = (8.26)

2f 2f = . (8.27) yx xy Entropiju smo ranije denirali kao funkciju stanja deniranu do na konstantu. Odaberemo li stanje P kao referentno, tada entropiju u stanju A deniramo kao: S(A) =A P

(

dQ )rev . T

(8.28)

8.10. STEFAN-BOLTZMANNOV ZAKON Iz prvog zakona termodinamike dQ = dU + P dV, lako dobijemo uporabom injenice da je U funkcija stanja: c dQ = U U dT + dV + P dV, T V dQ , T

51

(8.29)

(8.30)

Uporabom izraza za diferencijal entropije: dS = izraz (8.30) moemo pisati kao: z dS = 1 U 1 U dT + [ + P ]dV, T T T V (8.32) (8.31)

Kako je entropija funkcija stanja, mora biti ispunjen zahtjev (8.27): 1 U 1 U = [ + P ], V T T T T V Deriviranjem dobijemo: T P U =P + , T V (8.34) (8.33)

i to je izraz koji emo koristiti u kasnijim izvodima. c

8.10

Stefan-Boltzmannov zakon

Promotrimo plin zatvoren u posudi volumena V na temperaturi T . Za tlak idealnog jednoatomnog plina lako se izvede relacija: P = N (pv) 3V (8.35)

gdje su p i v impuls, odnosno brzina estice, a N je broj estica u plinu. c c Promatramo li ne plin masenih estica, ve plin fotona, estica svjetc c c losti, odnosno elektromagnetskog zraenja, za koje vrijedi veza izmedju c energije E i impulsa P kao E = cp, lako dobijemo

52

CHAPTER 8. TOPLINA

NE (pv) (8.36) 3V Umnoak N E daje ukupnu energiju fotonskog plina U = N E. z Kako omjer energije i volumena predstavlja gustou energije u(V, T ) c za tlak lako dobijemo: u (8.37) P = 3 Istaknimo da kod svjetlosti, gustoa energije ne ovisi o volumenu, c ve samo o temperaturi. Primjenjujui gornje izraze, izvedimo zakon c c zraenja crnog tijela. Polazei od izraza (8.37) i rabei deniciju gustoe c c c c U energije u = V lako dobijemo: P = P 1 du )V = T 3 dT Kombinirajui gornji izraz s relacijom (8.34) dobijemo: c ( du dT Rjeavanjem gornje jednadbe dobijemo s z 4u = T u(T ) = aT 4 (8.38)

(8.39)

(8.40)

to je zakon Stefan-Boltzmannov koji tvrdi da je energija zraenja pros c porcionalna etvrtoj potenciji temperature. c c s ZADATAK: Celinu ipka duljine 10 metara pri 0 C zagrijava se na 100 C. Kolika je duljina ipke nakon rastezanja? s . ZADATAK: Koliko je kilograma kisika sadrano u tanku volumena z 3 3 m u kojem vlada tlak od 20M P a i temperatura od 27C. Molekularna masa kisika iznosi 32. n=pV RT

= 24, 067 mola

Masa kisika izaena u kilogramima iznosi dakle: z

8.10. STEFAN-BOLTZMANNOV ZAKON m = 24, 067 32 = 771 Kg.

53

ZADATAK: Koliki bi bio volumen gornje mase plina ako bismo pustili da se rastee pri atmosferskom tlaku i temperaturi od 50C? z Kako je masa ksna vrijedi:p1 V 1 T1

=

p2 V 2 T2

dakle: V2 =p1 V 1 T 2 T1 P 2

= 627, 500 litara = 627, 5m3

54

CHAPTER 8. TOPLINA

Chapter 9 Radioaktivnost9.1 Uvod

Radioaktivno zraenje je skup razliitih procesa kojima nestabilne c c atomske jezgre emitiraju subatomske estice. Zraenje se dogadja u c c takozvanoj jezgri roditelju, pri emu se produkti zraenja nazivaju c c jezgrama kerima. Cesto se raspadaju dalje i jezgre keri. Proces c c zraenja je sluajan, to znai da je nemogue predvidjeti koja e se c c s c c c jezgra raspasti. Jedinica za mjerenje radioaktivnosti je jedan Becquerel (Bq). Ukoliko radioaktivni materijal proizvodi jedan raspad po sekundi ima aktivnost jednog Becquerela. Jedinica radioaktivnosti, jedan Curie, koja je denirana kao mjera radioaktivnosti jednog grama istog radija c iznosi 37 GBq. Radiaktivnost se dogadja na nivou jezgre koja je sastavljena kao to s smo prije spomenuli od neutrona i protona medju kojima djeluju vrlo sloena medjudjelovanja. Jake nuklearne sile, koje se ne manifestiraju z na makroskopskoj skali, su najjae sile na nivou subatomskih estica. c c Neto su slabije elektromagnetske sile. Na nivou jezgre djeluju i slabe s nuklearne sile. Radiaktivnost je otkrivena 1896 od strane francuskog znanstvenika Henri Becquerela. Ispitivanjem fosforescentnih materijala u tami uoio c je da svjetlucaju nakon to se izloe svjetlosti. Ispoetka je izgledalo s z c da je novo zraenje slino X-zraenju. Uskoro se pokazalo kako je novo c c c zraenje znatno sloenije. Unato tome to postoje razliiti oblici rac z c s c 55

56

CHAPTER 9. RADIOAKTIVNOST

dioaktivnog zraenja, Rutherford je prvi ustanovio kako za sve njih c vrijedi jednaka matematika aproksimacija u vidu eksponencijalne forc mule. Pokazalo se kako elektrina i magnetska polja mogu radiaktivne c proizvode podijeliti u tri tipa zraka. Zrakama su dana imena prema grkom alfabetu: alfa, beta i gama zrake. Prema smjeru zakretanja c u elektromagnetskom polju pokazalo se kako alfa zrake nose pozitivni naboj, beta nose negativni naboj, dok su gama zrake neutralne. Pokazalo se i kako su alfa estice znatno masivnije od beta estica. c c Eksperimenti su jo pokazali slinost izmedju beta zraenja i katodnih s c c zraka. Oba zraenja su snopovi elektrona. c Premda su alfa, beta i gama najei raspadi, uskoro se pokazalo c sc da postoje i drugi raspadi. Kratko po otkriu neutrona, pokazalo se da c neki raspadi daju neutron kao rezultat raspada. Brzo se pokazalo kako mnotvo drugih kemijskih elemenata osim s urana pokazuje svojstvo radioaktivnosti. Zanimljivo, ali opasnost od radioaktivnosti se nije odmah uoila. Efekti zraenja na zdravlje je c c prvi uoio Nikola Tesla kad je namjerno izloio svoje prste X zrakama. c z U svom lanku opekline koje su se razvile pripisao je ipak ozonu, a ne c X zrakama. Utjecaj zraenja na genetske mutacije i rak otkriven je tek c znatno kasnije. Godine 1927 Hermann Joseph publicira lanak kojim c pokazuje genetske promjene uzrokovane zraenjem. c

9.2

Aktivnost

Brzina raspada ili aktivnost nekog radioaktivnog materijala karakterizirana je: a) poluivotom raspada, (t1/2 ), koji je jednak vremenu potrebnom da z se raspadne polovica jezgara, b) srednjim ivotom, , koji je jednak prosjenom ivotu jezgre, z c z c) konstantom raspada, (), koja je inverz . Izmedju , t1/2 i vrijede dakle slijedee relacije: c t1/2 = ln(2) = ln(2). (9.1)

Denirajmo i slijedeu veliinu: c c

ukupnu (totalnu) aktivnost,

9.3. EKSPONENCIJALNI RASPAD oznaena s A, koja mjeri broj raspada u jednoj sekundi: c A= dN = N. dt

57

(9.2)

Jedinica za aktivnost je jedan Becquerel (Bq) koji je odredjen brojem raspada u jednoj sekundi. Tako na primjer, 1 Ci (Curie) podrazumjeva 3, 7 1010 raspada u sekundi.

9.3

Eksponencijalni raspad

Kao to je reeno, raspad jezre je odredjen sluajnim procesom i stoga je s c c nemogue predvidjati koja jezgra e doivjeti raspad. Svaka jezgra ima c c z jednako vjerojatan raspad u svakom trenutku. Za dani uzorak radioaktivnog elementa, broj raspadnutih jezgara, dN u malom vremenskom intervalu dt je proporcionalan trenutnom broju neraspadnutih jezgara, N . Ako je N broj neraspadnutih jezgara, vjerojatnost raspada u jedinici vremena oznaimo s . Dakle vrijedi, c dN = . (9.3) N dt Negativni predznak sugerira da se, kako vrijeme odmie, smanjuje c broj neraspadnutih jezgara. Rjeavanjem jednadbe dobijemo: s z N (t) = N0 exp(t). (9.4)

Funkcija predstavlja eksponencijalni raspad i oito je aproksimac tivno rjeenje, jer je eksponencijalno rjeenje kontinuirana funkcija, s s dok je u zici broj estica uvijek prirodni broj. Radioaktivni raspad c je karakteriziran prosjenim ivotom . Svaka jezgra ima svoje vric z jeme ivota, a prosjeno vrijeme ivota je aritmetika sredina po svim z c z c ivotima jezgara. z

58

CHAPTER 9. RADIOAKTIVNOST

Chapter 10 Statika elektrina i c c magnetska polja10.1 Statika elektrina i magnetska polja c c

Ishodite teorije elektriciteta je spoznaja kako se elektrina sila moe s c z prikazati kao produkt elektrinog naboja i elektrinog polja: c c F = eE. (10.1)

Fundamentalna sila u teoriji elektriciteta, Coulombova sila izmedju dvaju tokastih naboja, moe se prikazati kao umnoak dvaju naboja c z z pri emu joj jakost opada s kvadratom udaljenosti medju nabojima c (usporedi s gravitacionom silom): F = e1 e2 . r2 (10.2)

Coulombova je sila primjer sile koja djeluje na daljinu. Nije potreban direktan kontakt izmedju tijela da bi naboj osjeao silu drugog naboja. c Usporedbom zadnjih dviju jednadbi dobijemo da je elektrino polje z c to ga stvara neki naboj oko sebe: s E= e1 . r2 (10.3)

Sila na odredjeni naboj nema samo iznos ve i smjer i stoga se sile c opisuju vektorima. Elektrino polje je po iznosu i smjeru jednako sili na c 59

60CHAPTER 10. STATICKA ELEKTRICNA I MAGNETSKA POLJA jedinini naboj. Elektrina ali i magnetska polja esto se vizualiziraju c c c preko silnica to su krivulje kod kojih tangente u svakoj toki pokazuju s c smjer polja. Elektrino polje esto se prikazuje preko derivacije funkcije c c V (x, y, z) koju nazivamo elektrostatski potencijal: V (x, y, z) = e1 , r V , y r= x2 + y 2 + z 2 . (10.4)

Komponente elektrinog polja su: c Ex = V , x Ey = Ez = V . z (10.5)

Potencijal odgovara potencijalnoj energiji jedininog naboja. Koncept c potencijalne energije, sjetimo se, uveli smo i za gravitacijsku silu. Oito, c potencijal je skalarno polje. Vrijedi linearnost, odnosno, ukupni potencijal u nekoj toki zbroj je potencijalnih doprinosa svih naboja. c Coulombov zakon kao integralni oblik zakona, koji vrijedi na konanim c udaljenostima, ima i svoj diferencijalni oblik, dakle zakon koji vrijedi na diferencijalnim udaljenostima: E = 4, (10.6)

gdje je operator gradijent prikazan kao vektor ije su kompoc nente derivacije, =i +j +k , (10.7) x y z a je volumna gustoa elektrinog naboja. c c

10.1.1

Jednadba za potencijal z

Ako u diferencijalni oblik Coulombovog zakona uvrstimo elektrostatsko polje izraeno kao gradijent potencijala: z E= V (10.8)

dobivamo diferencijalnu jednadbu za raunanje potencijala: z c ( 2 2 2 + 2 + 2 )V (x, y, z) = 4. x2 y z (10.9)

10.2. ELEKRICNE STRUJE

61

Da se vidjeti da se za rjeenje potencijala V iz gornje jednadbe lako s z dobije e (10.10) V = . r

10.2

Elekrine struje c

Godine 1820 Oersted otkriva kako elekrine struje djeluju na magnete. c Time je otkrivena veza izmedju magnetizma i elektriciteta, koji su do tada bili nepovezana potpuno razliita podruja. Iste godine nali su c c s Biot i Savart zakon pomou kojeg se moe izraunati magnetsko polje c z c to ga stvara elektrina struja koja protie vodiem. Po Biot i Savartu s c c c svaki djeli ice kojim tee struja stvara polje koje djeluje silom, a c z c ukupna se sila dobiva integracijom po cijeloj ici. z Elektrina struja sastoji se u gibanju elektrinih naboja. U metalc c ima tako negativno nabijeni elektroni teku icom. Pretpostavimo da z icom duljine L i povrine presjeka S tee struja elektrona volumne z s c gustoe (broj estica po jedininom volumenu) i neka se elektroni c c c gibaju brzinom v. Tonije, brzina v je srednja brzina elektrona u c gibanju. Tad oito u jednoj sekundi prodje kroz svaki presjek ice toliko c z elektrona koliko ih se nalazi u valjku ice dugakom po iznosu brzini z c v. Oito u valjku ima SL elektrona ukupnog naboja eLS. Odatle c lako izraunamo elektrinu struju deniranu kao koliinu naboja koja c c c protee u sekundi kroz presjek ice: c z I = Sev. (10.11)

Slijedei zadatak nam je odrediti silu kojom magnetsko polje djeluje c na icu. Eksperimentalno je utvrdjeno kako magnetsko polje H djeluje z na elektron koji se giba brzinom v slijedeom silom: c e F = v H. (10.12) c Odatle proraunajmo silu kojom magnetsko polje djeluje na icu c z duine s na kojoj se nalazi Sds elektrona. Na sve te elektrone djeluje z magnetsko polje istom silom pri emu je ukupna sila na uoeni element c c jednaka: e dF = SdsF = Sds v H. (10.13) c

62CHAPTER 10. STATICKA ELEKTRICNA I MAGNETSKA POLJA Upotrebom denicije za struju, dobijemo da magnetsko polje djeluje na element ice ds silom: z I dF = ds H, c (10.14)

pri emu se iskoristilo da su brzina i element ice tangencijalni. Ovaj c z poznati zakon makroskopske zike izveden je polazei od atomistike c c predobe o izgradnji materije. z Budui da je eksperimentalno pokazano kako elektrina struja c c djeluje na magnete, a poznato je da magneti djeluju na magnete (kao i naboji na naboje), to oito struja mora oko sebe stvarati magnetsko c polje. Biot i Savart su pokazali da element ice ds kojim tee struja I z c stvara magnetsko polje dH = I ds r . c r3 (10.15)

Uoimo da je magnetsko polje okomito na linijski element ds i na radic jus vektor r. Jasno, ukupno magnetsko polje koje djeluje u nekoj toki c prostora dobijemo tako da zbrojimo polja koja stvaraju svi linijski elementi: I ds r . (10.16) H= c r3 Integralni zapis Biot-Savartovog zakona dao je Laplace. Integracijom se moe pokaati kako je magnetsko polje to ga stvara z z s struja koja protie beskonanom dugom icom (aproksimativno i doc c z voljno dugom icom) jednako po iznosu: z H= 2I . cr (10.17)

Silnice magnetskog polja su krunice koje koncentrino ovijaju icu. z c z

Chapter 11 Elektrodinamika11.1 Maxwellove jednadbe u vakuumu z

U poetku se smatralo kako elektrine i magnetske sile po uzoru na c c gravitacijsku silu djeluju kao daljinske sile medju nabojima i magnetskim polovima. Coulombov zakon, kao i gravitacijska sila, denira silu odredjenu trenutnim udaljenostima tijela. Pretpostavlja se da sila djeluje beskonano brzo, trenutno. Za razliku od prethodnika, Faraday c je prvi uoio da je bit magnetskih i elektrinih pojava, ne u nabojima i c c magnetskim polovima, ve u prostoru medju polovima i nabojima. A c u tom postoru nalaze se elektrina i magnetska polja. c Faradaya njegovi suvremenici nisu najbolje razumjeli, jer su bili jo uvijek pod jakim Newtonovim utjecajem, koji je smatrao da s sile djeluju trenutno na daljinu. Novo razumjevanje sile postalo je uvrijeeno razmiljanje medju ziarima kad je Maxwell na osnovi Faraz s c dayevih empirijskih zakona postavio matematiku teoriju elektromagc netizma. A Maxwellova i Faradayeva koncepcija pokazala se posebno superiornom kod pojava gdje se mijenjaju elektrina i magnetska polja. c Faraday je eksperimentalno pokazao da vremenska promjena magnetskog polja inducira cirkularno (vrtlono) elektrino polje. Ukupan z c tok magnetskog polja H kroz neku plohu odredjen je plonim intes gralom normalne komponente magnetskog polja: = Hn dS. 63 (11.1)

64

CHAPTER 11. ELEKTRODINAMIKA

Uzdu granice te plohe inducira se elektrodinamiki napon jednak: z c Edl = 1 d , c dt (11.2)

gdje je c brzina svjetlosti. Slino gornjem zakonu gdje vremenske promc jene magnetskog polja induciraju vrtlona elektrina polja, Maxwell je z c pokazao da i vremenske promjene elektrinog polja izazivaju vrtlona c z magnetska polja. Razmotrimo isto elektromagnetsko polje u prostoru izvan naboja. c Jasno, elektrini naboji su ti koji stvaraju polja, ali emo se sad c c ograniiti na prostor izvan elektrona i samo za taj prostor denirajmo c jednadbe koje opisuju elektromagnetizam. z Promjene elektrinih i magnetskih polja u praznom prostoru odredc jene su Faraday-Maxwellovim (integralnim) zakonima: Hdl = odnosno, 1d HdS. (11.4) c dt Uoimo simetriju u pojavljivanju magnetskog i elektrinog polja. Primc c jenom Gaussovog i Stokesovog teorema iz vektorske analize, ovi se integralni izrazi daju svesti na poznate Maxwellove jednadbe: z Edl = H = odnosno, 1 H . (11.6) c t Ove jednadbe kontroliraju promjene elektrinih i magnetskih polja u z c vakuumu. Vrtlozi jednog polja izazvani su vremenskim promjenama drugog polja. Poznajemo li polja u poetnom trenutku, iz jednadbi c z dobivamo jednoznano polja u svakom kasnijem trenutku. Dakle, u c elektromagnetizmu vrijedi princip kauzalnosti, kao i u Newtonovoj mehanici. E = 1 E , c t (11.5) 1d c dt EdS, (11.3)

11.2. ELEKTROMAGNETSKI VALOVI

65

Postoje jo dvije MAxwellove jednadbe. Znamo od ranije da od s z naboja izlaze ili poniru elektrina polja. Povrinski integral po plohi c s koja potpuno zatvara naboj e jednak je: EdS = 4e. (11.7)

Takodjer, magnetske silnice uvijek su zatvorene krivulje i kroz svaku zatvorenu plohu integral iezava, odnosno vrijedi: sc HdS = 0. (11.8)

Uporabom ranije spomenutih Stokesovog i Gaussovog teorema ova se zadnja dva integralna zakona daju svesti na diferencijalne zakone (jednadbe): z E = 0, (11.9) odnosno, H = 0. (11.10) Uoimo da se u prostoru (tokama prostora) gdje postoje naboji c c gornje dvije jednadbe reduciraju na: z E = 4, odnosno, H = 0. (11.12) Maxwellove jednadbe predstavljaju parcijalne diferencijalne jedz nadbe prvog reda. Matematika teorija parcijalnih jednadbi sugerira z c z kako se do rjeenja jednadbi lake dodje ako se parcijalne jednadbe s z s z prvog reda u kojima se mijeaju dva polja svedu na parcijalne jeds nadbe drugog reda u kojima se nalazi samo jedno polje. Maxwellove z jednadbe za sva polja svode se tada na poznate valne jednadbe koje z z imaju sredinje mjesto u optici. s (11.11)

11.2

Elektromagnetski valovi

Zbog vanosti napiimo jos jednom Maxwellove jednadbe: z s z

66

CHAPTER 11. ELEKTRODINAMIKA

H =

1 E ; c t

E =

1 H ; c t

H = 0;

E = 0. (11.13)

Pretpostavimo da se elektromagnetska polja ire samo u smjeru osi s x. Ta pretpostavka odredjuje da su derivacije po y i z jednake nuli. Raspiemo li gornje jednadbe po komponentama lako se pokae kako se s z z dobiveni sustav jednadbi da razbiti na dva sustava. U jednom sustavu z jednabi simetrino se pojavljuju Ey i Hz : z c Ey 1 Hz = x c t 1 Ey Hz = x c t (11.14)

dok se u drugom pojavljuju komponente Ez i Hy : Hy 1 Ez = x c t Ez 1 Hy = . x c t (11.15)

Promotrimo prvi sustav. Deriviramo li prvu jednadbu po x, a drugu z po ct te ih kombiniramo dobijemo valnu jednadbu za Ey : z 2 Ey 1 2 Ey = 2 . x2 c t2 (11.16)

Slino se dobiju i i valne jednadbe za druge komponente. Da se vidjeti c z kako je rjeenje za komponentu polja Ey jednako: s Ey = f (x ct) gdje je f neka funkcija iji je argument x ct. c (11.17)

11.3

Oblak elektrinog naboja c

Ako na nekom prostoru imamo velik broj elektrona ili openito nabic jenih estica, tada se esto zanemaruje atomistika struktura i raspodc c c jelu estica shvaamo kao oblak naboja. Pri toj aproksimaciji broj c c estica u jednoj i drugoj slici uzima se to slinijim. Gustou elekc s c c trinog naboja izraavamo nekom funkcijom prostornih koordinata. c z

11.3. OBLAK ELEKTRICNOG NABOJA

67

U svakoj toki oblaka naboja deniramo gustou i brzinu v, s c c kojom se naboj na tom mjestu kree. Naboj koji u vremenu dt prodje c kroz povrinu dS jednak je dSvdt. Gustoa struje, denirana kao s c naboj koji protee u jedinici vremena kroz jedininu povrinu, jednaka c c s je: J = v. (11.18) Jednadba kontinuiteta koju emo izvesti slijedi iz zakona sauvanja z c c koji kae da poveanje naboja u jedinici vremena unutar neke zatvorene z c plohe mora biti jednako toku naboja koji udje kroz zatvorenu plohu. Ona u diferencijalnom obliku glasi: + t J = 0. (11.19)

Pokaimo kako se gornja jednadba da izvesti iz dviju Maxwellovih z z jednadbi koje vrijede u prostoru s nabojem: z E = 4; H = 1 E 4 J+ c c t (11.20)

Da se vidjeti da vrijedi za bilo koje polje A: ( iz ega slijedi: c ( H) = ( 4 1 E ) 0. J+ c c t (11.22) A) = 0. (11.21)

Kako u drugom izrazu moemo zamijeniti redoslijed derivacije po prosz toru i vremenu dobivamo primjenom prve jednadbe iz (10.20) jedz nadbu kontinuiteta (10.19). z DODATAK: Gradijent deniramo kao: =i +j +k x y z (11.23)

68

CHAPTER 11. ELEKTRODINAMIKA A, po deniciji skalarnog

Pokaimo da vrijedi (11.21). Ako je B = z produkta B = (i

+j + k )(iBx + jBy + kBz ) (11.24) x y z = ( Az Ay ) + ( Ax Az ) + (11.25) x y z y z x ( Ay Ax ) = 0 (11.26) z x y

Chapter 12 Medjumolekularne sile12.1 Uvod

Medjumolekularne sile su elektromagnetske sile koje djeluju medju molekulama ili medju makromolekulama. Takve sile mogu biti i kohezivne i adhezivne. Nabrojimo ta medjudjelovanja prema jakosti: a) ionsko medjudjelovanje b) vodikova veza c) dipol-dipol medjudjelovanje d) van der Waalsovo medjudjelovanje Ove su sile fundamentalna elektrostatska medjudjelovanja (ionsko, vodikovo i dipol-dipol), odnosno elektrodinamika medjudjelovanja c (van der Wallsova). ionsko 1000 vodikovo 100 dipol dipol 10 van der W aalsovo 1

Table 2 Pribline relativne jakosti vezanja z

12.1.1

Ionsko vezanje

Ova vrsta medjudjelovanja postoji medju ionima. Istovrsni naboji se privlae, a suprotni se odbijaju. Ovo vezanje nastaje kad jedan od c atoma pokupi elektron od susjeda. Tako nastali suprotni naboji se privlae. c 69

70

CHAPTER 12. MEDJUMOLEKULARNE SILE

12.1.2

Vodikovo vezanje

Vodikovo vezanje nastaje kad se hidrogenski atom kovalentno vee za z elektronegativan atom kao to su duik ili kisik. Tako nastaje dipolarna s s molekula. Vaan primjer je voda. z

12.1.3

Dipol-dipol medjudjelovanje

Ovakav oblik medjudjelovanja jo nosi naziv i Keesom medjudjelovanje s po znanstveniku koji ga je matematiki opisao. To je medjudjelovanje c koje postoji medju molekulama s permanentnim dipolima. Medjudjelovanje je slino ionskom, ali je znatno slabije jakosti. c

boris podobnik - fizika

Documents

c c c struje

c c termiku

c vrijeme

magnetska polja c c

elastinost c

ma c c s veza izmedju

atom je sastavljen c

c za duljinu metar