libro de calculo vectorial claudio pita ruiz

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Clculo VectorialPRIMERA EDICIN

Claudio Pita RuizUniversidad Panamericana

Escuela de Ingeniera

PRENTICEHALL

MXICO' NUEVA YORK' BOGOT' LONDRES' MADRIDMUNICH NUEVA DELHI PARS' RO DE JANEIROSINGAPUR SYDNEY TOKIO' TaRaNTa ZURICH


EDITOR:SUPERVISOR DE TRADUCCIN:SUPERVISIN PRODUCCIN:

Pita: Clculo Vectoriall/Ed.

Todos los derechos reservados

Luis Gerardo Cedeo PlascenciaJorge Bonilla TalaveraJulin Escamilla Liquidano

Num. 1524

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio omtodo sin autorizacin por escrito del editor.

Derechos reservados 1995 respecto a la primera edicin en espaol publicadapor PRENTICE HALL HISPANOAMERIChuT\JA S.A.Calle 4 N 25-22 piso Fracc. lnd. Alce Blanco,Naucalpan de ]urez, Edo. de Mxico,c.P. 53370ISBN 968-880-529-7Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial,

ClSE'

PROGRAMAS EDUCATIVOS, S. A. DE c.v.CALZ. CHABACANO No. 65, LOCAL ACOL. ASTURIAS,DELEG, CUAUHTEMOC,C.P. 06850, MXICO, D.F.

EMPRESA CERTIFICADA POR ELINSTITUTO MEXICANO DE NORMAUZACINy CERTIACACIN A.C.. BAJO LA NORMA1509002: '9!l4JNMX.cC.{)()4: '995CON EL No. DE REGISTRO RSC-!l48

''''Cl


It seems to be one of the fundamental features of naturethat fundamental physics laws are described in terms of amathematical theory ofgreat beauty andpower, needing quitea high standard of mathematics for one understand it. Youmay wonde'r: why is nature constructed along these lines?One can only answer that our present knowledge seems toshow that nature is so constructed. We simply have to acceptit. One could perhaps describe the situation by saying thatCod is a mathematician of a ver)' high order, and He usedvery advanced mathematics in constructing the Universe.

Paul Dirae

Let us grant that the pursuit ofmathematicsis adivine madness of the human spirit.

Alfred North Whitehead


PrlogoThe values [of mathematicsJ are there, values at least as greatas any human creation can offer. If all are not readily or widelyperceptible or appreciated, fortunately they are utilized. If theclimb to reach them is more ardous than in music, say, the rewardsare richer, for they include almost all the intellectual, aesthetic,and emotional values that any human creation can offer.

Morris Kline

Este es un libro de clculo diferencial e integral de funciones cuyo dominio y/o codominio sonsubconjuntos del espacio lit". Como a los elementos de este espacio se les llama "vectores", unnombre popular para este tipo de temas dentro del clculo es el de "clculo vectorial". De otro modoan, este libro trata sobre el clculo en (espacios de) dimensiones superiores. El nico prerrequisitoformal para estudiar el material que aqu se presenta, es haber tomado un curso de clculo diferenciale integral de funciones reales de una variable real (como el que se estudia en un primer semestre declculo), junto con algunos resultados elementales sobre sistemas de ecuaciones lineales y matrices(que se estudian generalmente en un curso de lgebra superior o en los primeros captulos de uncurso de lgebra lineal).

El clculo es el primer contacto de un estudiante con la llamada "matemtica superior"; desdeel concepto de lmite para funciones de una variable se puede advertir que las ideas que semanejan en esta parte de la matemtica tienen un sabor diferente de las que se haban estudiadopreviamente (lgebra, trigonometra, geometra analtica). Actualmente ya no es necesario insistir enla importancia del estudio del clculo, como primera etapa para adentrarse en problemas matemticosms elaborados, o bien para abordar problemas en otras ramas del conocimiento que utilizan demanera importante las herramientas que ofrece el clculo. Esta parte de la matemtica fue, desde sunacimiento en el siglo XVII, es ahora, y seguir siendo, la antesala de los problemas propios del estudiode la mayor parte del conocimiento cientfico actual, como el que aparece en los planes de estudiode las carreras de ingeniera o ciencias. Esto es especialmente cierto con los temas del clculo endimensiones superiores, como los que contempla este libro. Lo es, por ejemplo, por las importantesaplicaciones que de estos temas se derivan, sobre las cuales puse una especial atencin para queaparecieran en los momentos importantes del desarrollo de la teora. Por otra parte, el clculo endimensiones superiores nos brinda la primera oportunidad de disfrutar las satisfacciones intelectualesque proporcionan los procesos de generalizacin en matemticas. Una vez entendidos los conceptosdel clculo para funciones reales de una variable, y que se admira la fuerza de estas ideas pararesolver problemas en otras partes del conocimiento cientfico, an ms, cuando llegamos a pensarque estamos pisando terrenos "muy elevados" de la matemtica, el clculo en dimensiones superioresnos muestra que estbamos apenas a la mitad de la montaa, y que las emociones fuertes apenascomienzan a aparecer al ver que los resultados del primer curso de clculo son casos particulares desituaciones que contemplan los mismos problemas, pero de una manera ms general.

Esta obra contiene ms material del que se puede cubrir normalmente en un segundo curso declculo con estos temas. No es, sin embargo, un tratamiento exhaustivo del clculo en lit". Como encualquier libro de matemticas, hay varias ausencias (por ejemplo, las demostraciones de los teoremas

vii


Vlll Prlogo

de la funcin implcita y de la funcin inversa que se estudian en el captulo 3), y la justificacinde estas ausencias es tambin, como en cualquier libro de matemticas, la misma: no es posibletener en unas cuantas pginas todos los temas que contempla y que se derivan de una (cualquiera)parte de la matemtica. L0s temas tratados en los libros de matemticas son fruto principalmentede dos motivaciones del autor. La primera de ellas es que el libro debe contener como mnimo elmaterial que se debe cubrir en un curso normal. La segunda es que el libro debe ofrecer ms queeste material mnimo (de otra forma se podra convertir en una recopilacin de apuntes del curso),ya sea profundizando en los temas tratados, o bien, presentando algunas de sus derivaciones. Yson los gustos y las debilidades matemticas del autor los que deciden el producto de esta segundamotivacin, lo cual provoca entonces la ausencia de algunos temas, as como el estudio de algunostemas no usuales en un curso sobre la materia. Lo que presentamos en este libro se no es ajeno a estoshechos, pues ste contiene como subconjunto propio el material "normal" de un segundo curso declculo ... y algunas cosas ms. Las partes correspondientes al complemento de los temas obligadosen un curso de esta materia, que considero son las "ms prescindibles" en un primer acercamiento alclculo en IRn, aparecen como apndices de secciones de captulos, o bien como secciones que estnmarcadas con un asterisco. Con estas indicaciones explcitas, y el criterio (y gusto) del profesor, sepueden planear varios programas de cursos en los que se puede usar el presente libro como texto.

El inicio de esta obra "considera" el conjunto IRn, formado por n-adas ordenadas de nmerosreales, y termina con la demostracin del teorema (general) de Stokes, con formas diferenciales, susdiferenciales exteriores, y la integracin de stas en cadenas. La "distancia" que hay entre estos doshechos matemticos es muy grande, y la intencin del libro es proporcionar un plan de ruta al lectorpara que recorra el camino que separa estos dos hechos. En el transcurso de este principio y fin seexploran muchas de las maravilosas ideas que ofrece el clculo en dimensiones superiores, comoel concepto de difereneiabilidad de funciones reales de varias variables (captulo 2), los teoremasde la funcin implcita y de la funcin inversa (captulo 3), el problema de los extremos sujetos arestricciones (captulo 4), los conceptos de curvatura y torsin para curvas en el espacio (captulo S),el teorema de cambio de variables en integrales dobles y triples (captulo 6), el estudio de los camposconservativos y el teorema de Oreen (captulo 7), los conceptos de superficies en el espacio (captulo8), el teorema de la divergencia y el teorema de Stokes (captulo 9), y el teorema-general---de Stokes,como resultado globalizador de toda la obra (captulo 10). Los temas mencionados, representativosde cada captulo, constituyen un "guin" de un curso est,ndar de clculo vectorial. Algunos delos temas adicionales que el libro presenta son: el teorema de Euler sobre funciones homogneas(captulo 2); el mtodo de Newton para la solucin de sistemas de ecuaciones no lineales (captulo3); un estudio sobre las condiciones que garantizan la existencia de extremos condicionados en elmtodo de los multiplicadores de Lagrange (captulo 4); un estudio de curvas paralelas (captulo 5);el clculo de volmenes de esferas, conos y paraleleppedos en el espacio IRn (captulo 6); un estudiointroductorio sobre conjuntos conexos en IR", un estudio sobre las ecuaciones diferenciales exactas,y una demostracin de la desigualdad isoperimtrica (captulo 7); un estudio introductorio sobretubos en IR2 y IR3 (captulo 8); las "cuentas" explcitas para obtener la expresin del rotacional de uncampo en el sistema de coordenadas esfricas (captulo 9); la demostracin del teorema general deStokes, con formas diferenciales e integracin en cadenas (captulo 0); Adems, un ejercicio con 27incisos distribudos en 4 secciones del libro (captulo 2, secciones 6 y 12, Ycaptulo 7, secciones 3 y4), en el que se dan algunas ideas sobre la teora de funciones de variable compleja, y cuyo objetivoes que el lector aplique la teora expuesta en esta obra para demostrar algunos resultados elementalesque aparecen en esta teora.

El libro contiene varios cientos ele ejemplos resueltos y ms de 2300 ejercicios para que elestudiante los resuelva, la mayora de los cuales tiene respuesta en la seccin correspondiente al


Prlogo ix

final del libro. El papel que juega la resolucin de estos ejercicios en la comprensin del materialexpuesto es, como en todos los libros de matemticas, fundamental. Hasta que nos enfrentamosa situaciones concretas planteadas en estos ejercicios, cuya solucin demanda la aplicacin de lateora expuesta, es cuando se empieza a dar el proceso de comprensin de la materia. Los ejerciciosque demandan para su solucin algo ms de lo que el libro ofrece, estn marcados con uno o variosasteriscos, segn su grado de dificultad.

Este libro fue escrito con el apoyo de una beca de Cteara Patrimonial Nivel III del ConsejoNacional de Ciencia y Tecnologa (CONACYT). Aunque la responsabilidad de la realizacin delproyecto fue solamente ma, en l estuvieron involucradas muchas personas que me ayudaron eimpulsaron para presentar esta primera versin del libro, que inicialmente fue concebido como unaobra menos ambiciosa de la que se presenta, pero que poco a poco se fue convirtiendo en lo que ahoraes, al no poner resistencia a los encantos y ganas de escribir algunos de los temas complementariosdel curso que se comentaban anteriormente. Antes que nada, deseo hacer patente mi agradecimientoa las autoridades de la Universidad Panamericana, que me ofrecieron el espacio y el apoyo para larealizacin de este proyecto; especialmente al Ing. Pedro Creuheras Vallcorba, de la Escuela deIngeniera, y a la Lic. Aurea Rojas Ponce, del Centro de Cmputo, quienes siempre me brindaronlas facilidades necesarias para salir adelante en los momentos crticos y decisivos del proyecto.Agradezco tambin al Girton College de la Universidad de Cambridge (Inglaterra), donde escriblos dos ltimos captulos del libro, durante el verano de 1994. A Sergio W. del Valle y Gutirrez,quien trabaj conmigo durante medio ao en una de las etapas finales del libro. A Carlos F. Diez deSollano Navarro, a quien dirig su tesis de licenciatura (sobre el producto cruz generalizado), algunosresultados de la cual aparecen en el ejercicio 35 de la seccin 7 del captulo 1. A Pedro Albin Smith,quien resolvi los ejercicios de los captulos 5 y 6. Al Ing. Alfonso Leal Guajardo, quien revisvarios captulos, usndolos en un curso sobre la materia que imparti en el primer semestre de 1994,y posteriormente revis de manera exhaustiva el captulo 7, resolviendo todos los ejercicios que eneste captulo aparecen. Al L.F.M. Francisco Ortz Arango, al Ing. Eduardo de la Vega Segura, ala Ing. Lilia Elena de la Vega Segura, al DI". Fernando Brambila Paz y al Dr. Alejandro BravoMojica, quienes leyeron varios de los captulos dellibO. Menciono de manera especial al equipocon quien trabaj durante las ltimas horas antes de dar por concluido el proyecto, haciendo losdibujos del libro en computadora, armando, revisando, y, en fin, trabajando intensamente en esosmomentos crticos de la terminacin de un proyecto de esta magnitud; mi agradecimiento especial amis alumnos Rigoberto Chvez Carrillo y Jos Luis Salazar Velzquez, al Ing. David Prez Rivera,a la Ing. Lourdes Grimaldo Funes y a la Ing. Rebeca Moreno Lara Barragn. Por ltimo, unagradecimiento ms especial an al Ing. Javier Cervantes Camarena, quien exhibi nuevamente unacombinacin muy difcil de conseguir, pues adems de ayudarme con la elaboracin de muchos delos dibujos que aparecen en el libro, logr, con su buen humor y optimismo, neutralizar muchos demis momentos de histeria (que se incrementaron sustancialmente durante algunos meses previos ala terminacin del libro), mostrndome siempre su amistad y apoyo.

Claudio de Jess Pita Ruiz V.

Universidad PanamericanaEscuela de IngenieraDonatello 75-bisColonia Insurgentes-MixcoacMxico, D.F. 03920

Mxico, D. F., septiembre de 1994.


Contenido

Prlogo .

Captulo l. Introduccin al espacio IRn y al lgebra lineal .1.1 El espacio IRn . . . . . . . . .1.2 Producto punto. Proyecciones1.3 Norma y distancia .lA Bases ortonormales. Cambios de base1.5 El producto cruz en IR3 . . . . . . . .

Apndice. Coordenadas cilndricas y esfricas1.6 Rectas y planos en IR31.7 Transformaciones lineales1.8 Valores y vectores propios1.9 Formas cuadrticas.. . . .

Captulo 2. Funciones de varias variables . . . . .2.1 Funciones de varias variables . . . . . . . . .2.2 Geometra de las funciones de varias variables2.3 Lmites y continuidad. .2.4 Derivadas parciales . . . .2.5 Derivadas direccionales. . . . . . . .

Apndice. El teorema del valor medio2.6 Diferenciabildad........2.7 Diferenciabilidad y derivadas direccionales

Apndice. El Teorema de Euler sobre funciones homogneas2.8 Gradiente.. ...2.9 Vectores normales2.10 Planos tangentes .2.11 La diferencial. . .2.12 Derivadas parciales de rdenes superiores .

Apndice I. Funciones de clase ~k . . . .Apndice Il. El Teorema de Euler sobre funciones homogneas(versin general para funciones de dos variables). . ....

Captulo 3. Funciones compuestas, inversas e implcitas3.1 Composicin de funciones . . . . . . .3.2 Regla de la cadena . . . . . . . . . .3.3 Regla de la cadena. Perspectiva general304 Funciones implcitas (1) .3.5 Funciones implcitas (II) . . . . .

xi

vii

11

172536445160738391

103103112127147lS8164168184188193201207219222229

230

241242249269280297


xii Contenido

3.6 Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .* 3.7 Un interludio numrico: el mtodo de Newton para sistemas no lineales.

Captulo 4. Extremos de las fundones de varias variables4.1 Definicin y ejemplos preliminares .. .4.2 La frmula de Taylor de segundo orden . . . . . . . .4.3 Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales.4.4 Caso de dos variables. Ejemplos . . . . . .

Apndice. El mtodo de mnimos cuadrados . . . . . . . . .4.5 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Apndice Extremos absolutos de funciones en regiones compactas* 4.6 Extremos condicionados (H): condiciones suficientes . . . . . . .

Captulo 5. Curvas en el espacio. . . . . . . . . . . . .5.1 Introduccin. Lmites y continuidad ..... . . .5.2 Caminos en JR". Consideraciones y ejemplos preliminares5.3 Diferenciabilidad. Curvas regulares.5.4 Reparametrizaciones . . . . . . . . . . .5.5 Longitud de un camino . . . . . . . . . .5.6 Reparametrizaciones por longitud de arco.5.7 Curvatura...............

* 5.8 Curvas paralelas . . . . . . . . . . .5.9 Plano osculador, normal y rectificante .5.10 Torsin .5.11 Aplicaciones a la dinmica

Captulo 6. Integrales IDl.llHIlles

309319

333335343355365372381398407

425425432442458469479484503519526535

5516.1 Integrales dobles (1): funciones escalonadas . . . . . . . . . . 5536.2 Integrales dobles (H): funciones integrables sobre rectngulos . 562

Apndice. Integrabilidad de funciones discontnuas en conjuntos de medida cero 5676.3 Integrales dobles de funciones sobre regiones ms generales 5706.4 Cambio de variables en integrales dobles . 5896.5 Aplicaciones de las integrales dobles . . . 608

6.5.1 Voltimenes de cuerpos en el espacio . 6086.5.2 Areas de figuras planas . . . . . . . 6126.5.3 Centros de masa y momentos de figuras planas 6146.5.4 Valor medio de una funcin . . . . 620

6.6 Integrales triples . . . . . . . . . . . . 6246.7 Cambio de variables en integrales triples 632

6.7.1 Coordenadas cilndricas. . . . 6366.7.2 Coordenadas esfricas 640

6.8 Aplicaciones de las integrales triples 6466.8.1 Volmenes de cuerpos en el espacio . 6466.8.2 Centros de masa y momentos de cuerpos en el espacio. 6506.8.3 Valor medio de una funcin 653

6.9 Integrales N-mltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656


Contenido xiii

Captulo 7. Integrales de lnea . . . . . . . . . . . . . . 6717.1 Curvas en el espacio: resumen de hechos importantes 6717.2 Campos vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . 673

Apndice. Campos vectoriales en los sistemas de coordenadascilndricas y esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

7.3 Integrales de lnea: definicin y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 6897.4 Independencia del camino, campos conservativos y funciones potenciales 702

* 7.5 Un interludio topolgico: conexidad 7257.5.1 Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . 7277.5.2 Conjuntos conexos por caminos . . . . . . . 7297.5.3 Conjuntos simplemente conexos, homotopa 731

* 7.6 Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . . 7417.7 Integrales de lnea con respecto a la longitud de arco 753

7.7.1 Definicin y propiedades 7537.7.2 Aplicaciones . . . . 761

7.8 La perspectiva de la fsica. . 7717.9 El teorema de Green . . . . 779

Apndice (1). Una demostracin del teorema de cambio de variablesen integrales dobles. . . . . . 790

Apndice (H). La desigualdad isoperimtrica . . . . . . 7927.10 Rotacin de un campo en ]R2 . . . . . . . . . . . . . . 7997.11 La divergencia de un campo vectorial (l): campos en]R2 807

Apndice. La divergencia en los sistemas de coordenadas cilndricas y esfricas. 814

Captulo 8. """'P,-ji";..,, en ]R38.18.28.38.48.58.6

* 8.7

Superficies simples .Reparametrizaciones . .Espacios tangentes, planos tangentes y vectores normalesSuperficies ms generales .Orientacin de superficiesrea de una superficieTubos .8.7.1 Tubos en ]R28.7.2 Tubos en]R3

821821834839847857862873873876

Captulo 9. Integrales de superficie . . .. . .9.1 Integrales de superficie de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.1.1 Aplicaciones (1). Valor medio de una funcin definida en una superficie9.1.2 Aplicaciones eH). Centros de masa y momentos de superficies

9.2 Integrales de superficie de campos vectoriales. . . . . .9.3 La divergencia de un campo vectorial (H): campos en]R3 .....9.4 El rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . .

Apndice. El rotacional en los sistemas de coordenadas cilndricas y esfricas.9.5 El teorema de Stokes .9.6 Grad, Div, Rot: Las frmulas clsicas del anlisis vectorial .

881881886887892905915920926938


xiv Contenido

Captulo 10. Formas diferenciales . . . . . . . .10.1 Definiciones preliminares. Suma y producto de formas10.2 La diferencial exterior . . . . . .10.3 Cambio de variables en formas . . . . .lOA Integracin de p-formas sobre p-cubos .10.5 Integracin de p-formas sobre p-cadenas10.6 El teorema (general) de Stokes . . . . .

Respuestas a los ejercicios

Bibliografa

ndice analtico

945946957970979983993

1001

1071

1073


________________Captulo

duccin al espacioal l eh lineal

En este primer captulo expondremos los preliminares necesarios para abordar adecuadamente elestudio del clculo para funciones cuyo dominio y/o codominio es el espacio n-dimensional IRn. Poruna parte, estudiaremos algunos aspectos sobre la naturaleza algebraica de este espacio, que sernuestro anfitrin durante el desarrollo de toda la obra, insistiendo en la gran riqueza geomtrica, lacual puede ser visualizada en los casos en que 11 = 2 Y n = 3 y, por otra parte, introduciremosalgunos conceptos importantes del lgebra lineal que nos ayudarn en su momento a tener unlenguaje adecuado para entender varios de los temas que aparecen en el estudio del clculo (sobretodo el diferencial) de las funciones anteriormente mencionadas (v.gr. la derivada de una funcindeterminada es una "transformacin lineal"). Advertimos, sin embargo, que los tpicos que aquabordaremos no sern tratados en forma exhaustiva, pues el objetivo es solamente dejar asentadoun material de repaso y/o referencia, cuyo conocimiento es importante (muchas veces fundamental)para entender las discusiones de los temas de esta obra. Muchos de estos temas se tratan de modo msprofundo en algunos textos de lgebra lineal. De cualquier modo, se advierte que s es un requisito elconocimiento de algunos resultados elementales sobre la teora de sistemas de ecuaciones lineales,matrices y determinantes, que se exponen en los primeros captulos de algunos libros de lgebralineal, como por ejemplo, en los dos primeros captulos de la referencia [Pillo

1.1 El espado]RnTngase en cuenta que, en todo el libro, la letra n, que acompaa a la letra IR en la notacin IR",denotar a un nmero natural.

Consideremos el conjunto de todas las n-adas ordenadas de nmeros reales, que denotaremos porIR" (y leemos "erre ene")

A cada uno de los nmeros reales XI, X2, ... , X" que conforman la n-ada (XI, X2, .. , x,,) E IR", sele llama componente o coordenada de la n-ada correspondiente y, puesto que stas son ordenadas,decimos, con ms precisin, que Xi es la i-sima coordenada de (XI, X2, ... , x,,), i = l, 2, ... ,n. Porejemplo, si n = l, el conjunto IR I no es ms que el conjunto de nmeros reales IR. Si n = 2, IR2 ser

2 Captulo 1 Introduccin al espacio IRn y al lgebra lineal

el conjunto de parejas ordenadas de nmeros reales que podemos escribir como {(x, y)lx, y E IR}.Si n = 3, el conjunto IR3 estar formado por las ternas ordenadas de nmeros reales, que se puedeescribir como {(x, y, z)lx, y, z E IR}, etc. Insistimos en que las n-adas que constituyen el conjuntojR;1l, son ordenadas: por ejemplo, en IR2 la pareja (2,7) es diferente de la pareja (7, 2). De hecho,dos n-adas de IR" se dicen ser iguales, cuando todas y cada una de sus coordenadas son iguales. Esdecir que

(XI, X2,"" xll ) = (YI, Y2,"" y,,) q Xi = Yi, i = 1,2, ... , nUn hecho de fundamental importancia en el conjunto IR" es quepodemos

1.1 El espacio IR" 3---------------------

por O(o cuando no haya peligro de confusin, simplemente por O). Es decir O = (O, O.... , O) E ]R"Yse tiene

(XI. X}, ... , XII) + (0,0, ... , O) = (XI, x2, ... , XII)4. Cada n-ada de ]R" tiene un "inverso aditivo", el cual es un elemento de]R" que tiene la propiedadde que, sumado con la n-ada original, produce cero (el cero de]R" !). De hecho, el inverso aditivo de(XI. X2. .. , XII) es (-XI, -x}... -XII) puesto que

(XI, X} xn ) + (-XI, ~X2... -xn ) = (0,0, ... , O)

5. Si A es un escalar, se tiene

6. Si A Y J-L son escalares, se tiene

7. Si A Y J-L son escalares, se tiene

(A,u.)(XI,X2... XIl) = A[J-L(XI,X2, ... ,xlI )] = ,u.[A(XI,X}, ... ,xlI )]

8. l(xI, X2 ... , XII) = (Xl. X}, ... , XII)

Como decamos, todas estas propiedades son de verificacin inmediata y su validez se basafundamentalmente en las 'correspondientes propiedades ya conocidas de los nmeros reales, como laconmutatividad, asociatividad y la existencia de neutros para la suma y producto de reales, ademsde la existencia de inverso para la suma y la distributividad. Obsrvese que, de hecho, si n = 1, ]R 1no es ms que el conjunto de nmeros reales y las propiedades 1-8 anteriormente mencionadas secumplen automticamente (basndonos en que conocemos de antemano las propiedades algebraicasde ]R). Sabemos que, en realidad, ]R es ms que un espacio vectorial: es un campo (es un hechogeneral que un campo K cualquiera es un espacio vectorial, tomando como escalares los mismoselementos de K).

A manera de ejemplo, verifiquemos la validez de la propiedad 5. Se tiene

A [(XI. X2, ... , XII) + (YI. Y2 ... , Yn)] =

= A(XI + YI, X2 + )'}.... ,Xn + YII)

= (A(XI + )'1). A(x} + Y2),.. A(x" + )'11)

= (AXI' X2... AxlI ) + (AYI, AY2,"" AYII)

(definicin de)suma en IR:"

(definicin de ProductO)P?r escalares en R"

(propiedad distributiva)de los nmeros reales

(definicin de)suma en IR:"

(definicin de ProductO)por escalares en 'R"

4 Captulo l Introduccin al espacio JR" y al lgebra lineal

y z

y................ (x, y) (x, y, z)

---------1""-----------4>X X

x

Figura 1. Vectores en JRz y JR3.

x y

Cuando en un conjunto no vaco V se han definido operaciones de suma entre sus elementos yproducto de stos por escalares (nmeros reales, o ms en general, elementos de un campo K),y estas operaciones satisfacen (adems de la cerradura) las propiedades 1-8 vistas anteriormente (esdecir, la propiedad de conmutatividad de la suma, asociatividad de la suma, etc.), se dice que V esun espacio vectorial l. As, el conjunto JR" se convierte en un espacio vectorial con las operacionesque en l hemos definido. De aqu en adelante nos referiremos a JR" como "el espacio JRIl" Ya suselementos (las n-adas ordenadas) como "vectores".

La resta de vectores en JRIl, digamos x - y, se define como

x - y = x + (-y)

Cuando n = 2 n = 3, podemos visualizar geomtricamente los espacios correspondientes lR2 yJR3. En efecto, dado un vector v en alguno de estos espacios, podemos ver a ste como el puntocorrespondiente del plano o del espacio tridimensional que tiene por coordenadas a las coordenadasde v. Otro modo de verlo es como una flecha que parte del origen de coordenadas y llega al punto encuestin. Ms an, toda "flecha" en el plano o en el espacio, puede ser pensada como un vector deJR2 o JR3, respectivamente. En efecto, supongamos que la flecha tiene su inicio en el punto p y su finalen el punto q. A ella asociamos entonces el vector v = q - p del espacio correspondiente. Con las

ICon ms precisin, l}n espacio vectorial es un conjunto no vacro V en el cual estn definidas dos operaciones entre suselementos (llamados vectores), a saber, la suma de ellos +: V x V ..... V con la cual a cada VI, V2 E V se le asocia un nuevovector (VI + V2) E V, llamado "suma de VI y V2", Yel pr04uctll de un vector de V por un escalar (un elemento de un campoK, como IR o iC) -: K x V -; V, con la cual, dado un v E V Y un escalar A E K (= IR @ ic), se le asocia un nuevo elementoAv E V, llamado "producto del vector v.por el escalar A", cumpliendo las siguientes propiedades:1. La suma es conmutativa: VI + Vz = V2 + V, Vv, Vz E V.2. La suma es asociativa: VI + (V2 + V3) = (VI + V2) + v3. VVI, vz, v3 E V.3. Existe en V un elemento neutro para la suma, llamado cero y denotado por 1iI. Es decir, existe liI E V tal que V+ liI = vVv E V.4. Cada VE V tiene asociado un inverso aditivo (-v) E V. con la propiedad de que v + (-v) = O.5. A(vl + V2) = Av + AV2, VA E K, VVI, v2 E V.6. (A + .L)v = Av + .Lv. VA, .L E K, Vv E V7. (A.L)v = A{.Lv), VA, .L E K, 'Iv E V.8. Iv = v, 'Iv E V.En este libro el espacio vectorial ms importante con el que trabajaremos es justamente IR". Existen, sin embargo, otrosespacios vectoriales importantes que eventualmente aparecern en el desarrollo del libro. como el espacio de malrices, defunciones. etc.

l. 1 El espacio IR" 5

u+v

u

Figura 2. La suma de vectores en IR2 y ]R.'.

consideraciones geomtricas que veremos a continuacin, ser fcil ver que la flecha asociada a estevector v, que parte del origen y llega al punto q - p, es "equivalente" (en el sentido de movimientosrgidos) a la flecha original que parta de p y llegaba a q.

Debido a este tipo de identificaciones entre los puntos del plano cartesiano y del espaciotridimensional, con los vectores de los espacios vectoriales l~2 y JR.3, es que se suele referir a estosespacios como "el plano JR.2" y "el espacio JR.3" respectivamente (refirindonos en este ltimo casoal espacio tridimensional --en el que vivimos), y como ya lo decamos en nuestro primer ClJSO declculo "la recta IR".

Ms an, es interesante notar que las operaciones definidas en los espacios JR2 y IR3 puedenser visualizadas, al igual que algunas de las propiedades de ellas, con la ayuda de las versionesgeomtricas (las flechas) de los vectores de estos espacios. En efecto, se puede ver fcilmente(dejamos los detalles a cargo del lector) que la suma de vectores en estos espacios no es ms quela "regla del paralelogramo" conocida en el manejo de flechas ("vectores geomtricos") como semuestra en la figura 2.

Con ayuda de esta figura queda clara la validez de la propiedad conmutativa de la suma de vectoresen IR2 y IR3 Tambin, usando esta idea, es fcil ver que la operacin de resta de vectores, digamosx - y, equivale a tomar el vector (la flecha) que comienza en el punto y y termina en el punto x (elcual es en realidad una flecha que se obtiene por un mivimiento rgido de la flecha asociada a x - y).

Anlogamente, con ayuda de la figura 4, queda clara la propiedad asociativa de la suma.Por otra parte, la operacin de producto por escalares puede tambin verse geomtricamente de

la siguiente manera: la multiplicacin del vector v por el escalar A produce un nuevo vector Av (delque diremos que es un "mltiplo escalar" de v) que, conservando la lnea de accin de v, se alarga (siA> 1) o se contrae (si O < A< 1) manteniendo la misma direccin de v, o invirtiendo tal direccin(si A < O). En particular, dado el vector v E JR2 o JR3, su inverso aditivo (-v) E IR2 o JR3 es unareproduccin del vector v apuntando en la direccin "opuesta respecto del origen". Estos hechos seilustran en la figura 5.

Todas las visualizaciones geomtricas anteriores, a pesar de que slo tienen sentido con vectores"que podemos ver", en los espacios JR2 y/o IR3, se acostumbra hacer uso de ellas en el caso generalde vectores en IR" , pensando en que de no tener las "limitaciones espaciales" que tenemos los seres

6 Captulo I Introduccin al espacio ]Rn y al lgebra lineal

y

-y

__x

-----

x-y

y

x-y

L_-----~x

Figura 3. La resta de vectores x-y.

humanos (somos seres que vivimos en R3 y no podemos ver o imaginar espacios R" con I! 2: 4l),veramos los vectores en R" "con las mismas propiedades geomtricas" que tienen los vectores enlR2 o R3 .

Algunas veces es importante considerar "pedazos" del espacio R" que se comportan "algebraica-mente de la misma manera" que el espacio total al que pertenecen. De hecho subconjuntos S ~ JR"que son en s mismos espacios vectoriales con las operaciones de suma y producto por escalaresque ya estaban definidas en JR" (es decir, que en S se cumplen la cerradura de las operaciones de-finidas en el espacio y las 8 propiedades que caracterizan a un espacio vectorial). Por ejemplo, siconsideramos el subconjunto S de ffi.2 dado por

S = {(x, y) E ffi.21x = Y}podemos verificar que los vectores de S satisfacen las 8 propiedades que cumple el espacio completoJR2 que los hacen ser espacio vectorial: la cerradura (en S) de las operaciones de suma y productopor escalares se verifica fcilmente; que la suma es conmutativa y asociativa es un hecho que secumple para todos los vectores de JR2 y entonces, se cumple en particular para los vectores de S.

w

"'""'; ;+ +;;;..

........ ~ v+ +:::l

:::l........

Figura 4. Versin geomtrica de la propiedad asociativa de la suma de vectores.

1.1 El espacio IR" 7

AY (A > 1)

Y

A'I' (O < A < 1)

o

AY (A

8 Captulo I Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal

donde al, a2, ... , all son nmeros reales dados y t es un real arbitrario. Dejamos que el lector verifique,usando el teorema anterior, que, efectivamente se trata de un subespacio de IR/l. Geomtricamenteestos subespacios se pueden identificar como "rectas que pasan por el origen" (como se ver en laseccin 6). 111

Dado un conjunto de vectores Vl, V2, , Vil E R", decimos que el vector v E JR" es unacombinacin lineal de los vectores VI, v2, , Vil' si existen escalares c], c2, ... , c" tales que

.

Por ejemplo, el vector (7,5) es una combinacin lineal de los vectores (2, 1) Y (1, 1) puesto que(7,5) = 2(2, 1) + 3(1,1); es decir, podemos escribir al vector (7,5) como la suma de algn mltiploescalar del vector (2, 1) Yalgn mltiplo escalar del vector (1, 1). Esto puede verse geomtricamentecomo

(7,5)

2(2,1)

------>x

6. El vector (7, 5) = 2(2, 1) + 3( 1, 1),

En realidad, cualquier vector (x, y) E JR2 es una combinacin lineal de los vectores (2, l) Y(1, l),En efecto, podemos escribir (x, y) = CI (2, 1) +C2(1, 1) con CI = x - y, C2 = 2y - x, como se verificasin dificultad,

Por otra parte, el vector (1, 1, O) no es unacombinacin lineal de los vectores (1, 2, 3), (-1, -- 1,2),(1, 3, 8). Para ver esto ltimo, escribamos

(l, 1, O) = C1( 1, 2, 3) + C2 ( - j, - 1, 2) + C3 (l, 3, 8)

y veamos que tales escalares C], C2 YC3 no existen. Haciendo las operaciones indicadas en la ltimaexpresin nos queda que

de donde se obtiene el sistema

CI - C2 + C3 = 1, 2cI - C2 + 3C3 = 1, 3cI + 2C2 + 8C3 = O

del cual es fcil convencerse que no tiene solucin.

1.1 El espacio JRn 9

Es claro que los vectores (2, 1) Y(1, 1) tienen una propiedad importante que no tienen los vectores(1,2,3), (-1, -1,2), (1, 3, 8), ya que con una combinacin lineal adecuada de los prImeros podemosescribir cualquier vector del espacio ]R2, cosa que no se puede hacer con los segundos vectores en elespacio IR3 . Tal propiedad es conocida como "independencia lineal" y a continuacin haremos unestudio breve de ella, empezando por establecer la definicin correspondiente.

Un conjunto de vectores VI, V2, ... , Vk E ]Rn se dice ser linealmente independiente (abreviare-mos l.i.) si la combinacin lineal

obliga a que todos los escalares CI, C2, . , Ck sean cero. Es decir, si se tiene la implicacin

Caso contrario, se dice que los vectores son linealmente dependientes (abreviaremos l.d.? Es decir,si se puede tener la combinacin lineal CIVI + C2V2 + ... + CkVk = Ocon no todos los escalares C,C2, .. , Cn iguales a cero.

Usando esta definicin, es fcil convencerse de los siguientes hechos:

l. Cualquier conjunto de vectores que contenga al Oes l.d.2. Un conjunto formado slo por un vector no nulo es l.i.3. Si S es un conjunto de vectores l.i., cualquier subconjunto de S es tambin l.i.4. Si S es un conjunto de vectores l.d., cualquier conjunto S' que contenga a S como subconjunto

ser tambin l.d.5. Si VI, V2, ... , Vk son vectores Ld., entonces alguno de ellos se puede escribir como combinacin

lineal de los restantes.6. Si k> n, el conjunto de vectores V, V2, .. , vk E ]Rn es Ld.7. Un conjunto de n vectores VI, V2, ... , vn E ]R" es l.i. si y slo si el determinante de la matriz

que tiene por vectores columna (o por vectores lnea) a estos vectores es distinto de cero.Dejamos al lector la verificacin detallada de estos hechos (algunas de ellas usan resultados

relacionados con los sistemas de ecuaciones lineales).

Un concepto muy importante que aparece cuando se trabaja en el espacio IRIl es el conceptode base de este espacio. Se dice que un conjunto formado por n vectores V, V2, ... , Vil E ]R1l esuna base de ]R1l, si estos vectores son linealmente independientes. Segn la propiedad (7) anterior,los vectores VI, V2, ... , vn E IRIl son (o forman) una base de JI{1l si y solamente si el determinantede la matriz cuyos vectores columna son los vectores dados, es distinto de cero. Esquemticamente,los vectores VI, \12, ... , vn E IR" son una base de este espacio si y slo si

12La propiedad de dependencia o independencia lineal se puede ver como una propiedad de los vectores o del conjunto queforman. No haremos distincin al respecto.

10 Captulo I Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal

Cuando se tiene una base del espacio IR", digamos formada por el conjunto {v], V2, ... , VII}, esimportante considerar a ste ltimo como un conjunto ordenado de vectores en IR". De esta manera,se tiene el siguiente resultado fundamental que pone de relieve la importancia de tener bases en elespacio IR" .

Teorema 1.1.1 Si [3 = {VI, "2, ... , v,,} es una base del espacio IR", entonces cada vectorV E IR" se escribe de manera nica como combinacin lineal de los vectores de [3, es decir.existen nicos escalares C], C2, ... , c" tales que v = CI VI + C2V2 + ... + C" Vil'

Demostracin. Considere el conjunto A = {VI, V2,"" v,,, v}. Este es un conjunto linealmentedependiente, pues est formado por n + 1 > n vectores de IR". Es decir, existen escalares YI,Y2, ... , YI1+ 1 no todos nulos tales que YI VI + Y2V2 + ... + y" VII + YI1+ 1V = O. Afirmamos queY,,+I i- O, pues caso contrario tendramos YIVI + Y2v2 + ... + YI1VII = O y, por la independencialineal de los vectores de [3, se concluira que Y = O para i = 1, 2, ... , IZ, lo cual contradice ladependencia lineal del conjunto A. Tenemos entonces que v = CIVI + C2V2 + ... + C"V", dondeC = -Yi!y,,+]. Veamos por ltimo que estos escalares son nicos. Si existieran otros escalarestales que v = dl"l + d2v2 + ... + d"v", se tendra

de donde

Usando la independencia lineal de la base [3, conclumos de esta ltima expresin que C -- di =c O,o sea que c = di para todo i == 1,2, ... , n, como se quera.

En el teorema anterior, decimos que v = ('IVI + ('2V2 + ... + CnVIJ es "la expresin de! vector ven trminos de la base [3 = {v 1, V2, ... , vn }".

Ejemplo 2. Los vectores VI = (2, 1) Y V2 = (1, 1) (ver figura 6) forman una base de IR 2, puestoque ellos son l.i., hechoque se deduce del valor no nulo de det [~ :] = l. En realidad, ya se habavisto que todo vector (x, y) E IR2 se escribe (de manera nical) corno (x, y) = (x y)vI + (2y X)V2como lo asegura el teorema anterior. 11

Ejemplo 3. Cualquier conjunto de k vectores en IR", con k i- 11, no puede ser una base de esteespacio (por qu?). Los vectores VI = (1,2, 3), V2 = (- J, -1,2), V3 = (1, 3, 8) no forman unabase de IR3 porque son l.d., ya que

det [;3

-1-]2

(Obsrvese que este determinante ya haba aparecido en una discusin previa sobre si todo vectorde IR3 se puede escribir como combinacin lineal de los vectores VI, V2 Y V3. Se descubri que no.Esto es justamente lo que volvimos a hacer en este ejercicio, por qu?). 11

l.l El espacio ]R." 11

El ejemplo ms importante de base en el espacio IR" es el conjunto {el, e2, ... , e,,} donde

e = (O, ... ,0, l. 0, ... , O)1

i -sim

12 Captulo I Introduccin al espacio ]R" y al lgebra lineal

Ejemplo 5. Sea S = {(x, y)lx = y}. Ya se vi que S es un subespacio de lR.2 . Es fcil verificarque el conjunto 13 = {(1, 1)} es una base de S, pues, por una parte es claro que es I.i. y, por otra,todo vector de S, digamos (a, a) es un mltiplo escalar de (1, 1). iII

Ejemplo 6. El conjunto S = {(x, y, z)lx - 3Y - Sz = O} es un subespacio de lR.3 (ver ejemplo 1).Para "descubrir" una base de S podemos proceder como sigue: escribamos un vector arbitrario de Sy tratemos de "descomponerlo" como combinacin lineal de vectores de IR3. Verificando finalmenteque estos vectores son l.i. podemos concluir que constituyen la base buscada. En nuestro casotenemos que un vector cualquiera de S se escribe como

(x, y, z) = (3y + Sz, y, z) = y(3, 1, O) + z(S, 0,1)

Entonces, todo vector de S se escribe como combinacin lineal de los vectores VI = (3, 1, O) yV2 = (S, 0, 1). Puesto que estos vectores son I.i., concluimos que 13 = {(3, 1, O), (S, 0, I)} es unabase de S. iII

Por supuesto que la base 13 de un subespacio S de IR" no es ul1!ca. Con el mismo ejemploanterior, podemos ver que 132 = {(- 2, 2, -1), (-1, 3, -1)} es otra base del subespacio S ={(x, y, z)lx - 3y - 8z = O}. Lo que s ocurre, y es posible demostrar en general, es que dosbases distintas de un subespacio tienen siempre el mismo nmero de vectores, Esto nos permiteestablecer la siguiente definicin importante.

Definicin. Sea S un subespacio de IR". Se llama dimensin de S, denotada por dim S, alnmero de vectores que existe en una base (cualquiera) de S.

Por ejemplo, es claro que la dimensin de lR." es n. La dimensin del subespacio del ejemplo 6es 2. En el caso del subespacio trivial {O} que contiene solamente al vector cero, su dimensin sedefine como siendo cero.

1. Verifique que el conjunto de n-adas ordenadas de nmeros reales

i = 1, 2, ... , n}

con las op~raciones de suma y producto por escalares definidas en esta seccin, es un espaciovectorial.

2. Escriba en forma explcita.a. el neutro para la suma de JR3.b. el inverso aditivo de (1, 2, -3,5) E IR4 .c. el inverso aditivo del inverso aditivo de un vector v E JR".d. el inverso aditivo del neutro para la suma de un vector v E IR".e. el vector suma de (1,1,1) con (3, 2, 2) en IR3.f. la propiedad conmutativa para la suma de vectores en IR3 .

1.1 El espacio]Rn 13

g. el vector suma de (8,9,3,5) con el inverso aditivo de (2, 7, 5, 4) en R,4.h. el vector suma de (a, b, e, d, e) E R,s con su inverso aditivo.i. 3 veces el vector (2, 1, 1) de ]R3.j. -5 veces el vector (1,1, 1, 1, O E R,s.k. la propiedad asociativa para la suma de vectores en ]R4.1. el inverso aditivo de 4 veces el vector (2, 4, -7) E R,3.m. la suma de (2, 5, 5,4) con 4 veces el vector (-1, - 2, -1, -1) en R,4.n. la suma de (1, 1) con el inverso aditivo de 5 veces el vector (4, 5) en R,2.o. la suma del inverso aditivo de (1, 1) con 5 veces el vector (4, 5) en lR,2.p. el vector 3(1, 1,8) +4 [(-2,3, O) + 5(1, 0, O] de R,3.q. el vector -(2, 0, 2) + 3{(3, 2, 2) - 3[-(1,2, 1) + 7(0, 1, Ol} de R,3.r. el vector (2, 1,0, O) - 2( 1, 1, 1, 1) de R,4 multiplicado por el escalar -5.s. el inverso aditivo del vector -(1,4,2,3) +2(3,2, 1, 1) en R,4 multiplicado por el escalar -6.t. el vector de R,4 que sumado al vector (3, 2, 0, O) d por resultado el vector O, 1, 2, 1).u. el vector de R,3 que sumado con el inverso aditivo del vector (1, -4, 6) da por resultado el

vector 3(3, 4, 2).3. Sean x y y dos vectores de R,n. Verifique que el inverso aditivo del vector x - y es el vector

y x. Discuta geomtricamente este hecho.

4. Demuestre que el subconjunto de lR,2

s = {(x, Y)ix = y}

con las operaciones usuales de suma y producto por escalares (las que estn definidas en R,2)es un espacio vectorial, verificando que se cumplen los 8 axiomas que definen a esta estructuraalgebraica. Observe que geomtricamente este conjunto es representado por la recta y = x, lacual es una recta que pasa por el origen.

5. Usando el teorema 1.1.1, demuestre que el conjunto de vectores en R,2 que se encuentran en larecta que pasa por el origen ax + by = (con a y b reales no ambos nulos), e~ Jn subespacio deR,2. Ms an, demuestre que si S es un subespacio no trivial de R,2 (es decir, distinto de {(O, O)}Yde todo R,2), entonces S es una recta que pasa por el origen, siguiendo los pasos:a. Tome un vector (xo, Yo) E S no nulo, digamos que Xo i= 0, y defina

L = {(x, Y)!Yox - XoY O}.

Ciertamente L es un subespacio de R,2 (por qu?). Tome (Xl, YI) E L. Verifique que(x 1, YI) es un mltiplo escalar de (xo, Yo). Con S como un subespacio de lR,2, concluyaque (Xl, YI) pertenece de hecho a S. Esto demuestra que LeS.

b. Suponga que S no est contenido en L. Tome entonces un vector (X2, Y2) E S tal que(X2, Y2) ti- L (es decir, YOX2 - XOY2 i= O). Considere el sistema de dos ecuaciones con lasincgnitas u y v,

YoU + Y2 V = y,

14 Captulo l Introduccin al espacio]R" y al lgebra lineal

donde x, y y son nmeros reales arbitrarios dados. Concluya que este sistema de ecuacionestiene solucin nica, digamos U, v. Verifique entonces que el vector (x, y) E lFt2 se puedeescribir como

(x, y) = u(xo, Yo) + V(X2. Y2)'Use S como un subespacio de lFt2 para concluir que (x. y) E S, con lo cual concluya a suvez que S = lFt2 , lo que es una contradiccin a las hiptesis hechas sobre S. Esto pruebaentonces que S e L.

c. Tome los resultados de los dos incisos anteriores para conclur finalmente que S = L, Yque, entonces, S es una recta que pasa por el origen.

6. Demuestre que dos vectores en lFtn son linealmente dependientes si y slo si uno de ellos es unmltiplo del otro.

7. Use el resultado del ejercicio anterior para decidir (a simple vista) si los siguientes pares devectores son linealmente independientes o dependientes.a. (1, 1) Y (2, 3).b. (2.4, 1) Y(8. 16,4).c. (O, O. O) Y (3, 2, - 7).d. (l, 1,2,0, 1) Y(3, 3, 6, 0, 3).e. (2,5, 1, n, 1) y (-3,5. 1, 0, 1).

8. Demuestre que cualquier conjunto de vectores en lFt" que contenga al vector cero es linealrnentedependiente. (Sugerencia: use directamente la definicin de dependencia lineal).

9. Pruebe que un conjunto formado por un solo vector no nulo es linealmente independiente.10. Demuestre que si S es un conjunto de vectores en lFt" linealmente indpendiente, entonces

cualquier subconjunto de S es tambin linealmente independiente.11. Demuestre que si S es un conjunto de vectores en lFt" linealmente dependiente, entonces cualquier

conjunto que contenga a S es tambin linealmente dependiente.12. Pruebe que si los vectores V], '12, ... , Vk E lFtn son linealmente dependientes, entonces alguno

de ellos se puede escribir como combinacin lineal de los restantes.

13. Demuestre que si k > n, el conjunto de vectores V, '12, ... , Vk E lFtn es linealmente dependiente.(Sugerencia: escriba explcitamente la combinacin lineal C V + C2'1'2 + ... + Ck Vk = O conlas coordenadas de los vectores involucrados; obtendr un sistema homogneo de n ecuacioneslineales con k indeterminadas C, C2, . , Ck. Use el hecho de que para un sistema de este tipo,si k > n, existen soluciones no todas nulas para las incgnitas).

14. Demuestre. que un conjunto formado por n vectores VI, '1'2, ... , Vn E lFt" es linealmenteindependiente si y solamente si la matriz cuadrada de orden n que tiene por vectores columna(o por vectores lnea) a estos vectores, tiene determinante distinto de cero. (Sugerencia: escribaexplcitamente la combinacin lineal CV + C2V2 + ... + CkVk = O con las coordenadas delos vectores involucrados; obtendr as un sistema homogneo de n ecuaciones lineales con nincgnitas c, C2, .. , Cn. Use el hecho de que un sistema semejante tiene slo la solucin triviale = C2 = ... = Cn = Osi y slo si el determinante de la matriz del sistema --que es el mismoque el de su transpuesta- es no nulo).

1.1 El espacio lRn 15

15. Diga si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes o dependientes,justificando su respuesta directamente de la definicin, o bien, usando alguno de los resultadosde los problemas S-14 anteriores.a. {(2, l)}.b. {(3, 2, 1),(l,0,0),(-4,5,-2)}.c. {(l, 1, 9), (2,1,3), (2, 2, 3), (3, -3, -7)}.d. {(l, 4,5, O), (2,1,0, O), (3,1,1, l)}.e. {(1, 2, 3, 4), (O, 2, 3,4), (O, O, 3, 4), (O, 0, O, 4)}.

16. Demuestre el teorema 1.1.1. (Sugerencia: el "slo si" es obvio; para probar el "si", observeque la cerradura de las operaciones en el espacio vectorial queda garantizada por las doscondiciones dadas; la conmutatividad y asociatividad de la suma, y las propiedades relacionadascon productos por escalares se cumplen automticamente -porqu?-; resta por ver que existeel neutro para la suma en S y que cada x de S tiene en S su inverso aditivo; esto lo puede hacerusando la propiedad 2. con e =y e = -1).

17. Diga si cada uno de los siguientes conjuntos son subespacios del espacio IRn correspondiente.a. S = {(x, y)12x + y = O} e IR2 .b. S = {(x, y, z)12x + y = } e IR3.c. S = {(x, y, z)lx2 + y = a} e IR3.d. S = {(x, y, z)lx2 + l + Z2 = a} e IR3e. S = {(x, y, z)lx2 + l + Z2 2': a} e IR3 f. S = {(x, y, z)lx2 + y2 + Z2 > a} e IR3 .g. S = {(x), X2, X3, x4)lx = X2 = X3 = X4} e IR4 h. S = {(X,X2,X3,X4)!XX2X}X4 = I} e IR4i. S = {(Xl, X2, X}, X4, xs)lx + X2 + x3 + X4 + Xs = a} e IRs (a un nmero dado).

18. Para cada uno de los subconjuntos S de IR3 dados a continuacin verifique que se trata desubespacios y encuentre una base de ellos, as como su dimensin.a. S = {(x, y, z)lz = a}.b. S={(x,y,z)!x=y=O}.c. S = {(x, y, z)lx + y = O}.d. S={(x,y,z)lx+y+z=O}.e. S = {ex, y, z)!3x - Sy + 9z = a}.f. S = {(x, y, z)lx = 2t, y = t, Z = 5t, t E IR}.g. S = {(x, y, z)lx = 2y = 3z}.h. S = {(x, y, z)lx = s, y = Ss, z = 0, s E IR}.i. S = {(x, y, z)lx = y}.

19. Explique por qu cada uno de los siguientes conjuntos de vectores de IR} no pueden constturuna base de este espacio.a. {(l,2,1),(2,5,4)}.b. {el, -1,3),(0,a,0),(2,3,6)}.

16 Captulo l Introduccin al espacio ]R" y al lgebra lineal

c. {(2, S, 4), (l, 3, 2), (2, 6, 4)}.d. {(l, 1,5), (l, 1, S), (3, 2, 2)}.e. {(3, 2, 1), (2, 5, 5), (3, 4, 2), (2, 2, 7)}.f. {(2, 4, 8)}.g. {(3, 4, 3), (l, 1,1), (2, 2, 2)}.h. {(l, 1,3), (2, 6, 4), (5, 3, 5), (3, 2,1), (2, 3, 7)}.

20. Verifique que todo vector de IR2 se puede escribir como una combinacin lineal de los vectoresVI = (l, 3), V2 = (3,7), V3 = (-3,5). Significa esto que el conjunto {VI, V2, V3} es una basede IR2? '

21. Verifique que los siguientes conjuntos constituyen bases de los espacios correspondientes.a. {(1, 2), (3, 1)} de IR2 .b. {(l,1),(9,11)}deIR2.c. {(1, 1, 1), (O, 5, 2), (O, 0, 19)} de IR3.d. {(l, -1, -1), (2,3,1), (2, 7, 3)} de IR3.e. {(l,O,O,O),(1, 1,0,0),(1, 1, 1,0),0, 1, 1, l)}deIR4 .f. {(2, 3,4,2,3), (O, 2, 4, 3, 5), (0,0, 1,0, O), (O, 0, 0, 4, 2), (0,0,0,0, 3)} de IRs.

22. Demuestre que el conjunto [3 = {(a, b), (c, d)} es una base de IR2 si y slo si ad - be =/= O.23. Verifique que [3 = {(l, 1, 1), (1,1, O), (l, 0, O)} es llna base del espacio IR3. Escriba el vector

(x, y, z) en trminos de esta base.24. Demuestre la afirmacin recproca del teorema U.2. Es decir, demuestre que si el conjunto

[3 = {VI, V2,"" vn} de n vectores en IR" es tal que cada vector v E IR" se escribe de maneranica como combinacin lineal de los vectores de [3, entonces [3 es una base de IR". (Sugerencia:la expresin CI V + C2V2 + ... + en Vn = () es una manera de escribir el vector 1) E ]R". Otramanera es la uivial 0= Ov +OV2 + ... +Ovn . Obtenga de aqu la independencia lineal de f3 ...).Concluya entonces que las dos afirmaciones siguientes acerca del conjunto f3 son equivalentes:a. f3 es una base de jR" (es decir, f3 es un conjunto linealmente independiente).b. todo vector v E IR" se escribe de manera nica como combinacin lineal de los vectores

de f3.25. Considere los vectores VI = (Xl, y), '112 = (X2, Y2) en jR2. Defina el producto de VI por '112,

denotado por '111'112, coordenada a coordenada (como se hizo con la suma). Es decir, definaV1V2 = (XI Y, X2Y2). Observe que VI '112 es \,In nuevo vector de R2. Demuestre que:a. el producto es conmutativo. Es decir, VIV2 = V2V' "1'111, '112 E jR2.b. el producto es asociativo. Es decir, VI (V2V3) = (VV2)V3, \1"11, V2, '113 E ]R2.c. existe un neutro para el producto 1 E jR2, tal que vI =v, \Iv E IR2.d. el producto es distributivo. Es decir, V(V2 + "3) = VIV2 + '111'113, \lv, '112, '113 E R? (con la

suma definida en esta seccin).e. Si v = (a, b) es un vector cualquiera de ]R2, entonces v = vi + vj, en donde i = O, O),

j = (O. 1).

1.2 Producto punto. Proyecciones 17

f. Existe un vector inverso multiplicativo asociado a todo vector no nulo (es decir, distinto delvector (O, O)) v E IRz? Es decir, dado v E JRz no nulo, existe y-I E JRz tal que y-I v = 1(el vector neutro multiplicativo de JRz del inciso c))?

g. Vale la ley de la cancelacin para este producto definido en JRz? Es decir, es cierto quesi YIYZ = YIV3 y VI es distinto de (el vector) cero. entonces Vz = V3?

1.2 Producto punto. ProyeccionesEn el espacio JR" podemos definir un tipo de producto entre sus elementos (los vectores del espacio)con el cual este espacio se llena de una gran riqueza geomtrica que nos permite adentrarnos ms enla "esencia" misma de la naturaleza de l. Este producto es el conocido "producto punto", el cualno es ms que un tipo de "producto interno" que se puede definir en un espacio vectorial en general.

El produeto punto en JR" es una funcin -: IR" x JR" -+ JR que a cada par de vectores x y E JR" leasocia un nmero real x . y (llamado tambin "producto punto de x, y"; se usa tambin la notacin(x. y)) dado por

x . y = XI YI + xzYz + ... + XIlY"

en el que x = (XI, X2,"" xll ), Y = (YI. Yz ... , YIl)'En el teorema siguiente se recogen las propiedades ms importantes del producto punto.

Teorema 1.2J. El 'producto punto x . y de dos vectores x, y E JR" tiene las siguientespropiedades:

1. x . x 2': 0, x . x = O{:} x = O2. X y = Y' x3. (x + Xl) . Y = x . y + x' . y4. (ex) . y = e(x . y), e E JR

Demostracin. Se trata de verificaciones de simple rutina. Hacemos las cuentas correspondientesa las propiedades (3) y (4) (simultneamente) y dejamos que el lector haga las de las propiedades (1)Y(2). Si x = (Xl. Xz ... x,,), x' = (x~, x~, ... , x~), y = (YI, Yz .... YIl) son tres vectores cualesquierade lR" y e E IR., se tiene

(e" + x') y = (ex + X~)YI + (exz + x~)yz + ... + (cxll + x~)y"=C(XIY + X2Y2 + .,. + X"YIl) + (x;y + X~Y2 + ... + x:,y,,)= c(x . y) + x' . y Q.E.D

El teorema anterior nos dice que el producto punto es una funcin definida positiva (propiedad 1),simtrica (propiedad 2), y lineal respecto de su primera variable (propiedades 3 y 4). Juntando esteltimo hecho, con la simetra del producto punto, concluimos que ste es lineal tambin respecto desu segunda variable, le modo que es entonces una funcin bilineal. Esta propiedad de bilinealidadse usa frecuentemente en la forma

18 Captulo 1 Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal

donde U;, Vj son vectores de]R" y e, d j son escalares.En el siguiente teorema se establece una de las desigualdades ms clebres de la matemtica, en

su versin para vectores en el espacio ]R/.

Teorema 1.2.2 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sean x, y dos vectores cualesquieraen ;;(". Entonces

(x . y)2 S (x . x)(y . y)

Demostracin. Si x = O, ambos miembros de la desigualdad son iguales a cero (y entonces eneste caso es cierta la desigualdad). Sea entonces x :f O. Considere el vector ti = Y+ ex, donde e esun nmero real fijo, pero arbitrario. Consideremos el producto punto de u con u y apliquemos laspropiedades del teorema 1.2.1, para obtener que

o :


y

x

Figura 1. Dos vectores perpendiculares en el plano.

o sea

XIYI + X2Y2 = O

El lado izquierdo de esta ltima expresin no es mas que el producto punto de x y y. Podemos decirentonces que, en el plano lR2, la perpendicularidad de vectores es equivalente al hecho de que suproduct0 punto sea cero. Esta situacin concreta motiva a establecer la siguiente definicin, quegeneraliza la idea de perpendicularidad de vectores en l plano.

Definicin. Se dice que los vectores x, y E lRn son ortogonales si x . y = O.

Segn esta definicin, el vector O E lR" es ortogonal a cualquier vector x E JRn, pues es claro queO.Y = O\:Iy E JRn. Ms an, es el vector cero el nico vector de lR" con esta propiedad (en efecto: six E JR" es tal que x .y = O\:Iy E JRn, entonces, en particular se tiene x . x O, por lo que, atendiendoa la primera propiedad del producto punto enunciada en el teorema 1.2.1, se concluye que x es elvector cero).

Ejemplo 1. Sea ti = (l, -1). El vector v = (x, y) ser ortogonal a ti si y slo siu . v =(1 )(x) + (- i )(y) = x - y = O. Observe que el conjunto de todos los vectores v con esta propiedadconstituyen geomtricamente la' recta y = x. Ms en general, si ti = (m, -1), donde m es unnmero real dado, los vectores v = (x, y) ortogonales a u son tales que u . v = mx _. y = O. Estosvectores representan geomtricamente la recta y = mx, la cual es una recta de pendiente m. Aspues, podemos decir que la recta y = mx es el conjunto de todos los vectores en el plano ortogonales'11 vector (m, -1). Generalmente, la recta y = mx + b, de pendiente m y ordenada al origen b, sepuede describir como el conjunto de puntos (x, y) en el plano que se escriben como (O, b) + (r, mt),con t = x E lR, como se puede comprobar directamente. Esto significa que los vectores (x, y) de larecta y = mx + b son vectores suma del vector constante (O, b) con vectores del tipo (r, mt) que sonortogonales a (m, - i) (es decir, estos vectores (r, mt) pertenecen a la recta y = mx).

Ejemplo 2. Dado el vector no nulo u = (a. b, e) E lR3, el conjunto de vectores v E JR3 ortogonalesa u est fonnado por los vectores v = (x, y, z) de modo que u . v = ax + by + ez = O. La ecuacinax + by + ez = O representa geomtricamente un plano que pasa por el origen. Este hecho serdiscutido con ms amplitud en la seccin 6 de este captulo. Ii!

Un conjunto de vectores V, '1'2, ... , Vk en ]Rn se dice ser ortogonal si tomados dos a dos, stosson ortogonales. Es decir, si Vi' Vj = O, para todo i i- j, i, j = 1,2, ... , n.

20 Captulo 1 Introduccin al espacio ]R." y al lgebra lineal

y

----~::.-._+_--L---~_3>x

Figura 2. La recta y = mx + b.

Ejemplo 3. El conjunto {(-2,4), (6, 3)} es un conjunto ortogonal en lR2, pues los dos nicosvectores que lo constituyen son ortogonales: (-2,4) (6, 3) = (-2)(6) + (4)(3) = O. Obsrveseque este conjunto ya "no acepta" otro vector no nulo (x, y); ms precisamente, el conjunto{(- 2,4), (6, 3), (x, y)} es ortogonal si slo si (x, y) es el vector O. En efecto, siendo (x, y) ortogonala (-2,4) Ya (6, 3) se debe tener que -2x + 4y = O, 4x + 3y= 0, que es un sistema homogneo deecuaciones lineales que slo tiene la solucin x = y = O. . 11

Ejemplo 4. El conjunto A = {(-1, 1, 1), (2, 1, 1), (O, -1, 1)} es un conjunto ortogonal de vectoresen lR3 , pues

(-1, 1,1) . (2,1, 1) = -2 + 1 + 1 = O(-1,1,1)(0, 1,1)=0-1+1=0

(2, 1, 1) . (O, -1, 1) = O-- 1 + 1 = OSe puede ver tambin que si (x, y, z) es un vector que unido a A produce un conjunto ortogonal,entonces ste es el vector cero. Esto es consecuencia de que el sistema homogneo

-x + y + z = 0, 2x + y+ z = 0, -y + z = O

tiene solamente la solucin trivial x = y = z = O.

Los dos ejemplos anteriores nos hacen suponer que, en general, en el espacio lR" n se pueden tenerconjuntos ortogonales de vectores no nulos con ms de n vectores. Esto es cierto y es consecuenciadel siguiente resultado. .

Teorema 1.2.3 Sea A = {VI, "2, ... , "k} un conjunto de k vectores no nulos en lRn .Si este conjunto es ortogonal, entonces es tambin linealmente independiente (y entoncesnecesariamente k :::; n).

Demostracin. Debemos mostrar que de la combinacin lineal

se deduce que el = C2 = ... Ck = O. Se tiene

1,2 Producto punto, Proyecciones 21

donde se us la linealidad del producto punto y el hecho de que Vj . v = O para toda j distinta de i.Puesto que v . v t= 0, concluimos que c = O, lo cual es cierto para cualquier i = 1, 2, ... , k, comoqueramos. Q.E.D.

Entonces, si {v 1, V2, ... , VII} es un conjunto ortogonal de vectores no nulos en ]Ftll, ste eslinealmente independiente (y es, por tanto, una base del espacio). Si v = XlVI + X2V2 + ... + XliV"es otro vector tal que {VI, V2, , V," V} sigue siendo un conjunto ortogonal, entonces, en particularVV = Opara toda i = 1,2, ,n. EsdecirqueO = VV = V'(XIV +X2V2+" +x"Y,,) = x(v,v),de donde X = O (pues V . V t= O, por qu?). As pues, el vector y es el vector cero.

Pasaremos ahora a discutir el importante concepto de proyeccin de un vector sobre otro. Seanx, y dos vectores en ]Ft" (para la discusin que presentamos a continuacin, requerimos que x nosea ortogonal al vector y). Tomemos la proyeccin ortogonal del vector y sobre el vector x comose muestra en la figura siguiente. Denotemos por u a este vector proyeccin (usaremos tambin lanotacin PRy~x).

y

Ix

3. La proyeccin ortogonal del vector y sobre el vector x,

Es claro que el vector u es un mltiplo escalar del vector x. Es decir, existe A E ]Ft tal que ti = AX.Observe adems que el vector v = y - ti es un vector ortogonal a x. Entonces (y - u) ,x = O, o bien(y - Ax) . x = 0, de donde, usando las propiedades de linealidad del producto punto, obtenemos que

yx=-xx

y as, la proyeccin ortogonal de y sobre x es el vector

yxPRy->x = --x

x-x

Ejemplo 5. Si los vectores x y y son ortogonales, geomtricamente es claro que PRy->x y PRx~yson iguales a (al vector) cero, lo cual se puede ver tambin de la frmula para la proyeccin ortogonal,pues x . y = O. Tambin, si x = (x, X2, ... , XII) es un vector cualquiera de]Ftlly c es el i-simovector de la base cannica de ]Ftll, entonces, puesto que x . e = Xi y.ei . ei = 1, se tiene

x ePRx~e; = --' c = Xtiti' ei

como era de esperarse.

22 Captulo 1 Introduccin al espacio ]R" y al lgebra lineal

x

~-------+---------..~-------

ti xc

Figura 4. La proyeccin de x sobre ti es xei.

Ejemplo 6. Consideremos los vectores x = (6, 2), Y = (1,5) en ]R2. Se tieney . x (6)(1) + (2)(5) 2PRy~x = -.-x = x = -x

x . X (6)2 + (2)2 5'PR _ Y . x _ (6)( 1) + (2)(5) _ ~

x~y - y .l- (l)2 + (5)2 y - 13 Ylo cual se ve geomtricamente como

y

(6,2)

---I"'::.-..---------_x

Figura 5. Los vectores del ejemplo 6.

Ejercicios (Captulo 1, Seccin 2)1. Demuestre que 'Ji. O = O \Ix E ]R".

2. En este ejercicio se da un argumento distinto al del texto que prueba la validez de la desigualdadde Cauchy-Schwarz: (x y)2 ::; (x . x)(y . y). Sean x, y dos vectores de ]R". Si Y = O, verifique


que se cumple automticamente la desigualdad de Cauchy-Schwarz (de hecho, se cumple laigualdad). Si y =F O. considere el vector l.J. = X - ay, donde a = q. Haga el producto punto deu consigo mismo y obtenga de ah la desigualdad de Cauchy-Schwarz (usando que l.J. l.J. ~ O).Use adems el hecho de que u . l.J. ={:} u = O, para concluir que la igualdad en la desigualdadde Cauchy-Schwarz se tiene si y slo si los vectores x, y son linealmente dependientes.

3. Qu es el producto punto de dos vectores en ]R.!? Cmo se ve la desigualdad de Cauchy-Schwarz para vectores en ]R.!? En qu casos se tiene la igualdad en esta desigualdad paravectores en ]R.!? (recuerde: el valor absoluto del producto de dos nmeros reales es igual alproducto de los valoresbsolutos de los nmeros). Explique.

4. Verifique la desigualdad~deCauchy-Schwarz con los vectoresa. x = (1, l),y = (3,2)b. x = (2. l. 1), Y= (1,0, O)c. x = (3,0,1), Y = (O, O. 3)d. x = (1, 1, 1), Y = (2,2,2)e. x = (1,2.0,2,1), Y = (3, 1, 1,0,2)

5. Sea v un vector de ]R.". Demuestre que el conjunto S de vectores x E ]R." ortogonales a v, esdecir S = {x E ]R." Ix .v = O} es un subespacio de ]R." .

6. Describa los vectores (x, y) E ]R.2 que son ortogonales al vector (3. -1). Verifique que stos sonlos puntos de una recta que pasa por el origen.

7. Describa los vectores (x, y, z) E ]R.3 que son ortogonales al vector (- 2. l, 4). Verifique que stees un subespacio de ]R.3 del tipo

S = {(x, y, z)lax + by + ez = O}

Ms en general, demuestre que todo subespacio S de ]R.3 como el anterior, es descrito comoS = {u E JR3u. V = O} para algn v E ]R.3.

8. Escriba de manera vectorial cada una de las rectas dadas a continuacin. Es decir, como unconjunto de vectores (x. y) E ]R.2 tales que (x. y) = (O. b) + t(l. 111), t E IR., haciendo una grficaen cada caso (ver ejemplo 1)a. y = 2xb. y = x + l'c. y = -2x + 3d. Y = -x - 1

9. Considere la rectaf = {(x, y)l(x, y) = (0,3) + t(1, 2), tE JR}

Verifique que (2.7) E . Significa esto que el vector (2, 7) se encuentra sobre la recta e?Explique.

10. a. Halle un vector (x, y) E ]R.2 que sea ortogonal a (l. 2).b. Halle un vector (x, y) E ]R.2 que sea ortogonal a (1.2) Ya (-3, -6).c. Halle un vector (x, y) E JR2 que sea ortogonal a (l. 2), (-3. -6) Ya (2, 4).d. Halle un vector (x. y) E JR2 que sea ortogonal a (1, 2) Y(3, 5).

(-4,1,1),

24 Captulo l Introduccin al espacio JR" y al lgebra lineal

11. Sean VI y Vz dos vectores en IRz linealmente independientes. Demuestre que el nico vector deIRz ortogonal a VI ya Vz es el vector O. Ocurre lo mismo si los vectores no son linealmenteindependientes?

12. a. Halle un vector (x, y, z) E IR' que sea ortogonal a (3,1,1).b. Halle un vector (x, y, z) E IR' que sea ortogonal a (3, 1, 1) Ya (6, 2, 2)c. Halle un vector (x, y, z) E IR' que sea ortogonal a (3, 1, 1) y a (2, 1, 5).d. Halle un vector (x, y, z) E IR' que sea ortogonal a (3, 1, 1), (2, 1, 5) Ya (1, 0, O)

13. Es cierta la afirmacin del ejercicio 11 para vectores en el espacio IR'?14. Sean VI, vz, V, tres vectores en IR' linealmente independientes .. Demuestre que el nico vector

de IR' ortogonal a VI, Vz y V, es el vector O Ocurre lo mismo si los vectores no son linealmenteindependientes?

15. Sea f3 = {V 1, vz,. ,vn} una base de IRn.. Demuestre que el nico vector v E IRn ortogonal atodos y cada uno de los vectores de f3 es el vector O..

16. Del teorema 12.3 se dedujo que todo conjunto ortogonal de n vectores no nulos en IRn es unabase de este espacio. Es cierta la afirmacin recproca?

17. Sea {VI, Vz, ,vd un conjunto ortogonal de k vectores en IRn .. Demuestre que si k > n,entonces alguno de los vectores de este conjunto es el vector O..

18. Cierto o falso? Todo conjunto de vectores que contenga al vector Oes ortogonal.19. Cierto o falso? Un conjunto con un solo vector no puede ser ortogonaL20. Considere el cuadriltero cuyos vrtices son A = (1, -2,2), B = (1,4, O), e

D = (-5, -5,3). Demuestre que las diagonales AC y BD son ortogonales ..21. Verifique que los siguientes conjuntos de vectores son conjuntos ortogonales

a. {(3,1),(2,-6)}b. {(a, O), (O, b)} en donde a y b son nmeros dados ..c. {(l, O, O), (0,1, O), (O, 0, I)}d. {(4, -1, O), (2, 3, --5), (-8, 7, I)}e. {(2, O, 1,3),(-2,4, 1, 1),(-3, -2, O, 2)}

22. Demostrar que los puntos A = (1, 1), B = (2,3) YC = (5, -1) son los vrtices de un tringulorectngulo.

23. En cada uno de los incisos siguientes, encuentre el vector u = PRy~x, proyeccin del vector ysobre el vector x. Verifique en cada caso que el vector obtenido es ortogonal a y-u.a. x = (2,5), Y = (3,4)b. x = (1, O), Y = (4,5)c. x=(4,2),y=(2,1)d. x = (2, 1, O), Y = (1, 0,1)e. x = (1, 1, 1,2), Y = (0,2, O, 3)

24. Sea V el vector de IR' cuyo punto inicial est en (1,3,7) Y cuyo punto final est en (4,5,7)Hallar la proyeccin del vector (1, 2, 1) sobre v.

1J Norma y distancia 25

25. Use el concepto de proyeccin de un vector sobre otro para calcular el rea del tringulo cuyosvrtices son:a. A = (O, O), B = (5, 3), e = (7, 8)b. A = (O, O), B = (9, 1), e = (5,4)c. A = (-2, -3), B = (3,2), e = (-1,5)d. A = (1,3,2), B = (2,5,3), e = (-2,0, O)

26. Sean x, y dos vectores en]Rn y '-x, -y sus inversos aditivos, Demuestre quea. PRy--+-x = PRy--+xb. PR_y--+ x = - PRy--+xVerifique este resultado con los vectores x = (2,5), Y = (-1,3).

27. Sean v, Uh U2,' " Uko k + 1 vectores en]Rn Si u = UI + U2 + ' ,. + Uk' Demuestre que

Verifique este resultado con los vectores UI = (1, 1), U2 = (3, -2), v = (2, 3).28. Sean u y v dos vectores en ]Rn y e un nmero real. Demuestre que

Verifique este resultado con u = (2, i, - i), v = (3,5, 1), e = 2.

1.3 Norma y distanciaCon la ayuda del producto punto estudiado en la seccin anterior, y con el cual ya tenemos en ]Rn elconcepto geomtrico de ortogonalidad de vectores, es posible introducir una nocin de "tamao deun vector" y de "distancia entre dos vectores" (o distancia entre dos puntos en ]Rn)

Definimos la norma (de modo ms preciso, la norma euclidiana) de un vector x E ]Rn, denotadapor IIxll, como

IIx11 = vx:x(segn la primera propiedad del producto punto de vectores, esta definicin hace perfecto sentido,pues lo que est dentro de la raz cuadrada es siempre un nmero no negativo), En concreto, six = (XI, X2,' . , xn ), se tiene

IIxll = Jx~ + x~ + + x;Diremos que el vector xes unitario si Ilxll = 1 Obsrvese que los vectores de la base cannica de]Rn son unitarios, pues

Ile;!1 = J(0)2 + ." + (1)2 + "..,+ (0)2 = 1, i = 1,2, ... , n

Viendo los casos de vectores en ]R2 y ]R3, debe ser claro que esta nocin de norma de un vector, queha sido definida en general en el espacio ]Rn, nos da una medida del "tamao" del vector. En efecto,

26 Captulo 1 Introduccin al espacio iRn y al lgebra lineal

si v= (x, y) E ]R2, se tiene Ilvll = Jx2+ y2, que no es ms que la distancia del punto (x, y) al origen(ie es justamente el tamao del vector v) .. Una situacin anloga se puede ver en el espacio ]R3

En la seccin anterior obtuvimos la desigualdad de Cauchy-Schwarz

(x y)2::; (x x)(y y)Si tomamos raz cuadrada en ambos miembros de esta desigualdad, nos queda

que podemos escribir, usando el coricepto de norma como

!xYI::; IlxllllyllEsta "versin" de la desigualdad de Cauchy-Schwarz es la que usaremos cuando se requiera ..

En el teorema siguiente se recogen las principales propiedades de la norma de un vector en ]Rn

Teorema 1.3.1 Sean x, y vectores de ]Rn, y e un nmero real Se tiene

a. Ilxll 2: O, IIxll = O{:} x = Ob. IIcxll = Iclllxllc. Ilx + yll ::; Ilxll + Ilyll (desigualdad triangular)

Demostracin. El hecho de que IIxll 2: Oes inmediato de la definicin. Tambin, el hecho queIlxll = O, equivale a que x x = O, lo cual a su vez equivale (segn la primera propiedad del productopunto) a que x = O. La propiedad b) se obtiene madiante operaciones sencillas:

Para ver la validez de la propiedad c), escribimos

Ilx + yl12 = (x + y) . (x + y)= X x+ 2(x y) +y .y::; IIxl12 + 21x .. yl + IIyl12

::; IIxl12+ 211xllllyll + IIyl12= (11xll + Ilylj)2

(definicin)ele norma

(bilinealidad del)producto punto

(definicin de )norma, a :S lal

(desigualdad de)Cauchy-Schwarz

de donde se obtiene la desigualdad procurada (tomando raz cuadrada en ambos miembros de ladesigualdad obtenida) QED.

La propiedad c) del teorema anterior describe un hecho geomtrico bien conocido: en un tringulocualquiera, la longitud de uno de sus lados no puede exceder a la suma de las longitudes de los otrosdos lados Es por eso que el resultado es conocido como desigualdad triangular. La siguiente figuraaclara esta situacin.

1.3 Norma y distancia 27

Ilx + yll :::; IIxll + IlyllFigura 1. La desigualdad triangular.

Ejemplo 1. Verifiquemos la desigualdad triangular con los vectores x(5, -3, O, 1). Se tiene que x + y = (6, -5, 3, 3), de modo que

11" 1 "11 = 11(6 ._e; ':t 3)1'1 = ,;;::11't. T J 11' J, -', V 1"1Por otra parte

(1, -2,3,2), Y

Ilxll = 11(1, -2,3,2)11 = v8Se tiene efectivamente que

Ilyll = 11(5, -3,0,1)11 = V:3S

J79 = + yll :::; Ilxll + Ilyll = v8 + V:3S

Con la ayuda del concepto de norma (y lo estudiado en la seccin anterior), podernos introducirfcilmente el concepto de ngulo entre dos vectores en ]Rll. En el caso de dos vectores en ]R2, es fcilobtener una expresin para el ngulo que forman. En efecto, sean x, y E ]R2 dos vectores no nulos.De la figura 3 es inmediato que el ngulo 8 que forman x y y es tal que

cos 8 11 PRy->x IIIlyllIxylNlIyll

Ix ylIlxllllyll

La frmula anterior tiene sentido si nuestros vectores x, y son vectores cualesquiera no nulos delespacio ]R". De hecho, se define el ngulo entre los vectores (no nulos) x, y E ]Rll como el ngulo8, O :::; fJ :::; Tr, dado por

xyfJ = arccos~

Obsrvese que si los vectores x, y son ortogonales, entonces el ngulo que forman entre ellos esfJ = arceas O = Tr/2, como era de esperarse. Hemos quitado el valor absoluto en el escalar x . yde la expresin obtenida para fJ de la figura 2. Esto lo hacemos para dejar la posibilidad de ngulosobtusos entre los vectores x y y. De hecho, es claro que si x . y es negativo, el ngulo fJ ser obtuso;si x . y es positivo, el ngulo fJ ser agudo (y, como ya se dijo, si x . y = 0, el ngulo fJ es recto).

28 Captulo 1 Introducci6n al espacio lR" y al lgebra lineal

x

Figura 2. El ngulo fJ entre los vectores x, y.

y

Ntese tambin que en tlminos del ngulo e, se puede escribir el producto punto de los vectoresx, y E ]Rn como

x y = 1IIIyll coseMs an, si calculamos directamente el cuadrado de la norma del vector diferencia x - y, obtenemos

Ilx -- Yl12 = (x - y) . (x - y)= x . x - 2(x . y) + y . y= 11"112+ IIYl12 - 211xllllyll cos ()

la cual no es ms que la versin ( generalizada!) para vectores en ]Rn de la conocida "ley de loscosenos" que se estudia en los cursos de trigonometra elemental.

y

()

x

IIx - yl12 = IIxl12+ IIyl12 - 211xllllyll cos e

Figura 3. La ley de los cosenos.


Ejemplo 2. El ngulo entre los vectores x = O. -2.3,2), Y = (3,4. 0.8) es

X y 11 11e= arccos IIxllllyll = arccos /f8/89 = arccos 3v'I78

que aproximadamente es de 74 grados.

Debemos mencionar que el concepto de norma es ms general que el presentado anteriormente:una norma en el espacio IRnes una funcin 11 11: IR" -; IR que a cada vector x E IRn le asocia el nmerorealllxll(la norma de x) y que cumple con las tres propiedades establecidas en el teorema 1.3.1. Lanorma que presentamos aqu es la llamada "norma euclidiana" y con ella trabajaremos en este libro.Existen, sin embargo, otras normas importantes en IR" (digamos que otras maneras de medir eltamao de los vectores en IR"), por ejemplo(*) la norma del mximo II Ilmx: IR" -; IR dada por

Ilxllmx = mx(lxj. i = 1.2..... n)

(*) la norma de la suma II lis: IR" -; IR dada por

donde x = (XI, X2 ... xn ). Dejamos al lector que verifique que stas son efectivamente normasen ]R".

Estudiemos ahora el concepto de distancia entre dos vectores en IR". Recordemos que el vectordiferencia x - y de x, y E ]R" es un vector que "conecta los puntos finales de las flechas querepresentan a x y y". La norma de este vector es entonces una medida de la distancia que separa alos puntos x y y en el espacio ]R". Esta es, de hecho, la definicin que daremos de distancia entredos vectores en IR". Dados x. y E IRn, definimos la disrancia entre x y y, denotada por d(x, y), como

d(x. y) = - yll

Esquemticamente se tiene

y /.~'qJ;,4+- '\'J. ~

;/

x

Figura 4. Distancia entre x y y.

30 Captulo 1 Introduccin al espacio ]R;" y al lgebra lineal

Haciendo explcitas las coordenadas de los vectores x y y, poniendo x(YI, Y2, ... , y,,) se tiene

Nuevamente, los casos n = 2 Y n = 3, nos dan las conocidas frmulas de la "distancia entre dospuntos" en el plano y en el espacio, respectivamente, estudiadas en los cursos de goemetra analtica:la distancia entre el punto PI = (XI, YI) Y P2 = (X2, Y2) es

Anlogamente, si PI = (XI, Yl, Zl), P2 = (X2, Y2, Z2) son dos puntos en IR3, la distancia entre ellos es

El siguiente teorema recoge las propiedades ms importantes de la distancia entre dos puntos en IR" .

Teorema 1.3.2 Sean x, y dos vectores cualesquiera en IR". Se tiene

a. d(x, y) 2: 0, d(x, y) = O {=} x = y.b. d(x, y) =--= d(y, x)c. d(x, y) ::; d(x, z) + d(z, y), z un vector cualquiera de IR".

Demostracin. El hecho de que d(x, y) sea un nmero no negativo, es consecuencia de ladefinicin misma y de la primera propiedad de la norma establecida en el teorema 1.3.1. Adems,por esta misma propiedad se tiene que d(x, y) = Ilx- yll = Osi y slo si x - y = O, o sea si y slo six = y como se quera. Para ver]a segunda propiedad hacemos uso de la propiedad b) de la norma,quedndonos

d(x, y) = jlx - yll = !I(- J)(y - x)11 = 1-- lllly - xii = Ily - xjl = d(y, x)Por ltimo, la propiedad c) no es ms que una versin un poco ms general de la desigualdadtriangular ya demostrada en el teorema 1.3.1, pues.

d(x, y) = Ilx - yll= lI(x - z) + (z - y)11::; 11" - zll + Ilz - yll= d(x, z) + d(z, y)

Ejemplo 3. La distancia entre el vector x = (2, 3, 3, 4, 1) Yel vector y = (1, 1, 2, -1, 3) es

d = 11(2,3,3,4,1) - (1,1,2, -1, 3)11 = 11(1,2,1, 5, -2)11 = J35

Q.E.D

Para terminar esta seccin, hacemos nuevamente hincapi en que el concepto de distancia entredos vectores de IR" es ms general (la misma situacin que ocurre con la norma) y que el que aqupresentamos es un caso particular de mtrica en este espacio (llamada mtrica o distancia euclidiana):


una mtrica en IFt" es una funcin d:'IFt" x IFt" ........ IFt, que asocia a cada par de vectores x, y E IFt" unnmero real d(x. y) (llamado "distancia entre x y y") y que satisface las tres propiedades establecidasen el teorema anterior. Obsrvese que estas propiedades representan lo que cualquier conceptosensato de distancia entre dos puntos debera cumplir: la distancia entre dos puntos siempre es unnmero no negativo, y es cero en el caso (y slo en el caso) en que se est midiendo la distancia deun vector a l mismo; la distancia entre x y y es la misma que entre y y x; por ltimo, se pide quese cumpla la desigualdad triangular (para asegurar que se est midiendo adecuadamente distanciasrelativas entre tres puntos). Algunas otras mtricas en IFt" son:

(*) La mtrica discreta d: IFt" x IFt" ........ IFt, d(x. y) = I si x i y, d(x. y) = Osi JI: = y. (Este es unejemplo poco importante, pero interesante: nos permite entender que el concepto de mtricaestablecido anteriormente... es realmente muy general!).

(*) La mtrica d: IR" x IR" IR, d(x. y) = max(lx - Yil, i = 1.2.. , .11).(*) La mtrica d: IFt" x IR" IR, d(x. y) = 2:".:;'=1 IXi - Yi l.en donde x = (XI. X2 ... x,,), y = (YI .)'2... , y,,). Dejamos a cargo del lector la verificacin de quelos tres ejemplos anteriores son efectivamente mtricas en IR" .

1- Calcule la norma ele los siguientes vectores

a. (4. O) d. (2. --3.4)b. (-3, 1) e. (2,0,2)c. (l, 2, 1) f. (1.3.2, O, 1)

2. Es la funcin norma 1I . 11: IR" ........ IR, que a cada vector x E IFt" le asocia su norma Ilx 11 E IR, unafuncin inyectiva?, sobreyectiva?

3. a. Sean a y b dos nmeros reales no nulos. Demuestre que los cuatro vectores (a. b) E IR2tienen la misma norma. Interprete geomtricamente este hecho.

b. Sean a, b y e tres nmeros reales no nulos. Demuestre que los 8 vectores (a, b. c) E IR3tienen la misma norma. Intereprete geomtricamente este hecho.

c. Sean XI. X2 ... , x" n nmeros reales no nulos. Demuestre que los 2" vectores (XI,X2, .... x,,) E IR" tienen la misma norma.

4. Ques la norma de un vectorx en IR I? Cmo se ven las propiedades de la norma (teorema 1.3.1)en este caso?

5. Use la desigualdad de Cauchy-Schwarz para probar que si XI, X2, ... x" son nmeros realescualesquiera, entonces

11" I W'oJIi Xi ~ Xi,=1 1=1

y que la igualdad se da si y slo si todos los Xi son iguales.

32 Captulo 1 Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal

6. Verifique la desigualdad triangular con los vectoresa. x = (0,5), Y = (1,7)b. x = (2, 1, --2), Y = (3, 1, 2)c. x = (-2,0,2, 1), Y = (0,0,3,7)

7. Demuestre que la igualdad en la desigualdad triangular se tiene si y slo si uno de los vectoreses un mltiplo no negativo del otro vector.

8. Sean x, y dos vectores en ]R.n. Demuestre que

I Ilxll - Ilyill :':: il x - yll

(Sugerencia: Ilxll = II(x-y)+yll:':: Ilx-yll+llyll,dedondeseobtienequellxll---llyll:':: Ilx-yllDe la misma manera se obtiene que Ilyll - Ilxll :':: IIx - yll)

9. Existen vectores x, y E ]R.n tales que Ixll = 3, Ilyll = 1, IIx + Yi! = 5? Existen vectores x,y E ]R." tales que Ilxll = 3, Ilyll = 1, Ilx - yll = 57

10. Sean x, y dos vectores ortogonales en]R.", tales que Ilxll = 3, lIyll = 7. Calcule Ilx +yll, Ilx - JII11. Sean x, y dos vectores en ]R." tales que Ilxll = 4, Ily!1 = 5, Ilx + = 7. Calcule - yll12. Sean x, ydos vectores en ]R." tales que lIxll 11, lIyll = 23, Ilx -- = 30. Calcule IIx +13. Demuestre que si {x1, X2, ... , xd es un conjunto ortogonal de vectores en ]R.", entonces

II '12 11 '12 11 11 2 . 1I ,,2XI + X2 + ... + X!: I = XI! +, X2 + ... --t- !Xk!!

A este resultado se le conoce como 'Teorema de Pitgoras". Qu tiene que ver con el resultadodel mismo nombre que se estudia en la matemtica elementaJ'!

14. Sean x, y dos vectores en ]R.". Demuestre quea. X y E ]R.+ si y slo si Ilx + yll > lix - yllb. -(x y) E ]R.+ si yslo si Ilx + < Ilx -- yll.c. x e y son ortogonales si y slo si + yll = Ilx - yll.Discuta el contenido geomtrico de estos resultados.

15. Sean u y v dos vectores en]R.n tales que lIull = IIvil. Demuestre que los vectores ti + v y u - vson ortogonales. Vale la afirmacin recproca?

16. Calcule el ngulo entre los vectores del ejercicio 6.17. Calcule el ngulo entre un vector v E ]R." no nulo y su inverso aditivo.18. Los vectores u y v de JRn forman un ngulo de Tr/3. Suponiendo que Ilull = 3 Y Ilvll = 4,

calcule: u . v; Ilu + vII; IIn - vii19. Cada pareja de vectores d, v y w en]R." forma un ngulo de 17/3. Suponga que lIu 1I = 1, Ilv 1I = 2,

Ilwll = 3. Calcule Ilu + v + wll20. Sea {u, v} un conjunto ortogonal de vectores unitarios en ]R.n. Demuestre que el ngulo entre el

vector u y el vector U + v es de 17/4. Discuta el contenido geomtrico de este resultado cuandon = 2. (Sugerencia: use el teorema de Pitgoras para calcular Ilu + vii).


21. Vale el resultado del ejercicio anterior si los vectores ti y V no son unitarios?22. Sean u y v dos vectores en JRn. Demuestre que

A este resultado se le conoce como "Ley del Paralelogramo". Justifique este nombre en base asu contenido geomtrico en el caso n = 2. Resuelva de nuevo los ejercicios 11 y 12 a la luz deeste resultado.

23. Sean ti y v dos vectores no nulos en JRn tales que Ilull = 11'1'11 = Ilu - '1'11. Demuestre que elnguloentre u y v es de 7T/3. Cul es el ngulo entre u y u - v?, y entre v y u - v? Discutael contenido geomtrico de este ejercicio en el caso n = 2.

24. Sean uy vdos vectores no nulos en JRn tales que Ilull = Ilu - '1'11. Demuestre que el ngulo entrelos vectores ti y V es el mismo que el ngulo entre los vectores ti y ti - v. Discuta el contenidogeomtrico de este ejercicio en el caso n = 2.

25. Considere las rectas

!!] = {(x, y)l(x, y) = (O, b]) + t(l, m]), tE JR}2 = {(x, y)j(x, y) = (O, b2) + t(l, m tE JR}

(ver ejemplo 1 de la seccin anterior). Con los vectores VI = (l, m]) y '1'2 = (1, m2) que sonparalelos a el y !!2 respectivamente, demuestre, partiendo de la frmula para el ngulo entre dosvectores, que el ngulo e(O:::; e :::; 7T) entre!!] Y!!2 es

m2 m]e= arctan -=-----'-1 + m2m

26. Sea u = (6, -8, -15/2). Determine el vector v E JR3 sabiendo que es linealmente dependientecon u, que 11'1'11 = 50, Yque el ngulo que forma v con la parte positiva del eje z es agudo.

27. Calcule la distancia entre cada par de los vectores siguientesa. x = (7, 1), Y = (3,5).b. x = (3,4, 1), Y =(2, 1, 1).c. x = (2, 1, 1, 1), y = (1,0,0,4).

28. Demuestre que el tringulo cuyos vrtices son A (1, 1), B = (4, 3) Ye = (1/2,5) es issceles.Determine sus ngulos internos.

29. Repita el ejercicio anterior con los puntos A = (1,2, 1), B = (3, -1, 7), e = (7,4, -2).30. Demostrar que los puntos A = (2,2), B = (-1,6), e = (-5,3) y D = (-2, -1) son los

vrtices de un cuadrado.

31. Sean x = (x], X2, ... , xn), y = (y], y2, ... , Yn) dos vectores enlRn Demuestre que el puntop = ~(x +y) es un punto equidistante de x y y (es decir, d(x, p) = d(y, p)), el cual se encuentra"sobre el segmento que une a x con y" (para ver esto, ntese que los vectores ti = X - p,v = y - p, son linealmente dependientes). Se dice que p es el punto medio del segmento xy.Determine el punto medio del segmento -"'Y en cada uno de los siguientes casos.

34 Captulo I Introduccin al espacio JR" y al lgebra lineal

a. X = (2,5), Y = (8, 15)b. x = (3, 6, 9), Y = (3, 3, -7)c. x = (1, 1, 1, 1), y = (3,3,3,3)

32. Los vrtices de un tringulo son A = (2,4), B = (6,6) Ye = (3,7). Determinar las coordenadasde los puntos medios de sus lados.

33. Los puntos medios de los lados de un tringulo son P = (2, -1), Q = (-1, 4) Y R = (-2,2).Determinar los vrtices del tringulo.

34. Determinar la longitud de la mediana del tringulo del ejercicio 32 trazada por el vrtice B.(Recuerde que la mediana por el vrtice V es la recta que va de V al punto medio del ladoopuesto de V).

35. Use el concepto de proyeccin de un vector sobre otro para demostrar que la distancia del puntop = (xo, Yo) a la recta Ax + By + e = oviene dada por la frmula

d = lAxo + Byo + el-JA2=t- BZ

36. En cada uno de los incisos siguientes, calcule la distancia entre las dos ineas paralelas dadas:

a. 3x - 4y + 5 = 0, 3x- 4y - 5 = b. x + y = 0, x + y = -3c. 2x - y - 5 = O, 4x - 2y - 10 = Od. x + 4y - 2 = O, -2x - 8y + 7 = O

37. Considere la recta Ax + By - bB = 0, en donde b es la ordenada al origen. Demuestre quelas rectas paralelas que se encuentran a d unidades de la recta dada son Ax + By - bB VA2 + B2d = O.

38. Considere la recta Ax + By + e = 0, la cual dista r unidades del origen. Demuestre que larecta paralela a la recta dada, que dista tambin r unidades del origen (y que resulta ser simtricarespecto del origen de la recta dada), es Ax + By - e = o.

39. (Cubos de JRn). Sea {3 = {el, Cz, ... , en} la base cannca de JRn. Al conjunto e e JRn definidocomo

"e = {x E JR"lx = L Ci, O::; ::; 1, i = 1,2, ... , n}=l

se le llama cubo unitario de n dimensiones en JR". A los vectores c se les llama lados del cuboe, y a los vectores dE JR" de la forma d = :Z~=I o::e, donde O::i = l, se les llama diagonalesdel cubo e (se identifica como la misma diagonal a los vectores d y -d).a. Dibuje un cubo unitario de una dimensin en JR.b. Dibuje un cubo unitario de dos dimensiones en JRz.c. Dibuje un cubo unitario de tres dimensiones en JR3.d. Demuestre que el cubo unitario e de n dimensiones en JR" tiene 2n -1 diagonales distintas,

las cuales tienen todas la misma longitud. Cul es esa longitud?


e. Sea d una diagonal del cubo e (en ]Rn). Demuestre que si n es impar, no existen otrasdiagonales de e ortogonales a d, en tanto que si n es par, digamos n = 2k, el cubo e tiene

~ G) diagonales ortogonales a d.f. Demuestre que el ngulo que forma una diagonal d del cubo e en ]Rn con cada uno de los

lados del cubo es igual a arccos(n-I/2).g. Demuestre que la norma de la proyeccin ortogonal de un lado cualquiera del cubo e en

]Rn sobre una diagonal cualquiera de e, es la n-sima parte de la longitud de la diagonal d.

(*) 40. Considere las normas del mximo y de la suma

Ilxllmx = mx(lx;i, i = 1, 2, ... , n)para un vector x = (Xl, X2, ... , xn) E ]Rn. Demuestre que

en donde Ilxll es la norma euclidiana de x.(*) 41. Sea "o E ]Rn y r > O. Se define la bola abierta (en ]Rn) con centro en Xo y radio r, denotada por

B(xo, r), como el conjunto

B(xo, r) = {x E]Rn ! Ilx - xoll < r}a. Cmo son las bolas abiertas en ]R? Describa las bolas abiertas B(2, 1) Y B( -3,2).b. Cmo son las bolas abiertas en JR2? Describa las bolas abiertasB2, 3), 1) YB -3, -1), 1).c. Cmo son las bolas abiertas en ]R3? Describa las bolas abiertas BO, 0, O), 1) Y

B3, 5,4),2).d. Suponga que en la definicin dada de bola abierta tomamos la norma del mximo. Describa

geomtricamente la bola abierta en ]R2, Bxo, Yo), r).e. Suponga que en la definicin dada de bola abierta tomamos la norma de la suma. Describa

geomtricamente la bola abierta en ]R3, Bxo, yo), r).

(*) 42. Un conjunto A e JRn se dice ser acotado si existe un c > tal que

Ilxll < c "

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