UNIVERSIDADE DE SAO PAULO

INSTITUTO DE ASTRONOMIA, GEOFISICA E CIENCIASATMOSFERICAS

LEONARDO UIEDA

CALCULO DO TENSOR GRADIENTE

GRAVIMETRICO UTILIZANDO

TESSEROIDES

TRABALHO DE GRADUACAO

Curso de graduacao em Geofısica

Sao Paulo

2009

LEONARDO UIEDA

Calculo do tensor gradiente gravimetrico

utilizando tesseroides

Monografia apresentada ao Departamentode Geofısica do Instituto de Astronomia,Geofısica e Ciencias Atmosfericas da Univer-sidade de Sao Paulo para obtencao do tıtulode Bacharel em Geofısica

Orientadora: Profa. Dra. Naomi Ussami

Sao Paulo

2009

i

Agradecimentos

Agradeco a Sociedade Brasileira de Geofısica pelo auxılio financeiro neste projeto.

Meus sinceros agradecimentos as pessoas que foram indispensaveis neste projeto:

Minha orientadora Naomi Ussami por todo o apoio, orientacao e, acima de tudo,paciencia durante meus altos e baixos;

Carla Braitenberg pela ideia que iniciou este projeto e pela orientacao indispensavel;

Franziska Wild-Pfeiffer pela grande ajuda nas etapas iniciais;

Colegas do laboratorio de gravimetria: Andre, Henrique, Lessa e Victor. Naosomente pelas discussoes e ajuda mas tambem pelas horas de diversao;

ii

Resumo

A missao de satelite GOCE tem o objetivo de medir o campo gravitacional da Terracom acuracia sem precedentes atraves de medicoes do tensor gradiente da gravidade(TGG). Os dados provenientes desta missao poderao ser utilizados para estudar areasextensas, onde consideracoes de Terra plana podem apresentar limitacoes. Para le-var em conta a curvatura da Terra a modelagem pode ser feita utilizando tesseroides,tambem chamados de prismas esfericos. O TGG causado por um tesseroide pode sercalculado utilizando metodos numericos de integracao, como por exemplo, a Quadra-tura Gauss-Legendre (QGL). Neste trabalho foi implementado um programa computa-cional para o calculo direto do TGG utilizando a QGL. A precisao desta implementacaofoi avaliada comparando seus resultados com o resultado de formulas analıticas para ocaso especial de uma casca esferica. Em seguida, o programa desenvolvido foi utilizadopara calcular as diferencas causadas no TGG pela aproximacao plana para a Terra. Es-tas diferencas sao de ate 30% na componente Tzz para um modelo de 50×50×10 km.Por fim, o programa desenvolvido foi utilizado para calcular o efeito das massas to-pograficas no TGG a 250 km de altitude para a regiao da bacia do Parana. Em regioesde variacoes expressivas da topografia, as amplitudes das componentes do TGG devidoas massas topograficas possuem a mesma ordem de grandeza do efeito no TGG causadopor anomalias de densidade no interior da crosta e manto.

iii

Abstract

The GOCE satellite mission has the objective of measuring the Earths gravitationalfield with an unprecedented accuracy through the measurement of the gravity gradienttensor (GGT). The data provided by this mission could be used to study large areas,where the flat Earth approximation can have its limitations. In these cases the mo-deling could be done with tesseroids, also called spherical prisms, in order to take theEarths curvature into account. The GGT caused by a tesseroid can be calculated withnumerical integration methods, such as the Gauss-Legendre Quadrature (GLQ). In thecurrent project, a computer program was developed for the direct calculation of theGGT using the GLQ. The accuracy of this implementation was evaluated by compa-ring its results with the result of analytical formulas for the special case of a sphericalcap. Next, the developed program was used to calculate the differences in the GGTcaused by the flat Earth approximation. These differences reach are up to 30% in theTzz component for a 50 × 50 × 10 km model. Finally, the computer program wasused to calculate the effect caused by the topographic masses on the GGT at 250 kmaltitude for the Parana basin region. In regions of large topographical variations, thecomponents of the GGT due to the topographic masses have amplitudes of the sameorder of magnitude as the GGT components due to density anomalies in the interiorof the crust and mantle.

iv

Sumario

Agradecimentos i

Resumo ii

Abstract iii

1 Introducao 1

2 Formulacao matematica 32.1 Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Tesseroide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 TGG em coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Quadratura Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Implementacao Computacional 83.1 Linguagem de Programacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Implementacao Computacional da QGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Calculo do TGG de Tesseroides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Calculo do TGG de Prismas Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5 Calculo do TGG de uma Casca Esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Resultados 154.1 Validacao do programa desenvolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Exemplo do TGG causado por um tesseroide . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Limitacoes Numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4 Analise numerica da aproximacao plana sobre o TGG . . . . . . . . . . 174.5 Efeito topografico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Conclusao 26

Referencias 27

v

Lista de Figuras

1 Tesseroide no sistema global (G) e o sistema local (L) do ponto P. l e adistancia entre o ponto P e o ponto Q pertencente ao tesseroide. . . . . . . 7

2 Sistemas locais dos pontos P e Q e um prisma retangular com face superiorcentrada em Q. O sistema local do ponto Q e o sistema no qual o TGG doprisma e calculado utilizando as formulas de Nagy et al. (2000). A trans-formacao do TGG para o sistema local do ponto de observacao P e necessariapara dar significado fısico aos resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Sistemas de coordenadas utilizados em Nagy et al. (2000). O sistema (x,y,z)com origem no ponto de observacao P e o utilizado na formulacao. Pararealizar os calculos, e necessario conhecer as coordenadas do ponto P nosistema local do prisma ABCDEFGH. Fonte Nagy et al. (2000) . . . . . . . 14

4 Anel de massa obtido subtraindo as cascas esfericas de raio esferico ψi+1 e ψi(ψ = 90 − ϕc). O ponto de observacao P esta localizado ao longo do eixo Zglobal. Fonte Heck e Seitz (2007). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Componentes diagonais do TGG causado por aneis de massa de ∆ϕ = 5′,ρ = 2 670 kg m−3, ∆r = 1 000 m e ponto de observacao no polo Norte a250 km de altitude. ϕc e a latitude do limite Sul do anel. . . . . . . . . . . 19

6 Diferenca entre o TGG calculado pelo programa desenvolvido e o resultadoanalıtico para aneis de massa de ∆ϕ = 5′, ρ = 2 670 kg m−3, ∆r = 1 000 m.Cada anel foi discretizado em tesseroides de 5′ × 5′ × 1000 m. Nϕ e Nλ sao aordem da QGL nas direcoes latitudinal e longitudinal, respectivamente. . . . 19

7 TGG causado por um tesseroide de 1×1×10 km e densidade 2 800 kg m−3,observado a 250 km de altitude. O tesseroide esta centrado em 40N e 83W.A ordem de QGL utilizada foi Nϕ = Nλ = 2. Este resultado e semelhanteao apresentado em Asgharzadeh et al. (2007). As bordas do tesseroide estaomarcadas em preto no centro dos mapas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

8 TGG causado por um tesseroide de 2×2×10 km, com densidade 2 800 kg m−3,calculado a 250 km de altitude. A ordem utilizada foi Nϕ = Nλ = 2. As bor-das do tesseroide estao marcadas em preto e os sımbolos + sao os nos daQGL. A distancia entre dois nos adjacentes e de aproximadamente 128, 5 km. 20

9 TGG causado por um tesseroide de 2×2×10 km, com densidade 2 800 kg m−3,calculado a 100 km de altitude. Quando a distancia entre os nos e maior quea distancia ao ponto de observacao, o TGG calculado aparenta ser causadopor massas pontuais localizadas nos nos, como pode ser observado claramentena componente Tzz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

LISTA DE FIGURAS vi

10 TGG causado por um tesseroide de 2×2×10 km, com densidade 2 800 kg m−3,calculado a 50 km de altitude. Neste caso e possıvel notar que todas as com-ponentes aparentam ser causadas por massas pontuais localizadas nos nos. . 21

11 TGG causado por um tesseroide de 2×2×10 km, com densidade 2 800 kg m−3,calculado a 50 km de altitude. A ordem utilizada foi Nϕ = Nλ = 10 edistancia maxima entre dois nos adjacentes e de aproximadamente 33 km.Como a distancia entre os nos e menor que a distancia ao ponto de observacao,o TGG calculado nao aparenta ser devido a massas pontuais localizadas nosnos e sim a um corpo volumetrico (tesseroide). . . . . . . . . . . . . . . . . 22

12 TGG causado por um prisma retangular que aproxima o tesseroide de 2 ×2× 10 km, com densidade 2 800 kg m−3, calculado a 50 km de altitude. Asbordas do prisma estao marcadas em branco. . . . . . . . . . . . . . . . . 22

13 TGG causado por um tesseroide de 1×1×10 km, com densidade 2 800 kg m−3,e Nϕ = Nλ = 2 calculado a 250 km de altitude. . . . . . . . . . . . . . . . 23

14 Diferenca entre o TGG causado pelo tesseroide da Figura 13 e o causadopor um prisma de mesma massa utilizando uma aproximacao plana para aTerra esferica. Nesta aproximacao os sistemas locais dos pontos de observacaopossuem a mesma orientacao do sistema local do corpo plano e 1 de latitudeou longitude equivale a 111, 11 km. As diferencas chegam a aproximadamente7% na componente Txy, porem nao passam de 0.5% na componente Tzz. . . 23

15 TGG causado por um tesseroide de 50×50×10 km, com densidade 2 800 kg m−3

e calculado a 250 km de altitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416 Diferenca entre o TGG causado pelo tesseroide da Figura 15 e o causado

por um prisma de mesma massa utilizando uma aproximacao plana para aTerra esferica. Neste caso, as diferencas chegam a aproximadamente 30% nacomponente Tzz e aproximadamente 5% na componente Txy. . . . . . . . . 24

17 Modelo topografico digital ETOPO1 utilizado para gerar o modelo de tes-seroides. O espacamento da grade e de 10′× 10′. Em vermelho esta marcadaa area na qual o TGG foi calculado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

18 Efeito da topografia no TGG a 250 km de altitude na regiao da Bacia doParana. Foi utilizada densidade de 2 670 kg m−3 e Nϕ = Nλ = 2. Este eum efeito significativo em todas as componentes e deve ser levado em contadurante a modelagem de dados de TGG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1

1 Introducao

A missao de satelite GOCE (Gravity Field and steady-state Ocean Circulation Explo-

rer) foi planejada pela European Space Agency (ESA) com o objetivo de medir o campo

gravitacional da Terra com acuracia sem precedentes. Para alcancar este objetivo, o

satelite carregara um gradiometro capaz de medir todas as componentes do tensor gra-

diente da gravidade (TGG). Alem disso, como missoes por satelite cobrem todo o globo,

seus dados poderao ser utilizados para estudar areas extensas, como por exemplo em

estudos litosfericos, onde nao seria possıvel obter uma cobertura contınua e homogenea

utilizando metodos terrestres. Ao estudar areas muito extensas, consideracoes rotinei-

ras e simplistas de Terra plana apresentam limitacoes. Logo, e necessario levar em

conta a curvatura da Terra durante a modelagem e interpretacao dos dados de satelite.

Neste caso, utilizar prismas retangulares para representar o corpo ou estruturas a serem

modelados pode nao ser uma aproximacao adequada, como ja demonstrado em Smith

et al. (2001). Uma alternativa e utilizar tesseroides, tambem chamados de prismas

esfericos. A definicao de tesseroide e o calculo de seu efeito gravitacional e suas deriva-

das serao apresentados no Capıtulo 2, Secao 2.2. Um fator limitante desta abordagem e

que as equacoes integrais que descrevem o TGG de um tesseroide nao possuem solucao

analıtica. Para contornar este obstaculo podem ser utilizados metodos numericos de

integracao, como por exemplo, a Quadratura Gauss-Legendre (QGL).

O uso da QGL em metodos potenciais foi inicialmente proposto e analisado por

Ku (1977) para calcular a componente vertical da gravidade e o campo magnetico de

prismas. Mais recentemente, Asgharzadeh et al. (2007) propos o uso da QGL para

calcular o TGG causado por tesseroides e utiliza-los na modelagem direta de corpos

com geometria esferica. Tambem foi proposta a utilizacao de tesseroides em aplicacoes

geodesicas, como no calculo de “anomalias de Helmert” (SMITH et al., 2001) e na

implementacao da tecnica “remove-compute-restore” (FORSBERG; TSCHERNING,

1997, apud WILD-PFEIFFER, 2008) 1. Com esta aplicacao, Wild-Pfeiffer (2008)

propos estimar as componentes do TGG de tesseroides resolvendo analiticamente a

integral na direcao radial e utilizar integracao numerica somente nas integrais duplas

restantes. Este algoritmo foi comparado com o uso de outros elementos de massa, como

massa pontual, prisma retangular, camada equivalente e linha de massa, para os quais

existem formulas analıticas. Esta comparacao mostrou que o uso de tesseroides com a

1FORSBERG, R.; TSCHERNING, C.C. Topographic effects in gravity modelling for BVP. In:SANSO F.; RUMMEL, R;.(eds) Geodetic boundary value problems in view of the one cen-timetre geoid Lecture notes in earth sciences, v. 65. Springer, Berlin p. 241-272, 1997.

1 Introducao 2

solucao computacional proposta apresenta uma razao precisao/velocidade melhor que

a dos outros elementos de massa.

Um metodo alternativo para calcular as integrais foi proposto por Heck e Seitz

(2007) utilizando a expansao em serie de Taylor do integrando. Este metodo fornece

resultados com precisao aceitavel quando o tesseroide esta longe do ponto de observacao

e em regioes de baixa latitude. Quando o tesseroide esta perto do ponto de observacao

ou em regioes de alta latitude a aproximacao pela serie de Taylor mostrou-se pouco

precisa e nao deve ser utilizada. Os trabalhos publicados ate o momento sugerem que

a QGL e o metodo mais adequado para calcular o TGG gerado por tesseroides, uma

vez que esta nao apresenta as limitacoes numericas da expansao em serie de Taylor do

integrando.

Neste trabalho os tesseroides serao utilizados no calculo direto das componentes do

TGG devido a grandes estruturas geologicas e para a altura da trajetoria do satelite

GOCE que e de aproximadamente 250 km. Para isso, sera implementado um pro-

grama computacional para o calculo direto do TGG seguindo a abordagem proposta

por Wild-Pfeiffer (2008). A precisao desta implementacao pode ser avaliada compa-

rando seus resultados com o resultado de formulas analıticas, existentes para o caso

especial de uma casca esferica com ponto de observacao em um dos polos (WILD-

PFEIFFER, 2008). Tambem sera avaliado se esta metodologia sofre das mesmas li-

mitacoes numericas observadas por Ku (1977). Finalmente, o programa desenvolvido

sera utilizado em duas aplicacoes: para calcular as diferencas causadas no TGG entre

utilizar uma aproximacao plana ou esferica para a Terra; e para calcular o efeito das

massas topograficas da regiao da bacia do Parana no TGG a 250 km de altitude.

3

2 Formulacao matematica

2.1 Sistemas de coordenadas

Ha dois sistemas de coordenadas envolvidos na formulacao matematica deste trabalho

(Figura 1): o sistema geocentrico (G) e o sistema local (L).

O sistema global e um sistema geocentrico. Seu eixo Z e alinhado com o eixo medio

de rotacao da Terra e aponta no sentido do polo Norte. Seu eixo X aponta para o

meridiano medio de Greenwich e seu eixo Y completa um sistema destro. Ja o sistema

local possui origem em um ponto P qualquer. Seu eixo z e alinhado com a reta que

passa pelo geocentro e o ponto P e aponta no sentido oposto ao geocentro. Seu eixo x

e tangencial a esfera geocentrica que passa por P e aponta no sentido Norte e seu eixo

y completa um sistema sinistral.

A mudanca de coordenadas entre os dois sistemas pode ser feita utilizando as

relacoes apresentadas a seguir. Para mudar as coordenadas de um ponto Q do sis-

tema global para o sistema local de um ponto P utiliza-se a seguinte transformacao

(VANICEK; KRAKIWSKY, 1986):

eLPQ = P2R2

(ϕP −

π

2

)R3 (λP − π)︸ ︷︷ ︸

RGP

(eGQ − eGP ) (2.1)

onde RGP e a matriz de transformacao, eLPQ e o vetor posicao do ponto Q no sistema

local de P, eGQ e o vetor posicao do ponto Q no sistema global, eGP e o vetor posicao

do ponto P no sistema global, ϕP e a latitude do ponto P e λP sua longitude. P2 e a

matriz de reflexao do eixo Y , R2 e a matriz de rotacao em torno do eixo Y , R3 e a

matriz de rotacao em torno do eixo Z. Como as matrizes P2, R2 e R3 sao ortogonais,

a relacao inversa e dado por:

eGQ = R3 (π − λP ) R2

(π2− ϕP

)P2︸ ︷︷ ︸

RPG

eLPQ + eGQ (2.2)

Utilizando as equacoes (2.1) e (2.2), e possıvel obter a matriz de transformacao do

sistema local de P para o sistema local de Q (Figura 2) (WILD-PFEIFFER, 2008):

eLP = P2R2

(ϕP −

π

2

)R3 (λP − π) eG

2 Formulacao matematica 4

eG = R3 (π − λQ) R2

(π2− ϕQ

)P2e

LQ

eLP = P2R2

(ϕP −

π

2

)R3 (λP − π) R3 (π − λQ) R2

(π2− ϕQ

)P2e

LQ

eLP = P2R2

(ϕP −

π

2

)R3 (λP − λQ) R2

(π2− ϕQ

)P2︸ ︷︷ ︸

RQP

eLQ

RQP = P2R2

(ϕP −

π

2

)R3 (λP − λQ) R2

(π2− ϕQ

)P2 (2.3)

onde a matriz RQP e a matriz de transformacao.

2.2 Tesseroide

Um tesseroide e um elemento geometrico limitado por duas esferas concentricas de

raios r1 e r2, dois planos meridianos λ1 e λ2 e duas superfıcies conicas que passam pelo

centro da esfera e pelas paralelas ϕ1 e ϕ2 (Figura 1).

O potencial gravitacional (V ) calculado no ponto P e dado por (HEISKANEN;

MORITZ, 1967):

V (P ) = G

∫Ω

ρ

ldΩ (2.4)

onde G e a constante gravitacional, ρ e a distribuicao de densidade dentro do volume

Ω e l e a distancia do ponto de integracao Q ao ponto de observacao P. Quando o volume

Ω for um tesseroide de densidade constante ρ, V pode ser expresso por uma integral

tripla utilizando coordenadas esfericas do sistema global.

V (r, ϕ, λ) = Gρ

λ2∫λ1

ϕ2∫ϕ1

r2∫r1

1

lr′

2cosϕ′ dr′ dϕ′ dλ′ (2.5)

onde

l =

√r2 + r′2 − 2rr′ cosψ

e

cosψ = sinϕ sinϕ′ + cosϕ cosϕ′ cos(λ− λ′)

2 Formulacao matematica 5

2.3 TGG em coordenadas esfericas

O TGG e um tensor T composto por nove elementos definidos pelas segundas derivadas

de V com relacao ao sistema local do ponto de observacao. T e simetrico pois o campo

gravitacional e irrotacional e possui cinco componentes independentes pois V obedece

a equacao de Laplace.

T =

Txx Txy Txz

Tyx Tyy Tyz

Tzx Tzy Tzz

=

∂2V

∂x2

∂2V

∂x∂y

∂2V

∂x∂z

∂2V

∂y∂x

∂2V

∂y2

∂2V

∂y∂z

∂2V

∂z∂x

∂2V

∂z∂y

∂2V

∂z2

(2.6)

Em coordenadas esfericas, as componentes do TGG sao dadas por (TSCHERNING,

1976):

Txx =1

r2

(∂2V

∂ϕ2+ r

∂V

∂r

)(2.7a)

Txy =1

r2 cosϕ

(∂2V

∂ϕ∂λ+ tanϕ

∂V

∂λ

)= Tyx (2.7b)

Txz =1

r

(∂2V

∂ϕ∂r− 1

r

∂V

∂ϕ

)= Tzx (2.7c)

Tyy =1

r2 cos2 ϕ

(∂2V

∂λ2+ r cos2 ϕ

∂V

∂r− cosϕ sinϕ

∂V

∂ϕ

)(2.7d)

Tyz =1

r cosϕ

(∂2V

∂r∂λ− 1

r

∂V

∂λ

)= Tzy (2.7e)

Tzz =∂2V

∂r2(2.7f)

As integrais resultantes da aplicacao de (2.5) em (2.7a) a (2.7f) podem ser resolvidas

numericamente, por exemplo utilizando a Quadratura Gauss-Legendre 3D. Outra pos-

sibilidade e integrar analiticamente na variavel r e resolver a integral dupla resultante

com uma Quadratura Gauss-Legendre 2D (WILD-PFEIFFER, 2008).

2 Formulacao matematica 6

2.4 Quadratura Gauss-Legendre

O metodo da Quadratura Gauss-Legendre consiste em discretizar o integrando e apro-

ximar a integral por uma somatoria com a seguinte forma (HILDEBRAND, 1987):

b∫a

f(x) dx ≈ b− a2

N∑i=1

Wi f(xi) (2.8)

onde os pontos de discretizacao xi (tambem denominados “nos’) sao as raızes do po-

linomio de Legendre PN(x) de ordem N e os pesos Wi sao dados por (HILDEBRAND,

1987):

Wi =2

(1− x2i ) (P ′N(xi))

2 (2.9)

PN(x) e sua primeira derivada podem ser calculados atraves das seguintes relacoes

recursivas:

P ′N(x) =N

x2 − 1(xPn(x)− PN−1(x)) (2.10)

PN(x) = x2N − 1

NPN−1(x)− N − 1

NPN−2(x) (2.11)

Para utilizar a QGL para calcular o TGG de um tesseroide, a equacao (2.8) pode

ser facilmente estendida para integrais duplas (2D):

x2∫x1

y2∫y1

f(x, y) dx dy ≈ (x2 − x1)(y2 − y1)

4

Nx∑i=1

Ny∑j=1

Wx,i Wy,j f(xi, yj) (2.12)

ou triplas (3D):

x2∫x1

y2∫y1

z2∫z1

f(x, y, z) dx dy dz ≈

(x2 − x1)(y2 − y1)(z2 − z1)

8

Nx∑i=1

Ny∑j=1

Nz∑k=1

Wx,i Wy,j Wz,k f(xi, yj, zk) (2.13)

2 Formulacao matematica 7

ZG

XG

YG

xL

zL

yL

P

Ql

r

φ

λ

Figura 1: Tesseroide no sistema global (G) e o sistema local (L) do ponto P. l e a distanciaentre o ponto P e o ponto Q pertencente ao tesseroide.

ZG

XG

YG

xL zL

yL

r

xLzL

yL

PQ

rQ P

λ λPQ

φφPQ

Figura 2: Sistemas locais dos pontos P e Q e um prisma retangular com face superiorcentrada em Q. O sistema local do ponto Q e o sistema no qual o TGG do prisma e calculadoutilizando as formulas de Nagy et al. (2000). A transformacao do TGG para o sistema localdo ponto de observacao P e necessaria para dar significado fısico aos resultados.

8

3 Implementacao Computacional

Este capıtulo relata os aspectos computacionais e metodologicos do trabalho realizado.

E discutida aqui a escolha da linguagem de programacao para o projeto, os algoritmos

implementados e os testes de validacao do programa desenvolvido.

3.1 Linguagem de Programacao

O programa desenvolvido neste projeto foi implementado na linguagem Python. A

escolha desta linguagem foi baseada nas diversas vantagens que a mesma possui sobre

a linguagem C. A principal destas e que o desenvolvimento de um programa em Python

e muito mais rapido que o de um em C. Alem disso, outras vantagens importantes da

linguagem Python sao:

• Sua vasta biblioteca padrao, na qual existem modulos para fazer o processamento

dos argumentos de linha de comando, automatizar os testes de integridade das

diferentes partes do programa (chamados de Unit Tests), lidar com o sistema de

arquivos, etc;

• Suporte para diversos paradigmas de programacao, como programacao orientada

a objetos, programacao sequencial e programacao concorrente;

• Pode ser utilizada na forma de scrips;

• Programas escritos em Python podem ser importados em scripts ou outros pro-

gramas na forma de modulos, o que facilita a reutilizacao de programas;

• A linguagem Python e interpretada, nao compilada como a linguagem C. Logo,

programas escritos nela sao independentes do sistema operacional;

Por ser interpretada, a linguagem Python possui pior performance que a linguagem

C. No entanto, esta limitacao pode ser superada pois a linguagem Python pode ser

facilmente integrada com a linguagem C. As partes do programa que requerem maior

performance (conhecidas como bottlenecks) podem ser substituıdas por rotinas progra-

madas em C sem perder todos os outro benefıcios que a linguagem Python oferece.

O codigo fonte do programa desenvolvido esta hospedado no servidor gratuito do

Google Code (http://code.google.com/p/tesseroids) como software livre segundo

3 Implementacao Computacional 9

os termos da GNU General Public License 3.0. Isso significa que o codigo do pro-

grama pode ser livremente acessado e modificado por qualquer pessoa, desde que esta

mantenha o codigo aberto sob a mesma licenca.

3.2 Implementacao Computacional da QGL

A QGL foi implementada na forma de um modulo, denominado glq.py, que contem

duas classes: Abscissas e Weights. Estas classes sao as responsaveis por calcular e

armazenar os pontos de discretizacao e os pesos utilizados na QGL.

A classe Abscissas contem um metodo para calcular os pontos de discretizacao

(nos) da QGL e outro para converte-los para o intervalo [a, b], definido pelos limites

de integracao. Como dito no Capıtulo 2, os pontos de discretizacao sao dados pelas

raızes ξk de um polinomio de Legendre. Para calcular essas raızes foi implementado

um metodo de Newton modificado para ter uma convergencia maior (BARRERA-

FIGUEROA et al., 2006). Segundo este metodo k-esima raiz do polinomio de Legendre

PN(ξ) de ordem N pode ser calculada atraves de um processo iterativo:

ξk,n+1 = ξk,n −PN(ξk,n)

P ′N(ξk,n)− PN(ξk,n)k−1∑i=1

1

ξk,n − ξi

(3.1)

onde os ξi sao as k − 1 raızes que ja foram calculadas. Esse processo e terminado

quando ε = |ξk,n+1 − ξk,n| 6 10−15 ou quando um numero maximo de 104 iteracoes for

alcancado. Os chutes iniciais para o processo iterativo foram calculados segundo Press

et al. (1992):

ξk,0 =cos(πk − π

4

)N + 1

2

(3.2)

Como as raızes dos polinomios de Legendre estao contidas no intervalo [−1, 1], elas

devem ser convertidas para o intervalo de integracao [a, b] antes de serem utilizadas.

Esta conversao foi feita utilizando a seguinte equacao:

xk =(b− a)

2ξk +

(a+ b)

2(3.3)

A classe Weights calcula os pesos associados a uma determinada instancia da classe

Abscissas utilizando as equacoes (2.9) a (2.11).

3 Implementacao Computacional 10

3.3 Calculo do TGG de Tesseroides

As classes encarregadas de calcular as seis componentes do TGG estao contidas no

modulo tesseroidgravity.py. Este modulo contem sete classes, sendo a principal

delas a classe TesseroidGravity. Esta classe contem o metodo calculate que uti-

liza a QGL para integrar uma funcao virtual kernel, cuja implementacao e feita nas

classes TesseroidGxx, TesseroidGxy, TesseroidGxz, TesseroidGyy, TesseroidGyz

e TesseroidGzz que sao subclasses de TesseroidGravity. A funcao kernel de cada

subclasse corresponde ao integrando da respectiva componente do TGG. Assim, cada

subclasse utiliza o mesmo metodo de TesseroidGravity para calcular uma compo-

nente do TGG para todos os pontos de uma grade e para todos os tesseroides de

um modelo de entrada. Nos calculos foram utilizados os valores de constante gravi-

tacional G = 6, 673 × 10−11 m3kg−1s−2 e raio da Terra esferica R = 6 378 137 m

(WILD-PFEIFFER, 2008). Como todos os calculos sao efetuados em unidades do S.I.,

o resultado deve ser convertido para Eotvos, que e a unidade mais usual. O fator de

conversao e 1 s−2 = 109 Eotvos.

O metodo calculate de TesseroidGravity utiliza a integracao analıtica na direcao

radial e integracao numerica da integral dupla resultante (WILD-PFEIFFER, 2008).

Esta metodologia apresenta melhor performance que o calculo do TGG utilizando so-

mente integracao numerica com a QGL 3D. Porem, as integrais duplas apresentam uma

singularidade quando o angulo ψ entre o ponto de observacao e o ponto de integracao

e igual a zero. Essa singularidade nao esta presente nas integrais triplas.

No contexto da QGL a singularidade ocorre se o ponto de observacao possuir mesma

latitude e longitude que um dos pontos de discretizacao (nos). Computacionalmente,

essa singularidade provoca um “erro de divisao por zero” que termina o programa.

Para contornar este problema, nos pontos de observacao onde este erro ocorre o TGG

passa a ser calculado utilizando a QGL 3D, evitando a singularidade.

3.4 Calculo do TGG de Prismas Retangulares

O calculo do TGG utilizando a distribuicao de massa em prismas retangulares foi

implementada para estimar o erro da aproximacao plana para a Terra esferica. Para

isso, cada tesseroide foi aproximado por um prisma retangular com o mesmo volume,

densidade e altura do tesseroide. Assumindo que o tesseroide e muito pequeno quando

comparado a Terra (sin ∆ϕ = ∆ϕ) e que sua altura e muito menor que sua distancia

ate a origem do sistema global (∆r r1), as dimensoes do prisma retangular sao dadas

por (WILD-PFEIFFER, 2008):

3 Implementacao Computacional 11

∆x =r1 + r2

2∆ϕ (3.4a)

∆y =r1 + r2

2cos

(ϕ1 + ϕ2

2

)∆λ (3.4b)

∆z = ∆r (3.4c)

As formulas analıticas de V e suas derivadas para um prisma retangular de den-

sidade constante ρ sao dadas em Nagy et al. (2000). Nesta formulacao foi assumida

uma aproximacao plana para a Terra. Consequentemente o sistema local do prisma

tem a mesma orientacao do sistema local do ponto de observacao. Porem, se o prisma

retangular, ou um conjunto deles, for utilizado para representar um segmento esferico

da Terra, o sistema local do ponto de observacao nao tera a mesma orientacao do sis-

tema local do prisma (Figura 2). Logo, neste caso e necessario converter o TGG para o

sistema local do ponto de observacao utilizando a matriz de transformacao apresentada

na equacao (2.3).

TLob = R TLprRT (3.5)

onde TLob e o TGG no sistema local do ponto de observacao e TLpr e o TGG no sistema

local do prisma.

Para utilizar as formulas de Nagy et al. (2000) e necessario conhecer tambem as co-

ordenadas do ponto de observacao no sistema local do prisma (Figura 2). Este sistema

difere do sistema utilizado em Nagy et al. (2000) somente no sentido da componente

z (Figura 3). Assim, a transformacao das coordenadas do ponto de observacao do

sistema global para o sistema local do prisma pode ser feita utilizando a equacao (2.1)

e invertendo o sinal da componente z. Nessa equacao, eLPQ passa a representar o vetor

posicao do ponto de observacao no sistema local do prisma, eGQ o vetor posicao do

ponto de observacao no sistema global e eGQ o vetor posicao da origem do sistema local

do prisma no sistema global. Por convencao, a origem do sistema local do prisma esta

localizada no centro de sua face superior.

3.5 Calculo do TGG de uma Casca Esferica

Para validar os resultados obtidos com o programa computacional implementado, e

necessario compara-los com valores obtidos atraves de formulas analıticas. Um modelo

3D para o qual existe uma formula analıtica e uma casca esferica com densidade e

3 Implementacao Computacional 12

espessura constantes (Figura 4). O potencial desta casca esferica e dado por:

V (r, ϕ, λ) = Gρ

r2∫r1

π2∫

ϕc

2π∫0

1

lr′2 cosϕ′ dλ′ dϕ′ dr′ (3.6)

Se o ponto de observacao estiver localizado ao longo do eixo Z do sistema global, a

equacao (3.6) resulta em (HECK; SEITZ, 2007):

V(r, ϕ =

π

2, λ = 0

)= 2πGρ

l3c3r

+r2 sinϕc cos2 ϕc

2ln(lc + r′ − r sinϕc)

+r′3

3r− r′2

2+lc sinϕc

2(r′ − r sinϕc)

∣∣∣∣∣r′=r2

r′=r1

(3.7)

onde

lc =√r′2 + r2 − 2rr′ sinϕc

A partir da equacao (3.7) e possıvel obter o TGG causado pela casca esferica.

Devido a simetria do modelo e a localizacao do ponto de observacao, as equacoes

(2.7a) a (2.7f) podem ser simplificadas para (WILD-PFEIFFER, 2008):

Txx = Tyy = −1

2

∂2V

∂r2(3.8a)

Txy = Tyx = 0 (3.8b)

Txz = Tzx = 0 (3.8c)

Tyz = Tzy = 0 (3.8d)

Tzz =∂2V

∂r2(3.8e)

onde a segunda derivada de V na direcao radial e dada por:

3 Implementacao Computacional 13

∂2V

∂r2= 2πGρ

2l3c3r3− lcr2

(r − 2r′ sinϕc) +r − r′ sinϕc

lc− r′ sinϕc

rlc(r − r′ sinϕc)

− sin2 ϕc2lc

(r − r′ sinϕc) +2r′3

3r3

+sinϕc

2

[r′ − 2r sinϕc + r′ sin2 ϕc

lc− (r − r′ sinϕc)2(r′ − r sinϕc)

l3c

]

+ sinϕc cos2 ϕc

[ln(lc + r′ − r sinϕc) +

r

lc + r′ − r sinϕc

(r − r′ sinϕc

lc− sinϕc

)]

+sinϕc cos2 ϕc

2lc(lc + r′ − r sinϕc)

[3r2 − 2rlc sinϕc −

r2

lcsinϕc(r − r′ sinϕc)− 2rr′ sinϕc

]

− sinϕc cos2 ϕcr2(r − (lc + r′) sinϕc)

2l2c(lc + r′ − r sinϕc)2

[2(r − r′ sinϕc)

+r′

lc(r − r′ sinϕc)− lc sinϕc −

r sinϕclc

(r − r′ sinϕc)

]∣∣∣∣∣r′=r2

r′=r1

(3.9)

A equacao (3.9) pode ser utilizada para calcular o TGG causado por um anel de

massa com ∆ϕ = ϕi+1−ϕi subtraindo o efeito de duas cascas esfericas de raio esferico

ϕc = ϕi+1 e ϕc = ϕi (Figura 4). Assim e possıvel analisar como a distancia entre o

modelo e o ponto de observacao afeta o erro do programa computacional desenvolvido.

3 Implementacao Computacional 14

Figura 3: Sistemas de coordenadas utilizados em Nagy et al. (2000). O sistema (x,y,z) comorigem no ponto de observacao P e o utilizado na formulacao. Para realizar os calculos, enecessario conhecer as coordenadas do ponto P no sistema local do prisma ABCDEFGH.Fonte Nagy et al. (2000)

Figura 4: Anel de massa obtido subtraindo as cascas esfericas de raio esferico ψi+1 e ψi(ψ = 90 − ϕc). O ponto de observacao P esta localizado ao longo do eixo Z global. FonteHeck e Seitz (2007).

15

4 Resultados

4.1 Validacao do programa desenvolvido

Com o objetivo de testar se o programa computacional desenvolvido esta funcionando

corretamente, foi feita a comparacao entre os resultados previstos analiticamente por

um anel de massa (Wild-Pfeiffer, 2008) com aqueles previstos pela aproximacao por

tesseroides.

A Figura 5 apresenta as componentes nao nulas do TGG causado por aneis de massa

de ∆ϕ = 5′, ρ = 2 670 kg m−3, ∆r = 1 000 m e ponto de observacao no polo Norte a

250 km de altitude. Para comparar estes resultados com o do programa desenvolvido,

cada anel foi discretizado em tesseroides de 5′× 5′× 1 km e foram utilizadas ordens de

QGL (Nϕ = Nλ) dois, tres, quatro e cinco, segundo Wild-Pfeiffer (2008). As diferencas

entre os dois resultados estao apresentados na Figura 6 e nas Tabelas 1 e 2.

As componentes Txx e Tzz apresentam diferencas de aproximacao maximas da ordem

de 10−9 e 10−8 Eotvos, respectivamente, para Nϕ = Nλ = 2. Essas diferencas sao 107

vezes menores do que os valores previstos pelas formulas analıticas. Para Nϕ = Nλ > 2,

as diferencas maximas diminuem para 10−12 Eotvos. Para aneis abaixo de ϕc = 85 a

ordem da QGL deixa de influenciar significantemente a diferenca. Ja as componentes

Txz e Tyz apresentam diferencas maximas da ordem de 10−15 Eotvos, independente de

Nϕ e Nλ. Nestas componentes a diferenca estabiliza para ϕc < 85.

As componentes Txy e Tyy apresentam diferencas maximas da ordem de 10−3 Eotvos,

para todos os valores de Nϕ e Nλ utilizados. Essas componentes apresentam comporta-

mento crescentemente instavel com a variacao de ϕc, independente da ordem da QGL.

Esta instabilidade era esperada pois quando ϕ = ±90 o termo cos−2 ϕ das equacoes

(2.7b) e (2.7d) e numericamente instavel. Idealmente, cos(±90) = 0 e geraria um

erro computacional de “divisao por zero” que terminaria o programa. Porem, o cos-

seno e aproximado por uma serie e cos−2(±90) ≈ 1032, gerando os valores altos nas

diferencas observadas na Figura 6. Este mesmo efeito nao e observado na componente

Tyz (equacao (2.7e)) pois o termo cos−1 ϕ e cancelado quando multiplicado pelo termo

cosϕ presente em ∂2V∂r∂λ

e ∂V∂λ

.

4 Resultados 16

4.2 Exemplo do TGG causado por um tesseroide

O programa desenvolvido foi utilizado para calcular o TGG causado por um tesseroide

de 1 × 1 × 10 km, ρ = 2 800 kg m−3, centrado em 40N e 83W e observado a 250

km de altitude, como em Asgharzadeh et al. (2007). A ordem de QGL utilizada foi

Nϕ = Nλ = 2, enquanto em Asgharzadeh et al. (2007) foi utilizada QGL 3D com

ordem Nϕ = Nλ = 8 e Nr = 2. O resultado deste calculo esta apresentado na Figura 7

e e semelhante ao apresentado em Asgharzadeh et al. (2007) tanto em forma como em

magnitude. Isto serve para validar resultado do programa desenvolvido em um caso

diferente do dos aneis de massa com ponto de observacao localizado no polo.

4.3 Limitacoes Numericas

Ku (1977) observou que se a distancia entre os nos da QGL for maior que a distancia

ao ponto de observacao, o TGG aparenta ser causado por massas pontuais localizadas

nos nos. Este e um artefato numerico da QGL que foi observado para o caso da com-

ponente vertical da aceleracao da gravidade. Para que esse artefato nao ocorra, Ku

(1977) propos aumentar o numero de nos ate que a distancia entre os mesmos fosse

menor que a distancia ate o ponto de observacao.

Para verificar se o artefato observado por Ku (1977) tambem ocorre com o TGG, o

mesmo foi calculado para um tesseroide de 2×2×10 km e densidade ρ = 2 800 kg m−3

a diversas altitudes. A Figura 8 mostra o TGG calculado a 250 km de altitude uti-

lizando Nϕ = Nλ = 2. Neste caso, a distancia entre dois nos adjacentes e de aproxi-

madamente 128,5 km. Nota-se que o TGG possui forma semelhante ao apresentado

na Figura 7. No entanto, quando o calculo e efetuado a 100 km de altitude, a com-

ponente Tzz aparenta ser causada por massas pontuais localizadas nos nos (Figura 9).

Esse efeito pode ser claramente observado em todas as componentes quando o TGG e

calculado a 50 km de altitude (Figura 10).

Se o numero de nos for aumentando para Nϕ = Nλ = 10, a distancia entre dois nos

adjacentes diminui para aproximadamente 33 km. Pode ser notado na Figura 11 que o

TGG calculado a 50 km de altitude com esse numero de nos nao apresenta ser causado

por massas pontuais. De fato, o mesmo se assemelha ao TGG causado por um prisma

que aproxima o tesseroide como descrito na Secao 3.4 (Figura 12).

4 Resultados 17

4.4 Analise numerica da aproximacao plana sobre

o TGG

A aproximacao plana para a Terra esferica geralmente consiste em aproximar um corpo

curvo por um corpo plano e efetuar a computacao em uma grade tambem plana. Isto

significa assumir que os sistemas locais dos pontos de observacao possuem a mesma

orientacao do sistema local do corpo plano e que 1 de latitude ou longitude equivale

a 111,11 km. A diferenca causada no TGG por essa aproximacao foi quantificada sub-

traindo o TGG causado por um tesseroide do causado por um prisma retangular de

mesma massa, calculado utilizando a aproximacao descrita acima.

A diferenca calculada para um tesseroide de 1×1×10 km e ρ = 2 800 kg m−3 esta

apresentada na Figura 14. As diferencas chegam a aproximadamente 7% na compo-

nente Txy, porem nao passam de 0.5% na componente Tzz. Estas diferencas sao mınimas

e geralmente sao ignoradas na modelagem de estruturas pequenas. Porem, quando o

modelo e um tesseroide de 50×50×10 km, as diferencas chegam a aproximadamente

30% na componente Tzz e aproximadamente 5% na componente Txy (Figura 16). Esta

e uma diferenca significativa e deve ser levada em conta na modelagem de estruturas

extensas.

4.5 Efeito topografico

Os dados de TGG que serao obtidos pelo satelite GOCE incluirao o efeito gravitacional

da topografia. Neste trabalho foi feita uma primeira estimativa da amplitude deste

efeito sobre o TGG utilizando o programa computacional desenvolvido.

O efeito que as massas topograficas da regiao da bacia do Parana exercem sobre as

componentes do TGG foi calculado utilizando o modelo digital ETOPO1 (AMANTE;

EAKINS, 2009). Para isso, foi gerado um modelo de tesseroides a partir de uma grade

de topografia de 10′ × 10′ (Figura 17). A densidade utilizada foi de 2 670 kg m−3 e a

ordem da QGL Nϕ = Nλ = 2. O TGG foi calculado na regiao marcada pelo retangulo

vermelho na Figura 17 e o resultado esta apresentado na Figura 18. Observa-se que as

amplitudes das componentes do TGG calculado possuem a mesma ordem de grandeza

das amplitudes das componentes do TGG gerado pelo tesseroide mostrado na Figura

7. Este tesseroide poderia representar uma anomalia de densidade situada na crosta

superior. Logo, o efeito topografico deve ser removido do TGG total medido com a

finalidade de isolar o efeito gravitacional causado por anomalias de densidade situadas

na parte mais interna da Terra.

4 Resultados 18

Diferencas Maximas [Eotvos]

Nϕ = Nλ Txx Tyy Tzz

2 6.4624× 10−9 2.7928× 10−3 1.2925× 10−8

3 4.2351× 10−12 2.2529× 10−3 9.2808× 10−12

4 4.5904× 10−12 2.2541× 10−3 9.0402× 10−12

5 4.5907× 10−12 2.3230× 10−3 8.8367× 10−12

Tabela 1: Diferencas maximas nas componentes diagonais do TGG entre os valores previstospela aproximacao por tesseroides (programa computacional desenvolvido) e valores previstospela formula analıtica de aneis de massa de ∆ϕ = 5′, ρ = 2 670 kg m−3 e ∆r = 1 000 m.Cada anel foi discretizado em tesseroides de 5′ × 5′ × 1 km. Nϕ e Nλ sao a ordem da QGLnas direcoes latitudinal e longitudinal, respectivamente.

Diferencas Maximas [Eotvos]

Nϕ = Nλ Txy Txz Tyz

2 1.5994× 10−3 6.0564× 10−15 2.7231× 10−15

3 1.4357× 10−3 6.0744× 10−15 2.7637× 10−15

4 1.0552× 10−3 5.9915× 10−15 2.7706× 10−15

5 8.7854× 10−4 5.9918× 10−15 2.7366× 10−15

Tabela 2: Diferencas maximas nas componentes nao-diagonais do TGG entre os valoresprevistos pela aproximacao por tesseroides (programa computacional desenvolvido) e valoresprevistos pela formula analıtica de aneis de massa de ∆ϕ = 5′, ρ = 2 670 kg m−3 e ∆r =1 000 m. Cada anel foi discretizado em tesseroides de 5′ × 5′ × 1 km. Nϕ e Nλ sao a ordemda QGL nas direcoes latitudinal e longitudinal, respectivamente.

4 Resultados 19

Figura 5: Componentes diagonais do TGG causado por aneis de massa de ∆ϕ = 5′, ρ =2 670 kg m−3, ∆r = 1 000 m e ponto de observacao no polo Norte a 250 km de altitude. ϕce a latitude do limite Sul do anel.

Figura 6: Diferenca entre o TGG calculado pelo programa desenvolvido e o resultadoanalıtico para aneis de massa de ∆ϕ = 5′, ρ = 2 670 kg m−3, ∆r = 1 000 m. Cadaanel foi discretizado em tesseroides de 5′ × 5′ × 1000 m. Nϕ e Nλ sao a ordem da QGL nasdirecoes latitudinal e longitudinal, respectivamente.

4 Resultados 20

Figura 7: TGG causado por um tesseroide de 1 × 1 × 10 km e densidade 2 800 kg m−3,observado a 250 km de altitude. O tesseroide esta centrado em 40N e 83W. A ordem deQGL utilizada foi Nϕ = Nλ = 2. Este resultado e semelhante ao apresentado em Asgharzadehet al. (2007). As bordas do tesseroide estao marcadas em preto no centro dos mapas.

Figura 8: TGG causado por um tesseroide de 2×2×10 km, com densidade 2 800 kg m−3,calculado a 250 km de altitude. A ordem utilizada foi Nϕ = Nλ = 2. As bordas do tesseroideestao marcadas em preto e os sımbolos + sao os nos da QGL. A distancia entre dois nosadjacentes e de aproximadamente 128, 5 km.

4 Resultados 21

Figura 9: TGG causado por um tesseroide de 2×2×10 km, com densidade 2 800 kg m−3,calculado a 100 km de altitude. Quando a distancia entre os nos e maior que a distancia aoponto de observacao, o TGG calculado aparenta ser causado por massas pontuais localizadasnos nos, como pode ser observado claramente na componente Tzz.

Figura 10: TGG causado por um tesseroide de 2×2×10 km, com densidade 2 800 kg m−3,calculado a 50 km de altitude. Neste caso e possıvel notar que todas as componentes apa-rentam ser causadas por massas pontuais localizadas nos nos.

4 Resultados 22

Figura 11: TGG causado por um tesseroide de 2×2×10 km, com densidade 2 800 kg m−3,calculado a 50 km de altitude. A ordem utilizada foi Nϕ = Nλ = 10 e distancia maxima entredois nos adjacentes e de aproximadamente 33 km. Como a distancia entre os nos e menorque a distancia ao ponto de observacao, o TGG calculado nao aparenta ser devido a massaspontuais localizadas nos nos e sim a um corpo volumetrico (tesseroide).

Figura 12: TGG causado por um prisma retangular que aproxima o tesseroide de 2 × 2 ×10 km, com densidade 2 800 kg m−3, calculado a 50 km de altitude. As bordas do prismaestao marcadas em branco.

4 Resultados 23

Figura 13: TGG causado por um tesseroide de 1×1×10 km, com densidade 2 800 kg m−3,e Nϕ = Nλ = 2 calculado a 250 km de altitude.

Figura 14: Diferenca entre o TGG causado pelo tesseroide da Figura 13 e o causado porum prisma de mesma massa utilizando uma aproximacao plana para a Terra esferica. Nestaaproximacao os sistemas locais dos pontos de observacao possuem a mesma orientacao dosistema local do corpo plano e 1 de latitude ou longitude equivale a 111, 11 km. As dife-rencas chegam a aproximadamente 7% na componente Txy, porem nao passam de 0.5% nacomponente Tzz.

4 Resultados 24

Figura 15: TGG causado por um tesseroide de 50×50×10 km, com densidade 2 800 kg m−3

e calculado a 250 km de altitude.

Figura 16: Diferenca entre o TGG causado pelo tesseroide da Figura 15 e o causado porum prisma de mesma massa utilizando uma aproximacao plana para a Terra esferica. Nestecaso, as diferencas chegam a aproximadamente 30% na componente Tzz e aproximadamente5% na componente Txy.

4 Resultados 25

Figura 17: Modelo topografico digital ETOPO1 utilizado para gerar o modelo de tesseroides.O espacamento da grade e de 10′ × 10′. Em vermelho esta marcada a area na qual o TGGfoi calculado.

Figura 18: Efeito da topografia no TGG a 250 km de altitude na regiao da Bacia do Parana.Foi utilizada densidade de 2 670 kg m−3 e Nϕ = Nλ = 2. Este e um efeito significativo emtodas as componentes e deve ser levado em conta durante a modelagem de dados de TGG.

26

5 Conclusao

O programa computacional implementado na linguagem Python e confiavel pois possui

“unit tests” e “testes de integracao” que verificam automaticamente a funcionalidade

de cada parte do programa e seu funcionamento como um todo. As funcoes e clas-

ses implementadas poderao ser facilmente reutilizadas em outros programas devido a

modularidade inerente na linguagem Python. Alem disso, as singularidades presentes

na metodologia de Wild-Pfeiffer (2008) foram efetivamente contornadas utilizando a

integracao numerica 3D nos pontos onde ocorrem.

Foi observado que o TGG de um tesseroide calculado utilizando a QGL apresenta

o mesmo artefato numerico observado por Ku (1977). Por isso, a ordem da QGL deve

ser escolhida de tal forma que a distancia entre os nos seja menor que a distancia ate o

ponto de observacao. Isso significa que, a altitude de 250 km, o TGG de um tesseroide

com face de ate 2 × 2 pode ser calculado utilizando ordem dois.

No caso dos aneis de massa com ponto de observacao em ϕ = 90, o programa de-

senvolvido apresentou resultados com precisao semelhante aos apresentados em Wild-

Pfeiffer (2008). As componentes Txy e Tyy se mostraram instaveis, o que era esperado

pois existem singularidades nas equacoes para este ponto de observacao. Este e um

caso limite que deve ser evitado na pratica para garantir resultados precisos.

A comparacao entre a modelagem com tesseroides e uma aproximacao plana para

a Terra esferica mostrou diferencas de ate 30% na componente Tzz para um modelo de

50 × 50 × 10 km. Esta e um diferenca consideravel que deve ser levada em conta na

modelagem de estruturas extensas.

O TGG devido a topografia da regiao da bacia do Parana possui a mesma ordem de

grandeza nas amplitudes das componentes do TGG de um tesseroide de 1×1×10 km.

Isso mostra que o efeito topografico deve ser removido dos dados que serao observados

na missao GOCE a fim de isolar o efeito dos corpos anomalos em subsuperfıcie.

27

Referencias Bibliograficas

AMANTE, C.; EAKINS, B.W. ETOPO1 1 Arc-Minute Global Relief Model: Procedures,

Data Sources and Analysis. NOAA Technical Memorandum NESDIS NGDC-24,

p. 19, 2009.

ASGHARZADEH, M.F.; VON FRESE, R.R.B.; KIM, H.R.; LEFTWICH, T.E.; KIM, J.W.

Spherical prism gravity effects by Gauss-Legendre quadrature integration. Geophysics

Journal International, v. 169, p. 1-11, 2007.

BARRERA-FIGUEROA, V.; SOSA-PEDROZA, J.; LOPEZ-BONILLA, J. Multiple root

finder algorithm for Legendre and Chebyshev polynomials via Newton’s method. Annales

Mathematicae et Informaticae, v. 33, p. 3 - 13, 2006.

HECK, B.; SEITZ, K. A comparison of the tesseroid, prism and point-mass approaches for

mass reductions in gravity field modelling. Journal of Geodesy, v. 81, p. 121 - 136, 2007.

HEISKANEN, W.A.; MORITZ, H. Physical Geodesy. W. H. Freeman and Company, San

Francisco, 1967.

HILDEBRAND. F.B. Introduction to numerical analysis. Courier Dover Publications,

2. ed., 1987.

KU, C.C. A direct computation of gravity and magnetic anomalies caused by 2- and 3-

dimensional bodies of arbitrary shape and arbitrary magnetic polarization by equivalent-

point methot and a simplified cubic spline. Geophysics, v. 42, p. 610 - 622, 1977.

NAGY, D.; PAPP, G.; BENEDEK, J. The gravitational potential and its derivatives for the

prism. Journal of Geodesy, v. 74, p. 552 - 560, 2000.

PRESS, W.H.; FLANNERY, B.P.; TEUKOLSKY, S.A.; VETTERLING, W.T. Numerical

Recipes in C: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 2. ed.,

1992.

SMITH, D.A.; ROBERTSON, D.S.; MILBERT, D.G. Gravitational attraction of local crustal

masses in spherical coordinates. Journal of Geodesy, v. 74, p. 783 - 795, 2001.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 28

TSCHERNING, C.C. Computation of the second-order derivatives of the normal potential

based on the representation by a Legendre series. Manuscripta Geodaetica, v. 1, p. 71

- 92, 1976.

VANICEK, P.; KRAKIWSKY, E. Geodesy: The Concepts. Elsevier Science Publishers

B.V., 2. ed., 1986.

WILD-PFEIFFER, F. A comparison of different mass elements for use in gravity gradiometry.

Journal of Geodesy, v. 82 (10), p. 637 - 653, 2008.