水理学Ⅱ及び同演習 第6回 管路の流れ②(管路流れの計算)

目標：単線管路における流量・エネルギー線 の計算を行う ・急拡や曲がり等が連結した管路の形状損失と摩擦損失 を考慮した管路内の流速計算 ・エネルギー線と動水勾配線の計算

流量・エネルギー線の計算 A

B

AH

BH

C D

E

F G 1V 2V

H11l

12l

13l2l

111 ,, flD

222 ,, flD

異径管からなる単線管路

図中の記号説明 H:両貯水槽(A,B)の基準線からの水位や両貯水槽の水位差 l:各円管(11,12,13,2)の長さ D:各円管(1,2)の直径，V:各円管(1,2)の流速 f:各円管(1,2)の摩擦損失係数 地点記号(A,B,C,D,E,F,G)：入口・出口・曲がり・断面の急変箇所

(a) 流量 両水槽(A,B)間のベルヌーイの定理

頭の和）（管路における損失水=

+−

+

gvH

gvH B

BA

A 22

22

貯水槽のため流速は0 (ゼロ) HHH BA =−

gv

Dlf

gv

DlfH ovscbe 22

222

2

22

21

1

11

+ζ+ζ+ζ+

+ζ+ζ=∴

損失水頭の和は水位差のみ

入口 曲がり (2箇所)

摩擦 急縮 バルブ 出口 摩擦

連続式

2221

21 44

vDvDQ π=

π=

2

2

1

21 v

DDv

=

+ζ+ζ+ζ+

+ζ+ζ

=

2

22

4

1

2

1

11

2

2

2

Dlf

DD

Dlf

gHv

ovscbe

3/1

25.124D

nf =fはManningの粗度係数nより求める

(a) 流量(自由放流管) A

B

AH

Bz

C D

E

F 1V

2V

H

11l

12l

13l2l

111 ,, flD

222 ,, flD B地点で 速度あり

gv

Dlf

gv

Dlf

gvH

gvzH vscbeBA 22

222

22

2

22

21

1

11

22

22

+ζ+ζ+

+ζ+ζ=

α−=

α+−

ベルヌーイの定理

この項を右辺に移すと前スライドの式と等しくなる 従って，流量も等しくなる

(a)流量(定断面管路)

Dlf

gHvovbe 1

2

+ζ+ζ+ζ+ζ=

∑

定断面管路の場合は単に，

A

B

AH

BH

C D

E

F

V

H1l

2l3l

flD ,,

vDQ 2

4π

=

流量

(b)エネルギー線，動水勾配線の計算

急縮部Fの直後F+では，

gv

gv

Dlf

wpz

gvH scbe

FA 22

22

22

21

1

11

22 ζ+

+ζ+ζ=

++−

+

F+におけるエネルギー

急縮部Fの直前F-では，

gv

wpz

gv

wpz

gv

scFF 222

22

22

22 ζ−

++=

++

−+

エネルギー

++

wpz

gv2

2動水勾配

+ z

wp

wp

圧力水頭

この考え方で， の順に計算を行う

例題4.3(自由放流管の条件)

mzzm,zzzmH BFEDCA 35 ,8 ======与えられた諸条件

mlFGmlEFmlDEmlCD 8,10,2 ,5 2131211 ======== 15 ,30 21 cmDcmD ==

各地点の高さ

各管の長さ

各管の直径

管の入口は隅切り，曲がりは2箇所で中心角90度，曲がりの曲率半径ρ=0.9m， 弁は全開放，管は新しい鋳鉄管でn=0.013

例題4.3(流量の計算)

( )m/s21.5

2

2

2

22

4

1

2

1

11

2 =

+ζ+ζ+ζ+

+ζ+ζ

=

Dlf

DD

Dlf

gHv

ovscbe

式(9.30)よりv2を求める

00396

0314.05.124

3/1

2

112

3/11

2

1

=

=

==

DDff

Dnf

摩擦損失係数f1, f2

形状係数

( )3.4)(0

25.0/2.4)(36.0

)(1.00.11.07.425.0

221

21

表全開放

に対応する値の表急縮

曲がり

の隅切り図（入口）

←=ζ

=←=ζ

=×=ζ×ζ=ζ

←=ζ

v

sc

bbb

e

DD

流量を計算

(m/s)30.12

1

221 =

=

DDvv

v1を求める

(m/s)0920.04 2

22 =

π= vDQ

例題4.3 (エネルギー線・動水勾配線・圧力水頭の計算)

(m)385.18.92

21.52

(m),086.08.92

3.12

222

221 =

×==

×=

gv

gv

36.0,1.0,25.0 =ζ=ζ=ζ scbe 00396,0314.0 21 == ff

15 ,30 21 cmDcmD ==

mlmlmlml 8,10,2 ,5 2131211 ====

086.025.0 ×

022.08−

086.0978.7 −

5892.7 −

086.03.0/50314.0 ××

045.0978.7 −

086.0933.7 −

086.0933.7 −

例題4.4(排水時間の計算)1

1H2H

Hm5.0

dH−

直径50cm，水深2mの水槽(タンク)から 直径D=2cm，長さl=3mの塩ビ管で弁を開放して排水 水深が1m下がるのに必要な時間を求める

水槽の断面積をA，管の断面積をa 管の出口を原点として， 時刻tにおける水槽水面の高さをH

AdHQdt −=×

Qdt

dHA =−

dt時間の排水量 =水槽内の水の減少量

形状係数と粗度係数 009.0),2(1.0,5.0 ==ζ=ζ nbe 箇所

流量(定断面管路の流速の式)

+ζ+ζ+

==

∑ Dlf

gHaavQbe1

2

出口

例題4.4(排水時間の計算)2

1H2H

Hm5.0

dH−

Qdt

dHA =−

KgHaavQ 2

==

形状係数及び粗度の条件

dHQAdtT

H

H∫∫ −== 2

1dH

QAdt −=

流量を代入

+ζ+ζ+≡ ∑ D

lfK be1

[ ] ( )2122

22

222

1

2

1

2

1

HHgaKAH

gaKA

HdH

gaKA

HdH

gaKAT

HH

H

H

H

H−=−=−=−= ∫∫

初期水深H1→H2に下がる時間をTとして積分

009.0),2(1.0,5.0 ==ζ=ζ nbe 箇所

0372.0/5.124 3/12 == Dnf

( ) 28.702.0/30372.01.025.01 =×+×++≡K

( ) 62502.05.0/ 2 =−=aA mHmH 5.1,5.2 21 ==

形状係数の合計，断面比，水位を代入

秒となる5.271=T

水槽と貯水池間の排水時間 時刻tにおける水槽の水位をHとして

AdHQdt −=連続式

ベルヌーイの定理

gv

DlfHHH e 2

12

2

++ζ=−=′

1H

2Hl水槽

貯水池

管の断面積 4

2Da π= 管を流れる流量

KHgDavQ′π

==2

4

2

1++ζ=DlfK e

水位差の変化 dtHKgD

Adt

AQdHHd

′π−=−==′

24

1 2( ) HdH

DgKAdt ′′π

−= − 2/122

4

H’について(H1-H2) からゼロまで積分

( )[ ] ( ) 2/1212

02/12 2

822

421

HHDgKAH

DgKAT HH −

π=′

π−= −排水時間

サイフォン1 サイフォンとは 管路の一部が動水勾配線の上にきて，その点のゲージ圧が負の値になる現象のこと

A C

B

動水勾配線 H

BH

AH

Cz

wpC−

1l

2l

基準線

高所を越える貯水槽AとBとの間で高低差を作り出すことで，動水勾配を増加させ他のエネルギーを加えること無く貯水槽Bに流体を運ぶことができる．しかし，最高点における圧力水頭が絶対圧力と相応する限界値－(8～8.5m)から下がると流れが遮断される ベルヌーイの定理を用いて最高点における圧力の限界値を求める式を導出する

サイフォン2 上下両水槽間と最高点の曲がり直後 (点C)にベルヌーイの定理を適用

++ζ+ζ+++=

+

++ζ+ζ+=

Dlf

gv

wpz

Dllf

gvHH

bec

c

beBA

12

211

2

112

12

+

++ζ+ζ=

Dllf

gHvbe

211

2管内流速

vDQ4

2π=

流量

点Cの圧力水頭

( ) H

Dllf

Dlf

zHwp

be

be

cAc

21

1

1

1

+++ζ+ζ

+ζ+ζ++−=

サイフォン作用が可能で流量Qが流れるためには， この式で求めた－pc/wの値が(8～8.5 ) mより 小さくなることを確かめることが必要となる