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電磁気学 III 第 1講

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第１講 Maxwell 方程式（１）

本講では、まずベクトル場の特徴を表す発散や流線について確認し、Maxwell方程式のなかの Gaussの

法則、湧き出しなしの法則をおさらいする。

１．Maxwell 方程式

Maxwell によって整理された電場および磁場に関する以下の４つの式は Maxwell 方程式とよ

ばれる。

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Maxwell はこれらの方程式から電場および磁場が空間中を伝播する解があることを導きだし、

電磁波の存在を予言した。「電磁波の存在証明」問題は、当時のプロイセン科学アカデミーの懸

賞問題になった。その実験的証明は、1888年にMaxwellの弟子の Herzによりなされた。

２．数学的準備

2.1．スカラー場とベクトル場

場とは一般に時空の各点各点に値をもつものを指す。スカラー場とは空間の各点にスカラー

量が与えられている場であり、ベクトル場とは空間中の各点各点にベクトル与えられる場であ

る。場の考え方をもちいると物質どうしの相互作用は以下のように理解される。空間に質点や電

荷が置かれるとそのまわりの空間が変化し（重力場や電場が張られ）、その空間に置かれた質点

や電荷は場から影響を受ける（引力や斥力を受ける）。この考え方は、「相互作用は場を介した近

接作用である」という考えにもとづく。

場は後述するように運動量やエネルギーをもつことから、単に物理的解釈のために便宜上導

入されたものではなく、物理的実体をもつと考えられている。

[問] 以下の物理量はスカラー場かベクトル場か？

(a) 温度分布 (b) （天気図の）気圧配置 (c) 風向分布 (d) 斜度分布

(e) 温度分布の勾配 (f) 電場分布 (e) 電場分布の発散

divE =⇢

"

divB = 0

rotE = �@B

@t

rotB = µj+ µ"@E

@t


2

図１.1 ベクトル場の例

2.2．ベクトル場の流線

連続でなめらかなベクトル場 A(x, y, z)を考える。A(x, y, z)は位置(x, y, z)の一価関数とする。こ

のベクトル場 Aに対して、接線が常に Aと平行であるような曲線を描く事ができる（図 1.2）。

このような曲線は A の「軌跡」または「流線」とよばれる。電磁気学では特に、電場の流線を

「電気力線」、磁場の流線を「磁力線」とよぶ。

流線の方程式をパラメーター表示でと書くとすると、r は次

式を満たす。

(1.5)

一般に流れの場は時々刻々向きや速度を変え、場所と時間

の関数で A(t, r)と表す。式(1)の Aは場所に関する媒介変数

ξのみの関数なので，これは定常場に対する流線の方程式で

ある。動的なベクトル場が動的である場合、すなわちA(t, r)

のように時間を含む場合、流線の方程式も時間を含み、

(1.6)

を満たす r として与えられる。

いま，微小な面分 Sを考え、その面積を、面分 Sに垂直な単位

ベクトルを nとする。このとき，を、Sを通る Aの「流量」

とよぶ（図 1.3）。またを「流量密度」とよぶ。Aが流体の速度場

のとき、は単位時間あたりに Sを通り n方向に流れる流体の

質量となる。

ベクトル場 A が連続かつなめらかで位置の一価関数であるとき、

r = x(⇠)ex + y(⇠)ey + z(⇠)ez

dr

d⇠= A(r) = A(r(⇠))

dr(t, ⇠)

d⇠= A(t, r(⇠)) = A(t, ⇠)

�S

A · n�S

A · n

A · n�S

神戸大学海事科学部 2014年度後期応用数学 4 講義ノート

9 ベクトル場の発散と回転9.1 ベクトル場の流線A = A(x, y, z)をベクトル場とし，ここでは A(x, y, z) ̸= 0であるとする．曲線 r = r(s)（弧長パラメータ表示）が

dr

ds(s) =

A(r(s))

|A(r(s))| (9.1)

を満たすとき，すなわち r の接線ベクトルがAと平行であるとき，r をAの流線という．

r のパラメータが弧長パラメータでない場合（r = r(t)）は，流線の方程式は式 (9.1)の代わりに

dr

dt(t)

!!!!dr

dt(t)

!!!!=

A(r(t))

|A(r(t))|

となる．いま，微小な面分 S を考え，その面積を△S，法単位ベクトルを nとする．

n

A

△S

このとき，A · n△S

を，S を通るAの流量という．またA ·nを流量密度という．Aが流体の速度場のときには，A ·n△S は単位時間あたりに S を通り n方向に流れる流体の質量を表す．

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図1.2 ベクトル場の流線

神戸大学海事科学部 2014年度後期応用数学 4 講義ノート

9 ベクトル場の発散と回転9.1 ベクトル場の流線A = A(x, y, z)をベクトル場とし，ここでは A(x, y, z) ̸= 0であるとする．曲線 r = r(s)（弧長パラメータ表示）が

dr

ds(s) =

A(r(s))

|A(r(s))| (9.1)

を満たすとき，すなわち r の接線ベクトルがAと平行であるとき，r をAの流線という．

r のパラメータが弧長パラメータでない場合（r = r(t)）は，流線の方程式は式 (9.1)の代わりに

dr

dt(t)

!!!!dr

dt(t)

!!!!=

A(r(t))

|A(r(t))|

となる．いま，微小な面分 S を考え，その面積を△S，法単位ベクトルを nとする．

n

A

△S

このとき，A · n△S

を，S を通るAの流量という．またA ·nを流量密度という．Aが流体の速度場のときには，A ·n△S は単位時間あたりに S を通り n方向に流れる流体の質量を表す．

1

図1.3 ベクトル場の流量


3

Aの流線は交わらない。もし流線が交わるとすると，その交点ではベクトル場が二つの値をもつ

ことになり、Aが一価関数だという仮定に反する。

もし流線が交わるような場所があるとすれば，どんな場所であろうか？たとえば、鞍状面の

勾配で与えられるベクトル場がその例である。以下で与えられるスカラー関数 hを考える。

これは図 1.4のような鞍状の面を与える。スカラー関数 h(x, y)の勾配 grad hで与えられるベクト

ル場 H = grad hを考える。鞍点(0, 0)では面は傾斜しておらず、H = 0となる。grad hは x軸上で

(2x, 0)であり、x成分しかもたないため、流線は x軸に重なる。一方、y軸上で grad hは(0, -2y)

であり、y 成分しかもたず、流線は y 軸に重なる。その結

果、これら２つの流線は(0, 0)で交わることになる。(0, 0)は、

勾配がゼロになることに注意する必要がある。もし A = 0

となる点があるならば，そこでは流線の向きが定まらず、

流線が描けない。このような場所は流れがない点であり、

「淀み点」と呼ばれる。ベクトル場Aの流線の特徴を以下に挙げる。

・A = 0 以外の点で交差しない。

・A = 0 以外の点でなめらかに連続している

・分裂または合体しない。

・始点には湧き出し点があり、終点には吸い込み点がある。

ベクトル場が電場 Eの場合、その流線である電気力線の特徴を以下に挙げる。

・Eと平行

・単位面積当たりの本数＝ |E| (Eの大きさ）

・正電荷があり、終点には負電荷がある。

・電荷量 Q (> 0)の正電荷から Q/ε本だけ出る、電荷量-Qの負電荷には Q/ε本だけ入る。

（Gaussの法則）

2.3．ベクトル場の発散

水や空気の流速の分布はベクトル場である。池の中の水が対流等の循環している場合、

流線は閉曲線となるであろう。それでは湧き水のような水源や吸い込み口がある場合の水

の流れを表すベクトル場およびその流線はどのような特徴をもつだろうか？

以下で定義されるベクトル場の発散で特徴づけられる。

（直交座標系） (1.7)

h(x, y) = x2 � y2

divA = r ·A =@Ax

@x+

@Ay

@y+

@Az

@z

図1.4 鞍状の面


4

（円柱座標系） (1.8)

（球座標系） (1.9)

ちなみに、ベクトル場の発散の演算はスカラー場を与える。

ここで、Gaussの発散定理

(1.10)

をもちいて divAで与えられる量の意味を考える。上式の左辺はベクトル場の発散を体積分した

ものである。右辺はすなわち流量密度を体積Ωを取り囲む閉曲面Σで面積分したもの、つ

まり閉曲面Σを通して湧き出すまたは吸い込む全流量を与える。

[問] 湧き出しおよび吸い込みのない連続でなめらかなベクトル場において、任意の閉曲面を考える。その閉曲面に入る流線の数とその閉曲面から出て行く流線の数は常に等しいことを確かめよ。

[問] 発散がないベクトル場の流線を描け。

[問] 発散がゼロでない点で流線はどうなるか？

３．点電荷がつくる電場の発散

Coulombsの法則から点電荷による電場は以下の式で与えられる。

(1.11)

この電場の発散（divE）はどんな関数であろうか？

では、

(1.12)

極座標系で div演算は

(1.13)

となる。いまは動径方向成分がで、その他の成分はゼロだから、

divA =1

r

@(rAr)

@r+

1

r

@A�

@�+

@Az

@z

divA =1

r2@(r2Ar)

@r+

1

r sin ✓

@(sin ✓A✓)

@✓+

1

r sin ✓

@A�

@�

Z

⌦divEdV =

Z

⌃E · ndS

A · n

E =1

4⇡"

q

r3r

r 6= 0

divE = div

✓1

4⇡"

q

r3r

◆

=q

4⇡"div

⇣ r

r3

⌘

divE =1

r2@(r2Er)

@r+

1

r sin ✓

@(sin ✓E✓)

@✓+

1

r sin ✓

@E�

@�

r/r3 1/r2


5

(1.14)

これはでは電気力線に端がないことを意味する。

はで微分できないので、Gauss の定理をもちいる。原点（）を中心とする半

径ξの球を考える。球の内部の領域をΩ、球の表面をΣとすると、Gaussの定理から

(1.15)

が得られる。divE はでゼロであるので、上の積分が有限の値となるためには、でゼ

ロでない値をもたなければならない。

divEの r依存性として、仮に半径ξの球の内部だけで値をもち、球の外部ではゼロとなる関

数 f(r)を考える。簡単のため球の内部の値を一定値 cとする。

(1.16)

球の内部での積分値が q/εとなるので、一定値 cは

(1.17)

となる。右図はこの様子を模式的に示したものである。

で divE = 0なので、真の cの値を求めるにはξ→0の極限を取らなければならない。こ

のとき c → ∞となる。つまり

(1.18)

となる。

４．Dirac のδ関数

Diracの δ関数は

(1.19)

divE =q

4⇡"div

⇣ r

r3

⌘=

q

4⇡"

(1

r2@�r2 1

r2

�

@r+ 0 + 0

)

=q

4⇡"

⇢1

r2@ (1)

@r

�

= 0

r 6= 0

1/r2 r = 0 r = 0

Z

⌦divEdV =

Z

⌃E · ndS

=q

4⇡"

Z

⌃

r

r3· rrdS

=q

4⇡"

Z

⌃

1

r2dS

=q

4⇡"

1

⇠2

Z

⌃dS =

q

4⇡"

1

⇠24⇡⇠2 =

q

"

r 6= 0 r = 0

f(r) =

(0 (r > ⇠)

c (r < ⇠)

c =q

"

3

4⇡⇠3

r 6= 0

divE =

(0 (r 6= 0)

1 (r = 0)

�(x� a) =

(1 (x = 0)

0 (x 6= 0)


6

であり、

(1.20)

となる関数として与えられる。ここでは xは一次元空間の座標であり、aは定数である。

点電荷も Diracの δ関数で表される。

δ関数には以下の性質がある。

(1.21)

(1.22)

δ関数の３次元版として以下のような関数が定義できる。

(1.23)

ここで、

(1.24)

が成り立つ。

５．ー Gauss の法則ー

この式をひと言で表すと、

「電場 Eの発散があるところに電荷密度あり」

となる。電場 Eの発散があるところ、つまり divE ≠ 0のところには、電気力線の端点がある。

つまりこの式は、電気力線の端点には ρすなわち電荷があることを述べている（積分形のほうが

わかりやすいかもしれない）。電気力線は正電荷から湧き出し、負電荷に吸い込まれる。

Gaussの法則と Coulombの法則は等価であることを示す。まず、点電荷 q（< 0）がひとつだ

け置かれた空間を考える。点電荷を囲む閉曲面を考える。この閉曲面を通過する電場の全流量は

閉曲面の形によらない。いま閉曲面として点電荷を中心とした球面を考える。対称性から、球面

上の電場の向き球面に垂直であり、その大きさは一定である。その電場のベクトルを E とする

と、球面を通過する電場の全流量は、球の半径を rとして、球の面積と電場の大きさの積

である。Gaussの法則は全流量が球内の全電荷を誘電率で割ったものに等しいことを述べている。

すなわち、

(1.25)

よって、

Z 1

�1�(x� a)f(x)dx = f(a)

�(ax) =1

a�(x)

Zf(x)�0(x)dx = �f 0(0)

�(r� r0) = �(x� x0)�(y � y0)�(z � z0)

Z�(r)dV =

Z 1

�1

Z 1

�1

Z 1

�1�(x)�(y)�(z)dxdydz = 1

divE = ⇢/✏

4⇡r2E

4⇡r2E =q

"


7

(1.26)

が得られる。これは他ならぬ Coulombの法則である。Coulombの法則の式が成り立てば、Gauss

の法則が成り立つことは、式を代入することによりすぐに示すことができる。

６．ー湧き出しなしの法則ー

上の議論の類推から、divBは磁力線の端点を与えるものと考えられる。すなわちこの式から

「磁力線には端がない」

ことなる。このことは、電場の場合の点電荷に相当する「点磁子（磁気単極子、磁気モノポール）」

が単独で存在しないことを意味する。は、磁性版の Gaussの法則とよばれることもあ

る。

実際、われわれが目にする磁性体には N極と S極が常に対をなしており、どちらか一方を分

離することはできない。磁石を二つに割ると、割れた部分の一方に N 極、もう一方に S 極が必

ず現れる。N極および S極の対を（仮想的な）磁気単極子の対として考えたものを磁気双極子と

よぶ。

発散がゼロになるベクトル場は、あるベクトル場の回転で表されることが数学的に示される。

すなわち、ならとなるベクトル場 Aが存在する。このAはベクトルポテン

シャルとよばれる。

[問] 磁石を原子レベルまで分割すると、N極、S極はどうなるだろうか？

演習課題

(1) 電場・磁場の重ね合わせの原理を説明せよ。

(2) 次の電場 Eの発散（divE）をもとめよ。

1) 一様電場

2) 電荷 q (> 0)の点電荷のまわりの電場

3) 線密度 λ (> 0)の直線状電荷のまわりの電場

4) 電荷面密度 σ (> 0)の平面電荷のまわりの電場

(3) 下図 a), b)は電気力線を示す。塗りつぶした部分に電荷はあるか？それは正の電荷か負

の電荷か？

E =q

4⇡"r2

divB = 0

divB = 0

divB = 0 B = rotA


8

(4) Coulombの法則と Gaussの法則は数学的に同等であることを示せ。

(5) 発散がいたるところゼロになるベクトル場にどんなものがあるか？その流線はどのよ

うな特徴をもつか？

(6) divB = 0から磁気単極子が存在しないことを確かめよ。

第1講...

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