INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LA COSTA GRANDE

INGENIERIA ELECTROMECANICA

CALCULO DIFERENCIAL

“TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO“

PRESENTA

CARLOS ALBERTO BAZAN PALACIOS

ASESOR

ERIC RAFAEL MENDEZ MARQUEZ

ZIHU ATANEJO, GRO, A 24 DE FEBRERO DEL 2011

I. OBJETIVO

II. INTRODUCCION

Capitulo 1 “MEDICION APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS”

Capitulo 2 “NOTACION SUMATORIA”

Capitulo 3 “SUMAS DE RIMANN”

Capitulo 4 “DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA”

4.1 EL TEOREMA APLICADO A UNA FUNCIÓN DETERMINADA

4.2 EL TEOREMA APLICADO A UN TIPO DIFERENTE DE FUNCIONES

Capitulo 5 “TEOREMA DE EXISTENCIA”

Capitulo 6 “PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA”

6.1 PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN

6.1.1 Primera propiedad

6.1.2 Segunda propiedad

6.1.3 Tercera propiedad

Capitulo 7 “FUNCION PRIMITIVA”

INDICE

Capitulo 8 “TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO”

Capitulo 9 “CALCULO DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS”

Capitulo 10 “INTEGRALES PROPIAS”

10.1 CARÁCTER Y VALOR DE LAS INTEGRALES IMPROPIAS

10.1 Primera especie

10.2 Segunda Especie

10.3 Tercera Especie

INTRODUCCION

El Teorema fundamental del Cálculo, como su nombre lo indica es un

importante resultado que relaciona el Cálculo Diferencial con el

Cálculo Integral. En este trabajo se estudiarán las bases que permiten

diseñar técnicas para el cálculo de integrales.

Algunos temas los cuales se abordaran en esta investigación serán; la

sumas de Riemann, el teorema de la existencia, notación sumatoria,

entre otros.

En conjunto esta investigación habla sobre los conocimientos básicos

que debe tener para la resolución de las integrales, ya que sin unos

conocimientos previos antes de integrar no podríamos entender sobre

como calcular integrales.

Capitulo 1

“MEDICION APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS”

Las figuras amorfas, “son aquellas figuras que no tienen forma porque en

realidad TODO tiene una forma, pero se refiere a que no tiene forma conocida, no

es un cuadrado, ni triángulo, ni nada de ese estilo. Es una curva o una figura de

muchos lados distintos y "deforme". y su principal finalidad es encontrar en una

grafica dada su área de la parte de adentro de la figura donde se encuentra el

punto dado de la figura amorfa”. La notación sumatoria es encontrar el valor de la

ecuación dada respecto a un número determinado cuando un punto “n” tiende a

cualquier número dado. Existen dos tipos de notación sumatoria: la notación

sumatoria abierta y la notación sumatoria pertinente.

La suma de Riemann es igual al de las figuras amorfas solo que en esta se

emplean una series de formulas para una aproximación del área total bajo la

grafica de una curva. La integral definida es utiliza para determinar el valor de las

áreas limitadas por curvas y rectas, también son llamadas así porque dada una

ecuación su integral es definida por que esta tiende de un punto a otro y se podría

decir que se conoce el valor al que se quiere graficar esa función.las propiedades

de la integral definida son 10. La suma de Riemann es un método para aproximar

el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del

matemático alemán Bernhard Riemann.

Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar

su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras.

 

Capitulo 2

“NOTACION SUMATORIA”

Cuando hemos hablado del Cálculo como rama de las matemáticas, hemos

mencionado varios de los problemas que dieron lugar a su origen y desarrollo.

Uno de ellos es el problema del área de una región plana. A lo largo de estas

páginas pretendo introducir el concepto de integral definida como instrumento

fundamental para el cálculo de dicha área. Comenzaremos con el concepto de

sumatorio y la notación sigma Σ (debe su nombre a la letra griega con la que se

representa) para expresar estos sumatorios.

Por ejemplo si queremos expresar la suma de los primeros diez números naturales

podemos hacerlo así en notación sigma:

∑i=1

10

i

La letra “i” recibe el nombre de índice de suma, los números 1 y 10 son los límites

inferior y superior de la suma y tienen que cumplir que:

Límite inferior <= Límite superior

Podemos definir la suma de “n” términos a1,a2,a3,....,an utilizando la notación sigma

de la forma siguiente:

Capitulo 3

“SUMAS DE RIEMANN”

Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la

curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con

base en un incremento en el eje X, ya que la suma de todas las áreas de los

rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de

Riemann.

Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la

región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es: 

Teniendo los intervalos:

[ x0 , x1 ] [x1 , x2 ] [ x2 , x3 ] ,…. ,[ xn−1 , xn] 

La ecuación para la suma de Riemann[1a] es la siguiente:

R Ln=¿∑

i=1

n

f (x i¿)∆ x¿

Donde  haciendox i¿=x i+x i−12

de esta como un promedio entre la

suma superior e inferior de DARBOUX [2b].

Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:

Sabiendo que: ∑i=1

n

ai=a1+a2+a3+a4+a5+…+an

Podemos obtener las siguientes igualdades:

∑i=1

n

ai=1+2+…+n=¿n(n+1)2

¿

∑i=1

n

i2=12+22+…+n2=¿n (n+1 )(2n+1)

6¿

∑i=1

n

i3=13+23+…+n3=¿n2 (n+1 )2

4¿

∑i=1

n

C=¿C ¿n ¿

 (Donde C es constante)

Capitulo 4

“TEOREMA DE EXISTENCIA”

Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se

puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para

el que se verifica:

El valor f se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b].

Quizá sea interesante hacer varias observaciones:

1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo

menos un punto con esa propiedad.

2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el

intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.

3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone

el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de

Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas,

utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta

unidad utilizaremos funciones de integración sencilla.

4.1 EL TEOREMA APLICADO A UNA FUNCIÓN DETERMINADA

Vamos a estudiar la aplicación del teorema a una función concreta. Para una

primera aproximación vamos a escoger una función que sea continua en cualquier

intervalo de la recta real, para que tengamos la seguridad de que se cumple la

hipótesis de nuestro teorema.

La función objeto de nuestro estudio va a ser la siguiente:

Los controles a y b son los extremos del intervalo. Al cambiar sus valores se

puede observar como varía el valor medio de la función y el punto, o puntos, en

que se alcanza dicho valor. La función con la que estamos trabajando es simétrica

y eso provoca que en algunos intervalos el punto c no sea único.

El trazo azul indica el conjunto de valores que toma la función en el intervalo [a,b],

cuyo valor medio queremos calcular. Ten en cuenta que el extremo del intervalo a

debe ser más pequeño que el extremo b. En cualquier caso, si te equivocases,

aparecería un mensaje de error.

4.2 EL TEOREMA APLICADO A UN TIPO DIFERENTE DE FUNCIONES

Vamos a considerar ahora la aplicación del teorema a un tipo diferente de

funciones. Aquí el punto en el que se alcanza el valor medio es único ya que la

familia de funciones exponenciales que estudiamos, también con dominio en todos

los números reales y fácilmente integrables, se caracteriza por su monotonía. El

conjunto de funciones que representamos responde a la ecuación general

en la que k puede tomar diversos valores reales en el intervalo [−0.5 , 0.5], lo que

hace que la función pueda ser una exponencial creciente o decreciente. En el caso

K = 0, al tratarse de una función constante el teorema carece de interés.

En la escena anterior la función era definida positiva y por tanto también lo era su

valor medio. Ahora las funciones pueden tomar valores positivos y negativos

según los intervalos, lo que afecta al valor medio obtenido.

El control k permite variar la función exponencial considerada. Los controles a y b

representan, como en la escena anterior, los extremos del intervalo. Puedes

estudiar diferentes intervalos en cada función que representes

Capitulo 5

“DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA”

Sea f una función continua definida para a £ x £ b. Dividimos el intervalo [a, b] en n

subintervalos de igual ancho Dx = b−an

 . Sean x0 = a y xn = b y además x0, x1, ....,

xn los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto t i en estos

subintervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-ésimo subintervalo [xi-1, xi] con

i= 1, .., n.

Entonces la integral definida de f de a a b es el número

 ∫a

b

f ( x )dx= limn→∞

∑i=1

n

f (t i)∆ x

La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar

cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo

de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral

definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la

gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número

resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.

La integral definida se representa por:

∫b

a

f (x )dx

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función

que se integra.

Capitulo 6

“PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA”

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se

permutan los límites de integración.

∫a

b

f ( x )dx=−∫b

a

f (x )dx

2. Si los límites que integración coinciden, la integral

definida vale cero.

∫a

a

f ( x )dx=0

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral

definida se descompone como una suma de dos

integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

∫a

b

f ( x )dx=∫a

b

f ( x )dx+∫a

b

f (x)dx

4. La integral definida de una suma de funciones es igual

a la suma de integrales·

∫a

b

[¨ f ( x )+g (x) ]dx=∫a

b

f ( x )dx+∫a

b

g(x )dx

5. La integral del producto de una constante por una

función es igual a la constante por la integral de la

función.

∫a

b

k . f ( x )dx=k .∫a

b

f (x )dx

Capitulo 6

“FUNCIÓN PRIMITIVA”

El concepto de primitiva es el recíproco al de derivada. Se llama función primitiva

de otra dada a la original que al derivarla nos da esa otra. “se dice que una función

F es una antiderivada o primitiva de f, en un intervalo I si F´(x)=f(x) para todo x en

I” Si F es una antiderivada f en un intervalo I, entonces la antiderivada más general

de f en I es:

F(x) + C ---- funcion primitiva

Una funcion primitiva es aquella que despues de haber sido derivada pasando por

su diferencial y por el proceso de integracion no vuelve exactamente a su funcion

original

ej:

y=3x”+2x+18

dy/dx=6x+2

dy=6x+2 (dx)

Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

Integral definida: Proceso de cálculo de áreas encerrada entre una curva y un eje

cartesiano.

Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que

declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función

primitiva, al ser la base del cálculo integral.

Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más

generalmente, dominio).

F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f.

Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso

de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es

cualquier constante real.

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla

(escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas

primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de

derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

Aquí están las principales funciones primitivas:

Función F: primitiva de f función f: derivada de F

Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2–3x). Como no se conoce

primitivas de un producto, desarollemos la expresión: x(2–3x)= 2x - 3×2. 2x es la

derivada de x2, 3×2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3×2 tiene como primitiva x2 - x3 +

k. Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que

recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física),

entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se

impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7.

Al diferir las primitivas de una misma función f de una constante solamente,

resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva

escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin mencionar a F, sino solamente a f:

Se llama integral de f entre a y b este valor. La integral tiene un significado muy

concreto en el campo de la geometría: es el área entre la curva de f, el eje de los

x, y dos rectas verticales x = a y x = b: éste es el teorema fundamental del análisis.

Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por

lo tanto el área de la que hemos hablado es algebraica y no geométrica. Si una

función es alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las

áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de los x.

6.1 PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN

6.1.1 Primera propiedad

Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la

función F(x) + C es otra primitiva de f(x).

Demostración:

Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de

las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre

cero.

(F(x) + C)’ = F’(x) + C’ = f(x) + 0 = f(x)

Ejercicio:

Encontrar tres primitivas de la función cos x.

Resolución:

• Se sabe que sen x es una primitiva de cos x.

• Tres primitivas de cos x son, por ejemplo,

6.1.2Segunda propiedad

Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.

Demostración:

Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra

primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le

quieran dar a C.

6.1.3 Tercera propiedad

Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si

F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte.

Demostración:

Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene

derivada cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir,

si f’(x) = 0, entonces f(x) = C.

Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x), F’(x) = f(x);

si G(x) es otra primitiva de f(x), G’(x) = f(x).

Restando miembro a miembro, F’(x) - G’(x) = (F(x) - G(x))’ = f(x) - f(x) = 0, de

donde se deduce que F(x) - G(x) = C.

Capitulo 7

TEOREMA FUNDAMENTAL

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de

que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto

significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su

derivada es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de

las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas

-integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las

matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía

desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII

y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas

como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en este punto de la

historia ambas ramas convergen, al demostrarse que el estudio del "área bajo una

función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la

integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en

ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la

integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser

integrada.

Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación

gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera

intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva

entre 0 y x aún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se

podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x.

En resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) − A(x).

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el

área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que

la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor

de h.

Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h,

y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras

palabras, ƒ(x)·h ≈A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad

cuando h tiende a 0 como límite.

Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

f ( x )=A ( x+h )−A (x)

h

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es

sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo

se queda en ƒ(x) al ya no estar hpresente.

Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la

derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de

otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una

función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el

objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

.

Capitulo 8

“CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS”

Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e valúa la integral.

La continuidad asegura que los límites en las tres definiciones existen y dan el

mismo valor por eso podemos asegurar que el valor de es el mismo

independientemente de cómo elijamos los valores de x para evaluar la función

(extremo derecho, extremo izquierdo o cualquier punto en cada subintervalo).

Enunciamos entonces una definición más general.

Definición de integral definida: Sea f una función continua definida para a £ x £ b.

Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho D x = . Sean x0 = a y

xn = b y además x0, x1, ...., xn los puntos extremos de cada subintervalo.

Elegimos un punto ti en estos subintervalos de modo tal que ti se encuentra en el

i-ésimo subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n.

Entonces la integral definida de f de a a b es el número =.

La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar

cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo

de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral

definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la

gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número

resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.

Observación: La suma que aparece en la definición de integral definida se llama

suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su

definición incluía además subintervalos de distinta longitud.

Definición de las sumas de Riemann: Sea f una función definida en el intervalo

cerrado [a, b] y sea una división (partición) arbitraria de dicho intervalo a = x0 £ x1

£ x2 £ x3 £ ......... £ xn-1 £ xn = b donde D xi indica la amplitud o longitud del i-

ésimo subintervalo. Si ti es cualquier punto del i-ésimo subintervalo la suma , xi-1

£ ti £ xi se llama suma de Riemann de f asociada a la partición .

Si bien la integral definida había sido definida y usada con mucha anterioridad a la

época de Riemann él generalizó el concepto para poder incluir una clase de

funciones más amplia. En la definición de una suma de Riemann, la única

restricción sobre la función f es que esté definida en el intervalo [a, b]. (antes

suponíamos que f era no negativa debido a que estábamos tratando con el área

bajo una curva).

Capitulo 9

“INTEGRALES IMPROPIAS”

Una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos

extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞,

o a −∞. Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de

la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se

pueden dar ambas situaciones.

Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:

En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las

integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas,

sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas

“integrales impropias”, es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse

excepto como límites.

La integral puede interpretarse como: Pero desde el punto de vista del análisis

matemático no es obligatorio, interpretarla de tal manera, ya que puede

interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro

lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no

sea como forma de calcular su valor.

En contraste al caso anterior, no puede ser interpretada como una integral de

Lebesgue, ya que, esta es una “verdadera” integral impropia.

Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta

extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites. Tales

integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una

integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace

más que “ocultar” el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando

la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno

puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para

obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto

de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la

transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la

recta real.

10.1 CARÁCTER Y VALOR DE LAS INTEGRALES IMPROPIAS

Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter

mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos

sabremos si es convergente o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en

3 tipos:

10.1.1Primera especie

Son del tipo: ó

Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos

el primer caso de primera especie, con el segundo es equivalente):

Si existe él y es finito y en ese caso

, entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se

dice que es divergente si es + ó - infinito, y se dice que es una integral oscilante si

el limite no existe. Integrales impropias de primera especie (función continua en

una semirrecta): Definición de integral convergente, divergente u oscilante;

Teorema sobre la aditividad respecto del intervalo; Condición necesaria para la

convergencia; Teorema sobre la linealidad; No oscilación de integrales con

integrando no negativo; Criterios de comparación; Criterio de convergencia

dominada; Criterio de convergencia absoluta y la integral de Poisson.

10.2 Segunda Especie

Son del tipo: y que f(x) no está definida en el intervalo de integración o en los

extremos de integración.

Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos

que el punto conflictivo se encuentra en x = a):

Si el existe y es finito y en este caso, entonces se dice que la integral es

convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente en cualquier

otro caso. Integrales impropias de segunda especie (funciones continuas en un

intervalo acotado, salvo en uno de los extremos del intervalo): Definición de

integral convergente, divergente u oscilante; Teorema sobre la relación entre las

integrales impropias de segunda especie y las de primera especie.

10.3 Tercera Especie

Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los

extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del

intervalo de integración.

Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una

de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los

pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea

convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie

tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge. Integrales

impropias mixtas (funciones continuas en un intervalo, acotado o no acotado,

salvo en un número finito de puntos del intervalo): Definición de integral

convergente, o no convergente; Las funciones Beta y Gama de Euler y

Generalización del teorema fundamental.

CONCLUSION

Con todos estos temas explicados será más fácil la resolución de las

integrales ya que los temas expuestos en esta investigación son las

bases para la resolución de integrales.

Al conocer sobre la diferencia entre el cálculo diferencial con el cálculo

integral uno ya podrá tener mayores habilidades en la resolución de

las integrales asi como mayor técnica para que asi se haga mas fácil y

mas sencillo la integración, ya que sin un conocimiento previo no se

entendería como se calculan las integrales.

BIBLIOGRAFIA

[1]”Calculo Integral”, [online], Available: http://html.rincondelvago.com/calculo-

integral.html

[2]S.A. Felipe de Jesús, (2011,feb, 16) ”Medición Aproximada de Figuras

Amorfas”, [online], Available: http://www.buenastareas.com/ensayos/Mediciones-

De-Figuras-Amorfas/1563037.html

[3]Y.Y. Gustavo (2003, Abr., 02), “Integral Definida”, [online],Available:

http://www.monografias.com/trabajos12/indef/indef.shtml