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Calcul integral.

15 decembre 2008

Table des matieres

I Integrales multiples 5

1 Rappels sur l’integrale definie des fonctions d’une variable. 71.1 Motivations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Cas des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Definitions de l’integrale de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Fonctions integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Quelques proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2 Linearite de l’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Positivite de l’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.4 Integrales et inegalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Formule de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Primitives et integrales. Theoreme fondamental de l’integration. . . . 11

1.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.2 Primitives d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.3 Primitives usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Trois techniques de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.1 Integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.3 Primitives de fraction rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Integrales doubles. 172.1 Integration sur les rectangles de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Motivations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2 Definitions de l’integrale double au sens de Riemann. . . . . . 172.1.3 Quelques proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.4 Integration des fonctions continues (par morceaux). Liens avec

les integrales iterees et Theoreme de Fubini. . . . . . . . . . . 192.2 Integration sur les autres sous-ensembles de R2 . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 Proprietes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.3 Theoreme de Fubini. Domaines de Fubini. . . . . . . . . . . . 22

2.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.1 Exemples de changement de variables classiques. . . . . . . . 23

3

4 TABLE DES MATIERES

2.3.2 Changement de variables ”affines”. . . . . . . . . . . . . . . 23

Premiere partie

Integrales multiples

5

Chapitre 1

Rappels sur l’integrale definiedes fonctions d’une variable.

1.1 Motivations.Coment mesurer l’aire d’une surface quelconque du plan ?On sait calculer les aires delimitees par des figures geometriques simples : rec-

tangles, triangles. Par suite, on sait aussi determiner l’aires des surface qu’il est pos-sible de decouper en un certain nombre de rectangles (et/ou de triangles, comme untrapeze par exemple ). Le lecteur admettra sans difficulte les regles suivantes, qu’ilutilise quotidiennement (. . .) pour calculer des aires :

– Regle 0 L’aire d’un point ou d’un segment est nulle.– Regle 1 L’aire d’un rectangle est A = L.`, ou L et ` sont les longueurs de 2

cotes consecutifs du rectangle.– Regle 2 Si S1 et S2 sont deux surfaces dont on peut mesurer l’aire telles que

S1 ⊂ S2 alors A(S1)2A(S2).– Regle 3 Si S1 et S2 sont deux surfaces disjointes dont on peut mesurer l’aire, on

peut egalement mesurer l’aire de leur reunion S1

⋃S2. On a alors :A(S1

⋃S2) =

A(S1) +A(S2).

Exercice 1.1.0.1. Calculer l’aire d’un trapeze connaissant sa hauteur et les longueursde ses deux cotes qui sont paralleles.

Exercice 1.1.0.2. Si S1 et S2 sont deux surfaces dont on peut mesurer l’aire, et si onpeut mesurer celle de leur intersection on a : A(S1

⋃S2) = A(S1)+A(S2)−A(S1 ∩

S2).

1.1.1 Cas des fonctions positives

Nous nous interessons ici a des surfaces particulieres, dont l’un des ”bords” estla courbe representative d’une fonction f : [a, b] → R que l’on supposera dans unpremier temps a valeurs positives sur [a, b]. On veut mesurer l’aire situe sous le graphe

7

8CHAPITRE 1. RAPPELS SUR L’INTEGRALE DEFINIE DES FONCTIONS D’UNE VARIABLE.

de f c’est a dire l’aire de la surface S = {(x, y) ∈ R2, a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} (cf.figure ci-dessous).

L’idee est de decouper la surface S en un certain nombre n de “petits” rectangles,on obtient une approximation de l’aire de S en faisant la somme des aires de ces rec-tangles. Il est clair que plus le nombre n de rectangles est grand, plus ils sont petits plusl’approximation est precise.Il y a beaucoup de maniere de faire un tel decoupage de Sen rectangles, nous allons en decrire une particuliere.

1.2 Definitions de l’integrale de Riemann.Soit n un entier strictement positif. On considere une subdivision de l’intervalle

[a, b] et n sous-intervalles de meme longueur b−an . On pose donc

xj = a + jb− a

n, j = 0 . . . n,

(en particulier x0 = a et xn = b).On recherche sur le j−ieme intervalle la borne superieure Mj et la borne inferieure

mj de la fonction f . On note

In− =

n−1∑j=0

(xj+1 − xj)mj

et

In+ =

n−1∑j=0

(xj+1 − xj)Mj

Ces sommes sont appelees sommes de Darboux.Lorsque f est a valeurs positives et que l’on peut mesurer l’aire A(S) de la surface

S, on doit avoirIn− ≤ A(S) ≤ I+

En effet le reel (xj+1 − xj)mj est par exemple l’aire du rectangle dont l’un descotes est le segment [xj , xj+1] et dont la hauteur est mj . Il est clair que l’encadrementci-dessus est d’autant plus precis que le nombre n de rectangles est grand.

Voici donc la definition naturelle de l’aire de cette surface. On utilise les notationsintroduites jusque la :

Definition 1.2.0.1. Soit f une fonction bornee sur un intervalle [a, b].On dit que f est integrable (au sens de Riemann) sur [a, b] lorsque les suites In

− etIn

+ convergent vers une meme limite I. Ce nombre est appele l’integrale de la fonctionf sur l’intervalle [a, b]. On le note

I =∫ b

a

f(t)dt.

1.2. DEFINITIONS DE L’INTEGRALE DE RIEMANN. 9

On a la propriete : , si de plus f est a valeurs positives, alors l’aire de la surface Set egale a l’integrale de la fonction f sur l’intervalle [a, b].

Exemple 1.2.0.2. Soit f la fonction constante egale a k ≥ 0 sur l’intervalle [a, b]. Lasurface S = {(x, y) ∈ R2, a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} n’est autre qu’un rectangle dontdeux cotes consecutifs ont pour longueur b− a et k. Cette fonction est donc integrablesur [a, b] et l’on a ∫ b

a

f(t)dt = k(b− a)

Exemple 1.2.0.3. On considere maintenant la fonction f : x 7→ x sur l’intervalle[0, 1]. On pose x0 = 0, x1 = 1/n, x2 = 2/n, . . . xk = k/n, . . . , xn = 1. Puisquef est croissante, on a mj = sup{f(x), x ∈ [xj , xj+1]} = f(xj) = xj = j/n etMj = sup{f(x), x ∈ [xj , xj+1]} = f(xj+1) = (j + 1)/n. On a donc

σn =n−1∑j=0

(xj+1 − xj)mj =n−1∑j=0

1n

j

n

et Σn =n−1∑j=0

(xj+1 − xj)Mj =n−1∑j=0

1n

j + 1n

Le lecteur montrera facilement que σn = n(n−1)2n2 et que σn = n(n+1)

2n2 , et donc que fest integrable sur cet intervalle avec∫ 1

0

f(t)dt =12.

Bien entendu, ce resultat ne doit pas vous surprendre : meme si on l’a calcule demaniere plutot compliquee, il s’agit de determiner l’aire d’un triangle !

Exercice 1.2.0.4. Il est encore plus amusant de calculer ainsi l’aire de la surface delimiteepar la parabole x 7→ x2, pour x ∈ [−1, 1] par exemple. Le lecteur pourra ainsi retrou-ver le resultat qu’a enonce Archimede : cette aire vaut 4/3 de l’aire du triangle inscrit.Il faut noter que la methode d’Archimede consiste a decouper la surface en triangles,plutot qu’en rectangles, mais l’idee de Riemann est la meme que celle d’Archimede !

1.2.1 Fonctions integrablesOn voit aisement que les fonctions en escalier sont integrables : on peut en effet

choisir la subdivision de telle sorte que les sommes de Darboux soient constantes,egales a la somme des aires des rectangles dessines par la courbe.

La propostion suivante, que nous admettrons, donne une autre classe bien plus im-portante de fonctions integrables :

Proposition 1.2.1.1. Soit f une fonction continue sur l’intervalle I = [a, b]. Alors fest integrable sur [a, b].

Voici enfin une classe plus generale de fonctions integrables qui regroupe les deuxclasses precedentes :


Definition 1.2.1.2. Un fonction f est dite continue par morceaux sur l’intervalle [a, b]s’il existe une subdivision finie {a = x0, x1, . . . , xn = b} de cet intervalle, telle quef soit continue sur chaque sous-intervalle ouvert ]xj , xj + 1[ et admette une limite agauche et a droite en chaque xj pour tout j ∈ {0, . . . , n − 1} et tout j ∈ {1, . . . , n}respectivement.

Proposition 1.2.1.3. Toute fonction f continue par morceaux sur [a, b] y est integrable.Son integrale sur [a, b] est alors egale a la somme des integrales de f sur chaque sous-intervalle ou elle est continue.

1.3 Quelques proprietesSoit f et g deux fonctions integrables sur l’intervalle [a, b] et λ un reel. Les pro-

prietes qui suivent s’obtiennent facilement a partir des axiomes et de la definitionprecedentes pour les fonctions a valeurs positives.

1.3.1 Relation de ChaslesSoit c ∈ [a, b], on a ∫ b

a

f(t)dt +∫ c

b

f(t)dt =∫ c

a

f(t)dt

Cette derniere egalite porte le nom de relation de Chasles pour les integrales. Ellespermettent au passage de definir

∫ a

bf(t)dt pour a < b. On doit en effet avoir∫ a

b

f(t)dt = −∫ b

a

f(t)dt

ce que l’on pourra considerer comme une definition.

1.3.2 Linearite de l’integraleProposition 1.3.2.1. La fonctions f + λg est integrable sur [a, b] et on a∫ b

a

(f + λg)(t)dt =∫ b

a

f(t)dt + λ

∫ b

a

g(t)dt

1.3.3 Positivite de l’integrale

1.3.4 Integrales et inegalitesProposition 1.3.4.1. Si pour tout x ∈ [a, b] on a f(x) ≤ g(x), alors :∫ b

a

f(t)dt ≤∫ b

a

g(t)dt

1.4. FORMULE DE LA MOYENNE 11

Par exemple si m et M sont respectivement un minorant et un majorant de f surl’intervalle [a, b], on a

m(b− a) ≤∫ b

a

f(t)dt ≤ M(b− a)

1.4 Formule de la moyenneSoit f une fonction integrable sur l’intervalle [a, b], alors il existe un reel c ∈]a, b[

tel que

f(c) =1

b− a

∫ b

a

f(t)dt

1.5 Primitives et integrales. Theoreme fondamental del’integration.

Nous donnons dans ce paragraphe une interpretation plus calculatoire de la notiond’integrale. Le lecteur doit avoir a l’esprit que c’est essentiellement cet aspect deschoses qui lui sera utile.

1.5.1 DefinitionDefinition 1.5.1.1. Soit f une fonction definie sur un intervalle I de R. On dit que lafonction derivable F est une primitive de f sur I si , pour tout x ∈ I on a F ′(x) = f(x).On note F =

∫f .

Si une fonction admet une primitive sur un intervalle, elle en admet plusieurs. Laproposition suivante montre cependant que ces primitives different entre elles d’uneconstante.

Proposition 1.5.1.2. Si F et G sont deux primitives d’une meme fonction f sur unintervalle I alors il existe un reel C tel que pour tout x de I on ait F (x) = G(x) + C.

Par exemple la fonction x 7→ lnx est une primitive sur ]0,+∞[ de la fonctionx 7→ 1/x, de meme que la fonction x 7→ ln(3x) puisque ln(3x) = lnx + ln3. Parcontre x 7→ lnx est la seule primitive de x 7→ 1/x ]0,+∞[ qui s’annule en x = 1.

1.5.2 Primitives d’une fonction continueProposition 1.5.2.1. Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a, b]. Ondefinit sur I la fonction A : x 7→

∫ x

af(t)dt. Cette fonction A est continue, derivable

sur I et c’est une primitive de f sur cet intervalle ; c’est la seule qui s’annule en a.

La formule de la moyenne fournit un moyen tres simple de calcul de l’integraled’une fonction lorsqu’on en connait une primitive. On a en effet la


Proposition 1.5.2.2. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b]. Si F est uneprimitive quelconque de la f sur [a, b], alors on a∫ b

a

f(t)dt = F (b)− F (a) =: [F ]ba

Demonstration. La fonction G : x 7→∫ x

af(t)dt est une primitive de f sur [a, b] ; les

fonctions F et G different donc d’une constante C. Or G(a) = F (a) + C = 0 doncC = −F (a) et G(b) = F (b) + C = F (b)− F (a).

On utilise les notations∫

f(x)dx ou∫ x

f(t)dt (Attention : pas∫ x

f(x)dx) pour

designer l’ensemble des primitives de la fonction f .

1.5.3 Primitives usuelles.

Voici une table des primitives qu’il faut connaıtre. L’intervalle ou ces primitivesexistent n’est pas precise, c’est ua lecteur d’y reflechir. On donne toutes les primitivesde la fonction : dans les formules ci-dessous C designe un nombre reel quelconque.

f F =∫

f

xα, pour α 6= −1 xα+1

α+1 + C

1x+a ln |x + a|+ C

sinx − cos x + C

cos x sinx + C

eαx eαx

α + C, pour α 6= 0

1√1−x2 arcsinx + C

11+x2 arctanx + C

On en deduit par theoreme de composition des derivees, le tableau suivant :

1.6. TROIS TECHNIQUES DE CALCUL 13

f F =∫

f

U ′Uα, pour α 6= −1 Uα+1

α+1 + C

U ′

U ln |U |+ C

U ′ sinU − cos U + C

U ′ cos U sinU + C

U ′eU eU + C

U ′√

1−U2 arcsin U + C

U ′

1+U2 arctanU + C

1.6 Trois techniques de calcul

1.6.1 Integration par partiesIl arrive que l’on ait a integrer un produit de fonctions. Bien entendu le lecteur sait

que le produit de primitives n’est pas une primitive du produit. Plus precisement, pourdeux fonctions u et v derivables, on a

(u.v)′(x) = u′(x).v(x) + u(x).v′(x)

On en deduit la formule d’integration par parties :

Proposition 1.6.1.1. Soit u et v deux fonctions de classe C1 sur [a, b]. On a∫ b

a

u′(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ba −∫ b

a

u(x)v′(x)dx

Cette formule est evidement tres utile lorsque l’une des deux integrales est beau-coup plus simple a calculer que l’autre. Soit par exemple

I =∫ π/2

0

x cos xdx


On pose u(x) = x et v′(x) = cos x. On a alors u′(x) = 1 et l’on peut prendrev(x) = sinx (un autre choix de primitive est tout a fait possible mais ne change pas leresultat du calcul). On obtient donc

I = [x sinx]π/20 −

∫ π/2

0

sinxdx =π

2− [− cos x]π/2

0 =π

2− 1

Cette formule s’appplique aux integrales des fonctions de la forme P (x) sinx,P (x) cos x, P (x)ex, avec P (x) un polynome.

1.6.2 Changement de variableLa proposition qui suit est connue sous le nom de formule du changement de va-

riable. Le lecteur doit noter que l’egalite ci-dessous peut etre lue dans les deux sens, etqu’elle sert autant dans l’un que dans l’autre.

Proposition 1.6.2.1. Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a, b]. Soit aussi uiune fonction continument derivable de [α, β] dans [a, b] avec u(α) = a et u(β) = b).On a ∫ b

a

f(x)dx =∫ β

α

f(u(t))u′(t)dt

Cette formule tres utile est facile a prouver : si F est une primitive de f sur [a, b],on a, pour tout t de [α, β]

(F ◦ u)′(t) = F ′(u(t)).u′(t) = f(u(t)).u′(t),

et il suffit d’integrer :∫ β

α

f(u(t))u′(t)dt = [F ◦ u(t)]βα = F (u(β))− F (u(α)) = F (b)− F (a)

ce qui prouve la proposition.Avec les notations differentielles que l’on a deja rencontree, si x = u(t), on peut

ecriredx

dt=

du

dt= u′(t), ou, en ...

du = u′(t)dt.

On peut donner un sens mathematique a ce petit calcul, mais pour l’instant on doit secontenter d’y voir un moyen de retenir cette formule, voir de la mettre en pratique. Eneffet, si l’on note u la variable notee x dans la formule ci-dessus (ce qui ne changerien), on lit ∫ b

a

f(u)du =∫ β

α

f(u(t))u′(t)dt.

Voici des exemples ou l’on applique la formule du changement de variable danschacun des deux sens.

1.6. TROIS TECHNIQUES DE CALCUL 15

• On veut d’abord calculer

I =∫ 1

0

f(u)du =∫ 1

0

√1− u2du

On va simplifier grandement le calcul en posant u(t) = sin t. On a du = u′(t)dt =cos tdt et u(α) = 0 pour α = 0, u(β) = 1 pour β = π

2 . La formule ci-dessus lue degauche a droite donne alors

I =∫ π/2

0

√1− sin2 t cos tdt.

Or sur l’intervalle [0, π/2],√

1− sin2 t = cos t, donc

I =∫ π

2

0

cos2 tdt =12

∫ π2

0

(1 + cos 2t)dt =12

[t +

sin 2t

2

]π/2

0

=π

4·

On vient de calculer la surface d’un quart de disque de rayon 1, donne par l’equationy2 = 1− x2, avec x ∈ [0, 1]. Pour un disque de rayon R, on trouve de cette maniere lavaleur de son aire : πR2.

• Calculons maintenant l’integrale

J =∫ e

1

(ln(t))2

tdt

On reconnait facilement dans la fonction a integrer une expression de la forme f(u(t))u′(t)avec u(t) = ln t (et donc u′(t) = 1/t) et f(x) = x2. On a u(1) = 0, u(e) = 1 et, enlisant la formule de changement de variable de droite a gauche,

J =∫ 1

0

u2du =13

1.6.3 Primitives de fraction rationnellesLorsque f est une fraction rationnelle, il existe un procede dit de decomposition

en elements simples qui permet de trouver ses primitives. Rappelons d’abord que cesprimitives n’existent que sur chaque intervalle inclus dans l’ensemble de definition def . On donne maintenant une idee de ce procede pour les fractions rationnelles du type

f(x) =αx + β

ax2 + bx + c·

Il faut distinguer trois cas :

• Cas 1 : le denominateur admet deux racines reelles distinctes x1 et x2. Dans ce cason peut ecrire

f(x) =A

x− x1+

B

x− x2,

ou A et B sont deux reels.


• Cas 2 : le denominateur admet une racine double x0. Dans ce cas il existe A et Bdans R tels que

f(x) =A

(x− x0)2+

B

x− x0

• Cas 3 : le denominateur ne s’annule pas : on ecrit

f(x) = A2ax + b

ax2 + bx + c+ B

1(x + b

2 )2 + ∆2·

Chapitre 2

Integrales doubles.

2.1 Integration sur les rectangles de R2

2.1.1 Motivations.De maniere analogue au cas des fonctions d’une variable, nous nous interessons

ici au calcul de certains volumes : volume situe sous le graphe d’une fonction f :[a, b]× [c, d] → R que l’on supposera dans un premier temps a valeurs positives.

En fait, on veut mesurer le volume de la partie de R3 V = {(x, y, z) ∈ R3, a ≤x ≤ b, c ≤ y ≤ d, 0 ≤ z ≤ f(x, y)} (cf. figure ci-dessous).

L’idee est la meme : decouper V en n “petits” parallelepipedes rectangles. On ob-tient une approximation du volume de V en faisant la somme des volumes de ces pa-rallelepipedes rectangles.

2.1.2 Definitions de l’integrale double au sens de Riemann.Soit f une fonction de deux variables definie et bornee sur un rectangle R = [a, b]×

[c, d] de R2. Soient n et m deux entiers strictement positifs. On considere :- une subdivision de l’intervalle [a, b] et n sous-intervalles de meme longueur b−a

n ,on ecrit :

xi = a + ib− a

n, i = 0 . . . n, Ii = [xi−1, xi], i = 1 . . . n;

- une subdivision de l’intervalle [c, d] et m sous-intervalles de meme longueur d−cm ,

on ecrit :

yj = c + jd− c

m, j = 0 . . .m, Jj = [yj−1, yj ], j = 1 . . .m.

On en deduit une subdivision du rectangle R = [a, b]×[c, d] en nm sous-rectanglesde meme aire : Ri,j := Ii × Jj .

17

18 CHAPITRE 2. INTEGRALES DOUBLES.

On recherche sur le Ri,j borne superieure Mi,j et la borne inferieure mi,j de lafonction f . Pout tout couple (i, j), on considere les deux parallelepipedes rectanglesde base Ri,j :

- P+i,j de hauteur Mi,j et

- P−i,j de hauteur mi,j .

On note

In+ =

∑i = 1, · · · , nj = 1, · · · ,m

vol(P+i,j) =

b− a

n

d− c

m

∑i = 1, · · · , nj = 1, · · · ,m

Mi,j

et

In− =

∑i = 1, · · · , nj = 1, · · · ,m

vol(P−i,j)) =

b− a

n

d− c

m

∑i = 1, · · · , nj = 1, · · · ,m

mi,j .

Ces sommes sont appelees sommes de Darboux.

Lorsque f est a valeurs positives et que l’on peut mesurer le volume de V , on doitavoir :

In− ≤ vol(V) ≤ In

+

Definition 2.1.2.1. Soit f une fonction bornee sur le rectangle R = [a, b]× [c, d].On dit que f est integrable (au sens de Riemann) sur R lorsque les suites In

− et In+

convergent vers une meme limite I. Ce nombre est appele l’integrale de la fonction fsur le rectangle R. On le note

I =∫∫

R

f(x, y)dxdy.

Si de plus f est a valeurs positives, alors on a la propriete :“ le volume de V egale l’integrale de la fonction f sur R.”

2.1.3 Quelques proprietesSoit f et g deux fonctions integrables sur le rectangle R et λ un reel. Les proprietes

suivantes s’obtiennent a partir de la definition precedente.

Linearite de l’integrale

Proposition 2.1.3.1. La fonction f + λg est integrable sur R et on a∫∫R

(f + λg)(x, y)dxdy =∫∫

R

f(x, y)dxdy + λ

∫∫R

g(x, y)dxdy

2.1. INTEGRATION SUR LES RECTANGLES DE R2 19

Positivite de l’integrale

f ≥ 0 =⇒∫∫

R

f(x, y)dxdy ≥ 0

Integrales et inegalites

Proposition 2.1.3.2. Si pour tout (x, y) ∈ R on a f(x, y) ≤ g(x, y), alors :∫∫R

f(x, y)dxdy ≤∫∫

R

g(x, y)dxdy

Par exemple si m et M sont respectivement un minorant et un majorant de f sur R,on a

mAire(R) = m(b− a)(d− c) ≤∫∫

R

f(x, y)dxdy ≤ M(b− a)(d− c)

Formule de la moyenne

Soit f une fonction integrable sur R, alors il existe c ∈ R tel que

f(c) =1

Aire(R)

∫∫R

f(x, y)dxdy =: la moyenne de f sur R.

2.1.4 Integration des fonctions continues (par morceaux). Liensavec les integrales iterees et Theoreme de Fubini.

Nous donnons dans ce paragraphe une interpretation plus calculatoire de la notiond’integrale. Le lecteur doit avoir a l’esprit que c’est essentiellement cet aspect deschoses qui lui sera utile.

Soit f une fonction continue (par morceaux) sur un rectangle R = [a, b] × [c, d].On definit :

- pour tout y ∈ [c, d], la fonction fy :{

[a, b] → Rx 7→ f(x, y) qui est continue par

morceaux sur [a, b], donc integrable sur [a, b] et son integrale est∫ b

afy(x)dx =: F (y).

De plus l’application y 7→ F (y) est integrable sur [c, d] (d’apres les rappels vus dansle chapitre precedent) ;

- pour tout x ∈ [a, b], la fonction fx :{

[c, d] → Ry 7→ f(x, y) qui est continue par

morceaux sur [c, d] donc integrable sur [c, d] et son integrale est∫ d

cfx(y)dy =: G(x).

De plus l’application x 7→ G(x) est integrable sur [a, b].

Theoreme 2.1.4.1. Soit f une fonction continue (par morceaux) sur un rectangle R =[a, b]× [c, d] alors :


1. f est integrable sur R et

2. ∫∫R

f(x, y)dxdy =∫ d

c

(∫ b

a

fy(x)dx

)dy =

∫ b

a

(∫ d

c

fx(y)dy

)dx

Exemple 2.1.4.2.Calculer

RRR 2xy − 3y2dxdy, ou R = [0, 1]× [1, 2].

Calculer le volume delimite par le paraboloıde d’equation x2 + 2y2 + z = 16 et les plans z = 0,x = 0, x = 2, y = 0, y = 2.

2.2 Integration sur les autres sous-ensembles de R2

Soit D un sous-ensemble de R2 contenu dans un rectangle R, autrement dit D estborne (par exemple D est un disque, une courbe fermee ...).

2.2.1 Definitions

Definition 2.2.1.1. On appelle (fonction) indicatrice de D l’application notee 1ID :R2 → R definie par :

1ID(x, y) = 1 si (x, y) ∈ D et 1ID(x, y) = 0 si (x, y) /∈ D

Remarque 2.2.1.2. Pour tous les sous-ensembles de R2 autres que R2 et l’ensemblevide, la fonction indicatrice n’est pas une fonction continue.

Definition 2.2.1.3. On dit qu’une fonction f : R2 → R definie sur D (et etendue sibesoin est par la fonction nulle sur R) est integrable sur D si la fonction g(x, y) :=1ID(x, y)f(x, y) est integrable sur R au sens du paragraphe precedent et on pose :∫∫

D

f(x, y)dxdy =∫∫

R

1ID(x, y)f(x, y)dxdy

2.2.2 Proprietes.

Soit f et g deux fonctions integrables sur le domaine D et λ un reel.

Linearite de l’integrale.

Proposition 2.2.2.1. La fonctions f + λg est integrable sur D et on a∫∫D

(f + λg)(x, y)dxdy =∫∫

D

f(x, y)dxdy + λ

∫∫D

g(x, y)dxdy

2.2. INTEGRATION SUR LES AUTRES SOUS-ENSEMBLES DE R2 21

Positivite de l’integrale

f ≥ 0 =⇒∫∫

D

f(x, y)dxdy ≥ 0

Integrales et inegalites.

Si pour tout (x, y) ∈ D on a f(x, y) ≤ g(x, y), alors :∫∫D

f(x, y)dxdy ≤∫∫

D

g(x, y)dxdy

Integrale et aire.

Aire(D) =∫∫

D

1dxdy

Formule de la moyenne.

Soit f une fonction integrable sur D, alors il existe c ∈ D tel que

f(c) =1

Aire(D)

∫∫D

f(x, y)dxdy =: la moyenne de f sur R.

Comme consequence, si m et M sont respectivement un minorant et un majorantde f sur R, alors on a

mAire(D) ≤∫∫

D

f(x, y)dxdy ≤ MAire(D)

Ensembles d’aire nulle.

De la formule precedente, on deduit que si D est un sous-ensemble de R2 de airenulle et f est une fonction continue (par morceaux) au voisinage de D alors∫∫

D

f(x, y)dxdy = 0

Un sous-ensemble de R2 forme d’un nombre fini de morceaux de graphes de fonc-tions continues (y = h(x) ou x = k(y)) est d’aire nulle. Par exemple, un ensemble finiest d’aire nulle, un cercle est d’aire nulle. Les sous-ensembles de R2 d’aire nulle sontparfois appeles ensembles negligeables.

Additivite.

∫∫D1∪D2

f(x, y)dxdy =∫∫

D1

f(x, y)dxdy+∫∫

D2

f(x, y)dxdy−∫∫

D1∩D2

f(x, y)dxdy


2.2.3 Theoreme de Fubini. Domaines de Fubini.Theoreme 2.2.3.1.

1. Soit D un sous-ensemble de R2 de la forme

D = {(x, y) ∈ R2 :{

a ≤ x ≤ bh1(x) ≤ y ≤ h2(x)

}}

ou h1 et h2 sont des fonctions continues sur l’intervalle [a, b].2. Soit f une fonction continue (par morceaux) sur un rectangle contenant D.

Alors f est integrable sur D et

∫∫D

f(x, y)dxdy =∫ b

a

(∫ h2(x)

h1(x)

f(x, y)dy

)dx

Definition. Remarque

Un domaine D comme dans l’hypothese 2 du theoreme precedent est appele do-maine de Fubini. La majeure difficulte dans les calculs d’integrales multiples consistea ecrire un domaine D donne sous forme implicite ( c’est a dire sous la forme {(x, y) ∈R2 : g(x, y) = 0}, par exemple un disque ) comme une reunion finie de domaines deFubini.

Exemples.

Exemple 2.2.3.2.

Calculer∫∫

D

(2xy + x)dxdy ou D est le demi-disque unite superieur de R2.

Solution. On a D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 et y ≥ 0}, ecrivons D comme un domaine de Fubini.Pour cela nous devons :

1. determiner les variations de x (la valeur minimale m et la valeur maximale M de x sur D) on ecritalors mleqx ≤ M ;

2. x etant fixe, determiner les variations de y en fonction de cette valeurs de x : on ecrit g(x) ≤ y ≤h(x).

Soit (x, y) ∈ D, on a : x2 + y2 ≤ 1⇔ y2 ≤ 1 + x2 ⇔ y ≤√

1 + x2

car y ≥ 0. De plus, pour que la fonction√

1 + x2 soit bien definie il faut et il suffit que x ∈ [−1, 1].

Par consequent, le domaine D s’ecrit D = {(x, y) ∈ R2 :

−1 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤√

1 + x2

ff}, c’est un

domaine de Fubini. On a donc, par le theoreme de Fubini :ZZD

(2xy + x)dxdy =

Z 1

−1

Z √1+x2

0(2xy + x)dy

!dx =

=

Z 1

−1

ˆxy2 + xy

˜√1+x2

0dx =

Z 1

−1(x(1 + x2)+x

p1 + x2)dx =

»1

2x2 +

1

3x3 +

1

2

„2

3(1 + x2)

32

«–1−1

Car 2x√

1 + x2 = U ′U12 a pour primitive 1

12+1

U12+1 = 2

3U

32 .

=2

3

2.3. CHANGEMENT DE VARIABLES 23

2.3 Changement de variablesRappels en une variable. Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a, b] et une

bijection derivable

φ :{

[α = φ−1(a), β = φ−1(b)] → [a, b]t 7→ x(t)

Alors on a : ∫ b

a

f(x)dx =∫ φ−1(b)

φ−1(a)

f(φ(t))φ′(t)dt

Theoreme 2.3.0.3.Hypotheses.1. f est une fonction continue sur un domaine borne D de R2,2. φ est un C1-diffeomorphisme de ∆ dans D :

φ :{

∆ → D(u, v) 7→ (x(u, v), y(u, v))

Conclusion. On a :∫∫D

f(x, y)dxdy =∫∫

∆

f(x(u, v), y(u, v))|JACφ(u, v)|dudv

2.3.1 Exemples de changement de variables classiques.

2.3.2 Changement de variables ”affines”.Proposition. Definition 2.3.2.1. L’application affine

φ :

∆ → D

(u, v) 7→(

x(u, v) = a1u + b1v + c1

y(u, v) = a2u + b2v + c2

)

ou ai, bi, ci sont des constantes reelles telles que∣∣∣∣ a1 b1

a2 b2

∣∣∣∣ 6= 0

est un C1-diffeomorphisme de ∆ dans D = φ(∆) dont le determinant jacobien est

exactement∣∣∣∣ a1 b1

a2 b2

∣∣∣∣.Le passage en coordonnees polaires.

Proposition. Definition 2.3.2.2.L’application

φ :

]0, R]×]0, 2π] → D(0, R) \ {(0, 0)}

(r, θ) 7→(

x(r, θ) = r cos θy(r, θ) = r sin θ

)


est un C1-diffeomorphisme dont le determinant jacobien est r.

De plus, si f est une fonction continue sur D(0, R) on a∫∫D(0,R)

f(x, y)dxdy =∫∫

[0,R]×[0,2π]

f(r cos θ, r sin θ)rdrdθ

=∫

[0,2π]

(∫[0,R]

f(r cos θ, r sin θ)rdr

)dθ =

∫[0,R]

r

(∫[0,2π]

f(r cos θ, r sin θ)dθ

)dr

Car les ensembles {0} × [0, 2π], [0, R]× {0} et {(0, 0)} sont d’aires nulles.

Exemples.

Exemple 2.3.2.3.Calculer l’aire de D : le disque de centre 0 et de rayon R.Solution : on a

Aire(D) =

ZZD

1dxdy =

Z[0,R]

r

Z[0,2π]

dθ

!dr =

Z[0,R]

2πrdr = πR2

calcul integral.´ - laboratoire paul painlevémath.univ-lille1.fr/~liousse/202int08.pdf ·...

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