calculo: integrales múltiples

Tema 4

Integrales multiples

4.1 Introduccion.

En el primer curso de Fundamentos se planteo el problema de hallar el area comprendidaentre la grafica de una funcion positiva y = f(x) , el eje OX y las rectas x = a, x = b.Dicha area se representaba como

∫ ba f(x)dx.

1

TEMA 4. INTEGRALES MULTIPLES 2

Vimos que este problema estaba relacionado con el calculo de una primitiva de f(x) .El Teorema de Barrow nos asegura que si F (x) es tal que F ′(x) = f(x) entoncesA =

∫ ba f(x)dx = F (b)− F (a).

Nuestro problema es el calculo del volumen de un prisma de base rectangularR = [a, b] × [c, d] y limitado superiormente por la grafica de una funcion z = f(x, y)positiva.

A este volumen lo denotaremos por∫ ∫

R f(x, y)dxdy.

Difiere del problema anterior en que no se resuelve encontrando una primitiva def(x, y) (no tiene sentido), sino por el calculo de volumenes por secciones.

El volumen vendra dado por la suma infinita de las areas de las secciones que seobtienen al cortar el cuerpo por planos paralelos al plano XZ, o tambien sumando lasareas de las infinitas secciones que se obtienen al cortar el cuerpo por planos paralelos alplano Y Z.


V =∫ ∫

Rf(x, y)dxdy =

∫ d

cA(y)dy =

∫ b

aA(x)dx

donde A(y) =∫ ba f(x, y)dx, A(x) =

∫ dc f(x, y)dy considerando en cada caso la x o la y

fija.

Ası V =∫ dc (∫ ba f(x, y)dx)dy =

∫ ba (∫ dc f(x, y)dy)dx .

El problema se convierte en el calculo de una integral reiterada que ya sabemos resolver.

4.2 Integral doble sobre un rectangulo.

Definamos ahora el concepto de integral doble de una funcion z = f(x, y) no necesaria-mente positiva sobre un rectangulo R = [a, b]× [c, d].

Dividimos el intervalo [a, b] en n partes iguales, eligiendo para ello n + 1 puntos a =

x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b siendo xi+1 − xi =b− a

n= ∆x.

Elegimos, de forma analoga, m + 1 puntos del intervalo [c, d]

c = y0 < y1 < y2 < · · · < ym = d con yi+1 − yi =d− c

m= ∆y.

Ası obtenemos n ·m rectangulos [xi, xi+1]× [yj, yj+1] = Rij de area ∆A = ∆x ·∆y.Sea cij = (x∗i , y

∗j ) ∈ Rij ⇒ f(cij) ·∆A es el volumen del pequeno prisma del dibujo.


Llamemos

Snm =n−1∑i=0

m−1∑j=0

f(cij)∆x∆y

Definicion 4.1 (Integral doble)

Si existe limn,m→∞

Snm y no depende de la eleccion de los valores cij, entonces se dice

que f es integrable sobre R y al valor de dicho lımite se le llama integral doble de f(x,y)sobre R. ∫ ∫

Rf(x, y)dxdy = lim

n,m→∞

n−1∑i=0

m−1∑j=0

f(cij)∆x∆y

Si f(x, y) es una funcion positiva,∫ ∫

R f(x, y)dxdy representa el volumen del prismarectangular de base R y limitado superiormente por la grafica de f.

Si f(x, y) es negativo, representa un volumen negativo.

Teorema 4.1 Cualquier funcion continua sobre un rectangulo es integrable.


4.2.1 Propiedades de la integral doble.

I Linealidad.∫ ∫

R[af(x, y) + bg(x, y)]dxdy = a∫ ∫

R f(x, y)dxdy + b∫ ∫

R g(x, y)dxdy.

II Monotonıa. Si f(x, y) ≥ g(x, y) ∀ (x, y) ∈ R , entonces :∫ ∫R

f(x, y)dxdy ≥∫ ∫

Rg(x, y)dxdy

III Aditividad. Si D = R1 ∪R2 es union de dos rectangulos disjuntos:∫ ∫D f(x, y)dxdy =

∫ ∫R1

f(x, y)dxdy +∫ ∫

R2f(x, y)dxdy

IV Teorema de Fubini. Si z = f(x, y) es continua sobre R = [a, b]× [c, d], entonces:∫ ∫R

f(x, y)dxdy =∫ b

a(∫ d

cf(x, y)dy)dx =

∫ d

c(∫ b

af(x, y)dx)dy

4.3 Integral doble sobre regiones mas generales.

Vamos a definir la integral doble de funciones sobre los siguientes tipos de regiones:

Regiones del tipo I D = {(x, y) ∈ IR2 / a ≤ x ≤ b, f1(x) ≤ y ≤ f2(x)}.


Regiones del tipo II D = {(x, y) ∈ IR2 / c ≤ y ≤ d, g1(y) ≤ x ≤ g2(y)}.

Regiones del tipo III Son las que se pueden expresar indistintamente como re-giones de tipo I o de tipo II.


Definicion 4.2 Sea D un region de tipo I, II o III. Sea z= f(x,y) una funcion continua.

Consideremos una region de tipo I. Entonces:

∫ ∫D f(x, y)dxdy =

∫ ba (∫ f2(x)f1(x) f(x, y)dy)dx.

Analogamente, en una region de tipo II, se tiene:

∫ ∫D f(x, y)dxdy =

∫ dc (∫ g2(y)g1(y) f(x, y)dx)dy.


Para las regiones del tipo III, se puede calcular la integral doble de f(x, y) indistinta-mente como una region del tipo I o II. A veces la integral se complica y hay que elegir laforma adecuada.

Consecuencia: Si D es una region acotada de IR2, entonces el volumen del prisma debase D y altura 1 es:

∫ ∫D dxdy = [la funcion a integrar esf(x, y) = 1] = A(D)

Ejercicio Resuelve la integral doble∫ ∫D

exp(y2)dydx

donde D = {(x, y) ∈ IR2 / 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1}.Solucion: ∫ 1

0(∫ 1

xexp(y2)dy)dx =

∫ 1

0(∫ y

0exp(y2)dx)dy =

1

2(e− 1)


4.4 Integral triple.

En el caso de las integrales triples se siguen los mismos pasos que en las integrales dobles.

Sea el paralelepıpedo R = [a, b] × [c, d] × [e, f ]. Sea f(x, y, z) una funcion continuasobre R.

Definimos Sn,m,p =n−1∑i=0

m−1∑j=0

p−1∑k=0

f(cijk)∆x∆y∆z

donde xi+1 − xi =b− a

n= ∆x; yj+1 − yj =

d− c

m= ∆y; zk+1 − zk =

f − e

p= ∆z.

cijk = (x∗i , y∗j , z

∗k) con x∗i ∈ [xi, xi+1], y∗j ∈ [yj, yj+1], z∗k ∈ [zk, zk+1]..

Definicion 4.3 (Integral triple)

Si f es una funcion acotada y, existe el limn,m,p→∞

Sn,m,p y no depende de la eleccion de

los cijk, entonces se dice que f es integrable, y al valor de este lımite se le llama integraltriple sobre R, y se representa ∫ ∫ ∫

Rf(x, y, z)dxdydz

• Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1, entonces∫ ∫ ∫

R f(x, y, z)dxdydz = V representa elvolumen.


4.4.1 Propiedades.

Se cumplen las mismas propiedades que en la integral doble.

1. Toda funcion continua es integrable

2. Linealidad, monotonıa y aditividad

3. Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puedehallar por integracion reiterada.

4.5 Integrales triples sobre regiones mas generales.

Se repite el mismo proceso que en las integrales dobles. Se consideran los siguientes tiposde regiones:

Tipo I: a ≤ x ≤ b, f1(x) ≤ y ≤ f2(x), g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y) (paralelepıpedo conparedes frontal y posterior rectas).∫ ∫ ∫

W f(x, y, z)dxdydz =∫ ba (∫ f2(x)f1(x) (

∫ g2(x,y)g1(x,y) f(x, y, z)dz)dy)dx.

Las regiones del tipo II son aquellas en las que c ≤ y ≤ d, (paralelepıpedos conparedes izquierda y derecha planas).

Las regiones del tipo III son aquellas en las que e ≤ z ≤ f, (paralelepıpedos confondo y tapa planas).

Sus integrales triples se resuelven de manera analoga.

Las regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente comoregiones de los tipos I, II o III.

• Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1 y W es una region acotada de IR3, entonces:∫ ∫ ∫W dxdydz = vol(W )


4.6 Cambio de variables en integrales dobles.

Una de las tecnicas mas usuales en el calculo de integrales es el cambio de variables, cuyoobjetivo es transformar la integral a calcular en otra ”mas sencilla”.

Esta tecnica ya fue estudiada para funciones de una variable, y el objetivo de esteepıgrafe es hacerlo para funciones de dos variables.

En el calculo de una variable, cuando tenıamos una integral definida∫ ba f(x)dx , al

hacer un cambio de variables x = g(t), quedaban afectados el integrando, el intervalo deintegracion y el dx.

El nuevo integrando serıa f(g(t)) (hay que exigir que Im(g) ⊂ D(f)).

Para calcular el nuevo intervalo de integracion necesitamos exigir que g poseea funcioninversa.

Si x = g(t) ⇒ t = g−1(x) luego si x ∈ [a, b] ⇒ t ∈ g−1([a, b]). Sea [t0, t1] =g−1([a, b]) el nuevo intervalo de integracion. Para que g posea funcion inversa basta exigirque g sea continua e inyectiva.

Ademas como dx = g′(t)dt entonces g debe ser derivable.

Veamos que sucede en una integral doble.

Dada∫ ∫

D f(x, y)dxdy , queremos hacer el cambio de variables: (x, y) = T (u, v)

T : D∗ ⊂ IR2 −→ D ⊂ IR2 .

En el integrando no hay problemas, el nuevo integrando sera f ◦ T (u, v) .

La nueva region D∗ debe cumplir que D = T (D∗) ⇒ D∗ = T−1(D) ⇒ T debeser inyectiva.

¿ Que ocurre con dxdy?

∫ ∫D f(x, y)dxdy = lim

n,m→∞

n−1∑i=0

m−1∑j=0

f(cij)∆x∆y.

dxdy proviene de tomar lımite en ∆x∆y , area del rectangulo. dxdy representa elarea del rectangulo infinitesimal y se le denomina elemento de area.

Nos preguntamos: ¿ En que se transforma un elemento de area mediante la transfor-macion T?


Sabemos que T ((u0, v0) + (∆u, ∆v)) ∼= T (u0, v0) + DT (u0, v0) ·(

∆u∆v

)=

= T (u0, v0) +

∂T1

∂u(u0, v0)

∂T1

∂v(u0, v0)

∂T2

∂u(u0, v0)

∂T2

∂v(u0, v0)

(

∆u∆v

)= (x0, y0) + (~Tu∆u + ~Tv∆v).

Sabemos que el area de un paralelogramo en IR3 cuyos lados son los vectores~a y ~b es ‖~a ∧~b‖.

Un paralelogramo en IR2 cuyos lados sean (a, b), (c, d) se pueden considerar comovectores de IR3 (a, b, 0), (c, d, 0) con lo que el area sera ‖(a, b, 0) ∧ (c, d, 0)‖ = |ad− bc|(donde | · | representa el valor absoluto).

Luego A(R) = ∆u∆v ⇒ Area(T (R)) ∼= (Area del paralelogramo cuyos lados son

~Tu∆u, ~Tv∆v) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂T1

∂u∆u

∂T1

∂v∆v

∂T2

∂u∆u

∂T2

∂v∆v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂T1

∂u

∂T1

∂v

∂T2

∂u

∂T2

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∆u∆v

con valor absoluto =

∣∣∣∣∣ ∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣∣∆u∆v.

Teorema 4.2 (Teorema del cambio de variable para integrales dobles)

Sean D y D∗ regiones elementales de IR2. Sea T : D∗ −→ D una funcion de claseC1 e inyectiva. Entonces, para cualquier funcion f : D −→ IR integrable

∫ ∫D

f(x, y)dxdy =∫ ∫

D∗f(T (u, v)) ·

∣∣∣∣∣ ∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣∣ dudv

Nota A veces, como ocurre en el caso de cambio a coordenadas polares, el cambiono es inyectivo en todo el dominio. El teorema tambien se verifica en situaciones de estetipo, siempre que el conjunto de puntos donde no se verifique sea la frontera del dominio,o un subconjunto de ella.

4.7 Cambio de variables en integrales triples.

Es parecido al cambio de variables en integrales dobles.


∫ ∫ ∫W f(x, y, z)dxdydz y sea T : IR3 −→ IR3 (x, y, z) = T (u, v, w).

A dxdydz se le llama elemento de volumen. Representa el volumen de un para-lelepıpedo infinitesimal dxdydz = dV .

Sabemos que el volumen de un paralelepıpedo en IR3 cuyos vectores son ~a =(a1, a2, a3), ~b = (b1, b2, b3) y ~c = (c1, c2, c3) se obtiene por el producto mixto.

V = ~a · (~b ∧ ~c) =

∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣∣ en valor absoluto.

Por consideraciones analogas a las que hicimos para integrales dobles, el elemento devolumen dV = dxdydz , resultado de transformar mediante T el elemento de volumendudvdw es:

dxdydz =

∣∣∣∣∣ ∂(x, y, z)

∂(u, v, w)

∣∣∣∣∣ dudvdw

Podemos, pues, enunciar el siguiente resultado:

Teorema 4.3 (Teorema del cambio de variable para integrales triples)

Sean W y W ∗ regiones elementales de IR3. Sea T : W ∗ −→ W una funcion de claseC1 e inyectiva (salvo, quizas, en la frontera ∂W ∗). Entonces, para cualquier funcionf : W −→ IR integrable

∫ ∫ ∫W

f(x, y, z)dxdydz =∫ ∫ ∫

W ∗f(T (u, v, w)) ·

∣∣∣∣∣ ∂(x, y, z)

∂(u, v, w)

∣∣∣∣∣ dudvdw

Ejercicio Calcular los elementos de volumen que resultan al aplicar el cambio acoordenadas cilındricas y a coordenadas esfericas.

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