calculo vectorial

CALCULO VECTORIAL

JERROLD E. MARSDEN CORNELL UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF CALIFORNIA, BERKELEY

ANTHONY J. TROMBA UNIVERSITY OF CALIFORNIA, SANTA CRUZ

Versin en espaol de Manuel Lpez Mateos

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l A u t n o m a d e Mxico

Con la colaboracin de Sergio Adarve D.

U n i v e r s i d a d d e los Andes Bogot, Colombia

A vv ADDISON-WESLEY IBEROAMEKICAP L

Argentina 0 Brasil o Chile o Colombia o Ecuador o Ejpaa Estados Unidos 0 Mxico o Per 0 Puerto Rico o Venezuela

Versin en espaiol de l a obra titulada Vector calculus, Third edition, de Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba, publicada originalmente en ingls por W. H. Freeman and Company, Nueva York @ 1976, 1981 y 1988 por W. H. Freeman and Company

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

@ 1991 por ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA, S.A. Wilmington, Delaware, E.U.A.

Impreso en los Estados Unidos de Amrica. Printed in U.S.A.

ISBN 0-201-62935-6

6 7 X 9 10 11 12 13 14-CRS-00 99 9X 97 96

L a poltica es para el momento. Una ecuacin es para la eternidad.

A. EINSTEIN

Algunos trucos de. clculo son bastante fciles, otros son muy difciles. Los tontos que escriben los libros de matemticas avanzadas pocas veces se toman la molestia de mostrar cun fciles son los clculos fciles.

SILVANUS P. THOMPSON Calculus Made Easy, Macmillan (1910)

NDICE GENERAL

PREFACIO ix

1 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIANO 1 ~~

1.1 Vectores en el espacio tridimensional 1 1.2 El producto interno 2 1 1.3 El producto cruz 30 1.4 Coordenadas esfricas y cilndricas 47 1.5 Espacio euclidiano n-dimensional 57

Ejercicios de repaso del captulo 1 68

2 DIFERENCIACI~N 75

2.1 Geometra de las funciones con valores reales 76 2.2 Limites y continuidad 95 2.3 Diferenciacin 118 2.4 Propiedades de la derivada 13 1 2.5 Gradientes y derivadas direccionales 145 2.6 Derivadas parciales iteradas 157

*2.7 Algunos teoremas tcnicos de diferenciacin 168 Ejercicios de repaso del capltulo 2 180

vi iNDlCE GENERAL

3 FUNCIONES CON VALORES VECTORIALES 189

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Trayectorias y velocidad 189 Longitud de arco 201 Campos vectoriales 2 1 1 Divergencia y rotacional de un campo vectorial

Clculo diferencial vectorial 23 1 Ejercicios de repaso del capltulo 3 238

220

4 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR; MXIMOS Y MNIMOS 241

4.1 4.2 4.3

*4.4 4.5

Teorema de Taylor 242 Extremos de funciones con valores reales 248 Extremos restringidos y multiplicadores de Lagrange Teorema de la funcin implcita 280 Algunas aplicaciones 291 Ejercicios de repaso del captulo 4 298

265

~~ ~ ~

5 INTEGRALES DOBLES 303 ~~

5.1 5.2 5.3 5.4

*5.5

Introduccin 303 Integral doble sobre un rectngulo 314 Integral doble sobre regiones ms generales 329 Cambio en el orden de integracin 336 Algunos teoremas tcnicos de integracin 342 Ejercicios de repaso del capitulo 5 352

6 INTEGRAL TRIPLE, FRMULA DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES 355

6.1 Integral triple 355 6.2 Geometra de las funciones de R2 a R2 364 6.3 Teorema del cgmbio de variables 371 6.4 Aplicaciones de las integrales dobles y triples 389

*6.5 Integrales impropias 401 Ejercicios de repaso del captulo 6 408

iNDlCE GENERAL Vii

7 INTEGRALES SOBRE TRAYECTORIAS Y SUPERFICIES 413

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5 7.6

La integral de trayectoria 414 Integrales de lnea 419 Superficies parametrizadas 440 rea de una superficie 449 Integrales de funciones escalares sobre superficies 463 Integrales de superficie de funciones vectoriales 472 Ejercicios de repaso del captulo 7 486

8 TEOREMAS INTEGRALES DEL ANLISIS VECTORIAL 490

8.1 Teorema de Green 490 8.2 Teorema de Stokes 504 8.3 Campos conservativos 517 8.4 Teorema de Gauss 528

*8.5 Aplicaciones a la flsica y ecuaciones diferenciales 544 *8.6 Formas diferenciales 566

Ejercicios de repaso del captulo 8 582

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS CON N U M E R A C I ~ N IMPAR 585

TABLAS 647

NDICE DE MATERIAS 655

PREFACIO

Este texto se ide para un curso de un semestre de clculo de funciones de varias variables y anlisis vectorial, en el nivel de segundo ao de universidad. En ciertas ocasiones el curso es precedido por un curso introductorio de lgebra lineal, pero esto no es un requisito esencial. Slo se requieren de los rudimientos ms simples del lgebra matricial, y los conceptos necesarios son presentados en el libro. Sin embargo, suponemos que se conocen los principios.de1 clculo de una variable -diferenciacin e integracin de las funciones comunes.

En el libro se incluye la mayor parte de la teora bsica, as como muchos ejemplos concretos y problemas. La experiencia docente en este nivel indica que es deseable omitir la mayora de las demostraciones tcnicas; son difciles para los principiantes y se incluyen ms bien como referencia o lectura suplementaria. En particular, algunas de las demostraciones tcnicas de los teoremas en los captulos 2 y 5 se presentan en las secciones optativas 2.7 y 5.5. La seccin 2.2 sobre lmites y continuidad ha sido diseada para estudiarse superficialmente y es deliberadamente breve. Se han omitido temas tericos ms sofisticados, como compacidad y demostraciones delicadas de teora de integracin, pues en general pertenecen a cursos ms avanzados, y son mejor explicados en stos.

En este nivel es importante tener habilidad para calcular y comprensin in- tuitiva; hemos procurado satisfacer esta necesidad haciendo el libro tan concreto y orientado al estudiante como nos fue posible. Por ejemplo, aunque hemos for- mulado correctamente la definicin de derivada, lo hicimos usando matrices de derivadas parciales en lugar de transformaciones lineales. Este recurso por s solo puede ahorrar una o dos semanas de lecciones y evitar dolores de cabeza a los estudiantes cuyos conocimientos de lgebra lineal no estn en su mejor forma. Adems incluimos un gran nmero de ilustraciones fsicas. En particular, hemos incluido ejemplos de reas de la fsica como mecnica de fluidos, gravitacin y teora electromagntica, y tambin de economa, aunque no se supone un cono- cimiento previo de dichos temas.

x PREFACIO

Una caracterstica especial del libro es la pronta introduccin de campos vectoriales, divergencia y rotacional en el captulo 3, antes de integracin. En un curso de este tipo el anlisis vectorial se resiente; el presente arreglo fue diseado para compensar esta tendencia. Avanzando en esta direccin, podra considerarse exponer el captulo 4 (teorema de Taylor, mximos y mnimos, multiplicadores de Lagrange) despus del captulo 8 (anlisis vectorial).

Esta tercera edicin conserva el balance entre teora, aplicaciones, material optativo y notas histricas presente en la segunda edicin. Los cambios en esta tercera edicin son los siguientes: Fred Soon y Karen Pao han revisado los ejercicios y han publicado una Gua de estudio (S tudy Guide). Esta gu a cont iene soluciones completas a ejercicios seleccionados del libro (los nmeros o letras de estos ejercicios han sido encuadrados para su fcil identificacin) as como sugerencias para estudio y ejemplos de exmenes.

Los ejercicios se han colocado en una progresin ms adecuada, de acuerdo con su nivel de dificultad y cubren una mayor amplitud de temas. Los teoremas tcnicos optativos sobre diferenciacin y los teoremas sobre integracin se han cambiado de los apndices a los captulos 2 y 5, y estn impresos en t ipo ms pequeo. El largo captulo sobre teora de integracin ha sido dividido en dos aadindose una nueva seccin sobre aplicaciones de integrales mltiples. Se ha incluido material adicional sobre coordenadas cil ndricas y esfricas y se ha simplificado la seccin sobre el significado geomtrico de l a divergencia y el rotacional . A lo largo del libro se han hecho otros cambios y correcciones que mejoran l a exposicin. Muchos de &tos han sido sugeridos por lectores de la segunda edicin y estamos en deuda con todos ellos por haber mejorado el l ibro para beneficio del estudiante.

REQUISITOS PREVIOS Y NOTACIN

Suponemos que los alumnos han estudiado clculo de funciones de una variable real, incluida l a geometra analtica en el plano. Algunos estudiantes quiz tambin hayan estudiado matrices, aunque lo que vamos a necesitar se presenta en las secciones 1.3 y 1.5.

Tambin suponemos que los alumnas estn familiarizados con funciones del clculo elemental, como sena:, cos a:, e" y logz (escr ibimos logz para el loga- r i tmo na tura l , que a veces se denota por In 2 o log, z). Se espera que los alumnos conozcan, o repasen conforme transcurre el curso, las reglas bsicas de diferenciacin e integracin para funciones de una variable, como l a regla de la cadena, la regla del cociente, integracin por partes y dems.

Ahora resumiremos las notaciones que se van a usar, a veces sin mencin explcita. Los alumnos pueden leerlas rpidamente y despus recurrir a ellas, si fuese necesario.

La coleccin de los nmeros reales se denota por R. As, R incluye los enteros, . . . , -3, -2, -1, O , I , 2, 3, . . . ; los nmeros racionales p / q , donde p y q son

PREFACIO Xi

Figura 0.1 Representacin geomtrica de puntos sobre la recta numrica real.

enteros (q # O); y los nmeros irracionales, como a, T y e. Los elementos de R se pueden visualizar como puntos sobre la recta numrica real, segn se muestra en la figura 0.1.

Cuando escribimos a E R queremos decir que a es un elemento del conjunto R; en otras palabras, que a es un nmero real. Dados dos nmeros reales a y b con a < b (esto es, con a menor que b), podemos formar el intervalo cerrado [a,b] formado por todos los z tales que a 5 z 5 6 , y el intervalo abierto ( a , b ) formado por todos los 2 tales que a < x < 6. De manera anloga, podemos formar intervalos semiabiertos ( a , b] y [a, b ) (figura 0.2).

Figura 0.2 Representacin geomtrica de los intervalos [a, b ] , (c, d) y [ e , f],

El valor absoluto de un nmero a E R se escribe la1 y se define como

Por ejemplo, 131 = 3, 1-31 = 3 , 101 = 0 y 1-61 = 6. La desigualdad la+b1 5 lal+lbl siempre se cumple. La distancia de a a b est dada por la - bl. As, la distancia de 6 a 10 es 4 y de -6 a 3 es 9.

Si escribimos A c R, queremos decir que A es un subconjunto de R. Por ejemplo, A podra ser igual al conjunto de los enteros {. . . , -3, -2, -1, O , 1 , 2 , 3 , . . .}. Otro ejemplo de subconjunto de R es el conjunto Q de nmeros racionales. En general, para dos colecciones de objetos (esto es, conjuntos) A y B , A c B significa que A es un subconjunto de B ; esto es, todo elemento de A tambin es un elemento de B.

El smbolo A U B significa la unin de A y B , la coleccin cuyos elementos son elementos de A o B . As

{. . . , -3, -2, - 1 , O ) u { - l , O , 1 , 2 , . . .} = {. . . , - 3 , -2, - l , O , 1 , 2 , . . .}.

De manera anloga, AflB significa la interseccin de A y B ; esto es, este conjunto est formado por aquellos elementos de A y B que estn tanto en A como en B . As, la interseccin de los dos conjuntos anteriores es {-1, O}.

Escribiremos A \ B para denotar los elementos de A que no estn en B . As, {. . . , -3, -2, -1, O} \ {-1, o, 1 , 2 , . . .} = {. . I , -3, -2)

x i PREFACIO

Tan1bii.n podemos especificar conjuntos como en los ejemplos siguientes:

{ u E RI a es un entero} = { . . . , - 3 , -2, -1. O , 1 , 2 , . . .} { a E R.1 u es u n entero par} = { . . . , -2, O , 2 , 4 , . . .)

{ X E R.la 5 T 5 b } = [u, b ] . Una funcin f : ,4 - B es una regla que asigna a cada a E A un elemento especfico f ( a ) de B. E1 hecho de que la funcin f mande a a f ( a ) se denota simblicamente por a H f ( a ) . Por ejemplo f ( z ) = x3/(l - x) asigna el nmero z3/( 1 - x) a cada z # 1 en R. Podemos especificar una funcin f dando la regla para f(z). As, l a funcin f arlt,erior se puede definir por la regla 2 H z3/( 1 -x).

Si A c R, f: A c R + R significa que f asigna un valor en R., f ( x ) , a cada x E A. El conjunto il se llama dominio de f , y decimos que f tiene contradominio R, pues es ah donde se tornan los valores de f . La grfica de f consiste de los punt,os (x1 f(2)) en el plano (figura 0.3). Generalmente una asociacin (= funcin = transformacin = asociacin) f : A - B, donde il y B son conjuntos, es una regla que asigna a cada z E A un punto especfico f (z ) E B.

\ O - - x

.I = dorrtinio

Figura 0.3 Grfica de una funcin con el intervalo semiabierto A como dominio.

La notacin Cy=l ui significa a l + . . . + a, donde a l , . . . ~ a, son nmeros dados. La suma de los primeros 7 1 enteros cs

,=I

La derivada de una funcin f(z) se denota por f(z) o

!.f dx

PREFACIO xiii

y la integral indefinida se escribe

Jab f (x) dx. Si hacemos y = f ( x ) , la derivada tambin se denota por

- dY d x '

Se supone que los lectores conocen la regla de la cadena, la integracin por partes y otras reglas que gobiernan al clculo de funciones de una variable. En particular, debern saber cmo diferenciar e integrar funciones exponenciales, logaritmicas y trigonomtricas. AI final del libro hay una breve tabla de derivadas e integrales, adecuadas para las necesidades de este libro.

Las siguientes notaciones se usan como sinnimos: ez = exp x, In x = log x y sen-' x = arcsen x.

El final de una demostracin se denota por el smbolo U, mientras que el final de un 'ejemplo u observacin se denota por el smbolo A El material opcional ms terico o los ejercicios ms difciles estn precedidos por una estrella: *.

AGRADECIMIENTOS

Multitud de colegas y estudiantes de la comunidad matemitica han hecho valio- sas aportaciones y sugerencias desde que se inici este libro. Un primer borrador se escribi en colaboracin con Ralph Abraham. Le agradecemos que nos permi- tiera usar su trabajo. Es imposible nombrar a todos los que han ayudado en este libro, pero queremos agradecer de manera especial a Michael Hoffman y Joanne Seitz por su ayuda en las ediciones anteriores. Tambin recibimos comentarios valiosos de Mary Anderson, John Ball, Frank Gerrish, Jenny Harrison, David Knudson, Richard Koch, Andrew Lenard, Gordon McLean, David Merriell, Jea- nette Nelson, Dan Norman, Keith Phillips, Anne Perleman, Kenneth Ross, Ray Sachs, Diane Sauvageot, Joel Smoller, Melvyn Tews, Ralph y Bob Tromba, Steve Wan, Alan Weinstein y John Wilker.

Agradecemos a los siguientes instructores sus revisiones detalladas del manuscrito de esta edicin: David Bao, de la University of Houston; Stanley M. Lukawecki, de la Clemson University; John F. Pierce, de la West Virginia Uni- versity y Herb Walum, de The Ohio State University.

Una palabra final de agradecimiento para quienes ayudaron a la preparacin del manuscrito y la produccin del libro en ingls. Agradecemos en forma especial a Connie Calica, Nora Lee, Marnie McElhiney, Rosemarie Stampful, Ruth Suzuki, Ikuko Workman y Esther Zack por su excelente mecanografiado de di- ferentes versiones y revisiones del manuscrito; Herb Holden de la Gonzaga Uni- versity y Jerry Kazdan de la University of Pennsylvania por sugerir y preparar la figuras generadas por computadora; Jerry Lyons por su trabajo como nuestro editor en matemticas; Richard K. Mickey por su magnfica correccin de estilo y Philip McCaffrey por su supervisin editorial.

xiv PREFACIO

Mantendremos una lista actualizada de correcciones y sugerencias acerca de esta tercera edicin. Con gusto enviaremos dicha lista a cualquier usuario del texto. Favor de solicitarla a Jerrold Marsden, Department of Mathematics, Cor- ne11 Universit,y, Ithaca, NY 148537901, o a Anthony Tromba, Department of Mathematics, liniversity of California, Santa Cruz, CA 95064.

Jerrold E. Marsden

Anthony J. Tkomba

1 LA GEOMETRA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0

Los cuaterniones vienen de Hamilton . . . y han sido maldicin pura para quien, de alguna forma, los ha tocado. El vector es un sobreviviente i n t i l , . . y jams ha sido de la ms mnima

utilidad para ningn ser viviente.

Lord Kelvin

En este captulo consideramos las operaciones bsicas de los vectores en el espacio tridimensional: la suma vectorial, la multiplicacin por un escaIar y los productos punto y cruz. En la seccin 1.5 generalizamos algunos de estos cow ceptos al n-espacio y revisamos las propiedades de las matrices que necesitaremos en los captulos 2 y 3.

1.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Los puntos P en el plano se representan mediante pares ordenados de nmeros reales ( a , b ) ; los nmeros a y b se llaman coordenadas cartesianas de P. Tracemos dos rectas perpendiculares, llammosles ejes z y y, y bajemos perpendiculares de P a los ejes, como en la figura 1.1.1. Despus de designar la interseccin de los ejes x y y como origen, y de escoger unidades en estos ejes, producimos dos distancias dirigidas a y b , como se muestra en la figura; a se llama la componente z de P, y b se llama la componente y.

Los puntos en el espacio se pueden representar de manera anloga mediante ternas ordenadas de nmeros reales. Para construir dicha representacin escogemos tres rectas perpendiculares entre s que se crucen en un punto en el espacio.


b

U

Figura 1 .1.1 Coordenadas cartesianas en el plano.

Estas rectas se llaman: eje z, eje y y eje z , y el punto en el que se cruzan se llama origen (es nuestro punto de referencia). Escogemos una escala sobre estos ejes. Es comn referirse al conjunto de ejes como sistema de coordenadas, y se trazan como se muestra en la figura 1.1.2.

Figura 1.1.2 Coordenadas cartesianas en el espacio.

Podemos asignar a cada punto P en el espacio una terna (ordenada) nica de nmeros reales (a, b , c ) ; y, recprocamente, a cada terna podemos asignar un punto nico en el espacio, tal y como lo hicimos para los puntos en el plano. Al origen del sistema de coordenadas le corresponde la terna (O, O , O ) , y las flechas en los ejes indican las direcciones positivas. As, por ejemplo, la terna (2,4,4) representa un punto a 2 unidades del origen en direccin positiva a lo largo del eje z, a 4 unidades en direccin positiva a lo largo del eje y , y a 4 unidades en direccin positiva a lo largo del eje z (figura 1.1.3).

Debido a la posibilidad de asociar de esta manera los puntos del espacio con las ternas ordenadas, es comn usar la expresin "punto ( a , b , c)" en lugar de la

1.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 3

Z

L

Y

Figura 1.1.3 Representacin geomtrica del punto ( 2 , 4 , 4 ) en coordenadas cartesianas.

frase ms larga punto P que corresponde a la terna (a, b, e). Si la terna (a , b , c ) corresponde a PI decimos que a es la coordenada x (o la primera coordenada), b es Ia coordenada y (o segunda coordenada), y c es la coordenada z ( o tercera coordenada) de P. Teniendo en mente este mtodo para representar puntos, vemos que el eje t est formado por los puntos de la forma (a,O,O), donde a es cualquier nmero real; el eje y est formado por los puntos (O, a , O); y el eje z est formado por los puntos (O, O , u ) . Tambin se suele denotar a los puntos en el espacio con las letras x, y y z en lugar de a , b y c . As, la terna (x, y, 2) representa un punto cuya primera coordenada es x, la segunda coordenada es y, y la tercera coordenada es z .

Empleamos la notacin siguiente para la recta, el plano y el espacio tridimensional.

(i) La recta real se denota por R1 (as, es lo mismo R que R1). (ii) El conjunto de todos los pares ordenados (x, y) de nmeros reales se denota

(iii) El conjunto de todas las ternas ordenadas (x, y, z) de nmeros reales se por R2.

denota por R3.

Cuando se habla en conjunto de R1, R2 y R3, se escribe Rn, n. = 1, 2 o 3; o R, m = 1, 2, 3.

L a operacin de suma se puede extender de R a R2 y R3. Para R3 se procede de la manera siguiente. Dadas dos ternas (t, y, z ) y (d, y, z), definimos su Suma mediante

( 2 , Y, 2) + (z, Y, z ) = (z + z, Y + Y, 2 + z ) .


EJEMPLO 1 (1,1,1) + (2 , - 3 , 4 ) = (3 , - 2 , 5 ) (x, Y, .) + ( O , o , 0) = (2, Y, 2 ) ( 1 , 7 , 3 ) + ( 2 , 0 , 6 ) = ( 3 , 7 , 9 ) . A

El elemento ( O , O , O) se llama elemento cero (o slo cero) de R3. El elemen- to (-x,-y,-z) se llama inverso aditivo (o negativo) de (.,y, z ) , y se escribe ( x , y, z ) - ( d l y, z) en lugar de (z, y, z ) + ( - -x / , -y, - 2 ) .

Hay operaciones de producto que son importantes en R3. Una de ellas, llamada producto interno, asigna un nmero real a cada pareja de elementos de R3. En la seccin 1.2. estudiaremos con detalle el producto interno. Otra operacin de producto para R3 se llama producto por un escalar (la palabra escalar es sinnimo de nmero real). Este producto combina escalares (nmeros reales) y elementos de R3 (ternas ordenadas) para producir elementos de R3 de la manera siguiente: dado un escalar a y una terna ( x , y,z), definimos el mltiplo escalar o producto por un escalar mediante

Como consecuencia de las definiciones, la suma y el producto por un escalar para R3 satisfacen las siguientes identidades:

(i) (aP)(z , Y1 2) = .M.> Y, .>I (asociatividad) (propiedades del elemento cero)

(propiedad del elemento identidad)

Para R2 se define la suma de la misma manera que para R3, mediante (z, Y) + (z, Y) = (x + z, Y + Y),


y el producto por un escalar se define como

a ( z , Y ) = ( a z , ay).

Volvamos a la geometra de nuestro modelo. Una de las herramientas ms poderosas de las matemticas y sus aplicaciones ha sido el concepto de vector. Se define (geomtricamente) un vector como un segmento de recta dirigido que comienza en el origen, esto es, un segmento de recta con magnitud y direccin especificados, con punto inicial en el origen. Han odo decir a los pilotos Esta- mos en el radio vector de la pista de aterrizaje? Se refieren al vector que da la direccin y la distancia a que se encuentra el aeroplano de la pista de aterrizaje. Es intil sealar lo importantes que son en este caso la direccin y la distancia. La figura 1.1.4 muestra varios vectores. As, los vectores se pueden concebir como flechas que comienzan en el origen. Generalmente se imprimen en letras negritas: v.

Figura 1.1.4 Los vectores se pueden concebir, geomtricamente, como flechas saliendo del origen.

Usando esta definicin de vector, podemos asociar con cada vector v el punto (x, y, z) en el espacio, donde termina v, y, recprocamente, a cada punto (x, y, z ) en el espacio podemos asociar un vector v. As, identificaremos v con (x, y , z ) y escribiremos v = (z ,y , z ) . Por esta razn, los elementos de R3 no son slo ternas ordenadas de nmeros reales, sino que tambin se llaman vectores. La terna ( O , O , O ) se denota por O .

Decimos que dos vectores son iguales si, y slo si, tienen la misma direccin y la misma magnitud. Esta condicin se puede expresar de manera algebraica diciendo que si v1 = (x, y, z ) y va = ( d , yz), entonces

v1 = v2 si, y slo si, z = z, y = y, z = z. Geomtricamente definimos el vector suma como sigue. En el plano que con-

tiene a los vectores v1 y v2 (ver la figura 1.1.5), formemos el paralelogramo que


Figura 1.1 .S Geometra de la suma de vectores.

tiene como un lado a VI, y como lado adyacente a v2. Entonces la suma V I + v2 es el segmento de recta dirigido a lo largo de la diagonal del paralelogramo. Esta consideracin geomtrica de la suma de vectores es til en muchas situaciones fsicas, como veremos ms adelante. Para visualizar fcilmente esto mediante un ejemplo, consideren un ave o un aeroplano volando con velocidad VI, con un viento con velocidad v2. Lo que se ve es la velocidad resultante VI + va.

Para mostrar que la definicin geomtrica de la suma es consistente con la definicin algebraica, debemos demostrar que v1 + va = (z + z, y + y, I + 7 ) . Probaremos este resultado en el plano y dejaremos que el lector enuncie la proposicin para el espacio tridimensional. As, queremos mostrar que si VI = ( x , y) y v2 = (z,y), entonces v1 + v2 = (z + x/, y + y).

En la figura 1.1.6, sea v1 = (.,y) el vector que termina en el punto A, y sea v2 = (z, y) el vector que termina en el punto B. Por definicin, el vector v1 +va termina en el vrtice C del paralelogramo OBCA. Entonces, para verificar que

Y

O D E

Figura 1.1.6 Construccin para la demostracin de que (x, y) +(.I, y) = (z+z, y+y).

1.1 VECTORES EN EL ESPAClO TRIDIMENSIONAL 7

v1 + v2 = (x + x', y + y'), es suficiente mostrar que las coordenadas de C son En la figura 1.1.6, los lados de los tringulos OAD y BCG son paralelos y los

lados OA y BC tienen igual longitud, lo cual escribiremos como OA = BC. Por lo tanto, BG = OD; y como BGFE es un rectngulo, tenemos que EF = BG. Ms an, OD = 2 y OE = x'. De aqu que EF = BG = OD = x. Como OF = EF + OE, se sigue que OF = 2 + 2'. Esto muestra que la coordenada x de C es 2 + d . La demostracin para la coordenada y es anloga. Con un argumento similar para los otros cuadrantes, vemos que la definicin geomtrica de la suma de vectores es equivalente a la definicin algebraica en trminos de coordenadas.

En la figura 1.1.7(a) se ilustra otra manera de considerar la suma vectorial: en trminos de tringulos, en lugar de paralelogramos. Esto es, trasladamos (sin rotacin) el segmento de recta dirigido que representa al vector va, de modo que comience al final del vector vl. El punto final del segmento dirigido resultante es el punto final del vector V I + v2. Notamos que cuando VI y v2 son colineales, el tringulo se colapsa. Se ilustra esta situacin en la figura 1.1.7(b).

(z -t z', y + y').

Figura 1.1.7 (a) Se puede visualizar la suma vectorial en trminos de tringulos as como de paralelogramos. Sin embargo, el tringulo se colapsa cuando v1 y v2 son colineales (b).

Los mltiplos escalares de los vectores tienen interpretaciones geomtricas si- milares. Si a es una escalar y v es un vector, definimos a v como el vector que tiene a veces la longitud de v , con la misma direccin que v si a > O , pero con direccin opuesta si a < O . La figura 1.1.8 ilustra varios ejemplos.

Al usar un razonamiento que depende de tringulos semejantes, podemos probar que si v = (x, y, z), entonces

Lyv = (fYz,Lyy, CYZ). Esto es, la definicin geomtrica coincide con la algebraica.

Cmo representamos geomtricamente al vector b - a? Como a+ (b - a) = b, b - a es el vector que al sumarlo a a da b. En vista de esto, podemos concluir


Y Y

Y

/ * X

Y

/ * x

f tv

Y

[ Y

X

Figura 1.1.8 Algunos mltiples escalares de un vector v.

que b - a es el vector paralelo a, y con la misma magnitud que, el segmento de recta dirigido que comienza en el punto final de a y termina en el punto final de b (ver la figura 1.1.9).

Denotemos por i al vector que termina en (1, O , O ) , por j al vector que termina en ( O , 1, O) y por k al vector que termina en ( O , O , 1). Por la definicin de suma

Figura 1.1.9 Geometra de la resta vectorial.


vectorial y la multiplicacin por un escalar, hallamos que si v = (x, y, z ) , entonces

v = z(1,0, O) + y(O,1 , O) + z(O, O , 1) = zi + y j + zk. Por lo tanto, podemos representar cualquier vector en el espacio tridimensional en trminos de los vectores i , j y k. Es por esto que a los vectores i , j y k se les llama vectores de la base cannica para R3.

EJEMPLO 3 El vector que termina en (2,3,2) es 2i + 3j + 2k, y el vector que termina en ( O , -1,4) es -j +4k. La figura 1.1.10 muestra a 2i+ 3j+ 2k; el lector deber trazar el vector -j + 4k. A

Figura 1.1.10 Representacin de ( 2 , 3 , 2 ) en trminos de los vectores de la base cannica, i , j y k.

L a suma y la multiplicacin por un escalar se pueden escribir en trminos de los vectores de la base cannica como sigue:

Y a (z i + y j + zk) = (ax); + (ay) j + (az)k.

Debido a la correspondencia entre puntos y vectores, a veces nos referimos al punto a en circunstancias en que se defini a como vector. El lector sobreenten- der que nos referimos al punto final del vector a.


EJEMPLO 4 Describir los puntos que estn dentro del paralelogramo cuyos lados adyacentes son los vectores a y b.

SOLUCIN Considerar la figura 1.1.11. Supongamos que P es cualquier punto dentro del paralelogranlo dado y construimos las rectas l1 y l 2 que pasan por P y son parale1a.s a los vectores a y b, respectivamente; vemos que 11 interseca el lado del paralelogramo determinado por el vector b en algn punto tb, donde O 5 t 5 1. Asimismo, 12 interseca al lado determinado por el vector a en algn punto sa , donde O 5 S 5 1.

Figura 1.1.11 Descripcin de los puntos dentro del paralelogramo formado por los vectores a y b.

Notar que P es el punto final de la diagonal de un paralelogramo con lados adyacentes sa y tb; por lo tanto, si v denota al vector que termina en P, vemas que v = sa + tb. As, todos los puntos en el paralelogramo dado son puntas finales de vectores de la forma sa + tb para O 5 S 5 1 y O 5 t 5 1. Regresando sobre nuestros pasos vemos que todos los vectores de esta forma terminan dentro del paralelogramo. A

Y

Figura 1.1.12 Descripcin de los puntos P en el plano formado por los vectores v y w.


Como dos rectas que pasan por el origen determinan un plano que pasa por el origen, lo mismo sucede con dos vectores no paralelos. Si aplicamos el mismo razonamiento del ejemplo 4, vetnm que el plano formado por dos vectores no paralelos v y w consta de todos los puntos de la forma QV + pw, donde (Y y /? varan sobre los nmeros reales. Not.en que cualquier punto P en el plano formado por los dos vectores ser el vrtice opuesto del paralelogramo determinado por CYV y pw, donde Q y /3 son algunos escalares, como en la figura 1.1.12.

E1 plano determinado por v y w se llama plano generado por v y w . Cuando v es un mltiplo escalar de w y w # O , entonces v y w son paralelos y el plano degenera en una recta. Cuando v = w = O (esto es, cuando ambos son el vector cero), obtenemos un solo punt.0.

Hay tres planos particulares que surgen de manera natural en un sistema coordenado y que usaremos ms adelante. Al plano generado por los vectores i y j se le llama plano .cy, al plano generado por j y k , plano yz, y al plano generado por i y k , plano s z . Se ilustran estos planos en la figura 1.1.13.

Z

V

Figura 1 .I .I 3 Los tres planos coordenados.

Los planos y las rectas son objet,os geombtricos que se pueden representar mediante ecuaciones. Pospondremos hasta la seccin 1.3 el estudio de las ecuaciones que representan planos. Sin embargo, usalldo la interpretacidn geomtrica de la suma vectorial y de la multiplicacin por u n escalar, podemos hallar la ecuacin de una recta 1 que pase por el punto final o extremo del vector a, con la direccin de un vector Y (ver la figura l . l . 14). Conforme t vara por todos los nmeros reales, los puntos de la forma Iv son t.odos los rnltiplos escalares del vector v , y por lo tant,o, agotan los puntos de l a recta que pasa por el origen en la direccin de v. Corno todo punto sobre d cs el extremo de la diagonal de un paralelogramo con lados a y tv para algn valor real de 2 , vemos que todos los punt>os sobre 1 son de la forma a + t v . As, la recta 1 se puede expresar mediante la ecuacin l ( t ) = a + tv. Decimos que d est, expresada de manera paramtrica, con el parmetro t . En t = O , l ( t) = a. Cuando t crece, el punto l ( t ) se mueve


Figura 1.1.14 La recta 1, dada en forma paramtrica por l(t) = a + tv, estd en direccin de v y pasa por la punta de a.

alejndose de a en la direccin de v. Conforme t decrece desde t = O por los valores negativos, l ( t ) se mueve alejndose de a en la direccin de " v .

Puede haber varias parametrizaciones de la misma recta. Se pueden obtener escogiendo, en lugar de a, un punto diferente sobre la recta dada, y formando la ecuacin paramtrica de la recta comenzando en ese punto y en direccin de v. Por ejemplo, el extremo de a + v est6 sobre la recta l(t) = a + Iv, y as, l l ( t ) = (a + v) + tv representa la misma recta. Incluso se pueden obtener otras parametrizaciones observando que si CY # O , el vector CYV tiene la misma direccin que v ( o l a opuesta). As, lz( t ) = a+tcuv es otra parametrizacin de l( t) = a+tv .

EJEMPLO 5 Determinar la ecuacin de la recta que pasa por (1, O , O ) en direccin de j.

x

Figura 1.1.15 La recta 1 pasa por la punta de i en la direccin j .


SOLUCIN La recta deseada se puede expresar en forma paramtrica como l(t) = i + t j (figura 1.1.15). En trminos de coordena.das knemos

l(t) = (1 ,0 ,0 ) + t(O,1, O ) = ( I , t , O ) . A Vamos a deducir la ecuacin de una recta que pasa por los puntos finales de

dos vectores dados a y b. Como el vector b - a es paralelo al segmento de recta dirigido que va de a a b, lo que deseamos es calcular la ecuacibrl paranttrica de la recta que pasa por a en direccin de b - a (figura 1.1.16). As,

l(t) = a + t (b - a); esto es, l(t) = (1 - t)a + tb. Conforme 1 crece de O a 1, sucede que t(b - a) comienza como el vector cero y crece en longitud (mantenindose en la direccin de b - a) hasta que en t = 1 es el vector b - a. As, para I(t) = a + t (b - a), conforme t crece de O a 1, el vector l(t) s mueve de la punta de a a la punta de b a lo largo del segment,o de recta dirigido de a a b.

Figura 1.1.16 La recta I, dada en forma paramtrica por l( t) = a + t (b - a), pasa por las puntas de a y b.

EJEMPLO 6 Hallar la ecuacin de la recta que pasa por (-1, 1, o) y (o, o, 1) (ver la figura 1.1.1 7).

SOLUCIN Representemos los puntos dados por a = -i + j y b = k; tenemos 1(t) = (1 - t ) ( - i + j) + tk

= - ( 1 - t ) i + ( l - t ) j + t k .

La ecuacin de esta recta se puede escribir entonces como

l(t) = ( t - l ) i + ( 1 - t ) j + tk,


Y

Figura 1.1.17 Caso especial de l a figura anterior, donde a = (-1,1, O) y b = ( O , O , 1)

o, de manera equivalente, si l(t) = zi + yj + zk,

En trminos de componentes, la ecuacin de la recta que pasa por los dos puntos (21, Y1, tl) Y (z2, Y21 22 ) es

z = 21 + t ( 2 2 - m ) , y = y1 + t ( y 2 - y]), 2 = 21 + t ( 2 2 - 2 1 ) Eliminando t es posible escribir esto como

z - z ] y - y 1 2 - 2 1 z2 - z1 y2 - y1 22 - 21 - -

Notamos que cualquier vector de la forma c = Xa + pb, donde X + p = 1, est sobre la recta que pasa por los extremos de a y b. Para verlo, observar que c = (1 - p)a + pb = a + p(b - a).

EJEMPLO 7 Usar mtodos vectoriales para probar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre si.

SOLUCIN Representemos los lados adyacentes del paralelogramo por los vectores a y b, como se muestra en la figura 1.1.18. Primero calculamos el vector que va al punto medio del segmento de recta PQ. Como b - a es paralelo e igual en longitud al segmento dirigido de P a Q, (b - a)/2 es paralelo e igual en longitud al segmento de recta dirigido de P al punto medio de PQ. As, el vector a + (b - a)/2 = (a + b)/2 termina en el punto medio de PQ.

1.1 VECTORES EN EL ESPAUO TRIDIMENSIONAL 15

P

R

Figura 1.1.18 Construcciones usadas para demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre s.

A continuacin calculamos el vector que va al punto medio de OR. Sabemos que a + b termina en R, de modo que (a + b)/2 termina en el punto medio de OR. En vista de que ya probamos que el vector (a + b)/2 termina en el punto medio de OR y en el punto medio de PQ, se sigue que OR y PQ se bisecan entre s. A

Consideremos ahora algunas aplicaciones fsicas de los vectores. Un ejemplo sencillo de cantidad fsica que se representa mediante un vector es un desplazamiento. Suponer que en una parte de la superficie terrestre lo suficientemente pequea para considerarse plana, introducimos coordenadas de modo que el eje 2 apunte al este, el eje y apunte al norte, y la unidad de longitud sea el kilmetro. Si estamos en un punto P y queremos ir a un punto Q, el vector de desplazamiento d que une a P. con Q nos indica la direccin y la distancia que tenemos que viajar. Si 2 y y son las componentes de este vector, el desplazamiento de P a Q es 2 kilmetros al este, y kilmetros al norte.

EJEMPLO 8 Supongan que dos navegantes que no se pueden ver entre si, pero que se pueden comunicar por radio, quieren determinar la posicin relativa de sus barcos. Explicar cmo pueden hacerlo si cada uno tiene la capacidad de determinar s u vector de desplazamiento al mismo faro.

SOLUCIN Sean PI y P2 las posiciones de los barcos, y sea Q la posicin del faro. El desplazamiento del i-simo barco al faro es el vector di que une a Pi con Q. El desplazamiento del primer barco al segundo es el vector d que une a PI con Pa. Tenemos que d + dz = dl (figura 1.1.19), de modo que d = dl - da. Esto es, el desplazamiento de un barco hasta el otro es la diferencia entre los desplazamientos desde los barcos hasta el faro. A

Tambin podemos representar como vector la velocidad de un objeto en movimiento. Por el momento, slo consideraremos objetos movindose con ra.pidez


"

bruma

"- - Figura 1.1.1 9 Se pueden usar mtodos vectoriales para localizar objetos.

uniforme a lo largo de rectas. Supongan, por ejemplo, que un bote de vapor cruza un lago navegando a 10 kilmetros por hora (km/h) en direccin noreste. Despus de 1 hora de viaje, el desplazamiento es ( 1 O / f i , l O / f i ) E (7.07,7.07); ver la figura 1.1.20.

posicin despus de 1 h

Figura 1.1.20 Si un objeto se mueve hacia el nordeste a 10 km/h, su vector velocidad tiene componentes (IO/&, 1 0 / J z ) .

El vector cuyas componentes son ( l O / f i , l O / f i ) se llama vector velocidad del bote. En general, si un objet80 se mueve uniformemente a lo largo de una recta, s u vector velocidad es el vector desplazamiento desde la posicin en cualquier momento hasta la posicin en el momento 1 unidad de tiempo despus. Si aparece una corriente en el lago movindose hacia el este a 2 km/h, y el bote con- tina apuntando hacia la misma direccin con el motor funcionando a la misma razn, su desplazamient,o despus de 1 hora tendr las componentes dadas por

desplazamiento debido a la corriente

debido al motor

Figura 1.1.21 El desplazamiento total es la. sunla de los desplazamientos debidos al motor y a la corriente.

1.1 VECTORES EN EL ESPAClO TRIDIMENSIONAL 17

(IO/& + 2, lO/JZ) ; ver la figura 1.1.21. Por lo tanto el nuevo vector velocidad tiene componentes (lo/& + 2,10/&). Notamos que sta es la suma del vector velocidad original (lo/&, lo/&) del bote y el vector velocidad (2, O) de la corriente.

Si un objeto tiene vector velocidad (constante) v, entonces en t segundos su vector desplazamiento resultante es d = tv; ver la figura 1.1.22.

/ desplazamiento en el tiempo t Figura 1 .1.22 Desplazamiento = tiempo x velocidad.

EJEMPLO 9 Un ave va volando en lnea recta con vector velocidad 10i + 6 j + k (en kilmetros por hora). Suponer que (x, y) son sus coordenadas en tierra y que t es su altura.

(a) Si en cierto momento el ave est en la posicin ( l , 2 , 3)1 dnde estar una

(b) Cuntos segundos tarda el ave en subir 10 metros? hora despus? Y un minuto despus?

SOLUCIN (a) El vector desplazamiento desde (1,2,3) despus de 1 hora es 1Oi + 6j + k , de modo que la nueva posicin es (1 ,2 ,3) + ( lO,6, 1) = (11,8,4) . Despus de 1 minuto, el vector desplazamiento desde ( l , 2 , 3 ) es &(lOi+6j+k) = i i + hj + & k , de modo que la nueva posicin es (1 ,2 ,3) + ( h , &, &) =

(b) Despus de t segundos (= t /3600 h) , el vector desplazamiento desde (1, 2,3) es (t/3600)(10i + 6j + k) = (t/360)i + (t /600)j + (t/3600)k. El incre- mento en altura es la componente z t/3600. Esto es igual a 10m (=&km) cuando t/3600 = & esto es, cuando t = 36s. A

( & - E ) . 7 21 181

EJEMPLO 10 Las fuerzas fisicas tienen magnitud y direccinl de modo que pueden representarse mediante vectores. Si actan simultneamente varias fuerzas sobre un objeto, la fuerza resultante est representada por la suma de los vectores de fuerza individuales. Suponer que las fuerzas i + k y j + k actan sobre un cuerpo. Qu tercera fuerza debemos imponer para contrarrestar a las dos -esto es, para hacer que la fuerza total sea igual a cero?

SOLUCIN La fuerza F deber escogerse de manera que ( i + k ) + (j+ k) + v = O; esto es, v = -(i + k) - (j + k) = -i - j - 2k. (Recordar que O es el vector cero, el vector cuyas componentes son todas cero.) A


NOTA HIST~RICA

Aproximadamente hasta el ao de 1900 muchos cientficos se resistieron a usar vectores, en favor de l a teora ms complicada de los cuaterniones. E1 libro que populariz los mtodos vectoriales fue Vector Analysis, de E. R. Wilson (reimpreso por Dover en 1960), basado en los cursos impartidos por J. W. Gibbs cw Yale en 1899 y 1900. Wiison se resista a tomar el curso de Gibbs, pnes haba llevado en Harvard un curso de un ao con J . M. Pierce, campen en mtodos con cuaterniones, pero u11 jefe de departamento lo oblig a aadir el curso a su programa. (Para ms detalles ver A History of Vector Analysis, de M. J. Crowe, University of Notre Dame Press. Not,rc Dame, Ind., 1967.)

EJERCICIOS

(Los ejercicios que tienen nmeros , y letras dentro de n n cuadro estn resueltos en l a Gua d e rLstndio.)

Completar los clculos en los ejercicios del 1 al 6.

m ( -21 ,23) - (?, 6) = ( "25 ,? ) 2. 3(133, -0.33, 0) + (-399, O.99,O) = (?.?,?) 3. ( sa , -26, 13c) = (52, 1 2 , l l ) + $('.',?,?)

( 2 , 3 , 5 ) - 4 i + 3 j = ( ? , ? , ? )

5. 800(0.03, O , O ) = ?i + ?j + ?k 6. ( 3 , 4 , 5 ) + ( 6 , 2 , -6) = (?, ? , ?)

Qu restricciones se deben tener sobre z. y y z de modo que l a terna (z , y , z ) represente u11 punt,o sobre el ejr y ? Y sobrr el eje z? ;,En el plano xz? En el plano yz?

8. Trazar los vcctores v = ( 2 , 3 , -6) y w = (-1,1, 1). En esa figura, trazar " v , V + W . 2v, y v - w.

9. (a) Generalizar la construccin geomtrica en la figura 1.1.6 para mostrar que si

(b) Usando un argnnlento basado en tringulos semejantes, probar que (YV = V I = (x, y, z) y v2 = (z', y', z') entonces v1 + v2 = (x + x', y +y' , z + 2'). (ax, cuy, N Z ) cuando v = (T, y, z).

10. Repetir el ejercicio 8 usando v = ( 2 , 1,3) y w = (-2, O , -1).


En los ejercicios del 11 al 17, usar notacin de conjuntos o vectorial, o ambas, para describir los puntos que estn en las configuraciones dadas, como lo hicimos en los ejemplos 4, 5 y 6.

11. El plano generado por VI = ( 2 , 7 , O ) y v2 = ( O , 2 , 7 ) .

El plano generado por v1 = ( 3 , - 1 , l j y v2 = ( 0 , 3 , 4 ) . 13. La recta que pasa por [-1, -1, -1) en la direccin de j.

14. La recta que pasa por ( O , 2 , l ) en la direccin de 2i - k.

r;;l La recta que pasa por (-1, -1, -1) y (1 , -1 ,2) . 16. La recta que pasa por ( -5 ,0 ,4 ) y (6, -3 ,2 ) .

17. El paralelogramo cuyos lados adyacentes son los vectores i + 3k y -2j. 18. Hallar los puntos de interseccin de la recta 3: = 3 + 21, y = 7 + at, z = -2 + 1, esto es, l(1) = (3 + 2t , 7 + at, -2 + t ) , con los planos coordenados.

Mostrar que no hay puntos (x, y, z) que satisfagan 2 2 - 3y + z - 2 = O y que estn sobre la recta v = (2, -2, -1) + t ( l , l , 1 ) . 20. Mostrar que todo punto sobre la recta v = (1, -1 ,2) + t ( 2 , 3 , 1 ) satisface 5a - 3y - ~ - 6 = 0 .

1?;1 Mostrar que las medianas de un tringulo se intersecan en un punto, y que este punto divide a cada mediana con una razn 2 : 1.

En los ejercicios del 22 al 24, usar mtodos vectoriales para describir las configuraciones dadas.

El paraleleppedo que tiene como aristas a los vectores a, b y c . (La regin que tenemos en mente est en la figura 1.3.5.)

23. Los puntos dentro del paralelogramo con una esquina en (zo, yo, ZO) tal que los lados que salen de esa esquina son iguales en magnitud y direccin a los vectores a y b.

24. El plano determinado por los tres puntos (ZO, ya, zo), (51, yl, Z I ) y ( 2 2 , yz, 2 2 ) . 25. Un barco situado en la posicin ( 1 , O ) en una carta de navegacin (con el norte en la direccin y positiva) divisa una roca en la posicin (2 ,4 ) . Cul es el vector que une al barco con la roca? Qu ngulo 0 forma este vector con la direccin norte? (Se le llama la orientacin de la roca desde el barco.)

26. Supongan que el barco del ejercicio 25 apunta al rumbo norte y viaja con una rapidez de 4 nudos respecto al agua. Hay una corriente que fluye con direccin este a 1 nudo; las unidades de la carta son millas nuticas; 1 nudo = 1 milla nutica por hora.


(a) Si no hubiera corriente, qu vector u representara la velocidad del barco

(b) Si el barco siguiera la corriente, qu vector v representara su velocidad

(c) Qu vector w representa la velocidad total del barco? (d) LDnde estar el barco despus de una hora? (e) Deber cambiar el rumbo el capitn? (f) Qu pasara si la roca fuera un iceberg?

respecto al fondo del mar?

respecto al fondo del mar?

Un aeroplano est situado en la posicin ( 3 , 4 , 5 ) al medioda, y viaja con velocidad 4OOi + 5OOj - k kilmetros por hora. El piloto sabe que hay un aeropuerto en la posicin (23, 29, O ) .

(a) A qu hora pasar el avin directamente sobre el aeropuerto? (Suponer que la Tierra es plana y yue el vector k apunta hacia arriba.)

(b) Cul ser l a altura del avin cuando pase?

28. La velocidad V I del viento es de 40 millas por hora (mi/h) de este a oeste, mientras que un aeroplano viaja con velocidad en el aire v 2 de lOOmi/h con rumbo norte. La rapidez del aeroplano respecto a la Tierra es el vector suma VI + v 2 .

(a) Hallar v1 + v 2 . (b) Trazar una figura a escala.

29. Una fuerza de 501b se dirige a 50' sobre la horizontal, apuntando a la derecha. Determinar sus componentes horizontal y vertical. Mostrar los resultados en una figura.

Dos personas jalan horizontalmente de cuerdas atadas a un poste; el ngulo entre las cuerdas es de 60'. A jala con una fuerza de 1501b, mientras que B jala con una fuerza de 1101b.

(a) La fuerza resultante es la suma vectorial de las dos fuerzas en un sistema coordenado escogido de manera conveniente. Trazar una figura a escala que represente grficamente a las tres fuerzas.

(b) Usando trigonometra, determinar frmulas para las componentes vectoriales de las dos fuerzas en un sistema coordenado escogido de manera conveniente. Efectuar la suma algebraica y hallar el ngulo que la fuerza resultante hace con A.

31. 1 kilogramo (kg) masa situado en el origen se cuelga de cuerdas fijadas en los puntos ( I , 1, I) y (-1, -1,l). Si la fuerza de gravedad apunta en la direcccin del vector -k, cul es el vector que describe la fuerza a lo largo de cada cuerda? [IDEA: Usar la simetra del problema. 1 kg masa pesa 9.8 newtons (N).]

32. Escribir la ecuacin qumica CO + Hz O = H2 + COZ como una ecuacin en ternas ordenadas (C, O, H), e ilustrarla mediante un diagrama vectorial en el espacio.

(a) Escribir la ecuacin qumica p C ~ H 4 0 3 + q 0 2 = r C 0 2 + sHzO como una ecuacin en ternas ordenadas con coeficientes desconocidos p , q, T y s.

(b) Hallar la menor solucin entera positiva posible para p , q, 7 y S, (c) Ilustrar la solucin mediante un diagrama vectorial en el espacio.

*34. Hallar una recta que est en el conjunto definido por la ecuacin 2' + y' - zz = 1.

1.2 EL PRODUCTO INTERNO 21

1.2 EL PRODUCTO INTERNO

En sta y en la seccin siguiente estudiaremos dos productos de vectores: el producto interno y el producto cruz. Son muy tiles en aplicaciones fsicas y tienen interpretaciones geomtricas interesantes. El primer producto que vamos a considerar se llama producto interno. Con frecuencia se le llama tambin producto punto.

Supongamos que tenemos dos vectores a y b en R3 (figura 1.2.1) y queremos determinar el ngulo entre ellos, esto es, el menor ngulo subtendido por a y b en el plano que generan. El producto interno nos permite hacerlo. Primero desarrollamos formalmente el concepto y despus probamos que este producto hace lo que aseguramos. Sea a = a l i + ad + a3k y b = b l i + b j + b3k. Definimos el producto interno de a y b, que se escribe como a b, como el nmero real

a - b = alb l + a2b2 + a3b3. Noten que el producto interno de dos vectores es una cantidad escalar. A veces se denota al producto interno por (a, b). Es frecuente hacerlo por razones tipogrficas. As, (a, b) y a . b significan exactamente lo mismo.

Z

X

Figura 1.2.1 0 es el ngulo entre los vectores a y b.

A partir de la definicin se siguen ciertas propiedades del producto interno. Si a, b y c son vectores en R3 y a y p son nmeros reales, entonces

(i) ama? O; a - a = O si, y slo si, a = O.

(ii) aa b = a(a b) y a - ,f?b = P(a - b). (iii) a - ( b + c ) = a - b + a - c y ( a + b ) . c = a . c + b - c . (iv) a . b = b - a .


Para probar la primera de estas propiedades, observen que si a = al i + a2j + a3k, entonces ama = a: +a; + a i . Como a l , a2 y a3 son nilmeros reales, sabemos que a; 2 O , a$ 2 O , u: >_ O . As, a - a 2 O . Ms an, si a: +u; +a: = O , entonces al = a2 = a3 = O, por lo tanto a = O (el vector cero). Las demostraciones de las otras propiedades del producto interno tambin se obtienen fcilmente.

Se si ue del teorema de Pitgoras que la longitud del vector a = a l i + a ~ j + a 3 k es P-" u: + u; + u; (ver la figura 1.2.2). La longitud del vector a se denota por I l a l l . Es frecuente llamar a esta cantidad la norma de a. Corno ama = uf+a;+aj , se sigue que

llall = (a

Los vectores que tienen norma 1 se llaman vectores unitarios. Por ejemplo, los vectores i , j y k son vectores unitarios. Observar que para cualquier vector dis- tinto de cero a, a/llall es un vector unitario; cuando dividirnos a entre I l a l l , decimos que hemos normalizado a.

Figura 1.2.2 La longitud del vector a = (al, u2, u3 1 est dada por la frmula pitagrica: d m .

En el plano, definir el vector i d = (cos 0)i + (sen O ) j , que es el vector unitario que forma un dngulo 6' con el eje 2 (ver la figura 1.2.3). Claramente,

Iliell = (sen' O + cos2 O)'/' = 1.

Si a y b son vectores, hemos visto que el vector b - a es paralelo a, y tiene la misma magnitud que el segmento de recta dirigido que va del extrenlo de a al extremo de b. Se sigue que la distancia del extremo de a al extremo de b es Ilb - all (ver la figura 1.2.4).

1.2 K PRODUCTO INTERNO

Y

23

cos B

Figura 1.2.3 Las coordenadas de i o son cos 0 y sen 8.

Y

Figura 1.2.4 La distancia entre las puntas de a y b es ]lb - all.

EJEMPLO 1 Hallar la distancia del extremo del vector i, esto es, del punto (1, O , O) al extremo del vector j , ( O , 1, O) .

Mostremos ahora que el producto interno en efecto mide el ngulo entre dos vectores.

TEOREMA 1 Sean a y b dos vectores en R3 y sea 8, 0 5 8 5 R , el ngulo entre ellos (figura 1.2.5). En tomes

a b = llall llbll cos 8.


Y

Figura 1.2.5 Los vectores a, b y el ngulo 8 entre ellos; geometra del teorema 1 y su demostracin.

De modo que podemos expresar el ngulo entre a y b como

si a y b son vectores distintos de cero.

DEMOSTFIACI~N Si aplicamos la ley de los cosenos, aprendida en trigonometra, a,l tringulo con un vrtice en el origen y lados adyacentes determinados por los vectores a y b, se sigue que

llb - all2 = IIalY + llbl12 - 2llall llbll cos 6. Como llb-a1I2 = (b-a).(b-a), lla1I2 = asa, y llb1I2 = b-b , podemos reescribir la ecuacin anterior como

(b - a) . (b - a) = a a + b - b - 211all llbll cos 8. Ahora,

( b - a ) . ( b - a ) = b . ( b - a ) - a - ( b - a )

= b . b - b - a - a - b + a - a

= a . a + b - b - 2 a - b .

As, a - a + b b - 2a b = a a + b b - 211all llbll cos B.

Esto es, a b = llall llbll cos8.


Este resultado muestra que el producto interno de dos vectores es el producto de sus longitudes por el coseno del ngulo entre ellos. Esta relacin es til con frecuencia en problemas de naturaleza geomtrica.

COROLARIO (DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ) Para cualesquiera dos vedo- res a y b, tenemos

la - bl i llall llbll con la igualdad si y slo si a es un mltiplo escalar de b, o uno de ellos es O .

DEMOSTRACI~N Si a no es un mltiplo escalar de b, entonces I cos 81 < 1 y se cumple la desigualdad. Cuando a es un mltiplo escalar de b, entonces 8 = O o ?r y IcoseI = 1. m

EJEMPLO 2 Hallar el ngulo entre los vectores i + j + k e i + j - k (figura 1.2.6).

Figura 1.2.6 Bsqueda del ngulo entre a = i + j + k y b = i + j - k.

SOLUCI~N Usando el teorema 1, tenemos

( i + j + k ) . ( i + j - k ) = I l i + j + k l I I l i + j - k l l c o s O

de modo que 1 + I - 1 = (&)(&I cos e.

cose = 5 . De donde


Esto es, O = cos"(^) z 1.23 radianes (71'). A

Si a y b son vectores distintos de cero en R3 y H es el ngulo entre ellos, vemos que a. b = O si y slo si cos 6' = O. As, el producto interno de dos vectores distintos de cero es cero si y slo si los vectores son perpendiculares. Por lo tanto el producto interno nos proporciona un buen mtodo para determinar si dos vectores son perpendiculares. Se suele decir que los vectores perpendiculares son ortogonales. Los vectores de la base cannica, i , j y k son ortogonales entre s, y tienen longitud 1; dichos sistemas se llaman ortonormales. Adopt,aremos la convencin de que el vector cero es ortogonal a todos los vectores.

EJEMPLO 3 Los vectores io = (cos 6)); + (sen H ) j y j o = -(sen 6)); + (cos H ) j son ortogonales, pues

i ~ . j e = - c o s O s e n O + s e n O c o s O = O

(ver la figura 1.2.7). A

Figura 1.2.7 Los vectores ie y j e son ortogonales.

EJEMPLO 4 Sean a y b dos vectores ortogonales distintos de cero. Si c es un vector en el plano generado por a y b, entonces hay escalares (Y y ,B tales que c = cua+,Bb. Usar el producto interno para determinar (Y y p (ver la figura 1.2.8).

SOLUCI~N Tomando el producto interno de a y c , tenemos

a . c = a . ( c r a + / 3 b ) = a a - a + / 3 a . b . '

Como a y b son ortogonales, a * b = O, de modo que,

*= -= - a - c a - c a - a [la112 '


L E

X

Figura 1.2.8 La geometra para la bsqueda de (Y y p donde c = aa + pb, como en el ejemplo 4.

De manera anloga,

En este ejemplo, el vector cra se llama la proyeccin de c a lo largo de a, y /3b es su proyeccin a lo largo de b.

El resultado del ejemplo 4 tambin se puede obtener usando la interpretacin geomtrica del producto interno. Sea 1 la distancia medida a lo largo de la recta determinada al extender a, del origen al punto donde la perpendicular desde c interseca a la extensin de a. Se sigue que

donde 6' es el ngulo entre a y c. Ms an, I = allall. Juntando estos resultados tenemos

As, la proyeccin de c sobre a est dada por

c - a c - a G (la112 a. a = -


Notar que la longitud de la propccitin de u n vector c sobre un vector a, donde B es el ngulo entre a y c , est dada por

(ver l a figura 1.2.9)

proyecci6n de c

\

Figura 1.2.9 La proyeccin de c sobre a es (a - c/11a11')a

EJERCICIOS

1. (a) Probar las propiedades (ii) y (iii) del producto interno (b) Probar que a b = b a.

2. Calcular a b donde a = 2i + lOj - 12k y b = -3i + 4k. Hallar el ngulo entre 7j + 19k y -2i - j (al grado ms cercano).

4. Calcular u - v, donde u = Ai - 315j + 22k y v = u/llull 5. Es igual a cero 118i - 12kll 1/63 + kll - I(8i - 12k) (6 j + k)]? Explicar.

En los ejercicios del 6 al 11, calcular llull, llvll y u v para los vectores dados en R3

6. u = 15i - 2j + 4k, v = xi + 3j - k

1.3

9.

11.

1 3.

14.

1;;1

29 EL PRODUCTO CRUZ

u = -i + 3j + k, v = -2i - 3j - 7k u = - i + 3 k , v =4j

u = -i + 2j - 3k, v = -i - 3j + 4k Normalizar los vectores en los ejercicios del 6 al 8.

Hallar el ngulo entre los vectores en los ejercicios del 9 al 11. De ser necesario, expresar la respuesta en trminos de cos-'.

Hallar la proyeccin de u = -i + j + k sobre v = 2i + j - 3k. Hallar la proyeccin de v = 2i + j - 3k sobre u = -i + j + k. Qu restricciones se deben tener sobre b para que el vector 2i + b j sea ortogonal

a (a) -3i + 2j + k y (b) k? 17. Hallar dos vectores no paralelos, ambos ortogonales a ( 1 , 1 , 1 ) .

18. Hallar la recta que pasa por ( 3 , 1 , - 2 ) que interseca y es perpendicular a la recta z = -1 + t , y = -2 + t , z = -1 + t . [IDEA: Si (zo,yo, 20) es el punto de interseccin, hallar sus coordenadas.]

19. Suponer que una fuerza F (por ejemplo, la gravedad) acta verticalmente hacia abajo sobre un objeto situado en un plano inclinado en un ngulo de 45' respecto a la horizontal. Expresar esta fuerza como suma de una fuerza que acte paralela al plano y una que acte perpendicular a l.

20. Suponer que un objeto movindose en la direccin de i + j est bajo la accin de una fuerza dada por el vector 2i + j. Expresar esta fuerza como una suma de una fuerza en la direccin del movimiento y una fuerza perpendicular a la direccin del movimiento.

Una fuerza de 6 N (newtons) forma un ngulo de x / 4 radianes con el eje y , apuntando a la derecha. La fuerza acta en contra del movimiento de un objeto a lo largo de la recta que une ( 1 , 2 ) con (5,4).

(a) Hallar una frmula para el vector de fuerza F. (b) Hallar el ngulo 0 entre la direccin del desplazamiento D = (5 - l ) i + ( 4 - 2 ) j

(c) El trabajo realizado es F-D, o de manera equivalente, IlFll IlDll cos B. Calcular y la direccin de la fuerza F.

el trabajo con ambas frmulas y comparar los resultados.

*22. Un fluido fluye a travs de una superficie plana con vector de velocidad uniforme v. Sea n una normal unitaria a la superficie del plano. Mostrar que v n es el volumen del fluido que pasa por una unidad de rea del plano en una unidad de tiempo.


1.3 EL PRODUCTO CRUZ

En la seccin 1.2 hemos definido un producto de vectores que daba como resultado un escalar. En esta seccin definiremos un producto de vectores que da como resultado un vector; esto es, mostraremos cmo dados dos vectores a y b, podemos producir un tercer vector a x b, llamado el producto cruz de a y b. Este nuevo vector tendr la muy agradable propiedad geomtrica de ser perpendicular al plano generado (determinado) por a y b. La definicin del producto cruz est basada en los conceptos de matriz y determinante que desarrollamos primero. Una vez hecho esto podremos estudiar las implicaciones geomtricas de la estructura matemtica construida.

Definimos una matriz de 2 x 2 como un arreglo

donde a l l , a12, a21 y a22 son cuatro escalares. Por ejemplo,

son matrices de 2 X 2. El determinante

de dicha matriz es el nmero real definido por la ecuacin

EJEMPLO 1

Una matriz de 3 X 3 es un arreglo

all a12 a13 [ ::: ::: :::I donde, de nuevo, cada aij es un escalar; aij denota el registro o posicin en el arreglo que est en el i-simo rengln y la j-sima columna. Definimos el

1.3 EL PRODUCTO CRUZ

1 7 5 8 7 4 31

determinante de una matriz de 3 x 3 por la regla

Sera difcil memorizar la frmula (2) sin algn recurso mnemotcnico. La regla que hay que aprender es que nos movemos a lo largo del primer rengln, multipli- cando a l j por el determinante de la matriz de 2 X 2 obtenida al eliminar el primer rengln y la j-sima columna, y despus sumando todo esto, pero recordando poner un signo de resta antes del trmino a12. Por ejemplo, el determinante multiplicado por el trmino de enmedio en la frmula (a) , a saber

se obtiene al eliminar el primer rengln y la segunda columna de la matriz dada de 3 x 3:

EJEMPLO 2

Una importante propiedad de los determinantes es que al intercambiar dos renglones o dos columnas se cambia su signo. Para determinantes de 2 x 2, esto es una consecuencia de la definicin. Para renglones tenemos

y para columnas,


Dejamos al lector verificar esta propiedad para el caso de 3 x 3. (Ver el ejercicio 1 al final de la seccin.)

Una segunda propiedad fundamental de los determinantes es que podemos sacar como factor comn a escalares de cualquier rengln o columna. Para determinantes de 2 x 2 esto significa

aal l a12 a l l a12 aall m 1 2

De manera anloga, para determinantes de 3 x 3 tenemos

Ball (ya12 m 1 3 a l l a12 a13 a l l aa12 a13

a31 a32 a33 a31 ma32 a33

y as sucesivamente. Estos resultados se siguen de las definiciones. En particular, si cualquier rengln o columna est6 formado(a) por ceros, entonces el valor del determinante es cero.

Un tercer hecho fundamental acerca de los determinantes es el siguiente: si cambiamos un rengln ( o columna) mediante la suma de otro rengln (o , respectivamente, columna), no cambia el valor del determinante. Para el caso de 2 X 2 esto significa que

Para el caso de 3 x 3, est,o significa que

I = y as sucesivamente. De nuevo, se puede probar esta propiedad usando la definicin de determinante (ver el ejercicio 35).

EJEMPLO 3 Suponer

a = ab + PC; i.e., a = ( a l , a2 ,a3 ) = a ( b 1 , b 2 , b 3 ) + P(c1, c2, c3) Mostrar que

1.3 EL PRODUCTO CRUZ 33

SOLUCIN Probaremos el caso a # O, ,8 # O. El caso (Y = O = ,f3 es trivial, y el caso en que exactamente uno de a, p es cero, es una modificacin sencilla del caso que probamos. Usando las propiedades fundamentales de los determinantes, el determinante en cuestin es

ab1 + PCI ab2 + Pc2 ab3 + P C B =- 11 -cubl

(Y -ab2 -ab3 I

c1 c2 C?,

(factorizando - l / a en el segundo rengln)

ab1 + P C I ab2 + Pc2 ab3 + Pc3 -ab2 -ab3 1 " P C 2 - PC3

(factorizando -l/p en el tercer rengln)

(sumando el segundo rengln al primero)

O (sumando el tercer rengln al primero)

=O. A

NOTA HIST~RICA

Parece que en 1693 Leibniz invent y us los determinantes por primera vez, en relacin con soluciones de ecuaciones lineales. Maclaurin y Cramer desarrollaron sus propiedades entre 1729 y 1750; en particular, mostraron que la solucin del sistema de ecuaciones

es

1 21 = - A


Y

donde

hecho conocido como la regla de Crarner. Posteriormente, Vanderrnonde (1772) y Can- chy (Isla), al tratar los determinant,es como 1111 tema aparte que mereca atencin especial, desarrollaron el campo de manera ms sistemtica, con contribuciones de Laplace, Jacobi, y otros. A Lagrange (1775) se drben frmulas para vohmenes de pa- raleleppedos en trminos de determinantes. Las estudiaremos ms adelante en esta seccin. No obstante que durante el siglo diecinueve los matemticos estudiaron matrices y determinantes, los ternas se consideraban por separado. Para conocer toda la historia hasta 1900, ver T. Mnir, The Theory of Determinants in the Historical Order of Development, reimpreso por Dover, Few York, 1960.

Ahora que hernos enunciado las propiedades necesarias de los de terminantes y estudiado su historia, est,arrlos list,os para proceder con el producto cruz dc vectores. Sean a = c l l i + a'j + q k y tl = h l i + b2j + h3k vect,ows en R3. E l producto cruz de a y b, dcnot,ado por a x b , (;st# definido como el vector

o, simblicamente, a x b = i i ; ;; j a i l .

Aunque slo definimos los determinantes para arreglos de nmeros reales, e s t a expresin formal que incluye vectores es una ayuda til para recordar el p roducto cruz.

Notar que el producto cruz de dos vectores es otro vector; a veces se le llama producto vectorial.

EJEMPLO 4 Hallar (3i - j + k) x (i + 2j - k ) . SOLUCIN

( 3 i - j + k ) x ( i + 2 j - k ) = = -i + 4j + 7k. A


Ciertas propiedades algebraicas del producto cruz se deducen de la definicin. Si a, b y c son vectores y (Y, /3 y y son escalares, entonces

(i) a x b = -(b x a)

(ii) a x (pb + yc) = @(a x b) + y(a X c ) ( a a + p b ) x c = c y ( a x c ) + @ ( b x c )

Notar que a x a = -(a X a), por la propiedad (i). As, a X a = O . En particular,

i x i = O , j x j = O , k x k = O .

Adems i x j = k , j x k = i , k x i = j ,

lo cual se puede recordar al permutar cclicamente i, j y k as:

Nuestro siguiente objetivo es proporcionar una interpretacin geomtrica del producto cruz. Para hacerlo, introducimos primero el triple producto. Dados tres vectores a, b y c , el nmero real

a . (b x c )

Esto se puede escribir de manera ms concisa como

al a2 a3

Supongan ahora que a es un vector en el plano generado por los vectores b y c . Esto significa que el primer rengln en la expresin como determinante de a . (b x c) es de l a forma a = ab + PC, y por lo tanto a - (b x c ) = O, por el


ejemplo 3. En otras palabras, el vector b x c es ortogonal a cualquier vector en el plano generado por b y c , en part,icular tanto a b con10 a c .

A continuacin calculamos la magnitud de b x c. Noten que

(b: + + b;) (c : + C: + c:) - ( b l c l + b 2 ~ 2 + b 3 ~ 3 ) ~ = ( l b l l z l/c11* - (b * c) = l/b11 llc// - llb11* 1 1 0 1 1 ~ cos2 0 = ((b/( l(c(I2 sen 0

donde 6 es el ngulo entre b y c , O 5 8 5 T . Combinando nuest,ros resultados concluimos que b x c es un vector perpen-

dicular al plano generado por b y c , con longitud J/bll llcll I sen 8). Sin embargo, hay dos vectores que pueden satisfacer estas condiciones, pues se pueden escoger dos direcciones que sean perpendiculares ( o normales) al plano P generado por b y c . Esto se ve claro en la figura 1.3.1, que muestra las dos posibilidades 111 y n l perpendiculares a P , con llnlll = 1 1 - nl 1 1 = llbll llcll I sen 01.

Figura 1.3.1 nl y n2 son los dos posibles vectores ortogonales a b y a c , ambos con norma \lb11 (lcll Isenel.

Cul es el vector que represenh a b X c?, in1 o -nl? La respuesta es nl = b x c . Resuelvan algunos casos, como k = i x j , para verificarlo. L a siguiente regla de la mano derecha determina la direccin de b x c: Si colocan la palma de su mano derecha de manera que sus dedos se curven desde b en la direccin de c en un ngulo 8, el dedo pulgar apuntar en la direccin de b x c (figura 1.3.2).


Figura 1.3.2 Regla de la mano derecha para determinar en cul de las dos direcciones posibles apunta b x c.

Si b y c son colineales, sen 0 = O, de modo que b x c = O. Si b y c no son colineales, entonces generan un plano y b x c es un vector perpendicular a este plan;. La longitud de b x c , llbll llcll I sen 81, es simplemente el k e a del paralelogramo que tiene como lados adyacentes a los vectores b y c (figura 1.3.3).

'

X

Figura 1.3.3 La longitud de b x c es igual al rea del paralelogramo formado por b y c .

38 LA GEOMETR~A DEL ESPACIO EUCLIDIANO

EJEMPLO 5 Hallar un vector unitario ortogonal a los vectores i + j y j + k .

SOLUCI~N Un vector perpendicular a i + j y a j + k es el vector

( i + j ) x ( j + k ) =

Como Ili - j + kll = A, el vector

es un vector unitario perpendicular a i + j y j + k . A

Usando el producto cruz podemos obtener la interpretacin geomtrica bsica de los determinantes de 2 X 2 y, ms adelante, de 3 X 3. Sean b = b l i + b j y c = q i + czj dos vectores en el plano. Si 6 denota el ngulo entre b y c , hemos visto que ]lb x c I I = llbll llcll Isenel. Como ya se dijo, llbll llcll )sen61 es el rea del paralelogramo con lados adyacentes b y c (ver la figura 1.3.3). Usando la definicin del producto cruz,

As, Ilb X cIJ es el valor absoluto del determinante

De aqu se sigue que el valor absoluto del determinante anterior es el rea del paralelogramo que tiene como lados adyacentes a los vectores b = bli + b j y c = cli + czj.

EJEMPLO 6 Hallar el rea del tringulo con vrtices en los puntos (1, I), (o, a), y (3,2) (figura 1.3.4).

SOLUCI~N Sean a = i + j, b = 2j y c = 3i + 2j. Es claro que el tringulo cuyos vrtices son los extremos de los vectores a, b y c tiene la misma rea que el tringulo con vrtices en O , b - a y c - a (figura 1.3.4). En efecto, este ltimo es slo una traslacin del tringulo anterior. Como el rea de este tringulo trasladado es la mitad del rea del paralelogramo con lados adyacentes b - a = -i + j y c - a = 2i + j , hallamos que el rea del tringulo con vrtices (1 , l ) ,


i

0 1 1 2 3

( 4

Flgura 1.3.4 Problema (a): Hallar el rea A del tringulo sombreado. Solucin: Expresar los lados como diferencias de vectores (b) para obtener A = $ll(b - a) X (c - .)]I.

(O, 2) y (3,2) es el valor absoluto de

1 -1 1 3 - 2 1 2 1 ( = - 2 .

esto es, s. A Hay una interpretacin de los determinantes de matrices de 3 X 3 como vol-

menes, que es anloga a la interpretacin de los determinantes de matrices de 2 x 2 como reas. Sean a = ul i + u2j + ugk, b = b l i + b2j + b3k y c = cli + c2j + cgk, vectores en R3. Mostraremos que el volumen del paralelepipedo con aristas adyacentes a, b y c (figura 1.3.5) es el valor absoluto del determinante

al a2 a3 D = bl bz b3 . I c1 c2 c3 I

Sabemos que ((a x bll es el rea del paralelogramo con lados adyacentes a y b. Ms an, I(a X b) cJ = 1 1 ~ 1 1 Ila x bll cos$, donde II, es el ngulo agudo que forma c con la normal al plano generado por a y b. Como el volumen del paraleleppedo con aristas adyacentes a, b y c es el producto del rea de la base [la x bll por la altura IIcIIcosII,, se sigue que el volumen es I(a x b) cI. Vimos en la pg. 35 que D = a - (b x e). Al intercambiar renglones vemos que D = c (b x a) = c (a X b) = (a x b) c; por lo tanto, el valor absoluto de 13 es el volumen del paraleleppedo con aristas adyacentes a, b y c .

Para concluir esta seccin, usaremos mtodos vectoriales para determinar la ecuacin de un plano en el espacio. Sean P un plano en el espacio, a un vector que termina en el plano, y n un vector normal al plano (ver la figura 1.3.6).

Figura 1.3.5 El volumen del paraleleppedo formado por a, b, c es el valor absoluto del determinante de la matriz de 3 x 3 con renglones a, b y c .

X


Si r es un vector en R3, entonces el extremo de r est en el plano P si, y slo si, r-a es paralelo a P y, por lo tanto, si, y slo si, (r-a).n = O (n es perpendicular a cualquier vector paralelo a P ver la figura 1.3.6). Como el producto interno es distributivo, esta ltima condicin es equivalente a r n = a - n. Por lo tanto, si hacemos a = ali + azj + ask, n = Ai + Bj + Ck y r = zi + yj + zk, se sigue que el extremo de r est en P si, y slo si,

A z : + B y + C z = r . n = a . n = A a l + B a z + C a s . (3)

Como n y a se tomaron fijos, el lado derecho de la ecuacin (3) es una constante, digamos, -D. Entonces una ecuacin que determina el plano P es

A z : + B y + C z + D = O . (4)

donde Ai + Bj + Ck es normal a P ; recprocamente, si A , B y C no son cero simultneamente, el conjunto de puntos (x, y, z ) que satisface la ecuacin (4) es un plano con normal Ai+ Bj+ Ck. La ecuacin (4) es lineal en las tres variables z, y, z y as corresponde geomtricamente a una superficie lineal, esto es, un plano, en R3.

Los cuatro nmeros A, B , C, D no estn determinados de manera nica por P. Para verlo, noten que (2, y, z ) satisface la ecuacin (4) si, y slo si, adems satisface la relacin

(AA)z: + (AB)?/ + (AC)z + ( A D ) = O para cualquier constante A # O. Si A, B , C, D y A, B, C, D determinan el mismo plano P , entonces A = AA, B = AB, C = AC, D = A D para un escalar A. Decimos que A, B , C , D estn determinadas por P salvo un mltiplo escalar. Recprocamente, dados A, B, C , D y A, B, C, D, determinan el mismo plano si A = AA, B = AB, C = AC, D = AD para algn escalar X. Este hecho se aclarar en el ejemplo 8.

El plano con normal Ai + Bj + Ck, que pasa por un punto R = (20, yo, zo) es A ( . - 20) + B ( y - yo) + C(Z - Z O ) = 0 (5)

(notar que 2 = 2 0 , y = yo, z = zo satisface la ecuacin (S), y entonces, en este caso, D = -(Azo + Byo + Czo).

EJEMPLO 7 Determinar la ecuacin del plano perpendicular al vector i + j + k, que contiene al punto (1, O, O).

SOLUCIN De la ecuacin (5), el plano es 1(z - 1) + l ( y - O) + 1(z - O) = O; esto es, x + y + z = 1. A


SOLUCIN Mtodo 1. Cualquier ecuacin del plano es de la forma Az + B y + C z + D = O . Como los puntos (1,1,1) y (2,O,O) y (I , l ,O) estn en el plano, tenemos

A + B + C + D = O

2A + D = O

A + B + D = O Mediante eliminacin, reducirnos este sistema de ecuaciones a la forma

2A + D = O (segunda ecuacin) 2B + D = O ( 2 x tercera-segunda)

C = 0 (primera-tercera)

Como los nmeros A, B C y D estn determinados salvo un mltiplo escalar, podemos fijar el valor de uno y as los otros quedarn determinados de manera nica. Si hacemos D = -2, entonces A = $1, B = $1, C = O . As, la ecuacin del plano que contiene a los puntos dados es x + y - 2 = O .

Mtodo 2. Sean a = i + j + k, b = 2i y c = i + j . Cualquier vector normal al plano debe ser ortogonal a los vectores a - b y c - b, que son paralelos al plano, ya que sus extremos estn en el plano. As, n = (a - b) X ( c - b) es normal al plano. Al calcular el producto cruz tenemos,

n = -1 1 1 = - i - j . P 1 - 1 I li As, cualquier ecuacin del plano es tie la forma -z - y + D = O (salvo u11 rnltiplo escalar). Como (2, O , O ) est en el plano, D = +2. Despus de sustituir, obtenemos 2 + y - 2 = O . A

EJEMPLO 9 Determinar la distancia del punto E = ( 2 1 , y 1 , z l ) al plano COR ecuacibn A(z - zo) + B ( y - yo) + C ( z - zo ) = Az + B y + C z + D = O .

SOLUCIN Considerar al vector

Ai+ Bj + Ck J A 2 + B2 + C2 I1 =


X

Figura 1.3.7 La geometra para determinar la distancia del punto E al plano P.

que es un vector unitario normal al plano. Bajar una perpendicular de E al plano y construir el tringulo REQ mostrado en la figura 1.3.7. La distancia d = IEQI es la longitud de la proyeccin de v = RE (el vector de R a E) sobre n; as, -+

distancia = Iv - nl = I [ ( z ~ - z0)i + (y1 - y0)j + (zl - zo)k] nl - - IA(z1 - 20) + B(YI - Y O ) + C(z1 - Z O ) ~

dA2 + BZ + C2 Si el plano est dado en la forma Ax + B y + Cz + D = O, escogemos un punto (20, yo, 20) sobre I y notamos que D = -(Ax, + By0 + Czo). AI sustituir en la frmula anterior da

EJERCICIOS

1. Verificar que al intercambiar dos renglones o dos columnas del determinante de 3 x 3 1: : ;I

2 0 2

se cambia el signo del determinante (escoger cualesquiera dos renglones o cualesquiera dos columnas).


2. Evaluar 36 18 17 45 24 20

3 5 -2

17 19 23

3: Calcular a x b, donde a = i - 2 j + k , b = 2i + j + k .

4. Calcular a (b x c ) , donde a y b son corno en el ejerticio 3 y c = 3i - j + 2k.

Hallar el rea del paralelogramo que tiene como lados a los vectores'a y b dados en el ejercicio 3.

6. Un triingulo tiene vrtices ( O , O , O ) , (1,1, 1) y ( O , -2,3). Hallar sn rea.

7. Cui1 es el volumen del paraleleppedo con aristas 2i + j - k, 5i - 3k e i - 2 j + k ? iCul es el volumen del paraleleppedo con aristas i , 3j - k y 4i + 2 j - k?

En los ejercicios del 9 al 12, describir todos los vectores unitarios ortogonales a los vectores dados.

9. i, j

10. -5i + 9j - 4k, 7i + 8j + 9k

-Si - 9j - 4k, 7i + 8j + 9k, O 12. 2i - 4j + 3k, -4i + 8j - Gk 13. Calcular u + v, u - v, llull, llvll y u x v donde u = i - 2 j + k, v = 2i - j + 2k. 14. Repetir el ejercicio 1.3 para u = 3i + j - k, v = -6i - 2 j - 2k. 15. Hallar una ecuacin para el plano que

m e s perpendicular a v = ( I , ] , 1) y pasa por ( l , O , O ) . (b) es perpendicular a v = (1 ,2 ,3) y pasa por (1,1, 1). (c) es perpendicular a la recta 1(t) = ( 5 , o , 2 ) t + ( 3 , - 1 , l ) y pasa por (5, -1, O ) .

es perpcndicular a la rect,a l(t) = (-1, -2, 3)1 + ( O , 7 ,1 ) y pasa por (2,4, - I ) .


17. (a) Probar las identidades del triple producto vectorial (A X B) X C = (A-C)B- - (B C)A y A X (B X C) = (A C)B - (A * B)C.

(b) Probar (u X v) X w = u X (V X W) si, y slo si (U X W ) x v = O. (c) Probar (u x v) x w + (v x w) x u + (w x u) x v = O (la identidad de Jacobi).

18. k.,l Probar sin recursos geomtricos, que

u . ( v x w ) = v . ( w x u ) = w . ( u x v ) = - u . ( w x v )

= w (v x u) = -v - ( u x w)

(b) Probar

(u x v) * (u x v) = (u - u)(v - V) - ( u . v))(u/ . v) = [IDEA: Usar la parte (a) y el ejercicio 17(a).]

19. Verificar la regla de Cramer presentada en la nota histrica de la pgina 33.

20. Hallar una ecuacin para el plano que pasa por (2 , -1 ,3) y es perpendicular a v = (1 , -2 ,2 ) + t ( 3 , -2 ,4) .

Hallar la ecuacin de la recta que pasa por (1, -2, -3) y es. perpendicular al plano 3 ~ - - - 2 ~ + 4 = 0 .

24. Hallar la distancia de ( 2 , 1 , -1) al plano 2: - 2y + 22 + 5 = O.

Hallar una ecuacin del plano que pasa por ( 3 , 2 , -1) y (1 , -1 ,2) y es paralelo a la recta v.= (1, -1, O) + t ( 3 , 2 , -2). 27. Rehacer los ejercicios 19 y 20 de la seccin 1.1 usando el producto punto y los conocimientos adquiridos acerca de normales y planos.

2@. Dados los vectores a y b, Les cierto que las ecuaciones x X a = b y X a = l lal l determinan slo un vector x? Dar argumentos geomtricos y analticos.

46 LA GEOMETRiA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0

29. Determinar la distancia del plano 1'22 + 13y + 5 2 + 2 = O al punto (1, 1, -5).

Hallar la distancia al punto (6, 1, O ) del plano que pasa por el origen y es perpendicular a i - 2j + k. 31. En mecnica se define el momento M de una fuerza F alrededor de un pun to O como l a magnitud de F por la distancia perpendicular d de U a l a linea de accin de F. (Recordemos del ejemplo 10, seccin 1.1, que las fuerzas se pueden considerar vectores.) El momento vector M es el vector de magnitud M cuya direccin es perpendicular al plano de O y F, determinado por l a regla de l a mano derecha. Mostrar que M = R X F, donde R es cualquier vector que va de O a la lnea de accin de F (ver la figura 1.3.8.).

O

de accin

Figura 1.3.8 Momento de una fuerza

32. La velocidad angular de rotacin w , de un cuerpo rgido tiene la misma direccin qne el eje de rotacin y magnitud igual a la tasa de giro en radianes por segundo. El sentido de w se determina por la regla de la mano derecha.

(a) Sea r un vector que va del eje a un punto P del cuerpo rgido. Mostrar que el

(b) Interpretar el resultado para la rotacin de un carrusel alrededor de su eje, vector v = w x r es la velocidad de P, como en la figura 1.3.9, con w = VI y r = v2.

donde P es u11 punto en la circunferencia.

Figura 1.3.9 E1 punto P tiene vector velocidad v.

1.4 COORDENADAS ESFRICAS Y CI~NDRICAS 47

Dos medios fisicos con indices de refraccin n1 y h2 estn separados por una superficie plana perpendicular al vector unitario N. Sean a y b vectores unitarios a lo largo de los rayos incidente y refractado, respectivamente, sus direcciones son las de dichos rayos de luz. Mostrar que n l ( N x a) = nz(N x b), usando la l e y de Snell, sen O1 /sen 8 2 = n2/n1, donde 81 y 8 2 son los ngulos de incidencia y refraccin, repectivamente (ver la figura 1.3.10.)

N rayo de luz

Figura 1.3.10 Ley de Snell.

*a Justificar los pasos en los siguientes clculos: l 1 1; ' 1 1 ' ' 1 1-3 -61 4 5 6 = O - 3 - 6 1 0 - 3 -6 = = 33 - 36 = -3. 7 8 10 EC 10 -6 -11 O -6 -11

*35. Mostrar que, en una matriz, al sumar un mltiplo del primer rengln el segundo no se altera el determinmte, esto es,

h i c1 al 51 c1

b3 c3 ! 1 a3 b3 c3 1 uz + Xu1 b2 + Ab1 ~2 + X C ~ = ~2 b2 ~2 . [De hecho, al sumar en una matriz un mltiplo de cualquier rengln (columna) a otro rengln (columna), no se altera el determinante.]

1.4 COORDENADAS ESFRICAS Y CILNDRICAS

La manera usual de representar un punto en el plano R2 es mediante las coordenadas rectangulares ( 2 , y). Sin embargo, como ya seguramente lo aprendi el lector en clculo elemental, las coordenadas polares en el plano pueden ser muy tiles. Como se muestra en la figura 1.4.1, las coordenadas (.,e) estn relacio- nadas con (z, y) mediante las frmulas

x = r cost9 y y = r sen O ,

donde usualmente tomamos T 2 O y O 5 B < 27r.


.

Figura 1.4.1 Las coordenadas polares de (.,y) son ( r , o )

A los lectores no familiarizados con las coordenadas polares se les recomienda estudiar las secciones respectivas en su libro de clculo. Ahora vamos a exponer dos maneras de representar puntos en el espacio, adems de las coordenadas cartesianas rectangulares (x, y , z ) . Estos sistemas coordenados alternativos son particu1arment.e adecuados para ciertos tipos de problemas, como por ejemplo, la evaluacin de integrales (ver la seccin 6.3).

DEFINICI~N (ver la figura 1.4.2) . Las coordenadas cilndricas (r ,B, 2) de un punto (z, y, z ) estn definidas por

x = T C O S ~ , y = r seno, z = z (1)

Y

\

Figura 1.4.2 Representacin de un punto (z, y, z j en trminos de sus coordenadas cilndricas r , 8 y z.

1.4 COORDENADAS ESFRICAS Y CI~NDRICAS 49

o, explcitamente,

tan"(y/z) si z > O y y 2 O 2x + tan-'(y/z) s i z > O y y < O

T = J Z , Z = Z , % = { ?r + tan"(y/z) si z < O

donde tan-?(y/x) est entre - ~ / 2 y ~ 1 2 . Si 2 = O, entonces 8 = ~ 1 2 para y > O y 3 ~ / 2 para y < O . Si x = y = O

calculo vectorial

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ejercicios de repaso

r s i d a d n

r s i d a d d

espacio euclidiano n

integral doble

integral triple

extremos de funciones

funciones de r2