calculus ii notes

7/23/2019 Calculus II Notes

http://slidepdf.com/reader/full/calculus-ii-notes 1/55

Oversigt [S] 11.6

Nøgleord og begreber

Retningsafledt

Gradientvektor

Gradient i flere variable

Fortolkning af gradientvektoren

August 2002, opgave 5

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 1

http://prevpage/



Delvis afledt [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .

Definition - gentaget

De partielle afledede af f (x, y) i punktet (x0, y0) er

f x(x0, y0) = limh→0

f (x0 + h, y0) − f (x0, y0)

h

f y(x0, y0) = limh→0

f (x0, y0 + h) − f (x0, y0)

h

1

når grænseværdierne eksisterer.

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 2

http://nextpage/

http://prevpage/




Eksempel

De partielle afledede af f (x, y) = sin(xy) i punktet (x, y)beregnes ved 1 variabel differentiation

f x(x, y) = y cos(xy)f y(x, y) = x cos(xy)

Højere afledede

f xx(x, y) = −y2 sin(xy)

f xy(x, y) = cos(xy) − xy sin(xy)

f yx(x, y) = f xy(x, y)

f yy(x, y) = −x2 sin(xy)

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 3




Eksempel - figur

x y

z

z = sin xy

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 4



Retningsafledt [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .

2 Definition

Den retningsafledede af f (x, y) i punktet (x0, y0) i retning af en

enhedsvektor u = (a, b) er

Duf (x0, y0) = limh→0

f (x0 + ah, y0 + bh) − f (x0, y0)h

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 5




2 Definition

Den retningsafledede af f (x, y) i punktet (x0, y0) i retning af en

enhedsvektor u = (a, b) er

Duf (x0, y0) = limh→0

f (x0 + ah, y0 + bh) − f (x0, y0)h

Bemærkning

Den partielle afledede af f (x, y) med hensyn til x er denretningsafledede i retning e1 = (1, 0) og den partielle afledede af

f (x, y) med hensyn til y er den retningsafledede i retning

e2 = (0, 1)

.

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 5




2 Definition - figur

x

y

1

1

hu = (x0 + ha, y0 + hb)

u = (a, b)

(x0, y0)

0

1

−1

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 6



Retningsafledt direkte [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .

Eksempel

Den retningsafledede af funktionen f (x, y) = x2 + y i punktet

(1, 1) i retningen u = ( 35

, 45

) beregnes direkte

Duf (1, 1) = limh→0

f (1 + 3

5 h, 1 + 4

5 h) − f (1, 1)h

= limh→0

(1 + 35

h)2 + 1 + 45

h − 2

h= lim

h→0

9

25h +

6

5 +

4

5= 2

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 7




Eksempel - figur

ux

y

z

1 1

z = x2 + y, D(3/5,4/5)z (1, 1) = 2

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 8



Retningsafledt, grafisk [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .

Grafisk bestemmelse

x

y

1

−2

0

2

4

2

3

2

1

0

f (x,y)=1

Niveaukurver og retning u = ( 1√ 2

,− 1√ 2

). x0 = (2, 2) og

g(h) = z = f (x0 + hu). Aflæs støttepunkter:

h −1.7 −0.7 0.0 0.8 1.4 2.0

g(h) 1 0 0.9 2 3 2

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 9




Grafisk bestemmelse - fortsat

Støttepunkter

h −1.7 −0.7 0.0 0.8 1.4 2.0

g(h) 1 0 0.9 2 3 2

giver grafen

h

z

1

Heraf f.eks.

Duf (x0) = g′(0) ≈ 0.5(0.9/0.7 + 1.1/0.8) ≈ 1.33

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 10



Retningsafledt, formel [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .

3 Sætning

For en differentiabel funktion f (x, y) er den retningsafledede

punktet (x, y) i retning af en enhedsvektor u = (a, b) givet ved

Duf (x, y) = f x(x, y)a + f y(x, y)b

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 11



Retningsafledt, formel [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .

3 Sætning

For en differentiabel funktion f (x, y) er den retningsafledede

punktet (x, y) i retning af en enhedsvektor u = (a, b) givet ved

Duf (x, y) = f x(x, y)a + f y(x, y)b

BevisFunktionen g(h) = f (x0 + ha, y0 + hb) har afledt

g′(0) = limh→0

f (x0 + ah, y0 + bh) − f (x0, y0)

h = Duf (x0, y0)

Konklusion fra kæderegleng′(0) = f x(x0, y0)a + f y(x0, y0)b

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 11



Retningsafledt udregnet [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .

Eksempel - gentaget

Funktionen f (x, y) = x2 + y har partielle afledede

f x(x, y) = 2x, f y(x, y) = 1

Den retningsafledede i punktet (1, 1) i retningen u = ( 35

, 45

)beregnes

Duf (1, 1) = f x(1, 1) 35 + f y(1, 1) 45

= 2 · 35

+ 1 · 45

= 2

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 12



Retningsafledt og vinkel [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .

Bemærkning

Hvis enhedsvektoren u danner en vinkel på θ med x-aksen, så eru = (cos θ, sin θ)

og den retningsafledede kan skrives

6 Duf (x, y) = f x(x, y)cos θ + f y(x, y)sin θ

x

y

1

u

(cos θ,sin θ)

θ

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 13




Eksempel 2

Den retningsafledede af

f (x, y) = x3 − 3xy + 4y2

i punktet (x, y) i retning π6 er

Duf (x, y) = f x(x, y)cos π

6

+ f y(x, y)sin π

6= (3x2 − 3y)

√ 32

+ (−3x + 8y)1

2

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 14




Eksempel 2

Den retningsafledede af

f (x, y) = x3 − 3xy + 4y2

i punktet (x, y) i retning π6 er

Duf (x, y) = f x(x, y)cos π

6 + f y(x, y)sin

π

6

= (3x2 − 3y)√ 3

2 + (−3x + 8y)

1

2

Specielt er

Duf (1, 2) = −3

√ 3

2 +

13

2

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 14




Eksempel 2 - figur

u

(1,2,0)

π/6

xy

z

1

1

Retning π/6

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 15



Retningsafledt, prikprodukt [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .

Bemærkning

Den retningsafledede af f (x, y) i punktet (x, y) i retning af enenhedsvektor u = (a, b) kan ved brug af prikproduktet skrives

Duf (x, y) = f x(x, y)a + f y(x, y)b7= (f x(x, y), f y(x, y)) · (a, b)

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 16



Gradient [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .

8 Definition

For en funktion f (x, y) er gradienten følgende vektor

∇f (x, y) = (f x(x, y), f y(x, y))

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 17

G di [S] 11 6 Di i l d i i d h




8 Definition

For en funktion f (x, y) er gradienten følgende vektor

∇f (x, y) = (f x(x, y), f y(x, y))

BemærkningVed brug af standard enhedsvektorerne e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)skrives gradienten

∇f (x, y) = f x(x, y)e1 + f y(x, y)e2

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 17

G di t [S] 11 6 Di ti l d i ti d th




Eksempel 3

Gradienten af f (x, y) = sin x + exy

i punktet (x, y) er

∇f (x, y) = (cos x + yexy, xexy)

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 18

Gradient [S] 11 6 Directional derivatives and the




Eksempel 3

Gradienten af f (x, y) = sin x + exy

i punktet (x, y) er

∇f (x, y) = (cos x + yexy, xexy)

I punktet (x, y) = (0, 1) fås

∇f (0, 1) = (cos 0 + 1 · e0, 0 · e0)

= (2, 0)

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 18

Gradient og retningsafledt [S] 11 6 Directional derivatives



Gradient og retningsafledt [S] 11.6 Directional derivatives . . .

Sætning

For en differentiabel funktion f (x, y) er den retningsafledede punktet (x, y) i retning af en enhedsvektor u = (a, b) givet ved

Duf (x, y) = ∇f (x, y) ·u

9

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 19

Gradient og retningsafledt [S] 11 6 Directional derivatives



Gradient og retningsafledt [S] 11.6 Directional derivatives . . .

Sætning

For en differentiabel funktion f (x, y) er den retningsafledede punktet (x, y) i retning af en enhedsvektor u = (a, b) givet ved

Du

f (x, y) = ∇f (x, y) ·u

9

BevisNetop formlen 7 .

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 19

Retningsafledt og gradient [S] 11 6 Directional derivatives and the



Retningsafledt og gradient [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .

Eksempel - gentaget

Funktionen f (x, y) = x2 + y har gradient

∇f (x, y) = (2x, 1)

Den retningsafledede i punktet (1, 1) i retningen u = ( 35 , 4

5 )beregnes

Duf (1, 1) = ∇f (1, 1) · (3

5 , 4

5)

= (2, 1) · (3

5, 4

5)

= 2

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 20

Gradient [S] 11 6 Directional derivatives and the




Eksempel - figur

x

y

1

u

(1,1)

∇f (1,1)

∇f (1, 1) = (2, 1), u = ( 35 , 4

5)

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 21

Retningsafledt [S] 11 6 Directional derivatives and the




Eksempel 4

Gradienten af f (x, y) = x2y3 − 4y er

∇f (x, y) = (2xy3, 3x2y2 − 4)

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 22





Eksempel 4

Gradienten af f (x, y) = x2y3 − 4y er

∇f (x, y) = (2xy3, 3x2y2 − 4)

For den retningsafledede i retning (2, 5) bruges enhedsvektoren

u = 1

√ 29

(2, 5)

Duf (x, y) = (2xy3, 3x2y2

−4)

·

1

√ 29

(2, 5)

= 1√

29(4xy3 + 15x2y2 − 20)

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 22





Eksempel 4 - fortsat

I retning u = 1√ 29 (2, 5) er

Duf (x, y) = (2xy3, 3x2y2

−4)

·

1

√ 29

(2, 5)

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 23




g [ ]


I retning u = 1√ 29 (2, 5) er

Duf (x, y) = (2xy3, 3x2y2

−4)

·

1

√ 29

(2, 5)

I punktet (x, y) = (2,−1) fås

Duf (2,−1) = (−4, 8) · 1√ 29

(2, 5)

= 32√

29

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 23

Mange variable [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .



g [ ]

Bemærkning

For en funktion f i n variable er den retningsafledede i et punktx0 ∈R

n i retning af en enhedsvektor u ∈ Rn

Duf (x0) = limh→0

f (x0 + hu)

−f (x0)

h11

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 24




g [ ]

Bemærkning

For en funktion f i n variable er den retningsafledede i et punktx0 ∈R

n i retning af en enhedsvektor u ∈ Rn

Duf (x0) = limh→0

f (x0 + hu)

−f (x0)

h11

Fra kædereglen følger

Duf (x0) =n

i=1

f xi(x0)ui12

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 24




Bemærkning - fortsat

For en funktion f i n variable er gradienten en vektor i Rn

∇f = ( ∂f

∂x1, . . . ,

∂f

∂xn)13

= (f x1, . . . , f xn)

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 25




Bemærkning - fortsat

For en funktion f i n variable er gradienten en vektor i Rn

∇f = ( ∂f

∂x1, . . . ,

∂f

∂xn)13

= (f x1, . . . , f xn)

For en enhedsvektor u ∈ Rn er den retningsafledede

Duf = ∇f · u14

=n

i=1

f xi ui

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 25

Retningsafledt, 3 variable [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .



Eksempel 5

Gradienten af f (x,y,z ) = x sin yz er

∇f = (sin yz,xz cos yz,xy cos yz )

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 26




Eksempel 5

Gradienten af f (x,y,z ) = x sin yz er

∇f = (sin yz,xz cos yz,xy cos yz )

For den retningsafledede i retning (1, 2,−1) brugesenhedsvektoren

u = 1√

6

(1, 2,−1)

Duf = (sin yz,xz cos yz,xy cos yz ) · 1√ 6

(1, 2,−1)

= 1√

6(sin yz + 2xz cos yz − xy cos yz )

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 26


http://nextpage/

http://prevpage/




I retning u = 1√ 6 (1, 2,−1) er

Duf = (sin yz,xz cos yz,xy cos yz )

·

1

√ 6(1, 2,

−1)

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 27





I retning u = 1√ 6 (1, 2,−1) er

Duf = (sin yz,xz cos yz,xy cos yz )

·

1

√ 6(1, 2,

−1)

I punktet (x,y,z ) = (1, 3, 0) fås

Duf (1, 3, 0) = (0, 0, 3) · 1√ 6

(1, 2,−1)

= − 3√ 6

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 27

Maksimal retningsafledt [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .



15 Sætning

Betragt en differentiabel funktion f (x) i mange variable. Denmaksimale vœrdi af den retningsafledede Duf (x) er lœngden

|∇f (x)| og denne antages, når u har samme retning som

gradienten ∇f (x).

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 28

Maksimal retningsafledt [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .



15 Sætning

Betragt en differentiabel funktion f (x) i mange variable. Denmaksimale vœrdi af den retningsafledede Duf (x) er lœngden

|∇f (x)| og denne antages, når u har samme retning som

gradienten ∇f (x).Bevis

Duf = ∇f · u = |∇f | cos θ

Da θ er vinklen mellem ∇f og u følger påstanden af egenskaberne for cos θ.

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 28

Størst variation [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .



Eksempel 6

Gradienten af f (x, y) = xey er

∇f (x, y) = (ey, xey)

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 29




Eksempel 6


∇f (x, y) = (ey, xey)

Den retningsafledede er størst i retning (1, x) med maksimalværdi

|∇f | = ey√

1 + x2

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 29




Eksempel 6


∇f (x, y) = (ey, xey)

Den retningsafledede er størst i retning (1, x) med maksimalværdi

|∇f | = ey√

1 + x2

I punktet (2, 0) er den retningsafledede er størst i retning (1, 2)med maksimal værdi

|∇f | =√

5

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 29

Gradient og niveaukurve [S] 11.6 Directional derivatives and the . . .



Bemærkning

Betragt et punkt (x0, y0) på niveaukurven f (x, y) = k. Entangentvektor v til niveaukurven i (x0, y0) er vinkelret paa

gradienten

∇f (x

0, y

0)⊥v

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 30




Bemærkning

Betragt et punkt (x0, y0) på niveaukurven f (x, y) = k. Entangentvektor v til niveaukurven i (x0, y0) er vinkelret paa

gradienten

∇f (x0, y0)

⊥v

Hvis gradienten ∇f (x0, y0) = 0, så er

∇f (x0, y0)

·(x

−x0, y

−y0) = 0

en ligning for tangenten til niveaukurven.

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 30




Bemærkning - figur

x

y

tangent:∇f (x0,y0)·(x−x0,y−y0)=0

∇f (x0,y0)

f (x,y)=k

(x0,y0)

Vinkelret på niveaukurverne vokser og aftager funktionen

hurtigst.

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 31




Eksempel 6 - figur

x

y

0 1

1

Tangenter til niveaukurver for z = xey.

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 32




Eksempel 6 - figur

x

y

0 1

1

Skalerede gradienter 0.1∇z for z = xey.

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 33

Opgave Matematik Alfa 1, August 2002



Opgave 5

Betragt funktionen f (x, y) = y2

+ ln(x3

+ y + 1).1. Angiv gradientvektoren ∇f (0, 2).

2. Angiv den retningsafledede af f i punktet P = (0, 2) i retning

givet ved enhedsvektoren (3/5, 4/5).

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 34




Opgave 5

Betragt funktionen f (x, y) = y2

+ ln(x3

+ y + 1).1. Angiv gradientvektoren ∇f (0, 2).

2. Angiv den retningsafledede af f i punktet P = (0, 2) i retning

givet ved enhedsvektoren (3/5, 4/5).

Løsning

1. Gradienten beregnes

f x = 3x2/(x3 + y + 1)

f y = 2y + 1/(x3 + y + 1)

∇f (0, 2) = (f x(0, 2), f y(0, 2)) = (0, 13/3)

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 34


O 5 f



Opgave 5 - fortsat

x

y

1

u

(0,2)

∇f (0,2)

2. I retning u = (3/5, 4/5) er denretningsafledede

Du

f (0, 2) = ∇f (0, 2) ·u

= (0, 13/3) · (3/5, 4/5)

= 52/15

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 35


O 5 Ek t



Opgave 5 - Ekstra

x

y

1

x3+y+1>0

Definitionsområdet.

xy

z

z=y2+ln(x3+y+1)

Grafen

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 36


O 5 fi



Opgave 5 - figur

x

y

0 1

1

Tangenter til niveaukurver for z = y2 + ln(x3 + y + 1).

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 37


Opgave 5 figur



Opgave 5 - figur

x

y

0 1

1

Skalerede gradienter 0.1∇z for z = y2 + ln(x3 + y + 1).

Calculus 2 - 2006 Uge 46.2 - 38

calculus ii notes

Documents