L’INTEGRALE INDEFINITO

DEFINIZIONI, PROPRIETA’ E METODI

Appunti di MATEMATICAFIORENZO MERLI

Docente di matematica I.T.T. “G.MARCONI”-PC

LA MUSICA DELLA MATEMATICA

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Appunti di MATEMATICAFIORENZO MERLI

Docente di matematica I.T.T. “G.MARCONI”-PC

L’INTEGRALE INDEFINITO

DEFINIZIONI, PROPRIETA’ E METODI

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FIORENZO MERLI

Redatto da Fiorenzo Merli© 2016 Fiorenzo Merli – Tutti i diritti riservatiI contenuti di questo sito, salvo diversa indicazione, sono rilasciati sotto una licenza Creative Commons License Tutti i marchi sono proprietà dei rispettivi proprietari

Ai potenziali fruitori einconsapevoli revisori,allievi delle classi 5e

eal più prolifico dei matematici che con la sua funzione gamma

Γ( x)=∫0

+∞

t x−1e−t dt

mi ha dato lo spuntoper le cornici di separazionedegli argomenti trattati.

Prefazione

<<Oggi trattiamo il concetto di integrazione come operatore inverso della derivata……………. ……………………. qualcuno ne ha già sentito parlare?>>. Laggiù in fondo alla classe Mister X, senza indugi, alza la mano, il professore gli dà laparola: <<Il mugnaio deriva la farina dal grano ed il panettiere la utilizza per produrre il paneintegrale, perciò è falso ritenere che le due operazioni siano una l’inversa dell’altra perché secosì fosse il panettiere dovrebbe riottenere il grano dalla farina, invece produce pane, c.v.d.(come volevasi dimostrare!)>>.

Replica il professore: <<Mi compiaccio del tuo senso pratico e delle capacità logiche mastiamo parlando di concetti matematici ………….. comunque cerca di pazientare, non appenasarà possibile affronteremo applicazioni concrete>>. Mister X: <<Perder tempo a chi più sa più spiace ……….. come insegna quella famosacommedia; io, prof, non ho tempo da perdere, preferisco dedicarmi a qualcosa diimmediatamente spendibile piuttosto che a inutili speculazioni scientifiche>> Niente da fare ............. sembrerebbe una battaglia persa in partenza, ma il prof. non demordee forte delle sue convinzioni cede solo momentaneamente il passo riservandosi la possibilitàdi rifilare la stoccata finale su un campo a lui più favorevole.

Siamo “semplicemente” di fronte ad un potente strumento astratto della matematica che cicondurrà alla modellizzazione di problemi reali risolvibili attraverso integrali definiti edequazioni differenziali.

F. Merli

“o pazienza, che tanto sostieni! A questa voce vid' io più fiammelle

Di grado in grado scendere e girarsi, Ed ogni giro le facea più belle.”

Dante Alighieri. Divina Commedia, Canto XXI del Paradiso.

“La differenza tra il poeta e il matematico è che il poeta cerca di infilare la testa nel cielo, mentre il matematico cerca di infilare il cielo nella sua testa.”

GK Chesterton.

Per una trattazione completa ed esaustiva del calcolo algebrico, nei cicli di studi inferiori, insieme alle operazioni di somma e moltiplicazione sono state introdotte le operazioni inversedi sottrazione e divisione; al biennio delle superiori, insieme all’elevamento a potenza è stata introdotta l’operazione inversa di estrazione di radice; al terzo anno delle superiori, insieme alla funzione esponenziale è stata introdotta quella inversa di logaritmo e insieme alle funzioni goniometriche sono state introdotte le rispettive funzioni inverse.Durante il quarto anno delle superiori (negli istituti tecnici) viene introdotto un operatore fondamentale del calcolo infinitesimale: la derivazione.La derivazione è legata al concetto di derivata o equivalentemente a quello di differenziale che indica una variazione della funzione su cui opera al variare della variabile indipendente:

df (x)=f I (x)dx .Ora dobbiamo chiederci se per una trattazione completa ed esaustiva del calcolo infinitesimale non sia, naturalmente, necessaria la presenza di un operatore in grado di invertire gli effetti del differenziale.La risposta è affermativa ed il suo nome è quello di INTEGRAZIONE.

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Definizioni

L’integrale indefinito di una funzione f(x) è l’insieme delle funzioni la cui derivata è uguale a f(x) in un dominio della funzione data. Si indica ∫ f (x)dx e si legge <<integrale di f di x in de x>>, dove f(x) si chiama funzione integranda.

Le funzioni F(x) tali che F I(x) = f(x) ∀ x∈[a , b ] si dicono primitive di f(x) in [a,b], perciò l'integrale indefinito è l'insieme di tutte le primitive di f(x) in [a,b]. Di fatto è la primitiva ad essere l’operatore inverso della derivazione.

E’ importante osservare che quando la derivata di una funzione esiste essa è unica, mentre quando una funzione ammette una primitiva allora ne ha infinite.

Perciò l’integrale indefinito è noto univocamente a meno di una costante additiva nel senso che se F(x) è una primitiva di f(x) allora anche G(x) = F(x) + costante lo è, infatti

G I(x) = F I(x) + 0 = f(x).c.v.d.

Viceversa se F(x) e G(x) sono due primitive di f(x) allora differiscono per una costante cioè F(x) – G(x) = costante, infatti applicando il teorema del valor medio (di Lagrange) alla funzione h(x) = F(x) – G(x) nell'intervallo [x1,x2] ∀ x1, x2∈[a ,b ] si ha che

h( x2)−h( x1)

x2−x1

=h' (c) ,c∈( x1, x2) ma h'(x) = F'(x) – G'(x) = f(x) – f(x) = 0 ∀ x∈[a , b ] in

particolare h’(c) = 0 e per Lagrange h( x2)−h( x1)

x2−x1

=0 da cui h( x2)−h( x1)=0 ovvero

h( x2)=h( x1) ∀ x1 , x2∈[a , b] cioè F(x) – G(x) = h(x) = costante.

c.v.d.

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Condizioni di integrabilità.

Condizione sufficiente di integrabilità per una funzione f(x) definita su un dominio D è che f(x) sia continua in quel dominio D.

Una funzione definita su tutto l’intervallo [a,b], che presenta in tale intervallo una discontinuità di tipo salto (1a specie), non ammetterà primitiva in quell’intervallo.

Esempio1.1

La funzione segno di x: f (x)={+1 , per x>00, per x=0

−1, per x<0è definita su tutto ℝ , presenta una

discontinuità di tipo salto in x=0 e non ammette primitive in ℝ .

Esempio1.2

La funzione segno di x , così modificata f (x)={+1 , per x>0−1, per x<0

è definita sul dominio non

connesso [-∞,0)∪(0,+∞], presenta una discontinuità di tipo salto in x=0 ed ammette primitive nel suo dominio; una può essere espressa elementarmente così:

F( x)={+x , per x>0−x , per x<0

Tutte le altre si possono ottenere attraverso una costante additiva: F(x)+cost.

Esempio1.3

f (x)={2 x sin1x−cos

1x

, per x≠0

0, per x=0f(x) è una funzione definita su tutto ℝ ,discontinua in x=0 ma integrabile.

L’espressione elementare di una sua primitiva è data da F( x)={x2 sin

1x

, per x≠0

0, per x=0

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Primitive non esprimibili elementarmente.

Sappiamo dal quarto anno del ciclo di studi superiori che la derivata di una funzione elementare è ancora una funzione elementare, ciò non accade per le primitive.Esistono, cioè, funzioni integrabili il cui integrale indefinito non è esprimibile elementarmente, ovvero non si può scrivere mediante operazioni algebriche (somma, prodotto, sottrazione, divisione, elevamento a potenza, estrazione di radice) di funzioni elementari (razionali, irrazionali, esponenziali, logaritmiche, goniometriche e loro inverse).

Esempi: e x2

, e−x 2

,e x

x,

ex−1x

,sin x

x,

1ln x

,ln (x+1)

x, sin x2 ,

1

√x3+1, int. ellittici, …....

In questi casi si può ricorrere a metodi numerici per approssimare la funzione integranda,per esempio mediante lo sviluppo in formule di Taylor/Mac-Laurin.

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Proprietà dell’integrale indefinito.

Proprietà caratterizzante l’operatore inverso di derivazione:

∫ f ' (x)dx=f (x)+costante e viceversa ddx∫ f ( x)dx=f ( x)

Proprietà di linearità: , con k 1,k 2∈ℝ

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Metodi d’integrazione.

Integrazione immediata: si deduce il risultato individuando direttamente una primitiva della funzione integranda attraverso il calcolo della sua derivata.

Esempi:

∫k dx=kx+costante , conk ∈ℝ ∫cos x dx=sin x+costante

∫ xk dx=x(k+1)

k+1+costante , conk∈ℝ−{−1}

∫ 1x

dx=ln|x|+costante ∫ 1

√1−x2dx=arcsin x+costante

∫ 1

√xdx=2√x+costante ∫−

1

√1−x2dx=arccos x+costante

∫ex dx=e x+costante ∫|x|x

dx=|x|+costante

∫ax dx=ax

ln a+costante=a x loga e+costante ,con a∈ℝ∧a>0∧a≠1

∫ 1

cos2 xdx=tan x+costante ∫ tan x dx=−ln|cos x|+costante

∫−1

sin2 xdx=cot x+costante ∫cot x dx=ln|sin x|+costante

∫ 1

x2+1

dx=arctan x+costante ∫−1

x2+1

dx=arccot x+costante

∫ [k1 f (x)+k 2 g(x)]dx=k 1∫ f ( x)dx+k2∫ g(x)dx

∫ sin x dx=−cos x+costante

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Integrazione con l’uso di formuleo di artifici algebrici: si applicano formule già studiate o particolari

artifici/proprietà algebrici/algebriche per ricondursi ad integrali immediati o per poter applicare altri metodi risolutivi.

Esempi:

∫3 x−√x3+π

√xdx=∫(3 x

√x−√x3

√x+ π√x )dx=3∫√x dx−∫ x dx+π∫ 1

√xdx=2√x3−

x2

2+2π√x+cost .

∫ sin2 x dx=∫(±√1−cos(2 x)2 )

2

dx=12∫dx−

12∫cos(2 x)dx=

12

x−14

sin (2 x)+costante

∫ xx−1

dx=∫ x−1+1x−1

dx=∫(1+1

x−1 )dx=∫dx+∫ 1x−1

dx=x+ln|x−1|+costante

∫ x

x2−1

dx=12∫

2 x

x2−1

dx=12

ln|x2−1|+costante=ln √|x2−1|+costante

∫ 1

x2+x+1

dx=∫ 1

x2+x+

14−

14+1

dx=∫ 1

( x+12)

2

+34

dx= 43∫

1

[ 2

√3 (x+12 )]

2

+1

dx=

=43√32

arctan[ 2

√3 (x+12 )]+cosante=

23√3arctan [ 2

√3 (x+12 )]+costante

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Integrazione per sostituzionevia differenziale: si applica la definizione di differenziale e successivamente

una sostituzione della variabile indipendente (nella funzione integranda è presente una funzione della variabile indipendente, eventualmente ricorrente, e della sua derivata).

Esempi:

∫ tan x dx=∫ sin xcos x

dx=∫−d cos xcos x

=cos x=t

∫−dtt=−ln|t|+costante =

t=cos x−ln|cos x|+costante

∫ ln xx

dx=∫ ln x1x

dx=∫ ln x d ln x =ln x=t

∫ t dt=t 2

2+costante =

t=ln x 12

ln2 x+costante

∫ e x

1−ex dx=∫ e x dx

1−ex =∫dex

1−ex =ex=t

∫ dt1−t

=−ln|1−t|+costante =t=e x

−ln|1−e x|+costante

∫ x3√4+x 2dx=

12∫

3√4+x2 dx2 =x2=t

12∫

3√4+t dt=12⋅

34

3√(4+t )4+cost . =t=x 2

38(4+x2)

3√4+x2+cost .

∫ x

√1−x4dx=∫

12

dx2

√1−(x2)2=

x 2= t 1

2∫dt

√1−t2dt =

t=x2 12

arcsin t +cost .=12

arcsin x2+cost .

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Integrazione per sostituzione diretta: si applica direttamente la sostituzione, si ricalcola il differenziale della variabile indipendente originaria in funzione della nuova variabile.

Esempi:

∫ 1x+√x

dx =√x=t ⇒ x=t2

⇒ dx=2 t dt∫ 2 t

t2+t

dt=∫ 2t+1

dt=2ln|t +1|+cost . =t=√x

ln (1+√x)2+cost .

∫ 1sin x

dx =

sin x=

2 tan x2

1+tan2 x2

⇒ tan x2=t ⇒ x=2 arctan t ⇒ dx= 2

1+t2

∫ 1+t 2

2 t2

1+t 2dt=∫ 1

tdt =

t=tan x2

ln|tan x2|+cost .

Integrazione per decomposizione in fratte semplici: si applica alle funzioni razionali fratte scomponendo

in ℝ il denominatore della funzione integranda e applicando il principio d’identità dei polinomi allo scopo di scrivere la funzione integranda come somma di funzioni razionali fratte facilmente integrabili (fratte semplici).

Esempi:

∫ 1

x5−x2 dx=∫ 1

x2(x3

−1)dx=∫ 1

x 2( x−1)(x2

+x+1)dx=

1

x2(x3−1)=

Ax

+B

x2+

Cx−1

+Dx+E

x2+x+1⇒ {

A=0B=−1

C=13

D=−13

E=13

da cui

=−∫ 1

x2 dx+13∫

1x−1

dx− 13∫

x−1

x2+x+1

dx= 1x+

13

ln|x−1|−16∫

2 x−2

x2+x+1

dx=

=1x+

13

ln|x−1|−16∫

2 x+1−3

x 2+x+1dx=

1x+

13

ln|x−1|− 16∫

2 x+1

x2+x+1dx+

12∫

1

x2+x+1dx=

=1x+

13

ln|x−1|− 16

ln(x2+x+1)+

13√3 arctan [ 2

√3 (x+12 )]+costante=

=1x+ln

6√( x−1)2

x2+x+1+√33

arctan[ 2

√3 (x+12 )]+costante

∫ 1

(1+x2)

2 dx=

1

(1+x2)2=

Ax+B

1+x2 +ddx (Cx+D

1+x2 ) ⇒ {A=0

B=12

C=12

D=0

da cui

=12∫

1

1+x2 dx+∫ ddx (

12

x

1+x2 )dx=12

arctan x+12∫

ddx ( x

1+x2 )dx=12

arctan x+12

x

1+x2 +costante

Integrazione per d ivisione polinomiale: si applica alle funzioni razionali fratte improprie cioè aventi il grado del numeratore superiore o uguale a quello del denominatore; dalla legge fondamentale della divisione si riesce a scrivere la funzione integranda come somma di una funzione intera e di una razionale fratta propria integrabili con le tecniche precedenti.

Esempi:

∫ 2 x3+1x−1

dx=

2x3 + 0x2 + 0x + 1 x - 12x3 – 2x2 2x2 + 2x + 2// +2x2 + 0x + 1 +2x2 - 2x

// +2x + 1 +2x - 2

// + 3

da cui

∫ 2 x3+1x−1

dx=∫2 x2 dx+∫2 x dx+∫2dx+∫ 3x−1

dx=23

x3+x2+2 x+3 ln|x−1|+cost .

Integrazione per parti: si applica comunemente quando la funzione integranda è il prodotto di due funzioni appartenenti a classi diverse (es. algebriche e trascendenti). Scegliere il fattore differenziale f’(x) e quello finito g(x) in modo conveniente ed applicare la formula

∫ f ' (x)g(x)dx =

f ' (x) fatt .differenziale .g (x) fatt . finito

f (x )g(x)−∫ f (x)g ' (x)dxEsempi:

2 x3+1=(x−1)(2 x2+2 x+2)+3 ⇒

⇒2 x3

+1x−1

=2 x2+2 x+2+3

x−1

∫ ln x dx =

f ' (x)=1g (x)=ln x

x lnx−∫ x1x

dx=x ln x−∫dx=x ln x−x+cost .=x(−1+ln x)+cost .

∫ex⋅cos x dx =

f ' (x)=cos x

g (x)=e x

e x⋅sin x−∫ex⋅sin x dx =

f ' (x)=sin x

g (x)=ex

ex⋅sin x−(−ex⋅cos x−∫−ex⋅cos x)

uguagliando il primo e l’ultimo membro e risolvendo rispetto all’incognita

∫ex⋅cos x dx si ha

∫ex⋅cos x dx=ex⋅sin x+e x⋅cos x−∫ ex⋅cos x ⇒ 2∫ ex⋅cos x dx=e x(sin x+cos x)

da cui ∫ex⋅cos x dx=12

ex (sin x+cos x)+cost .

Integrazione per sostituzione speciale: è una tipologia di sostituzione diretta che si applica ad alcune funzioni irrazionali.

Esempi:

∫√x2−1 dx =√x2

−1=t −x ⇒ x1−1= t2

−2 tx+x2⇒ x=

1+t2

2 t⇒dx= t2

−12 t2

dt

∫(t−1+t 2

2 t )⋅t 2−1

2 t 2 dt=...=∫ t4−2 t 2+1

4 t3 dt=

=14∫(t−2

t+

1

t 3)dt= 14 (t2

2−2 ln|t|− 1

2 t2 )+cost .= ......t=x+√x2−1

=12

x√x 2−1− 12

ln( x+√x2−1)+cost .

∫√1−x2dx =

x=sin t⇒ dx=cos t dtt=arcsin x,− π

2≤t≤+π

2∫√1−sin2t cos t dt=∫cos2 t dt =

bisezione∫

1+cos(2 t)2

dt=

=12

t+14

sin (2 t )+cost . =duplicazione 1

2t+1

2sin t⋅cos t +cost . =

t=arcsin x 12

arcsin x+12

sin (arcsin x )+

+cos(arcsin x)+cost .=12

arcsin x+12

x √1−x2+cost .

∫ 1(1+x2)2 dx =

x= tan t ⇒dx= 1

cos2t dt

t=arctan x ,−π2≤t≤+π

2∫ 1

(1+tan2t)2

1cos2t

dt=∫ 1

(1+sin2 t

cos2t)

2

1cos2t

dt=

=∫cos4 t

cos2t+cost .=∫cos2t dt =

bisezione∫

1+cos (2 t)2

dt=12

t+14

sin (2 t)+cost .=

=duplicazione 1

2t+

12

sin t⋅cos t+cost . =

t=arctan xx= tan t ⇒x cos t=sin t 1

2arctan x+

12

x cos2 t+cost .=

=cos2 t= 1

1+tan2t 12

arctan x+

12

x

1+tan2 t+cost . =

tan t=x 12

arctan x+12

x

1+x2+cost .

∫ 1

√(1+x−2 x2)dx=∫ 1

√(1−x )(2 x+1)dx =

t (1−x )=√(1−x)(2 x+1)⇒ x=t2−1

2+t2⇒dx= 6 t

(2+t2)2dt

=∫ 1

t (1−t 2−1

2+t2 )6 t

(2+t 2)2 dt=∫ 2+t 2

3 t6 t

(2+t2)2 dt=∫ 2

2+t2 dt=∫ 1

1+( t

√2 )2 dt=

=√2 arctg( t

√2 )+cost . =t =√(1−x)(2 x+1)

1−x√2 arctg(√(1−x)(2 x+1)

(1−x)√2 )+cost .=√2arctg(√2 x+12−2 x )+cost .

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Integrali articolati(integrali in cui è necessario utilizzare più di un metodo)

∫cos3 x dx=∫cos2 x cos x dx=∫(1−sin2 x)cos x dx=∫(1−sin2 x)d sin x =sin x=t

∫(1−t 2)dt=

=t−t 3

3+cost . =

t=sin xsin x−

sin3 x3

+cost .

∫cos4 x dx=∫(±√1+cos (2 x)

2 )4

dx=14∫ (1+2cos(2 x)+cos2

(2 x))dx=

=14

x+14

sin(2 x)+14∫cos2(2 x)d sin x=

14

x+14

sin (2 x)+14∫(±√1+cos(4 x)

2 )2

dx=

=14

x+14

sin(2 x)+18

x+1

32sin (4 x)+cost .=3

8x+

14

sin (2 x)+1

32sin(4 x)+cost .

∫ tanh x dx=∫ ex−e−x

e x+e−x dx =e x=t ⇒ x= ln t ⇒ dx=1

tdt

∫ t2−1

t2+1

1t

dt=∫ t 2+1−2

t 2+1

1t

dt=

=∫ 1t

dt−2∫ 1

t (t 2+1)dt =

1

t(t2+1)

=At+

Bt+C

t2+1

⇒{A=1

B=−1C=0

ln|t|−2∫ 1t

dt+∫ 2 t

t 2+1=

=ln|t|−2ln|t|+ln(t 2+1)+cost . =

t=e x

−x+ln (e2 x+1)+cost .=

che, evidenziando l’analogia tra funzioni circolari e iperboliche, si può anche scrivere

=−x+ln(e2x+1)+cost.=−ln e x+ln (e2x+1)+cost.=lne2x+1

e x +cost.=

=ln(2 e x+e−x

2 )+cost.=ln 2+ln e x+e−x

2+cost.=ln cosh x+cost.

L’integrale della tangente iperbolica è il logaritmo del coseno iperbolico.