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Estadísticas

Con Comentarios

Roberto Behar Y Pere Grima

Tablas Estadísticas con Comentarios

Roberto Behar y Pere Grima [email protected]

Tablas Estadísticas

Con Comentarios

Roberto Behar - Pere Grima

1ª Edición Abril del 2002



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Estas “Tablas de Estadística con comentarios” han sido preparados por : Roberto Behar, ([email protected]) profesor de la Universidad del Valle en Cali, Colombia, Pere Grima ([email protected]), profesor de la Universitat Politécnica de Catalunya en Barcelona, España como material de apoyo para cursos introductorios de estadística. Versión 1.0. Abril de 2002



Índice ¿Para qué sirven las tablas? Distribuciones de probabilidad: Azar no significa ausencia de regularidad ........ 3 Prueba de significación para el coeficiente de correlación ................... 5

Estimación de una proporción en la población ........................... 6 ¿Cómo se han construido? ........................................... 7 Forma de las distribuciones .......................................... 10 Uso de las tablas a través de ejemplos ................................... 14 TABLAS Distribución binomial .............................................. 21Distribución de Poisson ............................................. 25Distribución Normal estandarizada ..................................... 27Distribución t de Student ............................................ 28Distribuciçon Chi-ciadrado .......................................... 29Distribuci´çon F de Snedecor ......................................... 30Valores críticos del coeficiente de correlación .............................. 35Tamaños de muestra para la estimación de proporciones ....................... 36



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¿Para que sirven las tablas? Distribuciones de probabilidad: Azar no significa ausencia de regularidad Muchas variables toman valores que no se pueden predecir con certeza, decimos que dependen del azar. Por ejemplo, no podemos saber el número de hijos varones de una familia de la que sólo sabemos que tiene un total de 5 hijos. Tampoco se puede predecir el número de coches que llegarán a una determinada gasolinera en los próximos 10 minutos. Los ejemplos anteriores corresponden a variables discretas, es decir, toman sólo valores concretos y no cualquier valor dentro de un intervalo como ocurre con las variables continuas. Un ejemplo de variable continua es el peso de un paquete de azúcar de 1 Kg. En principio parece que pesará 1 Kg. (¿no es eso lo que hemos dicho?) pero si usamos una báscula de precisión (bastará con que indique los gramos) veremos que no todos los paquetes pesan exactamente 1000 gramos, sino que presentan una cierta variabilidad y es imposible prever el peso exacto de un paquete concreto. Aunque no es posible predecir valores concretos, sí sabemos cual es el patrón de comportamiento que presenta cada una de estas variables. El número de hijos varones por familia sigue una distribución binomial, y la probabilidad de que la familia anterior tenga, por ejemplo, 2 hijas es del orden del 31 %. El número de coches que llegan a una gasolinera en un determinado periodo de tiempo sigue, bajo determinados supuestos, una distribución de Poisson, y si en promedio llega 1 coche por minuto, la probabilidad de que en los próximos 10 minutos lleguen más de 15 coches es del orden del 5%. La variabilidad que presenta el peso de los paquetes de azúcar, suponiendo que no ha habido ninguna causa de variación especial, sigue una distribución Normal y si el peso medio de los paquetes es de 1000 gr, y su desviación tipo (también llamada desviación estándar) es 3,3 gr, podemos afirmar que del orden del 3 por mil de los paquetes estarán fuera del intervalo 1000 ± 10 gr. Para calcular este tipo de probabilidades sirven algunas de las tablas que se incluyen a continuación. Hay que tener en cuenta que la asignación del comportamiento de una variable a un cierto tipo, (bautizarla con el nombre de “binomial”, “de Poisson”, ...) se hace suponiendo que se cumplen unas determinadas hipótesis. Por ejemplo, en el caso de los hijos varones, se ha supuesto que la probabilidad de que un hijo sea varón o hembra es del 50% y que el sexo de un hijo no da información sobre el sexo del siguiente, de forma que si estas suposiciones no fueran correctas los resultados de nuestros cálculos tampoco lo serían. Sobre la llegada de coches a la gasolinera se supone, entre otras cosas, que conocemos el promedio de llegadas por unidad de tiempo, y que en el periodo considerado se dan exactamente las mismas circunstancias que aquel para el cual se calculó la media. En el caso del peso de los paquetes de azúcar, los cálculos se han realizado con una estimación del valor medio del peso y también de su desviación tipo. Si los datos de partida son aproximaciones (“estimaciones”) de los valores verdaderos, los resultados obtenidos habrá que entenderlos también como aproximaciones, como “órdenes de magnitud”, y no tiene mucho sentido presentarlos con muchos decimales.



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También conviene poner de manifiesto que la distribución de probabilidad representa un modelo teórico para realizar cálculos, que es muy útil, pero no por eso hay que confundirlo con la realidad. Uno de los ejemplos más típicos de la distribución Normal es la distribución de las alturas de las personas, pero si pudiéramos medir la altura de los miles de millones de seres humanos adultos, y representarla en forma de histograma, su perfil no sería el de la típica campana que conocemos. En este, como en otros casos, se trata de un modelo teórico, muy útil para describir la realidad, pero que no hay que confundir con la realidad misma. Ejemplos de variables que parece razonable modelar con las distribuciones comentadas son:

Binomial Poisson Normal • Número de veces que sale

el 5 al lanzar 20 veces un dado.

• Número de piezas

defectuosas en un lote de 100, sabiendo que la máquina que las ha fabricado produce un 3% de defectos.

• Número de personas que

votan por un determinado partido en un conjunto de 50 tomadas al azar.

• Número de veces que

aparece la letra e en la página de un libro.

• Número de hogares que

tienen ordenador con conexión a internet, de un conjunto de 100 tomados al azar.

• Número de averías anuales

que tiene un ascensor. • Número de partículas

emitidas por una sustancia radioactiva por unidad de tiempo

• Número de accidentes de

tráfico en una determinada área geográfica durante el fin de semana.

• Número de llamadas que se

reciben en la centralita de una gran empresa durante 1 minuto.

• Número de pasas en una

ración de 100 gr de muesli.

• Altura de las personas adultas de un mismo sexo y origen racial

• Error experimental al medir

una determinada magnitud • Valor medio obtenido al

lanzar 20 veces un dado (aproximadamente)

• Peso de las naranjas de una

cierta variedad • Grosor de una moneda,

medido con un aparato de precisión.

Las otras distribuciones que aparecen en las tablas: t de Student, Chi cuadrado y F de Snedecor tienen un carácter más instrumental y describen la variabilidad que presentan variables que se utilizan en los procesos de inferencia. Así, la t de Student se utiliza para calcular probabilidades relaciones con distribuciones Normales, cuando el desconocimiento de la varianza poblacional impide utilizar la Normal estandarizada. La distribución de Chi cuadrado, se utiliza para explicar, entre otras cosas, la variabilidad que presenta la varianza muestral de muestras obtenidas de poblaciones Normales. La F de Snedecor describe la variabilidad que presenta el cociente de 2 varianzas muestrales obtenidas de poblaciones Normales independientes y con la misma varianza poblacional. Algo que dicho así parece sólo un capricho de alguien interesado en crear nuevas distribuciones, pero que en realidad resulta imprescindible cuando se aplican técnicas como el análisis de la varianza.



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Prueba de significación para el coeficiente de correlación El gráfico adjunto presenta la relación entre la pureza de un producto obtenido mediante una reacción química y la temperatura a que ha tenido lugar la reacción en 20 casos distintos. Deseamos saber si existe correlación entre temperatura y pureza. El coeficiente de correlación para nuestros datos vale 0,53. ¿Será posible que la pureza y la temperatura no tengan ninguna relación (ρ = 0) y que sólo por obra del azar haya resultado r = 0,53? o, en otras palabras, ¿está nuestro valor de r lo suficientemente alejado del cero como poder decir que hay relación?. Se puede contestar a la pregunta anterior siguiendo el siguiente proceso: 1. Generar 2 conjuntos de 20 números aleatorios cada uno y calcular el coeficiente de correlación

que existe entre ellos. El hecho de que no tengan ninguna relación no implica que el coeficiente de correlación deba ser igual a cero. Puede darnos, por ejemplo, 0,162.

2. Repetir la operación anterior un gran número de veces, guardando el valor del coeficiente de

correlación obtenido cada vez. La figura muestra el histograma de los valores obtenidos al repetir 10.000 veces este proceso (realizado con el programa Minitab y una sencilla macro).

3. Comparar nuestro coeficiente de correlación (el que

queremos saber si es suficientemente grande o no) con la distribución de los coeficientes obtenidos anteriormente. Si nuestro valor es normal en esa distribución, por ejemplo, si fuera 0,23, diríamos que no es significativamente distinto de cero (o, simplemente, que no es significativo), porque un valor como ese o mayor se da con mucha frecuencia sin existir ningún tipo de relación. Sin embargo, si fuera muy grande, 0,9, por ejemplo, diríamos que claramente sí es significativo, porque si no hubiera correlación un valor como el obtenido es prácticamente imposible de obtener.

En nuestro caso, comparando 0,53 con los 10.000 valores generados, comprobamos que un valor como el nuestro o mayor se presenta del orden del 0,8 % de las veces. Si sospechamos que nuestras variables pueden estar correlacionadas lo más razonable será considerar que efectivamente lo están, aunque corremos un cierto riesgo de equivocarnos, ya que si no existiera correlación, un valor como el obtenido no es imposible, sino que como ese o superior se da por azar el 0,8 % de las veces. Si estamos seguros de que en el caso de existir correlación esta será positiva, el porcentaje calculado es el nivel de significación de la prueba. Si la correlación puede ser tanto positiva como negativa, al porcentaje anterior le debemos sumar el de los casos en que se obtiene un valor menor de –0,53. Como la distribución es simétrica también será 0,8 %, y la suma de los 2, el 1,6%, será el nivel de significación en este caso.

1,00,50,0-0,5-1,0

300

200

100

0

Coeficiente de correlación

Freq

uenc

ia

0,8 %

118 119 120 121 12287

88

89

90

91

92

Temperatura

Pur

eza



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Las tablas evitan tener que realizar este proceso cada vez que se desea analizar la significación estadística de un coeficiente de correlación. No se han obtenido por simulación sino a partir de la deducción analítica de las distribuciones de r cuando ρ = 0 (“distribuciones” en plural, porque varían al variar el tamaño de las muestras). En las tablas figuran los valores de r que corresponden a los niveles de significación que se indican, y considerando que, en caso de existir, la correlación puede ser tanto positiva como negativa (prueba de 2 colas). Estimación de una proporción en la población En la estimación de proporciones a través de intervalos de confianza intervienen 3 ideas clave: • El nivel de confianza: Indica que si se calcularan muchos intervalos de la misma forma, cada

uno a partir de una muestra distinta, en un porcentaje de veces igual a ese nivel de confianza se incluirá el verdadero valor de la magnitud buscada. La tabla que se presenta es para un nivel de confianza del 95 %.

• La estimación puntual: Es la proporción en la muestra. • Margen de error: Es el valor que se suma y se resta a la estimación puntual para obtener el

intervalo de confianza Ejemplo: Intervalo de confianza del 95 % para el porcentaje de estudiantes de bachillerato que usan gafas: 23% ± 6% Un aspecto de importancia fundamental es que estos intervalos de confianza sólo son correctos si la muestra se ha elegido de forma aleatoria. En concreto, no son muestras aleatorias: • Las muestras autoseleccionadas. Por ejemplo, si tenemos interés en conocer el grado de

utilización de internet en 2000 empresas que reúnen unas ciertas características, le mandamos una carta a cada una de ellas y contestan 322, no podemos decir que un intervalo de confianza del 95 % presenta un margen de error del 5 %, como ocurriría si la muestra fuera aleatoria.

• Las muestras tomadas al azar, supongamos que tomadas al azar, pero de conjuntos que no

representan a la población. Ejemplo: Preguntar a los jóvenes que van a una discoteca si conocen al cantante X. Los jóvenes que van a esa discoteca no necesariamente son representativos del total de jóvenes de la ciudad, por ejemplo.

Es muy frecuente que, por ignorancia o ganas de confundir, se de a los resultados de una encuesta un aire de rigor matemático dando intervalos de confianza muy precisos, pero sin hacer ninguna alusión al rigor o la forma de obtener la muestra.

Estimación puntual

Margen de error

Nivel de confianza



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¿Cómo se han construido? Distribución binomial

Se ha utilizado Excel, y su función que da probabilidades acumuladas para la distribución binomial.

Para realizar los cálculo de forma fácil, los valores de n (columna A) deben estar todos. Los que no se ven es porque se ha definido el blanco como color de la fuente.

Distribución de Poisson

De forma análoga a la distribución binomial se ha utilizado Excel, pero en este caso se ha usado la función POISSON(x;media;acumulado). Para facilitar la posterior edición se han utilizado 3 hojas, una para cada parte de la tabla.

Distribución Normal

También se ha utilizado Excel, y su función que da probabilidades acumuladas para la distribución Normal

Distribución t de Student

Se ha utilizado Minitab y su función que da el valor de la variable correspondiente a un valor dado de la función de distribución. Ha sido necesario utilizar una macro para que los valores vayan quedando de la misma forma en que después se presenta la tabla.



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Se podría haber hecho con Excel, sin necesidad de macro, usando su función DISTR.T.INV

Distribución Chi cuadrado

También se han construido con Minitab, de forma análoga a la t de Student

Distribución F de Snedecor

Se ha utilizado Minitab, con macros para cada tabla (área de cola). También se podría haber usado la función de Excel: DISTR.F.INV(probabilidad;grados_de_libertad1;grados_de_libertad2)

Valores críticos del coeficiente de correlación

Partimos de que la expresión: 2r12nr

−− , en la que r es el coeficiente de correlación

muestral y n el tamaño de la muestra, sigue una distribución t de Student con n-2 grados de libertad si el coeficiente de correlación poblacional ρ = 0. Utilizando Minitab, mediante una macro se han determinado los valores de r que corresponden a los niveles de significación (valores p) que se indican.



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Tamaños de muestra para estimar proporciones con una confianza del 95 %

El intervalo de confianza 1-α para π (proporción en la población) viene dado por la fórmula (ver nota al final):

1npq

NnNzp 2/ −

−± α

Siendo: p: Proporción en la muestra zα/2: valor de z (N (0; 1)) que deja un área de cola de α/2 N: Tamaño de la población n: Tamaño de la muestra q: 1 – p Llamando E al margen de error, se tiene que:

1npq

NnNzE 2

2/2

−−

= α

Haciendo n – 1 = n (aproximación razonable si n es grande), se llega a:

pqzNEpqNz

n2

2/2

22/

α

α

+=

Con esta fórmula (donde tanto E como p y q son proporciones –no porcentajes-) se han calculado los valores de n para los valores de E y N que aparecen en la tabla. Para p y q se ha supuesto el valor 0,5 (el que produce un mayor tamaño de muestra) y el valor de zα/2, (en nuestro caso z0,025 por ser el intervalo del 95 %) es igual a 1,96

El valor de zα/2 se ha puesto como variable en la celda I4. De esta forma, cambiando este valor se cambia el nivel de confianza de los intervalos obtenidos. Nota: En el planteamiento de la expresión dada al principio para el intervalo de confianza, se han realizado unas hipótesis simplificadoras que restringen el uso de nuestras fórmulas a los casos en que np>5 y nq>5.

Desviación tipo de p

Margen de error

Estimación puntual



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Forma de las distribuciones Distribución binomial

n = 20p = 1/6

Esta distribución puede representar la probabilidad del número de veces que sale el 5 (o cualquier otro valor en concreto) al tirar 20 veces un dado.

20191817161514131211109876543210

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

P (X=x)

p = 1/6n = 20

n = 20p = 0,5

Si p = 0,5 la distribución es simétrica. Esta puede representar la probabilidad del número de caras que se obtienen al lanzar una moneda 20 veces.

20191817161514131211109876543210

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

P (X=x)

p = 0,5n = 20

n = 100p = 0,5

Similar al anterior pero con n =100. El perfil de esta distribución es muy similar a la distribución Normal. Cuando n es grande y p no excesivamente pequeño, es más cómodo calcular las probabilidades con la distribución Normal

1009080706050403020100

0,08

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0,00

X

p = 0,5n = 100

P ( X=x)



11

Distribución de Poisson

λ = 2

Puede representar la distribución de probabilidad del número de llamadas que llegan por minuto a una centralita, en unas condiciones en las que en promedio llegan 2 llamadas por minuto.

2520151050

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

λ = 2

λ = 4

2520151050

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

λ = 4

λ = 10

A media que aumenta el valor de λ, la distribución se hace más simétrica.

0 5 10 15 20 250,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

X

λ = 10



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Distribución Normal Típica forma de campana, cuya forma sólo depende de µ (valor en que está centrada) y σ (forma que presenta). La figura presenta los casos de la N(0;1) y la N(3; 2). Obsérvese como la campana “casi se acaba” (aunque no del todo) en los puntos µ±3σ.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,0

0,1

0,2

0,3

0,4

N(0; 1)

N(3; 2)

x

Distribución t de Student A medida que aumentan los grados de libertad se va pareciendo cada vez más a la N(0;1). A partir de 30 grados de libertad las distribuciones son bastante próximas.

t con 3 g.l. t con 10 g.l. N(0,1)

43210-1-2-3-4

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

t

Distribución Chi cuadrado A medida que aumentan los grados de libertad, el cero queda cada vez más alejado y la distribución se hace cada vez menos asimétrica.

Chi^2 con 4 g.l.

Chi^2 con 8 g.l.

Chi^2 con 16 g.l.

Chi 2̂ con 30 g.l.

6050403020100

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

Valores de Chi^2



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Distribución F de Snedecor

Con pocos grados de libertad, la distribución es muy asimétrica.

F(20,5)

F(3,5)

F(5,10)

543210

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

Valores de F

La distribución cambia con el orden de los grados de libertad.

F(10,5)

F(5,10)

543210

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

Valores de F

Al aumentar los grados de libertad la distribución se va haciendo menos asimétrica.

F(100,50)

F(20,20)

F(200,200)

543210

3

2

1

0

Valores de F



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Uso de las tablas, a través de ejemplos Distribución binomial Un proceso produce un 10 % de unidades defectuosas. Determine la probabilidad de que en una muestra de 15 se tengan: a) 2 defectos

b) Algún defecto

P (X > 0) = 1- P (X=0) = 1- 0,2059 = 0,7941 c) Menos de 3 defectos P (X < 3) = B(2; 15; 0,10) = 0,8159 d) Más de 2 defectos

P (X > 2) = 1 – P (X ≤ 2) = 1 – B(2; 15; 0,10) = 1 – 0,8159 = 0,1841 Distribución de Poisson A una centralita de teléfonos llegan un promedio de 2 llamadas por minuto. Determine la probabilidad de que: a) En un minuto lleguen 5 llamadas

b) En 5 minutos lleguen más de 8 llamadas

P (X>8; λ=10) = P(X ≤ 8; λ=10) = 1 – 0,333 = 0,667



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Distribución Normal Una máquina llena paquetes de azúcar con un peso que se distribuye según N (1003 gr; 7 gr). a) El peso mínimo aceptable debe ser de 985 gr. Calcule el porcentaje de paquetes que estarán por

debajo de este valor.

985 1003z 2,577−

= = − (redondeado con 2 decimales)

P (X < -2,57) = P (z < –2,57) = P (z > 2,57) = 0,0051 = 0,51%

z _,_0 _,_1 _,_2 _,_3 _,_4 _,_5 _,_6 _,_7 _,_8 _,_9

0,0_ 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 0,1_ 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859

2,3_ 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 2,4_ 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064

2,5_ 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 2,6_ 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 2 7 0 0035 0 0034 0 0033 0 0032 0 0031 0 0030 0 0029 0 0028 0 0027 0 0026

b) Se tienen dificultades para cerrar el paquete cuando su contenido tiene un peso que excede los 1020 gr. Calcule el porcentaje de paquetes en que se presentará este problema

1020 1003z 2,43

7−

= =

P (X > 1020) = P ( z > 2,43) = 0,0078 = 0,78%

c) ¿Qué peso será superado por el 30 % de los paquetes?

Veamos cual es el valor de z que deja un área de cola de 0,3

z _,_0 _,_1 _,_2 _,_3 _,_4 _,_5 _,_6 _,_7 _,_8 _,_9

0,0_ 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 0,1_ 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 0,2_ 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 0,3_ 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 0,4_ 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

0,5_ 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 0,6_ 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 0 7 0 2420 0 2389 0 2358 0 2327 0 2296 0 2266 0 2236 0 2206 0 2177 0 2148

El valor que más se aproxima es 0,52. Es decir: z0,3 = 0,52.

x 10030,527

−= → x 1003 0,52 7 1006,64= + ⋅ =



16

Distribución t de Student Se toma una muestra de 10 paquetes de azúcar que acaban de salir de la línea de envasado. Los valores de la media y desviación tipo de sus pesos es: x = 1001,5 gr.; s = 2 gr. a) ¿Puede afirmarse que la línea está llenando los paquetes con un peso medio superior a 1 kg? H0: µ = 1000; H1: µ > 1000

Si H0 es cierta, el estadístico xt sn

µ−= sigue una distribución t de Student con ν= n-1g.l.

En nuestro caso: 1001,5 1000t 2,37210

−= = . Utilizamos las tablas para analizar la posición de

este valor en la distribución t de Student con 9 grados de libertad.

p ν

0,40 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0025 0,001 0,0005

1 0,325 1,000 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 127,321 318,309 636,6192 0,289 0,817 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,089 22,327 31,599 3 0,277 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,215 12,924 4 0,271 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,610 5 0,267 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6,869

6 0,265 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959 7 0,263 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,500 4,029 4,785 5,408 8 0,262 0,706 1,397 1,860 2,306 2,897 3,355 3,833 4,501 5,041 9 0,261 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781

10 0,260 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,587

Entrando en la tabla por la fila de los 9 grados de libertad, se comprueba que nuestro valor deja un área de cola que está entre 0,025 y 0,01. Por tanto, puede afirmarse que el peso medio que se está produciendo es superior a 1 kg, con un nivel de significación que se encuentra entre los valores citados.

b) Calcule un intervalo de confianza del 99 % para el valor del peso medio con que están saliendo

los paquetes.

La fórmula a aplicar es: / 2;sx tn

± α ν . En nuestro caso: / 2;tα ν = 0,005;9t = 3,250

p

ν 0,40 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0025 0,001 0,0005

1 0,325 1,000 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 127,321 318,309 636,619 8 0,262 0,706 1,397 1,860 2,306 2,897 3,355 3,833 4,501 5,041 9 0,261 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781

10 0 260 0 700 1 372 1 812 2 228 2 764 3 169 3 581 4 144 4 587

Sustituyendo los valores, el intervalo queda: 1001,5 ± 2,1



17

Distribución Chi cuadrado (χ2) Siguiendo con el ejemplo anterior, en que se tiene una muestra de 10 paquetes de azúcar con x = 1001,5 gr. y s = 2 gr, calcular un intervalo de confianza del 95 % para la varianza de los pesos con que salen los paquetes.

La fórmula del intervalo de confianza para la varianza es: 2 2

2 2

; 1 ;2 2

s s[( n 1) ; ( n 1) ]α αν ν

χ χ−

− −

2

;2α ν

χ = 20,025;9χ = 19,92 2

;2α ν

χ = 20,025;9χ = 2,70

p

ν 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,750 0,250 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005

1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,10 1,32 2,71 3,84 5,02 6,64 7,88 2 0 01 0 02 0 05 0 10 0 21 0 58 2 77 4 61 5 99 7 38 9 21 10 60 8 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 5,07 10,22 13,36 15,51 17,54 20,09 21,969 1,74 2,09 2,70 3,33 4,17 5,90 11,39 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59

10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 6,74 12,55 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19 Sustituyendo valores queda el intervalo: (1,81; 13,33) F de Snedecor Se tienen 2 líneas (A y B) de llenado de paquetes de azúcar. De la línea A se tiene una muestra aleatoria de nA=10 paquetes cuyos pesos presentan una desviación tipo de sA = 2 gr. De la línea B la muestra es de tamaño nB=6 y los pesos tienen una sB = 5 gr. A la vista de estos valores, ¿puede afirmarse que la variabilidad del peso de los paquetes es distinta en ambas líneas?

2 20 A BH :σ σ= ;

2 21 A BH :σ σ≠ .

Si H0 es cierta:A B

2A

n 1; n 12B

s Fs − − , o, lo que es lo mismo:

B A

2B

n 1; n 12A

s Fs − −

Como las tablas de la F sólo dan áreas de cola hacia la derecha, a efectos prácticos debemos poner la varianza muestral mayor en el numerador para que el cociente dé mayor que 1. (Si lo hiciéramos al revés deberíamos mirar el área de cola hacia la izquierda, que no dan las tablas

aunque se puede deducir utilizando la expresión: A B

B A

( 1 ), n 1; n 1( ), n 1; n 1

1FFα

α− − −

− −

= )

Por tanto, en nuestro caso, F = 25/4 = 6,25 y habrá que comparar este valor en una distribución F de Snedecor con 5 y 9 grados de libertad. Cada hoja de la tabla contiene los valores para una determinada área de cola. Empezamos por la tabla para valores de α = 0,05. El valor de F que deja este área de cola en la distribución con 5 y 9 grados de libertad es 3,48. Al ser nuestro valor mayor (está más hacia la derecha), dejará un área de cola menor.



18

Distribución F de Snedecor Valores de F que dejan el área de cola de 0,05 en función de los grados de libertad ν1 (numerador) y ν2 (denominador)

ν1

ν2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12

1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 243,91 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,39 19,40 19,41 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,75 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,91 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,68

6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,58 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,28 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,07

10 4,97 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,91

0.05

F

Fν1,ν2

Vayamos ahora a la hoja de los valores que dejan un área α = 0,01. El valor de F, con 5 y 9 grados de libertad, que deja esta área de cola es 6,06. El valor de deja un área de cola de 0,001 (yendo a la página correspondiente) es 11,71. Si la prueba fuera unilateral ( 2 2

1 A BH :σ σ< ) podríamos rechazar la hipótesis nula con un nivel de significación menor de 0,01. Al ser bilateral diremos que el nivel de significación es menor de 0,02. Prueba de significación para un coeficiente de correlación Se dispone del peso al nacer de 15 bebés y de su peso al cumplir los 3 meses. El coeficiente de correlación entre ambos pesos es r = 0,49. ¿Es este valor estadísticamente significativo?

No lo es con un nivel de significación del 5 %, ya que nuestro valor es menor de 0,514, que es el marca la frontera para el nivel de significación indicado.



19

Selección de tamaños de muestra ¿Qué tamaño debe tener una muestra aleatoria de hogares para poder estimar una proporción en la población (la proporción de los que tienen secadora, por ejemplo) de forma que un intervalo de confianza del 95 % presente un margen de error del 3%? La población se considera de 10 millones de hogares. Consultando la tabla resulta inmediato que el tamaño de muestra es 1067.

Tamaño de la Márgen de error

población ± 1 % ± 2 % ± 3 % ± 4 % ± 5 % ± 10 %

500 475 414 340 273 217 811.000 906 706 516 375 278 88 500.000 9.423 2.390 1.065 600 384 96

1.000.000 9.513 2.395 1.066 600 384 961.500.000 9.543 2.397 1.066 600 384 962.000.000 9.558 2.398 1.067 600 384 96

50.000.000 9.602 2.401 1.067 600 384 96



21

Distribución BINOMIAL. Probabilidades ACUMULADAS Página 1 de 4

p n x 0,01 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

2 0 0,9801 0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,2500 2 1 0,9999 0,9975 0,9900 0,9775 0,9600 0,9375 0,9100 0,8775 0,8400 0,7975 0,7500

3 0 0,9703 0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,1250 3 1 0,9997 0,9928 0,9720 0,9393 0,8960 0,8438 0,7840 0,7183 0,6480 0,5748 0,5000 3 2 1,0000 0,9999 0,9990 0,9966 0,9920 0,9844 0,9730 0,9571 0,9360 0,9089 0,8750

4 0 0,9606 0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0,0625 4 1 0,9994 0,9860 0,9477 0,8905 0,8192 0,7383 0,6517 0,5630 0,4752 0,3910 0,3125 4 2 1,0000 0,9995 0,9963 0,9880 0,9728 0,9492 0,9163 0,8735 0,8208 0,7585 0,6875 4 3 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9984 0,9961 0,9919 0,9850 0,9744 0,9590 0,9375

5 0 0,9510 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0,0313 5 1 0,9990 0,9774 0,9185 0,8352 0,7373 0,6328 0,5282 0,4284 0,3370 0,2562 0,1875 5 2 1,0000 0,9988 0,9914 0,9734 0,9421 0,8965 0,8369 0,7648 0,6826 0,5931 0,5000 5 3 1,0000 1,0000 0,9995 0,9978 0,9933 0,9844 0,9692 0,9460 0,9130 0,8688 0,8125 5 4 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9976 0,9947 0,9898 0,9815 0,9688

6 0 0,9415 0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0,0156 6 1 0,9985 0,9672 0,8857 0,7765 0,6554 0,5339 0,4202 0,3191 0,2333 0,1636 0,1094 6 2 1,0000 0,9978 0,9842 0,9527 0,9011 0,8306 0,7443 0,6471 0,5443 0,4415 0,3438 6 3 1,0000 0,9999 0,9987 0,9941 0,9830 0,9624 0,9295 0,8826 0,8208 0,7447 0,6563 6 4 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9954 0,9891 0,9777 0,9590 0,9308 0,8906 6 5 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9982 0,9959 0,9917 0,9844

7 0 0,9321 0,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0490 0,0280 0,0152 0,0078 7 1 0,9980 0,9556 0,8503 0,7166 0,5767 0,4449 0,3294 0,2338 0,1586 0,1024 0,0625 7 2 1,0000 0,9962 0,9743 0,9262 0,8520 0,7564 0,6471 0,5323 0,4199 0,3164 0,2266 7 3 1,0000 0,9998 0,9973 0,9879 0,9667 0,9294 0,8740 0,8002 0,7102 0,6083 0,5000 7 4 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9953 0,9871 0,9712 0,9444 0,9037 0,8471 0,7734 7 5 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9962 0,9910 0,9812 0,9643 0,9375 7 6 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9994 0,9984 0,9963 0,9922

8 0 0,9227 0,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0576 0,0319 0,0168 0,0084 0,0039 8 1 0,9973 0,9428 0,8131 0,6572 0,5033 0,3671 0,2553 0,1691 0,1064 0,0632 0,0352 8 2 0,9999 0,9942 0,9619 0,8948 0,7969 0,6785 0,5518 0,4278 0,3154 0,2201 0,1445 8 3 1,0000 0,9996 0,9950 0,9786 0,9437 0,8862 0,8059 0,7064 0,5941 0,4770 0,3633 8 4 1,0000 1,0000 0,9996 0,9971 0,9896 0,9727 0,9420 0,8939 0,8263 0,7396 0,6367 8 5 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9958 0,9887 0,9747 0,9502 0,9115 0,8555 8 6 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9964 0,9915 0,9819 0,9648 8 7 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9983 0,9961

9 0 0,9135 0,6302 0,3874 0,2316 0,1342 0,0751 0,0404 0,0207 0,0101 0,0046 0,0020 9 1 0,9966 0,9288 0,7748 0,5995 0,4362 0,3003 0,1960 0,1211 0,0705 0,0385 0,0195 9 2 0,9999 0,9916 0,9470 0,8591 0,7382 0,6007 0,4628 0,3373 0,2318 0,1495 0,0898 9 3 1,0000 0,9994 0,9917 0,9661 0,9144 0,8343 0,7297 0,6089 0,4826 0,3614 0,2539 9 4 1,0000 1,0000 0,9991 0,9944 0,9804 0,9511 0,9012 0,8283 0,7334 0,6214 0,5000 9 5 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9969 0,9900 0,9747 0,9464 0,9006 0,8342 0,7461 9 6 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9957 0,9888 0,9750 0,9502 0,9102 9 7 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9986 0,9962 0,9909 0,9805 9 8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,9980

10 0 0,9044 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0282 0,0135 0,0060 0,0025 0,0010 10 1 0,9957 0,9139 0,7361 0,5443 0,3758 0,2440 0,1493 0,0860 0,0464 0,0233 0,0107 10 2 0,9999 0,9885 0,9298 0,8202 0,6778 0,5256 0,3828 0,2616 0,1673 0,0996 0,0547 10 3 1,0000 0,9990 0,9872 0,9500 0,8791 0,7759 0,6496 0,5138 0,3823 0,2660 0,1719 10 4 1,0000 0,9999 0,9984 0,9901 0,9672 0,9219 0,8497 0,7515 0,6331 0,5044 0,3770 10 5 1,0000 1,0000 0,9999 0,9986 0,9936 0,9803 0,9527 0,9051 0,8338 0,7384 0,6230 10 6 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9965 0,9894 0,9740 0,9452 0,8980 0,8281 10 7 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9952 0,9877 0,9726 0,9453



22

Distribución BINOMIAL. Probabilidades ACUMULADAS Página 2 de 4 p

n x 0,01 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

10 8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9983 0,9955 0,9893 10 9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990

11 0 0,8953 0,5688 0,3138 0,1673 0,0859 0,0422 0,0198 0,0088 0,0036 0,0014 0,0005 11 1 0,9948 0,8981 0,6974 0,4922 0,3221 0,1971 0,1130 0,0606 0,0302 0,0139 0,0059 11 2 0,9998 0,9848 0,9104 0,7788 0,6174 0,4552 0,3127 0,2001 0,1189 0,0652 0,0327 11 3 1,0000 0,9984 0,9815 0,9306 0,8389 0,7133 0,5696 0,4256 0,2963 0,1911 0,1133 11 4 1,0000 0,9999 0,9972 0,9841 0,9496 0,8854 0,7897 0,6683 0,5328 0,3971 0,2744 11 5 1,0000 1,0000 0,9997 0,9973 0,9883 0,9657 0,9218 0,8513 0,7535 0,6331 0,5000 11 6 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9980 0,9924 0,9784 0,9499 0,9006 0,8262 0,7256 11 7 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9957 0,9878 0,9707 0,9390 0,8867 11 8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9980 0,9941 0,9852 0,9673 11 9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9993 0,9978 0,9941 11 10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9995

12 0 0,8864 0,5404 0,2824 0,1422 0,0687 0,0317 0,0138 0,0057 0,0022 0,0008 0,0002 12 1 0,9938 0,8816 0,6590 0,4435 0,2749 0,1584 0,0850 0,0424 0,0196 0,0083 0,0032 12 2 0,9998 0,9804 0,8891 0,7358 0,5583 0,3907 0,2528 0,1513 0,0834 0,0421 0,0193 12 3 1,0000 0,9978 0,9744 0,9078 0,7946 0,6488 0,4925 0,3467 0,2253 0,1345 0,0730 12 4 1,0000 0,9998 0,9957 0,9761 0,9274 0,8424 0,7237 0,5833 0,4382 0,3044 0,1938 12 5 1,0000 1,0000 0,9995 0,9954 0,9806 0,9456 0,8822 0,7873 0,6652 0,5269 0,3872 12 6 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9961 0,9857 0,9614 0,9154 0,8418 0,7393 0,6128 12 7 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9972 0,9905 0,9745 0,9427 0,8883 0,8062 12 8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9983 0,9944 0,9847 0,9644 0,9270 12 9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9992 0,9972 0,9921 0,9807 12 10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9989 0,9968 12 11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998

13 0 0,8775 0,5133 0,2542 0,1209 0,0550 0,0238 0,0097 0,0037 0,0013 0,0004 0,0001 13 1 0,9928 0,8646 0,6213 0,3983 0,2336 0,1267 0,0637 0,0296 0,0126 0,0049 0,0017 13 2 0,9997 0,9755 0,8661 0,6920 0,5017 0,3326 0,2025 0,1132 0,0579 0,0269 0,0112 13 3 1,0000 0,9969 0,9658 0,8820 0,7473 0,5843 0,4206 0,2783 0,1686 0,0929 0,0461 13 4 1,0000 0,9997 0,9935 0,9658 0,9009 0,7940 0,6543 0,5005 0,3530 0,2279 0,1334 13 5 1,0000 1,0000 0,9991 0,9925 0,9700 0,9198 0,8346 0,7159 0,5744 0,4268 0,2905 13 6 1,0000 1,0000 0,9999 0,9987 0,9930 0,9757 0,9376 0,8705 0,7712 0,6437 0,5000 13 7 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9944 0,9818 0,9538 0,9023 0,8212 0,7095 13 8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9990 0,9960 0,9874 0,9679 0,9302 0,8666 13 9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9975 0,9922 0,9797 0,9539 13 10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9987 0,9959 0,9888 13 11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9983 13 12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999

14 0 0,8687 0,4877 0,2288 0,1028 0,0440 0,0178 0,0068 0,0024 0,0008 0,0002 0,0001 14 1 0,9916 0,8470 0,5846 0,3567 0,1979 0,1010 0,0475 0,0205 0,0081 0,0029 0,0009 14 2 0,9997 0,9699 0,8416 0,6479 0,4481 0,2811 0,1608 0,0839 0,0398 0,0170 0,0065 14 3 1,0000 0,9958 0,9559 0,8535 0,6982 0,5213 0,3552 0,2205 0,1243 0,0632 0,0287 14 4 1,0000 0,9996 0,9908 0,9533 0,8702 0,7415 0,5842 0,4227 0,2793 0,1672 0,0898 14 5 1,0000 1,0000 0,9985 0,9885 0,9561 0,8883 0,7805 0,6405 0,4859 0,3373 0,2120 14 6 1,0000 1,0000 0,9998 0,9978 0,9884 0,9617 0,9067 0,8164 0,6925 0,5461 0,3953 14 7 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9976 0,9897 0,9685 0,9247 0,8499 0,7414 0,6047 14 8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9996 0,9978 0,9917 0,9757 0,9417 0,8811 0,7880 14 9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9983 0,9940 0,9825 0,9574 0,9102 14 10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9989 0,9961 0,9886 0,9713 14 11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9978 0,9935 14 12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9991 14 13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999



23


n x 0,01 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

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19 0 0,8262 0,3774 0,1351 0,0456 0,0144 0,0042 0,0011 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 19 1 0,9847 0,7547 0,4203 0,1985 0,0829 0,0310 0,0104 0,0031 0,0008 0,0002 0,0000 19 2 0,9991 0,9335 0,7054 0,4413 0,2369 0,1113 0,0462 0,0170 0,0055 0,0015 0,0004 19 3 1,0000 0,9868 0,8850 0,6841 0,4551 0,2631 0,1332 0,0591 0,0230 0,0077 0,0022 19 4 1,0000 0,9980 0,9648 0,8556 0,6733 0,4654 0,2822 0,1500 0,0696 0,0280 0,0096 19 5 1,0000 0,9998 0,9914 0,9463 0,8369 0,6678 0,4739 0,2968 0,1629 0,0777 0,0318 19 6 1,0000 1,0000 0,9983 0,9837 0,9324 0,8251 0,6655 0,4812 0,3081 0,1727 0,0835 19 7 1,0000 1,0000 0,9997 0,9959 0,9767 0,9225 0,8180 0,6656 0,4878 0,3169 0,1796 19 8 1,0000 1,0000 1,0000 0,9992 0,9933 0,9713 0,9161 0,8145 0,6675 0,4940 0,3238 19 9 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9984 0,9911 0,9674 0,9125 0,8139 0,6710 0,5000 19 10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9977 0,9895 0,9653 0,9115 0,8159 0,6762 19 11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9972 0,9886 0,9648 0,9129 0,8204 19 12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9969 0,9884 0,9658 0,9165 19 13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9969 0,9891 0,9682 19 14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9972 0,9904 19 15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9978 19 16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 19 17 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

20 0 0,8179 0,3585 0,1216 0,0388 0,0115 0,0032 0,0008 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 20 1 0,9831 0,7358 0,3917 0,1756 0,0692 0,0243 0,0076 0,0021 0,0005 0,0001 0,0000 20 2 0,9990 0,9245 0,6769 0,4049 0,2061 0,0913 0,0355 0,0121 0,0036 0,0009 0,0002 20 3 1,0000 0,9841 0,8670 0,6477 0,4114 0,2252 0,1071 0,0444 0,0160 0,0049 0,0013 20 4 1,0000 0,9974 0,9568 0,8298 0,6296 0,4148 0,2375 0,1182 0,0510 0,0189 0,0059 20 5 1,0000 0,9997 0,9887 0,9327 0,8042 0,6172 0,4164 0,2454 0,1256 0,0553 0,0207 20 6 1,0000 1,0000 0,9976 0,9781 0,9133 0,7858 0,6080 0,4166 0,2500 0,1299 0,0577 20 7 1,0000 1,0000 0,9996 0,9941 0,9679 0,8982 0,7723 0,6010 0,4159 0,2520 0,1316 20 8 1,0000 1,0000 0,9999 0,9987 0,9900 0,9591 0,8867 0,7624 0,5956 0,4143 0,2517 20 9 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9974 0,9861 0,9520 0,8782 0,7553 0,5914 0,4119 20 10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9994 0,9961 0,9829 0,9468 0,8725 0,7507 0,5881 20 11 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9949 0,9804 0,9435 0,8692 0,7483 20 12 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9987 0,9940 0,9790 0,9420 0,8684 20 13 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9985 0,9935 0,9786 0,9423 20 14 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9984 0,9936 0,9793 20 15 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9985 0,9941 20 16 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 20 17 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 20 18 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000



25

Distribución de POISSON. Probabilidades ACUMULADAS Página 1 de 2 λ

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,1 0,905 0,995 1,000 0,2 0,819 0,982 0,999 1,000 0,3 0,741 0,963 0,996 1,000 1,000 1,000 1,000 1,00,100 1,000 1,000 1,000 0,4 0,670 0,938 0,992 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,5 0,607 0,910 0,986 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

0,6 0,549 0,878 0,977 0,997 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,7 0,497 0,844 0,966 0,994 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,8 0,449 0,809 0,953 0,991 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,9 0,407 0,772 0,937 0,987 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,0 0,368 0,736 0,920 0,981 0,996 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

1,2 0,301 0,663 0,879 0,966 0,992 0,998 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,4 0,247 0,592 0,833 0,946 0,986 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,6 0,202 0,525 0,783 0,921 0,976 0,994 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,8 0,165 0,463 0,731 0,891 0,964 0,990 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 2,0 0,135 0,406 0,677 0,857 0,947 0,983 0,995 0,999 1,000 1,000 1,000

2,2 0,111 0,355 0,623 0,819 0,928 0,975 0,993 0,998 1,000 1,000 1,000 2,4 0,091 0,308 0,570 0,779 0,904 0,964 0,988 0,997 0,999 1,000 1,000 2,6 0,074 0,267 0,518 0,736 0,877 0,951 0,983 0,995 0,999 1,000 1,000 2,8 0,061 0,231 0,469 0,692 0,848 0,935 0,976 0,992 0,998 0,999 1,000 3,0 0,050 0,199 0,423 0,647 0,815 0,916 0,966 0,988 0,996 0,999 1,000

3,2 0,041 0,171 0,380 0,603 0,781 0,895 0,955 0,983 0,994 0,998 1,000 3,4 0,033 0,147 0,340 0,558 0,744 0,871 0,942 0,977 0,992 0,997 0,999 3,6 0,027 0,126 0,303 0,515 0,706 0,844 0,927 0,969 0,988 0,996 0,999 3,8 0,022 0,107 0,269 0,473 0,668 0,816 0,909 0,960 0,984 0,994 0,998 4,0 0,018 0,092 0,238 0,433 0,629 0,785 0,889 0,949 0,979 0,992 0,997

4,2 0,015 0,078 0,210 0,395 0,590 0,753 0,867 0,936 0,972 0,989 0,996 4,4 0,012 0,066 0,185 0,359 0,551 0,720 0,844 0,921 0,964 0,985 0,994 4,8 0,008 0,048 0,143 0,294 0,476 0,651 0,791 0,887 0,944 0,975 0,990 5,0 0,007 0,040 0,125 0,265 0,440 0,616 0,762 0,867 0,932 0,968 0,986 5,5 0,004 0,027 0,088 0,202 0,358 0,529 0,686 0,809 0,894 0,946 0,975

6,0 0,002 0,017 0,062 0,151 0,285 0,446 0,606 0,744 0,847 0,916 0,957 6,5 0,002 0,011 0,043 0,112 0,224 0,369 0,527 0,673 0,792 0,877 0,933 7,0 0,001 0,007 0,030 0,082 0,173 0,301 0,450 0,599 0,729 0,830 0,901 7,5 0,001 0,005 0,020 0,059 0,132 0,241 0,378 0,525 0,662 0,776 0,862 8,0 0,000 0,003 0,014 0,042 0,100 0,191 0,313 0,453 0,593 0,717 0,816

8,5 0,000 0,002 0,009 0,030 0,074 0,150 0,256 0,386 0,523 0,653 0,763 9,0 0,000 0,001 0,006 0,021 0,055 0,116 0,207 0,324 0,456 0,587 0,706 9,5 0,000 0,001 0,004 0,015 0,040 0,089 0,165 0,269 0,392 0,522 0,645 10,0 0,000 0,000 0,003 0,010 0,029 0,067 0,130 0,220 0,333 0,458 0,583 11,0 0,000 0,000 0,001 0,005 0,015 0,038 0,079 0,143 0,232 0,341 0,460

12,0 0,000 0,000 0,001 0,002 0,008 0,020 0,046 0,090 0,155 0,242 0,347 13,0 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,011 0,026 0,054 0,100 0,166 0,252 14,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 0,006 0,014 0,032 0,062 0,109 0,176 15,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,008 0,018 0,037 0,070 0,118 16,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,010 0,022 0,043 0,077

17,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,005 0,013 0,026 0,049 18,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,003 0,007 0,015 0,030 19,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,004 0,009 0,018 20,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,005 0,011



26

Distribución de POISSON. Probabilidades ACUMULADAS Página 2 de 2

λ

x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

4,0 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 4,5 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 5,0 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 5,5 0,989 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 6,0 0,980 0,991 0,996 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

6,5 0,966 0,984 0,993 0,997 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 7,0 0,947 0,973 0,987 0,994 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 7,5 0,921 0,957 0,978 0,990 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 8,0 0,888 0,936 0,966 0,983 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 8,5 0,849 0,909 0,949 0,973 0,986 0,993 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000

9,0 0,803 0,876 0,926 0,959 0,978 0,989 0,995 0,998 0,999 1,000 1,000 9,5 0,752 0,836 0,898 0,940 0,967 0,982 0,991 0,996 0,998 0,999 1,000 10,0 0,697 0,792 0,864 0,917 0,951 0,973 0,986 0,993 0,997 0,998 0,999 11,0 0,579 0,689 0,781 0,854 0,907 0,944 0,968 0,982 0,991 0,995 0,998 12,0 0,462 0,576 0,682 0,772 0,844 0,899 0,937 0,963 0,979 0,988 0,994

13,0 0,353 0,463 0,573 0,675 0,764 0,835 0,890 0,930 0,957 0,975 0,986 14,0 0,260 0,358 0,464 0,570 0,669 0,756 0,827 0,883 0,923 0,952 0,971 15,0 0,185 0,268 0,363 0,466 0,568 0,664 0,749 0,819 0,875 0,917 0,947 16,0 0,127 0,193 0,275 0,368 0,467 0,566 0,659 0,742 0,812 0,868 0,911 17,0 0,085 0,135 0,201 0,281 0,371 0,468 0,564 0,655 0,736 0,805 0,861

18,0 0,055 0,092 0,143 0,208 0,287 0,375 0,469 0,562 0,651 0,731 0,799 19,0 0,035 0,061 0,098 0,150 0,215 0,292 0,378 0,469 0,561 0,647 0,725 20,0 0,021 0,039 0,066 0,105 0,157 0,221 0,297 0,381 0,470 0,559 0,644 21,0 0,013 0,025 0,043 0,072 0,111 0,163 0,227 0,302 0,384 0,471 0,558 22,0 0,008 0,015 0,028 0,048 0,077 0,117 0,169 0,232 0,306 0,387 0,472

23,0 0,004 0,009 0,017 0,031 0,052 0,082 0,123 0,175 0,238 0,310 0,389 24,0 0,003 0,005 0,011 0,020 0,034 0,056 0,087 0,128 0,180 0,243 0,314 25,0 0,001 0,003 0,006 0,012 0,022 0,038 0,060 0,092 0,134 0,185 0,247

λ

x 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

12,0 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 13,0 0,992 0,996 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 14,0 0,983 0,991 0,995 0,997 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 15,0 0,967 0,981 0,989 0,994 0,997 0,998 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 16,0 0,942 0,963 0,978 0,987 0,993 0,996 0,998 0,999 0,999 1,000 1,000

17,0 0,905 0,937 0,959 0,975 0,985 0,991 0,995 0,997 0,999 0,999 1,000 18,0 0,855 0,899 0,932 0,955 0,972 0,983 0,990 0,994 0,997 0,998 0,999 19,0 0,793 0,849 0,893 0,927 0,951 0,969 0,980 0,988 0,993 0,996 0,998 20,0 0,721 0,787 0,843 0,888 0,922 0,948 0,966 0,978 0,987 0,992 0,995 21,0 0,640 0,716 0,782 0,838 0,883 0,917 0,944 0,963 0,976 0,985 0,991

22,0 0,556 0,637 0,712 0,777 0,832 0,877 0,913 0,940 0,959 0,973 0,983 23,0 0,472 0,555 0,635 0,708 0,772 0,827 0,873 0,908 0,936 0,956 0,971 24,0 0,392 0,473 0,554 0,632 0,704 0,768 0,823 0,868 0,904 0,932 0,953 25,0 0,318 0,394 0,473 0,553 0,629 0,700 0,763 0,818 0,863 0,900 0,929



27

Distribución NORMAL estandarizada Áreas de cola hacia la derecha

z _,_0 _,_1 _,_2 _,_3 _,_4 _,_5 _,_6 _,_7 _,_8 _,_9

0,0_ 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 0,1_ 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 0,2_ 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 0,3_ 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 0,4_ 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

0,5_ 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 0,6_ 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 0,7_ 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 0,8_ 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 0,9_ 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

1,0_ 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 1,1_ 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 1,2_ 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 1,3_ 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 1,4_ 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681

1,5_ 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 1,6_ 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 1,7_ 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 1,8_ 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 1,9_ 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

2,0_ 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 2,1_ 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 2,2_ 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 2,3_ 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 2,4_ 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064

2,5_ 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 2,6_ 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 2,7_ 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 2,8_ 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 2,9_ 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014

3,0_ 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 3,1_ 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 3,2_ 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 3,3_ 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 3,4_ 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002

3,5_ 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 3,6_ 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 3,7_ 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 3,8_ 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 3,9_ 4,8E-05 4,6E-05 4,4E-05 4,2E-05 4,1E-05 3,9E-05 3,7E-05 3,6E-05 3,4E-05 3,3E-05

4,0_ 3,2E-05 3,0E-05 2,9E-05 2,8E-05 2,7E-05 2,6E-05 2,5E-05 2,4E-05 2,3E-05 2,2E-05 4,5_ 3,4E-06 3,2E-06 3,1E-06 3,0E-06 2,8E-06 2,7E-06 2,6E-06 2,4E-06 2,3E-06 2,2E-06 5,0_ 2,9E-07 2,7E-07 2,6E-07 2,5E-07 2,3E-07 2,2E-07 2,1E-07 2,0E-07 1,9E-07 1,8E-07 5,5_ 1,9E-08 1,8E-08 1,7E-08 1,6E-08 1,5E-08 1,4E-08 1,4E-08 1,3E-08 1,2E-08 1,1E-08 6,0_ 9,9E-10 9,3E-10 8,8E-10 8,2E-10 7,7E-10 7,3E-10 6,8E-10 6,4E-10 6,0E-10 5,7E-10

z

p



28

Distribución t de Student Valores de t que dejan el área de cola (p) indicada, en función de los grados de libertad (ν)

ν p

0,40 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0025 0,001 0,0005

1 0,325 1,000 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 127,321 318,309 636,619 2 0,289 0,817 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,089 22,327 31,599 3 0,277 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,215 12,924 4 0,271 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,610 5 0,267 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6,869

6 0,265 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959 7 0,263 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,500 4,029 4,785 5,408 8 0,262 0,706 1,397 1,860 2,306 2,897 3,355 3,833 4,501 5,041 9 0,261 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781

10 0,260 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,587

11 0,260 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 4,437 12 0,259 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930 4,318 13 0,259 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852 4,221 14 0,258 0,692 1,345 1,761 2,145 2,625 2,977 3,326 3,787 4,140 15 0,258 0,691 1,341 1,753 2,131 2,603 2,947 3,286 3,733 4,073

16 0,258 0,690 1,337 1,746 2,120 2,584 2,921 3,252 3,686 4,015 17 0,257 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646 3,965 18 0,257 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610 3,922 19 0,257 0,688 1,328 1,729 2,093 2,540 2,861 3,174 3,579 3,883 20 0,257 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,850

21 0,257 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,527 3,819 22 0,256 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 3,792 23 0,256 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,485 3,768 24 0,256 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 3,745 25 0,256 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3,725

26 0,256 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 3,707 27 0,256 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 3,690 28 0,256 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 3,674 29 0,256 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 3,659 30 0,256 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,646

35 0,255 0,682 1,306 1,690 2,030 2,438 2,724 2,996 3,340 3,591 40 0,255 0,681 1,303 1,684 2,021 2,423 2,705 2,971 3,307 3,551 50 0,255 0,679 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 2,937 3,261 3,496 60 0,254 0,679 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 2,915 3,232 3,460 70 0,254 0,678 1,294 1,667 1,994 2,381 2,648 2,899 3,211 3,435 80 0,254 0,678 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 2,887 3,195 3,416

90 0,254 0,677 1,291 1,662 1,987 2,369 2,632 2,878 3,183 3,402 100 0,254 0,677 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 2,871 3,174 3,390 120 0,254 0,677 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 2,860 3,160 3,373 140 0,254 0,676 1,288 1,656 1,977 2,353 2,611 2,852 3,149 3,361 160 0,254 0,676 1,287 1,654 1,975 2,350 2,607 2,846 3,142 3,352

180 0,254 0,676 1,286 1,653 1,973 2,347 2,603 2,842 3,136 3,345 200 0,254 0,676 1,286 1,653 1,972 2,345 2,601 2,839 3,131 3,340 ∞ 0,253 0,674 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090 3,291

t

p tν



29

Distribución Chi-cuadrado Valores de 2χ que dejan el área de cola (p) indicada, hacia la derecha, en función de los grados de libertad (ν)

ν p

0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,750 0,250 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005

1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,10 1,32 2,71 3,84 5,02 6,64 7,88 2 0,01 0,02 0,05 0,10 0,21 0,58 2,77 4,61 5,99 7,38 9,21 10,60 3 0,07 0,12 0,22 0,35 0,58 1,21 4,11 6,25 7,82 9,35 11,35 12,84 4 0,21 0,30 0,48 0,71 1,06 1,92 5,39 7,78 9,49 11,14 13,28 14,86 5 0,41 0,55 0,83 1,15 1,61 2,68 6,63 9,24 11,07 12,83 15,09 16,75

6 0,68 0,87 1,24 1,64 2,20 3,46 7,84 10,65 12,59 14,45 16,81 18,55 7 0,99 1,24 1,69 2,17 2,83 4,26 9,04 12,02 14,07 16,01 18,48 20,28 8 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 5,07 10,22 13,36 15,51 17,54 20,09 21,96 9 1,74 2,09 2,70 3,33 4,17 5,90 11,39 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59

10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 6,74 12,55 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19

11 2,60 3,05 3,82 4,58 5,58 7,58 13,70 17,28 19,68 21,92 24,73 26,76 12 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 8,44 14,85 18,55 21,03 23,34 26,22 28,30 13 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 9,30 15,98 19,81 22,36 24,74 27,69 29,82 14 4,08 4,66 5,63 6,57 7,79 10,17 17,12 21,06 23,69 26,12 29,14 31,32 15 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 11,04 18,25 22,31 25,00 27,49 30,58 32,80

16 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 11,91 19,37 23,54 26,30 28,85 32,00 34,27 17 5,70 6,41 7,56 8,67 10,09 12,79 20,49 24,77 27,59 30,19 33,41 35,72 18 6,27 7,02 8,23 9,39 10,87 13,68 21,61 25,99 28,87 31,53 34,81 37,16 19 6,84 7,63 8,91 10,12 11,65 14,56 22,72 27,20 30,14 32,85 36,19 38,58 20 7,43 8,26 9,59 10,85 12,44 15,45 23,83 28,41 31,41 34,17 37,57 40,00

21 8,03 8,90 10,28 11,59 13,24 16,34 24,94 29,62 32,67 35,48 38,93 41,40 22 8,64 9,54 10,98 12,34 14,04 17,24 26,04 30,81 33,92 36,78 40,29 42,80 23 9,26 10,20 11,69 13,09 14,85 18,14 27,14 32,01 35,17 38,08 41,64 44,18 24 9,89 10,86 12,40 13,85 15,66 19,04 28,24 33,20 36,42 39,36 42,98 45,56 25 10,52 11,52 13,12 14,61 16,47 19,94 29,34 34,38 37,65 40,65 44,31 46,93

26 11,16 12,20 13,84 15,38 17,29 20,84 30,44 35,56 38,89 41,92 45,64 48,29 27 11,81 12,88 14,57 16,15 18,11 21,75 31,53 36,74 40,11 43,20 46,96 49,65 28 12,46 13,57 15,31 16,93 18,94 22,66 32,62 37,92 41,34 44,46 48,28 50,99 29 13,12 14,26 16,05 17,71 19,77 23,57 33,71 39,09 42,56 45,72 49,59 52,34 30 13,79 14,95 16,79 18,49 20,60 24,48 34,80 40,26 43,77 46,98 50,89 53,67

35 17,19 18,51 20,57 22,47 24,80 29,05 40,22 46,06 49,80 53,20 57,34 60,28 40 20,71 22,16 24,43 26,51 29,05 33,66 45,62 51,81 55,76 59,34 63,69 66,77 45 24,31 25,90 28,37 30,61 33,35 38,29 50,99 57,51 61,66 65,41 69,96 73,17 50 27,99 29,71 32,36 34,76 37,69 42,94 56,33 63,17 67,51 71,42 76,15 79,49 60 35,53 37,49 40,48 43,19 46,46 52,29 66,98 74,40 79,08 83,30 88,38 91,95

70 43,28 45,44 48,76 51,74 55,33 61,70 77,58 85,53 90,53 95,02 100,43 104,2280 51,17 53,54 57,15 60,39 64,28 71,15 88,13 96,58 101,88 106,63 112,33 116,3290 59,20 61,75 65,65 69,13 73,29 80,63 98,65 107,57 113,15 118,14 124,12 128,30100 67,33 70,07 74,22 77,93 82,36 90,13 109,14 118,50 124,34 129,56 135,81 140,17120 83,85 86,92 91,57 95,71 100,62 109,22 130,06 140,23 146,57 152,21 158,95 163,65

140 100,66 104,03 109,14 113,66 119,03 128,38 150,89 161,83 168,61 174,65 181,84 186,85160 117,68 121,35 126,87 131,76 137,55 147,60 171,68 183,31 190,52 196,92 204,53 209,82180 134,88 138,82 144,74 149,97 156,15 166,87 192,41 204,70 212,30 219,04 227,06 232,62200 152,24 156,43 162,73 168,28 174,84 186,17 213,10 226,02 233,99 241,06 249,45 255,26

p

2χ

2νχ



30


ν2 ν1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12

1 5,83 7,50 8,20 8,58 8,82 8,98 9,10 9,19 9,26 9,32 9,41 2 2,57 3,00 3,15 3,23 3,28 3,31 3,34 3,35 3,37 3,38 3,39 3 2,02 2,28 2,36 2,39 2,41 2,42 2,43 2,44 2,44 2,44 2,45 4 1,81 2,00 2,05 2,06 2,07 2,08 2,08 2,08 2,08 2,08 2,08 5 1,69 1,85 1,88 1,89 1,89 1,89 1,89 1,89 1,89 1,89 1,89

6 1,62 1,76 1,78 1,79 1,79 1,78 1,78 1,78 1,77 1,77 1,77 7 1,57 1,70 1,72 1,72 1,71 1,71 1,70 1,70 1,69 1,69 1,68 8 1,54 1,66 1,67 1,66 1,66 1,65 1,64 1,64 1,63 1,63 1,62 9 1,51 1,62 1,63 1,63 1,62 1,61 1,60 1,60 1,59 1,59 1,58 10 1,49 1,60 1,60 1,59 1,59 1,58 1,57 1,56 1,56 1,55 1,54

12 1,46 1,56 1,56 1,55 1,54 1,53 1,52 1,51 1,51 1,50 1,49 15 1,43 1,52 1,52 1,51 1,49 1,48 1,47 1,46 1,46 1,45 1,44 20 1,40 1,49 1,48 1,47 1,45 1,44 1,43 1,42 1,41 1,40 1,39 25 1,39 1,47 1,46 1,44 1,42 1,41 1,40 1,39 1,38 1,37 1,36 30 1,38 1,45 1,44 1,42 1,41 1,39 1,38 1,37 1,36 1,35 1,34

35 1,37 1,44 1,43 1,41 1,40 1,38 1,37 1,36 1,35 1,34 1,32 40 1,36 1,44 1,42 1,40 1,39 1,37 1,36 1,35 1,34 1,33 1,31 50 1,35 1,43 1,41 1,39 1,37 1,36 1,34 1,33 1,32 1,31 1,30 60 1,35 1,42 1,41 1,38 1,37 1,35 1,33 1,32 1,31 1,30 1,29 100 1,34 1,41 1,39 1,37 1,35 1,33 1,32 1,30 1,29 1,28 1,27

150 1,33 1,40 1,38 1,36 1,34 1,32 1,31 1,30 1,28 1,27 1,26 200 1,33 1,40 1,38 1,36 1,34 1,32 1,30 1,29 1,28 1,27 1,25

ν2 ν1

15 20 25 30 35 40 50 60 100 150 200 1 9,49 9,58 9,63 9,67 9,70 9,71 9,74 9,76 9,80 9,81 9,82 2 3,41 3,43 3,44 3,44 3,45 3,45 3,46 3,46 3,47 3,47 3,47 3 2,46 2,46 2,46 2,47 2,47 2,47 2,47 2,47 2,47 2,47 2,47 4 2,08 2,08 2,08 2,08 2,08 2,08 2,08 2,08 2,08 2,08 2,08 5 1,89 1,88 1,88 1,88 1,88 1,88 1,88 1,87 1,87 1,87 1,87

6 1,76 1,76 1,75 1,75 1,75 1,75 1,75 1,74 1,74 1,74 1,74 7 1,68 1,67 1,67 1,66 1,66 1,66 1,66 1,65 1,65 1,65 1,65 8 1,62 1,61 1,60 1,60 1,60 1,59 1,59 1,59 1,58 1,58 1,58 9 1,57 1,56 1,55 1,55 1,55 1,54 1,54 1,54 1,53 1,53 1,53 10 1,53 1,52 1,52 1,51 1,51 1,51 1,50 1,50 1,49 1,49 1,49

12 1,48 1,47 1,46 1,45 1,45 1,45 1,44 1,44 1,43 1,43 1,43 15 1,43 1,41 1,40 1,40 1,39 1,39 1,38 1,38 1,37 1,37 1,37 20 1,37 1,36 1,35 1,34 1,33 1,33 1,32 1,32 1,31 1,30 1,30 25 1,34 1,33 1,31 1,31 1,30 1,29 1,29 1,28 1,27 1,27 1,26 30 1,32 1,30 1,29 1,28 1,28 1,27 1,26 1,26 1,25 1,24 1,24

35 1,31 1,29 1,27 1,27 1,26 1,25 1,24 1,24 1,23 1,22 1,22 40 1,30 1,28 1,26 1,25 1,25 1,24 1,23 1,22 1,21 1,20 1,20 50 1,28 1,26 1,25 1,23 1,23 1,22 1,21 1,20 1,19 1,18 1,18 60 1,27 1,25 1,23 1,22 1,21 1,21 1,20 1,19 1,18 1,17 1,16 100 1,25 1,23 1,21 1,20 1,19 1,18 1,17 1,16 1,14 1,13 1,13

150 1,24 1,21 1,20 1,19 1,18 1,17 1,16 1,15 1,13 1,12 1,11 200 1,23 1,21 1,19 1,18 1,17 1,16 1,15 1,14 1,12 1,11 1,10

0.25

F

Fν1,ν2



31


ν2 ν1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12

1 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 58,91 59,44 59,86 60,20 60,71 2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 9,41 3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 5,22 4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 3,90 5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 3,27

6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 2,90 7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 2,67 8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 2,50 9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42 2,38 10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32 2,28

12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 2,15 15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06 2,02 20 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94 1,89 25 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89 1,87 1,82 30 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 1,82 1,77

35 2,85 2,46 2,25 2,11 2,02 1,95 1,90 1,85 1,82 1,79 1,74 40 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79 1,76 1,71 50 2,81 2,41 2,20 2,06 1,97 1,90 1,84 1,80 1,76 1,73 1,68 60 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74 1,71 1,66 100 2,76 2,36 2,14 2,00 1,91 1,83 1,78 1,73 1,69 1,66 1,61

150 2,74 2,34 2,12 1,98 1,89 1,81 1,76 1,71 1,67 1,64 1,59 200 2,73 2,33 2,11 1,97 1,88 1,80 1,75 1,70 1,66 1,63 1,58

ν2 ν1

15 20 25 30 35 40 50 60 100 150 200 1 61,22 61,74 62,05 62,27 62,42 62,53 62,69 62,79 63,01 63,11 63,17 2 9,42 9,44 9,45 9,46 9,46 9,47 9,47 9,47 9,48 9,48 9,49 3 5,20 5,18 5,17 5,17 5,16 5,16 5,15 5,15 5,14 5,14 5,14 4 3,87 3,84 3,83 3,82 3,81 3,80 3,80 3,79 3,78 3,77 3,77 5 3,24 3,21 3,19 3,17 3,16 3,16 3,15 3,14 3,13 3,12 3,12

6 2,87 2,84 2,81 2,80 2,79 2,78 2,77 2,76 2,75 2,74 2,73 7 2,63 2,59 2,57 2,56 2,54 2,54 2,52 2,51 2,50 2,49 2,48 8 2,46 2,42 2,40 2,38 2,37 2,36 2,35 2,34 2,32 2,31 2,31 9 2,34 2,30 2,27 2,25 2,24 2,23 2,22 2,21 2,19 2,18 2,17 10 2,24 2,20 2,17 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,09 2,08 2,07

12 2,10 2,06 2,03 2,01 2,00 1,99 1,97 1,96 1,94 1,93 1,92 15 1,97 1,92 1,89 1,87 1,86 1,85 1,83 1,82 1,79 1,78 1,77 20 1,84 1,79 1,76 1,74 1,72 1,71 1,69 1,68 1,65 1,64 1,63 25 1,77 1,72 1,68 1,66 1,64 1,63 1,61 1,59 1,56 1,55 1,54 30 1,72 1,67 1,63 1,61 1,59 1,57 1,55 1,54 1,51 1,49 1,48

35 1,69 1,63 1,60 1,57 1,55 1,53 1,51 1,50 1,47 1,45 1,44 40 1,66 1,61 1,57 1,54 1,52 1,51 1,48 1,47 1,43 1,42 1,41 50 1,63 1,57 1,53 1,50 1,48 1,46 1,44 1,42 1,39 1,37 1,36 60 1,60 1,54 1,50 1,48 1,45 1,44 1,41 1,40 1,36 1,34 1,33 100 1,56 1,49 1,45 1,42 1,40 1,38 1,35 1,34 1,29 1,27 1,26

150 1,53 1,47 1,43 1,40 1,37 1,35 1,33 1,30 1,26 1,23 1,22 200 1,52 1,46 1,41 1,38 1,36 1,34 1,31 1,29 1,24 1,21 1,20

0.10

F

Fν1,ν2



32


ν2

ν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12

1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 243,91 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,39 19,40 19,41 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,75 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,91 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,68

6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,58 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,28 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,07 10 4,97 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,91

12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,69 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,48 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,28 25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,41 2,34 2,28 2,24 2,17 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,17 2,09

35 4,12 3,27 2,87 2,64 2,49 2,37 2,29 2,22 2,16 2,11 2,04 40 4,09 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,00 50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 1,95 60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,92 100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,98 1,93 1,85

150 3,90 3,06 2,67 2,43 2,27 2,16 2,07 2,00 1,94 1,89 1,82 200 3,89 3,04 2,65 2,42 2,26 2,14 2,06 1,99 1,93 1,88 1,80

ν2

ν1 15 20 25 30 35 40 50 60 100 150 200

1 245,95 248,01 249,26 250,10 250,69 251,14 251,77 252,20 253,04 253,47 253,68 2 19,43 19,45 19,46 19,46 19,47 19,47 19,48 19,48 19,49 19,49 19,49 3 8,70 8,66 8,63 8,62 8,60 8,59 8,58 8,57 8,55 8,55 8,54 4 5,86 5,80 5,77 5,75 5,73 5,72 5,70 5,69 5,66 5,65 5,65 5 4,62 4,56 4,52 4,50 4,48 4,46 4,44 4,43 4,41 4,39 4,39

6 3,94 3,87 3,84 3,81 3,79 3,77 3,75 3,74 3,71 3,70 3,69 7 3,51 3,45 3,40 3,38 3,36 3,34 3,32 3,30 3,28 3,26 3,25 8 3,22 3,15 3,11 3,08 3,06 3,04 3,02 3,01 2,98 2,96 2,95 9 3,01 2,94 2,89 2,86 2,84 2,83 2,80 2,79 2,76 2,74 2,73 10 2,85 2,77 2,73 2,70 2,68 2,66 2,64 2,62 2,59 2,57 2,56

12 2,62 2,54 2,50 2,47 2,44 2,43 2,40 2,38 2,35 2,33 2,32 15 2,40 2,33 2,28 2,25 2,22 2,20 2,18 2,16 2,12 2,11 2,10 20 2,20 2,12 2,07 2,04 2,01 1,99 1,97 1,95 1,91 1,89 1,88 25 2,09 2,01 1,96 1,92 1,89 1,87 1,84 1,82 1,78 1,76 1,75 30 2,02 1,93 1,88 1,84 1,81 1,79 1,76 1,74 1,70 1,67 1,66

35 1,96 1,88 1,82 1,79 1,76 1,74 1,70 1,68 1,64 1,61 1,60 40 1,92 1,84 1,78 1,74 1,72 1,69 1,66 1,64 1,59 1,56 1,55 50 1,87 1,78 1,73 1,69 1,66 1,63 1,60 1,58 1,53 1,50 1,48 60 1,84 1,75 1,69 1,65 1,62 1,59 1,56 1,53 1,48 1,45 1,44 100 1,77 1,68 1,62 1,57 1,54 1,52 1,48 1,45 1,39 1,36 1,34

150 1,73 1,64 1,58 1,54 1,50 1,48 1,44 1,41 1,35 1,31 1,29 200 1,72 1,62 1,56 1,52 1,48 1,46 1,42 1,39 1,32 1,28 1,26

0.05

F

Fν1,ν2



33


ν2

ν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12

1 4052 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6106 2 98,50 99,00 99,17 99,25 99,30 99,33 99,36 99,37 99,39 99,40 99,42 3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,35 27,23 27,05 4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,37 5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,89

6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,72 7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,47 8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,67 9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,11 10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,71

12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,16 15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,67 20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,23 25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 2,99 30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,84

35 7,42 5,27 4,40 3,91 3,59 3,37 3,20 3,07 2,96 2,88 2,74 40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,66 50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 2,70 2,56 60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,50 100 6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 2,50 2,37

150 6,81 4,75 3,91 3,45 3,14 2,92 2,76 2,63 2,53 2,44 2,31 200 6,76 4,71 3,88 3,41 3,11 2,89 2,73 2,60 2,50 2,41 2,27

ν2

ν1 15 20 25 30 35 40 50 60 100 150 200

1 6157 6209 6240 6261 6276 6287 6303 6313 6334 6345 6350 2 99,43 99,45 99,46 99,47 99,47 99,47 99,48 99,48 99,49 99,49 99,49 3 26,87 26,69 26,58 26,50 26,45 26,41 26,35 26,32 26,24 26,20 26,18 4 14,20 14,02 13,91 13,84 13,79 13,75 13,69 13,65 13,58 13,54 13,52 5 9,72 9,55 9,45 9,38 9,33 9,29 9,24 9,20 9,13 9,09 9,08

6 7,56 7,40 7,30 7,23 7,18 7,14 7,09 7,06 6,99 6,95 6,93 7 6,31 6,16 6,06 5,99 5,94 5,91 5,86 5,82 5,75 5,72 5,70 8 5,52 5,36 5,26 5,20 5,15 5,12 5,07 5,03 4,96 4,93 4,91 9 4,96 4,81 4,71 4,65 4,60 4,57 4,52 4,48 4,41 4,38 4,36 10 4,56 4,41 4,31 4,25 4,20 4,17 4,12 4,08 4,01 3,98 3,96

12 4,01 3,86 3,76 3,70 3,65 3,62 3,57 3,54 3,47 3,43 3,41 15 3,52 3,37 3,28 3,21 3,17 3,13 3,08 3,05 2,98 2,94 2,92 20 3,09 2,94 2,84 2,78 2,73 2,69 2,64 2,61 2,54 2,50 2,48 25 2,85 2,70 2,60 2,54 2,49 2,45 2,40 2,36 2,29 2,25 2,23 30 2,70 2,55 2,45 2,39 2,34 2,30 2,25 2,21 2,13 2,09 2,07

35 2,60 2,44 2,35 2,28 2,23 2,19 2,14 2,10 2,02 1,98 1,96 40 2,52 2,37 2,27 2,20 2,15 2,11 2,06 2,02 1,94 1,90 1,87 50 2,42 2,27 2,17 2,10 2,05 2,01 1,95 1,91 1,82 1,78 1,76 60 2,35 2,20 2,10 2,03 1,98 1,94 1,88 1,84 1,75 1,70 1,68 100 2,22 2,07 1,97 1,89 1,84 1,80 1,74 1,69 1,60 1,55 1,52

150 2,16 2,00 1,90 1,83 1,77 1,73 1,66 1,62 1,52 1,46 1,43 200 2,13 1,97 1,87 1,79 1,74 1,69 1,63 1,58 1,48 1,42 1,39

0.01

F

Fν1,ν2



34


ν2

ν1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12

1 405284 500000 540379 562500 576405 585937 592873 598144 602284 605621 610668 2 998,50 999,00 999,17 999,25 999,30 999,33 999,36 999,37 999,39 999,40 999,42 3 167,03 148,50 141,11 137,10 134,58 132,85 131,58 130,62 129,86 129,25 128,32 4 74,14 61,25 56,18 53,44 51,71 50,53 49,66 49,00 48,47 48,05 47,41 5 47,18 37,12 33,20 31,09 29,75 28,83 28,16 27,65 27,24 26,92 26,42

6 35,51 27,00 23,70 21,92 20,80 20,03 19,46 19,03 18,69 18,41 17,99 7 29,25 21,69 18,77 17,20 16,21 15,52 15,02 14,63 14,33 14,08 13,71 8 25,41 18,49 15,83 14,39 13,48 12,86 12,40 12,05 11,77 11,54 11,19 9 22,86 16,39 13,90 12,56 11,71 11,13 10,70 10,37 10,11 9,89 9,57 10 21,04 14,91 12,55 11,28 10,48 9,93 9,52 9,20 8,96 8,75 8,45

12 18,64 12,97 10,80 9,63 8,89 8,38 8,00 7,71 7,48 7,29 7,00 15 16,59 11,34 9,34 8,25 7,57 7,09 6,74 6,47 6,26 6,08 5,81 20 14,82 9,95 8,10 7,10 6,46 6,02 5,69 5,44 5,24 5,08 4,82 25 13,88 9,22 7,45 6,49 5,89 5,46 5,15 4,91 4,71 4,56 4,31 30 13,29 8,77 7,05 6,12 5,53 5,12 4,82 4,58 4,39 4,24 4,00

35 12,90 8,47 6,79 5,88 5,30 4,89 4,59 4,36 4,18 4,03 3,79 40 12,61 8,25 6,59 5,70 5,13 4,73 4,44 4,21 4,02 3,87 3,64 50 12,22 7,96 6,34 5,46 4,90 4,51 4,22 4,00 3,82 3,67 3,44 60 11,97 7,77 6,17 5,31 4,76 4,37 4,09 3,86 3,69 3,54 3,32 100 11,50 7,41 5,86 5,02 4,48 4,11 3,83 3,61 3,44 3,30 3,07

150 11,27 7,24 5,71 4,88 4,35 3,98 3,71 3,49 3,32 3,18 2,96 200 11,15 7,15 5,63 4,81 4,29 3,92 3,65 3,43 3,26 3,12 2,90

ν2

ν1 15 20 25 30 35 40 50 60 100 120 200

1 615764 620908 624017 626099 627591 628712 630285 631337 633444 634501 635030 2 999,43 999,45 999,46 999,47 999,47 999,47 999,48 999,48 999,49 999,49 999,49 3 127,37 126,42 125,84 125,45 125,17 124,96 124,66 124,47 124,07 123,87 123,77 4 46,76 46,10 45,70 45,43 45,23 45,09 44,88 44,75 44,47 44,33 44,26 5 25,91 25,39 25,08 24,87 24,72 24,60 24,44 24,33 24,12 24,01 23,95

6 17,56 17,12 16,85 16,67 16,54 16,44 16,31 16,21 16,03 15,93 15,89 7 13,32 12,93 12,69 12,53 12,41 12,33 12,20 12,12 11,95 11,87 11,82 8 10,84 10,48 10,26 10,11 10,00 9,92 9,80 9,73 9,57 9,49 9,45 9 9,24 8,90 8,69 8,55 8,45 8,37 8,26 8,19 8,04 7,96 7,93 10 8,13 7,80 7,60 7,47 7,37 7,30 7,19 7,12 6,98 6,91 6,87

12 6,71 6,40 6,22 6,09 6,00 5,93 5,83 5,76 5,63 5,56 5,52 15 5,54 5,25 5,07 4,95 4,86 4,80 4,70 4,64 4,51 4,44 4,41 20 4,56 4,29 4,12 4,00 3,92 3,86 3,77 3,70 3,58 3,51 3,48 25 4,06 3,79 3,63 3,52 3,43 3,37 3,28 3,22 3,09 3,03 2,99 30 3,75 3,49 3,33 3,22 3,13 3,07 2,98 2,92 2,79 2,73 2,69

35 3,55 3,29 3,13 3,02 2,93 2,87 2,78 2,72 2,59 2,52 2,49 40 3,40 3,14 2,98 2,87 2,79 2,73 2,64 2,57 2,44 2,38 2,34 50 3,20 2,95 2,79 2,68 2,60 2,53 2,44 2,38 2,25 2,18 2,14 60 3,08 2,83 2,67 2,55 2,47 2,41 2,32 2,25 2,12 2,05 2,01 100 2,84 2,59 2,43 2,32 2,24 2,17 2,08 2,01 1,87 1,79 1,75

150 2,73 2,48 2,32 2,21 2,12 2,06 1,96 1,89 1,74 1,66 1,62 200 2,67 2,42 2,26 2,15 2,07 2,00 1,90 1,83 1,68 1,60 1,55

0.001 F

Fν1,ν2



35

Valores del coeficiente de correlación r que dan el nivel de significación p al contrastar H0: ρ = 0 frente a H1: ρ ≠ 0. n es el número de pares de valores utilizados para calcular r

n p

0,10 0,05 0,01 0,005 0,001

3 0,988 0,997 1,000 1,000 1,000 4 0,900 0,950 0,990 0,995 0,999 5 0,805 0,878 0,959 0,974 0,991

6 0,729 0,811 0,917 0,942 0,974 7 0,669 0,754 0,875 0,906 0,951 8 0,621 0,707 0,834 0,870 0,925 9 0,582 0,666 0,798 0,836 0,898 10 0,549 0,632 0,765 0,805 0,872

11 0,521 0,602 0,735 0,776 0,847 12 0,497 0,576 0,708 0,750 0,823 13 0,476 0,553 0,684 0,726 0,801 14 0,458 0,532 0,661 0,703 0,780 15 0,441 0,514 0,641 0,683 0,760

16 0,426 0,497 0,623 0,664 0,742 17 0,412 0,482 0,606 0,647 0,725 18 0,400 0,468 0,590 0,631 0,708 19 0,389 0,456 0,575 0,616 0,693 20 0,378 0,444 0,561 0,602 0,679

21 0,369 0,433 0,549 0,589 0,665 22 0,360 0,423 0,537 0,576 0,652 23 0,352 0,413 0,526 0,565 0,640 24 0,344 0,404 0,515 0,554 0,629 25 0,337 0,396 0,505 0,543 0,618

26 0,330 0,388 0,496 0,534 0,607 27 0,323 0,381 0,487 0,524 0,597 28 0,317 0,374 0,479 0,515 0,588 29 0,311 0,367 0,471 0,507 0,579 30 0,306 0,361 0,463 0,499 0,570

35 0,283 0,334 0,430 0,464 0,532 40 0,264 0,312 0,403 0,435 0,501 45 0,248 0,294 0,380 0,411 0,474 50 0,235 0,279 0,361 0,391 0,451 55 0,224 0,266 0,345 0,373 0,432

60 0,214 0,254 0,330 0,358 0,414 65 0,206 0,244 0,317 0,344 0,399 70 0,198 0,235 0,306 0,332 0,385 75 0,191 0,227 0,296 0,321 0,372 80 0,185 0,220 0,286 0,311 0,361

85 0,180 0,213 0,278 0,302 0,351 90 0,174 0,207 0,270 0,293 0,341 95 0,170 0,202 0,263 0,286 0,332 100 0,165 0,197 0,256 0,279 0,324 120 0,151 0,179 0,234 0,255 0,297

150 0,135 0,160 0,210 0,228 0,266 200 0,117 0,139 0,182 0,198 0,231 300 0,095 0,113 0,149 0,162 0,189 500 0,074 0,088 0,115 0,125 0,147

1000 0,052 0,062 0,081 0,089 0,104



36

Estimación de proporciones. Tamaños de muestra para un nivel de confianza del 95 % (Suponiendo p = q = 50 %)

Tamaño de la Márgen de error

población ± 1 % ± 2 % ± 3 % ± 4 % ± 5 % ± 10 %

500 475 414 340 273 217 811.000 906 706 516 375 278 881.500 1.297 923 624 429 306 902.000 1.655 1.091 696 462 322 922.500 1.984 1.225 748 484 333 92

3.000 2.286 1.334 787 500 341 933.500 2.565 1.424 818 512 346 934.000 2.824 1.500 842 522 350 944.500 3.064 1.566 863 530 354 945.000 3.288 1.622 879 536 357 94

6.000 3.693 1.715 906 546 361 957.000 4.049 1.788 926 553 364 958.000 4.364 1.847 942 558 367 959.000 4.646 1.895 954 563 368 95

10.000 4.899 1.936 964 566 370 95

15.000 5.855 2.070 996 577 375 9520.000 6.488 2.144 1.013 583 377 9625.000 6.939 2.191 1.023 586 378 9650.000 8.057 2.291 1.045 593 381 96

100.000 8.762 2.345 1.056 597 383 96

500.000 9.423 2.390 1.065 600 384 961.000.000 9.513 2.395 1.066 600 384 961.500.000 9.543 2.397 1.066 600 384 962.000.000 9.558 2.398 1.067 600 384 96

50.000.000 9.602 2.401 1.067 600 384 96

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