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Primitiva o antiderivada de una funcin

La funcin G(x) es una primitiva o antiderivada de la funcin f(x) en unintervalo I, si G'(x) = f(x) para todoxdel intervalo I.

Observacin:

De la definicin se ve que G no es nica.

Para que G(x) exista, la funcin G(x) debe ser continua.


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Interal indefinida

Si G(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo I, todas las primitivas de f(x) sonde la forma G(x) + C, donde C es una constante arbitraria ue puede sercualuier n!mero real.


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El conjunto de todas las antiderivadas sedenomina: laIntegral Indefinidade f

respecto a x, denotada por:

+= CxFdxxf )()(!"#bolo deInteral

$uncininterando

Diferencial de x

%na antiderivada de f

&onstante deinteracin


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'as ri#itivas se diferencian en una constante

"nte#rando$erivando


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Proiedades de la interal indefinida


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Interales in#ediatas

Integrales inmediatas:una tabla de derivadas le%da al rev&s proporcionaprimitivas e inte#rales indefinidas.


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Interales in#ediatas ara funciones co#uestas

xrdx =

xr+1

r + 1+ C, para cualquier constante r 1

f '(x) [f(x)]

r

dx =

[f(x)]r+1

r + 1 + C para r -1Tipo general

cos x sen!x dx =

"#e$plo%


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ipo #eneral

emplo*

dx

xf

xf

)(

)('= ln &f(x)& + C

tg !x dx = 1

! ! sen !x

cos !xdx =

1

!ln &cos !x & + C


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Tipo general

"#e$plo%

f '(x) af(x)dx = af(x)

ln a+ C, para a

xex!dx = 1

!!xex!dx = 1

!ex! + C


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Tipo general

"#e$plo%

f '(x) sen f(x)dx = cos f(x) + C

e!xsen (e!x+ ) dx = 1

!! e!xsen (e!x+ ) dx = 1

!cos (e!x+ ) + C


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Tipo general

"#e$plo%

f '(x) cos f(x)dx = sen f(x) + C

e*xcos (e*x+ ) dx = 1*

*e*xcos (e*x+ ) dx = 1*sen (e*x+ ) + C


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Tipo

general

"#e$plo%

e!x1 ex

dx = e!x1 (e!x)

dx = 1!

!e!x1 (e!x)

dx = 1!

arcsen e!x+ C


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Tipo

general

11 + xdx =

"#e$plo%

11 + ( x)dx = 1 1 + ( x)dx =


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Interacin or artes

Consejos . Llamar ga una funcin de la ue sea cmodo obtener g.

. Si es cmodo obtener g sea cual fuere la eleccin ue -a#amos parag, llamar entonces ga auella ue -a#a ue f # se m/s cmodaue f # .


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Interacin or artes: *e#los

= xex [xexexdx ] = ex(x x + ) + C

xexdx = xex

exx dx = xex

x ex dx =

u = xdu = x dx

d = ex dx = exu = x du = dx

d = ex dx = ex

u = sen (. x) du = cos(. x) (1/x) dxd = dx = x

= x sen(ln x) x cos(ln x) sen(ln x) . dx

0espe#ando la integral uscada queda%

u = cos (. x) du = sen(. x) (1/x) dxd = dx = x

x sen (ln x) cos (ln x) . dx =

sen(ln x) . dx =

sen(ln x) dx =

1

x [sen(ln x) cos(ln x)] + C


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Interacin or sustitucin o ca#bio de variable


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Interacin or sustitucin: *e#los I

1

x ln xdx

Ca$io ln x = u dx / x = du

des2acer el ca$io

= ln & ln x & + C

0ara calcular una inte#ral por cambio de variable*

1 2uscar una transformacin u = #(x) ue redu3ca su c/lculo al de una inte#ralinmediata.

1 Cuando se reali3a el cambio debe transformarse tambi&n la diferencialmediante.

du = #'(x) dx

1 $espu&s de calcular la inte#ral inmediata debe des-acerse el cambioponiendo #(x) de nuevo en lu#ar de u para obtener el resultado final.


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Interacin or sustitucin: *e#los II

des2acer el ca$io

x! x3+ dx =

Ca$io x3+ = u 3x! dx = du x! dx = du/3

sen!x .cos x dx =1

t!.dt =

Ca$io sen x = t cos x dx = dt cos x dx =dt/

=1

4sen3x + C

1

t3

3+ C

des2acer el ca$io


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Interacin de funciones racionales

5retende$os otener

5(x)

6(x)dx en donde 5(x) 7 6(x) son polino$ios tales que

grad[5(x)] = $ 7 grad[6(x)] = n

Caso 1% $ n 8ere$os que este caso se puede conertir al Caso

5(x) 6(x)

C(x)9(x)

con grad[9(x)] : grad[6(x)]

5(x) = C(x) . 6(x) + 9(x)

5(x)

6(x)= C(x) +

9(x)

6(x)

5or tanto%

5(x)

6(x)dx =

C(x) dx +

9(x)

6(x)dx

"n donde la pri$era

integral es in$ediata 7 lasegunda corresponde alCaso

Caso % $ : n "ntonces la integral se 2ace por desco$posici;n en fracciones si$ples

Co$o $ n, es posile la diisi;n entera entre 5(x) 7 6(x)


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Desco#osicin en fracciones si#les I

1 Supon#amos ue es posible factori3ar el polinomio 4(x). llo euivale a resolver laecuacin 4(x) = 5.

1 Supon#amos ue la ecuacin 4(x) = 5 tiene*

1 Soluciones reales sencillas(por eemplo x).1 Soluciones reales mltiples(por eemplo xcon orden de multiplicidad ).1 Soluciones complejas sencillas(por eemplo tiene dos soluciones, ue

son necesariamente conu#adas).1 l caso soluciones compleas m!ltiples no se estudia.

0or e. Si tiene una ra%3 simple una doble 6 dos compleas conu#adas, entonces dic-opolinomio se factori3a de la si#uiente manera*4(x) = ao(x 7 x) .(x 7 x).(x+ bx + c)

tal ue aoes el coeficiente del t&rmino de ma6or #rado.

5(x)

6(x)dx =

1

ao

5(x)

(x x1).(x x

).(x + x + c)

dx =

Paso 1.8actori3acin del polinomio 4(x)


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Desco#osicin en fracciones si#les


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Desco#osicin en fracciones si#les: e*e#lo

0esco$poner en fracciones si$ples%x+ x + 1

x x3 x + 1

Paso 1.8actori3acin del polinomio denominador

0or ;uffini obtenemos* x97 x(x 1)

+ Cx 1

+ ?x + @x+ 1

Paso 3.C/lculo de los coeficientes indeterminados

x + x + 1= (x1)(x+1) + >(x+1)(x+1) + C(x1)(x+1)(x+1) + (?x+@) (x+1)(x1)

x=1 >=!/3x=1 =1/4x= C + @ = 1/4x= C+?+@ = 1!/4x= C+?!@ = !/4

A de aquB% = 1/4 > = !/3 @ = 1/3 C = !/4 ? = 1/3


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Interales racionales con deno#inador de rado +

"studio de la integral ?x + @

ax+ x + cdx Sea $ el discriminante del

denominador* $ = b7 5Paso 1:se busca la derivada del denominador en el numerador.Paso 2:como consecuencia se puede descomponer la inte#ral en suma de otras

dos* la primera es inmediata (neperiano) 6 la se#unda es tipo arco tan#ente.> = 5 (Clculo de la integral tipo arco tangente!.

Paso3:se convierte el denominador en un n!mero (?) m/s un binomio al cuadrado(cosa ue es posible por ser $ 5). Si previamente se multiplica por


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Interacin de funciones triono#tricas:fr#ulas


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Interacin de funciones triono#tricas: #todos


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Interacin de funciones triono#tricas: #todos II


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Interacin de funciones triono#tricas: e*e#los I

=71

!cos !x -

Dcos

!!x +

1

1cos

!x+C

ipo ". xponente impar

=1

3x +

1

3

1 + cos3x

!

dx

!

3sen

x

! =

!x

4

!

3sen

x

! +

!

!sen

3x

! + C

ipo ". xponente par

sen!xdx =

(sen

!x)sen !xdx =(1cos

!x)sen !xdx =

sen3

x

!dx = 1

3

1 + cos

x

! cos

x

! dx =

sen

x

!

dx =

1 cos

x

!

dx =

= 13

1dx + 13

cos x! dx 13cosx! dx =


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Interacin de funciones triono#tricas: e*e#losII

ipo "". @l menos un exponente impar

cos3xsen!xdx =

cos3x senx sen x dx =

cos3x (1 cosx)sen xdx =

=cos3xsen xdx

cosxsen xdx =

= 1

cos x +

1

!cos* x + C

=1

4

1 cos 1x

dx

1

34sen!x

!=

= 14

senx dx 14

senx -cos x-dx =

=x

1

1

133sen! x

1

1Dsen 1x + C

ipo "". odos los exponentes pares

sen3!x cos!xdx =

(sen!x)cos!xdx =

1 cos x

1 + cos x

dx =

=1

4

(1 cos x)(1 cosx) dx =

( 1 cos x) ( 1 cos x) ( 1 + cos x)

( 1 cos x) ( 1 cosx)

senx


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Interacin de funciones triono#tricas: e*e#los III

ipo """* 0roducto de funciones con distinto ar#umento

sen !xcos xdx =

1

sen 4x dx +

1

sen( x) dx =

= 1

1cos 4x +

1

3cos( x) + C ==

1

1cos 4x +

1

3cos x + C

0ara resolverlas -a6 ue utili3ar las frmulas de trasformacin de sumasen productos


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&-lculo de -reas

1 n multitud de problemas ue se presentan en Ciencia 6 ecnolo#%a es precisocalcular el /rea encerrada por varias curvas.

1 ste problema pasa por encontrar el /rea limitada por una curva 6 = f(x), el ee AB 6las abcisasx= a,x = b.

Erea (Trapecio rectilBneo) =

=f(a) + f()

2.( a)

Erea (Trapecio curilBneo)

f(a) + f()

2.( a) "rror

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